Типы расширений полей

Руслан Санников

Типы расширений полей

В работе изучались различные типы расширений полей - алгебраические и трансцендентные, сепарабельные и несепарабельные, нормальные, конечные и бесконечные. Также в работе представлены приложения рассмотренной теории для решения некоторых классов задач. В заключительной главе предъявляется пример автоморфизма поля дробно-рациональных функций и доказывается теорема, что полная проективная группа, изоморфная образу гомоморфизма, равна множеству всех автоморфизмов поля.

Математика

Дипломы

Вуз: Российский государственный педагогический университет имени А И Герцена (РГПУ им. А И Герцена)

ID: 5eaeba72ca23590001cbbabe

UUID: 6c7f6400-6f68-0138-346e-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: почти 4 года назад

Просмотры: 14

10.28

Руслан Санников

Российский государственный педагогический университет имени А И Герцена (РГПУ им. А И Герцена)

Комментировать 10

Рецензировать 0

Скачать - 856,4 КБ

Поделиться работой

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРЦЕНА» Основная профессиональная образовательная программа Направление подготовки 44.03.01 Педагогическое образование Направленность (профиль) «Математическое образование» форма обучения – очная Выпускная квалификационная работа Типы расширений полей Обучающегося 4 курса Санникова Руслана Андреевича Научный руководитель: Кандидат физико-математических наук, доцент Яшина Елена Юрьевна Рецензент: Кандидат физико-математических наук, доцент Якубсон Михаил Яковлевич Санкт-Петербург 2019

Содержание 0. Введение 0.1. Основные определения и теоремы 1. Конечные и алгебраические расширения полей 1.1. Определение базовых понятий 1.2. Конечные расширения полей 1.3. Простые расширения полей 1.4. Алгебраические расширения полей 2. Поля ненулевой характеристики. 2.1. p -степень суммы 2.2. Корни pk -степени из элементов поля 2.3. Нулевые производные 2.4. Сепарабельные многочлены 2.5. K-изоморфизмы полей. 3. K-автоморфизмы полей 3.1. Группа Aut G 3.2. Подполе неподвижных элементов LG 3.3. Пример: AutK K(x) 3.4. Конечные расширения конечных полей 3.5. Конечная группа автоморфизов 4. Список литературы 1 2 5 8 8 12 14 19 22 22 23 24 25 27 31 31 32 33 38 41 44

0. Введение Поле — это одно из основных предметов изучения теории основных алгебраических систем. В 1820—1830-х годах понятие поля в своих работах неявно использовали Нильс Абель и Эварист Галуа. Последний в 1830 году, используя идею алгебраического расширения поля, нашел необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба. Кроме того, Эварист предложил очень общий метод решения уравнений. Если они не решаются, нужно расширить множество возможных решений точно также, как и в случае уравнения второй степени. Такие расширения, которые позволяют решать уравнения любой степени, называются расширениями Галуа. Эта идея до настоящего времени является одной из основных в современной математике. Явное введение понятия поля относят к Дедекинду (изначально под названием «рациональная область», термин «поле» введён в 1871 году), который назвал «полем» подмножество действительных или комплексных чисел, замкнутое относительно четырех математических операций. В 1881 году Леопольд Кронекер изучал свойства алгебраических числовых полей, также называя их «областями рациональности». В 1893 году Генрих Вебер дал первое чёткое определение абстрактного поля, а в 1910 году Эрнст Штайниц опубликовал известную работу Algebraische Theorie der Körper (нем. Алгебраическая теория полей), в которой развил аксиоматическую теорию полей и предложил множество важных концепций, таких как простое поле, совершенное поле и степень трансцендентности расширения поля. Понятие поля широко используется в науке. Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Так же и алгебраическое многообразие — основной объект изучения алгебраической геометрии — определяется над произвольным полем. Алгебраическая теория чисел занимается изучением свойств алгебраических числовых полей и их колец; и, конечно, использует результаты классической теории полей. Конечные поля широко используются в теории чисел и теории кодирования. В частности, поля характеристики 2 полезно рассматривать в информатике. Таким образом, при написании данной работы передо мною была поставлена цель: выявление и изучение различных типов расширений полей - алгебраических и трансцендентных, сепарабельных и несепарабельных, простых, конечных и бесконечных. 2

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: изучение необходимой литературы по данной теме; систематизация материала; доказательство теорем и предложений, касающихся излагаемого текста; построение примеров, иллюстрирующих различные типы расширений; применение методов, использовавшихся при доказательстве теорем, для приложений теории; решение упражнений, относящихся к данной теме. Данная работа состоит из трёх глав, которые разбиты на пятнадцать параграфов. В первой главе «Конечные и алгебраические расширения полей» мы рассматриваем понятие «расширение поля», каким оно бывает в зависимости от размерности пространства, от количества элементов, которыми оно порождено, и от того, являются ли элементы корнями некоторых многочленов; вводятся такие понятия, как «башня расширений» и «примитивный элемент», доказываются характеризующие их теоремы, а также утверждения о строении простого, простого алгебраического и простого трансцендентного расширений. Теорема 0.0.1. О строении простого расширения. Пусть L/K - расширение поля K, α ∈ L. (α) Тогда K(α) = { fg(α) | f, g ∈ K[x], g(α) 6= 0}. Теорема 0.0.2. О строении простого алгебраического расширения. Пусть L/K− расширение поля K, а α ∈ L− алгебраический элемент над K. Пусть pα его минимальный многочлен. Тогда 1, α, . . . , αn−1 , где n = deg pα − базис поля K(α) над K. Теорема 0.0.3. О строении простого трансцендентного расширения. Пусть α− трансцендентный элемент над K. Тогда существует изоморфизм полей ϕ : K(x) → K(α) такой, что: ϕ(a) = a для любого a ∈ K. Стоит отметить, что метод, использованный в доказательстве теоремы «О строении простого алгебраического расширения», можно использовать для того, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе. В тексте работы представлено несколько примеров использования этого метода. Во второй главе «Поля ненулевой характеристики» рассмотрена р-степень суммы, корни pk -степени из элементов поля, нулевые производные, сепарабельные многочлены, K-изоморфизмы полей. В заключительном параграфе представлен пример несепарабельного многочлена, а также несепарабельного и трансцендентного расширений. 3

В заключительной главе предъявляется пример K-автоморфизма поля L дробнорациональных функций и доказывается теорема, что полная проективная группа, изоморфная образу гомоморфизма, равна множеству всех К-автоморфизмов поля L. Теорема 0.0.4. PGL2 (K) ≈ Im θ = AutK L. Кроме того, были рассмотрены конечные расширения конечных полей и конечные группы автоморфизмов. Выбор этой темы обусловлен тем, что теория полей, а в частности тема «Расширения полей» полностью отсутствует в курсе прикладного бакалавриата педагогического направления. Однако, изучаемые в этой теории вопросы дают возможность познакомиться с идеями и методами алгебры, а также имеют большое значение для прикладного характера данной темы и математики в целом, что вызывает интерес и желание углубиться в выбранный вопрос. В этой работе были приведены более подробные доказательства теорем и предложений, касающихся различных расширений полей, самостоятельно выполнены упражнения, относящиеся к данной теме, а также построены и рассмотрены примеры соответствующих типов расширений. 4

0.1. Основные определения и теоремы. В этом параграфе мы собрали определения и формулировки утверждений, необходимых для дальнейшего изложения материала. Определение 0.1.1. Множество G называется группой, если на этом множестве введена ассоциативная операция, называемая умножением, существует нейтральный элемент и для каждого элемента найдётся ему обратный. Определение 0.1.2. Группа G называется абелевой, если введенная операция обладает свойством коммутативности. Определение 0.1.3. Множество А называется кольцом, если введены две операции, называемые сложением и умножением, при этом данное множество является абелевой группой по сложению, а умножение ассоциативно и дистрибутивно. Определение 0.1.4. Кольцо А называется коммутативным, если умножение коммутативно. Определение 0.1.5. Кольцо А называется кольцом с единицей, если сушествует нейтральный элемент по умножению. Определение 0.1.6. Подмножество В кольца А называется подкольцом, если В замкнуто относительно операций кольца А, то есть ∀a, b ∈ B a + b, a − b, ab ∈ B. Определение 0.1.7. Множество К называется полем, если оно является коммутативным кольцом с 1, а для каждого элемента кроме 0 существует обратный по умножению. Определение 0.1.8. Подмножество F поля K называется подполем, если оно является подкольцом, и для каждого элемента k ∈ F существует обратный элемент относительно операции умножения. Определение 0.1.9. Характеристикa кольца A: ( 0, если (1 + 1 + · · · + 1) 6= 0 для любого n ∈ N, def char A = min{n ∈ N | (1 + 1 + · · · + 1) = 0}. Характеристика поля K− это или 0 (например, K = Q, R, C) или простое число (например K = Z/pZ). Действительно, если характеристика поля K была бы составным числом: char K = nm : n, m ∈ N, n, m > 1, то из определения характеристики nK 6= 0, mK 6= 0 и, поскольку произведение ненулевых элементов поля не является нулем, то nK mK 6= 0, что противоречит определению характеристики. 5

Определение 0.1.10. Линейным (векторным) пространством над полем K называется абелева группа L по сложению, для которой определено отображение ϕ:K ×L→L (соглашение ϕ(α, g) = αg), удовлетворяющие следующим условиям: 1) (α + β)g = αg + βg для любых α, β ∈ K, g ∈ L; 2) α(g + m) = αg + αm для любых α ∈ K, g, m ∈ L; 3) α(βg) = (αβ)g для любых α, β ∈ K, g ∈ L; 4) 1g=g для любого g ∈ L. Определение 0.1.11. Базисом линейного пространства M называется такое подмножество B, которое удовлетворяет следующим условиям: 1) Оно является линейно независимым, то есть ( m1 , . . . , mk ∈ B, α1 , . . . , αk ∈ L, ⇒ α1 = α2 = . . . = αk = 0. α1 m1 + α2 m2 . . . + αk mk = 0, 2) любой элемент m ∈ M линейно выражается через элементы множества В. Поле дробно-рациональных функций. Пусть K[x]− кольцо многочленов над полем K. Обозначим множество пар многочленов (f, g), f, g ∈ K[x], g 6= 0, записанных в виде fg (называемых дробями кольца ] многочленов K[x]) символом K(x): f ] def | f, g ∈ K[x], g 6= 0}. K(x) = { g ] введем бинарное отношение На множестве K(x) f h ≈ ⇔ f e = gh. g e Это отношение является отношением эквиалентности, причём множество классов эквивалентности f f ] K(x) = {[ ] | ∈ K(x)} g g (здесь [ fg ] класс дроби fg ) является полем относительно операций сложения и умножения: f h def f e + gh [ ]+[ ] = [ ], g e ge f h def f h [ ][ ] = [ ]; g e ge f а в каждом классе дробей [ g ] имеется единственная несократимая дробь p , (p, q) = 1, q − нормализованный многочлен. q Введем следующие соглашения: 6

f g а. класс [ fg ] будем обозначать любым его представителем fg. Таким образом, вместо ≈ he будем писать fg = he ; б. классы дробей вида f1 будем отождествлять с многочленом f и записывать как f. в. Простейшей дробью будем называть дробь вида p , (p, q) = 1, deg p < deg q q − неприводимый многочлен над K. qm Определение 0.1.12. Поле K(x) будем называть полем дробно-рациональных функций. 7

1. Конечные и алгебраические расширения полей 1.1. Определение базовых понятий. Определение 1.1.1. Пусть K - подполе поля L. Тогда поле L называется расширением поля К. Обозначим символом L/K. Замечание 1.1.1. Заметим, что поле L, являющееся расширением поля K, является линейным (векторным) пространством над полем K. Действительно, так как L - поле, то определены операции умножения и сложения (относительно последней L является абелевой группой), а поэтому для любого α ∈ K, l ∈ L определено произведение αl ∈ L в силу того, что К - подполе L. Все свойства линейного пространства следуют из свойств операций на поле. Определение 1.1.2. Если пространство L над К - конечномерно, то его размерность называется степенью расширения L/K и обозначается символом deg L/K. Если это пространство бесконечномерно, то пишем deg L/K = ∞. Определение 1.1.3. Расширение L/K называется конечным, если deg L/K = n ∈ N. Если deg L/K = ∞, то расширение L/K называется бесконечным. Пример 1.1.1. deg C/R = 2. Чтобы показать, что размерность C/R, то есть число элементов базиса, равна двум, нужно предъявить искомый базис. Докажем, что 1, i являются базисом C над R. Действительно, любое комплексное число выражается через данный базис: z = α ∗ 1 + β ∗ i, где α, β ∈ R. Если мы данное выражение приравняем к нулю, то либо β равно 0, тогда α равно 0; либо β не равно 0, тогда i = αβ , то есть i ∈ R, что противоречит условию. Таким образом, 1, i линейно независимы и любой элемент из множества комплексных чисел выражается через них, следовательно, 1, i - базис. Пример 1.1.2. deg R/Q = ∞. Пусть размерность R/Q конечна. Пусть существуют векторы e1 , e2 , . . . , en , которые являются базисом R над Q. Из определения базиса следует, что векторы e1 , e2 , . . . , en линейно независимы и любой элемент α ∈ R линейно выражается через них, то есть α = α1 e1 + α2 e2 + . . .+αn en или α = (α1 , α2 , . . . , αn ), где ∀αi ∈ Q. Каждый αi пробегает все значения α. Так как множество Q счётно, то αi счётно, а α является объединением счётных множеств, следовательно, счётно. Исходя из того, что ∀α ∈ R, получаем, что R счётно, что есть противоречие, а, значит, deg R/Q = ∞. 8

Определение 1.1.4. Пусть L/K - расширение поля К. Элемент α ∈ L называется алгебраическим над К, если α является корнем некоторого ненулевого многочлена f ∈ K[x]. Элемент α ∈ L называется трансцендентным над К, если из того, что α является корнем некоторого многочлена f ∈ K[x], следует, что f - нулевой многочлен. Замечание 1.1.2. Можно сказать, что элемент α алгебраичен над К, если гомоморфизм ϕ : K[x] → L, тождественный на К и переводяший х в α, имеет ненулевое ядро. Рассмотрим отображение ϕ : K[x] → L, то есть ∀f ∈ K[x] ϕ(f ) = f (α). Докажем, что это гомоморфизм, то есть проверим, что ∀f, g ∈ K[x] выполняются следующие условия: 1. ϕ(f + g) = ϕ(f ) + ϕ(g); 2. ϕ(f g) = ϕ(f )ϕ(g). Доказательство. Проверим выполнение каждого из условий. 1. Возьмём два многочлена f = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an и g = b0 xn + b1 xn−1 + . . . + bn−1 x + bn . ϕ(f + g) = ϕ(a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an + b0 xn + b1 xn−1 + . . . + bn−1 x + bn ) = ϕ((a0 + b0 )xn + (a1 + b1 )xn−1 + . . . + (an−1 + bn−1 )x + (an + bn )) = (a0 + b0 )αn + (a1 + b1 )αn−1 + . . . + (an−1 + bn−1 )α + (an + bn ) = (a0 αn + a1 αn−1 + . . . + an−1 α + an ) + (b0 αn + b1 αn−1 + . . . + bn−1 α + bn ) = ϕ(f ) + ϕ(g) 2. Возьмём два многочлена f = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an и g = b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm . k=n+m P ai bj xm+n−k +. . .+bm an . Рассмотрим f g = a0 b0 xn+m +(a0 b1 +a1 b0 )xn+m−1 +. . .+ i+j=k,k=0 Тогда ϕ(f g) = k=n+m P ai bj αm+n−k . i+j=k,k=0 С другой стороны, ϕ(f )ϕ(g) = (a0 αn + a1 αn−1 + . . . + an−1 α + an )(b0 αm + b1 αm−1 + k=n+m P . . . + bm−1 α + bm ) = ai bj αm+n−k . i+j=k,k=0 Cледовательно, отображение ϕ - гомоморфизм. Найдём его ядро. kerϕ = {f ∈ K[x] | ϕ(f ) = 0} = {f ∈ K[x] | f (α) = 0}. Таким образом, если ядро будет ненулевым, то элемент α по определению будет являться алгебраическим. Определение 1.1.5. Расширение L/K называется алгебраическим, если любой элемент α ∈ L является алгебраическим над К. В противном случае расширение называется трансцендентным. 9

Пример 1.1.3. C/R - алгебраическое расширение. Действительно, пусть элемент α ∈ C. Он является корнем некоторого многочлена x2 −(α+ ᾱ)x+αᾱ. Так как по определению комлпексного числа и сопряжённого ему α+ ᾱ = (x+yi)+(x−yi) = 2x ∈ R, a αᾱ = (x+yi)(x−yi) = (x2 +y 2 ) ∈ R, то данный многочлен лежит в R, следовательно, элемент α алгебраический. Так как α мы брали произвольно, то по определению искомое расширение C/R - алгебраическое. Пусть α - алгебраический элемент над К. Определим множество Bα = {f ∈ K[x] | deg f > 1, f (α) = 0} = . Определение 1.1.6. Нормализованный многочлен pα ∈ Bα минимальной степени (то есть deg pα 6 deg f для любого многочлена f ∈ Bα ) называется минимальным многочленом алгебраического элемента α. Предложение 1.1.1. Минимальный многочлен алгебраического элемента неприводим. Доказательство. Пусть pα = p0α p00α , где pα , p0α , p00α ∈ K[x], deg p0α < deg pα , deg p00α < deg pα . Но согласно заданию минимального многочлена 0=pα (α). Таким образом, получается что p0α = 0 или p00α = 0, что противоречит определению pα . Предложение 1.1.2. Любой многочлен f ∈ Bα делится на минимальный. Доказательство. Пусть f ∈ Bα не делится на минимальный. Тогда при делении с остатком многочлена f на минимальный многочлен pα получаем, что f = pα q + r, где q, r ∈ K[x], deg r < deg pα . Следовательно, при подстановке алгебраического элемента α : 0 = f (α) = pα (α)q(α) + r(α) = r(α), что противоречит определению минимального многочлена. Таким образом, r = 0, то есть любой многочлен делится на минимальный. Предложение 1.1.3. Минимальный многочлен единственный. Доказательство. Пусть существует два минимальных многочлена элемента α : pα и peα . Так как любой многочлен делится на минимальный, то pα делится на peα и наоборот, соответственно, отличаются на константу. Но так как оба многочлена нормализованные, то константа равна единице, поэтому pα = peα . Определение 1.1.7. Пусть L/K - расширение поля K, M ⊂ L. Расширением поля K порождённое множеством М называется подполе поля L (обозначается K(M )), такое что: 1. K ⊂ K(M ), 2. M ⊂ K(M ), 3. если подполе F ⊂ L содержит K и M , то K(M ) ⊂ F. 10

Определение 1.1.8. Если M = {α}, то K(M ) = K(α) называется расширением, полученным присоединением элемента α. Расширения, полученные присоединением одного элемента, называются простыми. Теорема 1.1.1. О строении простого расширения. Пусть L/K - расширение поля K, α ∈ L. (α) Тогда K(α) = { fg(α) | f, g ∈ K[x], g(α) 6= 0}. (α) Доказательство. Пусть α ∈ K(α). Так как K(α) поле, то { fg(α) | f, g ∈ K[x], g(α) 6= 0} ⊂ K(α). (α) С другой стороны, по определению простого расширения K ⊂ { fg(α) | f, g ∈ (α) | f, g ∈ K[x], g(α) 6= 0} ⊂ L. Из чего следует вывод, K[x], g(α) 6= 0} ⊂ L и a ∈ { fg(α) (α) | f, g ∈ K[x], g(α) 6= 0} = K(α). что { fg(α) Предложение 1.1.4. Пусть L/K - расширение поля K, α1 , . . . , αm ∈ L. Пусть K0 = K, K1 = K0 (α1 ), . . . , Ki = Ki−1 (αi ), . . . , Km = Km−1 (αm ). Тогда Km = K(α1 , . . . , αm ). Доказательство. Воспользуемся математической индукцией по m. Пусть m = 1. Тогда K1 = K0 (α1 ) = K(α1 ). Предположим, что Km−1 = K(α1 , . . . , αm−1 ). Заметим, что α1 , . . . , αm ∈ Km , K ⊂ Km . Пусть F - поле, такое что α1 , . . . , αm ∈ F ⊂ L, K ⊂ F ⊂ L. Тогда α1 , . . . , αm−1 ∈ F ⊂ L, K ⊂ F ⊂ L, а по предположению индукции и по определению расширения поля, порождённого множеством, получаем, что Km−1 = K(α1 , . . . , αm−1 ) ⊂ F. Так как αm ∈ F , то Km = Km−1 (αm ) ⊂ F. Таким образом, по определению расширения поля, порождённого множеством, получаем, что Km = K(α1 , . . . , αm ). 11

1.2. Конечные расширения полей. Теорема 1.2.1. Конечное расширение поля является алгебраическим. Доказательство. Так как расширение конечно, то deg L/K = n, следовательно, существуют 1, α, α2 , . . . , αn+1 , которые линейно зависимы для любого α ∈ L. Тогда a0 αn+1 + a1 αn + . . . + an+1 = 0 для некоторых a0 , a1 , . . . , an+1 ∈ K. Следовательно, {z } | не все ai =0 f (α) = 0, где 0 6= f = a0 xn+1 + a1 xn + . . . + an+1 ∈ K[x]. Определение 1.2.1. Пусть L/K-расширение поля K. Пусть K = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kn = L цепочка вложенных промежуточных расширений. Такую цепочку будем называть башней расширений полей. Теорема 1.2.2. О башне расширений полей. Пусть K = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kn = L− башня расширений полей. Тогда 1. L/K − конечно ⇔ Ki /Ki−1 − конечно для любого i. Q 2. deg L/K = ni=1 deg Ki /Ki−1 . Доказательство. 1. ⇒ − очевидно, так как, расширение не будет конечным, если какое-то из промежуточных расширений будет бесконечным. ⇐ следует из п. 2, так как, если какое-то из промежуточных расширений будет бесконечным, то произведение степеней равное степени расширения L/K будет равно бесконечности, следовательно, расширение будет бесконечным. 2. Докажем формулу с помощью метода математической индукции. Проверим формулу для n = 2. Итак, пусть K ⊂ F ⊂ L. Если deg F/K = ∞, то deg L/K = ∞ (так как F − линейное подпространство линейного пространства L над полем K). Пусть f1 , . . . , fm − базис F над K, а l1 , . . . , lk − базис L над F . Покажем {fi lj }i≤m,j≤k − базис L над K. Пусть X X X {lj }−базис L над F αij fi lj = 0 ⇒ ( αij fi ) lj = 0 ⇒ |{z} i≤m,j≤k j≤k i≤m ∈K | {z } ∈F ⇒ X i≤m αij fi = 0 для любого i = 1, . . . , m |{z} {fi }−базис F над K ⇒ ∈K ⇒ αij = 0 для любых i, j. Для любого l ∈ L  X  l = βj lj ({lj } − базис L над F )   |{z}   j≤k X ∈F ⇒l= αij fi lj . X |{z}   β = α f ({f } − базис F над K) j ij i i i≤m,j≤k  ∈K  |{z}  i≤m ∈K 12

Таким образом мы доказали, что формула верна для n = 2. Пусть теперь формула верна для n − 1 промежуточного расширения. Докажем для n. Итак, пусть K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kn−1 ⊂ Kn . Если deg K0 /Kn−1 = ∞, то deg K0 /Kn = ∞ (так как Kn−1 − линейное подпространство линейного пространства Kn над полем K0 ). Так как формула верна для n − 1 промежуточного расширения, то f1 , . . . , fm − базис Kn−1 над K0 , а l1 , . . . , lk − базис Kn над Kn−1 . Покажем {fi lj }i≤m,j≤k − базис Kn над K0 . Пусть X X X {lj }−базис Kn над Kn−1 αij fi lj = 0 ⇒ ( αij fi ) lj = 0 ⇒ |{z} i≤m,j≤k j≤k i≤m ∈K0 | {z } ∈Kn−1 ⇒ X i≤m αij fi = 0 для любого i = 1, . . . , m |{z} {fi }−базис Kn−1 над K0 ⇒ ∈K0 ⇒ αij = 0 для любых i, j. Для любого l ∈ Kn  X  βj lj ({lj } − базис Kn над Kn−1 ) l =   |{z}   j≤k X ∈Kn−1 ⇒l= αij fi lj . X |{z}   β = α f ({f } − базис K над K ) i≤m,j≤k j ij i i n−1 0  ∈K0  |{z}  i≤m ∈K0 Следовательно, формула верна для любого n. 13

1.3. Простые расширения полей. Теорема 1.3.1. О строении простого алгебраического расширения. Пусть L/K− расширение поля K, а α ∈ L− алгебраический элемент над K. Пусть pα его минимальный многочлен. Тогда 1, α, . . . , αn−1 , где n = deg pα − базис поля K(α) над K. Доказательство. Ввиду предложения "О строении простого расширения K(α) = { f (α) | f, g ∈ K[x], g(α) 6= 0}. g(α) pα −неприводим Тогда g(α) 6= 0 ⇒ pα - g ⇒ подставляем α ⇒ 1 = ψ(α)g(α) 1 = ϕpα + ψg f (α)ψ(α) g(α)ψ(α) = f (α)ψ(α) = (f ψ)(α) (g, pα ) = 1 Теорема о линейном выражении НОД ⇒ умножим и разделим на один и тот же многочлен f (α) ⇒ g(α) при делении с остатком f ψ = pα q + r, deg r < n = pα (α) q(α) + r(α) = = | {z } =0 r(α) = a0 αn−1 + a1 αn−2 + · · · + an−1 для некоторых a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ K. (α) Таким образом, любой элемент fg(α) поля K(α) линейно выражается через n−1 1, α, . . . , α . Далее, пусть α− корень некоторого многочлена, тогда a0 αn−1 + a1 αn−2 + любой многочлен делится на минимальный . . . + an−1 = 0 ⇒ (a0 xn−1 + a1 xn−2 + . . . + an−1 ) : pα |{z} противоречие, так как у минимального степень больше ⇒ (a0 xn−1 + a1 xn−2 + . . . + an−1 ) = 0 ⇒ deg pα =n a0 = a1 = . . . = an−1 = 0. Поэтому 1, α, . . . , αn−1 − линейно независимы. Следствие 1.3.1. Пусть α− алгебраический элемент над K и пусть pα − его минимальный многочлен. Тогда deg K(α)/K− конечное расширение и deg K(α)/K = deg pα . Доказательство. Так как рассматривается простое расширение, то по теореме "О строении простого алгебраического расширения"1, α, . . . , αn−1 , где n = deg pα − базис поля K(α) над K. Так как количество элементов базиса конечно, то и расширение конечно, причём его степень равна числу элементов базиса, то есть степени минимального многочлена. Стоит отметить, что метод, использованный в доказательстве, можно использовать для того, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе. Далее рассмотрим два различных примера, где собственно это и показывается. Пример 1.3.1. Освободимся от иррациональности в знаменателе следующего выражения: √ 235+1 √ √ 3 25 + 3 5 + 2 14

Исходя из условия, получаем, что α = приобретает вид √ 3 F (x) = 5, a pα = x3 − 5. В общем виде выражение 2x + 1 , x2 + x + 2 причём f (x) = 2x + 1, g(x) = x2 + x + 2. Найдем наибольший общий делитель (g, pα ) с помощью алгоритма Евклида. x 3 − 5 x2 + x + 2 x2 + x + 2 − x − 3 x3 + x2 + 2x x−1 x2 + 3x −x + 2 −x2 − 2x − 5 −2x + 2 −x2 − x − 2 −2x − 6 −x − 3 8 Выразим получившийся НОД через g и pα . 8 = x2 +x+2−(−x−3)(−x+2) = g(x)−(pα −g(x)(x−1))(−x+2) = g(x)−pα (−x+2)+ g(x)(x−1)(−x+2) = g(x)−pα (−x+2)+g(x)(−x2 +3x−2) = pα (x−2)−g(x)(x2 −3x+1). √ Пусть x = α = 3 5, тогда √ √ √ √ √ √ √ √ √ 8 = (5−5)( 3 5−2)−( 3 25+ 3 5+2)( 3 25−3 3 5+1) = −( 3 25+ 3 5+2)( 3 25−3 3 5+1). Далее √ √ √ √ √ √ (2 3 5 + 1)( 3 25 − 3 3 5 + 1) (2 3 5 + 1)( 3 25 − 3 3 5 + 1) √ √ √ = F (α) = √ =− 8 ( 3 25 + 3 5 + 2)( 3 25 − 3 3 5 + 1) √ √ √ √ (−2 ∗ 5 + 5 3 25 + 3 5 − 1) (5 3 25 + 3 5 − 11) = = . 8 8 Таким образом, с помощью теоремы "О строении простого алгебраического расширения"мы избавились от иррациональности в выражении данного вида. Пример 1.3.2. Разберём применение данной теоремы на выражении более абстрактного вида. Освободимся от иррациональности в знаменателе следующего выражения: α−5 , 2 α −α+1 где α− корень уравнения x4 − x3 + 2x + 1 = 0. Исходя из условия, получаем, что pα = x4 − x3 + 2x + 1. В общем виде выражение приобретает вид x−5 F (x) = 2 , x −x+1 причём f (x) = x − 5, g(x) = x2 − x + 1. Найдем наибольший общий делитель (g, pα ) с помощью алгоритма Евклида. 15

x4 − x3 + 2x + 1 x2 − x + 1 x 4 − x3 − x2 x2 − 1 −x2 + 2x + 1 −x2 + x − 1 x+2 x2 − x + 1 x + 2 x2 + 2x x − 3 −3x + 1 −3x − 6 7 Выразим получившийся НОД через g и pα . 7 = x2 − x + 1 − (x − 3)(x + 2) = g(x) − (pα − g(x)(x2 − 1))(x − 3) = g(x) − pα (x − 3) + g(x)(x2 − 1)(x − 3) = g(x) − pα (x − 3) + g(x)(x3 − 3x2 − x + 3) = g(x)(x3 − 3x2 − x + 4) − pα (x − 3). Пусть x = α, тогда 7 = (α2 −α+1)(α3 −3α2 −α+4)−(α4 −α3 +2α+1)(α−3) = (α2 −α+1)(α3 −3α2 −α+4). Далее (α − 5)(α3 − 3α2 − α + 4) (α − 5)(α3 − 3α2 − α + 4) F (α) = 2 = = (α − α + 1)(α3 − 3α2 − α + 4) 7 α4 − 8α3 + 14α2 + 9α − 20 α4 − 3α3 − α2 + 4α − 5α3 + 15α2 + 5α − 20 = = 7 7 Так как степень полученного числителя должна быть меньше степени минимального многочлена, то понизим степень выразив α4 : так как α4 − α3 + 2α + 1 = 0 ⇒ α4 = α3 − 2α − 1. = −7α3 + 14α2 + 7α − 21 = −α3 + 2α2 + α − 3. 7 Таким образом, с помощью теоремы "О строении простого алгебраического расширения"мы избавились от иррациональности в выражении более абстрактного вида. = Определение 1.3.1. Если F/K− простое расширение и F = K(α), то элемент α называется примитивным элементом расширения F/K. Теорема 1.3.2. О примитивном элементе. Конечное расширение поля характеристики ноль является простым. Доказательство. Докажем для начала вспомогательную лемму. Лемма 1.3.1. Пусть K− поле характеристики ноль и пусть f ∈ K[x]− неприводимый многочлен над K. Тогда любой корень многочлена f (содержащийся в некотором расширении L/K) является простым корнем. Доказательство. Предположим, существует корень α ∈ L многочлена f ∈ K[x] кратности больше, чем 1. Тогда α− также корень производной f 0 ∈ K[x]. Так как f неприводимый многочлен над K и deg f 0 = deg f − 1, то (f, f 0 ) = 1. Следовательно, 16

по теореме о линейном выражении НОД 1 = f ϕ + f 0 ψ, ϕ, ψ ∈ K[x] ⊂ L[x] ⇒ 1 = f (α) ϕ(α) + f 0 (α) ψ(α) = 0. Противоречие. |{z} | {z } =0 =0 Вернёмся к доказательству теоремы. Пусть L/K− конечное расширение. Тогда L = K(α1 , . . . , αn ), то есть α1 , . . . , αn − базис для некоторых α1 , . . . , αn ∈ L. Действительно, возьмем α1 ∈ L \ K. Тогда K $ K1 = K(α1 ) ⊂ L. Далее, если K1 6= L возьмем α2 ∈ L\K1 . Тогда K $ K1 $ K2 = K1 (α2 ) ⊂ L. Продолжая процесс получим на некотором шаге Kn = Kn−1 (αn ) = L, поскольку степень расширения Ki /K растет с ростом номера i. Таким образом, надо показать, что для любых α1 , . . . , αn существует такой элемент α ∈ K(α1 , . . . , αn ), что K(α1 , . . . , αn ) = K(α). Проверим истинность утверждения для n = 2 (общий случай доказывается методом математической индукции по n аналогично доказательству теоремы о башне расширений полей). Рассмотрим конечное расширение L/K = K(γ, δ)/K, где K(γ) 6= L, K(δ) 6= L. Пусть pγ , pδ − соответствующие минимальные многочлены. Пусть далее, Γ = {β ∈ L | pγ (β) = 0}, ∆ = {β ∈ L | pδ (β) = 0}, где L− алгебраическое замыкание поля L. Так как Γ, ∆− конечные множества, а поле K− бесконечно (char K = 0), то существует такой элемент a ∈ K, что θ = γ + aδ 6= γ 0 + aδ 0 для любых γ 0 ∈ Γ, δ 0 ∈ def ∆, δ 0 6= δ. Положим f (x) = pγ (θ − ax). Тогда f (x) ∈ K(θ)[x], f (δ) = pγ (θ − aδ) = pγ (γ) = 0. Далее, для любого δ 0 ∈ ∆, δ 0 6= δ f (δ 0 ) = pγ (θ − aδ 0 ) 6= 0. | {z } 6=γ 0 ⇒∈Γ / Рассмотрим теперь многочлены f, pδ . У них имеется единственный общий корень в L, а именно δ (так как у pδ корни δ и все сопряжённые, а у f − δ и другие), причем, ввиду леммы − простой. Таким образом, (f, pδ ) = (x − δ). Так как f, pδ ∈ K(θ)[x], то (f, pδ ) ∈ K(θ)[x]. Следовательно, δ ∈ K(θ). Поскольку γ = θ − aδ ∈ K(θ), то K(γ, δ) ⊂ K(θ) ⇒ K(γ, δ) = K(θ). Теорема 1.3.3. О строении простого трансцендентного расширения. Пусть α− трансцендентный элемент над K. Тогда существует изоморфизм полей ϕ : K(x) → K(α) такой, что: ϕ(a) = a для любого a ∈ K. Доказательство. Пусть f def f (α) . ϕ( ) = g g(α) 17

Так как α трансцендентный элемент над K, то есть не является корнем никакого ненулевого многочлена, то g(α) 6= 0. Далее, f h f (α) h(α) = ⇔ f e = gh ⇒ f (α)e(α) = g(α)h(α) ⇒ = | {z } g e g(α) e(α) :g(α)e(α) Таким образом, ϕ− корректно определенное отображение из поля дробно рациональных функций в поле K(α). Кроме того, для многочлена нулевой степени a ∈ K[x] из определения ϕ следует: ϕ(a) = a. Ввиду предложения "О строении простого расширения ϕ-сюръективно. Далее, f h f (α) h(α) ϕ( ) = ϕ( ) ⇒ = ⇒ f (α)e(α) = g(α)h(α) ⇒ g e g(α) e(α) ⇒ (f e − gh)(α) = 0 α−трансцендентный ⇒ f e − gh = 0 ⇒ f h = . g e Следовательно, ϕ− инъективно, а значит и биективно. Далее, ϕ( f h f e + gh f (α)e(α) + g(α)h(α) f (α) h(α) f h + ) = ϕ( )= = + = ϕ( ) + ϕ( ), g e ge g(α)e(α) g(α) e(α) g e ϕ( fh fh f (α)h(α) f h ) = ϕ( ) = = ϕ( )ϕ( ). ge ge g(α)e(α) g e 18

1.4. Алгебраические расширения полей. Теорема 1.4.1. Пусть L/K -расширение поля K. (L/K)alg −множество всех алгебраических элементов, взятых над полем K, то есть def (L/K)alg = {α ∈ L | α − алгебраический элемент над K}. Тогда (L/K)alg − поле. Доказательство. Пусть α, β ∈ (L/K)alg Следствие из теоремы "О строении простого алгебраического расширения ⇒ Теорема "О башне расширений полей deg K(α)(β)/K(α) < ∞ ⇒ ⇒ deg K(α)/K, deg K(α)(β)/K < ∞ ⇒ deg K(α + β)/K, deg K(αβ)/K, deg K(αβ −1 )/K < ∞ α+β,αβ,αβ −1 ∈K(α)(β) ⇒ Конечное расширение алгебраическое ⇒ ⇒ α+β , αβ, αβ −1 ∈ (L/K)alg ⇒ (L/K)alg − поле. Определение 1.4.1. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. Вопрос о существовании трансцендентных чисел был решен только во второй половине 19 века французким математиком Лиувиллем. В 1850-х годах он сформулировал необходимое условие для того, чтобы число было алгебраическим; соответственно, если это условие нарушается, то число заведомо трансцендентно. Смысл этого условия состоит в том, что иррациональное алгебраическое число нельзя "слишком хорошо"приблизить рациональными дробями. Поэтому, если мы найдём иррациональное число, которое можно "слишком хорошо"приблизить, оно будет не алгебраическим. Тем не менее данная методика недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа; в частности, она неприменима к числам e и π. Трансцендентность числа e была доказана французским математиком Ш. Эрмитом в 1873 году (созданный для этого метод до сих пор играет важную роль в теории чисел), а числа π− и неразрешимость задачи квадратуры круга немецким математиком Линдеманом в 1882 году. Определение 1.4.2. Множество всех алгебраических чисел (C/Q)alg является полем. Это поле обозначается Qalg и называется полем алгебраических чисел. Замечание 1.4.1. Отметим deg Qalg /Q = ∞. Действительно, предположим deg Qalg /Q = n ∈ N. Многочлен p = xn+1 − 2 ∈ Q[x]− неприводим над Q по √ критерию Эйзенштейна. Следовательно, p− минимальный многочлен для n+1 2. 19

Ввиду Следствия из теоремы "О строении простого алгебраического расшире√ ния deg Q( n+1 2)/Q = n + 1. Но √ n+1 Q( 2) ⊂ Qalg |{z} | {z } √ deg Q( n+1 2)/Q=n+1 deg Qalg /Q=n Противоречие. Пример алгебраического расширения deg Qalg /Q показывает, что теорема, обратная Теоремe 2.0.1. неверна: не всякое алгебраическое расширение является конечным. Теорема 1.4.2. Поле Qalg − счетно. Доказательство. Обозначим все многочлены над Q степени меньше или равной n Q[x]n = {f ∈ Q[x] | deg f ≤ n}. Существует биекция θ : Q[x]n → Q × Q × · · · × Q : | {z } (n+1)−раз def θ(a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ) = (a0 , a1 , . . . , an ). Следовательно, множество Q[x]n − счетно (произведение конечного числа счётных множеств счётно). Далее, множество всех корней многочленов из множества Q[x]n def = {α ∈ C | f (α) = 0, 0 6= f ∈ Q[x]n } Qalg n является объдинением счетного числа конечных множеств ( корней f ∈ Q[x]n ). Следовательно, множество Qalg n − счетно. Далее, множество [ Qalg Qalg = n n∈N является объдинением счетного числа счетных множеств (корней Qalg n ). Следовательalg но, множество Qn − счетно. Следствие 1.4.1. Множество трансцендентных чисел несчетно. Доказательство. Множество вещественных чисел R несчетно. Следовательно, множество комплексных чисел C также несчетно. Ввиду только что доказанной теоремы, множество трансцендентных чисел C \ Qalg − несчетно. Доказательство несчетности трансцендентных чисел сравнением мощностей C и Q ( а, следовательно, также и существование трансцендентных чисел) было получено немецким математиком Г. Кантором в конце 19 века. alg Теорема 1.4.3. Поле Qalg алгебраически замкнуто, то есть всякий многочлен имеет хотя бы один корень в Qalg . 20

Доказательство. Пусть f = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Qalg , a0 6= 0, n ∈ N. Пусть Q ⊂ K0 = Q(a0 ) ⊂ K1 = K0 (a1 ) ⊂ · · · ⊂ Ki = Ki−1 (ai ) ⊂ · · · ⊂ Kn = Kn−1 (an ). Тогда для любого i, если ai − алгебраический элемент над Q ⇒ ai − алгебраический элемент над Ki−1 ⇒ Следствие из теоремы "О строении простого алгебраического расширения ⇒ Теорема "О башне расширений полей ⇒ deg Ki /Ki−1 < ∞ deg Kn /Q < ∞. Пусть α ∈ C− корень f . Так как a0 , a1 , . . . , an ∈ Kn , то f ∈ Kn [x] и α− алгебраический элемент над Kn . Следовательно, deg Kn (α)/Kn < ∞, а значит (по теореме "О башне расширений полей") deg Kn (α)/Q < ∞. Таким образом, расширение Kn (α)/Q конечно, а значит является алгебраическим расширением (по доказанному ранее). Так как α ∈ Kn (α), то α− алгебраический элемент над Q. Таким образом, существует корень f в Qalg . 21

2. Поля ненулевой характеристики. 2.1. p -степень суммы. Пусть K – поле характеристики p. Будем также обозначать 1K как 1, а 1K + 1K + · · · + 1K | {z } n−раз как n. Таким образом, любой биномиальный коэффициент Cnk будем отождествлять c элементом поля K. Тогда p! Cpk = =0 (p − k)!k! (действительно, простое число p делит числитель дроби и не делит знаменатель и при этом, данная дробь - целое число). Поэтому для любых произвольных f, g ∈ L, где L – расширение поля K, имеем: (2.1.1) (f + g)p = f p + Cp1 f p−1 g + · · · + Cpk f p−k g k + · · · + Cpp−1 f g p−1 + g p = f p + g p . |{z} |{z} | {z } =0 =0 =0 Поскольку для любых f1 , . . . , fm ∈ L m m−1 m−1 X X X p p 2.1.1 p ( fi ) = (( fi ) + fm ) = ( fi )p + fm , i=1 i=1 i=1 то по индукции получаем (2.1.2) m m X X p fip , fi ) = ( i=1 i=1 а значит, (2.1.3) m m X X r pr fi ) = fip , ( i=1 i=1 для любого r ∈ N. 22

2.2. Корни pk -степени из элементов поля. Предложение 2.2.1. Пусть α ∈ K. Для любого k ∈ N существует единственный √ s s+1 r корень β = p α ∈ K степени pr из α. При этом, если α ∈ K p \K p для некоторого s ≤ r, то deg K(β)/K = pr−s . √ r r Доказательство. Пусть β1 , β2 = p α ∈ K и пусть f = xp − α. Из формулы 2.1.3 следует r r f (x) = (x − β1 )p = (x − β2 )p . Ввиду однозначности разложения многочленов на неприводимые, получаем x − β1 = x − β2 ⇒ β1 = β2 . s s+1 Далее, пусть α ∈ K p \ K p для некоторого s ≤ r. Тогда δ = √ √ α∈K и pδ∈ / K. ps m Лемма 2.2.1. Пусть δ ∈ K \ K p . Тогда многочлен xp − δ неприводим над K для любого m ∈ N. Доказательство. Действительно, над алгебраическим замыканием K мы имеем разложение √ pm m pm xp − δ = (x − δ) . m Таким образом, любой делитель многочлена xp − δ имеет вид √ l pm g(x) = (x − δ) для некоторого l ≤ pm . Тогда l = pd l1 для некоторого d ≤ m и (l1 , p) = 1. Однако, δ ∈ K \ K p ⇒ δ l1 ∈ / Kp (действительно, 1 = l1 u + pv для некоторых целых u, v ∈ Z и, поэтому, если δ l1 = γ p для некоторого γ ∈ K, то δ l1 u = γ pu ⇒ δ = δ 1 = δ l1 u δ pv = γ pu δ pv ∈ K p ; противоречие). Свободный член g(x) равен p √ m−d pm (δ l1 ) ∈ / K, ( δ )l = p m а значит, g(x) ∈ / K[x]. Поэтому многочлен xp − δ неприводим над K, так как у него нет делителей из K. r−s Ввиду леммы 2.2.1 многочлен xp − δ неприводим над K. Поскольку корень мно√ √ r−s r−s r гочлена xp − δ совпадает с β = p δ = p α, то по теореме о строении простого алгебраического расширения получаем r−s deg K(β)/K = deg(xp − δ) = pr−s . 23

2.3. Нулевые производные. Пусть f (x) = an1 xn1 + an2 xn2 + · · · + ank xnk + c ∈ K[x] где n1 > n2 > · · · > nk > 0, c ∈ K, и пусть f 0 (x) = n1 an1 xn1 −1 + n2 an2 xn2 −1 + · · · + nk ank xnk −1 = 0. Тогда p = char K | n1 , · · · , p = char K | nk . Теперь из 2.1.2 получаем (2.3.1) f 0 = 0 ⇔ f = gp + c для некоторых g ∈ K[x], c ∈ K. 24

2.4. Сепарабельные многочлены. Определение 2.4.1. Неприводимый многочлен f ∈ K[x] над полем K называется сепарабельным, если он не имеет кратных корней в любом расширении поля K. Теорема 2.4.1. Неприводимый многочлен f ∈ K[x] над полем K является сепарабельным тогда и только тогда, когда f 0 6= 0. Доказательство. Пусть f 0 6= 0. Тогда (f, f 0 ) = 1 поскольку f – неприводимый многочлен. По теореме о линейном выражении наибольшего общего делителя, 1 = f (x)ϕ(x) + f 0 (x)ψ(x) для некоторых ϕ, ψ ∈ K[x]. Если α – кратный корень, то он также и корень производной, а значит 1 = f (α) ϕ(α) + f 0 (α) ψ(α) = 0. | {z } |{z} =0 =0 Противоречие. Значит f не имеет кратных корней в K. Пусть f 0 = 0. Ввиду 2.3.1 имеем f (x) = g(x)p + c для некоторых g ∈ K[x], c ∈ K. Из формулы 2.1.3 и предложения 2.2.1 получим √ f (x) = (g(x) + p c)p . Таким образом, корни f имеют кратность ≥ p. Следствие 2.4.1. Пусть K поле характеристики ноль, тогда любой неприводимый над K многочлен является сепарабельным. Пример 2.4.1. Пусть K = Fpr (y) – поле дробно рациональных функций над конечным полем Fpr . Многочлен f (x) = xp −y является неприводимым над K по критерию Эйзенштейна. Далее, пусть α ∈ K – корень многочлена f . Тогда (x − α)p = xp − Cp1 xp−1 α + · · · + (−1)k Cpk xp−k αk + · · · + Cpp−1 xαp−1 − αp . Так как p | Cpk для всех k < p, то Cpk = 0 в поле характеристики p. Поскольку α ∈ K – это корень f имеем (x − α)p = xp − αp = xp − y = f (x). Таким образом, α – корень кратности p и других корней у многочлена f нет. 25

√ Пример 2.4.2. Пусть K – поле характеристики p, α ∈ K, p α ∈ / K. Рассмотрим √ p расширение K( α). По Предложению 3.2.1. степень этого расширения равна p. По теореме о строении простого алгебраического расширения √ √ √ √ K( p α) = {a0 + a1 p α + a2 ( p α)2 + . . . + ap−1 ( p α)p−1 }, для любого ai ∈ K. Многочлен f (x) = xp − α является неприводимым над K по критерию Эйзенштейна, минимальным многочленом элемента α в данном расширении и имеет единственный корень кратности p согласно примеру выше. Таким образом, для всякого элемента из расширения минимальный многочлен имеет вид, представленный выше, следовательно, это несепарабельное расширение. 26

2.5. K-изоморфизмы полей. Определение 2.5.1. Пусть K – поле и пусть L/K, F/K – два его расширения. Изоморфизм полей σ : L → F называется K -изоморфизмом, если σ(α) = α для любого α ∈ K. Пусть K – поле, f ∈ K[x] – неприводимый над K многочлен степени n, α1 , . . . αn ∈ L корни многочлена f , содержащиеся в некотором расширении L/K. Пусть Li = K(αi ). По теореме о строении простого алгебраического расширения любой элемент β ∈ Li однозначно представим в виде β = gi,β (αi ) для некоторого gi,β ∈ K[x], deg gi,β < n. (2.5.1) Рассмотрим отображение σij : Li → Lj , определенное формулой: σij (β) := gi,β (αj ) для любого β = gi,β (αi ) ∈ Li . (2.5.2) Теорема 2.5.1. Отображение σij является K-изоморфизмом Li → Lj . Доказательство. Пусть β1 = gi,β1 (αi ), β2 = gi,β2 (αi ). Так как deg gi,β1 и deg gi,β2 < n, то deg(gi,β1 + gi,β2 ) < n. С другой стороны, β1 + β2 = gi,β1 (αi ) + gi,β2 (αi ) = (gi,β1 + gi,β2 )(αi ). Ввиду однозначности представления в виде 2.5.1, получам (gi,β1 + gi,β2 ) = gi,β1 +β2 . (2.5.3) Таким образом, def 2.5.3 σij (β1 + β2 ) = gi,β1 +β2 (αj ) = (gi,β1 + gi,β2 )(αj ) = = gi,β1 (αj ) + gi,β2 (αj ) = σij (β1 ) + σij (β2 ). Далее, пусть gi,β1 gi,β2 = f q + r – деление с остатком произведения gi,β1 gi,β2 на f . Тогда (2.5.4) β1 β2 = gi,β1 (αi )gi,β2 (αi ) = gi,β1 gi,β2 (αi ) = f (αi ) q(αi ) + r(αi ) = r(αi ). | {z } =0 Из равенств 2.5.2, 2.5.4 и неравенства deg r < n получаем r = gi,β1 β2 (αi ), а значит, σij (β1 β2 ) = gi,β1 β2 (αj ) = r(αj ) = f (αj ) q(αj ) + r(αj ) = | {z } =0 = (gi,β1 gi,β2 )(αj ) = gi,β1 (αj )gi,β2 (αj ) = σij (β1 )σij (β2 ). 27

Таким образом, σij : Li → Lj – гомоморфизм колец. Так как для β ∈ K ⊂ Li многочлен gi,β = β- это многочлен нулевой степени, то для β ∈ K имеем σij (β) = gi,β (αj ) = β. А значит, σij ненулевой гомоморфизм при котором все элементы поля K переходят в себя, а значит, σij –мономорфизм поля Li в поле Lj . Далее, gi,αi (x) = x, а значит, σij (αi ) = gi,αi (αj ) = αj . Поскольку все элементы поля Lj имеют вид gj,β (αj ) образ гомоморфизма σij – сюръективен, а значит, σij : Li → Lj – изоморфизм полей, постоянный на элементах поля K. Пример 2.5.1. Пусть K = Q – поле рациональных чисел, f = x3 − 2, L = Qalg . Тогда многочлен f имеет три различных корня в Qalg : √ √ √ 2π 2π 3 3 3 α1 = 2 ∈ R, α2 = 3 2, α3 = 23 2, где 3 = cos + i sin . 3 3 По теореме о строении простого алгебраического расширения √ √ √ 3 3 3 β ∈ Q( 2) ⇒ β = q2 ( 2)2 + q1 ( 2) + q0 для некоторых q2 , q1 , q0 ∈ Q. Отсюда g1,β (x) = q2 x2 + q1 x + q0 . Таким образом, при отображении σ12 : Q(α1 ) → Q(α2 ) имеем √ √ √ 3 3 3 σ12 (β) = g1,β (α2 ) = g1,β (3 2) = q2 23 4 + q1 3 2 + q0 . Замечание 2.5.1. Заметим, что при изоморфизме σ12 : Q(α1 ) → Q(α2 ) поле, содержащееся в поле вещественных чисел (а значит, упорядоченное) переводится в поле, не содержащееся в поле вещественных чисел. Однако, изоморфизм σ12 позволяет определить порядок и в Q(α2 ) по правилу −1 −1 α < β ⇔ σ12 (α) < σ12 (β). Упражнения 1. Пусть L/K, F/K два расширения поля K и пусть σ : L → F – произвольный K-изоморфизм. Пусть α ∈ L – корень многочлена f ∈ K[x]. Доказать, что f (σ(α)) = 0. Решение. Пусть f = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an . Тогда 0 = σ(0) = σ(f (α)) = σ(a0 αn + a1 αn−1 + · · · + an = a0 σ(α)n + a1 σ(α)n−1 + · · · + an = f (σ(α)). 28

2. Пусть | K |= pa для некоторого простого числа p и натурального числа a и пусть L/K – некоторое расширение. Доказать, что отображение ϕa : L → L, определенное формулой a ϕa (α) = αp является K – изоморфизмом поля L на некоторое подполе ϕa (L) ≤ L. a a Решение. Так как | K |= pa , то ch K = p = ch L. Далее, (α + β)p = αp + β p a a a a (ввиду 2.1.3) и (αβ)p = αp β p . Поэтому, ϕ : L → L – изоморфизм на некоторое подполе поля L. Поскольку | K |= pa , то | K ∗ |= pa − 1. По теореме a Лагранжа αp −1 a = 1 для любого α ∈ K ∗ , а значит, αp = α для любого α ∈ K. Таким образом, ϕ – K-изоморфизм на подполе L. Отметим, что K-изоморфизмы можно получить и подстановкой трансцендентных элементов. Пример 2.5.2. Пусть L = Q(x) – поле дробно рациональных функций, а F = Q(π) ≤ R – подполе поля вещественных чисел, порожденное трансцендентным числом π. Пусть σ : L → F – отображение, определенное формулой: σ( f (x) f (π) )= . g(x) g(π) Тогда σ – это изоморфизм полей. Действительно: σ( f1 (x) f2 (x) f1 (x)g2 (x) + f2 (x)g1 (x) + ) = σ( )= g1 (x) g2 (x) g1 (x)g2 (x) f1 (π)g2 (π) + f2 (π)g1 (π) f1 (π) f2 (π) f1 (x) f2 (x) = + = σ( ) + σ( ), g1 (π)g2 (π) g1 (π) g2 (π) g1 (x) g2 (x) f1 (x) f2 (x) f1 (x)f2 (x) σ( ) = σ( )= g1 (x) g2 (x) g1 (x)g2 (x) f1 (π)f2 (π) f1 (π) f2 (π) f1 (x) f2 (x) = = σ( )σ( ), g1 (π)g2 (pi) g1 (π) g2 (π) g1 (x) g2 (x) q q для любого q ∈ Q, q = ⇒ σ(q) = = q. 1 1 Упражнение. Пусть K = Q и пусть p – простое число, f = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1 ∈ Q[x]. Доказать, что a. f – неприводимый над Q многочлен, корни которого k = cos 2πk + i sin 2πk ,k = p p 1, . . . , p − 1; б. L = Lk = Q(k ) = Lm = Q(m ) для любых k, m; в. существует ровно p − 1 K-изоморфизм поля L на себя. Решение. Пусть y = x − 1. f = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1 = xp − 1 (y + 1)p − 1 = = y p−1 + Cp1 y p−2 + · · · + Cpp−1 . x−1 y 29

Так как Cpk = p! , (p−k)!k! то получается неприводимый многочлен по критерию Эйзенштейна. Была сделана замена y = x − 1, поэтому корнями многочлена являются всевозможные корни p−ой степени из 1, то есть k = cos 2πk 2πk + i sin , k = 1, . . . , p − 1. p p Так как p− простое число, то (k, p) = 1 при всех k = 1, . . . , p − 1 и любой корень может быть получен возведением в степень другого. Поэтому в любом расширении поля Q корнем p−ой степени из 1 будут содержатся все другие корни, следовательно, эти расширения будут совпадать. Зафиксировав любой корень и установив автоморфизм Q(k ) −→ Q(m ), то есть в себя (Теорема 2.5.1), будет существовать ровно p − 1 K-изоморфизм поля L на себя. 30

3. K-автоморфизмы полей 3.1. Группа Aut G. Определение 3.1.1. Пусть K – поле и пусть L – его расширение. K-изоморфизм полей ϕ : L → L называется K-автоморфизмом поля L. Пусть L – расширение поля K. Обозначим через AutK (L) – множество всех Kавтоморфизмов поля L. Теорема 3.1.1. Множество AutK (L) является группой относительно операции умножения. Доказательство. Как известно из общего курса алгебры, композиция изоморфизмов является изоморфизмом, а также тождественное отображение и обратное отображение к изоморфизму являются изоморфизмами. Далее, для K-изоморфизмов σ, τ ∈ AutK (L) σ ◦ τ (α) = σ(τ (α)) = σ(α) = α для любого α ∈ K, а значит, σ ◦ τ AutK (L). 31

3.2. Подполе неподвижных элементов LG . Пусть L – поле и G ≤ Aut L – некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов поля L. Положим def LG = {α ∈ L | σ(α) = α для любого σ ∈ G}. Упражнение 3.2.1. Доказать, что LG – подполе поля L. Решение. Если α, β ∈ LG , то  σ(α + β) = σ(α) + σ(β) = α + β σ(αβ) = σ(α)σ(β) = αβ ⇒ α + β, αβ ∈ LG . Поскольку 0 ∈ LG и −α ∈ LG для любого α ∈ LG , то LG – подполе поля L. Ввиду упражнения 3.2.1 ниже будем называть LG – полем инвариантов группы G. Пусть K = LG -поле инвариантов группы G. Тогда G – это подгруппа AutK L ( это следует непосредственнно из определения группы AutK L). Однако в общем случае, G 6= AutK L. 32

3.3. Пример: AutK K(x). Пусть L = K(x) – поле дробно-рациональных функций. Для любой невырожденной матрицы σ ∈ GL2 (K) пусть ! a b −1 σ = ∈ GL2 (K). c d Положим ax + b . cx + d Определим теперь действие σ на поле L по формуле σ −1 (x) := σ( f ( ax+b ) f (x) def f (σ −1 (x)) ϕ(x) cx+d ) = = = , ax+b −1 g(x) g(σ (x)) ψ(x) g( cx+d ) т.е., в каждой дроби заменяя x на ax + b , cx + d и приводя полученнную четырехэтажную дробь к виду двухэтажной дроби, получим также элемент из L = K(x). Предложение 3.3.1. Отображение σ : L → L является K-автоморфизмом поля L = K(x). Доказательство. σ( f1 (x)g2 (x) + f2 (x)g1 (x) f1 (x) f2 (x) + ) = σ( )= g1 (x) g2 (x) g1 (x)g2 (x) = f1 (σ −1 (x))g2 (σ −1 (x)) + f2 (σ −1 (x))g1 (σ −1 (x)) = g1 (σ −1 (x))g2 (σ −1 (x)) = f1 (σ −1 (x)) f2 (σ −1 (x)) f1 (x) f2 (x) + = σ( ) + σ( ), −1 −1 g1 (σ (x)) g2 (σ (x)) g1 (x) g2 (x) σ( f1 (x) f2 (x) f1 (σ −1 (x))f2 (σ −1 (x)) )= = g1 (x) g2 (x) g1 (σ −1 (x))g2 (σ −1 (x)) f1 (σ −1 (x)) f2 (σ −1 (x)) f1 (x) f1 (x) = σ( )σ( ). −1 −1 g1 (σ (x)) g2 (σ (x)) g1 (x) g1 (x) Таким образом, σ – гомоморфизм колец. Поскольку = x→ a dx−b + b ax + b (ad − bc)x → −cx+a = =x dx−b cx + d ad − bc c −cx+a + d отображение σ : L → L -обратимо, а значит, является автоморфизмом поля L. Из определения действия σ следует, что это отображение тождественно на постоянных функциях, т.е. на элементах поля K. Таким образом, σ ∈ AutK L. 33

Далее, пусть τ ∈ GL2 (K). Тогда στ ( f ((στ )−1 (x)) f (τ −1 (σ −1 (x))) f (x) f (x) )= = = σ(τ (( )). −1 −1 −1 g(x) g((στ ) (x)) g(τ (σ (x))) g(x) Поэтому, имеем гомоморфизм θ : GL2 (K) → AutK L, определенный формулой θ(σ)(( f (x) f (σ −1 (x)) )) = . g(x) g(σ −1 (x)) Ядро этого гомоморфизма ! a b −1 ax + b = x}. Ker θ = {σ = ( ) | cx + d c d Так как то ax + b = x ⇔ a = d, b = c = 0, cx + d ! a 0 Ker θ = { )} = Z(GL2 (K)) 0 a и Im θ = GL2 (K)/Z(GL2 (K)) = PGL2 (K). Теорема 3.3.1. PGL2 (K) ≈ Im θ = AutK L. Доказательство. Пусть σ : K(x) некоторый K-автоморфизм. Тогда (3.3.1) σ(x) = f (x) , где f, g ∈ K[x]. g(x) Достаточно показать, что deg f, deg g ≤ 1. Действительно, в этом случае ax + b σ(x) = cx + d ! a b не могут быть пропорциональны ( иначе, c d и при этом, строки матрицы ! a b σ(x) ∈ K), а значит, ∈ GL2 (K) и соответствующее отображение σ −1 : L → L c d содержится в образе гомоморфизма θ. Пусть σ −1 (x) = ϕ(x) , где ϕ, ψ ∈ K[x]. ψ(x) 34

Можно считать ( f, g) = 1, (ϕ, ψ) = 1. (3.3.2) Далее, −1 x = σ ◦ σ (x) = (3.3.3) ϕ(x) f ( ψ(x) ) ϕ(x) ) g( ψ(x) . Лемма 3.3.1. Многочлены f, g, ϕ, ψ имеют вид a(x − α)r для некоторых a, α ∈ K, r ∈ N. Доказательство. Предположим α, β ∈ K – корни ϕ(x). Ввиду 3.3.2, ϕ(α) ϕ(β) = = 0. ψ(α) ψ(β) Из 3.3.3 получаем ϕ(α) f ( ψ(α) ) ϕ(β) f ( ψ(β) ) f (0) α = ϕ(α) = = ϕ(β) = β. g(0) g( ψ(α) ) g( ψ(β) ) Следовательно, многочлен ϕ может иметь только один корень. Аналогичные рассуждения показывают, что многочлен f может иметь только один корень. Рассматривая дробь x1 вместо x в 3.3.3 получаем аналогичный результат для g, ψ. Пусть a(x − α)r (x − α)r a ϕ(x) = = c для некоторых α 6= β ∈ K, a, b, c = ∈ K, r, s ∈ N. s s ψ(x) b(x − β) (x − β) b Случай 1. Пусть r 6= s и пусть r или s > 1. Рассмотрим уравнение c (x − α)r (x − α)r d = d ⇔ = = µ. s s (x − β) (x − β) c Умножив обе части на (x − β)s и перенося правую часть в левую, получим (x − α)r − µ(x − β)s = h(x). (3.3.4) Так как r 6= s и r или s > 1, то deg h = t = max{r, s} > 1 и h(x) 6= e(x − γ)t при некотором µ. (Действительно, предположим, h(x) = e(x − γ)t . Можно считать r > s. Тогда h(x) = (x − γ)r = (x − α)r − µ(x − β)s ⇒ (x − α)r − (x − γ)r = µ(x − β)s ⇒ ⇒ r X k (−1) Crk (αk k − γ )x r−k k=1 s X = µ( (−1)l β l Csl xs−l . l=0 35

Можно считать, что µ 6= 0. Тогда α 6= γ, а значит, левая часть равенства имеет степень r − 1 и должна совпадать с правой частью, которая имеет степень s. Таким образом, r − 1 = s и (−1)Cr1 (α − γ) = (−1)r(α − γ) = µ ⇒ γ = µ + rα . r Приравнивая коэффициенты, получаем (−1)r (αr − γ r ) = (−1)r−1 µβ r−1 . Таким образом, µ должно удовлетворять алгебраическому уравнению степени r: µ + rα r ) ) = (−1)r−1 µβ r−1 r при фиксированных α 6= β. При доказательстве, того факта, что автоморфизм σ : K(x) → K(x), определенный формулой 3.3.1, задан линейными многочленами f, g, мы можем рассматривать вместо поля K любое его расширение, на котором σ определяется как тождественный автоморфизм. Поэтому мы можем считать, что в поле K число элементов > r + 1 и, следовательно, не все элементы µ этого поля удовлетворяют уравнению 3.3.5. Поэтому, h(x) 6= e(x − γ)t ). Таким образом, многочлен h(x) имеет по крайней мере два разных корня ς 6= ζ ∈ K. Так как корни h не совпадают с β, получаем из 3.3.4 (3.3.5) (−1)r (αr − ( c (ς − α)r (ζ − α)r = c , (ς − β)s (ζ − β)s а значит, функция (x − α)r ϕ(x) =c :K→K ψ(x) (x − β)s не является инъективной и не может иметь обратную, что противоречит определению σ −1 . Таким образом, в случае 1, когда r 6= s имеем r, s ≤ 1. Случай 2. Пусть r = s > 1. Тогда σ −1 (x) = √ ϕ(x) (x − α)r x−α r r = ( c =c ). r ψ(x) (x − β) x−β Можно считать, как было сказано выше, что вместо поля K рассматривается поле √ √ K := K( n c), т.е. можно считать, что n c ∈ K. Положим √ x−α y := r c . x−β √ r √ r cα Тогда K(x) = K(y) поскольку y = cx− выражается дробно-рациональной функx−β цией, числитель и знаменатель которой имеют степень ≤ 1. Очевидно, что многочлен X − y r неприводим над полем K(y r ) ( критерий Эйзенштейна) и поэтому, deg K(y)/K(y r ) = r, а значит, поле K(y r ) = K(σ −1 (x)) 6= K(y) = K(x) и σ −1 не 36

является автоморфизмом K(x). Противоречие. Таким образом, и в данном случае получаем r = s = 1. Мы получили неравенства deg ϕ, deg ψ ≤ 1. Аналогично получаем deg f, deg g ≤ 1. Теорема доказана. Пример 3.3.1. Пусть ch K = 0 и пусть ! 1 k U ={ | k ∈ Z} ≤ GL2 (K), 0 1 и пусть U = θ(U ) ≤ AutK L. Тогда для σ= θ(σ)(x) = Пусть f (x) g(x) 1 k 0 1 ! x+k = x + k. 0x + 1 ∈ LU тогда f (x) f (x + k) = ⇒ f, g ∈ K, g(x) g(x + k) а значит, LU = LAutK L = K. 37

3.4. Конечные расширения конечных полей. Пусть K – конечное поле характеристики p. Тогда Fp = Z/pZ ⊂ K и K является конечномерным линейным пространством над Fp . Пусть n = dim K/Fp . Тогда существует базис e1 , . . . en линейного пространства K и любая линейная комбинация базиса с коэффициентами из Fp – это однозначно определенный элемент поля K. Число таких комбинаций равно | Fp |n = pn . Таким образом, | K |=| Fp |dim K/Fp = pn . (3.4.1) Теорема 3.4.1. Для любого натурального n существует единственное расширение K/Fp степени n. При этом, группа Aut K является циклической группой порядка n, порожденной автоморфизмом F r : K → K, F r(α) = αp . Группа Aut K совпадает с группой AutFp K и | AutK |= n. Доказательство. Лемма 3.4.1. Пусть F – произвольное поле, d ∈ N – натуральное число. Тогда группа Cd = {α ∈ F | αd = 1} является циклической. 0 Доказательство. Можно считать, что существует элемент α ∈ Cd такой что αd 6= 1 для любого d0 < d ( в противном случае можно заменить d на некоторое число d0 < d). Таким образом, α, α2 , . . . αd−1 , αd = 1 – различные корни многочлена xd − 1 ∈ F [x]. Поскольку любой элемент группы Cd является корнем этого же уравнения, а число его корней равно d, то Cd = α, α2 , . . . αd−1 , αd = 1 – циклическая группа. Пусть deg K/Fp = n. Из 3.4.1 получаем | K ∗ |= pn − 1. (3.4.2) n По теореме Лагранжа αp −1 = 1 для любого α ∈ K ∗ . Ввиду леммы 3.4.1, K ∗ – это циклическая группа порядка pn − 1. Пусть теперь deg K 0 /Fp = n. Если K 0 6= K, то существует ∈ K 0 , ∈ / K. Таким образом, группа Cpn −1 поля K() не является циклической, так как элемент не лежит в K, но этой же степени. Это противоречит лемме 3.4.1. Таким образом, расширение K/Fp степени n – единственно. Теперь докажем существование расширения степени n. Рассмотрим многочлен n Υ(x) = xp − x. 38

Поскольку Υ(x)0 = −1 6= 0 многочлен Υ(x) не имеет кратных корней в Fp . Пусть MΥ ⊂ Fp – множество корней Υ. Тогда n MΥ = {α ∈ Fp | αp = α}, | MΥ |= pn . n n Заметим, что α, β ∈ MΥ ⇒ α + β, αβ, αβ −1 ∈ MΥ . Действительно, αp = α, β p = β. n n n (α + β)p = αp + β p = α + β; n n n (αβ)p = αp β p = αβ; n αp α α pn ( ) = pn = . β β β Cледовательно, множество Mγ является подполем в Fp содержащим поле Fp и состоящим из pn элементов. Поэтому deg Mγ /Fp = n. Далее, F r – это Fp –изоморфизм поля K и (F r)n – тождественное отображение на K ( см.Упражнение 2, параграфа:"K-изоморфизмы"). Таким образом, | hF ri |= n. Пусть K = hαi тогда Fp (α) = K. По теореме о строении простого алгебраического расширения минимальный многочлен pα ∈ Fp [x] имеет степень n, а значит, не более n различных корней α = α1 , . . . , αm , m ≤ n. Любой Fp -автоморфизм σ : Fp (α) → Fp (α) переводит σ(α) = αi и при этом, однозначно определяется этим корнем αi . Таким образом, существует не более n Fp автоморфизмов поля K. Так как | hF ri |= n и всякий автоморфизм поля оставляет неподвижными элементы простого подполя, то hF ri = Aut K = AutFp K. Следствие 3.4.1. Пусть K– конечное поле, состоящее из pn элементов. Тогда для любого натурального m существует единственное расширение L/K степени m. При этом, группа AutK L является циклической группой порядка p, порожденной автоморфизмом m m F rp : L → L, F r(α) = αp . Доказательство. Существует единственное поле L, число элеметов которого равно m pmn , а группа всех автоморфизмов порождается F r. Пусть G = hF rp i. Тогда m LG = подполе, состоящее из элементов, удовлетворяющих условию αp = α, а это в точности поле K. 39

Определение 3.4.1. Автоморфизм поля характеристики p вида α → αp называется автоморфизмом Фробениуса. 40 m

3.5. Конечная группа автоморфизов. Пусть G ≤ Aut L – конечная группа автоморфизмов, а K = LG . Пусть далее α ∈ L и пусть Gα := {σ ∈ G | σ(α) = α} – стабилизатор α. Далее, пусть G= q [ gi Gα i=1 – разложение G на левые смежные классы по подгруппе Gα . Положим Y (3.5.1) pα (x) = (x − gi (α)). i Из равенства gi (α) = gj (α) следует gj−1 gi (α) = α, т.е. gj−1 gi ∈ Gα . Поэтому все корни многочлена pα различны. Предложение 3.5.1. Многочлен pα является минимальным многочленом элемента α над полем K. При этом, многочлен pα является сепарабельным и deg pα = q = |G| . | Gα | Доказательство. Для любого элемента γ ∈ G и для любого gi существуют элемент gj такой, что γgi = gj σj для некоторого σj ∈ Gα . Следовательно, γg1 = gi1 σi1 , γg2 = gi2 σi2 , . . . , γgq = giq σiq для некоторых gis и некоторых σis ∈ Gα . При этом, γgi , γgj содержатся в разных левых смежных классах по подгруппе Gα , т.е. ! 1 2 ··· q i1 i2 · · · iq –это подстановка интервала [1, q]. Поскольку gis σis (α) = gis (α) для любого s = 1, . . . , q, действие любого элемента γ ∈ G на элементы последовательности g1 (α), g2 (α), . . . , gq (α) приводит к перестановке этой последовательности, а значит сохраняет все значения стандарных симметрических многочленов s1 (α1 , . . . , αq ), s2 (α1 , . . . , αq ), . . . , sq (α1 , . . . , αq ), которые по теореме Виета совпадают с точностью до знака с коэффициентами многочлена p(x). Следовательно, p(x) ∈ K[x]. Далее, пусть f ∈ K[x] – многочлен, корнем 41

которого является α. Для любого σ ∈ G элемент σ(α) – также корень f (см. Упражнение 1. K-изоморфизмы полей). Следовательно, pα | f . Таким образом, pα – минимальный многочлен для α. Остальные утверждения непосредственно вытекают из построения pα . Следствие 3.5.1. Любое промежуточное подполе K⊂F ⊂L является простым алгебраическим расширением поля K, т.е. F = K(β) для некоторого β ∈ L. В частности, и само поле L – простое алгебраическое расширение поля K. Доказательство. Если K – конечное поле, то утверждение следует из следствия 3.4.1. Поэтому будем считать, что поле K – бесконечно. В этом случае, для любых α, β ∈ L, для которых pα , pβ – сепарабельные многочлены, существует такой элемент γ ∈ L, что K(α, β) = K(γ) (см. доказательство теоремы о примитивном элементе). Ввиду предложения 3.5.1 все элементы поля L – алгебраические над K и их минимальные многочлены сепарабельны. При этом, степень всех таких многочленов ограничена порядком группы G. Поэтому, если α ∈ F – такой элемент, у которого степень deg K(α)/K является максимально возможной, то K(α) = F . Следствие 3.5.2. Для любой подгруппы H ≤ G deg L/LH =| H | . Доказательство. Из предыдущего следствия и предложения 3.5.1 получаем L = |G| . C другой стороны, σ(l) = l для любых σ ∈ Gα и l ∈ L. K(α) и deg L/K = q = |G α| Поскольку G ≤ AutL, то Gα = 1, а значит, (3.5.2) deg L/K =| G | . Пусть F = LH . Тогда заменяя H := G, F := K, получаем требуемый результат из 3.5.2. Пусть G = {H ≤ G} – множество всех подгрупп группы G, а L/K = {F | K ≤ F ≤ L} – множество промежуточных подполей расширения L/K. Пусть, далее, [ : G →→ L/K – отображение, определенное формулой [(H) = LH . 42

Теорема 3.5.1. Отображение [ является биективным. Доказательство. Пусть \ : L/K → G – отображение, определенное формулой \(F ) = H(F ) := {σ ∈ G | σ(f ) = f для любого элемента f ∈ F }. Пусть \ [ H → F = LH → H(F ). Из определения следует H ≤ H(F ). Следовательно, F ≤ LH(F ) ≤ F = LH ⇒ LH = LH(F ) следствие 3.5.2 ⇒ H = H(F ). Далее, пусть F ∈ L/K и пусть F = K(β). Тогда F = LGβ . Далее, \ [ LGβ = F → H(F ) → F 0 = LH(F ) . Тогда Gβ ≤ H(F ) ≤ Gβ ⇒ Gβ = H(F ) ⇒ F = F 0 . Таким образом, [ ◦ \, \ ◦ [ – тождественные отображения, а значит, [ – биекция. 43

4. Список литературы 1. Ленг, С. Алгебра: учебник / С. Ленг. - Москва: Мир, 1968. - 572 с. 2. Постников, М.М. Теория Галуа / М.М. Постников. - Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. - 219 с. 3. Гордеев, Н.Л. Многочлены и расширения полей: курс лекций / Н.Л. Гордеев. Санкт-Петербург: РГПУ им. А. И. Герцена, 2019. - 59 с. 44