ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИК КВАДРАТУРА КРУГА

Дениченко Сергей

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИК КВАДРАТУРА КРУГА

В данном исследовании показана возможность построения круга, равновеликого по площади квадрату, то есть на первом этапе, показана попытка решения "кругатуры квадрата", что позволило выйти на возможность решения "квадратуры круга" с точностью на восемь знаков общепринятого числа Pi, и выразить длину окружности прямым отрезком. Статья апробирована на международной научной конференции, и опубликована в журнале Sworld.

Математика

Статьи

Вуз: Институт открытого образования

ID: 57fdc1b35f1be7660f27d536

UUID: b0fe7be0-7265-0134-1d87-525400003e20

Язык: Русский

Опубликовано: больше 7 лет назад

Просмотры: 62

44.66

Дениченко Сергей

Институт открытого образования

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 0 байт

Поделиться работой

SWorld – 17-26 December 2013 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/dec-2013 PERSPECTIVE INNO VATIO NS IN SCIENCE, EDUCATIO N, PRO DUCTIO N AND TRANSPO RT ‘2013 Физика и Математика – Математика УДК 514.115 Дениченко С.Н. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ КВАДРАТУРА КРУГА Независимый исследователь UDC 514.115 Denichenko S.N. STUDY OF THE POSSIBILITY OF SOLUTION OF THE TASK OF ANCIENT MATHEMATICS, SQUARING OF THE CIRCLE Independent researcher Аннотация. В данном исследовании показана возможность построение круга, равновеликого по площади квадрату, т. е. решена «кругатура квадрата», что дало возможность решить «квадратуру круга» с точностью на восемь знаков общепринятого числа π, и выразить длину окружности прямым отрезком. Ключевые слова: кругатура квадрата, квадратуру круга, число π. Abstract. In the decision of a task the opportunity of construction of a circle, equal on the area is shown a square, that is «the quadrature of a circle» that has enabled to solve «a quadrature of a circle» with accuracy on eight signs on standard number π is solved, and to express length of a circle a direct piece Key words: the quadrature of a circle, number π. Часть I Около круга произвольного радиуса OR (рис.1), опишем восьмиконечную звезду Q. Звезда Q в (рис.1) не присутствует, и образована квадрат ABCD. Формула для пояснения: правильную выделена, но графически из двух равных квадратов, один из которых

SQ = SABCD + 4SPCP. Рис.1. Равновеликость квадрата и шестерёнки Каждая сторона одного квадрата отсечёт от каждой прямоугольной вершины, другого квадрата по треугольнику, один из которых, треугольник PCP1, Отсюда: SQ = SABCD + 4SPCP1 Радиусом CR из каждой прямоугольной вершины фигуры Q опишем дуги на её стороны, а точки пересечения сторон и дуг соединим прямыми. В треугольнике PCP1 такой прямой будет KK1. Пересекаясь с диагональю квадрата, прямая KK1 образует точку R1.В фигуре Q каждый выступающий прямоугольный треугольник, равный треугольник PCP1 , будет делиться на две равновеликие фигуры, треугольник и трапецию, какими являются треугольник KCK1 и трапеция PKK1P1. Если удалить в фигуре Q все восемь одинаковых треугольников, один из которых треугольник KCK1, то получим фигуру T – «шестерёнку» с выступающими трапециями, по площади равной площади квадрата ABCD.Фигура T в (рис.1) не выделена, но графически присутствует. Выразим это через формулу: ST = SQ – 8SKCK1 = (SABCD + 4SPCP1) – 8× ½ SPCP1 =SABCD

Часть II Рис.2. Кругатура квадрата На (рис.2), который представляет фрагмент (рис.1), центр O соединим с точкой K. Получим треугольник OKR1, в нём проведём медиану ON. Радиусом OR1, проведём дугу, которая отсечёт от медианы ON отрезок MN, а от гипотенузы OK, отрезок LK. Приводим расчёт полученных отрезков: OR = 1 (произвольный радиус, принимаем за 1) OC = OR× √2 = 1 × 1,4142135… RC = OC – OR = 1,4142135… - 1 = 0,4142135… KK1 = RC × √2 = 0,4142135…× 1,4142135…= 0,5857863… RR1 = RC – (KK1/2) = 0,4142135…- 0,2928931…= 0,1213204… OR1 = OR + RR1 = 1 + 0,1213204…= 1,1213204… 1 𝑂𝐾 = �𝑂𝑅12 + 𝐾𝐾12 = �1,1213204 …2 + 0,2928931…2 = 1,1589416 … 2 LK = OK – OR1 = 1,1589416… - 1,1213204… = 0,0376212… 1 𝑂𝑁 = �𝑂𝑅12 + 𝐾𝐾12 = �1,12132042 + 0,14644652 = 1,130843… 4 MN = ON – OR1 = 1,130843… 1,1213204… = 0,0095226…

Радиус круга, равновеликого квадрату ABCD, примем условно за ORX. Находим его арифметическую величину из равенства площадей условного круга с радиусом ORX и квадрата ABCD: S= π × ORX2 = (2OR) 2; S= 3,1415926…× ORX2 = 4; ORX =1,1283791… (при S= 4). Условную точку RX расположим произвольно на отрезке КК1, и соединим её пунктирной прямой с центром O. Получим условный прямоугольный треугольник OR1RX. Арифметическую величину условного катета R1RX получим из решения: R1RX2 = ORX2 – OR12 =1,1283791…2 - 1,1213204…2 = 0,1260164…2 Эту же величину мы получим из пропорции составленную из величин отрезков, ранее полученных геометрически: 𝑅𝑋 = (𝑂𝑅 + 𝑀𝑁) − 𝐿𝐾 𝑅𝑅1 = 𝑂𝑅 + 𝑀𝑁 𝑅1 𝑅𝑋 (𝑂𝑅 + 𝑀𝑁)𝑅1 × 𝑅𝑅1 = 0,1260164… (𝑂𝑅 + 𝑀𝑁) − 𝐿𝐾 Арифметическую величину R1RX выразим отрезком. Для этого, отрезки MN и LK перенесём на диагональ OC радиусами ON и OK. Отрезок MN отложится от точки R1 до точки E, а отрезок LK от точки R1 до точки F. Отрезок OR положим на продолжение диагонали OC так, чтобы началом отрезка OR была точка E, точка O1. Из точки F построим перпендикуляр к OO1, а концом, на котором отложим величину отрезка RR1, от точки F до точки F1. Через точки O1 и F1 проведём прямую до пересечения с прямой KK1. Получим точку R2.Таким образом, условная величина R1RХ выразилась геометрическим отрезком R1R2. Полученную точку R2 соединим прямой, с центром O. Получим радиус OR2 круга равновеликого по S, квадрату ABCD: OR22 = OR12 + R1R22 =1,1213204…2+ 0,1260164…2= 1,1283791 … 2

Часть III Рис.3. Квадратура круга Примем квадрат равновеликий по площади кругу с радиусом OR за условный квадрат AXBXCXDX, и составим пропорцию: 1 𝑂𝑅 2 𝐴𝑋 𝐵𝑋 = 1 𝑂𝑅2 𝐴𝐵 2 Решим пропорцию, геометрически чтобы выразить условную величину ½ AXBX геометрическим отрезком, (рис. 3). Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую, на ось ординат. Точки M (OR2; ½ AB) и 0,дают луч, на котором абсциссой OR отразится новая точка M1,проекция которой на ось ординат, геометрически отразит ½ стороны искомого квадрата A1B1C1D1, равновеликого по площади, кругу с радиусом OR 1 𝑂𝑅 × 𝐴𝐵 1 2 𝐴1 𝐵1 = 2 𝑂𝑅2 1 1 𝐴1 𝐵1 = = 0,8862269 … 1,1283791 … 2 𝐴1 𝐵1 = 0,8862269… × 2 = 1,7724538…

Часть IV Рис.4. Длина окружности Нахождение стороны квадрата A1B1C1D1 даёт возможность выразить LOR – длину окружности, круга радиуса OR, отрезком. Составим пропорцию: 𝑂𝑅 1/4𝐿𝑂𝑅 = 𝑂𝑅2 𝐴1 𝐵1 Пропорцию решим через систему координат (рис.4). Левую часть пропорции, положим на ось абсцисс, правую, на ось ординат. Точки M (A1B1; OR2) и O дают луч, на котором ординатой OR образуется новая точка M1, проекция которой на ось абсцисс, геометрически отразит прямым отрезком ¼ LOR. 𝑂𝑅 × 𝐴1 𝐵1 1 𝐿 𝑂𝑅 = 𝑂𝑅2 4 1,7724538 … 1 𝐿 𝑂𝑅 = = 1,5707963 … 1,1283791. . 4 ½ LOR = 1,5707963…× 2 = 3,1415926… LOR = 1,5707963…× 4 = 6,2831852… В свою очередь, ¼ длины окружности круга, радиуса OR2, тоже выражена прямым отрезком A1B1, что видно на (рис.4), - точка М. Если расчёт задачи вести на большее количество знаков, то результат величины стороны квадрата будет равен 1,7724538968686925718887244115238… , площадь квадрата при этом 3,1415928165250138836954861078059… равна

Часть V Представленное решение, позволяет вывести формулы для π и √π. Для этого, необходимо, произвести расчет отрезков решение, в простых дробях. В результате вышеприведенного математических манипуляций, придём к следующим формулам: √π = � ⃓ 1423 − 1006 √2 577 − 408√2 99√2 − 140 �47 − 26√2 ⃓ + − × ⃓11 − 6√2 16 4 8 2 ⃓ 2÷⃓ + ⃓ 2 ⃓ 47 − 26√2 47 − 26√2 111 − 58√2 ⃓ � − 2 × � �7 − 4√2 × � � − 2 × � �7 − 4√2� + 2 × �� 8 8 8 ⎷ π = 4× × = = 1,77245389686869257188872441152538… 11 − 6√2 2÷� + 2 111 − 58√2 8 11 − 6√2 + � 2 111 − 58√2 8 ВЫВОД 1423 − 1006√2 577 − 408√2 99√2 − 140 �47 − 26√2 + − × 16 4 8 2 47 − 26√2 47 − 26√2 � − 2 × � �7 − 4√2 × � � − 2 × ��7 − 4√2� + 2 × �� 8 8 1423 − 1006√2 577 − 408√2 99√2 − 140 �47 − 26√2 + − × 16 4 8 2 47 − 26√2 47 − 26√2 � − 2 × � �7 − 4√2 × � � − 2 × � �7 − 4√2� + 2 × �� 8 8 = 3,1415928165250138836954861078045… Выбранный подход к решению задачи античной математики, позволил, кроме основной цели, решения «Квадратуры круга», выйти на решение «Кругатуры квадрата», «Выражение длины окружности прямым отрезком». Также, интересен факт, что длина окружности, круга 𝑂𝑅2, получилась равной периметру квадрата 𝐴1𝐵1 𝐶1𝐷1, произвольно, - без специальных на то построе- ний. Длина полученных при геометрических построениях отрезков, совпадает на восемь знаков с числом π. Геометрические построения, позволили вывести формулы для чисел √𝜋 и π. Формулы данных чисел конечны, а иррациональность чисел √𝜋 и π определяет число √2, на котором зиждется геометрическое построение Квадратуры круга.

Уместен вопрос: - «Автор утверждает, что данное решение позволяет решить «квадратуру круга» с точностью на восемь знаков общепринятого числа π, но в результате указано число, которое совпадает с числом Лудольфа, на семь знаков?» Автор отвечает: - «Условием решения указывает найти сторону квадрата, равновеликого по площади произвольной окружности. А в этом случае результат, совпадает 1,7724538968686925718887244115238… на . восемь Много это, знаков: . или мало? Для наглядности, возьмем радиус равным 1 км. Тогда сторона найденного квадрата, будет составлять: 1км, 772м, 4дм, 5см, 3мм, 0,8мм, 0,09мм, против квадратного корня из числа Лудольфа: 1,7724538509055160272981674833411…, - 1км, 772м, 4дм, 5см, 3мм, 0,8мм, 0,05мм». Литература: 1. Дениченко С.Н., Дениченко Л.В. Исследование возможности решения задачи античной математики Квадратура круга от обратного. (c. 97 – 100). /Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов № 12 декабрь, 2011, — Курск: 2011,— 114 с. ISSN: 1991- 3087 2. Дениченко С.Н., Задача Квадратура круга. Два взгляда на проблему. (с.79 - 84) // SaarbrÜcken: «LAP LAMBTRT Academic Publishing», 2012. – 96 с. ISBN: 978 -3- 659 - 27696 – 5 Статья отправлена: 03.12.2013 г. © Дениченко С.Н.

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв