Разрешимости краевых задач Жевре для уравнений смешанного типа

Семен Верховцев

Разрешимости краевых задач Жевре для уравнений смешанного типа

Мы доказали теорему существования и единственности гладкого решения задач Жевре для новых смешанных уравнений. Уравнения при смешивании имеют разные порядки, из-за чего возникают специфические трудности при стандартном сведении задач к сингулярным интегральным уравнениям. В настоящее время решено много модельных задач Жевре. В частности, исследованы задачи Жевре для параболических уравнений с меняющимся направлением времени: второго порядка, третьего порядка, четвертого порядка, 2n-го порядка. Терсеновым С.А. дана поставлена и решена задача Жевре со строго эллиптическими и гиперболо-эллиптическими операторами.

Математика

Дипломы

Вуз: Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова (ЯГУ)

ID: 5f2a445ecd3d3e0001b387a0

UUID: f11f7de0-b90a-0138-110e-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: почти 4 года назад

Просмотры: 8

18.16

Семен Верховцев

Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова (ЯГУ)

Комментировать 10

Рецензировать 2

Скачать - 245,5 КБ

Поделиться работой

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации ФГАОУ ВО «Северо-Восточный федеральный университет им. М.К.Аммосова» Институт математики и информатики Кафедра математического анализа РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЖЕВРЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА ВЫПУСКНАЯ КВАЛИКАЦИОННАЯ РАБОТА (направление подготовки бакалавров 01.03.01 – Математика) Выполнил: студент 4 курса группы БА-МО-16 Верховцев Семен Дмитриевич Руководитель: Попов Сергей Вячеславович д.ф-м.н., профессор Работа защищена « » июня 2020 г. Оценка Секретарь ГЭК Якутск — 2020

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 5 1.1. Доказательство единственности решения . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Интегральное представление решения . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Исследование системы интегральных уравнений . . . . . . . . . 9 УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 2.1. Интегральное представление решения 13 . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Исследование системы сингулярных уравнений . . . . . . . . . 15 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 20 ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 21 ПРИЛОЖЕНИЯ 23 П.1. Поведение интеграла типа Коши на контуре . . . . . . . . . . 23 П.2. Краевая задача Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2

ВВЕДЕНИЕ В настоящее время решено много модельных задач Жевре. В частности, исследованы задачи Жевре для параболических уравнений с меняющимся направлением времени: вторго порядка [12], третьего порядка [2], четвертого порядка[8], 2n-го порядка[11]. В монографии [12], дается также постановка и решение задач Жевре со строго эллиптическими и гиперболоэллиптическими операторами. В данной работе доказана теорема существования и единственности гладкого решения задач Жевре для смешанных уравнений  uxxx + ut = 0, x < 0, u − u = 0, x > 0, xx t  uxxx + ut = 0, x < 0, u + u = 0, x > 0, xxxx t Особенностью приведенных задач является то, что уравнения имеют разный порядок, из-за чего возникают специфические трудности при стандартном подходе сведения задач к сингулярным интегральным уравнениям. Объектом исследований выпускной квалификационной работы являются краевые задачи Жевре для уравнений смешанного типа второй, третьей и четвертой степени. Предметом выступает сведение задач к интегральным уравнениям с обобщенными операторами типа Абеля, а также решение этих уравнений. Целью данной работы является доказательство теоремы существования и единственности решения задачи. Для достижения цели решены следующие задачи: 1. Получить интегральное представление решений. 2. С помощью интегрального представления свести задачи к системе с обобщенными интегральными операторами Абеля. 3. Исследовать полученные системы с обобщенными интегральными операторами Абеля. 3

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы. Во введении раскрыта актуальность, поставлены цели и задачи, определены объект и предмет исследования. Основная часть состоит из 2 глав. Первая глава из 3 параграфов содержит постановки задач. Во второй главе исследуются полученные системы интегральных уравнений. В заключении дается формулировка теоремы существования и единственности решений поставленных краевых задач Жевре. В конце указан список использованной литературы. 4

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В этой главе получены теоремы существования и единственности решения для первой из упомянутых во введении задач. Дается интегральное представление решений, с помощью которого задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений. В дальнейшем система упрощается до такой, достаточно гладкое решение которой заведомо существует. 1.1. Доказательство единственности решения Задачу рассмотрим в Q = Ω×(0, T ), где Ω = R. Обозначим через Q− и Q+ части Q, расположенные в области x < 0 и x > 0. В области Q± рассмотрим указанное во введении уравнение  uxxx + ut = 0, x < 0, u − u = 0, x > 0 xx t (1) с начальными условиями  u(x, 0) = ϕ1 (x), x > 0, u(x, T ) = ϕ (x), x < 0 (2) 2 и условиями склеивания на x = 0  σ0 u(−0, t) = u(+0, t), σ u (−0, t) = u (+0, t). 1 xx (3) x p ,p1 /2 Решения уравнения (1) будем искать в пространствах Гёльдера Hx,t1 p ,p2 /3 и Hx,t2 (Q+ ) (Q− ) [1]. Для простоты будем предполагать, что p1 = 2 + γ1 и p2 = 3 + γ2 , где 0 < γ1 < 1 и 0 < γ2 < 1. Теорема (о единственности решения). Пусть σ0 σ1 > 0. Тогда краевая задача (1)–(3) имеет не более одного решения. Доказательство. Рассмотрим в области QN = (−N ; N ) × (0; T ) задачу (1)–(3) с нулевыми начальными и граничными условиями u(−N, t) = ux (−N, t) = u(N, t) = 0, 5 0 ≤ t ≤ T. (4)

Для её решения в Q− N выполняется 1 2 1 2 u(uxxx − sgn xut ) = uuxx − ux + u = 0, 2 2 x t x < 0. Интегрируя это тождество по области Q− N = (−N ; 0) × (0; T ), получим Z T Z 1 2 σ0 σ1 0 2 σ0 σ1 uuxx − ux u (x, 0) dx. dt = 2 2 0 −N x=−0 (5) (6) Аналогично в Q+ N выполняется u(−uxx + ut ) = −(uux + u2x )x + откуда следует Z T (uux ) 0 T Z Z N dt + 0 x=+0 0 1 2 u 2 1 u2x dxdt + 2 = 0, x > 0, (7) t Z N u2 (x, T ) dx = 0. (8) 0 Учитывая условия склеивания (3) из уравнений (6), (8) получим Z 0 σ0 σ 1 Z 2 u (x, 0) dx + −N N Z 2 T Z N u (x, T ) dx + 2 u2x dt+ 0 0 0 Z T + σ0 σ1 u2x (−0, t) dt = 0 Z =2 T [σ0 σ1 u(−0, t)uxx (−0, t) − u(+0, t)ux (+0, t)] dt ≡ 0. (9) 0 Отсюда в области Q− N следует, что u(x, 0) = 0 − N ≤ x ≤ 0, u(−0, t) = 0 0 ≤ t ≤ T. (10) С другой стороны, интегрируя по частям интеграл ZZ σ0 σ1 xu(uxxx + ut )dxdt = 0, Q− N с учетом условий (2) и (10), находим ZZ Z T 3 σ0 σ1 2 ux dxdt = σ0 σ1 uux |x=−0 dt. − 2 QN 0 При σ0 σ1 > 0 следует, что это равенство возможно только при ux (x, t) = 0 + как в Q− N , так и в QN (см. уравнение (9)). Следовательно, решение не зависит 6

от пространственной переменной u(x, t) = g(t) в Q± N . Отсюда, учитывая, что оно непрерывно в Q̄N и удовлетворяет нулевым граничным условиям, можно сделать вывод, что u(x, t) ≡ 0 в Q̄N . Предельным переходом N → +∞ получаем, что u(x, t) ≡ 0 в Q̄. . 1.2. Интегральное представление решения Для дальнейших целей перепишем исходное уравнение (1) в виде двух уравнений в области Q+  u1 = u1 , x > 0 xx t u2 = u2 , x > 0. t xxx (11) Соответственно будем считать, что начальные условия и условия склеивания тоже заданы на Q+  u1 (x, 0) = ϕ1 (x), x > 0, u2 (x, T ) = ϕ (x), x > 0, (12)  u1 (0, t) = σ0 u2 (0, t), x > 0, u1 (0, t) = σ u2 (0, t), x > 0. (13) 2 1 xx x Приведем для уравнений (11) соответствующие функции Грина   x−ξ  1 1/2 f01 , t > τ, (t−τ ) (t−τ )1/2 1 U0 (x, t; ξ, τ ) =   0, t ≤ τ, U02 (x, t; ξ, τ ) =    1 f2 (t−τ )1/3 0   x−ξ (t−τ )1/3 , t > τ, (15) t ≤ τ. 0, Здесь функции f01 (x), f02 (x) имеют вид f01 (x) = Z∞ √ 2 π x exp(−λ2 ) cos(λx) dλ = , exp − 2 4 0 7 (14) x ∈ R,

f02 (x) Z∞ = 0 π x3 cos(λ − λx) dλ = √ , Ai − √ 3 3 3 3 3 x ∈ R, Ai(x) — функция Эйри. Кроме того, нетрудно проверить, что 1 1 1 2 f02 (0) = √ Γ , (f02 )0 (0) = √ Γ , 3 3 2 3 2 3 Z0 Z∞ π 2π , f02 (η) dη = . f02 (η) dη = 3 3 (16) −∞ 0 Естественно будем предполагать, что начальные условия достаточно гладки: ϕ1 (x) ∈ H p1 (R), ϕ2 (x) ∈ H p2 (R), где p1 = 2 + γ1 , p2 = 3 + γ2 . Тогда Z 1 U01 (x, t; ξ, 0)ϕ1 (ξ) dξ, ω1 (x, t) = π R (17) ω2 (x, t) = 1 π Z U02 (ξ, T ; x, t)ϕ2 (ξ) dξ R будут решениями уравнений (11), удовлетворяющими начальным условиям (12). Решения поставленной задачи для уравнений (11) будем искать в виде u1 (x, t) = Zt U01 (x, t; 0, τ )α0 (τ ) dτ + ω1 (x, t), 0 u2 (x, t) = ZT U02 (0, τ ; x, t)β0 (τ ) dτ + ω2 (x, t), (18) t p ,p1 /2 где α0 , β0 – неизвестные плотности. Чтобы искомые решения были из Hx,t1 (Q+ ) p ,p2 /3 (Q+ ) достаточно, чтобы плотности α0 , β0 принадлежали простран ствам H q1 (Q+ ), где q1 = γ12+1 и H q2 (Q+ ) q2 = γ23+1 соответственно, причем и Hx,t2 α0 (0) = β0 (T ) = 0. (19) В самом деле, из классических результатов по первой и второй краевым задаp ,p /2 чам для параболических уравнений, известно, что [7] u1 (x, t) ∈ Hx1 t 1 (Q+ ), если Ψ(t) = u1 (0, t) ∈ H p1 /2 (0, T ) и выполнено так называемые условия со(2s) гласования Ψ(s) (0) = ϕ1 (0) (s = 0, . . . , 1). Из представления u1 в виде 8

Rt (18), получим Ψ(t) = u1 (0, t) = U01 (0, t; 0, τ )α0 (τ ) dτ + ω1 (0, t) и, следова- 0 тельно, √ Zt α0 (τ ) π Ψ(t) = 1 dτ + ω1 (0, t). 2 (t − τ ) 2 0 Отсюда видно, что при α0 (0) = 0 действительно (2s) Ψ(s) (0) = ϕ1 (0) (s = 0, 1). (20) 1.3. Исследование системы интегральных уравнений Теперь подставим интегральные представления решений (18) в условия склеивания (13). В результате получится система интегральных уравнений, имеющая вид  √ Rt   α0 (τ )  π 1 dτ + ω1 (0, t) = 2 0 (t−τ ) 2 σ√0 Γ( 13 ) 2 3 RT β0 (τ ) t (τ −t) 3 1 dτ + σ0 ω2 (0, t), (21)   − π α0 (t) + ω1x (0, t) = σ1 π β0 (t) + σ1 ω2xx (0, t) 2 3 или  √ Rt    π 2 0 α0 (τ ) 1 (t−τ ) 2 dτ − 1 √ Γ( 13 ) 2 3 RT β0 (τ ) t (τ −t) 3 1 dτ = Φ0 (t), (22)   α0 (t) + 2 β0 (t) = Φ1 (t), 3 где 2 Φ0 (t) = √ (σ0 ω2 (0, t) − ω1 (0, t)) , π 2 Φ1 (t) = (ω1x (0, t) − σ1 ω2xx (0, t)) . π Применим к первому уравнению в (22) формулу обращения операторов Абеля [4]    α0 (t) − 1 π RT K0 (t, τ )β0 (τ ) dτ = 0 1 d π dt Rt Φ0 (τ ) 1 2 0 (t−τ ) dτ,   α0 (t) + 2 β0 (t) = Φ1 (t), 3 где   1 τ 32 F 1 , 2 , 5 ; τ  3 k0 (t, τ )   6 3 3 t √   − , τ < t,   3π 4 t (t − τ )5/6 (t − τ )5/6 K0 (t, τ ) = = τ 12 F − 1 , 1 , 1 ; t k02 (t, τ )  σ0 Γ( 31 )    2 6 2 τ   , τ > t.  (τ − t)5/6 t (τ − t)5/6 9 (23)

Введем обозначения . Если γ1 ≤ 23 γ2 − 13 F1 (t) = Φ1 (t) − Φ1 (0), Z 1 t Φ00 (τ ) − Φ00 (0) dτ, F0 (t) = π 0 (t − τ )1/2 γ2 ≤ 32 γ1 , то F0 (t), F1 (t) принадлежат пространству Гёль- дера с показателем (1+γ1 )/2 ((1 + γ2 )/3), причем F0 (t) = F1 (t) = O(t(1+γ1 )/2 ) (O(t(1+γ2 )/3 )) для малых t. Предположим, что α0 (t), β0 (t) принадлежат искомым пространствам. Тогда из системы (23) следует √ 3π − σ0 Γ( 31 ) ZT β0 (τ ) dτ = Φ0 (0). τ 1/3 (24) 0 При выполнении (24) систему (23) можно переписать так:  RT   α0 (t) − 1 K01 (t, τ )β0 (τ ) dτ = 2 Φ00 (0)t 12 + F00 (t), π π 0 (25)   α0 (t) + 2 β0 (t) = Φ1 (0) + F10 (t), 3 где при t < τ имеем √ K01 (t, τ ) √ 3π 3π = K0 (t, τ ) + = σ0 t1/2 τ 1/3 Γ( 13 ) σ0 Γ( 31 ) 31 t 1 5 + .... τ (τ − t) 6 Введем в (23) новые искомые функции β̄0 (t) = β0 (t)−β0 (0) TT−t . Тогда систему (25) можно представить в виде:  RT 1  1   α0 (t) − π K0 (t, τ )β̄0 (τ ) dτ =    0  T R 1 0 (0) K01 (t, τ )(T − τ ) dτ + π2 Φ00 (0)t 2 + F00 (t), = βπT    0    α0 (t) + 2 β̄0 (t) = − 2 (T − t)β0 (0) + F 0 (t), 1 3 3T (26) где β0 (0) = 23 Φ1 (0). Так как α0 (t), β0 (t) ищем из пространства Гёльдера с показателями 1+γ1 1+γ2 2 , 3 , то должны выполняться условия ZT β̄0 (τ ) dτ = 0, τ 7/6 0 10 Φ00 (0) = 0. (27)

Таким образом, при выполнении условий (24), (27) получим систему уравнений    α0 (t) − 1 π RT 0 K02 (t, τ )β̄0 (τ ) dτ = F 0 (t), 0 (28)   α0 (t) + 2 β̄0 (t) = F 01 (t), 3 0 где F 0 (t) = β0 (0) πT RT 0 2 K01 (t, τ )(T − τ ) dτ + F00 (t), F 1 (t) = − 3T (T − t)β0 (0) + F10 (t), 0 √ √ 76 1/3 3πt 3π t 1 K02 (t, τ ) = K01 (t, τ ) + = 5 + ..., 1 1 σ0 τ 7/6 Γ( 3 ) σ0 Γ( 3 ) τ (τ − t) 6 0 t < τ. 0 Отметим, что F 0 (t), F 1 (t) принадлежат пространствам Гёльдера с показателями 1+γ1 2 или 1+γ2 3 , причем имеют нули соответствующего порядка при малых t. Исключая, α0 (t) в системе (28), получим интегральное уравнение относительно β̄0 (t) 2 1 β̄0 (t) + 3 π ZT K02 (t, τ )β̄0 (τ ) dτ = Q(t), (29) 0 где 0 0 Q(t) = F 1 (t) − F 0 (t). Из уравнения (29) следует, что для того, чтобы β0 (T ) = 0 необходимо и достаточно, чтобы 1 π ZT K02 (T, τ )β̄0 (τ ) dτ = Q(T ). (30) 0 При выполнении условия (30) придем к следующему уравнению: 2 1 β̄0 (t) + 3 π ZT K03 (t, τ )β̄0 (τ ) dτ = Q1 (t), (31) 0 где K03 (t, τ ) = K02 (t, τ ) − K02 (T, τ ), Q1 (t) = Q(t) − Q(T ). Так как Q1 (t) принадлежит пространству Гёльдера с показателями 1+γ1 1+γ2 2 , 3 , то функция β̄0 (t), представленная формулой (31) удовлетворяет условию 11

Гёльдера с показателями 1+γ1 1+γ2 2 , 3 во всех точках контура (0, T ), включая концы интервала. Системы уравнений (31) эквивалентны исходной системе уравнений (24) при выполнении условий (24), (27) и (30). Подставляя найденные значения функций α0 (t), β0 (t) в условия (24), (27) и (30), получим условия разрешимости задачи (1)–(3). Эти условия обозначим так: Ls (ϕ1 , ϕ2 ) = 0, s = 1, 2, 3, . (32) Тогда справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть ϕ1 ∈ H p1 (Q+ ) (p1 = 2 + γ1 ), ϕ2 ∈ H p2 (Q− ) (p2 = 3 + γ2 ), 0 < γ1 < 32 , 1 2 < γ2 < 1. Тогда при выполнении условий (32) существует единственное решение уравнения (1) в Q, удовлетворяющее условиям (2), p , p /3 p , p /2 (3) из пространств Hx2 t 2 (Q− ), Hx1 t 1 (Q+ ). Аналогичные исследования можно провести в случае ϕ1 ∈ H p (p = 2l+γ), ϕ2 ∈ H p (p = 3l + γ), 0 < γ < 1, где l ≥ 1 — целое число. 12

УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА В этой главе даны теоремы существования и единственности решения для второй задачи. Изложение аналогично предыдущему. 2.1. Интегральное представление решения В области Q± рассматривается уравнение  uxxx + ut = 0, x < 0, u x > 0. xxxx + ut = 0, (33) Решение уравнения (33) ищется из пространства Гёльдера, удовлетворяющее следующим начальным условиям: u(x, 0) = ϕ1 (x), x > 0, u(x, T ) = ϕ2 (x), x < 0, (34) и условиям склеивания:    u(−0, t) = u(+0, t),    ux (+0, t) = 0,     uxx (−0, t) = uxxx (+0, t). (35) Единственность задачи (33)–(35) рассматривается аналогично предыдущему. Как и выше, вместо уравнения (33), будем рассматривать систему уравнений u1t + u1xxxx = 0, u2t = u2xxx (36) в области Q+ . При этом начальные условия и условия склеивания будут иметь вид: u1 (x, 0) = ϕ1 (x), u1 (0, t) = u2 (0, t), u2 (x, T ) = ϕ2 (x), x > 0, u1x (0, t) = 0, u1xxx (0, t) = u2xx (0, t). (37) (38) Прежде чем приступить к доказательству существования решения поставленной задачи, напомним фундаментальное и элементарное решения Б. Пини уравнения (33) при x > 0. 13

Фундаментальное и элементарное решения Б. Пини имеют вид   x−ξ  1 1/4 gi , t > τ, (t−τ ) (t−τ )1/4 Vi (x, t; ξ, τ ) =   0, t ≤ τ, (39) где функции g0 (x), g1 (x) являются решениями уравнения η z 000 (η) − z(η) = 0, 4 (40) и имеют вид Z∞ g0 (η) = 4 e−λ cos(λη) dλ, −∞ < η < +∞, 0 Z∞ g1 (η) = 4 e−λ (e−λη − sin λη) dλ, η > −∞. 0 Кроме того, нетрудно проверить, что gi (0) = 1 Γ(1/4) (i = 0, 1); 4 1 g10 (0) = − Γ(1/2); 2 1 1 g100 (0) = Γ(3/4); g000 (0) = − Γ(3/4); 4 4 ∞ 0 ∞ Z Z Z π g0 (η) dη = g0 (η) dη = , g1 (η) dη = 0. 2 g00 (0) = 0, 0 −∞ 0 Будем предполагать, что ϕ1 (x) ∈ H p1 (R), ϕ2 (x) ∈ H p3 (R), где p3 = 4l + γ1 , p2 = 3l + γ2 , l ∈ N. Тогда функции Z 1 ω1 (x, t) = V0 (x, t; ξ, 0)ϕ1 (ξ) dξ, π R (41) ω2 (x, t) = 1 π Z U02 (ξ, T ; x, t)ϕ2 (ξ) dξ R 14

являются решениями уравнений (36), удовлетворяющими условиям (37) в R. Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (36): u1 (x, t) = Zt Zt V0 (x, t; 0, τ )α0 (τ ) dτ + V1 (x, t; 0, τ )α1 (τ ) dτ + ω1 (x, t), 0 0 (42) u2 (x, t) = ZT U02 (0, τ ; x, t)β0 (τ ) dτ + ω2 (x, t). t Плотности α0 (t), α1 (t), β0 (t) должны принадлежать пространству H q1 (Q+ ) (q1 = l + γ1 −1 4 ), H q2 (Q+ ) (q2 = l + (k) (k) γ2 −2 3 ) (k) соответственно, причем α0 (0) = α1 (0) = β0 (T ) = 0, k = 0, 1, . . . , l − 1. (43) 2.2. Исследование системы сингулярных уравнений Из условий склеивания (38) получим систему уравнений относительно α0 , α1 , β0 :  Rt α0 (τ )+α1 (τ ) RT   1 1 1 1 √  Γ( ) dτ + ω (0, t) = Γ( ) 1 1  4 4 3 2 3  (t−τ ) 4  t 0  t R − 21 Γ( 12 ) α1 (τ )1 dτ + ω1x (0, t) = 0,  2   0 (t−τ )     π α0 (t) + ω1xxx (0, t) = π β0 (t) + ω2xx (0, t) 2 3 или β0 (τ )  RT β0 (τ ) Rt α0 (τ )+α1 (τ )    dτ − B dτ = Ψ0 (t), 1 1   4 (τ −t) 3 (t−τ )  t 0 t R α1 (τ ) 1 dτ = Ψ1 (t),   (t−τ ) 2  0    α0 (t) − 2 β0 (t) = Ψ2 (t), 3 15 1 (τ −t) 3 dτ + ω2 (0, t), (44) √ B= 1 3 Γ( 4 ) 2 Γ( 13 ) , (45)

где √ 2 3 Ψ0 (t) = 1 (ω1 (0, t) − ω2 (0, t)) , Γ( 3 ) 2 Ψ1 (t) = √ ω1x (0, t), π 2 Ψ2 (t) = (ω2xx (0, t) − ω1xxx (0, t)) . π Первое и второе уравнения в (45) обратим при помощи формул обращения оператора Абеля, получим  RT   2 B √  − β (t) + N0 (t, τ )(α0 (τ ) + α1 (τ )) dτ =  π 3 0   0  Rt Ψ1 (τ ) 1 d α (t) = 1 dτ, 1  π dt  (t−τ ) 2  0    α0 (t) − 2 β0 (t) = Ψ2 (t), 3  RT   B 2 √  − 3 β0 (t) + π N0 (t, τ )(α0 (τ ) + α1 (τ )) dτ =    0  t R Ψ1 (τ ) α1 (t) = π1 dtd 1 dτ,   (t−τ ) 2  0    α0 (t) − 2 β0 (t) = Ψ2 (t), 3 1 d π dt RT Ψ0 (τ ) t (τ −t) 3 2 dτ, (46) 1 d π dt RT Ψ0 (τ ) t (τ −t) 3 2 dτ, где  2 2 1 1 T −t   − 3 , 12 , 3 ; T −τ 3 F  n10 (t, τ ) T − τ     − , τ < t,   11/12 11/12 T −t (t − τ ) (t − τ ) N0 (t, τ ) = = 3 1 3 7 T −τ n20 (t, τ )   , , ; F   4   8 T −τ 12 4 4 T −t , τ > t.  11/12  (τ − t) 9 T −t (τ − t)11/12 Введем обозначения G02 (t) = Ψ2 (t) − Ψ2 (0), 1d G01 (t) = π dt Zt 0 1 G00 (t) = π ZT t Ψ1 (τ ) − Ψ1 (0) dτ, 1 (t − τ ) 2 Ψ00 (T ) − Ψ00 (τ ) dτ. 2 (τ − t) 3 16 (47)

Заметим, что G01 (t) принадлежат пространству Гёльдера с показателем (1 + γ1 )/4 и G01 (t) = O(t(1+γ1 )/4 ) для малых t. Если γ2 ≤ 34 γ1 − 1 4 (γ1 ≤ 43 γ2 ), то G00 (t), G02 (t) принадлежат пространству Гёльдера с показателем (1 + γ2 )/3 ((1 + γ1 )/4), причем G00 (t) = G01 (t) = O(t(1+γ2 )/3 ) (O(t(1+γ1 )/4 )) для малых t. Предположим, что функции α0 (t), α1 (t), β0 (t) принадлежат искомым пространствам, тогда из системы (46) следует, что ZT B α0 (τ ) + α1 (τ ) dτ = Ψ0 (T ). (T − τ )1/4 (48) 0 При выполнении (48) систему (46) можно переписать так:  RT 1 1  3 0  √2 β0 (t) + B 3 − G0 (t),  − (t, τ )(α (τ ) + α (τ )) dτ = (T )(T − t) N Ψ 0 1 0 0 0  π π 3   0   1  α1 (t) = π1 Ψ1 (0)t− 2 + G10 (t),         α (t) − 2 β (t) = Ψ (0) + G0 (t), 0 2 2 3 0 (49) где при t > τ имеем N01 (t, τ ) B = N0 (t, τ ) + = −B (T − t)2/3 (T − τ )1/4 T −t T −τ 41 1 11 + . . . . (τ − t) 12 Введем в первое уравнение системы (46) новые искомые функции ᾱk (t) = αk (t) − αk (T ) Tt , k = 0, 1. Имеем 2 B − √ β0 (t) + π 3 ZT N01 (t, τ )(α0 (τ ) + α1 (τ )) dτ = (50) 1 3 0 Ψ0 (T )(T − t) 3 − G00 (t), π (51) 0 = где β0 (0) = 23 Φ1 (0). Так как α0 (t), β0 (t) ищем из пространства Гёльдера с показателями 1+γ2 3 , 1+γ1 2 , то должны выполняться условия ZT β̄0 (τ ) dτ = 0, τ 7/6 0 17 Φ00 (0) = 0. (52)

Таким образом, при выполнении условий (48), (52) получим систему уравнений  ZT    1 0  α0 (t) − K02 (t, τ )β̄0 (τ ) dτ = F 0 (t), π 0    2 0  α0 (t) + β̄0 (t) = F 1 (t), 3 0 где F 0 (t) = β0 (0) πT RT (53) 0 2 K01 (t, τ )(T − τ ) dτ + F00 (t), F 1 (t) = − 3T (T − t)β0 (0) + F10 (t), 0 √ √ 76 1/3 3πt 3π t 1 2 1 K0 (t, τ ) = K0 (t, τ ) + = 5 + ..., σ0 τ 7/6 Γ( 31 ) σ0 Γ( 13 ) τ (τ − t) 6 0 t < τ. 0 Отметим, что F 0 (t), F 1 (t) принадлежат пространствам Гёльдера с показателями 1+γ1 2 или 1+γ2 3 , причем имеют нули соответствующего порядка при малых t. Исключая, α0 (t) в системе (53), получим интегральное уравнение относительно β̄0 (t) 2 1 β̄0 (t) + 3 π ZT K02 (t, τ )β̄0 (τ ) dτ = Q(t), (54) 0 где 0 0 Q(t) = F 1 (t) − F 0 (t). Из уравнения (54) следует, что для того, чтобы β0 (T ) = 0 необходимо и достаточно, чтобы 1 π ZT K02 (T, τ )β̄0 (τ ) dτ = Q(T ). (55) 0 При выполнении условия (55) придем к следующему уравнению: 1 2 β̄0 (t) + 3 π ZT K03 (t, τ )β̄0 (τ ) dτ = Q1 (t), (56) 0 где K03 (t, τ ) = K02 (t, τ ) − K02 (T, τ ), Q1 (t) = Q(t) − Q(T ). Так как Q1 (t) принадлежит пространству Гёльдера с показателями 1+γ1 1+γ2 2 , 3 , то функция β̄0 (t), представленная формулой (56) удовлетворяет условию 18

Гёльдера с показателями 1+γ1 1+γ2 2 , 3 во всех точках контура (0, T ), включая концы интервала. Системы уравнений (56) эквивалентны исходной системе уравнений (48) при выполнении условий (48), (52) и (55). Подставляя найденные значения функций α0 (t), β0 (t) в условия (48), (52) и (55), получим p,p/2 условия разрешимости задачи (1)–(3) в пространстве Hx t (Q). Их обозначим так: Ls (ϕ1 , ϕ2 ) = 0, s = 1, 2, 3, 4, 5, 6. (57) Теперь мы можем установить теорему. Теорема 2 (о разрешимости). Пусть ϕ1 ∈ H p1 (Q+ ) (p1 = 4 + γ1 ), ϕ2 ∈ H p2 (Q− ) (p2 = 3 + γ2 ), 0 < γ1 < 1, 1 4 < γ2 < 1. Тогда при выполнении условий (2) существует единственное решение уравнения (33) в Q, удовлетворяющее p , p /3 p , p /4 условиям (34), (35) из пространств Hx2 t 2 (Q− ), Hx1 t 1 (Q+ ). Аналогичные исследования можно провести в случае ϕ1 ∈ H p (p = 4l+γ), ϕ2 ∈ H p (p = 3l + γ), 0 < γ < 1, где l ≥ 1 — целое число. 19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Задачи приведены к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям. Выявлены явные условия существования решения поставленных задач. Неравные порядки уравнений, фигурирующие в разобранных задачах, не позволяют полностью обратить получающиеся системы сингулярных интегральных уравнений. В работе развит возможный метод решения подобных задач. А именно, разложение ядер остаточных сингулярных операторов до малых членов может быть достаточно для установления существования решения. 20

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] Krylov, N.V. - Lectures on elliptic and parabolic equations in Holder spaces. American Mathematical Society, 1996. - 175 p. [2] Антипин В.И. О гладких решениях задачи Жевре для уравнения третьего порядка / В.И. Антипин, С.В. Попов // Математические заметки СВФУ. 2015. - Т. 22. №1. - С. 51-61. [3] Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи и др. - М.: Наука, 1970 - 328 с. [4] Гахов, Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с. [5] Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. - М.: Наука, 1971. - 352 с. [6] Кожанов А.И. Об одной нестандартной задаче сопряжения для эллиптических уравнений / А.И. Кожанов, С.В. Потапова // Математические заметки СВФУ. 2016. - Т. 23. №3. - С. 70-80. [7] Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. М.: Наука, 1967. - 736 с. [8] Марков В.Г. Параболические уравнения четвертого порядка с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания / В.Г. Марков, С.В. Попов // Математические заметки СВФУ. 2017. - Т.24. №4. - С.52-66. [9] Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 512 с. 21

[10] Попов, С.В. O поведении интеграла типа Коши на концах контура интегрирования и его приложение в краевых задачах для параболических уравнений переменного направления времени // Математические заметки СВФУ. 2016. - Т.23. №2. - С.90-107. [11] Потапова, С.В. Разрешимость краевых задач для 2n-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. [Текст]: дис.....канд. ф.-м. наук: 01.01.02: защищена 08.11.07 / Потапова Саргылана Викторовна. - Якутск, 2007. - 114 с. [12] Терсенов, С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. - М.: Наука, 1985. - 105 с. 22

ПРИЛОЖЕНИЯ Здесь приведены первоначальные сведения о сингулярных интегралах и сингулярных интегральных уравнениях. Указана связь последних с краевой задачей Римана. П.1. Поведение интеграла типа Коши на контуре Следующая лемма, доказательство которой содержится в [4] описывает поведение интеграла типа Коши при приближении к контуру: Лемма 0.1. Пусть Φ(z) есть интеграл типа Коши (??). Если плотность ϕ(t) удовлетворяет условию Гёльдера и точка t не совпадает с концами контура L, то функция 1 ψ(z) = 2πi ϕ(τ ) − ϕ(t) dτ τ −z Z (58) L непрерывна в точке z = t, т.е. имеет одинаковый предел при приближении к этой точке как изнутри, так и вне контура, совпадающий с его значением в этой точке, который понимается в смысле главного значения. На основе этой леммы, учитывая, что    2πi, z ∈ D+ ,   Z  dτ = 0, z ∈ D−, τ −z    L  πi , z ∈ L, (59) можно получить соотношения между предельными значениями и главным значением интеграла типа Коши 1 Φ(z) = 2πi Z ϕ(τ ) dτ, τ −z (60) L предельные свойства при приближении к контуру изнутри и извне. Действительно, выполняются следующие соотношения: 23

Z h 1 Z ϕ(τ ) ϕ(t) dτ i ψ (t) = lim+ dτ − = Φ+ (t) − ϕ(t), z→t 2πi τ − z 2πi τ −z L L Z h 1 Z ϕ(τ ) ϕ(t) dτ i − ψ (t) = lim− dτ − = Φ− (t), z→t 2πi τ − z 2πi τ −z L L Z Z ϕ(τ ) ϕ(τ ) dτ 1 1 dτ − = Φ(t) − ϕ(t), ψ(t) = 2πi τ − t 2πi τ −t 2 + L (61) L из которых следуют так называемые формулы Сохоцкого: Z 1 1 ϕ(τ ) + dτ, Φ (t) = ϕ(t) + 2 2πi τ − t L Z 1 1 ϕ(τ ) Φ− (t) = − ϕ(t) + dτ. 2 2πi τ − t (62) L Аналогами этих соотношений для интеграла типа Коши на прямой являются [4] 1 1 Φ+ (t) = ϕ(t) + 2 2πi Z∞ ϕ(τ ) dτ, τ −t −∞ Z∞ 1 1 Φ− (t) = − ϕ(t) + 2 2πi (63) ϕ(τ ) dτ. τ −t −∞ Из формул Сохоцкого следует, что Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t), Z 1 ϕ(τ ) Φ+ (t) + Φ− (t) = dτ. πi τ − t (64) L П.2. Краевая задача Римана Краевая задача Римана для полуплоскости состоит в том, чтобы найти две аналитические функции Φ+ (z), Φ− (z), (Φ+ (z) аналитична на верхней полуплоскости D+ , Φ− (z), соответственно, на D− (z)) такие, что их предельные значения на контуре удовлетворяют соотношению Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (−∞ < t < ∞). 24 (65)

Всегда подразумевается, что G(t) 6= 0 на всем контуре. Частные случаи этой задачи. Φ+ (t) = Φ− (t) + g(t) (−∞ < t < ∞), Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) (−∞ < t < ∞). соответственно называются задачей о сдвиге и однородной задачей. Из формул Сохоцкого (63) следует, что решение задачи о сдвиге даётся интегралом типа Коши. Индекс ξ = ind G(t) называется индексом задачи Римана. Однородная задача в случае, когда ξ = 0, сводится к задаче о сдвиге. Дело в том, что в этом случае однозначно определен логарифм ln(G(t)), и таким образом задача равносильна ln(Φ+ (t)) = ln(Φ− (t)) + ln(G(t))(−∞ < t < ∞) (66) Решение этой задачи представляется как X + (z) = eΓ + (z) где  Γ(z) =  1 2πi X − (z) = eΓ , Z∞ − (z) , (67)  ln(G(τ ))  dτ . τ −z (68) −∞ Случай ind G(t) = ξ 6= 0 для однородной задачи можно решить, введя функцию t−i , t+i (69) t−i = 1. t+i (70) которая имеет единичный индекс ind Если ind G(t) = ξ, то функция t−i G(t) t+i −ξ имеет индекс, равный нулю. Её логарифм однозначен. 25 (71)

Далее следует ввести так называемую каноническую функцию, которая имеет исключительную точку −i. + Γ+ (z) X (z) = e где 1 Γ(z) = 2πi , Z∞ − X (z) = " ln τ −i τ +i z − i Γ− (z) e , z+i # −ξ G(τ ) dτ . τ −z (72) (73) −∞ Преобразуем это уравнение к виду Φ− (t) g(t) Φ+ (t) = + . X + (t) X − (t) X + (t) (74) Далее, вводя аналитическую функцию 1 Ψ(z) = 2πi Z+∞ g(τ ) dτ , X + (τ ) τ − z (75) −∞ представим краевое условие в виде Φ+ (t) Φ− (t) + − Ψ (t) = − Ψ− (t) + − X (t) X (t) (76) На основании обобщенной теоремы Лиувилля будем иметь Φ+ (t) Φ− (t) Pξ (t) + − Ψ (t) = − − Ψ− (t) = + X (t) X (t) (t + i)ξ (ξ ≥ 0), (77) Pξ (t) – многочлен степени не выше ξ с произвольными коэффициентами. Отсюда получаем общее решение задачи Pξ (z) Φ(z) = X(z) Ψ(z) + , (z + i)ξ (78) Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + C]. При ξ < 0 функция X(z) имеет в точке z = −i полюс порядка −ξ, поэтому для разрешимости задачи нужно положить C = −Ψ− (−i). При ξ < −1, кроме того, должны выполняться еще следующие условия Z∞ g(τ ) dτ = 0 (k = 2, . . . , −ξ). X + (τ ) (τ + i)k −∞ 26 (79)

ТЕОРЕМА. При ξ ≥ 0 всегда существует решение (78), зависящее от ξ + 1 произвольных постоянных. При ξ < 0 однородная задача неразрешима. Неоднородная же имеет решение только при выполнении −ξ −1 условий (79). В частности, при ξ = −1 решение неоднородной задачи всегда существует и однозначно. 27