Санкт-Петербургский государственный университет
Физический факультет
Кафедра радиофизики
Гауссовы пучки в криволинейных координатах
(полных лучевых переменных)
Бакалаврская работа студента
дневного отделения
Смолякова Максима Сергеевича
Научный руководитель:
д.ф.-м.н., проф. Зернов Н.Н.
Рецензент:
д.ф.-м.н., проф. Андронов И.В.
Санкт-Петербург
2016
Оглавление
Введение
3
1. Гауссовы пучки в локальных лучевых переменных
1.1 Локальные лучевые переменные
1.2 Уравнение эйконала в локальных лучевых координатах
4
4
5
7
8
1.2.1 Предельный случай однородной среды
1.3 Главное уравнение переноса в локальных лучевых координатах
2.Гауссовы пучки в полных лучевых переменных
2.1 Полные лучевые переменные
2.2 Уравнение эйконала в полных лучевых переменных
2.3 Главное уравнение переноса в полных лучевых переменных
2.3.1 Предельный случай однородной среды
2.3.2 Общий случай неоднородной среды
Выводы
Литература
2
11
11
12
13
15
16
19
19
Введение
В теории дифракции и распространения высокочастотных полей в неоднородных средах
давно исследуются локализованные волновые процессы [1, 2, 3, 4]. Локализованные поля
могут быть построены как в окрестности произвольного луча в плавно-неоднородной
среде, так и, в частности, в окрестности экстремального луча (в окрестности локального
максимума диэлектрической проницаемости среды – оси градиентного волновода).
Локализованные волны строятся как непосредственно решения волнового уравнения типа
параболического уравнения, так и как комплексные решения уравнений геометрической
оптики.
Настоящая квалификационная работа, в основном, является научно-методической работой,
хотя некоторые результаты, по-видимому, носят и оригинальный научный характер.
Некоторые формулы заимствованы из курса «Геометрическая оптика в радиофизике»,
читаемого на кафедре радиофизики. Локализованные волны – гауссовы пучки в
окрестности произвольной лучевой траектории строятся как комплексно-значные решения
уравнений геометрической оптики в окрестности произвольного луча.
Для описания Гауссовых пучков в рамках геометрической оптики для высоких частот
были использованы уравнение эйконала
2
( ∇ φ ) =ε ( r⃗ ) (1.1)
и главное уравнение переноса
2
2 ∇ A 0 ∇ φ+ A 0 ∇ φ=0(1.2)
С целью упрощения выкладок, рассматривается двумерная задача.
Операторы дивергенции и Лапласа в уравнениях (1.1) и (1.2) для криволинейных
переменных в двумерной задаче имеют вид:
∇u=
∇2 u=
1 ∂u
1 ∂u
e⃗ +
e (1.3)
⃗
h 1 ∂ q1 1 h2 ∂ q2 2
[ ( ) ( )]
1
∂ h2 ∂u
∂ h1 ∂ u
+
(1.4)
h1 h2 ∂ q1 h1 ∂ q1 ∂ q 2 h2 ∂ q2
Здесь коэффициенты Ламе h1 и h2 связывают дифференциальные приращения координат q1
и q2 с длинами соответствующих дуг S1 и S2 вдоль координатных линий, и элемент дуги dS
выражается через новые переменные q1 и q2 как:
2
2
2
2
2
dS =h1 dq 1 +h2 dq2
3
(1.5)
dS 1 =h1 dq 1 ,dS 2 =h2 dq 2
(1.6)
Глава 1. Гауссовы пучки в локальных лучевых переменных
В этой главе гауссовы пучки будут построены в локальных лучевых переменных,
ассоциированных с опорным лучом, в окрестности которого строится локальная лучевая
система координат.
1.1 Локальные лучевые переменные
Локальными лучевыми переменными (s,n) являются длина дуги s опорного луча, вблизи
которого строятся локальные лучевые переменные, и расстояние вдоль нормали n,
проведенной из текущей точки на опорный луч.
Для построения коэффициентов Ламе hs(s,n) и hn(s,n) в локальных лучевых переменных
вводится радиус кривизны дуги �(s). Тогда изменение длины дуги при изменении длины
нормали dS1 (сонаправлена с переменной s) можно будет выразить через �(s), что наглядно
изображено на Рис.1.
dS1
ds
en
n
es
�(s)
d�
Рис. 1. Графическая визуализация связи двух ортогональных переменных.
Из данного рисунка очевидны равенства:
ds=ρ ( s ) dθ
dS 1 =(n+ ρ(s))dθ
(1.7)
(1.8)
Выражая угол d� из (1.7) и подставляя в (1.8), получаем уравнение для первого
коэффициента Ламе:
dS 1 =
n+ ρ(s)
ds(1.9)
ρ(s)
4
Для второго коэффициента Ламе введем дугу S2, которая ортогональна S1. Она полностью
совпадает с нормалью n:
(1.10)
d S2=1 dn
Таким образом, коэффициенты Ламе найдем из уравнений (1.6):
hi ( q1 ,q 2 ) =
dSi
,i=1, 2(1.11)
dqi
Коэффициенты Ламе для локальных лучевых переменных будут получены посредством
подстановки (1.9) и (1.10) в (1.11):
h s (s , n)=1+
n
,h (s ,n)=1(1.12)
ρ(s) n
1.2 Уравнение эйконала в локальных лучевых координатах
Путем подстановки (1.3) в (1.1) с принятием во внимание (1.12) уравнение эйконала в
локальных лучевых координатах принимает вид:
(
1
n
1+
ρ(s)
( ) ( )
2
)
2
2
∂φ
∂φ
+
=ε ( s ,n ) (1.13)
∂s
∂n
Для исследования уравнения эйконала в окрестности луча диэлектрическую
проницаемость среды ε(s,n) разложим в ряд Тейлора:
1
2
ε ( s , n )=ε 0 ( s ) +ε 1 ( s ) n+ ε 2 ( s ) n +…
2
(1.14)
где εi(s), i=1, 2, 3 выражаются через дифференциалы:
ε 0 ( s )=ε ( s ,0 ) (1.15)
ε 1 ( s )=
|
∂
ε ( s ,n ) (1.16)
∂n
n=0
ε 2 ( s )=
|
2
∂
ε ( s , n ) (1.17)
∂ n2
n=0
Подстановка (1.14) в (1.13) дает следующий вид уравнения эйконала:
( ) (
2
∂φ
n
+ 1+
∂s
ρ(s)
)( ) (
2
2
∂φ
n
= 1+
∂n
ρ(s)
) [ ε ( s )+ε ( s ) n+ 12 ε ( s ) n +…](1.18)
2
2
0
1
2
Разложение в ряд Тейлора эйконала �(s,n) в окрестности луча имеет вид:
1
2
φ ( s , n )=φ0 ( s )+φ 1 ( s ) n+ φ2 ( s ) n +…
2
5
(1.19)
φ 0 ( s ) =φ ( s ,0 )
φ 1 ( s )=
φ 2 ( s )=
(1.20)
|
∂
φ ( s , n ) =0
∂n
n=0
(1.21)
|
2
∂
φ ( s , n)
∂ n2
n=0
(1.22)
Равенство функции �1(s) нулю будет видно из рассмотрения правой части уравнения
(1.18). После раскрытия скобок и группировки слагаемых по степеням переменной n
правая часть выражается рядом:
(
1+
n
ρ ( s)
)[
[
¿ ε 0 +n 2
2
](
2
)[
]
1
n n
1
2
2
ε 0 ( s ) +ε 1 ( s ) n+ ε 2 ( s ) n +… = 1+2 + 2 ε 0 +ε 1 n+ ε 2 n +… =¿
2
ρ ρ
2
] [
]
ε0
ε ε
2 ε
+ε 1 +n 2 +2 1 + 02 +…(1.23)
ρ
2
ρ ρ
Сумма при первой степени переменной n следует переписать в виде:
2
|
[
]
ε0 ∂
2 ε'
+
ε ( s ,n ) =ε 0 + n =0(1.24)
ρ ∂n
ρ ε0
n=0
Последнее выражение в квадратных скобках есть эффективная кривизна луча, которая для
любого луча обращается в ноль (луч является “прямой” в пространстве с переменной
метрикой, задаваемом данным ε(s,n)). Таким образом, в правой части уравнения (1.18)
исключается слагаемое с первой степенью переменной n:
( ) (
2
2
∂φ
n n
+ 1+2 + 2
∂s
ρ ρ
)( )
[
]
2
ε ε
∂φ
2 ε
=ε 0 +n 2 +2 1 + 02 +…(1.25)
∂n
2
ρ ρ
Если учесть разложение (1.19), то (1.25) будет уметь вид:
(
) (
[
)
]
2
2
2
ε ε
1
n n
2
2 ε
φ ' 0 ( s ) +φ ' 1 ( s ) n+ φ ' 2 ( s ) n +… + 1+2 + 2 ( φ 1 ( s ) +φ2 ( s ) n+… ) =¿ ε 0+n 2 +2 1 + 02 +… (1.26)
2
ρ ρ
2
ρ ρ
После раскрытия скобок и группировки слагаемых по степеням переменной n (1.26)
принимает вид:
[
] [
2
]
[
]
φ
ε
ε ε
2
4
φ +φ +n 2 φ φ + φ12 +2 φ1 φ2 +n2 φ'12 +φ '0 φ'2 +φ2 2+ φ 1 φ 2+ 12 +…=¿ ε 0 +n2 2 +2 1 + 02 +…(1.27)
ρ
ρ
2
ρ ρ
ρ
'2
0
2
1
'
0
'
1
В левой части уравнения (1.27) выражение при первой степени параметра nдолжно быть
равным нулю по причине отсутствия данного слагаемого в правой части:
2 2
'
'
2 φ0 ( s ) φ1 ( s ) + φ 1 ( s )+2 φ1 ( s ) φ2 ( s )=0(1.28)
ρ
φ 1 ( s )=0(1.29)
Равенство (1.29) следует как из решения уравнения (1.28), так и из соображения, что
эйконал �(s,n) направлен вдоль луча, т.е. по орте s, и не имеет составляющей по
6
нормали, что приводит к выводу, что его производная по n будет равна нулю. Таким
образом, уравнение (1.27) сократится:
φ '02 ( s ) +n2 [ φ'0 ( s ) φ2 ( s ) +φ 22 ( s ) ] +…=ε 0 ( s ) +n2 ψ ( s )+…(1.30)
'
где
ψ ( s )=
ε2 ( s )
ε ( s) ε ( s)
+2 1 + 0 2 (1.31)
2
ρ
ρ
Полученное уравнение теперь имеет вид суммы ряда по степеням переменной n. Функция
�0(s) будет найдена из равенства функций при нулевой степени n:
'2
φ 0 ( s )=ε 0 ( s ) ( 1.32 )
s
√
φ 0 ( s ) =∫ ε 0 ( s ' ) d s ' (1.33)
0
Для получения функции �2(s) приравниваем выражения при квадратной степени
переменной n из уравнения (1.30):
'
'
2
φ 0 ( s ) φ2 ( s )+φ 2 ( s ) =ψ ( s ) ( 1.34 )
При условии выражения (1.33) уравнение (1.34) принимает вид уравнение Риккати для
функции �2(s):
√ ε0 ( s )
dφ 2 (s)
2
+φ 2 ( s )=ψ ( s ) (1.35)
ds
1.2.1 Предельный случай однородной среды
Если рассматривать предельный случай однородной среды (вакуум), то ε(s) = 1, радиус
кривизны �(s) будет равен бесконечности, так как все лучи будут прямыми, а,
следовательно, функция �(s) = 0. Таким образом, уравнение (1.35) примет вид
однородного уравнения Риккати:
dφ2 ( s )
+φ22 ( s )=0 ( 1.36 )
ds
Решение данного уравнения представлено ниже:
φ 2 (s)=
1
(1.37)
( s−s 0 )
где s0 является константой, с помощью которой задается вид распространяющейся волны.
Чтобы получить плоскую волну, следует s0 принять равной бесконечности, а, чтобы
получить центральное поле (цилиндрическую волну), s0 приравниваем нулю.
7
В итоге для функции �(s,n) в частном случае имеет место следующее разложение:
2
1
n
2
φ ( s , n )=φ0 (s)+ φ 2 ( s ) n +…=s+
+…(1.36)
2
2(s−s 0 )
где последняя сумма ряда в случае центрального поля ( s0 = 0) совпадает с суммой
разложения корня при условии, что s>>n:
2
n
2
2
φ ( s , n )=s+ +… ≈ √ s +n (1.37)
2s
Чтобы получить гауссов пучок, следует считать константу s0положительной мнимой
величиной
s 0=i|s 0|.(1.38)
Тогда в бесконечно малой области у источника (s=0) будет присутствовать поперечное
распределение поля в гауссовом пучке:
[
e ikφ|s=0 =exp ik
] [ ]
2
2
n
−k n
=exp
(1.39)
2|s 0|
2 (−i|s 0|)
При дальнейшем распространении гауссов пучок будет расплываться. Но начальная его
ширина lr будет выражаться из формулы:
2
k lr
=1(1.40)
2|s 0|
lr=
√
2|s0| →
k →∞ 0(1.41)
k
Выражение (1.41) показывает, что начальная ширина гауссова пучка в высокочастотном
поле будет стремиться к нулю при k → ∞ (высокочастотная асимптотика). Так же это
выражение говорит о том, что для гауссова пучка в данной задаче нужно строить решение
уравнения Риккати �2(s) с положительной мнимой частью. Для построения же гауссовых
пучков в других задачах с неоднородной средой важным моментом решения будет
являться правильный выбор константы s0, которую заранее предугадать в других условиях
задачи достаточно сложно, а в некоторых случаях неправильный выбор может привести
даже к серьезным осложнениям в решении. Правильный выбор константы s0 должен дать
в решении локализованную волну.
1.3 Главное уравнение переноса в локальных лучевых координатах
Главное уравнение переноса (1.2) с подстановкой (1.3), (1.4) и коэффициентов Ламе (1.12)
принимает вид:
8
2
((
1
n
1+
ρ
)
2
[( )
)
(( ) )
]
∂ A0 ∂ φ ∂ A0 ∂ φ
1
∂
1 ∂φ
∂
n ∂φ
+
+ A0
+
1+
=0
∂ s ∂ s ∂n ∂n
n ∂s
n ∂s ∂n
ρ ∂n
1+
1+
ρ
ρ
(1.42)
По выше найденному разложению �(s,n) будет рассмотрена амплитуда A0(s,n) в первом
приближении вблизи луча:
A 0 ( s , n )= A 00 ( s ) +… (1.43)
A 00 ( s ) = A 0 ( s , 0 ) (1.44)
1
2
φ ( s , n )=φ0 ( s )+ φ 2 ( s ) n +…(1.45)
2
Подстановка (1.43), (1.45) в уравнение (1.42) и выделение слагаемых с нулевой степенью
переменной n приводит к следующему выражению:
2
dφ0
d φ
2A
+ A 00 20 + A 00 φ2=0 ( 1.46 )
ds
ds
'
00
Функция�0точно известна из (1.33), что позволяет представить в (1.46) ее производные:
'
d A 00 1 ε 0 ( s )
2 √ε0 (s )
+
A + A φ =0(1.47)
ds 2 √ ε 0 ( s ) 00 00 2
Решение данного уравнения имеет вид:
A 00 ( s ) = 4
C1
√ε0 ( s)
exp
[
]
s
−1 φ2 ( s ) ds
(1.48)
∫
2 0 √ ε0 ( s )
где C1 = const.
Для случая однородной среды (вакуума) уравнение (1.48) примет вид
ε 0 ( s )=1, φ2 =
1
(1.49)
s−s 0
A 00 ( s ) =
C
(1.50)
√ s−s0
В итоге уравнение для гауссова пучка для поля высоких частот в рамках геометрической
оптики в локальных лучевых переменных имеет вид:
E ( s , n )= A 00 ( s ) e
[
] [
s
s
]
−1 φ2 ( s ) ds
ik
=¿ 4
exp
exp ik ∫ ε 0 ( s ' ) d s ' + φ2 ( s ) n2 +… (1.51)
∫
2 0 √ε0 (s )
2
0
√ε0( s)
ikφ ( s , n )
C1
√
В предельном случае однородной фоновой среды (вакуума) выражения (1.49), (1.50) в
(1.51) дают волну вида:
E ( s , n )=
[
2
]
C
ik n
exp iks+
+… (1.52)
2 ( s−s0 )
√ s−s0
9
Если принять s=0 в уравнении (1.52), то получим разложение цилиндрической волны в
малом угловом приближении:
E ( s , n )=
[
]
2
C
−ik n
exp
+… (1.53)
2 s0
√−s0
Принимая s0 = 0 и s=r – модуль радиуса вектора, получим асимптотику цилиндрической
волны:
E ( s , n )=
[
]
C
ik n2
exp ikr +
+… (1.54)
2r
√r
Для получения плоской волны примем s0 = ∞ и перенормируем константу C, чтобы
амплитуда волны не становилась нулем:
'
iks
E ( s , n )=C e (1.55)
Как было сказано выше, чтобы получить полный гауссов пучок с учетом амплитуды
необходимо добавить в уравнение волны (1.52) условие (1.38):
[
]
2
C
ik n
E ( s , n )=
exp iks+
+… (1.56)
2 ( s−i|s 0|)
√ s−i|s0|
[
[
E ( s , n )=
C √ s+i|s 0|
exp iks+
E ( s , n )=
C √ s+i|s 0|
exp
√s + s
2
2
0
√s + s
2
2
0
ik n2 (s+i|s 0|)
2 ( s + s0 )
2
−k n2|s 0|
2 ( s +s 0)
2
2
2
] [
]
+… (1.57)
exp iks+
2
]
ik n s
+… (1.58)
2
2
2 ( s +s 0 )
Таким образом, был получено уравнение гауссова пучка в локальных лучевых
переменных, у которого в амплитуде присутствует мнимая часть.
10
Глава 2. Гауссовы пучки в полных лучевых переменных
Здесь манипуляции, аналогичные предыдущим, совершаются в полных лучевых
переменных.
2.1 Полные лучевые переменные
Полными лучевыми переменными (t,�0) являются эйконал t вдоль выбранного луча и
угол �0, под которым данный луч вышел из источника (Рис.2.). Эйконал t представлен как
s
t =∫ √ ε ( s ) ds ( 2.1 )
0
z
t
�0
x
Рис. 2. Полные лучевые переменные.
Найдем для полных лучевых переменных коэффициенты Ламе ht(t,�0) и h�(t,�0). Для
первого коэффициента продифференцируем (2.1) по переменной s:
dt =√ ε ( t , θ0 ) ds ( 2.2 )
ds=
dt
=ht dt (2.3)
√ ε ( t ,θ0 )
Для второго коэффициента Ламе рассмотрим смещение луча по фронту при изменении
начального угла �0на малое приращение d�0:
dS θ =a ( t , θ0 ) d θ0 =hθ d θ0 (2.4)
0
0
где a(t,�0) есть расходимость лучей. Таким образом, получим коэффициенты Ламе:
ht ( t ,θ0 ) =
1
,hθ ( t , θ 0) =a ( t ,θ0 ) (2.5)
√ ε ( t ,θ0 )
0
2.2 Уравнение эйконала в полных лучевых переменных
Уравнение эйконала (1.1) в полных лучевых переменных с учетом (2.5)имеет вид
11
( )
( )
2
2
∂φ
1
∂φ
ε ( t ,θ0 )
+ 2
=ε ( t ,θ0 ) ( 2.6 )
∂t
∂θ
a ( t ,θ0 )
0
Как видно из (2.6) эйконал � не зависит от угла �0 (в правой части есть только член с
диэлектрической проницаемостью), а первая производная по t равна единице. Это
приводит к выводу, что эйконал 𝜑 на опорном луче принимает вид
φ ( t , θ 0) =φ ( t )=t(2.7)
что полностью согласовывается с эйконалом � в локальных лучевых переменных на
опорном луче (1.33). Рассмотри окрестность луча в полных лучевых переменных, для чего
применим разложение 𝜑(t, �0) в ряд Тейлора по переменной 𝜃, где опорный луч
исходит под углом �0:
1
2
φ ( t ,θ )=t + φ 2 ( t ) ( θ−θ0 ) +… ( 2.8 )
2
φ 2 ( t )=
|
2
φ 1 ( t )=
|
∂
φ ( t ,θ )
=0(2.9)
∂θ
θ=θ
0
∂
φ ( t , θ)
(2.10)
∂ θ2
θ=θ
0
Выражение (2.8) имеет сходную структуру с разложением эйконала в локальных лучевых
переменных (1.19), однако здесь кривизна фронта учтена уже в нулевом порядке.
Для работы с уравнением эйконала (2.6) распишем производные ряда (2.8) в полных
лучевых переменных:
∂ φ ( t ,θ )
1 '
2
=1+ φ2 ( t ) ( θ−θ 0) +…(2.11)
∂t
2
∂ φ ( t ,θ )
=φ2 ( t ) ( θ−θ0 ) +… (2.12)
∂θ
А так же для удобства возведем их в квадрат, так как именно эта степень понадобится в
дальнейшем:
(
)
2
∂ φ (t , θ)
2
=1+φ'2 ( t ) ( θ−θ0 ) +…(2.13)
∂t
(
)
2
∂ φ (t , θ)
2
=φ22 ( t ) ( θ−θ 0) +…(2.14)
∂θ
Диэлектрическую проницаемость среды ε(t,�) и расходимость лучей a(t,�) будем
рассматривать в первом приближении:
ε ( t , θ )=ε ( t ,θ0 ) +…=ε 0 ( t ) (2.15)
a ( t ,θ ) =a ( t ,θ 0 ) +…=a0 ( t ) (2.16)
Подставим (2.13), (2.14), (2.15), (2.16) в уравнение эйконала (2.6):
'
2
ε 0 ( t ) +ε 0 ( t ) φ 2 ( t ) ( θ−θ0 ) +
1 2
2
φ2 ( t ) ( θ−θ0 ) =ε 0 ( t ) (2.17)
a (t )
2
0
12
Перенесем все члены в левую часть. Останутся только слагаемые при второй степени
переменной (𝜃 - �0):
'
ε 0 ( t ) φ2 ( t ) +
1 2
φ2 ( t )=0(2.18)
a (t )
2
0
Решая однородное уравнение Риккати (2.18), получим функцию второй производной
𝜑(t,𝜃):
[
t
d t'
1
φ 2 ( t )= ∫
+
2 '
'
0 ε 0 ( t ) a0 ( t ) d
]
−1
.(2.19)
2.3 Главное уравнение переноса в полных лучевых переменных
Главное уравнение переноса (1.2) в полных лучевых переменных с коэффициентами Ламе
(2.5) принимает вид:
(
2 ε ( t ,θ )
[
)]
∂ A0 ∂ φ
1 ∂ A 0 ∂ φ A 0 √ ε ( t ,θ ) ∂
∂φ
∂
1
∂φ
+ 2
+
a ( t , θ) √ ε (t , θ)
+
=0(2.
∂ t ∂ t a ( t ,θ ) ∂ θ ∂ θ
∂t
∂ t ∂ θ a ( t , θ ) √ ε ( t ,θ ) ∂ θ
a ( t ,θ )
)
) (
(
Запишем амплитуду A0(t,�) в первом приближении:
A 0 ( t , θ )= A 0 ( t ,θ 0 ) +…= A 00 ( t ) (2.21)
Подставим в (2.20) дифференциалы (2.11), (2.12), диэлектрическую проницаемость среды
(2.15), расхождение лучей (2.16) и амплитуду (2.21):
(
2 ε0 ( t )
[
)
d A 00 ( t )
A 00 (t ) √ ε 0 ( t ) d
1 '
1 d A 00 ( t )
1 '
2
(1+ φ 2 ( t ) ( θ−θ0 ) )+ 2
φ2 ( t ) ( θ−θ0 ) +
a0 ( t ) √ ε 0 ( t ) (1+ φ 2 ( t ) ( θ
dt
2
dθ
a
(t)
dt
2
a0 ( t )
0
(
Раскрываем скобки и приводим слагаемые при нулевой степени переменной (𝜃 - �0):
2 ε 0 ( t ) A '00 ( t ) +
[
]
A 00 ( t ) √ ε 0 ( t ) d
φ2 ( t )
a0 ( t ) √ ε0 ( t ) )+
=0(2.23)
(
dt
a0 ( t )
a0 ( t ) √ ε0 ( t )
Из уравнения (2.23) найдем функцию A00(t,θ):
A '00 −( a0 ( t ) √ ε 0 ( t ) ) '
φ2 ( t )
=
− 2
(2.24)
A 00
2 a0 ( t ) ε 0 ( t )
2 a0 ( t ) √ ε 0 ( t )
A 00 ( t ) =
C
√a (t ) √ ε
0
0
(t )
[
t
exp −∫
0
φ2 ( t ' ) d t '
2 a0 ( t ) ε 0 ( t )
2
'
'
]
(2.25)
Принимая во внимание (2.25), (2.8) и (2.19), получим уравнение волны в полных лучевых
переменных в рамках геометрической оптики:
13
E ( t , θ )= A 00 ( t ) e ikφ ( t ,θ )=¿
C
√ a ( t ) √ ε (t )
0
[
t
exp −∫
0
0
φ2 ( t ' ) d t '
2 a ( t ) ε0 ( t )
2
0
'
'
]
[
exp ikt +
ik
2
φ 2 ( t ) ( θ−θ 0 ) +…
2
]
(2.26)
[
t
dt '
1
φ 2 ( t )= ∫
+
2
d
0 ε 0 ( t ' ) a0 ( t ' )
]
−1
(2.27)
2.3.1 Предельный случай однородной среды
Рассмотрим предельный случай уравнения волны в полных лучевых переменных в
однородной среде:
s
a0=r=s=∫ √ ε 0 ( s ) ds|ε=1 =t (2.29)
ε 0 ( t )=1(2.28)
0
Как видно из (2.29) расхождение лучей a0(t) станет эйконалом t вследствие того, что в
однородной среде модуль r радиуса вектора будет равен длине выпрямленной дуги s, а t
зависит от s по известному уравнению (2.1) при условии (2.28). Найдем для данного
предельного случая �2 из уравнения Риккати (2.18):
'
φ2 ( t )
2
2
φ (t)
=
−1
(2.30)
2
t
−1 1 1
= + (2.31)
φ2 ( t ) t d
Запись константы d в таком виде упростит выкладки. Таким образом, решение уравнения
(2.30) будет иметь вид:
φ 2 ( t )=
1
1 1
−
d t
=
dt
(2.32)
t −d
Найдем теперь амплитуду A00(t,θ)
(2.32), в (2.25):
A 00 ( t ) =
в уравнении волны (2.26), подставив (2.28), (2,29),
C
(2.33)
√ t −d
В итоге уравнение волны в предельном случае однородной среды примет вид:
14
E ( t , θ )=
[
]
C
ik dt
2
exp ikt +
( θ−θ0) +… (2.34)
2
t−d
√ t−d
В данном выражении константа d, как было разобрано с локальными
лучевыми переменными, играет важную роль для определения характера
волны. Чтобы получить цилиндрическую волну, примем d равной нулю (t = r):
E ( t , θ )=
C ikr
e (2.35)
√r
Чтобы получить уравнение гауссова пучка в предельном случае однородной среды в
полных лучевых переменных в рамках задачи геометрической оптики, следует считать
константу d чисто мнимой величиной:
d =i|d|(2.36)
Тогда уравнение (2.34) примет вид
t 2 +¿ d∨¿ 2 ( θ−θ0 )
2
−1 k|d|t
∙
¿
2
¿
2
2
2
t +¿ d∨¿ ( θ−θ 0 ) +…
2
2
d∨¿
(2.37)
¿
ik
ikt + ∙ ¿
2
¿
√ t 2 +¿ d∨¿2 exp ¿
C √ t +i|d|
C
ik i|d|t
2
E ( t , θ )=
exp ikt+ ∙
θ−θ0 ) +… =
(
¿
2 t−i|d|
√ t−i|d|
t∨
[
]
В соответствии с выражением (2.37) поле E ( t , θ ) представляет собой локализованный
пучок, который может существовать в однородной среде.
Это выражение показывает также, как генерировать такой пучок: для этого следует создать
на цилиндрической поверхности (окружности), отстоящей от точечного источника
(двумерная задача) на расстояние t0 в окрестности выделенного луча, распределение фазы
и амплитуды комплексной амплитуды гармонического поля следующего вида:
фаза поля -
[
2
1 t d
2
k t 0 + ∙ 20 2 ( θ−θ0 )
2 t 0 +d
]
15
амплитуда поля 2
t 20 +¿ d∨¿ 2 ( θ−θ0 )
−1 k |d|t 0
∙
¿
2
¿
¿
2
√ t 0 0+¿ d∨¿2 exp ¿
C √ t 0 +i|d|
¿
2
2.3.2 Общий случай неоднородной среды
Он описывается уравнениями (2.26, 2.27). При выборе константы в формуле (2.27) следует
пользоваться теми же соображениями, что использовались выше при анализе предельных
переходов к случаю однородной среды.
Следует отметить, что если поле лучей, формирующее полные лучевые переменные,
неособое, т.е. сечение лучевой трубки a0(t) нигде не обращается в ноль, структура
локализованного поля будет подобной структуре такого поля в однородной среде.
Отдельной непростой задачей является случай обращения в ноль сечения лучевой трубки
a0(t). Это случай касания выбранным лучом каустики. В этом случае функции становятся
сингулярными. Здесь, вообще говоря, теряется взаимно-однозначное соответствие
перехода, например, от декартовых координат к полным лучевым переменным.
Обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоящей работы. Ограничимся здесь лишь
явным аналитическим выражением, которое может быть построено для слоистонеоднородной среды. Здесь приводится соответствующие соотношения для
плоскослоистой среды.
Для двумерной плоскослоистой среды эйконал имеет вид [5]:
z
φ=αx+∫ √ ε 2 ( z ' ) −α 2 dz ' (2.38)
0
Введем угол � между направлением луча и осью 0z в любой точке опорного луча, тогда
дифференциальное уравнение луча имеет вид:
tan θ ( z )=
dx ∂ φ ∂ φ
α
=
/ =
(2.39)
dz ∂ x ∂ z √ ε ( z )−α 2
2
Пусть на уровне z = 0 имеется малый слой свободного пространства (ε(0) = 1). Тогда
начальный угол выхода луча из точечного �0 связан с α следующим образом:
tan θ 0=
α
=¿ α=sin θ0 (2.40)
√ 1−α 2
16
Проинтегрировав уравнение (2.39), получим переменную уравнения луча в интегральной
форме, т. е. x как функцию от z:
z
x=∫
0
α dz '
(2.41)
2
(
)
ε
z
'
−α
√2
Обозначим интеграл в (2.38) как
z
F ( z , α )=∫ √ ε 2 ( z ' ) −α 2 dz '
(2.42)
0
Тогда (2.41) есть
(2.43)
'
x=−F α ( z , α )
Найдем теперь поперечное сечение лучевой трубки как показано на рисунке ниже
d Sθ =dx cos θ ( z ) (2.44)
z
dS�
�
z
�
dx
�0
d𝜃0
x
Рис. 3. Сечение лучевой трубки в плоскослоистой среде.
Здесь dx
найдем, варьируя (2.42) по α при постоянном значении z:
''
dx=−F α ( z , α ) dα (2.45) ,
и окончательно найдем:
''
d Sθ =¿ F α ( z , α )∨cosθ ( z ) со s θ0 dθ 0
17
(2.46)
Отсюда, очевидно, коэффициент Ламе для переменной � на луче 𝜃=�0 есть -
(2.47)
''
a0 (t )=¿ F α ( z (t), α )∨cos θ ( z(t )) со sθ 0
Чтобы найти z(t), воспользуемся далее соотношением для cos�(z):
√ ε (t , θ )−cos θ
dz=
2
0
ε (t ,θ0 )
0
dt (2.48)
Отсюда переменная z cвязана с t следующим интегральным соотношением
√ ε (t ,θ ) −cos θ
z=∫
2
t
0
0
ε (t ,θ0 )
0
(2.49)
dt
которое должно использоваться в выражении (2.46) для коэффициента Ламе переменной t.
Следует указать, что коэффициент Ламе a0 (t ) в точке на луче, фиксированном углом
θ=θ0 , может обращаться в ноль в некоторой вещественной точке t k (если таковая
имеется). Она является корнем второй кратности системы уравнений, состоящей из
уравнения луча (2.43) и уравнения
|F ( z (t
''
α
Такая точка
tk
k
) ,sin θ 0)|=0 .
является точкой касания каустики лучом
(2.50)
θ=θ 0 .
Заключение
В работе строились локализованные высокочастотные поля с использований уравнения
эйконала и главного уравнения переноса. Их решения в окрестности выбранного луча
строились в виде рядов по переменной поперечной выбранному лучу в локальных и
полных лучевых переменных. Получены некоторые результаты, представляющиеся
физически разумными. Вместе с тем, их следует рассматривать как некоторый начальный
этап исследования. При продолжении этой работы, определенно и в первую очередь
следует установить, как далеко высшие члены рядов в соответствующих разложениях,
обозначенные здесь лишь многоточиями, не будут портить представленные здесь решения.
Также необходимо исследовать вопрос о поведении поля в окрестности касания
криволинейным лучом каустики, где поле может иметь особенность, а соотношение между
декартовыми координатами и полными лучевыми переменными перестает быть
однозначным.
18
Литература
1. В.М. Бабич, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.
Издательство «Наука». 1972.
2. M.M. Popov, A new method of computation of wave fields using Gaussian beams, Wave
motion, 4, pp. 85-97, 1982.
3. A.M. Tagirdzhanov and A.P. Kiselev, Complexified spherical waves and their sources. A
Review, OptikaiSpektroskopiya, 119, 2, 257-267, 2015.
4. A. Kiselev and A. Plachenov, Laplace-Gauss and Helmholtz-Gauss paraxial modes in
media with quadratic refraction index, Journ. of the Optical Society of America. A., 33,
4, 663-666, 2016.
5. N.N.Zernov, B.Lundborg. The Statistical Theory of Wave Propagation and HF
Propagation in the Ionosphere with Local Inhomogeneities. ISSN 0284-1703. 138 p.p.
Swedish Institute of Space Physics, Uppsala Division, Sweden, (printed in Kiruna, 1993)
19
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв