Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà íà
òåìó:
Ñîâìåñòíàÿ îïòèìèçàöèÿ ïðîãðàììíîãî è
âîçìóùåííûõ äâèæåíèé
Ìèçèíöåâà Ìàðèÿ Àëåêñàíäðîâíà
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2016.
Ñîäåðæàíèå
1
Ââåäåíèå
2
2
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ñîâìåñòíîé îïòèìèçàöèè ïðîãðàììíîãî è âîçìóùåííûõ äâèæåíèé
4
3
Âàðèàöèÿ ôóíêöèîíàëà
6
4
Ìèíèìàêñíîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè
10
5
Çàêëþ÷åíèå
11
1
1
Ââåäåíèå
Îäèí èç ñàìûõ àìáèöèîçíûõ ïðîåêòîâ ñîâðåìåííîé áîëüøîé íàóêè
ýòî ñîçäàíèå òåðìîÿäåðíîãî ðåàêòîðà, â êîòîðîì ýíåðãèÿ âûðàáàòûâàåòñÿ â ðåçóëüòàòå ÿäåðíîé ðåàêöèè ñèíòåçà.
Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà óäåðæàíèå âûñîêîòåìïåðàòóðíîãî ãàçà ñ òðåáóåìûìè äëÿ ïîääåðæàíèÿ ãîðåíèÿ
ïëàçìû ïàðàìåòðàìè.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò äâà ïðèíöèïèàëüíûõ ïîäõîäà ê óäåðæàíèþ âûñîêîòåìïåðàòóðíîé ïëàçìû: còàöèîíàðíûå ñèñòåìû è èìïóëüñíûå ñèñòåìû.
 èìïóëüñíûõ ñèñòåìàõ ïëàçìà óäåðæèâàåòñÿ â òå÷åíèå êîðîòêîãî
âðåìåíè åå ðàçëåòà, â òî âðåìÿ êàê â ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåìàõ ðåàëèçóåòñÿ
ïðèíöèï óäåðæàíèÿ ïëàçìû ñèëüíûì ìàãíèòíûì ïîëåì íà ïðîòÿæåíèè
äëèòåëüíûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè.
Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â êîíöå 1960-õ ãîäîâ íà óñòàíîâêàõ ñ ìàãíèòíûì óäåðæàíèåì, âûâåëè èìåííî ýòîò òèï óñòðîéñòâ íà ïîçèöèþ íàèáîëåå ïåðñïåêòèâíûõ ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåàëèçàöèè óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà.
Ðàçâèòèå òåõíîëîãèè, ñîçäàííîé áîëåå 60 ëåò íàçàä, òîëüêî ñåé÷àñ
ïðèáëèçèëîñü ê ñîçäàíèþ óñòàíîâêè, ñïîñîáíîé ïîääåðæèâàòü ïðîòåêàíèå òåðìîÿäåðíîé ðåàêöèè íà ïðîòÿæåíèè äëèòåëüíîãî âðåìåíè. Òàêîé
óñòàíîâêîé äîëæåí ñòàòü ìåæäóíàðîäíûé ïðîåêò ITER òîêàìàê, ñòðîèòåëüñòâî êîòîðîãî óæå âåäåòñÿ âî Ôðàíöèè.
Òîêàìàê ñëîæíîå ýëåêòðîôèçè÷åñêîå óñòðîéñòâî äëÿ óäåðæàíèÿ
âûñîêîòåìïåðàòóðíîé ïëàçìû, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ çàìêíóòóþ
òîðîèäàëüíóþ ìàãíèòíóþ ñèñòåìó.
 îñíîâå ðàáîòû òîêàìàêà ëåæèò äåéñòâèå ñèëû Ëîðåíöà íà çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó â ìàãíèòíîì ïîëå. Ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêàìàêà çàìêíóòû, ÷òî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ÷àñòèöû äâèæóòñÿ ïî ñïèðàëåâèäíûì òðàåêòîðèÿì è ïëàçìà ñîõðàíÿåò ñâîþ ïðîñòðàíñòâåííóþ
êîíôèãóðàöèþ.
Ýëåêòðîìàãíèòíûå óñëîâèÿ â òîêàìàêå ñîçäàþòñÿ ñèñòåìîé ïðîâîäÿùèõ êàòóøåê, îò äèíàìèêè òîêîâ â êîòîðûõ çàâèñèò êîíôèãóðàöèÿ ïîëÿ
â êàìåðå óñòðîéñòâà. Çà óäåðæàíèå, ðàâíîâåñèå è ôîðìó ïëàçìû îòâå÷àåò
ñèñòåìà àêòèâíûõ ïîëîèäàëüíûõ êîíòóðîâ, óïðàâëÿþùèì âîçäåéñòâèåì
ÿâëÿåòñÿ íàïðÿæåíèå â ýòèõ êîíòóðàõ.
Ïîëîèäàëüíàÿ ìàãíèòíàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç öåíòðàëüíîãî ñîëåíîèäû è êàòóøåê ðàâíîâåñèÿ. Öåíòðàëüíûé ñîëåíîèä îòâå÷àåò çà ñîçäàíèå
íàïðÿæåíèÿ íà îáõîäå òîðà, êîòîðîå âîçíèêàåò ïðè èçìåíåíèè ïîòîêà â
2
öåíòðàëüíîì ñîëåíîèäå â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì U = − dΨ
.
dt
Ïðè ýòîì ïîÿâëÿþòñÿ ðàññåÿííûå ìàãíèòíûå ïîëÿ, äëÿ êîìïåíñàöèè
êîòîðûõ è ñóùåñòâóþò êàòóøêè ðàâíîâåñèÿ, ó÷èòûâàþùèå òàêæå âëèÿíèå òîêîâ â ñòåíêàõ êàìåðû óñòðîéñòâà [4].
Îñîáîå çíà÷åíèå èìååò ðàçðàáîòêà ñöåíàðèåâ äëÿ íà÷àëüíîé ôàçû
ðàçâèòèÿ ðàçðÿäà îò ïîäúåìà òîêà â ïîëîèäàëüíûõ êàòóøêàõ äî âîçíèêíîâåíèÿ ïëàçìû.
Äèíàìèêà òîêîâ â ïðîâîäÿùèõ êîíòóðàõ òîêàìàêà íà íà÷àëüíîì ýòàïå ðàçðÿäà ìîæåò áûòü îïèñàíà ïðè ïîìîùè ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [6, 9]
d(LI)
+ RI = U.
dt
Çäåñü L ýòî ìàòðèöà èíäóêòèâíîñòåé, I âåêòîð òîêîâ â ïðîâîäÿùèõ êîíòóðàõ, R äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîïðîòèâëåíèé ïðîâîäÿùèõ
êîíòóðîâ, U âåêòîð íàïðÿæåíèé íà èñòî÷íèêàõ ïèòàíèÿ.
Ìàòðèöà èíäóêòèâíîñòåé ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíà, èñõîäÿ èç ãåîìåòðè÷åêîé êîíôèãóðàöèè òîêàìàêà, ìàòðèöà ñîïðîòèâëåíèé îïðåäåëÿåòñÿ
ïðîâîäÿùèìè ñâîéñòâàìè ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèè óñòðîéñòâà. Â âåêòîðå
íàïðÿæåíèé íåíóëåâûìè ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëîèäàëüíûì êàòóøêàì ñ èñòî÷íèêîì ïèòàíèÿ.
Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè ïðîãðàììíîå óïðàâëåíèå (íàïðÿæåíèå íà êàòóøêàõ ïîëîèäàëüíîé ìàãíèòíîé ñèñòåìû U (t)), ïðè êîòîðîì
ðåàëèçóþòñÿ óñëîâèÿ ïðîáîÿ.
Äëÿ ñòàðòà ðàçðÿäà â òîêàìàêå íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ðÿäà óñëîâèé, ÷àñòü èç êîòîðûõ ñâÿçàíà ñ ôèçè÷åñêèì òðåáîâàíèÿìè, à ÷àñòü ñ
òåõíè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè óñòàíîâêè.
Ñðåäè îãðàíè÷åíèé åñòü òàê íàçûâàåìûå òåðìèíàëüíûå è èíòåãðàëüíûå óñëîâèÿ. Âûïîëíåíèå òåðìèíàëüíûõ óñëîâèé íåîáõîäèìî íà êîíöå
èíòåðâàëà ìîäåëèðîâàíèÿ, à âûïîëíåíèå èíòåãðàëüíûõ íà âñåì åãî
ïðîòÿæåíèè.
Âàæíåéøèå óñëîâèÿ, íàêëàäûâàåìûå íà ïîëÿ â çîíå ïðîáîÿ òåðìèíàëüíûå è îáóñëîâëåíû ôèçè÷åñêèìè ïðîöåññàìè, ïðîèñõîäÿùèìè â
êàìåðå óñòðîéñòâà.
Ê ìîìåíòó ïðîáîÿ íåîáõîäèìî äîñòèæåíèå îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ
íàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå, ïðîõîäÿùåì ÷åðåç öåíòð çîíû ïðîáîÿ (14,1 Â
äëÿ óñòàíîâêè ITER), à òàêæå íàêëàäûâþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ íà âåëè÷èíó ðàññåÿíûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé â çîíå ïðîáîÿ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ITER
3
âåëè÷èíà ìàãíèòíîé èíäóêöèè B ê ìîìåíòó íà÷àëà ïðîáîÿ íå äîëæíà
ïðåâûøàòü 2 ìëÒë â çîíå ïðîáîÿ.
Ê èíòåãðàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì îòíîñÿòñÿ îãðàíè÷åíèÿ íà âåëè÷èíó
òîêîâ, íàïðÿæåíèé è ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïîëîèäàëüíûõ êîíòóðàõ óñòàíîâêè, à òàêæå òðåáîâàíèå ïîñòîÿííîãî âîçðàñòàíèÿ íàïðÿæåíèÿ.
Äàííûå îãðàíè÷åíèÿ ìîãóò áûòü ôîðìàëèçîâàíû â âèäå öåëåâûõ ôóíêöèé, à çàòåì èñïîëüçîâàíû äëÿ çàïèñè ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà. Òàêèì
îáðàçîì, çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè ýòîãî ôóíêöèîíàëà, ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé óïðàâëÿþùåãî
âîçäåéñòâèÿ.
Îòìåòèì ðÿä ðàáîò, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ äëÿ ñòàðòà ðàçðÿäà â òîêàìàêå ITER: [6, 9].
 äàííîé ðàáîòå èññëåäóþòñÿ ôóíêöèîíàëû äðóãîãî òèïà, êîòîðûå
ïðåäïîëàãàåòñÿ â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.
2
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ñîâìåñòíîé îïòèìèçàöèè ïðîãðàììíîãî è âîçìóùåííûõ äâèæåíèé
Ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ñëîæíûõ óïðàâëÿåìûõ ýëåêðîôèçè÷åñêèõ ñèñòåì ñòàíäàðòíûì ÿâëÿåòñÿ ïîäõîä, â ðàìêàõ êîòîðîãî ñíà÷àëà èññëåäóåòñÿ ïðîãðàììíîå äâèæåíèå, à çàòåì ðàññìàòðèâàþòñÿ òàê íàçûâàåìûå
âîçìóùåííûå äâèæåíèÿ, îáðàçóþùèå àíñàìáëü òðàåêòîðèé.
Âîçìóùåííûå äâèæåíèÿ çàâèñÿò íå òîëüêî îò óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè è íà÷àëüíûõ äàííûõ, íî è îò ïðîãðàììíîãî äâèæåíèÿ.  ñâÿçè ñ
ýòèì ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì ïîäõîä, â ðàìêàõ êîòîðîãî âîçìîæíî ïðîâîäèòü ñîâìåñòíóþ îïòèìèçàöèþ ïðîãðàììíîãî äâèæåíèÿ è àíñàìáëÿ òðàåêòîðèé [1, 7] .
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,
îïèñûâàþùóþ íåêîòîðûé äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ
dx
= f (t, x, u),
x(0) = x0 .
(1)
dt
Çäåñü ∈ [0, T ] íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, T > 0 ôèêñèðîâàííàÿ
âåëè÷èíà, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ôàçîâûé âåêòîð, u = u(t) rìåðíàÿ
êóñî÷íîíåïðåðûâíàÿ âåêòîðôóíêöèÿ óïðàâëåíèÿ, ïðèíèìàþùàÿ ñâîè
çíà÷åíèÿ â êîìïàêòå U . Êëàññ òàêèõ óïðàâëåíèé îáîçíà÷èì ÷åðåç D.
t
4
Âåêòîðôóíêöèÿ f (t, x, u) = (f1 , f2 , . . . , fn ) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ x, u, t, à òàêæå èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå
ïðîèçâîäíûå ïî x íà âñåì ìíîæåñòâå îïðåäåëåíèÿ. Ðåøåíèå ñèñòåìû
(1) áóäåì íàçûâàòü ïðîãðàììíûì äâèæåíèåì. Ïðîãðàììíîå äâèæåíèå
x(t) = x(t, x0 , u) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ x0 , à òàêæå çàâèñèò îò âûáîðà ôóíêöèè óïðàâëåíèÿ.
Íà ðåøåíèÿõ ñèñòåìû (1) ïðè t = T ââåäåì ñëåäóþùèé ôóíêöèîíàë
I1 (u) = ϕ1 (x(T, x0 , u)).
(2)
Çäåñü ϕ1 ãëàäêàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Ñîâìåñòíî ñ ïðîãðàììíûì äâèæåíèåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàê íàçûâàåìûå âîçìóùåííûå äâèæåíèÿ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò èç ñåáÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñëåäóþùåãî âèäà
dy
= F (t, x, y, u),
y(0) = y0 ∈ M0 .
(3)
dt
Çäåñü y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) ôàçîâûé âåêòîð, âåêòîðôóíêöèÿ F (t, x, y, u) =
(F1 , F2 , . . . , Fn ) ðàçìåðíîñòè n ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè âñåõ ñâîèõ àðãóìåíòîâ âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè
ïî x è y äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, M0 êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî.
Êàæäîìó óïðàâëåíèþ u(t) ∈ D ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ñåìåéñòâî òðàåêòîðèé y(t) = y(t, x(t, x0 , u), y0 , u), îòâå÷àþùèõ ðàçëè÷íûì
íà÷àëüíûì óñëîâèÿì y(0) = y0 , y0 ∈ M0 , çàâèñÿùèõ êðîìå òîãî îò ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1). Ýòî ñåìåéñòâî òðàåêòîðèé áóäåì íûçâàòü ïó÷êîì èëè
àíñàìáëåì òðàåêòîðèé, èñõîäÿùèì èç íà÷àëüíîãî ìíîæåñòâà M0 .
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé ñèñòåìû (3), â
êîòîðîå ïåðåõîäèò ìíîæåñòâî M0 ïðè âûáðàííîì óïðàâëåíèè u(t)
Y = {y(T, x0 , y0 , u) | u ∈ D, x(0) = x0 , y0 ∈ M0 }.
Íà ýòîì ìíîæåñòâå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìèíèìàêñíûé ôóíêöèîíàë
êà÷åñòâà
I2 (u) = max ϕ2 (Y ).
(4)
yT ∈Y
Çäåñü ϕ2 íåîòðèöàòåëüíàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ.
Ôóíêöèîíàëû òàêîãî òèïà ðàññìàòðèâàþòñÿ â [8].
 çàâèñèìîñòè îò âûáîðà âèäà ôóíêöèé ϕ1 è ϕ2 ôóíêöèîíàëû I1 è I2
ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Èõ âàæíîå îòëè÷èå â òîì,
÷òî ôóíêöèîíàë I1 îöåíèâàåò êà÷åñòâî óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà â ñðåäíåì,
à I2 ïî íàèõóäøèì ÷àñòèöàì [5].
5
 äàííîé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ ñâÿçêà ôóíêöèîíàëîâ, ïîçâîëÿþùàÿ îäíîâðåìåííî ó÷èòûâàòü äèíàìèêó ïðîãðàììíîãî è âîçìóùåííûõ äâèæåíèé [10].
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ôóíêöèîíàë âèäà
I(u) = I1 (u) + I2 (u).
(5)
Çàäà÷à ìèíèìèçàöèè òàêîãî ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà îòíîñèòñÿ ê çàäà÷àì îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
3
Âàðèàöèÿ ôóíêöèîíàëà
Ðàññìîòðèì âàðèàöèþ óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè ∆u(t) òàêóþ, ÷òî ũ(t) =
u(t) + ∆u(t) ïðèíàäëåæèò êëàññó äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé D.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìíîæåñòâî RT (u), çàâèñÿùåå îò óïðàâëåíèÿ
u = u(t) è îïðåäåëÿåìîå ñëåäóþùèì îáðàçîì
RT (u) = {ȳ0 : ȳ0 ∈ M0 , ϕ2 (y(T, x0 , ȳ0 , u)) =
= max ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))}.
(6)
y0 ∈M0
Ìîæåò áûòü äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ ëåììà [3].
Ïóñòü RT (u) è RT (ũ) ìíîæåñòâà, îïðåäåëÿåìûå âûðàæåíèåì (6) è ñîîòâåòñòâóþùèå äîïóñòèìûì óïðàâëåíèÿì u(t) è ũ(t), òîãäà
max
min ky000 − y00 k → 0 ïðè k∆ukL → 0.
y ∈R (ũ) y ∈R (u)
Ëåììà 1
00
0
T
0
0
T
Äîêàçàòåëüñòâî
Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî.
Äîïóñòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå Ëåììû 1 íå âûïîëíÿåòñÿ, òîãäà íàéäåòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óïðàâëåíèé {∆uk }, òàêàÿ, ÷òî ||∆uk || < δk , ãäå δk > 0
è δk → 0 ïðè k → ∞.
Ïðè ýòîì íàéäóòñÿ òàêèå zk ∈ RT (u + ∆uk ), ÷òî
min ||zk − y0 || > .
x0 ∈RT (u)
(7)
Äàëåå ïî îïðåäåëåíèþ
ϕ2 (y(T, x0 , zk , u) + ∆y(T, x0 , zk )) =
= max ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u) + ∆y(T, x0 , y0 )) ,
y0 ∈M0
6
(8)
ãäå
∆y(T, x0 , y0 ) = y(T, x0 , y0 , u + ∆uk ) − y(T, x0 , y0 , u).
Âñå òî÷êè zk ∈ M0 , ïîýòîìó, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zk } ñõîäÿùåéñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå z0 ∈ M0 . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ||∆y(T, x0 , y0 )|| → 0 ïðè k → ∞ è y0 ∈ M0 . Ó÷èòûâàÿ ýòî,
ïåðåéäåì ê ïðåäåëó â ðàâåíñòâå (8) ïðè k → ∞. Ïîëó÷èì
ϕ2 (y(T, x0 , z0 , u) = max ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u)),
y0 ∈M0
÷òî îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü z0 ìíîæåñòâó RT (u), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
íåðàâåíñòâó (7). Òàêèì îáðàçîì, ëåììà äîêàçàíà.
S
Ââåäåì òåïåðü â ðàññìîòðåíèå ìíîæåñòâî QT (u, ∆u) = RT (u) RT (u+
∆u) è, èñïîëüçóÿ åãî, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèîíàëà I2 (ũ)
I2 (ũ) = max ϕ2 (y(T, x0 , y0 , ũ)) =
y0 ∈M0
= max ϕ2 (y(T, x0 , y0 , ũ)) =
y0 ∈RT (ũ)
=
max
y0 ∈QT (u,∆u)
(9)
ϕ2 (y(T, x0 , y0 , ũ)) .
Âûïèøåì óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìå (1)
∂f (t, x(t, x0 , u), u)
dδx
=
δx+
dt
∂x
+ ∆u f (t, x(t, x0 , u), u) ,
δx(0) = 0.
(10)
Âûïèøåì óðàâåíèÿ â âàðèàöèÿõ äëÿ âîçìóùåííûõ äâèæåíèé
dδy
∂F (t, x(t, x0 , u), y(t, x0 , y0 , u), u)
=
δx+
dt
∂x
∂F (t, x(t, x0 , u), y(t, x0 , y0 , u), u)
+
δy+
∂y
+ ∆u F (t, x(t, x0 , u), y(t, x0 , y0 , u) ,
δy(0) = 0.
(11)
Çäåñü è äàëåå îïåðàòîð ∆u íåêîòîðîé ôóíêöèè îïðåäåëÿåò ñëåäóþùóþ ðàçíîñòü
∆u f (t, x, u) = f (t, x, u + ∆u) − f (t, x, u) .
7
Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ ϕ2 (y(T, x0 , y0 , ũ)) â ñëåäóþùåì âèäå
ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u) + ∆y(T, x0 , y0 )) =
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
= ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u)) +
δy(T )+
∂y
+ o (k∆y(T )kC ) .
(12)
Ñëåäóÿ ëîãèêå [3], îöåíèì I2 (ũ) ñâåðõó è ñíèçó. Èç (9) è (12) èìååì
I2 (ũ) 6
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
δy(T ) + o1 =
yo ∈QT (u,∆u)
yo ∈QT (u,∆u)
∂y
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
= max ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u)) + max
δy(T ) + o1 + o2 ,
yo ∈RT (u)
y0 ∈RT (u)
∂y
max
ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u)) +
max
ãäå
o1 = max |o (k∆y(T )kC )| ,
y0 ∈M0
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
δy(T )−
(13)
y0 ∈QT (u,∆u)
∂y
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
− max
δy(T ).
y0 ∈RT (u)
∂y
 òî æå âðåìÿ, èñïîëüçóÿ (12), ìîæåì çàïèñàòü
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
I2 (ũ) > max ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u)) +
δy(T ) − o1 >
yo ∈M0
∂y
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
δy(T ) − o1 =
> max
ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u)) +
yo ∈RT (u)
∂y
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
= max ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u)) + max
δy(T ) − o1 .
yo ∈RT (u)
yo ∈RT (u)
∂y
o2 =
max
Ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà ∆I2 = I2 (ũ) − I2 (u). Ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííûå îöåíêè äëÿ I2 (ũ), ìîæåì çàïèñàòü
δI2 − o1 6 ∆I2 6 δI2 + o1 + o2 ,
ãäå δI2 âàðèàöèÿ ôóíêöèîíàëà I2 (u), êîòîðàÿ ðàâíà ñîîòâåòñòâåííî
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
δy(T ).
y0 ∈RT (u)
∂y
δI2 = max
(14)
Âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ôóíêöèîíàëà I1 èçâåñòíî è èìååò ñëåäóþùèé âèä [2, 3]
δI1 =
∂ϕ1 (x(T, x0 , u))
δx(T ).
∂x
8
(15)
Âàðèàöèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ôóíêöèîíàëà (5) åñòü ñóììà (14) è (15)
δI = δI1 + δI2 .
(16)
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè λ, ψ è ïðèáàâèì
ê ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (16) âûðàæåíèÿ, êîòîðûå î÷åâèäíî â ñèëó
óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ (10)(11) ðàâíû 0
Z T
dδx ∂f
∗
−
δx − ∆u f (t, x, u) dt = 0,
ψ
dt
∂x
0
Z T
dδy ∂F
∂F
∗
λ
−
δx −
δy − ∆u F (t, x, y, u) dt = 0.
dt
∂x
∂y
0
Çäåñü ∗ îáîçíà÷åò îïåðàöèþ òðàíñïîíèðîâàíèÿ âåêòîð-ôóíêöèè.
Èñïîëüçóÿ ýòè äâà ðàâåíñòâà è âûðàæåíèÿ äëÿ âàðèàöèè ôóíêöèîíàëîâ (14) è (15), ïîëó÷èì
(
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
∂ϕ1 (x(T, x0 , u))
δI(u) = max
δx(T ) +
δy(T )+
y0 ∈RT (u)
∂x
∂y
Z T
dδx ∂f
∗
+
ψ
−
δx − ∆u f (t, x, u) dt+
dt
∂x
0
)
Z T
∂F
∂F
dδy
−
δx −
δy − ∆u F (t, x, y, u) dt
+
λ∗
dt
∂x
∂y
0
Äàëåå
(
∂ϕ1 (x(T, x0 , u))
∂ϕ2 (y(T, x0 , y0 , u))
δx(T ) +
δy(T )+
y0 ∈RT (u)
∂x
∂y
Z T
∗
∗
∗ 0
∗ ∂f
∗ ∂F
+ψ (T )δx(T ) + λ (T )δy(T ) −
+λ
(ψ ) + ψ
δxdt+
∂x
∂x
0
)
Z T
Z T
∂F
+
(λ∗ )0 + λ∗
δydt −
(ψ ∗ ∆u f + λ∗ ∆u F ) dt
∂y
0
0
δI(u) = max
Âûáèðàåì âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè ψ(t) è λ(t) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
∂f (t, x, u)
∂F (t, x, y, u)
dψ ∗
= −ψ ∗
− λ∗
,
dt
∂x
∂x
∂ϕ1 (x(T, x, u))
;
ψ ∗ (T ) = −
∂x
dλ∗
∂F (t, x, y, u)
= −λ∗
,
dt
∂y
∂ϕ2 (y(t, x0 , y0 , u))
λ∗ (T ) = −
.
∂y
9
Òîãäà âàðèàöèÿ ôóíêöèîíàëà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå
ZT
δI(u) = max
y0 ∈RT (u)
( −ψ ∗ ∆u f (t, x, u)−
0
∗
− λ ∆u F (t, x, y, u))dt.
Ââåäåì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà
H(t, x, u, ψ, λ, u) = ψ ∗ f (t, x, u) + λ∗ F (t, x, y, u),
òîãäà âàðèàöèÿ áóäåò
ZT
δI(u) = max
H(t, x, y, ψ, λ, u)−
y0 ∈RT (u)
0
−H(t, x, y, ψ, λ, ũ) dt.
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ
ìèíèìèçàöèè èññëåäóåìîãî ôóíêöèîíàëà.
4
Ìèíèìàêñíîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè
Ïðèíöèï ìèíèìàêñà â äàííîì ñëó÷àå ìîæåò áûòü çàïèñàí â ñëåäóþùåì âèäå.
Ðàññìîòðèì óïðàâëåíèå u(t) ∈ U , ãäå U êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â
Rn . Ïóñòü u0 = u0 (t) îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, òîãäà
min max 0 H(t, x, y, ψ, λ, u0 )−
u∈U y0 ∈RT (u )
−H(t, x, y, ψ, λ, u) = 0,
ãäå
x = x(t, x0 , u0 ),
y = y(t, x0 , y0 , u0 ),
ψ = ψ(t, T, x0 , y0 , u0 ),
λ = λ(t, T, x0 , y0 , u0 ).
Äîêàçàòåëüñòâî óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ïî
àíàëîãèè ñ [3].
10
5
Çàêëþ÷åíèå
 ðàáîòå ðàçðàáîòàíà ìåòîäèêà ñîâìåñòíîé îïòèìèçàöèè ïðîãðàììíîãî è âîçìóùåííûõ äâèæåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâÿçêè ôóíêöèîíàëîâ
äâóõ òèïîâ: èíòåãðàëüíîãî è ìèíèìàêñíîãî.
Ýòîò ïîäõîä èíòåðåñåí òåì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ïîçâîëÿåò îäíîâðåìåííî
ó÷èòûâàòü äèíàìèêó êàê ïðîãðàììíîãî äâèæåíèÿ, òàê è äèíàìèêó ïó÷êà
òðàåêòîðèé, à, âî-âòîðûõ, ó÷èòûâàåò íå òîëüêî ñðåäíèå õàðàêòåðèñòèêè
ïðîöåññà, íî è äèíàìèêó íàèõóäøèõ ÷àñòèö, îêàçûâàþùèõ ìàêñèìàëüíîå
âëèÿíèå íà çíà÷åíèå ìèíèìàêñíîãî ôóíêöèîíàëà.
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ
ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà ìåòîäàìè íàïðàâëåííîãî ñïóñêà.
Äàííûé ïîäõîä ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ê øèðîêîìó êëàññó çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ìîäåëèðîâàíèåì ñëîæíûõ ýëåêòðîôèçè÷åñêèõ ñèñòåì, â ÷àñòíîñòè ê çàäà÷å îïòèìèçàöèè ñòàðòà ðàçðÿäà â òîêàìàêå ITER.
11
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Îâñÿííèêîâ À. Ä. Óïðàâëåíèå ïðîãðàììíûìè è âîçìóùåííûìè äâèæåíèÿìè // Âåñòí. Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà. Ñåð. 10: Ïðèêëàäíàÿ Ìàòåìàòèêà. Èíôîðìàòèêà. Ïðîöåññû Óïðàâëåíèÿ. 2006. Âûï. 2. Ñ. 111-124.
[2] Îâñÿííèêîâ Ä. À. Ìîäåëèðîâàíèå è îïòèìèçàöèÿ äèíàìèêè ïó÷êîâ
çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Ë.: Íàóêà, 1990.
[3] Îâñÿííèêîâ Ä. À. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ ïó÷êàìè. Ë.:
Èçä-âî ËÃÓ, 1980.
[4] Ãëóõèõ Â. À., Áåëÿêîâ Â. À., Ìèíååâ À. Á. Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèå îñíîâû óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà: Ó÷åá. ïîñîáèå. ÑÏá.: Èçäâî Ïîëèòåõí. óí-òà. 2006. 348 ñ.
[5] Îâñÿííèêîâ À. Ä., Îâñÿííèêîâ Ä. À., Äóðêèí À. Ï., ×àíã Ø. Ë. Îïòèìèçàöèÿ ñîãëàñóþùåé ñåêöèè óñêîðèòåëÿ ñ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîé êâàäðóïîëüíîé ôîêóñèðîâêîé // Æóðíàë òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. 2009. Ò. 79. Âûï. 11. Ñ. 102-105.
[6] Aminov R., Ovsyannikov A. On optimization of the initial plasma stage
in ITER // Òðóäû 20-ãî ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà ïî äèíàìèêå ïó÷êîâ è îïòèìèçàöèè â ðàìêàõ êîíôåðåíöèè IVESC-ICEE-ICCTPEABDO-2014 / ïîä ðåä. Ä. À. Îâñÿííèêîâà. 2014. Ñ 4-5.
[7] Îâñÿííèêîâ À. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè îïòèìèçàöèè äèíàìèêè
ïó÷êîâ. ÑÏá.: Èçä-âî ÂÂÌ, 2014.
[8] Äåìüÿíîâ Â. Ô., Ìàëîçåìîâ Â. Í. Ââåäåíèå â ìèíèìàêñ. Ì.: Íàóêà,
1972.
et al. "Optimization of the Initial
From Physics to Control Though
an Emergent View - Procceding of Physics and control 2009 conference,
[9] M. Mizintseva, A. Ovsyannikov
Conditions in the ITER Tokamak in
series B, vol. 15., Catania, Italy, 2009. pp. 359-364
[10] M. Mizintseva, D. Ovsyannikov. On the minimax problem of
simultaneous optimization of the controlled and disturbed motions.
// Òðóäû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè "Stability and Control
Processes"in Memory of V.I. Zubov (SCP), 2015 International
Conference. 2015. Ñ. 175-176.
12
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв