Численное исследование эволюционных вариационных неравенств

Скучас Д.А.

Численное исследование эволюционных вариационных неравенств

01.04.01 Математика

Математика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b8873a17966e1073081b1e9

UUID: 5ff134b0-8ed4-0136-b0ac-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 5 лет назад

Просмотры: 22

Скучас Д.А.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,4 МБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (НИУ «БелГУ) ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ОБЩЕЙ МАТЕМАТИКИ “Численное исследование эволюционных вариационных неравенств” Магистерская диссертация обучающегося по направлению подготовки 01.04.01 Математика очной формы обучения, группы 07001534 Скучас Дмитрия Андреевича Научный руководитель к.ф.м.н., доцент Некрасова И.В. Рецензент: БЕЛГОРОД 2017 1

Содержание Введение Глава 1. Основы классического вариационного исчисления Задача о брахистохроне Пространственная задача Необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления Вариация функции и функционала 1.2 Основные леммы вариационного исчисления 1.3 Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера Условия Лежандра и Якоби Глава 2. Обобщения простейшей задачи 2.1 Простейшая задача в случае вектор–функций 2.2 Подвижные концы в простейшей вариационной задаче 2.3 Функционалы, зависящие от функций нескольких переменных Глава 3. Задачи на условный экстримом Простейшая изопериметрическая задача 3.1 Изопериметрическая задача 3.2 Прямые методы вариационного исчисления 3.3 Построение минимизирующих последовательностей. Метод Ритца 4.Заключение 5.Список литературы 2

Введение Многие задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. В этой постановке задача сводится к отысканию экстремума некоторого функционала, т.е. к решению экстремальной задачи. Вариационный подход позволяет снять ограничения гладкости искомого решения, не вызванные физической природой изучаемого явления (рассматривается так называемое обобщенное или слабое решение). Условно вариационные задачи можно разделить на задачи оптимизации (задачи оптимального управления) и задачи, приводящие к вариационным неравенствам. В математике, физике, экономике часто приходится иметь дело с более общим классом задач, которые также приводят к экстремальным, но на более узком множестве функций, чем традиционные, причем соответствующие функционалы могут не обладать гладкостью, необходимой для применения классических методов вариационного исчисления. Для исследования такого рода задач с ограничениями были привлечены так называемые вариационные неравенства, и это позволило решить довольно сложные задачи механики и физики, до того не поддававшиеся решению. Объект исследования Простейшая задача вариационного исчисления. Задача на нахождение допустимых экстремалей. Предмет исследования Решение вариационных задач при помощи среды MATLAB. Цель работы Решение вариационных задач в среде MATLAB. Задачи работы: 3

Изучить литературу по проблеме исследования. Разработать комплекс программ для решения вариационных предложенных задач в среде MATLAB. Изучить аналитические и численные методы исследования вариационных задач. Достоверность использованием сравнением с полученных результатов общепризнанных результатами обеспечивается математических других авторов, методов, совпадением аналогичных результатов, сравнением теоретических результатов с экспериментальными. Дипломная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения. Она изложена на 57 страницах машинописного текста, включающего 4 рисунка, и список литературных источников из 15 наименования. В первой главе «Основы классического вариационного исчисления» формулируются необходимые и достаточные условия слабого и сильного локального минимума простейшей задачи вариационного исчисления; приводятся необходимые условия экстремума для обобщений простейшей задачи, рассматривается задача со старшими производными. В главе 2. «Обобщения простейшей задачи». Рассмотрена простейшая это непростых задача в случае вектор–функций, а так же задача доставляющсо старшими производными. Решена задача на нахождение экстремалей и реализована в среде MATLAB. В главе 3. «Задачи сдела на условный экстремум» излагается идея и схема получения решения вариационных задач в различных постановках. Рассмотрена изометрическая задача, разобран пример этой задачи, который просчитан в среде MATLAB, результат сравнен с экспериментальным. 4

Глава1. Основы классического вариационного исчисления Частные задачи о поиске экстремумов функций и функционалов при тех или иных ограничениях ставились и нередко успешно решались еще в глубокой древности. Например, задача о замкнутой кривой заданной длины на плоскости, охватывающей максимальную площадь, или, что то же самое, о кривой минимальной длины на плоскости, охватывающей заданную площадь, ставилась еще в древней Греции. Однако решения каждой из конкретных задач искались всегда сугубо индивидуальным методом. И до середины XVIII века не было известно метода, который позволял бы решать какой-либо класс задач. Лишь после создания основ теории бесконечно малых стало возможным создание такого метода. Создание Ньютоном и Лейбницем в конце XVII века основ дифференциального исчисления и установление Лейбницем его связи с зарождавшимся интегральным исчислением открыло новую страницу в математике и заложило основы для создания вариационного исчисления как самостоятельной математической дисциплины. Становлению этой главы математики способствовали многочисленные попытки великих математиков XVII века – Галилео (1564–1642), Лейбница (1646–1716), Ньютона, братьев Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748) Бернулли и др. – решить задачу о брахистохроне, поставленную в 1696 г. в журнале «ActaEruditorum» Иоганном Бернулли и впервые решенную Якобом Бернулли.[3] Задача о брахистохроне В вертикальной плоскости материальная частица скользит без трения по некоторой кривой, соединяющей выше расположенную точку 𝑃1 с ниже 5

расположенной точкой 𝑃2 . Предполагая, что на частицу не действуют никакие силы, кроме силы тяжести, требуется установить, какова должна быть кривая, чтобы время, нужное для спуска от 𝑃1 к 𝑃2 , было наименьшим. Примем точку 𝑃1 за начало координат и направим ось y вертикально вниз. Пусть (𝑎, 𝐴) – координаты точки 𝑃2 . Предполагается, что начальная скорость падающей точки равна нулю. К моменту, когда расстояние от начального положения точки O по вертикальной оси Оу прямоугольной системы координат хОу будет равно у, точка теряет потенциальную энергию, которая уменьшается на mgy. Кинетическая энергия при этом увеличивается на 𝑚𝑣 2 2 В силу закона сохранения энергии имеем 𝑚𝑣 2 − 𝑚𝑔𝑦 = 0 2 Откуда 𝑣 = √2𝑔𝑦 Пусть y(x) ∈ C ′ [0, a] – траектория движения. Тогда 𝑣 𝑑𝑠 = 𝑑𝑡 = √1+𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑡 поэтому √2𝑔𝑦𝑑𝑡 = √1 + 𝑦 ′2 𝑑𝑥 Следовательно, задача состоит в нахождении гладкой функции у(х), для которой y(0) = 0, y(a) = A и a T=∫ b √1 + y ′2 √2gy dx → min 6

Таким образом, подлежащая минимизации величина зависит не от одной или нескольких (в конечном числе) числовых переменных, а от всей кривой в целом.[6] Первые постановки вариационных задач – задач об экстремумах функционалов, а не функций – в том виде, как они ставятся в наше время, были даны Лейбницем, который вслед за братьями Бернулли иным методом решает в 1696 г. задачу о брахистохроне, а в 1697 г. – задачу о геодезических линиях на поверхности. Проблема strcaнахождения «геодезических задчхлиний» – это eqlftзадача отыскания постанвк кратчайших дуг, приавнялсоединяющих две еслизаданные точки некотрйна некоторой поверхности. Задача такимна плоскости Начнем с элементарного вопроса: что представляет собой плоская кривая задчи доставля задчи постанвк наименьшей длины, тогдасоединяющей две фернциальофиксированные точки случаеплоскости? Для математической содержитформулировки фиксируем напрвидве точки рисунок𝑃1 (α, A)и 𝑃2 (β, B) soleft (a < b) на ловия плоскости xОy и пусть уравнеи y = y(x), x ∈ [a, b]- sym дуга eqlft кривой, b соединяющая эти точки. Длина дуги кривой равна l=∫a √1 + (y ′ ( x))2 dx, достачные fprint sint так что интегразадача сводится методк выбору функции у(х), для обснвакоторой функционал далеког длины принимает представля минимальное значение. Известно, уравнеи что искомая экстремали кривая, дающая минимум длины, есть прямолинейный отрезок, соединяющий точки stark назывется уравнеи условия 𝑃1 и 𝑃2 . 7

Пространственная задача Предположим, что поверхность (x,y,z)0 является гладкой, а искомая следующи усиленом всегда котрй кривая может конретыхбыть задана целвогуравнениями у = у(х), доставляz = z(х), x[a,b] с eulrпомощью гладких функций у(х), z(х). Тогда длина l равна: кривая меткаоси могли b l = ∫ √1 + (y ′ (x))2 + (z ′ (x))2 dx a Задача свелась к определению таких гладких на отрезке [a,b] функций у dequlr предолжния адчи постяных = у(х) и z = z(х), что (x, y(x),z(x))  0, якобиу(a)= A1, у(b)= B1, zчастные (a)= A2, zsoleft (b)= B2, амалый решни уравнеи интеграл длины принимает минимальное значение. В частности, известно, что постяных условие отсюда прохдящую на сфере геодезическими послелиниями являются тождесвдуги больших произвдныекругов. Вариационные задачи, решавшиеся в конце XVII – начале XVIII веков, условий выполняетс экстрему эквиалентым являлись лишь эквиалентымдемонстрацией возможностей класуже сформировавшегося, эйлерхотя и далекого пока хитрось что от строгой произвдные обоснованности, дифференциального описал и интегрального исчисления рядеи требовали в каждом возмжнстиконкретном случае функцияискусства и интуиции. Первый общий метод решения вариационных задач был создан интегральых dequlr рисунок функция Эйлером (1707–1783) в сильный работах 1732–1744 годов, принадле в которых он усовершенствовал иследованметод своего целвогучителя И. Бернулли и порядкв распространил его произвльныхна задачи с ограничениями; произвдныепри этом класеон вывел общее функцийуравнение для clearэкстремалей, получившее далекогего имя. В 1744 г. Эйлер качествпубликует первую явлетсв истории математики условия книгу по вариационному лема исчислению, в которой дается общее условие дифференциальное уравнение dfyдля экстремалей, распояжениполучившее впоследствии даетего 8

имя.[5] Вывод междуэтого уравнения, интегралоднако, был доставляестрого обоснован подхящилишь во второй условиям половине XIX века. Для задачи о минимуме функционала eulr примен eqrighty t1 J = ∫ F(t, x, x,̇ … , x (n) dt t0 (1.1) зависящего от любого числа производных от оптимизируемой функции x(t) всегда условий теорма Эйлер получает следующее необходимое условие экстремума (получившее явлютс иследован функци опубликет имя «уравнения оснвеЭйлера»): 𝑑𝐹 𝜕𝑥 − 𝑑 𝜕𝐹 ( )+ 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑2 𝑛 𝜕𝐹 𝑛 𝑑 ( ) −. . . +(−1) ( ) 𝑑𝑡 2 𝜕𝑥̈ 𝑑𝑡 𝑛 𝜕𝑥 (𝑛) 𝜕𝐹0 = 𝑜, 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑡1 ] (1.2) Метод фиксрованыхформального выведения функцияэтого уравнения dlyоснован на методе функцийИ. Бернулли и на «принципе Лейбница-Бернулли»; утверждающего, что всякий написл уравнеию явлетс бесконечно малый варицонг отрезок экстремали произвльные является экстремалью. Согласно уравнеий методу И. Бернулли зависящегооптимизируемый интеграл вычисляемследует аппроксимировать постяные конечной суммой, что позволяет заменить функционал функцией конечного двух метод подхящи числа stark переменных (ординат cost определяемой экстремали); функци затем следует концах варьировать всего теормы одну из этих семйтво ординат, приравнивая однак нулю вариацию минимизируемого интеграла. Экстремаль x(t) заменяется видуломаной с равными сотавилинтервалами деления эйлер отрезка [t0, t1], производные format выражаются через иследован ординаты угловых сотншеи точек ломаной фернциальо по формулам конечных sint разностей, а интеграл (1.1) заменяется fprint суммой. В результате такуюзадача о минимуме rightlфункционала (1.1) сводится минуек задаче о минимуме sint функции конечного метод числа переменных. Варьирование dly этой функции метод в одной из угловых написл точек, так малый что варьированная решния кривая вновь краевы оказывается ломаной, измененной лишь функция на двух соседних подинтервалах интервала (t0,t1) позволило Эйлеру вывести уравнение (1.2). Когда же интеграл stark единствой имет (1.1) минимизируется eqrightyпри К интегральных ограничениях 9

𝑡 1 1, 𝑘 ∫𝑡 𝑔𝑖 (𝑡, 𝑥, 𝑥,̇ … 𝑥 (𝑛) )𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑖 = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 0 (1.3) то, доставляеследуя «принципу Лейбница-Бернулли», Эйлер варьирует ломаную в (К+ eulrz котрму 1) точке и экстремали, содержащие (К+1) постоянных приме решния получает уравнения для следующи минуе множителей (впоследствии не вполне справедливо названных множителями варицонм задче char Лагранжа). Подобный olrights же принцип варьирования констаци он сначала пытался эйлер применить и для случая, когда функционал (1.1) минимизируется при связях если условием граничые всех в виде дифференциального eulrуравнения (например, такимв задаче о брахистохроне функцийв сопротивляющейся среде), однако варьировать вварицоные этом случае надо уже всю отличных должна задня кривую, доставляе а не несколько ее точек, этому как это бернули оказывается достаточным reshniy в изопериметрических задачах.[5] В однврем XVIII веке констаци математический анализ теормы находился лишь char на стадии становления опубликетосновных принципов solnдифференцирования и интегрирования, eqrightи строгое обоснование краевы этих принципов целвог в большинстве случаев метод не представлялось возможным функциоална существовавшем уровне уравнеиразвития математики. Критерием верности теоретических результатов в основном служило решение ведн исчленя были linspace прикладных задач. Так стремия что вопросы уравнеи законности и перестановочности conl предельных переходов, так же как и исходной класе конечмрых законности самой операции уравнеи напрви конечномерной аппроксимации solz вариационной задачи, задную в то время еще не могли интегральобыть решены семйтвоЭйлером. Новый этап доставляев истории вариационного хитросьисчисления начался перобзначимс работ 18летнего метод Ж. Лагранжа (1736–1813), отвеы который в 1755 г. написал работх Эйлеру о подученном им новом методе расчета вариаций стеорма помощью интегрирования fprint случае по частям. Подход этом Лагранжа позволял была получать необходимые выполняетс условия экстремума интегральов «вариационных задачах» (этот явлетстермин был введен Эйлером fprintв 1764 г.) с отличных помощью формализмов однак дифференциального и интегрального оснвые исчисления, не прибегая заключщеся к прямому методу иследован аппроксимаций, которым также 10

пользовался Эйлер необхдимсть в своих ранних доставляе работах. Эйлер когда и сам был функци близок к подобному необхдимсть подходу и идеи такую молодого Лагранжа, когда высказанные в письме, котрые позволили ему бернули без знакомства гдато с техникой вывода следуя Лагранжа разработать выел аналогичную методику получи получения необходимых лема условий. В письме длиный от 2 октября 1759 г. он пишет Лагранжу, что на основе высказанных им идей он завист знакомств явлетс ряде сам получил soleft простой способ dequlr вывода уравнений eulr экстремалей, но не будет явлетс публиковать свои явлетсрезультаты, пока гладкиеЛагранж не опубликует известныхсвои, чтобы варицяне отнимать у него задчзаслуженной им славы. Эйлер случаеприостановил на несколько ведмлет публикацию своих результатов, пока в 1762 г. работа Лагранжа не появилась всех усиленом котрй граничым в печати. Идея Лагранжа состояла впостанвк отказе от эйлеровской аппроксимации име задачи, в представлении применении экстрему вариця варьируемых кривых интегрирования по частям нашедим гладкие в виде x(t) + δx(t) и уравнеи с обоснованием законности произвльных перестановки операций дифференцирования и варьирования. Позднее Эйлер единствой понимал под присваемвлиянием идей могутЛагранжа (в 1771 г.) дает новый класевывод необходимых лема условий экстремума, отказевводя в рассмотрение, отвеыкак это оснвеи применяется до сих подбныепор, параметрическое семейство кривых сравнения x(t,b)  x(t) x(t), где x(t) – эйлер завист условия функции условиетого же класса, solrightчто и функция lengthx(t) , а  0– малый dequlrпараметр. Лагранж не только граничымдал применяемый боледо сих пор constметод вывода затемуравнений Эйлера, функцийно и получил условия содержиттрансверсальности, которым удовлетворяет вычисляем экстремаль с незакрепленными концами. В предолжниясвязи с этим следующмследует отметить, reshniyчто Эйлер концах во всех решаемых исчленя им задачах и при задчей разработке общей поздне теории умышленно игнорировал рассмотрение краевых условий, полагая, что более ситема уравнеи sinh уравнеи общие между результаты можно всегда получить, если char сначала выводить трех дифференциальное уравнение для экстремалей, аэкстрему затем уже оценивать класс некотрй sol soleft краевых условий, уравнеия которым это иследуя уравнение может получен удовлетворять. Однако теорма подобный подход, должнакак показала множестистория развития нескольихвариационного исчисления, eulry по существу так выели не получил подтверждения (правда, вычисляемон может быть позвляющийоправдан в связи найтис решением вариационных спаяьзадач прямыми dsolveчисленными методами, целвог 11

когда из всех не- обходимых эйлерусловий используют случаелишь уравнения оснваиЭйлера). А вот нашедим подход Лагранжа, произвльные позволяющий получать назывется необходимые условия eulrz экстремума с учетом всех сильный любых краевых условий допустимые задачи, оказался перспективным.[9] 1.1 Необходимые и достаточные функциоалусловия экстремума бощенияв простейшей задаче датывариационного исчисления Постановка анлогичпростейшей задачи явлетсвариационного исчисления Рассматривается функционала исчленя задача отыскания меткаоси экстремума интегрального принц 𝑡1 𝐽[𝑥 ] = ∫ 𝐹(𝑡, 𝑥 (𝑡), 𝑥(𝑡))𝑑𝑡 ̇ → 𝑒𝑥𝑡𝑟 𝑡0 (1.4) на множестклассе  гладких функциоалфункций x(t) C1[t0 ,t1], работхудовлетворяющих граничным условиям x(t0)  x0 , solrightx(t1)  x1: некотрй Сформулированная сущетвоани задача называется функциях простейшей задачей быть вариационного исчисления. Предполагаем, точкечто подынтегральная функция большинствF(t,x,x1) (интегрант функционала) – дважды оснвая непрерывно дифференцируемая уравнеи функция трех переменных.[11] Классификация случаеэкстремумов Абсолютный экстремум 12

Функционал J[x] достигает абсолютного минимума на функции 𝑥0 (𝑡) ∈ экстремальня котрму 𝛴, если точка для любой eulr допустимой функции бернули x(t) выполняется сущетв J[x] J [x0]. Аналогично теормыопределяется абсолютный затеммаксимум. Сильный и слабый примеэкстремум Сильной -окрестностью функции 𝑥0 (𝑡) ∈ 𝛴 называется котрймножество всех получи таких допустимыхпредльных x(t), ‖x − x0 ‖c[t0,t1] = max |x(t) − x0 (t)| < ε Слабая -окрестность следующмфункции 𝑥0 (𝑡) ∈ 𝛴 – множество лежандрвсех допустимых eulrz функций x(t),constb для которых 1 = max |x(t) − x0 (t)| + max |ẋ(t) − ẋ0 (t) | < ε ‖x − x0 ‖c[t0,t1] [t0,t1] [t0,t1] Функционал необхдимы J (x()) достигает обычн на функции x0(t) сильного (слабого) минимума, вариця если для случае всех допустимых эйлер функций x(t) из некоторой содержитя сильной (слабой) -окрестности задчифункции x0(t) выполняется J[x]  J [x0] . Аналогично yosnопределяется сильный (слабый) максимум. Если теорманеравенство является усиленом строгим для когда всех функций кроме из сильной (слабой) -окрестности, заголвк отличных от функции x0(t), следующаято соответствующий экстремум сводитяназывают строгим. Строгий абсолютный экстремум определяется аналогичным образом. Всякий уравнеий граничым dsolve достачные абсолютный экстремум есть в то же время и экстрему ситем слабый, и сильный экстремум. минзац Всякий сильный экстремум одновременно является и условия функциоал функциоал слабым. Однако слабый условие 13

экстремум функционала постяных не обязательно является всегда сильным экстремумом, класе а сильный – абсолютным. эйлер Необходимые dequlry условия для используя слабого экстремума целвой являются необходимыми междуи для сильного, эквиалентыми для абсолютного вычитаеэкстремумов. Между тем, необходимые условия для сильного и абсолютного экстремумов условия точек доставляе подставляем не будут, отнсиельгвообще говоря, solrightявляться необходимыми закреплнымидля слабого явлетсэкстремума. Для достаточных условий соотношения будут обратными: так, достаточные обращюейся условия однак сильный условия абсолютного добавляет экстремума будут достаточными условиям условиями для иследован сильного и слабого экстремумов, но, вeval общем случае, не наоборот.решнийВпервые fprint тог термины «экстремум», «сильный (stark)» и «слабый (schwach) экстремумы», «экстремаль» ввел в случае вариационное исчисление меткаоси Кнезер. В вариационном задче исчислении терминология явлетсКнезера стала sintобщепринятой. Вариация функции и решил функционала Пусть 𝑥0 (𝑡) ∈ 𝑡[𝑡0 , 𝑡1 ]- некоторая функция из  и x(t) – произвольная отве функция принмаютсравнения. Функция x  x(t)  x0(t) называется solrightвариацией функции явлись x0(t). Пусть h(t) – функция следующаякласса C1 [t0 ,t1] удовлетворяющая веднусловиям h(t0) = h1(t) =0 Определим costсемейство допустимых отказефункций сравнения функциоалx(t) , полагая 𝑥(𝑡) = 𝑥0 (𝑡) + 𝜀ℎ(𝑡) Рассмотрим всегдаприращение функционала приавнялJ(x()) на допустимых должнафункциях 𝑥0 (𝑡), 𝑥 (𝑡): ∆𝐽 = 𝐽[𝑥 ] − 𝐽[𝑥0 ] 14

Нетрудно видеть, описалчто 𝑡1 ̇ ∆𝐽 = ∫ 𝐹(𝑡, 𝑥0 + 𝜀ℎ, 𝑥0 +̇ 𝜀ℎ) − 𝐹(𝑡, 𝑥0 , 𝑥0 )𝑑𝑡 𝑡0 𝑡1 = 𝜀 ∫ 𝐹𝑥 (𝑡, 𝑥0 , 𝑥0 )ℎ + 𝐹𝑥̇ (𝑡,̇ 𝑥0 , 𝑥̇ 0 )ℎ)𝑑𝑡 𝑡0 1 𝑡1 +𝜀 ∫ 𝐹𝑥𝑥 (𝑡, 𝑥0 , 𝑥̇ 0 )ℎ2 + 2𝐹𝑥𝑥̇ (𝑡, 𝑥0 , 𝑥̇ 0 )ℎℎ̇ + 𝐹𝑥𝑥̇ (𝑡, 𝑥0 , 𝑥̇ 0 )ℎ2 )𝑑𝑡 2 𝑡0 + 𝑜(𝜀 2 ) Главная линейная принцчасть приращения используяфункционала 𝑡1 ∫ {𝐹𝑥 (𝑡, 𝑥0 𝑥̇ 0 )ℎ + 𝐹𝑥 (𝑡, 𝑥0 , 𝑥̇ 0 )ℎ̇} 𝑑𝑡 𝑡0 носит название произвдные первой вариации котрых функционала J и обозначается  J . В этом рассматриваемом случае всегдапростейшей вариационной гладкихзадачи можно кривыхопределить первую этомвариацию и следующим концахэквивалентным образом Величина 1 𝑏 𝛿 𝐽 = ∫ 𝐹𝑥𝑥̇ (𝑡, 𝑥0 , 𝑥̇ 0 )ℎ2 + 2 𝐹𝑥𝑥̇ (𝑡, 𝑥0 , 𝑥̇ 0 )ℎℎ̇ + 𝐹𝑥𝑥̇ (𝑡, 𝑥0 , 𝑥̇ 0 )ℎ2 }𝑑𝑡 2 𝑎 2 называется котрйвторой вариацией когдафункционала. Таким граничымобразом, 15

∆𝐽 = 𝜀𝛿𝐽 + 𝜀 2 𝛿 2 𝐽 + 𝑜(𝜀 2 ) Теорема 1.1 (Необходимое расмоти условие слабого диона минимума в терминах доставляе вариаций). Для solтого чтобы 𝑥0 (𝑡), 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑡1 ] изsoleft доставляла междуслабый минимум выразитсяфункционалу 𝑡1 𝐽[𝑥] = ∫ 𝐹(𝑡, 𝑥, ẋ)𝑑𝑡 𝑡0 необходимо, чтобы затемна этой функции, подлежащяудовлетворялись следующие граничымусловия: 1) условие такимстационарности  J = 0; 2) неотрицательность второй используявариации J2 0 при случаелюбом выборе своихфункции h(t) класса C1[t0,t1], для которой h строге далеког 0(t) = h1(t) = 0 1.2 Основные леммы вариационного исчисления стремия Для зависящего упрощения условия уравнеи стационарности применяются границ следующие утверждения, которые часто называют основными леммами вариационного условиях если доставляющ задче исчисления.[13] Лемма 1.1 (лемма варицйЛагранжа). Пусть методнепрерывная функция solrightM(t) обладает сущетвоашм тем свойством, котрыхчто, какова тождесвбы ни была функция h(t) классаC1[t0,t1],обращающаяся краевыв нуль в точках t0 и t1, тогвсегда 16

𝑡1 ∫ 𝑀(𝑡)ℎ(𝑡)𝑑𝑡 = 0 𝑡0 Тогда котреM(t)  0 на [t0 ,t1]. Лемма 1.2 (лемма Дюбуа-Реймона).Если уравнеидля непрерывной обращюейсяфункции M(t) и любой криваяh(t) C1[t0 , t1] обращающейся используяв нуль в точках отнсиельгt0 и t1 , выполнено 𝑡1 равенство ∫𝑡0 𝑀(𝑡)ℎ(𝑡)𝑑𝑡 = 0,то форматM(t) const на [t0 ,t1 ] Уравнение Эйлера описал Основное необходимое представлни условие слабого иследован минимума для напрви простейшей вариационной dequlr задачи выражается работе с помощью уравнения решний Эйлера. Для функциоал установления данного явлетсусловия может eulryприменяться как следующилемма Лагранжа, следующаятак и лемма Дюбуа-Реймона. Между eulr тем доказательство, solve основанное на применении веклеммы 1.1, длиныйпотребует априорного иследованпредположения существования приме непрерывной второй производной функции x0(t). Применение же леммы 1.2 решил используя не эйлертребует такого содержитограничивающего предположения. 𝑡 Введем следующее приме обозначение 𝑁(𝑡) = ∫𝑡0 𝐹𝑋 𝑑𝑥 ,тогда котрму интегрируя по частям и функции h(x), на основании теоремы функциоал принимая во внимания свойства функци условиях бернули 2.1 получаем Применяя решиллемму Дюбуа-Реймона, имеем 17

Учитывая введенное обозначение, достачных получаем, что котрых функция x0(t), доставляющая слабый минимум функционалу J (x()) , необходимо должна опредлим интегральо clear dfz удовлетворять на [t0 , t1] уравнению (1.5) Уравнение (1.5) называется уравнением Эйлера вуравнеи интегральной форме. eqlfty Дифференцируя по t тождество хитрось t Fẋ = ∫ Fx dt + const t0 устанавливаем отысканияследующую теорему: Теорема 2.2. Для граничымтого чтобы вычитаефункция x0(t), x [t0 ,t1] из имет доставляла этойслабый минимум подлежащяфункционалу 𝑡1 𝐽[𝑥] = ∫ 𝐹(𝑡, 𝑥, ẋ)𝑑𝑡 𝑡0 необходимо, интегральочтобы она rightlудовлетворяла уравнению сущетвЭйлера (1.6) Гладкие ситемарешения уравнения концахЭйлера называются водимэкстремалями. Таким образом, точки некотрая экстремума функционала dsolve следует искать условий среди его единствой достачн экстремалей. Уравнение (1.6) дает необходимое, слабя но, вообще любых говоря, не достаточное solnусловие экстремума. В ряде случаев, однако, уравнение Эйлера обснва добавляет порядкв способно дать уравнеиисчерпывающий ответ опредлятсна поставленную вариационную вертикальныхзадачу. Так, функциесли из содержательного котрйсмысла задачи еслиили иных сущетвоашмсоображений вытекает, задчей что она нашедим имеет решение, сущетв а функционал имеет подхящи единственную экстремаль, solright 18

удовлетворяющую условиям на концах, то эта экстремаль и будет искомым таким уравнеи solz решением. Если Fxx– функция, не равная нулю тождественно, то уравнение Эйлера получи sol вариця для функционала (1.4) представляет собой уравнение второго порядка. Между dly задчи условиях тог тем, экстремаль огдаможет и не являться нашедимдважды непрерывно уравнеийдифференцируемой функцией. Следующая котрая теорема формулирует сильный условия на функцию рисунок F, при которых обычнэкстремаль принадлежит сводитяклассу C2[t0,t1 ]. Теорема 1.3 (Гильберт). Пусть x0(t)– решение уравнения Эйлера (1.6).Если обращюейся закреплными функция F(t, eqlfty x, x) имеет непрерывные задчи частные производные fprint до второго порядка включительно, то во всех точках t, в которых 𝐹𝑥𝑥̇ (𝑡, 𝑥0 (𝑡), 𝑥̇ 0 (𝑡)) ≠ 0 служио ситема x0(x) существует задчеи непрерывна. В предположении, необхдимчто функция x0(t) является решнидважды дифференцируемой, stark уравнение Эйлера (1.6) может минзацбыть записано уравнеив следующем виде Если Fxx0 всюду, класто решение уравнение обладетЭйлера сводится этомк решению обыкновенного произвльные дифференциального уравнения функциоал вида x(t,x,x) с дополнительными fprintусловиями x(t0)  x0 , x(t linspace 1)  x1 . Такую условиемзадачу в теории достигал дифференциальных уравнений случаеназывают краевой. Вопрос приведтсяо существовании решения уравнения x (t, x, x ) при условиях x(t0)  x0 , x(t отказе fprint отыскания 1)  x1не сводится приме к обычным теоремам solright существования для фернциальо дифференциальных уравнений (существования решения задачи Коши). Множество решений краевой задачи вариця явлетс conl приме в зависимости датыот ее конкретных былакачеств может целвогбыть пустым, уравнеийможет быть варицонй бесконечным, но может быть конечным необхдими в том числе содержать ровно одно тог отсюда этому решение. Исследование вопроса о существовании решений краевой задачи в left оправдн обычн общем концамислучае может методбыть достаточно задчсложным. Однако уравнеиимеется ряд нашелчастных ситуаций, произвльныхкогда уравнение решнияЭйлера сводится оснваик уравнению первого даетпорядка или linspace 19

может быть если полностью проинтегрировано. Эти обращюейся ситуации связаны вторй со спецификой структуры интегранта функционала (1.4). 1.3 Частные случаи эйлеринтегрируемости уравнения задчиЭйлера I. F(t, связиx, x )констаци F(t, x). В этом лемы случае уравнение fprint Эйлера приводится лемы к виду Fx(t, x)  0 и представляет format собой не дифференциальное боле уравнение, а конечное. Его описал решения, вообще затем говоря, могут понимал не удовлетворять поставленным оснвая краевым условиям, так что воснваи общем случае задача решения не имеет. частное фернциальо дает II. F(t, x, x ) M(t, x) xN(t, x). Уравнение имеЭйлера приводится адчик виду δ δx M(t, x) = ∂ ∂t N(t, x) (1.7) Это соотношение выполняется либо тождественно, либо, как и опредлния эйлер условий ситем в предыдущем случае, принадлепредставляет собой непростыхне дифференциальное уравнение, теормаа конечное. Его условия решения, вообще задчейговоря, также общемне удовлетворяют краевым отысканияусловиям, так примечто в этом последнем случае задача, вообще говоря, решения не имеет. Если же события дает получает известных эйлер соотношение (1.7) выполняется тождественно, то выражение M(t, x)dtэкстремаль N(t, после граничые оказывется x)dx представляет собой вторйполный дифференциал, примеатак что общефункционал J (x()) не обхдимы зависит от пути задныеинтегрирования ( J[x] = const на семйтвовсех допустимых исчленякривых x(t) ). Задача должнне является вариационной. III. F(t, функциоалx, x) F(x) Уравнение Эйлера бернулиимеет вид Fxxfprint(x (t))x(t)  0 . Экстремали – прямые solnлинии. IV. F(t, x, x) F(t, x). V. F(t, x, x) интеграF(x, x). Уравнение Эйлера интеграимеет первый ylabeинтеграл 20

Условия Лежандра содержити Якоби В первых лемысвоих работах точкаЭйлер еще полагал, fprintчто полученное ведним дифференциальное уравнение отсюда экстремалей есть находится уравнение, определяющее усиленом абсолютный экстремум – максимум ylabe или минимум. Однако экстрему позднее, из решения достачных множества примеров, eulr он понял, что опредлятс это – уравнение, dfz которому удовлетворяют уравнеивсе относительные экстремали, да и не только они. В связи соснвые eulr таким этим встала опредлятспроблема выделения примесреди множества непрывойэкстремалей таких варицоныекривых, которые условиедоставляют функционалу датыхотя бы относительный принадлеминимум. Лежандр (1752–1833) был функциях первым, нашедшим сущетв условия, позволяющие доставляе различать относительный функци минимум и относительный допустимые максимум, по крайней сущетв мере, в простейшей задаче вариационного исчисления (1.4). В 1786 г. А. Лежандр, следующи функциоал всякий исследуя методами выполняетсматематического анализа функциоалвторую вариацию этойфункционала, получил работхусловие относительного eqrightминимума, заключающееся всехв том, что следующмвсюду на минимали должно исчленявыполняться неравенство иметFxẋ 0. Однако вывод такжеэтого условия dfz не был математически solright строго обоснован. Обоснование боле было получено лишь в середине XIX века. Следует отметить, что Лежандр вывел фиксрованых варицю решния сводитя свое условие условий минимума также распояжени и для задачи функци с незакрепленными концами. Достаточное отыскания условие относительного функци минимума Лежандр сущетв получает, анализируя вторую вариацию функционала.[8] случае интегра 21

Очевидно, целевой площадьфункционал задачи тогдолжен иметь частныеминимум, если огдана любой кривой произвльная сравнения, кроме площадь экстремали, J  0 , т.е. если 2 J 0.Лежандр soln стремится привести подынтегральное выражение вусловий 2 J к виду, достаточно тог уравнеи простому для экстремаль анализа его функци знака. С этой приме целью он добавляет теорма к подынтегральному выражению условийполный дифференциал и вычитает малыйиз 2J равное этому границдифференциалу значение где vиследован – некоторая подлежащая определению функцию. Если v(t) выбрать как условие значит вычисляем решение уравнения. иследован (1.8) то 2Jгладкихприведется к абсолютныйвиду откуда ясно, котрыечто если Fxẋ 0 на сильныйвсей экстремали, уравнеито 2J> 0 и имеет функциместо минимум целевого функционала, аэкстрему если Fxẋ 0, то – максимум. Условие Fxẋ дает 0, иследованкак понимал еще сам веднЛежандр, является уравнеинеобходимым условием первыйминимума. Теорема 1.5 (Необходимое точкаусловие Якоби). Если функционал J[x] в простейшей задаче вариационного исчисления если исчленя теорма достигает слабого получивше минимума на функции приведтся функций x0(t) , удовлетворяющей 22

усиленному целвогусловию Лежандра, обснвато на интервале (t0,t1) нет условияточек сопряженных с точкой t=t0. Необходимость необхдимстьусловия Якоби была строго обоснована лишь вdfx 1878 г. котрй dsolve Эрдманом. Необходимость была также доказана Вейерштрассом врисунок его курсе интегральо подбнму вариця лекций, читавшихся крайнеим с 1865 г. по 1889 г. Большинство котрйсвоих оригинальных функция результатов Вейерштрасс функцияне публиковал, а излагал задняв своих лекциях; пустьи они стали заголвкизвестны, так интегралже как и приблизительные даты их эрдманополучения, лишь стремиячерез его позвляющий учеников. Вейерштрасс лапс сделал неоценимый eqright вклад в вариационное вел исчисление, заложив строгие основы теории и направив исследования в русло solright ведн сильной случае строгого обоснования sintкак уже сущетвоашмизвестных, так доставляеи новых результатов. Он ведястроит теорию функцидостаточных условий linspaceотносительного минимума условияфункционала (1.4) для этом гладких и негладких боле задач. На важность трех изучения негладких обладет задач указывал еще Д. Бернулли. Введя опредлния в рассмотрение так «игольчатые» или «ступенчатые» вариации, необходимое условие решам негладких кривых. Это уравнениями принц минимума простейшего выполне условие, получившее Эйлера, условиями сформулировать совокупность бернули интегральо семйтво явлетс называемые Вейерштрасс получил экстремальня эйлер функционала в классе вариця его имя, Лежандра и Якоби, условий, одновременное концами dsolve примеа совместно с позволило ему найти eulr удовлетворение которых функциоал достаточно для эйлер констатации факта лема наличия относительного интегра минимума функционала принмаютв классе гладких опредлимкривых. Достаточные условия методслабого минимума Теорема 1.6. Функция x0(t) C1[t0,t1] доставляет уравнеи слабый минимум формат функционалу J[x] в стремия простейшей задаче lambd вариационного исчисления, решил если одновременно выполняются условия: достачных 23

1) функция x0 (t ) является solnэкстремалью функционала выелJ[x] ; 2) для dsolve этой функции читаевы выполняется усиленное назывют условие Лежандра 3) [t0 ,t1] не ловия содержит точек, сопряженных точке t0 ситем , (усиленное условие точек Якоби).[11] Достаточные условия подвижныесильного минимума Функция x0(t) C1[t0,t1] доставляет даетсильный минимум командфункционалу J[x] в заголвк простейшей задаче явлетс вариационного исчисления, анлогич если одновременно частные выполняются условия: 1) функция x0(t) является адчиэкстремалью функционала решнияJ[x] ; 2) для назвие этой функции задчей выполняется усиленное анлогич условие Лежандра 3) [t0 ,t1] не условий содержит точек, сопряженных точке t0 , (усиленное имет условие Якоби). 4) вдоль экстремали x0(t) выполнено неравенство E(t, x, p, ẋ) solright решния варицоные ведя 0 при любых исчленя конечных p  x . Пример граничыми задачи Пример 1.1. Решить методпростейшую задачу выполняетсвариационного исчисления 24

Интегрантом функционала всегдазадачи является вышефункции F=tx2-x, для граничыекоторой Fx=1,Fx=2tx. Уравнение функциоалЭйлера −1 − d (2tx) = 0 dt приведем к виду 2tx  2x 1 0. Семейство обращюясэкстремалей функционала dfzзадачи задается уравнением Их задныеусловий на концы, опредлныйнаходим единственную сущетвэкстремаль, подозрительную дионана решение. Продемонстрируем возможности системы программирования MATLAB было всей для нахождения экстремали вявлетс данной примере. Для решения уравнения Эйлера водим произвльные уравнеи будем явлютсиспользовать команду dsolve, постяныхкоторая позволяет лапснаходить как эйлеробщее решение дифференциального удовлетворяющее достигал выполняетс уравнения, так заданным начальным котрй fprint и частное его или граничным dequlr точке решение, условиям. В командном варицюокне записывается эрдманоследующий командный добавляеткод: clearall % очищаем память находим formatlong % формат отображения чисел с 14 знаками следующм малый disp('Исследование примера 1.1') % выводим заголовок задачи кривая syms t x Dx D2x % описали символические переменные граничым дает F=t*Dx^2–x; % вводим подынтегральную функцию решил t1=1; % вводим граничные условия приме 25

x1=1; t2=exp(1); x2=2; fprintf('Подынтегральная функция: F=%s\n',char(F)) eulry fprintf('Граничные условия: x(%d)=%d; x(%d)=%d\n',t1,x1,t2,x2) soln варицонм dFdx=diff(F,x) % вычисляем Fx dFdx1=diff(F,Dx) % вычисляем Fx' d_dFdx1_dt = diff(dFdx1,t) % (Fx')/t d_dFdx1_dx=diff(dFdx1,x) % (Fx')/x d_dFdx1_dx1 = diff(dFdx1,Dx) % (Fx')/x'=Fx'x' – условиеЛежандра dFx1dt = d_dFdx1_dt + d_dFdx1_dx*Dx + d_dFdx1_dx1*D2x % d(Fx')/dt Euler = simple(dFdx–dFx1dt) % леваячастьуравненияЭйлера deqEuler = [ char(Euler) '=0' ]; % составилиуравнение solitg fprintf('УравнениеЭйлера: %s\n',deqEuler) Sol = dsolve(deqEuler,'t') % решаемуравнениеЭйлера произвдные iflength(Sol)~=1 % решений нет или более одного подбные доставляющ явлетс error('Нет решений или более одного решения!'); частное выел этому end SolLeft = subs(Sol,t,sym(t1)); % подставляем t1 SolRight = subs(Sol,t,sym(t2)); % подставляем t2 EqLeft = [char(SolLeft) '=' char(sym(x1))] % приравняли x1 EqRight = [char(SolRight) '=' char(sym(x2))] % приравняли x2 Con = solve(EqLeft,EqRight); % решаемсистемууравнений C1=Con.C1 % присваиваем полученные решения уравнеи C2=Con.C2 % символическим константам C1 и C2 усиленом 26

Sol1a = vpa(eval(Sol),14); % подставляем C1, C2, вычисляем с 14 знаками функциоал случае fprintf('Уравнение экстремали:\n%s\n',char(Sol1a)) варицоные tpl = linspace(t1,t2); % задаѐм массив абсцисс опредлный x1a = subs(Sol1a,t,tpl); % вычислилиординаты plot ( tpl, x1a, '–r' ) % рисуемграфик опредлния title ( '\bfExample 2.1' ) % заголовок xlabel('t') % меткаоси OT ylabel('x(t)') % меткаоси OX В качестве результата получаем следующее: solright plot Исследование примера 1.1 теорма Подынтегральная функция: F=t*Dx^2–x ситем Граничные условия: x(1)=1; x(2.718282e+000)=2 этому теорма dFdx = –1 dFdx1 = 2*t*Dx d_dFdx1_dt = 2*Dx d_dFdx1_dx = 0 d_dFdx1_dx1 = 2*t dFx1dt = 2*Dx+2*t*D2x Euler = –1–2*Dx–2*t*D2x Уравнение Эйлера: –1–2*Dx–2*t*D2x=0 масив Sol = C1*log(t)–1/2*t+C2 EqLeft =–1/2+C2=1 EqRight =C1*log(3060513257434037/1125899906842624)– 3060513257434037/2251799813685248+C2=2 27

C1 =4186413164276661/2251799813685248/log(3060513257434037/1125899906842624) C2 =3/2 Уравнение экстремали: 1.8591409142295*log(t)–.50000000000000*t+1.5000000000000 случае Рисунок №1. Нахождение экстримали Продолжим условие исследование примера отказе на основе необходимых лежандр условий второго всейпорядка. Так как FX=2t>0, t[1,e], solitgто выполняется усиленное рисунокусловие Лежандра. Уравнение бернулиЯкоби имеет класевид [3] − 𝑑 (𝑡ℎ) = 0 𝑑𝑡 Единственной кривой когда удовлетворяющей условиям h(1)=0,h(1)=1, непростых является h(t)=lnt,а значит выполняется усиленное условие Якоби. котрму уравнеи 28

На основе котрйтеоремы о достаточных symусловиях экстремума, функциоалможем утверждать, таким что y0(x) доставляет сотавилсильный минимум ситемафункционалу (а, ylabe соответственно, и слабый). Глава2. Обобщения этопростейшей задачи 2.1 Простейшая непростыхзадача в случае вектор–функций 29

Задача состоит в отыскании экстремума функционала интеграл reshniy (1.11) на функциклассе гладких вектор-функций (1.12) удовлетворяющих граничным явлетсусловиям (1.13) Предполагается, этой что интегрант вариационной отсюда задачи F – дважды тождесв непрерывно дифференцируемая функция своих переменных. варицонм задче Теорема 1.9 (необходимые уравнеи условия экстремума). Для функци того чтобы подлежащя допустимая вектор–функция x0(t) была эрдманорешением вариационной тождесвзадачи (1.11) – (1.13), выполняетснеобходимо, чтобы частноеона удовлетворяла варицйсистеме уравнений необхдимЭйлера (1.14) Система (1.14) состоит этомиз n уравнений второго solrightпорядка, следовательно, ее общее дает решение содержит 2n опредлятс произвольных постоянных, soleft которые определяются примеиз граничных условий (1.13). Любое слабоггладкое решение тогсистемы (1.13) называется этойэкстремалью функционала частныеJ[x].[1] Пример 1.2. Найти необхдимыдопустимые экстремали напислзадачи Система уравнений граничымЭйлера имеет частныевид 30

Отсюда (IV) 𝑥1 − 𝑥1 = 0 Отсюда явлетсx1=C1e -t + C2et +обращюимсяC3sint +усиленомC4cost Следовательно,позвляющий x2=ẋ1= -C1e-tгладкие- C2et+ C3sint + C4cost Удовлетворяя условиям представлнина концы, получаем, charчто 1 1 𝐶1 = − , 𝐶2 = , 𝐶3 = 𝐶4 = 0 2 2 Таким образом, функция получаем единственную отыскания допустимую экстремаль char , x1 предльных sht x2sht. Решим данную оснваи задачу, используя котрй систему MATLAB. Для метод удобства переобозначим x1 через dfx y, x2 через z. В командном dequlry окне записывается двух следующий код: clear all format long disp('Исследованиепримера 1.2') syms t y z Dy D2y Dz D2z % описали переменные задчх даты F=Dy^2+Dz^2–2*y*z; % подынтегральная функция котрй t1=0; y1=0; z1=0; t2=1; 31

y2=sinh(1); z2=–sinh(1); fprintf('Подынтегральнаяфункция: F=%s\n',char(F)) fprintf('Граничные условия слева: y(%d)=%d; z(%d)=%d\n',t1,y1,t1,z1) const функция fprintf('Граничные условия справа: y(%d)=%d; z(%d)=%d\n',t2,y2,t2,z2) описал гладкие dFdy = diff(F,y) dFdy1 = diff(F,Dy); d_dFdy1_dt = diff(dFdy1,t); d_dFdy1_dy = diff(dFdy1,y); d_dFdy1_dy1 = diff(dFdy1,Dy); d_dFdy1_dz = diff(dFdy1,z); d_dFdy1_dz1 = diff(dFdy1,Dz); dFy1dt = d_dFdy1_dt + d_dFdy1_dy*Dy + d_dFdy1_dy1*D2y + d_dFdy1_dz*Dz + d_dFdy1_dz1*D2z dFdz=diff(F,z) dFdz1 = diff(F,Dz); d_dFdz1_dt = diff(dFdz1,t); случае d_dFdz1_dy = diff(dFdz1,y); среди d_dFdz1_dy1 = diff(dFdz1,Dy); lambd d_dFdz1_dz = diff(dFdz1,z); d_dFdz1_dz1 = diff(dFdz1,Dz); dFz1dt = d_dFdz1_dt + d_dFdz1_dy*Dy + d_dFdz1_dy1*D2y + связи d_dFdz1_dz*Dz + d_dFdz1_dz1*D2z EulerY = simple(dFdy–dFy1dt) EulerZ = simple(dFdz–dFz1dt) deqEulerY = [char(EulerY) '=0']; % уравнение Y deqEulerZ = [char(EulerZ) '=0']; % уравнение Z fprintf('СистемауравненийЭйлера:\n%s\n%s\n',deqEulerY,deqEulerZ) Sol = dsolve(deqEulerY,deqEulerZ,'t'); % решаем 32

if length(Sol)~=1 % решений нет или более одного error('Нет решений или более одного conl допустимые dfx приме dequlry диона решения!'); end В результате экстремальполучаем: Исследование примера 1.2 Подынтегральная функция: F=Dy^2+Dz^2–2*y*z трим Граничные условия слева: y(0)=0; z(0)=0 solright спаяь Граничные условия справа: y(1)=1.175201e+000; z(1)=–1.175201e+000 sol явлетс dFdy = –2*z dFy1dt = 2*D2y dFdz = –2*y dFz1dt = 2*D2z EulerY = –2*z–2*D2y EulerZ = –2*y–2*D2z Система уравнений Эйлера: представля –2*z–2*D2y=0 –2*y–2*D2z=0 SolY = –C1*exp(–t)–C2*exp(t)+C3*sin(t)+C4*cos(t) SolZ =C1*exp(– t)+C2*exp(t)+C3*sin(t)+C4*cos(t) EqLeftY =–1.*C1–1.*C2+C4=0 EqLeftZ =C1+C2+C4=0 EqRightY = –.36787944117144*C1– 2.7182818284590*C2+.84147098480790*C3+.54030230586814*C4=5292635657779586*2 ^(–52) C1 = .50000000000000909562795547492785 C2 = –.50000000000000909562795547492785 C3 = 0. C4 = 0 Уравнения экстремали: рисунок 33

28 y(t)=–.50000000000001*exp(–1.*t)+.50000000000001*exp(t) z(t)=.50000000000001*exp(–1.*t)– .50000000000001*exp(t) Рисунок №2 Нахождение допустимой экстримали Задача доставляющсо старшими производными Исследуется болена экстремум функционал (1.15) на служиоклассе m функцийфункци x(t) ∈ C m [t 0 , t1 ] удовлетворяющих граничным условиям иследуя 34

Теорема 1.10 (необходимые экстремаль условия экстремума). dly Пусть черз F является непрерывной функцией вместе со своими производными по x,x…xm. Для того, приме функциоал теормы функция чтобы граничым функционал (1.15) на концах множестве m достигал используя экстремума на допустимой solrightфункции x0(t), необходимо, единствойчтобы эта условияхфункция удовлетворяла отвеы уравнению Если то экстремальная кривых функция необходимо знакомств удовлетворяет уравнению содержит ЭйлераПуассона: Пример 1.3. Найти иметдопустимые экстремали возмжнстизадачи Уравнение Эйлера–Пуассона находимимеет вид т.е. Семейство известноэкстремалей функционала работхзадачи задается уравнением x = C1 + C2 t + C3 e−t + C4 et 35

Из сущетвусловий на концы явлетсимеем, 1 1 𝐶1 = 𝐶2 = 0, 𝐶3 = − , 𝐶4 = 2 2 Таким образом, целвойединственной допустимой множестэкстремалью является былаx sht. 2.2Подвижные концы уравнеив простейшей вариационной задчезадаче граничым Задача со свободными концами лема Рассмотрим задачу нахождения экстремума функционала[1] олне format областью определения которого является класс всевозможных гладких находим анлогич частные функций x(t) ∈ C m [t 0 , t1 ]. Краевые условия отсутствуют, т.е. концы графиков описал зависящего якоби допустимых условийфункций лежат на вертикальных решнипрямых t  t0 и t1 t . Теорема 1.11. Если функция x=x0(t) доставляет экстремум интегралу имет интегральо t1 ̇ J[x] = ∫ F(t, x(t), x(t))dt t2 то уравнеиона есть применятсэкстремаль, а на концах yosnвыполняются условия: (1.16) Условия (1.16) называют уравнеи естественными краевыми единствой условиями. Наряду используя с закрепленными и свободными некотрая концами можно меткаоси рассматривать смешанный слабог случай, когда единствой один конец закреплен, функциоал а другой свободен. Для постяных определения 36

экстремали вслабя такой задаче необходимо использовать только одно из условий функци обращюимся сильный (1.16), соответствующее свободному концу. поздне length Задача с подвижными концами рисуемгафк Пусть задан вычитаефункционал определенный на гладких кривых, концы которых лежат на фиксированных связи отличных решний линиях кусочн y0 : x = φ(t) и y1 : x = ψ(t). Требуется char найти экстремум лежандр такого функционала. Теорема 1.12. Если доставляефункция y = y0(x) доставляет soleftэкстремум интегралу τ1 ̇ J[x] = ∫ F(t, x(t), x(t))dt τ0 среди всех гладких функций класса, соединяющих произвольные точки двух принмают представлни граничым явлетс достачные кривых y1,y0 то она сильнойявляется экстремалью, добавляета на концах удовлетворяет formatусловиям трансверсальности: (1.17) Условия минуеминимума в классе уравнеикусочно-гладких функций Простейшая функци вариационная задача приме может не иметь следуя решения в классе задчи гладких допустимых когда функций. В этом отказе случае естественно однак исследовать, не 37

достигается работли экстремум на функциях опредлныйболее общего известныхкласса. В качестве огдатакого класса назыветсярассмотрим совокупность кусочно гладких функцияна [ t0,t1 ] функций первыйx  x(t). Таким письмеобразом, рассмотрим средизадачу отыскания пустьминимума функционала на классе функций подхящи 𝑥(𝑡) ∈ 𝐷1 [𝑡0 , 𝑡1 ] площадьудовлетворяющих граничным спаяьусловиям 2.3 Функционалы, зависящие вторйот функций нескольких известно переменных Интегральный функционал оснве J, зависящий от функций fprint нескольких переменных, содержитопределяется формулой [2] здесь тогD – фиксированное множество dfxв R2, F(x, y, u, u′x , u′y ) заданная на вещественнозначная функция условийи u – функция на D со значениями произвдные в R1 . На подобные функционалы перобзначимбез существенных нашелизменений переносится условие основная идея, водим которая развивалась условиям выше для непрывой функционалов простейшей приведтся вариационной задачи, отве а именно идея олне связи между конечмрых точками экстремума вычисляем интегрального функционала вычисляем и решениями некоторого получи дифференциального 38

уравнения. На eqlfty этот раз sinh соответствующее дифференциальное уравнеию уравнение оказывается уравнением в частных производных. dfy даной В 1770 г. Эйлер сумел решить задачу об экстремуме двойного интеграла функци функци задч условиях с закрепленными границами. В 1831 г. Пуассон Академии наук всех решение задачи граничым доложил Парижской об экстремуме двойного боле случае закреплными интеграла с переменными границами. В работе 1838 г. Остроградский указал на то, что заключщеся если добавляет формулы ловияПуассона справедливы, eulrвывел их другим путем и нашел выражение условие для первой случае вариации в общей уравнеий задаче об экстремуме век интеграла любой виду кратности с переменными условияграницами. Рассмотрим задачу подставляем минимизации функционала подбные J с закрепленными границами. Предполагается, ситема что основная условий область D – это следующи ограниченное замкнутое strca множество в пространстве следующая R2, которое является доставля замыканием некоторой экстрему области D' (т. е. открытого оправдн связного множества), гладких граница D является случаедостаточно гладким болемножеством. В качестве eqrightyдопустимых функций отказерассматриваются те, сущетвоаникоторые на границе D множест принимают заданное будтзначение: Как и в случае еслипростейшей задачи, вертикальныхнеобходимое условие общемэкстремума можно подбнмув терминах вариаций задчейзаписать в форме где метод допустимые вариации z(x, котрй y) являются функциями предльных класса C2 , обращающимися вопубликет нуль на границе D . Если затемFС2и u С2 , то, используя предльных формулу Грина, заключщесяпервая вариация eulrфункционала J может иследованбыть приведена условиек виду 39

Применяя многомерный получаем, условия функциоал вариант обобщенной леммы что минималь необходимо условий должна являться Лагранжа, связи условия решением дифференциального общемуравнения в частных iпроизводных nts которое называют ведя уравнением Эйлера-Остроградского, функци а любое гладкое представля решение этого выборе уравнения – экстремалью. Составляя char уравнение ЭйлераОстроградского двухдля функционала условияхДирихле приходим к уравнению задчеЛапласа Утверждение, которое приведтсягласит, что анлогичточка минимума задчифункционала Дирихле дает является решением произвльныхзадачи известно под новых названием принципа всегда Дирихле. Благодаря dfz многочисленным приложениям теорма уравнения Лапласа множест принцип Дирихле задчей является важным доставляющ утверждением. С принципом условиям Дирихле связаны якоби два непростых приавнял вопроса: существует средили при данных задчD и D точка минимума обладети принадлежит ли точка гладкие минимума классу котрыеC2? Ответы на оба решимэти вопроса при подходящих явлетсD и D 40

положительны, их исследование целвог сыграло важную роль в развитии soleft выполне вариационного исчисления.[13] Глава 3. Задачи сделана условный экстримом Ранее были рассмотрены случаи вариационных задач, когда визвестных качестве варицоня eulrz интегральо класса общемдопустимых кривых произвдныепринималась совокупность ситемкривых, соединяющих сотавим или две уравнеи заданные точки, eqrighty или точки уравнеия заданных линий. Однако лежандр существуют задачи, вylabe которых на допустимые функции накладываются помимо краевых sym диона условий некоторые уравнеи дополнительные – так затем называемые условия кусочн точке связи. Подобные абсолютный задачи принято уравнеия называть задачами solright на условный экстремум. Примером кстремуэ может служить задче задача Дидоны, где если в качестве такого «дополнительного» условия format выступает требование, нашел что длины варицю графиков допустимых dequlr функций имеют ylabe заданное значение. Для явлетс решения задач этом на условный экстремум функцийобычно используется послеметод множителей концахЛагранжа. Это трим правило было впервые сформулировано им для исследования вариационных char функци sol задач дионас ограничениями, и только иследованпотом – для задчиконечномерных экстремальных среди задач.[7] Простейшая изопериметрическая задача условиях Древнейшей из известных экстремальных задач является классическая варицонм условие всегда изопериметрическая задача. Постановка уравнеиданной задачи soleftсодержится в легенде dfx о Дидоне («Энеида» Вергилий). События уравнеилегенды относятся solк IX в. до н.э. Финикийская царевна Дидона с небольшим отрядом сторонников бежала из явлетс предльных нашел 41

г.Тира, иакдем спасаясь от преследований. Выбрав solright на африканском берегу получает Средиземного моря удобное место, Дидона и ее спутники решили основать dfz масив примен поселение. Дидоне удалось dfx уговорить правителя связи тех мест возмжнсти отдать в ее распоряжение участок земли, который можно окружить бычьей шкурой. Не нашел сущетвоани меткаоси интегральо поняв функциях хитрость финикиянки, перобзначим правитель дал исчленя согласие. Дидона же после sinh заключения соглашения векразрезала шкуру даетбыка на тонкие описалполоски, связала фернциальоих в длинный ремень и, окружив им значительную территорию, заложила на ней знакомств принц горд город приме Карфаген. Анализируя связи ситуацию, можно добавляет поставить несколько исчленя различных задач оптимизации. Рассмотрим следующую: soln cost Среди гладких кривых длины l, точки 𝑃1 и𝑃2 (l char soleft соединяющих две заданные выше >𝑃1 𝑃2 ), варицйнайти ту, которая вместе класс отрезком 𝑃1 𝑃2 ограничивает наибольшую solright dequlr площадь. Примем за ось Оx прямую, проходящую через точки 𝑃1 и 𝑃2 , тогда площадь теорма задчи dfx ограниченная эйлеркривой y  y(x) , примекоторую всегда фернциальоможно считать отказерасположенной над условияхосью Оx, выразится явлетсинтегралом 𝑏 𝐽[𝑦] = ∫ 𝑦𝑑𝑥 𝑎 где a, b – абсциссы представлниточек 𝑃1 и 𝑃2 . Таким всехобразом, задача примесостоит в отыскании необхдимы максимума функционала явлетс J при условиях 𝑏 𝑦(𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, ∫ √1 + 𝑦 ′2 𝑑𝑥 = 𝑙 𝑎 Данная криваяпостановка допускает даетобобщения, когда присваемточки 𝑃1 и 𝑃2 не являются крайне фиксированными и берег не является прямой линией. eqlfty котрых 42

3.1 Изопериметрическая задача Изопериметрической задачей распояжени вариационного исчисления ведн называется следующая: Среди всех функцифункций класса 𝛴 = {𝑥(𝑡)𝐶 1 [𝑡0 , 𝑡1 ]: 𝑥(𝑡0 ) = 𝐴, 𝑥(𝑡1 ) = 𝐵} на которых функционал равен заданному значению lиследованя , найти ту, для которой функционал задч качеств подхящи t1 ̇ J[x] = ∫ F(t, x(t), x(t))dt t2 принимает экстремальное задчезначение. Первоначально под огдаизопериметрической задачей связипонималась следующая fprint частная задача: добавляет среди всех решний замкнутых кривых, условиям имеющих заданную понимал длину, найти еслиту, которая теормаохватывает наибольшую концамиплощадь. Отсюда solitgпроизошло и название «изопериметрическая используя задача», т.е. задача тождесв с фиксированным периметром. Предполагаем, должна что функции eqlft F и G имеют непрерывные всегда производные первого заднуюи второго порядков произвдныепри [t0,t1]t и при dfzпроизвольных значениях вариця x и x. Далее предположим, достигал что искомая функция кривая не является исчленя экстремалью функционала представля K(x()). Подход обращюейся к исследованию поставленной тог задачи дает следующая Теорема 1.14 Если опредлныйкривая x0(t)Σ дает экстремум явлисьфункционалу 43

𝑡1 ̇ 𝐽[𝑥] = ∫ 𝐹(𝑡, 𝑥(𝑡), 𝑥(𝑡))𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 при условии 𝐾[𝑥] = ∫𝑡0 𝐺(𝑡, 𝑥(𝑡), 𝑥(𝑡))𝑑𝑡 = 𝑙и не является экстремалью доставляе функционала k[x], решния то существует постоянная огда  такая, знакомств что x0(t) является знакомств экстремалью функционала 𝑡1 ∫ (𝐹 + 𝜆𝐺)𝑑𝑡 𝑡0 Таким этойобразом, решение всегдаизопериметрической задачи eulrнаходится либо затем среди стационарных сущетвточек функционала следующиJ[x]+k[x],либо среди dfxэкстремалей функционала k[x]. Пример однаки задачи Пример 1.4.Найти постяныедопустимые экстремали solв изопериметрической задаче 1 1 ∫0 x 2 dt → extr, ∫0 xdt = 0,x(0)=0, x(1)=1 1 Составим функцию H = λ0 x 2 + λ1 x Уравнение 𝐻𝑥 − 𝑑 𝑑𝑡 𝐻𝑋 = 0 констаци имеет однак вид−2𝜆0 𝑥̈ + 𝜆1 = 0. 𝜆0 ≠ 0так как абсолютный в противном случае порядкв оба множителя меткаосиодновременно обращаются частноев нуль.Пусть 0=1/2, тогда масив x=1 𝑥= Общее решение yosn есть 𝜆1 2 𝑡 + 𝐶1 𝑡 + 𝐶2 2 44

Постоянные C1C2,1 должна находим из условий всех на концы и изопериметрического ситемусловия: C2 = 0 λ + C1 = 1 2 1 λ 1 ∫0 ( 2 t 2 + C1 t) dt = λ1 6 + C1 =0 2 Отсюда λ1 = 6, C1 = −2, C2 = 0 Т.е. единственной следующая допустимой экстремалью теормы является𝑥 = 3𝑡 2 − 2𝑡.Применим для слабярешения этой функцизадачи пакет функциоалMATLAB, при иметэтом помимо bfextrmali нахождения экстремали назывется данной задачи усиленом определим экстремаль функци целевого функционала условийи сравним их. clear all format long syms x y Dy D2y lambda лема F=Dy^2; x1=0; y1=0; x2=1; y2=1; F1=y; J1=0; 45

fprintf('Интегрант целевого функционала: F=%s\n', char(F)) кроме fprintf('Граничные условия: y(%d)=%d, y(%d)=%d\n',x1,y1,x2,y2) следуя функций fprintf('Изопериметрическое условие:Int(%s,"x",%d,%d)=%d\n', char(F1),x1,x2,J1) заголвк dFdy=diff(F,y); dFdy1=diff(F,Dy) сотавля d_dFdy1_dx=diff(dFdy1,x); d_dFdy1_dy=diff(dFdy1,y); dFy1dx=d_dFdy1_dx+d_dFdy1_dy*Dy+d_dFdy1_dy1*D2y; Euler=simple(dFdy–dFy1dx); сущетвоашм degEuler=strcat(char(Euler),'=0'); Sol=dsolve(degEuler,'x'); if length(Sol)~=1 error('Resheniyboleeodnogo, RESHENIY NET!'); могли end SolLeft=subs(Sol,x,sym(x1)); SolRight=subs(Sol,x,sym(x2)); EqLeft=strcat(char(vpa(SolLeft,14)), '=', char(sym(y1))); EqRight=strcat(char(vpa(SolRight,14)), '=', работе следующая char(sym(y2))); Con=solve(EqLeft,EqRight); C1=Con.C1; C2=Con.C2; условий SolOsn=vpa(eval(Sol),14); xpl=linspace(x1,x2); yOsn=subs(SolOsn, x, xpl); fprintf('Экстремальцелевогофункционала: %s\n', char(SolOsn)) абсолютный L=F+lambda*F1; dLdy=diff(L,y); dLdy1=diff(L,Dy); d_dLdy1_dx=diff(dLdy1,x); d_dLdy1_dy=diff(dLdy1,y); d_dLdy1_dy1=diff(dLdy1,Dy); служио dLy1dx=d_dLdy1_dx+d_dLdy1_dy*Dy+d_dLdy1_dy1*D2y; EulerL=simple(dLdy–dLy1dx); SolL=dsolve(degEulerL,'x'); if length(SolL)~=1 задчи error('Resheniyboleeodnogo, RESHENIY NET!') трех end dydx=diff(SolL,x); F1_y=subs(F1,{y,Dy},{SolL,dydx}); intF1=vpa(int(F1_y,x,x1,x2),14) SolLleft=vpa(subs(SolL,x,sym(x1)),14); SolLright=vpa(subs(SolL,x,sym(x2)),14); LeftL=strcat(char(SolLleft), '=', char(sym(y1))); семйтво 46

RightL=strcat(char(SolLright), '=', char(sym(y2))); intF1J1=strcat(char(intF1), '=', char(sym(J1))); приме память ConL=solve(LeftL, RightL, intF1J1); C1=vpa(ConL.C1,14); C2=vpa(ConL.C2,14); функци lambda=vpa(ConL.lambda,14); SolItog=vpa(eval(SolL),14); fprintf('Экстремаль изопериметрической задачи: %s\n', char(SolItog)) linspace yItog=subs(SolItog,x,xpl); plot(xpl,yOsn,'g',xpl,yItog,'r') title('\bfEXTREMALI') legend('yFunkzionala', 'yZadachi', 0) xlabel('x') ylabel('y(x)') В функцирезультате получаем: Интегрант целевого функционала: F=Dy^2 eqlfty Граничные условия: y(0)=0, y(1)=1 таким функциях Изопериметрическое условие: Int(y,"x",0,1)=0 Экстремаль целевого функционала: x уравнеи если intF1 = .83333333333333e–1*lambda+.50000000000000*C1+C2 Экстремаль изопериметрической задачи: 3.0000000000000*x^2–2.0000000000000*x явлетс 47

Рисунок №3 Определение экстремали функцицелевого функционала 3.2подбныеПрямые всякийметоды вариационного рядеисчисления Понятие о прямых методах функци Основным вопросом, eulrz возникающим в связи множест с любой вариационной новых проблемой, является вопрос о существовании решения. Классические методы кривых подлежащя целвог вариационного строгеисчисления приводят dequlrэтот вопрос граничымв первую очередь пустьк вопросу о существовании решения дифференциального уравнения. При этом ищется экстремальня стремия письме работ решение не в окрестности своих какой-либо точки, решния а во всей области − при определѐнных краевых написл условиях (решение семйтво в целом). Доказательство eulr существования таких fprint решений теория функциях дифференциальных уравнений даѐт лишь plotв редких случаях. Это уравнеиобстоятельство заставило иследованяискать другие условиямподходы к вариационным проблемам и привело кylabe созданию так называемых прямых достачн оснве экстремали методов.[24] Прямые методы вариационного исчисления оказались полезными и содержитя приавнял единствой для теории задную дифференциальных уравнений. Действительно, единствой если некоторое уравнеия дифференциальное уравнение sub можно рассматривать кривая как уравнение письме Эйлера для некоторого функционала и этот solright знакомств условие если каким-то приѐмом установлено, что задную функционал имеет предльных экстремум в классе однак достаточное число dif раз дифференцируемых функций, то тем самым доказано, что исходное диффе-dequlr связи случае подвижные ренциальное уравнение экстремуимеет решение хитросьв целом при задчерассматриваемых краевых оказывется условиях. Так как прямой метод состоит вподбнму построении последовательности сотншеи предолжния таким функций, сходящейся кимет искомой функции, то с помощью прямого метода не была интегральо только варицоные устанавливается существование solright решения в целом, анлогич но и даѐтся некоторый способ для приближѐнного построения этого решения. эйлер 48

Впервые широко и систематически идея перехода от краевой проблемы для дифференциального уравнения к вариационной краевой проблеме была использована Риманом. Его теоретико-функциональные исследования нуждались в доказательстве разрешимости проблемы Дирихле для любой плоской области, ограниченной одним контуром, то есть в доказательстве существования функции u(x, y) , имеющей внутри области непрерывные производные второго порядка по х и по у и удовлетворяющей уравнению (1.16(1) а на границе этой области совпадающей с заданной непрерывной функцией. Уравнение Лапласа (2.1) является уравнением Эйлера-Лагранжа для функционала который принимает только неотрицательные значения. В силу этого последнего обстоятельства Риман считал очевидным существование у этого функционала минимума, а значит, у уравнения (1.16(1) решения, удовлетворяющего упомянутому краевому условию. С этой аргументацией, восходящей к Гауссу и Томсону, Риман познакомился ещѐ в бытность студентом на лекциях Дирихле и назвал еѐ принципом Дирихле. Однако умозаключение Римана подверглось критике со стороны Вейерштрасса. Эта критика сводится к следующему: из того, что функционал ограничен снизу, вытекает лишь, что он имеет конечную точную нижнюю грань; утверждать же, что эта грань достигается на функции рассматриваемого класса, то есть что эта нижняя грань есть минимум, вообще говоря, нельзя. Вейерштрасс привѐл пример неразрешимой вариационной задачи этого рода. Поэтому для спасения замечательных результатов, полученных Риманом с 49

помощью принципа Дирихле, началась усиленная разработка других методов. Однако из критики Вейерштрасса, носящей общий характер, вовсе, не вытекало, что принцип Дирихле, который касается специального функционала, не может быть обоснован. Поэтому время от времени делались попытки такого обоснования. Существенный сдвиг в этом направлении принадлежит Гильберту, исследования которого были продолжены целой плеядой математиков. Эти исследования привели не только к обоснованию принципа Дирихле в несколько модифицированной форме, но и к созданию вообще прямых методов в вариационном исчислении. Большой вклад в разработку этих методов внесли советские математики Н.Н. Боголюбов, Н.М. Крылов, М.А. Лаврентьев и Л.А. Люстерник. Переходя к описанию основных этапов, из которых слагается прямой метод, примем для определѐнности, что речь идѐт о минимуме функционала J[C], где С пробегает некоторую совокупность  кривых линий. Чтобы задача имела смысл, необходимо предположить, что в совокупности  есть кривые, на которых функционал J[C] конечен, а также, что[13] В таком случае, по определению нижней границы, существует такая последовательность (  ) кривых из  (минимизирующая последовательность), что Первый вопрос, который здесь возникает, – это вопрос о существовании у последовательности () предельной кривой. Некоторые условия, при выполнении которых предельная кривая существует, установил впервые Гильберт. 50

Пусть предельная кривая (назовѐмеѐ C) существует и принадлежит . Если окажется, что предельный переход законен, то (1.17) и, значит, кривая C даѐт абсолютный минимум. Равенство (1.17) наверно имело бы место, если бы функционал J[C] был непрерывной функцией линии всюду в  или хотя бы на C , то есть если бы неравенство выполнялось для всякой кривой C  из некоторой зависящей от  окрестности кривой C . Однако J[C], вообще говоря, не является непрерывной функцией линии. К счастью, для доказательства равенства (1.17), как впервые заметил Лебег, непрерывность функционала вовсе не необходима, а вполне достаточна полунепрерывность снизу. В самом деле, пусть функционал J[C] полунепрерывен снизу и пусть (  ) есть минимизирующая последовательность, а C – еѐ предельная кривая, принадлежащая совокупности  . Тогда, с одной стороны, по определению  (1.18) а с другой стороны, в силу полунепрерывности снизу функционала J[C] если Cn лежит в достаточно малой окрестности кривой C . А так как 51

то при любом  0 (1.18) Сравнение (1.18) и (1.17) приводит к равенству которое и выражает, что кривая C доставляет функционалу J[C] минимум. Таким образом, прямой метод состоит из: 1)построения минимизирующей последовательности, 2) доказательства существования у этой последовательности предельной кривой, 3) доказательства получены непрерывности функционала на предельной кривой. 3.3 Построение минимизирующих последовательностей. Метод Ритца Одним из важнейших практических методов для построения минимизирующих последовательностей является метод, предложенный в 1908 году Вальтером Ритца. Состоит он в следующем. Вычисляется n -ое приближение к минимизируемой функции x0(t) ввиде (1.19) 52

то есть значения функционала J (x()) рассматривается не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всевозможных линейных комбинациях (2.8) с постоянными коэффициентами, составленных из n первых функций некоторой выбранной последовательности функций Последовательность функций должна удовлетворять следующему Определение 2.1Пусть J – данный функционал и пусть элементы данной последовательности принадлежат DJ . Будем говорить, что функционал минимизируется на линейной оболочке последовательности , если выполняются следующие условия: 1. существует такое линейное нормированное пространство S , что DJ  S и последовательность полна в S ; 2. любая конечная линейная комбинация элементов последовательности принадлежит DJ ; 3. для каждого nN существует минимальный элемент n x сужения функционала J , обозначенного n J , то есть элемент xnLin(1, n , удовлетворяющий равенству (1.20) Далее последовательно решаются задачи (1.20). На комбинациях (1.19) функционал J[xn] превращается в функцию линейных (1,n) коэффициентов (1,n) Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция достигала экстремума; следовательно(1,n) должны быть определены из условий стационарности, то есть из системы 53

(1.21) Получающаяся в результате последовательность функций x1,x2 сходится к минимуму по функционалу. Заканчивая процесс вычислений на некотором k -ом шаге, получают значение J [kx] *, приближённо равное глобальному минимуму (при этом сама функция xkможет сильно отличаться от оптимальной). Для оценки точности результатов на практике, вычислив xn (t)и xn+1(t), сравнивают их между собой в нескольких точках отрезка[t 0 , t1 ]. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решение рассматриваемой вариационной задачи равно xn . Если же значения xn+2 (t)и Xn+k (t), хотя бы в некоторых из выбранных точек в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют xn+2 (t)и сравнивают значение с Xn+k=1 (t). Этот процесс продолжается до тех пор, пока значения Xn+k (t) и Xn+k=1 (t), не совпадут в пределах заданной точности. 54

Заключение В настоящее время вариационные методы являются одним из мощных средств анализа самых разнообразных задач. Наиболее интенсивно вариационные подходы использовались в задачах об упругом поведении конструкций, особенно в задачах оптимального проектирования. Интерес к этим задачам усилился в связи с быстрым развитием авиационной и космической техники, судостроения, где чрезвычайно важно решение проблемы снижения веса конструкции без ущерба для ее прочности и аэродинамических свойств. Вариационный подход к решению задач об устойчивости, равновесии и колебаниях упругих конструкций позволил сформулировать ряд прикладных теорий, позволяющих с успехом осуществлять расчет самых разнообразных конструкций. Задача об отыскании экстремума некоторого функционала сводится к решению дифференциального уравнения. Отметим, что некоторые задачи математической физики могут быть сведены к задачам об отыскании минимума некоторого функционала. Для решения этих проблем в магистерской диссертационной работе были проанализированы цели и задачи в методах вариационных неравенств, основные методы решения. Также в работе были изучены основные понятия о методах решения вариационных неравенств, были определенны основные цели и задачи, которые рассмотрены в магистерской диссертационной работе. 55

Написан и разработан комплекс решения этих методов при помощи комплекса Matlab. Список литературы 1. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.: Наука, 1984. 2. Андреева Е.А., Цирулиева В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации: Учеб. Пособие для университетов. М.: Высш. шк., 2006г. 3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. СПб.: БХВПетербург, 2005. 4. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955. 5. БернштейнС.Н. Sur la nature analytique des solutions de certaines equations aux derives partielles du second ordre // Math. Ann. 1904.V.59. P. 20- 76. 6. Бернштейн С.Н. Об уравнениях вариационного исчисления // Успехи матем. наук. 1940. Т.VIII. С. 32-74. 7. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т.3. М.: Изд-во АН СССР, 1960. 8. Блисc Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950. 9. БоголюбовН.Н. Sur quelquesmethodesnouvellesdans le Calcul des Variations // Ann. Math. РuraAppl. Ser. 4. 1930. V.7. Р.243 - 272. 10. Боголюбов Н.Н. Новые методы в вариационном исчислении. Изб.труды в 3 томах. Т.1. Киев: Наукова думка, 1969. 56

11. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 12. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М: Наука, 1977. 13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 15. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 16. Глебский Ю.В. О характеристических свойствах решений регулярных и квазирегулярных задач вариационного исчисления // ДАН СССР. 1957. Т.16. № 6. С.910-912. 17. Гольдштейн Ю.Б., Соломещ М.А. Вариационные задачи статики оптимальных стержневых систем. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1980. 18. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. М.–Л.: ОГИЗ, 1941. 19. Иглин С.П. Математические расчеты на базе MATLAB. – СПб.: БХВ– Петербург, 2005. 20. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 66 21. Казимиров В.И. О полунепрерывности интегралов вариационного исчисления // Успехи матем. наук. 1956. Т.ХI. №3. С.125-129. 22. Керимов М.К. К теории разрывных вариационных задач с подвижными концами // ДАН СССР. 1961. Т.136. № 3. 57

23. Керимов М.К. О двумерных разрывных задачах вариационного исчисления // Тр. Матем. ин-та АН ГрузССР. 1951. Т.23. С.209-219. 24. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Достаточные условия существования разрывных решений для простейшего интеграла вариационного исчисления, I // Изв.вузов. Математика. 1967. № 11. С.21-30. 25. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Достаточные условия существования разрывных решений для простейшего интеграла вариационного исчисления, II // Изв.вузов. Математика. 1967. № 12. С.38-46. 26. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О необходимых условиях экстремума вариационных задач в непараметрической форме на совокупности разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1970. №12. С.37-46. 27. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений в простейших полуопределенных задачах // Матем. заметки. 1970. Т.7. №.1. С.69-78. 28. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса квазирегулярных вариационных задач в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1972. №2. С.54-62. 29. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Разрывные задачи вариационного исчисления со старшими производными // Изв.вузов. Математика. 1975. №10. С.23-32. 30. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Теоремы существования разрывных решений в пространственных вариационных задачах. II // Изв.вузов. Математика. 1977. №2. С.49-59. 31. Кошелев В.Н.. Морозов С.Ф. Теоремы существования разрывных решений в пространственных вариационных задачах // Изв.вузов. Математика. 1970. №5. С.47-52. 58

32. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление (Задачи и упражнения). М.: Наука, 1973. 33. Кротoв В.Ф. О разрывных решениях в вариационных задачах // Изв. Вузов. Математика. 1961. № 2. С.75 - 89. 34. Кротoв В.Ф. Разрывные решения вариационных задач // Изв.вузов Математика. 1960. № 5. С.86 - 98. 35. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГОНТИ НКТП СССР, 1938. 36. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 37. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. О вариационной задаче в квазилинейных эллиптических уравнениях со многими независимыми переменными // ДАН СССР. 1960. Т.135. №6 С.1330-1333. 38. Морозов С.Ф. Введение в теорию разрывных задач вариационного 67 исчисления. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1996. 39. Морозов С.Ф. Многомерные разрывные задачи вариационного исчисления. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. 40. Морозов С.Ф. О необходимых условиях экстремума двумерных вариационных задач на совокупности разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1972. №1. С.55-63. 41. Морозов С.Ф. О разрывных решениях двумерных задач вариационного исчисления в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1969. №9. С.56-64. 42. Морозов С.Ф. О разрывных решениях одного класса квазирегулярных вариационных задач // Матем.заметки. 1974. Т.16. №2. С.305-315. 59

43. Морозов С.Ф. О существовании абсолютно непрерывного решения пространственной задачи вариационного исчисления для предельного показателя // Изв.вузов. Математика. 1994. №10. С.42-47. 44. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса квазирегулярных вариационных задач в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1972. №2. С.54-62. 45. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса многомерных квазирегулярных вариационных задач // Матем.сб. 1974. Т.93. №1. С.18-28. 46. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений многомерных вариационных задач // Изв.вузов. Математика. 1975. №11. С.93-97. 47. Морозов С.Ф. Разрывные задачи вариационного исчисления. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1991. 48. Морозов С.Ф., Петров В.В. Модификация метода Н.И.Боголюбова для случая пространственных нерегулярных разрывных вариационных задач // Укр. мат. журн. 1982. Т.32. №1. С.50-58 49. Морозов С.Ф., Петров В.В. О разрывных решениях нерегулярных вариационных задач // Изв.вузов. Математика. 1979. № 11. С.40-47. 50. Морозов С.Ф., Петров В.В. Об одной n-мерной нерегулярной задачи вариационного исчисления // Изв.вузов. Математика. 1962. №2. С.54-62. 51. Морозов С.Ф., Петров В.В. Обобщение условий Дрездена для разрывных решений вариационных задач // Изв.вузов. Математика. 1976. №10. С.56-64. 52. Морозов С.Ф., Петров В.В. Применение метода Н.И. Боголюбова для решения нерегулярных задач вариационного исчисления // Укр. мат. журн. 1976. Т.28. №4. С.537-540. 60

53. Морозов С.Ф., Плотников В.И. О необходимых и достаточных условиях непрерывности и полунепрерывности функционалов вариационного исчисления // Метем.сб. 1962. Т 57(99). №3. С.265-280. 61

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв