Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(национальный исследовательский университет)
Направление подготовки: 03.04.01 Прикладные математика и физика
Профиль подготовки: Общая и прикладная физика
Специализация: Физика высоких энергий
Измерение характеристик резонансов в системе 𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0
(магистерская диссертация)
Студент:
Нигоян Артем Василович
(подпись студента)
Научный руководитель:
Хохлов Юрий Анатольевич,
к. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр.
(подпись научного руководителя)
Протвино
2021
Аннотация
В данной работе применена техника парциально-волнового анализа для изучения реакции
𝜋− + 𝑝 → 𝜋− + 𝜋+ + 𝜋0 + 𝑛
(1)
при 𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚
= 29 ГэВ/c на основе данных эксперимента 𝐵𝐸𝐶. В целях исследования резонансной структуры
𝜋−
указанной реакции отобрано 3.4 млн событий. Проведен анализ амплитуд волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 =
1− 0, 2+ 1 и 3− 0, в ходе которого измерены спектральные характеристики резонансов 𝜔 ′ , 𝜔 ′′ , 𝑎2 (1320) и
𝜔3 (1670).
𝜋
𝜋
−
𝑑
𝑋
𝑌
𝑝
𝜋
𝜋
𝑛
Рис. 1: Диаграмма изучаемого процесса в изобарной модели.
Все 𝜋-мезоны, являющиеся продуктами реакции, имеют разные заряды.
Благодарность
Выражаю благодарность Хохлову Юрию Анатольевичу за научное руководство, Шумакову Антону Анатольевичу за обсуждение хода работы и помощь в освоении основ парциально-волнового анализа, Рябчикову
Дмитрию Игоревичу за плодотворное обсуждение способов описания амплитуд ПВА, а также Дорофееву
Валерию Анатольевичу за предоставление интерфейса для осуществления процедуры построения коротких
треков.
3
Содержание
1 Введение
1.1 Сильное взаимодействие. Мотивация
1.2 Квантовые числа мезонов . . . . . .
1.3 Цель исследования . . . . . . . . . .
1.4 Обзор разделов . . . . . . . . . . . .
изучения спектров частиц
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Экспериментальные данные
2.1 Описание установки BEC . .
2.2 Отбор событий . . . . . . . .
2.3 1C-фит распада 𝜋 0 → 𝛾𝛾 . .
2.4 Результаты отборов . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
. 7
. 8
. 10
. 10
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
плотности
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
17
18
4 Особенности анализа реакции 𝜋 − + 𝑝 → 𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0 + 𝑛 в рамках эксперимента BEC
4.1 Список используемых в анализе изобар и их параметризации . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Список волн, включенных в анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Переход к переменной 𝑡′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Диапазоны изменения переменных 𝑀3𝜋 и 𝑡′ и их разбиение . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Программная реализация анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Описание основного комплекса программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Формулировка задачи оптимизации в терминах приведенной матрицы плотности
4.5.3 Описание процедуры вычисления интегралов нормализации и аксептанса . . . . .
4.6 Реализация парциально-волнового анализа на основе данных нескольких сеансов . . . .
4.7 Ранг матрицы плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Неопределенность глобальной фазы. Выбор опорных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
20
20
21
21
21
21
22
22
23
23
5 Извлечение характеристик резонансов из амплитуд волн
5.1 Анализ интенсивностей волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Анализ амплитуд волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Построение теоретической модели амплитуды волны
5.2.2 Фитирование элементов матрицы плотности . . . . .
5.2.3 Фитирование амплитуд волн с опорной волной . . . .
5.2.4 Фитирование амплитуд волн без опорной волны . . .
5.3 Параметризация резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
24
24
24
25
25
26
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Парциально-волновой анализ реакции 𝜋 − + 𝑝 → 𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0 + 𝑛
3.1 Общее описание метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Выбор базиса в пространстве конечных состояний . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Амплитуда реакции и матрица плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Применение метода максимального правдоподобия для нахождения матрицы
.
.
.
.
.
.
.
6 Результаты парциально-волнового анализа
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
6
6
27
7 Анализ амплитуд волн
37
7.1 Анализ волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 2+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2 Анализ волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 3− 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3 Анализ волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 1− 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 Обсуждение результатов и выводы
45
9 Приложение. Интенсивности и фазы доминирующих волн
46
4
Глава 1
Введение
1.1
Сильное взаимодействие. Мотивация изучения спектров частиц
Сильное взаимодействие является одним из четырех фундаментальных взаимодействий, описывающих
наблюдаемые физические явления. Его проявления можно видеть как при высоких энергиях (столкновения
частиц в коллайдерных экспериментах, экспериментах с фиксированной мишенью, распространение космических лучей в атмосфере), так и при низких (связь протонов и нейтронов в ядре). На текущий момент фундаментальной теорией, описывающей сильные взаимодействия, считается квантовая хромодинамика (КХД).
В рамках КХД кварки наделяются характеристикой, называемой «цветом», а их взаимодействия осуществляются путем обмена электрически нейтральными частицами – глюонами. В силу наличия собственного
цветового заряда глюоны могут взаимодействовать друг с другом, в отличие от фотонов - переносчиков
электромагнитного взаимодействия - что приводит как к количественным, так и к качественным различиям
предсказаний теорий электрослабого и сильного взаимодействия.
В пределе низких энергий взаимодействие глюонов приводит к росту константы связи КХД, так что
методы теории возмущений, которые рассматривают взаимодействие как малую поправку к гамильтониану
свободных полей, становятся неприменимыми. С физической точки зрения большая константа связи приводит к образованию связанных состояний кварков и глюонов, называемых адронами. Так же, как в квантовой
электродинамике энергетические спектры атомов, являющихся КЭД-связанными состояниями, несут информацию об электромагнитном взаимодействии, массы и ширины адронов позволяют детально изучить сильное
взаимодействие и проверить правильность результатов, предсказываемых КХД.
1.2
Квантовые числа мезонов
Адроны классифицируются по спину: адроны с целым спином называются мезонами, с полуцелым барионами. В кварковой модели квантовые числа адронов определяются валентными кварками (точно так
же, как квантовые числа атомов задаются их валентными электронами). В нерелятивистской модели мезоны
являются связанными состояниями кварка и антикварка (𝑞𝑞 ′ ), а барионы – трех кварков (𝑞𝑞 ′ 𝑞 ′′ ).
Легкими мезонами называются мезоны, составленные из 𝑢, 𝑑 и 𝑠 кварков и антикварков. Близкие массы 𝑢
и 𝑑 кварков отражает изоспиновую симметрию. Эти кварки образуют изоспиновый дублет (𝐼 = 12 , 𝐼3 = ± 12 ),
в то время как странный кварк является изосинглетом (𝐼 = 𝐼3 = 0). Это означает, что легкие мезоны могут
быть изоскалярами (𝐼 = 0) или изовекторами (𝐼 = 1).
Поскольку кварки имеют спин 𝑠 = 21 , мезоны, являющиеся связанными состояниями кварка и антикварка,
по правилу сложения моментов могут иметь 𝑆 = 0 или 𝑆 = 1.
Более того, система 𝑞𝑞 ′ может иметь орбитальный момент 𝐿, который даёт вклад в полный угловой
момент мезона 𝐽:
|𝐿 − 𝑆| ≤ 𝐽 ≤ 𝐿 + 𝑆.
Пространственная чётность мезона 𝑃 определяется пространственной чётностью валентных кварков, входящих в состав мезона, а также порстранственной частью волновой функции системы фермион-антифермион
𝑞𝑞 ′ :
𝑃 = (+1) · (−1) · (−1)𝐿 = (−1)𝐿+1 .
Для нейтральных мезонов определяется зарядовая чётность:
𝐶 = (−1)𝐿+𝑆 .
5
Поскольку заряженные мезоны не являются собственными состояниями оператора зарядового сопряжения, их 𝐶-чётность не определена. В связи с этим определяется 𝐺-чётность. Дополнительный поворот состояния на 180∘ вокруг оси 𝐼2 в изоспиновом пространстве, заключающийся в смене знака заряда, делает
электрически заряженные состояния мезонов собственными для оператора 𝐺:
𝐺 = 𝐶 · 𝑒𝑖𝜋𝐼2 = (−1)𝐿+𝑆+𝐼 ,
где 𝐼 – изоспин мезона.
Принято приписывать заряженным мезонам 𝐶-чётность их нейтральных изоспиновых партнеров. Мезоны
называются в соответствии с квантовыми числами, описывающими состояние системы 𝑞𝑞 ′ :
𝐼𝐺 𝐽𝑃 𝐶.
Например, изовекторные состояния (𝐼 = 1) с положительной пространственной чётностью 𝑃 = +1 и отрицательной 𝐺-чётностью (1−− 𝐽 ++ ) называются 𝑎𝐽 , в то время как мезоны с отрицательной пространственной
и 𝐺-четностью называются 𝜋𝐽 . Существуют состояния, которые не могут быть получены как связанные
состояния кварка и антикварка:
𝐽 𝑃 𝐶 = 0−− , 1−+ , 2+− , 3−+ , 4+− , ...
Мезоны с такими квантовыми числами называются экзотическими и представляют особый интерес, поскольку могут являться связанными состояниями глюонов, тетракварками или мезонными молекулами. Экспериментальное подтверждение существования таких состояний будет принципиально важным результатом
в ракмках изучения КХД при низких энергиях. Стоит отметить, что в барионном секторе экзотических
состояний не существует, поскольку все возможные 𝐽 𝑃 𝐶 комбинации могут быть получены как квантовые
числа какого-либо связанного состояния трёх кварков, и этот факт делает изучение мезонов более привлекательным с научной точки зрения.
1.3
Цель исследования
За более чем 70 лет экспериментального изучения адронов помимо основных состояний мезонов открыто
огромное количество их возбужденных состояний, причём, если некоторые из них не вызывают сомнений
(такие как 𝑎2 (1320)), наблюдение многих других резонансов всё ещё остаётся под вопросом. Обнаружение
новых мезонов позволит подтвердить, опровергнуть или ограничить применимость моделей, используемых
для описания иерархии масс частиц (например, модель Редже, см. [1] и [2]).
Обзор актуальных данных, касающихся спектров известных мезонов, представлен в работе [3]. Автор
приводит результаты поиска резонансов в 𝑝¯
𝑝-экспериментах 𝑃 𝑆172 и 𝐶𝑟𝑦𝑠𝑡𝑎𝑙 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑒𝑙. В частности, здесь
имеются некоторые теоретические соображения, касающиеся спектральных характеристик высокоспиновых
резонансов (𝑎4 , 𝜔5 и пр.).
Данный анализ основан на работе [4], в которой представлены результаты изучения реакции 𝜋 − + 𝑝 →
− + 0
𝜋 𝜋 𝜋 + 𝑛 в ходе эксперимента 𝐵𝐸𝐶. Наблюдение резонансов 𝜔, 𝑎2 и 𝜔3 привело к выдвижению гипотезы,
согласно которой в указанной реакции возможно рождение других частиц с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 1− 0,
2+ 1 и 3− 0.
Основной целью работы являлось измерение характеристик резонансов 𝜔-серии, 𝑎2 и 𝜔3 , образующихся
в реакции (1). Анализ произведен на основе экспериментальных данных, полученных на модернизированной
установке BEC.
1.4
Обзор разделов
В главе 2 приведено описание экспериментальной установки BEC, перечислены критерии отбора событий,
соответствующих изучаемой реакции (1), а также представлены результаты применения отборов к данным
четырёх физических сеансов. В главе 3 описана основная идея парциально-волнового анализа, построен базис в пространстве конечных состояний изучаемой реакции, представлен алгоритм нахождения элементов
матрицы плотности на основе метода максимального правдоподобия. Детали реализации ПВА в рамках эксперимента ВЕС описаны в главе 3: приведён список изобар, используемых в анализе, их параметризации,
перечислен набор использованных волн, а также указаны основные особенности программной части анализа.
В главе 5 описаны способы извлечения характеристик резонансов из результатов ПВА путем масс-зависимых
фитов. Наконец, в главах 6 и 7 приведены результаты парциально-волнового анализа, а также характеристики наблюдаемых резонансов, которые затем обсуждены в главе 8. В главу 9 вынесены амплитуды и фазы
значимых волн ПВА.
6
Глава 2
Экспериментальные данные
2.1
Описание установки BEC
Установка ВЕС представляет из себя спектрометр, предназначенный для изучения реакций взаимодействия пучков заряженных частиц с нуклонами фиксированной мишени. Установка расположена в экспериментальном зале ускорительного комплекса У-70 (ИФВЭ, Протвино), рис. 2.1.
Транспортировка и фокусировка пучка вторичных отрицательно заряженных частиц с интенсивностью
∼ 106 частиц/сброс (сброс частиц происходит в течение 1-2 секунд) обеспечивается каналом 4Д протонного
синхротрона. Основными компонентами пучка являются 𝜋 − , 𝐾 − , 𝑒− и 𝑝¯ в соотношении 96.5 : 2.3 : 1.0 : 0.2
соответственно. Средняя энергия пучка составляет 𝐸 ≈ 𝑝𝑐 ≈ 29 ГэВ, среднеквадратичное отклонение –
𝜎𝐸 ≈ 𝑐𝜎𝑝 ≈ 0.25 ГэВ.
Анализ проведен на основе данных 4-х физических сеансов (44, 45, 47 и 48), мишенью в которых служил
бериллиевый цилиндр диаметром 4.3 см и толщиной 4 см (0.11 рад. длин).
Рис. 2.1: Ускорительный комплекс У-70
Рис. 2.2: Схема установки ВЕС
Схема экспериментальной установки ВЕС приведена на рис. 2.2.
Принята система координат, в которой ось 𝑍 направлена по пучку, ось 𝑌 – вертикально вверх, ось 𝑋
дополняет две другие оси до правой тройки. Начало системы координат совпадает с центром магнита.
Перед зоной экспериментальной установки BEC расположен магнитный спектрометр на основе 𝐵𝑆𝑃 𝐶,
предназначенный для определения импульса пучка (не показан на рисунке). Точность спектрометра составляет ∼ 1% при импульсе ∼ 30 ГэВ/c. Факт прохождения пучковой частицы фиксируется при помощи сцинтилляционных счетчиков 𝑆1, 𝑆2 и 𝑆3. Система из четырех двухплоскостных (XY) пропорциональных камер
𝐻𝑃 𝐶 определяет траекторию пучковой частицы. Газовые пороговые черенковские счетчики 𝐶1, 𝐶2 и 𝐶3
служат для идентификации пучка. Сцинтиллятор 𝐴10 − 𝐴11 имеет цилиндрическое отверстие, ось которого
приблизительно совпадает с осью пучка; предназначен для подавления гало пучка.
Мишень 𝑇 𝐴𝑅𝐺𝐸𝑇 окружена охранной системой 𝑉 𝐸𝑇 𝑂. Внутренний слой образован сцинтилляционными
счетчиками, внешний – шестью счетчиками типа «сэндвич» свинец-сцинтиллятор. Цель охранной системы
– подавление событий, в которых продукты реакции имеют большой поперечный импульс по отношению к
направлению импульса пучка.
За мишенью находятся три двухплоскостные пропорциональные камеры 𝑃 𝐶1 (XY), также называемые
𝑃 𝐶𝑅𝐸𝐷 (третья камера повернута относительно остальных на угол 15∘ ), за ними – пять двухплоскостных
7
пропорциональных камер 𝑃 𝐶2 (XY). Все 𝑃 𝐶 предназначены для измерения импульсов заряженных продуктов реакции. Непосредственно перед первой камерой 𝑃 𝐶1 расположена свинцовая пластина 𝐶𝑂𝑁 𝑉 𝐸𝑅𝑇 𝐸𝑅,
позволяющая конвертировать 𝛾-кванты, не попадающие в калориметр, в 𝑒+ 𝑒− пару, вследствие чего возможно исключение таких событий из анализа.
После пропорциональных камер установлен магнит 𝑀 𝐴𝐺𝑁 𝐸𝑇 , отклоняющий заряженные частицы. Магнит имеет размеры полюсов 2.5 × 1.5 м2 , расстояние между полюсами 1 м. Магнитное поле направлено по
оси 𝑌 . Внутри магнита находится группа микродрейфовых камер 𝑀 𝐷𝐶. За магнитом – большой многоканальный газовый пороговый черенковский счетчик 𝐶𝐻𝐸𝑅, состоящий из 28 сферических зеркал, каждое из
которых фокусирует черенковский свет на отдельном фотоумножителе. 𝐶𝐻𝐸𝑅 используется для идентификации продуктов реакции.
За черенковским счетчиком установлена группа больших дрейфовых камер 𝐷𝐶 на основе дрейфовых
трубок. Перед последней дрейфовой камерой и после нее установлены сцинтилляторы 𝐵𝐾1 и 𝐵𝐾2. Их
задача – отсечь события, в которых пучок не вступил в реакцию с нуклонами мишени (наличие сигнала в
них означает отсутствие взаимодействия).
Установка завершается электромагнитным калориметром 𝐸𝐶𝐴𝐿 размерами 2.4 × 1.9 м2 , изготовленным
по технологии «шашлык» из чередующихся слоев свинца и сцинтиллятора [5].
Более подробное описание трековой системы и системы сбора данных установки ВЕС приведено в [6] и [7]
соответственно.
События, удовлетворяющие условию
𝑆1 ∧ 𝑆2 ∧ 𝑆3 ∧ 𝐴10 ∧ 𝐴11 ∧ 𝑉 𝐸𝑇 𝑂 ∧ 𝐵𝐾1 ∧ 𝐵𝐾2 = 1,
записываются на долгосрочный носитель информации (магнитную ленту) в формате 𝐷𝑆𝑇 [8] для осуществления последующего офлайн-анализа.
2.2
Отбор событий
Для выделения событий, соответствующих изучаемой реакции (1), применяются следующие отборы:
(1) событие успешно реконструировано,
(2) пучковая частица идентифицирована как 𝜋 − -мезон,
(3) вершина взаимодействия находится в мишени,
(4) зарегистрированы две противоположно заряженные частицы (𝜋 − и 𝜋 + ) и два фотона (𝜋 0 → 𝛾𝛾),
(5) инвариантная масса двух фотонов 𝑚(𝛾𝛾) удовлетворяет условию: 115 МэВ/c2 < 𝑚(𝛾𝛾) < 155 МэВ/c2 ,
(6) инвариантные массы 𝑚(𝜋 + 𝑛) и 𝑚(𝜋 0 𝑛) превосходят 2.1 ГэВ/c2 ,
(7) восстановленный по 4-импульсу зарегистрированных частиц (в предположении, что произошло взаимодействие с покоящимся протоном, а частица отдачи – нейтрон) модуль импульса пучковой частицы
𝑟𝑒𝑐
удовлетворяет условию: 27 ГэВ/c < |⃗
𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚
| < 32 ГэВ/c,
(8) отсутствуют треки, восстановленные по вершине взаимодействия и хитам в пропорциональных камерах
𝑃 𝐶1 и 𝑃 𝐶2 (см. раздел 2.1), не ассоциированным с треками частиц.
Применение отбора (1) исключает из рассмотрения события, в которых по откликам детекторов не удалось
определить кинематические характеристики частиц, участвующих в реакции.
Отбор (2) необходим в силу неоднородности состава пучка (см. раздел 2.1).
Отбор (3) позволяет выделить события, в которых взаимодействие частиц пучка произошло с нуклонами
мишени. Данный отбор заключается в проверке нахождения восстановленной точки взаимодействия в так
называемой расширенной мишени – цилиндре с диаметром основания 4.3 см и высотой 12 см (описание
мишени см. в разделе 2.1).
Отбор (4) предназначен для исключения из анализа событий с топологией, не соответствующей изучаемой
реакции (1). Отметим, что короткоживущий 𝜋 0 -мезон конечного состояния восстанавливается не напрямую,
а по продуктам распада (двум фотонам), а нуклоны, участвующие в реакции, не идентифицируются и не
регистрируются. Таким образом, исследуется реакция 𝜋 − + 𝑁 → 𝜋 − + 𝜋 + + 𝜋 0 + 𝑁 ′ (из закона сохранения
заряда 𝑁 = 𝑝, а 𝑁 ′ = 𝑛) с последующим распадом 𝜋 0 → 𝛾𝛾 (𝐵𝑟(𝜋 0 → 𝛾𝛾) = (98.823 ± 0.034)%). Процедура
идентификации мезонов конечного состояния не применяется.
Отбор (5) необходим для выделения событий с образованием 𝜋 0 -мезона. Границы указанного интервала
определены по 𝑚(𝜋 0 ) = 135 МэВ и разрешению установки.
Отбор (6) применяется с целью подавления фоновых реакций, в которых рождается барионная изобара 𝑁 *
(см. диаграммы на рис. 2.3). В значимой доле таких событий импульс 𝜋-мезона, образованного в результате
8
𝜋−
𝜉
𝜋−
𝜋−
𝜉
𝜋0
𝜋−
𝜋+
𝑌
𝑌
𝑁*
𝜋
𝑝
0
𝑁*
𝑝
𝑛
𝜋+
𝑛
Рис. 2.3: Диаграммы фоновых реакций с образованием барионной изобары.
распада 𝑁 * , направлен в сторону следующих за мишенью детекторов, вследствие чего 𝜋-мезон не вызывает
срабатывания охранной системы 𝑉 𝐸𝑇 𝑂 (см. раздел 2.1) и регистрируется в спектрометре.
Последние отборы – (7) и (8) – применяются для выделения эксклюзивных процессов рождения системы
𝜋− 𝜋+ 𝜋0 .
Отбор (7) основан на возможности восстановления модуля импульса пучковой частицы по импульсам
зарегистрированных продуктов реакции. Закон сохранения 4-импульса в реакции (1) в предположении, что
𝜋 − -мезон пучка взаимодействует с протоном 𝑝 мишени, а частицей отдачи является нейтрон 𝑛, может быть
записан в виде (везде ниже 𝑐 = 1):
(︂
)︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂
𝜀𝑏𝑒𝑎𝑚
𝑚𝑝
𝜀3𝜋
𝜀𝑛
+
=
+
.
𝑝⃗𝑏𝑒𝑎𝑚
0
𝑝⃗3𝜋
𝑝⃗𝑛
Отметим, что здесь не учтен пренебрежимо малый вклад движения протонов в ядре в начальный 4-импульс.
Преобразуя соотношение к виду
(︂
)︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂
𝜀𝑏𝑒𝑎𝑚
𝜀3𝜋
𝜀𝑛
𝑚𝑝
−
=
−
𝑝⃗𝑏𝑒𝑎𝑚
𝑝⃗3𝜋
𝑝⃗𝑛
0
и возводя его в квадрат (с учетом метрики Минковского), получим
𝑚2𝜋 + 𝑚23𝜋 − 2(𝜀𝑏𝑒𝑎𝑚 𝜀3𝜋 − 𝑝⃗𝑏𝑒𝑎𝑚 𝑝⃗3𝜋 ) = 𝑚2𝑛 + 𝑚2𝑝 − 2𝑚𝑝 𝜀𝑛 .
Подстановка в это соотношение энергии нейтрона 𝜀𝑛 = 𝜀𝑏𝑒𝑎𝑚 +𝑚𝑝 −𝜀3𝜋 , а также учёт 𝜀𝑏𝑒𝑎𝑚 ≈ 𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 (поскольку
частицы пучка являются ультрарелятивистским: 𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 ≫ 𝑚𝜋 ) приведет к равенству
𝑚2𝜋 + 𝑚23𝜋 − 2𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 (𝜀3𝜋 − 𝑝3𝜋 cos 𝜃3𝜋 ) = 𝑚2𝑛 − 𝑚2𝑝 − 2𝑚𝑝 (𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 − 𝜀3𝜋 ),
где 𝜃3𝜋 – угол между 𝑝⃗𝑏𝑒𝑎𝑚 и 𝑝⃗3𝜋 . Выражая искомый импульс пучка, получим
𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 =
𝑚2𝜋 + 𝑚23𝜋 + 𝑚2𝑝 − 𝑚2𝑛 − 2𝑚𝑝 𝜀3𝜋
.
2(𝜀3𝜋 − 𝑝3𝜋 cos 𝜃3𝜋 − 𝑚𝑝 )
(2.1)
Нахождение вычисленного по формуле (2.1) импульса 𝜋 − -мезона пучка вне интервала от 27 ГэВ/c до 32
ГэВ/c напрямую свидетельствуют о потере продуктов реакции, вследствие чего соответствующие события
считаются фоновыми и из анализа исключаются.
В силу ограниченности апертуры установки не все события могут быть реконструированы полностью.
Прежде всего это касается взаимодействий, в результате которых были образованы мезоны с импульсом,
недостаточным для преодоления магнита 𝑀 𝐴𝐺𝑁 𝐸𝑇 (см. рис. 2.2) и последующей регистрации в трековой
системе спектрометра. Вследствие наличия такой неэксклюзивности реакция 𝜋 − 𝑁 → 𝜔𝜋 − 𝑁 с последующим
распадом 𝜔 → 𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0 в случае потери трека одного из 𝜋 − -мезонов конечного состояния будет интерпретирована как сигнальная реакция (1). Это может существенно исказить наблюдаемое сечение и результаты
парциально-волнового анализа (см. главу 3), поэтому решение описанной проблемы требует особого внимания.
Существует несколько способов устранения вклада неэксклюзивных фоновых реакций. Один из наиболее
простых подходов применён в работе [9] и заключается в отборе для анализа только тех событий, в которых отсутствуют несвязанные в трек срабатывания (хиты) в пропорциональных камерах, расположенных
непосредственно за мишенью (см. раздел 2.1). Метод позволяет избавиться от подавляющей части событий с
нереконструированными треками, однако обладает низкой эффективностью: в результате наложения условия
отсутствия хитов помимо фоновых взаимодействий из анализа исключается большая доля сигнальных событий, в которых срабатывания вызваны дельта-электронами, образованными в веществе экспериментальной
установки в процессе распространения частиц конечного состояния.
Метод подавления неэксклюзивных реакций, использованный в данном анализе, основан на алгоритме
реконструкции «коротких» треков частиц, вылетающих из первичной вершины, по срабатываниям в пропорциональных камерах 𝑃 𝐶1 (или 𝑃 𝐶𝑅𝐸𝐷) и 𝑃 𝐶2 (см. раздел 2.1), расположенных непосредственно за
мишенью. Приведем краткое описание данного алгоритма.
9
На первом шаге производится перебор пар хитов из ортогональных плоскостей во всех камерах, начиная с самой дальней от мишени. Каждая пара хитов объединяется в пространственную точку, затем через
нее и вершину взаимодействия проводится прямая, а в остальных камерах ищутся хиты, расположенные
на расстоянии не более 4 мм от построенной прямой в каждой проекции. Найденные таким образом хиты
вместе с исходными образуют так называемый сегмент. Если в паре сегментов разных проекций есть как
минимум один хит в повернутой относительно других камере 𝑃 𝐶𝑅𝐸𝐷 03 (UV), то сегменты объединяются
в трек. После того, как все треки и сегменты определены, в двух ближайших к мишени камерах из «свободных» хитов производится поиск сегментов, включающих вершину. Результатом работы алгоритма является
число обнаруженных треков и сегментов. В анализе применяется критерий отсутствия «коротких» треков,
заключающийся в равенстве нулю суммы числа треков и сегментов. Изложенный алгоритм разработан и
имплементирован В. А. Дорофеевым для анализа данных эксперимента 𝐵𝐸𝐶 [10].
2.3
1C-фит распада 𝜋 0 → 𝛾𝛾
После применения всех перечисленных в разделе 2.2 отборов производится 1C-фит [11], целью которого
является уточнение кинематического описания реакции путем восстановления истинных 4-импульсов фотонов конечного состояния по распаду 𝜋 0 → 𝛾𝛾.
Вследствие конечного разрешения электромагнитного калориметра спектрометра измеренные 4-импульсы
фотонов (везде ниже 𝑐 = 1)
= (𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
; 𝑝⃗𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
), 𝑝𝑚𝑒𝑎𝑠
= (𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
; 𝑝⃗𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
).
𝑝𝑚𝑒𝑎𝑠
𝛾1
𝛾2
1
1
2
2
и углы между ними
(⃗
𝑝𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
, 𝑝⃗𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
) = 𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
· 𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
· cos 𝜃𝑚𝑒𝑎𝑠
1
2
1
2
отличаются от своих истинных значений
𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑝𝑟𝑒𝑎𝑙
⃗𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
), 𝑝𝑟𝑒𝑎𝑙
⃗𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
),
𝛾1 = (𝐸𝛾1 ; 𝑝
𝛾2 = (𝐸𝛾2 ; 𝑝
1
2
(⃗
𝑝𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
, 𝑝⃗𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
) = 𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
· 𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
· cos 𝜃𝑟𝑒𝑎𝑙 .
1
2
1
2
В силу хорошего координатного разрешения электромагнитного калориметра 𝜃𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝜃𝑚𝑒𝑎𝑠 = 𝜃. Из кине= 𝑎, где 𝑎 =
· 𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
матики реакции следует, что 𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
2
1
(︃
2
𝜒 =
𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
− 𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
1
1
𝜎(𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
)
1
𝑚2𝜋
0
2·(1−cos 𝜃) ,
)︃2
(︃
+
поэтому статистика
𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
− 𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
2
2
𝜎(𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
)
2
)︃2
(2.2)
является функцией одного аргумента 𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
; здесь погрешность измерения энергии фотона вычисляется как
1
√︃
𝜎(𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠 )
=
𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
·
𝛼2 +
𝛽2
𝐸𝛾𝑚𝑒𝑎𝑠
,
√
с параметрами 𝛼 = 0.01, 𝛽 = 0.1 ГэВ. Для каждого события находится минимум функции (2.2) и в дальнейшем найденная точка минимума 𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
и величина 𝐸𝛾𝑟𝑒𝑎𝑙
= 𝐸𝑎𝛾 используются в кинематических расчетах
1
2
1
как истинные значения энергий первого и второго фотона соответственно.
2.4
Результаты отборов
Для изучения реакции (1) отобрано 3.36 млн событий в соответствии с критериями, приведенными в
разделе 2.2.
Таблица 2.1: Распределение событий, отобранных для анализа, по сеансам.
Сеанс
Число событий, млн
44
1.29
45
0.79
47
0.57
48
0.71
Распределения отобранных событий по физическим переменным представлены на рис. 2.4 - 2.7.
10
π - π + π 0 invariant mass
16000
14000
12000
8000
Events/(20 MeV/c 2 )
10000
Events/(20 MeV/c 2 )
12000
γ γ invariant mass
π - π + π 0 invariant mass after 1C-fit
Events/(20 MeV/c 2 )
14000
50000
40000
10000
30000
8000
6000
20000
6000
4000
4000
10000
2000
2000
1
1.5
2
00
2.5
3
+ 0
M( π -π π ), GeV/c 2
t' distribution
0.5
× 10
1600
50000
1400
3
1
1.5
2
0
0.11
2.5
3
+ 0
M( π -π π ), GeV/c 2
0.12
Vertex z-coordinate distribution (in target)
0.13
0.14
0.15
0.16
M( γ γ ), GeV/c 2
Vertex xy-coordinate distribution (in target)
y, cm
0.5
Events/(1 cm)
00
0
600
−1
500
1200
40000
−2
1000
400
30000
800
−3
300
600
20000
200
−4
400
10000
200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2
t', GeV /c
0
1
2
−228
−226
5000
−222
−220
−218
−216
z, cm
−6
12000
10000
8000
4000
8000
7000
6000
5000
6000
−4
−3
−2
−1
0
x, cm
0
4000
3000
3000
4000
2000
2000
2000
1000
1000
1
1.5
0
0
2 +
2.5
M( π -π ), GeV/c 2
0.5
1
0
0
2 0
2.5
M( π -π ), GeV/c 2
0.5
1
M(π - π + ) vs M(π + π 0 )
2.5
60
2+ 0
2.5
M( π π ), GeV/c 2
M(π - π 0 ) vs M(π + π 0 )
80
2.5
70
0
2
+
0
70
1.5
90
2.5
80
0
80
M( π π ), GeV/c 2
M(π - π + ) vs M(π - π 0 )
1.5
2
60
50
+
0.5
M( π π ), GeV/c 2
0
0
M( π -π ), GeV/c 2
−5
π + π 0 invariant mass
Events/(20 MeV/c 2 )
6000
−224
π - π 0 invariant mass
Events/(20 MeV/c 2 )
π - π + invariant mass
7000
100
−5
Events/(20 MeV/c 2 )
0
70
2
60
50
1.5
1.5
1.5
40
50
40
40
30
1
30
1
20
0.5
1
1.5
2
2.5
M( π π ), GeV/c 2
10
0
0
0
- +
0.5
1
2
2.5
M( π π ), GeV/c 2
10
0
0
0
- +
0.5
M(π 0 n) vs M( π - π + )
2.5
2.5
600
0
+
800
M( π -π ), GeV/c 2
M(π + n) vs M( π - π 0 )
1.5
700
2
600
1.5
500
500
2
400
Events/(200 MeV/c)
0.5
20
0.5
10
0
0
30
20
0.5
M( π -π ), GeV/c 2
1
× 10
1
1.5
2
2.5
M( π π ), GeV/c 2
- 0
|p beam | with simple cuts + ShTr cut
3
140
120
100
1.5
300
400
80
60
1
300
1
200
40
200
0.5
100
1
2
3
4
5
6
7
+
M( π n), GeV/c 2
0
100
0.5
2
3
4
5
6
7
0
M( π n), GeV/c 2
0
20
0
16
18
20
22
24
Рис. 2.4: Распределения событий по физическим переменным (44-й сеанс).
11
26
28
30
32
34
|p
|, GeV/c
beam
0
π - π + π 0 invariant mass
10000
8000
5000
Events/(20 MeV/c 2 )
6000
Events/(20 MeV/c 2 )
7000
γ γ invariant mass
π - π + π 0 invariant mass after 1C-fit
Events/(20 MeV/c 2 )
8000
30000
25000
20000
6000
4000
15000
4000
3000
10000
2000
2000
5000
1000
1
1.5
2
00
2.5
3
+ 0
M( π -π π ), GeV/c 2
t' distribution
0.5
× 10
1000
30000
800
25000
3
1
1.5
2
0
0.11
2.5
3
+ 0
M( π -π π ), GeV/c 2
0.12
Vertex z-coordinate distribution (in target)
0.13
0.14
0.15
0.16
M( γ γ ), GeV/c 2
Vertex xy-coordinate distribution (in target)
y, cm
0.5
Events/(1 cm)
00
0
500
−1
400
−2
20000
300
600
−3
15000
200
400
10000
−4
100
200
5000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2
t', GeV /c
0
1
2
−228
−226
4000
3500
3000
−220
−218
−216
z, cm
−6
−5
−4
7000
6000
5000
−3
−2
−1
0
x, cm
0
π + π 0 invariant mass
Events/(20 MeV/c 2 )
4500
−222
π - π 0 invariant mass
Events/(20 MeV/c 2 )
π - π + invariant mass
−224
5000
4000
Events/(20 MeV/c 2 )
0
−5
3000
2500
4000
2000
3000
2000
1500
2000
1000
1000
1000
500
0.5
1
1.5
0
0
2 +
2.5
M( π -π ), GeV/c 2
0.5
1
0.5
1
50
1.5
2
40
30
1.5
30
1.5
1
20
1
20
1
20
0.5
10
0.5
10
0.5
10
1
1.5
2
2.5
+
M( π -π ), GeV/c 2
+
0
50
0
0
0.5
1
2
2.5
+
M( π -π ), GeV/c 2
0
40
30
0
0
0.5
M(π 0 n) vs M( π - π + )
2.5
0
2
400
350
2
300
300
1.5
2
2.5
0
M( π -π ), GeV/c 2
80000
70000
60000
250
1.5
1
|p beam | with simple cuts + ShTr cut
2.5
+
500
M( π -π ), GeV/c 2
M(π + n) vs M( π - π 0 )
1.5
2
Events/(200 MeV/c)
0.5
2.5
0
40
2+ 0
2.5
M( π π ), GeV/c 2
2.5
+
2
1.5
M(π - π 0 ) vs M(π + π 0 )
0
50
M( π π ), GeV/c 2
2.5
0
0
M( π -π ), GeV/c 2
0
0
2 0
2.5
M( π -π ), GeV/c 2
M(π - π + ) vs M(π + π 0 )
0
M( π -π ), GeV/c 2
M(π - π + ) vs M(π - π 0 )
1.5
M( π π ), GeV/c 2
0
0
1.5
50000
200
40000
200
1
150
1
100
30000
20000
100
0.5
0.5
1
2
3
4
5
6
7
+
M( π n), GeV/c 2
0
50
2
3
4
5
6
7
0
M( π n), GeV/c 2
0
10000
0
16
18
20
22
24
Рис. 2.5: Распределения событий по физическим переменным (45-й сеанс).
12
26
28
30
32
34
|p
|, GeV/c
beam
0
π - π + π 0 invariant mass
8000
7000
6000
25000
20000
5000
4000
Events/(20 MeV/c 2 )
5000
Events/(20 MeV/c 2 )
6000
γ γ invariant mass
π - π + π 0 invariant mass after 1C-fit
Events/(20 MeV/c 2 )
7000
15000
4000
3000
10000
3000
2000
2000
5000
1000
1000
1
1.5
2
00
2.5
3
+ 0
M( π -π π ), GeV/c 2
t' distribution
0.5
× 10
24000
500
22000
20000
400
18000
3
1
1.5
2
0
0.11
2.5
3
+ 0
M( π -π π ), GeV/c 2
0.14
0.15
0.16
M( γ γ ), GeV/c 2
0
300
−1
300
12000
10000
0.13
Vertex xy-coordinate distribution (in target)
16000
14000
0.12
Vertex z-coordinate distribution (in target)
y, cm
0.5
Events/(1 cm)
00
250
−2
200
−3
150
200
8000
100
4000
50
−5
2000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2
t', GeV /c
0
1
2
−228
−226
2500
−220
−218
−216
z, cm
−6
−5
−4
5000
4000
2000
−3
−2
−1
0
x, cm
0
π + π 0 invariant mass
Events/(20 MeV/c 2 )
3000
−222
π - π 0 invariant mass
Events/(20 MeV/c 2 )
π - π + invariant mass
3500
−224
3500
3000
2500
3000
Events/(20 MeV/c 2 )
0
100
−4
6000
2000
1500
1500
2000
1000
1000
1000
500
500
1
1.5
2 +
2.5
M( π -π ), GeV/c 2
0.5
1
0
0
2 0
2.5
M( π -π ), GeV/c 2
0.5
1
35
+
2
30
2+ 0
2.5
M( π π ), GeV/c 2
2.5
40
2.5
45
40
0
40
1.5
M(π - π 0 ) vs M(π + π 0 )
45
0
2.5
M( π π ), GeV/c 2
M(π - π + ) vs M(π + π 0 )
0
M( π -π ), GeV/c 2
M(π - π + ) vs M(π - π 0 )
1.5
35
2
30
+
0.5
0
0
M( π π ), GeV/c 2
0
0
2
35
30
25
1.5
1.5
25
20
1
1
10
1
1.5
2
2.5
M( π π ), GeV/c 2
10
0.5
5
0
0
0
- +
0.5
1
1.5
2
2.5
M( π π ), GeV/c 2
5
0
0
0
- +
0.5
M(π 0 n) vs M( π - π + )
2.5
0
2
300
300
250
2
200
250
1.5
1
1.5
2
2.5
M( π π ), GeV/c 2
- 0
|p beam | with simple cuts + ShTr cut
2.5
+
350
M( π -π ), GeV/c 2
M(π + n) vs M( π - π 0 )
M( π -π ), GeV/c 2
15
10
0.5
Events/(200 MeV/c)
0.5
20
1
15
5
0
0
25
20
15
0.5
1.5
60000
50000
40000
1.5
200
150
30000
100
20000
50
10000
150
1
1
100
0.5
50
1
2
3
4
5
6
7
+
M( π n), GeV/c 2
0
0.5
2
3
4
5
6
7
0
M( π n), GeV/c 2
0
0
16
18
20
22
24
Рис. 2.6: Распределения событий по физическим переменным (47-й сеанс).
13
26
28
30
32
34
|p
|, GeV/c
beam
0
π - π + π 0 invariant mass
5000
9000
8000
7000
6000
Events/(20 MeV/c 2 )
6000
Events/(20 MeV/c 2 )
7000
γ γ invariant mass
π - π + π 0 invariant mass after 1C-fit
Events/(20 MeV/c 2 )
8000
30000
25000
20000
5000
4000
15000
4000
3000
3000
10000
2000
2000
5000
1000
1000
1
1.5
2
00
2.5
3
+ 0
M( π -π π ), GeV/c 2
t' distribution
0.5
× 10
30000
800
700
25000
600
3
1
1.5
2
0
0.11
2.5
3
+ 0
M( π -π π ), GeV/c 2
0.13
0.14
0.15
0.16
M( γ γ ), GeV/c 2
Vertex xy-coordinate distribution (in target)
0
400
350
−1
300
20000
−2
500
15000
0.12
Vertex z-coordinate distribution (in target)
y, cm
0.5
Events/(1 cm)
00
400
250
200
−3
150
300
10000
−4
200
5000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2
t', GeV /c
0
1
2
−228
−226
3000
−222
−220
−218
−216
z, cm
6000
5000
2500
4000
2000
3000
−5
−4
−3
−2
−1
0
x, cm
0
π + π 0 invariant mass
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1500
2000
1000
1000
1000
500
0.5
1
1.5
500
0
0
2 +
2.5
M( π -π ), GeV/c 2
0.5
1
0
0
2 0
2.5
M( π -π ), GeV/c 2
0.5
1
M(π - π + ) vs M(π + π 0 )
+
0
40
2
35
2+ 0
2.5
M( π π ), GeV/c 2
2.5
50
60
2.5
50
0
45
+
2.5
1.5
M(π - π 0 ) vs M(π + π 0 )
0
50
M( π π ), GeV/c 2
M(π - π + ) vs M(π - π 0 )
1.5
M( π π ), GeV/c 2
0
0
M( π -π ), GeV/c 2
50
−6
π - π 0 invariant mass
7000
Events/(20 MeV/c 2 )
3500
−224
Events/(20 MeV/c 2 )
π - π + invariant mass
4000
100
−5
Events/(20 MeV/c 2 )
0
100
2
40
2
40
30
1.5
1.5
1.5
30
25
30
20
1
1
20
1
0.5
10
0.5
20
15
10
0.5
10
5
0.5
1
1.5
2
2.5
+
M( π -π ), GeV/c 2
0
0
0
0.5
1
2
2.5
+
M( π -π ), GeV/c 2
0
0
0
0.5
2
400
350
300
200
1
1.5
2
2.5
0
M( π -π ), GeV/c 2
70000
300
2
250
1.5
1
|p beam | with simple cuts + ShTr cut
2.5
+
500
M( π -π ), GeV/c 2
M(π 0 n) vs M( π - π + )
2.5
0
M( π -π ), GeV/c 2
M(π + n) vs M( π - π 0 )
1.5
Events/(200 MeV/c)
0
0
1.5
200
60000
50000
40000
150
30000
100
20000
50
10000
1
100
0.5
0.5
1
2
3
4
5
6
7
+
M( π n), GeV/c 2
0
2
3
4
5
6
7
0
M( π n), GeV/c 2
0
0
16
18
20
22
24
Рис. 2.7: Распределения событий по физическим переменным (48-й сеанс).
14
26
28
30
32
34
|p
|, GeV/c
beam
0
Глава 3
Парциально-волновой анализ реакции
𝜋 − + 𝑝 → 𝜋 −𝜋 +𝜋 0 + 𝑛
3.1
Общее описание метода
Парциально-волновой анализ (далее – ПВА) является одним из способов изучения реакций взаимодействия адронов в физике высоких энергий. Ключевая идея данного подхода – разложение наблюдаемых распределений по кинематическим переменным конечного состояния реакции по специальному базису, каждый
вектор которого характеризуется квантовыми числами образованной короткоживущей частицы (в частности,
спином резонанса 𝐽, его спиральностью Λ, четностью 𝑃 и изоспином 𝐼). Комплексные коэффициенты разложения имеют смысл амплитуд вероятностей перехода в соответствующее конечное состояние, из которых
могут быть получены как интенсивность рождения исследуемого резонанса, так и его фаза, гладкое поведение
которой как функции инвариантной массы является убедительным указанием на правильность трактовки
наблюдаемых данных. Помимо того, что такой подход позволяет сделать вывод о свойствах резонанса, механизме его рождения и распада, он вдобавок решает проблему вырождения по массе (и, вследствие этого,
неразличимости в спектре масс) резонансов с различными квантовыми числами, которая особенно актуальна
в физике легких мезонов.
3.2
Выбор базиса в пространстве конечных состояний
Рассмотрим реакцию взаимодействия адронов
𝑎 + 𝑏 → 1 + 2 + 3 + 4,
(3.1)
где 𝑎, 1, 2 и 3 – бесспиновые мезоны, 𝑏 и 4 – барионы. Применительно к изучемой в данной работе реакции
(1) адрон 𝑎 является пучковым 𝜋 − -мезоном, 𝑏 – протон мишени, адроны 1, 2 и 3 – образованные 𝜋-мезоны,
4 – нейтрон отдачи.
Обозначим импульсы и спиральности [12] участвующих в реакции частиц как 𝑝⃗𝑎 , 𝑝⃗𝑏 , 𝑝⃗1 , 𝑝⃗2 , 𝑝⃗3 , 𝑝⃗4 и 𝜆𝑏 и
𝜆4 соответственно (𝜆𝑎 = 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = 0 в силу скалярности перечисленных частиц). В таких обозначениях
амплитуда перехода из начального состояния |⃗
𝑝𝑎 ; 𝑝⃗𝑏 , 𝜆𝑏 ⟩ в конечное |⃗
𝑝1 , 𝑝⃗2 , 𝑝⃗3 ; 𝑝⃗4 , 𝜆4 ⟩ может быть записана в
виде
ˆ |⃗
𝑓𝜆𝑏 𝜆4 = ⟨⃗
𝑝1 , 𝑝⃗2 , 𝑝⃗3 ; 𝑝⃗4 , 𝜆4 | 𝑈
𝑝𝑎 ; 𝑝⃗𝑏 , 𝜆𝑏 ⟩ ,
ˆ – оператор, описывающий взаимодействие адронов в рассматриваемой реакции, определение свойств
где 𝑈
и особенностей которого и является целью анализа.
Реакция (3.1) может быть факторизована на рождение трехчастичного состояния {123} (𝑎+𝑏 → {123}+4)
и последующий каскадный распад образованного резонанса на димезон {12} и мезон 3 ({123} → {12} +
3) с дальнейшим образованием из димезона {12} мезонов 1 и 2 конечного состояния ({12} → 1 + 2). В
таком представлении конечное состояние реакции (может быть) охарактеризовано инвариантной массой 𝑀123
тройки мезонов, углами Φ и Θ вылета димезона 𝑀12 в системе Готфрида-Джексона [13] и, наконец, углами 𝜓
и 𝜒, задающими направление вылета мезона 2 в «helicity frame» [13]. Последовательно переходя от угловых
переменных к спинам 𝐽, 𝑗 и спиральностям Λ, 𝜆 резонанса {123} и димезона {12} (см. [14]), принимая во
внимание быстрое убывание амплитуды с ростом относительного орбитального момента 𝑙 между димезоном
12 и мезоном 3, а также вводя четность резонанса {123} 𝑃 = 𝑃1 𝑃2 𝑃3 · (−1)𝑙+𝑗 и характеризуя симметрию
реакции числом 𝜀 (известным как «reflectivity» и в пределе высоких энергий совпадающим с натуральностью
𝜂 обменной частицы, см. [13]), получим следующее выражение для амплитуды перехода:
√︀
∑︁
𝑃
(2𝑗 + 1)(2𝑙 + 1) 𝑗
𝐽*
𝐽
𝑑𝜆0 ⟨𝑙0,𝑗𝜆|𝐽𝜆⟩ 𝑁Λ (𝐷Λ𝜆
− 𝜀𝐷Λ−𝜆
𝑃 (−1)𝐽+𝜆 )ℎ𝐽Λ𝜆𝑏𝑗𝑙𝜀
(3.2)
𝑓𝜆𝑏 𝜆4 =
𝜆4 ,
4𝜋
𝑗,𝜆,𝐽,𝑙,Λ≥0,𝜀
15
𝐽
𝐽
𝐽*
𝐽*
где 𝐷Λ−𝜆
= 𝐷Λ−𝜆
(Φ, Θ, 𝜓), 𝐷Λ𝜆
= 𝐷Λ𝜆
(Φ, Θ, 𝜓) и 𝑑𝑗𝜆0 = 𝑑𝑗𝜆0 (𝜒) – 𝐷-функции Вигнера, ⟨𝑙0,𝑗𝜆|𝐽𝜆⟩ – коэффициенты Клебша-Гордана, 𝑁Λ – нормировочный коэффициент
{︃
1
,
если Λ = 0
,
𝑁Λ = 21
√ , если Λ ̸= 0
2
𝑃
а ℎ𝐽Λ𝜆𝑏𝑗𝑙𝜀
𝜆4 – функция, описывающая динамику распада резонанса и димезона, и определяемая как
𝑃
𝑃
𝐽 𝑗𝑙𝜀
ˆ |⃗
ℎ𝐽Λ𝜆𝑏𝑗𝑙𝜀
𝑝123 , 𝑀123 , 𝑀12 , 𝐽, Λ, 𝜀, 𝑗, 𝑙; 𝑝⃗4 𝜆4 |𝑈
𝑝𝑎 ; 𝑝⃗𝑏 ,𝜆𝑏 ⟩ .
𝜆4 ≡ ℎΛ𝜆𝑏 𝜆4 (𝑠, 𝑡, 𝑀123 , 𝑀12 ) = ⟨⃗
Сумма в (3.2) формально является рядом, однако основной вклад в нее вносит конечное число членов.
Исключая из этой суммы пренебрежимо малые слагаемые, соответствующие большим значениям 𝐽, 𝑗 и 𝑙,
получим:
𝑓𝜆𝑏 𝜆4 =
𝐽𝑚𝑎𝑥
,𝑙𝑚𝑎𝑥
∑︁
(𝑗𝑛),𝜆,𝐽,𝑙,Λ≥0,𝜀
√︀
(2𝑗 + 1)(2𝑙 + 1) 𝑗
𝐽 𝑃 (𝑗𝑛)𝑙𝜀
𝐽*
𝐽
𝑑𝜆0 ⟨𝑙0,𝑗𝜆|𝐽𝜆⟩ 𝑁Λ (𝐷Λ𝜆
− 𝜀𝐷Λ−𝜆
𝑃 (−1)𝐽+𝜆 )ℎΛ𝜆𝑏 𝜆4 ,
4𝜋
где суммирование по (𝑗𝑛) означает учёт димезонов (называемых в дальнейшем изобарами) со спином 𝑗,
распадающихся на 𝑛-ю пару мезонов (𝑛 = 1 ↔ {23}, 𝑛 = 2 ↔ {13}, 𝑛 = 3 ↔ {12}), а 𝑀𝑛 – инвариантная
масса этой пары.
𝐽 𝑃 (𝑗𝑛)𝑙𝜀
В силу независимости распадов {123} → {12} + 3 и {12} → 1 + 2 функция ℎΛ𝜆𝑏 𝜆4 (𝑠, 𝑡, 𝑀123 , 𝑀𝑛 ) факторизуется:
𝐽 𝑃 (𝑗𝑛)𝑙𝜀
ℎΛ𝜆𝑏 𝜆4
𝐽 𝑃 (𝑗𝑛)𝑙𝜀
(𝑠, 𝑡, 𝑀123 , 𝑀𝑛 ) = ℎΛ𝜆𝑏 𝜆4
(𝑠, 𝑡, 𝑀123 ) · 𝐵𝑊 (𝑗𝑛)𝑙 (𝑀123 , 𝑀𝑛 ),
где 𝐵𝑊 (𝑗𝑛)𝑙 (𝑀123 , 𝑀𝑛 ) описывает динамику распада изобары, соответствующей (𝑗𝑛). Данная функция может
быть представена в виде
𝐵𝑊 (𝑗𝑛)𝑙 (𝑀123 , 𝑀𝑛 ) = 𝐹𝑙 (𝑀123 , 𝑀𝑛 , 𝑚2 ) · 𝐹𝑗 (𝑀123 , 𝑀𝑛 , 𝑚1 , 𝑚3 ) · ∆(𝑀𝑛 ),
(3.4)
где 𝐹𝑙 (𝑀123 , 𝑀𝑛 , 𝑚2 ) и 𝐹𝑗 (𝑀123 , 𝑀𝑛 , 𝑚1 , 𝑚3 ) – барьерные факторы Блатта-Вайскопфа (взяты из [15]), подавляющие большие значения относительного орбитального момента 𝑙 и спина изобары 𝑗 (являются функциями
распадного импульса частиц 𝑞 в системе центра масс резонанса; их явный вид приведен в [16]) а ∆(𝑀𝑛 ) –
форма резонансной кривой изобары.
Вводя для удобства записи суммирования мультииндекс 𝛼 = 𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝑗𝑛), получим выражение для амплитуды процесса
𝑓𝜆𝑏 𝜆4 =
∑︁
𝛼,𝜆
√︀
∑︁
(2𝑗 + 1)(2𝑙 + 1) 𝑗
𝛼
𝛼
𝐽*
𝐽
𝑑𝜆0 ⟨𝑙0,𝑗𝜆|𝐽𝜆⟩ 𝑁Λ (𝐷Λ𝜆
−𝜀𝐷Λ−𝜆
𝑃 (−1)𝐽+𝜆 )ℎ𝜆𝑏 𝜆4 (𝑠, 𝑡, 𝑀123 ) =
𝐹𝛼 ℎ𝜆𝑏 𝜆4 (𝑠, 𝑡, 𝑀123 ),
4𝜋
𝛼
где введена функция переменных трехчастичного фазового объема, называемая волной:
√︀
∑︁ (2𝑗 + 1)(2𝑙 + 1) 𝑗
𝐽*
𝐽
𝐹𝛼 =
𝑑𝜆0 (𝜒) ⟨𝑙0,𝑗𝜆|𝐽𝜆⟩ 𝑁Λ (𝐷Λ𝜆
(Φ, Θ, 𝜓) − 𝜀𝐷Λ−𝜆
(Φ, Θ, 𝜓)𝑃 (−1)𝐽+𝜆 )𝐵𝑊 (𝑗𝑛)𝑙 (𝑀123 , 𝑀𝑛 ).
4𝜋
𝜆
Осуществим переход от пары индексов (𝑗,𝑛) (спин изобары, номер пары мезонов конечного состояния)
к легко интерпретируемой и физически более мотивированной паре (𝐼,𝑑) (изоспин резонанса, тип изобары).
Изоспин 𝐼 и его проекция 𝐼𝑧 резонанса 𝑋 могут быть получены по правилу сложения моментов из изоспина
изобары 𝑑 и свободного мезона 𝑥: состояние |𝐼, 𝐼𝑧 ⟩𝑋 резонанса 𝑋 в изоспиновом пространстве раскладывается
по тензорным произведениям изоспиновых состояний изобары и свободного мезона |𝐼, 𝐼𝑧 ⟩𝑑 ⊗ |𝐼, 𝐼𝑧 ⟩𝑥 , причем
коэффициентами разложения являются коэффициенты Клебша-Гордана.
В рамках анализа реакции (1) практический интерес представляют только разложения состояний |0,0⟩𝑋
и |1,0⟩𝑋 (заряд конечного состояния 𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0 равен нулю, вследствие чего и проекция изоспина резонанса 𝑋
обязана быть нулевой; резонансы и изобары с изоспином 𝐼 = 2 в данной работе не рассматриваются).
Случай, когда изобара 𝑑 является изосинглетом (𝐼𝑑 = 0), тривиален:
|1,0⟩𝑋 = |0, 0⟩𝑑 ⊗ |1, 0⟩𝜋 ≡ 𝑑0 𝜋 0 ,
где для упрощения записи выражения состояния изобары 𝑑 и 𝜋-мезона в изоспиновом пространстве заменены
на названия соответствующих этим состояниям частиц: |1, 0⟩𝑑 → 𝑑0 и |1, 0⟩𝜋 → 𝜋 0 . Тогда вектор нового базиса
конечных состояний совпадает с вектором исходного базиса
|𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼 = 1, 𝑑)⟩ = |𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝑗, 𝑛 = 3)𝑑 ⟩ ,
16
а 𝐹 -функции не преобразуются:
𝐹𝛽 = 𝐹𝛼 ,
где 𝛼 = 𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝑗𝑛), 𝛽 = 𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼,𝑑).
Если же изобара образует изотриплет (𝐼𝑑 = 1), то, с учетом аналогичной случаю 𝐼𝑑 = 0 замены состояний
на названия частиц, имеем
)︀
1 (︀
1
|0,0⟩𝑋 = √ (|1, +1⟩𝑑 ⊗ |1, −1⟩𝜋 + |1, −1⟩𝑑 ⊗ |1, +1⟩𝜋 − |1, 0⟩𝑑 ⊗ |1, 0⟩𝜋 ) ≡ √ 𝑑+ 𝜋 − + 𝑑− 𝜋 + − 𝑑0 𝜋 0 ,
3
3
)︀
1
1 (︀
|1,0⟩𝑋 = √ (|1, +1⟩𝑑 ⊗ |1, −1⟩𝜋 − |1, −1⟩𝑑 ⊗ |1, +1⟩𝜋 ) ≡ √ 𝑑+ 𝜋 − − 𝑑− 𝜋 + .
2
2
Тогда в случае 𝐼𝑑 = 1 связь между векторами состояний базисов с индексами (𝐼,𝑑) и (𝑗,𝑛) выражается
следующим образом
)︀
1 (︀
|𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼 = 0, 𝑑)⟩ = √ |𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝑗, 𝑛 = 1)𝑑 ⟩ + |𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝑗, 𝑛 = 2)𝑑 ⟩ − |𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝑗, 𝑛 = 3)𝑑 ⟩ ,
3
)︀
1 (︀
|𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼 = 1, 𝑑)⟩ = √ |𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝑗, 𝑛 = 1)𝑑 ⟩ − |𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝑗, 𝑛 = 2)𝑑 ⟩ ,
2
а 𝐹 -функции преобразуются по правилам
)︀
1 (︀
𝐹(𝛽|𝐼=0) = √ 𝐹(𝛼|𝑛=1) + 𝐹(𝛼|𝑛=2) − 𝐹(𝛼|𝑛=3) ,
3
)︀
1 (︀
𝐹(𝛽|𝐼=1) = √ 𝐹(𝛼|𝑛=1) − 𝐹(𝛼|𝑛=2) .
2
Таким образом, базисные вектора в пространстве конечных состояний реакции (1) нумеруются мультииндексом 𝛽 = 𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼,𝑑), где 𝐽 – полный угловой момент трехчастичной системы (123), 𝑃 – пространственная
четность системы (123), 𝑙 – относительный орбитальный момент изобары и свободного 𝜋-мезона, Λ = |𝐽𝑧 | –
модуль проекции полного углового момента системы (123) на ось 𝑧 системы Готфрида-Джексона, 𝜀 – число, отвечающее за симметрию относительно плоскости рождения (123), которое является натуральностью 𝜂
обменной частицы в низшем порядке по 1𝑠 (см. [17]), 𝐼 – полный изоспин системы (123), 𝑑 – тип изобары,
посредством которой осуществляется распад. Такой же базис был использован для анализа реакции (1) в
работе [4], что подтверждает корректность его использования в данной работе.
3.3
Амплитуда реакции и матрица плотности
𝛽
В терминах функций 𝐹𝛽 (Θ, Φ, 𝜓, 𝜒, 𝑀123 ) и ℎ𝜆𝑏 𝜆4 (𝑠, 𝑡, 𝑀123 ) (см. раздел 3.2) амплитуда изучаемого процесса может быть записана в виде
∑︁
𝛽
𝑓𝜆𝑏 𝜆4 =
𝐹𝛽 ℎ𝜆𝑏 𝜆4 (𝑠, 𝑡, 𝑀123 ).
𝛽
Плотность вероятности перехода из состояния |⃗
𝑝𝑎 , 𝑝⃗𝑏 ⟩ в состояние |⃗
𝑝1 , 𝑝⃗2 , 𝑝⃗3 , 𝑝⃗4 ⟩ в результате взаимодейˆ , равна
ствия, описываемого оператором 𝑈
∑︁
𝜔(𝜏 ) =
𝑓𝜆*𝑏 𝜆4 𝑓𝜆𝑏 𝜆4 ,
𝜆𝑏 ,𝜆4
где 𝜏 = {𝑠, 𝑡, 𝑀123 , Θ, Φ, 𝑀𝑛 , 𝜓, 𝜒} – набор независимых переменных в фазовом пространстве изучаемой реакции 1 . Преобразуем сумму квадратов модулей амплитуд в правой части равенства:
⎛
⎞
∑︁
∑︁ ∑︁
∑︁
∑︁
∑︁
′
′
𝛽
𝛽
𝛽
𝛽
⎝
𝑓𝜆*𝑏 𝜆4 𝑓𝜆𝑏 𝜆4 =
(
𝐹𝛽 ℎ𝜆𝑏 𝜆4 )(
𝐹𝛽′ ℎ𝜆𝑏 𝜆4 )* =
ℎ𝜆𝑏 𝜆4 (ℎ𝜆𝑏 𝜆4 )* ⎠ 𝐹𝛽 𝐹𝛽*′ .
𝜆𝑏 ,𝜆4
𝜆𝑏 ,𝜆4
𝛽
𝛽′
𝛽,𝛽 ′
𝜆𝑏 ,𝜆4
Вводя матрицу плотности
𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑠, 𝑡, 𝑀123 ) =
∑︁
𝛽
𝛽′
ℎ𝜆𝑏 𝜆4 (ℎ𝜆𝑏 𝜆4 )* ,
(3.7)
𝜆𝑏 ,𝜆4
1 Вообще говоря, аргументами функции 𝜔 являются импульсы всех частиц, входящих в реакцию (то есть 𝜔 =
𝜔(⃗
𝑝𝑎 , 𝑝
⃗𝑏 , 𝑝
⃗1 , 𝑝
⃗2 , 𝑝
⃗3 , 𝑝
⃗4 )), однако такой набор переменных, в силу законов сохранения энергии и импульса, не является независимым, в связи с чем осуществлен переход к набору независимых переменных 𝜏 .
17
являющуюся блочно-диагональной по квантовому числу 𝜀 (𝜌𝛽𝛽 ′ = 0 при 𝜀 ̸= 𝜀′ ), получим окончательное
выражение для плотности вероятности изучаемого процесса
∑︁
𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑠, 𝑡, 𝑀123 )𝐹𝛽 (𝜏 )𝐹𝛽*′ (𝜏 ),
𝜔(𝜏 ) =
𝛽𝛽 ′
из которого, в частности, понятен физический смысл матрицы плотности: ее диагональные элементы (𝜌𝛽𝛽 ′ , 𝛽 =
𝛽 ′ ) определяют вероятность перехода в конечное состояние с квантовыми числами 𝛽, а недиагональные
(𝜌𝛽𝛽 ′ , 𝛽 ̸= 𝛽 ′ ) описывают степень интерференции конечных состояний с квантовыми числами 𝛽 и 𝛽 ′ . Следовательно, изучение реакции (1) сводится к нахождению матрицы плотности 𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑠, 𝑡, 𝑀123 ) на основе данных,
полученных в ходе эксперимента.
3.4
Применение метода максимального правдоподобия для нахождения матрицы плотности
Определение матрицы плотности 𝜌𝛽𝛽 ′ на основе экспериментальных данных осуществляется при помощи метода максимального правдоподобия. Ниже приведен алгоритм построения оптимизируемой функции
правдоподобия.
Поскольку функция 𝜔 = 𝜔(𝜏 ), определение которой дано в разделе 3.3, является плотностью вероятности,
для нее должно выполняться условие нормировки
∫︁
𝑑𝜏 𝜔(𝜏 ) = 1,
где интегрирование ведется по всему фазовому пространству изучаемой реакции (1).
Подставляя выражение плотности вероятности (3.8) в условие нормировки, получим
∫︁
∑︁
′
𝜌𝛽𝛽
𝑑𝜏 𝐹𝛽 (𝜏 )𝐹𝛽*′ (𝜏 ) = 1.
(3.9)
𝛽𝛽 ′
В силу неидеальности установки наблюдаемая в эксперименте плотность вероятности событий 𝑞(𝜏 ) отличается от теоретической 𝜔(𝜏 ):
∑︀
𝐴(𝜏 ) 𝛽𝛽 ′ 𝜌𝛽𝛽 ′ 𝐹𝛽 (𝜏 )𝐹𝛽*′ (𝜏 )
∑︀
,
(3.10)
𝑞(𝜏 ) = ∫︀
𝑑𝜏 𝛽𝛽 ′ 𝜌𝛽𝛽 ′ 𝐹𝛽 (𝜏 )𝐹𝛽*′ (𝜏 )𝐴(𝜏 )
здесь 𝐴(𝜏 ) – функция, характеризующая регистрирующую способность установки («аксептанс»). В самой
простой реализации она равна 1, если установка способна зарегистрировать событие, соответствующее точке
𝜏 фазового пространства реакции, и 0 в противном случае. Интеграл в знаменателе в (3.10) нужен для
нормировки наблюдаемой функции распределения 𝑞(𝜏 ).
В таком случае расширенная функция правдоподобия для выборки, состоящей из 𝑁 событий {𝜏𝑘 }𝑁
𝑘=1 ,
определяется следующим образом:
(︀
𝐿𝑒𝑥𝑡 𝑁 , 𝜌𝛽𝛽 ′
)︀
𝑁
𝑁
𝑁 𝑒−𝑁 ∏︁
=
𝑞(𝜏𝑘 ).
𝑁!
(3.11)
𝑘=1
Согласно методу максимального правдоподобия, точка максимума функции (3.11) соответствует наилучшей оценке искомых параметров 𝑁 (ожидаемому числу зарегистрированных событий) и 𝜌𝛽𝛽 ′ (элементов
матрицы плотности).
18
Глава 4
Особенности анализа реакции
𝜋 − + 𝑝 → 𝜋 −𝜋 +𝜋 0 + 𝑛 в рамках
эксперимента BEC
В главе 3 представлена общая методика осуществления парциально-волнового анализа реакции (1). Ниже
будут описаны детали реализации ПВА в рамках эксперимента BEC.
4.1
Список используемых в анализе изобар и их параметризации
В разделе 3.2 построен базис в пространстве конечных состояний реакции (1). В набор квантовых чисел,
характеризующих базисные состояния, входит индекс 𝑑, определяющий тип изобары, посредством которой
происходит распад образованного в результате взаимодействия резонанса 𝑋. В список используемых в анализе изобар включаются мезоны, имеющие канал распада 𝑑 → 𝜋𝜋 и не запрещенные законами сохранения
квантовых чисел (𝐶−четности, изоспина и пр.). На практике выбор изобар, дающих наибольший вклад в
реакцию, осуществляется по спектрам инвариантных масс пар 𝜋-мезонов конечного состояния или по диаграмме Далица распада 𝑋 → 𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0 .
Для описания формы резонансной кривой изобары (см. соотношение (3.4)) во многих случаях используется релятивистская формула Брейта-Вигнера:
∆(𝑚) = 𝐴0
𝑚0 Γ0
,
𝑚20 − 𝑚2 − 𝑖𝑚0 Γ(𝑚)
(4.1)
где 𝑚0 и Γ0 – ширина и масса резонанса соответственно, Γ(𝑚) – динамическая ширина изобары (более
подробное описание вариантов этой функции приведено ниже).
В некоторых случаях прибегают к описанию формы резонансной кривой формулой Флатте из [18]. Для
описания широкого резонанса 𝜎 (также встречается как 𝐸𝑃 𝑆𝑀 𝑋) используется параметризация Ау-МорганаПеннингтона (см. [19]). При задании ширин возможен выбор между
Γ(𝑚) = Γ0
𝑚0 𝑞 𝐹𝑗2 (𝑞)
𝑚𝑞0 𝐹𝑗2 (𝑞0 )
(4.2)
(здесь 𝑞0 – импульс одной из распадных частиц в системе центра масс резонанса при массе резонанса 𝑚0 ;
остальные обозначения введены выше),
𝑞 𝐹𝑗2 (𝑞)
Γ(𝑚) = Γ0
,
(4.3)
𝑞0 𝐹𝑗2 (𝑞0 )
и, наконец,
Γ(𝑚) = Γ0 .
Список использованных в анализе изобар и их параметризации представлены в таблице 4.1.
19
Таблица 4.1: Список использованных изобар.
4.2
Изобара
Параметризация
𝜎
𝜌(770)
𝑓0 (980)
𝑓2 (1270)
𝜌3 (1690)
Ау-Морган-Пеннингтон
Брейт-Вигнер (4.1) с шириной (4.3)
Флатте с 𝑔𝜋𝜋 = 0.165 ГэВ2 и 𝑔𝐾𝐾 = 0.695 ГэВ2
Брейт-Вигнер (4.1) с шириной (4.2)
Брейт-Вигнер (4.1) с шириной (4.3)
Масса 𝑚0 ,
МэВ/с2
475
768.5
965
1275.4
1690
Ширина Γ0 ,
МэВ/с2
550
150.7
50
185.2
190
Список волн, включенных в анализ
В разделе 3.2 показано, что амплитуда изучаемой реакции может быть разложена по набору функций
{𝐹𝛽 }, который формально является бесконечным. В силу того, что анализ с бесконечным набором волн на
практике осуществить нельзя, составляется конечный список, содержащий наиболее значимые для изучаемой
реакции волны, а также «плоскую» волну 𝐹𝑓 𝑙𝑎𝑡 ≡ 1, компенсирующую неполноту используемого набора волн
и подавляющую вклады некоторых фоновых реакций. Основу этого списка в представленном в данной работе
анализе составляют волны, использованные в работе [4]. Полный список волн приведен в таблице 4.2.
Таблица 4.2: Список волн, включенных в анализ (обозначения см. в разделе 3.2).
𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼, 𝑑)
0 𝑆0 + (1, 𝜎)
0− 𝑆0 + (1, 𝑓0 (980))
0− 𝑃 0 + (1, 𝜌(770))
1− 𝑃 1 + (0, 𝜌(770))
1+ 𝑆0 + (0, 𝜌(770))
1+ 𝑆1 + (0, 𝜌(770))
1+ 𝑆0 + (1, 𝜌(770))
1+ 𝑆1 + (1, 𝜌(770))
1+ 𝑃 0 + (1, 𝜎)
1+ 𝑃 1 + (1, 𝜎)
−
2 𝑃 0 + (0, 𝜌(770))
2− 𝑃 1 + (0, 𝜌(770))
2− 𝑆0 + (1, 𝑓2 (1270))
2− 𝑃 0 + (1, 𝜌(770))
2− 𝑃 1 + (1, 𝜌(770))
2+ 𝑃 1 + (1, 𝑓2 (1270))
2+ 𝐷1 + (1, 𝜌(770))
3− 𝑃 1 + (0, 𝜌3 )
3− 𝐹 1 + (0, 𝜌(770))
3+ 𝑆0 + (1, 𝜌3 )
+
3 𝑃 0 + (1, 𝑓2 (1270))
3+ 𝐷0 + (1, 𝜌(770))
3+ 𝐹 0 + (1, 𝜎)
+
4 𝐹 1 + (1, 𝑓2 (1270))
4+ 𝐺1 + (1, 𝜌(770))
5− 𝐹 1 + (0, 𝜌3 )
5− 𝐻1 + (0, 𝜌(770))
−
4.3
Порог по массе, ГэВ/с2
1.1
1.3
1.3
1.7
1.7
1.3
1.3
1.7
-
𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼, 𝑑)
1 𝑃 0 − (0, 𝜌(770))
1− 𝑃 1 − (0, 𝜌(770))
1+ 𝑆1 − (0, 𝜌(770))
1+ 𝑆1 − (1, 𝜌(770))
1+ 𝑃 1 − (1, 𝜎)
−
2 𝑃 1 − (0, 𝜌(770))
2− 𝑃 1 − (1, 𝜌(770))
2+ 𝑃 0 − (1, 𝑓2 (1270))
2+ 𝑃 1 − (1, 𝑓2 (1270))
2+ 𝐷0 − (1, 𝜌(770))
2+ 𝐷1 − (1, 𝜌(770))
3− 𝑃 0 − (0, 𝜌3 )
3− 𝑃 1 − (0, 𝜌3 )
−
3 𝐹 0 − (0, 𝜌(770))
3− 𝐹 1 − (0, 𝜌(770))
5− 𝐹 0 − (0, 𝜌3 )
5− 𝐹 1 − (0, 𝜌3 )
−
5 𝐻0 − (0, 𝜌(770))
5− 𝐻1 − (0, 𝜌(770))
−
Порог по массе, ГэВ/с2
1.3
1.3
1.7
1.7
1.7
1.7
-
Переход к переменной 𝑡′
В разделе 3.3 показано, что одним из аргументов матрицы плотности 𝜌𝛽𝛽 ′ является квадрат переданного
4-импульса 𝑡 = (𝑝123 − 𝑝𝑎 )2 . При заданных значениях 𝑠, 𝑚𝑎 , 𝑚𝑏 , 𝑚4 и 𝑀123 (реакция (3.1) может быть
рассмотрена как реакция 2 → 2: 𝑎 + 𝑏 → {123} + 4) переменная 𝑡 принадлежит отрезку [𝑡− , 𝑡+ ], границы
которого соответствуют рождению системы (123) по направлению движения пучка и противоположно этому
направлению [20]. Однако с практической точки зрения удобен переход от отрицательной переменной 𝑡 к
положительно определенной переменной 𝑡′ , связанной с 𝑡 следующим образом:
𝑡′ = 𝑡+ − 𝑡.
20
Очевидно, что такое преобразование переведет диапазон изменения переменной 𝑡 на положительную полуось.
Далее будем считать, что 𝜌 = 𝜌(𝑠, 𝑡′ , 𝑀123 )
4.4
Диапазоны изменения переменных 𝑀3𝜋 и 𝑡′ и их разбиение
Как уже было отмечено в разделе 3.3, основная информация о реакции содержится в матрице плотности
𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑠, 𝑡′ , 𝑀123 ). В силу того, что экспериментальные данные получены на установке 𝐵𝐸𝐶 с фиксированной
мишенью и монохроматичным пучком 𝜋 − -мезонов с импульсом 𝑝 = 29 ГэВ/с, 𝑠 = 𝑚2𝑝 + 𝑚2𝜋 + 2𝑚𝑝 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ≈
55.3 ГэВ2 /c4 для всех сеансов, данные которых использованы в анализе, поэтому зависимость матрицы
плотности от 𝑠 в данной работе не исследуется. Для получения зависимости 𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑠, 𝑡′ , 𝑀123 ) от переменных
𝑡′ и 𝑀123 производится бинирование интересующего диапазона переменных 0 ГэВ2 /c2 < 𝑡′ < 1.2 ГэВ2 /c2 и
0.5 ГэВ/c2 < 𝑀 (𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0 ) < 2.7 ГэВ/c2 : диапазон 𝑡′ = [0; 1.2) ГэВ2 /c2 представляется в виде объединения 10
полуинтервалов [0; 0.03)∪[0.03; 0.06)∪[0.06; 0.09)∪[0.09; 0.13)∪[0.13; 0.17)∪[0.17; 0.22)∪[0.22; 0.28)∪[0.28; 0.37)∪
[0.37; 0.55) ∪ [0.55, 1.2) ГэВ2 /c2 , диапазон 𝑀123 = [0.5; 2.7] ГэВ/c2 разбивается на 110 отрезков длиной 20
МэВ/c2 , а затем данные распределяются по указанным бинам и в каждом из них находится своя матрица
¯ 123 ) (𝑡¯′ , 𝑀
¯ 123 – средние значения 𝑡′ и 𝑀123 соответственно в данном бине).
плотности 𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑡¯′ , 𝑀
4.5
4.5.1
Программная реализация анализа
Описание основного комплекса программ
Комплекс программ, используемых для анализа реакции 1, описан в работе [21] и реализован автором
для осуществления ПВА на основе экспериментальных данных, полученных на установке 𝐵𝐸𝐶. Фреймворк
дополнен возможностью использования в качестве одного из индексов, нумерующих базисные вектора в
пространстве конечных состояний, изоспина резонанса 𝐼 (см. раздел 3.2). Внесенные изменения, а также
материалы, подтверждающие корректность работы модифицированной версии фреймворка, приведены в [9].
4.5.2
Формулировка задачи оптимизации в терминах приведенной матрицы плотности
Как было показано в разделе 3.4, задача нахождения матрицы плотности 𝜌𝛽𝛽 ′ сводится к определению
точки максимума функции правдоподобия (3.11).
Однако при решении поставленной задачи оптимизации необходим учёт условия нормировки (3.9), которое накладывает ограничения на значения элементов матрицы плотности.
С целью устранения упомянутой проблемы производится переход к новому набору переменных
𝜌𝛽𝛽 ′ = 𝜌𝛽𝛽 ′ ∫︀
𝑑𝜏
𝑁
,
*
′
𝛾𝛾 ′ 𝜌𝛾𝛾 𝐹𝛾 (𝜏 )𝐹𝛾 ′ (𝜏 )𝐴(𝜏 )
(4.4)
∑︀
который образует приведённую матрицу плотности. Диагональные элементы построенной матрицы 𝜌𝛽𝛽 ′
имеют физический смысл среднего числа исходных событий в соответствующей волне.
Среднее число зарегистрированных событий 𝑁 однозначно выражается через элементы 𝜌𝛽𝛽 ′ :
∫︀
∑︀
𝑑𝜏 𝛾𝛾 ′ 𝜌𝛾𝛾 ′ 𝐹𝛾 (𝜏 )𝐹𝛾*′ (𝜏 )𝐴(𝜏 )
𝑁 = 𝜌𝛽𝛽 ′
=
𝜌𝛽𝛽 ′
)︂ ∫︁
∫︁
∑︁ (︂
∑︁
𝑁
*
∑︀
=
𝜌𝛾𝛾 ′ ∫︀
𝜌
𝑑𝜏 𝐴(𝜏 )𝐹𝛾 (𝜏 )𝐹𝛾*′ (𝜏 ).
𝑑𝜏
𝐴(𝜏
)𝐹
(𝜏
)𝐹
(𝜏
)
=
′
′
𝛾
𝛾𝛾
𝛾
*
𝑑𝜏
′ 𝜌𝛿𝛿 ′ 𝐹𝛿 (𝜏 )𝐹𝛿 ′ (𝜏 )𝐴(𝜏 )
′
′
𝛿𝛿
𝛾𝛾
𝛾𝛾
Из (4.4) также следует, что через элементы приведённой матрицы плотности выражаются и 𝜌𝛽𝛽 ′ :
𝜌𝛽𝛽 ′ = ∑︀
𝛾𝛾 ′
𝜌𝛾𝛾 ′
𝜌 ′
∫︀ 𝛽𝛽
.
𝑑𝜏 𝐹𝛾 (𝜏 )𝐹𝛾*′ (𝜏 )
(4.5)
Из последнего равенства видно, что условие (3.9) выполнено автоматически.
В итоге логарифм раширенной функции правдоподобия (3.11) запишется в виде
⎛
⎞
⎛
⎞
∫︁
𝑁
∑︁
∑︁
∑︁
ln 𝐿𝑒𝑥𝑡 (𝜌𝛽𝛽 ′ ) = − ⎝
𝜌𝛽𝛽 ′ 𝑑𝜏 𝐴(𝜏 )𝐹𝛽 (𝜏 )𝐹𝛽*′ (𝜏 )⎠ +
ln ⎝𝐴(𝜏𝑘 )
𝜌𝛽𝛽 ′ 𝐹𝛽 (𝜏𝑘 )𝐹𝛽*′ (𝜏𝑘 )⎠,
𝛽𝛽 ′
𝑘=1
𝛽𝛽 ′
а задача оптимизации сведется к поиску точки максимума функции ln 𝐿𝑒𝑥𝑡 (𝜌𝛽𝛽 ′ ).
В силу свойств логарифма в выражении (4.6) осуществляется замена:
⎛
⎞
⎛
⎞
∑︁
∑︁
ln ⎝𝐴(𝜏𝑘 )
𝜌𝛽𝛽 ′ 𝐹𝛽 (𝜏𝑘 )𝐹𝛽*′ (𝜏𝑘 )⎠ → ln ⎝
𝜌𝛽𝛽 ′ 𝐹𝛽 (𝜏𝑘 )𝐹𝛽*′ (𝜏𝑘 )⎠.
𝛽𝛽 ′
𝛽𝛽 ′
21
(4.6)
4.5.3
Описание процедуры вычисления интегралов нормализации и аксептанса
Ясно,
∫︀ что для максимизации функции (4.6) по параметрам 𝜌𝛽𝛽 ′ необходимо вычислить интегралы аксептанса 𝑑𝜏 𝐴(𝜏 )𝐹𝛽 (𝜏 )𝐹𝛽*′ (𝜏 ). В силу громоздкости функций 𝐹𝛽 (𝜏 ), а также отсутствия аналитического вида
функции 𝐴(𝜏 ), вычисление указанных интегралов производится методом Монте-Карло.
При генерации событий для подсчета интегралов в первую очередь считывается информация о вершине
взаимодействия и импульсе пучка из дерева пучка, полученного из экспериментальных данных. Затем случайным образом генерируется значение перменной 𝑡 = (𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 − 𝑝123 )2 (𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 и 𝑝123 – 4-импульсы пучковой
частицы и системы {123} соответственно). Из закона сохранения 4-импульса (𝑐 = 1)
(︂
)︂ (︂ )︂ (︂
)︂ (︂ )︂
𝜀𝑏𝑒𝑎𝑚
𝑚𝑝
𝜀123
𝜀𝑛
+
=
+
𝑝⃗𝑏𝑒𝑎𝑚
0
𝑝⃗123
𝑝⃗𝑛
следует, что задание переменной 𝑡 позволяет однозначно определить энергию и модуль импульса нейтрона
отдачи
√︀
𝑚2𝑝 + 𝑚2𝑛 − 𝑡
и |⃗
𝑝𝑛 | = 𝜀2𝑛 − 𝑚2𝑛 ,
𝜀𝑛 =
2𝑚𝑝
а, следовательно, и энергию системы {123}
𝜀123 = 𝜀𝑏𝑒𝑎𝑚 + 𝑚𝑝 − 𝜀𝑛 = 𝜀𝑏𝑒𝑎𝑚 + 𝑚𝑝 −
𝑚2𝑝 + 𝑚2𝑛 − 𝑡
.
2𝑚𝑝
На следующем шаге случайным образом генерируется масса 𝑀123 , по которой однозначно определяется
импульс системы {123}
√︁
2
|⃗
𝑝123 | = 𝜀2123 − 𝑀123
и угол между 𝑝⃗𝑏𝑒𝑎𝑚 и 𝑝⃗123 :
cos 𝜃123 =
|⃗
𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 |2 + |⃗
𝑝123 |2 − |⃗
𝑝𝑛 |2
.
2|⃗
𝑝𝑏𝑒𝑎𝑚 ||⃗
𝑝123 |
Затем генерируется азимутальный угол Φ123 и по нему определяются 4-вектора 𝑝123 и 𝑝𝑛 .
После этого осуществляется распад {123}, который в системе центра масс {123} описывается при помощи двух существенных переменных переменных 𝑠12 и 𝑠13 . Плотность трехчастичного фазового объёма
по этим переменным постоянна, поэтому события для вычисления интегралов генерируются равномерно по
кинематически разрешенной области в пространстве переменных (𝑠12 , 𝑠13 ). Определение этих переменных
однозначно задаёт значения модулей всех трех импульсов и углов между ними. Вследствие изотропности
распада в системе центра масс {123}, направление импульса 𝜋 − -мезона конечного состояния генерируется
случайным образом (для этого задаются 2 угла), затем – импульса 𝜋 + (ещё 1 угол), а импульс 𝜋 0 получается
из условия, что сумма импульсов трёх частиц в системе их центра масс равна нулю. На последнем шаге осуществляется распад 𝜋 0 → 𝛾𝛾. Сгенерированные в системе центра масс {123} импульсы частиц при помощи
преобразования Лоренца переносятся в лабораторную систему.
Полученное событие подается на вход модели установки 𝐵𝐸𝐶, реализованной в 𝐺𝐸𝐴𝑁 𝑇 , где моделируются отклики детекторов, затем событие реконструируется и полученные в результате реконструкции
переменные подаются на вход программе, отбирающей события – это позволяет определить значение функции 𝐴(𝜏 ) в данной точке. Сгенерировав 𝑁0 событий, мы сможем получить следующую численную оценку
интеграла аксептанса:
∫︁
𝑑𝜏 𝐴(𝜏 )𝐹𝛽 (𝜏 )𝐹𝛽*′ (𝜏 ) =
𝑁0
𝑉𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 ∑︁
·
𝐴(𝜏𝑚 )𝐹𝛽 (𝜏𝑚 )𝐹𝛽*′ (𝜏𝑚 ),
𝑁0
𝑚=1
где 𝐴(𝜏𝑚 ) = 1, если 𝑚-е сгенерированное событие удовлетворяет условиям отбора, перечисленным в разделе
2.2, и 𝐴(𝜏𝑚 ) = 0 в противном случае, а 𝑉𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 – полный фазовый объём.
После подстановки значений интегралов аксептанса, вычисленным методом Монте-Карло, выражение для
логарифма расширенной функции правдоподобия (4.6) становится функцией только элементов приведенной
матрицы плотности 𝜌¯𝛽𝛽 ′ . Для нахождения её максимума
∫︀ используется пакет, описанный в [22].
Определение значений интегралов нормализации 𝑑𝜏 𝐹𝛽 (𝜏 )𝐹𝛽*′ (𝜏 ), необходимых для перехода от приведенной матрицы плотности 𝜌¯𝛽𝛽 ′ к истинной 𝜌𝛽𝛽 ′ (см. (4.5)) осуществляется аналогичным образом, исключая
процедуру моделирования откликов установки и последующей реконструкции событий.
4.6
Реализация парциально-волнового анализа на основе данных
нескольких сеансов
Парциально-волновой анализ реакции (1), результаты которого представлены в работе, осуществлен на
основе данных четырех физических сеансов (см. главу 2.1). В силу того, что во всех сеансах параметры
22
∫︀
установки (и, соответственно, их модели) различны, значения интегралов аксептанса 𝑑𝜏 𝐴(𝜏 )𝐹𝑖 (𝜏 )𝐹𝑗* (𝜏 )
зависят от номера сеанса, что не позволяет составить функцию правдоподобия (3.11). Решение указанной
проблемы заключается в использовании в соотношении (4.6) взвешенной по потокам пучка в сеансах матрицы
интегралов аксептанса. Использованные коэффициенты взвешивания относятся как 1 : 0.51 : 0.3 : 0.52 для
44, 45, 47 и 48 сеансов соответственно.
4.7
Ранг матрицы плотности
*
Из определения матрицы плотности (3.7) видно, что 𝜌𝛽𝛽 ′ = (𝜌𝛽 ′ 𝛽 ) , то есть оператор 𝜌ˆ является эрмитовым. Из определения приведённой матрицы плотности 𝜌𝛽𝛽 ′ и эрмитовости оператора 𝜌ˆ следует эрмитовость
ˆ действующий в пространстве размерности
ˆ. Как известно из линейной алгебры, всякий эрмитов оператор 𝑋,
𝜌
𝑟, можно представить в виде
𝑟
(︁ )︁
(︁
)︁*
∑︁
(𝑘)
(𝑘)
ˆ
𝑋
=
𝜆(𝑘) 𝑉𝑖
𝑉𝑗
,
𝑖𝑗
𝑘=1
ˆ
где 𝜆(𝑘) и 𝑉(𝑘) 𝑘 = 1, 𝑟 – собственные значения и соответствующие им собственные векторы оператора 𝑋
𝑟
𝑟
(собственные значения в наборе {𝜆(𝑘) }𝑘=1 могут повторяться, а все собственные векторы {𝑉𝑘 }𝑘=1 попарно
ортогональны и нормированы). Таким образом, задача нахождения матрицы 𝜌𝛽𝛽 ′ эквивалентна определению
ˆ, где 𝑟 – количество волн, включенных в анализ.
𝑟 комплексных 𝑟-мерных собственных векторов оператора 𝜌
Поскольку число 𝑟 в типичном парциально-волновом анализе (в том числе в представленном в данной
работе, см. раздел 4.2) достигает нескольких десятков, поиск всех собственных векторов и собственных значений становится слишком громоздким с вычислительной точки зрения. Опыт проведения ПВА показывает,
что для получения физически осмысленного результата достаточно составить приведённую матрицу плотности 𝜌 из единственного комплексного вектора 𝑉 (в таком случае 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝜌 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝜌 = 1) следующим образом:
(︀
)︀
*
¯ 123 ) = 𝑉𝛽 (𝑉𝛽 ′ ) .
𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑡¯′ , 𝑀
(4.7)
Описанный подход существенно уменьшает вычислительную сложность задачи без значительных потерь
качества получаемого решения.
Сравнение определения матрицы плотности (3.7) и выражения (4.7) приводит к выводу о физическом
смысле вектора 𝑉 в подходе с 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝜌 = 1: компонента 𝑉𝛽 данного вектора с точностью до нормировочных
множителей из (4.4) и усреднения по спиральностям нуклонов 𝜆𝑏 и 𝜆4 соответствует амплитуде волны с
квантовыми числами 𝛽.
В данной работе используется упрощенное представление приведённой матрицы плотности (4.7), в связи с
чем 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝜌 = 1, а сам анализ сводится к нахождению элементов комплексного 𝑟-мерного вектора 𝑉 в каждом
бине по 𝑀123 и 𝑡′ (см. раздел 4.4), компоненты которого имеют смысл амплитуд волн, включенных в анализ.
4.8
Неопределенность глобальной фазы. Выбор опорных волн
Из выражения (4.7) видно, что фазы амплитуд волн, находящихся в одном блоке по натуральности (𝜀 =
¯ 123 ) без изменения
±1), могут быть одновременно изменены в каждом бине на одно и то же число 𝜙𝜀 (𝑡¯′ , 𝑀
элементов матрицы плотности. С целью устранить неопределённость в выборе вектора 𝑉𝛽 в каждом блоке по
натуральности выбирается волна, относительно которой вычисляются фазы амплитуд всех остальных волн.
Такие волны называются опорными.
В качестве опорных волн выбираются волны с наибольшой интенсивностью, которые характеризуются
гладким поведением фазы. Чаще всего основной вклад в такие волны дают резонансы с большой шириной
(Γ ∼ 100 МэВ) и нерезонансные структуры. Описанный подход позволяет минимизировать ошибки определения фаз остальных волн, а также не исказить поведение фаз амплитуд волн как функций трёхчастичной
массы.
В данной работе опорными волнами в ходе парциально-волнового анализа являются 0− 𝑃 0 + (1, 𝜌(770))
+
и 1 𝑆1 − (0, 𝜌(770)) в блоках 𝜀 = +1 и 𝜀 = −1 соответственно (полный набор волн приведен в таблице 4.2).
Для простоты набор опорных волн одинаков во всех бинах.
23
Глава 5
Извлечение характеристик резонансов из
амплитуд волн
Результатом парциально-волнового анализа реакции (1) в упрощающем предположении 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝜌 = 1 является набор комплексных векторов 𝑉 = 𝑉 (𝑡′ , 𝑀123 ) (𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; см. раздел 4.4), составленных, как было
показано в разделе (4.7), из амплитуд включённых в анализ волн.
Для получения из векторов 𝑉 = 𝑉 (𝑡′ , 𝑀123 ) физически интерпретируемой информации (масс резонансов,
их ширин, сечений рождения) необходимо рассмотрение их компонент как функций переменных 𝑡′ и 𝑀123 .
5.1
Анализ интенсивностей волн
Наиболее простым способом извлечения характеристик образуемых в реакции 1 резонансов является
переход от амплитуд волн 𝑉𝛽 к их интенсивностям
∑︁
𝐼𝛽 (𝑀123 ) =
𝑉𝛽 (𝑡′ , 𝑀123 )𝑉𝛽* (𝑡′ , 𝑀123 ),
𝑡′
′
где суммирование ведётся по всем 𝑡 -бинам из 4.4 (суммирования по индексу 𝛽 нет), с последующим независимым фитированием интересующих интенсивностей 𝐼𝛽 (𝑀123 ) некогерентной суммой различных модификаций
распределения Брейта-Вигнера (по числу ожидаемых резонансов в волне) и фона (как правило, полиномиальной формы). Результаты применения описанного подхода при анализе изучаемой реакции (1) представлены
в работе [9].
5.2
5.2.1
Анализ амплитуд волн
Построение теоретической модели амплитуды волны
Как известно (см. раздел «Resonances» в [23]), комплексная амплитуда реакции как функция инвариантной массы (в нашем случае 𝑀123 ) меняет абсолютную фазу на 𝜋 при значении аргумента, равном массе
резонанса, образующегося в реакции. В связи с этим утверждения относительно рождения новых резонансов
могут считаться полностью обоснованными только в том случае, если они сделаны на основе анализа и действительной, и мнимой части амплитуды реакции. В ходе данной работы реализовано и применено несколько
различных подходов, основанных на сравнении теоретических амплитуд и результатов парциально-волнового
анализа, с целью детального изучения резонансной структуры реакции (1).
Везде ниже для амплитуды волны, соответствующей мультииндексу 𝛽, используется следующее представление:
∑︁
𝑉𝛽𝑡ℎ (𝑡′ , 𝑀123 ) = 𝐶𝐵𝛽 (𝑡′ ) · 𝐵𝐺(𝑀123 |⃗𝑐) +
𝐶𝑅𝑘𝛽 (𝑡′ ) · 𝐵𝑊𝑘 (𝑀123 |𝑚0 , Γ0 ),
(5.1)
𝑘
где 𝐵𝑊𝑘 (𝑀123 |𝑚0 , Γ0 ) – комплекснозначная функция трехчастичной массы 𝑀123 , описывающая форму резонанса массой 𝑚0 и шириной Γ0 , 𝐵𝐺(𝑀123 |⃗𝑐) – действительная функция, моделирующая вклад фона в амплитуду рассматриваемой волны, вид которой определяется набором действительных параметров ⃗𝑐, а 𝐶𝐵𝛽 (𝑡′ )
и 𝐶𝑅𝛽𝑘 (𝑡′ ) – комплексные нормировочные множители, определяющие величину и фазу вкладов фона и резонансов соответственно в каждом 𝑡′ -бине (см. раздел 4.4); суммирование ведётся по всем наблюдаемым в
данной волне резонансам.
5.2.2
Фитирование элементов матрицы плотности
Один из методов извлечения характеристик резонансов из амплитуд основан на сравнении матрицы плот′
ности 𝜌𝑡ℎ
𝛽𝛽 ′ (𝑡 , 𝑀123 ), полученной в результате парциально-волнового анализа (см. (4.7)), с теоретической мат24
рицей плотности
(︀ 𝑡ℎ ′
)︀*
′
𝑡ℎ ′
𝜌𝑡ℎ
𝛽𝛽 ′ (𝑡 , 𝑀123 ) = 𝑉𝛽 ′ (𝑡 , 𝑀123 ) · 𝑉𝛽 (𝑡 , 𝑀123 )
на основе критерия хи-квадрат:
(︁
(︁
)︁ ⎞2 ⎛
)︁ ⎞2
⎛
′
′
𝐼𝑚 𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑀3𝑝𝑖 , 𝑡′ ) − 𝜌𝑡ℎ
′ (𝑀3𝑝𝑖 , 𝑡 )
′ (𝑀3𝑝𝑖 , 𝑡 )
∑︁ ∑︁ ∑︁ 𝑅𝑒 𝜌𝛽𝛽 ′ (𝑀3𝑝𝑖 , 𝑡′ ) − 𝜌𝑡ℎ
𝛽𝛽
𝛽𝛽
⎝
⎠ +⎝
⎠ → 𝑚𝑖𝑛
𝜒2 =
′)
′)
𝜎
(𝑀
,
𝑡
𝜎
(𝑀
,
𝑡
𝑅𝑒𝜌
3𝑝𝑖
𝐼𝑚𝜌
3𝑝𝑖
′
′
′
′
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝑡
𝑀3𝑝𝑖 𝛽,𝛽
(5.2)
(суммирование ведётся по всем 𝑡′ и 𝑀3𝜋 бинам из 4.4, а также по интересующим волнам с мультииндексами 𝛽
и 𝛽 ′ из набора волн 4.2; при 𝛽 = 𝛽 ′ вклад в 𝜒2 ошибки мнимой части матрицы плотности равен нулю). Массы
и ширины искомых резонансов определяются координатами точки минимума функции (5.2), а их сечения
определяются коэффициентами 𝐶𝑅𝛽𝑘 .
Такой подход позволяет симметричным образом учесть амплитуды всех интересующие волн, а также может быть легко расширен для случаев 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝜌 > 1, однако не учитывает корреляции элементов матрицы плотности (в ходе парциально-волнового анализа независимыми являются компоненты вектора 𝑉𝛽 , а не матрицы
𝜌𝛽𝛽 ′ ), а в случае, когда число фитируемых волн 𝑁𝑓 𝑖𝑡 (по мультииндексам которых ведётся суммирование
в (5.2)) значительно превосходит ранг матрицы плотности (в нашем случае 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝜌 = 1), недиагональные
элементы матрицы плотности 𝜌𝛽𝛽 ′ (𝛽 ̸= 𝛽 ′ ), описывающие интерференцию волн, приобретают больший вес
(∼ 𝑁𝑓2𝑖𝑡 ) по сравнению с диагональными элементами 𝜌𝛽𝛽 (∼ 𝑁𝑓 𝑖𝑡 ), что может привести к ухудшению описания
интенсивностей волн.
5.2.3
Фитирование амплитуд волн с опорной волной
С целью учесть корреляции амплитуд волн, а также устранить искуственно большой вклад слагаемых,
ответственных за учёт интерференции, переходят от сравнения элементов матриц плотности к сравнению
амплитуд волн на основе критерия хи-квадрат:
𝜒2 =
∑︁ ∑︁ ∑︁ (︁
)︁
)︁
(︁
−1 ′
′
𝑉̃︀𝛽 ′ (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) − 𝑉̃︀𝛽𝑡ℎ
→ 𝑚𝑖𝑛, (5.3)
𝑉̃︀𝛽 (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) − 𝑉̃︀𝛽𝑡ℎ (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) · 𝑐𝑜𝑣𝛽𝛽
′ (𝑡 , 𝑀3𝑝𝑖 )
′ (𝑡 , 𝑀3𝑝𝑖 ) ·
𝑡′ 𝑀3𝑝𝑖 𝛽,𝛽 ′
где 𝑉̃︀𝛽 (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) и 𝑉̃︀𝛽𝑡ℎ (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) – вектора, составленные из действительных и комплексных частей компонент векторов 𝑉𝛽 (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) и 𝑉𝛽𝑡ℎ (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) соответственно, 𝑐𝑜𝑣𝛽𝛽 ′ (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) – ковариационная матрица амплитуд
волн; суммирование ведётся по всем 𝑡′ и 𝑀3𝜋 бинам из 4.4, а также по интересующим волнам с мультииндексами 𝛽 и 𝛽 ′ из набора волн 4.2.
В силу неизвестности глобальной фазы в каждом блоке по натуральности имеется по одной опорной волне
(см. раздел 4.8), мнимые части амплитуд которых равны нулю:
+
−
∃𝛽𝑘𝑒𝑦
, 𝛽𝑘𝑒𝑦
: 𝐼𝑚 𝑉𝛽 ± (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) ≡ 0.
(5.4)
𝑘𝑒𝑦
С точки зрения результатов парциально-волнового анализа выбор опорной волны должен сопровождаться
изменением фаз амплитуд всех волн во всех бинах в соответствии с требованием (5.4). При этом вычисленные
в соответствии с выбранной моделью теоретические амплитуды волн должны быть преобразованы по правилу
𝑡ℎ
𝑡ℎ
′
𝑉𝛽𝑡ℎ
± → 𝑉𝛽 ± · exp (−𝑖𝜙𝑘𝑒𝑦 ± (𝑡 , 𝑀3𝑝𝑖 )),
где
′
𝑡ℎ
′
𝜙𝑡ℎ
𝑘𝑒𝑦 ± (𝑡 , 𝑀3𝑝𝑖 ) = 𝑎𝑟𝑔(𝑉𝛽 ± (𝑡 , 𝑀3𝑝𝑖 )).
𝑘𝑒𝑦
Описанный подход позволяет учесть корреляции амплитуд волн, получающихся в результате парциальноволнового анализа изучаемой реакции (при вычислении (5.3) используется ковариационная матрица), а также
избежать большого веса ошибок, связанных с описанием интерференции волн, даже при 𝑁𝑓 𝑖𝑡 ≫ 1. Недостатком такого подхода является неопределенность в выборе опорных волн, от которого зависит корректность и
стабильность получаемого решения.
5.2.4
Фитирование амплитуд волн без опорной волны
Для устранения неопределенности в выборе опорных волн подход, описанный в разделе 5.2.3, модицифируется следующим образом: во всех бинах (см. раздел 4.4) в каждом блоке по натуральности добавляется
один оптимизируемый параметр 𝛿𝜙± (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ), имеющий смысл разности фаз между амплитудами, полученными в результате парциально-волнового анализа (называемыми также экспериментальными), и амплитудами, вычисленными согласно модели (5.1) (теоретическими). Одновременно с этим мнимым частям амплитуд
волн, выбранным в качестве опорных в ходе парциально-волнового анализа, приписывается ненулевая ошибка, вследствие чего фит приобретает дополнительные степени свободы, что позволяет улучшить описание
25
экспериментальных данных, решить проблему неоднозначности выбора опорных волн и извлечь наиболее
корректные характеристики резонансов.
Единственным существенным недостатком описанного подхода является вычислительная сложность минимизации 𝜒2 , построенного в соответствии с (5.3), вызванная большим количеством свободных параметров.
Вследствие этого на практике применяется комбинированный подход: сначала применяется подход со свободными фазами 𝛿𝜙± (𝑡′ , 𝑀3𝑝𝑖 ) для определения наилучших опорных волн в каждом бине, а затем на основе
полученного набора опорных волн применяется метод извлечения характеристик резонансов, описанный в
разделе 5.2.3.
Оба подхода (разделы 5.2.3 и 5.2.4) разработаны и имплементированы Рябчиковым Д. И. для анализа
результатов эксперментов BEC и Compass [24].
5.3
Параметризация резонансов
Форма резонанса 𝑎2 описывается выражением
𝐼(𝑚) = 𝐼0
(𝑚20
𝑚20 Γ0 Γ𝜌𝜋 (𝑚)
,
− 𝑚2 )2 + 𝑚20 Γ2𝑡𝑜𝑡 (𝑚)
где Γ𝑡𝑜𝑡 = 0.145 · Γ𝜂𝜋 (𝑚) + 0.701 · Γ𝜌𝜋 (𝑚), а Γ𝜂𝜋 (𝑚) и Γ𝜌𝜋 (𝑚) задаются формулой (4.2).
Для формы резонанса 𝜔3
𝑚20 Γ0 Γ𝜌𝜋 (𝑚)
,
𝐼(𝑚) = 𝐼0 2
(𝑚0 − 𝑚2 )2 + 𝑚20 Γ2𝜌𝜋 (𝑚)
где использованы те же обозначения, что и выше.
Формы резонансов 𝜔-серии заданы в соответствии с релятивистским распределением Брейта-Вигнера:
𝐼(𝑚) = 𝐼0
√
где 𝑘 = 2 √2𝑚20 Γ𝛾 и 𝛾 =
𝜋
𝑚0 +𝛾
√︀
𝑘
(𝑚2
−
𝑚20 (𝑚20 + Γ2 ).
26
2
𝑚20 )
+ 𝑚20 Γ2
,
Глава 6
Результаты парциально-волнового
анализа
Результаты ПВА реакции (1) на основе данных, полученных в ходе эксперимента 𝐵𝐸𝐶 (см. главу 2),
приведены в следующем формате: для каждой волны, включённой в анализ (см. раздел 4.2), представлены
её интенсивности в 𝑡′ -бинах как функции трёхчастичной массы 𝑀3𝜋 (10 гистограмм, по числу 𝑡′ -бинов; см.
раздел 4.4), полная интенсивность (1 гистограмма) и фаза волны, усреднённая по всем 𝑡′ -бинам (1 гистограмма). На всех гистограммах по горизонтали отложена инвариантная масса 𝑀3𝜋 , диапазон её изменения 0.9
ГэВ/с2 < 𝑀3𝜋 < 2.7 ГэВ/с2 ; диапазон 0.5 ГэВ/с2 < 𝑀3𝜋 < 0.9 ГэВ/с2 не рассматривается в силу отсутствия
вкладов интересующих резонансов (рождение резонансов 𝜂(550) и 𝜔(782) в реакции 1 изучено в работе [9]).
Ниже показаны интенсивности и усреднённые фазы доминирующих волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 =
−
1 0, 2+ 1 и 3− 0 (сначала волны из блока 𝜂 = +1, затем – 𝜂 = −1). В перечисленных волнах наблюдаются
вклады резонансов серии 𝜔, 𝑎2 (1320) и 𝜔3 (1650) соответственно. Тщательный анализ амплитуд данных волн
(с указанием характеристик наблюдаемых резонансов) проведён в главе 7.
Результаты ПВА для остальных значимых волн представлены в главе 9. Интенсивности и фазы всех волн,
включённых в анализ, размещены в [25].
27
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.015000
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.045000
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.075000
1000
1000
800
800
800
600
600
600
400
400
400
200
200
0
200
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.195000
1400
1800
1400
1600
1200
1200
1400
1000
1000
1200
800
1000
800
800
600
600
600
400
400
400
200
200
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.460000
3000
1800
2000
1600
2500
1400
2000
1500
1200
1000
1500
1000
800
1000
600
500
400
500
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1-P1+ 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P1+ 0 RHO(770) sumt
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1-P1+ 0 RHO(770) average phase
5
2000
9000
4
8000
1500
3
7000
1000
500
2
6000
1
5000
0
4000
−1
3000
−2
2000
−3
−4
1000
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.1: Интенсивности и усреднённая фаза волны 1− 𝑃 1 + (0, 𝜌)
28
1.6
1.8
2
2.2
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.015000
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.045000
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.075000
1400
2500
1200
4000
1000
2000
800
1500
3000
600
2000
1000
400
1000
500
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.195000
6000
6000
7000
5000
6000
5000
4000
5000
4000
4000
3000
3000
3000
2000
2000
1000
1000
0
0
2000
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1000
0
1
1.2
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.460000
7000
8000
8000
7000
7000
6000
6000
5000
5000
5000
4000
4000
4000
3000
3000
2000
2000
1000
1000
6000
3000
2000
0
1000
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2+D1+ 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2+D1+ 1 RHO(770) average phase
2+D1+ 1 RHO(770) sumt
5
4500
50000
4000
4
3
3500
40000
2
3000
1
2500
30000
0
2000
1500
−1
20000
−2
1000
−3
10000
500
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.2: Интенсивности и усреднённая фаза волны 2+ 𝐷1 + (1, 𝜌)
29
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.015000
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.045000
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.075000
600
1400
500
1000
1200
400
800
1000
300
600
200
400
100
200
0
0
800
600
400
200
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.195000
2500
3500
2500
3000
2000
2000
2500
1500
2000
1500
1500
1000
1000
1000
500
500
0
0
500
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.325000
1.6
1.8
2
2.2
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.460000
2500
3000
3000
2000
2500
2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
1500
1.4
1000
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
3-F1+ 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2000
1500
1000
18000
4
16000
3
14000
2
12000
1
10000
0
8000
−1
6000
−2
4000
−3
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1.8
2
2.2
−4
2000
1.6
1.6
3-F1+ 0 RHO(770) average phase
0
1.4
1.4
5
500
1.2
1.2
3-F1+ 0 RHO(770) sumt
20000
1
1
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.3: Интенсивности и усреднённая фаза волны 3− 𝐹 1 + (0, 𝜌)
30
1.6
1.8
2
2.2
1-P0- 0 RHO(770) t=0.015000
1-P0- 0 RHO(770) t=0.045000
1-P0- 0 RHO(770) t=0.075000
3500
3000
3000
2000
2500
2500
1500
2000
2000
1500
1000
1500
1000
1000
500
500
500
0
− 500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P0- 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P0- 0 RHO(770) t=0.150000
3500
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
1-P0- 0 RHO(770) t=0.195000
3000
2000
3000
2500
2500
2000
1500
2000
1500
1000
1500
1000
1000
500
500
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1-P0- 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P0- 0 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1-P0- 0 RHO(770) t=0.460000
4000
2500
2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1-P0- 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1-P0- 0 RHO(770) average phase
1-P0- 0 RHO(770) sumt
5
18000
4
3000
16000
3
14000
2500
2
12000
1
2000
10000
1500
8000
1000
500
0
0
−1
6000
−2
4000
−3
2000
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
−4
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.4: Интенсивности и усреднённая фаза волны 1− 𝑃 0 − (0, 𝜌)
31
1.6
1.8
2
2.2
1-P1- 0 RHO(770) t=0.015000
1-P1- 0 RHO(770) t=0.045000
1-P1- 0 RHO(770) t=0.075000
2000
1600
1200
1400
1000
1500
1200
800
1000
1000
800
600
600
400
500
400
200
200
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P1- 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P1- 0 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
1-P1- 0 RHO(770) t=0.195000
1400
2000
1200
1200
1000
1500
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1-P1- 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1-P1- 0 RHO(770) t=0.325000
1600
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1-P1- 0 RHO(770) t=0.460000
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1-P1- 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1-P1- 0 RHO(770) average phase
1-P1- 0 RHO(770) sumt
5
1600
10000
4
1400
3
8000
1200
2
1000
1
6000
800
600
0
−1
4000
−2
400
200
−3
2000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.5: Интенсивности и усреднённая фаза волны 1− 𝑃 1 − (0, 𝜌)
32
1.6
1.8
2
2.2
2+D0- 1 RHO(770) t=0.015000
2+D0- 1 RHO(770) t=0.045000
2+D0- 1 RHO(770) t=0.075000
2500
1800
1600
2000
2000
1400
1200
1500
1500
1000
800
1000
1000
600
400
500
500
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2+D0- 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2+D0- 1 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2+D0- 1 RHO(770) t=0.195000
4000
3000
2500
3500
2500
3000
2000
2000
2500
1500
2000
1500
1500
1000
1000
1000
500
500
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2+D0- 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2+D0- 1 RHO(770) t=0.325000
4000
1.6
1.8
2
2.2
2+D0- 1 RHO(770) t=0.460000
3500
3500
1.4
3000
3000
2500
3000
2500
2000
2500
2000
2000
1500
1500
1500
1000
1000
1000
500
500
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2+D0- 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2+D0- 1 RHO(770) average phase
2+D0- 1 RHO(770) sumt
5
25000
3500
4
3
3000
20000
2
2500
1
15000
2000
0
1500
−1
10000
−2
1000
−3
5000
500
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.6: Интенсивности и усреднённая фаза волны 2+ 𝐷0 − (1, 𝜌)
33
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2+D1- 1 RHO(770) t=0.015000
2+D1- 1 RHO(770) t=0.045000
1200
2+D1- 1 RHO(770) t=0.075000
1200
1000
1000
1000
800
800
800
600
600
600
400
400
400
200
200
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2+D1- 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2+D1- 1 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2+D1- 1 RHO(770) t=0.195000
2500
1000
2500
800
2000
600
1500
1000
400
1000
500
200
500
0
0
2000
1500
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2+D1- 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2+D1- 1 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2+D1- 1 RHO(770) t=0.460000
1600
1000
1400
800
1200
800
600
1000
600
800
400
600
400
400
200
200
200
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2+D1- 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2+D1- 1 RHO(770) average phase
2+D1- 1 RHO(770) sumt
5
1800
8000
4
7000
3
6000
2
1600
1400
1200
1
5000
1000
0
800
4000
600
3000
−1
400
−2
2000
200
−3
1000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.7: Интенсивности и усреднённая фаза волны 2+ 𝐷1 − (1, 𝜌)
34
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
3-F0- 0 RHO(770) t=0.015000
3-F0- 0 RHO(770) t=0.045000
3-F0- 0 RHO(770) t=0.075000
1800
1800
1200
1600
1600
1000
1400
1400
1200
1200
800
1000
1000
600
800
800
600
600
400
400
200
200
400
200
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3-F0- 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3-F0- 0 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
3-F0- 0 RHO(770) t=0.195000
1600
2000
2000
1400
1200
1500
1500
1000
800
1000
1000
600
400
500
500
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
3-F0- 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3-F0- 0 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
3-F0- 0 RHO(770) t=0.460000
1800
1600
1600
2000
1400
1400
1200
1200
1500
1000
1000
800
800
1000
600
600
400
400
500
200
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
3-F0- 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.6
1.8
2
2.2
3-F0- 0 RHO(770) average phase
3-F0- 0 RHO(770) sumt
5
12000
1600
1.4
4
1400
10000
3
1200
2
8000
1000
1
800
6000
0
4000
−2
−1
600
400
200
−3
2000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.8: Интенсивности и усреднённая фаза волны 3− 𝐹 0 − (0, 𝜌)
35
1.6
1.8
2
2.2
3-F1- 0 RHO(770) t=0.015000
3-F1- 0 RHO(770) t=0.045000
3-F1- 0 RHO(770) t=0.075000
1200
800
800
1000
800
600
600
600
400
400
400
200
200
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
3-F1- 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3-F1- 0 RHO(770) t=0.150000
1200
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
3-F1- 0 RHO(770) t=0.195000
1200
1000
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
800
600
400
0
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3-F1- 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3-F1- 0 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
3-F1- 0 RHO(770) t=0.460000
1200
1000
1000
800
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
600
400
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
200
0
1
1.2
3-F1- 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
3-F1- 0 RHO(770) average phase
3-F1- 0 RHO(770) sumt
5
6000
1200
4
5000
3
1000
2
4000
800
1
600
3000
0
2000
−2
−1
400
−3
200
1000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 6.9: Интенсивности и усреднённая фаза волны 3− 𝐹 1 − (0, 𝜌)
36
1.6
1.8
2
2.2
Глава 7
Анализ амплитуд волн
В данной главе приведены результаты извлечения характеристик резонансов из амплитуд волн, полученных в ходе парциально-волнового анализа. Сопутствующие графические материалы размещены в [26].
7.1
Анализ волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 2+ 1
Для извлечения характеристик резонансов с 𝐽 𝑃 𝐼 = 2+ 1 использовались амплитуды волн 2+ 𝐷1 + (1, 𝜌),
2 𝐷0 − (1, 𝜌) и 2+ 𝐷1 − (1, 𝜌). Основные результаты фитов сведены в таблицу 7.1; сравнение моделей и
результатов ПВА приведено на рис. 7.1 – 7.4.
+
Таблица 7.1: Фиты амплитуд волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 2+ 1.
Номер модели
1
2
Волны, 𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼, 𝑑)
2+ 𝐷1 + (1, 𝜌)
2+ 𝐷1 + (1, 𝜌)
3
2+ 𝐷0 − (1, 𝜌)
2+ 𝐷1 − (1, 𝜌)
2+ 𝐷0 − (1, 𝜌)
2+ 𝐷1 − (1, 𝜌)
2+ 𝐷1 + (1, 𝜌)
2+ 𝐷0 − (1, 𝜌)
2+ 𝐷1 − (1, 𝜌)
2+ 𝐷1 + (1, 𝜌)
2+ 𝐷0 − (1, 𝜌)
2+ 𝐷1 − (1, 𝜌)
4
5
6
Резонансы
𝑎2 (1320)
𝑎2 (1320)
𝑎2 (1700)
𝑎2 (1320)
M, МэВ
1317 ± 2
1316 ± 3
1616 ± 12
1313 ± 4
Г, МэВ
103 ± 4
106 ± 5
119 ± 18
66 ± 10
𝜒2 /𝑛.𝑑.𝑓.
5,1
4,9
𝑎2 (1320)
𝑎2 (1700)
1304 ± 6
1584 ± 15
80 ± 12
187 ± 23
10,4
𝑎2 (1320)
1317 ± 3
94 ± 5
9,6
𝑎2 (1320)
𝑎2 (1700)
1317 ± 3
1677 ± 20
99 ± 5
260 ± 30
9,2
10,7
Описание выбранными моделями с формальной точки зрения является непригодным (𝜒2 /𝑛.𝑑.𝑓. ≫ 1).
Тем не менее, подходы по извлечению характеристик резонансов из амплитуд волн ПВА, описанные в разделах 5.2.3 и 5.2.4 и применяемые в данной работе, следует считать физически более мотивированным, чем
часто применяемый фит интенсивностей волн в узкой области вблизи массы искомого резонанса, дающий
формально значение 𝜒2 /𝑛.𝑑.𝑓. ∼ 1 (см. работу [9]) ценой игнорирования основного объёма информации.
Из результатов исследования различных моделей, представленных в таблице 7.1, видна устойчивость
получаемых значений массы и ширины 𝑎2 (1320) в моделях, включающих волну 2+ 𝐷1 + (1, 𝜌) (𝜂 = +1);
характеристики 𝑎2 (1320) в волнах с 𝜂 = −1 искажены.
Незначительное отличие качества соответствующих моделей с одним и двумя резонансами не позволяет
заявить о наблюдении вклада 𝑎2 (1700) в волны с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 2+ 1, несмотря на наличие
модели №6, дающей согласующиеся с другими модами значения массы и ширины данного резонанса.
37
Рис. 7.1: Полная интенсивность волны 2+ 𝐷1 + (1, 𝜌) в модели 1 (слева) и 2 (справа) в нормальном (сверху) и логарифмическом (снизу) масштабах. Синим и фиолетовым цветом обозначены интенсивности резонансов, зелёным –
интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонансов и фона). Описание
моделей представлено в табл. 7.1.
38
Рис. 7.2: Полная интенсивность волн 2+ 𝐷0 − (1, 𝜌) и 2+ 𝐷1 − (1, 𝜌) в модели 3 (слева) и 4 (справа) в нормальном
(сверху) и логарифмическом (снизу) масштабах. Синим и фиолетовым цветом обозначены интенсивности резонансов,
зелёным – интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонансов и фона).
Описание моделей представлено в табл. 7.1.
Рис. 7.3: Полная интенсивность волн 2+ 𝐷0 − (1, 𝜌), 2+ 𝐷1 − (1, 𝜌) и 2+ 𝐷1 + (1, 𝜌) в модели 5 в нормальном (сверху)
и логарифмическом (снизу) масштабах. Синим цветом обозначена интенсивность резонанса, зелёным – интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонанса и фона). Описание модели
представлено в табл. 7.1.
39
Рис. 7.4: Полная интенсивность волн 2+ 𝐷0 − (1, 𝜌), 2+ 𝐷1 − (1, 𝜌) и 2+ 𝐷1 + (1, 𝜌) в модели 6 в нормальном (сверху) и
логарифмическом (снизу) масштабах. Синим и фиолетовым цветом обозначены интенсивности резонансов, зелёным
– интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонансов и фона). Описание
модели представлено в табл. 7.1.
7.2
Анализ волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 3− 0
Характеристики 𝜔3 (1670) (𝐽 𝑃 𝐼 = 3− 0) получены из анализа амплитуд волн 3− 𝐹 1 + (0, 𝜌), 3− 𝐹 0 − (1, 𝜌)
и 3 𝐹 1 − (1, 𝜌). Основные результаты фитов сведены в таблицу 7.2; сравнение моделей и результатов ПВА
приведено на рис. 7.5 и 7.6.
−
Таблица 7.2: Фиты амплитуд волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 3− 0.
Номер модели
1
2
3
Волны, 𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼, 𝑑)
3− 𝐹 1 + (0, 𝜌)
3− 𝐹 0 − (0, 𝜌)
3− 𝐹 1 − (0, 𝜌)
3− 𝐹 1 + (0, 𝜌)
3− 𝐹 0 − (0, 𝜌)
3− 𝐹 1 − (0, 𝜌)
Резонансы
𝜔3 (1670)
𝜔3 (1670)
M, МэВ
1649 ± 5
1668 ± 7
Г, МэВ
127 ± 12
340 ± 40
𝜒2 /𝑛.𝑑.𝑓.
4,6
7,7
𝜔3 (1670)
1658 ± 6
135 ± 20
7,1
Рассуждения о значениях 𝜒2 /𝑛.𝑑.𝑓. ≫ 1 и о физической мотивации применённого метода анализа амплитуд волн, приведённые в разделе 7.1, справедливы и в данном случае.
Из таблицы 7.2 видна корректность получаемых значений массы и ширины 𝜔3 (1670) в моделях, включающих волну 3− 𝐹 1 + (0, 𝜌) (𝜂 = +1); характеристики 𝜔3 (1670) в волнах с 𝜂 = −1 (как и в случае 𝑎2 (1320), см.
раздел 7.1) искажены.
40
Рис. 7.5: Полная интенсивность волны 3− 𝐹 1 + (0, 𝜌) в модели 1 (слева) и волн 3− 𝐹 0 − (0, 𝜌) и 3− 𝐹 1 − (0, 𝜌) в модели
2 (справа) в нормальном (сверху) и логарифмическом (снизу) масштабах. Синим цветом обозначена интенсивность
резонанса, зелёным – интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонансов
и фона). Описание моделей представлено в табл. 7.2.
Рис. 7.6: Полная интенсивность волн 3− 𝐹 1 + (0, 𝜌), 3− 𝐹 0 − (1, 𝜌) и 3− 𝐹 1 − (1, 𝜌) в модели 3 в нормальном (сверху)
и логарифмическом (снизу) масштабах. Синим цветом обозначена интенсивность резонанса, зелёным – интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонанса и фона). Описание модели
представлено в табл. 7.2.
41
7.3
Анализ волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 1− 0
Проведён анализ амплитуд волн 1− 𝑃 1 + (0, 𝜌), 1− 𝑃 0 − (0, 𝜌) и 1− 𝑃 1 − (0, 𝜌), основные результаты фитов
сведены в таблицу 7.3; сравнение моделей и результатов ПВА приведено на рис. 7.7 – 7.10.
Таблица 7.3: Фиты амплитуд волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 1− 0.
Номер модели
1
2
Волны, 𝐽 𝑃 𝑙Λ𝜀(𝐼, 𝑑)
1− 𝑃 1 + (0, 𝜌)
1− 𝑃 1 + (0, 𝜌)
3
1− 𝑃 0 − (0, 𝜌)
1− 𝑃 1 − (0, 𝜌)
1− 𝑃 0 − (0, 𝜌)
1− 𝑃 1 − (0, 𝜌)
1− 𝑃 1 + (0, 𝜌)
1− 𝑃 0 − (0, 𝜌)
1− 𝑃 1 − (0, 𝜌)
1− 𝑃 1 + (0, 𝜌)
1− 𝑃 0 − (0, 𝜌)
1− 𝑃 1 − (0, 𝜌)
4
5
6
Резонансы
𝜔′
𝜔′
𝜔 ′′
𝜔′
M, МэВ
1181 ± 21
1236 ± 8
905 ± 2
1287 ± 8
Г, МэВ
783 ± 52
342 ± 31
5±1
94 ± 10
𝜒2 /𝑛.𝑑.𝑓.
7,8
6,4
𝜔′
𝜔 ′′
1272 ± 8
1409 ± 15
147 ± 18
609 ± 43
16,6
𝜔′
1278 ± 13
256 ± 24
15,0
𝜔′
𝜔 ′′
1254 ± 7
1433 ± 16
158 ± 16
582 ± 36
14,2
16,9
Из результатов фитов, представленных в таблице 7.3, видно, что наилучшее описание достигается при
наличии вклада в амплитуды волн с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 1− 0 резонанса с массой 𝑀 = 1,2 − 1,3 ГэВ,
что является одним из указаний на его рождение в изучаемой реакции (1).
Кроме того, близость спектральных характеристик резонансов 𝜔 ′ и 𝜔 ′′ , полученных в моделях 4 и 6
(табл. 7.3), позволяет сделать вывод о рождении сразу двух резонансов с 𝐽 𝑃 𝐼 = 1− 0. Качество описания
данных моделью 6 (особенно волны 1− 𝑃 1 + (0, 𝜌) с 𝜂 = +1, см. рис. 7.10) служит весомым аргументом в
пользу данного утверждения. Как можно видеть, такой результат становится возможным только вследствие
интерференции вкладов резонансов и фона: масса одного из резонансов соответствует максимуму полной
интенсивности, а второго – минимуму.
Рис. 7.7: Полная интенсивность волны 1− 𝑃 1 + (0, 𝜌) в модели 1 (слева) и 2 (справа) в нормальном (сверху) и логарифмическом (снизу) масштабах. Синим и фиолетовым цветом обозначены интенсивности резонансов, зелёным –
интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонансов и фона). Описание
моделей представлено в табл. 7.3.
42
Рис. 7.8: Полная интенсивность волн 1− 𝑃 0 − (0, 𝜌) и 1− 𝑃 1 − (0, 𝜌) в модели 3 (слева) и 4 (справа) в нормальном
(сверху) и логарифмическом (снизу) масштабах. Синим и фиолетовым цветом обозначены интенсивности резонансов,
зелёным – интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонансов и фона).
Описание моделей представлено в табл. 7.3.
Рис. 7.9: Полная интенсивность волн 1− 𝑃 0 − (0, 𝜌), 1− 𝑃 1 − (1, 𝜌) и 1− 𝑃 1 + (0, 𝜌) в модели 5 в нормальном (сверху)
и логарифмическом (снизу) масштабах. Синим цветом обозначена интенсивность резонанса, зелёным – интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонанса и фона). Описание модели
представлено в табл. 7.3.
43
Рис. 7.10: Полная интенсивность волн 1− 𝑃 0 − (0, 𝜌), 1− 𝑃 1 − (0, 𝜌) и 1− 𝑃 1 + (0, 𝜌) в модели 6 в нормальном (сверху) и
логарифмическом (снизу) масштабах. Синим и фиолетовым цветом обозначены интенсивности резонансов, зелёным
– интенсивность фона, красным – полная интенсивность (с учётом относительных фаз резонансов и фона). Описание
модели представлено в табл. 7.3.
44
Глава 8
Обсуждение результатов и выводы
В ходе работы изучен вопрос рождения резонансов с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 1− 0, 2+ 1 и 3− 0 в
реакции перезарядки 𝜋 − -мезонов на бериллиевой мишени при 𝑝 = 29 ГэВ/c
𝜋− + 𝑝 → 𝜋− + 𝜋+ + 𝜋0 + 𝑛
на основе данных, полученных на установке ВЕС ускорительного комплекса У-70. Измерение спектральных
характеристик образующихся в указанной реакции резонансов осуществлено путем анализа амплитуд ПВА.
Результаты измерений приведены в табл. 8.1.
Как можно видеть, значения масс 𝑀 и ширин Г мезонов 𝑎2 (1320) и 𝜔3 (1670) находятся в согласии с [23].
Значимого вклада резонанса 𝑎2 (1700) в амплитуду реакции не обнаружено. Характеристики резонансов 𝜔 ′ и
𝜔 ′′ отличаются от данных, приведённых в [23].
Таблица 8.1: Результаты измерения спектральных харакетристик резонансов.
𝐽𝑃 , 𝐼
1− 0
2+ 1
3− 0
Резонанс
𝜔′
𝜔 ′′
𝑎2 (1320)
𝑎2 (1700)
𝜔3 (1670)
M, МэВ
1254 ± 7
1433 ± 16
1317 ± 2
−
1658 ± 6
Г, МэВ
158 ± 16
582 ± 36
103 ± 4
−
135 ± 20
В ходе работы освоена техника проведения парциально-волнового анализа, а также методика извлечения
характеристик резонансов из амплитуд волн с учётом интерференции резонансов и фона и корреляции самих
амплитуд.
В перспективе планируется совершенствованиие использованной методики и её применение с целью изучения рождения в данной реакции резонансов с квантовыми числами 𝐽 𝑃 𝐼 = 1+ 0, 1+ 1, 2− 0, 2− 1 и
3+ 1.
45
Глава 9
Приложение. Интенсивности и фазы
доминирующих волн
0-S0+ 1 EPSMX t=0.015000
0-S0+ 1 EPSMX t=0.045000
0-S0+ 1 EPSMX t=0.075000
2000
2500
2000
2000
1500
1500
1500
1000
1000
1000
500
500
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
0-S0+ 1 EPSMX t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
0-S0+ 1 EPSMX t=0.150000
2000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
0-S0+ 1 EPSMX t=0.195000
1600
1400
1400
1200
1500
1200
1000
1000
800
1000
800
600
600
400
500
400
200
200
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
0-S0+ 1 EPSMX t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
0-S0+ 1 EPSMX t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
0-S0+ 1 EPSMX t=0.460000
1400
1200
1200
1000
1000
1000
800
800
800
600
600
600
400
400
200
200
400
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.6
1.8
2
2.2
0-S0+ 1 EPSMX average phase
0-S0+ 1 EPSMX sumt
0-S0+ 1 EPSMX t=0.875000
1.4
5
1200
10000
4
3
1000
8000
2
800
1
6000
600
0
−1
4000
400
−2
200
−3
2000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Рис. 9.1: Интенсивности и усреднённая фаза волны 0− 𝑆0 + (1, 𝜎)
46
2
2.2
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.015000
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.045000
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.075000
1400
1200
2000
1200
1000
1000
1500
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.195000
1400
1600
1400
1200
1400
1200
1200
1000
1000
1000
800
800
800
600
600
600
400
200
400
400
200
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.460000
1800
1200
1400
1600
1000
1200
800
1400
1000
1200
800
1000
600
800
600
400
600
400
400
200
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
200
0
1
1.2
0-P0+ 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
0-P0+ 1 RHO(770) sumt
1.4
1.6
1.8
2
2.2
0-P0+ 1 RHO(770) average phase
5
10000
1200
4
3
8000
1000
2
800
6000
1
0
600
−1
4000
400
−2
200
−3
2000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.2: Интенсивности и усреднённая фаза волны 0− 𝑃 0 + (1, 𝜌)
47
1.6
1.8
2
2.2
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.015000
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.045000
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.075000
8000
10000
7000
8000
6000
8000
5000
6000
6000
4000
4000
3000
4000
2000
2000
2000
1000
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.150000
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.195000
6000
5000
8000
7000
1.4
5000
4000
6000
4000
5000
3000
3000
4000
2000
3000
2000
2000
1000
1000
1000
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.460000
4000
2500
3500
1200
3000
2000
1000
2500
800
1500
2000
600
1500
1000
400
1000
500
200
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1+S0+ 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S0+ 0 RHO(770) sumt
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1+S0+ 0 RHO(770) average phase
5
50000
1600
4
1400
3
40000
1200
2
1
30000
1000
0
800
−1
20000
600
−2
400
−3
10000
200
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.3: Интенсивности и усреднённая фаза волны 1+ 𝑆0 + (0, 𝜌)
48
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.015000
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.045000
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.075000
7000
3500
6000
3000
2500
5000
2500
2000
4000
2000
3000
1500
2000
1000
1000
500
1500
1000
0
500
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.195000
1200
3000
2000
1000
2500
1500
800
2000
1500
600
1000
400
500
200
1000
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.460000
1800
1200
1200
1600
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
1400
1200
1000
800
600
400
200
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1+S0+ 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S0+ 1 RHO(770) sumt
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1+S0+ 1 RHO(770) average phase
5
16000
2000
4
14000
3
12000
1500
2
1
10000
1000
0
8000
−1
6000
−2
500
4000
−3
2000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.4: Интенсивности и усреднённая фаза волны 1+ 𝑆0 + (1, 𝜌)
49
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.015000
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.045000
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.075000
1200
1000
1000
1000
800
800
800
600
600
600
400
400
400
200
200
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.195000
1600
1600
1400
1400
1400
1200
1200
1200
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
1000
800
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
600
400
200
0
1
1.2
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.460000
3500
2500
3000
2000
2000
2500
1500
2000
1500
1500
1000
1000
1000
500
500
500
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S1+ 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+S1+ 1 RHO(770) sumt
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1+S1+ 1 RHO(770) average phase
5
2000
4
10000
3
1500
8000
2
6000
0
1
1000
−1
4000
−2
500
−3
2000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.5: Интенсивности и усреднённая фаза волны 1+ 𝑆1 + (1, 𝜌)
50
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1+P0+ 1 EPSMX t=0.015000
1+P0+ 1 EPSMX t=0.045000
1+P0+ 1 EPSMX t=0.075000
2500
6000
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1+P0+ 1 EPSMX t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+P0+ 1 EPSMX t=0.150000
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
1+P0+ 1 EPSMX t=0.195000
1600
1400
2500
1400
2000
1.4
1200
1200
1000
1000
1500
800
800
600
1000
600
400
400
500
200
200
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+P0+ 1 EPSMX t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1+P0+ 1 EPSMX t=0.325000
1600
1600
1400
1400
1200
1200
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
1.4
1.6
1.8
2
2.2
1+P0+ 1 EPSMX t=0.460000
1200
1000
800
600
400
200
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
16000
700
14000
600
12000
500
10000
1.6
1.8
2
2.2
1+P0+ 1 EPSMX average phase
1+P0+ 1 EPSMX sumt
1+P0+ 1 EPSMX t=0.875000
800
1.4
5
4
3
2
400
1
8000
0
300
−1
6000
−2
200
4000
−3
100
2000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.6: Интенсивности и усреднённая фаза волны 1+ 𝑃 0 + (1, 𝜎)
51
1.6
1.8
2
2.2
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.015000
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.045000
1600
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.075000
1400
1000
1400
1200
1200
800
1000
1000
800
600
800
600
600
400
400
400
200
200
200
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.195000
1400
1600
1000
1200
800
1000
1400
1200
800
1000
600
800
600
400
600
400
400
200
200
200
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.460000
1200
1000
1200
1000
800
1000
800
800
600
600
600
400
200
0
400
400
200
200
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2-P0+ 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P0+ 0 RHO(770) sumt
1600
8000
1400
7000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2-P0+ 0 RHO(770) average phase
5
4
3
1200
6000
2
1000
800
5000
1
4000
0
600
−1
3000
−2
400
2000
−3
200
1000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.7: Интенсивности и усреднённая фаза волны 2− 𝑃 0 + (0, 𝜌)
52
1.6
1.8
2
2.2
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.015000
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.045000
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.075000
700
600
600
600
500
500
500
400
400
300
300
200
200
100
100
0
0
400
300
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
200
100
0
1
1.2
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.195000
600
800
700
700
500
600
600
500
400
500
400
300
400
300
300
200
200
200
100
100
100
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.325000
1.6
1.8
2
2.2
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.460000
800
600
700
1.4
700
600
500
600
500
400
500
400
400
300
300
300
200
200
200
100
100
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
100
0
1
1.2
2-P1+ 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P1+ 0 RHO(770) sumt
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2-P1+ 0 RHO(770) average phase
5
600
4
3500
500
3
3000
2
400
2500
300
2000
200
1500
1
0
−1
−2
1000
100
−3
500
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.8: Интенсивности и усреднённая фаза волны 2− 𝑃 1 + (0, 𝜌)
53
1.6
1.8
2
2.2
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.015000
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.045000
1200
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.075000
1000
1000
1000
800
800
800
600
600
600
400
400
400
200
200
0
200
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.150000
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.195000
800
700
600
500
400
300
200
100
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.460000
450
600
400
500
350
500
400
300
400
250
300
300
200
150
200
200
100
100
100
50
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-S0+ 1 F2(1270) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2-S0+ 1 F2(1270) average phase
2-S0+ 1 F2(1270) sumt
5
350
4
5000
300
3
4000
250
2
1
200
3000
0
150
−1
2000
100
−2
50
−3
1000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.9: Интенсивности и усреднённая фаза волны 2− 𝑆0 + (1, 𝑓2 )
54
1.6
1.8
2
2.2
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.015000
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.045000
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.075000
3000
2500
3000
2500
2500
2000
2000
2000
1500
1500
1500
1000
1000
1000
500
500
0
500
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.195000
2000
1600
2000
1400
1500
1200
1500
1000
1000
800
1000
600
500
500
0
0
400
200
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.325000
1000
1.6
1.8
2
2.2
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.460000
1000
800
1.4
1200
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0
0
600
400
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
200
0
1
1.2
2-P0+ 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
2-P0+ 1 RHO(770) sumt
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2-P0+ 1 RHO(770) average phase
5
1000
4
10000
800
3
8000
2
6000
0
600
1
400
−1
4000
−2
200
−3
2000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.10: Интенсивности и усреднённая фаза волны 2− 𝑃 0 + (1, 𝜌)
55
1.6
1.8
2
2.2
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.015000
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.045000
900
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.075000
1000
1200
800
1000
800
700
600
800
600
500
600
400
400
300
400
200
200
200
100
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.150000
1000
800
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.195000
800
1200
700
1000
600
800
500
600
600
400
400
300
400
200
200
200
100
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.460000
900
1200
1000
800
1000
700
800
600
800
500
600
600
400
400
300
400
200
200
200
100
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
3+D0+ 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
3+D0+ 1 RHO(770) average phase
3+D0+ 1 RHO(770) sumt
5
6000
1200
4
5000
1000
3
2
800
4000
600
3000
0
2000
−2
1
−1
400
−3
200
1000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.11: Интенсивности и усреднённая фаза волны 3+ 𝐷0 + (1, 𝜌)
56
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.015000
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.045000
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.075000
400
600
500
500
400
350
300
250
400
200
300
300
200
150
200
100
100
100
50
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.150000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.195000
900
700
800
800
600
700
500
400
300
700
600
600
500
500
400
400
300
300
200
200
100
100
200
100
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.325000
1000
1.6
1.8
2
2.2
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.460000
1400
800
700
1200
800
1.4
600
1000
500
600
800
400
600
400
300
400
200
200
200
0
100
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
4+G1+ 1 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
4+G1+ 1 RHO(770) sumt
1.4
1.6
1.8
2
2.2
4+G1+ 1 RHO(770) average phase
4500
5
700
4000
4
600
3500
500
3000
400
2500
3
2
1
0
2000
300
−1
1500
200
−2
1000
100
−3
500
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.12: Интенсивности и усреднённая фаза волны 4+ 𝐺1 + (1, 𝜌)
57
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
5-H0- 0 RHO(770) t=0.015000
5-H0- 0 RHO(770) t=0.045000
5-H0- 0 RHO(770) t=0.075000
600
500
1000
500
400
800
400
300
600
300
200
200
400
100
100
200
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
5-H0- 0 RHO(770) t=0.110000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
5-H0- 0 RHO(770) t=0.150000
800
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
2.4
2.6
5-H0- 0 RHO(770) t=0.195000
800
700
700
700
600
600
600
500
500
500
400
400
400
300
300
300
200
200
100
100
100
0
0
200
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
5-H0- 0 RHO(770) t=0.250000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
5-H0- 0 RHO(770) t=0.325000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
5-H0- 0 RHO(770) t=0.460000
900
800
800
1000
700
600
800
600
500
600
400
400
400
300
200
200
200
100
0
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
5-H0- 0 RHO(770) t=0.875000
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
5-H0- 0 RHO(770) average phase
5-H0- 0 RHO(770) sumt
5
4000
700
4
600
3500
3
3000
2
500
1
2500
400
0
2000
300
−1
1500
−2
200
1000
−3
100
500
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
1.4
Рис. 9.13: Интенсивности и усреднённая фаза волны 5− 𝐻0 − (0, 𝜌)
58
1.6
1.8
2
2.2
flat t=0.015000
flat t=0.045000
flat t=0.075000
4500
3500
5000
4000
3000
3500
4000
3000
3000
2500
2500
2000
2000
2000
1500
1500
1000
1000
1000
500
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
flat t=0.110000
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
flat t=0.150000
4500
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.2
2.4
2.6
2.2
2.4
2.6
2.2
2.4
2.6
flat t=0.195000
3500
4000
3500
3000
3500
3000
2500
3000
2500
2500
2000
2000
2000
1500
1500
1500
1000
1000
1000
500
500
0
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
500
0
1
1.2
1.4
flat t=0.250000
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
flat t=0.325000
1.6
1.8
2
flat t=0.460000
3500
3500
4000
3000
3500
2500
3000
3000
2500
2000
2500
2000
2000
1500
1500
1000
1000
500
500
0
0
1500
1000
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
500
0
1
1.2
1.4
1.6
flat t=0.875000
1.8
2
2.2
2.4
2.6
1
1.2
1.4
flat sumt
1.6
1.8
2
flat average phase
5
35000
5000
4
30000
3
25000
2
4000
1
3000
20000
0
2000
15000
−1
−2
10000
1000
−3
5000
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
−5
1
1.2
Рис. 9.14: Интенсивности и усреднённая фаза волны 𝑓 𝑙𝑎𝑡
59
1.4
1.6
1.8
2
Список использованных источников
[1] Далиц Р. Странные частицы и сильные взаимодействия. 1964.
[2] Нелипа Н.Ф. Введение в теорию сильновзаимодействующих элементарных частиц. Атомиздат, 1970.
[3] Bugg D. Four sorts of mesons. 2004.
[4] D.V. Amelin e. a. Partial-wave analysis of the reaction 𝜋 − 𝑝 → 𝜋 + 𝜋 − 𝜋 0 𝑛 at 𝑝𝜋− = 36 𝐺𝑒𝑉 /𝑐. Z. Phys. C 70,
71-75, 1996.
[5] Дорофеев В. А. и др. Новый электромагнитный калориметр модернизированной установки ВЕС. ПТЭ
№4, 2016. 1-9 с.
[6] Борисов Г. В. Трековая система установки ВЕС. Препринт ИФВЭ 98-60, 1998. 23 с.
[7] Битюков С. И. Система сбора данных установки вершинный спектрометр ИФВЭ (Установка ВЕС).
Препринт ИФВЭ 94-101, 1994. 19 с.
[8] Ивашин А. Предложение по формату DST для эксперимента ВЕС. ИФВЭ, 2011.
[9] Нигоян А. В. Поиск высокоспиновых резонансов в системе 𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0 . ИФВЭ, 2019. 61 с.
[10] Дорофеев В. А. Частное сообщение. 2020.
[11] Keller D. Techniques in Kinematic Fitting. CLAS-NOTE 2010-015, 2010.
[12] Яворский Б. М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. Москва: Оникс, 2007. 1056 с.
[13] Compass C. Resonance Production and 𝜋𝜋 𝑆-wave in 𝜋 − + 𝑝 → 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 + + 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑜𝑖𝑙 at 190 𝐺𝑒𝑉 /𝑐. doi:
10.1103/PhysRevD.95.032004: Phys. Rev. D 95, 032004, 2017.
[14] Chung S.-U. Spin formalisms. CERN 71-8, 25, 1971.
[15] Blatt J. M., Weisskopf V. F. Theoretical nuclear physics. doi:10.1007/978-1-4612-9959-2.
[16] Asner D. Charm Dalitz plot analysis formalism and results: Expanded RPP-2004 version. Phys.Lett.B592,
2003. 18 p.
[17] K. Buchner e. a. Nucl. Phys., B34. 293, Appendix, 1971.
[18] Flatte S. M. On the Nature of 0+ Mesons. Phys. Lett. 63B, 228, 1976.
[19] K. L. Au D. M., Pennington M. R. Meson Dynamics Beyond the Quark Model: A Study of Final State
Interactions. Phys. Rev. D 35, 1633, 1987.
[20] Slabospitsky S. R. CORE 2.1. arXiv:hep-ph/9507456, 1995. 108 p.
[21] Шумаков А. А. Парциально-волновой анализ системы 3-х бесспиновых частиц. ИФВЭ, 2015.
[22] Johnson S. G. The NLopt nonlinear-optimization package. http://github.com/stevengj/nlopt.
[23] Tanabashi M. Particle Data Group. Phys. Rev. D 98, 030001, 2018.
[24] Рябчиков Д. И. Частное сообщение. http://bison.ihep.su/ryabchik/www/mdf/mdf.pdf, 2021.
[25] Нигоян А. В. Результаты ПВА системы 𝜋 − 𝜋 + 𝜋 0 . http://bison.ihep.su/nigoyan/www/master_thesis/
pwa_results/.
[26] Нигоян А. В. Фиты амплитуд волн. http://bison.ihep.su/nigoyan/www/master_thesis/amplitude_
fits/.
60
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзывПопулярно и чётко! Отлично получилось!
Это очень круто! Побольше бы таких работ!
Артем - гений! Прочитал статью на одном дыхании.
Шикарная работа!!!
Очень интересно!!