1

«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова (Ленина)» (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») 27.03.04 – Управление в технических Направление системах Системы и технические средства Профиль автоматизации и управления Факультет ФЭА Кафедра САУ К защите допустить Зав. кафедрой Шелудько В.Н. ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА Тема: СТАБИЛИЗАЦИЯ МАЯТНИКА КАПИЦЫ Студентка Александрова А.П. подпись Руководитель Соколов П.В. к.т.н., доцент (Уч. степень, уч. звание) Консультанты подпись Иванов А.Н. к.т.н., доцент (Уч. степень, уч. звание) подпись (Уч. степень, уч. звание) подпись Кузьмина Т.О. Санкт-Петербург 2021

ЗАДАНИЕ НА ВЫПУСКНУЮ КВАЛИФИКАЦИОННУЮ РАБОТУ Утверждаю Зав. кафедрой САУ ____________ Шелудько В.Н. «16» марта 2021 г. Студентка Александрова Анастасия Петровна Группа 7492 Тема работы: Стабилизация маятника Капицы Место выполнения ВКР: СПбГЭТУ каф. САУ Исходные данные: Маятник Капицы. длина – 1м, масса 1 кг. Содержание ВКР: Введение. Теоретический анализ управления нелинейными колебательными и хаотическими системами. Разработка алгоритмов адаптивного управления маятником. Моделирование исследуемой системы в среде Маtlab/Simulink. Дополнительная глава. Заключение. Список литературы. Приложение. Перечень отчетных материалов: пояснительная записка, иллюстративный материал. Дополнительные разделы: Безопасность жизнедеятельности Дата выдачи задания Дата представления ВКР к защите «14» сентября 2020 г. «7» июня 2021 г. Студентка Александрова А.П. Руководитель к.т.н. (Уч. степень, уч. звание) Соколов П.В.

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН ВЫПОЛНЕНИЯ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ Утверждаю Зав. кафедрой САУ ____________ Шелудько В.Н. «16» марта 2021 г. Студентка Александрова Анастасия Петровна Группа 7492 Тема работы: Стабилизация маятника Капицы № п/п 1 2 3 Наименование работ Теоретический анализ управления нелинейными колебательными и хаотическими системами Разработка алгоритмов адаптивного управления маятником Моделирование исследуемой системы в среде Маtlab/Simulink. 4 Безопасность жизнедеятельности 5 Оформление пояснительной записки 6 Оформление иллюстративного материала Студентка Срок выполнения 09.01 – 08.02 01.02 – 30.03 01.03 – 30.04 01.04 – 30.04 01.04 – 20.05 01.04 – 01.06 Александрова А.П. Руководитель Соколов П.В. (Уч. степень, уч. звание)

РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа разделяется на введение, три главы, дополнительного раздела и заключения. Объем работы – 77 страниц, содержит 43 рисунка, 3 таблицы, 17 источников, 4 приложения. ТЕОРИЯ ХАОСА, МАЯТНИК КАПИЦЫ, АДАПТИВНОЕ УПРАВЛНЕНИЕ, СКОЛЬЗЯЩИЙ РЕЖИМ, МЕТОД СКОРОСТНОГО ГРАДИЕНТА. Объектом исследования является маятник Капицы – маятник с осциллирующей точкой подвеса. Цель работы – разработка и исследование путем моделирования системы подавления хаотических колебаний и стабилизации перевернутого положения маятника Капицы на основе адаптивного управления. В процессе работы проводилось экспериментальное исследование системы подавления хаотических колебаний и стабилизации перевернутого положения маятника, представленное в виде АСГ в конечной и релейной формах, а также в виде комбинированного алгоритма на основе АСГ в конечной форме и скользящего режима. Результаты исследования показали, что система с комбинированным алгоритмом на основе АСГ в конечной форме и скользящего режима дает лучший результат, поскольку позволяет подавить хаотические колебания маятника и стабилизировать его при всех начальных условиях, кроме нулевых.

SUMMARY In this final qualifying work, the main features of the dynamics of the plant under consideration, chaos theory and methods of controlling a system with chaotic oscillations were considered. Also, a mathematical model of Kapitsa's pendulum was built and algorithms for suppressing chaotic oscillations and stabilizing the system in an unstable equilibrium position were developed. Based on the obtained equations, the schemes of the control object and the adaptive control system were constructed. The algorithms were simulated using software Matlab/Simulink, the main parameters of the circuit were found empirically, and the necessary graphs were built, reflecting the dynamics of the system, according to which conclusions are made about the achievement of the control goal.

СОДЕРЖАНИЕ СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ ..................................................................................... 8 ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 9 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ И ХАОТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ........................ 10 1.1 Основные сведения о маятнике Капицы ................................................... 10 1.2 Уравнения Лагранжа и Гамильтона ........................................................... 11 1.3 Основные теоретические положения теории хаоса.................................. 14 1.4 Отображение Пуанкаре ............................................................................... 16 1.5 Фазовые траектории нелинейных систем .................................................. 19 1.6 Сценарии перехода от порядка к хаосу ..................................................... 24 1.7 Подавление хаоса и управление динамическими системами ................. 27 2 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ МАЯТНИКОМ ...................................................................................................... 33 2.1 Математическая модель объекта управления ........................................... 33 2.2 Состояния равновесия исследуемой модели ............................................. 38 2.3 Стабилизация перевёрнутого положения исследуемой модели при хаотическом движении ...................................................................................... 40 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДУЕМОЙ СИСТЕМЫ В СРЕДЕ МАTLAB/SIMULINK ........................................................................................... 50 3.1 Моделирование исходной системы в среде Matlab/Simulink .................. 50 3.2 Схема модели системы адаптивного управления ..................................... 54 3.3 Схема системы управления с комбинированным алгоритмом на основе АСГ в конечной форме и скользящего режима .............................................. 59 4 БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ ................................................ 68

4.1 Основные положения об эргономике программного обеспечения ........ 68 4.2 Основные требования к интерфейсу программного обеспечения .......... 69 4.3 Оценка интерфейса разработанной модели системы управления .......... 71 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 74 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .................................................. 76 ПРИЛОЖЕНИЕ А – Определение параметров схемы ...................................... 78 ПРИЛОЖЕНИЕ Б – Определение параметров модели с адаптивным управлением ........................................................................................................... 80 ПРИЛОЖЕНИЕ В – Определение параметров модели со скользящим режимом ................................................................................................................. 82 ПРИЛОЖЕНИЕ Г – Определение параметров модели с комбинированным алгоритмом............................................................................................................. 84

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ АСГ – алгоритм скоростного градиента ОУ – объект управления ПО – программное обеспечение СГ – скоростной градиент СПС – система с переменной структурой 8

ВВЕДЕНИЕ В большом количестве различных систем механики, химии, биологии, экономики и других областей науки обнаруживается возможность возникновения хаотических движений. В связи с этим выделяют два вида задач: подавление нежелательных нерегулярных движений и хаотизация системы. Всё это привело к необходимости создания особых методов управления для изменения степени её хаотичности. Простейшим примером системы, в которой возникают хаотические движения, является маятник Капицы – математический маятник с осциллирующей точкой подвеса. Уравнение движения данной системы является уравнением типа Матье, которое встречается в нелинейных электрических цепях, а также в задачах, где наблюдается параметрический резонанс. Выпускная квалификационная работа является актуальной, поскольку в ней рассматривается объект управления, динамика которого описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка, встречающейся в математических моделях некоторых нелинейных систем, а также описываются методы подавления хаотических движений и стабилизации неустойчивого перевернутого положения маятника. Цель данной работы – разработка и исследование путем моделирования системы подавления хаотических колебаний и стабилизации перевернутого положения маятника Капицы на основе адаптивного управления. Задачи: 1. Составление математической модели маятника Капицы. 2. Разработка алгоритма стабилизации маятника. 3. Исследование математической модели и алгоритма стабилизации в пакете Matlab/Simulink. 9

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ И ХАОТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ 1.1 Основные сведения о маятнике Капицы Известные законы управления предусматривают создание периодического движения маятников в окрестности нижнего положения равновесия. Однако, при высокочастотном вертикальном возбуждении точки подвеса маятника можно наблюдать различные виды движения, некоторые из которых являются сложными и противоречащими ожидаемому поведению динамики движения. Перевернутый маятник с вибрирующей точкой подвеса, известный как маятник Капицы, рассмотрен в большом количестве научных публикаций (А. Стефенсон, 1908; П.Л. Капица, 1951; Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, 1962; И.И. Блехман, 1988 и др.) [1]. Он имеет два положения равновесия – нижнее и верхнее, которое является неустойчивым. В данной системе можно наблюдать параметрический резонанс – явление, возникающее при увеличении частоты вынужденных колебаний точки подвеса примерно вдвое по сравнению с частотой собственных колебаний маятника. В этом случае нижнее положение равновесия становится неустойчивым, поскольку происходит нарастание амплитуды колебаний маятника. Помимо параметрического резонанса может возникнуть резонанс высших порядков, при котором два периода вынужденных колебаний точки подвеса приходится на два, три и другое целое число собственных колебаний маятника. Данный случай соответствует периодическому движению (субгармонические колебания) около положения равновесия [2]. При быстрых колебаниях точки подвеса и малой амплитуде наблюдается динамическая стабилизация перевернутого положения маятника. Данное явле- 10

ние удалось объяснить П.Л. Капице [3], который предложил рассмотреть быстрые и медленные движения. Однако, в случае превышения амплитуды колебаний некоторого критического значения наблюдается дестабилизация перевернутого положения. При большом значении амплитуды вынужденных колебаний точки подвеса маятник переходит в хаотический режим, т.е. наблюдаются нерегулярные колебания [2]. Наличие хаотических движений требует определения условий динамической стабилизации маятника или определенных методов, которые позволят перейти к регулярным периодическим колебаниям. Стабилизацию данного движения можно обеспечить с помощью дополнительного вертикального движения точки подвеса [4] и управления на основе энергии маятника, разработанного для классического маятника Капицы (А.Л. Фрадков и др., 2000; И.В. Мирошник и Е. Ольховская, 2003; И.В. Мирошник и Н.М. Одинец, 2004) [5]. Изучение поведения данного маятника играет огромную роль, поскольку дифференциальные уравнения, описывающие динамику данной системы, встречаются в самых разнообразных проблемах современной физики [2], поэтому если научиться управлять движением рассматриваемой системы, то в дальнейшем можно будет использовать разработанные алгоритмы в более сложных системах. 1.2 Уравнения Лагранжа и Гамильтона Одним из способов описания динамики механической системы, обладающей n степенями свободы, является использование функции Лагранжа. Введем следующие обозначения:  q   q1 ,..., qn  ,  q  q ,..., q    1 n  11 (1.1)

где q – обобщенные координаты, q – обобщенные скорости. Для полного определения состояния системы необходимо задать все координаты и импульсы, что в свою очередь позволит предсказать ее дальнейшее движение. Таким образом, можно получить уравнения движения, представляющие собой систему из n дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций q  t  . Каждое уравнение связывает ускорение q с координатой q и скоростью q [6]. Движение механической системы поддается закону, называемым принципом наименьшего действия. Согласно ему, каждая механическая система определяется функцией L  q1 ,..., qn , q1 ,..., qn , t   L  q, q, t  , (1.2) и движение системы должно быть таким, чтобы интеграл действия S имел наименьшее возможное значение: t2 S   L  q, q, t  dt , (1.3) t1 где t1 и t 2 – моменты времени, при которых положение системы задано двумя наборами значений координат q  и q   , L – функция Лагранжа [6]. 1 2 Функцию Лагранжа замкнутой системы определяют следующим образом: L  T  q, q   U  q  , где T – кинетическая энергия системы, U – потенциальная энергия. 12 (1.4)

С помощью принципа наименьшего действия и функции Лагранжа для системы с n степенями свободы можно получить уравнения, называющимися уравнениями Лагранжа: d L L  0 dt qi qi  i  1, 2,..., n  (1.5) Уравнение (1.5) с учетом непотенциальных сил Q НП , например сил трения, примет вид: d L L   QiНП dt qi qi  i  1, 2,..., n  (1.6) Существует другой подход, который позволяет описать движение системы. Он основан на составлении уравнений Гамильтона. Введем обозначение p   p1 ,..., pn  – обобщенные импульсы, которые определяются следующим образом: p L q (1.7) Функцию Гамильтона можно получить через импульсы и координаты, выражаемые из (1.7): H  q, p, t    pi qi  L i С помощью уравнения (1.8) получают уравнения Гамильтона: 13 (1.8)

H  qi  p  i ,   H p    i qi (1.9) которые представляют собой систему из 2n дифференциальных уравнений перового порядка. Также данные уравнения называют каноническими [6]. 1.3 Основные теоретические положения теории хаоса В последние несколько десятилетий огромный интерес в динамических системах вызывает особый вид движения - хаотическое движение. Одним из первых, кто обнаружил его, был Анри Пуанкаре. Он утверждал, что небольшая погрешность в начальных условиях приводит к большим расхождениям в конечных результатах [7]. Особо значимый вклад в изучение детерминированного хаоса в динамике диссипативных систем внес А.Е. Лоренц, обнаруживший, что в системе, описываемой тремя автономными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка при фиксированных значениях ее параметров, наблюдаются решения, представляющие собой хаотические траектории [8]. Хаотическое движение также можно наблюдать в:  системах двух неавтономных дифференциальных уравнений, например, при наличии внешнего периодического воздействия на колебательную систему;  дискретных системах;  системах с запаздыванием [9]. Изучение хаотических движений является важным для многих прикладных задач, где возникает так называемый шум, турбулентность, помеха, поскольку появилась возможность понять источник данных явлений и научиться ими управлять [7]. 14

В современном понимании хаос означает состояние беспорядка и нерегулярности [8]. Хаотические режимы обнаруживаются в детерминированных системах, где закон изменения во времени дает однозначное определение будущего состояния системы в любой момент времени t  t0 при заданном начальном состоянии t  t0 : x(t )  F  x(t0 )  , (1.10) где x (t ), x (t0 ) – переменные состояния, которые описывают будущее и начальное состояние системы; F – детерминированный закон, осуществляющий преобразование x (t0 ) в x(t ) [10]. Таким образом, выходит, что детерминированный хаос – это нерегулярное, хаотическое движение, порождаемое нелинейной детерминированной системой. Для возникновения хаотического движения необходимо, но недостаточно, чтобы система обладала нелинейными элементами или свойствами. Причиной возникновения нерегулярного движения является свойство нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории [8]. Хаотическое движение выглядит случайным, но таковым не является, поэтому следует разделять их. Для случайных движений характерно то, что мы не знаем, какие силы действуют на систему, но можем знать какие-то статистические характеристики параметров, а хаотическое движение представляет собой вид движения, где неизвестность в действующих силах и параметрах отсутствует – т.е. система является определенной, но при этом в ней наблюдается случайное движение [7]. Для того чтобы наиболее точно отличить один вид движения от другого, необходимо использовать один из критериев динамического хаоса, например, отображение Пуанкаре. 15

1.4 Отображение Пуанкаре Отображение Пуанкаре представляет собой метод, основанный на определении меры разбегания фазовых траекторий, с помощью которого можно определить вид движения. Данный метод является достаточно простым критерием и позволяет определить характер движения экспериментально. Под отображением Пуанкаре понимается функция Ф , которая последовательно переводит точку пересечения фазовой траектории с секущей поверхностью S в другую точку [9]: A  B  ( A)  C  ( B)  A (1.11) На рисунке 1.1.а показано графическое представление построения отображения Пуанкаре, для которого было выбрано одно направление пересечения фазовой траектории с поверхностью S. На рисунке 1.1.б представлены проекции полученного сечения на фазовой плоскости  q1 , p1  . Рисунок 1.1 – Отображение Пуанкаре для автономной системы с двумя степенями свободы При наличии внешнего периодического воздействия сечение Пуанкаре строится следующим образом [11]: 16

1) Уравнения динамики системы считаются периодически зависящими от времени: x  f1 ( x, y, t  T ), y  f 2 ( x, y, t  T ) (1.12) 2) Затем вводят новую переменную z, удовлетворяющую условию: z 1 (1.13) Тогда система описывается следующими уравнениями: x  f1 ( x, y, z), y  f 2 ( x, y, z), z  1 (1.14) Выбрав z  const , получают отображение, соответствующее рисунку 1.2, где z в фазовом пространстве имеет периодическую структуру. Рисунок 1.2 – Отображение Пуанкаре для системы с периодическим внешним воздействием 17

Движение является периодическим, если отображение Пуанкаре представляет собой последовательность конечного набора точек [9], как показано на рисунке 1.1.а: A  B  C  A  ... (1.15) Движение является квазипериодическим, если отображение Пуанкаре представляет собой множество точек, плотно заполняющих замкнутую кривую [9], как показано на рисунке 1.3. Рисунок 1.3 – Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения Движение является хаотическим, если отображение Пуанкаре представляет собой множество точек, которые нерегулярно заполняют поверхность S [9], как показано на рисунке 1.4. Рисунок 1.4 – Отображение Пуанкаре для хаотического движения 18

С помощью отображения Пуанкаре можно достаточно легко определить вид движения динамической системы, но из-за ограниченности времени наблюдения эксперимента недостатком метода является невозможность определения динамики системы – является она периодической с большим периодом или апериодической, поскольку невозможно заранее установить количество точек, которые на сечении будут соответствовать периодическому движению [11]. 1.5 Фазовые траектории нелинейных систем Большинство физических, химических, биологических и других систем являются диссипативными. Диссипативные системы – это системы, объем фазового пространства которых сжимается. Это приводит к тому, что с течением времени t   все траектории фазового пространства стягиваются к некоторому подмножеству, называемому аттрактор. Аттрактор – подмножество A фазового пространства M, которое притягивает к себе все траектории из некоторой прилегающей области. Рассмотрим систему: x   ( x), x(0)  x0 , (1.16) где x   x1 ,..., xn  – n-мерный вектор,   1 ,...,n  – векторная функция, независящая явно от времени. Точка x 0 – точка положения равновесия (особая точка), если:  ( x0 )  0 (1.17) Данное положение может быть, как устойчивым, так и неустойчивым. 19

Положение равновесия x 0 является устойчивым, если при малых отклонениях от точки x 0 система остается вблизи нее при любых значениях времени t. Положение равновесия x 0 является асимптотически устойчивым, если выполняется условие: limρ  x(t ), x 0   0, (1.18) t  где ρ – расстояние между фазовыми точками с координатами x (), x 0 . Теорема Ляпунова утверждает, что если все собственные значения λ i матрицы линеаризации A, элементы которой aik  i xk x0 , соответствуют условию Reλi  0, i  1,2,..., n , то положение равновесия x 0 системы (1.16) является асимптотически устойчивым. В случае, если среди собственных значений будет хотя бы одно такое, что Reλ k  0 , то положение равновесия не является устойчивым. Если найдется такое λ i , что Reλ k  0 , то устойчивость положения равновесия нелинейной системы не может быть определена из анализа линеаризованной системы. Собственные значения λ i находятся с помощью характеристического уравнения: det  λI  A , (1.19) где I – единичная матрица. В зависимости от значений λ i особые точки системы могут иметь различный вид. 20

Для маятников, представляющих собой консервативные системы, как правило, характерен фазовый портрет, представленный на рисунке 1.5, где обозначено: E – полная энергия системы, Eosc – энергия, которая соответствует колебательному движению, Erot – энергия, соответствующая вращательному движению, при котором происходят перевороты, Es – энергия, при которой маятник движется по сепаратрисе. Рисунок 1.5 – Фазовый потрет маятника На рисунке 1.5 фазовый портрет разделен на три области: 1) первая область, где полная энергия системы меньше потенциальной E  Eosc  U , соответствует колебательному движению, для которого при значе- ниях  ,     0, 2n  , n  Z характерны чисто мнимые корни λ1 ,λ 2 , образующие особую точку типа «центр»; 2) вторая область, где E  Erot  U , соответствует вращательному движению, при котором происходят перевороты маятника; 3) третья область, где E  Es  U , разделяет первые две и при значениях  ,     0, +2n  , n  Z характерны действительные корни λ1 ,λ 2 разного 21

знака, образующие особую неустойчивую точку типа «седло», поэтому движение системы происходит по сепаратрисе. При наличии трения движение системы при  ,     0, 2n  , n  Z соответствует особой точке типа «устойчивый фокус», для которой значения корней λ1 ,λ 2 являются комплексно-сопряженными числами, причем Re λ1,2  0. Данная особая точка представлена на рисунке 1.6. Рисунок 1.6 – Особая точка типа «устойчивый фокус» В диссипативных системах, помимо устойчивых стационарных точек, устойчивому состоянию соответствуют замкнутые фазовые траектории, соответствующие периодическому движению – предельные циклы. На рисунке 1.7.а представлен устойчивый предельный цикл, а на рисунке 1.7.б – неустойчивый предельный цикл. Рисунок 1.7 – Предельные циклы 22

В диссипативных динамических системах, размерность фазового пространства которых n  3 , могут наблюдаться странные аттракторы [9]. Странный аттрактор – фрактальное множество, которое притягивает к себе все траектории из некоторой прилегающей области [11]. На самом аттракторе движение не является устойчивым: две любые траектории системы расходятся экспоненциально быстро, но при этом они остаются на самом аттракторе – это свойство делает аттрактор странным [8]. Модель странного аттрактора представлена на рисунок 1.8. Рисунок 1.8 – Модель странного аттрактора Динамика системы со странным аттрактором соответствует хаотическому движению системы. Как уже отмечалось выше, траектории движения маятника Капицы имеют особый вид, например, на рисунке 1.9. представлена фазовая плоскость с сечением Пуанкаре, демонстрирующая субгармонический резонанс 8-го порядка [2]. Рисунок 1.9 – Фазовая траектория для субгармонического резонанса 8-го порядка 23

На рисунке 1.10 представлен фазовый потрет, соответствующий хаотическому поведению маятника с осциллирующим подвесом [12]. Рисунок 1.10 – Фазовая траектория хаотического движения маятника Капицы Как можно видеть по рисунку 1.10 множество сечений Пуанкаре заполняет практически всю область фазовой плоскости. 1.6 Сценарии перехода от порядка к хаосу Сценарием перехода к хаосу принято считать установление хаотического режима в результате последовательности бифуркаций. Бифуркация – топологическая перестройка установившихся режимов движения в системе при изменении значений одного или нескольких ее параметров [9]. Рассмотрим динамическую систему, которая зависит от некоторого управляющего параметра  : 24

x   ( x,μ) (1.20) Предполагается, что система (1.20) имеет стационарное решение x0  x0  μ  , зависящее от параметра  , причем оно является устойчивым при    0 и неустойчивым при    0 . Значение    0 , при котором происходит из- менение топологической структуры таким образом, что фазовое пространство разбивается на траектории, называется точкой бифуркации [9]. На рисунке 1.11 представлено расположение корней системы (1.20) в зависимости от значений управляющего параметра. Рисунок 1.11 – Расположение собственных значений на комплексной плоскости Рисунок 1.11 представляет пример бифуркации Андронова-Хопфа, при которой изменение значения управляющего параметра  приводит к смещению корней матрицы системы по вещественной оси вплоть до того, что они пересекают мнимую ось, в результате чего система теряет устойчивость. Перестройка фазовых траекторий может привести к возникновению устойчивого предельного цикла, как показано на рисунке 1.12, - это так называемая мягкая потеря устойчивости, а может возникнуть неустойчивый фокус, представленный на рисунке 1.13, что соответствует жесткой потере устойчивости. 25

Рисунок 1.12 – Механизм перестройки при мягкой потере устойчивости Рисунок 1.13 – Механизм перестройки при жесткой потере устойчивости Допустим, что в результате бифуркации Андронова-Хопфа возник устойчивый предельный цикл. Тогда изменение динамики системы при дальнейших бифуркациях может происходить по сценарию Фейгенбаума. Его суть заключается в том, что происходит потеря устойчивости исходного цикла c периодом T при увеличении значения управляющего параметра. В фазовом пространстве это соответствует возникновению цикла с удвоенным значением периода 2T. В дальнейшем увеличение управляющего параметра может привести к повторной бифуркации, в результате чего возникнет цикл с периодом 4T. Данная последова- 26

тельность бифуркаций, происходящая на конечном интервале изменения управляющего параметра, переводит систему от устойчивого периодического движения к хаотическому [9]. Данный сценарий наблюдается во многих системах, в том числе и в маятнике с осциллирующим подвесом, где происходит переход от регулярного периодического движения к хаотическому через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, которая возникает в результате изменения управляющего параметра – амплитуды или частоты колебаний подвеса, или величины вязкого трения [2]. 1.7 Подавление хаоса и управление динамическими системами Хаотические режимы движения встречаются во многих системах, поэтому необходимо научиться управлять динамикой таких систем. Обнаружилось, что управлять динамикой хаотических систем возможно с помощью достаточно слабых воздействий, тем самым переведя систему на требуемый динамический режим и стабилизировав его поведение [4]. Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения подразумевается искусственное создание в изучаемой системе устойчивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешних мультипликативных или аддитивных воздействий [9]. Хаотическую систему можно стабилизировать двумя способами: 1) подавление хаоса – это способ, обеспечивающий перевод хаотической системы на регулярный режим и реализованный без обратной связи. В данном способе в качестве управляющее воздействия выступает функция времени. 2) контролирование хаоса – это способ, обеспечивающий коррекцию системы в соответствии с требуемым значениями динамических переменных и ре- 27

ализованный с обратной связью. В качестве управляющего воздействия выступает функция времени, зависящая от результатов измерения состояния объекта или его выходов. Преимуществом реализации первого способа является то, что он менее подвержен воздействию шумов, поэтому его проще использовать. Данный способ был использован П.Л. Капицей, который в качестве управляющего воздействия использовал высокочастотную функцию времени для стабилизации перевернутого положения маятника. Второй способ является наиболее предпочтительным, поскольку в большинстве случаев с его помощью удается достичь поставленной цели, но он является эффективным только в том случае, если изображающая точка находится вблизи заранее выбранного предельного цикла. Для реализации данного способа необходимо, чтобы были доступны измерению все виды величин, которые необходимы для построения управляющего воздействия. Одним из подходов решения задач, где неизвестны параметры системы или переменные недоступны измерению, является построение адаптивной системы управления. Рассмотрим наиболее общий подход к построению системы с адаптивным управлением – метод скоростного градиента (СГ). Метод СГ предназначен для управления непрерывными по времени системами, в которых цель управления задана через целевую функцию [4]. Рассмотрим данный алгоритм на примере управления механической системой, заданной в виде: dx  F  x, u , t  , x(0)  x0 , x  R n , u  R m , dt где u – вектор управления, x – вектор состояния системы. 28 (1.21)

Также зададим неотрицательную целевую функцию Q  x, t  , которую можно представить в квадратичной функции вида: Q  x, t    x  x*  Г  x  x*  , Т (1.22) где Г – симметричная положительно определенная матрица (параметр алгоритма), x* – вектор желаемого состояния системы, которое, как правило, является равновесным. Цель управления – асимптотическая минимизация целевой функции: lim Q  x(t ), t   0 t  (1.23) Для получения алгоритма изменения управляющего воздействия u  t  необходимо вычислить скорость изменения целевой функции в силу уравнения (1.21). Тогда получим:   x, u , t   Q  x, t  Т   xQ  x, t   F  x, u , t  t (1.24) Дальше необходимо найти градиент функции   x, u , t  по входным переменным: Т  F  u  x, u, t      x Q  x, t   u   (1.25) Тогда можно получить алгоритм изменения управляющего воздействия u  t  , заданный в виде дифференциального уравнения: 29

du dQ   Г  u , u (0)  u0 , dt dt (1.26) Суть метода СГ заключается в достижении цели управления путем изменения управляющего воздействия u (t ) таким образом, чтобы оно соответствовало уменьшению скорости изменения величины целевой функции Q( x(t ), t ) , причем уменьшение значения соответствует выполнению неравенства Q  0 . Структура с алгоритмом (1.25) представлена на рисунке 1.14, где ОУ – объект управления. ОУ Рисунок 1.14 – Структура системы с алгоритмом СГ Алгоритм изменения управляющего воздействия можно представить в виде:  АСГ в конечной форме: u  u0  Г   u dQ dt (1.27)  АСГ в релейной виде:  dQ  u  u0  Г  sign   u  dt   30 (1.28)

С помощью алгоритмов, построенных по методу СГ, удается решить задачи управления в системах, где наблюдаются колебания: управление многомаятниковой мехатронной установкой, управление вибрационным стендом и др. [13]. Второй подход, позволяющий решить задачу управления в условиях неполной информации о параметрах ОУ, требует построения системы с переменной структурой (СПС) [14]. Для СПС характерно использование переключающих законов управления – по текущей информации о состоянии ОУ происходит переключение в соответствии с заданной функцией переключения. Наиболее распространенным способом построения СПС является организация в системе скользящих режимов. При данном способе точка на фазовой плоскости движется по заданной поверхности, где она остается некоторое продолжительное время. Поведение системы, построенной таким образом, в итоге мало зависит от параметров ОУ и определяется выбранным уравнением поверхности переключений [14]. Рассмотрим построение скользящего режима для системы (1.21), для чего зададим желаемую поверхность скольжения: S  x(t )   Kx(t )   ki xi (t ), (1.29) i где K   k1 k2 ... kn  – вектор-строка коэффициентов, значения которых определяются при синтезе системы. Скользящий режим возникает, если отклонение от поверхности S  x(t )  и скорость его изменения S  x(t )  имеют разные знаки, т.е. имеет место уравнение: S  x(t )   S  x(t )   0 31 (1.30)

n Если условие (1.30) выполняется для всех x  R , t  R , то оно является до- статочным для попадания изображающей точки на поверхность разрыва. В качестве управляющего воздействия в СПС-регуляторе зададимся разрывным управлением вида [14]: u (t )  ksign  S  x(t )   , (1.31) где k – коэффициент, представляющий собой непрерывную функцию состояния. Управление с алгоритмом (1.31) представлено на рисунке 1.15. ОУ Рисунок 1.15 – Структура СПС со скользящим режимом СПС со скользящим режимом и разрывным управлением находят применение во многих системах, поскольку многие из них имеют нелинейности с разрывом, в том числе и их механизмы управления. Выводы по разделу: в первой главе данной работы была описана динамика движения маятника Капицы и рассмотрены способы подавления хаоса в нелинейных системах, среди которых потенциально предпочтительным является использование системы с адаптивным управлением на основе метода СГ, а также СПС со скользящим режимом и разрывным управлением. 32

2 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ МАЯТНИКОМ 2.1 Математическая модель объекта управления Система стабилизации маятника Капицы представлена на рисунке 2.1. В нее входит основание 1, в котором находится вся система управления, обеспечивающая регулирование движения подвеса 2, который в свою очередь задает необходимое ускорение для стабилизации маятника 3. Рисунок 2.1 – Вид системы маятника Капицы 33

Рассмотрим движение маятника (см. рисунок 2.2), ось вращения которого проходит через точку O, связанную с подвесом. В свою очередь подвес совершает вертикальные колебания по некоторому закону f (t ) вдоль оси y. Рисунок 2.2 – Модель маятника с осциллирующим подвесом Введем основные обозначения, описывающие параметры маятника и его движение: m – масса маятника, кг; l – длина невесомого твердого стержня, м; φ – угловое отклонение маятника от нижнего положения равновесия, рад; α – постоянная затухания, с1 – величина, обратно пропорциональная добротности Q  ω0 2α ; ω0  g l – собственная частота колебаний маятника, рад с ; g – ускорение свободного падения, м с 2 . Положение маятника определим через декартову систему координат:  x  l sin φ   y  f  l cos φ 34 (2.1)

В качестве обобщенных координат в уравнении Лагранжа примем угловое отклонения φ и положение точки подвеса f . Кинетическая энергия системы определяется следующим образом:  1 1 T  m  x 2  y 2   m l 2φ2  f 2  2 flφsin φ 2 2  (2.2) Потенциальная энергия системы в выбранной системе координат определяется по формуле: U  mgy  mgf  mgl cosφ (2.3) Тогда функция Лагранжа, в соответствии с [6], имеет вид: ml 2φ2 mf 2 L  T U    mflφsin φ  mgf  mgl cosφ 2 2 (2.4) Диссипативная функция Релея для данной системы определяется по следующему выражению: k k R    2   l 2φ 2 , 2 2 (2.5) где k – коэффициент сопротивления среды. С учетом диссипации энергии уравнение Лагранжа примет вид: d  dt   d   dt L L R   φ φ φ , L L  F f f 35 (2.6)

где F – сила, действующая на подвес маятника и приводящая его в движение. Вычислим производные, входящие в данное уравнение: L  mflφ cos φ  mgl sin φ φ L  ml 2φ  mfl sin φ φ d L  ml 2φ  mfl sin φ  mflφ cos φ dt φ R   kl 2φ φ L   mg f L  mf  mlφsin φ f d L  mf  mlφsin φ  mlφ 2 cos φ dt f (2.7) Подставляя вычисленные производные (2.7) в уравнение (2.6), получим: 2 2  ml φ  mfl sin φ  mflφcosφ  mflφcosφ  mgl sin φ  kl φ  2  mf  mlφsin φ  mlφ cosφ  mg  F (2.8) Поделив первое уравнение в (2.8) на ml 2 , а второе на m получим:  g f  k φ  φ     sin φ  0  m l l   F  2  f  lφsin φ  lφ cosφ  g  m 36 (2.9)

Формальная модель маятника Капицы не рассматривает уравнение движения точки подвеса в виде второго уравнения из (2.9), а задает его в упрощенном виде: f  t   2 f  t   0, (2.10) где в качестве закона изменения положения точки подвеса могут выступать функции вида f (t )  a cosωt или f (t )  a sin ωt , где a - амплитуда колебаний точки подвеса, ω - частота вынужденных колебаний. Поэтому следуя [4, 5, 15] все алгоритмы будут разрабатываться только для уравнения, характеризующего динамику движения маятника. Введем обозначение: α  k 2m . Получим уравнение движения маятника: g f  φ  2αφ     sin φ  0 l l  (2.11) Уравнение (2.11) можно переписать в виде: φ  2αφ  g u (t ) sin φ  sin φ, l l (2.12) где u (t )  aω2 sin ωt или u (t )  aω2 cosωt . Уравнения (2.11) и (2.12) описывают движение маятника при углах  2  φ   2 , т.е. маятник находится ниже точки его подвеса. Перевернутое положение маятника при углах  2  φ  3 2 описывается теми же уравнениями, но с учетом отрицательного знака при g . 37

Приведем уравнение (2.12) к форме Коши: x  F  x, u  , где x   x1 , x2    φ,φ  . Т Т  x1  F1 ( x, u )  x2   g u (t ) x  F ( x , u )   sin x  2α x  sin x1 2 1 2  2 l l (2.13) Структурная схема ОУ, построенная по уравнениям (2.13), представлена на рисунке 2.3. Рисунок 2.3 – Структурная схема маятника Капицы Таким образом, была получена математическая модель, описывающая данный объект управления. 2.2 Состояния равновесия исследуемой модели Для рассматриваемой системы примем, что u (t )  0 , т.е. отсутствуют вертикальные колебания точки подвеса, тогда состояние равновесия определяется следующим образом: 38

x  F  x,0   0 (2.14) Система (2.13) с учетом (2.14):  x1  F1 ( x,0)  x2 =0   g x  F ( x ,0)   sin x1  2αx2  0 2 2  l (2.15) В итоге получим два состояния равновесия: xe1   0,0  и xe 2   ,0  . Исследуем устойчивость полученных состояний равновесия с помощью метода Ляпунова. Для этого определим матрицу A , являющуюся матрицей частных производных системы (2.15) и имеющую следующий вид:  0  F ( x)  A  g Т   x  x  xe    l 1  , 2α   (2.16) где знак «-» соответствует φ  0 , а «+» – φ   . Определим собственные значения матрицы A :  λ det  λI  A    g   l λ1,2 1    λ 2  2αλ λ  2α   g 2   4  2  4 l     2  g  2 l Рассмотрим два состояния равновесия: 1) Если φ  0 , то 39 g 0 l (2.17)

1,2     2  Re   i   0,  i g l (2.18) Поскольку в подкоренном выражении стоят положительные по значению постоянные, то, следовательно,    2  g l при  2  g l  0 . Таким образом, состояние равновесия xe1   0,0  асимптотически устойчиво в «малом» по А.М. Ляпунову. Если   0 , то в данном случае Re  i   0, i , xei и судить об устойчивости исходной модели по линеаризованной нельзя. 2) Если φ   , то: 1,2     2  C  учетом положительных значений g l (2.19) постоянных получим, что  2  g l , тогда одно из собственных значений матрицы A , имеет значе- ние Re  1   0 . Таким образом, состояние равновесия xe 2   ,0  неустойчиво по А.М. Ляпунову. Если α  0, то и в данном случае одно из собственных значе- ний матрицы A , имеет Re  1   0 , что также говорит о неустойчивости состояния равновесия. 2.3 Стабилизация перевёрнутого положения исследуемой модели при хаотическом движении Целью управления является подавление хаотического движения и стабилизация перевернутого положения маятника, т.е. стабилизация неустойчивого состояния равновесия xe 2   ,0  . 40

Для решения поставленной задачи используются два алгоритма и их комбинация. Первый алгоритм основан на методе СГ (рассмотрен в [4, 14, 15]) и позволяет управлять энергией системы, тем самым можно достичь желаемого энергетического уровня. Второй алгоритм представляет собой скользящий режим и позволяет уменьшить размах колебаний маятника в перевернутом положении. Следуя [4, 16], рассмотрим объект управления в гамильтоновой форме с учетом воздействия и диссипации энергии: qi  H ( p, q, u ) H ( p, q, u ) , pi    Ri (q, p ), i  1, n, pi qi (2.20) где n – число степеней свободы; q   q1 ,..., qn  , p   p1 ,..., pn  – векторы обобТ Т щенных координат и импульсов; H ( p, q, u ) – функция Гамильтона; u  u (t ) – m управляющее воздействие системы, u (t )  R ; R (q, p )   R1 (q, p ),..., Rn (q, p )  – Т функция диссипации. Для составления функции Гамильтона воспользуемся следующей формулой: H ( p, q, u )   pi qi  L (2.21) i Для уравнения (2.21) составим функцию Лагранжа так, что ускорение u (t ) в уравнении (2.12) будет являться добавкой к ускорению свободно падания g для потенциальной энергии системы. При этом учтем, что угол  является обобщенной координатой q лагранжиана системы. В итоге получим: ml 22 ml 2 q 2 L  ml  g  u (t ) 1  cos     ml  g  u (t ) 1  cos q  2 2 41 (2.22)

Обобщенные импульсы системы определяются по формуле: pi  L qi (2.23) Найдем обобщенный импульс системы по уравнению (2.22) и выразим из полученного соотношения обобщенную скорость: L  ml 2 q q p q 2 ml p (2.24) Для получения функции Гамильтона необходимо подставить (2.24) в (2.21). Получим: p2 H ( p, q, u )   ml  g  u (t ) 1  cos q  2ml 2 (2.25) Уравнение (2.25) можно представить в виде суммы [4]: H ( p, q, u)  H0 ( p, q)  H1( p, q)u(t ), (2.26) p2 где H 0 ( p, q)   mgl 1  cos q  – гамильтониан свободного движения си2ml 2 стемы; H1 ( p, q)  ml 1  cos q  – гамильтониан взаимодействия. Функция диссипации для данной системы в соответствии с [16]: R(q, p)  2p (2.27) С учетом вышеизложенного составим уравнения системы в виде (2.20): 42

H (q, p, u ) p  2 p ml H (q, p ) p  R (q, p )   mgl sin q  ml sin q  u (t )  2p q q (2.28) Зададимся целью управления в виде управления свободной энергией маятника: lim H 0 (t )  H * , (2.29) t  где H*  2mgl – желаемый уровень энергии, который соответствует потенциальной энергии маятника в перевёрнутом положении. Перепишем цель (2.29) в виде целевой функции вида:  H  H*  Q 0 2 2 , (2.30) которая определяет квадратичное отклонение полной энергии свободного движения маятника от желаемого уровня энергии. Для построения СГ-алгоритма необходимо вычислить производную целевой функции Q в силу уравнений (2.28):  p sin q  H 0 H 0  2p 2  Q   H 0  H*   q p    H 0  H*     u (t )   p  l ml 2   q  (2.31) Градиент по управляющему воздействию имеет вид: u Q    H 0  H *  p sin q    H 0  H *  mlq sin q l 43 (2.32)

Произведя замену q на  , а q на  в (2.32), можно задать алгоритм изменения u (t ) в дифференциальной форме вида: du (t )    H 0  H *   sin , dt (2.33) где   0 – коэффициент усиления. Также изменение управляющего воздействия можно представить в виде АСГ в конечной форме: u  u0    H 0  H *  sin  , (2.34) где u 0 – начальное значение управления. Уравнение (2.34) можно переписать в виде АСГ в релейной форме: u  u0   sign  H 0  H*  sin   (2.35) Введем расширенную целевую функцию, которая будет учитывать положение и скорость точки подвеса [4]: 1 Q1  Q  zТ Pz, 2 (2.36) где Q – целевая функция вида (2.28); P  PТ  0 – положительно полуопределенТ ная матрица коэффициентов; z     – вектор-столбец, элементами которого являются положение  и скорость  точки подвеса. 44

Найдем производную функции (2.36):  z z  Q1  Q  z Т P     ,       (2.37) В (2.37) учтем, что  является ускорением точки подвеса, следовательно,   u (t ) . В итоге получим:    0  Q1  Q  z Т P       u (t )  ,  0 1      (2.38) Также возьмем градиент по управляющему воздействию и представим алгоритм изменения u (t ) в дифференциальной форме: du (t )    H 0  H *   sin   p12  p22, dt (2.39) где p12  0, p22  0 – коэффициенты усиления. Алгоритм (2.39) можно представить в виде АСГ в конечной и релейной формах с учетом ограничения движения точки подвеса:  u (t )  u0    H 0  H *   sin   p12 sign     p22 sign  ,  u (t )  u0  sign  H 0  H *   sin   p12 sign     p22 sign  , (2.40) Cхема управления на основе АСГ в конечной форме представлена на рисунке 2.4. 45

Рисунок 2.4 – Система управления с адаптивным управлением Вышеприведенные алгоритмы (2.34), (2.35) и (2.40) позволяют маятнику достичь необходимого энергетического уровня, но не гарантируют его стабилизацию в перевернутом положении на длительное время. Поэтому для решения данной проблемы будет рассмотрена система, работающая со скользящим режимом. Для создания в рассматриваемой системе скользящего режима необходимо задать управляющее воздействие вида: u (t )  u0  ksign  k1  k2   , (2.41) где k , k1 , k 2 – коэффициенты усиления;     * ,     * – значение невязки для переменных состояния. 46

Для стабилизации перевернутого положения маятника зададимся идеальными значениями угла и угловой скорости: *  , *  0 , если движение маятника осуществляется против часовой стрелки, *  , *  0 – по часовой стрелке. Также для данного алгоритма, как и в (2.39) можно учесть положение и скорость точки подвеса, тогда уравнение (2.41) примет вид:   u (t )  u0  ksign  k1  k2  p12 sign     p22 sign  , (2.42) Уравнение (2.40) позволит стабилизировать маятник при всех начальных условиях, кроме нулевых. Схема управления алгоритма (2.42) представлена на рисунке 2.5. Рисунок 2.5 – Система управления со скользящим режимом Дополнительно необходимо задаться условиями переключения работы алгоритмов (2.41) и (2.42) в зависимости от значения угла маятника. Если движение маятника описывается положительными значениями угла, то алгоритмы будут 47

включаться в работу при условии, что   0 , если же угол поворота будет иметь отрицательное значение, то условие изменится на   0 . Также можно объединить алгоритмы адаптивного управления в конечной форме и управления системы со скользящим режимом. Схема управления из комбинированного алгоритма представлена на рисунке 2.6. Рисунок 2.6 – Система управления с комбинированным алгоритмом Необходимо также задаться условиями включения каждого из алгоритмов. При наличии хаотического движения будет происходить раскачка маятника и при значениях угла  2    3 2 или  3 2      2 , в зависимости от 48

начальных условий и направления движения, в работу будет включаться адаптивное управление, затем при углах 170    190 или 190    170 система будет работать в скользящем режиме. Выводы по разделу: во второй главе данной работы было проделано следующее: 1) Выведена математическая модель объекта управления (маятник Капицы) с помощью уравнения Лагранжа. 2) Установлены положения равновесия рассматриваемой системы, а также определена устойчивость каждого из них. 3) Составлены алгоритмы подавления хаотического движения и стабилизации системы в положении неустойчивого равновесия на основе метода скоростного градиента, а также с помощью создания в системе скользящего режима. 49

3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДУЕМОЙ СИСТЕМЫ В СРЕДЕ МАTLAB/SIMULINK 3.1 Моделирование исходной системы в среде Matlab/Simulink Построение всех моделей и анализ динамики системы будет производиться с помощью среды Matlab/Simulink. С помощью Simulink будут построены схемы моделей разработанных систем в общем виде, т.е. все переменные в блоках схемы будут записаны в буквенном виде, что делает схемы более удобочитаемыми, а данные, необходимые для дальнейшего анализа, будут передаваться блокам To Workspace. Определение переменных, запуск схем, а также построение необходимых графиков будет осуществляться в m-файлах Matlab. Исходная модель маятника Капицы, построенная по уравнению (2.12), представлена на рисунке 3.1. Определение параметров схемы представлено в приложении А. Рисунок 3.1 – Схема модели маятника Капицы Рассмотрим движение маятника при следующих начальных условиях: угловое отклонение от нижнего положения равновесия равен   170 , а скорость маятника равна   0 . 50

На рисунке 3.2 представлена динамика системы при колебаниях подвеса амплитудой a  0.3 м и частотой f  10 Гц , где: а) фазовый портрет с сечением Пуанкаре; б) фазовое пространство. Цветом маджента обозначено начало фазовой траектории, красным – его конец, а синим – сечение Пуанкаре. Рисунок 3.2 – Движение маятника при колебаниях подвеса амплитудой a  0.3 м и частотой f  10 Гц 51

На рисунке 3.3 представлен график переходного процесса угловой координаты при тех же значениях параметров движения точки подвеса. Рисунок 3.3 – График переходного процесса при колебаниях подвеса амплитудой a  0.3 м и частотой f  10 Гц По рисункам 3.2 и 3.3 видно, что маятник совершает колебания около угла   180 с размахом, составляющим примерно 30 . Сечение Пуанкаре показывает, что движение маятника соответствует субгармоническому резонансу 14-го порядка. Теперь рассмотрим движение маятника при амплитуде колебаний подвеса величиной a  1 м , но прежней частоты. Результаты моделирования представлены на рисунке 3.4 с ограничением значения угла  промежутком  180;180 , где: а) фазовый портрет с сечением Пуанкаре; б) фазовое пространство, на котором представлены все перевороты маятника, в) график переходного процесса угловой координаты. 52

Рисунок 3.4 – Движение маятника при колебаниях подвеса амплитудой a  1 м и частотой f  10 Гц Рисунок 3.4а похож на рисунок 1.10, на котором представлены хаотические колебания маятника с сечением Пуанкаре, заполняющим всю область фазовой плоскости. По рисункам 3.4б и 3.4в видно, что маятник совершает перевороты в разные стороны, причем количество переворотов в одну сторону и момент смены вращения предсказать невозможно. Воздействие, которое вызывает подобную динамику, является нежелательным, поэтому в исходную систему необходимо ввести алгоритм управления, который позволит с помощью дополнительного воздействия подавить хаотические колебания и добиться необходимых целей управления. 53

3.2 Схема модели системы адаптивного управления Для улучшения динамики системы при наличии воздействия, вызывающего хаотическое движение маятника, добавим к ней алгоритм адаптивного управления в виде АСГ в конечной форме. Схема, построенная в Simulink, представлена на рисунке 3.5. Рисунок 3.5 – Схема адаптивной системы управления в виде АСГ в конечной форме В данном алгоритме присутствуют коэффициенты, которые можно определить только опытным путем. Всего будет рассмотрено два варианта работы алгоритма: с исходной целевой функцией, которая учитывает только энергию системы, и расширенной, учитывающей также скорость и перемещение точки подвеса. Итоговые значения параметров представлены в таблице 3.1. Таблица 3.1 – Значения коэффициентов адаптивной системы управления в виде АСГ в конечной форме Параметр Значение Исходная целевая функция  p12 p22 5 0 0 54 Расширенная целевая функция  p12 p22 5 15 15

Определение параметров схемы системы адаптивного управления в виде АСГ в конечной форме представлено в приложении Б. Исходное воздействие имеет следующие параметры: амплитуда колебаний подвеса составляет a  0.3 м , а частота – f  10 Гц . Рассмотрим фазовые траектории движения маятника при работе алгоритма с исходной целевой функцией. Зададимся следующими начальными значениями:   10, 50, 90, 130, 170 и   0 . Результаты моделирования представлены на рисунках 3.6 и 3.7. Рисунок 3.6 – Фазовый портрет маятника при работе алгоритма адаптивного управления в виде АСГ в конечной форме при разных начальных условиях На рисунке 3.7 представлены графики переходных процессов угловой координаты маятника при разных начальных условиях. По рисункам 3.6 и 3.7 видно, что алгоритму удалось подавить хаотические колебания, а также для некоторых значений начальных условий, в данном 55

случае, начиная с угла 90 , движение маятника колеблется около перевернутого положения равновесия с размахом около 50. Рассмотрим работу алгоритма с расширенной целевой функцией и сравним его работу с одной из фазовых траекторий рисунка 3.6. Для примера возьмем угол величиной   130 . Результаты работы представлены на рисунке 3.8. Рисунок 3.7 – График переходного процесса при работе алгоритма адаптивного управления в виде АСГ в конечной форме при разных начальных условиях Рисунок 3.8 – Фазовый портрет маятника при работе алгоритма адаптивного управления в виде АСГ в конечной форме с исходной и расширенной целевыми функциями 56

Результат работы не сильно отличается от рисунка 3.6, следовательно, можно сделать вывод, что алгоритм (2.40) мало влияет на динамику всей системы. Теперь рассмотрим работу адаптивного алгоритма в виде АСГ в релейной форме с исходной целевой функцией, схема системы представлена на рисунке 3.9. Рисунок 3.9 – Схема адаптивной системы управления в виде АСГ в релейной форме Для схемы рисунка 3.9 опытным путем было найдено значение   2500. Полученные фазовые траектории при начальных значениях   10, 50, 90, 130, 170 и   0 представлены на рисунке 3.10, где: а) фа- зовый портрет маятника при работе алгоритма адаптивного управления в виде АСГ в релейной форме; б) графики переходных процессов углового отклонения. 57

Рисунок 3.10 – Движение маятника при работе алгоритма адаптивного управления в виде АСГ в релейной форме при разных начальных условиях АСГ в релейной форме также подавил нерегулярные колебания и для углов, начиная с 90 , движение маятника также начинает совершать колебательные движения около перевернутого положения, но уже с гораздо меньшим размахом, равным около 20 . 58

Таким образом, алгоритмы адаптивного управления в виде АСГ в конечной форме и релейной позволяют подавить хаотические колебания, вызываемые нежелательным воздействием, а также для некоторых значений углов, которые находятся в области притяжения неустойчивого состояния равновесия маятника, стабилизировать его в перевернутом положении, т.е. маятник совершает колебательное движение вокруг данного положения равновесия. АСГ в релейной форме позволяет достичь лучших результатов, поскольку размах колебаний маятника при его работе значительно меньше, чем при работе АСГ в конечной форме. Учет динамики точки подвеса особо не влияет на результаты моделирования, поэтому он не был включен в работу АСГ в релейной форме. 3.3 Схема системы управления с комбинированным алгоритмом на основе АСГ в конечной форме и скользящего режима Для уменьшения размаха колебаний маятника около перевернутого положения равновесия рассмотрим работу системы со скользящим режимом. Схема данной модели представлена на рисунке 3.11. Основные параметры схемы были определены опытным путем и результаты поиска представлены в таблице 3.2. Присвоение численных значений для схемы со скользящим режимом представлено в приложении В. Таблица 3.2 – Значения коэффициентов системы со скользящим режимом Параметр Значение k 2500 k1 1 k2 1 p12 15 p22 15 Моделирование системы осуществлялось для воздействия амплитудой 0.3 м и частотой 10 Гц, которое по рисунку 3.1 соответствует колебаниям маятника около перевернутого положения равновесия. 59

60 Рисунок 3.11 – Схема системы со скользящим режимом

Результаты работы модели с исходной целевой функцией и расширенной представлены на рисунке 3.12, где: а) фазовый потрет системы при начальных условиях:   170 и   0 ; б) фазовый портрет а) с осью времени; в) фазовый потрет системы при начальных условиях:   170 и   0; г) фазовый портрет в) с осью времени Рисунок 3.12 – Фазовый портрет системы со скользящим режимом Графики рисунка 3.12 демонстрируют переход изображающей точки из области, лежащей около перевернутого положения маятника, к значению угла, соответствующего неустойчивому состоянию равновесия. Также можно заметить, что алгоритм работает для любого направления движения маятника. 61

Рассмотрим работу системы, в которой совмещено адаптивное управление в виде АСГ в конечной форме и скользящий режим. Полная схема данной системы представлена на рисунке 3.13. Рисунок 3.13 – Схема системы с комбинированным алгоритмом За формирование адаптивного управляющего воздействия отвечает подсистема, представленная на рисунке 3.14. Рисунок 3.14 – Подсистема определения адаптивного управления 62

Данная подсистема в качестве входных параметров принимает угловое положение маятника  и угловое ускорение  . Адаптивное управление будет представлено в конечной форме, т.к. для данной схемы оно не нарушает работу скользящего режима. За включение в работу адаптивного управления отвечает подсистема, представленная на рисунке 3.15. Адаптивное управляющее воздействие подается тогда, когда маятник находится в верхней полуплоскости фазового плоскости, а до этого на систему действует исходное воздействие, создающее хаотические колебания и раскачивающее маятник до необходимой области притяжения. Рисунок 3.15 – Подсистема включения адаптивного алгоритма На рисунке 3.16 представлена подсистема, задающая скользящий режим. Рисунок 3.16 – Подсистема формирования скользящего режима 63

Включение данного блока в работу осуществляется подсистемой, представленной на рисунке 3.17. Скользящий режим влияет на работу тогда, когда отклонение маятника от его перевернутого положения равновесия составляет 10 . Рисунок 3.17 – Подсистема включения скользящего режима Параметры схемы были определены также опытным путем и результаты представлены в таблице 3.3. Определение параметров для схемы рисунка 3.13 представлены в приложении Г. Таблица 3.3 – Значения коэффициентов системы с комбинированным алгоритмом Параметр Значение k 2500 k1 1 k2 1  p12 15 5 p22 15 Моделирование системы проводилось при исходном воздействия амплитудой 1 м и частотой 10 Гц. Начальные условия при положении маятника в правой полуплоскости   10, 50, 90, 130, 170 и   0 , в левой –    10,  50,  90,  130,  170 и   0 . Результаты моделирования для отрицательных значений угла представлены на рисунке 3.18, для положительных 64

на рисунке 3.19, на которых: а) фазовые траектории маятника; б) графики переходных процессов углового отклонения. Рисунок 3.18 – Движение маятника при работе системы с комбинированным алгоритмом при разных отрицательных начальных условиях 65

Рисунок 3.19 – Движение маятника при работе системы с комбинированным алгоритмом при разных положительных начальных условиях По представленным фазовым траекториям видно, что маятник совершает хаотическое движение в нижней полуплоскости. При отклонении маятника на угол свыше 90 происходит подавление хаотических колебаний, и он стремится 66

в сторону перевернутого положения равновесия, соответствующего углам   180 . В дальнейшем, когда в работу системы включается скользящий режим, происходит уменьшение размаха колебаний маятника вплоть до его стабилизации в перевернутом положении. Выводы по разделу: в третьей главе дипломной работы было проведено моделирование маятника Капицы, были получены и сравнены с теоретическими данными фазовые портреты. Далее были построены модели систем адаптивного управления с АСГ в конечной и релейных формах, каждая из которых сформировала дополнительное воздействие, позволившее подавить хаотическое движение маятника, при этом для некоторых начальных значений угловой координаты маятник стал совершать колебательное движения около перевернутого положения равновесия. АСГ в релейной форме дал лучший результат, поскольку размах колебаний уменьшился примерно на 30 , поэтому для рассматриваемой системы, где используется только адаптивное управление, лучше использовать именно релейную форму алгоритма. В дальнейшем была построена модель с комбинированным алгоритмом на основе АСГ в конечной форме и скользящего режима, были рассмотрены ее фазовые портреты, по которым наблюдался переход маятника из некоторого первоначального положения в перевернутое. Данный алгоритм позволил подавить хаотические колебания и стабилизировать маятник в положении неустойчивого равновесия при всех начальных условиях, кроме нулевых. Алгоритмы, в которых учитывалось движение точки подвеса, особо не вносили изменение в динамику системы при малых значениях коэффициентов, советующих скорости и перемещению точки подвеса, но при больших значениях происходила дестабилизация всех положений равновесия. 67

4 БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ 4.1 Основные положения об эргономике программного обеспечения В данной работе производилось построение и анализ системы управления маятником Капицы в среде Маtlab/Simulink. Matlab представляет собой пакет прикладных программ, позволяющий производить основные технические вычисления, а Simulink является графической средой моделирования, интегрируемой в Matlab, с помощью которой можно строить технические системы. Применение программных средств требует создания наиболее удобных и пригодных для использования пользовательских интерфейсов. Данные требования отражены в ГОСТ Р ИСО 9241, серия 100, соответственно, с помощью данного документа необходимо произвести оценку для разработанной программы. В соответствии с ГОСТ Р ИСО 9241, серия 100 под эргономикой понимается научная дисциплина, которая изучает взаимодействие человека с другими элементами системы. Передача информации между человеком и компьютером осуществляется через пользовательский интерфейс, представляющий собой компоненты интерактивной системы (программное обеспечение (ПО) и аппаратное обеспечение), которые предоставляют пользователю информацию и возможность управления для выполнения производственных заданий [17]. Стандарты по эргономике распространяются на такие программные компоненты интерактивной системы, как:  прикладные программы (в том числе интернет-приложения);  операционные системы;  встроенное программное обеспечение;  программные средства проектирования;  вспомогательные технологии [17]. 68

В то же время стандарты по эргономике носят скорее рекомендательный характер, поскольку описываемые ими требования по обеспечению пригодности пользовательского интерфейса не являются обязательными, но их соблюдение позволит предотвратить возникновение проблем с пригодностью использования из-за принятия конструкторских решений. 4.2 Основные требования к интерфейсу программного обеспечения Для того чтобы пользователь имел возможность работать с разработанной программой для решения поставленных задач без особых проблем, в стандартах по эргономике ПО приводится руководство по разработке и взаимодействию различных пользовательских интерфейсов. Разработка взаимодействия должна быть основана на потребностях пользователя и требованиях задачи в условиях ее использования. Поэтому данная группа стандартов включает руководства по:  принципам диалога и основные рекомендации по его организации;  разработке взаимодействия. Принципы и рекомендации по организации диалога между пользователем и информационной системой представлены в стандарте ГОСТ Р ИСО 9241-110. В данном стандарте приведены следующие принципы: 1) пригодность для выполнения задачи. Среда Matlab/Simulink позволяет пользователю решать необходимые технические задачи, а также импортировать данные с других программ, что позволяет гораздо проще решать поставленные задачи; 2) информативность. Для каждой функции и блока среда разработки позволяет получить всю необходимую пользователю информацию; 3) соответствие ожиданиям пользователя. Все результаты, которые может получить пользователь, напрямую зависят от созданной программы и для получения дополнительных данных необходимо будет пересоздать программу; 69

4) пригодность для обучения. Среда Matlab/Simulink содержит объемную и информативную документацию с примерами, что позволяет пользователю наиболее быстро усвоить необходимую информацию; 5) управляемость. В среде разработки Matlab/Simulink есть возможность управления частями кода или блоков, а также ускорять расчеты, если позволяет аппаратная часть; 6) устойчивость к ошибкам. Если программа будет содержать ошибки, то Matlab уведомит об этом, укажет ее источник и возможные способы ее решения; 7) пригодность для индивидуализации [17]. Среда Matlab/Simulink имеет все возможности, чтобы настроить интерфейс по предпочтениям пользователя. Стандарты по организации ввода, вывода и взаимодействия между различными формами представления информации и модальностям представлены в ГОСТ Р ИСО 9241-120 – ГОСТ Р ИСО 9241-129. Данная категория включает руководство по следующим программным аспектам: 1) принципам представления информации; 2) выбору и сочетанию форм представления информации; 3) многомодальному взаимодействию и перемещению; 4) зрительному представлению; 5) слуховому взаимодействию (включая речевой ввод); 6) тактильному взаимодействию [17]. Среда Matlab/Simulink позволяет вводить и обрабатывать текст, числа, изображения, звук и выводить информацию в удобном виде, чаще всего в виде графиков. Для удобства взаимодействия человек-система в группе стандартов по эргономике ПО ГОСТ Р ИСО 9241-140 – ГОСТ Р ИСО 9241-149 представлены руководства по: 1) выбору и комбинированию способов взаимодействия; 2) меню; 3) командам; 70

4) непосредственному управлению; 5) формам, заполняемым при диалогах; 6) диалогам с использованием естественного языка; 7) диалогам вопроса и ответа [17]. В Simulink при настройке любого блока появляется меню, в котором можно задавать необходимые данные в указанных полях и выбирать команды из всплывающего списка, как показано на рисунке 4.1. Рисунок 4.1 – Настройка блока интегратора Таким образом, среда Matlab/Simulink удовлетворяет основным требованиям, изложенным в ГОСТ Р ИСО 9241, серия 100. 4.3 Оценка интерфейса разработанной модели системы управления Рассмотрим пример фазовой траектории системы, являющийся результатом выполнения программы и представленный на рисунке 4.2. 71

Рисунок 4.2 – График фазовой траектории исследуемой системы Как видно по рисунку 4.2, то программа была составлена таким образом, чтобы выводимый график был наиболее информативен и его было легче воспринимать: были настроены цвета начала (маджента) и конца (красный) фазовой траектории, выбраны типы линии, подписаны оси с помощью необходимых символов и с соответствующими единицами измерения. В случае необходимости можно также задать границы для осей, например, для фазовых траекторий с хаотическим движением. График был построен непосредственно через код в Matlab, а данные были получены из спроектированной модели в Simulink. Часть модели, описывающая объект управления, представлена на рисунке 4.3. Рисунок 4.3 – Модель объекта управления 72

Simulink позволяет настроить блоки, задать их размеры, при необходимости подписать каждый из них, дать название отводам. Блоки To Workspace1 и To Workspace2 позволяют собрать данные при расчете модели и обработать их в коде, например, для построения графиков, вывода таблиц. Использование Matlab/Simulink дает широкие возможности для построения и анализа систем управления, а также обработки и вывода информации в форме, удобной пользователю. Выводы по разделу: в данной главе были рассмотрены основные положения ГОСТ Р ИСО 9241, серия 100 и был проведен анализ программного обеспечения и пользовательского интерфейса на предмет эргономики. По полученным результатам можно сделать вывод, что среда Matlab/Simulink и созданная программа удовлетворяют перечисленным стандартам. 73

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной выпускной квалификационной работе были рассмотрены основные сведения о заданном объекте управления – маятник Капицы, основные положения теории хаоса, а также алгоритмы подавления хаотических движений и стабилизации системы в неустойчивом состоянии равновесия. В результате были выполнены следующие задачи: 1) Разработаны алгоритмы адаптивного управления динамикой рассматриваемого объекта управления, основанные на энергетическом подходе и представленные в виде АСГ в конечной и релейной формах. Также была построена система с комбинированным алгоритмом на основе АСГ в конечной форме и скользящего режима, создающая такое дополнительное воздействие, которое переводит маятник в перевернутое положение равновесия и уменьшает его размах колебаний. 2) Произведено моделирование маятника Капицы с построением фазовых траекторий с сечениями Пуанкаре. Полученные результаты были сравнены с теоретическими данными. 3) Построены модели разработанных систем управления, основные параметры которых были найдены опытным путем. При моделировании данных систем были получены фазовые траектории, по которым можно сделать следующие выводы:  адаптивное управление позволяет подавить хаотическое движение маятника, вызванное нежелательным воздействием, причем для начальных условий, которые находятся в области притяжения неустойчивого состояния равновесия, наблюдаются колебания около перевернутого положения;  алгоритм адаптивного управления в виде АСГ в релейной форме дает лучший результат по динамике системы по сравнению с АСГ в конечной форме, 74

поскольку позволяет уменьшить размах колебаний около перевернутого положения равновесия;  система управления с комбинированным алгоритмом на основе АСГ в конечной форме и скользящего режима позволила подавить хаотические колебания маятника, а также стабилизировать его в перевернутом положении равновесия при всех начальных условиях, кроме нулевых. Во многих системах, в которых присутствуют нелинейности, могут наблюдаться хаотические режимы. Изучение вопросов их возникновения, а особенно способов их подавления, на сегодняшний день являются наиболее актуальными. Дальнейшее развитие данной темы можно рассмотреть на примере электрической системы, где изменение одного из ее параметров приводит к бифуркациям и в дальнейшем к хаотическому движению, а подавление данного режима осуществляется с помощью алгоритмов адаптивного управления с настраиваемой моделью. 75

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Богатов Е. М., Мухин Р. Р. Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н. Н. Боголюбов, А. Стефенсон, П. Л. Капица и другие. – Известия вузов. ПНД, 25:5, 2017. – С. 69-87. [Электронный ресурс] – URL: http://mi.mathnet.ru/ivp70 (дата обращения 02.01.2021). 2. Бутиков Е.И. Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы). Учебное пособие. – 2017. – 42 с. [Электронный ресурс] – URL: http://mi.mathnet.ru/ivp70 (дата обращения 02.01.2021). 3. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом. – УФН 44, 1951. – С. 7-20. [Электронный ресурс] – URL: https://ufn.ru/ru/articles/1951/5/b/ (дата обращения 30.11.2020). 4. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. – СПб.: Наука, 2003. – 208 с. [Электронный ресурс] – URL: https://www.ipme.ru/ipme/labs/ccs/alf/f03.pdf (дата обращения 22.12.2021). 5. Мирошник И.В., Одинец Н.М. Стабилизация колебаний перевернутого маятника // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2004. – №14. С. 77-83. [Электронный ресурс] URL: https://cyberleninka.ru/article/n/stabilizatsiya-kolebaniy-perevernutogo-mayatnika (дата обращения: 05.05.2021). 6. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие. – В 10-и т. Т. 1. Механика. – 4-е изд., испрю – М.: Наука, 1988. – 216 с. 7. Мун Ф. Хаотические колебания. – М.: Мир, 1990. – 312 с. 8. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. – М.:Мир, 1988. – 240 с. 9. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Основы теории сложных систем. – РХД, 2007. – 612 c. 10. Анищенко В.С. Детерминированный хаос // Соросовский образовательный журнал, 1997. – №6. С. 70-76. 76 [Электронный ресурс] URL:

http://spkurdyumov.ru/uploads/2013/08/anichenko4.pdf (дата обращения: 28.11.2020). 11. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. – 296 с. [Электронный ресурс] URL: http://www.sgtnd.narod.ru/pabl/rus/dc.htm (дата обращения: 04.11.2020). 12. Бутиков Е.И. Расширенный и уточненный критерий устойчивости маятника Капицы // КИО. 2011. – №2. С. 16-26. [Электронный ресурс] – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/rasshirennyy-i-utochnennyy-kriteriy-ustoychivostimayatnika-kapitsy (дата обращения: 19.12.2020) 13. Ананьевский М.С. Метод скоростного градиента в задачах адаптации и управления с ограничениями // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. – № . 4-5. – С. 1959-1960. [Электронный ресурс] – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/metod-skorostnogo-gradienta-v-zadachah-adaptatsiii-upravleniya-s-ogranicheniyami (дата обращения: 4.12.2020) 14. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. – СПб.: Наука, 1999. –467 с. 15. Андриевский Б.Р., Гузенко П.Ю., Фрадков А.Л. Управление колебаниями механических систем методом скоростного градиента // Автоматика и телемеханика, 1996. – № 4. С. 4-17. [Электронный ресурс] – URL: http://www.mathnet.ru/links/8340a6d48c97b922fdd36a9a8fc93283/at3173.pdf (дата обращения: 20.01.2021) 16. Криксин Ю. А. О нелокальных решениях задач нелинейной динамики//Ж. вычисл. матем. и . матем. физ., 1993. – Т. 33. № 12. С. 1826-1843. [Электронный ресурс] – URL: http://mi.mathnet.ru/zvmmf2629 (дата обращения 18.01.2021). 17. ГОСТ Р 55241.1-2012/ISO/TR 9241-100:2010 Эргономика взаимодействия человек-система. Часть 100. Введение в стандарты, относящиеся к эргономике программных средств. [Электронный ресурс] http://docs.cntd.ru/document/1200097753 (дата обращения 07.05.2021). 77 – URL:

ПРИЛОЖЕНИЕ А Определение параметров схемы fi_0=170*pi/180; %начальное положение маятника d_fi_0=0; %начальная скорость маятника g=9.81; %ускорение свободного падения m=1; %масса маятника L=1; %длина маятника alpha=0.001; %постоянная затухания a=1; %амплитуда перемещения подвеса f=10; %частота перемещения подвеса w=2*pi*10; T=1/f; %период колебаний подвеса h=T/10000; %шаг моделирования t=20; %время моделирования open('Plant.slx'); set_param('Plant','SolverType','Fixed-Step','FixedStep','h','StopTime','t') model=sim('Plant'); j=1; model_p=[]; r=round(model.phi.Time*10000)/10000; for i=1:length(model.phi.Time) if (r(i)==(round(T*j*10)/10)) %условие поиска сечения k_phi=round(model.phi.Data(i)/360); if (k_phi>=1) %пересчет угла при хаотическом движении model_p(j,2)=model.phi.Data(i)-360*k_phi; elseif (k_phi<=-1) 78

model_p(j,2)=model.phi.Data(i)+360*abs(k_phi); else model_p(j,2)=model.phi.Data(i); end model_p(j,1)=model.phi.Time(i); model_p(j,3)=model.d_phi.Data(i); j=j+1; end end figure(1) hold on plot(model.phi.Data,model.d_phi.Data,model.phi.Data(1,:),... model.d_phi.Data(1),'om',model.phi.Data(length(model.d_phi.Data(:,1)),:),... model.d_phi.Data(length(model.d_phi.Data(:,1)),:),'or') plot(model_p(:,2),model_p(:,3),'ob') xlabel('\phi, \circ') ylabel('$\dot{\phi}, {rad/s}$','Interpreter','LaTeX') grid on figure(2) plot(model.phi.Time,model.phi.Data) xlabel('t, с') ylabel('\phi, \circ') grid on figure(3) plot3(model.phi.Time,model.phi.Data,model.d_phi.Data) xlabel('t, c') ylabel('\phi, \circ') zlabel('$\dot{\phi}, {rad/s}$','Interpreter','LaTeX') grid on 79

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Определение параметров модели с адаптивным управлением clc,clear,close all; fi_0=[10:30:170]*pi/180; d_fi_0=0; g=9.81; m=1; L=1; alpha=0.001; a=1; w=2*pi*10; gamma=5; p12=0; p22=0; t=20; open('AGS.slx'); set_param('AGS','SolverType','Variable-Step','StopTime','t','Solver',... 'ode45','MaxStep','0.001','RelTol','1e-5'); model=sim('ASG'); figure(1) plot(model.phi.Data,model.d_phi.Data,model.phi.Data(1,:),... model.d_phi.Data(1),'om',… model.phi.Data(length(model.d_phi.Data(:,1)),:),... model.d_phi.Data(length(model.d_phi.Data(:,1)),:),'or') xlabel('\phi, \circ') ylabel('$\dot{\phi}, {rad/s}$','Interpreter','LaTeX') 80

legend('\phi = 10\circ','\phi = 50\circ','\phi = 90\circ',... '\phi = 130\circ','\phi = 170\circ','Location','northwest') grid on figure(2) plot(model.phi.Time,model.phi.Data) xlabel('t, с') ylabel('\phi, \circ') legend('\phi_{0} = 10\circ','\phi_{0} = 50\circ','\phi_{0} = 90\circ',... '\phi_{0} = 130\circ','\phi_{0} = 170\circ') grid on 81

ПРИЛОЖЕНИЕ В Определение параметров модели со скользящим режимом clc,clear,close all; fi_0=170*pi/180; d_fi_0=0; g=9.81; m=1; L=1; alpha=0.001; a=0.3; w=2*pi*10; k=2500; k1=1; k2=1; p12=[0,15]; p22=[0,15]; t=20; open('SR.slx'); set_param('SR','SolverType','Variable-Step','StopTime','t','Solver',... 'ode45','MaxStep','0.001','RelTol','1e-5'); model=sim('SR'); figure(1) plot(model.phi.Data,model.d_phi.Data,model.phi.Data(1,:),... model.d_phi.Data(1),'om',model.phi.Data(length(model.d_phi.Data(:,1)),:),... model.d_phi.Data(length(model.d_phi.Data(:,1)),:),'or') xlabel('\phi, \circ') 82

ylabel('$\dot{\phi}, {rad/s}$','Interpreter','LaTeX') legend('Исходная целевая функция',… 'Расширенная целевая функция') grid on figure(2) plot3(model.phi.Time,model.phi.Data,model.d_phi.Data) xlabel('t, c') ylabel('\phi, \circ') zlabel('$\dot{\phi}, {rad/s}$','Interpreter','LaTeX') legend('Исходная целевая функция',… 'Расширенная целевая функция') grid on 83

ПРИЛОЖЕНИЕ Г Определение параметров модели с комбинированным алгоритмом clc,clear,close all; fi_0=[-10:-40:-180]*pi/180; d_fi_0=0; g=9.81; m=1; L=1; alpha=0.001; a=1; w=2*pi*10; gamma=5; p12=15; p22=15; k=2500; k1=1; k2=1; t=20; open('new_AP.slx'); set_param('new_AP','SolverType','Variable-Step','StopTime','t','Solver',... 'ode45','MaxStep','0.001','RelTol','1e-5'); model=sim('new_AP'); figure(1) plot(model.phi.Data,model.d_phi.Data,model.phi.Data(1,:),... model.d_phi.Data(1),'om',model.phi.Data(length(model.d_phi.Data(:,1)),:),... model.d_phi.Data(length(model.d_phi.Data(:,1)),:),'or') xlabel('\phi, \circ') 84

ylabel('$\dot{\phi}, {rad/s}$','Interpreter','LaTeX') legend('\phi = -10\circ','\phi = -50\circ','\phi = -90\circ',… '\phi = -130\circ','\phi = -170\circ') grid on figure(2) plot(model.phi.Time,model.phi.Data) xlabel('t, с') ylabel('\phi, \circ') legend('\phi_{0} = -10\circ','\phi_{0} = -50\circ','\phi_{0} = -90\circ',... '\phi_{0} = -130\circ','\phi_{0} = -170\circ') grid on 85

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв