Топологическая оптимизация элементов гидромеханических агрегатов, при заданных эксплуатационных характеристиках

Руслан Билалов

Топологическая оптимизация элементов гидромеханических агрегатов, при заданных эксплуатационных характеристиках

Целью данной работы является исследование возможностей оптимизации топологии элементов шестеренного насоса, а также внедрению результатов исследования в производство с целью снижения массы насоса и улучшения его прочностных характеристик.

Механика

Дипломы

Вуз: Пермский национальный исследовательский политехнический университет (ПНИПУ)

ID: 5f4d08cfcd3d3e0001ce9ba1

UUID: 04a94b00-cdc4-0138-2718-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: больше 3 лет назад

Просмотры: 32

10.64

Руслан Билалов

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,9 МБ

Поделиться работой

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Факультет прикладной математики и механики Кафедра «Динамика и прочность машин» Направление подготовки: 15.04.03 Прикладная механика Направление (профиль) образовательной программы: Динамика и прочность машин, конструкций и механизмов ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА (магистерская диссертация) На тему Топологическая оптимизация элементов гидромеханических агрегатов, при заданных эксплуатационных характеристиках Студент Билалов Руслан Альфредович Состав ВКР: 1. Пояснительная записка на 43 страницах 2. Графическая часть состоит из 15 рисунков Допускается к защите Заведующий кафедрой д.т.н., профессор В. П. Матвеенко « 20 » июня 2019 г. Регистрационный номер Пермь — 2019 Руководитель ВКР (М. В. Вольский) Консультант (И. Э. Келлер)

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Кафедра «Динамика и прочность машин» УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой В. П. Матвеенко « 13 » мая 2019 г. ЗАДАНИЕ на выполнение выпускной квалификационной работы Фамилия, И. О. Билалов Руслан Альфредович Факультет прикладной математики и механики Группа ДПМ-17-1м Начало выполнения работы 13.05.2019 Контрольные сроки просмотра работы кафедрой 20.06.2019 Сроки представления на рецензию 24.06.2019 Защита работы на заседании ГЭК 27.06.2019 1. Наименование темы Топологическая оптимизация элементов гидромеханических агрегатов, при заданных эксплуатационных характеристиках 2. Исходные данные к работе Техническое задание, 3d-модель конструкции 3. Содержание пояснительной записки а) Введение; б) Список сокращений и условных обозначений; в) Подходы к топологической оптимизации конструкций; г) Мат. модель топологической оптимизации элемента конструкции; д) Численное моделирование задачи топологической оптимизации; е) Заключение; ж) Список литературы; и) Список рисунков. 4. Дополнительные указания

5. Основная литература а) Bendsøe, M. P. Optimization of Structural Topology, Shape, and Material / M. P. Bendsøe. – Springer, 1995. – 267 p. б) Topology optimization with manufacturing constraints: A unified projection-based approach / S. L. Vatanabe [et al.] // Advances in Engineering Software. – 2016. – No. 100. – P. 97–112. в) Larsson, R. Methodology for Topology and Shape Optimization: Application to a Rear Lower Control Arm : Master’s thesis in Applied Mechanics / R. Larsson. – Göteborg, 2016. – 41 p. г) Фетисов, К. В. Проблемы использования топологической оптимизации при проектировании облегченных изделий аэрокосмической отрасли и возможные пути их решения / К. В. Фетисов, П. В. Максимов // Математическое моделирование в естественных науках. — 2017. — Т. 1. — С. 112—116. Руководитель выпускной квалификационной работы магистра Начальник бригады КО-4 М. В. Вольский Консультант д.ф.-м.н., профессор кафедры ДПМ И. Э. Келлер Задание получил Р. А. Билалов

КАЛЕНДАРНЫЙ ГРАФИК ВЫПОЛНЕНИЯ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ Объем, Сроки выполнения начало конец % № Наименование этапа 1 Разработка основных разделов диссертации 75 13.05.19 19.06.19 2 Оформление диссертации 15 06.06.19 15.06.19 3 06.06.19 15.06.19 5 16.06.19 18.06.19 1 20.06.19 1 27.06.19 3 4 5 6 Разработка и оформление иллюстративного материала к защите диссертации Представление диссертации на проверку и отзыв научного руководителя Представление работы заведующему кафедрой Защита на заседании ГЭК Научный руководитель работы « 13 » мая 2019 г. Приме чание +дораб. по п.4 вместе с п.1 вместе с п.1,2 27.06.19 (М. В. Вольский)

Оглавление Стр. Список сокращений и условных обозначений . . . . . . . . . . . . 7 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Глава 1.1 1.2 1.3 1.4 1. Подходы к топологической оптимизации конструкций Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . История топологической оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . Техники топологической оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . Современные направления в теории топологической оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Математическая модель топологической оптимизации элемента конструкции . . . . . . . . . . . . 2.1 Концептуальная постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Математическая постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Постановка задачи оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Обеспечение запаса прочности . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ограничение на первую собственную частоту колебаний 2.3.3 Ограничение по массе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Ограничение по перемещениям . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Производственные ограничения . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Задача оптимизации конструкции . . . . . . . . . . . . . 2.4 Численная реализация модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Метод конечных элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Численный метод решения задачи топологической оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Обзор программного обеспечения для задач топологической оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 12 14 16 16 16 19 19 19 20 20 20 21 21 23 24 24 Глава 3. Численное моделирование задачи топологической оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5

Стр. 3.1 Дискретизация исходной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Решение задачи топологической оптимизации . . 3.2.1 Статический расчет на прочность . . . . . 3.2.2 Динамический расчет - модальный анализ 3.2.3 Результаты топологической оптимизации . 3.2.4 Анализ сходимости численных расчетов . . Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 31 36 37 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6

Список сокращений и условных обозначений σ ε 𝐶 𝐾 𝑀 𝑘𝑒 𝑢 𝑢𝑒 𝑡 𝑛 𝐹 𝑊 ρ 𝑝 𝑐 𝑁 𝑓 𝐼 ∇ · 𝑇 () σ𝑚𝑎𝑥 σ𝐵 σ0 ω ω0 ω1 𝑚1 𝑚2 𝑆𝑖 тензор напряжений Коши тензор малых деформации тензор упругих модулей матрица жесткости матрица масс матрица жесткости конечного элемента = {𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 } вектор перемещений вектор перемещений конечного элемента = {𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 , 𝑡𝑧 } вектор усилий, 𝑡 = σ · 𝑛 = {𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 } вектор нормали к поверхности вектор внешних сил на единицу объема матрица-столбец, содержащая амплитудные значения перемеще ний - форма колебаний плотность давление податливость количество конечных элементов заданная доля объема (или отношение конечной массы конструк ции к начальной) единичный тензор оператор набла скалярное произведение операция транспонирования максимальные напряжения, полученные в ходе решения предел прочности материала - временное сопротивление напряжения, возникающие от силы тяжести насоса круговая частота колебаний заданная собственная частота первая собственная частота нижнее ограничение по массе конструкции верхнее ограничение по массе конструкции i-ая граница 7

𝑆 свободная граница 𝑖 индекс 𝑢𝑚𝑎𝑥 ограничение на максимальные перемещения 𝑉0 начальный объем 𝑉𝑥 конечный объем 𝜕𝑉 форма конструкции 𝑥𝑒 параметр псевдоплотности конечного элемента 𝐸𝑒 модуль упругости конечного элемента 𝐸0 модуль упругости материала 𝐸𝑚𝑖𝑛 малый модуль упругости на пустой области (то есть с нулевой псев доплотностью 𝑥𝑒 ) 𝑞 штрафной параметр НДС напряженно - деформированное состояние SIMP Solid Isotropic Material with Penalization, метод штрафных функ ций для изотропного твердого тела ESO Evolutionary Structural Optimization, эволюционная структурная оптимизация BESO Bidirectional Evolutionary Structural Optimization, двунаправлен ная эволюционная структурная оптимизация МКЭ метод конечных элементов КЭ конечный элемент МКР метод конечных разностей ПО программное обеспечение ЭВМ электронно-вычислительная машина ЧПУ числовое программное управление CAD Computer Aided Design, системы автоматизированного проектиро вания CAE Computer Aided Engineering, системы для инженерных расчетов CAM Computer Aided Manufacturing, системы автоматизированного про изводства FDM Fused Deposition Modeling, моделирование методом наплавления SLS Selective Laser Sintering, селективное лазерное спекание SLM Selective Laser Melting, селективное лазерное плавление STL Stereolithography, формат файла, широко используемый для хранения трёхмерных моделей объектов для использования в ад дитивных технологиях 8

Введение Неотъемлемое техническое требование к любой продукции авиационной промышленности - снижение веса изделия. Важно отметить, что снижение веса - проблема, которую конструкторы и дизайнеры решают постоянно, пытаясь максимально минимизировать массу летательного аппарата, подни маемую в воздух. Более 80% веса полностью загруженного коммерческого авиалайнера – это корпус и его топливо, а вовсе не пассажиры и их ба гаж. Сокращение веса всего на 1% дает экономию топлива в 0.75%. То есть, экономическая выгода от снижения веса самолета и его комплектующих оче видна [1]. Снижение массы самолета приводит к уменьшению потребного запаса топлива на борту, что, в свою очередь, снижает массу самолета, потребную тя гу и, соответственно, массу двигателя и т. д. Оценив все эти изменения массы самолета и потребного запаса топлива, окончательно получим, что снижение массы самолета на 1 кг приводит к уменьшению расхода топлива на один час полета примерно на 40 г. Годовой налет пассажирского самолета составляет около 2500 ч, причем в эксплуатации находится не один самолет, а примерно 500 самолетов данного типа. Тогда годовая экономия топлива составит 50 т. Итак, уменьшение при проектировании или изготовлении массы пустого са молета даже на 1 кг дает значительную экономию топлива при эксплуатации самолетов. Получение в процессе проектирования и производства минималь но возможной массы всех компонентов самолета - одна из основных задач специалистов, создающих новый самолет. Эта задача должна решаться, в первую очередь, уменьшением массы конструкции за счет: – выбора оптимальных конструктивно-силовых схем агрегатов и при менения более совершенных методов расчета конструкции на проч ность [2]; – применения новых, более прочных материалов или материалов с большей выносливостью - сопротивляемостью усталостным повре ждениям (например, алюминий-литиевых сплавов, композиционных материалов). – а так же многими другими. 9

На сегодняшний день применение всего инструментария конечно-эле ментной оптимизации конструкций позволяет существенно упростить кон структорскую работу для выбора тех самых оптимальных параметров для снижения массы летательных аппаратов. Целью данной работы является исследование возможностей опти мизации топологии элементов шестеренного насоса, а также внедрению результатов исследования в производство с целью снижения массы насоса и улучшения его прочностных характеристик. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следую щие задачи: 1. Исследовать предметную область. 2. Разработать математическую модель для решения задачи топологи ческой оптимизации конструкции. 3. Провести ряд вычислительных экспериментов. 4. Сравнить результаты численного моделирования с натурными экспе риментами и работами других авторов в данной области. 5. Внедрить результаты в производство. Научная новизна: заключается в том, что впервые была решена зада ча топологической оптимизации конкретного элемента шестеренного насоса, при заданных эксплуатационных характеристиках. Практическая значимость 1. Повышение конкурентноспособности Предприятия на рынке гидро механических агрегатов. 2. Экономия материала. Достоверность полученных результатов подтверждается проведен ным анализом сходимости численных расчетов, а результаты численного моделирования находятся в соответствии с результатами, полученными дру гими авторами в данной области [3—6]. Кроме того планируется сравнение с натурными экспериментами в части подтверждения прочности и работо способности (вибропрочности) после воздействия синусоидальной вибрации. Испытания будут проводиться с целью подтверждения соответствия требо ваниям [7]. Объем и структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объём работы составляет 43 страницы, включая 15 ри сунков. Список литературы содержит 30 наименований. 10

Глава 1. Подходы к топологической оптимизации конструкций 1.1 Введение Топологическая оптимизация — это, в некотором смысле, попытка автоматизировать труд инженеров. Разрабатывать конструкции, которые достаточно эффективны для решения определенных задач, инженеры научи лись довольно давно: несущие балки, детали самолетов, корпуса подводных лодок и так далее. Для каждого конкретного приложения инженер может сказать, как приблизительно должна выглядеть та или иная деталь. Но насколько оптимальной будет такая деталь? Можно ли придумать форму лучше? И если да, то насколько лучше? Эти вопросы могут быть сформулированы на достаточно строгом математическом языке в виде задачи оптимизации, и при определенных допу щениях на них может быть дан единственно верный ответ. Представим, что у нас есть кронштейн, который одним концом жестко заделан в стену, а другой конец тяжело нагружен. Можно ли придумать для него такую форму, кото рая минимизирует запасенную в нем упругую энергию (меру его жесткости), и при этом потратить минимум материала? Топологическая оптимизация да ет ответ на этот и подобные вопросы. Топологическая оптимизация тесно связана с оптимальным проектиро ванием механических систем. При оптимальном проектировании механических систем целевой функ цией может быть не только масса, или объем материала системы, но и ее жесткость или собственная частота, критическая сила или функция, опреде ляющая условие разрушения, или какая-либо другая важная характеристика системы. Большую роль в задачах оптимального проектирования играют те или иные ограничения, накладываемые на переменные задачи. Эти ограничения могут формулироваться с помощью целевой функции другой задачи и наобо рот. На систему могут быть наложены ограничения геометрического типа [8]. Так же топологическая оптимизация используется, в частности, при раз работке микроструктур метаматериалов. Например, сконструировать такую 11

микроструктуру, чтобы после ее периодического повторения и усреднения на макроуровне получить желаемые упругие свойства [9]. 1.2 История топологической оптимизации Сама идея структурной оптимизации, то есть возможности разумно эко номить материал, появилась в начале XX века. Первую, пионерскую работу в 1904 году написал Митчелл [10]. В контексте численных методов о структур ной оптимизации впервые стали говорить одновременно с появлением метода конечных элементов, то есть в 1960-е годы. А первая задача оптимального проектирования механических систем была составлена и решена Лагранжем [11]. Это была задача о минимуме веса колонны, сжимаемой приложенной к ее свободному концу силой. Наиболее интересные идеи топологической оптимизации появились в 1980-е годы, и на их основе были разработаны хорошие, законченные теории. Но настоящий всплеск интереса к этой теме начался вместе с широким распро странением трехмерной печати. Оптимизировать структуру только полдела, ее ведь нужно еще и реализовать. А если оптимальная структура настолько сложна, что ее не позволяет сделать ни один станок с числовым программ ным управлением? Именно здесь на помощь приходит 3D-печать. На рубеже 2000–2010-х годов истекли некоторые ключевые патенты на технологии, свя занные с 3D-печатью. После этого она стала развиваться экспоненциально, и, как следствие, все вспомнили про топологическую оптимизацию. Благо даря этому появился инструмент, позволяющий печатать смоделированные структуры[9]. 1.3 Техники топологической оптимизации Самой первой техникой топологической оптимизации была SIMP. Ис следователи достаточно быстро поняли, что задача оптимизации как поиска распределения материала изначально была сформулирована плохо. Измене 12

ние топологии, то есть появление в заполненной области сквозных отверстий или полостей, приводит к появлению огромного количества равноценных структур. Более того, чем мельче вводимые полости или отверстия, тем лучше можно получить оптимизируемый функционал — число, которое сопоставляется структуре. На практике же такие микроперфорированные ре шения нам неинтересны, и их появление лишь артефакт постановки задачи. Как же получить адекватное решение? В этом поможет регуляризация: нужно по возможности уменьшить пространство поиска, объяснив в задаче, что именно мы ищем. Например, нам нужна структура с каким-то конечным числом элементов или структура по возможности с небольшой площадью по верхности. Кроме того, нужно сформулировать задачу так, чтобы она была, что называется, выпуклой: чтобы в направлении улучшения свойств можно было двигаться потихоньку, маленькими итерациями, а в конце концов прий ти к наилучшей структуре. Классическая формулировка задачи топологической оптимизации SIMP позволяет сделать именно это: с одной стороны, сформулировать изначально невыпуклую задачу в удобном для градиентного спуска виде, не делая ее при этом глобально выпуклой, но создавая выпуклые подзада чи на каждом локальном шаге. С другой стороны, при помощи техники фильтрации мы можем определить необходимый размер детали. Этот метод не сразу получил признание, потому что он довольно сло жен и не существует его прямой и понятной инженерной интерпретации. В SIMP подразумевается, что в области, в которой мы моделируем, нужно сначала найти серое (иначе говоря, промежуточное) распределение, то есть размазать условную балку и сталь для нее в виде промежуточной плотности, а потом постепенно собрать эту плотность в отдельные элементы конструк ции. Такой подход может показаться на первый взгляд несколько странным: совсем неочевидно, как его можно интерпретировать. Поэтому до определен ного момента прикладники относились к этой технике скептически. Потом появилась еще одна техника, которая стала конкурировать с SIMP. Она основана на так называемом жадном вырезании: мы берем сплошной ку сок материала и начинаем вырезать материал в тех местах, где упругая энергия минимальна. Основная цель — по возможности оставлять полезные для данной конструкции области, несущие нагрузку, где есть напряжение, а ненапряженные области удалять. Таким образом, двигаясь итеративно, мы 13

получаем конструкции, близкие к тому, что генерирует SIMP. Такая техника довольно просто реализуется и называется ESO. В более общей постановке метода BESO позволяется не только удалять, но и добавлять эффективный материал, что позволяет найти более эффективные структуры. Две техники — простая и вычислительно не затратная BESO, а также несколько более математически строгая SIMP — сегодня активно конкуриру ют. Они были реализованы во многих коммерческих пакетах и стали широко применяться в современной индустрии[9; 12]. 1.4 Современные направления в теории топологической оптимизации Топологическая оптимизация сама по себе — подраздел теории опти мизации, но с некоторой спецификой, связанной с ее развитием в плотном контексте практических приложений. В этой области работают инженеры, которым важен практический результат. Если они получили конструкцию легче на 5%, обладающую той же жесткостью и прочностью, что и преды дущая, — это и есть их результат. Но также топологическую оптимизацию изучают чистые математики и вычислители, которых интересует именно тео ретическая, а не инженерная сторона вопросов. У математических методов оптимизации тоже есть характеристики, ко торые позволяют оценить их эффективность: насколько быстро они сходятся, насколько устойчивы, насколько сложные формы и топологии позволя ют получить. Здесь развивается абстрактная теория о существовании и единственности подобных решений. На текущий момент с математической стороны, по крайней мере в плане чистого вариационного исчисления, теория более-менее завершена, достаточно понятны все основные формулировки оп тимизации формы и оптимизации топологии, их свойства и способы решения. Активно развиваются области, связанные с методами быстрой оптими зации. Одной математической постановки недостаточно: нужно реализовать эту постановку и научить компьютер быстро решать задачу. И в этой обла сти сейчас сосредоточены очень большие усилия как теоретического, так и технического характера. Как создать параллельный алгоритм оптимизации 14

для распределенных вычислений? Как уменьшить число степеней свободы? В численном решении рано или поздно все сводится к системе линейных уравне ний, которую тоже надо как-то решать. По возможности она должна как-то удобно решаться — не методом Гаусса, который требует число операций, про порциональное кубу числа неизвестных, а быстрее. В этой области сейчас сосредоточены основные усилия математиков-прикладников. Один из интересных трендов последних лет — использование топологи чески оптимальных конструкций в дизайне и архитектуре. Это делается не из желания сэкономить, а скорее из эстетических соображений. Топологическая оптимизация обычно приводит к конструкциям, похожим на естественные структуры — гладким, без концентрации напряжения, то, что называют bionic design. Еще одно модное направление — топологическая оптимиза ция в природе, в том числе неживой. Это естественные процессы, которые эквивалентны математической оптимизации. Эти результаты активно попу ляризируются среди инженеров. Ведь и сегодня далеко не все из них знают о существовании топологической оптимизации[9]. 15

Глава 2. Математическая модель топологической оптимизации элемента конструкции 2.1 Концептуальная постановка задачи Дан элемент конструкции гидромеханического агрегата - крышка шесте ренного насоса (Рисунок 2.1). Конструкция должна выдерживать нагрузки, определенные в Техническом задании. Требуется снизить массу конструкции при сохранении ее прочностных и эксплуатационных свойств при возможно сти ее технической и производственной реализации. Снижение массы должно происходить за счет образования новых, не сквозных полостей. Рисунок 2.1 — Крышка шестеренного насоса 2.2 Математическая постановка задачи Для описания поведения конструкции, приведенной в разделе 2.1 ис пользовалась система уравнений механики сплошных сред, состоящая из: – уравнения движения (2.1), – геометрического соотношения (2.2), 16

– определяющего соотношения - закона Гука (2.3). ρü = ∇ · σ + 𝐹 ε= (2.1) 1 (∇u + u∇) 2 (2.2) σ=C:ε (2.3) Система уравнений (2.1—2.3) добавлялась граничными условиями и условиями нагружения согласно рисункам 2.2 и 2.3. Рисунок 2.2 — Граничные условия На рисунках 2.2 и 2.3 приняты обозначения: – Красным цветом обозначены крепежные отверстия, фиксация детали по всем осям X, Y, Z - Граница 𝑆1 ; – Оранжевым цветом обозначены фиксирующие отверстия, фиксация детали по осям X, Y - Граница 𝑆2 ; – Синим цветом обозначены поверхности на которые действует давле ние 𝑝1 - Граница 𝑆3 ; – Фиолетовым цветом обозначены поверхности на которые действует давление 𝑝2 - Граница 𝑆4 ; – Желтым цветом обозначены отверстия, на которые действует уда ленно-приложенная нагрузка σ0 - Граница 𝑆5 ; 17

Рисунок 2.3 — Рабочее положение на двигателе (земля снизу) – Зеленым цветом обозначены места присоединения уплотнительных колец - Граница 𝑆6 ; – На оставшейся границе 𝑆 заданы условия свободной поверхности. Математически граничные условия запишутся так: 𝑢|𝑆1 = 0 𝑢𝑥 |𝑆2 = 0 𝑢𝑦 |𝑆2 = 0 𝑡𝑧 |𝑆2 = 0 σ|𝑆3 = −𝑝1 𝐼 (2.4) σ|𝑆4 = −𝑝2 𝐼 𝑡|𝑆5 = σ0 · 𝑛 (σ · 𝑛)|𝑆 = 0 Таким образом система уравнений (2.1—2.3) с граничными условиями (2.4) описывает поведение конструкции для определения НДС, необходимого для решения оптимизационной задачи. Начальное НДС - не напряженное. 18

2.3 Постановка задачи оптимизации Помимо удовлетворения задаче, поставленной в разделе 2.2 для поста новки задачи топологической оптимизации необходимо задать ограничения. 2.3.1 Обеспечение запаса прочности Согласно [13] коэффициент запаса прочности по временному сопротив лению (пределу прочности) для сталей, алюминия, меди и их сплавов в рабочих условиях должен соответствовать значению, равному 2.4. Из сообра жений инженерной практики и особенностях технологического производства конструкции было принято решение для топологической оптимизации устано вить коэффициент запаса по пределу прочности равному 2.5. Математически это ограничение записывается как показано в формуле (2.5). σ𝑚𝑎𝑥 6 2.3.2 σ𝐵 2.5 (2.5) Ограничение на первую собственную частоту колебаний Согласно Техническому заданию для конструкции необходимо обеспе чить частоту собственных колебаний не менее ω0 Гц. Математически это ограничение записывается как показано в формуле (2.6). ω1 > ω0 (2.6) 19

2.3.3 Ограничение по массе Минимальное ограничение по массе было выбрано из соображения кон курентноспособности. Максимальное ограничение - из анализа результатов работ [3—6]. Итоговое ограничение по массе было записано в следующем виде: ∫︁ ∫︁ ∫︁ 𝑚1 6 ρ 𝑑𝑉 6 𝑚2 (2.7) 𝑉 2.3.4 Ограничение по перемещениям Ограничение по максимальным локальным перемещениям были выбра ны из соображений инженерной практики, требований [14] и результатов испытаний опытных образцов конструкции. Они накладывались в местах прилегания уплотнительных колец, как показано на рисунке 2.2 и были фор мализованы в (2.8). 𝑢|𝑆6 6 𝑢𝑚𝑎𝑥 2.3.5 (2.8) Производственные ограничения Поскольку конструкция, описанная в разделе 2.1 производится пу тем фрезерования были выставлены производственные ограничения для обеспечения возможности производства конструкции после оптимизации фре зерованием. В группу таких ограничений входило: 1. Не допускается образование внутренних полостей в конструкции. 2. Не допускается образование новых сквозных отверстий. 3. Удаление материала должно происходить по нормали к поверхности конструкции. 20

Математически эти ограничения были сформулированы через понятие гомеоморфизм и записаны в следующем виде: ∃𝑓 : 𝑋 → 𝑌 , (2.9) где X - исходная топология конструкции, Y - топология конструкции после оптимизации, а функция f удовлетворяет условиям взаимно однознач ности, а так же 𝑓 и обратная функция 𝑓 −1 непрерывны. 2.3.6 Задача оптимизации конструкции После математической постановки, приведенной в разделе 2.2 поставим следующую задачу оптимизации. Найти топологию конструкции, изобра женной на рисунке 2.1, в которой удовлетворяются уравнения (2.1—2.3), граничные условия (2.4), условие обеспечения запаса прочности (2.5), условие ограничения первой собственной частоты колебания (2.6), условие огра ничения по массе конструкции (2.7), условие ограничения максимальных перемещений (2.8) и производственных ограничений (2.9), а функционал (2.10), равный податливости системы принимает минимальное значение. 𝑐(𝐶, σ, 𝜕𝑉 ) → 𝑚𝑖𝑛 2.4 (2.10) Численная реализация модели Аналитическое решение системы уравнений (2.1—2.4) не представляет ся возможным в виду существенной геометрической сложности, не говоря уже про задачу оптимизации (2.10) с ограничениями (2.5—2.9). Поэтому для решения поставленной задачи необходимо использовать численные методы. Согласно [15] все имеющиеся на сегодняшний день методы для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных можно раз делить на три большие группы: 21

1. Конечно-элементные методы [16]. Область интегрирования (сплошная среда) разделяется на конечные элементы, внутри ко торых искомые переменные аппроксимируются непрерывными функциями. Исходные уравнения записываются для значений пе ременных в узлах элементов, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов внутри элементных аппроксимирующих функций. Такой подход позволяет легко учесть сложную геометрию задачи или выделить некото рые геометрические особенности (более детальная сетка) в рамках простой формы области интегрирования. Преимуществами также является непрерывная аппроксимация по всему пространству, в отличие от метода конечных разностей. 2. Метод конечных разностей [17]. Сплошная среда заменяется конечно-разностной сеткой (ячейками) определенного размера (мас штаб дискретизации), внутри которых искомые функции постоянны. Интегрируемым уравнениям ставятся в соответствие конечно-раз ностные аналоги, решение которых для каждой ячейки приводит к нахождению неизвестных значений в ячейках сетки. После то го, как значения искомых параметров на текущем шаге по времени известны, производится поиск значений в ячейках следующего вре менного слоя. В результате решение системы уравнений представляет собой набор точек в пространстве и времени с определенными интер валами (шагами). Как правило, МКР существенно проще в плане программной реализации, чем МКЭ, однако возникают трудности при аппроксимации граничных условий на криволинейных образу ющих и ведении расчетов на неравномерных сетках. 3. Бессеточные методы [18]. Каждая искомая функция в исход ной системе дифференциальных уравнений в частных производных раскладывается по системе базисных функций. При подстановке данного разложения в исходную систему получается, что каждое дифференциальное уравнение в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким обра зом,в отличие от МКР и МКЭ, в которых численное решение будет тем точнее, чем меньше масштаб дискретизации сплошной среды, при указанном подходе точность решения будет пропорциональна 22

количеству базисных функция в разложении. Подобные методы чис ленного интегрирования появились при возникновении проблемы зависимости решения задачи от сетки, особенно в задачах, связанных с разрушением. Однако истинно бессеточными были только самые ранние представители данных методов, например, метод Галеркина, метод Ритца. Поздние же модификации приобрели некий аналог сет ки в виде узлов, покрывающих область интегрирования. При этом разложение по системе функций стало носить локальный характер. Вместе с этим и проблемы, связанные с зависимостью решения от сетки стали присущи «бессеточным» методам. 2.4.1 Метод конечных элементов МКЭ подробно описан, например в [16; 19]. Суть метода заключена в его названии. Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей (элементов). В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функ ции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов (в узлах) являются решением задачи и заранее неизвестны. Коэф фициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество урав нений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебра ических уравнений имеет разрежённый вид, что существенно упрощает её решение. Если говорить в матричных терминах, то собираются так называемые матрицы жёсткости 𝐾 (или матрица Дирихле) и масс 𝑀 . Далее на эти мат рицы накладываются граничные условия (например, при условиях Неймана 23

в матрицах не меняется ничего, а при условиях Дирихле из матриц вычёр киваются строки и столбцы, соответствующие граничным узлам, так как в силу краевых условий значение соответствующих компонент решения извест но). Затем собирается система линейных уравнений и решается одним из известных методов. 2.4.2 Численный метод решения задачи топологической оптимизации Алгоритм SIMP был описан в монографии [20]. Метод основан на МКЭ, где вводиться параметр псевдоплотности КЭ 𝑥𝑒 , который определяет модуль упругости следующим образом: 𝐸𝑒 (𝑥𝑒 ) = 𝐸𝑚𝑖𝑛 + 𝑥𝑒 𝑞 (𝐸0 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 ), 𝑥𝑒 ∈ [0, 1] (2.11) Математически задача может быть сформулированна как минимизация функции податливости (2.12) (внешней работы) через минимизацию энергии деформации при заданных ограничениях (2.13): 𝑇 𝑐(𝑥) = 𝑢 · 𝐾 · 𝑢 = 𝑁 ∑︁ 𝐸𝑒 (𝑥𝑒 )𝑢𝑒 𝑇 · 𝑘0 · 𝑢𝑒 → 𝑚𝑖𝑛 (2.12) 𝑒=1 ⎧ ⎪ ⎨ 𝑉 (𝑥) 𝑉 =𝑓 (2.13) 𝐾 ·𝑢=𝐹 ⎪ ⎩ 0 < 𝑥𝑚𝑖𝑛 6 𝑥 6 1 Аналогичным образом алгоритм SIMP был представлен, например, в работах [21; 22]. 2.4.3 Обзор программного обеспечения для задач топологической оптимизации По всем вышеизложенным численным методам существуют различные наборы ПО и пакеты прикладных программ. Однако возможностью тополо 24

гической оптимизации конструкций обладают, в основном, пакеты, в которых реализован МКЭ. Ниже представлен обзор ПО, с помощью которого можно проводить топологическую оптимизацию [23]. – Siemens NX. NX — универсальная комплексная система для проек тирования, инженерных расчетов и подготовки управляющего кода для станков с ЧПУ — CAD, CAE и CAM. Топологическая оптими зация в рамках модуля NX CAE ориентирована на взаимодействие деталей в CAD-сборке. В рабочее пространство помещается деталь подлежащая оптимизации, к ней присоединяются другие, которые не будут затронуты процессом, но участвуют во взаимодействии. Ука зание креплений и приложенных нагрузок производится именно в рамках сборки. – Siemens Solid Edge. Solid Edge — CAD-система твердотельного и поверхностного моделирования, прежде всего предназначенная для работы с деталями и сборками, но обладающая встроенным моду лем инженерного анализа. Разработчик позиционирует Solid Edge как средство быстрого проектирования и прототипирования, «зато ченное» под аддитивное производство. Оптимизация производится в несколько шагов, без необходимости тонких настроек: загрузить «болванку», указать отверстия и места приложения нагрузки, задать требуемую долю снижения массы и запас прочности. Полученная деталь может быть напрямую отправлена в печать или доработана штатными средствами Solid Edge. – CATIA 3DEXPERIENCE. Платформа 3DEXPERIENCE, по со стоянию на начало 2018 года, состоит из 104 модулей, которые называются ролями. Это решения для различных задач проектиро вания, управления процессом разработки, симуляции, визуализации. Одна из этих ролей — Function Driven Generative Designer. Эта роль не только позволяет произвести оптимизацию топологии детали в со ответствии с указанными требованиями, но и доработать полученный объект — упростить, убрать неровности. – SOLIDWORKS. Оптимизация топологии была добавлена в SOLIDWORKS 2018. Она доступна в модуле SOLIDWORKS Simulation редакций Professional и Premium. Инженер указывает нагрузки, условия оптимизации — например, наилучшее отноше 25

– – – – ние жесткости к массе, и запускает исследование топологии. По завершении процесса, для подготовки к производству, выполняется сглаживание сетки оптимизированной детали. Autodesk Fusion 360. Облачная платформа для проектирования, инженерных расчетов и подготовки к производству на станках с ЧПУ — CAD/CAE/CAM. В максимальной подписке, которая называется Ultimate, доступен модуль Advanced Simulation. Он отвечает за мо делирование деформаций, работу с анизотропными материалами и оптимизацию топологии — Shape optimization. Возможности для на стройки оптимизации не очень широки, но для основной задачи — создания детали с минимальной массой и необходимой прочностью — достаточны. ANSYS Mechanical. ANSYS Mechanical позволяет моделировать деформацию конструкций под нагрузкой, рассчитывать влияние вибраций и возникновение резонансов. Для проведения автоматизи рованной топологической оптимизации необходимо импортировать модель-заготовку детали, указать точки крепления и приложения на грузок, задать граничные условия, такие как минимальная толщина. Возможно моделирование как традиционных материалов, так и ани зотропных — композиты, 3D-печатные детали. solidThinking Inspire. В сравнении, например, с Ansys Mechanical — это более дружелюбное ПО, рассчитанное на решение нескольких узких задач — моделирования взаимодействия деталей в сборках, простого эскизного проектирования, топологической оптимизации. Объекты, с которыми необходимо работать, могут быть как созда ны в Inspire, так и импортированы из других CAD-систем. После «отрезания лишнего» оптимизированная деталь упрощается и сгла живается, что значительно улучшает внешний вид и позволяет сразу отправить ее в производство. Помимо топологической оптимизации, Inspire способна формировать сетчатое заполнение вместо сплошно го, эта функция пригодится при необходимости еще больше снизить массу детали. Autodesk Netfabb Ultimate. Эта программа известна многим пользователям 3D-принтеров, как удобное средство «ремонта» сет ки и разделения модели на части. Функциональность Netfabb 2018 26

значительно шире — там, например, есть создание ветвистых поддер живающих структур для FDM-печати, моделирование деформации металлических деталей для SLS и SLM, а в редакции Ultimate добав лены топологическая оптимизация и генерация сетчатого заполнения. – ABAQUS. Методология BESO была встроена в ABAQUS и подверг лась усовершенствованию в части производительности, сглаживания неровностей поверхности, образованных ребрами и гранями конечных элементов, создания возможности импорта / экспорта моделей из и в наиболее распространенные CAD форматы. Для исключения возмож ных ошибок, возникающих при преобразовании модели в КЭ-формат, ABAQUS располагает необходимым набором инструментов [24]. 27

Глава 3. Численное моделирование задачи топологической оптимизации 3.1 Дискретизация исходной геометрии Для трехмерного моделирования и решения задачи, поставленной в Гла ве 2 система уравнений (2.1—2.4) интегрировалась численно с помощью МКЭ в пакете прикладных программ ANSYS Mechanical [25]. Область интегри рования была покрыта преимущественно на гексагональные КЭ, согласно рекомендациям [26] и исходя из соображений экономии оперативной памяти ЭВМ. Результаты показаны на рисунке 3.1. Рисунок 3.1 — Конечно-элементная модель Так же была произведена настройка сеточного генератора, для фор мирования преимущественно структурированной КЭ-сетки для лучшей сходимости численных расчетов, а так же сходимости решения задачи опти мизации. Количественные и качественные показатели построенной КЭ-сетки по типам КЭ показаны на рисунке 3.2. 28

Tet Hex Wed 60 Объем, % 50 40 30 20 10 0 m1 m2 m3 m4 Метрика КЭ m5 Рисунок 3.2 — Качество построенной КЭ-сетки 3.2 Решение задачи топологической оптимизации 3.2.1 Статический расчет на прочность Для того, чтобы наложить ограничения на перемещения, описанные в разделе 2.3.4 и задать ограничения 𝑢𝑚𝑎𝑥 был проведен статический расчет на прочность. При статическом расчете левая часть уравнения (2.1) равна нулю. Поэтому использовалось уравнение равновесия (3.1). 0=∇·σ+𝐹 (3.1) Полученные значения вектора перемещений 𝑢 в результате решения си стемы уравнений (2.2—2.4 и 3.1) использовались для ограничения 𝑢𝑚𝑎𝑥 так, что бы в результате решения задачи оптимизации в местах прилегания уплот нительных колец (рисунок 2.2) перемещения не увеличились. Кроме того, статический расчет будет использоваться для перерасчета целевой функции податливости (2.10) на каждой итерации в ходе решения задачи топологической оптимизации. 29

3.2.2 Динамический расчет - модальный анализ Для того, чтобы наложить ограничение на ω1 , описанное в разделе 2.3.2 был произведен динамический расчет - модальный анализ, результатом кото рого являются значения собственных частот колебаний конструкции. Собственные (или свободные) колебания конструкции совершаются при отсутствии внешних сил. Поэтому для проведения модального анализа в уравнении (2.1) вектор внешних сил 𝐹 равен нулю. Кроме того, условия нагружения из (2.4) также не учитывались. Демпфирующие силы системы отсутствуют. Для МКЭ решение задачи на собственные колебания сводиться к уравнению (3.2), решение которого можно искать в виде (3.3). ¨ +𝐾 ·𝑢=0 𝑀 ·𝑢 (3.2) 𝑢 = 𝑊 𝑐𝑜𝑠ω𝑡 (3.3) Задача по поиску значений собственных частот колебаний сводиться к решению уравнения ⃒ ⃒ ⃒𝐾 − ω2 𝑀 ⃒ = 0 (3.4) Конструкция может совершать колебания с различными частотами, каждой частоте ω𝑖 соответствует определенная форма 𝑊 𝑖 . Задача расче та собственных колебаний заключается в отыскании всех или нескольких (в данной задаче - первой) частот и соответствующих им форм колебаний. Отыс кание собственных частот колебаний составляет предмет известной задачи линейной алгебры, называемой обобщенной проблемой собственных значе ний [19]. Кроме того, результаты этого расчета на каждой итерации решения за дачи топологической оптимизации будут проверяться на выполнение условия (2.6). 30

3.2.3 Результаты топологической оптимизации Результаты топологической оптимизации изображены на рисунке 3.3. Рисунок 3.3 — Результаты топологической оптимизации Масса конструкции после численного моделирования составила 40 % от исходной, что вполне удовлетворяет заданным условиям (2.7) и соответ ствует результатам других работ по топологической оптимизации, например [3—6; 27]. На рисунках 3.4–3.7. представлены графики сходимости решения задачи топологической оптимизации по заданным ограничениям. 31

Масса конструкции, % 100 Масса Верхнее ограничение Нижнее ограничение 80 60 40 0 5 10 15 20 25 Номер итерации 30 35 40 Удельная частота ω𝑖1 /ω11 Рисунок 3.4 — Сходимость задачи оптимизации по массе конструкции 1 0.8 Частота Ограничение 0.6 0.4 0.2 0 5 10 15 20 25 Номер итерации 30 35 40 Рисунок 3.5 — Сходимость задачи оптимизации по собственной частоте колебаний На этом решение задачи топологической оптимизации можно было бы и завершить, но полученный результат слабо применим на практике. Алгоритм действий после получения результатов топологической оп тимизации подробно описан в [28], аналогичные алгоритмы, с некоторыми уточнениями и доработками были предложены и в отечественных работах, например в [22; 27]. В настоящей работе использовался алгоритм, который кратко можно представить как показано на рисунке 3.8. Согласно рисунку 3.8 следующим шагом после оптимизации является создание оптимальной геометрии конструкции - реализация нового дизай на. Согласно [22], на данный момент не существует подходов и методов, которые бы создавали сложные трехмерные конструкции автоматически, 32

Удельные перемещения 𝑢𝑖𝑥,𝑦,𝑧 /𝑢1𝑧 1.2 1 0.8 𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧 Ограничение 0.6 0.4 0 5 10 15 20 25 Номер итерации 30 35 40 Удельное напряжение σ𝑖𝑚𝑎𝑥 /σ𝐵 Рисунок 3.6 — Сходимость задачи оптимизации по перемещениям Напряжение Ограничение 1.5 1 0.5 0 5 10 15 20 25 Номер итерации 30 35 40 Рисунок 3.7 — Сходимость задачи оптимизации по напряжениям поэтому все построения необходимо выполнять конструкторам в специализи рованных системах автоматизированного проектирования (CAD), где можно создавать упрощенную геометрию при помощи простых примитивов. Так же для быстрого прототипирования возможна обработка (упрощение, сглажива ние) результатов оптимизации в виде STL-файла. Результат в формате STL-файла, обработка которого выполнялась в программном комплексе ANSYS SpaceClaim[29], был передан для доработ ки специалистам. После доработки модель конструкции имеет вид, как показано на ри сунке 3.9. 33

Элемент конструкции Топологическая оптимизация Изменение параметров оптимизации Нет Реализация нового дизайна Проверочные расчеты Целевые требования выполняются? Да Цель достигнута Рисунок 3.8 — Схема алгоритма оптимизации конструкции Рисунок 3.9 — 3-d модель конструкции после обработки результатов топологической оптимизации и доработки 34

Согласно схеме 3.8 после получения нового дизайна конструкции необ ходимо провести проверочные расчеты, чтобы убедиться, что полученная конструкция удовлетворяет необходимым требованиям. На рисунках 3.10 и 3.11 представленны результаты численного модели рования, в ходе которого было подтверждено, что новая модель конструкции соответствует требованиям, заданным в виде ограничений в разделе 2.3. Рисунок 3.10 — Распределение полей напряжений в новом дизайне конструкции Рисунок 3.11 — Распределение полей перемещений в новом дизайне конструкции 35

3.2.4 Анализ сходимости численных расчетов Был проведен анализ сходимости численных расчетов. Процедура оцен ки сходимости численных расчетов аналогична работам других авторов, например [15; 30]. В качестве исследуемых параметров были выбраны компо ненты вектора перемещений 𝑢 в области прилегания уплотнительных колец (как показано зеленым цветом на рисунке 2.2). Остальные параметры не рас сматривались, т.к. задача линейная. Шаг аппроксимации по пространству (характерный размер КЭ) уменьшался с каждой итерацией (в исследуемой области, а не на всей конструкции, в целях экономии времени вычислений), при этом норма разности текущего и предыдущего значений выбранных пара метров, относилась к норме выбранного параметра на предыдущей итерации. Использовалась норма Чебышева. Соответствующие результаты изображе ны на рисунке 3.12. По графикам видно, что результаты расчетов сходятся, что свидетельствует об адекватности численного эксперимента, а начиная с некоторого значения величины разбиения по пространству решение перестает сильно зависеть от масштаба дискретизации сплошной среды. Характерный размер КЭ на 5-ом шаге итерации в итоге был выбран для всей конструкции, как показано на рисунке 3.1, поскольку дальнейшее измельчение КЭ-сетки было бы нерациональным с вычислительной точки зрения - бóльшие затра ты времени и объема оперативной памяти ЭВМ. 𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧 Погрешность, % 25 20 15 10 5 2 3 4 5 Номер расчета 6 Рисунок 3.12 — Сходимость вектора перемещений 𝑢 по осям X, Y, Z 36

3.3 Выводы Построенная математическая модель была успешно применена для моделирования топологической оптимизации конструкции при заданных эксплуатационных и производственных ограничениях. С помощью анализа сходимости численных расчетов был получен характерный размер КЭ для дискретизации исходной 3d-модели. Сам результат топологической оптимиза ции был использован при создании нового дизайна конструкции, по которому будут созданы опытные образцы для начала проведения испытаний. Масса конструкции с новым дизайном составила 52 % от исходной. Так же был про веден расчет на прочность нового дизайна конструкции для подтверждения его применимости в эксплуатации. 37

Заключение Основные результаты работы заключаются в следующем: 1. На основе анализа поставленной задачи было проведено исследова ние в области задач топологической оптимизации конструкций. 2. Была построена математическая модель для решения задачи тополо гической оптимизации конструкции при заданных эксплуатационных характеристиках. 3. Проведен обзор численных методов для решения задачи. 4. Проведен обзор ПО для решения задачи. 5. Построенная математическая модель была реализована в программ ном комплексе ANSYS Mechanical. 6. В результате математического моделирования была получена новая топология конструкции, а после ее обработки был предложен новый дизайн конструкции. 7. В результате численного моделирования было подтверждено, что но вый дизайн удовлетворяет необходимым требованиям. Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы: 1. Подтвердить пригодность нового дизайна конструкции с помощью натурных экспериментов. 2. Разработать макрос (подпрограмму) для отслеживая сохранности го меоморфности результата топологической оптимизации. 3. Включить в процесс численного моделирования параметрическую оп тимизацию конструкции. 4. Доработать математическую модель для учета тепловых эффектов. 5. Доработать математическую модель для учета остаточных напряже ний при изготовлении конструкции. 38

Список литературы 1. Снижение общей массы самолета [Электронный ресурс]. — URL: https: //proektoria.online/projects/snizhenie-obshhej-massy-samoleta (дата обр. 01.04.2019). 2. Егер, С. М. Посвящается 75-летию Московского авиационного института [Электронный ресурс] / С. М. Егер, А. М. Матвеенко, И. А. Шаталов. — URL: http : / / oat . mai . ru / book / glava21 / 21 _ 5 / 21 _ 5 . html (дата обр. 03.04.2019). 3. Башин, К. А. Методы топологической оптимизации конструкций, при меняющиеся в аэрокосмической отрасли / К. А. Башин, Р. А. Торсунов, С. В. Семенов // Вестник пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. — 2017. — № 51. — С. 51—61. 4. Прокопов, В. С. Преимущества использования метода топологической оптимизации на этапе проектирования промышленного продукта / В. С. Прокопов, Д. С. Вдовин, С. С. Хрыков // Системы проектиро вания, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта. Труды XVII международ ной научно-практической конференции. — 2017. — С. 26—29. 5. Марчук, Н. И. Решение задач топологической оптимизации конструкций с использованием программы ANSYS / Н. И. Марчук, Е. В. Прасолен ко // Новая наука: опыт, традиции, инновации. — 2017. — Т. 2, № 4. — С. 196—199. 6. Васильев, Б. Е. Анализ возможности применения топологической опти мизации при проектировании неохлаждаемых рабочих лопаток турбин / Б. Е. Васильев, Л. А. Магеррамова // Вестник самарского государ ственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). — 2015. — Т. 14, № 3—1. — С. 139—147. 39

7. Квалификационные требования КТ-160D. Условия эксплуатации и окру жающей среды для бортового авиационного оборудования. Требования, нормы и методы испытаний. — М. : АР МАК, 2004. — 324 с. 8. Троицкий, В. А. Оптимизация формы упругих тел / В. А. Троицкий, Л. В. Петухов. — М. : Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1982. — 432 с. 9. Останин, И. Топологическая оптимизация [Электронный ресурс] / И. Останин. — 2018. — URL: https://postnauka.ru/faq/84374 (дата обр. 04.04.2019). 10. Michell, A. The limits of economy of material in frame structures / A. Michell // Philosophical Magazine. –– 1904. –– Vol. 8(47). –– P. 589––597. 11. Lagrange, J.-L. Sur la figure des colonnes / J.-L. Lagrange. –– Mescellanea Taurinsia, 1770-1773. 12. Фетисов, К. В. Современные подходы к проектированию облегченных деталей авиационных газотурбинных двигателей с применением топо логической оптимизации и аддитивных технологий / К. В. Фетисов, П. В. Максимов // Прикладная математика, механика и процессы управ ления. — 2016. — Т. 1. — С. 22—23. 13. ГОСТ Р 52857.1-2007 Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность. Общие требования. — М. : Стандартинформ, 2008. — 26 с. 14. ОСТ 1 00128-74 Герметичность изделий. Нормы. — 1978. — 7 с. 15. Билалов, Д. А. Механизмы локализации деформации и разрушения в металлах при динамическом нагружении : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.04 / Д. А. Билалов. — Пермь, 2018. — 107 с. 16. Сегерлинд, Л. Приминение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд ; под ред. Б. Е. Победри. — М. : МИР, 1979. — 392 с. — Перевод с англий ского - к.ф.-м.н. Шестакова А. А. 17. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Году нов [и др.]. — М. : Наука, 1976. — 400 с. 18. Mesh-free Galerkin simulation of dynamic shear band propagation and fail ure mode transition / S. Li [et al.] // International Journal of Solids and Structures. –– 2002. –– Vol. 39. –– P. 1213––1240. 40

19. Образцов, И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, Л. М. Савельев, Х. С. Хазанов. — М. : Высш. шк., 1985. — 392 с. — Учеб. пособие для студентов авиац. спец. вузов. 20. Bendsøe, M. P. Optimization of Structural Topology, Shape, and Material / M. P. Bendsøe. –– Springer, 1995. –– 267 p. 21. Проектирование конструкции автомобиля на основе поиска оптималь ных путей нагружения с помощью топологической оптимизации распре деления материала / Р. Р. Фасахов [и др.] // Неделя науки СПБПУ. — 2017. — С. 32—34. 22. Фетисов, К. В. Проблемы использования топологической оптимизации при проектировании облегченных изделий аэрокосмической отрасли и возможные пути их решения / К. В. Фетисов, П. В. Максимов // Ма тематическое моделирование в естественных науках. — 2017. — Т. 1. — С. 112—116. 23. Обзор софта для топологической оптимизации и бионического дизайна [Электронный ресурс]. — 2018. — URL: https://habr.com/ru/company/ top3dshop/blog/411999/ (дата обр. 13.04.2019). 24. Оганесян, П. А. Оптимизация топологии конструкций в пакете ABAQUS / П. А. Оганесян, С. Н. Шевцов // Известия самарского научного центра российской академии наук. — 2014. — Т. 2, № 6—2. — С. 543—549. 25. Workbench User’s Guide [Электронный ресурс]. –– URL: https : / / ansyshelp.ansys.com/account/secured?returnurl=/Views/Secured/corp/ v192/wb2_help/wb2_help.html (visited on 05/27/2019). 26. Topology optimization with manufacturing constraints: A unified projec tion-based approach / S. L. Vatanabe [et al.] // Advances in Engineering Software. –– 2016. –– No. 100. –– P. 97––112. 27. Яров, В. А. Проектирование круглых монолитных плит перекрытий ра циональной структуры с использованием топологической и параметри ческой оптимизации / В. А. Яров, Е. В. Прасоленко // Вестник томского государственного архитектурно-строительного университета. — 2011. — 3(32). — С. 89—102. 41

28. Larsson, R. Methodology for Topology and Shape Optimization: Applica tion to a Rear Lower Control Arm : Master’s thesis in Applied Mechanics / R. Larsson. –– Göteborg, 2016. –– 41 p. 29. SpaceClaim 2016 Beta Release Notes. –– SpaceClaim corporation, 2016. –– 117 p. 30. Исследование локализации пластического сдвига в алюминиевых спла вах при динамическом нагружении / Д. А. Билалов [и др.] // Вычисли тельная механика сплошных сред. — 2015. — Т. 8, № 3. — С. 319—328. 42

Список рисунков 2.1 2.2 2.3 Крышка шестеренного насоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Рабочее положение на двигателе (земля снизу) . . . . . . . . . . . . 18 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 28 29 31 32 32 33 33 34 Конечно-элементная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Качество построенной КЭ-сетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Результаты топологической оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . Сходимость задачи оптимизации по массе конструкции . . . . . . . Сходимость задачи оптимизации по собственной частоте колебаний Сходимость задачи оптимизации по перемещениям . . . . . . . . . Сходимость задачи оптимизации по напряжениям . . . . . . . . . . Схема алгоритма оптимизации конструкции . . . . . . . . . . . . . 3-d модель конструкции после обработки результатов топологической оптимизации и доработки . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Распределение полей напряжений в новом дизайне конструкции . . 3.11 Распределение полей перемещений в новом дизайне конструкции . 3.12 Сходимость вектора перемещений 𝑢 по осям X, Y, Z . . . . . . . . 34 35 35 36 43

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв