Разработка робастного алгоритма управления с антивиндап-коррекцией для мобильных киберфизических систем

Михаил Каканов

Разработка робастного алгоритма управления с антивиндап-коррекцией для мобильных киберфизических систем

Работа посвящена разработке робастного алгоритма управления с антивиндап- коррекцией выходом мобильных киберфизических систем при наличии ограничений на сигналы управления и неучтенной асимптотически устойчивой динамики, а также в условиях влияния внешних возмущающих воздействий.

Автоматика. Вычислительная техника

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики (ФГБОУ ВПО «СПбНИУ ИТМО»)

ID: 605258eaccefde0001e8d100

UUID: 34ab0360-6985-0139-2e3a-0242ac180002

Язык: Русский

Опубликовано: около 3 лет назад

Просмотры: 17

10.34

Михаил Каканов

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики (ФГБОУ ВПО «СПбНИУ ИТМО»)

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 793,7 КБ

Поделиться работой

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ “САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ” ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА «Разработка робастного алгоритма управления с антивиндап-коррекцией для мобильных киберфизических систем» Каканов М. А. Автор (Фамилия, Имя, Отчество) (подпись) 27.04.03 Направление подготовки (специальность) (код, наименование) магистр Квалификация (бакалавр, магистр) Руководитель ВКР Пыркин А. А., профессор, д.т.н. (Фамилия, И., О., ученое звание, степень) (подпись) К защите допустить Руководитель ОП Пыркин А. А., профессор, д.т.н. (Фамилия, И., О., ученое звание, степень) “ Санкт-Петербург, 2019 г. ” (подпись) 20 19 г.

Каканов М. А. Студент Группа R4234 Факультет СУиР (Фамилия, И. О.) Направленность (профиль), специализация Системный анализ и управление, Управление мобильными киберфизическими системами Консультант(ы): a) Борисов О. И., нет звания, к.т.н. (Фамилия, И., О., ученое звание, степень) (подпись) (Фамилия, И., О., ученое звание, степень) (подпись) б) ВКР принята “ ” 20 19 г. % Оригинальность ВКР ВКР выполнена с оценкой Дата защиты “ ” 20 19 г. Секретарь ГЭК (ФИО) Листов хранения Демонстрационных материалов/Чертежей хранения (подпись)

Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Обзор информационных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Мобильные киберфизические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Открытые проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Обобщенная постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Разработка робастного алгоритма управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Синтез номинального регулятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Анализ устойчивости в условиях наличия неучтённой динамики . . . 18 2.3 Обеспечение гарантированного быстродействия не менее заданного 22 2.4 Идентификация номинальных параметров модели . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Компенсация детерминированного внешнего возмущения . . . . . . . . . 30 2.6 Антивиндап-коррекция при ограничениях на входные сигналы . . . . 34 3 Применение алгоритма к киберфизическим системам . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1 Морские киберфизические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Промышленные киберфизические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Транспортные киберфизические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Список использованных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Êàêàíîâ Ì.À. Ðàçðàá. Ïûðêèí À.À. Ïðîâ. Í.êîíòð. Óòâ. Áûñòðîâ Ñ.Â. Ïûðêèí À.À. Ïîäï. Äàòà 15.05.2019 ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Ðàçðàáîòêà ðîáàñòíîãî àëãîðèòìà óïðàâëåíèÿ Ëèò. Ëèñò Ëèñòîâ ä 3 63 ñ àíòèâèíäàï-êîððåêöèåé Óíèâåðñèòåò ÈÒÌÎ äëÿ ìîáèëüíûõ êèáåðôèçè÷åñêèõ ñèñòåì ïîÿñíèòåëüíàÿ çàïèñêà ÔÑÓÈÐ, ãð. R4234 Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Введение В прикладных исследованиях теории управления в последнее время большой интерес представляет класс киберфизических систем. Такие системы используют вычислительные и коммуникационные алгоритмы, глубоко внедренные в физические процессы и тесно взаимодействующие с ними, что позволяет эффективно расширять возможности физических систем [1]. Они состоят из множества «умных» устройств, связанных между собой в единую сеть и способных самостоятельно адаптироваться к внешним изменениям без вмешательства человека. Существует множество областей применения мобильных киберфизических систем, включая, например, производство и транспорт. В рамках транспортных мобильных киберфизических систем можно рассматривать наводные суда и беспилотные летательные аппараты (например, квадрокоптеры). Эти объекты представляют собой многомерные механические системы, на которые оказывают влияние внешние возмущающие воздействия (например, ветровой снос, волновая качка, течение). Стоит отметить, что параметры таких объектов часто неизвестны или известны частично, в силу чего замкнутая система с разработанным регулятором должна характеризоваться свойством робастности по отношению к параметрической неопределенности. При разработке алгоритмов управления киберфизическими системами, необходимо принимать во внимание ограничения аппаратных возможностей реальных технических систем. Исполнительные устройства, которые отрабатывают сигнал управления в физическом мире, всегда ограничены по уровню входного сигнала. Общие примеры таких пределов: пределы отклонения в Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 4 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ приводах воздушных судов; пределы напряжения тока в электрических приводах; пределы пропускной способности и скорости в гидравлических приводах. Несмотря на то, что такие пределы ограничивают в основном производительность системы, частью которой они являются, их необходимо учитывать надлежащим образом, иначе возможно возникновение непредвиденного поведения системы. Например, насыщение управляющих сигналов при наличии интегральной компоненты в структуре регулятора приводит к появлению эффекта интегрального насыщения (integral windup), вследствие чего в системе могут увеличиться время переходного процесса, значение перерегулирования, а также могут появиться автоколебания и даже потеря устойчивости [2]. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 5 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 1 Обзор информационных источников В настоящем разделе представлена краткая информация о мобильных киберфизических системах и областях их применений. Рассмотрены открытые проблемы в вопросах управления такими системами. На основе полученной информации была сформулированна обобщенная постановка задачи, решению которой посвящены последующие главы диссертации. 1.1 Мобильные киберфизические системы Стремительные цифровизация, автоматизация, проникновение электроники и программного обеспечения во все аспекты нашей жизни привело к зарождению новой концепции в разработке и исследовании сложных систем, которая носит название «киберфизические системы» (CPS). Этот термин был введен в Соединенных Штатах в 2006 году. Раннее определение CPS: «Такие системы используют вычисления и коммуникации, глубоко внедренные в физические процессы и взаимодействующие с ними, чтобы добавить новые возможности физическим системам» [3]. Становится все труднее идентифицировать системы, которые не являются киберфизическими. Эта концепция по своей сути является междисциплинарной и мультитехнологичной и применима в совершенно разных областях, что имеет множество социально-технических последствий. 1.1.1 Транспортные киберфизические системы Транспортные системы имеют прямое отношение к междоменной интеграции. Транспортные услуги требуют координации процессов в таких секторах, как логистика, автомобильный и железнодорожный транспорт. На коор- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 6 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ динацию влияют как соответствующие транспортные средства с такими различиями, как скорость, пропускная способность, стоимость и управление, так и инфраструктурные компоненты (например, дороги и коммуникации). Поскольку логистика является неотъемлемой частью производственных и общественных процессов, процесс перехода от мобильности в плане снабжения к мобильности в плане услуги ускоряется. Современные мобильные решения будут все больше фокусироваться на высокоавтоматизированных видах транспорта, удовлетворяя потребность в индивидуальном транспорте без необходимости в личном транспортном средстве. Концепция автоматизированных, управляемых и подключенных транспортных средств необходима не только для удовлетворения возросшего спроса на мобильность, но и для решения дополнительных социальных задач, связанных с повышением безопасности, эффективности, безопасности, удобства и экономии [4]. Важным фактором является требование по адаптации транспортных услуг к стареющему населению: качество, надежность, безопасность, доступность для людей с ограниченной мобильностью и безопасность необходимы для удовлетворения этого требования на общественном транспорте. 1.1.2 Промышленные киберфизические системы Область промышленности и процессы производства, представляющие главную социально-экономическую силу, сильно характеризуются использованием технологий CPS. Производство включает в себя CPS с различными типами технических аспектов, от 3D-cканеров/принтеров до облачного производства. Повышенное внимание к интеграции и открытости информационных технологий означает, что безопасность, как сквозное свойство, становится все Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 7 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ более важной. Промышленность была предшественником в автоматизации с решениями, перенесенными в другие области, например, от промышленной робототехники до автономных транспортных средств. Массовая кастомизация в настоящее время стимулирует разработку более гибких и эффективных производственных систем [5]. Передовые промышленные компании уже внедрили интеграцию жизненного цикла, отслеживая реальные рабочие данные до разработки и производства. Эта тенденция, вероятно, продолжится. Производство как домен также в некоторой степени интегрировано с другими доменами, в первую очередь с транспортом для логистики, предоставляя междоменные решения. Возможности возникают из аддитивного (и распределенного) производства, а также из новых бизнес-моделей, включающих открытые инновации, прокладывая путь к гибким, настраиваемым схемам распределенного производства. На уровне общества важно серьезно относиться к устойчивости. Так, можно упомянуть, что около 14% от общего количества 2652 миллионов тонн отходов, которые были произведены в странах ЕС-27 в 2008 году, приходилось на производство [6]. Технологии CPS предоставляют решения, которые могут помочь в решении вопросов устойчивости, например, модульные архитектуры для облегчения повторного использования и переработки. 1.2 Открытые проблемы Киберфизические системы представляют собой мультиагентные системы, где каждая система представляет собой многоканальный объект управления. Условия функционирования технических систем в реальном физическом Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 8 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ мире часто характеризуется: – наличием параметрических и сигнальных необпределенностей: параметры объекта могут быть не известны или известны не точно; на практике в ряде случаев измерению в явном виде доступна лишь часть компонент вектора состояний, кроме того использование дополнительных датчиков может быть не целесообразно, – наличием влияния внешних возмущающих воздействий, – наличием аппаратных ограничений на входные воздействия, – наличием неучтенной асимптотически устойчивой динамики: на практике при разработке систем управления инженера пренебрегают динамикой малоинерционных звеньев, т.к. их динамика достаточно быстрая и асимптотически устойчива. Рассмотрим существующие подходы к управлению такими системами. 1.2.1 Управление в условиях параметрических и сигнальных неопределенностей Параметры моделей реальных технических объектов, как правило, заданы в некотором приближении. Это связано в том числе и с тем, что условия функционирования системы могут меняться, в вследствии чего меняются физические параметры материалов из которых состоит система. Кроме того, параметрическая неопределенность может включать в себя изменение массы элементов системы или же центра масс, что происходит при изменении полезной нагрузки. Алгоритмы сильной обратной связи является мощными, зарекомендовавшими себя в последние 10 лет подходами робастного управления, включая Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 9 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ синтез наблюдателей [7—9]. Они позволяют обеспечить инвариантность по отношению к параметрической неопределенности. Такие методы менее требовательны в отношении априорных данных о системе, что может существенно упростить процесс разработки регулятора. Кроме того, на практике часто возникают задачи управления, когда вектор состояний системы доступен измерению частично или недоступен вовсе. Также внедрение в систему дополнительных измерительных устройств не всегда является целесообразным, т.к. динамическая модель такого устройства может значительно усложнить процесс синтеза регулятора. Для решения таких задач необходимо обеспечить наблюдение за сигналом выходной переменной и оценки требуемых состояний. В случае когда известны номинальные параметры объекта управления для настройки регулятора может применяться инструментарий линейных матричных неравенств [10; 11]. На основе кандидат функций Ляпунова, можно задавать условия разрешимости линейного матричного неравенства, которые также позволяют обеспечить требуемые показатели качества. Метод робастного управления по выходу «последовательный компенсатор» предложенный впервые [12] хорошо себя зарекомендовал в решении поставленных задач [13—15]. 1.2.2 Управление в условиях влияния внешних возмущающих воздействий Компенсация внешних возмущающих воздействий является фундаментальной задачей современной теории управления. Очевидным является факт, что все реальные системы являются открытыми. На них влияет множество Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 10 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ внешних факторов, немногими из которых можно пренебречь. В качестве наглядного примера можно привести надводное водоизмещающее судно. Качество управления судном существенно зависит от внешних сил, таких как: ветровой снос, волновая качка, течение. Если сила ветра и его направление могут быть измеренны явно, то волновую качку и течение на текущий момент измерить нельзя. Общепринятыми подходами к компенсации возмущений является использование интегральных регуляторов, повышение у системы порядка астатизма или же встраивание известной модели возмущающего воздействия. Но необходимо учитывать, что применение таких подходов ограничивается классом измеряемых, ограниченных возмущений или же известной модели возмущения. 1.2.3 Управление в условиях насыщения входных сигналов Системы управления разрабатываются чаще всего линейно. Объект управления рассматривают линейным или проводят его локальную линеаризацию. Современная теория линейного управления предоставляет эффективные техники и методы вычисления законов управления, гарантирующих как устойчивость, так и надежную производительность замкнутой системы. Но как правило, эти техники и методы явно не учитывают ограничения на управляющие воздействия. В этом случае, насыщение управления может привести к появлению нежелательных точек равновесия и предельных циклов или привести к расходящимся траекториям в системе. Для решения озвученной проблемы может быть применяться антивиндап модификация, предложенная в [16]. Также техники антивиндап-коррекции Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 11 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ представленны рядом научных работ [2; 17—20]. Как правило, разработка регулятора для системы с ограничениями на входные сигналы выполняется в два этапа: а) Разрабатывается номинальный регулятор без учета ограничений на управляющие сигналы для достижения требуемых показателей качества в замкнутой системе. б) Интегрируется контур антивиндап-коррекции, который обрабатывает ограничения на входные сигналы и корректирует управляющий сигнал генерируемый номинальным регулятором. Такой двухэтапный подход даёт ряд преимуществ. Разработка номинального регулятора выполняется хорошо известными методами линейного управления. Этот контроллер диктует поведение замкнутого контура, когда сигнал управления не входит в зону насыщения. Контур антивиндап-коррекции, в свою очередь, активируется исключительно в случае насыщения входных сигналов и меняет поведение замкнутой системы, чтобы она была устойчива к возникновению интегрального виндапа. 1.2.4 Управление в условиях влияния неучтенной динамики 1.3 Обобщенная постановка задачи Рассмотрим систему вида: ⎧ {𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 + 𝑅𝑤, 𝒫⎨ {𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝑄𝑤, ⎩ (1) где 𝑥 ∈ ℝ𝑛 — вектор состояния, 𝑢 ∈ ℝ𝑚 — управляющий сигнал, 𝑤 ∈ ℝ𝑛𝑤 — вектор возмущающих воздействий, 𝑦 ∈ ℝ𝑝 — вектор выходных переменных, Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 12 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑄 — матрицы и векторы соответствующих размерностей. Вектор возмущающих воздействий рассматривается как линейное состояние системы 𝑤̇ = 𝑆(𝜚)𝑤, (2) где 𝜚 — вектор неизвестных параметров, 𝑆 — матрица соответсвующей размерности. Управляющий сигнал 𝑢 удовлетворяет условияю насыщения ⎧ {𝑢𝑚𝑎𝑥 { { 𝑢 = sat(𝜐) = ⎨𝑢 { { {𝑢𝑚𝑖𝑛 ⎩ при 𝜐 ≥ 𝑢𝑚𝑎𝑥 , при 𝑢𝑚𝑖𝑛 < 𝜐 < 𝑢𝑚𝑎𝑥 , при 𝜐 ≤ 𝑢𝑚𝑖𝑛 , (3) 𝑢𝑚𝑖𝑛 и 𝑢𝑚𝑎𝑥 — пределы насыщения по входу, 𝜐 — управляющий сигнал, генерируемый номинальным линейным регулятором. Д о п у щ е н и е 1 Объект (1) минимально-фазовый. Д о п у щ е н и е 2 Векторная относительная степень объекта (1) известна. Д о п у щ е н и е 3 Пределы насыщения по входу 𝑢𝑚𝑖𝑛 и 𝑢𝑚𝑎𝑥 равны по модулю, но имеют противоположные знаки |𝑢𝑚𝑖𝑛 | = |𝑢𝑚𝑎𝑥 |, 𝑢𝑚𝑖𝑛 + 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 0. Д о п у щ е н и е 4 Возмущающее воздействие ограничено 𝑤 ∈ ℒ∞ , причем номинальный управляющий сигнал 𝑢0 , необходимый для компенсации та- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 13 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ кого возмущения в установившемся режиме удовлетворяет неравенству 𝑢𝑚𝑖𝑛 ≤ |𝑢0 | ≤ 𝑢𝑚𝑎𝑥 . Целью является разработка такого закона управления 𝑢 с использованием измерений только выходной переменной 𝑦, который обеспечивает выполнение соотношения lim 𝑦(𝑡) = 0 (4) 𝑡→∞ при ограничениях на входное воздействие (103). З а д а ч а 1 Рассмотрим одноканальный объект управления, который является частным случаем объекта управления (1) при 𝑚 = 𝑝 = 1. Вектор параметров генератора возмущений 𝜚 рассматривается известным. Необходимо разработать закон управления 𝑢, обеспечивающий выполнение целевого условия (4), когда измерению доступна только переменная выхода 𝑦. З а д а ч а 2 Рассмотрим объект управления (1), номинальные параметры которого известны. Вектор параметров генератора возмущений 𝜚 рассматривается известным. Необходимо обеспечить время переходного процесса 𝜏 не более заданного 𝜏 ≤ 𝜏 ∗. (5) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 14 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 2 Разработка робастного алгоритма управления В настоящем разделе представлено решение задач описанных в пункте 1.3. Применение метода «последовательного компенсатора» обеспечивает управление робастное к параметрическим и сигнальным неопределённостям, что соответствует решению задачи 1. При известных номинальных параметрах путём применения инструментария линейных матричных неравенств обеспечивается быстродействие замкнутой системы не менее заданного, что соответствует решению задачи 2. Рассмотрены алгоритмы идентификации номинальных параметров для применения предложенных законов управления в пункте 2.4. Влияние внешних детерминированных возмущающих воздействий компенсируется засчет интеграции внутренней модели, что рассматривается в пункте 2.5. Случай наличия ограничений на входные сигналы управления и компенсация нежелательного поведения системы путем интеграции контура антивиндап-коррекции рассматривается в пункте 2.6. Анализ устойчивости замкнутой системы в условиях влияния ассимптотически устойчивой неучтённой динамики рассматривается в пункте 2.2. 2.1 Синтез номинального регулятора Исходя из предположения о возможности декомпозировать многоканальный объект управления, расссмотрим одноканальный объект в пространстве состояний: ⎧ {𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝑏𝑢, ⎨ {𝑦 = 𝑐𝑇 𝑥, ⎩ (6) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 15 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ где 𝑥 ∈ ℝ𝑛 — вектор состояния, 𝑢 ∈ ℝ1 — управляющий сигнал, 𝑦 ∈ ℝ1 — вектор выходных переменных, 𝐴, 𝑏, 𝑐 — неизвестные матрицы и векторы соответствующих размерностей. Преобразуем модель объекта для выделения устойчивой нуль динамики: 𝑎(𝑠) 𝑦(𝑠) = 𝑢(𝑠), 𝑏(𝑠) 𝑑(𝑠) (𝑐(𝑠) + ) 𝑦(𝑠) = 𝑢(𝑠), 𝑏(𝑠) 𝑐(𝑠)𝑦(𝑠) = 𝑢(𝑠) − 𝑑(𝑠) 𝑦(𝑠). 𝑏(𝑠) (7) Степени полиномов 𝑐(𝑠), 𝑑(𝑠), 𝑏(𝑠) соответственно равны 𝜌, 𝑛 − 𝜌 − 1, 𝑛 − 𝜌. Перепишем модель объекта управления (7) как 𝑑(𝑠) 𝑦(𝑠), 𝑏(𝑠) 1 𝑦(𝑠) = (𝑢(𝑠) − 𝑧(𝑠)) . 𝑐(𝑠) 𝑧(𝑠) = (8) (9) Подсистемы (8) и (9) соответственно эквивалентны моделям в пространстве состояний 𝑧1̇ = 𝐴1̄ 𝑧1 + 𝑏̄1 𝑦, (10) 𝑧 = 𝑐1𝑇̄ 𝑧1 , (11) 𝑧2̇ = 𝐴2̄ 𝑧2 + 𝑏̄2 (𝑢 − 𝑧), (12) 𝑦 = 𝑐2𝑇̄ 𝑧2 . (13) Подставим выражения (11) в (12) и (13) в (10), после чего получим об- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 16 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ щую модель 𝑧1̇ = 𝐴1̄ 𝑧1 + 𝑏̄1 𝑐2𝑇̄ 𝑧2 , (14) 𝑧2̇ = −𝑏2 𝑐1𝑇̄ 𝑧1 + 𝐴2̄ 𝑧2 + 𝑏̄2 𝑢, (15) 𝑧 = 𝑐1𝑇̄ 𝑧1 , (16) 𝑦 = 𝑐2𝑇̄ 𝑧2 . (17) Перепишем (14)–(17) в виде: ⎡𝑧1̇ ⎤ = ⎡𝐴11 𝐴12 ⎤ ⎡𝑧1 ⎤ + ⎡ 0 ⎤ 𝑢, ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 𝑧 ̇ 𝐴 𝐴 ⎣ 21 22 ⎦ ⎣𝑧2 ⎦ ⎣𝑏2 ⎦ ⎣ 2⎦ (18) 𝑧1 ⎤ 𝑦 = [0 𝑐2𝑇 ] ⎡ ⎢ ⎥, ⎣ 𝑧2 ⎦ (19) где 𝐴11 = 𝐴1̄ , 𝐴12 = 𝑏̄1 𝑐2𝑇̄ , 𝐴21 = −𝑏2 𝑐1𝑇̄ , 𝐴22 = 𝐴2̄ и может быть выбрана во фробениусовой форме, что обеспечивает следующий вид векторов: 𝑏2 = 𝑏̄2 = [0 … 0 𝑏0 ], 𝑐2𝑇 = 𝑐2𝑇̄ = [1 0 … 0]. На основе векторно-матричной модификации метода «последовательного компенсатора» выберем закон управления: 𝑢 = −𝜅(𝑐𝑘𝑇 𝜉 + 𝑦), (20) 𝜉 ̇ = 𝐴𝑞 𝜉 + 𝑏𝑞 𝑦, (21) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 17 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ где 𝜅 > 0 матрица 𝐴𝑞 и векторы 𝑏𝑞 , 𝑐𝑘 имеют вид: ⎡ −𝑞𝜌 𝜎 ⎢−𝑞 𝜎2 ⎢ 𝜌−1 𝐴𝑞 = ⎢ ⋮ ⎢ ⎢−𝑞2 𝜎𝜌−1 ⎢ 𝜌 ⎣ −𝑞1 𝜎 1 0 ⋯ 0⎤ 0 1 ⋯ 0⎥ ⎥ ⎥, ⎥ 0 0 ⋯ 1⎥ ⎥ 0 0 ⋯ 0⎦ ⎡ 𝑞𝜌 𝜎 ⎤ ⎢𝑞 𝜎 2 ⎥ ⎢ 𝜌−1 ⎥ 𝑏𝑞 = ⎢ ⋮ ⎥ , ⎢ ⎥ 𝜌−1 ⎢𝑞2 𝜎 ⎥ ⎢ ⎥ 𝜌 ⎣ 𝑞1 𝜎 ⎦ ⎡ 𝑘1 ⎤ ⎢ 𝑘 ⎥ ⎢ 2 ⎥ 𝑐𝑘 = ⎢ ⋮ ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢𝑘𝜌−1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 𝑘𝜌 ⎦ (22) где 𝜎 > 0 и 𝑞𝑖 (𝑖 = 1, 𝜌) выбраны из условия гурвицевости системы (21), 𝑘𝑖 (𝑖 = 1, 𝜌) — коэффициенты произвольного гурвицева полинома вида 𝑘(𝑠) = 𝑘𝜌 𝑠𝜌−1 + ⋯ + 𝑘2 𝑠 + 𝑘1 . Предложенный регулятор обеспечивает устойчивость замкнутой системы при наличии сигнальной и параметрической неопределенности. Настройка регулятора выполняется засчет произвольного варьирования параметров 𝜎 и 𝜅. Что является достаточно комфортным для реализации расчетных алгоритмов. В следующем подразделе рассматривается вопрос настройки регулятора с целью обеспечения гарантированного быстродействия не менее заданного. 2.2 Анализ устойчивости в условиях наличия неучтённой динамики Рассмотрим объект управления (14)–(17): ⎡𝑧1̇ ⎤ = ⎡𝐴11 𝐴12 ⎤ ⎡𝑧1 ⎤ + ⎡ 0 ⎤ 𝑢,̄ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 𝑧 ̇ 𝐴 𝐴 2 21 22 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 𝑧 2 ⎦ ⎣ 𝑏2 ⎦ 𝑧1 ⎤ 𝑦 = [0 𝑐2𝑇 ] ⎡ ⎢ ⎥, ⎣𝑧2 ⎦ (23) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 18 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ при наличии асимптотически устойчивой неучтенной динамики: 𝑧3̇ = 𝜇−1 (𝐴33 𝑧3 + 𝑏3 𝑢), (24) 𝑢̄ = 𝑐3𝑇 𝑧3 , где 𝐴33 — гурвицева матрица, 𝜇 — это маленькое число, которое определяет скорость сходимости. Выберем закон управления (20)–(21): 𝑢 = −𝜅(𝑐𝑞𝑇 𝜉 + 𝑦), (25) 𝜉 ̇ = 𝐴𝑞 𝜉 + 𝑏𝑞 𝑦. Запишем замкнутую систему: 0 𝐴12 0 ⎤ ⎡ 𝑧1 ⎤ ⎡𝐴11 ⎡𝑧1̇ ⎤ ⎢𝑧 ̇ ⎥ ⎥ ⎢𝑧 ⎥ ⎢𝐴 𝐴22 𝑏2 𝑐3𝑇 0 21 2 ⎥ ⎢ 2⎥ . ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ 0 −𝜇−1 𝜅𝑏 𝑐𝑇 𝜇−1 𝐴 −𝜇−1 𝜅𝑏 𝑐𝑇 ⎥ ⎢𝑧 ⎥ ⎢𝑧 ̇ ⎥ 3 2 33 3 𝑞 3 ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ̇ 𝑏𝑞 𝑐2𝑇 0 𝐴𝑞 ⎦⎣𝜉 ⎦ ⎣ 0 ⎣𝜉⎦ (26) Проведем процедуру перехода к новому координатному базису: 𝜒 = 𝑧2 − 𝜉 и вычислим производную: 𝜒̇ = 𝑧2̇ − 𝜉 𝑇 𝑇 = 𝐴21 𝑧1 + (𝐴22 − 𝐴 + 𝑏⏟ 𝑞⏟ 𝑞𝑐 2 )𝑧2 + 𝑏2 𝑐3 𝑧3 + 𝐴𝑞 𝜒. ⏟⏟ ⏟ 𝐼0 Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 19 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Перепишем замкнутую систему (26) с учетом новой переменной𝜒: 𝐴12 0 0 ⎤ ⎡ 𝑧1 ⎤ ⎡𝑧1̇ ⎤ ⎡𝐴11 ⎥ ⎢𝑧 ⎥ ⎢𝑧 ̇ ⎥ ⎢𝐴 𝐴22 𝑏2 𝑐3𝑇 0 21 2 ⎥ ⎢ 2⎥ . ⎢ ⎥=⎢ ⎢𝑧 ̇ ⎥ ⎢ 0 −𝜇−1 𝜅𝑏 𝑐𝑇̄ 𝜇−1 𝐴 𝜇−1 𝜅𝑏 𝑐𝑇 ⎥ ⎢𝑧 ⎥ 3 33 3 𝑞 ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ 𝐴𝑞 𝑏2 𝑐3𝑇 ⎦⎣𝜒⎦ ⎣ 𝜒̇ ⎦ ⎣𝐴21 𝐴22 − 𝐼0 (27) Выберем вторую замену: 𝑇 + 𝑐𝑇 ) 𝑧 𝜚 = 𝑧3 + 𝜅𝑐3 (𝑐 𝑞⏟ ⏟⏟ ⏟2⏟ 2 𝑐𝑇̄ и вычислим производную: 𝜚 ̇ = 𝑧3̇ + 𝜅𝑐3 𝑐𝑇̄ 𝑧2̇ = −𝜇−1 𝜅𝑏3 𝑐𝑇̄ 𝑧2 + 𝜇−1 𝐴33 (𝜚 − 𝜅𝑐3 𝑐𝑇̄ 𝑧2 ) + 𝜇−1 𝜅𝑏3 𝑐𝑞𝑇 𝜒 + 𝜅𝑐3 𝑐𝑇̄ (𝐴21 𝑧1 + 𝐴22 𝑧2 + 𝑏2 𝑐3𝑇 (𝜚 − 𝜅𝑐3 𝑐𝑇̄ 𝑧2 )) −1 𝜅𝑏 𝑐 𝑇 −1 𝑇 = (−𝜇 3 ̄ − 𝜇 𝐴33 𝜅𝑐3 𝑐 ̄ ) 𝑧2 ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ 𝑇 −𝜇−1 (𝑏 3 +𝐴33 𝑐3 ) 𝜅𝑐 ̄ ⏟⏟⏟⏟⏟ 0 𝑇 𝑇 + 𝜅𝑐3 𝑐𝑇̄ 𝐴21 𝑧1 + (𝜅𝑐3 𝑐𝑇̄ (𝐴22 − 𝜅𝑏2 𝑐⏟ 3 𝑐3 𝑐 ̄ ))𝑧2 1 + (𝜇−1 𝐴33 + 𝜅𝑐3 𝑐𝑇̄ 𝑏2 𝑐3𝑇 )𝜚 + 𝜇−1 𝜅𝑏3 𝑐𝑞𝑇 𝜒. Перепишем замкнутую систему (27) с учетом новой переменной 𝜚: 𝐴12 0 0 ⎡𝑧1̇ ⎤ ⎡ 𝐴11 ⎤ ⎡𝑧1 ⎤ 𝑇 𝑇 ⎢𝑧 ̇ ⎥ ⎢ 𝐴 ⎥ ⎢𝑧 ⎥ 𝐴22 − 𝜅𝑏2 𝑐 ̄ 𝑏2 𝑐3 0 21 ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ . 𝑇 𝑇 −1 𝑇 𝑇 −1 𝑇⎥⎢ ⎢ 𝜚̇ ⎥ ⎢𝜅𝑐 𝑐𝑇̄ 𝐴 𝐴33 + 𝜅𝑐3 𝑐 ̄ 𝑏2 𝑐3 𝜇 𝜅𝑏3 𝑐𝑞 𝜚⎥ 21 𝜅𝑐3 𝑐 ̄ (𝐴22 − 𝜅𝑏2 𝑐 ̄ ) 𝜇 ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥⎢ ⎥ 𝐴22 − 𝐼0 − 𝜅𝑏2 𝑐𝑇̄ 𝑏2 𝑐3𝑇 𝐴𝑞 ⎣ 𝜒̇ ⎦ ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ ⎣ 𝐴21 ⎦⎣𝜒⎦ (28) A4 В результате двух замен координат мы получили замкнутую систему Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 20 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ такого вида, что Гурвицевость всей матрицы состояний представленна в явном виде. Все диагональные блоки, начиная от 𝐴11 до матрицы состояний целиком, устойчивы засчет коэффициентов 𝜇, 𝜅, 𝜎. Первый блок A1 ∶= 𝐴11 Гурвицев в силу Допущения 1. Второй блок 𝐴11 𝐴12 ⎤ A2 ∶= ⎡ ⎢ ⎥ 𝑇 𝐴 𝐴 − 𝜅𝑏 𝑐 ̄ 21 22 2 ⎣ ⎦ Гурвицев засчет выбора достаточно большого значения коэффициента усиления 𝜅. Обратим внимание, что 𝜅 присутствует только в элементе (2, 2) матрицы состояний, тогда как другие элементы от него не зависят. Таким образом, его увеличение сдвигается все собственные значения блока влево от мнимой оси. Третий блок: 𝐴12 0 ⎡ 𝐴11 ⎤ ⎢ ⎥ A3∶=⎢ 𝐴21 𝐴22 −𝜅𝑏2 𝑐𝑇̄ 𝑏2 𝑐3𝑇 ⎥ ⎢ ⎥ 𝑇 𝑇 𝑇 −1 𝑇 𝑇 ⎣𝜅𝑐3 𝑐 ̄ 𝐴21 𝜅𝑐3 𝑐 ̄ (𝐴22 −𝜅𝑏2 𝑐 ̄ ) 𝜇 𝐴33 +𝜅𝑐3 𝑐 ̄ 𝑏2 𝑐3 ⎦ Гурвицев из-за малого значения 𝜇, умноженного на устойчивую матрицу 𝐴33 . Аналогичные рассуждения применимы ко всей матрицы состояний A4 в целом. Параметр 𝜎, присутствующий только на позиции (3, 3), можно выбрать так, что все собственные значения будут размещены в левой части комплексной плоскости. В результате матрица состояний замкнутой системы является гурвицевой. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 21 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 2.3 Обеспечение гарантированного быстродействия не менее заданного Введём дополнительно допущение о номинальных параметрах объекта: Д о п у щ е н и е 5 Номинальные параметры объекта (6) известны, в этом случае матрица 𝐴 и вектора 𝑏 и 𝑐 рассматриваются в виде 𝐴 = 𝐴0 + Δ𝐴, 𝑏 = 𝑏0 + Δ𝑏, 𝑐𝑇 = [1 0 … 0] , где 𝐴0 и 𝑏0 — известные номинальные параметры, Δ𝐴 и Δ𝑏 — ограниченная параметрическая неопределенность. Мы можем использовать степень устойчивости 𝛼, для обеспечения быстродействия не менее заданного, т.к. она связана с временем переходного процесса 𝜏 соотношением [21; 22]: 𝜏∗ ≈ 1 1 ln , 𝛼∗ Δ∗ где Δ∗ — относительная погрешность. При Δ∗ = 0, 05 имеем 𝜏∗ ≈ 3 , 𝛼∗ 𝛼∗ ≈ 3 . 𝜏∗ откуда выразим (29) З а м е ч а н и е 1 () Задача обеспечения времени переходного процесса не более заданного (5) эквивалентна задаче обеспечения степени устойчивости не менее рассчитанного с помощью (29) 𝛼 ≥ 𝛼∗ . (30) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 22 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Объединяя объект (6) с законом управления (20), (21) получим модель замкнутой системы ̇ 𝐴 − 𝑏𝑐𝑇 −𝑏𝑐𝑘𝑇 ⎤ ⎡𝑥⎤ ⎡𝑥⎤ ⎡ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥. 𝑇 ̇ 𝜉 𝑏 𝑐 𝐴 𝑞 ⎦ ⎣𝜉 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 𝑞 (31) Введем новую переменную 𝜒 = 𝜄𝑐𝑇 𝑥 − 𝜉, 𝑇 где 𝜄 = [1 0 … 0] , и вычислим ее производную: 𝜒̇ = 𝜄𝑐𝑇 𝑥̇ − 𝜉 ̇ = = 𝜄𝑐𝑇 (𝐴 − 𝑏(1 + 𝑐𝑘𝑇 𝜄)𝑐𝑇 )𝑥 + (𝜄𝑐𝑇 𝑏𝑐𝑘𝑇 + 𝐴𝑞 )𝜒. Перепишем модель замкнутой системы (31) с использованием новой переменной 𝜒: 𝑇 𝑇 𝑏𝑐𝑘𝑇 ⎤ ⎡𝑥⎤ . ⎡𝑥̇⎤ = ⎡ 𝐴 − 𝑏(1 + 𝑐𝑘 𝜄)𝑐 ⎥⎢ ⎥ ⎢ 𝑇 ⎢ ⎥ 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝜄𝑐 (𝐴 − 𝑏(1 + 𝑐 𝜄)𝑐 𝜄𝑐 𝑏𝑐 + 𝐴 𝜒 ̇ 𝑞 ⎦ ⎣ 𝜒⎦ 𝑘 𝑘 ⎣ ⎦ ⎣ (32) Запишем систему (32) в компактном виде: ẋ = Ax, (33) 𝑦 = c𝑇 x, (34) где 𝐴 − 𝑏(1 + 𝑐𝑘𝑇 𝜄)𝑐𝑇 𝑏𝑐𝑘𝑇 ⎡ ⎤, A=⎢ ⎥ 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝜄𝑐 (𝐴 − 𝑏(1 + 𝑐 𝜄)𝑐 𝜄𝑐 𝑏𝑐 + 𝐴 𝑞⎦ 𝑘 𝑘 ⎣ 𝑥⎤ x=⎡ ⎢ ⎥, ⎣ 𝜒⎦ 𝑐⎤ c=⎡ ⎢ ⎥. ⎣0⎦ Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 23 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ С учетом Допущения 5 (33) примет вид: ẋ = (A0 + ΔA)x, (35) где A0 𝐴0 − 𝑏0 (1 + 𝑐𝑘𝑇 𝜄)𝑐𝑇 𝑏0 𝑐𝑘𝑇 ⎡ ⎤, = ⎢ ⎥ 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝜄𝑐 (𝐴 − 𝑏 (1 + 𝑐 𝜄)𝑐 𝜄𝑐 𝑏 𝑐 + 𝐴 0 0 0 𝑘 𝑞⎦ 𝑘 ⎣ Δ𝐴 − Δ𝑏(1 + 𝑐𝑘𝑇 𝜄)𝑐𝑇 Δ𝑏𝑐𝑘𝑇 ⎤ ⎡ ΔA = ⎢ ⎥. 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 ⎣𝜄𝑐 (Δ𝐴 − Δ𝑏(1 + 𝑐𝑘 𝜄)𝑐 𝜄𝑐 Δ𝑏𝑐𝑘 ⎦ Выполним параметризацию матрицы A0 модели (35): A0 = Ā + b𝑐̄ 𝑘𝑇 c𝑇̄ , (36) где 𝐴0 − 𝑏 0 𝑐 𝑇 0⎤ ⎡ ̄ A = ⎢ ⎥, 𝑇 𝑇 ⎣𝜄𝑐 (𝐴0 − 𝑏0 𝑐 ) 𝐴𝑞 ⎦ 𝑏0 ⎤ b̄ = ⎡ ⎢ 𝑇 ⎥, ⎣𝜄𝑐 𝑏0 ⎦ c𝑇̄ = [−𝜄𝑐𝑇 𝐼 ] . (37) Примем ΔA = 0, тогда для стабилизации объекта со степенью устойчивости не менее заданной 𝛼∗ (30) достаточно существование положительно определенной симметрической матрицы 𝑃 = 𝑃 𝑇 > 0, удовлетворяющей матричному неравенству Ляпунова: A𝑇0 𝑃 + 𝑃 A0 + 2𝛼∗ 𝑃 < 0, (38) Подставим (36) в (38), получим: (Ā + b𝑐̄ 𝑘𝑇 c𝑇̄ )𝑇 𝑃 + 𝑃 (Ā + b𝑐̄ 𝑘𝑇 c𝑇̄ ) + 2𝛼∗ 𝑃 < 0, (39) Ā 𝑇 𝑃 + c𝑐̄ 𝑘 b̄𝑇 𝑃 + 𝑃 Ā + 𝑃 b𝑐̄ 𝑘𝑇 c𝑇̄ + 2𝛼∗ 𝑃 < 0, (40) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 24 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Перепишем (40) в канонической форме: 𝑀 + 𝑁 𝑇 𝑐𝑘 𝐿 + 𝐿𝑇 𝑐𝑘𝑇 𝑁 < 0, (41) где 𝑀 = Ā 𝑇 𝑃 + 𝑃 Ā + 2𝛼∗ 𝑃 , 𝑁 = c𝑇̄ , 𝐿 = b̄𝑇 𝑃 . Неравенство (41) разрешимо при выполнении следующих условий 𝑇 𝑊𝑁 𝑀 𝑊𝑁 < 0, (42) 𝑊𝐿𝑇 𝑀 𝑊𝐿 < 0, (43) где столбцы матриц 𝑊𝑁 и 𝑊𝐿 образуют базисы ядер матриц 𝑁 и 𝐿, соответственно. Заметим, что 𝑊𝐿 = 𝑃 −1 𝑊b̄𝑇 = 𝑅𝑊b̄𝑇 , (44) где 𝑅 > 0, столбцы матрицы 𝑊b̄𝑇 образуют базис ядра b̄𝑇 . С учетом (44) условие разрешимости (43) линейного матричного неравенства (41) можно переписать следующим образом: ̄ + 2𝛼∗ 𝑅)𝑊b̄𝑇 < 0. 𝑊b𝑇̄𝑇 (𝑅Ā 𝑇 + A𝑅 (45) Задача расчета вектора параметров управления 𝑐𝑘 для обеспечения степени устойчивости не менее 𝛼∗ сводится к поиску взаимнообратных матриц 𝑃 Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 25 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ и 𝑅, удовлетворяющих условиям: 𝑊c𝑇𝑇̄ (Ā 𝑇 𝑃 + 𝑃 Ā + 2𝛼∗ 𝑃 )𝑊c𝑇̄ < 0, (46) ̄ + 2𝛼∗ 𝑅)𝑊b̄𝑇 < 0, 𝑊b𝑇̄𝑇 (𝑅Ā 𝑇 + A𝑅 (47) 𝑃 > 0, 𝑅 > 0, (48) 𝑃 𝑅 = 𝐼, (49) где 𝑊c𝑇̄ = 𝑊𝑁 , 𝐼 — единичная матрица. Проанализируем робастность алгоритма при ΔA ≠ 0. Исследуем устойчивость системы (35) с помощью кандидат-функции Ляпунова 𝑉 = x𝑇 𝑃 x, (50) где 𝑃 удовлетворяет (46)–(49). Продифференцировав (50), получим 𝑉 ̇ = x𝑇 (A𝑇0 𝑃 + 𝑃 A0 )x + x𝑇 (ΔA𝑇 𝑃 + 𝑃 ΔA)x = = −2𝛼∗ x𝑇 𝑃 x + x𝑇 (ΔA𝑇 𝑃 + 𝑃 ΔA)x ≤ ≤ −2𝛼∗ x𝑇 𝑃 x + 2‖ΔA‖‖𝑃 ‖x𝑇 x ≤ 𝜆 {𝑃 } 𝑇 ≤ −2𝛼∗ x𝑇 𝑃 x + 2‖ΔA‖ 𝑚𝑎𝑥 x 𝑃x ≤ 𝜆𝑚𝑖𝑛 {𝑃 } 𝜆 {𝑃 } ≤ −2 (𝛼∗ − ‖ΔA‖ 𝑚𝑎𝑥 )𝑉, 𝜆𝑚𝑖𝑛 {𝑃 } ⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ (51) 𝛽 что при 𝛽 > 0 эквивалентно выполнению неравенства (A0 + Δ𝐴)𝑇 𝑃 + 𝑃 (A0 + Δ𝐴) + 2𝛽𝑃 < 0. (52) Используя алгоритм поиска взаимнообратных матриц, описанный в работах [23; 24], а также в обзорной статье [25], и определив оптимальное зна- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 26 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ чение матрицы 𝑃 , удовлетворяющее условиям (46)–(49), как функцию от 𝐴0 , 𝑏0 и 𝛼∗ , можем записать, что при ‖ΔA‖ < 𝛼∗ 𝜆𝑚𝑖𝑛 {𝑃 } 𝜆𝑚𝑎𝑥 {𝑃 } (53) справедливо 𝑉 ̇ ≤ −2𝛽𝑉 , откуда следует экспоненциальная устойчивость системы (35). Далее запишем 𝑉 (𝑡) ≤ 𝑒−2𝛽𝑡 𝑉 (0), откуда с учетом (50) следует ‖𝑥(𝑡)‖ = ≤ = ≤ √ 𝑥𝑇 𝑥 ≤ √ 1 𝑥𝑇 𝑃 𝑥 = √𝜆𝑚𝑖𝑛 {𝑃 } √ 1 𝑉 ≤ √𝜆𝑚𝑖𝑛 {𝑃 } 1 𝑒−𝛽𝑡 √𝑥𝑇 (0)𝑃 𝑥(0) ≤ √𝜆𝑚𝑖𝑛 {𝑃 } ≤ √ 𝜆𝑚𝑎𝑥 {𝑃 } −𝛽𝑡 𝑒 ‖𝑥(0)‖, 𝜆𝑚𝑖𝑛 {𝑃 } {𝑃 } откуда при 𝑥 ∈ Δ𝑟 = 0, 05√ 𝜆𝜆𝑚𝑎𝑥{𝑃 } ‖𝑥(0)‖ обеспечивается время переходного 𝑚𝑖𝑛 процесса, удовлетворяющее 𝜏≈ 3 . 𝛽 (54) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 27 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 2.4 Идентификация номинальных параметров модели В случае, когда номинальные параметры объекта неизвестны, для применения Допущения 5 параметры могут быть идентифицированы. Для идентификации параметров используя только сигналы входа и выхода без выполнения операций дифференцирования можно воспользоваться градиентным подходом, расширенным фильтром Калмана, а также методом динамически расширения регрессора. 2.4.1 Градиентный подход Рассмотрим квадратичный критерий качества: 1 ̂ 2. 𝐽 (𝑡, 𝜃)̂ = (𝜓(𝑡) − 𝜔𝑇 (𝑡)𝜃(𝑡)) 2 (55) Основная идея градиентного подхода состоит в движении вдоль направления анти-градиента ∇𝜃 𝐽 ̂ минимизируя критерий (55). Тогда алгоритм оценивания будет: ̇ ̂ 𝜃 ̂ = 𝛾𝜔(𝑡)(𝜓(𝑡) − 𝜔𝑇 (𝑡)𝜃(𝑡)), (56) где 𝛾 — скалярный коэффициент адаптации. При ограниченном регрессоре алгоритм оценивания (56) обеспечивает асимптотическую сходимость сигнала ошибки к нулю. Тем не менее, этот подход не гарантирует сходимость параметров к истинным значениям параметров. Для обеспечения сходимости к истинным значениям необходимо, чтобы регрессор 𝜔 удовлетворял условию неисчезающего возбуждения: 𝑡+𝑇 ∫ 𝜔(𝜏 )𝜔(𝜏 )𝑇 𝑑𝜏 ≥ 𝛾𝐼. (57) 𝑡 Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 28 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 2.4.2 Расширенный фильтр Калмана Фильтр Калмана широко применяется в задачах управления. Свою популярность он обрёл благодаря своей способности фильтровать шум, прогнозировать и восстанавливать неизмеренные состояния. Метод градиентного спуска (56) модифициется для улучшения переходных процессов оценщика [26—28]. Алгоритм оценивания рассмотрим в виде: ̇ ̂ ̂ 𝜉 ̈ − 𝜔𝑇 𝜃), 𝜃 ̂ = −Γ𝜔( ̇ ̂ 𝑇 Γ̂ + 𝛽 Γ,̂ Γ̂ = −Γ𝜔𝜔 (58) (59) ̂ ̂ 𝑇 > 0, 𝑘0 𝐼 ≥ Γ(0) = Γ(0) (60) где Γ̂ — матрица коэффициентов адаптации, 𝛽 > 0 — коэффициент регуляризации, 𝑘0 > 0 — начальное значение матрицы коэффициентов адаптации. 2.4.3 Метод динамически расширяемого регрессора Рассматриваемые выше алгоритмы зависят от выполнения условия неисчезающего возбуждения (57). Это ограничение можно ослоабить с помощью метода динамичи расширяемого регрессора (DREM), который был предложен в [29; 30]. Введем дополнительные 𝑚 − 1 линейные 𝐿∞ -устойчивые операторы задержки 𝑑𝑚 , где 𝑚 — размерность регрессора 𝜔. Таким образом мы обеспечиваем расширение исходного регрессора (81). В результате получим отфильтрованные сигналы: 𝜔𝑑𝑚 (𝑡) = 𝜔𝑚 (𝑡 − 𝑑𝑚 ), ̈ (𝑡) = 𝜉𝑚 ̈ (𝑡 − 𝑑𝑚 ), 𝜉𝑑𝑚 Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 29 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ которые можно скомбинировать: ̈ ⎡ 𝜉(𝑡) ⎤ ⎢ 𝜉 ̈ (𝑡) ⎥ ⎢ 𝑑1 ⎥ ⎢ ̈ Ξ(𝑡) = 𝜉𝑑2 (𝑡) ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋮ ⎢ ⎥ ̈ ⎣𝜉𝑑(𝑚−1) (𝑡)⎦ 𝑇 ⎡ 𝜔 (𝑡) ⎤ ⎢ 𝜔𝑇 (𝑡) ⎥ 𝑑1 ⎢ ⎥ 𝑇 ⎢ Ω(𝑡) = 𝜔𝑑2 (𝑡) ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋮ ⎢ ⎥ 𝑇 ⎣𝜔𝑑(𝑚−1) (𝑡)⎦ Алгоритм оценки на базе метода динамически расширяемого регрессора рассмотрим в виде: ̇ ̂ 𝜃 ̂ = 𝐾 det{Ω}(adj{Ω}Ξ − det{Ω}𝜃), (61) где Ω — расширенный регрессор, Ξ — расширенный вектор переменных 𝜉,̈ 𝐾 > 0 — диагональная матрица коэффициентов адаптации. На основе предложенных подходов к идентификации параметров модели объекта, можно реализовать оценку номинальных параметров. Номинальные параметры позволяют проводить настройку регулятора при помощи инструментария линейных матричных неравенств. 2.5 Компенсация детерминированного внешнего возмущения Для компенсации внешних детерминированных возмущений в закон управления 20 и 21 необходимо интегрировать внутряннюю модель. Рассмотрим систему вида 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝑏𝑢 + 𝑅𝑤, (62) 𝑦 = 𝑐𝑇 𝑥, (63) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 30 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ где 𝑥 ∈ ℝ𝑛 — вектор состояния, 𝑢 ∈ ℝ1 — управляющий сигнал, 𝑤 ∈ ℝ𝑛𝑤 — вектор возмущающих воздействий, 𝑦 ∈ ℝ1 — измеряемая выходная переменная, 𝐴, 𝑅, 𝑏, 𝑐 — матрицы и векторы соответствующих размерностей. Вектор возмущающих воздействий 𝑤 рассматривается как состояние линейной системы вида 𝑤̇ = 𝑆(𝜚)𝑤, (64) где 𝜚 — вектор параметров, 𝑆 — матрица соответствующей размерности. Примем во внимания Допущения 1 и 2 относительно объекта (62), (63), а также дополним их следующими. Д о п у щ е н и е 6 Вектор 𝜚 генератора возмущений (64) известен. Целью является разработка такого закона управления 𝑢 с использованием измерений только выходной переменной 𝑦, который обеспечивает выполнение соотношения lim 𝑦(𝑡) = 0 𝑡→∞ в условиях наличия в канале управления внешних возмущений. Выполним замену переменных для выделения нуль-динамики системы. Модель объекта (62), (63) в форме «вход-выход» имеет вид: 𝑦(𝑠) = 𝑏(𝑠) 𝑟(𝑠) 𝑢(𝑠) + 𝑤(𝑠), 𝑎(𝑠) 𝑎(𝑠) (65) где 𝑏(𝑠) — гурвицев полином в силу Допущения 1. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 31 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Выполним следующие преобразования модели (65): 𝑎(𝑠) 𝑟(𝑠) 𝑦(𝑠) = 𝑢(𝑠) + 𝑤(𝑠), 𝑏(𝑠) 𝑏(𝑠) 𝑑(𝑠) 𝑟 (𝑠) (𝑐(𝑠) + ) 𝑦(𝑠) = 𝑢(𝑠) + (𝑟2 (𝑠) + 1 ) 𝑤(𝑠), 𝑏(𝑠) 𝑏(𝑠) 𝑟 (𝑠) 𝑑(𝑠) 𝑦(𝑠) + 1 𝑤(𝑠)) + 𝑟2 (𝑠)𝑤(𝑠).(66) 𝑐(𝑠)𝑦(𝑠) = (𝑢(𝑠) − 𝑏(𝑠) 𝑏(𝑠) Степени полиномов 𝑑(𝑠), 𝑟2 (𝑠) 𝑐(𝑠), 𝑏(𝑠), 𝑟1 (𝑠) соответственно равны 𝑛 − 𝜌 − 1, 𝑛 − 𝜌 − 1, 𝜌, 𝑛 − 𝜌, 𝜌 − 1. Перепишем модель объекта управления (66) как 𝑟 (𝑠) 𝑑(𝑠) 𝑦(𝑠) − 1 𝑏(𝑠) 𝑏(𝑠) 1 𝑟 (𝑠) 𝑦(𝑠) = (𝑢(𝑠) − 𝑧(𝑠)) + 2 𝑤(𝑠), 𝑐(𝑠) 𝑐(𝑠) 𝑧(𝑠) = что эквивалентно модели в пространстве состояний ⎡𝑧1̇ ⎤ = ⎡𝐴11 𝐴12 ⎤ ⎡𝑧1 ⎤ + ⎡ 0 ⎤ 𝑢 + ⎡𝑅1 ⎤ 𝑤, ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 𝑏 𝑧 𝐴 𝐴 𝑧 ̇ 2 2 21 22 2 ⎣𝑅2 ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ (67) 𝑧1 ⎤ 𝑦 = [0 𝑐2𝑇 ] ⎡ ⎢ ⎥. ⎣ 𝑧2 ⎦ (68) Выделим ключевые свойства системы (67)–(68). – Матрица 𝐴11 гурвицева в силу Допущения 1. – Матрица 𝐴22 может быть выбрана во фробениусовой форме, что обес- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 32 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ печивает следующий вид векторов 𝑏2 и 𝑐2 : ⎡0⎤ ⎢⋮⎥ 𝑏2 = ⎢ ⎥ , ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 𝑏0 ⎦ ⎡1⎤ ⎢0⎥ 𝑐2 = ⎢ ⎥ . ⎢⋮⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ Выберем закон управления вида 𝑢 = −𝜅(𝑐𝑘𝑇 𝜉 + 𝑦) − 𝛾 𝑇 𝜂, (69) 𝜉 ̇ = 𝐴𝑞 𝜉 + 𝑏𝑞 𝑦, (70) 𝜂 ̇ = Φ𝜂 + 𝑔(𝜅(𝑐𝑘𝑇 𝜉 + 𝑦) + 𝛾 𝑇 𝜂), (71) где 𝜅 > 0 матрица 𝐴𝑞 и векторы 𝑏𝑞 , 𝑐𝑘 имеют вид: ⎡ −𝑞𝜌 𝜎 ⎢−𝑞 𝜎2 ⎢ 𝜌−1 𝐴𝑞 = ⎢ ⋮ ⎢ ⎢−𝑞2 𝜎𝜌−1 ⎢ 𝜌 ⎣ −𝑞1 𝜎 1 0 ⋯ 0⎤ 0 1 ⋯ 0⎥ ⎥ ⎥, ⎥ 0 0 ⋯ 1⎥ ⎥ 0 0 ⋯ 0⎦ ⎡ 𝑞𝜌 𝜎 ⎤ ⎢𝑞 𝜎 2 ⎥ ⎢ 𝜌−1 ⎥ 𝑏𝑞 = ⎢ ⋮ ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢𝑞2 𝜎𝜌−1 ⎥ ⎢ ⎥ 𝜌 ⎣ 𝑞1 𝜎 ⎦ ⎡ 𝑘1 ⎤ ⎢ 𝑘 ⎥ ⎢ 2 ⎥ 𝑐𝑘 = ⎢ ⋮ ⎥ , ⎥ ⎢ ⎢𝑘𝜌−1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 𝑘𝜌 ⎦ где 𝜎 > 0, и 𝑞𝑖 (𝑖 = 1, 𝜌) выбраны из условия гурвицевости системы (70), 𝑘𝑖 (𝑖 = 1, 𝜌) — коэффициенты произвольного гурвицева полинома вида 𝑘(𝑠) = 𝑘𝜌 𝑠𝜌−1 + ⋯ + 𝑘2 𝑠 + 𝑘1 , матрица Φ — произвольная гурвицева матрица во фробениусовой форме раз- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 33 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ мерности 𝑛𝑤 × 𝑛𝑤 , векторы 𝑔𝑇 = [0 0 ⋯ 0 1] и 𝛾 удовлетворяют 𝜆{Φ + 𝑔𝛾 𝑇 } = 𝜆{𝑆}. 2.6 Антивиндап-коррекция при ограничениях на входные сигналы Выберем закон управления вида 𝜐 = −𝜅(𝑐𝑘𝑇 𝜉 + 𝑦) − 𝛾𝜂, (72) 𝜉 ̇ = 𝐴𝑞 𝜉 + 𝑏𝑞 𝑦, (73) 𝜂 ̇ = 𝜅(𝑐𝑘𝑇 𝜉 + 𝑦) + 𝜈𝜘(𝜐), (74) 𝜘(𝜐) = 𝜐 − sat(𝜐), (75) где 𝜘(𝜐) — нелинейный сигнал антивиндап-коррекции, 𝜅 > 0, 𝛾 > 0, 𝜈 > 0, матрица 𝐴𝑞 и векторы 𝑏𝑞 , 𝑐𝑘 имеют вид: ⎡ −𝑞𝜌 𝜎 ⎢−𝑞 𝜎2 ⎢ 𝜌−1 𝐴𝑞 = ⎢ ⋮ ⎢ ⎢−𝑞2 𝜎𝜌−1 ⎢ 𝜌 ⎣ −𝑞1 𝜎 1 0 ⋯ 0⎤ 0 1 ⋯ 0⎥ ⎥ ⎥, ⎥ 0 0 ⋯ 1⎥ ⎥ 0 0 ⋯ 0⎦ ⎡ 𝑞𝜌 𝜎 ⎤ ⎢𝑞 𝜎 2 ⎥ ⎢ 𝜌−1 ⎥ 𝑏𝑞 = ⎢ ⋮ ⎥ , ⎥ ⎢ 𝜌−1 ⎢𝑞2 𝜎 ⎥ ⎢ ⎥ 𝜌 ⎣ 𝑞1 𝜎 ⎦ ⎡ 𝑘1 ⎤ ⎢ 𝑘 ⎥ ⎢ 2 ⎥ 𝑐𝑘 = ⎢ ⋮ ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢𝑘𝜌−1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 𝑘𝜌 ⎦ где 𝜎 > 0 и 𝑞𝑖 (𝑖 = 1, 𝜌) выбраны из условия гурвицевости системы (73), 𝑘𝑖 (𝑖 = 1, 𝜌) — коэффициенты произвольного гурвицева полинома вида 𝑘(𝑠) = 𝑘𝜌 𝑠𝜌−1 + ⋯ + 𝑘2 𝑠 + 𝑘1 . Интеграция контура антивиндап-коррекции обеспечивает глобальную асимптотическую устойчивость предложенного алгоритма [31]. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 34 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 3 Применение алгоритма к киберфизическим системам В настоящем разделе рассматривается приложение алгоритмов управления рассмотренных в разделе 2 к классу киберфизических систем. В пункте 3.1 решаются задачи управления морскими киберфизическими системами, а именно наводным судном. Решена задача идентификации неизвестных параметров модели наводного судна, с последующим применением этих параметров для синтеза регулятора с целью стабилизации угла крена судна. Также решена задача удержания заданного положения наводным судном. В пункте 3.2 рассматривается применение алгоритмов управления к промышленным киберфизическим системам, где решена задача независимого управления звеньями манипуляционного робота. В качестве примера транспортной киберфизической системы в пункте 3.3 рассматривается задача стабилизации углов крена и тангажа беспилотным летательным аппаратом типа квадрокоптер. 3.1 Морские киберфизические системы 3.1.1 Гиростабилизация крена наводного судна Важной проблемой управления в морских условиях является стабилизация волновой качки. Внешних помехи, вызванные волнами и течением, воздействующие на судно, могут вызвать дискомфорт у пассажиров, снизить эффективность работы экипажа, а также повредить груз при перевозке. Устранение этих помех и стабилизация движения крена позволяют не только улучшить бортовые условия, но также упростить задачу слежения за курсом и повысить эффективность использования топлива. Один из подходов к управлению движением в крене надводного судна является в использовании гиростабилизато- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 35 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ ров [32; 33]. Их реализация не вызывает каких-либо дополнительных гидродинамических эффектов, чем и обусловлена привлекательность такого решения. Рассмотрим модель движения надводного судна в крене с гиростабилизатором, предложенную [34], в виде: 𝐼𝑣 𝜙 ̈ + 𝐵𝑣 𝜙 ̇ + 𝐶𝑣 𝜙 = 𝜏𝑤 − 𝑛𝐾𝑔 𝛼̇ cos 𝛼, (76) 𝐼𝑔 𝛼̈ + 𝐵𝑔 𝛼̇ + 𝐶𝑔 sin 𝛼 = 𝐾𝑔 𝜙 ̇ cos 𝛼 + 𝜏𝑝 (77) где 𝜙 — угол крена судна, 𝜏𝑤 — момент крена вызваный волновой качкой, 𝛼 — угол прецессии, 𝜏𝑝 — управляющий прецессионный момент, 𝐼𝑣 — момент инерции судна, 𝐵𝑣 — коэффициент депфирования крена, включающий потенциальные и вязкие эффекты, 𝐶𝑣 — коэффициент восстановления крена, 𝐼𝑔 — инерция вдоль оси прецессии. Модель является нелинейной, для её линеаризации введем допущение о величине угла 𝛼. Д о п у щ е н и е 7 Угол прецессии 𝛼 достаточно мал, так что выполняется соотношение |𝛼| < 1 [рад], тогда 𝛼̇ cos 𝛼 ≈ 𝛼,̇ 𝜙 ̇ cos 𝛼 ≈ 𝜙.̇ С учетом Допущения 7 модель (76)–(77) примет вид: 𝐼𝑣 𝜙 ̈ + 𝐵𝑣 𝜙 ̇ + 𝐶𝑣 𝜙 = 𝜏𝑤 − 𝑛𝐾𝑔 𝛼,̇ (78) 𝐼𝑔 𝛼̈ + 𝐵𝑔 𝛼̇ + 𝐶𝑔 𝛼 = 𝐾𝑔 𝜙 ̇ + 𝜏𝑝 . (79) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 36 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Измерению, кроме управляющего момента 𝜏𝑝 , доступны сигналы 𝜙 и 𝛼. Для процедуры идентификации необходимы их первые и вторые производные, но они не доступны. Поэтому, мы вводим произвольный линеный фильтр вида: 𝜆𝑘 𝜉(𝑠) = , (𝑠 + 𝜆)𝑘 (80) где 𝜆 — произвольный положительный скаляр, 𝑘 = 2. Домножив (78) и (79) на фильтр с обоих сторон получим: 𝜆2 𝜆2 2 [𝐼 𝑠 𝜙(𝑠) + 𝐵𝜙 𝑠𝜙(𝑠) + 𝐶𝜙 𝜙(𝑠)] = [𝜏 (𝑠) − 𝑛𝐾𝑔 𝑠𝛼(𝑠)] , (𝑠 + 𝜆)2 𝜙 (𝑠 + 𝜆)2 𝑤 𝜆2 𝜆2 2 [𝐼 𝑠 𝛼(𝑠) + 𝐵𝛼 𝑠𝛼(𝑠) + 𝐶𝛼 𝛼(𝑠)] = [𝜏 (𝑠) + 𝐾𝑔 𝑠𝜙(𝑠)] , (𝑠 + 𝜆)2 𝛼 (𝑠 + 𝜆)2 𝑝 что можно представить компактнее: 𝐼𝜙 𝑠2 𝜉𝜙 (𝑠) + 𝐵𝜙 𝑠𝜉𝜙 (𝑠) + 𝐶𝜙 𝜉𝜙 (𝑠) = 𝜉𝜏𝑤 (𝑠) − 𝑛𝐾𝑔 𝑠𝜉𝛼 (𝑠), 𝐼𝛼 𝑠2 𝜉𝛼 (𝑠) + 𝐵𝛼 𝑠𝜉𝛼 (𝑠) + 𝐶𝛼 𝜉𝛼 (𝑠) = 𝜉𝜏𝑝 (𝑠) + 𝐾𝑔 𝑠𝜉𝜙 (𝑠), введя новые обозначения: 𝜆2 𝜉𝜙 (𝑠) = 𝜙(𝑠), (𝑠 + 𝜆)2 𝜉𝜏𝑝 (𝑠) = 𝜆2 𝜏 (𝑠), (𝑠 + 𝜆)2 𝑝 𝜆2 𝜉𝛼 (𝑠) = 𝛼(𝑠), (𝑠 + 𝜆)2 𝜉𝜏𝑤 (𝑠) = 𝜆2 𝜏 (𝑠). (𝑠 + 𝜆)2 𝑤 Выполняя обратное преобразование Лапласа и записав в векторноматричной форме, получим линейную регрессионную модель: 𝜓 ̈ = 𝜔𝑇 𝜃, (81) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 37 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ где 𝜉𝜙 ⎤ 𝜓=⎡ ⎢ ⎥, ⎣𝜉𝛼 ⎦ 𝜔𝜙 ⎤ 𝜔=⎡ ⎢ ⎥, ⎣𝜔𝛼 ⎦ 𝜔𝜙 = [𝜉𝜙 𝜉𝜙̇ 𝜉𝛼̇ 𝜉𝜏 ] , 𝑤 𝜔𝛼 = [𝜉𝛼 𝜉𝛼̇ 𝜉𝜙̇ 𝜉𝜏 ] , 𝑝 𝜃𝜙 ⎤ 𝜃=⎡ ⎢ ⎥, ⎣𝜃𝛼 ⎦ 𝐶 𝐵 𝜃𝜙𝑇 = [− 𝐼 𝜙 − 𝐼 𝜙 − 𝜙 𝜙 𝑇 𝜃𝛼 = [− 𝐶𝐼 𝛼 − 𝐵𝐼 𝛼 𝛼 𝛼 𝑛𝐾𝑔 𝐼𝜙 𝐾𝑔 𝐼𝛼 1 ], 𝐼𝜙 1 ]. 𝐼𝛼 Все сигналы регрессора 𝜔 модели (81) доступны, кроме момента крена вызванного волновой качкой 𝜏𝑤 . Предположим, что процедура идентификации параметров проводится в условиях, где на объект не действует волновая качка 𝜏𝑤 = 0. Для полученной регрессионной модели (81) проведена процедура идентификации при помощи градиентного алгоритма, расширенного фильтра Калмана и метода динамически расширяемого регрессора (DREM). Для проведения моделирования параметры модели были выбраны следующими: 𝐼𝜙 = 3426300, 𝐼𝛼 = 548000, 𝐶𝜙 = 2.9634𝑒 + 06, 𝐶𝛼 = 472000, 𝐵𝜙 = 6.3729𝑒 + 05, 𝐵𝛼 = 337000, 𝐾𝑔 = 520600, 𝑛 = 2. Результаты идентификации представленны для входного сигнала удовлетворяющего условию неисчезающего возбуждения (57) 𝑡𝑎𝑢𝑝 = sin 𝑡 + cos 𝑡 на рисунках 2 и 1, а также для ступенчатого сигнала (рис. 4 и 3) с началом в 𝑡𝑠 = 0,3 и максимальным значением 𝜏𝑝 (𝑡𝑓 ) = 1, где 𝑡𝑓 — конечный момент времени. Сравнение предложенных методов представленно в таблицах 1 и 2. Метод DREM обеспечивает более быструю и гладкую оценку параметров в сравнении с другими рассматриваемыми методами. Градиентный метод и его модификация на основе фильтра Калмана продемонстрировали зависимость от Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 38 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 0.8 0.6 𝑒𝜃 ̂ 𝑒𝜃 ̂ 0.5 0.4 0.2 0 0 0 200 600 400 𝑡[𝑐] 0 (а) Градиентный метод 10 20 30 40 50 𝑡[𝑐] (б) Расширенный фильтр Калмана 0.8 𝑒𝜃 ̂ 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 𝑡[𝑐] 3 4 (в) DREM 𝑒𝜙 ̂ 1 𝑒𝜙 ̂ 2 𝑒𝜙 ̂ 3 Рисунок 1 — Сигналы ошибки оценки параметров судна при выполнении условия неисчезающего возбуждения Таблица 1 — Стандартное квадратичное отклонение Сигнал ̂ 𝜃𝜙1 ̂ 𝜃𝜙2 ̂ 𝜃𝜙3 ̂ 𝜃𝛼1 ̂ 𝜃𝛼2 ̂ 𝜃𝛼3 ̂ 𝜃𝛼4 Стандартное квадратичное отклонение Градиентный Расширенный фильтр Калмана DREM 0,3650 0,1113 0,0950 0,0865 0,0552 0,0204 0,7043 0,3653 0,1756 0,2193 0,4049 0,0499 0,2571 0,2991 0,0356 0,3646 0,4734 0,0579 4,8020e-07 9,6958e-07 1,0563e-07 условия неисчезающего возбуждения. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 39 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 0 0 𝑒𝜃 ̂ 𝑒𝜃 ̂ 1 −2 −1 0 200 600 400 𝑡[𝑐] 0 20 60 40 𝑡[𝑐] (а) Градиентный метод (б) Расширенный фильтр Калмана 1 𝑒𝜃 ̂ 0 −1 −2 0 1 2 𝑡[𝑐] 3 4 (в) DREM 𝑒𝛼̂1 𝑒𝛼̂2 𝑒𝛼̂3 𝑒𝛼̂4 Рисунок 2 — Сигналы ошибки оценки параметров гиростабилизатора при выполнении условия неисчезающего возбуждения Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 40 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 0.5 𝑒𝜃 ̂ 𝑒𝜃 ̂ 1 0.5 0 0 0 10 20 30 𝑡[𝑐] 40 0 20 40 60 80 100120 𝑡[𝑐] 50 (а) Градиентный метод (б) Расширенный фильтр Калмана 0.8 𝑒𝜃 ̂ 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 𝑡[𝑐] 3 4 (в) DREM 𝑒𝜙 ̂ 1 𝑒𝜙 ̂ 2 𝑒𝜙 ̂ 3 Рисунок 3 — Сигналы ошибки оценки параметров судна, когда условия неисчезающего возбуждения не выполняется Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 41 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 1 0 0 𝑒𝜃 ̂ 𝑒𝜃 ̂ 1 −1 −1 −2 0 10 20 30 40 50 𝑡[𝑐] 0 (а) Градиентный метод 10 20 30 40 50 𝑡[𝑐] (б) Расширенный фильтр Калмана 1 𝑒𝜃 ̂ 0 −1 −2 0 1 2 𝑡[𝑐] 3 4 (в) DREM 𝑒𝛼̂1 𝑒𝛼̂2 𝑒𝛼̂3 𝑒𝛼̂4 Рисунок 4 — Сигналы ошибки оценки параметров гиростабилизатора, когда условия неисчезающего возбуждения не выполняется Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 42 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Таблица 2 — Время переходного процесса Сигнал ̂ 𝜃𝜙1 ̂ 𝜃𝜙2 ̂ 𝜃𝜙3 ̂ 𝜃𝛼1 ̂ 𝜃𝛼2 ̂ 𝜃𝛼3 𝜃̂ 𝛼4 Время переходного процесса Градиентный Расширенный фильтр Калмана DREM 242,44 33,79 1,49 314,03 34,29 1,49 344,12 35,97 1,49 337,44 32,82 1,73 415,46 36,01 1,73 307,22 34,14 1,73 365,34 34,37 1,73 Вернемся к случаю влияния внешних возмущений 𝜏𝑤 ≠ 0. В [35] предложен вариант моделирования волновой качки в виде: 𝑥𝑤 ̇ = 𝐴𝑤 𝑥𝑤 + 𝑏𝑤 𝑤, (82) 𝑇 𝜏𝑤 = 𝑐 𝑤 𝑥𝑤 , (83) где 𝑤 — белый шум, 𝑥𝑤 ∈ ℛ — состоние генератора возмущений, 𝐴𝑤 , 𝑏𝑤 , 𝑐𝑤 — матрицы и вектора соответствующих размерностей. Параметры генератора возмущений выберем: 0 1 ⎤, 𝐴𝑤 = ⎡ ⎢ ⎥ −0,8649 −0,1918 ⎣ ⎦ 0 ⎤ 𝑏𝑤 = ⎡ ⎢ ⎥, ⎣0,1918⎦ 0⎤ 𝑐𝑤 = ⎡ ⎢ ⎥. ⎣1⎦ (84) На основе оцененных параметров были выбраны параметры компенсатора: −10 1⎤ 𝐴𝑞 = ⎡ ⎢ ⎥, ⎣−100 0⎦ 10 ⎤ 𝑏𝑞 = ⎡ ⎢ ⎥, ⎣100⎦ 𝜅 = 240128,22298601, 𝑐𝑘 = [0 18,5242] , 𝜈 = 6,4751𝑒 − 04. Результаты моделирования представленны на рисунках 5–7. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 43 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 1 𝜏𝑤 0.8 0.6 0.4 0.2 𝑢 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 10 20 30 40 50 𝑡 [c] 60 70 80 90 100 Рисунок 5 — Выходной сигнал генератора возмущений 𝜏𝑤 3.1.2 Задача удержания заданного положения надводным По характеру выполняемых работ судна часто должны большую часть времени удерживать заданную позицию (например, суда снабжения, буровые суда и мобильные буровые платформы, суда обеспечения водолазных работ и прочие) или выполнять передвижения из позиции в позицию с высокой точностью (суда-кабелеукладчики, суда-трубоукладчики, суда сейсмической разведки, земснаряды и прочие). Надводное судно является достаточно сложным техническим объектом в смысле управления, в силу больших габаритов, ограничений энергетической установки, а так же неопределенности параметров возмущающих воздействий оказываемых на систему. Система динамического позиционирования должна осуществлять управление движением судна неза- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 44 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 0.6 𝜏𝑝 0.4 𝑢 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 0 10 20 30 40 50 𝑡 [c] 60 70 80 90 100 Рисунок 6 — Сигнал управления 𝜏𝑝 висимо по продольному и поперечным направлениям [35]. Задача удержания заданного положения надводным судном выполнялась на макете роботизированного судна, которое представленно на рисунке 8. Оно предназначено для тестирования систем динамического позиционирования для морских киберфизических систем. Судно оснащено главным рулевым движителем, носовым и кормовым тунельным подруливающим устройством. Размеры судна (0,432 × 0,096 × 0,052) м. Рабочее пространство для экспериментов представленно бассейном, выполненным из фанерных листов, с размерами (0,432 × 0,096 × 0,052) м. Для обеспечения обратной связи по положению судна применялась система компьютерного зрения, эмулирующая спутниковую навигационную систему основанную на RGB видеосигнале, который поступает с камеры распо- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 45 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 1 ⋅10−6 𝑢≠0 𝑢=0 0.8 0.6 𝜓 [рад] 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 10 20 30 50 𝑡 [с] 40 60 80 70 90 100 Рисунок 7 — Угол крена надводного судна 𝜓 Ls Lb Px O Pe αe Mz Ps Py Pb Рисунок 8 — Конфигурация роботизированной модели судна, где: 𝑃𝑥 — упор вдоль оси 𝑥, 𝑃𝑦 — упор вдоль оси 𝑦, 𝑀𝑧 — момент по оси 𝑧, 𝑃𝑠 и 𝑃𝑏 — упоры развиваемые тунельными трастерами, 𝑃𝑒 — упор развиваемый главным подруливающим устройством, 𝛼𝑒 — угол поворота руля, 𝐿𝑠 и 𝐿𝑏 — расстояния от центра масс до трастера, 𝑂 — центр масс Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 46 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 400 Номинальный регулятор С внутренней моделью С антивиндап-коррекцией 300 200 𝑃𝑥 100 0 −100 −200 −300 −400 0 10 20 30 50 40 𝑡 [c] 60 70 80 90 Рисунок 9 — Управляющие сигналы по координате 𝑥 400 Номинальный регулятор С внутренней моделью С антивиндап-коррекцией 300 200 𝑃𝑦 100 0 −100 −200 −300 −400 0 10 20 30 50 40 𝑡 [c] 60 70 80 90 Рисунок 10 — Управляющие сигналы по координате 𝑦 Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 47 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 400 Номинальный регулятор С внутренней моделью С антивиндап-коррекцией 𝑀𝜓 200 0 −200 −400 0 10 20 30 50 40 𝑡 [c] 60 70 80 90 Рисунок 11 — Управляющие сигналы по координате 𝜓 0.4 Номинальный регулятор С внутренней моделью С антивиндап-коррекцией 0.3 0.2 𝑒𝑥 [м] 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 0 10 20 30 50 40 𝑡 [c] 60 70 80 90 Рисунок 12 — Сигналы ошибки по координате 𝑥 Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 48 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 0.4 Номинальный регулятор С внутренней моделью С антивиндап-коррекцией 0.3 0.2 𝑒𝑦 [м] 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 0 10 20 30 50 40 𝑡 [c] 60 70 80 90 Рисунок 13 — Сигналы ошибки по координате 𝑦 1.5 Номинальный регулятор С внутренней моделью С антивиндап-коррекцией 1 𝑒𝜓 [рад] 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0 10 20 30 50 40 𝑡 [c] 60 70 80 90 Рисунок 14 — Сигналы ошибки по координате 𝜓 Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 49 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ ложенной над бассейном. Управляющие сигналы, поступающие на исполнительные устройства по радиоканалу, имеют ограничения [−127; 127] из-за техники широтноимпульсной модуляции. Было проведено три эксперимента. Первый сфокусирован на робастном алгоритме управления с деактивированными контурами внутренней модели и антивиндап-коррекции 𝛾 = 0, 𝜈 = 0. Во втором эксперименте активируется внутряняя модель 𝛾 ≠ 0, 𝜈 = 0. Третий эксперимент представляет собой полный закон управления с антивиндап-коррекцией и внутренней моделью 𝛾 ≠ 0, 𝜈 ≠ 0. Экспериментальные результаты представленны на рисунках 9–14. Синяя кривая иллюстрирует управляющие сигналы, генерируемые номинальным регулятором без насыщения. Зеленая кривая демонстрирует регулятор с интегральной компонентой. Красная кривая представляет полный закон управления с компенсацией виндап эффектов. Экспериментальные данные показывают, что первый регулятор приводит к небольшой стационарной ошибке. Это компенсируется интегральным членом, который накапливает ошибку и наращивает сигнал управления. В этом случае появляется эффект интегрального виндапа, в следствии чего увеличивается перерегулирование. Этот эффект компенсирует контур антивиндапкоррекции. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 50 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 3.2 Промышленные киберфизические системы 3.2.1 Стабилизация конфигурации многозвенным манипуляционным роботом Задача стабилизации конфигурации манипуляционного робота исходит из необходимости управлять рабочим инструментом для выполнения каких либо задач [36]. Управление вращательными сочленениями манипуляционного робота сводится к управлению электроприводом с зубчатой передачей, динамическая модель которого рассматривается в виде: 𝐿𝑖 ̇ + 𝑅𝑖 = 𝑢 − 𝐾𝜖 𝑞,̇ (85) 𝐽 𝑞 ̈ + 𝐾 𝑓 𝑞 ̇ = 𝐾𝜇 𝑖 − 𝜇𝑙 , (86) где 𝐿, 𝑅, 𝑖, 𝑢 — индуктивность, сопротивление, сила тока и напряжение якоря, соответственно, 𝐾𝜖 — коэффициент противо-ЭДС, 𝑞 — поворот ротора, 𝐽 — суммарный момент инерции двигателя и зубчатой передачи, 𝐾𝑓 — коэффициент, 𝐾𝜇 — коэффициент момента силы, 𝜇𝑙 = 1𝑗 𝜇𝑙̄ , 𝜇𝑙̄ — момент нагрузки, 𝑗 — передаточное число зубчатой передачи. Выполним преобразование Лапласа функций (85) и (86): (𝐿𝑠 + 𝑅)𝐼(𝑠) = 𝑈 (𝑠) − 𝐾𝜖 𝑠Θ(𝑠), (87) (𝐽 𝑠 + 𝐾𝑓 )𝑠Θ(𝑠) = 𝐾𝜇 𝐼(𝑠) + 𝑀𝑙 (𝑠). (88) Тогда из (87) и (88) запишем передаточную функцию входа 𝑈 (𝑠) к выходу Θ(𝑠) при 𝑀𝑙 (𝑠) = 0: 𝐾𝜇 Θ(𝑠) = . 𝑈 (𝑠) 𝑠((𝐿𝑠 + 𝑅)(𝐽 𝑠 + 𝐾𝑓 ) + 𝐾𝜖 𝐾𝜇 ) (89) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 51 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Передаточная функция от 𝑀𝑙 (𝑠) к Θ(𝑠) при 𝑈 (𝑠) = 0: Θ(𝑠) 𝐿𝑠 + 𝑅 = . 𝑀𝑙 (𝑠) 𝑠((𝐿𝑠 + 𝑅)(𝐽 𝑠 + 𝐾𝑓 ) + 𝐾𝜖 𝐾𝜇 ) (90) Разделим числитель и знаменатель передаточных функций (89) и (90) на 𝑅: 𝐾 𝜇 Θ(𝑠) 𝑅 = 𝐿 𝑈 (𝑠) 𝑠(( 𝑅 𝑠 + 1)(𝐽 𝑠 + 𝐾𝑓 ) + 𝐾𝜖 𝐾𝜇 𝑅 ) 𝐿 Θ(𝑠) 𝑅𝑠 + 1 = 𝐿 𝑀𝑙 (𝑠) 𝑠(( 𝑅 𝑠 + 1)(𝐽 𝑠 + 𝐾𝑓 ) + 𝐾𝜖 𝐾𝜇 𝑅 ) , (91) . (92) Введем допущение, что постоянная времени электрической части существенно меньше, чем постоянная времени механической части: 𝐽 𝐿 << , 𝑅 𝐾𝑓 что является типичным допущением для электромеханических систем. С учетом этого перепишем передаточные функции (91) и (92): 𝐾 𝜇 Θ(𝑠) 𝑅 ≈ 𝑈 (𝑠) 𝑠(𝐽 𝑠 + 𝐾𝑓 + , (93) 𝐿 Θ(𝑠) 𝑅𝑠 + 1 ≈ . 𝐾𝜖 𝐾𝜇 𝑀𝑙 (𝑠) 𝑠(𝐽 𝑠 + 𝐾𝑓 + 𝑅 ) (94) 𝐾𝜖 𝐾𝜇 𝑅 ) Введем новые обозначения и упростим передаточные функции (93) и (94): Θ(𝑠) 1 ≈ , 𝑀𝑢 (𝑠) 𝑠(𝐽 𝑠 + 𝐾) 1 Θ(𝑠) ≈ , 𝑀𝑙 (𝑠) 𝑠(𝐽 𝑠 + 𝐾) (95) (96) Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 52 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ где 𝑀𝑢 (𝑠) = 𝐾𝑢 𝑅 𝑈 (𝑠), 𝐾 = 𝐾𝑓 + 𝐾𝜖 𝐾𝜇 𝑅 . Комбинируя передаточные функции (95) и (96), получим: Θ(𝑠) = 1 (𝑀 (𝑠) − 𝑀𝑙 (𝑠)) = 𝑃 (𝑠)(𝑀𝑢 (𝑠) − 𝑀𝑙 (𝑠)). 𝑠(𝐽 𝑠 + 𝐾) 𝑢 (97) Таким образом необходимо синтезировать закон управления передаточной функции вращательного сочленения: 𝑃 (𝑠) = 𝑏(𝑠) 1 = . 𝑎(𝑠) 𝑠(𝐽 𝑠 + 𝐾) (98) Доступным измерению принимаем исключительно сигнал выхода, без измерений его производных. Параметры объекта рассматриваются неизвестными. Рассмотрим модель управления пятизвенным манипулятором с вращательными сочленениями KUKA Youbot. Параметры моделей приводов 98 примем неизвестными. Построим трехконтурный регулятор по координате 𝑞, скорости 𝑞 ̇ и току 𝑖: 𝜎(⋅) = 30, 𝜅(⋅) = 10, 𝜈(⋅) = 1, 𝛾(⋅) = 1, с учетом ограничений на управляющие сигналы: 𝑢min,𝑞(⋅) = −𝑢max,𝑞(⋅) = −0.5, 𝑢min,𝑞(⋅)̇ = −𝑢max,𝑞(⋅)̇ = −2, 𝑢min,𝑖(⋅) = −𝑢max,𝑖(⋅) = −0.5. Результаты моделирования представленны на рисунке 15. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 53 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 𝑒𝑞2 𝑒𝑞1 1.5 0.6 𝑒𝑞2 𝑒𝑞1 1 0.4 0.5 0.2 0 0 0 1 2 3 0 5 4 1 2 3 5 4 𝑡 [c] 𝑡 [c] (а) Первое звено (б) Второе звено 𝑒𝑞3 𝑒𝑞4 0 0 𝑒𝑞4 𝑒𝑞3 −0.5 −0.5 −1 −1 0 1 2 3 5 4 0 1 2 𝑡 [c] 3 4 5 𝑡 [c] (в) Третье звено (г) Четвертое звено 𝑒𝑞5 1.5 𝑒𝑞5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 𝑡 [c] (д) Пятое звено Рисунок 15 — Ошибка регулирования по звеньям Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 54 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 3.3 Транспортные киберфизические системы Математическую модель квадрокоптера рассмотрим в виде: 4 𝑚𝑥̈ = ∑ 𝑢𝑖 (𝑐𝜙 𝑐𝜃 𝑐𝜓 + 𝑠𝜙 𝑠𝜓 ), 𝑖=1 4 𝑚𝑦 ̈ = ∑ 𝑢𝑖 (𝑠𝜙 𝑠𝜃 𝑐𝜓 − 𝑐𝜙 𝑠𝜓 ), 𝐽𝜃 𝜃 ̈ = 𝑙(−𝑢1 − 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 ), (99) 𝐽𝜓 𝜓 ̈ = 𝑙(−𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 − 𝑢4 ), (100) 𝑖=1 4 𝑚𝑧 ̈ = ∑ 𝑢𝑖 (𝑐𝜙 𝑐𝜓 ) − 𝑚𝑔, 𝐽𝜃 𝜙 ̈ = 𝐶(𝑢1 − 𝑢2 + 𝑢3 − 𝑢4 ), (101) 𝑖=1 где 𝑥, 𝑦, 𝑧 — декартовы координаты положения в пространстве, 𝜃, 𝜓, 𝜙 — углы Эйлера, которые представляют собой углы тангажа, крена и рысканья соответственно, 𝑢𝑖 , 𝑖 = {1, 2, 3, 4} — управляющие сигналы, которые задают подъёмную силу каждого привода, 𝑚 — масса квадрокоптера, 𝑔 — ускорение свободного падения, 𝑙 — расстояние между геометрическим центром квадрокоптера и осью вращения приводов, 𝐽𝜃 , 𝐽𝜙 , 𝐽𝜓 — моменты инерции, 𝐶 — коэффициент преобразования от силы к крутящему моменту, 𝑠(⋅) = sin(⋅), 𝑐(⋅) = cos(⋅). Декомпозируем модель квадрокоптера, выбрав сигналы квазиуправления ⎡ 𝑈1 ⎤ ⎡ 1 1 1 1 ⎤ ⎢𝑈 ⎥ ⎢−1 −1 1 1 ⎥ ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥, ⎢𝑈 ⎥ ⎢−1 1 1 −1⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣𝑈4 ⎦ ⎣ 1 −1 1 −1⎦ (102) где сигналы квази-управления 𝑈𝑖 , 𝑖 = {1, 2, 3, 4} удовлетворяют условию на- Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 55 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ сыщения ⎧ {𝑈𝑖,𝑚𝑎𝑥 { { 𝑈𝑖 = sat(𝜐𝑖 ) = 𝑈𝑖 ⎨ { { {𝑈𝑖,𝑚𝑖𝑛 ⎩ при 𝜐𝑖 ≥ 𝑢𝑖,𝑚𝑎𝑥 , при 𝑢𝑖,𝑚𝑖𝑛 < 𝜐𝑖 < 𝑢𝑖,𝑚𝑎𝑥 , при 𝜐𝑖 ≤ 𝑢𝑖,𝑚𝑖𝑛 , (103) где 𝑈𝑖,𝑚𝑖𝑛 и 𝑈𝑖,𝑚𝑎𝑥 — пределы насыщения входных сигналов, 𝜐𝑖 — номинальный сигнал управления. Выполним преобразования для линеаризации модели квадрокоптера 𝑚𝑥̈ = −𝑈5 , 𝐽𝜃 𝜃 ̈ = 𝑙𝑈2 , (104) 𝑚𝑦 ̈ = −𝑈6 𝐽𝜓 𝜓 ̈ = 𝑙𝑈3 , (105) 𝐽𝜙 𝜙 ̈ = 𝐶𝑈4 , (106) 𝑚𝑧 ̈ = 𝑈1 − 𝑚𝑔, где углы тангажа, крена и рысканья вычисляются как 𝜃∗ = 𝑈5 , 𝑈1 𝜓∗ = − 𝑈6 , 𝑈1 𝑈5 = 𝑈1 𝜃, 𝑈6 = −𝑈1 𝜓. (107) Для стабилизации положения квадрокоптера был выбран закон управления с параметрами 𝜅(⋅) = 5, 𝛾(⋅) = 1, 𝜈(⋅) = 1, −10 1⎤ 𝐴𝑞,(⋅) = ⎡ ⎢ ⎥, −100 0 ⎣ ⎦ 10 ⎤ 𝑏𝑞,(⋅) = ⎡ ⎢ ⎥, ⎣100⎦ 1⎤ 𝑐𝑘,(⋅) = ⎡ ⎢ ⎥ ⎣1⎦ где 𝜎(⋅) = 10. Результаты моделирования представленны на рисунках 16 и 17. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 56 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 20 20 𝑒𝑥 (𝑡) 𝑒𝑦 (𝑡) 𝑒𝑥 (𝑡) 0 −20 𝑒𝑦 (𝑡) 0 −20 −40 0 2 6 4 𝑡 [c] 8 −40 10 0 2 (а) x 6 4 𝑡 [c] 8 10 (б) y 𝑒𝑧 (𝑡) 30 𝑒𝑧 (𝑡) 20 10 0 0 2 6 4 𝑡 [c] 8 10 (в) z Рисунок 16 — Сигналы ошибки управления по линейным координатам Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 57 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 1 20 𝑒𝜃 (𝑡) 𝑒𝜑 (𝑡) 𝑒𝜑 (𝑡) 𝑒𝜃 (𝑡) 15 0 10 5 −1 0 2 6 4 𝑡 [c] 8 0 10 0 2 (а) 𝜃 6 4 𝑡 [c] 8 10 (б) 𝜙 1 𝑒𝜓 (𝑡) 𝑒𝜓 (𝑡) 0.5 0 −0.5 −1 0 2 6 4 𝑡 [c] 8 10 (в) 𝜓 Рисунок 17 — Сигналы ошибки управления по угловым координатам Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 58 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Заключение В рамках диссертационной работы был предложен робастный алгоритм управления с антивиндап-коррекцией, который обеспечивает устойчивое функционирование замкнутых систем в условиях влияния внешних возмущений, ограничений на управляющие сигналы, и наличия неучтенной асимптотически устойчивой динамики. Кроме того, был предложен алгоритм настройки предложенного алгоритма при помощи инструментария линейных матричных неравенств, с целью обеспечения гарантированного быстродействия не менее заданного. Верификация алгоритма управления была проведена посредством моделирования приложений к классу мобильных киберфизических систем. Были решены задачи стабилизации волновой качки надводного судна при помощи гиростабилизатора, удержания заданного положения надводным судном и квадрокоптером, а также задача независимого управления звеньями манипуляционного робота с вращательными сочленениями. В качестве направления дальнейших исследований может быть реализована интеграция всех описанных приложений (мобильный робот, квадрокоптер, манипулятор) в единую киберфизическую сеть, для согласованного выполнения некой общей задачи. Интерес вызывают задачи: децентрализация управления, организация различных топологий сети, обеспечение двустороннего обмена информацией между такими узлами сети, усложнение сценарией функционирования на базе автоматической коммуникации роботов друг с другом. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 59 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Список использованных источников 1. Characterization, analysis, and recommendations for exploiting the opportunities of cyber-physical systems / M. Törngren [и др.] // Cyber-Physical Systems. — Elsevier, 2017. — С. 3—14. 2. Stability and stabilization of linear systems with saturating actuators / S. Tarbouriech [и др.]. — Springer Science & Business Media, 2011. 3. CPS-Summit. Holistic approaches to cyber-physical integration. CPSWeek report. — 2008. — URL: http://iccps2012.cse.wustl.edu/_doc/CPS_Summit_ Report.pdf (дата обр. 08.05.2019). 4. Sussman J. S. Perspectives on intelligent transportation systems (ITS). — Springer Science & Business Media, 2008. 5. Wang L., Törngren M., Onori M. Current status and advancement of cyber-physical systems in manufacturing // Journal of Manufacturing Systems. — 2015. — Т. 37. — С. 517—527. — ISSN 0278-6125. — DOI: https://doi.org/10.1016/j. jmsy.2015.04.008. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/S0278612515000400. 6. Eurostat, Commission européenne U. européenne. Energy, transport and environment indicators. Т. 2. — Office for Official Publications of the European Communities, 2011. 7. Isidori A. Lectures in feedback design for multivariable systems. Т. 3. — Springer, 2017. 8. Khalil H. K., Praly L. High-gain observers in nonlinear feedback control // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2014. — Т. 24, № 6. — С. 993—1015. 9. Bobtsov A., Pyrkin A., Kolyubin S. Simple output feedback adaptive control based on passification principle // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. — 2014. — Т. 28, № 7/8. — С. 620—632. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 60 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 10. Polyak B., Khlebnikov M., Shcherbakov P. An LMI approach to structured sparse feedback design in linear control systems // 2013 European control conference (ECC). — IEEE. 2013. — С. 833—838. 11. LMI-Based Design of Output Robust Controller / M. A. Kakanov [и др.] // IFACPapersOnLine. — 2018. — Т. 51, № 32. — С. 821—825. 12. Бобцов А. А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 11. — С. 108—117. 13. Output robust control with anti-windup compensation for robotic boat / O. I. Borisov [и др.] // 2016 21st International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR). — IEEE. 2016. — С. 13—18. 14. Robust anti-windup control for marine cyber-physical systems / M. Kakanov [и др.] // MATEC Web of Conferences. Т. 161. — EDP Sciences. 2018. — С. 03025. 15. Robust High-Gain Generalization of PID Controllers with Anti-Windup Compensation / O. I. Borisov [и др.] // IFAC-PapersOnLine. — 2018. — Т. 51, № 4. — С. 352—357. 16. Fertik H. A., Ross C. W. Direct digital control algorithm with anti-windup feature // ISA transactions. — 1967. — Т. 6, № 4. — С. 317. 17. A tutorial on modern anti-windup design / S. Galeani [и др.] // European Journal of Control. — 2009. — Т. 15, № 3/4. — С. 418—440. 18. Zheng A., Kothare M. V., Morari M. Anti-windup design for internal model control // International Journal of Control. — 1994. — Т. 60, № 5. — С. 1015—1024. 19. Antiwindup for stable linear systems with input saturation: an LMI-based synthesis / G. Grimm [и др.] // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2003. — Т. 48, № 9. — С. 1509—1525. 20. Da Silva J. G., Tarbouriech S., Reginatto R. Analysis of regions of stability for linear systems with saturating inputs through an anti-windup scheme // Proceedings of the International Conference on Control Applications. Т. 2. — IEEE. 2002. — С. 1106— 1111. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 61 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 21. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. — Профессия, 2003. 22. Мирошник И. В. Теория автоматического управления // Линейные системы. СПб.: Питер. — 2005. — Т. 3. 23. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимнообратных матриц // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 1. — С. 82—99. 24. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — С. 280. 25. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры / В. А. Бойченко [и др.] // Управление большими системами: сборник трудов. — 2007. — № 19. 26. Андриевский Б. Р., Бобцов А. А., Фрадков А. Л. Методы анализа и синтеза нелинейных систем управления. — М. Инжевск: Институт компьютерных исследований, 2018. — С. 336. 27. Andrievsky B., Fradkov A., Stotsky A. Shunt Compensation for Indirect Sliding-Mode Adaptive Control // IFAC Proceedings Volumes. — 1996. — Т. 29, № 1. — С. 5132— 5137. 28. Gawthrop P. Continuous-time Self-tuning Control - A Unified Approach // IFAC Proceedings Volumes. — 1987. — Т. 20, № 2. — С. 19—24. 29. Performance Enhancement of Parameter Estimators via Dynamic Regressor Extension and Mixing / S. Aranovskiy [и др.] // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2017. — Т. 62, № 7. — С. 3546—3550. — DOI: 10 . 1109 / TAC . 2016.2614889. 30. Improved Transients in Multiple Frequencies Estimation via Dynamic Regressor Extension and Mixing / S. Aranovskiy [и др.] // IFAC-PapersOnLine. — 2016. — Т. 49, № 13. — С. 99—104. 31. Output Robust Control of Input-Saturated Plants with Anti-Windup Compensation / O. I. Borisov [и др.]. — 2018. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 62 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ 32. Townsend N. C., Shenoi R. A. Control Strategies for Marine Gyrostabilizers // IEEE Journal of Oceanic Engineering. — 2014. — Т. 39, № 2. — С. 243—255. 33. Haghighi H., Jahed-Motlagh M. R. Ship roll stabilization via sliding mode control and gyrostabilizer // Bul. Inst. Polit. Iasi, LVIII. — 2012. 34. Perez T., Steinmann P. Analysis of ship roll gyrostabiliser control //. Т. 42. — 2009. — С. 310—315. 35. Fossen T. I. Handbook of marine craft hydrodynamics and motion control. — John Wiley & Sons, 2011. 36. Spong M. W., Vidyasagar M. Robot dynamics and control. — John Wiley & Sons, 2008. Ëèñò ÔÑÓÈÐ.101.4234.001 ÏÇ Èçì. Ëèñò ¹ äîêóì. Ïîäï. 63 Äàòà Êîïèðîâàë Ôîðìàò A4

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв