Квантовые вычисления на основе облачных технологий

Константин Михайлович Макушин

Квантовые вычисления на основе облачных технологий

В данной работе мы используем доступные через облачный сервис квантовые компьютеры IBM для расчёта энергии основного состояния примесных редкоземельных ионов Yb3+:Y2Ti2O7 и Er3+:YPO4. Для расчёта энергии основного состояния мы используем и модифицируем квантовый алгоритм Variational Quantum Eigensolver (VQE), который хорошо зарекомендовал себя, как алгоритм, позволяющий использовать скромные вычислительные возможности современных квантовых компьютеров. В качестве алгоритма минимизации мы выбираем алгоритм Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation, подходящий для оптимизации шумных целевых функций с большим количеством параметров. Кроме того, с помощью VQE мы с хорошей точностью рассчитываем компоненты g-факторов основного состояния примесных редкоземельных ионов Yb3+ и Er3+.

Физика

Дипломы

Вуз: Казанский (Приволжский) федеральный университет (КФУ)

ID: 5f1591e6cd3d3e0001add2d6

UUID: cf3aede0-acb4-0138-0f5d-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: почти 4 года назад

Просмотры: 34

22.78

Константин Михайлович Макушин

Казанский (Приволжский) федеральный университет (КФУ)

Комментировать 12

Рецензировать 3

Скачать - 898,8 КБ

Поделиться работой

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ФИЗИКИ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Направление: 03.04.02 Физика Профиль: Физика конденсированного состояния МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ КВАНТОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОБЛАЧНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Студент 2 курса группы 06-819 «__» ________2020 г. ___________ (Макушин К.М.) Научный руководитель к.ф.-м.н., доцент «__» ________2020 г. ___________ (Байбеков Э.И.) Заведующий кафедрой теоретической физики д.ф.-м.н., профессор «__» ________2020 г. ___________ Казань-2020 (Прошин Ю.Н.)

Оглавление Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Глава 1. Квантовые компьютеры IBM . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Глава 2. Квантовые алгоритмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Глава 3. Variational Quantum Eigensolver . . . . . . . . . . . . . . . 15 Глава 4. Кристаллическое поле и спектроскопические данные . . 23 Глава 5. Оптимизация вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Глава 6. Вычисление основного состояния редкоземельных ионов на квантовом компьютере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2

Введение В последние несколько лет можно наблюдать достаточно быстрое раз витие квантовых технологий. Если ещё совсем недавно квантовые компьюте ры представляли собой весьма простые реализации кубитов (qubit, от англ. quantum bit), не выходящие за пределы экспериментальных лабораторий, то уже в 2011 году компания D-wave представила квантовую систему D-wave one: 128-кубитный квантовый компьютер, созданный на технологии кванто вого отжига, который, однако, был пригоден для решения лишь узкого круга задач [1]. В 2016 году IBM представила первый сверхпроводниковый кванто вый компьютер, доступный научному сообществу через облачный сервис [2]. В 2017 другая компания – Rigetti Computing анонсировала публичный доступ к облачной квантовой вычислительной платформе [3]. В 2019 году Google объявили, что их 54-кубитный процессор достиг так называемого квантового превосходства [4]. Согласно одному из определений, квантовое превосход ство будет достигнуто тогда, когда квантовый компьютер решит некоторую вычислительную задачу, которую нельзя выполнить, используя любой извест ный алгоритм, выполнимый на классическом суперкомпьютере за разумное время. Предполагается, что квантовые компьютеры, использующие более 50 кубитов, будут обладать возможностями, которые недоступны классическим компьютерам. Дж. Прескилл назвал эти устройства Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) [5] devices (Шумные квантовые устройства промежуточного масштаба). Однако, квантовые технологии всё ещё достаточно далеки от fault– tolerant (отказоустойчивых) вычислений, большинство известных нам алго ритмов очень чувствительны к шуму (ошибкам, возникающим в ходе вычис лений). Специальные алгоритмы (error-correcting circuits), которые позволяют исправлять эти ошибки, требуют наличия большого количества дополнитель ных кубитов, число которых может доходить до миллионов. 3

Рис. 1. Пример простейшего квантового алгоритма, который позволяет создать одно из состо яний Белла – пример квантовой запутанности. Стрела времени направлена направо, каждый из двух кубитов изначально находится в состоянии |0⟩ Используемая в данной работе платформа IBM Quantum Experience поз воляет выполнять моделирование многих квантовых сильно коррелированных электронных систем, включая модель Изинга и модель центрального поля [6; 7]. Однако возможные применения этим не ограничиваются. Так, в одной из недавних работ была решена задача моделирования основного состояния простых молекул таких, как молекула водорода и молекула гидрида лития (LiH) [8]. Одним из возможных обобщений задачи в вышеупомянутой ра боте будет изучение многоэлектронного иона (иона переходных металлов или редкоземельного иона), находящегося в кристаллическом окружении. Каждый редкоземельный примесный ион имеет приблизительно 70 электро нов, взаимодействующих друг с другом, со своими ядрами и с ближайшими ионами кристалла, что делает поиск точного решения с помощью извест ных классических алгоритмов практически невозможным. В этой работе мы рассматриваем более простую задачу нахождения основного состояния двух крамерсовых ионов (Er3+ и Yb3+ ) с учётом только нижних состояний их муль типлетов. Электростатическое взаимодействие между электронами валент ной 4𝑓 оболочки, вместе с их спин-орбитальным взаимодействием порождает мультиплеты, которые разделены большим энергетическим интервалом, что исключает спутывание основных состояний с ближайшими возбуждёнными. 4

Полный угловой момент 4𝑓 оболочки и его проекция в данном случае явля ются “хорошими” квантовыми числами. Электростатическое взаимодействие расщепляет уровни мультиплетов на подуровни, которые можно описать с помощью так называемого гамильтониана кристаллического поля. Для решения поставленной нами задачи нахождения основного состо яния крамерсовых ионов мы могли бы использовать квантовый алгоритм, предложенный в работах [9; 10], он полагается на приготовление пробного состояния кубитов, которое имеет большое перекрытие с основным состоя нием, исследуемой физической системы, и включает в себя квантовый алго ритм фазовой оценки (quantum phase estimation algorithm - QPEA). Однако данный подход требует значительной глубины квантовой схемы и больших времён когерентности кубитов (возможности долгое время сохранять задан ное состояние), современное квантовое оборудование пока не удовлетворяет таким требованиям. В данной работе мы используем другой квантовый ал горитм, предложенный в 2014 году, который был назван Variational Quantum Eigensolver (VQE) [11; 12], этот алгоритм имеет более скромные требова ния к квантовому оборудованию и может быть использован для проведения вычислений на современных квантовых компьютерах. В целом же квантовые компьютеры, как ожидается, позволят получить значительный прирост в скорости вычислений, однако это справедливо толь ко для тех случаев, когда классические ресурсы (память, число операций) растут экспоненциально по некоторому параметру, а квантовые ресурсы (па мять, число кубитов, число измерений) растут полиномиально по тому же параметру. К примеру, гильбертово пространство некоторого гамильтониана, описывающего систему 𝑛 частиц, растёт с числом частиц как 𝑁 = 𝑂 (exp (𝑛)). Число кубитов, необходимое, чтобы представить состояние этого гамильто ниана на квантовом компьютере растёт как 𝑂 (poly (n)). Для VQE необходимо также учесть такие параметры, как число операторов Паули в разложении га мильтониана (растёт как 𝑂 (poly (n)) для локальных взаимодействий) и число 5

квантовых гейтов для подготовки пробного состояния (для большинства слу чаев растёт как 𝑂 (poly (n))). Получается, что в случае VQE все квантовые ресурсы растут полиномиально по 𝑛. В классическом же случае приходится иметь дело с векторами и матрицами с размерностью 𝑁 = 𝑂 (exp (𝑛)). Оче видно, что в случае квантовых вычислений мы получаем ускорение по числу операций и по использованию памяти. 6

Глава 1 Квантовые компьютеры IBM В наших численных экспериментах мы используем облачный доступ к квантовым компьютерам IBM через фреймворк Qiskit [13]. Для написа ния программных инструкций для квантового компьютера используется язык программирования Python, в котором посредством библиотек фреймворка Qiskit задаётся квантовая схема, состоящая из набора унитарных операций над кубитами (гейтов), пример простейшей схемы можно увидеть на Рисунке 1. Квантовые компьютеры IBM построены на технологии трансмонных ку битов [14; 15]. Трансмонный кубит – это разновидность сверхпроводниково го зарядового кубита на основе джозефсоновского перехода, работающего по принципу квантования заряда куперовских пар электронов в сверхпроводни ке. Рис. 1.1. Схема трансмонного кубита (два джозефсоновских перехода с энергией 𝐸𝐽 и ём костью 𝐶𝐽 , соединённых с внешней ёмкостью 𝐶𝐸 ) и диаграмма его энергетических уровней [15] 7

В общем случае кубиты на основе джозефсоновских переходов пред ставляют собой металлический контур с размерами порядка 10 микрометров (принципиальная схема показана на Рисунке 1.1), в котором присутствуют разрывы из диэлектрика шириной несколько нанометров. Эффект Джозеф сона описывает туннелирование сверхпроводящего тока между двумя сверх проводниками, которые разделенны изолятором. В случае описываемого нами металлического контура ток (электроны) туннелирует через разрыв из изоля тора в контуре. При температурах, близких к абсолютному нулю, через такой контур начинает проходить ток сверхпроводимости, который может спонтан но менять направление и протекать как по часовой стрелке, так и против неё, что соответствует нахождению кубита в состоянии |0⟩ или |1⟩, а промежуточ ное состояние будет соответствовать их суперпозиции. Переключение между состояниями осуществляется с помощью внешнего электромагнитного поля. Рис. 1.2. Схема 15-кубитного квантового компьютера IBM Melbourne [2] Каждый квантовый компьютер проходит ежедневную калибровку, все данные по конкретному чипу доступны онлайн, включая текущие частоты возникновения ошибок при выполнении однокубитных и двухкубитных опе раций см. Рисунок 1.2. Чипы находятся в многоуровневом криостате, который создаёт темпе 8

ратуру около 15 милликельвин, что позволяет предотвращать декогеренцию состояний кубитов. Квантовые гейты реализуются с помощью различных по следовательностей микроволновых импульсов (порядка 5 ГГц). Связь с квантовыми компьютерами IBM осуществляется через плат форму IBM Cloud, пользователи пишут инструкции, отправляют данные на сервер, затем в порядке очереди их программы запускаются на квантовом оборудовании. Результаты вычислений представляют собой статистическое распределение вероятностей по состояниям, которые были измерены за 𝑁 запусков квантовой программы. Максимально доступное число запусков на данный момент – 8192. 9

Глава 2 Квантовые алгоритмы Базовой единицей информации в квантовых вычислениях является ку бит. По аналогии с классическим битом, состояния которого в двоичной системе обозначают как 0 и 1, кубит может находиться в двух квантовых состояниях, которые в дираковской нотации обозначаются как |0⟩ и |1⟩, они образуют базис состояний кубита. Главное отличие здесь состоит в том, что кубит - это квантовомеханическая двухуровневая система |𝜓⟩ ∈ C2 , следо вательно, все закономерности поведения квантовых систем, такие как кван товая запутанность (quantum entanglement), интерференция состояний, свой ственны и кубиту, поэтому базисные состояния кубита могут находиться в суперпозиции состояний: |𝜓⟩ = 𝛼|0⟩ + 𝛽|1⟩, (2.1) здесь 𝛼 и 𝛽 - комплексные коэффициенты или амплитуды вероятности, кото рые связаны условием: |𝛼|2 + |𝛽|2 = 1. (2.2) Так как глобальная фаза ненаблюдаема в эксперименте |𝜓⟩ = 𝑒𝑖𝛿 |𝜓⟩, тре буется всего два действительных числа, чтобы описать квантовое состояние одного кубита. Также удобно представлять состояние кубита в виде единичного вектора на сфере Блоха см. Рисунок 2.1, так как существует соответствие состояний кубита (C2 ) точкам на трёхмерной сфере (R3 ) вследтвие изоморфизма группы трёхмерных вращений 𝑆𝑂(3) и специальной унитарной двухмерной группы 𝑆𝑂(2), тогда для (2.1) можно записать: 𝜃 𝜃 |𝜓⟩ = cos |0⟩ + 𝑒𝑖𝜑 sin |1⟩. 2 2 (2.3) С помощью данного представления удобно следить за эволюцией состояния 10

Рис. 2.1. Состояние кубита в виде единичного вектора на сфере Блоха кубитов. Эволюцию состояния нескольких кубитов обычно изображают в виде схемы. Квантовая схема – это вычислительная процедура, состоящая из ко герентных и упорядоченных квантовых операций над квантовыми данными (кубитами). Квантовые операции, совершаемые над кубитами, называются гейтами. Гейты образуют так называемый универсальный набор, если любое унитарное преобразование над кубитами можно эффективно аппроксимиро вать последовательными операциями из универсального набора. Любая кван товая программа может быть представлена как последовательность квантовых схем и непараллельных классических вычислений. Квантовые гейты обычно представляют в виде матриц. Гейт, который действует на кубит, можно записать с помощью унитарной матрицы 𝑈 с раз мерностью 2 × 2 (матричное представление двухкубитных гейтов имеет раз мерность 4 × 4). Действие гейта на состояние кубита можно представить как умножение матрицы, представляющий этот гейт, на вектор-столбец, который, в свою очередь, представляет квантовое состояние кубита: ′ |𝜓 ⟩ = 𝑈 |𝜓⟩. (2.4) Наиболее общее однокубитное унитарное преобразование можно представить 11

следующим образом: ⎛ 𝑈 (𝜃, 𝜙, 𝜆) = ⎝ cos 𝑖𝜙 𝜃 2 𝑒 sin −𝑒 sin 2𝜃 𝑒𝑖𝜆+𝑖𝜙 cos 2𝜃 𝑖𝜆 𝜃 2 ⎞ ⎠, (2.5) где граничные условия для параметров следующие: 0 < 𝜃 < 𝜋, 0 < 𝜑 < 2𝜋, (2.6) 0 < 𝜆 < 2𝜋. Далее мы приведём примеры некоторых широкоиспользуемых кванто вых гейтов. Гейт 𝑋 или гейт обращения бита выполняет ту же роль, что и отрицание NOT в классической модели вычислений, он переводит состояние |0⟩ в состояние |1⟩ и наоборот: 𝑋|0⟩ = |1⟩, (2.7) 𝑋|1⟩ = |0⟩. Гейт 𝐻 или гейт Адамара переводит состояние кубита в равновероятную суперпозицию базисных состояний, эти состояния также обозначаются как |+⟩ и |−⟩: 1 |+⟩ ≡ 𝐻|0⟩ = √ (|0⟩ + |1⟩) , 2 (2.8) 1 |−⟩ ≡ 𝐻|1⟩ = √ (|0⟩ − |1⟩) . 2 Гейт 𝑍 или гейт обращения фазы воздействует на относительную фазу кубита 𝜑, вращая её на 180∘ : 𝑍|1⟩ = −|1⟩. (2.9) Гейты 𝑆 и 𝑆 † вращают фазу кубита 𝜑 на 90∘ и −90∘ соответственно: 𝑆|1⟩ = 𝑖|1⟩, (2.10) † 𝑆 |1⟩ = −𝑖|1⟩. Гейт 𝑌 является последовательной комбинацией гейтов 𝑍 и 𝑋. 12

Также можно упомянуть некоторые двухкубитные гейты. Начнём с ка нонического двухкубитного гейта CNOT (Controlled-NOT или 𝐶𝑋). Как и для всех контролирующих гейтов здесь подразумевается, что один кубит является “control”, а другой “target”. Если control-кубит находится в состоянии |0⟩, то target-кубит не изменяет своего состояния. Если же control-кубит находится в состоянии |1⟩, то к target-кубиту применяется гейт X. Рис. 2.2. Пример трёхкубитной квантовой схемы Таким образом, до тех пор пока control-кубит находится в одном из состояний |0⟩ или |1⟩, CNOT выполняет классические преобразования, од нако, если мы сначала подействуем на control-кубит гейтом 𝐻, то ситуация кардинально поменяется. Действуя CNOT на суперпозицию |+⟩, мы получим запутанное состояние кубитов, а если target-кубит при этом находился в со стоянии |0⟩, то на выходе мы получим одно из состояний Бэлла |Φ+ ⟩, см. Рисунок 1: 1 |Φ+ ⟩ = √ (|00⟩ + |11⟩) (2.11) 2 Другой контроллирующий гейт – 𝐶𝑍 подразумевает применение 𝑍 гей та к target-кубиту. Примером двухкубитного гейта составного типа будет SWAP-гейт, который обменивает состояния двух кубитов, он реализуется с помощью комбинации двух CNOT-гейтов и одного гейта Адамара. В конце квантовых программ обычно производится измерение состо яния кубитов, данная процедура на квантовой схеме условно обозначается 13

отдельным гейтом со стрелкой см. Рисунок 2.2. Нужно подчеркнуть, что в большинстве случаев на квантовом оборудовании реализовано измерение состояния кубита в базисе состояний оператора Паули 𝑍 (вычислительный базис (|0⟩, |1⟩)). 14

Глава 3 Variational Quantum Eigensolver Данный алгоритм является квазиклассическим квантовым алгоритмом, что подразумевает использование в ходе вычислений классического компью тера наряду с квантовым. Такой подход, судя по всему, будет достаточно широко распространён в ближайшие годы, так как он позволяет использовать скромные вычислительные ресурсы NISQ квантовых устройств более разум но. Алгоритм VQE, а точнее его квантовая часть (часть алгоритма, выполня ющаяся на квантовом компьютере), опирается на использование вариацион ного метода Ритца, который является приближённым методом решения ста ционарного уравнения Шрёдингера. Метод Ритца основан на использовании так называемого анзаца – пробной волновой функции, которая выбирается из общих соображений с учётом особенностей задачи, содержащей некоторое число произвольных параметров. Пусть ℋ – гамильтониан, который имеет дискретный спектр собствен ных значений, ограниченый снизу собтвенным значением 𝐸0 . Если мы пара метризуем некоторый вектор состояния |Ψ⟩ с помощью набора произвольных параметров 𝜃 = {𝜃1 , 𝜃2 , . . . , 𝜃𝑛 }, то мы сможем оценить энергию основного состояния данного гамильтониана, минимизируя функционал в правой части неравенства: 𝐸0 ≤ ⟨Ψ(𝜃)|ℋ|Ψ(𝜃)⟩ . ⟨Ψ(𝜃)|Ψ(𝜃)⟩ (3.1) Чтобы параметризовать вектор состояния |Ψ⟩ или же, по-другому, со здать пробное состояние, нам необходимо выбрать одну из стратегий, которые используются для постороения анзац-схем. Анзац-схема, также можно встре тить название вариационная форма, - это квантовый алгоритм, использую щийся для перевода кубитов из некоторого начального состояния в пробное состояние, конкретный вид которого зависит от исследуемой задачи. 15

Первая стратегия опирается на знание характерных свойств и симмет рий гамильтониана исследуемой физической системы, например, симметрия, связанная с сохранением числа частиц в системе. Сохранение числа частиц играет важную роль, когда вычисляются возбуждённые состояния молекул. Без сохранения этой симметрии результаты вычислений будут включать в себя так же и другие возбуждённые состояния, где некоторые из изначально заданных частиц будут отсутствовать или же наоборот будут присутствовать лишние частицы. Подобные анзацы широко используются в квантовой химии, к примеру, в работах [16–18] используется Unitary Coupled Cluster Ansatz (UCCA), где в качестве начальных состояний кубитов выступают состояния Хартри-Фока. Вторая стратегия подразумевает использование более эвристического подхода с использованием однокубитных и двухкубитных гейтов, которые реализованы на данном квантовом оборудовании, она называется Hardware efficient ansatz (HEA). В идеале желательно, чтобы наш HEA-анзац мог генери ровать любое возможное состояние |𝜓⟩ из |𝜓⟩ ∈ C𝑁 и 𝑁 = 2𝑛 , и в то же время желательно, чтобы анзац использовал как можно меньшее число параметров. Рассмотрим случай, когда 𝑛 = 1, наиболее общее унитарное преобразование над одним кубитом выглядит так: ⎛ 𝑈 (𝜃, 𝜙, 𝜆) = ⎝ cos 𝑖𝜙 𝜃 2 𝑒 sin −𝑒 sin 2𝜃 𝑒𝑖𝜆+𝑖𝜙 cos 2𝜃 𝑖𝜆 𝜃 2 ⎞ ⎠. (3.2) Следовательно, в общем случае анзац для одного кубита (Рисунок 3.1) будет зависеть от трёх параметров 𝜃, 𝜑, 𝜆 с точностью до глобальной фазы. Рис. 3.1. Анзац-схема для однокубитного состояния Менее тривиальный двухкубитный анзац представлен на Рисунке 3.2, 16

здесь для того, чтобы анзац мог генерировать наиболее широкий диапазон состояний, с помощью запутывающих гейтов CNOT учтены двухчастичные взаимодействия. Рис. 3.2. Анзац-схема для двухкубитного состояния Подобные унитарные преобразования легко масштабировать на боль шее число кубитов, в общем виде их можно представить, как чередующиеся слои вращающих и запутывающих гейтов. Число чередований комбинации “вращение+запутывание” называют глубиной HEA-анзаца. Чем больше глу бина HEA-анзаца, тем большую часть гильбертова пространства задачи будет захватывать диапазон выходных состояний, генерируемых данным анзацем. В сравнении с UCCA анзацами данный подход позволяет использовать схемы меньшей глубины, это, в свою очередь, может помочь избежать нежела тельных ошибок, связанных с декогеренцией квантового состояния кубитов. Однако окончательных выбор стратегии построения анзаца зависит от кон кретной задачи, в частности, в своей работе мы используем HEA. В качестве начального состояния |𝜑⟩ удобно выбрать одно из состоя ний 𝑛-кубитного вычислительного базиса |00...0⟩, |00...1⟩, . . . , |11...1⟩. Анзац будет действовать на это состояние как унитарное преобразование: |𝜓(𝜃)⟩ = 𝑈 (𝜃)|𝜑⟩. (3.3) Известно, что наиболее общее унитарное преобразование над одним кубитом (3.2) можно записать в виде [19]: 𝑈 𝑞,𝑑 (𝜃) = 𝑅𝑍 (𝜃1𝑞,𝑑 )𝑅𝑌 (𝜃2𝑞,𝑑 )𝑅𝑍 (𝜃3𝑞,𝑑 ), 17 (3.4)

здесь 𝑞 – индекс отдельного кубита, а индекс 𝑑 определяет номер слоя в схеме заданной глубины. Тогда для произвольного числа кубитов можно записать [19]: 𝑈 (𝜃) = 𝑛 ∏︁ [𝑈 𝑞,𝑑 (𝜃)]𝑈𝐸𝑁 𝑇 𝑞=1 𝑛 ∏︁ [𝑈 𝑞,𝑑−1 𝑛 ∏︁ (𝜃)]𝑈𝐸𝑁 𝑇 . . . 𝑈𝐸𝑁 𝑇 [𝑈 𝑞,0 (𝜃)], 𝑞=1 (3.5) 𝑞=1 где 𝑈𝐸𝑁 𝑇 – участок квантовой схемы, состоящий из запутывающих гейтов (обычно используются гейты CNOT). Так как все кубиты инициализируются в состоянии |0⟩, первый набор 𝑅𝑍 -вращений 𝑈 𝑞,0 не будет оказывать никакого действия на эти состояния, поэтому он не реализуется в схеме нашего HEA– анзаца. В итоге мы имеем 𝑛(3𝑑 + 2) параметра оптимизации, где n – число кубитов. После того как пробное состояние приготовлено, подразумевается, что мы должны оценить среднее значение заданного гамильтониана ⟨ℋ⟩, одна ко в большинстве случаев квантовый компьютер не может непосредственно вычислять такие средние. Так как состояния кубитов задаются в вычисли тельном базисе, средние значения также вычисляются на состояниях данного базиса. Поэтому исходный гамильтониан задачи с помощью отдельных преоб разований записывается в виде взвешенной суммы тензорных произведений операторов Паули (строк Паули): ℋ= ∑︁ 𝑖,𝛼=𝑥,𝑦,𝑧,0 ℎ𝑖,𝛼 𝑃𝑖,𝛼 = ∑︁ 1 2 𝑛 ℎ𝑖,𝛼 × 𝜎𝛼,𝑖 ⊗ 𝜎𝛼,𝑖 ⊗ · · · ⊗ 𝜎𝛼,𝑖 , (3.6) 𝑖,𝛼=𝑥,𝑦,𝑧,0 1 2 а затем уже отдельно вычисляются средние вида ⟨𝑃𝑖,𝛼 ⟩ = ⟨𝜎𝛼,𝑖 ⊗ 𝜎𝛼,𝑖 ⊗ 𝑛 · · · ⊗ 𝜎𝛼,𝑖 ⟩. Обычно измерения на квантовых компьютерах проводятся в базисе опе ратора Паули 𝜎𝑧 , и чтобы получить правильные результаты, к примеру, для строки 𝜎𝑧1 ⊗ 𝜎𝑥2 ⊗ 𝜎𝑦3 необходимо выполнить операции преобразования бази са для кубитов 2 и 3. Данные преобразования необходимо совершить над кубитами непосредственно перед их измерением, они представляют собой 18

вращающие гейты вида 𝑅𝑦 (︀ 𝜋 )︀ 2 (︀ )︀ , 𝑅𝑥 − 𝜋2 для 𝜎𝑥 и 𝜎𝑦 соответственно ( также могут использоваться гейты 𝐻 и 𝐻𝑆 † ). Рис. 3.3. Схема Алгоритма Variational Quantum Eigensolver После приготовления пробного состояния и после проведения всех из мерений алгоритм переходит к классической части. Классическая часть алгоритма VQE, как следует из её названия, вы полняется на классическом компьютере. Её можно разделить на две части: алгоритм, который выполняет суммирование средних значений строк Паули, вычисленных с помощью квантового компьютера и алгоритм, который выпол няет оптимизацию. Смысл оптимизации заключается в подборе оптимального набора параметров 𝜃 * = {𝜃1* , 𝜃2* , . . . , 𝜃𝑛* }, который позволит нам, согласно ва риационному принципу (3.1), оценить энергию основного состояния системы 𝐸0 . Общая схема для алгоритма VQE представлена на Рисунке 3.3 Выбор алгоритма оптимизации зависит от характера целевой функции. Целевая функция – это функция для которой выполняется поиск экстремума. В случае алгоритма VQE целевой функцией является энергия изучаемой фи зической системы 𝐸 (𝜃), вычисляемая с помощью суммирования результатов оценки средних значений строк Паули. 19

Существует достаточно большое число алгоритмов оптимизации, к при меру, Nelder-Mead, BFGS, Cobyla. Одним из самых популярных алгоритмов является алгоритм градиентного спуска, в нем каждый параметр обновля ется в направлении наибольшего локального изменения значениия целевой функции. Следовательно, число оценок целевой функкции зависит от числа параметров данной функции, что достаточно ресурсозатратно в случае мно гопараметрических функций. Кроме того, данный алгоритм часто приводит к попаданию в локальные минимумы целевой функции. Так как современное квантовое оборудование пока ещё далеко от иде ального, и вычисления проходят с различными ошибками, целевая функ ция будет содержать большое количество “шумов”. Наилучшим алгорит мом оптимизации в данном случае будет Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation (SPSA) алгоритм или алгоритм стохастической аппроксимации с одновременным возмущением. Он использует только две оценки целевой функции на итерацию [20]. В алгоритме SPSA на каждый шаг 𝑘 оптимиза ции генерируется набор случайных направлений Δ𝑘 изменения параметров, градиент вычисляется следующим образом: ⟨︀ (︀ + )︀⃒ ⃒ (︀ + )︀⟩︀ ⟨︀ (︀ − )︀⃒ ⃒ (︀ − )︀⟩︀ 𝜓 𝜃𝑘 ⃒ ℋ ⃒ 𝜓 𝜃𝑘 − 𝜓 𝜃𝑘 ⃒ ℋ ⃒ 𝜓 𝜃𝑘 𝑔𝑘 (𝜃𝑘 ) = Δ𝑘 , 2𝑐𝑘 (3.7) здесь 𝜃𝑘± = 𝜃𝑘 ± 𝑐𝑘 Δ𝑘 и 𝑎𝑘 , 𝑐𝑘 – убывающие числовые последовательности, которые контролируют сходимость целевой функции и обычно задаются в форме: 𝑎𝑘 = 𝑎 𝑐 , 𝑐 = , 𝑘 (𝑘 + 1)𝛼 (𝑘 + 1)𝛾 (3.8) где, как установлено в предыдущих исследованиях [21], оптимальными зна чениями будут 𝛼 = 0.602 и 𝛾 = 0.602. Затем набор параметров оптимизации обновляется: 𝜃𝑘+1 = 𝜃𝑘 − 𝑎𝑘 𝑔𝑘 (𝜃) . (3.9) Параметры 𝑎 и 𝑐 калибруются экспериментально исходя из самой задачи 20

оптимизации. Самым распространённым вариантом для задания набора слу чайных направлений вектора 𝜃 является распределение Бернулли Δ𝑘 = ±1. Продемонстрируем связку алгоритмов VQE и SPSA на примере расчёта энергии основного состояния одномерной модели Изинга с 𝑁 = 4 спинами во внешнем магнитном поле. Гамильтониан содержит слагаемое, описываю щее спин-спиновое взаимодействие, и слагаемое, определяющее зееманов ское взаимодействие: ℋ=− 𝑁 ∑︁ 𝜎𝑧𝑖 𝜎𝑧𝑖+1 𝑖=1 −𝐵 𝑁 ∑︁ 𝜎𝑥𝑖 , (3.10) 𝑖=1 где 𝐵 – магнитное поле, направленное вдоль оси x. Рис. 3.4. Зависимость энергии основного состояния четырёхспиновой модели Изинга от внешнего магнитного поля, вычисленная с помощью четырёх 5-кубитных квантовых ком пьютеров IBM и алгоритма VQE Гамильтониан (3.10) инвариантен по отношению к вращению спина во 21

круг оси x на угол 𝜋: 𝑅𝑥 ℋ𝑅𝑥† = ℋ, 𝑅𝑥 𝜎𝑥 𝑅𝑥† = 𝜎𝑥 , (3.11) 𝑅𝑥 𝜎𝑧 𝑅𝑥† = −𝜎𝑧 . В модели Изинга в поперечном магнитном поле может происходить фа зовый переход ферромагнетик-парамагнетик [22]. Когда поперечное магнит ное поле 𝐵 мало, спины разупорядочены (ферромагнитная фаза), и враща тельная симметрия, связанная с 𝑅𝑥 нарушена. С ростом 𝐵 происходит фа зовый переход из упорядоченной фазы в разупорядоченную, и вращательная симметрия восстанавливается. На Рисунке 3.4 приведены результаты исполь зования алгоритмов VQE и SPSA для расчёта энергии основного состояния гамильтониана (3.10) в зависимости от 𝐵. Разброс значений энергии для разных квантовых компьютеров с одинаковой топологией объясняется раз личными результатами калибровки кубитов этих компьютеров (различной частотой возникновения ошибок при использовании однокубитных и двух кубитных операций) на момент проведения измерений. Лучшие результаты показал квантовый компьютер ibmq_essex. 22

Глава 4 Кристаллическое поле и спектроскопические данные В физике твёрдого тела теория кристаллического поля используется для описания энергетических спектров примесных парамагнитных ионов, нахо дящихся в кристаллической решётке, которая искажает их симметрию. Ис кажение симметрии вызывается электрическим полем лигандов (их ядрами и электронами), которые окружают парамагнитный ион. В данной теории предполагается, что электронные функции парамагнитного иона не перекры ваются с волновыми функциями лигандов, следовательно, лиганды создают только некоторый постоянный потенциал 𝑉 с характерной ему симметрией. Кристаллическое поле расщепляет вырожденные мультиплеты (термы) сво бодного иона и формирует специфичную для каждого иона и кристаллической решетки структуру спектра. Считая заряды лигандов точечными, можно записать выражение для их энергии кулоновского взаимодействия с электронами из незаполненной электронной оболочки примесного иона: ℋ=− ∑︁ 𝑖,𝑗 𝑒2 𝑞 𝑖 , |R𝑖 − r𝑗 | (4.1) где R𝑖 - радиус-вектор лиганда. При условии R𝑖 ≫ r𝑗 , которое, очевидно, выполняется, мы можем разложить выражение (4.1) в ряд по сферическим функциям: 2 ℋ = −𝑒 𝑞 ∞ ∑︁ 𝑙 ∑︁ 𝑙=0 𝑚=−𝑙 4𝜋𝑟𝑙 𝑌𝑙𝑚 (Θ𝑖 , Φ𝑖 ) 𝑌𝑙𝑚* (𝜃𝑗 , 𝜑𝑗 ) , 𝑙+1 (2𝑙 + 1) 𝑅 (4.2) здесь Θ𝑖 , Φ𝑖 - координаты лигандов, 𝜃𝑗 , 𝜑𝑗 - координаты электронов. В на шей работе мы имеем дело с редкоземельными ионами, которые имеют неза полненную 4𝑓 -элетронную оболочку, поэтому необходимо спроецировать га 23

мильтониан (4.2) на пространство 4𝑓 𝑛 состояний, это соответствует исклю чению из разложения (4.2) всех слагаемых с 𝑙 ̸= 0, 2, 4, 6. Усредняя по ради альной части лигандной волновой функции и заменяя с помощью теоремы Вигнера-Эккарта сферические функции 𝑌𝑙𝑚 на операторы Cтивенса 𝑂𝑝𝑘 (ли нейные комбинации сферических тензорных операторов [23]), можно запи сать гамильтониан кристаллического поля в виде: ℋCF = ∑︁ 𝐵𝑝𝑘 𝑂𝑝𝑘 , (4.3) 𝑝,𝑘 где коэффициенты 𝐵𝑝𝑘 - это параметры кристаллического поля. В последние два десятилетия пирохлоры с различными примесными ред коземельными ионами привлекают внимание исследователей из-за наблюдаю щихся в них эффектов магнитных и геометрических фрустраций [24], приме ры подобных структур рассмотрены в недавних работах [25]. В нашей работе мы сосредоточимся на рассмотрении кристалла Y2 Ti2 O7 , легированного иона ми Yb3+ ,которые содержат 13 электронов на валентной 4𝑓 оболочке. Элек тростатическое взаимодействие примесного иона с ионами кристаллического окружения Y3+ , Ti4+ и O2− , спроектированное на пространство состояний нижнего мультиплета 2 F7/2 (орбитальный момент 𝐿 = 3, спин 𝑆 = 1/2, пол ный угловой момент 𝐽 = 7/2), позволяет записать оператор эффективного кристаллического поля, который, в случае тригональной симметрии ячейки Yb3+ , определяется как: (︀ )︀ (︀ )︀ (Yb) ℋCF = 𝛼2 𝐵20 𝑂20 + 𝛼4 𝐵40 𝑂40 + 𝐵43 𝑂43 + 𝛼6 𝐵60 𝑂60 + 𝐵63 𝑂63 + 𝐵66 𝑂66 , (4.4) здесь параметры 𝛼𝑝 определяют приведённые матричные элементы [23], а независимые параметры кристаллического поля 𝐵𝑝𝑘 приведены в Таблице 4.1. Вторая кристаллическая система, рассмотренная в данной работе, это ортофосфат иттрия YPO4 , легированный ионами Er3+ . Подобные кристаллы являются перспективными материалами для приложений в областях кванто вой электроники и обработки квантовой информации [26]. Ионы Er3+ заме 24

Таблица 4.1. Параметры кристаллического поля 𝐵𝑝𝑘 (см−1 ) и приведённые матричные эле менты для Yb3+ в кристалле Y2 Ti2 O7 и Er3+ в кристалле YPO4 𝑝 𝑘 2 0 Yb3+ Er3+ 𝛼𝑝 𝐵𝑝𝑘 [25] 𝛼𝑝 𝐵𝑝𝑘 [26] 2 63 264.8 4 1575 112.9 0 270.8 2 4 3 − 1155 -2155.2 10.3 2 45045 4 776 0 6 3 4 6 44.9 4 27027 636.6 -43.0 8 3864861 56.1 683.2 щают ионы Y3+ в ячейках, обладающих симметрией D2𝑑 . Взаимодействие с кристаллическим полем, спроектированное на подпространство мультиплета 4 I15/2 (𝐿 = 6,𝑆 = 3/2, полный угловой момент 𝐽 = 15/2) выражается как: (︀ )︀ (︀ )︀ (Er) ℋCF = 𝛼2 𝐵20 𝑂20 + 𝛼4 𝐵40 𝑂40 + 𝐵44 𝑂44 + 𝛼6 𝐵60 𝑂60 + 𝐵64 𝑂64 , параметры кристаллического поля 𝐵𝑝𝑘 приведены в Таблице 4.1. 25 (4.5)

Глава 5 Оптимизация вычислений В ходе вычислений на современных квантовых компьютерах может воз никать большое количество различных видов ошибок, что может сказываться на результатах измерений далеко не в лучшую сторону. К примеру, могут возникать ошибки, связанные с релаксацией энергии кубита, это приводит к спонтанному переходу кубита из состояния |1⟩ в состояние |0⟩. Как уже было упомянуто во введении, сегодняшние квантовые технологии не позволяют производить полноценную коррекцию таких ошибок во время выполнения программы, однако, существует подход, позволяющий исходя из результа тов измерений, содержащих ошибки, восстановить состояние более близкое к идеальному состоянию, которое бы получалось в отсутствие ошибок. Этот подход называется Measurement error mitigation (далее MEM). Сначала готовится набор квантовых схем и измеряется каждое из 2𝑛 базисных состояний, 𝑛 – количество кубитов. К примеру, для случая 𝑛 = 2 нужно подготовить состояния |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩ и измерить каждое состо яние по-отдельности. Затем из результатов измерений составляется матрица 𝑀 , каждый её элемент 𝑀𝑖𝑗 даёт вероятность получить на выходе состояние |𝑖⟩, когда начальным состоянием являлось |𝑗⟩. Ввиду линейности, присущей квантовой механике, этот подход годится и для состояний, находящихся в су ∑︀ перпозиции состояний |𝜓⟩ = 𝑗 𝑎𝑗 |𝑗⟩. Для состояния, содержащего ошибки, мы можем записать: |𝜓𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 ⟩ = 𝑀 |𝜓⟩. (5.1) В данном подходе не ставится целью моделирование процесса возник новения ошибок, это, прежде всего, классическая постобработка результатов измерения. Другими словами, имея результат, который содержит ошибки, мы 26

восстанавливаем состояние, которое привело к такому результату. Используя линейную алгебру, мы можем записать |𝜓⟩ = 𝑀 −1 |𝜓𝑛𝑜𝑖𝑠𝑦 ⟩, где 𝑀 −1 – матрица обратная к 𝑀 . Нужно отметить, что обычно матрицы 𝑀 , составленные из Рис. 5.1. Пример использования подхода Measurement error mitigation, синим цветом обозна чены необработанные результаты, фиолетовым цветом обозначены результаты после обра ботки с помощью MEM результатов измерений являются вырожденными (det 𝑀 = 0), поэтому для поиска приближённого вида 𝑀 −1 нужно использовать отдельные методы, на пример, метод наименьших квадратов. На Рисунке 5.1 показаны результаты, полученные в ходе измерений GHZ-состояний: 1 |𝐺𝐻𝑍⟩ = √ (|000⟩ + |111⟩) . 2 (5.2) В идеале в результатах должны присутствовать только состояния |000⟩ и |111⟩, каждое с вероятностью близкой к 21 . Другим фактором, приводящим к искажению результатов вычислений, является большое количество слагаемых в гамильтониане (3.6) и, как след ствие, необходимость в большом количестве измерений. Каждое среднее от дельной строки Паули ⟨𝑃𝑖,𝛼 ⟩ будет вычисляться со своей ошибкой, и чем 27

больше средних, тем большая суммарная ошибка накапливается. Один из подходов, позволяющий уменьшить количество требуемых измерений, осно ван на правилах коммутации операторов Паули. Подразумевается, что мы можем сгруппировать строки Паули в отдельные наборы одновременно изме римых строк. Частным случаем такого подхода является Qubit-Wise Commutativity (QWC) [27; 28]. Согласно этому подходу две строки Паули QWC-коммутиру ют, если операторы Паули на соответствующих позициях в строках коммути руют. Например, {𝑋𝑋, 𝐼𝑋, 𝑋𝐼, 𝐼𝐼} – QWC-набор строк, то есть, все эти строки могут быть измерены одновременно. Средние значения отдельных строк Паули из од новременно измеренного набора вычисляются путём учёта или исключения соответствующих базисных состояний. Более общим подходом является General Commutativity (GC) [27], в котором предполагается, что мы можем найти общий базис состояний для не QWC-группы строк Паули, который позволит нам одновременно их измерить. То есть, мы ищем некоторое унитарное преобразование 𝑈 , которое нужно выполнить над кубитами непосредственно перед их измерением в Z-базисе. К примеру, если мы хотим произвести одновременное измерение набора строк {𝑋𝑋, 𝑌 𝑌, 𝑍𝑍}, который не является QWC-набором, то нам нужно провести измерение в базисе Бэлла, так как общим базисом собственных состояний для этих строк будут состояния Бэлла: 1 |Φ+ ⟩ = √ (|00⟩ + |11⟩) , |Φ− ⟩ = 2 1 |Ψ+ ⟩ = √ (|01⟩ + |10⟩) , |Ψ− ⟩ = 2 1 √ (|00⟩ − |11⟩) 2 1 √ (|01⟩ − |10⟩) 2 (5.3) Поиск унитарного преобразования 𝑈 , позволяющего проводить измерение в общем базисе состояний опирается на методику стабилизационных кодов (stabilizer codes) [29], которые разрабатываются для корректировки кванто вых ошибок прямо в процессе работы квантового компьютера. 28

Рис. 5.2. Квантовая схема, выполняющая унитарное преобразование, которое позволяет од новременно измерить строки Паули {𝐼𝑍𝑍, 𝑋𝑋𝐼, 𝑍𝑋𝑋} Схема для проведения одновременного измерения строк {𝐼𝑍𝑍, 𝑋𝑋𝐼, 𝑍𝑋𝑋}, выполняющая необходимое нам унитарное преобразо вание будет выглядеть так, как показано на Рисунке 5.2. В деталях процесс нахождения подобных схем изложен в статье [28]. Однако следует учесть, что данный метод может приводить к увеличению глубины схемы за счёт множества двухкубитных операий и соответственно к увеличению вероятно сти ошибок, связанных с декогеренцией квантового состояния. Поэтому для получения адекватных результатов необходимо соблюдать некоторый баланс между количеством измеряемых строк Паули и глубиной квантовых схем. 29

Глава 6 Вычисление основного состояния редкоземельных ионов на квантовом компьютере Для того, чтобы применить подход VQE к поставленной нами задаче, необходимо спроектировать пространство состояний гамильтонианов (4.4,4.5) на пространство состояний соответствующего размерности 𝑁 -кубитного га мильтониана, состоящего из строк Паули. Для этого мы используем разложе ние Гильберта-Шмидта [30]: 1 ∑︁ ℋ= ℎ𝑖,𝑗,...,𝑘 · 𝜎𝑖1 ⊗ 𝜎𝑗2 ⊗ . . . ⊗ 𝜎𝑘𝑛 , 𝑛 (6.1) 1 Tr(𝜎𝑖1 ⊗ 𝜎𝑗2 ⊗ . . . ⊗ 𝜎𝑘𝑛 · ℋ), 𝑛 (6.2) 𝑖,𝑗,...,𝑘 ℎ𝑖,𝑗,...,𝑘 = где 𝑖, 𝑗, . . . , 𝑘 = 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝐼, единичный оператор обозначен как 𝐼. В случае нижнего мультиплета 2 F7/2 иона Yb3+ , содержащего 4 дублет ных энергетических подуровня, мы проектируем его гамильтониан (4.4) на пространство состояний трёх кубитов, содержащее 23 состояния. Для удоб ства мы обозначим операторы Паули как 𝑋, 𝑌, 𝑍 и опустим индексацию ку битов, тогда мы получаем: ℋCF = ℎ1 𝐼𝑍𝑍 + ℎ2 𝑋𝑋𝐼 + ℎ3 𝑋𝑍𝑋 + ℎ4 𝑌 𝑌 𝐼+ (6.3) +ℎ5 𝑌 𝑍𝑌 + ℎ6 𝑍𝐼𝑍 + ℎ7 𝑍𝑋𝑋 + ℎ8 𝑍𝑌 𝑌 + ℎ9 𝑍𝑍𝐼. Пользуясь методикой QWC, описанной нами ранее, мы можем перепи сать гамильтониан (6.3) в следующем виде: (Yb) ℋCF = (ℎ1 + ℎ6 + ℎ9 ) 𝐼𝑍𝑍 + ℎ2 𝑋𝑋𝐼 + ℎ3 𝑋𝑍𝑋+ +ℎ4 𝑌 𝑌 𝐼 + ℎ5 𝑌 𝑍𝑌 + ℎ7 𝑍𝑋𝑋 + ℎ8 𝑍𝑌 𝑌. 30 (6.4)

Для иона Er3+ гамильтониан кристаллического поля (4.5) проектируется на пространство состояний четырёх кубитов (24 ), его нижний мультиплет содержит 8 энергетических дублетных подуровней: ℋCF = ℎ1 𝐼𝐼𝑍𝑍 + ℎ2 𝐼𝑋𝐼𝐼 + ℎ3 𝐼𝑋𝑍𝑍 + ℎ4 𝐼𝑍𝐼𝑍 + +ℎ5 𝐼𝑍𝑍𝐼+ +ℎ6 𝑋𝑋𝐼𝐼 + ℎ7 𝑋𝑋𝑍𝑍 + ℎ8 𝑌 𝑌 𝐼𝐼 + ℎ9 𝑌 𝑌 𝑍𝑍 + ℎ10 𝑍𝐼𝐼𝑍+ (6.5) +ℎ11 𝑍𝐼𝑍𝐼 + ℎ12 𝑍𝑋𝐼𝑍 + ℎ13 𝑍𝑋𝑍𝐼 + ℎ14 𝑍𝑍𝐼𝐼 + ℎ15 𝑍𝑍𝑍𝑍. И снова пользуясь QWC-подходом переписываем гамильтониан (6.5) в форме: ℋCF = ℎ̃1 𝑍𝑍𝑍𝑍 + ℎ̃2 𝑍𝑋𝑍𝑍 + ℎ̃3 𝑋𝑋𝑍𝑍 + ℎ̃4 𝑌 𝑌 𝑍𝑍, (6.6) где ℎ̃1 ≡ ℎ1 + ℎ4 + ℎ5 + ℎ10 + ℎ11 + ℎ14 + ℎ15 , ℎ̃2 ≡ ℎ2 + ℎ3 + ℎ12 + ℎ13 , ℎ̃3 ≡ ℎ6 + ℎ7 , ℎ̃4 ≡ ℎ8 + ℎ9 . Так как гамильтонианы (6.3) и (6.5) содержат только действительные слагаемые, ясно, что их собственные векторы также будут действительными. Это означает, что мы можем ограничить вращение вектора состояния кубита плоскостью XZ см. Рисунок 6.1, тогда однокубитное вращение (3.4), исполь зуемое в нашем анзаце, запишется как 𝑈 𝑞,𝑑 (𝜃) = 𝑅𝑦 (𝜃𝑞,𝑑 ) [31]. С такими однокубитными вращениями число параметров оптимизации для классиче ской части VQE сокращается почти в три раза 𝑛(𝑑 + 1), для обоих кристаллов мы выбираем 𝑑 = 1. Взаимодействие со статическим магнитным полем, которое мы учитыва ем при вычислении 𝑔-факторов, спроектированное на мультиплет основного состояния 2𝑆+1 𝐿𝐽 , запишется следующим образом: ℋZ = 𝑔𝐽 𝜇B JB, (6.7) где 𝜇B – магнетон Бора, B – вектор магнитного поля и 𝑔𝐽 – 𝑔-фактор Ланде 31

Рис. 6.1. Показана плоскость вращения состояния кубита XZ (ниже, 𝑔e = 2.0023 - электронный 𝑔-фактор) [23] 𝑔𝐽 = (𝑔𝑒 − 1) · 𝐽(𝐽 + 1) + 𝑆(𝑆 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1) + 1. 2𝐽(𝐽 + 1) (6.8) Для иона Yb3+ магнитное поле было выбрано равным |B| = 10000 Гс, а для иона Er3+ |B| = 2000 Гс. Матрицы операторов (6.3)-(6.7) были рассчитываются в базисе состоя ний |𝐽, 𝑀𝐽 ⟩ с помощью классического компьютера и затем раскладываются в сумму трёхкратных и четырёхкратных тензорных произведений операторов Паули. Зеемановское взаимодействие (6.7) было раскладывается на сумму строк Паули тем же способом см. (6.1,6.2). Магнитные 𝑔-факторы нижнего кра мерсого дублета каждого мультиплета были вычислены путём минимизации энергии данного состояния в присутствии магнитного поля 𝐵, направленно го вдоль (𝑔‖ ) или перпендикулярно (𝑔⊥ ) оси симметрии кристалла. В обоих случаях: 2 ⟨𝜓 (𝜃* )| 𝐻Z |𝜓 (𝜃* )⟩ 𝑔= , 𝜇𝐵 𝐵 (6.9) где 𝜃* – набор параметров, дающий минимум энергии полного гамиль 32

Рис. 6.2. Результаты процесса минимизации для гамильтониана кристаллического поля Yb3+ . Начало кривой (красные и синие точки) соответствует результатам, полученным на симуля торе квантового компьютера, для двух близких наборов параметров, определяющих следую щую итерацию в алгоритме SPSA. Конец кривой (зелёные точки) соответствует вычислениям, проведённым с помощью квантового компьютера тониана ℋCF + ℋZ . Однако, по причине того, что гамильтониан ℋ𝑍⊥ , разложенный на сумму строк Паули, содержал порядка 20 слагаемых, для 𝑔⊥ компоненты 𝑔-фактора иона Er3+ пришлось применить немного иной подход,. В сумме со слагае мыми гамильтониана ℋCF наличие такого большого количества строк Паули приводило к тому, что в ходе оптимизации параметров 𝜃 накапливалась зна чительная статистическая ошибка (об этом мы говорили в предыдущей главе), которая не позволяла вычислить 𝑔⊥ с приемлемой точностью. Так как на валентной оболочке иона Er3+ находится нечётное количество 33

Таблица 6.1. 𝑔-факторы нижнего Крамерсова дублета Yb3+ : Y2 Ti2 O7 Эксперимент [25] Классическая Квантовые диагонализация вычисления 𝑔‖ 1.787 1.864 1.566±0.058 𝑔⊥ 4.216 4.181 4.153±0.079 Таблица 6.2. 𝑔-факторы нижнего Крамерсова дублета Er3+ : YPO4 Эксперимент [26] Классическая Квантовые диагонализация вычисления 𝑔‖ 6.42 6.78 6.463±0.027 𝑔⊥ 4.80 4.71 5.097±0.063 электронов, согласно теореме Крамерса, подуровни его мультиплетов будут как минимум дважды вырождены. Вырожденные уровни образуют так назы ваемый крамерсов дублет {|𝜓1 ⟩, |𝜓2 ⟩} cостояний. Заменяя их на состояния с эффективным спином 𝐽 = 1/2 {|𝜓1 ⟩ ≡ | ↓⟩, |𝜓2 ⟩ ≡ | ↑⟩}, можно записать эффективный гамильтониан в этом базисе: (︀ )︀ 𝐻eff = 𝜇B 𝑔‖ 𝐵𝑧 𝑆𝑧eff + 𝑔⊥ 𝐵𝑥 𝑆𝑥eff . (6.10) Мы можем приравнять с точностью до фазового множителя матричные эле менты: ⃒ ⟩︀ ⟨︀ ⃒ ↓ ⃒𝜇B 𝑔⊥ 𝐵𝑥 𝑆𝑥eff ⃒ ↑ ≈ ⟨𝜓1 |𝜇B 𝑔𝐽 𝐵𝑥 𝐽𝑥 | 𝜓2 ⟩ , (6.11) откуда можно получить: ⃒⟨ ⃒ ⃒ ⟩⃒ |⟨𝜓1 |𝐽𝑥 | 𝜓2 ⟩| ⃒ ⃒ ^⃒ ⃒ = 2𝑔𝐽 ⃒ 𝜓1 ⃒𝐽𝑥 𝑇 ⃒ 𝜓1 ⃒ , 𝑔⊥ = 𝑔𝐽 eff |⟨↓ |𝑆𝑥 | ↑⟩| (6.12) где 𝑇^ – оператор обращения времени. Состояние |𝜓1 ⟩ находится в ходе опти 34

‖ ‖ мизации гамильтониана ℋCF + ℋ𝑍 , где ℋ𝑍 не требует введения новых строк Паули. Данный подход позволяет значительно уменьшить вычислительные затраты и получить достаточно точное значение для 𝑔⊥ см. Таблица 6.1 и Таблица 6.2. Также в ходе всех вычислений мы оценивали стандартную ошибку, со ответствующую каждой итерации алгоритма оптимизации: 𝜎 𝛼=√ , 𝑛 (6.13) здесь 𝜎 – стандартное отклонение, а 𝑛 – число проведённых измерений. Стан дартное отклонение для одной из строк Паули в Гамильтониане можно вы числить по следующей формуле: √︁ √︁ 2 2 𝜎𝑃𝑖 = ⟨𝜓| 𝑃𝑖 |𝜓⟩ − ⟨𝜓| 𝑃𝑖 |𝜓⟩ = 1 − ⟨𝜓| 𝑃𝑖 |𝜓⟩2 ≤ 1. (6.14) Тогда стандартная ошибка в измерении энергии ограничена сверху как [20]: ⎯ √︃ √︃∑︁ ⎸∑︁ 2 2 ∑︁ ℎ2 ⎸ ℎ 𝜎 𝑖 𝑝𝑖 𝑖 𝛼𝐸 = ≤ . (6.15) 𝛼𝑝2𝑖 = ⎷ 𝑛 𝑛 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 Эта величина отображена во вставках на Рисунке 6.2 и Рисунке 6.3. Результаты, полученные для крристаллов Y2 Ti2 O7 :Yb3+ и YPO4 :Er3+ по казаны на Рисунке 6.2 и Рисунке 6.3 соответственно. SPSA минимизация выполнялась с помощью qiskit qasm_simulator [13], энергия основного состо яния вычислялась с помощью 5-кубитного квантового компьютера в течение последних 25 шагов минимизации. Точные собственные значения энергии основного состояния были расчитаны с помощью стандартной процедуры диагонализации. На Рисунках 6.2 и 6.3 можно видеть, что разница между по следней оценкой энергии и “точной” энергией основного состояния состав ляет ∼ 10%. Рассчитанные 𝑔-факторы имеют ошибку в диапазоне 2÷15% см. Таблицу 6.1 и Таблицу 6.2, эта ошибка является следствием декогеренции состояний кубитов при использовании неидеальных двухкубитных гейтов. 35

Рис. 6.3. Результаты процесса минимизации для гамильтониана кристаллического поля Er3+ . Начало кривой (красные и синие точки) соответствует результатам, полученным на симуля торе квантового компьютера, для двух близких наборов параметров, определяющих следую щую итерацию в алгоритме SPSA. Конец кривой (зелёные точки) соответствует вычислениям, проведённым с помощью квантового компьютера Данные результаты [32] показывают, что алгоритм VQE достаточно уни версален и может быть адаптирован к задачам физики твёрдого тела, в част ности, спектроскопии. Однако, использованный нами HEA-анзац является эвристическим подходом и при масштабировании задачи с ним, скорее всего, возникнут трудности. Это подтверждается тем, что для получения приемле мых значений 𝑔⊥ для иона Er3+ пришлось использовать менее прямолинейный подход. Поэтому необходимо разработать метод построения пробного состо яния, который бы позволял ограничить гильбертово пространство состояний областью, включающей состояния близкие к искомому, и одновременно яв 36

лялся бы как можно менее ресурсозатратным (главный недостаток UCCA). Одно из возможных обобщений для данного подхода – поиск энергий возбуждённых состояний. Недавно предложенный алгоритм Subspace-VQE [33; 34] подразумевает, что этого можно добиться, сохраняя ортогональность пробных состояний на протяжении процедуры поиска экстремума целевой функции физической системы. Примесные редкоземельные ионы, рассмат риваемые в нашей работе, дают нам отличную возможность для проверки и оценки точности данной модификации алгоритма VQE, так как их энер гии возбуждённых состояний известны, и, более того, результаты расчётов подтверждены экспериментально. Другой потенциальной темой для дальнейшего исследования могут быть квантовые ошибки (шум), возникающие в ходе выполнения алгоритма VQE. В нашей работе значения энергий основных состояний редкоземельных ионов отличаются от точных всего на 10%. Это достаточно высокая точность, од нако, ожидается, что при масштабировании задачи количество ошибок будет расти, что приведёт к снижению точности. Поэтому необходимо разработать подход, который позволил бы избежать этого. В недавней работе немецких физиков [35] были использованы нейросети автоэнкодеры для избавления квантового состояния от шума. Результаты их работы показывают, что по добные нейросети эффективно справляются с шумом для четырёхкубитных сильнозапутанных состояний и подразумевают обобщение на многокубит ные состояния. В перспективе можно использовать результаты их работы для построения собственной нейросети, которая бы позволила очищать экспери ментальные данные, полученные с помощью квантовых компьютеров IBM, от шума. 37

Заключение В данной работе с помощью квантовых компьютеров IBM и квантового алгоритма VQE выполнен расчёт энергии основного состояния примесных редкоземельных ионов Yb3+ и Er3+ в кристаллах Y2 Ti2 O7 и YPO4 соотвест венно. Для этого нам потребовалось подобрать оптимальную анзац-схему, и экспериментально определить глубину анзаца, достаточную для того, чтобы алгоритм оптимизации не попадал в локальные минимумы целевой функции. Также потребовалось оптимизировать количество слагаемых в гамильтони анах, полученных с помощью разложения Гильберта-Шмидта, чтобы умень шить количество ошибок не выходить за рамки возможностей современных квантовых компьютеров. Точность финального расчёта в сравнении со значе ниями вычисленными с помощью классической диагонализации составляет ∼ 10%. Помимо этого, были рассчитаны компоненты 𝑔-факторов основного состояния вышеупомянутых редкоземельных ионов. Вычисление перпенди кулярных компонент 𝑔-факторов потребовало введения в гамильтониан до полнительных слагаемых, Хотелось бы добавить, что такие алгоритмы, как использованный в на шей работе алгоритм VQE в ближайшие годы с развитием квантовых компью теров, найдут много применений в квантовой химии и в машинном обучении (нейросетевое программирование), а в дальнейшем и в таких областях как финансовые услуги, квантовая криптография. Этот алгоритм позволяет эф фективно задействовать скромные вычислительные мощности современных квантовых компьютеров, и в то же время он показывает нам, что квантовые компьютеры уже вышли из той стадии, когда они являлись лишь сугубо тео ретическим конструктом. Своей работой мы демонстрируем, что алгоритм VQE уже применим для задач, решаемых в области физики твёрдого тела и в перспективе, он может быть масштабирован для решения более сложных и ресурсозатратных проблем. Совсем недавно сотрудники компании Google с 38

помощью 54-кубитного квантового компьютера Sycamore и алгоритма VQE выполнили расчёт энергий основного состояния 6, 8, 10 и 12-атомных водо родных цепочек [36]. Также они выполнили расчёт различных энергетических конфигураций молекулы диазена, можно сказать, что это первое в истории моделирование химической реакции на квантовом компьютере. Для случа ев 6 и 8-атомных цепочек удалось превзойти химическую точность (ошибка меньше, чем 10−3 Хартри), всё это говорит нам о большой перспективности алгоритма VQE. Стоит подчеркнуть, что написание программ и создание алгоритмов для квантового компьютера не является интуитивно понятным процессом, для моделирования физических систем с его помощью, требуется глубокий фи зический анализ задачи, учёт всех симметрий системы. К примеру, в данной работе мы долгое время подбирали необходимый анзац, который бы позволил нам получить искомое основное энергетическое состояние. Мы выяснили, что для нашей физической системы можно существенно сократить число па раметров оптимизации (почти в 3 раза), что позволило значительно ускорить процесс вычислений. Кроме того, сегодняшние квантовые компьютеры всё ещё далеки от со вершенства, поэтому для получения приемлемых результатов вычислений необходимо проводить коррекцию возможных ошибок. Так как для проведе ния полноценной коррекции требуется огромное количество кубитов (счёт идёт на миллионы), а сегодняшние квантовые компьютеры имеют около 50 кубитов (не берём в расчёт компьютеры D-wave, т.к. технология квантового отжига не позволяет использовать алгоритмическое программирование), нам доступны лишь методы коррекции, которые подразумевают обработку полу ченных результатов уже постфактум с помощью простых моделей ошибок. В частности, в своей работе мы учитывали ошибки, которые могут быть вызваны случайным переходом кубитов из состояния |0⟩ в состояние |1⟩ и наоборот, путём постобработки данных, полученных от квантового компьютера. 39

Результаты данной работы были представлены на онлайн-конференции QCTIP 2020 (Cambridge), а также к настоящему моменту по материалам ис следования подготовлена к публикации научная статья в журнале Magnetic Resonance in Solids. 40

Библиографический список 1. Cohen, E. D-Wave and predecessors: From simulated to quantum annealing / E. Cohen, B. Tamir // International Journal of Quantum Information. — 2014. — Vol. 12, no. 03. — P. 1430002. 2. IBM Quantum Experience. — 2020. — Accessed: 2020-05-02. https : //quantum-computing.ibm.com. 3. Rigetti computing. — 2020. — Accessed: 2020-05-02. https : / / qcs . rigetti.com/request-access. 4. Arute, F. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor / F. Arute [et al.] // Nature. — 2019. — Vol. 574, no. 7779. — P. 505–510. 5. Preskill, J. Quantum Computing in the NISQ era and beyond / J. Preskill // Quantum. — 2018. — Vol. 2. — P. 79. 6. Cervera-Lierta, A. Exact Ising model simulation on a quantum computer / A. Cervera-Lierta // Quantum. — 2018. — Vol. 2. — P. 114. 7. Zhukov, A. Algorithmic simulation of far-from-equilibrium dynamics using quantum computer / A. Zhukov [et al.] // Quantum Information Processing. — 2018. — Vol. 17, no. 9. — P. 223. 8. O’Malley, P. J. Scalable quantum simulation of molecular energies / P. J. O’Malley [et al.] // Physical Review X. — 2016. — Vol. 6, no. 3. — P. 031007. 9. Abrams, D. S. Simulation of many-body Fermi systems on a universal quantum computer / D. S. Abrams, S. Lloyd // Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 79, no. 13. — P. 2586. 10. Aspuru-Guzik, A. Simulated quantum computation of molecular energies / A. Aspuru-Guzik [et al.] // Science. — 2005. — Vol. 309, no. 5741. — P. 1704–1707. 11. Peruzzo, A. A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor / A. Peruzzo [et al.] // Nature communications. — 2014. — Vol. 5. — P. 4213. 41

12. Yung, M.-H. From transistor to trapped-ion computers for quantum chemistry / M.-H. Yung [et al.] // Scientific reports. — 2014. — Vol. 4. — P. 3589. 13. Abraham, H. Qiskit: An Open-source Framework for Quantum Computing / H. Abraham [et al.]. — 2019. — DOI: 10.5281/zenodo.2562110. 14. Gambetta, J. M. Building logical qubits in a superconducting quantum computing system / J. M. Gambetta, J. M. Chow, M. Steffen // npj Quantum Information. — 2017. — Vol. 3, no. 1. — P. 1–7. 15. Kjaergaard, M. Superconducting qubits: Current state of play / M. Kjaergaard [et al.] // Annual Review of Condensed Matter Physics. — 2019. — Vol. 11. 16. Dumitrescu, E. F. Cloud quantum computing of an atomic nucleus / E. F. Dumitrescu [et al.] // Physical review letters. — 2018. — Vol. 120, no. 21. — P. 210501. 17. Ryabinkin, I. G. Qubit coupled cluster method: a systematic approach to quantum chemistry on a quantum computer / I. G. Ryabinkin [et al.] // Journal of chemical theory and computation. — 2018. — Vol. 14, no. 12. — P. 6317–6326. 18. Bian, T. Quantum computing methods for electronic states of the water molecule / T. Bian [et al.] // Molecular Physics. — 2019. — Vol. 117, no. 15/16. — P. 2069–2082. 19. Nielsen, M. A. Quantum computation and quantum information / M. A. Nielsen, I. L. Chuang // Phys. Today. — 2001. — Vol. 54. — P. 60–2. 20. Kandala, A. Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets / A. Kandala [et al.] // Nature. — 2017. — Vol. 549, no. 7671. — P. 242–246. 21. Sadegh, P. Optimal random perturbations for stochastic approximation using a simultaneous perturbation gradient approximation / P. Sadegh, J. C. Spall // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1998. — Vol. 43, no. 10. — P. 1480–1484. 42

22. Dutta, A. Quantum phase transitions in transverse field spin models: from statistical physics to quantum information / A. Dutta [et al.]. — Cambridge University Press, 2015. 23. Abragam, A. Electron paramagnetic resonance of transition ions / A. Abragam, B. Bleaney. — OUP Oxford, 2012. 24. Gardner, J. S. Magnetic pyrochlore oxides / J. S. Gardner, M. J. Gingras, J. E. Greedan // Reviews of Modern Physics. — 2010. — Vol. 82, no. 1. — P. 53. 25. Batulin, R. EPR spectra and magnetization of XY-type rare-earth ions in pyrochlores Y2 Ti2 O7 :RE3+ (RE=Yb, Er) / R. Batulin [et al.] // Magn. Reson. Solids. — 2019. — Vol. 21, no. 19601. 26. Popova, M. Crystal field and hyperfine structure of 167 Er3+ in YPO4 : Er single crystals: High-resolution optical and EPR spectroscopy / M. Popova [et al.] // Physical Review B. — 2019. — Vol. 99, no. 23. — P. 235151. 27. Gokhale, P. Minimizing state preparations in variational quantum eigensolver by partitioning into commuting families / P. Gokhale [et al.] // arXiv preprint arXiv:1907.13623. — 2019. 28. Verteletskyi, V. Measurement optimization in the variational quantum eigensolver using a minimum clique cover / V. Verteletskyi, T.-C. Yen, A. F. Izmaylov // The Journal of Chemical Physics. — 2020. — Vol. 152, no. 12. — P. 124114. 29. Gottesman, D. Stabilizer codes and quantum error correction / D. Gottesman // arXiv preprint quant-ph/9705052. — 1997. 30. Pathak, A. Elements of quantum computation and quantum communication / A. Pathak. — Taylor & Francis, 2013. 31. Fischer, S. A. Symmetry Configuration Mapping for Compact Representation of Quantum Chemistry on Quantum Computers / S. A. Fischer, D. Gunlycke // arXiv preprint arXiv:1907.01493. — 2019. 32. Makushin, K. M. Quantum computation of lowest-energy Kramers states and magnetic g-factors of rare earth ions in crystals / K. M. Makushin, E. I. Baibekov // arXiv preprint arXiv:2005.03712. — 2020. 43

33. Nakanishi, K. M. Subspace-search variational quantum eigensolver for excited states / K. M. Nakanishi, K. Mitarai, K. Fujii // Physical Review Research. — 2019. — Vol. 1, no. 3. — P. 033062. 34. Heya, K. Subspace variational quantum simulator / K. Heya [et al.] // arXiv preprint arXiv:1904.08566. — 2019. 35. Bondarenko, D. Quantum autoencoders to denoise quantum data / D. Bondarenko, P. Feldmann // Physical Review Letters. — 2020. — Vol. 124, no. 13. — P. 130502. 36. Arute, F. Hartree-Fock on a superconducting qubit quantum computer / F. Arute [et al.] // arXiv preprint arXiv:2004.04174. — 2020. 44