Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
êàôåäðà òåîðèè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ýëåêòðîôèçè÷åñêîé àïïàðàòóðîé
Ïîíîìàðåâ Âëàäèìèð Àíäðååâè÷
Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà
Ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé â ñëîæíûõ ñòðóêòóðàõ
Íàïðàâëåíèå 09.06.01
Ñèñòåìíûé àíàëèç, èíôîðìàòèêà è óïðàâëåíèå
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê,
ïðîôåññîð
Îâñÿííèêîâ Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷
Ðåöåíçåíò
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê,
ïðîôåññîð
Âîðîãóøèí Ìèõàèë Ôåîôàíîâè÷
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2018
Ñîäåðæàíèå
1
2
Ââåäåíèå
Ðàçðàáîòêà ïðîãðàìíîãî ìîäóëÿ ðàñ÷åòà ïîëåé
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Èñïîëüçóåìûå ìåòîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Îïðåäåëåíèå ãðàíè÷íûõ òî÷åê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Ñîñòàâëåíèå ÑËÀÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Ðåçàííûå ÿ÷åéêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
ðåøåíèå ÑËÀÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.1
Ìåòîä ðåëàêñàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.2
Ìåòîä ñîðïÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.3
Îñîáåííîñòè ðåàëèçàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.4
Ïðîâåðêà ðåçóëüòàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Ðàñ÷åò íàïðÿæåííîñòè â îáëàñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1
4
4
2.1
2.3
3
3
Ïðîâåðêà ðåçóëüòàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
LEPTA
14
3.1
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3
Àíàëèç ïîëåé Ex è Ey âäîëü îñè ëîâóøêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4
Àíàëèç âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ íà îñè ëîâóøêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5
Àïïðîêñèìàöèÿ âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Çàêëþ÷åíèå
32
2
1
Ââåäåíèå
Îäíîé èç àêòóàëüíûõ çàäà÷ ñîâðåìåííîé ôèçèêè ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîçèòðîííûõ ïó÷êîâ.
Ïðîåêò LEPTA (Low Energy Particle Toroidal Accumulator) íàïðàâëåí íà èññëåäîâàíèÿ â ýòîé îáëàñòè. Äëÿ
óäåðæàíèÿ è íàêîïëåíèÿ àíòèâåùåñòâà èñïîëüçóþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå ëîâóøêè. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé
ëîâóøêîé ÿâëÿåòñÿ ëîâóøêà Ïåííèíãà-Ìàëìáåðãà. Íå ñìîòðÿ íà îãðîìíîå ðàçâèòèå ëîâóøåê, íå âñå ïðîöåññû, âëèÿþùèå íà íàêîïëåíèå ÷àñòèö, èçó÷åíû. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ÷àñòèö è ïîëåé â ëîâóøêå
ïîçâîëèò îïòèìèçèðîâàòü ïðîöåññ íàêîïëåíèÿ ïîçèòðîíîâ.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíî ìíîãî ïðîãðàìì è ïðîãðàììíûõ êîìïëåêñîâ äëÿ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ. Íî
âñå îíè, â îñíîâíîì, èñïîëüçóþò îäèíàêîâûå ìåòîäû, áåç âîçìîæíîñòè îïòèìèçàöèè ïîä ôèçè÷åñêèå îñîáåííîñòè óñòàíîâîê äëÿ êîòîðûõ ïðîèçâîäÿòñÿ ðàñ÷åòû.  ïîäõîäÿùèõ ïðîãðàììíûõ êîìïëåêñàõ íåò âîçìîæíîñòè
èñïîëüçîâàíèÿ íóæíîé òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ èëè îïòèìèçèðîâàòü ðåàëèçîâàííûå â íèõ ìåòîäû ïîä àðõèòåêòóðó
èñïîëüçóåìûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ.
Èñïîëüçîâàíèå ñðàçó íåñêîëüêèõ ïðîãðàììíûõ êîìïëåêñîâ äëÿ îäíîãî ðàñ÷åòà (íàïðèìåð, äëÿ ðàñ÷åòà äèíàìèêè ïó÷êà çàðÿæåííûõ ÷àñòèö âíåøíèå ïîëÿ ðàñ÷èòûâàòü â îäíîé ïðîãðàììå, à äèíàìèêó ïó÷êà - â äðóãîé)
íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì èç-çà ðåçêî âîçðàñòàþùåé ñëîæíîñòè.
Íà îñíîâàíèè âñåãî âûøåèçëîæåííîãî áûëî ïðèíÿòî ðåøåíèå î ðàçðàáîòêå ïðîãðàìíîãî êîìïëåêñà, â êîòîðîì ðåàëèçîâàíû íåîáõîäèìûå ÷èñëåííûå ìåòîäû, à òàê æå áûëà áû âîçìîæíîñòü âûáîðà òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ,
îïòèìèçàöèÿ ìåòîäîâ ïîä îñîáåííîñòè âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà à òàê æå àðõèòåêòóðó âû÷èñëèòåëüíûõ
ðåñóðñîâ.
3
2
Ðàçðàáîòêà ïðîãðàìíîãî ìîäóëÿ ðàñ÷åòà ïîëåé
2.1
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïóñòü G = G ∪ ∂G çàìêíóòàÿ îáëàñòü, ãäå ∂G = Γ1 ∪ Γ1 , U ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ρ ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè îáúåìíîãî çàðÿäà, 0 äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû, ~n âåêòîð íîðìàëè
ê êðèâîé, g(x1 , x2 ) íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì çàäà÷è ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà è
íàõîæäåíèÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â çàâèñèìîñòè îò èñïîëüçóåìîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Äâóìåðíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (x, y), êîìïîíåíòû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ex è Ey
∂2U
∂2U
ρ
+
= − , (x, y) ∈ G,
2
2
∂x
∂y
0
∂U
∂U
Ex = −
, Ey = −
, (x, y) ∈ G,
∂x
∂y
(2)
(3)
(x, y) ∈ Γ1 ,
U = g(x, y),
∂U
= 0,
∂~n
(1)
(4)
(x, y) ∈ Γ2 .
Äâóìåðíûå öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû (r, z) (àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé), êîìïîíåíòû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Er è Ez
∂U
∂2U
ρ
r
+
= − , (r, z) ∈ G,
∂r
∂z 2
0
∂U
∂U
, Ez = −
, (r, z) ∈ G,
Er = −
∂r
∂z
1 ∂
r ∂r
(6)
(7)
(r, z) ∈ Γ1 ,
U = g(r, z),
∂U
= 0,
∂~n
(5)
(8)
(r, z) ∈ Γ2 .
Ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (r, ϕ), êîìïîíåíòû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Er è Eϕ
1 ∂
∂U
1 ∂2U
ρ
r
+ 2
= − , (r, ϕ) ∈ G,
r ∂r
∂r
r ∂ϕ2
0
∂U
∂U
, Eϕ = −
, (r, ϕ) ∈ G,
Er = −
∂r
∂ϕ
(r, ϕ) ∈ Γ1 ,
U = g(r, ϕ),
∂U
= 0,
∂~n
(r, ϕ) ∈ Γ2 .
(9)
(10)
(11)
(12)
Òðåõìåðíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (x, y, z), êîìïîíåíòû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ex , Ey , Ez
∂2U
∂2U
∂2U
ρ
+
+
= − , (x, y, z) ∈ G,
2
2
2
∂x
∂y
∂z
0
∂U
∂U
∂U
Ex = −
, Ey = −
, Ez = −
(x, y, z) ∈ G,
∂x
∂y
∂z
(x, y, z) ∈ Γ1 ,
U = g(x, y, z),
∂U
= 0,
∂~n
(x, y, z) ∈ Γ2 .
4
(13)
(14)
(15)
(16)
2.2
Èñïîëüçóåìûå ìåòîäû
Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò áûë âûáðàí ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé. Îí
èìååò ðÿä ïðèåìóùåñòâ ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Êàê ïðàâèëî â ìåòîäå êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ
èñïîëüçóåòñÿ ðàçáèåíèå ðàñ÷åòíîé îáëàñòè íà òðåóãîëüíèêè (òåòðàýäðû â òðåõìåðíîì ñëó÷àå). Èç-çà ñëîæíûõ
îáëàñòåé ðàñ÷åòíàÿ ñåòêà ïîëó÷àåòñÿ íåîäíîðîäíîé, ÷òî âëå÷åò çà ñîáîé ðÿä ñëîæíîñòåé. Èç-çà òàêîé ñåòêè
ïîÿâëÿþòñÿ íåòî÷íîñòè è íåñòàáèëüíîñòè â ðåçóëüòàòàõ, îñîáåííî íà êðàÿõ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè. À òàê æå ñòîëü
íåîäíîðîäíàÿ ñåòêà óñëîæíÿåò ïðîöåññ ñèìóëÿöèè äèíàìèêè ïó÷êà ÷àñòèö.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðÿìîóãîëüíîé ñåòêè è ìåòîäà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé áîëüøèíñòâà ïðîáëåì, ñâÿçàííûõ ñ
êðàéíå íåîäíîðîäíîé ñåòêîé ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ìîæíî èçáåæàòü. Íî íà òàêîé ñåòêå áóäåò ïðîáëåìà â
òîì, ÷òî ñåòêà, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ, íå áóäåò ñîâïàäàòü ñ ãðàíèöàìè ðàñ÷åòíîé îáëàñòè, ÷òî âûçîâåò ïðîáëåìû
ñ òî÷íîñòüþ è ñòàáèëüíîñòüþ ðåçóëüòàòîâ íà ãðàíèöàõ îáëàñòè. Ýòà ïðîáëåìà ðåøàåòñÿ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà
ðåçàííûõ ÿ÷ååê.
Ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé â ñî÷åòàíèè ñ ìåòîäîì ðåçàíûõ ÿ÷ååê áîëåå ñòàáèëåí â ïðèãðàíè÷íûõ îáëàñòÿõ
(÷òî áóäåò ïîêàçàíî äàëåå), à òàê æå óïðîùàåò çàäà÷ó äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèö.
2.2.1
Îïðåäåëåíèå ãðàíè÷íûõ òî÷åê
Ïóñòü M = M1 ∪ M2 ∪ M3 - ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê, ãäå M1 - ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ òî÷åê ñåòêè, M2 - ìíîæåñòâî
íåðåãóëÿðíûõ òî÷åê ñåòêè, M3 - ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ òî÷åê ñåòêè. Ðåãóëÿðíûìè òî÷êàìè íàçûâàþòñÿ òî÷êè,
ó êîòîðûõ âñå ñîñåäíèå òî÷êè íå ÿâëÿþòñÿ ãðàíè÷íûìè. Íåðåãóëÿðíûìè òî÷êàìè íàçûâàþòñÿ òî÷êè, ó êîòîðûõ
åñòü õîòÿ áû îäíà ñîñåäíÿÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ãðàíè÷íîé. Ãðàíè÷íûìè òî÷êà - òî÷êà êîòîðàÿ ëèáî ëåæèò íà ãðàíèöå
ëèáî çà ãðàíèöåé ðàñ÷åòíîé îáëàñòè.
Ðèñ. 1: Ïðèìåð ðåãóëÿðíûõ(êðóãè), íåðåãóëÿðíûõ (êðåñòèêè) è ãðàíè÷íûõ òî÷åê (÷åðíûå òî÷êè). Ðèñóíîê âçÿò
èç [1]
Ãðàíè÷íûå òî÷êè, êîòîðûå ëåæàò çà ïðåäåëàìè îáëàñòè G îïðåäåëÿþòñÿ åùå íà ýòàïå ñîçäàíèÿ ñåòêè. Ãðàíè÷íûå Òî÷êè, êîòîðûå ëåæàò â îáëàñòè G è ñîîòâåòñòâóþò âíóòðåííèì ãðàíèöàì (íàïðèìåð, ãðàíèöû ñîîòâåò5
ñòâóþùèå êàòîäó èëè çàïèðàþùåé ñåòêå), îïðåäåëÿþòñÿ óæå ïîñëå ñîçäàíèÿ ñåòêè.
Ñíà÷àëà íàõîäÿòñÿ âñå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû ∂G è ñåòêè. Çàòåì äëÿ êàæäîé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ èùåòñÿ
òî÷êà ñåòêè, ïîìå÷åííàÿ êàê ãðàíè÷íàÿ. Åñëè òàêîé òî÷êè íåò, òî áëèæàéøàÿ òî÷êà ñåòêè ê òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ
ïîìå÷àåòñÿ êàê ãðàíè÷íàÿ. Ãðàíè÷íûì òî÷êàì çàïèñûâàåòñÿ ïàðàìåòðû, ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êå: ðåáðî ãðàíèöû,
òèï ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ, çíà÷åíèå ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ.
2.2.2
Ñîñòàâëåíèå ÑËÀÓ.
Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, èñïîëüçóåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ
ñõåìà êðåñò (ñì. ðèñ.2 ). [1]
Ðèñ. 2: Êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà êðåñò äëÿ äâóìåðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
Êîíå÷íî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü âèä:
äëÿ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò (äâóìåðíûé ñëó÷àé)
Ulef t + Uright − 2U0
Uup + Udown − 2U0
ρ
+
=
h2right
h2up
0
(17)
äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ (àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé) è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò
Uright − U0
Ulef t + Uright − 2U0
Uup + Udown − 2U0
ρ
+
+
=
r × hright
h2right
h2up
0
(18)
äëÿ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò (òðåõìåðíûé ñëó÷àé)
Udeep + Uoutward − 2U0
Ulef t + Uright − 2U0
Uup + Udown − 2U0
ρ
+
+
=
h2deep
h2right
h2up
0
2.2.3
(19)
Ðåçàííûå ÿ÷åéêè
Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ðåøåíèÿ áûë ïðèìåíåí ìåòîä ðåçàííûõ ÿ÷ååê. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ íåðåãóëÿðíûõ òî÷åê, èñïîëüçóåòñÿ ñõåìà êðåñò ñ íåîäèíàêîâûìè ðàññòîÿíèÿìè äî òî÷åê (ðèñ. 3). Íåðåãóëÿðíûå ðàñ6
ñòîÿíèÿ â ñõåìå âû÷èñëÿþòñÿ äî ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñåòêè è ãðàíèöû îáëàñòè. Òîãäà êîíå÷íîðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò) ïðèíèìàåò âèä:
2Uright
2Uup
2Ulef t
+
+
+
hlef t (hlef t + hright ) hright (hlef t + hright ) hup (hup + hdown )
2Udown
Uright − U0
2U0
2U0
ρ
+
+
−
−
=
hdown (hup + hdown )
r × hright
hup hdown
hup hdown
0
(20)
Ðèñ. 3: Ïðèìåð ñõåìû êðåñò äëÿ íåðåãóëÿðíîé òî÷êè ñåòêè
Äëÿ ñëó÷àÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Íåéìàíà ìåòîä ðåçàíûõ ÿ÷ååê íå ïðèìåíÿëñÿ èç-çà íåíàäîáíîñòè. Ãðàíèöû
ðàñ÷åòíîé îáëàñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì Íåéìàíà ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê, ÷òî áû îíè ñîâïàäàëè ñ ãðàíèöàìè ÿ÷ååê ñåòêè.
2.3
2.3.1
ðåøåíèå ÑËÀÓ
Ìåòîä ðåëàêñàöèè
Ìåòîäîì ðåëàêñàöèè [2]. Ôîðìóëà äëÿ ðåøåíèÿ ìåòîäîì ðåëàêñàöèè
X
X
ω
(k+1)
(k)
(k)
k+1
xi
= (1 − ω)xi +
bi −
aij xj ) −
aij xj
aii
j<i
j>i
(21)
Ãäå ω - ðåëàêñàöèîííûé êîýôôèöèåíò, aij - ìàòðèöà ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, bi - ëèíåéíûé âåêòîð, k èòåðàöèîííûé øàã. Ðåëàêñàöèîííûé êîýôôèöèåíò ω âû÷èñëÿëñÿ ïî ôîðìóëå
ω=
8−
√
64 − 16t2
t2
t = cos(π/Nx ) + cos(π/Ny )
(22)
ãäå Nx è Ny - êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòêè âäîëü îñåé êîîðäèíàò. Òàê êàê ðàñ÷åòíàÿ îáëàñòü â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ
èìååò ñëîæíóþ ôîðìó, òî áåðåòñÿ ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî óçëîâ âäîëü êàæäîé èç îñåé êîîðäèíàò
7
2.3.2
Ìåòîä ñîðïÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ
Äëÿ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ âûáèðàåòñÿ íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå
ri0 =
x0i
X
(23)
aij xj
(24)
j
zi0 = ri0
(25)
P k 2
(r )
α = P Pi i k k
i
j aij zj zi
(26)
Ïîñëå çàïóñêàåòñÿ èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
k
xk+1
= xki + αk zik
i
X
rik+1 = rik − αk
aij zjk
(27)
(28)
j
k
β =
k+1 2
)
i (ri
k
ri
P
zik+1 = rik+1 + β k zik
(29)
(30)
(31)
Íåëüçÿ îäíîçíà÷íî ñêàçàòü, ÷òî îäèí èç ìåòîäîâ ëó÷øå äðóãîãî. Ñ îäíèìè çàäà÷àìè ìåòîä ñîïðÿæåííûõ
ãðàäèåíòîâ ñïðàâëÿåòñÿ áûñòðåå, ñ äðóãèìè - ìåòîä ðåëàêñàöèè.
2.3.3
Îñîáåííîñòè ðåàëèçàöèè
ÑËÀÓ õðàíèòñÿ â íàáîðå âåêòîðîâ. Èíäåêñû òî÷åê, êîòîðûå çàäåéñòâîâàíû â óðàâíåíèè è èõ êîýôôèöèåíòû
çàïèñûâàþòñÿ â îòäåëüíûå âåêòîðà. Âñåãî 11 âåêòîðîâ: ups, downs, lefts, rights, middles èíäåêñû òî÷åê; c_ups,
c_downs, c_lefts, c_rights, c_middles êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ; lin_vect ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ.
Äëÿ äîñòèæåíèÿ ñêîðîñòè ðåøåíèÿ ÑËÀÓ çàïèñûâàëîñü íå â âèäå ìàòðèöû, à â âèäå âåêòîðîâ, òîãäà ôîðìóëà
äëÿ ìåòîäà ðåëàêñàöèè ïðèíèìàåò âèä (äëÿ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò, äâóìåðíûé ñëó÷àé):
x[middles[k]] = −(x[rights[k]] ∗ c_rights[k] + x[lef ts[k]] ∗ c_lef ts[k]+
+x[ups[k]] ∗ c_ups[k] + x[downs[k]] ∗ c_downs[k]) ∗ ω/c_middles[k]+
+(1 − ω) ∗ x[middles[k]] + ω ∗ vect[middles[k]]/c_middles[k]
(32)
Äî ýòîãî èñïîëüçîâàëàñü ðàçðÿæåííàÿ ìàòðèöà â ôîðìàòå CRS [5], íî îò íåå ïðèøëîñü îòêàçàòüñÿ â ïîëüçó
âåêòîðîâ èç-çà íåäîñòàòî÷íîé ñêîðîñòè âû÷èñëåíèé.
Êîä íàïèñàí òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñîçäàíèå êîäà äëÿ âû÷èñëåíèé â íîâîé äâóìåðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ìîæíî
îñóùåñòâèòü íàïèñàíèåì íåñêîëüêèõ ïðîñòûõ ôóíêöèé, âû÷èñëÿþùèõ êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ.
8
2.3.4
Ïðîâåðêà ðåçóëüòàòà
 êà÷åñòâå òåñòîâîãî ïðèìåðà áûëà âûáðàíà êâàäðàòíàÿ îáëàñòü ñ áîëüøèì êðóãëûì âûðåçîì ïî ñåðåäèíå. Ñòîðîíà êâàäðàòà ðàâíÿëàñü 0.10 M, äèàìåòð êðóãà 0.6 Ì. Íà âåðòèêàëüíîé ãðàíèöå ñëåâà ïîòåíöèàë ðàâåí 100
Ðèñ. 4: Òåñòîâàÿ ðàñ÷åòíàÿ îáëàñòü
Â, íà âåðòèêàëüíîé ãðàíèöå ñëåâà 0 Â. Íà ãðàíèöå âûðåçà, êðóãå - 50 Â. Íà íèæíåé è âåðõíåé ãîðèçîíòàëüíûõ
ãðàíèöàõ óñòàíîâëåíû åñòåñòâåííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Äëÿ ïðîâåðêè ðåçóëüòàòà áûëà âûáðàíà ëèíèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ðÿäîì ñ ãðàíèöåé, âäîëü êîòîðîé áóäóò ñòðîèòñÿ ãðàôèê ïîòåíöèàëà, ïî êîòîðîìó áóäåò ïðîèñõîäèòü
ñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ. Ýòà ëèíèÿ ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 5. Ñðàâíåíèå ïðîâîäèëîñü ñ ðàñ÷åòàìè â ïðîãðàììíîì êîìïëåêñå COMSOL. Ðàñ÷åò áåç èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ðåçàííûõ ÿ÷ååê è ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîâîäèëñÿ
íà ñåòêå ñ øàãîì â 0.001 Ì.
Ðèñ. 5: Ëèíèÿ, âäîëü êîòîðîé ñòðîÿòñÿ ãðàôèêè
9
Ðèñ. 6: ãðàôèê ïîòåíöèàëà, ïîñ÷èòàííîãî â COMSOL
Ðèñ. 7: ãðàôèêè ïîòåíöèàëà, ïîñ÷èòàííîãî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ðåçàííûõ ÿ÷ååê è áåç íåãî
2.4
Ðàñ÷åò íàïðÿæåííîñòè â îáëàñòè
 îáùåì ñëó÷àå íàïðÿæåííîñòü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå.
∂U
∂r
∂U
Ez =
∂z
Er =
(33)
Äëÿ ðàñ÷åòà íàïðÿæåííîñòè íà ñåòêå èñïîëüçóåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà âòîðîãî ïîðÿäêà.
Áûëî îïðîáîâàíû íåñêîëüêî ñïîñîáîâ íàõîæäåíèÿ íàïðÿæåííîñòåé ïîëåé â óçëàõ ñåòêè.
Ïðè âû÷èñëåíèè ïîòåíöèàëà â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ áûëè çàïèñàíû çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà, ñîîòâåòñòâóþùåãî
òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû ðàñ÷åòíîé îáëàñòè è ñåòêè (èç-çà èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ðåçàííûõ ÿ÷ååê ýòè òî÷êè
íå âñåãäà ñîâïàäàþò). Ïîëÿ ðàññ÷èòûâàþòñÿ â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû è ñåòêè ïî êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì
ôîðìóëàì, à çàòåì, çíà÷åíèÿ ïîëåé íà ãðàíèöå ýêñòðàïîëèðóþòñÿ â ãðàíè÷íûå òî÷êè.
Äëÿ âû÷èñëåíèé íàïðÿæåííîñòåé áûëè èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû (34)-(38), ïîëó÷åííûå èç ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà.[4]
10
Ðèñ. 8
0
fi−1
0
fi+1
1
(1 + δi+1 )2
fi+1
=
−(2 + δi+1 )fi−1 +
fi −
Hi
δi+1
δi+1
2
δ
−1
fi+1
1
−δi+1 fi−1 + i+1
fi +
fi0 =
Hi
δi+1
δi+1
2
1
(1 + δi+1 )
2 + δi+1
=
δi+1 fi−1 −
fi +
fi+1
Hi
δi+1
δi+1
Hi = hi + hi+1
δi+1 =
hi+1
hi
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
Äëÿ ðåãóëÿðíûõ òî÷åê (íà ðèñóíêå 8 ýòî òî÷êè 3, 4, n − 3, n − 2) èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà 39
fi0 =
fi−1 − fi+1
2h
(39)
Äëÿ íåðåãóëÿðíûõ òî÷åê, ó êîòîðûõ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà ñëåâà (íà ðèñóíêå 8 ýòî òî÷êà 2) èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà
36. Äëÿ íåðåãóëÿðíûõ òî÷åê, ó êîòîðûõ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà ñïðàâà (íà ðèñóíêå 8 ýòî òî÷êà n − 1) - ôîðìóëà 34.
Äëÿ ãðàíè÷íîé òî÷êè, ó êîòîðîé ãðàíèöà ñëåâà (íà ðèñóíêå 8 ýòî òî÷êà 1)
f10 =
h 0
0
0
(f
− fir
) + fir
h_ bound
(40)
Äëÿ ãðàíè÷íîé òî÷êè, ó êîòîðîé ãðàíèöà ñïðàâà (íà ðèñóíêå 8 ýòî òî÷êà n)
fn0 =
h 0
0
0
(f
− fir
) + fbound
h_ bound
(41)
0
0
Ãäå fbound
- çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè íà ãðàíèöå, fir
- çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè â íåðåãóëÿðíîé òî÷êå, h_ -
ðàññòîÿíèå îò íåðåãóëÿðíîé òî÷êè äî ãðàíèöû.  ñëó÷àå ñîâïàäåíèÿ ãðàíè÷íîé òî÷êè è ãðàíèöû íàïðÿæåííîñòü
áóäåò âû÷èñëÿòüñÿ ïî ôîðìóëàì (36),(34).
Ïðè äàííîì ïîäõîäå ïðîÿâëÿåòñÿ íåñòàáèëüíîñòü ðåçóëüòàòîâ, îñîáåííî ðÿäîì ñ ãðàíèöåé. Äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ñòàáèëüíîñòè, áûë îïðîáîâàí äóãîé ïîäõîä. Ñíà÷àëà çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà ýêñòðàïîëèðîâàëîñü â ãðàíè÷íóþ òî÷êó (êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå ëåæèò çà ãðàíèöåé ðàñ÷åòíîé îáëàñòè). Çàòåì âû÷èñëÿëèñü íàïðÿæåííîñòè
ïîëåé â óçëàõ ñåòêè.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ âû÷èñëåíèé íàïðÿæåííîñòåé â ðåãóëÿðíûõ è íåðåãóëÿðíûõ òî÷êàõ
èñïîëüçîâàëàñü ôîðìóëà (39) Äëÿ ãðàíè÷íûõ òî÷åê èñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëû (40) è (41)
Ýòîò ìåòîä îêàçàëñÿ ãîðàçäî áîëåå ñòàáèëüíûì, ÷åì îïèñàííûé ðàíåå.
Òàê æå äëÿ ïîâûøåíèÿ ñòàáèëüíîñòè ðàñ÷åòà áûëè èñïîëüçîâàíû êóáè÷åñêèå ñïëàéíû.
Cïëàéí ñòðîèëñÿ äëÿ êàæäîé íåãðàíè÷íîé òî÷êè ñåòêè.
11
Si (x) = ai + bi (x − xi ) +
di
ci
(x − xi )2 + (x − xi )3
2
6
(42)
Ïîñëå ïîñòðîåíèÿ ñïëàéíà ïî ïðîäèôôåðåíöèðîâàííîìó óðàâíåíèþ ñïëàéíà íàõîäèëàñü íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ. Ïî ãîðèçîíòàëüíûì ëèíèÿì âû÷èñëÿëàñü íàïðÿæåííîñòü Ex, à ïî âåðòèêàëüíûì Ey. Ðåçóëüòàò ñòàë áîëåå
ñòàáèëüíûì.
 äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàëèñü êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ, ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî âìåñòî øàãà ñåòêè áðàëñÿ
ïîëóòîðíûé øàã, à âìåñòî fi−1 è fi+1 fi−1.5 è fi+1.5 . Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà âû÷èñëÿëèñü ÷åðåç
ñïëàéíû. Ïîäîáíàÿ ñõåìà äàëà íàèáîëüøóþ ñòàáèëüíîñòü ðåçóëüòàòà.
Èñïîëüçîâàíèå ñïëàéíîâ íå äàëî çíà÷èòåëüíîãî ðåçóëüòàòà, à òîëüêî óñëîæíÿëî âû÷èñëåíèÿ.  êîíå÷íîì
èòîãå áûëî ïðèíÿòî ðåøåíèå èõ íå èñïîëüçîâàòü.
2.4.1
Ïðîâåðêà ðåçóëüòàòà
Äëÿ ïðîâåðêè ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà íàïðÿæåííîñòè ïîëåé áûë âçÿò òåñòîâûé ïðèìåð, òàêîé æå êàê è â ðàñ÷åòå
ïîòåíöèàëîâ. Ãðàôèêè íàïðÿæåííîñòè Ez ñòðîèëèñü âäîëü ïðÿìûõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêàõ 5 è 9. Ñðàâíèâàëèñü ìåòîäû íàõîæäåíèÿ íàïðÿæåííîñòåé ïî ïîòåíöèàëó, íàéäåííîìó ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ðåçàííûõ
ÿ÷ååê.
Ðèñ. 9: Ëèíèÿ, âäîëü êîòîðîé ñòðîÿòñÿ ãðàôèêè
Ãðàôèêè, ïîëó÷åííûå â ñðåäå COMSOL
12
á
à
Ðèñ. 10: Ãðàôèêè, ïîëó÷åííûå â ñðåäå COMSOL
Ðèñ. 11: Ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé äëÿ ñåòêè 0.001 ì.
Èç ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûå â Daizy ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ ðåøåíèåì, ïîëó÷åííûì â
COMSOL.
13
3
LEPTA
Ïðîåêò LEPTA áûë çàïóùåí â 2004 ãîäó è íàïðàâëåí íà èçó÷åíèå ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïó÷êîâ ïîçèòðîíèÿ.
Ëîâóøêà Ïåííèíãà-Ìàëìáåðãà-Ñóðêî, èñïîëüçóþùàÿñÿ â óñòàíîâêå LEPTA [7], ñîñòîèò èç 8 ýëåêòðîäîâ (ðèñ.
12). Ýëåêòðîäû I-III ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïîääåðæàíèÿ ðàçíîñòè äàâëåíèé áóôåðíîãî ãàçà íà êîíöàõ ëîâóøêè,
îñóùåñòâëÿþùåãî îõëàæäåíèå ÷àñòèö ïî ñðåäñòâàì íåóïðóãèõ ñòîëêíîâåíèé ïî ïóòè â îáëàñòü IV - VI ýëåêòðîäîâ, ãäå è ïðîèñõîäèò îñíîâíîå íàêîïëåíèå ïîçèòðîíîâ. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ýôôåêòèâíîñòè íàêîïëåíèÿ â äàííîé
ëîâóøêå ïðèìåíÿåòñÿ "âðàùàþùååñÿ ïîëå"[8, 9]. Ýòîò ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ê ñòàöèîíàðíîìó ïîëþ äîáàâëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, âðàùàþùååñÿ â ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê îñè ëîâóøêè ïëîñêîñòè. Äëÿ åãî ðåàëèçàöèè
IV ýëåêòðîä ïðîäîëüíî ðàçäåëåí íà 4 ñåãìåíòà. Íà êàæäûé èç íèõ ïîäàåòñÿ ïîäàåòñÿ ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå
àìïëèòóäîé 1 Âîëüò ñ ðàçíèöåé ïî ôàçå â 90 ãðàäóñîâ ìåæäó ñîñåäíèìè ñåãìåíòàìè. Îñíîâíûå ïàðàìåòðû
ýëåêòðîäîâ ëîâóøêè ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå 1.
Ðèñ. 12: Ñõåìà ëîâóøêè â óñòàíîâêå LEPTA
Ðèñ. 13: ýëåêòðîä IV â ïîïåðå÷íîì ðàçðåçå
Çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ íàèáîëåå èíòåðåñíî â îáëàñòè êàíàëà ïðîõîæäåíèÿ è íàêîïëåíèÿ ÷àñòèö. Ýòî ïðîèñõîäèò âíóòðè ýëåêòðîäîâ I VIII. Ýëåêòðîäû ïðåäñòàâëÿþò èç ñåáÿ ïîëûå öèëèíäðû,
íàïîëíåííûå ñïåöèàëüíûì ãàçîì.  äàííîé çàäà÷å ñ÷èòàëîñü, ÷òî âíóòðè ýëåêòðîäîâ âàêóóì. Ðàñ÷åòíàÿ îáëàñòü ïîëåé äîëæíà ïîëíîñòüþ îõâàòûâàòü âíóòðåííþþ îáëàñòü ýëåêòðîäîâ, ïîýòîìó îíà îïðåäåëÿòñÿ èñõîäÿ
14
Òàáëèöà 1: Îñíîâíûå ïàðàìåòðû ýëåêòðîäîâ ëîâóøêè LEPTA
Ýëåêòðîä
Äèàìåòð, ìì
Äëèíà, ìì
Ïîòåíöèàë, Â
I
12
50
44.8
II
12.7
500
40.5
III
30
495
32.9
IV
200
160
20
V
200
160
20
VI
200
160
20
V II
200
160
100
V III
200
20
100
èç ïàðàìåòðîâ ýëåêòðîäîâ.
Ýëåêòðîäû I VIII ïëîòíî ïðèëåãàþò äðóã ê äðóãó, äëÿ ñîõðàíåíèÿ ãàçà, ïðè ýòîì îíè èçîëèðîâàíû äðóã
îò äðóãà. íà êàæäîì èç íèõ çàäàåòñÿ ñâîé ïîòåíöèàë. Ýòè ïîòåíöèàëû ïðèâåäåíû â òàáëèöå 2. Ýëåêòðîä IV
ïðîäîëüíî ðàçäåëåí íà 4 ðàâíûå ÷àñòè äëÿ ñîçäàíèÿ ýôôåêòà ¾rotating wall¿. Äëÿ ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî íà âñåõ ÷àñòÿõ ýòîãî ýëåêòðîäà ïîòåíöèàëû îäèíàêîâûå.
Äëÿ íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷è ïîòåíöèàë íà îäíîé èç ÷àñòåé ýëåêòðîäà IV âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå U = U4 +
U40 cos(ωt + φ), ãäå U40 àìïëèòóäà, ðàâíàÿ 1Â, φ - ôàçà, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò îäíîé èç 4-õ ÷àñòåé ýëåêòðîäà
(0, π/2, π èëè 3π/2).
3.1
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïóñòü G = G ∪ ∂G çàìêíóòàÿ îáëàñòü, ãäå ∂G = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 ∪ Γ4 ∪ Γ5 ∪ Γ6 ∪ Γ7 - ãðàíèöà îáëàñòè, Γ1 − Γ6
ñîîòâåòñòâóþò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì Äèðèõëå, à Γ7 - Íåéìàíà (ðèñ. 14), U ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ïîòåíöèàë ïîëÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (x, y, z)
∂2U
∂2U
∂2U
+
+
= 0,
∂x2
∂y 2
∂z 2
(x, y, z) ∈ G,
(43)
Óðàâíåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ Ex , Ey è Ez èìåþò âèä
Ex = −
∂U
∂U
∂U
, Ey = −
, Ez = −
,
∂x
∂y
∂z
(x, y, z) ∈ G.
(44)
Ýôôåêòèâíîñòü ëîâóøêè îïðåäåëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì ÷àñòèö, óäåðæèâàåìûì ëîâóøêîé â îáëàñòè íàêîïëåíèÿ ÷àñòèö. Îñíîâíàÿ óòå÷êà ïîçèòðîíîâ èç ëîâóøêè ïðîèñõîäèò ÷åðåç îáëàñòü èíæåêöèè. Ïîýòîìó
íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò îáëàñòü íàêîïëåíèÿ ïîçèòðîíîâ (îáëàñòü IV - VI ýëåêòðîäîâ), à òàê æå îáëàñòü, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîèñõîäèò èíæåêöèÿ ïîçèòðîíîâ â íàêîïèòåëüíîå êîëüöî (îáëàñòü VII-VIII ýëåêòðîäîâ).
Ðàñ÷åò ïðîèçâîäèëñÿ â ïðîãðàììíîì ïàêåòå DAISI.  íåì ðåàëèçîâàíû îïèñàííûå âûøå ìåòîäû ðàñ÷åòà
ïîëåé. Òàê æå DAISI óäîáåí äëÿ ðàñ÷åòà äèíàìèêè ÷àñòèö.
15
Ðèñ. 14: Ðàñ÷åòíàÿ îáëàñòü â ïðîäîëüíîì ðàçðåçå. Γ1 ñîîòâåòñòâóåò ýëåêòðîäó III, Γ2 - ýëåêòðîäó IV, Γ3 - ýëåêòðîäó V, Γ4 - ýëåêòðîäó VI, Γ5 - ýëåêòðîäó VII, Γ6 - ýëåêòðîäó VIII.
3.2
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà
Ðàñ÷åò ïîëåé ïðîèçâåäåí íà ñåòêå ñ îäèíàêîâûì ïî âñåì îñÿì øàãîì 0.5 ìì. [10, 11]
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïîòåíöèàëîâ ñòàöèîíàðíîãî è âðàùàþùåãîñÿ ïîëåé ïðåäñòàâëåíû îòäåëüíî äðóã îò
äðóãà, èç-çà ðàçëè÷íûõ äèàïàçîíîâ çíà÷åíèé.
Íà ðèñóíêå 15á ïðåäñòàâëåí ïîòåíöèàë ñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü ëîâóøêè, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 15à
à
á
Ðèñ. 15: à) Ïîòåíöèàëû ñòàöèîíàðíûõ ïîëåé â IV-VIII ýëåêòðîäàõ â ïðîäîëüíîé ïëîñêîñòè íà îñè ëîâóøêè (ðèñ.
á)
Íà ðèñóíêå 16á) ïðåäñòàâëåí ïîòåíöèàë ñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè
ëîâóøêè, ïåðåñåêàÿ ëîâóøêó â ñåðåäèíå IV ýëåêòðîäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 16à
Íà ðèñóíêå 17á ïðåäñòàâëåí ïîòåíöèàë ñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü ëîâóøêè, êàê
16
à
á
Ðèñ. 16: à) Ïîòåíöèàëû ñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ â ñåðåäèíå V ýëåêòðîäà â ïîïåðå÷íîé ïëîñêîñòè (ðèñ. á)
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 18à
à
á
Ðèñ. 17: à) Ïîòåíöèàëû âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ â IV-VIII ýëåêòðîäàõ â ïðîäîëüíîé ïëîñêîñòè, íà îñè ëîâóøêè (ðèñ.
á)
Íà ðèñóíêå 18á ïðåäñòàâëåííû ïîòåíöèàë ñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè
ëîâóøêè, ïåðåñåêàÿ ëîâóøêó â ñåðåäèíå IV ýëåêòðîäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 18à
17
a
á
Ðèñ. 18: à) Ïîòåíöèàëû âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ â ñåðåäèíå IV ýëåêòðîäà â ïîïåðå÷íîé ïëîñêîñòè (ðèñ. á)
18
Ðèñ. 19: Êðàñíîé ëèíèåé îáîçíà÷åíà îñü ëîâóøêè âäîëü 200ìì III ýëåêòðîäà è IV VIII ýëåêòðîäîâ.
Ðèñ. 20: Ãðàôèêè ïîòåíöèàëà âäîëü îñè ëîâóøêè, ïîñ÷èòàííîãî â Daizy, COMSOL è ANSYS.
19
Ðèñ. 21: Êðàñíûì íàðèñîâàíà ëèíèÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè ëîâóøêè. Îíà ñòðîãî âûøå îñè ëîâóøêè, è
ïðîâåäåíà âäîëü IV VIII ýëåêòðîäîâ, íà âûñîòå ðàâíîé ïîëîâèíå ðàäèóñà IV ýëåêòðîäà.
Ðèñ. 22: Ãðàôèê ïîòåíöèàëà âäîëü ëèíèè íàä îñüþ ëîâóøêè. ×åðíàÿ ëèíèÿ ðàñ÷åò â Comsol,
êðàñíàÿ ëèíèÿ â Daizy.
20
3.3
Àíàëèç ïîëåé Ex è Ey âäîëü îñè ëîâóøêè
Äëÿ ïîòåíöèàëà, íå íà îñè ëîâóøêè, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå
U (r, z) = U (r) −
1 r4
1 r 6 (V I)
r 2 00
U (z) + 2 U (IV ) (z) −
U
(z) + ...
2
2 2
(3!)2 2
(45)
Ìû îãðàíè÷èìñÿ âòîðûì ïðèáëèæåíèåì.
Ôîðìóëû äëÿ ïîëåé Ex è Ey áóäóò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
x 00
U (z)
2
y
Ey = U 00 (z)
2
Ex =
(46)
(47)
Ãðàôèêè âäîëü îñè ëîâóøêè Ex âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.01, y = 0.0, âû÷èñëåííûé ïî ôîðìóëå (46) è
Ey âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.0, y = 0.01, âû÷èñëåííûé ïî ôîðìóëå (47) ñîâïàäàþò, ïîýòîìó íà ãðàôèêàõ
íèæå áóäåò íàðèñîâàí ãðàôèê òîëüêî äëÿ Ey âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.0, y = 0.01. Êàê ìû âèäèì äàëåå
ïî ãðàôèêàì, Ex è Ey âû÷èñëåííûå ïî ôîðìóëàì (46) è (47) õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ðàñ÷åòàìè, âûïîëíåííûìè
÷èñëåííî ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îäíàêî ñîãëàñîâàíèå óìåíüøàåòñÿ ïðè îòäàëåíèè îò îñè ëîâóøêè.
Âîçìîæíî ñòîèò ó÷åñòü 3é ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ èç ôîðìóëû (45).
21
Ðèñ. 23: ×åðíûé ãðàôèê Ey âäîëü îñè ïðè x = 0.0, y = 0.01, âû÷èñëåííîé ïî ôîðìóëå (3). Ðîçîâûé ãðàôèê
Ey âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.0, y = 0.01, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé ãðàôèê
Ex âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.01, y = 0.0, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà. Îðàíæåâûé
ãðàôèê è ðîçîâûé ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò
22
Ðèñ. 24: ×åðíûé ãðàôèê Ey âäîëü îñè ïðè x = 0.0, y = 0.02, âû÷èñëåííîé ïî ôîðìóëå (3). Ðîçîâûé ãðàôèê
Ey âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.0, y = 0.02, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé ãðàôèê
Ex âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.02, y = 0.0, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé
ãðàôèê è ðîçîâûé ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò
23
Ðèñ. 25: ×åðíûé ãðàôèê Ey âäîëü îñè ïðè x = 0.0, y = 0.03, âû÷èñëåííîé ïî ôîðìóëå (3). Ðîçîâûé ãðàôèê
Ey âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.0, y = 0.03, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé ãðàôèê
Ex âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.03, y = 0.0, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé
ãðàôèê è ðîçîâûé ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò.
24
Ðèñ. 26: ×åðíûé ãðàôèê Ey âäîëü îñè ïðè x = 0.0, y = 0.04, âû÷èñëåííîé ïî ôîðìóëå (3). Ðîçîâûé ãðàôèê
Ey âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.0, y = 0.04, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé ãðàôèê
Ex âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.04, y = 0.0, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé
ãðàôèê è ðîçîâûé ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò
25
Ðèñ. 27: ×åðíûé ãðàôèê Ey âäîëü îñè ïðè x = 0.0, y = 0.05, âû÷èñëåííîé ïî ôîðìóëå (3). Ðîçîâûé ãðàôèê
Ey âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.0, y = 0.05, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé ãðàôèê
Ex âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.05, y = 0.0, âû÷èñëåííûé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Îðàíæåâûé
ãðàôèê è ðîçîâûé ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò
Ïî ôîðìóëå (47) Ey íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû x, ñëåäîâàòåëüíî ïðè y = 0 ïî ôîðìóëå (47) Ey = 0. Îäíàêî,
èíòåðåñíû ãðàôèêè ïðè y = 0 è ïðè x íå ðàâíîì íóëþ, ïîëó÷åííûå ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Íèæå
ïðèâîäÿòñÿ òàêèå ãðàôèêè íà ðèñóíêàõ 28 è 29. Çàìåòèì, ÷òî ïîëÿ Ey çíà÷èòåëüíî ìåíüøå (íà 2-3 ïîðÿäêà)
ïîëåé íà ðèñóíêàõ 23 - 27, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ òåì, ÷òî ìû ïîëó÷àåì èç ôîðìóëû (47). Ïîëÿ Ex ïðè x = 0, à y íå
ðàâíûì íóëþ, áóäóò òàê æå íà 2-3 ïîðÿäêà ìåíüøå ïîëå íà ðèñóíêàõ 23 - 27.
26
Ðèñ. 28: Ãðàôèê Ey, âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.01 ì, y = 0.0 ì.
27
Ðèñ. 29: Ãðàôèê Ey, âäîëü îñè ëîâóøêè ïðè x = 0.05 ì, y = 0.0 ì.
3.4
Àíàëèç âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ íà îñè ëîâóøêè
Íà ðèñóíêàõ íèæå ãðàôèêè êîìïîíåíò âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ Ex , Ey , Ez äëÿ ðàçíûõ ôàç âðàùåíèÿ ÷åðåç êàæäûå
π/4. Ãðàôèêè ïîëó÷åíû ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà.  ýòîì ðåøåíèè ó÷èòûâàëîñü òîëüêî âðàùàþùååñÿ ïîëå (áåç ó÷åòà îñíîâíîãî). Ìàêñèìóì ïî ìîäóëþ ïîëåé Ex (îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêàõ 33 è 37
äëÿ ôàç âðàùåíèÿ 3π/4 è 7π/4 ñîîòâåòñòâåííî) è Ey (îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêàõ 31 è 35 äëÿ ôàç âðàùåíèÿ
π/4 è 5π/4 ñîîòâåòñòâåííî) ñîâïàäàåò ñ òåîðåòè÷åñêèì ìàêñèìóìîì.
à
á
â
Ðèñ. 30: Ãðàôèêè êîìïîíåíò a) Ex á) Ey â) Ez äëÿ ôàçû âðàùåíèÿ 0
28
à
á
â
Ðèñ. 31: Ãðàôèêè êîìïîíåíò a) Ex á) Ey â) Ez äëÿ ôàçû âðàùåíèÿ π/4
à
á
â
Ðèñ. 32: Ãðàôèêè êîìïîíåíò a) Ex á) Ey â) Ez äëÿ ôàçû âðàùåíèÿ π/2
à
á
â
Ðèñ. 33: Ãðàôèêè êîìïîíåíò a) Ex á) Ey â) Ez äëÿ ôàçû âðàùåíèÿ 3π/4
à
á
â
Ðèñ. 34: Ãðàôèêè êîìïîíåíò a) Ex á) Ey â) Ez äëÿ ôàçû âðàùåíèÿ π
29
á
à
â
Ðèñ. 35: Ãðàôèêè êîìïîíåíò a) Ex á) Ey â) Ez äëÿ ôàçû âðàùåíèÿ 5π/4
á
à
â
Ðèñ. 36: Ãðàôèêè êîìïîíåíò a) Ex á) Ey â) Ez äëÿ ôàçû âðàùåíèÿ 3π/2
á
à
â
Ðèñ. 37: Ãðàôèêè êîìïîíåíò a) Ex á) Ey â) Ez äëÿ ôàçû âðàùåíèÿ 7π/4
3.5
Àïïðîêñèìàöèÿ âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè äèíàìèêè íåîáõîäèìî ðàñ÷èòûâàòü âðàùàþùååñÿ ïîëå íà êàæäîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ
âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Èç îïèñàíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû íàïðÿæåííîñòè âðàùàþùåãîñÿ
ïîëÿ Exrw è Eyrw ìîæíî çàïèñàòü êàê
Exrw = Erw cos(φ)
(48)
Eyrw = Erw sin(φ),
(49)
ãäå φ - ôàçà âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ, Erw - àìïëèòóäà âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ, êîòîðàÿ çàâèñèò òîëüêî îò z êîîðäèíàòû
(ðèñ. 38). Ýòî ïîçâîëÿåò àïïðîêñèìèðîâàòü Erw ïîëèíîìîì 4é ñòåïåíè è çàìåíèòü ðàñ÷åò íà ñåòêå ôîðìóëàìè
30
(4)-(5) .
Ïðè ñðàâíåíèè äèíàìèêè ÷àñòèö ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ ðàñ÷åòà âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ ñóùåñòâåííûõ ðàçëè÷èé â ðåçóëüòàòàõ íå áûëî âûÿâëåíî.
Ðèñ. 38: ×åðíàÿ ëèíèÿ - íàïðÿæåííîñòü âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ âäîëü îñè ëîâóøêè (Ez),
êðàñíàÿ ëèíèÿ - àïïðîêñèìàöèÿ íàïðÿæåííîñòè âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ âäîëü îñè ëîâóøêè
31
4
Çàêëþ÷åíèå
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì
• Ðàçðàáîòàí ïðîãðàììíûé ìîäóëü äëÿ ðàñ÷åòà ïîòåíöèàëîâ è íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé
äëÿ îáëàñòåé ëþáîé ãåîìåòðè÷åñêîé ñëîæíîñòè
• Ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïîëåé â ëîâóøêå Ïåííèíãà-Ìàëìáåðãà-Ñóðêî óñòàíîâêè LEPTA. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ïîçèòðîíîâ â ëîâóøêå.
• Áûëà âûïîëíåíà îïòèìèçàöèÿ ðàñ÷åòà ïîëåé ïóòåì ðàçäåëåíèÿ âû÷èñëåíèé ñòàöèîíàðíîãî è âðàùàþùåãîñÿ
ïîëåé, à òàê æå çàìåíîé ðàñ÷åòà íà ñåòêå âðàùàþùåãîñÿ ïîëÿ àïïðîêñèìàöèîííûìè ôîðìóëàìè.
32
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå. 6-å èçä., Èçäàòåëüñòâî
ÌÃÓ, 1999.
[2] James R. Nagel Solving the Generalized Poisson Equation Using the Finite-Dierence Method (FDM). Department
of Electrical and Computer Engineering University of Utah, 2011.
[3] J. Loverich, C. Nieter, D. Smithe, S. Mahalingam, P. Stoltz Charge Conserving Emission from Conformal Boundaries
in Electromagnetic PIC simulations. Tech-X Corporation, 2010
[4] Øàðûé Ñ. Ï. Êóðñ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ. Èíñòèòóò âû÷èñëèòåëüíûõ òåõíîëîãèé ÑÎ ÐÀÍ. 2012.
[5] Ivan P. Stanimirovic, Milan B. Tasic. Performance comparison of storage formats for sparse matrices. Facta
Universitatis. Ser. Math. Inform. 2009.
[6] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes. The Art of
Scienti c Computing. Third Edition. Cambridge University Press.
[7] Ìåøêîâ È.Í. Ðàçâèòèå ïðîåêòà LEPTA // Ïèñüìà â Ý×Àß. 2010.Ò.7, 7(163). Ñ. 814-820
[8] Ì.Ê. Åñååâ, À.Ã. Êîáåö, È.Í. Ìåøêîâ, À.Þ. Ðóäàêîâ, Ñ.Ë. ßêîâåíêî Èññëåäîâàíèå íàêîïëåíèÿÿ çàðÿæåííîé
ïëàçìû â ëîâóøêå ñ âðàùàþùèìñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì óñòàíîâêè LEPTA // Ôèçèêà Ïëàçìû 39. 883(2013)
[9] Ì.Ê. Åñååâ, À.Ã. Êîáåö, Ìåøêîâ È.Í., À.À. Ñèäîðèí, Î.Ñ. Îðëîâ Ìåõàíèçì íàêîïëåíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö
â ëîâóøêå Ïåííèíãà-Ìàëìáåðãà-Ñóðêî ñ âðàùàþùèìñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì // Ïèñüìà â ÆÝÒÔ. òîì 102.
âûï. 5. ñ.291-296
[10] V. Ponomarev, V. Altsybeyev Development of 2D Poisson Equation C++ Finite-Dierence Solver for Particle-inCell Method // Proc. of International Conference on "Stability and Control Processes"in Memory of V.I. Zubov,
Saint-Petersburg, 2015.p. 138-141
[11] V. Altsybeyev, V. Ponomarev Application of Gauss's law space-charge limited emission model in iterative particle
tracking method // Journal of Computational Physics, Volume 324, 2016, p. 62-72
33
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв