Анализ напряженно-деформированного состояния оборудования и трубопроводов на экстремальные воздействия

Артем Савиковский

Анализ напряженно-деформированного состояния оборудования и трубопроводов на экстремальные воздействия

Объектом исследования являются методы расчета сейсмостойкости различных сооружений на примере задачи о защемленной балке и задачи о линейном неконсервативном осцилляторе(статический, линейно -спектральный, динамический). Цель работы – разобраться в методах расчета в программном комплексе ANSYS на примере некоторой модельной задаче, для которой эти расчеты несложно проводятся, разобраться в их достоинствах и недостатках. В процессе работы использовался программный пакет конечно-элементного анализа ANSYS. В результате работы исследованы методы анализа конструкций на сейсмическое воздействие, проведен сравнительный анализ статического и линейно-спектрального методов на модельном примере, динамический метод был освоен на простейшем примере линейного неконсервативного осциллятора. В результате проведенного сравнения было выявлено, что статический метод подходит только для оценки значений интересующих величин, серьезный анализ должен проводиться линейно-спектральным или динамическим методом, решена модельная задача динамическим методом, полученные результаты для динамического анализа совпадают с аналитическими.

Механика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (ФГБОУ ВПО «СПбГПУ»)

ID: 5ea46b0bca23590001c86ebf

UUID: 37aa00f0-6943-0138-3265-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: почти 4 года назад

Просмотры: 139

186.24

Артем Савиковский

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (ФГБОУ ВПО «СПбГПУ»)

Комментировать 15

Рецензировать 0

Скачать - 1,3 МБ

Поделиться работой

Министерство образования РФ Санкт-Петербургский государственный политехнический институт Институт прикладной математики и механики, кафедра «Механика и процессы управления» Работа допущена к защите Зав. Кафедрой д. ф.-м.н., проф. Д.А. Индейцев « » 2016 г. Бакалаврская работа по направлению 151600 «Прикладная механика» Тема: «Анализ напряженно-деформированного состояния оборудования и трубопроводов на экстремальные воздействия» Направление: 151600 – «Прикладная механика» Выполнил студент группы 43602/2 Руководитель, ассистент Савиковский А.В. Модестов В.С. Санкт-Петербург 2016 год

Оглавление 1. Введение...............................................................................................4 2. Основы расчета конструкций на сейсмостойкость..........................5 2.1. Основные понятия динамики конструкции...................................5 2.1.1. Число степеней свободы...............................................................5 2.1.2. Свободные и вынужденные колебания неконсервативного осциллятора..........................................................................................................7 2.1.3. Свободные и вынужденные колебания дискретных систем...10 2.2. Основная сейсмологическая информация...................................15 2.2.1. Характеристики силы землетрясения. Сейсмические шкалы 15 2.2.2. Количественные характеристики сейсмических движений грунта…………………………………………………………………………17 2.2.3. Синтезированная модель сейсмического воздействия СА-482 21..21 2.3. Общие принципы обеспечения сейсмостойкости АЭС..............24 2.3.1. Предварительные замечания......................................................24 2.3.2. Категории сейсмостойкости элементов АЭС...........................24 2.3.3. Требования по сейсмостойкости к элементам различных категорий……………........................................................................................26 3. Методы расчета конструкций на сейсмостойкость........................27 3.1. Предварительные замечания.........................................................27 3.2. Статическая теория сейсмостойкости..........................................27 3.3. Линейно-спектральная теория сейсмостойкости........................28 3.3.1. Предварительные замечания......................................................28 3.3.2. Модальные инерционные сейсмические нагрузки..................29 3.3.3. Модальный сейсмический отклик конструкции......................31 3.3.4. Суммарный расчетный сейсмический отклик системы..........32 3.3.5. Число собственных форм, учитываемых в расчете.................34 2

3.3.6. Преимущества и недостатки линейно-спектральной теории 35 3.4. 4. Динамический метод......................................................................36 Модельная задача для защемленной балки.....................................39 4.1. Задача о свободных колебаниях....................................................39 4.1.1. Метод МКЭ. Основные соотношения.......................................39 4.1.2. Блочный метод Ланцоша............................................................40 4.1.3. Аналитическое решение.............................................................42 4.1.4. Конечно-элементное решение....................................................44 4.1.5. Сравнение с аналитическим решением....................................45 4.2. Статический метод.........................................................................47 4.2.1. Постановка задачи.......................................................................47 4.2.2. Расчет в программном комплексе ANSYS................................48 4.3. Линейно-спектральный метод.......................................................51 4.3.1. Постановка задачи.......................................................................51 4.3.2. Расчет в программном комплексе ANSYS................................53 5. Динамический анализ системы с одной степенью свободы..........56 5.1. Аналитическое решение................................................................56 5.2. 6. 7. 3 Решение в комплексе ANSYS.......................................................58 Заключение.........................................................................................59 Список литературы............................................................................60

1. Введение Во все времена человечество старалось предотвратить разрушительные последствия землетрясения такие, как разрушение важных промышленных объектов, жилых зданий, гибель людей. В последнее время достигнуты результаты в таких науках, как геология, механика грунтов, появились новые методы строительства и новые материалы для строительства. Также появилась потребность в качественных прогнозировании сейсмостойкости таких ответственных объектов как АЭС, в результате чего начали разрабатываться специальные метода для оценки их сейсмостойкости, прочности и работоспособности. Объект данного исследования: методы расчета сейсмостойкости различных сооружений на примере задачи о защемленной балке, анализ результатов и сравнение методов, выявление достоинств и недостатков каждого из них. Цель исследования: разобраться в методах расчета в программном комплексе ANSYS на примере некоторой модельной задаче, для которой эти расчеты несложно проводятся, разобраться в их достоинствах и недостатках. Проблема исследования данных методах была затронута в таких книгах, как «Экстремальные воздействия на сооружения» А.Н. Бирбраера и А.Ю. Роледера и «Расчет конструкций на сейсмостойкость» А.Н. Бирбраера, на которую автор опирался при написании данной работы. В книге А.Н. Бирбраера и А. Ю. Роледера «Экстремальные воздействия на сооружения» авторы сразу начинают рассказ о системе с n степенями свободы и описывают метод линейно-спектрального анализа для расчета таких систем, а также метод динамического анализа, но применительно к системам с n степенями свободы. Практически все формулы даны без вывода, и автор ссылается на книгу А.Н. Бирбраера «Экстремальные воздействия на сооружения». В книге А.Н. Бирбраера «Расчет конструкций на сейсмостойкость» сказано и пояснено на рисунках, как приводить сложную систему к более простой – с n степенями свободы, подробно рассказано про все основные методы расчета на сейсмостойкость: статический, линейно-спектральный и динамический. Попробуем и мы разобраться с этими методами, тоже рассматривая несложные системы. 4

2. Основы расчета конструкций на сейсмостойкость1 2.1. Основные понятия динамики конструкции 2.1.1. Число степеней свободы Расчет любой конструкции (здания, трубопроводов) начинается с выбора ее расчетной модели, т.е. аналитической модели, описывающей поведение реального прототипа. Требования к такой схематизации противоречивы: с одной стороны, уменьшить трудоемкость расчетов и сделать результаты достаточно ясными, а с другой – данная модель должна обеспечивать требуемую точность результатов. Простейшей расчетной схемой, при которой исключаются податливость конструкции и опор, является представление конструкции в виде абсолютного твердого тела на недеформируемой опоре. Если учитывать податливость нужно, то выбирается более сложная расчетная схема. Число степеней свободы - количество взаимно независимых координат системы, однозначно определяющих ее положение в пространстве. Также есть разделение на дискретные и континуальные системы. Первые имеют конечное число точек и степеней свободы, а континуальные – бесконечное число степеней свободы. Все реальные тела являются сплошными, но иногда можно их свести к более простым моделям, учитывающие динамические характеристики конструкции и воздействия, а также имеющиеся в наличии программные комплексы. Нужно отметить, что одна и та же конструкция может иметь несколько расчетных моделей. 1 [1], Бирбраер А.Н. Расчет конструкций на сейсмостойкость.-СПб.: Наука, 1998.-255 c 5

Рис.1.1 Примеры схематизации конструкций в виде системы с одной степенью свободы На рис. 1.1 представлены примеры расчетных моделей с одной степенью свободы, линейные осцилляторы – так называется простейшая упругая система с одной степенью свободы. На рис.1.1 а показано здание типа пакгауза, которое представляется в виде осциллятора. «Пружиной» в данном случае служит жесткость колонн, масса равна сумме масс фермы, кровли и части ограждающих конструкций. Другой пример рис 1.1 б: колебания симметричного здания на податливом основании при вертикальном сейсмическом воздействии, пружина – упругость основания. Как осцилляторы могут быть рассмотрены и конструкции на рис.1.1 в, 1.1 г. Также можно схематизировать здание в виде системы с несколькими степенями свободы, как на рис.1.2. Рис.1.2 Примеры схематизации конструкции в виде системы с n степенями свободы Рис.1.2 а – жесткое симметричное здание на упругом основании, например, реакторное отделение АЭС. Как показано в дальнейшем, при горизонтальных сейсмических воздействиях вертикальные колебания не возбуждаются, а потому можно рассматривать систему с 2 степенями свободы (x – координата, φ – угол поворота). Если центр жесткости здания не лежит над центром жесткости основания, то будет 3 степени свободы (рис.1.2 б). Аналогично здание сводится и к системе с 9 степенями свободы (рис.1.2 в). Аналогично реальную систему можно свести и к континуальным системам, таким, как консольный стержень и т.д. Если при рассмотрении конструкции потери энергии не учитываются, то система – консервативная, если учитываются – то неконсервативная или диссипативная. 6

2.1.2. Свободные и вынужденные колебания неконсервативного осциллятора Рассмотрим прямолинейные колебания массы m с пружиной жесткостью k (на рис.1а) Пусть помимо упругой реакции опор на массу действуют силы неупругого сопротивления, которые вызывают потери энергии системы. Для их наименования используются равноправные термины: демпфирование, затухание, трение, диссипация и рассеяние энергии. Простейший закон сопротивления – сила, пропорциональная скорости (вязкое затухание или затухание по Фойгту-Кельвину). Такая система называется линейным неконсервативным осциллятором. Он совершает свободные затухающие колебания, описываемые дифференциальным уравнением: m x́ + b x́ + kx=0 (1.1) После деления на m оно преобразуется к виду: x́+ 2ξω x́ +ω 2 √ где ω = x =0 , (1.2) c m (1.3) – собственная круговая частота системы, рад/c, ξ – безразмерный коэффициент демпфирования, ξ Если ξ b 2 mω = = b 2 √ km . (1.4) <1, то проинтегрировав дифференциальное уравнение с начальными условиями x(0)=0 , x́ (0) =0 , получим следующее решение, описывающее затухающие колебания: −ξωt ω x=A* e sin( d t + α), где ωd ωd 2 = ω∗√ 1−ξ – частота с учетом демпфирования, 7 (1.5 а) (1.5 б)

2 А = xo + x́ 0 2 (¿ ¿❑+ x 0 ξω ) (1.5 в) ωd 2 √¿ А – амплитуда, x´0 + x´ 0 ξω α = arctg ω d∗x0 (1.5 г) α – начальная фаза. Через ω можно вычислить число циклов f (Гц) в секунду: ω = 2πf . ξ Видно, что при =1 ωd апериодически к положению равновесия. уровень демпфирования, колебательным. демпфированием. при Это значение Часто =0, то есть ξ представляет собой пороговый котором ξ масса стремится движение =1 перестает быть называется критическим затухание системы задается в процентах от критического, причем в реальных зданиях ξ <<1. В этом случае ωD ≈ ω . Кроме относительного затухания ζ, применяются и иные количественные характеристики потерь энергии. Наиболее часто используют логарифмический декремент колебаний δ, равный натуральному логарифму отношения двух последовательных максимальных отклонений массы осциллятора в одну сторону, и коэффициент поглощения ψ, представляющий собой отношение количества энергии, рассеиваемой за один цикл, к её полному количеству перед началом цикла. Эти характеристики связаны соотношениями: ψ 2 πζ δ= = . 2 √ 1−ζ 2 (1.6) Как видно из (1.3), (1.4), собственная частота и коэффициент демпфирования зависят только от свойств самой системы (массы или момента инерции, жесткости, потерь энергии), но не зависят от начальных условий, т.е. от того, как именно система выведена из положения равновесия. Таким образом, они являются параметрами самой системы. Напротив, амплитуда и начальная фаза не могут рассматриваться как параметры системы, поскольку зависят от начальных условий. Отметим, что указанное свойство частоты 8

присуще только линейным системам, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями. Если же система нелинейная (жсткость зависит от перемещения, то частота уже может зависеть от начальных условий, то есть уже не являться параметром системы. Если масса совершает вынужденные колебания под действием силы F( t) (силовое возмущение), то её перемещения описываются уравнением: m x́ +b x́ +kx=F ( t ) , (1.7) которое после деления на массу приводится к виду x́+ 2ζω x́+ ω2 x= F (t) . m (1.8) Его общее решение при нулевых начальных условиях можно записать в виде интеграла Дюамеля: t x ( t )= 1 F(τ )e−ζω(t −τ ) sin [ ω D (t−τ ) ] dτ ∫ mω D 0 При землетрясении основание движется с ускорением действует переносная возмущение). Подставив её сила в инерции (1.8), получим F ( t )=−m X́ 0 ( t ) (1.9) X́ 0 ( t ) , и на массу (кинематическое дифференциальное относительных перемещений массы в системе координат x0 z , уравнение связанной с основанием (см. рис. 1.1,а): 2 x́+ 2ζω x́+ ω x=− X́ 0 ( t ) . (1.10) Его решение получим, подставив F( t) в (1.9): t −1 x ( t )= ∫ X́ 0 ( τ ) e−ζω (t −τ ) sin [ ω D ( t−τ ) ] dτ . ωD 0 9 (1.11)

При выполнении сейсмических расчетов часто требуется знать x́ a= x́ + X́ 0 . абсолютное ускорение массы Продифференцировав (1.11), получим, что при обычных малых значениях ζ справедливо 2 x́ a ≈−ω D x ≈ ω D x́ . (1.12) Практически законы перемещений осциллятора можно найти, вычислив (или скоростей, ускорений) интегралы (1.9), (1.11) в t . Для получения достаточной последовательные моменты времени точности решения шаг по времени ∆ t должен быть в несколько раз меньше периода синуса в подинтегральной функции ∆ t ≤ T D /(8 ÷ 10) T D =2 π /ω D [обычно принимают ]. 2.1.3. Свободные и вынужденные колебания дискретных систем Свободные колебания линейной системы с n степенями свободы без рассеяния энергии (рис. 1.2), а также континуальных или комбинированных систем после применения к ним той или иной процедуры дискретизации описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений [ M ] { ú } + [ K ] {u }={ 0 } , где { u }−¿ (1.13) вектор-столбец перемещений (размерность n ×1 ); [M] и [ K ] −¿ соответственно матрицы масс и жесткостей ( n ×n ). Динамическими характеристиками таких систем являются собственные частоты и собственные формы (или моды), смысл которых можно объяснить следующим образом. При произвольных начальных условиях { u(0) } ={ uo } ; { ú(0)} ={ ú0 } , (1.14) Существуют такие начальные условия, при которых колебания по всем степеням свободы будут гармоническими, причем с одной и той же частотой. Очевидно, что при этом в любой момент времени между координатами системы сохраняются одни и те же соотношения (говорят, что не изменяется «конфигурация» системы). Число таких конфигураций и соответствующих им 10

частот равно порядку системы (т.е. вектора перемещений { u } ). Для -й конфигурации этот вектор имеет вид: {u j }= {ϕ j } sin ω j t , {ϕ j }−¿ где поскольку j−¿ вектор амплитуд, который называется j−¿ формой (или называется (1.15) j−¿ sin ω j t й собственной й модой); соответствующая круговая частота ωj й собственной частотой. Подставим (1.15) в (1.13), и не равен тождественно нулю, приходим к определителю: det ( [ K ] −ω j2 [ M ] )=0, det ( [ A ] −ω j2 [ E ] ) =0, (1.18) (1.19), −1 где [ A ] =[M ] [ K ] . Подставив полученные собственные частоты ωj в систему уравнений (1.17) и решив её, найдем соответствующие собственные формы {ϕ j }. Но равенство (1.18) означает, что одно из уравнений этой системы является линейной комбинацией остальных, т.е. фактически для нахождения неизвестных мы располагаем только n−1 n уравнением. Поэтому одну из неизвестных (т.е. одну из компонент вектора {ϕ j } ) можно принять произвольной, а остальные выразить через неё. Таким образом, собственные формы определяются с точностью до постоянного множителя (т.е. вектор с {ϕ j } , где с – произвольная константа, также является собственной формой). Они удовлетворяют следующим двум условиям ортогональности: T {ϕ j } [ M ] {ϕ k }= T {ϕ j } [ K ] { ϕ k }= 11 { 0 при j ≠ k ; 2 ‖ϕ j‖ при j=k ; { 0 при j ≠ k ; 2 ω j ‖ϕ j‖ при j=k , 2 (1.20) (1.21)

2 T ϕ ϕ [ M ] { ϕ j } – число, называемое квадратом нормы вектора { ϕ j } . { } ‖ ‖ j j где = Иногда при вычислении собственных форм постоянные множители задают 2 так, чтобы ‖ϕ j‖ =1 (нормируют векторы). Собственные частоты и собственные формы системы зависят только от её масс и жесткостей (матриц [ M ] и[ K ] ), но не от начальных условий. Поэтому они являются характеристиками самой системы. Перейдем теперь к рассмотрению вынужденных колебаний линейных дискретных систем. При использовании затухания по гипотезе ФойгтаКельвина колебания такой системы описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений: [ M ] { ú } + [ C ] { ú } + [ K ] {u }={ F ( t ) } , (1.22) где [C ] – матрица диссипации энергии; {F (t) } – вектор нагрузки. В случае кинематического (сейсмического) возмущения в качестве нагрузки выступают переносные силы инерции, и (1.22) преобразуется к виду [ M ] { ú } + [ C ] { ú } + [ K ] {u }=−[ M ]{J x } X́ 0 ( t ) , где {u } (1.23) – вектор относительных перемещений (в системе координат, {J } x связанной с основанием – см. рис. 1.2,в); – вектор, компонентами которого являются косинусы углов между направлениями перемещений по степеням свободы и вектором ускорения основания. Если одновременно учесть три компоненты сейсмических ускорений основания X́ 0 ( t ) , Ý 0 ( t ) , Ź 0 ( t ) , то (1.23) перепишется в виде: [ M ] { ú } + [ C ] { ú } + [ K ] {u }=−[ M ] ( { J x } X́ 0 ( t )+ { J y } Ý 0 ( t ) + { J z } Ź 0 ( t ) ) , где компоненты векторов { J x} , { J y } и {J z} (1.23,а) определяются так же, как описано выше. Поскольку система уравнений линейна, её решение является суммой решений систем, соответствующих независимому возмущению по каждой из компонент, т.е. аналогичных (1.23). Решение всех рассмотренных систем дифференциальных уравнений может находиться методами прямого пошагового интегрирования. 12

В случае линейной системы часто используется другой способ решения – разложение движения по собственным формам (или модальная суперпозиция). Рассмотрим эту процедуру на примере уравнения (1.23). Решение отыскивается в виде: n { u ( t ) }=∑ { ϕ j } q j ( t ) , (1.24) j=1 n где – число степеней свободы системы; q j (t ) – нормальные или обобщенные координаты (неизвестные пока функции времени, подлежащие T определению). Подставим (1.24) в (1.23) и домножим слева на вектор { ϕ i } : n T T n n T T {ϕ i } [ M ] ∑ {ϕ j } q́ j (t ) ,+{ ϕ i } [ C ] ∑ {ϕ j } q́ j ( t ) ,+ {ϕ i } [ K ] ∑ {ϕ j } q j ( t ) ,=−{ϕ i } [ M ] {J x } X́ 0 ( t ) . j=1 j=1 j=1 (1.25) Будем предполагать, что для матрицы диссипации [C ] выполняется условие ортогональности, аналогичное условиям (1.20) и (1.21): T {ϕ i } [ C ] { ϕ j }= { 0 при i ≠ j ; 2 2 ζ ω j‖ϕ j‖ при i= j . Тогда в силу (1.20), (1.21) и (1.25), для всех i≠ j (1.26) уравнения обратятся в нуль, а для нахождения q j (t ) получим дифференциальное уравнение единственной оставшейся координаты 2 2 2 T ‖ϕ j‖ q́ j+ 2ζ ω j‖ϕ j‖ q́ j+ ω j2‖ϕ j‖ q j=¿− {ϕi } [ M ] {J x } X́ 0 ( t ) . (1.27) Таким образом, вместо связанной системы дифференциальных уравнений мы получаем n независимых уравнений. По смыслу функции q j (t ) производных в уравнении (1.27) его коэффициенты часто называют так: j−¿ я модальная (или обобщенная) масса 2 T m ¿j=‖ϕ j‖ ={ ϕ j } [ M ] { ϕ j } j−¿ 13 я модальная жесткость ; (1.28) и её

2 k ¿j=ω j2‖ϕ j‖ ; (1.29) j−¿ й модальный коэффициент диссипации энергии 2 b¿j=2 ζ ω j‖ϕ j‖ . (1.30) 2 Разделив (1.27) на ‖ϕ j‖ , получим q́ j +2 ζ ω j q́ j +ω j2 q j=¿−Γ j X́ 0 ( t ) , (1.31) T {ϕ } [ M ] { J x } Γ j= i . 2 ‖ϕ j‖ Как можно видеть, осциллятора (1.11) (1.32) (1.31) только отличается от уравнения Γj множителем в колебаний правой части, масштабирующим воздействие. Он называется модальным коэффициентом участия и показывает, какой вклад вносит отклик системы (например, если Γ j=0 j−¿ я собственная форма в общий , то это означает, что колебания по данной собственной форме не возбуждаются). Введем новую функцию ϑ j (t) посредством соотношения q j (t )=Γ j ϑ j (t) (1.33) и подставим её в (1.31). Тогда для её нахождения получим дифференциальное уравнение, уже полностью аналогичное (1.11) (подчеркнем, что ϑ j ( t ) , ϑ́ j ( t ) , ϑ́ j (t) – это относительные перемещение, скорость и ускорение). Возвращаясь к формуле (1.24), получим n { u ( t ) }=∑ { η j } ϑ j ( t ) , j=1 (1.34) где использовано обозначение {η j }= {ϕ j } Γ j . 14 (1.35)

В сумме (1.34) j -й член – это вектор модальных перемещений. Между векторами { η j } и вектором { J x } существует соотношение n { J x } =∑ { η j } , (1.36) j=1 которое в дальнейшем будет использоваться для оценки сейсмических расчетов. Оно доказывается следующим образом. точности ϕ J Примем { j } за базисные векторы и разложим по ним { x } : n { J x } =∑ c j { ϕ j } . (1.37) j=1 Для нахождения коэффициентов cj воспользуемся тем же приемом, что и при разложении уравнения (1.23), а именно, домножим слева обе части T (1.37) на { ϕ i } [ M ] : T T n {ϕ i } [ M ] {J x }= {ϕ i } [ M ] ∑ c j {ϕ j }. j =1 (1.38) В силу условия ортогональности (1.20) все члены, для которых i≠ j , обращаются в нуль, а из единственного оставшегося члена находим, что c j =Γ j . Подставив найденные коэффициенты в (1.37), получим n { J x }=∑ Γ j { ϕ j } , j=1 (1.39) что с учетом (1.35) эквивалентно равенству (1.36). Для определения сейсмических инерционных нагрузок на сооружение необходимо знать абсолютные ускорения его точек. Их вектор равен: {úa (t )}= {ú ( t ) } + { J x } X́ 0 ( t ) . С учетом (1.34) и (1.35), n {úa (t )}=∑ {η j } [ ϑ́ j ( t ) + X́ 0 ( t ) ] . j=1 15 (1.40)

Сумма функций в квадратных скобках – это абсолютное ускорение, отвечающее j−¿ й собственной форме и вычисляемое по формулам (1.12) и (1.13). Обозначим его ϑ́ j a ( t ) : ϑ́ ja ( t )=ϑ́ j ( t ) + X́ 0 ( t ) . (1.41) Тогда окончательно имеем n {úa (t )}=∑ {η j } ϑ́ ja ( t ) . j=1 (1.42) Использование метода модальной суперпозиции позволяет вместо интегрирования связанной системы дифференциальных уравнений выполнять значительно более простое интегрирование независимых уравнений. При этом, если воздействие является низкочастотным (например, землетрясение, ветер, и т.п.), в сумме (1.34) можно учитывать лишь несколько первых слагаемых, так как вклад высших собственных форм незначителен. Это является главным преимуществом данного метода. Задача о расчете нелинейных систем (нелинейно-упругих, упругопластических и т.п.) может быть сведена к решению систем дифференциальных уравнений вида (1.23), в которых матрицы жесткостей и диссипации (а для геометрически нелинейных систем – и вектор нагрузок) зависят от значений компонент вектора перемещений { u } . К нелинейным системам, в отличие от линейных, неприменим принцип суперпозиции решений, т.е. реакция системы на несколько одновременных воздействий не равна сумме реакций на каждое из них. Поэтому, скажем, при одновременном учете нескольких компонент сейсмического возмущения должно использоваться уравнение типа (1.23,а), а не (1.23). Нелинейные системы не имеют собственных форм и частот (т.е. характеристик самой системы, зависящих только распределения её масс и жесткостей, но не от начальных условий). Таким образом, получить решение системы нелинейных дифференциальных уравнений путем разложения движения по её собственным формам невозможно. Имеются специальные методы интегрирования, в которых это решение отыскивается в виде разложения по собственным формам некоторой другой, линейной системы. Однако чаще в этом случае используется прямое пошаговое интегрирование. 16

2.2. Основная сейсмологическая информация 2.2.1. Характеристики силы землетрясения. Сейсмические шкалы Для проектирования сейсмостойких сооружений необходимо, прежде всего располагать достоверными количественными характеристиками сейсмических движений грунта, которые можно получить только на основе записей реальных землетрясений. Одновременно с развитием инструментальных методов сейсмологии в разных странах разрабатывались эмпирические сейсмические шкалы, задача которых являлась систематизация опыта прошлых землетрясений, чтобы на его основе предсказывать интенсивности будущих. Ниже дано их описание, но прежде чем перейти к нему, приведем несколько понятий инженерной сейсмологии. Рис. 1.4. Некоторые понятия инженерной сейсмологии: характеристики положения очага землетрясения: 1 – очаг (фокус, гипоцентр); 2 – эпицентр; h - глубина очага; ∆ - эпицентральное расстояние Место выделения энергии при тектонических землетрясениях именуется очагом (используются также наименования фокус и гипоцентр); его глубину обозначим h . Расположенная над ним точка земной поверхности называется эпицентром, а расстояние до неё – эпицентральным расстоянием ∆ (рис. 1.4). Линии равной интенсивности землетрясения называются изосейстами. В идеальном случае они представляют собой концентрические окружности с центром в эпицентре (рис. 1.5), но в действительности имеют более сложную форму, зависящую от геологического строения основания, локальных грунтовых условий и других факторов. 17

Рис. 1.5. Изосейсты (Карпатское землетрясение 1977 г.) Для характеристики землетрясения Гутенберг и Рихтер в начале 40-х годов XX-го века предложили понятие магнитуды M (шкала Рихтера, или шкала магнитуд). Она определяется на основе инструментальных записей сейсмических колебаний и показывает общее количество энергии, выделившейся при землетрясении. Наиболее слабому местному землетрясению соответствует значение масштаба M ≈ 8. M ≈ 4 ÷ 5, а катастрофе планетарного По теоретическим оценкам наибольшее возможное значение M =8.5 ÷ 9.2 . Следует подчеркнуть, что магнитуда характеризует явление, произошедшее в очаге. Но разрушительность землетрясения зависит не только от количества выделившейся энергии, но и от глубины очага, эпицентрального расстояния, грунтовых условий площадки строительства и ряда других факторов. Для характеристики разрушительного эффекта служат шкалы сейсмической интенсивности, измеряемой в баллах I. Сегодня в мире используют главным образом следующие три шкалы интенсивности: модифицированную шкалу Меркалли (MM) (версия 1956 г.); шкалу, разработанную в 1964 г. Медведевым, Спонхойром и Карником (MSK-64); шкалу Японского метеорологического агентства (JMA). В нашей стране принята шкала MSK-64. Все названные шкалы содержат две части: макросейсмическую (описательную) и инструментальную. Первая устанавливает интенсивность землетрясения на основе субъективных оценок, вторая – количественные 18

характеристики сейсмических инструментальных записей. движений грунта, полученные путем 2.2.2. Количественные характеристики сейсмических движений грунта Пиковые значение сейсмических движений грунта. Каждому баллу сейсмической шкалы соответствуют определенные значения максимальных («пиковых») значений движения грунта: перемещение и ускорение A max . Dmax , скорость V max Обычно наибольший интерес представляет пиковое ускорение, так как ему пропорциональны действующие на сооружение инерционные сейсмические силы. В табл. 1.1 даны значения этих ускорений по трем названным выше сейсмическим шкалам. Таблица 1.1. Пиковые ускорения грунта при землетрясениях различной интенсивности Следует учитывать следующие два обстоятельства. Во-первых, ускорения, приведенные в табл. 1.1, соответствуют обычным землетрясениям, в то время как в некоторых специфических случаях расхождение между макросейсмическими и инструментальными данными может оказаться весьма значительным. Например, при одном из землетрясений ускорение грунта достигало 418 см /с 2 , но повреждения сооружений были умеренными. И напротив, известны случаи сильных разрушений при относительно небольших ускорениях. Законы сейсмических колебаний грунта. Наиболее полным представлением сейсмических движений грунта является закон его колебаний. 19

Различают три типа таких законов: сейсмограмма «перемещение-время»), акселерограмма a( t) велосиграмма v (t ) d (t) (зависимость («скорость-время») («ускорение-время»). Примеры и записей, соответствующих одному и тому же землетрясению, приведены на рис. 1.6. Как видно, наиболее высокочастотный характер имеет акселерограмма, а наименее – сейсмограмма. Поскольку сейсмические движения грунта являются пространственными, законы их колебаний задаются тремя компонентами: двумя ортогональными горизонтальными и вертикальной. Рис.1.6. Примеры записей сейсмических колебаний грунта (Эль-Центро, Калифорния, 18.05.1940, компонента N-S): а) акселерограмма; б) велосиграмма; в) сейсмограмма Спектры отклика. Часто используют иной способ задания сейсмического воздействия: с помощью так называемых спектров отклика, характеризующих динамическую реакцию простейшей механической системы – линейного неконсервативного осциллятора. Впервые этот способ был использован американскими учеными Био и Беньоффом. Его смысл заключается в следующем. Как ясно из формулы (1.12), реакция осцилляторов с различными параметрами, а именно, круговыми частотами ω (или частотами f ) и коэффициентами диссипации энергии ζ , на возмущение, заданное одной и 20

той же акселерограммой S a (f , ζ) X́ 0 ( t ) , максимальных будет различной. Можно найти зависимость значений модуля абсолютных ускорений осциллятора от его частоты и потерь энергии. Это зависимость называется спектром отклика по ускорениям, или просто спектром ускорений. Аналогичным образом могут быть определены спектр скоростей S v ( f , ζ) и спектр перемещений S d ( f ,ζ ) , представляющие собой зависимости максимумов модулей относительных (в системе координат, связанной с основанием) скоростей и перемещений осцилляторов от их параметров. Рис. 1.7. Спектр отклика S a ( f , ζ) и амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) спектра Фурье акселерограммы землетрясения В сейсмических расчетах наиболее часто применяют спектры ускорений. Их общий характер ясен из рис. 1.7, где для сравнения нанесена амплитудночастотная характеристика (вещественная часть трансформанты Фурье) той же акселерограммы. Как видно, наибольшие значения спектральных ускорений достигаются в диапазоне преобладающих частот акселерограммы. Увеличение затухания ζ приводит к уменьшению ускорений. При частоте f =0 ускорения обращаются в нуль, а при частотах выше некоторого предела f =f УНП ускорения при любых затуханиях одинаковы и равны значению, именуемому ускорением нулевого периода (УНП). Это означает, что в данном диапазоне частот осциллятор реагирует на возмущение практически как твердое тело («осциллятор с периодом, равным нулю»), т.е. его относительные ускорения пренебрежимо малы. Иными словами, закон колебаний его массы аналогичен акселерограмме значению 21 A max . X́ 0 ( t ) , а УНП равно её максимальному Обычно при землетрясении частота f УНП ≤ 33 Гц .

Из формулы (1.13) следует, что три названные выше спектра отклика связаны между собой зависимостями 1 S ( f , ζ )=S v ( f , ζ )=2 πf Sd ( f , ζ ) . 2πf a (1.43) Поскольку проблема вычисления перемещений (скоростей, ускорений) осциллятора является линейной, спектры отклика можно определять по акселерограмме, у которой пиковое значение горизонтальных компонент 2 масштабировано до величины 1 g ( g=9.8 м/с – ускорение силы тяжести). Для получения действительных значений ускорений такие спектры следует умножить на реальное пиковое ускорение грунта A max (в долях g ). В этом случае спектр характеризует частотный состав сейсмических колебаний, а пиковое значение ускорения – интенсивность землетрясения. 2.2.3. Синтезированная модель сейсмического воздействия СА-482 Согласно Руководящему Техническому Материалу (РТМ) 108.020.37-81 («Оборудование атомных энергетических установок. Расчет на прочность при сейсмическом воздействии»), при отсутствии реальных характеристик сейсмического воздействия анализ сейсмостойкости энергооборудования рекомендуется проводить с использованием синтезированной модели сейсмического воздействия СА-482. Синтезированная модель сейсмического воздействия СА-482 состоит из синтезированной акселерограммы и соответствующих ей обобщенных безразмерных спектров коэффициента динамичности (СКД). Обобщенные СКД построены на основе статистического анализа и обработки более 100 наиболее представительных аналоговых акселерограмм, их спектров ответа, а также нормативных и обобщенных спектров ответа. Предварительно были определены сглаженные границы экстремальных значений СКД для относительного демпфирования k=0.05 (в данном пункте для удобства будем обозначать коэффициент относительного демпфирования ζ как k), и в их диапазоне получены кривые вероятностных уровней СКД. В качестве базового СКД (k=0.05) принята спектральная кривая с вероятностью превышения значений равной 0,2. Обобщенные СКД для других значений k 22

(рис. 1.8) получены по спектрам ответа синтезированной акселерограммы СА482. На рис. 1.8 изображены обобщенные СКД для различных значений k в логарифмическом масштабе шкалы частот, рекомендованные к использованию в РТМ 108.020.37-81. На рис. 1.9. представлен фрагмент из того же документа, иллюстрирующий сравнительный расчет поэтажных спектров ответа в здании реактора АЭС, где кроме СА-482 применялись нормированные к A_max=0.2g аналоговые акселерограммы землетрясений в Эль-Центро (США, N—S, 1940 г.), Бухаресте (N—S, 1977) и Газли (N—S, 1976). Рис.1.8. Обобщенные СКД синтезированной модели сейсмического воздействия СА-482 23

Рис.1.9. Поэтажные спектры ответа на отметке 14,1 м в здании реактора АЭС, полученные из расчетов на аналоговые акселерограммы и на СА-482 Синтезированная акселерограмма СА-482 представляет собой псевдогармонический процесс с непрерывно возрастающей частотой и переменной амплитудой. Расчеты поэтажных акселерограмм и спектров ответа подтвердили возможность использования СА-482 вместо аналоговых акселерограмм. При этом отмечаются её следующие очевидные преимущества.  СА-482 не избирательна к собственным частотам объекта; при отклонениях их значений в ту или другую сторону, из-за конструктивных изменений или погрешностей моделирования, уровни ответа объекта (в том числе, поэтажных акселерограмм и спектров ответа) на это воздействие не будут иметь резких изменений. Аналоговые акселерограммы, напротив, являются частотно—избирательными. Ответная реакция объекта при таких воздействиях может сильно изменяться в зависимости от его собственных частот. 24

СА-482 имеет малую продолжительность (4.3 с) по сравнению с большинством аналоговых акселерограмм (15 — 30 с), что существенно снижает трудоемкость расчетов и затраты времени.  СА-482 обобщает в себе свойства всех типов акселерограмм: низкочастотных (Бухарест), высокочастотных (Газли) и среднечастотных (ЭльЦентро). Её можно использовать вместо регламентируемой [Нормами] группы аналоговых акселерограмм (обычно, из 4—10 штук).  У синтезированной акселерограммы СА-482 частный СКД при k=0 близок по значениям к частному СКД при k=0.005. Следовательно, её можно использовать для динамического анализа систем, не учитывая в них диссипацию энергии (относительное демпфирование), когда это является очень проблематичным. Консервативность таких расчетов не будет чрезмерной, в отличие от случаев применения большинства реальных акселерограмм.  С помощью трех ортогональных акселерограмм СА-482 можно моделировать синхронное трехкомпонентное сейсмическое воздействие для консервативных расчётов сложных пространственных объектов. Применение в этом качестве аналоговых акселерограмм сопряжено со значительными неопределенностями в подборе компонент по их частотным характеристикам, длительностям, интенсивностям, фазовым сочетаниям, моментам времени проявления наибольшего влияния. Использование группы совместных трехкомпонентных записей акселерограмм устраняет перечисленные выше неопределенности. Однако такие записи чрезвычайно редки, и они также не решают проблемы достаточной консервативности (надежности) расчёта.  В дальнейших расчетах использовалась оцифровка синтезированной акселерограммы СА-482, приведённая к уровню максимального ускорения 0,4 g , что соответствует интенсивности сейсмического воздействия 9 баллов по шкале MSK-64. При использовании СА-482 в качестве вертикальной составляющей сейсмического воздействия значения её ускорений должны быть уменьшены путем умножения на коэффициент 0,67. 2.3. Общие принципы обеспечения сейсмостойкости АЭС 2.3.1. Предварительные замечания Подход к обеспечению сейсмостойкости АЭС отличается существенной спецификой по сравнению с иными объектами. Это обусловлено двумя обстоятельствами. 25

Во-первых, само понятие «сейсмостойкость» имеет для АЭС более широкий смысл, чем для обычных промышленных и гражданских сооружений. Если для последних под этим подразумевают прежде всего отсутствие недопустимых повреждений строительных конструкций, то под сейсмостойкостью АЭС понимают сохранение ею ядерной и радиационной безопасности. Очевидно, что это требование является более жестким, так означает сохранение не только целостности строительных конструкций, но и работоспособности оборудования, ответственного за безопасность. Во-вторых, АЭС являются объектами чрезвычайно высокой социальной ответственности, к безопасности которых предъявляются особо жесткие требования. Поэтому при их проектировании учитывают возможность реализации значительно более редких (а значит, и более сильных) землетрясений, чем для обычных сооружений. В то же время принципы обеспечения сейсмостойкости АЭС должны быть такими, чтобы, безусловно гарантируя безопасность, позволять, насколько это возможно, избежать неоправданного повышения затрат. 2.3.2. Категории сейсмостойкости элементов АЭС Как сказано выше, при землетрясении должна быть обеспечена радиационная и ядерная безопасность атомной станции. Однако не все её элементы в равной мере важны для этого, и нецелесообразно предъявлять к ним одинаково высокие требования по сейсмостойкости. Поэтому элементы АЭС (строительные конструкции, системы и оборудование) разбивают на категории сейсмостойкости, для которых принимается разная интенсивность сейсмического воздействия и к которым предъявляются неодинаковые требования. Обычно, в зависимости от ответственности элементов с точки зрения безопасности и (иногда) из экономических соображений, вводятся три категории сейсмостойкости. Основным критерием включения элемента АЭС в ту или иную категорию является доза облучения (дозовые нагрузки), которую в случае его отказа может получить персонал станции и население. Предельные значения дозовых нагрузок установлены санитарными правилами проектирования АЭС как для условий нормальной эксплуатации станции, так и при максимальной проектной аварии. В последнем случае допускаются несколько завышенные, но, тем не менее, безопасные для здоровья дозы. 26

В табл. 1.2 приведена классификация элементов АЭС по категориям сейсмостойкости и требования к ним согласно отечественным нормам [Нормы проектирования сейсмостойких атомных станций. ПиН АЭГ-5-006-87. М.:Энергоатомиздат, 1989]. Как видно из таблицы, в I категорию включаются наиболее важные элементы, выход которых из строя может привести к интенсивному облучению людей. Во II категорию входят менее ответственные элементы, отказ которых может привести к умеренному выходу радиоактивных веществ. Все остальные элементы АЭС составляют III категорию. Таблица 1.2. Классификация элементов АЭС по категориям сейсмостойкости и требования к ним (ПЗ – проектное землетрясение, МРЗ – максимальное расчетное землетрясение) 2.3.3. Требования по сейсмостойкости к элементам различных категорий Атомные станции проектируются исходя из двух расчетных уровней сейсмичности – более слабого проектного землетрясения (ПЗ), имеющего достаточно большую вероятность реализации за срок службы АЭС, и максимального расчетного землетрясения (МРЗ) с интенсивностью, предельно возможной на данной площадке строительства. Смысл разбивки элементов АЭС на категории заключается в том, что в зависимости от их ответственности дифференцируются требования по сейсмостойкости (см. табл. 1.2). 27

Как видно, элементы I категории во время и после ПЗ должны сохранять полную работоспособность; при МРЗ не должно произойти отказа элементов, необходимых для обеспечения безопасности АЭС, т.е. для её безопасной остановки и поддержания в остановленном состоянии. Элементы II категории должны сохранять работоспособность при любом землетрясении вплоть до ПЗ, при котором, согласно российским нормам, АЭС должна быть автоматически остановлена. При МРЗ никаких требований к ним н предъявляется, т.е. они могут быть разрушены. К III категории предъявляются требования по сейсмостойкости, как к неядерным объектам, т.е. они проектируются по общестроительным нормам. В частности, при интенсивности ПЗ ниже 7 баллов воздействие землетрясения на сооружения этой категории не учитывается. Согласно этим же нормам, сейсмостойкость оборудования не проверяется ни при какой интенсивности. 3. Методы расчета конструкций на сейсмостойкость2 3.1. Предварительные замечания В данном разделе описаны методы расчета конструкций на сейсмостойкость. Они основаны на анализе колебаний здания при сейсмическом движении основания. Однако их отличительной особенностью является принципиальная невозможность точного задания возмущающего воздействия, поскольку землетрясение представляет собой случайный процесс, конкретная реализация которого зависит от многих трудноучитываемых факторов. Поэтому сейсмические расчеты отличаются от расчетов на другие динамические нагрузки использованием специфических методов задания возмущающего воздействия и определения ответной реакции конструкции. Выбор метода сейсмического расчета обусловлен различными факторами: сложностью и ответственностью конструкции, соотношением её собственных частот и преобладающих частот воздействия, наличием необходимой вычислительной техники и программного обеспечения, объемом исходной информации, стоимостью и сроками работы и т.д. Целью расчета является определение ответной реакции конструкции (перемещений, ускорений, внутренних усилий и проч.) на сейсмическое возмущение. Для обозначения этой реакции ниже будет использоваться 2 Там же 28

обобщающее наименование отклик конструкции (системы) r (t) . Совокупность откликов в различных точках конструкции составляет вектор откликов { r ( t ) } . Их максимальные значения будем обозначать соответственно R 3.2. и { R} . Статическая теория сейсмостойкости Наиболее просто инерционные сейсмические нагрузки на конструкцию определяются, если все её собственные частоты выше частот воздействия (т.е. не меньше f УНП – см. п. 1.2.2). В этом случае вынужденными колебаниями конструкции можно пренебречь, т.е. она может рассматриваться как абсолютно твердое тело. Тогда максимальная инерционная сейсмическая нагрузка Fc , действующая на неё, равна Fc =mg A max , где m – масса конструкции; A max (2.1) – пиковое ускорение основания, заданное в долях g (на спектре отклика воздействия оно равно «ускорению нулевого периода», или УНП – см. рис. 1.7). Сила Fc приложена в центре тяжести конструкции, а распределение инерционных нагрузок пропорционально распределению масс. Для нахождения отклика конструкции следует решить обычную задачу статики. Данный подход называется статической теорией сейсмостойкости (или статическим методом). Для податливых конструкций вкладом вынужденных колебаний в сейсмическую реакцию часто пренебрегать нельзя, и поэтому сейсмические нагрузки на них должны определяться динамическими методами. 3.3. Линейно-спектральная теория сейсмостойкости 3.3.1. Предварительные замечания 29

В настоящее время для сейсмических расчетов конструкций, в том числе сооружений и оборудования АЭС, наиболее широко применяется линейноспектральная теория сейсмостойкости. Как ясно из названия, она использует исходное сейсмическое воздействие, заданное в виде спектров отклика [чаще всего спектров ускорений S a (f , ζ) ]. Ниже предполагается, что при расчете этих спектров сейсмическое движение основания масштабировано так, что горизонтальное пиковое ускорение равно 1g , т.е. при f ≥ f УНП S a (f , ζ )≡ 1. Интенсивность землетрясения задается величиной пикового ускорения основания A max (в долях g ). Данный метод расчета основан на разложении системы дифференциальных уравнений движения по собственным формам. Согласно ему, анализ сейсмостойкости включает следующие этапы: а) по спектрам отклика вычисляют модальные (т.е. соответствующие каждой из собственных форм) инерционные сейсмические нагрузки, зависящие от собственных частот и форм; б) эти нагрузки прикладывают как статические и определяют модальные отклики конструкции (перемещения, моменты, поперечные и продольные силы и т.п.); в) вычисляют суммарный («расчетный») сейсмический отклик, суммируя модальные отклики по специальным формулам; г) используя суммарный отклик в соответствующей комбинации с иными нагрузками, оценивают сейсмостойкость конструкции. Как можно видеть, величина и распределение инерционных нагрузок зависят от собственных частот и форм конструкции, но затем нагрузки рассматриваются как статические, т.е. данный метод является квазистатическим. 3.3.2. Модальные инерционные сейсмические нагрузки Максимальное значение инерционной сейсмической нагрузки, действующей на прямолинейно движущийся линейный осциллятор (рис. 2.2), равно Fc =mg A max S a ( f , ζ ) , 30 (2.10)

где m – масса осциллятора; коэффициент диссипации энергии; спектра ускорений. Если f ≥ f УНП , f ,ζ Sa (f , ζ ) – его собственная частота и – соответствующее им значение A max Sa ( f , ζ ) ≡ A max , то и в этом диапазоне частот равенства (2.10) и (2.1) эквивалентны, т.е. мы приходим к статической теории сейсмостойкости. Рис.2.2. Максимальная инерционная сейсмическая нагрузка на прямолинейно движущийся осциллятор Для дискретных систем со многими степенями свободы определение инерционных сейсмических нагрузок по линейно-спектральной теории сейсмостойкости основано на разложениях (1.42). Для дискретной системы максимальное {η j } A max S a ( f j , ζ j ) , значение где fj j−¿ и го ζj слагаемого в – соответственно сумме j−¿ (1.42) равно я собственная частота и коэффициент диссипации энергии по данной форме. Следовательно, вектор j−¿ й модальной инерционной сейсмической нагрузки (рис. 2.3) { F cj }=g [ M ] { η j } A max Sa ( f j , ζ j ) , (2.11) где [ M ] – матрица масс системы. 31

Рис. 2.3. Инерционные сейсмические нагрузки на систему с n степенями свободы: а) расчетная схема с тремя степенями свободы; б) сейсмические нагрузки, отвечающие различным собственным формам ηj Для континуальных систем коэффициенты , а следовательно, и инерционные сейсмические нагрузки представляют собой непрерывные функции координат. В частности, для стержня j−¿ я модальная инерционная сейсмическая нагрузка (рис. 2.4) ξ cj ( z )=gμ ( z ) η j ( z ) A max S a ( f j , ζ j ) , (2.12) где μ ( z ) – погонная масса, а η ( z ) вычисляется по формуле η j( z)=Γ j ϕ j ( z ) , где ϕ j (z ) – j−¿ (2.13) я собственная форма; Γj – коэффициент её участия: l ∫ μ ( z ) ϕ j (z)dz Γ j= 0 l ∫ μ ( z ) ϕ j2 (z) dz . (2.14) 0 Вместо инерционных сейсмических нагрузок можно вычислять относительные модальные перемещения в системе координат, связанной с движущимся основанием. Продемонстрируем это на примере дискретной системы. Заметим, что произведение сомножителей в правой части (2.11), 32

кроме матрицы [ M ] , представляет собой вектор максимальных абсолютных ускорений точек системы, соответствующих j−¿ й моде. Следовательно, максимальные относительные модальные перемещения могут быть получены из него путем деления на квадрат круговой частоты {ucj }= ω j=2 π f j g η A S f ,ζ j ) . 2 { j } max a ( j ωj [см. (1.43)]: (2.15) Аналогично можно вычислить относительные перемещения для системы с одной степенью свободы и континуальной системы. 3.3.3. Модальный сейсмический отклик конструкции Для систем с одной степенью свободы инерционные нагрузки, вычисленные согласно (2.10), можно непосредственно использовать для проверки сейсмостойкости конструкции. В случае системы со многими степенями свободы, учитывая её линейность, можно приложить к конструкции модальные инерционные сейсмические нагрузки (2.11), рассматриваемые как статические, и найти вектор {R j} максимальных значений интересующего модального отклика системы (напряжений, перемещений, моментов, сил и т.п.): { R j }=[ T ] { F cj }=g [ T ][ M ] {η j } A max Sa ( f j , ζ j) , (2.16) где [T ] – матрица перехода от нагрузок к соответствующему отклику системы. Можно переписать это выражение в виде R j } A max Sa ( f j , ζ j ) , { R j }=g {~ (2.17) ~ где, как и в (2.8), { R j }= [ T ] [M ] { η j } – отклик, соответствующий значению A max Sa ( f j , ζ j )=1. Таким же образом с помощью равенства (2.12) можно найти максимумы модальных откликов континуальной системы. 33

3.3.4. Суммарный расчетный сейсмический отклик системы Хотя максимумы модальных откликов системы нам известны, однако в общем случае они достигаются неодновременно. Непосредственно определить сдвиг максимумов по времени невозможно, поскольку в расчетах по спектрам отклика мы не получаем зависимости сейсмических реакций системы от времени. Поэтому возникает проблема вычисления максимального (расчетного) сейсмического отклика системы по максимумам её модальных откликов. Для этой цели был предложен целый ряд способов, применяемых в зависимости от соотношения собственных частот системы. Обозначим j−¿ й элемент вектора отклика k −¿ представляет собой отклик в {R j} через R jk . Он й точке системы при её колебаниях по j−¿ й собственной форме. Вектор суммарных откликов системы обозначим {R a } , а соответствующий его элемент Rak . Кроме того, число учитываемых в расчете собственных форм, а n, s обозначает как и прежде, их общее число (т.е. число степеней свободы системы). В п. 2.4.5 будет показано, что обычно можно принимать s <n , что является одним из преимуществ линейно-спектральной теории. Простейший способ определения суммарного отклика – принять, что все модальные отклики, за исключением j−¿ го, взаимно уничтожаются, и учитывать только одну собственную форму, т.е. принять Rak =R jk . Такой подход даёт нижнюю оценку отклика. Для более точной оценки необходимо учитывать вклад более чем одной собственной формы. Простейший из способов такого учета – суммирование откликов по модулю: s Rak =± ∑ |R jk|. j=1 (2.18) Это равносильно предположению, что все их максимумы достигаются одновременно и совпадают по знаку. В общем случае данная формула даёт верхнюю оценку для 34 Rak .

Другой часто используемый способ суммирования – квадратный корень из суммы квадратов модальных откликов (ниже он будет именоваться «Правило ККСК» или «SRSS» - Square Root of Sum of Squares): Rak =± Полученную так величину √ s ∑ R jk 2 . (2.19) j =1 Rak обычно называют «наиболее вероятным значением отклика». Такое название обоснованно в том случае, когда коэффициенты корреляции между модальными откликами равны нулю, т.е. модальные отклики системы предполагаются взаимно некоррелированными. На практике это допущение удовлетворительно подтверждается, если соответствующие собственные частоты достаточно сильно различаются между собой. Однако для сложных систем со многими степенями свободы это условие может не выполняться. Данное обстоятельство учитывается так называемым «Правилом 10 процентов», являющимся модификацией предыдущего. Согласно ему, собственные частоты системы разбивают на две группы: близко и далеко расположенные друг от друга. Две частоты f1 и f k> f 1 считаются близко расположенными, если они отличаются не более, чем на 10 , т.е. fk −1 ≤ 0.1. f1 (2.20) В противном случае частоты считаются далеко расположенными. Суммарный отклик вычисляется по формуле Rak =± √ s m m ∑ R jk 2 +2 ∑ ∑ |Rlk Rrk|, l ≠ r , j =1 l =1 r=1 (2.21) где первая сумма под радикалом соответствует далеко расположенным, а двойная сумма – близко расположенным частотам и всем частотам, превышающим f УНП . по частотам больше Отклики по близко расположенным частотам, а также f УНП предполагаются совпадающими или линейно зависимыми. Формула (2.19) даёт наиболее вероятное значение отклика системы при названном допущении относительно корреляции модальных откликов. 35

Применяются и другие, более точные и сложные процедуры («метод группировки», «метод двойных сумм» и т.д.). Следует, однако, учитывать, что точность используемых расчетных процедур должна отвечать точности исходных данных, а поскольку при сейсмических расчетах последняя невысока, то лучше использовать простейшие формулы, предусматривая при этом достаточные запасы. Отметим один важный частный случай: если собственные частоты не меньше f УНП f 1 ≥ f УНП (т.е. все ), то отклики по всем формам просто совпадают с исходным воздействием, а значит, и между собой. В этом случае линейно-спектральная теория сейсмостойкости вырождается в статическую, расчет по которой гораздо проще. 3.3.5. Число собственных форм, учитываемых в расчете При использовании приведенных выше формул суммирования достаточную точность можно получить, учтя вклад не всех, а только части собственных форм системы. Допустимая погрешность зависит от ответственности рассматриваемого элемента АЭС. Например, в США при проектировании элементов АЭС, связанных с обеспечением безопасности, неучтенные собственные формы должны увеличивать отклик системы более, чем на 10 меньше f УНП (кроме случая, когда учтены все собственные формы с частотами ). Необходимый результат может быть получен по-разному. Первый путь – метод проб и ошибок: отклик системы вычисляется, постепенно увеличивая число учитываемых форм, пока его изменение не окажется приемлемо малым. Это простейший, но иногда достаточно трудоемкий способ. Альтернативный подход основан на предположении, что отклик системы зависит от величины потенциальной энергии деформации, потерянной за счет усечения числа форм. Согласно ему, частота усечения fj задается так, чтобы отношение потерянной энергии к общей потенциальной энергии системы не превышало 5 : Em s ∑ E j+Em j=1 36 ≤ 0 .05 , (2.22)

где Ej – потенциальная энергия j−¿ й формы: E j= где ωj j−¿ – 1 2 ¿ 2 Γ j m j Sa ( ω j , ζ j ) , 2 2ω j (2.23) я собственная круговая частота; Γj – коэффициент ¿ участия; m j - j−¿ я обобщенная масса; Em – энергия, потерянная за счет отбрасывания форм от (s +1) -й до j−¿ й: 2 Em =0.5 M m S vh , где S vh (2.24) - спектральная скорость по ( s +1 )−¿ й частоте; Mm – потерянная масса, равная: n s i=1 j=1 M m=∑ M i−∑ Γ 2j m¿j , где Mi (2.25) – массы, сосредоточенные в узлах динамической модели системы (первое слагаемое представляет собой общую массу системы); n – общее число узлов. Другой метод основан на оценке потерянной массы. Согласно ему, частота усечения fj должна выбираться так, чтобы сумма модальных масс, 90 учтённых в расчете, составляла не менее чтобы масса Mm общей массы системы (т.е. , вычисленная согласно (2.25), составляла не более 10 от общей массы системы). Этот метод проще, но его сходимость хуже, чем в случае оценки по потенциальной энергии. Поэтому обычно он даёт результаты с несколько большим запасом, особенно при вычислении инерционных сейсмических нагрузок в удаленных от опор точках системы со многими степенями свободы. Еще один метод оценки вклада неучтенных форм основан на {η¿ } использовании «остаточного вектора» , вычисляемого с помощью формулы (1.36): n s j =s+1 j =1 { η¿ }= ∑ {η j }= { J x } −∑ { η j } . 37 (2.26)

Подставляя { η¿ } в (2.11) или (2.15), получим вектор «остаточных нагрузок» (или перемещений), соответствующих неучтенным формам. Далее по нему можно найти «остаточный отклик» системы, который затем используется как дополнительный член в формулах суммирования, приведенных в п. 2.4.4 (при этом он должен считаться относящимся к числу близко расположенных частот). Данный способ применим при условии, что при всех частотах, превосходящих fj (частоту наивысшей из учтенных собственных форм), значения спектра ускорений не больше, чем на этой S f ,ζ частоте, т.е. не превышают a ( j j ) . Этот подход эквивалентен допущению, что максимумы откликов по все неучтенным формам достигаются одновременно, т.е. «остаточная часть» системы движется, как твердое тело. Аналогичный прием можно использовать и для континуальных систем. Та же самая проблема – определение необходимого числа учитываемых собственных форм, возникает при выполнении динамического анализа методом модальной суперпозиции. Она также может быть решена изложенными выше способами. 3.3.6. Преимущества и недостатки линейно-спектральной теории Главным преимуществом линейно-спектральной теории является то, что лежащий в основе расчета спектр отклика может быть получен путем наложения и/или вероятностной обработки спектров, соответствующих многим реальных записям сейсмических колебаний грунта. Тем самым данный метод позволяет учесть опыт прошлых землетрясений, и чем больше их было рассмотрено при построении спектра, тем меньше вероятность того, что при новом землетрясении нагрузки на сооружение превысят ожидаемые. По мере получения новых данных, спектр может дополнительно уточняться. Преимуществом является возможность принимать во внимание только ограниченное число низших собственных форм системы. Наконец, удобно то, что согласно этому методу сейсмические нагрузки являются квазистатическими (т.е. их величина и распределение зависят от динамических параметров системы, но в расчетах прочности они рассматриваются как статические). Это облегчает расчет на сочетание сейсмических и прочих нагрузок. Основным недостатком линейно-спектральной теории является её неприменимость к нелинейным системам, и даже к линейным, если матрица диссипации не удовлетворяет условию ортогональности (1.26). Поэтому эта 38

теория не позволяет строго учесть некоторые особенности поведения сооружений и оборудования при сильных землетрясениях (такие, например, как неупругое взаимодействие сооружения с мягким грунтом; нелинейность жесткости и затухания, и т.п.). 3.4. Динамический метод При динамическом анализе в качестве исходной сейсмологической информации используются записи сейсмических движений грунта (чаще всего – акселерограммы). Этим методом могут рассчитываться как линейные, так и нелинейные системы. При прямолинейных сейсмических колебаниях системы с одной степенью свободы (рис. 2.1) действующая на неё инерционная сила Fc ( t ) =−mg x́ a ( t ) , где x́ a ( t ) (2.2) – абсолютное ускорение массы осциллятора (в долях g ), которое вычисляется либо прямым пошаговым интегрированием дифференциального уравнения (1.11), либо путем вычисления интеграла Дюамеля (1.12) [с учетом соотношения (1.13) между перемещениями и ускорениями осциллятора]. Отметим, что хотя в последнем случае решение дано в замкнутой форме, но ввиду сложности законов сейсмических колебаний грунта, не поддающихся описанию аналитической формулой и обычно задаваемых в виде цифровок (таблиц значений), практически значение интеграла (1.12) также находят численно. Рис. 2.1. Инерционная сейсмическая нагрузка на систему с одной степенью свободы (линейный осциллятор) 39

Отклик дискретной линейной системы со многими степенями свободы линейно зависит от инерционных сейсмических нагрузок, т.е. вектор откликов системы {r ( t)} связан с вектором инерционных сейсмических нагрузок линейным преобразованием: { r ( t ) }=[ T ] { F c ( t ) } , (2.3) где [T ] – матрица перехода. Вектор нагрузок { F c ( t ) }=g [ M ] {ú a ( t ) } , (2.4) где [ M ] – матрица масс; {úa ( t ) } – вектор абсолютных ускорений точек системы (заданных в долях g ). Для вычисления вектора {úa ( t ) } необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (1.23), решение которой можно найти либо методом модальной суперпозиции, либо прямым пошаговым интегрированием. Первый из этих подходов основан на разложении перемещений системы по собственным формам. Воспользуемся формулой (1.42): s { F c ( t ) }=g ∑ [ M ] { η j } ϑ́ ja ( t ) . j=1 (2.5) Каждое из слагаемых в правой части представляет собой вектор инерционных сейсмических нагрузок, соответствующих колебаниям по j−¿ й собственной форме: { F cj ( t ) }=g [ M ] {η j }ϑ́ ja ( t ) . (2.6) Подставив (2.5) в (2.3), получим: s { r ( t ) }=g ∑ [T ] [ M ] { η j } ϑ́ ja ( t ) . j =1 (2.7) Обозначим [ T ][ M ] { η j }={ Ř j } – этот вектор представляет собой отклик по j−¿ й собственной форме, отвечающий единичному значению абсолютного ускорения. Закон изменения 40 j−¿ го модального абсолютного ускорения

ϑ́ ja ( t ) вычисляется по формуле (1.41). С учетом этих обозначений окончательно получим s { r ( t ) }=g ∑ { Ř j } ϑ́ ja ( t ) . j =1 (2.8) Пользуясь соотношением (1.13), можно также представить отклик как функцию не абсолютных ускорений, а относительных перемещений ϑ j (t) : s { r ( t ) }=g ∑ ω j2 {Ř j } ϑ j (t ). j =1 (2.9) Использование разложения системы дифференциальных уравнений по собственным формам дает два преимущества. Во-первых, интегрирование каждого отдельного дифференциального уравнения, описывающего движение по j−¿ й форме, проще, чем исходной системы дифференциальных уравнений. Во-вторых, требуемая точность решения может быть достигнута при учете в суммах не всех n собственных форм, а только их части s <n (иногда достаточно малой). Число форм, которые необходимо учесть для получения требуемой точности, определяется так же, как в линейноспектральной теории сейсмостойкости (см. подразд. 2.3). Следует, однако, помнить, что, как было отмечено в разд. 1, разложение систем (1.23) или (1.23,а) по собственным формам возможно только при матрицах диссипации [ C ] специального вида, удовлетворяющих условию ортогональности (1.26). В противном случае должно производиться прямое пошаговое интегрирование. При пошаговом интегрировании отклик системы вычисляется через достаточно малые интервалы времени (шаги) ∆ t , в начале и в конце каждого из которых устанавливаются условия динамического равновесия. Как правило, должны учитываться три компоненты сейсмического движения грунта, которые могут быть приложены либо одновременно, либо по отдельности. В первом случае используется уравнение (1.23,а), и суммарный отклик системы вычисляется автоматически. Во втором случае отдельно интегрируются уравнения вида (1.23), где в правой части стоят соответствующие компоненты, а затем полученные отклики в каждый из моментов времени алгебраически суммируются. Максимальное значение суммарного отклика иногда вычисляют, соответствующим образом суммируя 41

максимумы откликов на каждую из компонент. Подчеркнем, что компоненты должны быть статистически независимыми. Часто задаётся не одна, а ансамбль расчетных акселерограмм. В этом случае полученные результаты должны осредняться или могут (в запас) приниматься по наихудшему варианту. Для анализа нелинейных систем чаще всего используется прямое пошаговое интегрирование. Нелинейность может быть геометрической (если в процесс движения системы её характеристики изменяются вследствие больших перемещений, наличия зазоров и люфтом, и проч.) и физической (например, нелинейная упругость или пластичность материалов, нелинейное демпфирование и т.п.). Обычно не зависящие от времени матрицы вычисляются один раз, а зависящие пересчитываются на каждом шаге. Поскольку для нелинейных дифференциальных уравнений суперпозиция частных решений невозможна, три компоненты землетрясения должны быть приложены одновременно. Необходимо учитывать, что нелинейные системы часто чувствительны к специфическим особенностям и небольшим погрешностям исходных акселерограмм, и последние необходимо тщательно выверять. Например, при небольшой систематической ошибке в задании нулевой линии акселерограммы можно получить неправдоподобно большие остаточные перемещения системы. 4. Модельная задача для защемленной балки 4.1. Задача о свободных колебаниях 4.1.1. Метод МКЭ. Основные соотношения Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности, электростатики, нестационарного анализа и т.д. Теоретически доказано, что метод МКЭ является одним из вариантов известного метода Релея-Ритца. Основная идея метода конечных элементов состоит в том, чтобы любую непрерывную величину определить как множество кусочно-непрерывных функций на промежутках. А кусочно-непрерывные функции определяются по значениям величины в конечном числе точек рассматриваемой области. Значения величины в узлах определяются из СЛАУ, которая в свою очередь получается из минимизации некоторого функционала. Преимуществом метода является то, что мы представляем объект с бесконечным числом степеней свободы с помощью эквивалентного объекта с 42

конечным числом степеней свободы. Таким образом можно решать сложные задачи теплопроводности, механики, электростатики, теории колебаний, в том числе и задачу о свободных колебаниях. 4.1.2. Блочный метод Ланцоша Решение задачи о нахождении собственных частот и форм колебаний осуществлялось с помощью блочного метода Ланцоша [3]. В случае приложенной динамической нагрузки, уравнение системы принимает вид  ,  (3.1) M U (t )  C U (t )  KU (t ) F (t ) где K, M и C – глобальные матрицы жесткости, масс и демпфирования. Подставляя однородное решение в уравнение (1.19), получаем U (t ) e t x характеристическое уравнение 2 ( K  C   M ) x  0 , (3.2) где  и x – собственное значение и соответствующая ему собственная форма.. Если не учитывать силы демпфирования, то задача (3.2) принимает вид обобщенной задачи определения собственных чисел: , (3.3) ( K   2 M ) x 0 где  - собственная частота. В этом случае решением спектральной задачи (47) будут вещественные собственные пары. Чаще всего матрицы K и M являются положительноопределенными. Метод Ланцоша имеет в своей основе процедуру приведения исходной матрицы к подобной трехдиагональной матрице, где главную роль играет операция умножения матрицы на вектор с последующим решением определения собственных чисел и форм для трехдиагональной матрицы. Рассмотрим применение метода Ланцоша к стандартной проблеме собственных значений 43

AX = X, (3.4) где матрица А – вещественная и симметричная и не имеет кратных собственных значений. Процедура приведения матрицы А порядка n к трехдиагональной матрице Т того же порядка основана на рекуррентном соотношении q j 1  j 1  Aq j   j q j   j  1q j  1 при этом , j 1, n q0 0 ,(3.5) . Соотношение (3.5) непосредственно следует из матричного равенства QT  AQ где Q (q 1 , q 2 ,  , q m ) , (3.6) - ортогональная матрица порядка n; Т – трехдиагональная матрица,  1   1 0 Т   0  0 1 0   2 2   2 3       0    n 1 0    n 1 0  0  0      n 1   n  Алгоритм метода Ланцоша последовательности: Задается начальный вектор представляется q 1 , q 1 1 выполняются следующие действия 1. ; u j  Aq1 2. 3. 44 T j  j q Aq j ; r j u j  q j  j  q j  1  j  1 , q 0 0 ; в следующей и затем для j = 1, 2, , n

4. ;  j  rj 5. q j 1  r j /  j . После n шагов будет сформирована трехдиагональная матрица Т и задача определения собственных значений матрицы А сведется к задаче нахождения собственных значений для трехдиагональной матрицы. 4.1.3. Аналитическое решение Рассматривается балка длиной l=14м, поперечное сечение: b=0.05 м, h=0.05 м. Граничные условия указаны на рисунке 3.1. Рис.3.1 защемленная балка, на рисунке v – прогиб, v’ – угол поворота. Свойства материала: модуль Юнга Е =2*1011 Па, плотность ρ=7800кг/м^3, коэффициент Пуассона ν =0.3, то есть задавались свойства стали. Проводится анализ конструкции на собственные частоты, то есть ищутся значения изгибных, крутильных и продольных частот. 4.1.3.1. Изгибные колебания 45

Принимается справедливость гипотезы Бернулли и пренебрегаем силами инерции частиц стержня вдоль оси их движения. Оси и распределенная нагрузка q(t) показаны на рисунке (3.1) Рис. 3.2 Дифференциальное уравнение движения: ∂2 ∂2 x ∂ z 2 (EI ∂ z 2 ∂2 x ) +m0* ∂ t 2 =0, (3.7) где x(z,t) – поперечное перемещение, EI – жесткость на изгиб в плоскости колебаний, m0 – масса единицы длины стержня. Ищем решение в виде: x(z,t) = u(z)*sin(pt+φ), (3.8) u(z) – амплитудная функция, p – угловая частота колебаний. Приходим к уравнению : d4 u d z4 – a4 u =0, a=p2mo/EI (3.9) Подставляя наши граничные условия, можно получить выражения для собственных частот изгибных колебаний в виде: 2 λs 2 l ps = где ps – собственные частоты, а cos 4.1.3.2. * λs √ EI 3 m0 , (3.10) являются решениями уравнения: λ s∗ch λ s =1 (3.11) Продольные колебания Основываемся на гипотезе плоских сечений, положение поперечного сечения характеризуется его положением x,а продольная сила находится через деформацию: dx N=EF dz (3.12) E - модуль Юнга, F – площадь поперечного сечения, x и z указаны на рис.3.3 3 Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле/Пер. с англ. Л.Г. Корнейчука; Под .ред. Э.И. Григолюка-М.: Машиностроение, 1985.- 46

рис. 3.3 ∂N d x Уравнение движения: mo*dz* d t 2 = ∂ z *dz 2 (3.13) И после подстановки N приходим к уравнению: d2 x d z2 √ a = d2 x -1/a^2* d z2 (3.14) EF m 0 . Подставляя граничные условия в нашей задаче, получаем π∗s * l выражения для частот: ps = 4.1.3.3. =0, √ E ρ , s=1.2……4 Крутильные колебания Пусть поперечные сечения при кручении остаются плоскими и поворачиваются вокруг оси стержня как жесткие диски. Обозначив угол поворота за x, найдем крутящий момент ∂x M=G*Ip* ∂ z (3.15) Уравнение движения кусочка dz: Θ0* dz* ∂2 x ∂t2 = ∂M ∂ z *dz (3.16), где Θ0 – момент инерции массы единицы длины стержня. И приходим к уравнению: d2 x d z2 -1/ aτ d2 x ^2* d z2 =0, где aτ = √ G∗Ip Θ0 , Ip – полярный момент сечения при кручении, G- модуль сдвига. Θ0 = ρ*Ip для однородного сечения, для квадратного сечения жесткость G∗Ip должна быть заменена на G∗I k , где Ik 4 =0.14* a , (3.17) 4 a- сторона квадрата, Ip= a /6 для квадрата. 4 Бидерман В.Л., Теория механических колебаний: Учебник для вузов.- М.: Высшая школа, 1980.-с.145 47

Подставляя наши граничные условия, получаем выражения для частот: ps = π∗s * l √ G∗Ik ρ∗Ip , s=1.2… 5 (3.18) 4.1.4. Конечно-элементное решение Задача о свободных колебаниях моделировалась в программном обесепечении ANSYS с помощью балочного элемента 3-узлового элемента BEAM189 и объемного элемента SOLID186. Конечно-элементные постановки представлены на рис.3.4 и рис.3.5 Рис.3.4 Рис.3.5 При моделировании балки конечным элементом BEAM189 на краях балки фиксировались перемещения и повороты по 3 осям, в случае конечного элемента SOLID186 – перемещения по 3 осям. Характеристики конечно-элементных моделей: BEAM189 Число узлов:1116 5 Там же 48

Число элементов:750 Число степеней свободы:6696 SOLID186 Число узлов:28128 Число элементов: 13492 Число степеней свободы: 84384 4.1.5. Сравнение с аналитическим решением Были получены результаты в программе ANSYS и они сравнивались с аналитическим решением для каждого типа колебаний. Результаты сравнения и погрешности для каждого типа представлены в таблицах 3.1, 3.2, 3.3 Изгибные колебания № частоты BEAM189, Гц SOLID185, Гц Аналитика, Гц Расхождение, % 1 1.3277 1.3283 1.3278 0.03 2 3.659 3.6611 3.6602 0.005 3 7.173 7.176 7.175 0.01 4 11.855 11.860 11.861 0.05 5 17.70 17.71 17.72 0.06 6 24.72 24.73 24.75 0.1 7 32.9 32.91 32.95 0.15 8 42.25 42.26 42.32 0.16 9 52.75 52.77 52.86 0.2 10 64.41 64.44 64.58 0.26 Таблица 3.1 Крутильные колебания № частоты BEAM188, Гц SOLID185, Гц Аналитика, Гц Расхождение, % 1 2 3 4 5 103.12 206.24 309.36 412.48 515.6 106.45 212.91 319.37 425.82 532.27 104.83 209.66 314.49 419.31 524.14 1.5 1.6 1.5 1.6 1.6 49

6 618.72 638.73 628.97 1.6 Расхождение, % Таблица 3.2 Продольные колебания № частоты BEAM188, Гц SOLID185, Гц Аналитика, Гц 1 180.85 180.89 180.85 0.02 2 361.69 542.54 723.39 361.78 542.67 723.56 361.69 542.54 723.39 0.025 0.024 0.023 3 4 Таблица 3.3 Как мы видим, МКЭ показывает достаточно хорошую точность, что говорит о том, что он применим к подобного рода задачам. Наилучшая погрешность наблюдается для продольных частот (0.025 %), наихудшая – для крутильных частот (1.5 %). Для крутильных частот наличие такой погрешности связано с тем, что при кручении прямоугольного сечения поперечные сечения искривляются, нарушается гипотеза плоских сечений, а аналитическое решение выведено в предположении выполнения гипотезы плоских сечений. Главные собственные частоты Пусть у нас есть система с n степенями свободы, как показано на рисунке 3.6 Рис.3.6 Здесь обозначены mij - сосредоточенные массы, xi – координаты каждой из масс, kij - пружинные элементы. Решение ищем в виде: xj = uj * sin(pt+ϕ), (3.19), где где u_j - амплитуда, p – угловая частота, ϕ – фаза колебаний. Подставляя эти решения в систему уравнений, мы находим частоты �_�, l=1,…,n, 50

Решение системы мы находим в виде: xi xi C1 l =( - cos( pl C2 l t) + главные sin( pl колебания t))* uil , (3.20) системы, pl - собственные частоты колебаний. Собственные частоты для конкретного направления с наибольшими коэффициентами участия называются главными собственными частотами. 4.2. Статический метод 4.2.1. Постановка задачи Рассмотрим жестко защемленную балку из стали и применим статический метод на расчет сейсмического воздействия интенсивностью 9 баллов по шкале MSK-64. Расчетная схема балки представлена на рисунке 3.7 Рис.3.7 Физические и геометрические параметры балки представлены в таблице 3.3 Параметры балки Е, Па Значение 2*1011 ρ, кг/м^3 7800 ν 0.3 b, м 0.05 h, м 0.05 L, м I, м4 14 5.2*10-7 Табл. 3.3 Согласно формуле (2.1), инерциальная сейсмическая нагрузка вычисляется таким образом: 51

Fc =mg A max , (3.21) A max где – пиковое ускорение основания, заданное в долях g. В данной модельной задаче балка рассчитывалась на сейсмическую нагрузку в 9 баллов A max g[ м / с 2 ] , принятое равным по шкале MSK-64, что соответствует 0.4 g=4 м/с 2 , m – масса конструкции. По инерциальным нагрузкам вектор Fc можно вычислить отклик системы (перемещения, напряжения и т.д.) через матрицу перехода [T]: {r(t)} = {Fc}*[T] (3.22) 4.2.2. Расчет в программном комплексе ANSYS Задача решалась в плоской балочной постановке, использовался элемент BEAM189 прямоугольного поперечного сечения. Геометрические характеристики и свойства материала приведены в таблице 3.3. Характеристики КЭ-модели приведены в таблице 3.4 Тип элемента BEAM189 Число узлов 281 Число элементов 140 Число степеней свободы 1686 Таблица 3.4 КЭ-постановка и граничные условия можно увидеть на рис.3.8 Граничные условия: z ux, uy, u x=0,14 м =0 rotx,roty,rot 52 z x=0,14 м =0

Рис.3.8 В программном комплексе ANSYS задавалось ускорение, приложенное ко всей конструкции = 4м/с2. Распределение суммарного перемещения и напряжения по Мизесу показано на рис.3.8 и 3.9. Рис. 3.9 Распределение суммарного перемещения Рис.3.10 Распределение напряжения по Мизесу Формула для вычисления эквивалентных напряжений по Мизесу через главные напряжения: (3.23) 53

где σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz - компоненты тензора напряжений. В итоге, мы научились вычислять перемещения и внутренние усилия конструкции на примере защемленной балки статическим методом, где в качестве нагрузки прикладывается ускорение. 4.3. Линейно-спектральный метод 4.3.1. Постановка задачи Рассмотрим жестко заделанную на концах балку из стали и решим задачу о сейсмическом воздействии линейно-спектральным методом. Модель балки представлена на рис.3.10 Рис.3.11 Физические и геометрические параметры балки представлены в таблице 3.4 Параметры балки Е, Па Значение 2*1011 ρ, кг/м^3 7800 ν 0.3 b, м 0.05 h, м 0.05 L, м I, м4 14 5.2*10-7 Таблица 3.5 54

Инерционные сейсмические нагрузки будем определять с помощью обобщенного спектрального коэффициента динамичности (СКД), представленного на рис. 1.8 и соответствующего спектра отклика на рис. 1.10 при значении относительного затухания ζ =0.005 . Рассматриваем континуальную расчетную схему балки, собственные изгибные круговые частоты определяются по формуле: λ2n k s= 2 l λs √ EI ,n=1 ,2 , … μ (3.24) являются решениями уравнения: cos λ s∗ch λ s μ= ρbh [кг/ м] =1, – погонная масса. Полученные частоты и соответствующие им значения спектральных ускорений приведены в табл.3.5. Номер частоты, j Значение частоты fj, Гц Say ( 1 1.3277 3.659 7.173 11.855 17.70 24.72 32.9 Табл. 3.6 9.8 2 3 4 5 6 7 Спектральные ускорения f j,ξ j ), м/с2 22.3 23 15.2 10.2 7.2 1 S ay ( f j ,ζ j ) получаются умножением обобщенного безразмерного СКД на максимальное значение ускорения при 2 2 землетрясении 9 баллов A max g[ м /с ] , принятое равным 0.4 g=4 м/с . Видим, что необходимо учитывать первые девять собственных форм, т.к. соответствующие им собственные частоты f j <f УНП =33 Гц ( f УНП – частота «нулевого периода», см. п. 1.2.2) . Обобщенный безразмерный СКД для частот, больших f УНП , равен единице. Это значит, что по данным частотам колебания не возбуждаются – конструкция движется как твердое тело. 55

Линейно-спектральный метод основан на разложении интересующих величин по модам и суммировании по каждой моде. И вектор модальной сейсмической нагрузки вычисляется по формуле: { F cj }=g [ M ] {η j } A max Sa ( f j , ζ j ) (3.25) (см. п. 2.3.2) И можно вычислить вектор модальных перемещений: {ucj }= g η A S f ,ζ j ) . 2 { j } max a ( j ωj (3.26) Суммирование модальных откликов проводилось по правилу ККСК: √∑ s Rak =± j =1 R jk 2 (3.27), где В качестве Rak выступают перемещения и напряжения. 4.3.2. Расчет в программном комплексе ANSYS Решение задачи линейно-спектральным методом в программном комплексе ANSYS включало в себя: 1. 2. 3. 4. Построение КЭ-модели Получение решения модального анализа Задание типа воздействия, его направления и спектра отклика Задание количества собственных форм, учитываемых в линейноспектральном анализе. 5. Задание метода суммирования модальных откликов 6. Проведение линейно-спектрального анализа Задача решалась в балочной постановке, использовался элемент BEAM189 прямоугольного поперечного сечения. Геометрические характеристики и свойства материала приведены в таблице 3.3. Характеристики КЭ-модели приведены в таблице 3.7 Тип элемента BEAM189 Число узлов 281 Число элементов 140 56

Число степеней свободы 1686 Таблица 3.7 КЭ-постановку и граничные условия можно увидеть на рис.3.12 Граничные условия: ux, uy, u z x=0,14 м =0 rotx,roty,rot z x=0,14 м =0 Рис.3.12 Модальный анализ проводился блочным методом Ланцоша, про который было рассказано в п.3.1.1. Достаточность количества вычисленных собственных форм подтверждена методом оценки потерянной массы [см. (2.25)]. Эффективная масса eff 2 ¿ M j =Γ j m j . (3.28) 10 ∑ M effj =247.1 кг Суммарная эффективная масса j=1 , что составляет 90.5 полн от полной массы конструкции M . Результаты модального анализа можно увидеть в таблице 3.8 № частоты Частота, Гц Эффективная M eff M eff масса , кг M полн. 1 1.3277 188.463 0.6903 2 3.659 0 0 3 7.173 36.130 0.1323 4 11.855 0 0 5 17.70 14.63 0.054 6 24.72 0 0 57 /

7 32.9 7.873 0.03 Таблица 3.8 С использованием модального анализа был проведен линейно-спектральный, спектр ускорений брался таким, который соответствует интенсивности 9 баллов по шкале MSK-64. При задании спектра ускорений учитывалось демпфирование с помощью относительного коэффициента демпфирования, про который будет рассказано в следующей части. Суммирование проводилось по правилу ККСК (SRSS), предварительно был проведен модальный анализ, чтобы понять, сколько частот нужно учитывать и проводился уже потом модальный и линейно-спектральный анализ с учетом малого числа форм. Распределение по длине балки перемещений и напряжений по Мизесу можно увидеть на рис. 3.13 и 3.14 Рис.3.13 Распределение суммарного перемещения 58

Рис. 3.14 Распределение напряжений по Мизесу Можно отметить, что сравнение линейно-спектрального анализа ии статического показало, что линейно-спектральный анализ дает значение максимального перемещения в 2.5 раза больше, чем при статическом анализе, а также значение максимальных напряжений на 45% больше, чем в статическом, что говорит о том, что статический анализ можно использовать только для оценки порядка величин, для точного анализа нужно проводить линейно-спектральный анализ или динамический, о котором будет рассказано в следующей части. 5. Динамический анализ системы с одной степенью свободы 5.1. Аналитическое решение Рассмотрим здание как неконсервативный осциллятор с одной степенью свободы с вязким демпфированием. Пусть к зданию приложена сейсмическая нагрузка времени(рис.3.14) 59 – ускорение ú в зависимости от

ú Рис.3.14 Дифференциальное уравнение движения грузика: ´ m ź +b ź + kz =-m* u(t ) , (3.29) , где где m- масса грузика, b –коэффициент демпфирования, k- жесткость пружины, F – приложенная сила , z – вектор перемещения. ´ Как частный случай, рассмотрим u(t ) векторная константа. Так как ú = w0*H(t), где w0 – некоторая направлено против оси z, то уравнение перепишется в проекциях на ось z: m ź +b ź + kz =m* ú , (3.30), причем ú = const. в котором правую часть можно интерпретировать как приложенную силу к грузику на пружине. Таким образом мы можем применить решение о вынужденных колебаниях грузика на пружине к решению динамическим методом системы с одной степенью свободы, которая является схематизацией здания. Рассмотрим прямолинейные колебания массы m с пружиной жесткостью k и вязким демпфированием, зависящим от скорости. Пусть к массе прикладывается сила, то есть мы рассматриваем вынужденные колебания системы (рис.3.15) 60

Рис.3.15 Вынужденные колебания системы под действием силы описываются дифференциальным уравнением: m ý +b ý + ky =F(t), (3.29) где m – масса грузика, b –коэффициент демпфирования, k- жесткость пружины, F – приложенная сила , z – вертикальная координата. Будем решать задачу для нулевых н.у., а потом найдем решение с помощью интеграла Дюамеля: t y= ∫ h ( t−τ )∗Q ( t ) dτ 0 , (3.30) где Q(t) – приложенная нагрузка, h(t) – импульсная переходная функция, характеризующая отклик системы на единичный импульс. В данном случае: где ω = h (t) = √ с m e−nt ∗sin ⁡( √ ω2−n2 t) m∗√ ω −n 2 2 , (3.31) , n=b/2mω Этот интеграл можно взять и прийти к решению о вынужденных колебаниях: z= F k −nt *(1 - e * ( n √ω −n2 2 2 2 2 2 * sin ⁡( √ ω −n ∗t) + ⁡( √ ω −n ∗t) ))6 6 Бидерман В.Л., Теория механических колебаний: Учебник для вузов.- М.: Высшая школа, 1980-c.39 61

В данной задачи параметры осциллятора: m=2 кг, k=10H/м, b – варьировался в зависимости от коэффициента ξ=5,7, 10,20, 30 ξ в долях от критического 7. Он варьировался так, чтобы <1, а самые маленькие значения имели физический смысл, то есть имели место в реальности. ú =4м/с2 – задавалось как пиковое ускорение основания при интенсивности землетрясения по шкале MSK64, чтобы была аналогия с предыдущими методами расчета. 5.2. Решение в комплексе ANSYS Колебательная система с одной степенью свободы моделировалась в ANSYS с помощью точечной массы MASS21 и пружинного элемента COMBIN14, для которого можно было задать кроме жесткости и коэффициент демпфирования. Полученное решение в ANSYS сравнивалось с аналитическим для разных коэффициентов ξ , и решения для разных коэффициентов ξ выводились на один график для наглядности. Решение для разных коэффициентов ξ можно увидеть на рис. 3.16 На графике на оси абсцисс откладывалось время, а на оси ординат. Как видим, с увеличением коэффициента ξ колебательность решения уменьшается, что доказывает правильность расчета. 7 см. п.1.1.2. 62

6. Заключение В данной работе были исследованы такие методы расчета конструкций на сейсмостойкость, как статический, линейно-спектральный и динамический. На модельном примере было проведено сравнение статического и линейно-спектрального методов, обоснована применимость статического метода только в качестве оценки, для точных расчетов нужно использовать линейно-спектральный или динамический метод, также была основана технология применения этих методов с помощью программного комплекса ANSYS. Также на простейшем примере колебательной системы с одной степенью свободы был проведен динамический расчет для разных коэффициентов демпфирования, чтобы показать наглядно, как ведет себя система при разной степени диссипации и был освоен еще один метод анализа конструкций на сейсмическое воздействие в программном комплексе ANSYS. 63

7. Список литературы 1. Бирбрайер А.Н. Экстремальные воздействия на сооружения / А.Н. Бирбрайер, А.Ю. Роледер - СПб.: Изд-во Пол-го ун-та, 2009. -594 с. 2. Бирбрайер А.Н. Расчет конструкций на сейсмостойкость.- СПб.: Наука, 1998. -255с. 3. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов М.: Высшая школа, 1980. - 408с. 4.Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний, Главная редакция физ. - мат. лит-ры изд-ва Наука, 1971г. -240с. 5. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле/ Пер. с англ. Л.Г. Корнейчука; под. ред. Э.И. Григолюка - М.: Машиностроение, 1985. - 472с. 6. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Пер. с англ. М.:Мир, 1982. 64

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв

6315.12

Игорь Маслеников

Проныра, озорник, Любитель книг, Ловкач, игрок, Жизнь между строк. И потому Открыт ему Незримый путь В любую суть. Танец злобного гения На страницах произведения Это игра без сомнения Обречённый ждёт поражения. Подсыпать в душу яд Всегда он рад Всего за час Прочтёт он вас. Он волен взять И поменять Строку и с ней Смысл темы всей.Танец злобного гения На страницах произведения Это игра без сомнения Обречённый ждёт поражения. Открыт роман Читатель пьян Разлив вино - Шагнул в окно. Танец злобного гения На страницах произведения Это игра без сомнения Обречённый ждёт поражения. Танец злобного гения На страницах произведения Это игра без сомнения Обречённый ждёт поражения.

6315.12

Игорь Маслеников

Танец Злобного Гения КиШ

6315.12

Игорь Маслеников

А теперь я скину тексты своих любимых песен для этого:)

6315.12

Игорь Маслеников

и хорошего настроения

6315.12

Игорь Маслеников

удачи