Деформация ортотропного сферического слоя под действием внутреннего давления

Ибрагимова Ольга Рустемовна

Деформация ортотропного сферического слоя под действием внутреннего давления

АННОТАЦИЯ ДИПЛОМНОЙ РАБОТЫ Ибрагимова Ольга Рустемовна ДЕФОРМАЦИЯ ОРТОТРОПНОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ Научный руководитель: д.ф.-м.н. Светлана Михайловна Бауэр. Математико-механический факультет, кафедра теоретической и прикладной механики Дипломная работа посвящена задаче деформации ортотропного сферического слоя под действием нормального давления. Подобные задачи возникают в биомеханике глаза, и широко изучаются последние несколько лет. Методом сеток в пакете Maple 17 получено численное решение, проведен сравнительный анализ с решением задачи, выполненном в пакете Comsol Multiphysics 5.0. Решение задачи позволяет оценить изменение передне-задней оси глаза при повышении внутриглазного давления при миопии или гиперметропии, а также при таких заболеваниях, как глаукома. Количество использованных источников 9. Ибрагимова О.Р. Деформация ортотропного сферического слоя под действием внутреннего давления: дипломная работа: защищена 26.05.2016/ Ибрагимова Ольга Рустемовна. – СПб., 2016. – 17с. – Библиогр.: с. 17.

Математика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d364d5f1be77c40d58bf8

UUID: 43e030fa-2770-417e-be2c-40eb55f320c3

Язык: Русский

Опубликовано: больше 7 лет назад

Просмотры: 15

Ибрагимова Ольга Рустемовна

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1010816 bytes

Поделиться работой

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ ИБРАГИМОВА ОЛЬГА РУСТЕМОВНА ДЕФОРМАЦИЯ ОРТОТРОПНОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Допустить к защите: Зав. кафедрой, д.ф.-м.н. профессор Товстик П. Е. Научный руководитель: д.ф.-м.н. профессор Бауэр С. М. Санкт-Петербург 2016

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY DEPARTMENT OF THEORETICAL AND APPLIED MECHANICS IBRAGIMOVA OLGA DEFORMATION OF AN ORTHOTROPIC SPHERICAL LAYER UNDER INTERNAL PRESSURE GRADUATION THESIS Admitted for defence: Head of the department, Sci.Dr., Professor Petr E. Tovstik Scientific supervisor: Sci.Dr., Professor Svetlana M. Bauer Saint-Petersburg 2016

Оглавление 1 Введение 4 2 Постановка задачи 6 3 Граничные условия 9 4 Ограничения на упругие постоянные 10 5 Ортотропный материал близкий к трансверсально-изотропному 11 6 Заключение 14 7 Приложение 15 3

1 Введение Одним из современных способов лечения некоторых глазных заболеваний является интрасклеральная инъекция небольшой дозы лечебного препарата. Как отмечается в работе [2], этот метод лечения используется все чаще и чаще. На рис. 1 показано, что в 2012 интрасклеральные инъекции стали использовать чаще, чем иную медицинскую помощь, оказываемую при лечении катаракты. Рис. 1: Интрасклеральные инъекции и лечение катаракты (исследования, проведённые в США) При лечении применяются инъекции небольшой (до 0,2 мл) дозы лечебного препарата. За счет кратковременного увеличения внутреннего объема глазного яблока при введении таких инъекций в первый момент происходит резкое увеличение внутриглазного давления (ВГД). Даже кратковременное увеличение ВГД выше определенного индивидуального уровня может привести к нарушению кровообращения на сетчатке и в диске зрительного нерва (см. [9]), поэтому важно в каждом конкретном случае оценить возможный уровень изменения внутриглазного давления (ВГД) в результате инъекции. С точки зрения механики, это задача определения изменения внутреннего давления в оболочке, заполненной несжимаемой жидкостью, при введении дополнительного объема несжимаемой жидкости. В работах [4], [6] для оценки изменения ВГД после инъекций рассмотрена задача трехмерной теории упругости о деформации трансверсально-изотропного сферического слоя, находящегося под действием внутреннего давления. Получена зависимость, характеризующая изменение внутреннего давления в оболочке глаза в зависимости от введенного объема несжимаемой жидкости, а также получено изменение толщины слоя склеры под действием давления. Однако известно, что только при нормальном зрении глаз имеет сферическую форму. Глаза с миопией (близорукость) имеют, как правило, 4

форму вытянутого эллипсоида, а глаза с гиперметропией (дальнозоркость) часто имеют форму сплюснутого эллипсоида. Рис. 2: Миопия и гиперметропия Известно также [9], что изменение формы корнеосклеральной оболочки связано с изменением механических свойств оболочки. Миопия чаще всего развивается в связи с тем, что модуль упругости в меридиональном направлении становится меньше, чем модуль упругости в экваториальном направлении, т.е. корнеосклеральная оболочка становится ортотропной. В работе [7] сделана попытка оценки изменения внутриглазного давления при введении внутрикамерных инъекций для ортотропной оболочки, но при этом полагается, что оболочка остается сферической и рассматривается одно уравнение равновесия, и, в результате, получена функция нормального прогиба: −1 K−T uρ (ρ, P ) = C1 (P ) ρm+ K + C2 (P ) ρm (1) Очевидно, что ортотропный сферический слой при деформации под действием нормального давления перестает быть сферическим, и изменение его напряженнодеформированного состояния не может быть описано одним уравнением. В связи с этим, ниже рассматривается задача о расширении ортотропного сферического слоя под действием внутреннего давления. Её математическая модель описывается в следующей главе. 5

2 Постановка задачи Рассматривается ортотропный сферический слой с внутренним радиусом R1 и внешним — R2 , толщиной h = R2 − R1 (см. рис. 3). Рис. 3: Ортотропный сферический слой Положение точки сферического слоя описывается сферическими координатами: ρ — радиальная координата, ϕ — координата в меридиональном направлении, θ — координата в экватариальном направлении. Уравнения равновесия сферического слоя имеют вид [1]: ∂σρρ 1 ∂σρϕ 1 ∂σρθ cosϕ 1 + + + σρϕ + (2σρρ − σϕϕ − σθθ ) + fρ = 0, ∂ρ ρ ∂ϕ ρsinϕ ∂θ ρsinϕ ρ ∂σϕρ 1 ∂σϕϕ 1 ∂σϕθ 3 cosϕ + + + σϕρ + (σϕϕ − σθθ ) + fϕ = 0, ∂ρ ρ ∂ϕ ρsinϕ ∂θ ρ ρsinϕ 1 ∂σθθ 3 2cosϕ ∂σθρ 1 ∂σθϕ + + + σθρ + σθϕ + fθ = 0, ∂ρ ρ ∂ϕ ρsinϕ ∂θ ρ ρsinϕ здесь σρρ , σϕϕ и σθθ — нормальные напряжения, σρϕ , σρθ , σϕθ — касательные напряжения fρ , fϕ , fθ — проекции внешних сил на соответствующие направления. Будем рассматривать осесимметричную задачу в отсутствии внешних сил. При этом перемещения не зависят от угла θ, а касательные напряжения σρθ , σϕθ и деформации ερθ , εϕθ равны 0. Таким образом, система уравнений равновесия примет вид ∂σρρ 1 ∂σρϕ cosϕ 1 + + σρϕ + (2σρρ − σϕϕ − σθθ ) = 0, ∂ρ ρ ∂ϕ ρ sinϕ ρ (2) ∂σρϕ 1 ∂σϕϕ 3 cosϕ + + σρϕ + (σϕϕ − σθθ ) = 0. ∂ρ ρ ∂ϕ ρ ρ sinϕ Перемещения точки сферического слоя задаются проекциями вектора перемещений (w, u, v) в направлениях ρ, ϕ, θ соответственно. Для осесимметричной задачи v = 0. Деформации и перемещения сферического слоя связаны соотношениями [5]: ∂w 1 ∂u w u w 1 1 ∂w u ∂u ερρ = . (3) , εϕϕ = + , εθθ = cot ϕ + , ερϕ = − + ∂ρ ρ ∂ϕ ρ ρ ρ 2 ρ ∂ϕ ρ ∂ρ 6

Уравнения состояния, связывающие напряжения и деформации, для ортотропного тела содержат 9 независимых упругих постоянных Eρ , Eϕ , Eθ — модули Юнга, νϕρ , νθρ , νθϕ — коэффициенты Пуассона, Gρϕ , Gϕθ , Gρθ — модули сдвига (мы следуем обозначениям книги [5]) 1 νρϕ νρθ σρρ − σϕϕ − σθθ , ερθ = σρθ /Gρθ , Eρ Eϕ Eθ νϕρ 1 νϕθ σρρ + σϕϕ − σθθ , εϕθ = σϕθ /Gϕθ , εϕϕ = − Eρ Eϕ Eθ νθρ νθϕ 1 εθθ = − σρρ − σϕϕ + σθθ , ερϕ = σρϕ /Gρϕ . Eρ Eϕ Eθ ερρ = (4) В силу симметрии соотношений (4) имеют место равенства Eϕ νϕρ = Eρ νρϕ , Eϕ νϕθ = Eθ νθϕ , Также верны следующие равенства (см. [5]) νϕρ + νϕθ νθρ νϕθ + νϕρ νρθ ∗ ∗ , νϕρ = , νϕθ = 1 − νθρ νρθ 1 − νθρ νρθ νθρ + νθϕ νϕρ νρϕ + νθϕ νρθ ∗ ∗ νθρ = = , νρϕ , 1 − νϕρ νρϕ 1 − νϕθ νθϕ Eθ νθρ = Eρ νρθ . νθϕ + νθρ νρϕ , 1 − νϕρ νρϕ νρθ + νϕθ νρϕ = , 1 − νϕθ νθϕ ∗ νθϕ = ∗ νρθ ∗ ∗ νρϕ , νθϕ − νϕρ Eϕ∗ = Eϕ / 1 − νϕθ ∗ ∗ Eθ∗ = Eθ / 1 − νθϕ νϕθ − νθρ νρθ , ∗ ∗ νϕρ , νθρ − νρϕ Eρ∗ = Eρ / 1 − νρθ (5) (6) (7) причем ∗ ∗ Eρ∗ νρϕ = Eϕ∗ νϕρ , ∗ ∗ Eϕ∗ νϕθ = Eθ∗ νθϕ , ∗ ∗ Eθ∗ νθρ = Eρ∗ νρθ . (8) Подставляя (4) и (3) в (2), с учетом обозначений (6)–(8), получим уравнения равновесия в перемещениях в виде c0 ∂ 2w ∂w ∂ 2w ∂w ∂ 2u ∂u ∂u + c + c + c + c w + c + c6 + c7 + c8 u = 0, 1 2 3 4 5 2 2 ∂ρ ∂ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ (9) 2 d0 2 2 ∂u ∂ u ∂u ∂ w ∂w ∂w ∂ u + d1 + d2 2 + d3 + d4 u + d5 + d6 + d7 + d8 w = 0, 2 ∂ρ ∂ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ где 2 1 Gρϕ c0 = 1, c1 = , c2 = 2 ∗ , c3 = c2 cot(ϕ), ρ 2ρ Eρ ∗ ∗ Eϕ + 2 νϕθ Eϕ∗ + Eθ∗ 1 ∗ ∗ c4 = 2 νρϕ + νρθ − , ρ Eρ∗ 1 Gρϕ cot(ϕ) Gρϕ ∗ ∗ c5 = ν + , c6 = νρθ + , ρ ρϕ 2Eρ∗ ρ 2Eρ∗ Eϕ∗ 1 Gρϕ ∗ ∗ c7 = 2 νρϕ − ∗ (1 + νϕθ ) − , ρ Eρ 2Eρ∗ ∗ Eϕ∗ νϕθ + Eθ∗ Gρϕ cot(ϕ) ∗ c8 = νρθ − − ; ρ2 Eρ∗ 2Eρ∗ 7 (10)

2 2 Eϕ∗ d0 = 1, d1 = , d2 = 2 , d3 = d2 cot(ϕ), ρ ρ Gρϕ ∗ Eϕ∗ νϕθ 2 Eθ∗ 2 d4 = − 2 1 + + cot (ϕ) , ρ Gρϕ Gρϕ ∗ Eρ∗ νρϕ 1 2 cot(ϕ) Eρ∗ ∗ ∗ d5 = 1+2 , d6 = (ν − νρθ ), ρ Gρϕ ρ Gρϕ ρϕ Eϕ∗ 2 2 cot(ϕ) Eϕ∗ − Eθ∗ ∗ d7 = 2 1 + (1 + νϕθ ) , d8 = . ρ Gρϕ ρ2 Gρϕ 8 (11)

3 Граничные условия π Будем рассматривать половину сферического слоя, т.е. область 0 6 ϕ 6 и R1 6 ρ 6 R2 . 2 π На части границы ϕ = 0, ϕ = полагаем 2 π ∂w ∂w π = 0, (ρ, 0) = ρ, = 0. u(ρ, 0) = u ρ, (12) 2 ∂ϕ ∂ϕ 2 На части границы ρ = R1 и ρ = R2 считаем заданными значения внутреннего P1 и внешнего P2 давлений в силц симметрит. σρρ (R1 , ϕ) = −P1 , σρρ (R2 , ϕ) = −P2 , σρϕ (R1 , ϕ) = σρϕ (R2 , ϕ) = 0, причем напряжения имеют вид ∗ ∗ ∗ ∗ + νρθ cot(ϕ) νρϕ ∂u νρθ ∂w νρϕ ∗ σρρ = Eρ + w+ + u , ∂ρ ρ ρ ∂ϕ ρ 1 1 ∂w u ∂u σρϕ = Gρϕ − + . 2 ρ ∂ϕ ρ ∂ρ Уравнения (9) и граничные условия (12)–(13) образуют краевую задачу. 9 (13)

4 Ограничения на упругие постоянные Как было отмечено в главе 2 описание ортотропного материала включает 9 независимых упругих постоянных. В силу положительной определенности упругого потенциала его коэффициенты должны удовлетворять критерию Сильвестра, из которого вытекают следующие неравенства (см. [5]): q q q νρϕ < Eϕ /Eρ , νρθ < Eθ /Eρ , νϕθ < Eθ /Eϕ , (14) 2 2 2 νρϕ νϕθ νθρ < 1/2 1 − νρϕ Eρ /Eϕ − νϕθ Eϕ /Eθ − νθρ Eθ /Eρ . 10

5 Ортотропный материал близкий к трансверсальноизотропному. Рис. 4: Распределения перемещений в ортотропном слое после деформации при µ = 0.3 при нормальном внутреннем давлении P1 = 60 мм. рт. ст. (P1 = 60 × 133.3 Па), полученное с помощью метода сетки, расчитанное в программном пакете Maple 17. Рассмотрим сферический слой из ортотропного материала, для упругих постоянных которого выполнены равенства Eρ = E1 , Eϕ = E(1 − µ), Eθ = E(1 + µ), νθϕ = ν, νϕρ = νθρ = ν1 . E Gϕθ = G + µG0 = + µG0 , Gρϕ = G1 , Gρθ = G1 + µG00 , 2(1 + ν) где µ 1. При µ = 0 материал становится трансверсально-изотропным. Ограничения на упругие постоянные (14) становятся такими s ! r r 1 E1 1 1 + µ − ν2 ν< , ν1 < · min 1, , . 1+µ E 1+µ (1 + µ)(2 + µ + 2ν) (15) Решение уравнений (9) будем искать в виде w(ρ, ϕ) = w0 (ρ) + µw1 (ρ, ϕ) + O(µ2 ), u(ρ, ϕ) = µu1 (ρ, ϕ) + O(µ2 ). Уравнение нулевого приближения для функции w0 (ρ) совпадает с рассмотренным в [3] уравнением для трансверсально-изотропного слоя. Уравнения первого приближения 11

Рис. 5: Распределения перемещений в ортотропном слое после деформации при µ = 0.3 при нормальном внутреннем давлении P1 = 60 мм. рт. ст. или P1 = 60 × 133.3 Па, рассчитанные в программном пакете Comsol. таковы: m0 ∂ 2 w1 ∂w1 ∂ 2 w1 ∂w1 ∂ 2 u1 ∂u1 + m + m + m + m w + m + m + 1 2 3 4 1 5 6 ∂ρ2 ∂ρ ∂ϕ2 ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ ∂ρ ∂u1 +m7 + m8 u1 + m9 w0 = 0, ∂ϕ (16) 2 n0 2 2 ∂ u1 ∂u1 ∂ u1 ∂u1 ∂ w1 ∂w1 + n1 + n2 + n3 + n4 u 1 + n5 + n6 + 2 2 ∂ρ ∂ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂w0 +n7 + n8 w0 = 0, ∂ρ Значения коэффициентов указаны в приложении (см. (19)–(20)). Граничные условия для функций первого приближения принимают вид ∂w1 ∂w1 π (ρ, 0) = ρ, = 0, ∂ϕ ∂ϕ 2 (17) 1 1 1 1 σρρ (R1 , ϕ) = σρρ (R2 , ϕ) = σρϕ (R1 , ϕ) = σρϕ (R2 , ϕ) = 0, (18) π u1 (ρ, 0) = u1 ρ, = 0, 2 причем ∂w1 ∂w0 ∂u1 + l1 w1 + l2 + l3 w0 + l4 + l5 u1 , ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂w1 ∂u1 = k1 + k2 u1 + k3 . ∂ϕ ∂ρ 1 σρρ = l0 1 σρϕ Значения коэффициентов также указаны в приложении (см. (21)). 12

Рис. 6: Сравнение распределений перемещений в ортотропном слое после деформации при µ = 0.3 при нормальном глазном давлении P1 = 20 мм. рт. столба (слева) и при внутриглазном давлении, возникающем при инъекции, P1 = 60 мм. рт. ст. или P1 = 60 × 133.3 Па (справа). Таким образом, краевая задача для первого приближения состоит из уравнений (16) и граничных условий (17)–(18). Заметим, что изменения модулей сдвига (G0 ,G00 ) не входят в уравнения и граничные условия первого приближения. Численное решение граничной задачи, полученное методом конечных разностей, сравнивалось с решением, полученным в конечно-элементном пакете Comsol Multiphysics 5.0. В качестве примера рассматривался ортотропный слой со следующими значениями параметров: Eϕ = E = 14 МПа, Eρ = E1 = 1.26 МПа, ν = 0.48, ν1 = 0.03, R2 = 12 мм, R1 = 0.9R2 [8]. На внутренней поверхности слоя ρ = R1 задано давление P1 = 60 × 133.3 Па (или же P1 = 60 мм. рт. столба, как принято измерять внутреглазное давление в офтальмологии). На рис. 4 и 5 представлены профили ортотропного слоя до и после деформации, а также распределения перемещений в слое. Полученное численное решение находится позволяет по соотношению для нормального перемещения получить изменение толщины внешней облочки глаза под действием внутреннего давления, а также оценить удлинение передне-задней оси глазного яблока при увеличении внутриглазного давления. Для нахождения численного (неаналитического) решения в программном пакете Maple 17 был реализован метод сеток. Представление производных в конечно-разностной форме представлено в приложении, см. (22). На рис. 6 приводится сравнение распределений перемещений ортотропного сферического слоя в случаях нормального (слева) и повышенного внутреглазного давления (справа). Второй случай соответствует интрасклеральной инъекции; значение давления для него указывается в [9]. 13

6 Заключение Полученное численное решение может быть использовано для построения изменения напряженно-деформированного состояния внешней оболочки глаза при введении внутриглазных инъекций, а в некоторых случаях для оценки соотношения модулей упругости в меридиональном направлении и направлении параллели. Решение задачи позволяет оценить изменение передне-задней оси глаза при повышении внутриглазного давления при миопии или гиперметромии, а также при таких заболеваниях, как глаукома. Наблюдение изменения формы сферического слоя позволяет оценить соотношение модулей упругостей материала слоя относительно друг друга. 14

7 Приложение Значения коэффициентов из уравнений (16)–(18): 1 (2 Eν1 2 + E1 ν − E1 ) G1 , 2 ρ2 (ν − 1) E1 2 1 (2 Eν1 2 + E1 ν − E1 ) cot (ϕ) G1 = , 2 ρ2 (ν − 1) E1 2 (ν1 − 1) E 1 −2 EG1 ν1 2 + 2 EE1 ν1 − E1 G1 ν + E1 G1 = −2 2 , m5 = − , ρ (ν − 1) E1 2 E1 2 (ν − 1) ρ 1 (−2 EG1 ν1 2 + 2 EE1 ν1 − E1 G1 ν + E1 G1 ) cot (ϕ) =− , 2 E1 2 (ν − 1) ρ 1 2 EG1 ν1 2 + 2 EE1 ν1 + E1 G1 ν − 2 EE1 − E1 G1 =− , 2 ρ2 (ν − 1) E1 2 1 (2 EG1 ν1 2 + 2 EE1 ν1 + E1 G1 ν − 2 EE1 − E1 G1 ) cot (ϕ) , =− 2 ρ2 (ν − 1) E1 2 Eν (ν1 − 1) = −2 ; ρ2 (ν − 1)2 E1 m0 = 1, m1 = 2 ρ−1 , m3 m4 m6 m7 m8 m9 m2 = (19) 2 E (Eν1 2 + E1 ν) n0 = 1, n1 = , n2 = −2 , n3 = n2 cot(ϕ), ρ (2 Eν1 2 ν + 2 Eν1 2 + E1 ν 2 − E1 ) G1 ρ2 A2 (cot (ϕ))2 + A3 −2 EG1 ν1 2 + 2 EE1 ν1 − E1 G1 ν + E1 G1 n4 = , , n5 = − A1 G1 ρ (2 Eν1 2 + E1 ν − E1 ) −2 EG1 ν1 2 − E1 G1 ν + EE1 + E1 G1 n6 = −2 , ρ2 (2 Eν1 2 + E1 ν − E1 ) G1 cot (ϕ) E1 ν1 E n7 = −2 , (20) (2 Eν1 2 ν + 2 Eν1 2 + ν 2 E1 − E1 ) ρ cot (ϕ) EE1 , n8 = −2 (2 Eν1 2 ν + 2 Eν1 2 + E1 ν 2 − E1 ) ρ2 A1 = ρ2 G1 2 Eν1 2 ν + 2 Eν1 2 + E1 ν 2 − E1 , A2 = 4 EG1 ν1 2 ν + 4 E 2 ν1 2 + 4 EG1 ν1 2 + 2 E1 G1 ν 2 + 2 Eν E1 − 2 EE1 − 2 E1 G1 , A3 = −4 EG1 ν1 2 ν − 2 E 2 ν1 2 − 4 EG1 ν1 2 − 2 E1 G1 ν 2 + 2 EE1 + 2 E1 G1 ; 2 Eν1 , l2 = 0, ρ E1 (1 − ν) Eν1 l4 = , l5 = l4 cot(ϕ), E1 (1 − ν)ρ G1 G1 k2 = − , k3 = . 2ρ 2 l0 = 1, l1 = l2 , ν1 ρ G1 k1 = , 2ρ l3 = 15 (21)

При реализации метода сеток используются следующие стандартные представления производных в конечно-разностной форме: ∂2 ui+1,j − 2 ui,j + ui−1,j , u (ρ, ϕ) = 2 ∂ρ h21 ∂2 1 ui+1,j+1 − ui+1,j−1 − ui−1,j+1 + ui−1,j−1 u (ρ, ϕ) = , ∂ρ∂ϕ 4 h1 h2 ∂2 ui,j+1 − 2 ui,j + ui,j−1 , u (ρ, ϕ) = 2 ∂ϕ h22 ∂2 wi+1,j − 2 wi,j + wi−1,j , w (ρ, ϕ) = 2 ∂ρ h21 ∂2 wi,j+1 − 2 wi,j + wi,j−1 , w (ρ, ϕ) = ∂ϕ2 h22 ∂2 1 wi+1,j+1 − wi+1,j−1 − wi−1,j+1 + wi−1,j−1 w (ρ, ϕ) = , ∂ρ∂ϕ 4 h1 h2 ∂ 1 ui+1,j − ui−1,j u (ρ, ϕ) = , ∂ρ 2 h1 ∂ 1 ui,j+1 − ui,j−1 u (ρ, ϕ) = , ∂ϕ 2 h2 1 wi+1,j − wi−1,j ∂ w (ρ, ϕ) = , ∂ρ 2 h1 ∂ 1 wi,j+1 − wi,j−1 w (ρ, ϕ) = , ∂ϕ 2 h2 u (ρ, ϕ) = ui,j , w (ρ, ϕ) = wi,j . 16 (22)

Список литературы [1] Teodor M. Atanackovic and Ardéshir Guran. Theory of elasticity for scientists and engineers. Springer Science & Business Media, 2012. [2] Robert L Avery, Sophie J Bakri, Mark S Blumenkranz, Alexander J Brucker, Emmett T Cunningham Jr, Donald J D’Amico, Pravin U Dugel, Harry W Flynn Jr, K Bailey Freund, Julia A Haller, et al. Intravitreal injection technique and monitoring: updated guidelines of an expert panel. Retina, 34:S1–S18, 2014. [3] S.M. Bauer and A.L. Smirnov. Axisymmetric deformations of the orthotropic spherical layer under normal pressure. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 48(1):35– 40, 2015. [4] Konstantin Kotliar, Mathias Maier, Svetlana Bauer, and Nikolaus Feucht. Effect of intravitreal injections and volume changes on intraocular pressure: clinical results and biomechanical model/kotliar, konstantin; maier, mathias; bauer, svetlana; feucht, nikolaus; lohmann, chris; lanzl, ines. [5] V.A. Rodionova, V.F. Titaev, and K. Chernykh. Applied theory of anisotropic plates and shells. SPb.: SPbGU, 1996. [6] С.М. Бауэр, Л.А. Замураев, and К.Е. Котляр. Модель трансверсально-изотропного сферического слоя для расчета изменения внутриглазного давления при интрасклеральных инъекциях. Российский журнал биомеханики, 10(2):43–49, 2006. [7] Гуляев Ю.П. Березяк В.В. Математическое моделирование изменения внутриглазного давления при введении внутрикамерных инъекций. Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине-2008», pages 39–42, 2008. [8] Е.Н. Иомдина. Механические свойства тканей глаза человека. Современные проблемы биомеханики, (11):183–200, 2006. [9] Е.Н. Иомдина, С.М. Бауэр, and К.Е. Котляр. Биомеханика глаза: теоретические аспекты и клинические приложения. Нероева ВВ-Москва: Реал Тайм, 2015. 17

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв