Модели инфляции

Маркова Наталья Александровна

Модели инфляции

Маркова Наталья Александровна. Модели инфляции. Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент В.В. Бухвалова. Направление: Математика и механика. Кафедра исследования операций. В бакалаврской работе рассмотрены теоретические и практические вопросы, возникающие при оценке инфляции. Актуальность темы обусловлена современной ситуацией на продуктовом рынке, когда в 2015-2016 гг. наблюдался значительный рост цен. В работе предложена схема оценки уровня инфляции на основе трёх моделей, соответствующих индексам цен Ласпейреса, Пааше и Фишера. Проанализированы достоинства и недостатки каждой из моделей. В практической части выбрана продуктовая корзина и проведена оценка уровня инфляции этой корзины за период с ноября 2014 г. по апрель 2016 г. по трём моделям. Полученные результаты сравнены с официальными данными об уровне инфляции. Рассмотрен вопрос об инвестировании в условиях инфляции. Приведён пример о взаимосвязи ключевой ставки РФ, процентной ставки по кредиту Сбербанка и уровня инфляции. В работе использовано 15 источников. Маркова Н.А., Модели инфляции: бакалаврская работа / Маркова Наталья Александровна. — СПб., 2016 — 49 с. — Библиогр.: с. 44–45.

Математика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36585f1be77c40d58d31

UUID: 246f6c32-07b0-473f-b0b8-85f26c9c816e

Язык: Русский

Опубликовано: больше 7 лет назад

Просмотры: 625

Маркова Наталья Александровна

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 2099383 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский государственный университет Прикладная математика и информатика Исследование операций и принятие решений в задачах оптимизации, управления и экономики Маркова Наталья Александровна Модели инфляции Бакалаврская работа Научный руководитель: к. ф.-м. н., доцент В. В. Бухвалова Рецензент: к. ф.-м. н., доцент Н. И. Наумова Санкт-Петербург 2016

Saint Petersburg State University Applied Mathematics and Computer Science Operation Research and Decision Making in Optimisation, Control and Economics Problems Markova Natalia Aleksandrovna Models of inflation Bachelor’s Thesis Scientific Supervisor: Associate Professor V. V. Buhvalova Reviewer: Associate Professor N. I. Naumova Saint Petersburg 2016

3 Оглавление Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глава 1. Инфляция: базовый подход к определению . . . . 7 1.1. Определение инфляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Потребительская корзина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Наполнение продуктовой корзины . . . . . . . . . . . . . . . 10 Глава 2. Модели инфляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Индекс Ласпейреса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1. Индекс Ласпейреса: пример . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Индекс Пааше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1. Индекс Пааше: пример . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Индекс Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1. Аксиоматический подход к определению индексов . 19 2.4. Уровень инфляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5. Анализ полученных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.1. Программа для вычисления индекса Ласпейреса . . 25 2.5.2. Инфляция выбранной продуктовой корзины . . . . . 27 2.6. Индексы Ласпейреса, Пааше и Фишера: выводы . . . . . . . 29 Глава 3. В. В. Новожилов об инфляции . . . . . . . . . . . . . 31 3.1. Уравнение обмена. Эмиссия и инфляция. . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. Новожилов об эмиссии . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Новожилов о последствиях инфляции . . . . . . . . . . . . . 33 Глава 4. Взаимосвязь инфляции и процентных ставок . . . 35 4.1. Номинальные и реальные процентные ставки . . . . . . . . 35 4.2. Процент по кредиту, ключевая ставка и инфляция . . . . . 40

4 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Приложение А. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Приложение Б. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Приложение В. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Введение Слово «инфляция» у многих на слуху. Особенно в те периоды, когда на привычный набор продуктов приходится тратить всё больше и больше денег. И если за несколько месяцев стоимость стандартной для человека продуктовой корзины возрастает почти в два раза, он невольно обратит внимание на заголовки в СМИ о растущем уровне инфляции. В 2015 – 2016 гг. в России наблюдался значительный рост цен на продук товом рынке. Этим обусловлена актуальность изучения вопросов, возника ющих при оценке инфляции. Цели данной работы — изучение моделей инфляции и применение тео рии на практике, а именно оценка уровня инфляции выбранной продукто вой корзины. Работа состоит из четырёх глав и трёх приложений. В главе 1 рассмотрено простейшее определение понятия инфляции, и описан состав выбранной в работе продуктовой корзины. В главе 2 приводятся три подхода к вычислению индекса цен: опре делены индекс Ласпейреса, индекс Пааше и индекс Фишера. Рассмотрено формульное выражение уровня инфляции через индекс цен. На основе рас смотренных моделей проведена оценка уровня инфляции выбранной про дуктовой корзины за период с ноября 2014 г. по апрель 2016 г. Проанализи рованы достоинства и недостатки каждой из моделей. Глава 3 посвящена идеям известного советского учёного В. В. Новожилова, изложенным в [6]. Затронуты вопросы, почему воз никает инфляция и каковы её последствия. В главе 4 рассмотрен вопрос об инвестировании в условиях инфляции. Приведена модель Фишера, связывающая номинальную и реальную про центные ставки. На реальном примере рассмотрена взаимосвязь инфляции, ключевой ставки и процентной ставки по кредиту.

6 Приложение А содержит информацию о собранных ценах для выбран ной продуктовой корзины. Приложение Б посвящено вычислению индекса Пааше. Приложение В служит теоретическим дополнением к пункту 2.3.1.

7 Глава 1 Инфляция: базовый подход к определению В этой главе рассмотрено простейшее определение понятия инфляции и приведены данные для основного числового примера, на котором в даль нейшем иллюстрируются различные подходы к оцениванию инфляции. 1.1. Определение инфляции Приведём, как определяется инфляция в школьном учебнике [4] — важ но понять, как вводится понятие в элементарных курсах, после чего его можно уточнять. Инфляция (от латинского inflatio — «вздутие») — процесс повышения общего уровня цен. При этом говорят о падении покупательной способ ности денег, когда на одну и ту же сумму денег можно купить меньше товаров и услуг, чем раньше. Приведём определение этого понятия из [2]: уровень инфляции — это уровень роста цен типичной потребительской корзины, который для на глядности принято выражать в процентах1 . Пусть зафиксирован набор то варов и услуг, тогда инфляция за период времени [𝑡1 , 𝑡2 ] вычисляется по формуле: 𝑖(𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝑃 (𝑡2 ) − 𝑃 (𝑡1 ) , 𝑃 (𝑡1 ) (1.1) где 𝑃 (𝑡1 ) — стоимость набора в начале периода, в момент времени 𝑡1 ; 𝑃 (𝑡2 ) — стоимость того же набора в конце рассматриваемого периода 𝑡2 . Определение уровня инфляции не было бы полностью корректным, ес ли бы в нём было опущено понятие потребительской корзины. 1 Процент (от лат. per cent — на сотню) — обозначение сотой части числа. Поэтому в формулах за 𝑖 обозначено 𝑖%, выраженное десятичной дробью. Например, условие 𝑖 = 5% в формулах интерпре тируется как 𝑖 = 0.05.

8 Потребительская корзина — некоторый зафиксированный набор това ров и услуг с заданными объемами. Нет смысла говорить об инфляции, не определив сначала, уровень цен чего мы измеряем. Поэтому именно опре деление уровня инфляции из [2] примем за базовое в изучении процесса инфляции. 1.2. Потребительская корзина Как было отмечено выше, чтобы рассмотреть изменение уровня цен, требуется зафиксировать некоторый набор товаров. Обратимся к офици альным данным, отраженным в [3]: «В 1992 году Институтом питания Академии медицинских наук совместно с Институтом социально-экономических про блем народонаселения РАН и Минтруда РФ были разработаны новые нормы потребления основных продуктов. Тогда же бы ло принято решение каждые пять лет заново утверждать методику определения прожиточного минимума и нормы по требления.» Набор из 25 основных продуктов питания, на основании которого рассчиты вался прожиточный минимум, был утвержден Министерством труда 10 но ября 1992 г. Этот набор представлен в таблице 1.1. Для наглядности в тре тьем столбце годовые нормы приведены в пересчёте на недельные.

9 Годовая норма Недельная норма потребления, кг. потребления Хлеб ржано-пшеничный 68.7 1.32 кг. Хлеб пшеничный 62.9 1.21 кг. Мука пшеничная 9.5 180 г. Рис 3.7 70 г. Пшено 9.8 190 г. Вермишель 5.2 100 г. Картофель 124.2 1.92 кг. Капуста 28.1 540 г. Морковь 37.5 720 г. Лук репчатый 28.4 550 г. Яблоки 19.4 370 г. Сахар 20.7 390 г. Говядина 8.4 160 г. Птица 17.5 340 г. Колбаса варёная 0.45 10 г. Колбаса полукопчёная 0.35 10 г. Рыба мороженая 11.7 230 г. Молоко 123.1 2.37 кг. Сметана 1.6 30 г. Масло животное 2.5 50 г. Масло растительное 6.4 120 г. Творог 9.9 190 г. Сыр 2.3 50 г. Яйца, шт. 151.4 2.91 шт. Маргарин 3.9 80 г. Продукты Таблица 1.1. Продуктовая корзина, разработанная Институтом питания РАМН в 1992 г.

10 1.3. Наполнение продуктовой корзины Приведём данные для основного примера2 — продуктовую корзину, ко торая была выбрана нами в качестве недельной закупки для одного челове ка. Анализ этой корзины будет выполняться с учетом цен в сети магазинов Prisma (Санкт-Петербург). Цены были собраны непосредственно в магазине и с помощью ежемесячных каталогов этой сети. Зафиксируем продуктовую корзину3 — таблица 1.2. Данные собраны за период с ноября 2014 г. по апрель 2016 г. В таблице 1.2 приведён фрагмент этих данных, в которых полностью отражен состав выбранной корзины. На рисунке 1.1 приведено сравнение по месяцам фактической стоимо сти выбранной выше продуктовой корзины и стоимости той же продук товой корзины, если бы для нее в действительности имел место уровень инфляции, объявляемый официально. 2200 Стоимость корзины фактически 2000 Стоимость корзины с учётом оф. инфляции Стоимость 1800 1600 1400 1200 1000 Время Рис. 1.1. Сравнение фактической стоимости корзины и расчётной с учётом официально объявляемой инфляции В пунктах 2.1.1 и 2.2.1 содержатся вычисления уровня инфляции для 2 Здесь и далее информация приводится за ноябрь 2014 г.— апрель 2016 г. 3 Полная таблица приведена в приложении А.

11 выбранной продуктовой корзины и сравнение результатов с официальными данными об инфляции. Цена, Р Наименование ноя.14 ... янв.15 ... май.15 ... ноя.15 ... мар.16 Хлеб, 2 шт. 52 58 64 80 94 Рис, 900 г. 65 76 79 97 109 Овсяные хлопья, 500 г. 44 44 48 51 55 Макаронные изделия, 500 г. 40 46 75 78 80 Сахар, 1 кг. 31 48 57 56 56 Масло растительное, 1 л. 67 79 84 127 134 Масло сливочное, 200 г. 70 85 88 116 120 Мясо (свинина), 300 кг. 66 69 69 66 66 Птица (курица), 500 кг. 67 77 70 100 90 Молоко, 2 л. 77 94 116 112 108 Сметана, 250 г. 31 Сыр, 200 г. 100 Яйца, 10 шт. 57 62 78 75 79 Картофель, 3 кг. 90 99 117 70 134 Репчатый лук, 1 кг. 28 30 57 20 26 Капуста, 1 кг. 17 47 79 20 80 Огурцы, 1 кг. 75 174 148 133 166 Помидоры, 1 кг. 60 200 140 110 160 Яблоки, 1 кг. 43 70 81 70 90 Бананы, 1 кг. 80 86 70 74 80 Зелень, 100 г. 30 30 30 30 53 Шоколад, 90 г. 62 67 74 74 78 ИТОГО 1252 ... ... 34 114 1689 ... ... 38 114 1776 ... ... 33 120 1712 Таблица 1.2. Выбранная в работе продуктовая корзина ... ... 40 123 2021

12 Глава 2 Модели инфляции Базовым для данной главы является понятие индекса цен. Индекс цен — показатель, характеризующий изменение цен во време ни. Это относительная величина. Существует несколько подходов к вычис лению индекса цен. В данной главе рассмотрены: – индекс Ласпейреса1 ; – индекс Пааше2 ; – индекс Фишера3 . В пункте 2.6 представлено формульное выражение уровня инфляции через индекс цен. Изложение теории главы базируется на материале из [7], а приведённые примеры являются оригинальными. 2.1. Индекс Ласпейреса Индекс Ласпейреса учитывает только изменение цен во времени, а ко личество товаров остается фиксированным. ∙ Фиксируется корзина, состоящая из 𝑛 товаров: {𝑃𝑗 (𝑡), 𝑄𝑗 }𝑛𝑗=1 , где 𝑃𝑗 (𝑡) — цена товара 𝑗 в момент времени 𝑡, 𝑄𝑗 : = 𝑄𝑗 (𝑡1 ) — объём това ра 𝑗 (постоянен и всегда соответствует количествам начала периода); 1 Эрнст Луи Этьен Ласпейрес (1834 – 1913) — немецкий экономист и статистик. Индекс предло жен в 1864 г. 2 Герман Пааше (1851 – 1925) — немецкий экономист, статистик и политик. Индекс предложен в 3 Ирвинг Фишер (1867 – 1947) — американский экономист. Индекс предложен в 1922 г. 1874 г.

13 ∙ Выбирается период [𝑡1 , 𝑡2 ]. Стоимость рыночной корзины на начало периода в момент 𝑡1 равна: 𝑛 ∑︁ 𝑃𝑗 (𝑡1 )𝑄𝑗 ; 𝑗=1 ∙ 𝑃𝑗 (𝑡2 ) — цена 𝑗-го товара в конце выбранного периода. Объем товаров остался прежним — 𝑄𝑗 . Стоимость рыночной корзины в конце перио да равна: 𝑛 ∑︁ 𝑃𝑗 (𝑡2 )𝑄𝑗 ; 𝑗=1 ∙ Формула для индекса Ласпейреса имеет вид: 𝑛 ∑︀ 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑃𝑗 (𝑡2 )𝑄𝑗 . (2.1) 𝑃𝑗 (𝑡1 )𝑄𝑗 𝑗=1 Индекс Ласпейреса показывает, во сколько раз изменилась стоимость рыночной корзины за период времени [𝑡1 , 𝑡2 ]. Замечание 1. Формула (2.1) определена при любых 𝑡1 , 𝑡2 > 0. В частно сти, при 𝑡1 = 𝑡2 получаем 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 1. Замечание 2. Уровень инфляции 𝑖(𝑡1 , 𝑡2 ), вычисляемый по формуле (1.1), и индекс Ласпейреса 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) связаны формулой: 𝑖(𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) − 1 . (2.2) Соответственно, далее для уровня инфляции 𝑖(𝑡1 , 𝑡2 ), полученного по моде ли Ласпейреса, будем использовать обозначение 𝑖𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ).

14 Замечание 3. Имеет место рекуррентное соотношение: 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡𝑛 ) = 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) × 𝐼𝐿 (𝑡2 , 𝑡3 ) × . . . × 𝐼𝐿 (𝑡𝑛−1 , 𝑡𝑛 ) . (2.3) Доказательство: Действительно, учитывая, что 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡1 ) = 1, пред ставим 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡𝑛 ) в виде: 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡𝑛 ) = 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡3 ) 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡4 ) 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡𝑛 ) × × × ... × . 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡1 ) 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡3 ) 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡𝑛−1 ) При этом 𝑛 ∑︀ 𝑃𝑗 (𝑡𝑘 )𝑄𝑗 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡𝑘 ) 𝑗=1 = ∑︀ = 𝐼𝐿 (𝑡𝑘−1 , 𝑡𝑘 ), 𝑘 ∈ 2 : 𝑛 . 𝑛 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡𝑘−1 ) 𝑃𝑗 (𝑡𝑘−1 )𝑄𝑗 𝑗=1 2.1.1. Индекс Ласпейреса: пример Рассмотрим продуктовую корзину из пункта 1.3. Оценим уровень ин фляции данной корзины. Сначала используем простейшее определение — формулу (1.1), после вычислим индекс Ласпейреса (2.1) (результаты долж ны оказаться связанными формулой (2.2)). Далее приведены вычисления для трёх месяцев: ноябрь 2014, январь 2015, май 2015 (именно в этот период наблюдался значительный рост цен). Начальным моментом 𝑡1 будет ноябрь 2014. Если за период взять 2 месяца, то исходную информацию можно представить следующим образом: 1 252р. 1 689р. ноя.14 янв.15 1 776р. - 𝑡1 𝑡2 мар.15 𝑡3 Воспользуемся формулой (1.1). май.15 𝑡4 𝑡

15 ∙ ноябрь 2014 – январь 2015 𝑃 (𝑡1 ) = 1 252 ⇒ 𝑃 (𝑡2 ) − 𝑃 (𝑡1 ) = 0.3490 = 34.9%; 𝑃 (𝑡1 ) ⇒ 𝑃 (𝑡4 ) − 𝑃 (𝑡2 ) = 0.0515 = 5.15%; (𝑡2 ) ⇒ 𝑃 (𝑡4 ) − 𝑃 (𝑡1 ) = 0.4185 = 41.85%. (𝑡1 ) 𝑃 (𝑡2 ) = 1 689 ∙ январь 2015 – май 2015 𝑃 (𝑡2 ) = 1 689 𝑃 (𝑡4 ) = 1 776 ∙ ноябрь 2014 – май 2015 𝑃 (𝑡1 ) = 1 252 𝑃 (𝑡4 ) = 1 776 Таким образом, по базовой формуле (1.1) получили: ноя.14-янв.15 янв.15-май.15 ноя.14-май.15 Уровень инфляции, % 34.9 5.15 41.85 Теперь те же данные оценим по формуле (2.3). ∙ ноябрь 2014 – январь 2015 𝐼(𝑡1 , 𝑡2 ) = 1689 = 1.3490; 1252 ∙ январь 2015 – май 2015 𝐼(𝑡2 , 𝑡4 ) = 1776 = 1.0515. 1689 Индекс Ласпейреса для выбранного периода равен: 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡4 ) = 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) × 𝐼𝐿 (𝑡2 , 𝑡3 ) × 𝐼𝐿 (𝑡3 , 𝑡4 ) = = 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) × 𝐼𝐿 (𝑡2 , 𝑡4 ) = 1.349 × 1.0515 = 1.4185 В введенных в замечании 2 обозначениях, 𝑖𝐿 (𝑡1 , 𝑡4 ) = 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡4 ) − 1 = 1.4185 − 1 = 0.4185 = 41.85%. Таким образом, результаты вычислений по формуле (1.1) и для модели Ласпейреса совпадают.

16 2.2. Индекс Пааше Аналогично индексу Ласпейреса измеряется изменение цен во време ни, но теперь с учетом того, что может меняться не только цена кон кретного товара в корзине, но и его количество. Обозначения оставляем прежними. ∙ Фиксируется корзина, состоящая из 𝑛 товаров: {𝑃𝑗 (𝑡), 𝑄𝑗 (𝑡)}𝑛𝑗=1 , где 𝑃𝑗 (𝑡) — цена товара 𝑗 в момент времени 𝑡, 𝑄𝑗 (𝑡) — его объём (может изменяться со временем). ∙ Выбирается период [𝑡1 , 𝑡2 ]. Стоимость рыночной корзины в конце пе риода в момент 𝑡2 равна: 𝑛 ∑︁ 𝑃𝑗 (𝑡2 )𝑄𝑗 (𝑡2 ); 𝑗=1 ∙ Стоимость такой же по составу корзины в начальный момент вре мени 𝑡1 равна: 𝑛 ∑︁ 𝑃𝑗 (𝑡1 )𝑄𝑗 (𝑡2 ); 𝑗=1 ∙ Формула для индекса Пааше имеет вид: 𝑛 ∑︀ 𝐼𝑃 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑃𝑗 (𝑡2 )𝑄𝑗 (𝑡2 ) (2.4) 𝑃𝑗 (𝑡1 )𝑄𝑗 (𝑡2 ) 𝑗=1 Как индекс Пааше, например, рассчитывается дефлятор ВВП4 (дефлятор — по определению и есть индекс Пааше для рыночной корзи ны ВВП). Принято говорить, что в знаменателе индекса Пааше находится 4 Валовой Внутренний Продукт — суммарная конечная рыночная стоимость всех товаров и услуг во всех отраслях экономики, произведенных на территории государства для конечного потреб ления, без учета промежуточных продуктов, в течение определенного периода времени, как правило, за год [12].

17 реальная величина, измеряемая в ценах начала периода. Например, появ ляется термин реальный ВВП. В числителе же находится номинальная ве личина (номинальный ВВП ), вычисленная в ценах конца периода. Формула для уровня инфляции 𝑖𝑃 через индекс Пааше 𝐼𝑃 будет приве дена в пункте 2.4. 2.2.1. Индекс Пааше: пример Рассмотрим продуктовую корзину из пункта 1.3. Вычислим индекс Па аше (2.4) для данной корзины за период c октября 2015 г. по январь 2016 г. Преобразуем данные. Взвешивание цен при вычислении индекса Пааше происходит по объёмам потребления конца периода. В рассматриваемом примере это январь 2016 г. Поэтому добавим информацию о количестве за купаемой продукции в январе. Предположим, что в сравнении с октябрём, возросло потребление мяса, и снизилось количество фруктов и овощей в корзине. В отдельные столбцы выделим цены товаров за единицу продук ции (в большинстве случаев — за килограмм). Результат представлен в таб лице 2.1. Стоимость рыночной корзины из таблицы 2.1 в январе равна: 𝑛 ∑︁ 𝑃𝑗 (1)𝑄𝑗 (1) = 1 987 . 𝑗=1 Стоимость такой же по составу рыночной корзины в октябре равна: 𝑛 ∑︁ 𝑃𝑗 (0)𝑄𝑗 (1) = 1 719. 𝑗=1 Находим индекс Пааше: 𝑛 ∑︀ 𝐼𝑃 (0, 1) = 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑗=1 𝑃𝑗 (1)𝑄𝑗 (1) = 1.16 𝑃𝑗 (0)𝑄𝑗 (1)

18 Кол-во Наименование Единицы Кол-во Цена за купленного Цена за купленного ед. товара за неделю ед. товара за неделю в октябре, товара в январе, товара 𝑃𝑗 (0), Р в октябре, 𝑃𝑗 (1), Р в январе, 𝑄𝑗 (0) 𝑄𝑗 (1) Хлеб 1 шт. 400 г. 36 1 47 3 Рис 1 уп. 900 г. 97 1 109 2 Овсяные хлопья 1 уп. 500 г. 48 1 55 1 Макаронные изделия 1 уп. 500 г. 78 1 80 1 Сахар 1 кг. 56 1 56 1 Масло растительное 1 л. 118 1 134 1 Масло сливочное 200 г. 114 1 120 1 Мясо (свинина) 1 кг. 230 0.3 193 0.4 Птица (курица) 1 кг. 200 0.5 220 0.6 Молоко 1 л. 56 2 56 2 Сметана 250 г. 33 1 32 1 Сыр 200 г. 120 1 123 1 Яйца 10 шт. 60 1 79 1 Картофель 1 кг. 22 4 36 3 Репчатый лук 1 кг. 20 1 26 0.7 Капуста 1 кг. 20 1 60 0.7 Огурцы 1 кг. 96 0.7 159 0.5 Помидоры 1 кг. 73 1 135 0.3 Яблоки 1 кг. 50 1.5 70 1 Бананы 1 кг. 74 1 76 1 Зелень 100 г. 30 1 45 1 1 шт. 90 г. 74 1 74 2 Шоколад Таблица 2.1. Пример: индекс Пааше окт. 2015 – янв. 2016

19 2.3. Индекс Фишера Заметим, что определённые выше индексы Ласпейреса и Пааше не удо влетворяют свойству обратимости во времени. Если поменять местами данные по ценам и объёмам товаров для конца и начала периода, то ин декс цен не будет равен величине, обратной исходному индексу. 𝑛 ∑︀ 𝐼𝐿 (𝑡2 , 𝑡1 ) = 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑛 ∑︀ 𝑃𝑗 (𝑡1 )𝑄𝑗 (𝑡2 ) ̸= 𝑃𝑗 (𝑡2 )𝑄𝑗 (𝑡2 ) 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝐼𝑃 (𝑡2 , 𝑡1 ) = 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑃𝑗 (𝑡1 )𝑄𝑗 (𝑡1 ) = 1 ; 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 1 . 𝐼𝑃 (𝑡1 , 𝑡2 ) 𝑃𝑗 (𝑡2 )𝑄𝑗 (𝑡1 ) 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑃𝑗 (𝑡1 )𝑄𝑗 (𝑡1 ) ̸= 𝑃𝑗 (𝑡2 )𝑄𝑗 (𝑡1 ) 𝑗=1 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑃𝑗 (𝑡1 )𝑄𝑗 (𝑡2 ) 𝑃𝑗 (𝑡2 )𝑄𝑗 (𝑡2 ) 𝑗=1 Можно определить индекс, усредняющий индексы Ласпейреса и Пааше и при этом удовлетворяющий свойству обратимости во времени. Индекс Фишера определяется формулой: 𝐼𝐹 (𝑡1 , 𝑡2 ) = √︀ 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 )𝐼𝑃 (𝑡1 , 𝑡2 ). (2.5) При этом выполняется: 𝐼𝐹 (𝑡2 , 𝑡1 ) = 1 . 𝐼𝐹 (𝑡1 , 𝑡2 ) 2.3.1. Аксиоматический подход к определению индексов Выше отдельно было рассмотрено свойство обратимости индекса цен. Но можно предложить сразу некоторый набор критериев – аксиом, выпол нения которых кажется логичным потребовать от индексов цен. В совокуп ности к концу XX века было предложено 20 таких критериев для индексов. Приведём некоторые из них5 : 5 Полный перечень аксиом приводится в приложении В

20 К1: положительность — индекс цен и составляющие его векторы цен и количеств должны быть положительными. К3: критерий тождественности — если цена в начале периода для каждого продукта совпадает с ценой в конце периода, то индекс цен должен быть равен единице, независимо от векторов количеств. К5: пропорциональность — если все цены конца периода 𝑡2 умножить на положительное число 𝜆, то новый индекс цен будет равен произведению 𝜆 на прежний индекс цен. К10: соизмеримость — индекс цен не меняется при изменении единиц, в которых измеряются продукты. К11: обратимость во времени — если поменять местами все данные для двух периодов, то результирующий индекс цен должен быть равен величине, обратной исходному индексу цен. К16: критерий граничных значений Пааше и Ласпейреса — индекс цен находится в интервале между индексами Ласпейреса и Пааше. К17: монотонность по ценам конца периода — при повышении любой цены конца периода 𝑡2 индекс цен также должен увеличиться. Несмотря на логичность приведённых критериев, не любой в реально сти применяемый индекс удовлетворяет сразу всем аксиомам. Более того, в [5] доказывается, что существует единственный индекс, отвечающий всем 20 аксиомам и это индекс Фишера. В связи с этим, индекс Фише ра также часто называют идеальным индексом. Интересно отметить, что некоторые из приведённых 20 критериев были сформулированы значитель но позже того, как Фишер предложил свой индекс. Отметим также, что индексы цен Ласпейреса и Пааше не удовлетворяют всего трём аксиомам K11 – K13.

21 2.4. Уровень инфляции Целью данного пункта является формульное выражение уровня инфля ции через определённые выше индексы цен. Для удобства, введём обозначение: 𝐼(𝑡) = 𝐼(0, 𝑡). Определим уровень инфляции за период [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡]: 𝑖(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) = 𝐼(𝑡 + Δ𝑡) − 𝐼(𝑡) . 𝐼(𝑡) (2.6) Уровень инфляции показывает, на сколько процентов изменился индекс цен за период Δ𝑡. Данное определение уровня инфляции согласуется с введёнными ра нее. Действительно, как и в пункте 1.1, уровень инфляции по данному определению показывает уровень роста цен. Кроме того, в пункте 2.1 уже отмечалась связь уровня инфляции 𝑖𝐿 и индекса Ласпейреса 𝐼𝐿 как 𝑖𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝐼𝐿 (𝑡1 , 𝑡2 ) − 1. Покажем, что эта же связь имеет место и сейчас. Утверждение 1. Если индекс цен 𝐼(𝑡) в определении (2.6) является индексом Ласпейреса 𝐼𝐿 (𝑡), то 𝑖𝐿 (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) = 𝐼𝐿 (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) − 1. Доказательство: По формуле (2.6): 𝑖𝐿 (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) = 𝐼𝐿 (𝑡 + Δ𝑡) − 𝐼𝐿 (𝑡) 𝐼𝐿 (𝑡) = 𝐼𝐿 (0, 𝑡 + Δ𝑡) − 1 𝐼𝐿 (0, 𝑡) =

22 𝑛 ∑︀ = 𝑃𝑗 (𝑡 + Δ𝑡)𝑄𝑗 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑛 ∑︀ 𝑗=1 𝑃𝑗 (0)𝑄𝑗 𝑗=1 × ∑︀ 𝑛 𝑛 ∑︀ 𝑃𝑗 (0)𝑄𝑗 −1= 𝑃𝑗 (𝑡)𝑄𝑗 𝑗=1 𝑃𝑗 (𝑡 + Δ𝑡)𝑄𝑗 𝑗=1 𝑛 ∑︀ −1= 𝑃𝑗 (𝑡)𝑄𝑗 𝑗=1 = 𝐼𝐿 (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) − 1. В общем случае равенство, аналогичное утверждению 1, имеет место для интервала времени [0, 𝑡]: Утверждение 2. 𝑖(0, 𝑡) = 𝐼(𝑡) − 1. Доказательство: Заметим, что 𝐼(0) = 𝐼(0, 0) = 1. Тогда по определению (2.6): 𝑖(0, 𝑡) = 𝐼(𝑡) − 𝐼(0) = 𝐼(𝑡) − 1. 𝐼(0) Определим мгновенный уровень инфляции 𝜈(𝑡): ⃒ 𝑑(𝑖(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡)) ⃒⃒ 𝜈(𝑡) = ⃒ 𝑑(Δ𝑡) Δ𝑡=0 При достаточно малом Δ𝑡 по свойству производной выполняется: 𝑖(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) ∼ 𝜈(𝑡)Δ𝑡. Введём обозначения: 𝑛 ∑︀ 𝐾(𝑡) = 𝑃𝑗 (𝑡)𝑄𝑗 (𝑡), 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝐾0 (𝑡) = 𝑗=1 𝑃𝑗 (0)𝑄𝑗 (𝑡). (2.7)

23 Т. е. 𝐼(𝑡) = 𝐾(𝑡) . 𝐾0 (𝑡) Лемма. При достаточно малом Δ𝑡 выполняется: 𝑖(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) ∼ 𝐾 ′ (𝑡)𝐾0 (𝑡) − 𝐾0′ (𝑡)𝐾(𝑡) × Δ𝑡. 𝐾0 (𝑡)𝐾(𝑡) Доказательство: )︂ (︂ 𝐾(𝑡) 𝐾0 (𝑡) 𝐾(𝑡 + Δ𝑡) − × = 𝑖(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) = 𝐾0 (𝑡 + Δ𝑡) 𝐾0 (𝑡) 𝐾(𝑡) 𝐾(𝑡 + Δ𝑡)𝐾0 (𝑡) − 𝐾0 (𝑡 + Δ𝑡)𝐾(𝑡) 𝐾 ′ (𝑡)𝐾0 (𝑡) − 𝐾0′ (𝑡)𝐾(𝑡) = ∼ ∼ 𝐾0 (𝑡 + Δ𝑡)𝐾(𝑡) 𝐾0 (𝑡)𝐾(𝑡) + 𝐾0′ (𝑡)𝐾(𝑡)Δ𝑡 𝐾 ′ (𝑡)𝐾0 (𝑡) − 𝐾0′ (𝑡)𝐾(𝑡) ∼ × Δ𝑡, 𝐾0 (𝑡)𝐾(𝑡) где было учтено, что 𝐾(𝑡 + Δ𝑡) ∼ 𝐾(𝑡) + 𝐾 ′ (𝑡)Δ𝑡 и 𝐾0 (𝑡 + Δ𝑡) ∼ 𝐾0 (𝑡) + 𝐾0′ (𝑡)Δ𝑡. Утверждение 3. ⎛𝑡 ⎞ Z 𝐾(𝑡) 𝐼(𝑡) = = exp ⎝ 𝜈(𝑠)𝑑𝑠⎠ . 𝐾0 (𝑡) 0 Доказательство: Из формулы 2.7 и леммы следует: 𝐾 ′ (𝑡)𝐾0 (𝑡) − 𝐾0′ (𝑡)𝐾(𝑡) 𝜈(𝑡) = , 𝐾0 (𝑡)𝐾(𝑡) 𝐾 ′ (𝑡) 𝐾0′ (𝑡) 𝜈(𝑡) = − , 𝐾(𝑡) 𝐾0 (𝑡) 𝜈(𝑡) = 𝑑 𝑑 𝑙𝑛 𝐾(𝑡) − 𝑙𝑛 𝐾0 (𝑡), 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (2.8)

24 𝜈(𝑡) = 𝑑 𝐾(𝑡) 𝑙𝑛 . 𝑑𝑡 𝐾0 (𝑡) Интегрируя, получаем: Z𝑡 𝜈(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑙𝑛 𝐾(𝑡) 𝐾(0) − 𝑙𝑛 , 𝐾0 (𝑡) 𝐾0 (0) 0 ⎛𝑡 ⎞ Z 𝐾(𝑡) . 𝑒𝑥𝑝 ⎝ 𝜈(𝑠)𝑑𝑠⎠ = 𝑙𝑛 𝐾0 (𝑡) 0 Пусть зафиксирован интервал времени [0, 𝑡]. Согласно утверждению 2 и утверждению 3, получаем: ⎞ ⎛𝑡 Z 𝐼(𝑡) = 𝑖(0, 𝑡) + 1 = exp ⎝ 𝜈(𝑠)𝑑𝑠⎠ 0 На практике измерения уровня инфляции проводятся за конечные про межутки времени, в которых мгновенный уровень инфляции считается до статочно постоянным. Размер каждого промежутка зависит от уровня ин фляции: чем он выше, тем чаще нужно проводить измерения. Пусть исходный интервал времени [0, 𝑡] разбит на 𝑛 промежутков { [𝑡𝑘−1 , 𝑡𝑘 ] | 𝑘 ∈ 1 : 𝑛, 𝑡0 = 0, 𝑡𝑛 = 𝑡}, в каждом из которых мгновенный уровень инфляции 𝜈𝑘 можно считать постоянным. Тогда: ⎛𝑡 ⎞ ⎛𝑡 ⎞ ⎛𝑡 ⎞ ⎛ 𝑡 ⎞ Z Z1 Z2 Z exp ⎝ 𝜈(𝑠)𝑑𝑠⎠ ≈ exp ⎝ 𝜈1 (𝑠)𝑑𝑠⎠ exp ⎝ 𝜈2 (𝑠)𝑑𝑠⎠ . . . exp ⎝ 𝜈𝑛 (𝑠)𝑑𝑠⎠ . 0 𝑡1 0 𝑡𝑛−1 Каждому промежутку соответствует дискретный уровень инфляции: ⎛ 𝑡 ⎞ Z𝑘 1 + 𝑖𝑘 = exp ⎝ 𝜈𝑘 (𝑠)𝑑𝑠⎠ . 𝑡𝑘−1 Следовательно, получаем: 𝐼(𝑡) = 𝑖(0, 𝑡) + 1 ≈ (𝑖1 + 1) × . . . × (𝑖𝑛 + 1). (2.9)

25 Пример Обратимся к официально объявляемым данным по уровню инфляции [10], которые содержат уровень инфляции по месяцам и «суммарный» — за год. Рассмотрим информацию за январь – апрель 2016 г. : Янв. Фев. Мар. Апр. Янв.–Апр. 𝑖, % 0.96 0.63 0.46 0.40 2.47 Обозначим: 𝑖1 = 0.0096, 𝑖2 = 0.0063, 𝑖3 = 0.0046, 𝑖4 = 0.0040. Восполь зуемся формулой (2.9): 𝑖 + 1 ≈ (1 + 0.0096) × (1 + 0.0063) × (1 + 0.0046) × (1 + 0.0040) = 1.0247 𝑖 ≈ 0.0247 = 2.47%. Результат совпал с приведённым на сайте [10]. 2.5. Анализ полученных результатов В настоящем пункте проведена оценка уровня инфляции выбранной в пункте 1.3 продуктовой корзины. Анализ базируется на приведённой в те кущей главе теории. Для выбранной корзины вычислены индексы Ласпей реса, Пааше и Фишера и соответствующие им уровни инфляции по месяцам с ноября 2014 г. по апрель 2016 г. 2.5.1. Программа для вычисления индекса Ласпейреса Анализ собранных данных выполнен с помощью программы, написан ной на языке AWK. Язык AWK ориентирован на обработку текстовых дан ных, допускающих представление в виде однотипных записей, разделенных на поля. Преобразуем собранную в пункте 1.3 информацию. Транспониру ем таблицу из приложения А и добавим в начало таблицы дополнительный

26 столбец с номерами строк. Получившийся файл Basket представляет собой файл формата csv. Строка файла состоит из следующих полей: номер стро ки, месяц, поля 2 – 24 соответствуют выбранным продуктам, последнее 25-ое поле — общая стоимость корзины в текущем месяце. Приведём текст программы. Для наглядности строки пронумерованы. 1: BEGIN {FS = ";"; k=25; n=18} 2: {p[$1] = $k} 3: END {for (i = 1; i <= n-1; i++) {print (p[i+1]-p[i])/p[i]*100 "%"}} В шаблоне BEGIN заданы разделитель строк и две константы: 𝑘 = 25, отвечающая за номер столбца с итоговой стоимостью, и 𝑛 = 18, отвечаю щая за количество месяцев. Приведённая программа позволяет получить таблицу месячной инфляции за рассматриваемый интервал. Для запуска программы используется командный файл Windows: awk -f Prog1.awk Basket.csv > Rez1.txt Приведём ещё один вариант программы для оценки инфляции по моде ли Ласпейреса: 1: BEGIN {FS = ";"; t1 = "ноя.14"; t2 = "фев.16"; k=25; n=18} 2: ($2==t1) {p1 = $k} 3: ($2==t2) {p2 = $k} 4: END {print t1" - " t2 ": " (p2-p1)/p1*100 "%"} Данная программа позволяет задать интересующий интервал времени. Для этого нужно в шаблоне BEGIN зафиксировать соответствующие кон станты. Например, приведённая программа вычисляет уровень инфляции за период с ноября 2014 г. по февраль 2016 г.

27 2.5.2. Инфляция выбранной продуктовой корзины В таблице 2.2 результаты вычислений приведены в сравнении с соответ ствующим уровнем официально объявляемой инфляции [10]. Результаты по модели Ласпейреса были получены с помощью программы на языке AWK, описанной в пункте 2.5.1. Для моделей Пааше и Фишера вычисле ния проводились в Microsoft Excel. Выбранные объёмы товаров по месяцам для вычисления индекса Пааше приведены в приложении Б. График, ил люстрирующий полученные результаты, представлен на рисунке 2.1. 20% i_L i_P Оф. данные 15% i_F Инфляция 10% 5% 0% -5% -10% Время Рис. 2.1. Месячная инфляция выбранной продуктовой корзины

28 Период Оф. инфляция, % 𝑖𝐿 , % 𝑖𝑃 , % 𝑖𝐹 , % ноя.14 - дек.14 1.28 19.01 15.18 17.08 дек.14 - янв.15 2.62 13.36 6.28 9.76 янв.15 - фев.15 3.85 5.68 4.20 4.94 фев.15 - мар.15 2.22 0.95 2.79 1.86 мар.15 - апр.15 1.21 -0.67 1.81 0.57 апр.15 - май.15 0.46 -0.78 2.02 0.61 май.15 - июн.15 0.35 -7.04 -3.55 -5.31 июн.15 - июл.15 0.19 -3.63 -3.90 -3.80 июл.15 - авг.15 0.80 -3.83 -3.97 -3.87 авг.15 - сен.15 0.35 1.11 0.75 0.93 сен.15 - окт.15 0.57 2.13 1.95 2.04 окт.15 - ноя.15 0.74 8.35 7.36 7.83 ноя.15 - дек.15 0.75 5.14 5.12 5.16 дек.15 - янв.16 0.77 6.33 4.95 5.67 янв.16 - фев.16 0.96 4.49 1.60 3.04 фев.16 - мар.16 0.46 1.04 2.11 1.58 мар.16 - апр.16 0.40 -0.45 0.03 -0.21 ноя.14 - апр.16 19.22 61.42 53.00 57.15 Таблица 2.2. Месячная инфляция выбранной продуктовой корзины

29 2.6. Индексы Ласпейреса, Пааше и Фишера: выводы Основное ограничение модели Ласпейреса — объёмы товаров в корзине фиксированы. Именно из-за этой особенности данный индекс может ока заться необъективным (это касается и нашего примера). Это связано с тем, что в состав корзины могут входить, например, сезонные товары. Или та кие продукты, стоимость которых временно, но значительно, изменилась (такая ситуация возможна, например, из-за неурожая). Заметим, что и в нашей корзине есть сезонные товары. Зимой и вес ной сильно возрастают цены на фрукты и овощи. Необъективно судить о стоимости жизни в соответствие с индексом Ласпейреса такой рыноч ной корзины. В реальности количество овощей, которые человек покупает в магазине, сильно отличается осенью и зимой. Т. е. часто изменяется не только стоимость товаров в корзине, но и сама структура этой корзины: большинство людей заметно сокращает потребление некоторых продуктов в зависимости от времени года. Индекс Пааше позволяет учитывать изменения в структуре потреби тельской корзины и лучше, по сравнению с индексом Ласпейреса, отража ет реальную ситуацию. Но модель Пааше имеет и недостатки. Во-первых, качество товара со временем обычно растет. И, во-вторых, рынок товаров и услуг достаточно стремительно развивается. В начальный момент 𝑡1 может не оказаться некоторых товаров из конечного момента времени 𝑡2 . Таким образом, индекс цен Ласпейреса следует использовать, когда ры ночная корзина действительно неизменна. Индекс Пааше учитывает изме нения в объёмах товаров, но может оказаться неудобен в долгосрочном периоде. Индекс Фишера, определённый на основе индексов Ласпейреса и Пааше, является единственным индексом, удовлетворяющим набору из 20 крите риев – аксиом из пункта 2.3.1. Но при этом он менее нагляден, чем индексы

30 Ласпейреса и Пааше, экономический смысл которых сразу виден из опре деления.

31 Глава 3 В. В. Новожилов об инфляции Выше было рассмотрено, как проявляет себя инфляция. В этой главе рассмотрены вопросы: ∙ почему возникает инфляция; ∙ каковы последствия инфляции. В обоих вопросах обратимся к статье 1924 г. советского ученого В. В. Новожилова «Пределы инфляции» [6]. Идеи, изложенные в данной статье, остаются современными и являются полезными для понимания про цесса инфляции. Более того, изучая работы современных авторов, можно заметить, что базовые направления теоретических исследований за почти 100 лет не изменились. 3.1. Уравнение обмена. Эмиссия и инфляция. Понятие инфляции тесно связано с понятием количества денег. Её уро вень зависит от темпа роста денежной массы. Интуитивно это кажется понятным: если денег в стране стало больше, а количество товаров не ме нялось, то стоимость этих товаров увеличится. Более формально зависимость между уровнем цен и массой денег в обращении можно описать, если считать, что выполняется уравнение об мена1 : 𝑀𝑉 = 𝑃 𝑄 , (3.1) где 𝑀 — денежная масса, 𝑉 — скорость обращения денег, 𝑃 — уровень цен, 𝑄 — объём производства. 1 Обоснование формулы дал американский экономист Ирвинг Фишер в [8] в 1911 году.

32 Замечание Скорость обращения денег 𝑉 показывает, сколько раз в среднем денежная единица используется для покупки товаров и услуг. Тогда левая часть уравнения 𝑀 [ руб. ]×𝑉 [ раз. ] соответствует общей сумме денег, преходящей «из рук в руки» в обмен на товары и услуги. Правая часть уравнения, если рассматривать 𝑃 как вектор цен, а 𝑄 как вектор соответствующих объёмов, есть общая ценность обмениваемых товаров и услуг 𝑃 [ руб. ]×𝑄 [ кол-во ] = 𝑝1 𝑞1 × . . . × 𝑝𝑛 𝑞𝑛 . Проанализируем уравнение (3.1). Если скорость обращения денег 𝑉 и объем производства 𝑄 меняются значительно медленнее остальных пока зателей, то при увеличении денежной массы 𝑀 будет расти и уровень цен 𝑃 . Ниже мы вернёмся к вопросу, почему изменить количество денег 𝑀 значительно проще, чем объем товаров и услуг 𝑄. Таким образом, к инфляции приводит рост денежной массы, при по стоянстве или незначительном росте объема товаров и услуг. Как проис ходит увеличение величины M? Посредством эмиссии, представляющей собой выпуск в обращение новых денег. К неконтролируемой же инфляции приводит неконтролируемая эмиссия. А что, в свою очередь, приводит к неконтролируемой эмиссии? 3.1.1. Новожилов об эмиссии Свою статью «Пределы инфляции» Новожилов начинает с разделения эмиссии на две основные группы по цели выпуска денег: ∙ деньги выпускаются для выполнения платежей при нехватке государ ственного бюджета; ∙ безналичные деньги выпускаются в оборот, когда банки предоставля ют ссуды своим клиентам.

33 Избыточный выпуск денег приводит к инфляции. В первом случае речь идет о фискальной инфляции, во втором — о кредитной инфляции. Несмотря на то, что эмиссия строго регулируется денежной политикой государства, и о бесконтрольном выпуске денег речи не идет [15], задача четкого соотношения количества денег и количества товаров трудноразре шима. Но ещё больше её усложняет простота выпуска денег. Новожилов объясняет, почему эмиссии слишком просто стать неконтро лируемой. Чем производство денег отличается от производства какого-либо товара? Относительным отсутствием издержек. Ценность денег несравни ма с их стоимостью. Некий продукт производитель не сможет длитель ное время выпускать в убыток, когда издержки превысили доход. В случае с деньгами аналогичного момента перенасыщения может и не наступить. Выпуск денег не ограничен личным интересом эмитента так, как это про исходит с обыкновенным производством. 3.2. Новожилов о последствиях инфляции Новожилов строит схему последствий отдельно для двух вариантов: ∙ денежный поток направляется на непроизводительное потребление; ∙ денежный поток направляется на организацию производства. В первом случае расширяется потребление, но если инфляция неогра ничена, создается иллюзия неограниченности потребительских возмож ностей. «Когда напряжение эмиссии и темп обесценения денег дости гают сравнительно высокой степени, когда поэтому населе ние начинает ощущать обесценение денег как тяжелое бре мя, тогда возникает массовое стихийное стремление всех со кратить размеры своей кассы, ограничить ее минимальной

34 суммой денег. Все спешат скорее сбыть с рук падающие день ги. Каждый старается сблизить моменты получения денег и расходования их, нередко предпочитая совершенно отказаться от обмена, чем получить в обмен деньги, которые могут зале жаться долгое время. Деньги перестают быть орудием сохранения ценностей, эту функцию за них начинают выполнять некоторые товары» Функцию денег начинают выполнять некоторые товары, а значит, про исходит больше и больше сделок, целью которых является перепродажа товаров. Круг обмена сужается, поступление на рынок товаров от произ водителей уменьшается, производительные силы страны снижаются. Воз никает кризис недопроизводства. Во втором случае, когда денежный поток направлен на производство, возникает иллюзия избытка производственных ресурсов. Этот вариант ха рактернее для кредитной инфляции, т.к. кредитная инфляция понижает ссудный процент, что в свою очередь способствует росту возможных пред приятий. Происходит перепроизводство, затрудняется сбыт и предприяти ям начинает нехватать прибыли для расплаты за сырье. Это приводит к гибели слабых предприятий, а для сильных предприятий падение прибыли служит толчком к техническим улучшениям. Подводя итоги, каков ответ на вопрос, всегда ли инфляция является отрицательным явлением? Нужно ли бороться с инфляцией? Опасна ин фляция неконтролируемая. Продолжительная неограниченная инфляция приводит к краху, к глубокому кризису либо недопроизводства, либо пере производства. Но иначе обстоит дело с умеренной инфляцией. Умеренное расширение потребления стимулирует рост производства, здоровую конку ренцию на рынке. Слишком быстрая инфляция «затаптывает» экономику, контролируемая инфляция заставляет искать новые пути развития, прово цируя рост экономики.

35 Глава 4 Взаимосвязь инфляции и процентных ставок Как уже отмечалось выше, в условиях инфляции финансовые показате ли раздваиваются на реальные и номинальные. В частности, появляются номинальная и реальная процентные ставки. В данной главе рассматри вается влияние инфляции на доходность при инвестировании, приводится модель Фишера, связывающая номинальную и реальную процентные став ки. Изложение теории базируется на материале из [1], [2] и [7]. 4.1. Номинальные и реальные процентные ставки Пример 1 (Инвестирование в условиях инфляции) Предположим, что мы инвестируем 10 000 р., помещая их на банков ский вклад под 10% годовых. Через год банк возвращает нам 11 000 р. Номинальная доходность составляет 10%. Рассмотрим ту же ситуацию с другой стороны. Пусть в начале рассматриваемого периода цена некоторо го продукта составляла 1 000 р. за единицу товара, т. е. на 10 000 р. мы могли приобрести 10 ед. товара. Пусть через год цена на тот же продукт составляет 1 100 р. Получив 11 000 р. в банке мы сможем приобрести по прежнему 10 ед. товара. Таким образом, реальная доходность составляет 0%. Под какой номинальный процент следовало бы разместить деньги, чтобы получить более высокую реальную доходность? Пример 2 (Долг в условиях инфляции) Пусть некоторый банк выдал кредит 100 000 р. на один год, желая полу чить реальную доходность 5%. Какую процентную ставку номинально он должен указать, если ожидаемый уровень инфляции за рассматриваемый год составляет 10%?

36 Оба приведённых примера в общем случае описываются одной матема тической моделью. Обозначим: 𝑆0 — сумма, составляющая долг за некоторый фиксированный период времени. В примере 1 такую сумму «берёт в долг» банк у инвестора. 𝑟0 — реальный процент, под который была выдана сумма 𝑆0 . Это та предполагаемая реальная доходность, которую расчитывает получить ин вестор из примера 1 или банк из примера 2. 𝑖 — процент инфляции за выбранный период. Найдём сумму возврата на конец периода. Без учета инфляции эта сум ма равна 𝑆0 + 𝑟0 𝑆0 . Теперь учтем инфляцию. Из-за инфляции возвращаемая сумма обесце нивается, поэтому прибавляем компенсацию за понизившуюся покупатель ную способность суммы 𝑆0 +𝑟0 𝑆0 . Возвращаемая сумма с учётом инфляции равна: 𝑆0 + 𝑟0 𝑆0 + 𝑖(𝑆0 + 𝑟0 𝑆0 ). Преобразуем это выражение и получаем, что номинальная сумма возврата равняется: 𝑆𝑛𝑜𝑚 = 𝑆0 (1 + 𝑟0 )(1 + 𝑖) . ⏟ ⏞ номин-й коэф-т роста Следовательно, номинальная процентная ставка (номинальная доход ность) равна: 𝑟𝑛𝑜𝑚 = (1 + 𝑟0 )(1 + 𝑖) − 1. Или 1 + 𝑟𝑛𝑜𝑚 = (1 + 𝑟0 )(1 + 𝑖). Последнее равенство называют эффектом Фишера. Используя это вы ражение, можно вычислить реальный коэффициент роста 1 + 𝑟0 , зная но

37 минальную процентную ставку 𝑟 и процент инфляции 𝑖: 1 + 𝑟0 = 1 + 𝑟𝑛𝑜𝑚 . 1+𝑖 Пример 2 (продолжение) В введённых обозначениях условие примера выглядит следующим об разом: 𝑆0 = 100 000, 𝑟0 = 5%, 𝑖 = 10%. Номинальный процент, который нужно указать, равен: 𝑟𝑛𝑜𝑚 = (1 + 𝑟0 )(1 + 𝑖) − 1 = 1.05 × 1.10 − 1 = 0.155 = 15.5%. Такой процент обеспечит банку реальную доходность в 5% при усло вии, что уровень инфляции за год действительно составит 10%. Тогда возвращаемая сумма равна: 𝑆𝑛𝑜𝑚 = 𝑆0 (1 + 𝑟0 )(1 + 𝑖) = 100 000 × 1.155 = 115 500. Номинальные величины устанавливаются заранее. Реальные величи ны — это ожидаемые величины, т. к. их оценки зависят от точности про гноза об ожидаемой инфляции. Фактическое значение реальных величин становится известным только в конце периода. Модель Фишера лишь пред лагает построение номинального процента на основе прогноза об ожидае мой инфляции. Пример 3 (Долгосрочное инвестирование в условиях инфляции) Рассмотрим пример долгосрочного инвестирования. Если сумма 𝑆 ин вестируется на 𝑛 лет под 𝑟% годовых, то реальная выручка через 𝑛 лет при условии 𝑖% инфляции в год составит: 𝑆(1 + 𝑟)𝑛 𝑆 = (1 + 𝑖)𝑛 *

38 Смоделируем этот пример в динамической программе GeoGebra, позво ляющей строить интерактивные математические модели. Изменяемыми па раметрами будут 𝑆, 𝑛, 𝑟, 𝑖. Им соответствуют четыре ползунка в верхней части экрана. На рисунках 4.1 – 4.4 приведено несколько фрагментов ра бочей области программы при разных параметрах. На 4.4 показано, что доходность может быть и отрицательной, если уровень инфляции 𝑖 превос ходит процентную ставку 𝑟.

39 Рис. 4.1. 𝑆 = 30 000, 𝑛 = 5, Рис. 4.2. 𝑆 = 30 000, 𝑛 = 5, 𝑟 = 15%, 𝑖 = 0% 𝑟 = 15%, 𝑖 = 4% Рис. 4.3. 𝑆 = 30 000, 𝑛 = 5, Рис. 4.4. 𝑆 = 30 000, 𝑛 = 5, 𝑟 = 15%, 𝑖 = 8% 𝑟 = 7%, 𝑖 = 15%

40 4.2. Процент по кредиту, ключевая ставка и инфляция За период с февраля 2014 г. по февраль 2016 г. была собрана информа ция по значениям: ∙ процентной ставки по потребительскому кредиту без обеспечения в Сбербанке1 [13]; ∙ ключевой ставки [11]. Ключевая ставка — это минимальная про центная ставка, по которой Центральный банк России предоставляет краткосрочные кредиты коммерческим банкам; ∙ уровня инфляции [10]. Собранная информация представлена графиками на рисунке 4.5. 30,0% 25,0% Процент 20,0% Сбербанк 15,0% Ключевая ставка 10,0% Оф.инфляция 5,0% фев.14 мар.14 апр.14 май.14 июн.14 июл.14 авг.14 сен.14 окт.14 ноя.14 дек.14 янв.15 фев.15 мар.15 апр.15 май.15 июн.15 июл.15 авг.15 сен.15 окт.15 ноя.15 дек.15 янв.16 фев.16 0,0% Время Рис. 4.5. Сравнение графиков изменения процентной ставки по потребительскому кре диту в Сбербанке, ключевой ставки и официально объявляемой инфляции Полученные данные можно интерпретировать по-разному, выдвигая разные гипотезы о взаимосвязи уровня инфляции и рассматриваемых про центных ставок. 1 Рассматривалась минимальная ставка по данному кредиту — это ставка, при которой сумма кредита составляет от 45 000 р. до 1 500 000 р., и кредит берётся на срок от 3 месяцев до 2 лет.

41 Пик уровня инфляции, ключевой ставки и процентной ставки Сбербан ка совпадает и приходится на январь 2015 г. Ключевая ставка — это ставка, по которой ЦБ РФ кредитует остальные банки. Повышение ключевой став ки приводит к повышению коммерческими банками процентных ставок по кредитам. Спрос на кредиты снижается, следовательно количество безна личных денег в обороте снижается, т. е. денежная масса уменьшается. Приведённый пример можно рассматривать как иллюстрацию идеи о влиянии эмиссии на инфляцию, которая была приведены в главе 3. Подня тие ключевой ставки — это один из способов борьбы со слишком быстрой ин фляцией, т.к. при этом снижается эмиссия безналичных денег. Эту гипоте зу можно проиллюстрировать цитатой из статьи А. Фернандо и Р. Лукаса2 [9]: A consensus has emerged about the conduct of monetary policy... The central elements of this consensus are that the instrument of monetary policy ought to be the short term interest rate, that policy should be focused on the control of inflation, and that inflation can be reduced by increasing short term interest rates.3 Другая интерпретация может быть следующей. Повышение ключевой ставки снижает доступность рублёвых ресурсов. И, как следствие, делает менее выгодным перевод кредитных средств в иностранную валюту. Таким образом, повышение ключевой ставки направлено на сдерживание деваль вации рубля. Обратной стороной является то, что это тормозит и развитие экономики, т. к. из-за высоких процентных ставок меньше предприятий го 2 Роберт Эмерсон Лукас, младший — американский экономист, лауреат Нобелевской премии 1995 г., президент Американской экономической ассоциации. 3 Возник консенсус о ведении денежно-кредитной политики... Центральным элементом этого консенсуса является то, что инструментом денежно-кредитной политики должна быть краткосрочная процентная ставка, что политика должна быть направлена на контроль над инфляцией, и что инфля ция может быть уменьшена за счет увеличения краткосрочных процентных ставок.

42 товы брать кредиты на развитие производства. Поэтому, повышение клю чевой ставки — временная мера, что согласуется с графиком 4.5.

43 Заключение Поставленные в начале работы цели достигнуты, а именно: ∙ Рассмотрены модели инфляции: с фиксированными в потребитель ской корзине объёмами товаров (соответствующая индексу Ласпей реса), с возможностью изменения объёмов товаров (соответствующая индексу Пааше ) и третья, усредняющая первые две, модель (соответ ствующая индексу Фишера). ∙ Выбрана продуктовая корзина, для которой собраны цены за период с ноября 2014 г. по апрель 2016 г. (Prisma, Санкт-Петербург) ∙ Проведена оценка инфляции выбранной продуктовой корзины на ос нове рассмотренной теории. Результаты сравнены с официально объ являемой инфляцией. ∙ Проанализированы достоинства и недостатки рассмотренных моде лей. ∙ Рассмотрен вопрос об инвестировании в условиях инфляции. ∙ На реальном примере рассмотрена взаимосвязь инфляции, процент ной ставки по кредиту и ключевой ставки.

44 Список литературы 1. Брейли Р., Майерс С, Франклин А., Принципы корпоративных фи нансов //Москва: Вильямс, — 2015 2. Бухвалов А. В., Бухвалова В. В. Финансовые вычисления для мене джеров //Факультет менеджмента СПбГУ.–СПб.: Издат. дом С.-Петерб. гос. ун-та — 2009. 3. Зауральский С. Бездонная корзина //Журнал «Итоги» за 17 марта 1998 г. 4. Липсиц И. В. Экономика. Базовый курс: Учебник для 10, 11 кл. — Москва: Вита-Пресс. — 2006. 5. МОТ/MВФ/OЭСР/Евростат/ЕЭК ООН/Всемирный банк Ру ководство по индексу потребительских цен: теория и практика //Ва шингтон: Международный Валютный Фонд — 2007. 6. Новожилов В. В. Пределы инфляции //Финансы и денежное обраще ние в современной России, — Ленинград: Петроград — 1924. сс. 83–121. 7. Решецкий В. И. Экономический анализ и расчет инвестиционных проектов. //Калининград: Янтарный сказ — 2001. 8. Фишер И. Покупательная сила денег //Москва: Дело — 2001. 9. Fernando A., Lucas R. Interest Rates and Inflation The American Economic Review, Vol.91, No.2, Papers and Proceedings of the Hundred Thirteenth Annual Meeting of the Economic Association — May, 2001, 219–225 10. Информационный сайт — www.уровень-инфляции.рф (дата обраще ния: 02.14 – 05.16) 11. Информационный сайт — http://www.banki.ru/wikibank/klyuchevaya_stavka/ (дата обращения: 02.14 – 05.16) 12. Информационный сайт — http://www.banki.ru/wikibank/valovyiy_vnutrenniy_ (дата обращения: 05.16)

45 13. Информационный сайт — http://www.sberbank.ru/ru/person (дата обра щения: 02.14 – 05.16) 14. Каталоги продуктов магазинов сети Prisma 15. О Центральном банке Российской Федерации (Банке России) //Феде ральный закон от 10.07.2002 № 86-ФЗ (ред. от 30.12.2015) (с изм. и доп., вступ. в силу с 09.02.2016)

ИТОГО Наименование Хлеб, 2 шт. Рис, 900г. Овсяные хлопья, 500г. Макаронные изделия, 500г. Сахар, 1кг. Масло растительное, 1л. Масло сливочное, 200г. Мясо(свинина), 300г. Птица(курица), 500г. Молоко, 2л. Сметана, 250г. Сыр, 200г. Яйца, 10шт. Картофель, 3кг. Репчатый лук, 1кг. Капуста, 1кг. Огурцы, 1кг. Помидоры, 1 кг. Яблоки, 1кг. Бананы,1кг. Зелень, 100г. Шоколад, 90г. 1252 1490 1689 1785 1802 1790 1776 1651 1591 1530 1547 1580 1712 1800 1914 2000 2021 2012 ноя.14 дек.14 янв.15 фев.15 мар.15 апр.15 май.15 июн.15 июл.15 авг.15 сен.15 окт.15 ноя.15 дек.15 янв.16 фев.16 мар.16 апр.16 52 56 58 58 60 60 64 64 64 64 72 72 80 80 94 94 94 99 65 70 76 76 79 79 79 79 85 85 85 97 97 97 109 109 109 109 44 44 44 44 44 48 48 48 48 48 48 48 51 51 55 55 55 55 40 45 46 69 69 69 75 75 75 75 78 78 78 78 80 80 80 80 31 40 48 52 52 52 57 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 67 70 79 81 83 83 84 94 114 114 118 118 127 127 134 134 134 134 70 81 85 85 88 88 88 97 97 114 114 114 116 116 120 120 120 120 66 69 69 69 69 69 69 75 81 69 69 69 66 63 58 66 66 66 67 67 77 70 70 70 70 71 71 77 83 100 100 100 110 110 90 90 77 90 94 114 116 116 116 112 112 112 112 112 112 110 112 112 108 108 31 34 34 34 35 38 38 38 38 38 33 33 33 32 32 31 40 48 100 109 114 114 114 114 114 114 117 117 120 120 120 120 123 123 123 123 57 60 62 74 68 70 78 78 78 70 60 60 75 75 79 79 79 79 90 99 99 120 120 117 117 117 100 75 66 66 70 99 107 119 134 134 28 28 30 46 70 65 57 30 23 20 20 20 20 24 26 26 26 26 17 31 47 60 79 79 79 38 25 19 19 20 20 40 60 80 80 60 75 114 174 179 179 179 148 108 90 80 90 96 133 150 159 169 166 166 60 130 200 187 160 140 140 100 60 50 60 73 110 125 135 160 160 160 43 70 70 70 70 80 81 80 80 70 70 50 70 70 70 70 90 90 80 86 86 86 80 70 70 70 70 70 70 74 74 76 76 80 80 78 30 30 30 30 30 30 30 33 33 33 30 30 30 37 45 53 53 53 62 67 67 67 67 74 74 74 74 74 74 74 74 74 74 74 78 78 46 Приложение А

1.15 15.18% i_P(t_k-1,t_k) 1528 1327 6.28% 1.22 1649 1347 ноя.14 дек.14 янв.15 Единицы P Q P Q P Q 1шт. 400г. 26 2 28 2 29 3 1уп. 900г. 65 1 70 2 76 2 1уп. 500г. 44 1 44 1 44 1 1уп. 500г. 40 1 45 1 46 1 1кг. 31 1 40 1 48 1 1л. 67 1 70 1 79 1 200г. 70 1 81 1 85 1 1кг. 220 0.3 230 0.3 230 0.4 1кг. 134 0.5 134 0.5 154 0.6 1л. 39 2 45 2 47 2 250г. 31 1 34 1 34 1 200г. 100 1 109 1 114 1 10шт. 57 1 60 1 62 1 1кг. 30 3 33 3 33 3 1кг. 28 1 28 1 30 0.7 1кг. 17 1 31 1 47 0.7 1кг. 75 1 114 0.7 174 0.5 1кг. 60 1 130 0.5 200 0.3 1кг. 43 1 70 1 70 1 1кг. 80 1 86 1 86 1 100г. 30 1 30 1 30 1 1шт. 90г. 62 1 67 2 67 2 I_P(t_1,t_k) числ знам(t_1,t_k) Наименование Хлеб Рис Овсяные хлопья Макаронные изделия Сахар Масло растительное Масло сливочное Мясо(свинина) Птица(курица) Молоко Сметана Сыр Яйца Картофель Репчатый лук Капуста Огурцы Помидоры Яблоки Бананы Зелень Шоколад 4.20% 1.28 1679 1316 фев.15 P Q 29 2 76 2 44 1 69 1 52 1 81 1 85 1 230 0.4 140 0.7 57 2 34 1 114 1 74 1 40 3 46 0.7 60 0.5 179 0.3 187 0.3 70 1 86 1 30 1 67 2 2.79% 1.31 1563 1192 мар.15 P Q 30 2 79 1 44 1 69 1 52 1 83 1 88 1 230 0.3 140 0.6 58 2 35 1 114 1 68 1 40 2 70 0.5 79 0.5 179 0.3 160 0.5 70 1 80 1 30 1 67 2 1.81% 1.33 1544 1156 апр.15 P Q 30 1 79 1 48 1 69 1 52 1 83 1 88 1 230 0.3 140 0.5 58 2 38 1 114 1 70 1 39 2 65 0.5 79 0.7 179 0.3 140 0.5 80 1 70 1 30 1 74 2 2.02% 1.36 1559 1145 май.15 P Q 32 1 79 1 48 1 75 1 57 1 84 1 88 1 230 0.3 140 0.5 58 2 38 1 114 1 78 1 39 3 57 0.7 79 0.7 148 0.5 140 0.5 81 1 70 1 30 1 74 1 -3.55% 1.31 1570 1195 июн.15 P Q 32 0.5 79 1 48 1 75 1 56 1 94 1 97 1 250 0.3 142 0.5 56 2 38 2 114 1 78 1 39 3 30 0.7 38 1 108 0.7 100 0.7 80 1 70 1 33 1 74 1 -3.90% 1.26 1476 1170 июл.15 P Q 32 0 85 1 48 1 75 1 56 1 114 1 97 1 270 0.2 142 0.5 56 1 38 1 117 1 78 1 33 3 23 1 25 1 90 1 60 1 80 1 70 1 33 2 74 1 -3.97% 1.21 1570 1295 авг.15 P Q 32 0 85 1 48 1 75 1 56 1 114 1 114 1 230 0.3 154 0.4 56 2 38 1 117 1 70 1 25 4 20 1 19 1 80 1.2 50 1.2 70 1.5 70 1 33 2 74 1 0.75% 1.22 1556 1275 сен.15 P Q 36 0.5 85 1 48 1 78 1 56 1 118 1 114 1 230 0.2 166 0.4 56 2 33 1 120 1 60 1 22 4 20 1 19 1.2 90 1 60 1.2 70 1.5 70 1 30 2 74 1 1.95% 1.24 1562 1255 окт.15 P Q 36 1 97 1 48 1 78 1 56 1 118 1 114 1 230 0.3 200 0.5 56 2 33 1 120 1 60 1 22 4 20 1 20 1 96 0.7 73 1 50 1.5 74 1 30 1 74 1 7.36% 1.34 1572 1177 ноя.15 P Q 40 1 97 1 51 1 78 1 56 1 127 1 116 1 220 0.3 200 0.5 56 2 33 1 120 1 75 1 23 4 20 1 20 1 133 0.5 110 0.7 70 1 74 0.7 30 1 74 1 5.12% 1.40 1864 1327 дек.15 P Q 40 2 97 2 51 1 78 1 56 1 127 1 116 1 210 0.3 200 0.5 55 2 32 1 120 1 75 1 33 3 24 1 40 1 150 0.7 125 0.5 70 1 76 1 37 1 74 2 4.95% 1.47 1987 1347 янв.16 P Q 47 3 109 2 55 1 80 1 56 1 134 1 120 1 193 0.4 220 0.6 56 2 32 1 123 1 79 1 36 3 26 0.7 60 0.7 159 0.5 135 0.3 70 1 76 1 45 1 74 2 1.60% 1.50 1972 1316 фев.16 P Q 47 2 109 2 55 1 80 1 56 1 134 1 120 1 220 0.4 220 0.7 56 2 31 1 123 1 79 1 40 3 26 0.7 80 0.5 169 0.3 160 0.3 70 1 80 1 53 1 74 2 2.11% 1.53 1824 1192 мар.16 P Q 47 2 109 1 55 1 80 1 56 1 134 1 120 1 220 0.3 180 0.6 54 2 40 1 123 1 79 1 45 2 26 0.5 80 0.5 166 0.3 160 0.5 90 1 80 1 53 1 78 2 0.03% 1.53 1769 1156 апр.16 P Q 50 1 109 1 55 1 80 1 56 1 134 1 120 1 220 0.3 180 0.5 54 2 48 1 123 1 79 1 45 2 26 0.5 60 0.7 166 0.3 160 0.5 90 1 78 1 53 1 78 2 47 Приложение Б

48 Приложение В 20 критериев-аксиом из [5] для индексов цен: К1: положительность — индекс цен и составляющие его векторы цен и количеств должны быть положительными. К2: непрерывность — индекс цен непрерывно зависит от цен и объёмов товаров начала и конца периода. К3: критерий тождественности — если цена в начале периода для каждого продукта совпадает с ценой в конце периода, то индекс цен должен быть равен единице, независимо от векторов количеств. К4: критерий фиксированной корзины — если объёмы продуктов нача ла периода совпадают с объёмами продуктов конца периода, то индекс цен должен быть равен отношению стоимости постоянной корзины в конце пе риода к стоимости той же корзины в начале периода. К5: пропорциональность — если все цены конца периода 𝑡2 умножить на положительное число 𝜆, то новый индекс цен будет равен произведению 𝜆 на прежний индекс цен. К6: обратная пропорциональность ценам начала периода — если все цены начала периода 𝑡1 умножить на положительное число 𝜆, то новый 1 индекс цен будет равен произведению на прежний индекс цен. 𝜆 К7: инвариантность к пропорциональным изменениям количеств конца периода — если все количества конца периода умножить на положи тельное число 𝜆, то индекс цен останется неизменным. К8: инвариантность к пропорциональным изменениям количеств на чала периода — если все количества начала периода умножить на положи тельное число 𝜆, то индекс цен останется неизменным. К9: инвариантность к изменениям порядка товаров — индекс цен дол жен быть инвариантен относительно перестановки продуктов в корзине. К10: соизмеримость — индекс цен не меняется при изменении единиц,

49 в которых измеряются продукты. К11: обратимость во времени — если поменять местами все данные для двух периодов, то результирующий индекс цен должен быть равен величине, обратной исходному индексу цен. К12: критерий обратимости количеств — если поменять местами век торы количеств начала и конца периода, то индекс цен останется неизмен ным. К13: критерий обратимости цен 1 К14: критерий среднего значения — индекс цен находится между ми нимальным и максимальным соотношениями цен. К15: критерий среднего значения для индекса количеств 2 К16: критерий граничных значений Пааше и Ласпейреса — индекс цен находится в интервале между индексами Ласпейреса и Пааше. К17: монотонность по ценам конца периода — при повышении любой цены конца периода 𝑡2 индекс цен также должен увеличиться. К18: монотонность по ценам начала периода — при повышении любой цены начала периода 𝑡1 индекс цен должен уменьшится. К19: монотонность по количествам конца периода 3 К20: монотонность по количествам начала периода 4 1 приведен в [5] в п.16.46 2 приведен в [5] в п.16.48 3 приведен в [5] в п.16.50 4 приведен в [5] в п.16.50

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв