Система обслуживания с недостоверным пополнением очереди

Брандуков Роман Рустемович

Система обслуживания с недостоверным пополнением очереди

В данной выпускной квалификационной работе рассматривается система массового обслуживания с недостоверным пополнением очереди, в которой заявки попадали в очередь с определенной вероятностью. Проведен анализ этой системы, исследован стационарный режим, выведены формулы предельных вероятностей. Найдены характеристики обслуживания системы. Также задача была расширена до случая, когда вероятность встать в очередь зависела от длины очереди. Новая система была аналогично исследована, и получены характеристики. Результаты были проверены на контрольном примере.

Общественные науки в целом

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36465f1be77c40d58b4c

UUID: f7c53f89-4bfa-4040-94f0-aafa290ca617

Язык: Русский

Опубликовано: больше 7 лет назад

Просмотры: 3

Брандуков Роман Рустемович

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 232801 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математической теории игр и статистических решений Брандуков Роман Рустемович Выпускная квалификационная работа бакалавра «Система обслуживания с недостоверным пополнением очереди» Направление 010400 Прикладная математика и информатика Научный руководитель, кандидат физ.-мат. наук, доцент, ст. преп. Домановская Е. Ф. Санкт-Петербург 2016

Оглавление Введение......................................................................................................... 3 Постановка задачи. ....................................................................................... 4 Обзор литературы. ........................................................................................ 5 Глава 1. Построение аналитической модели системы массового обслуживания с недостоверным пополнением очереди. .................................... 6 1.1. Граф переходов. ................................................................................. 6 1.2. Математическая модель функционирования системы................... 8 1.3. Стационарный режим. ..................................................................... 12 1.4. Обобщение задачи. .......................................................................... 16 Глава 2. Применение модели. .................................................................... 18 2.1. Характеристики СМО. ..................................................................... 18 2.2. Характеристики для обобщенной СМО. ....................................... 19 2.2. Пример. ............................................................................................. 20 Вывод............................................................................................................ 23 Заключение. ................................................................................................. 24 2

Введение. Современный человек тесно связан с различного рода системами массового обслуживания. Он ходит в магазин, пользуется транспортом, услугами банков и почты, обедает в кафе. Потому спустя сотню лет теория массового обслуживания не теряет своей актуальности и сегодня. Она лежит в основе проектирования и анализа промышленных предприятий, торговых, транспортных и энергетических систем. Система массового обслуживания описана, если заданы следующие элементы: • Входящий поток заявок на обслуживание. • Дисциплина очереди. Здесь различают систему с отказами и с ожиданием. Система с ожиданием – это система, заявки в которой встают в очередь, если все каналы заняты обслуживанием. • Обслуживающее устройство (канал) – элемент любой СМО, устройств может быть как одно, так и несколько. В зависимости от того, как организовать работу обслуживающего устройства, меняется длина очереди, время ожидания, время обслуживания. Функционирование системы массового обслуживания описывается некоторым случайным процессом, так как поступление заявок случайно. В данной работе рассматривается модификация классической схемы гибели и размножения, в которой входящая заявка по желанию может встать в очередь, а может покинуть систему. Такая модель является обобщением известной СМО с ожиданием [1]. Цель работы – проанализировать систему массового обслуживания, вывести необходимые рабочие формулы, определить характеристики системы. 3

Постановка задачи. Рассматривается n - канальная система массового обслуживания с входящим пуассоновским потоком с параметром λ , обслуживаются заявки экспоненциально с параметром µ . Когда все каналы заняты обслуживанием, новая входящая заявка встает в очередь с определенной вероятностью p или покидает систему. Задача: исследовать систему в общем и стационарных режимах, вычислить характеристики обслуживания. 4

Обзор литературы. Теория массового обслуживания (ТМО) возникла в связи с необходимостью решения прикладных задач выполнения последовательных однородных операций, случайных по длительности и времени начала. Агнер Краруп Эрланг первым осветил эту проблему, исследуя трафик в телекоммуникационных системах. Значительный вклад в теорию массового обслуживания внёс русский выдающийся математик Хинчин А.Я. [1], заложив основные идеи и методы приложения теории вероятности к вопросам массового обслуживания. Монография Гнеденко Б.В. и Коваленко И.Н. [2] поможет освоить теорию для создания прочного фундамента знаний для дальнейшего освоения. В учебнике Вентцель Е.С. «Теория вероятностей»[3] доступно и ясно излагаются элементы ТМО и теории вероятностей, описывается их приложение. Книга Дж. Кемени и Дж. Снелла «Конечные цепи Маркова» [4] и учебник Кремера Н.Ш.[5] содержат множество примеров. 5

Глава 1. Построение аналитической модели системы массового обслуживания с недостоверным пополнением очереди. 1.1. Граф переходов. Будем рассматривать n - канальную СМО, на вход заявки поступают простейшим потоком с параметром λ , время обслуживания показательное с параметром µ . Однако нужно учитывать, что наша система с недостоверным пополнением очереди, потому что заявка не обязательно может оказаться в очереди. В работе предполагается, что после того, как все n каналов будут загружены, следующие входящие заявки будут поступать в очередь с интенсивностью pλ , 0 ≤ p ≤ 1 . В начальный момент времени t0 = 0 система полностью свободна. Будем говорить, что она пребывает в состоянии S0 . Когда приходит первая заявка, она сразу встает на обслуживание, тогда система переходит в состояние S1 . Если система обслуживает сразу две заявки, то она находится в состоянии S2 . Таким образом, когда все n каналов будут заняты, система окажется в состоянии Sn , затем, с приходом новых заявок, образуется очередь, и состояния системы будут иметь номер, соответствующий количеству заявок на обслуживании плюс количество заявок в очереди. После обслуживания заявки система возвращается в предыдущее состояние. 6

λ S0 λ S1 μ ... λ Sk ... 2μ λ kμ ... λ Sn-1 ... (k+1)μ (n-1)μ рλ λ Sn nμ ... Sn+l ... nμ рλ рλ nμ ... ... nμ Рис. 1. Граф переходов. На рис. 1 показаны интенсивности смены состояний СМО, теперь можно составить систему дифференциальных уравнений, описывающую динамику процесса. 7

1.2. Математическая модель функционирования системы. Обозначим через Pk (t ) вероятность того, что система в момент t окажется в состоянии Sk . Пусть в момент t0 система находилась в состоянии Si . На дальнейшее течение обслуживания влияют три фактора: • Моменты окончания обслуживаний, производящихся в момент t0 , • Моменты появления новых заявок, • Длительность обслуживания заявок, поступивших после t0 . Обслуживание заявок имеет показательное распределение, а потому длительность оставшейся части обслуживания не зависит от того, как продолжалось обслуживание до момента t0 . Так как поток требований простейший, то моменты прихода заявок и количество заявок, поступивших после момента t0 , не зависит от прошлого. Длительность обслуживания заявок, поступивших после t0 , не зависит от того, как протекал работа системы до момента t0 . Из этого делается вывод, что состояние системы в будущем не зависит от ее состояния в прошлом и определяется только её настоящим. Такой процесс называется марковским. Марковский процесс называется процессом гибели и размножения, если из каждого состояния значима вероятность перехода за время ∆t только в соседнее состояние, вероятность имеет порядок ∆t [2]. Составим систему уравнений Колмогорова для рассматриваемой СМО. Обозначим через Pi (t + ∆t ) вероятность того, что в момент t + ∆t система окажется в i -м состоянии. 8

= Pi (t + ∆t ) (∆t ), _ i ∑ P (t ) P= k ki 0,1,... k t + ∆t ) P0 (t ) P00 (∆t ) + P1 (t ) P10 (∆t )  P0 (=  P (t += ∆t ) P0 (t ) P01 (∆t ) + P1 (t ) P11 (∆t ) + P2 (t ) P21 (∆t )  1 ...   Pk (t + ∆t ) = Pk −1 (t ) Pk −1,k (∆t ) + Pk (t ) Pkk (∆t ) + Pk +1 (t ) Pk +1,k (∆t ), __ k = 1, n − 1  (1.1) ... = P (t + ∆t ) Pn−2 (t ) Pn−2,n−1 (∆t ) + Pn−1 (t ) Pn−1,n−1 (∆t ) + Pn (t ) Pn ,n−1 (∆t )  n−1  P= Pn−1 (t ) Pn−1,n (∆t ) + Pn (t ) Pnn (∆t ) + Pn+1 (t ) Pn+1,n (∆t ) n (t + ∆t )  t + ∆t ) Pn (t ) Pn ,n+1 (∆t ) + Pn+1 (t ) Pn+1,n+1 (∆t ) + Pn+ 2 (t ) Pn+ 2,n+1 (∆t )  Pn+1 (= ...  Переходные вероятности Pij (∆t ) : Pk −1,k (∆t ) = λ∆t , ___________.k =1, n Pkk (∆t ) =1 − (λ + k µ )∆t , _____ k =0, n − 1 Pk +1,k (∆t ) = (k + 1) µ∆t , ______.k = 0, n − 1 Pn+l −1,n+l (∆t ) = pλ∆t , ________ l = 1,2,3,... (1.2) Pn+l ,n+l (∆t ) =1 − ( pλ + nµ )∆t , _ l =0,1,2,... Pn+l +1,n+l (∆t ) = nµ∆t , ________ l = 0,1, 2,... Подставив переходные вероятности (1.2) за ∆t в (1.1), получаем: 9

∆t ) P0 (t )(1 − λ∆t ) + P1 (t ) µ∆t + o(∆t )  P0 (t +=  P (t + = ∆t ) P0 (t )λ∆t + P1 (t )(1 − (λ + µ )∆t ) + P2 (t )2 µ∆t + o(∆t )  1 ...  + ∆t ) Pk −1 (t )λ∆t + Pk (t )(1 − (λ + k µ )∆t ) +  Pk (t =  _______________ +P (t )(k + 1) µ∆t + o(∆t ), _______ k= 1, n − 1  k +1  ...  P (t + ∆t ) = P (t )λ∆t + P (t )(1 − (λ + (n − 1) µ )∆t ) + P (t )nµ∆t + o(∆t ) n−2 n −1 n  n−1 ∆t ) Pn−1 (t )λ∆t + Pn (t )(1 − ( pλ + nµ )∆t ) + Pn+1 (t )nµ∆t + o(∆t )  Pn (t +=  P (t + = ∆t ) Pn (t ) pλ∆t + Pn+1 (t )(1 − ( pλ + nµ )∆t ) + Pn+ 2 (t )nµ∆t + o(∆t )  n+1 ... Перенесем в левую часть уравнений все слагаемые без ∆t , в правой остаются элементы, содержащие ∆t :  P0 (t + ∆t ) − P0 (t ) =− P0 (t )λ∆t + P1 (t ) µ∆t + o(∆t )  P (t + ∆t ) − P= P0 (t )λ∆t − P1 (t )(λ + µ )∆t + P2 (t )2 µ∆t + o(∆t ) 1 (t )  1 ...  Pk (t ) Pk −1 (t )λ∆t − Pk (t )(λ + k µ )∆t +  Pk (t + ∆t ) − =  ________________ + P (t )(k + 1) µ∆t + o(∆t ), _______ k= 1, n − 1  k +1  ...  P (t + ∆t ) − P= Pn−2 (t )λ∆t − Pn−1 (t )(λ + (n − 1) µ )∆t + Pn (t )nµ∆t + o(∆t ) n −1 (t )  n−1 Pn (t ) Pn−1 (t )λ∆t − Pn (t )( pλ + nµ )∆t + Pn+1 (t )nµ∆t + o(∆t )  Pn (t + ∆t ) − =  P (t + ∆t ) − P= Pn (t ) pλ∆t − Pn+1 (t )( pλ + nµ )∆t + Pn+ 2 (t )nµ∆t + o(∆t ) n +1 (t )  n+1 ... Разделим обе части на ∆t : 10

 P0 (t + ∆t ) − P0 (t ) = − P0 (t )λ + P1 (t ) µ  ∆t  )  P1 (t + ∆t ) − P1 (t= P0 (t )λ − P1 (t )(λ + µ ) + P2 (t )2 µ  ∆t ...   Pk (t + ∆t ) − Pk (t ) =Pk −1 (t )λ − Pk (t )(λ + k µ ) + Pk +1 (t )(k + 1) µ , _______ k =1, n − 1  t ∆  ...  P (t + ∆t ) − P (t ) n −1  n−1 = Pn−2 (t )λ − Pn−1 (t )(λ + (n − 1) µ ) + Pn (t )nµ ∆t   Pn (t + ∆t ) − Pn (t ) = Pn−1 (t )λ − Pn (t )( pλ + nµ ) + Pn+1 (t )nµ  t ∆   Pn+1 (t + ∆t ) − Pn+1 (t ) = Pn (t ) pλ − Pn+1 (t )( pλ + nµ ) + Pn+ 2 (t )nµ  ∆t  ... При ∆t → 0 пределы правых частей существуют, а это значит, что существуют и пределы левых частей. Следовательно, это производные функций Pi (t ) , и мы получаем систему дифференциальных уравнений: 11

 dP0 (t ) −λ P0 (t ) + µ P1 (t )  dt =  t)  dP1 (= λ P0 (t ) − (λ + µ ) P1 (t ) + 2µ P2 (t )  dt ...   dPk (t )  dt = λ Pk −1 (t ) − (λ + k µ ) Pk (t ) + (k + 1) µ Pk +1 (t ), _______ k = 1, n − 1  ...  dP (t ) 1  n−= λ Pn−2 (t ) − (λ + (n − 1) µ ) Pn−1 (t ) + nµ Pn (t )  dt  dPn (t )  = λ Pn−1 (t ) − (λ + nµ ) Pn (t ) + nµ Pn+1 (t )  dt  dPn+1 (t )  dt = pλ Pn (t ) − ( pλ + nµ ) Pn+1 (t ) + nµ Pn+ 2 (t )  (1.3) ... Она описывает динамику системы массового обслуживания. 1.3. Стационарный режим. Особый интерес представляют вероятности Pi (t ) системы в стационарном режиме, то есть при t → ∞ , которые называются предельными вероятностями состояний. Рассматриваемая нами СМО имеет конечное число каналов, однако длина очереди не ограничена, следовательно, число состояний бесконечно. Стационарный режим существует, если отношение параметров интенсивностей pλ < 1 , в противном случае очередь может разрастись до nµ бесконечности [3]. При стационарном состоянии вероятности Pi постоянны и не зависят от времени. Их можно рассматривать как среднее время пребывания системы 12

в состоянии Si на промежутке единичной длины, достаточно удаленном от начала. Для определения предельных вероятностей приравниваем к нулю правую часть системы (1.3) и решаем линейную однородную алгебраическую систему. 0 −λ P0 + µ P1 = λ P − (λ + µ ) P + 2 µ P = 0 1 2  0 ...  λ Pk −1 − (λ + k µ ) Pk + (k + 1) µ Pk +1 = 0, ____ k = 1, n − 1 ...  0 λ Pn−1 − ( pλ + nµ ) Pn + nµ Pn+1 =  0  pλ Pn − ( pλ + nµ ) Pn+1 + nµ Pn+ 2 =  pλ Pn+1 − ( pλ + nµ ) Pn+ 2 + nµ Pn+3 = 0  ... ∞ ∑ Pk = 1  k =0 (1.4) Здесь последнее уравнение – это условие нормировки, которое позволит найти единственное решение системы. Выпишем рекуррентные соотношения для вероятностей Pk : 13

λ P0 = µ P1 λ P = 2 µ P 2  1 ...  (k + 1) µ Pk +1 , _______ k = 1, n − 1 λ Pk = ...  λ Pn−1 = nµ Pn   pλ Pn = nµ Pn+1  pλ Pn+1 = nµ Pn+ 2  ... ∞ ∑ Pk = 1  k =0 Каждую вероятность выразим через P0 , которая находится из условия нормировки. 14

λ  P P = 1  µ 0   λ λ2 P1 P0 =  P2 2= 2µ 2 µ  ...  λk P P , _______= k 1, n − 1 =  k k !µ k 0  ...  λ n−1 P  Pn−1 = n −1 0 ( n 1)! µ −   n P = λ P  n n !µ n 0  n +1 P = p λ  n+1 n n!µ n+1 P0  ...  l n +l λ p  Pn+l = l P0 n n !µ n +l  ...  ∞ ∑ Pk = 1,  k =0 где 0 ≤ l = k − n - длина очереди. Распишем условие нормировки следующим образом: n ∑ Pk + k= 0 ∞ 1 ∑P= j = n +1 j (1.5) Мы разделили его на две суммы, так как до появления очереди и после у нас разные интенсивности переходов. Пусть λ = ρ . Используя это обозначение, преобразуем (1.5): µ 15

 n ρ k ρ n ∞  p ρ l  P0  ∑ + 1 ∑    =  k ! n ! n   =  k 0=l 1  Отсюда выражаем вероятность P0 :  n ρ k ρ n ∞  p ρ l  P0  ∑ = + ∑     k 0= ! ! k n n    l = 1  −1 (1.6) Решение системы (1.4) имеет вид: −1   n ρ k ρ n ∞  p ρ l   P0  ∑ = + ∑     k 0= ! ! k n n     l = 1   ρk  = P0 , _________________ k 1, n  Pk = ! k  l l n +l   p ρ  pρ  = P0  =  Pn+l =   Pn , _ l 1,2,3,... ! n n n       (1.7) 1.4. Обобщение задачи. Обобщим задачу на случай, когда вероятность заявки встать в очередь зависит от длины очереди. Когда в рассматриваемой СМО все каналы заняты, индекс l в номере состояния Sn+l показывает длину очереди в этом состоянии. Обозначим через ql вероятность заявки встать в очередь, когда длина её равна l = 0,1,2,... . Тогда интенсивности переходов в состояния Sn+1 , Sn+ 2 ,... будут соответственно равны q1λ , q2λ ,... . Учитывая это, повторяем рассуждения из пункта 1.3. Получим следующую систему уравнений: 16

λ  = P P 1  µ 0   λ λ2 = P1 P  P2 2= 2 0 2 µ µ  ...  λk P = P , _______= k 1, n − 1  k k !µ k 0  ...  λ n−1  Pn−1 = P n −1 0 − ( 1)! n µ    λn P  Pn = n 0 ! n µ   q1 λ n+1 = P P  n+1 n +1 0 ! n n µ  ...  l  qi n+l l ∏  λ ρn  ρ  i =1 = P  Pn+l =   Ql P0 l n +l 0 ! ! n n n µ n  ... ∞  P =1 , k ∑ k =0 где для удобства записи обозначено l ∏q i =1 i (1.8) = Ql . Решение системы (1.8) имеет вид: 17

−1   n ρ k ρ n ∞ Ql ρ l  = +  P0  ∑ ∑  k ! n! l 1 n j  =   k 0=  ρk  = P0 , ___________ k 1, n  Pk = ! k   Ql ρ n+l = P0 , ____ l 1,2,3,...  Pn+l = l ! n n  (1.9) Глава 2. Применение модели. 2.1. Характеристики СМО. Зная вероятности Pk ,системы (1.4) можно получить некоторые характеристики системы, что очень важно, так как эти характеристики позволяют нам провести анализ эффективности СМО [9]. Вероятность наличия очереди - вероятность того, что число требований в системе превышает количество каналов: ρn p ρ n+1  pρ  Pоч ∑ Pk P0 P0 = = ∑1  =  n! k = n  n!(n − p ρ ) k= n +1 ∞ ∞ k (2.1) Вероятность того, что все каналы заняты: ρn p ρ n+1 nρ n Pзан =Pn + Pоч = P0 + P0 = P0 n! n!(n − p ρ ) n!(n − p ρ ) (2.2) Среднее число занятых каналов:  n−1 ρ k n2 ρ n  kP nP P k + = + ∑  0∑ k зан k 0= =  k 1 k ! n!(n − p ρ )  M зан = n −1 (2.3) Среднее число свободных каналов: M св= n − M зан (2.4) 18

Средняя длина очереди: p ρ n+1  pρ  M оч ∑ kPn+ k P0 = = ∑ k =  P0 (n − 1)!(n − p ρ ) 2 n! k 1  n  k 1= = ∞ ρn k ∞ (2.5) Среднее время ожидания начала обслуживания: 1 ρn Tож = ( M оч + Pзан=) P0 nµ µ (n − 1)!(n − p ρ ) 2 (2.6) Общее время, которое проводят в очереди требования, поступившие за единицу времени: = Tож p= λTож P0 p ρ n+1 (n − 1)!(n − p ρ ) 2 (2.7) Среднее время, проводимое требованием в системе обслуживания: T= Tож + тр 1 (2.8) µ 2.2. Характеристики для обобщенной СМО. Вероятность наличия очереди: ρ = Pоч ∑ = Pk P0 Qk   ∑ n! k = n k= n +1 1 ∞ ρn ∞ k Вероятность того, что все каналы заняты: Pзан= Pn + Pоч Среднее число занятых каналов: 19

= M зан n −1 ∑ kP + nP k =0 k зан Среднее число свободных каналов: M св= n − M зан Средняя длина очереди: ρn ρ = = M оч ∑ kPn+ k P0 kQk   ∑ n! k 1 n = k 1= ∞ ∞ k Среднее время ожидания начала обслуживания: = Tож 1 ( M оч + Pзан ) nµ Среднее время, проводимое заявкой в системе обслуживания: T= Tож + тр 1 µ 2.2. Пример. Рассмотрим трёхканальную систему массового обслуживания с модельными данными. Заявки поступают с интенсивностью 16 заявок/ ед.вр., обслуживаются они с интенсивностью 7 заявок/ед.вр. Вероятность заявки встать в очередь равна 70%. 20

Параметры системы: n=3 λ = 16 µ =7 p ρ 2,286 ⋅ 0,7 16 = = 2,286; _____ = 0,5333 < 1 n 7 3 p = 0,7 = ρ Вероятности в стационарном режиме: P1 2,286 ⋅ P0 = P2 2,612 ⋅ P0 = P3 1,991 ⋅ P0 = P3+l = P3 ⋅ 0,5333l , _ l ≥ 1 −1 ∞   P0=  2,286 + 2,612 + 1,991 + 1,991 ⋅ ∑ 0,5333l  = 0,109 l =1   P1 = 0,249 P2 = 0,284 P3 = 0,217 ∞ ∑P ∞ 0,217 ⋅ ∑ 0,5334l = 0,248 = 3+l =l 1 =l 1 Характеристики системы: Подставляем найденные значения вероятностей в формулы (2.1)-(2.7). 21

0,7 ⋅ 27,30 = P0 0,248 6 ⋅ 1,399 3 ⋅ 11,946 = Pзан = P0 0,465 6 ⋅ 1,399 M зан =0,109 ⋅ 20,312 =2,214 = Pоч М св = 3 − 2,214 = 0,786 М оч = 0,532 Т ож = 0,047 Тож = 0,532 Т тр = 0,19 Итог. Примерно 11% времени все каналы СМО будут свободны, 25% времени будет занят один канал, 28% - будут заняты два канала, и 22% заняты все три канала. Вероятность того, что в системе образуется очередь, составляет 25%. Вероятность того, что будут заняты все каналы – 46%. Среднее число занятых каналов 2,214. Средняя длина очереди 0,532 заявки. Среднее время, которое проводит заявка в ожидании обслуживания, составило 0,047 ед.вр. Среднее время, проводимое заявкой в системе обслуживания, приблизительно 0,19 ед.вр. 22

Вывод. В данной работе рассмотрена система массового обслуживания с ожиданием, в которой очередь пополнялась с определенной вероятностью. В первой главе построена математическая модель рассматриваемой СМО, изображен граф переходов. Первое, что было найдено, это вероятности состояний в стационарном режиме. Для этого выписана и решена система уравнений Колмогорова. Её решением являются искомые вероятности. Далее рассматривается обобщение исходной задачи на случай, когда вероятность заявки встать в очередь зависит от длины этой очереди. Для нее также получены вероятности состояний в стационарном режиме. Во второй главе работы полученные ранее формулы применены для нахождения характеристик СМО. Определены такие характеристики, как вероятность наличия очереди, среднее число занятых каналов, средняя длина очереди и т.п. Для обобщенной системы задача решена аналогично. Для иллюстрации просчитан пример с модельными данными. 23

Заключение. Целью работы являлось исследование системы массового обслуживания с недостоверным пополнением очереди, а также вывод формул для дальнейшего их использования при решении задач, связанных с подобными системами. При решении данной задачи построена математическая модель системы. Аналитически получены формулы для возможного применения их на практике в реальных экономических условиях. 24

Список литературы. 1. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. Под редакцией Гнеденко Б.В. М.: Едиториал УРСС, 2004. 235 с. 2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 5-е, испр. М.: Издательство ЛКИ, 2011. 400с. 3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. 6-е изд. стер. М.: Высш. шк., 1999. 576 c. 4. Кемени Д. Дж., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970, 271 с. 5. Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика», учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. 551 с. 6. Элементы ТМО. http://www.resolventa.ru/data/metodstud/ 25

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв