Коэффициенты переноса в газе с внутренними степенями свободы: учет диаметра возбужденных молекул

Корниенко Ольга Валерьевна

Коэффициенты переноса в газе с внутренними степенями свободы: учет диаметра возбужденных молекул

В работе изучается влияние переменного диаметра колебательно возбужденной молекулы на коэффициент сдвиговой вязкости в приближении поуровневой кинетики. Рассмотрены три модели для расчета диаметра: Канга--Кунца, Морзе, Тица--Хуа, по ним рассчитаны диаметры молекул H_2, N_2, O_2, NO, Cl_2, HF, I_2 для разных колебательно-вращательных состояний. Модель Канга--Кунца дает экспоненциальный рост диаметра молекулы для колебательных уровней выше 10, поэтому ее применение целесообразно только при низких температурах. Модели Тица--Хуа и Морзе дают близкие значения диаметров. Показано, что вкладом вращательного возбуждения в диаметр рассмотренных молекул можно пренебречь. Для разных потенциалов, температур, равновесных и неравновесных колебательных распределений рассчитано отношение поуровневого коэффициента сдвиговой вязкости к коэффициенту вязкости для газа, состоящего из невозбужденных молекул. Во всех рассмотренных случаях эффект увеличения молекулы с ростом колебательного уровня практически не влияет на вязкость, отклонение не превышает 13\%. Таким образом доказана справедливость предположения о том, что при расчете поуровневых коэффициентов переноса зависимость сечения упругого столкновения от колебательного состояния можно не учитывать. Это позволяет обоснованно применять упрощенные алгоритмы расчета коэффициентов переноса в приближении поуровневой кинетики, заметно сокращающие требования к вычислительным ресурсам при решении задач неравновесной газовой динамики.

Математика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36475f1be77c40d58b5d

UUID: 1276c77f-b936-4892-a4e7-b48915fdb0a2

Язык: Русский

Опубликовано: больше 7 лет назад

Просмотры: 2

Корниенко Ольга Валерьевна

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 808695 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский государственный университет Механика и математическое моделирование Молекулярно-кинетическая теория жидкости и газа Корниенко Ольга Валерьевна Коэффициенты переноса в газе с внутренними степенями свободы: учет диаметров возбужденных молекул Бакалаврская работа Научный руководитель: Профессор, д.ф.-м.н. Кустова Е.В. Рецензент: Научный сотрудник лаборатории вычислительной аэродинамики Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН к.ф.-м.н. Шоев Г.В. Санкт-Петербург 2016

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY Mechanics and Mathematical Modelling Molecular Kinetic Theory of Fluids and Gases Olga Kornienko Transport coefficients in gas with internal degrees of freedom: accounting for diameter of excited molecules Bachelor’s Thesis Scientific supervisor: PhD, Professor Elena Kustova Reviewer: PhD, Researcher, Laboratory of computational aerodynamics, Institute of Theoretical and Applied Mechanics of RAS, Novosibirsk Georgiy Shoev Saint-Petersburg 2016

Содержание Введение 4 1 Алгоритм расчета коэффициента вязкости в поуровневом приближении 5 2 Модели потенциалов 2.1 Модель Тица–Хуа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Модель Морзе 8 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Модель Канга–Кунца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Результаты сравнения диаметров, вычисленных по разным потенциалам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Влияние выбора потенциала на вращательную теплоемкость 4 Постановка задачи для расчета коэффициента вязкости 4.1 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 20 22 5 Заключение 28 Список литературы 29

Введение Приближение поуровневой кинетики является одним из наиболее точных методов описания сильнонеравновесных течений газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями [1]. Для моделирования вязких течений необходим расчет коэффициентов переноса, входящих в выражения для тензора напряжений и теплового потока. Алгоритм расчета коэффициентов переноса в поуровневом приближении впервые был предложен в работе [2]. Одно из предположений, лежащих в основе алгоритма, состоит в том, что сечения упругих столкновений считаются независящими от колебательного состояния молекулы. Это предположение значительно упрощает расчеты поуровневых коэффициентов переноса, однако в [2] не приводится строгого обоснования пределов его применимости. Более того, известно, что у возбужденных молекул сечение упругого столкновения заметно увеличивается [3, 4, 5, 6], что может влиять на интегралы столкновений и коэффициенты переноса. В работе [7] был предложен простой метод для получения приближенных оценок влияния молекулярного диаметра на коэффициент сдвиговой вязкости. Однако для расчета диаметра колебательно возбужденной молекулы использовалась модель [3], существенно переоценивающая размер молекул на верхних колебательных уровнях. В связи с этим расчеты приходилось обрывать при достаточно низких колебательных энергиях, что заметно ухудшает точность оценок. Целью настоящей работы является оценка вклада возбужденных состояний в коэффициент сдвиговой вязкости ряда двухатомных газов на основании более точных моделей потенциалов с учетом всех возможных колебательных состояний. Исследовано отношение коэффициента вязкости к соответствующему коэффициенту в основном колебательном состоянии для различных температур, равновесных и неравновесных распределений. Кроме того, проведено исследование влияния модели потенциала и вращательного возбуждения на удельную теплоемкость вращательных степеней свободы для компонентов воздуха в широком диапазоне температур. 4

1 Алгоритм расчета коэффициента вязкости в поуровневом приближении Строгий алгоритм расчета поуровневого коэффициента сдвиговой вязкости η в первом приближении метода Энскога-Чепмена описан в работе [2]. Для его вычисления решается система линейных алгебраических уравнений, коэффициентами которых являются интегральные скобки. Число уравнений в системе равно числу колебательных состояний в смеси, к которому прибавляется число атомарных компонентов. Интегральные скобки сводятся к стандартным Ω-интегралам, вид которых определяется потенциалом молекулярного взаимодействия. Для большинства потенциалов Ω-интегралы не удается вычислить аналитически. Однако существует простая (и достаточно грубая) модель взаимодействия твердых сфер, для которой получены явные выражения для Ω-интегралов, зависящие от квадрата диаметра молекул. В случае парных столкновений между двумя молекулами одного сорта с массами m, находящихся на v, w колебательном и j, l вращательном уровнях соответственно, коэффициент сдвиговой вязкости η выражается через скалярные коэффициенты bv первого члена полиномиального разложения Сонина-Вальдмана-Трубенбахера, см. [1], [6]. η= kT X xv bv 2 v (1) Здесь k — постоянная Больцмана, T — температура, xv — молярная доля молекул на колебательном уровне v. Сохраняя только первые отличные от нуля члены разложения, можем выписать систему алгебраических уравнений для вычисления bv : X w Hvw bw = 2 xv , kT 5 v, w = 0, ..., vmax (2)

Интегральные скобки Hvw находятся следующим образом: 1 xv xw 5 Hvw = 1− , ∀v 6= w 2 ηvw 3Avw 5 x2v 1 X xv xw 1+ + , Hvv = 2 ηvw 3Avw ηvv (3) (4) w6=v (5) 2,2 5 kT 1 Ωvw ηvw = Avw = 2,2 , 1,1 , 8 Ωvw 2 Ωvw r Z kT X (2j + 1)(2l + 1) 1,1 −γ 2 −j −l 2 Ωvw = e (γ − γγ 0 cos χ) rot 2 πm 0 0 [Z (T )] jj ll 0 0 jl × σvjwl d2 Ωγ 3 dγ, r rot 2 X (2j + 1)(2l + 1) Z kT (∆ ) 2 2,2 e−γ −j −l γ 4 − γ 2 γ 02 cos χ − Ωvw = rot 2 πm 0 0 [Z (T )] 6 jj ll 0 0 jl × σvjwl d2 Ωγ 3 dγ Здесь Z rot (T ) = P j (2j + 1) exp(−j ) — статсумма вращательных соp стояний для модели жесткого ротатора, γ = g 2 /4kT — безразмерная относительная скорость, j = Ej /kT — безразмерная молекулярная энергия 0 0 jl для j вращательного уровня, σvjwl — дифференциальное сечение столк- новения частиц, находящихся на v, w колебательных и j, l вращательных уровнях, движущихся с относительной скоростью γ, переходящих на j 0 , l0 вращательные уровни, при этом вектор относительной скорости попадает в телесный угол d2 Ω, ∆rot = γ 02 −γ 2 = j −j 0 +l −l0 . vmax — максимально допустимый для данного газа колебательный уровень, который рассчитывается из условия Ev,j < D при j = 0, где D - энергия диссоциации. Главная проблема при расчете интегральных скобок состоит в нехватке знаний о сечениях упругих и неупругих столкновений. Широко распростра0 0 jl ненная практика — принять предположение, что сечение σvjwl не зависит от квантового состояния сталкивающихся частиц. Однако пределы применимости этого предположения пока еще не исследованы. 6

В данной работе будем предполагать, что сечение упругого столкновения не зависит от вращательного возбуждения, но зависит от колебательного состояния. Будем использовать для него модель твердых сфер: 0 0 jl = σvw = σvjwl π2 (dv + dw )2 , 4 где dv , dw — диаметр колебательно возбужденных молекул на уровнях v, w. При таких предположениях можно заметно упростить соотношения (3), (4): r 4 πkT Hvw = − · xv xw (dv + dw )2 , 15 m   r 16 πkT X Hvv = xv xw (dv + dw )2 + 3xv d2v  . 15 m w6=v Следует отметить, что модель твердых сфер дает только грубую оценку столкновительных интегралов, однако в работе [7] для приближенной оценки вклада возбужденных частиц с увеличенным диаметром в коэффициент вязкости было предложено при использовании модели твердых сфер вычислять не сам коэффициент вязкости, а безразмерную величину отношения η к коэффициенту η0 , рассчитанному для основного колебательного состояния. Для однокомпонентного газа в [7] из точной системы уравнений была получена упрощенная система алгебраических уравнений. Отношение коэффициентов вязкости задано формулой X d0 2 η = bv , η0 d v v (6) dv — диаметр молекулы на v-м колебательном уровне, а коэффициенты bv определяются из системы линейных уравнений: ! 2 2 X dw xw 1 X dw bv 1+ + 3 − bw 1+ = 3, dv xv 4 dv w6=v (7) w6=v Количество уравнений в системе (7) соответствует номеру колебательного уровня vmax . 7

Для оценки влияния диаметра молекулы на коэффициент вязкости необходимо явным образом задать зависимость dv от номера колебательного уровня. 2 Модели потенциалов Для расчета диаметра возбужденной молекулы в работе использовались три модели потенциала. 2.1 Модель Тица–Хуа. Диаметр молекулы (в Ангстремах, 1 Å=1 · 10−10 м), находящейся на колебательном уровне v и вращательном уровне j, вычисляется по формуле dv,j = Rv,j + 2.3, где Rv,j = Re + b−1 h ln (8) √ φ2 + 2 φ1 φ3 . −4 φ3 sign(φ2 ) Здесь Re — равновесное межъядерное расстояние, bh = β (1 − ch ), β — константа Морзе для данного газа, а ch — малый параметр, служащий для оптимизации модели, φ1 = 6aT H + 3bT H + cT H , φ2 = −8aT H − 3bT H + dT H , φ3 = 3aT H + bT H + eT H , 8

ath = c2h ξ 2 · CT H L2 , bth = BT H L2 · c2h ξ 2 + 2CT H L2 ch ξ, cth = 2BT H L2 · ch ξ + CT H L2 − ξ 2 D, dth = 2ξD − BT H · L2 , TH eth = Ev,j − AT H L2 − D, TH Ev,j — энергия осциллятора в зависимости от колебательного (v) и враща- тельного (j) уровня, TH Ev,j = D + L2 (AT H − 3u2 CT H − u2 BT H − 2uCT H ) − #2 " 1 ~bh − F1 − F2 L2 − F3 L4 , − (v + ) 1/2 2 (2µ) k1 − 4ξDµ , −4µξD1/2 + k2 0 φ −2µ φ02 + F1 11/2 , F2 = 1/2 −4µξD + k2 ξD 0 φ01 −µφ1 F3 = 2F2 + F1 2 , 2ξ D ξD1/2 (−4µξD1/2 + k2 ) φ01 = 6u2 CT H + 3u2 BT H + 6uCT H + 2uBT H + CT H , F1 = φ02 = −(8u2 CT H + 3u2 BT H + 6uCT H + BT H ), 1 k1 = u~2 (v + )2 b2h , 2 1 k2 = 2u~(v + )b2h (2µ)1/2 . 2 Здесь u = ch ξ, µ — приведенная масса молекулы, ~ = h/(2π), h — постоянная Планка, Λ — квантовое число, определяющее компоненту электронного 9

орбитального момента, bh — константа функции Тица–Хуа, ξ = e−bh (R0,j −Re ) , 3 1 CT H = 1 − 3 , bh R0,j 2µbh R0,j bh R0,j BT H = 2 1 + CT H , bh R0,j − 3 3 bh R0,j CT H , AT H = 1 + bh R0,j (bh R0,j − 3) L2 = (j(j + 1) − Λ2 )~2 , R0,j — равновесное межъядерное расстояние для двухатомной молекулы в зависимости от вращательного уровня, на котором находится молекула: y∗ , bh y∗ = ye + Bh Cj + Dh Cj2 , R0,j = ye = bh Re , b2h L2 Cj = , 2µD (1 − ch )2 Bh = , ye3 3 2 3Bh2 3Bh ch (1 − ch ) Dh = Bh − + . 2 ye (ye )3 Данная модель является наиболее точной из рассмотренных, однако расчет по этой модели оказывается достаточно трудоемким. 2.2 Модель Морзе Модель Морзе можно рассматривать как частный случай модели Тица–Хуа при условии ch = 0. Это модель наиболее часто применяется в литературе для расчета колебательно-вращательных спектров двухатомных молекул. 10

2.3 Модель Канга–Кунца По модели Канга–Кунца диаметр частицы также можно рассчитать по формуле (8), при этом функция Rv,j значительно упрощается: 9 4l4 1/2 Rv,j = Re + β la2 e2 (βla ) (v−1) + 3a j 2 , 2 Re la2 = 16.863 ωe µ — вращательный момент молекулы, ωe — спектроскопическая постоянная, определяющая частоту колебаний, µ здесь имеет размерность [а.е.м.]. Данная модель является самой простой, однако ее точность заметно ухудшается с ростом колебательного уровня. Для расчета диаметров возбужденных молекул использовался набор постоянных, приведенный в таблице 1. Таблица 1: Использованные константы [5] Re , [Å] bh , [Å−1 ] β, [Å−1 ] ωe , [см−1 ] µ/10−26 , [кг] ch D/10−18 , [Дж] Λ 2.4 H2 0.741 1.61890 1.9506 4401.2 0.084 0.170066 0.71795 0 O2 1.207 2.59103 2.6636 1580.2 1.337 0.027262 0.82017 0 N2 1.097 2.78585 2.6986 2358.6 1.171 -0.032325 1.56459 0 NO 1.151 2.71559 2.7534 1904.2 1.249 0.013727 1.04161 1 Cl2 1.987 2.20354 2.0087 559.7 2.9433 -0.096988 0.39750 0 HF 0.917 1.94207 2.2266 4138.3 0.1589 0.127772 0.98162 0 I2 2.666 2.12343 1.8643 214.5 10.5361 -0.139013 0.24941 0 Результаты сравнения диаметров, вычисленных по разным потенциалам Рассмотрим диаметры возбужденных молекул водорода, фтороводорода, кислорода и азота, рассчитанные по трем моделям потенциалов (Рис. 1). Хорошо заметно, что на низких уровнях модель Канга–Кунца дает правдоподобную картину, однако с ростом v начинается экспоненциальный рост 11

диаметра молекулы, и использование модели становится нецелесообразным. Стоит также отметить, что для водорода различие между моделями Морзе и Тица-Хуа довольно существенно, в то время как для газов с большим количеством колебательных уровней, к примеру, для азота и кислорода, разница почти незаметна. Аналогичная картина наблюдается для хлора, оксида азота и йода. Для моделей Морзе и Тица–Хуа диаметр молекулы кислорода на последнем колебательном уровне увеличивается на 20–25%, а для азота — на 10–12%. Отметим также, что рост вращательного уровня влияет на диаметр молекулы весьма незначительно. В качестве примера рассмотрим диаметры молекул хлора и азота для j = 0 и j = 100 (Рис. 2). Разница между диаметрами молекулы на нулевом и сотом вращательных уровнях составляет около 0.5 Å. В молекуле HF можно ожидать серьезного влияния вращательного возбуждения, но количество вращательных уровней мало, и существенного влияния на диаметр не оказывается. (Рис. 3). Йод имеет значительно больше вращательных уровней, чем фтороводород, но даже для j = 200 влияние вращательного возбуждения не становится существенным (около 5 %). При рассмотрении аналогичных графиков для кислорода и оксида азота мы сталкиваемся с интересным эффектом: диаметр молекулы при высоких вращательных уровнях для потенциала Тица-Хуа оказывается меньше, чем при j = 0. (Рис. 4). Для объяснения этого эффекта рассмотрим диаметр молекулы как функцию от j при различных v. (Рис. 5). На высоких вращательных уровнях модель Тица-Хуа дает убывание диаметра, что противоречит нашим представлениям о физике процесса. Следовательно, для кислорода и ок12

Рис. 1: Диаметр возбужденных молекул как функция от v при j = 0 для потенциалов Тица–Хуа (T-H), Морзе и для модели Канга–Кунца (K-K). 13

Рис. 2: Диаметр возбужденной молекулы хлора (а) и азота (б) как функция от v при j = 0 и j = 100 для потенциалов Тица–Хуа (T-H), Морзе. Рис. 3: Диаметр возбужденной молекулы фтороводорода и йода как функция от v при j = 0 и j = 10 (j = 200) для потенциалов Тица–Хуа (T-H), Морзе. 14

Рис. 4: Диаметр возбужденной молекулы кислорода и оксида азота как функция от v при j = 0 и j = 100 для потенциалов Тица–Хуа (T-H), Морзе. Рис. 5: Диаметр возбужденной молекулы кислорода и оксида азота как функция от v при j = 0 и j = 100 для потенциалов Тица–Хуа (T-H), Морзе. сида азота при сильном возбуждении целесообразно использовать модель Морзе. На основе анализа моделей можно сделать вывод о слабом влиянии вращательного уровня на размер молекулы, поэтому в дальнейших расчетах всюду полагаем j = 0. 15

3 Влияние выбора потенциала на вращательную теплоемкость Интересно исследовать влияние потенциала не только на диаметр возбужденной частицы, но и на такую важную теплофизическую величину, как удельная теплоемкость при постоянном объеме. Вычислим теплоемкость вращательных степеней свободы, которая необходима для вычисления коэффициента теплопроводности в поуровневом приближении. Вращательная теплоемкость колебательного уровня v определяется теоретической формулой crot,v = ∂Urot,v , ∂T где Urot,v — удельная вращательного энергия для колебательного уровня v. ρUrot,v = X Ev,j nj , j nj — числовая плотность молекул на вращательном уровне j, Ev,j — энергия для v колебательного и j вращательного уровня, ρ — плотность. С учетом равновесного больцмановского распределения формула принимает вид 2 crot,v 2 −E Ev,j v,j = , 2 mkT (9) где чертой обозначена операция осреднения: P Ev,j = j −E Ev,j · (2j + 1) · exp( kTv,j ) P −Ev,j j (2j + 1) exp( kT ) Для сравнения были выбраны модели жесткого ротатора, для которой энергия и, соответственно, вращательная теплоемкость не зависит от ко- 16

лебательного уровня j(j + 1)~2 Ej = , 2µd2 (10) и Морзе при условии v = 0. 2D − ~2 Bj(j + 1) β~(v + 0.5) M − Ev,j = D + ~2 Aj(j + 1) − (2µ)1/2 2(D − ~2 Cj(j + 1))1/2 1 3 1 A= 1 − 1 − , 2µRe2 βRe βRe 3 2 1− , B= µβRe3 2βRe 1 3 C= 1− . 2µβRe3 βRe 2 Отметим, что в большинстве расчетов при температурах выше комнатной вращательную теплоемкость считают постоянной, crot = k/m. Однако, как показали наши расчеты, при высоких температурах, реализующихся, например, за фронтом сильной ударной волны, данное предположение не выполняется. Проанализируем поведение безразмерной вращательной теплоемкости, отнесенной к величине k/m: c̄rot,v=0 = c̄rot = crot /(k/m). На Рис. 6 показано сравнение наших результатов с данными, приведенными в статье [10]. К сожалению, данные статьи представлены только в графическом варианте, а потому точное определение величины c̄rot не представляется возможным. Однако, можно увидеть качественное поведение функции c̄rot (T ), подтверждающее наши результаты. Похожая картина прослеживается для азота и для оксида азота (Рис. 7). Интересно отметить убывание теплоемкости с ростом температуры. Это 17

Рис. 6: Теплоемкость кислорода Рис. 7: Теплоемкость азота и оксида азота 18

Рис. 8: Сравнение Urot вызвано замедлением роста Urot,v с увеличением температуры (см. Рис. 8). 19

4 Постановка задачи для расчета коэффициента вязкости Для оценки вклада возбужденных молекул с увеличенным диаметром в поуровневый коэффициент сдвиговой вязкости были рассмотрены три типа распределений: (1) равновесные больцмановские распределения; (2) неравновесные распределения, характерные для ударно нагретого газа; (3) неравновесные распределения, характерные для сверхзвуковых расширяющихся течений. Примеры равновесных распределений в азоте и кислороде для различных температур газа приведены на Рис. 9. Видно, что с ростом температуры заселенности верхних колебательных уровней заметно возрастают, поэтому при высоких температурах следует ожидать более заметного эффекта от учета переменного диаметра. Для остальных газов картина абсолютно аналогична. Рис. 9: Равновесное распределение xv при разных температурах газа. В неравновесном случае рассматривались две задачи: о течении азота за ударной волной и в сопле. В ударно нагретом газе коэффициент вязкости рассматривался в различных точках на расстоянии x от фронта ударной 20

волны. Результаты для распределений и температуры взяты из работы [8], начальные условия в невозмущенном потоке: M0 = 15, T0 = 271 К, p0 = 100 Па. На Рис. 10 представлены поуровневые распределения для разных расстояний от фронта. Форма распределений в данном случае мало отличается от больцмановских, при этом распределения расположены ниже соответствующих больцмановских распределений, вычисленных при той же температуре газа. Рис. 10: Неравновесные распределения за ударной волной для различных значений x. Течение в сопле исследовано в работе [9]. На Рис. 11 приведены колебательные распределения для различных сечений сопла x/r (r — радиус критического сечения) при следующих параметрах в критическом сечении: T∗ = 7000 К, p∗ = 100 атм. Видно заметное нарушение больцмановского распределения, в частности, образование плато на средних колебательных уровнях. 21

Рис. 11: Неравновесные распределения в сопле для различных значений x/r. 4.1 Результаты Система линейных алгебраических уравнений (7) решалась численно с помощью LU-разложения. В данном параграфе обсуждается величина ∆ отклонения коэффициента вязкости η, вычисленного с учетом переменного диаметра молекулы, от коэффициента вязкости η0 , вычисленного для невозбужденной молекулы: η ∆= 1− × 100%. η0 (11) Для равновесного случая, когда молярные доли xv описываются больцмановским распределением с температурой T , были проведены расчеты для всех газов при разных температурах, для разных потенциалов и для разных значений максимального колебательного уровня vmax . Результаты для азота, кислорода и NO приведены в таблицах 2–8. В таблицы не включены данные, полученные по модели Канга–Кунца, поскольку при v > 10 22

она дает завышенные значения диаметров молекул, что ведет к резкому росту величины ∆ при T > 4000 К. Так, в азоте при T = 5000 К для модели Канга–Кунца ∆ ≈ 40%, что противоречит результатам, полученным на основе более точных моделей. Это позволяет сделать вывод о том, что простая модель Канга–Кунца может применяться для расчета молекулярных диаметров лишь при невысоких температурах. Анализируя данные, представленные в таблицах 2–8, можно отметить, что разница между значениями, полученными при использовании потенциалов Морзе и Тица–Хуа, весьма незначительна и не превышает 3%. Следовательно, использование более сложного потенциала Тица–Хуа не уточняет результат, и достаточно ограничиться более простым потенциалом Морзе. Влияние высоковозбужденных колебательных состояний на коэффициент вязкости становится заметным лишь при высоких температурах, когда верхние уровни достаточно заселены. При T < 7000 К вклад уровней v > 10 оказывается пренебрежимо малым, и их можно не учитывать, что позволяет упростить решение системы (7). Наибольшее влияние выбора vmax обнаружено у йода, из атмосферных газов — у водорода, меньшее — у азота. В целом можно отметить, что при температурах ниже 15000 К влиянием диаметра возбужденной частицы на коэффициент сдвиговой вязкости можно пренебречь для всех рассмотренных газов, поскольку наибольшие значения ∆ не превышают 12%. С ростом температуры эффект оказывается более существенным, однако при таких температурах молекулы обычно уже диссоциированы. Исключение составляет узкий слой газа за фронтом ударной волны, в котором температуры могут достигать очень высоких значений, а процессы диссоциации еще не начались. 23

Таблица 2: Отклонение ∆, [%] для H2 для различных температур и потенциалов в случае равновесных распределений. T , [K] ∆, T-H, vmax = 13 ∆, T-H, vmax = 3 ∆, Morse, vmax = 13 2500 0.3262 0.3098 0.3882 5000 1.4983 1.0174 1.8010 7500 3.1560 1.4638 3.8550 10000 4.9850 1.7314 6.1681 12500 6.6747 1.9042 8.3252 15000 8.1068 2.0237 10.1600 17500 9.2829 2.1108 11.6683 20000 10.2429 2.1769 12.8996 Таблица 3: Отклонение ∆, [%] для N2 для различных температур и потенциалов в случае равновесных распределений. T , [K] ∆, T-H, vmax = 46 ∆, T-H, vmax = 10 ∆, Morse, vmax = 46 2500 0.1918 0.1918 0.1842 5000 0.5835 0.5710 0.5601 7500 1.0258 0.9188 0.9839 10000 1.5152 1.1864 1.4519 12500 2.0571 1.3841 1.9685 15000 2.6473 1.5318 2.5294 17500 3.2694 1.6446 3.1189 20000 3.9016 1.7329 3.7167 Таблица 4: Отклонение ∆, [%] для O2 для различных температур и потенциалов в случае равновесных распределений. T , [K] ∆, T-H, vmax = 35 ∆, T-H, vmax = 10 ∆, Morse, vmax = 35 2500 0.4548 0.4526 0.4635 5000 1.2505 1.1032 1.2754 7500 2.2086 1.5502 2.2556 10000 3.2751 1.8345 3.3498 12500 4.3305 2.0235 4.4348 15000 5.2911 2.1563 5.4234 17500 6.1275 2.2541 6.2849 20000 6.8423 2.3288 7.0214 24

Таблица 5: Отклонение ∆, [%] для NO для различных температур и потенциалов в случае равновесных распределений. T , [K] ∆, T-H, vmax = 37 ∆, T-H, vmax = 10 ∆, Morse, vmax = 37 2500 0.3170 0.3166 0.3186 5000 0.9054 0.8493 0.9102 7500 1.5962 1.2706 1.6051 10000 2.3856 1.5607 2.400 12500 3.2279 1.7617 3.2487 15000 4.0596 1.9061 4.0872 17500 4.8358 2.0138 4.8700 20000 5.5361 2.0968 5.5764 Таблица 6: Отклонение ∆, [%] для Cl2 для различных температур и потенциалов в случае равновесных распределений. T , [K] ∆, T-H, vmax = 46 ∆, T-H, vmax = 10 ∆, Morse, vmax = 46 2500 1.6481 1.2815 1.4806 5000 4.0970 1.8418 3.6328 7500 6.4459 2.0618 5.6617 10000 8.2240 2.1760 7.1872 12500 9.5063 2.2456 8.2843 15000 10.4444 2.2923 9.0858 17500 11.1502 2.3258 9.6684 20000 11.6963 2.3510 10.1545 Таблица 7: Отклонение ∆, [%] для HF для различных температур и потенциалов в случае равновесных распределений. T , [K] ∆, T-H, vmax = 23 ∆, T-H, vmax = 10 ∆, Morse, vmax = 23 2500 0.2154 0.2154 0.2439 5000 0.9317 0.9231 1.0601 7500 1.9718 1.7900 2.2802 10000 3.4150 2.6246 4.0558 12500 5.1335 3.3349 6.2411 15000 6.8907 3.9117 8.5137 17500 8.5245 4.3757 10.6430 20000 9.9690 4.7508 12.5315 25

Таблица 8: Отклонение ∆, [%] для I2 для различных температур и потенциалов в случае равновесных распределений. T , [K] ∆, T-H, vmax = 74 ∆, T-H, vmax = 10 ∆, Morse vmax = 74 2500 3.0795 1.1649 2.6359 5000 6.7833 1.3220 5.6703 7500 9.1929 1.3758 7.6125 10000 10.6540 1.4029 8.7848 12500 11.5990 1.4192 9.5416 15000 12.2516 1.4300 10.0637 17500 12.7267 1.4378 10.4436 20000 13.0870 1.4436 10.7315 Таблица 9: Отклонение ∆, [%] для N2 для весных распределений за ударной волной. x, [см] T , [K] −13 6.4 · 10 13095 0.001 13051 0.01 12681 0.10 10919 1.00 9725 1.99 9144 2.99 8763 3.99 8489 5.00 8281 различных потенциалов в случае неравно∆, T-H 0.0000 0.0257 0.2439 1.3332 1.3834 1.2778 1.2087 1.1592 1.1218 ∆, Morse 0.0000 0.0247 0.2342 1.2779 1.3260 1.2250 1.1590 1.1116 1.0758 Результаты расчетов для ударной волны представлены в таблице 9. Как видим, вблизи фронта температура превышает 13000 К, однако в этой точке влияние диаметра молекулы на коэффициент вязкости оказывается нулевым. Это связано с тем, что колебательная релаксация во фронте ударной волны в поуровневом приближении предполагается замороженной, и распределения xv непосредственно за фронтом соответствуют низкой температуре набегающего потока. Заселенности верхних состояний оказываются пренебрежимо малыми, что ведет к полному отсутствию эффекта диаметров на коэффициент вязкости. Результаты, полученные по двум потенциалам, практически не различаются. В связи с этим интересно проанализировать противоположный случай 26

Таблица 10: Отклонение ∆, [%] для N2 для различных потенциалов в случае неравновесных распределений в сопле. x/r T , [K] ∆, T-H ∆, Morse 0 7000 0.9179 0.8806 5 2686 0.4941 0.4743 10 1759 0.4814 0.4621 20 1082 0.4795 0.4602 50 540 0.4794 0.4602 — расширяющееся течение. Для течения в сопле характерна высокая заселенность средних и верхних уровней (см. Рис. 11), которые могут давать заметный вклад в коэффициент вязкости. Однако температура газа в данной ситуации быстро падает и оказывается недостаточной для проявления эффекта молекулярных диаметров, см. таблицу 10. Для данной задачи отличия между результатами для двух потенциалов не обнаружилось. Таким образом, для всех рассмотренных в работе условий влияние диаметра возбужденной частицы на коэффициент сдвиговой вязкости оказалось незначительным. Это подтверждает применимость предположения о том, что сечение упругого столкновения слабо зависит от колебательного уровня, и тем самым обеспечивает применимость упрощенных алгоритмов расчета коэффициентов переноса в поуровневом приближении, предложенных в [2]. Исследование выполнено при поддержке СПбГУ (НИР 6.37.206.2016) и РФФИ (грант 15-08-03371). Результаты данного исследования частично опубликованы в работе [11]. 27

5 Заключение В работе исследовано влияние размера возбужденной молекулы на коэффициент сдвиговой вязкости в поуровневом приближении. Проведено сравнение нескольких энергетических потенциалов, обоснованно использование потенциала Морзе в качестве оптимального для исследования теплофизических свойств молекул. Рассмотрено влияние возбуждения на коэффициент сдвиговой вязкости для ряда двухатомных газов в широком спектре температур. Численный расчет показал, что как для равновесных, так и для неравновесных условий влияние незначительно и не превышает 12%, следовательно, вкладом возбужденных состояний при подсчете коэффициента сдвиговой вязкости можно пренебречь. Данный результат заметно упрощает алгоритм расчета коэффициента вязкости в неравновесных течениях с колебательной релаксацией. Изучено изменение вращательной теплоемкости с ростом температуры. Показано, что при T & 104 K она начинает убывать. Результаты работы могут представлять интерес для исследования потоков газа при высоких температурах. 28

Список литературы [1] Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2003. 272 с. [2] Kustova E. V., Nagnibeda E. A. Transport properties of a reacting gas mixture with strong vibrational and chemical nonequilibrium // Chem. Phys. 1998. Vol. 233. P. 57–75. [3] Kang S. H., Kunc J. A. Molecular diameters in high-temperature gases // J. Phys. Chem. 1991. Vol. 95. P. 6971–6973. [4] Gorbachev Yu. E., Gordillo-Vazques F. J., Kunc J. A. Diameters of rotationally and vibrationally excited diatomic molecules // Physica A. 1997. Vol. 247. P. 108–120. [5] Gordillo-Vazquez F. J., Kunc J. A. Rotational-Vibrational levels of diatomic molecules represented by the Tietz-Hua rotating oscillator // J. Phys. Chem. 1997. Vol. 101. P. 1595–1602. [6] Gordillo-Vazquez F. J., Kunc J. A. Radial probability of atoms in diatomic molecules represented by the rotating Morse and Tietz-Hua oscillators // J. Theo. Chem. 1998. Vol. 425. P. 263–270. [7] Kustova E. V., Kremer G. M. Effect of molecular diameters on state-tostate transport properties: the shear viscosity coefficient // Chem. Phys. Lett. 2015. Vol. 636. P. 84–89. 29

[8] Kunova O., Kustova E., Mekhonoshina M., Nagnibeda E. Non-equilibrium kinetics, diffusion and heat transfer in shock heated flows of N2 /N and O2 /O mixtures // Chem. Phys. 2015. Vol. 463. P. 70–81. [9] Kustova E., Nagnibeda E., Alexandrova T., Chikhaoui A. On the nonequilibrium kinetics and heat transfer in nozzle flows // Chem. Phys. 2002. Vol. 276. P. 139–154. [10] Richard L. Jaffe The calculation of high-temperature equilibrium and nonequilibrium specific heat data for N2 , O2 and NO // AIAA Paper 871633, AIAA 22nd Thermophys. Conference, 1987. [11] Корниенко О. В. Кустова Е. В. Влияние переменного диаметра молекул на коэффициент вязкости в поуровневом приближении // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т.3(61). Принято к публикации. 30

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв