Григоренко М.Н.,
Уральский государственный экономический университет,
г. Екатеринбург
Дифференциальные уравнения и их применение
Изучая разделы математики можно рассматривать решение задач с
использованием математического аппарата, например таких как, методы
расчета
рисковых
оптимального
временного
ситуаций,
использования
ряда
[2].
Более
выбор
оптимального
ресурсов,
анализ
подробно
портфеля,
и
задачи
прогнозирование
рассмотрим
применение
дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий
теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее
производные
различных
дифференциальные)
или
порядков
одного
нескольких
аргумента
аргументов
(обыкновенные
(дифференциальные
уравнения в частных производных) [1]. В самом уравнении участвует не
только
неизвестная
функция,
но
и
различные
ее
производные.
Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной
функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных
областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.
Дифференциальные уравнения применяются для математического
описания природных явлений. Так, например, в биологии дифференциальные
уравнения применяются для описания популяции; в физике многие законы
можно описать с помощью дифференциальных уравнений.
Широкое применение находят дифференциальные уравнения и в
моделях экономической динамики. В данных моделях отражается не только
зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.
Рассмотрим одну из задач макроэкономической динамики [1].
Например, пусть y(f) — объем продукции некоторой отрасли,
реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая
отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е.
выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени
t составит Y (t ) py(t )
Обозначим
через
I(t)
величину
инвестиций,
направляемых
на
расширение производства. В модели естественного роста полагают, что
скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональная величине
инвестиций, т.е. y' (t ) lI (t ) , где 1/l – норма акселерации.
(Здесь мы пренебрегаем временем между окончанием производства
продукции и ее реализацией, то есть считаем, что инвестиционный лаг равен
нулю).
Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную
часть
дохода,
получим
I (t ) mY (t ) mpy(t ) ,
где
коэффициент
пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная
величина ( 0 m 1 ).
Подставляя последнее выражение для I(t) в y' (t ) lI (t ) приходим к
уравнению y' ky , где k mpl .
Полученное дифференциальное уравнение — с разделяющимися
переменными. Решая его, приходим к функции y(t ) y0 e
k ( t t0 )
, где y0 y(t 0 ) .
Заметим, что уравнение y' ky описывает также рост народонаселения,
динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного
распада и др.
Модель роста в условиях роста конкурентного рынка имеет вид
y' mlp( y) y .
Научный руководитель
Кныш А.А., старший преподаватель
Список литературы:
1.
Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и
практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман; под
ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2012. — 909 с.
2.
Кныш А.А. Примеры реализации межпредметных связей на
занятиях математики в экономическом вузе // Новая наука: от идеи к
результату. - Стерлитамак: АМИ, 2017. - №2 (2) – С. 55 – 57.
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв