Санкт-Петербургский государственный университет
Физический факультет
Кафедра квантовой механики
Численное исследование предельных форм
для шестивершинной модели
Бакалаврская работа
Научный руководитель:
д. ф.-м. н., профессор Шабаев В. М.
Рецензент:
к. ф.-м. н., научный сотрудник Пронько А. Г.
Санкт-Петербург
2016
Оглавление
Вступление
3
1. Введение
1.1. Шестивершинная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Марковский процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Граф состояний и марковская матрица . . . . . .
1.2.2. Основная теорема о стационарных распределениях
4
4
6
6
7
2. Результаты
2.1. DWBC (Domain Wall Boundary Conditions) . . . . . . . .
2.1.1. Концентрация вершин при ∆ = 0 . . . . . . . . . .
2.1.2. Неквадратные области . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Индуцированные граничные условия на неквадратной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Более общие граничные условия . . . . . . . . . . . . . .
8
9
10
12
Заключение
22
Список литературы
23
2
16
17
Вступление
Шестивершинная модель отличается сильной корелляцией между
своими граничными условиями и равновесным состоянием. В термодинамическом пределе на решетке возникает граница раздела, отделяющая замороженную фазу, определяемую граничными условиями, от
внутренней фазы, определяемой энергетическими параметрами системы. Форма этой границы может сильно варьироваться и зависит как от
граничных условий и формы решетки, так и от энергетических параметров. В некоторых случаях она представляет собой алгебраические
кривые, такие как окружность и циклоида.
В работе было рассмотрено моделирование равновесных состояний
шестивершинной модели при помощи марковского процесса и сравнение
аналитического и численного значения концентрации вершин в точке
свободных фермионов.
Также были рассмотрены предельные формы на неквадратной решетке и разработан алгоритм для построения состояний с сохранением
числа путей.
3
1. Введение
1.1. Шестивершинная модель
Шестивершинная модель - одна из решеточных моделей статистической механики, построение которой было мотивировано структурой
льда. Каждой вершине решетки сопоставляется атом кислорода, имеющий связи с четырьмя соседними атомами, на каждой из связей находится один атом водорода. Вводится правило льда (англ. ”ice rule”),
глясящее что к каждому атому O присоединено два атома H. На квадратной решетке существует шесть способов удовлетворить этому правилу:
Рис. 1: Шесть возможных конфигураций молекул воды
Каждой вершине сопоставляется больцмановский вес (a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 ).
Вводится биективное отображение множества конфигураций на множество вершин со стрелками, идущими к вершине, если атом H близко, и
выходящими из нее, если далеко.
4
Рис. 2: Набор вершин модели
Если закрашивать грани, на которых стрелки идут вниз или вправо,
то композиции вершин образуют пути, и критерием соответствия состояния правилу льда становится непрерывность этих путей на решетке,
так что в дальнейшем стрелки можно опустить. При инверсии стрелок
вершины a1 и a2 , b1 и b2 , c1 и c2 переходят друг в друга, так что в отсутствие внешнего магнитного поля a1 = a2 = a, b1 = b2 = b, c1 = c2 = c [3].
Статсумма шестивершинной модели записывается как
Z6V =
∑∏
S
ω(s, v)
(1)
V
{ω} = {a, b, c}
где S - множество состояний, а V - множество вершин.
Важным параметром системы является величина
∆=
a2 + b2 − c2
2ab
(2)
В частности, если ∆ = 0, то это так называемый случай свободных фермионов. Внутренняя фаза является неупорядоченной[3], а предельная
5
форма - окружность[4].
1.2. Марковский процесс
1.2.1. Граф состояний и марковская матрица
Элементы пространства состояний соединены между собой элементарными переходами.
Рис. 3: Элементарный ”флип”
Любые два состояния на односвязной области соединены между собой последовательностью флипов. Таким образом их множество образует собой связный ненаправленный граф, где вершины это состояния
системы, а ребра - флипы.
Пусть Γ - граф состояний, тогда V (Γ) - множество его вершин. Матрица
M = {p(a → b)}a,b∈V (Γ)
(3)
определяет вероятность перехода от одного состояния к другому за
один флип. Она удовлетворяет условию
∑
p(a → b) = 1
(4)
b
По определению, неотрицательная матрица с единичной суммой элементов в каждой строке называется стохастической или марковской.
6
1.2.2. Основная теорема о стационарных распределениях
Методом получения равновесных состояний служит взвешенное случайное блуждание на графе. Цель состоит в том, чтобы из произвольного начального состояния при достаточно большом количестве шагов
с весами, зависящими от величин a, b и c получить состояние, близкое
к наиболее вероятному, равновесному.
Определение 1. Будем называть конечный взвешенный граф, у которого сумма весов ребер, выходящих из каждой вершины равна единице,
однородной цепью Маркова с дискретным временем.
Здесь и далее, будем понимать по цепью Маркова именно это определение.
Определение 2. Граф Γ называется апериодическим, если наибольший общий делитель длин его циклов равен единице.
Определение 3. Пусть q - некоторое вероятностное распределение,
M - матрица переходов P и qM = q, тогда q - стационарное распределение.
Теорема 1. Пусть q : V (Γ) → R+ - некоторое вероятностное распределение, а P - связная апериодическая цепь Маркова. Тогда, если
выполнено условие
q(a)p(a → b) = q(b)p(b → a)
(5)
(условие детального равновесия), то для любого начального вероятностного распределения p0
∃! lim p0 M n = p : pP = p, p = q
n→∞
(6)
Апериодичность цепи обеспечивается добавлением тривиальных циклов, когда переход происходит на то же состояние. Вероятности переходов можно выбрать так, что условие (5) будет выполнено (см.[1])
7
2. Результаты
Коротко опишем шаги Марковского процесса, представляющая собой реализацию алгоритма Метрополиса-Гастингса[1]:
Алгоритм 1.
1. Построить начальное состояние, отвечающее выбранным граничным условиям
2. Задать желаемое количество флипов
3. Определить вероятности переходов для вершин, в которых возможны флипы
4. Найти все вершины, в которых можно совершить флип
5. С равной вероятностью выбрать одну из них
6. В зависимости от типа выбранной вершины с вероятностями, вычисленными на шаге 3, совершить флип вверх или вниз, или же
остаться на месте
7. Если желаемое количество флипов еще не выполнено, перейти к
шагу 4
8
2.1. DWBC (Domain Wall Boundary Conditions)
В этих условиях все пути начинаются на верхней границе решетки,
и заканчиваются на правой.
Начальное состояние:
(a) Через пути
(b) Вершинам сопоставлены цвета
Рис. 4: Начальное состояние с условиями доменной стенки для N = 10
Здесь и далее принято следующее соответствие вершин и цветов:
a1 , a2 ←→
b1 , b2 ←→
c1 , c2 ←→
9
(a) Nf lipped = 1000
(b) Nf lipped = 40000
(c) Nf lipped = 106
(d) Nf lipped = 40 · 106
Рис. 5: Эволюция системы в точке свободных фермионов, когда ∆ = 0.
В действительности, этому условию удовлетворяет вся часть сферы
a2 + b2 = c2 в первом октанте, в физической области, где все веса положительны.
2.1.1. Концентрация вершин при ∆ = 0
Точка свободных фермионов ∆ = 0 является частным случаем более
широкой области −1 < ∆ < 1, вид выражения для свободной энергии и
зона на фазовой диаграмме остаются теми же, отличие состоит лишь в
10
предельной форме. Введем параметризацию весов:
a=b=1
(7)
c = 2cosγ
Для граничных условий доменной стенки существует аналитическое
выражение для статсуммы и для свободной энергии [5]:
Для области ∆ = 0 выражение для свободной энергии на один узел
имеет вид:
π sinγ
(8)
e−f =
2 γ
Отсюда, величина
∂f
∂c :
π
∂f
− e−f =
∂γ
2
{
cosγ sinγ
− 2
γ
γ
}
∂f
1
= − ctgγ
∂γ
γ
∂f
∂f ∂c
∂f
=
=
(−2sinγ)
∂γ
∂c ∂γ
∂c
{
}
∂f
1
1
=
ctgγ −
∂c
2sinγ
γ
(9)
(10)
(11)
(12)
Величину (12) можно получить из результата симуляции. Для этого
перепишем (1)
∑
Z6V =
aNa bNb cNc
(13)
S
∑
∂Z6V
=
Nc aNa bNb cNc −1
∂c
S
∑
1 ∂Z6V
Nc aNa bNb cNc
Nc
= S
=
Z6V ∂c
cZ6V
c
(14)
(15)
Величина Nc явно измеряется усреднением по выборке состояний вблизи равновесия.
В свою очередь,
2
Z6V ≈ e−N f
(16)
11
Тогда,
∂Z6V
∂f
= −N 2 Z6V
(17)
∂c
∂c
√
Учитывая (12), (17) и то, что для нашей параметризации c = 2, получаем:
{
}
∂f
1
1 1 ∂Z6V
Nc
nc
4
= √ 1−
=− 2
= −√
= −√
(18)
∂c
π
N Z6V ∂c
2
2N 2
2
, где nc - концентрация вершин типа с.
nc =
4
− 1 ≈ 0.273239
π
(19)
Приведем значения этого отношения, полученые численной аппроксимацией:
N
nc
64
0.273530
128 0.273413
256 0.273216
Наблюдается сходимость к точному отношению, верному для предела N → ∞.
2.1.2. Неквадратные области
Модифицируем алгоритм для случая, когда рассматривается неквадратная область. Задавать такие условия будем введением ”запретных
территорий” - областей, состояние которых фиксируется и не затрагивается в процессе эволюции.
Алгоритм 2.
1. Построить начальное состояние, отвечающее выбранным граничным условиям
2. Задать желаемое количество флипов
3. Определить вероятности переходов для вершин, в которых возможны флипы
12
4. Найти все вершины, в которых можно совершить флип
5. С равной вероятностью выбрать одну из них. Если выбранная вершина попала в запрещенную область, повторяем попытку
6. В зависимости от типа выбранной вершины с вероятностями, вычисленными на шаге 3, совершить флип вверх или вниз, или же
остаться на месте
7. Если желаемое количество флипов еще не выполнено, перейти к
шагу 4
Приведем результаты на неквадратной односвязной области. Используем начальное состояние (Рис. 4(а)) и воспользуемся алгоритмом
2. Полученную предельную форму сравним с таковой из (Colomo F.,
[2])
(b) Colomo, N = 500
(a) N = 256
Рис. 6: Сравнение предельных форм для неквадратных областей с равнымми пропорциями, ∆ = 0
Наблюдается согласие между результатами, но за неимением более
полного набора данных, сравнить количественные показатели не представилось возможным.
13
Тот же алгоритм можно применить для неодносвязной области, но
в этом случай неприводимость цепи нарушается, пространство состояний разделяется на области, несвязанные между собой непрерывными
деформациями путей. Рассмотрим пример такого состояния с одним
путем:
(a) Начальное состояние
(b) Предельная форма на односвязной области
Рис. 7: Граничное условие с одним путем
(a) Начальное состояние
(b) Предельная форма с запрещенной областью
Рис. 8: Граничное условие с одним путем и запрещенной областью. Путь
”зацепляется” за дырку.
Таким образом, в данном случае пространство состояний расщепилось на две несвязанные области. Таким образом, при любом заданном
14
начальном условии отсекается некая область а конфигурационном пространстве системы, и не учитывается в предельной форме. Решение
данной проблемы является интересной задачей, и поможет в численном исследовании предельных форм на пространствах с более сложной
топологей (аналитическое исследование - см.[6]).
15
2.1.3. Индуцированные граничные условия на неквадратной
области
При выделении запретной области на ее границе индуцируются граничные условия. Пусть начальное состояние выбрано таким образом:
Рис. 9: N = 18, conditions mixed
Если не наклыдывать ограничений на область, то предельная форма
не зависит от начального состояния и в нашем случае будет окружностью. В ином случае зависимость будет наблюдаться.
16
(a) N = 18, conditions low
(b) N = 18, conditions mixed
(c) N = 240, conditions low
(d) N = 240, conditions mixed
Рис. 10: Сравнение предельных форм. В первом случае наблюдается
расщепление предельной формы на две, в каждой из которых реализуется DWBC, а во втором - расщепление на три несвязанные области.
Неодносвязность области в данном примере не является проблемой, так
как цель стоит в иллюстрации зависимости от начальных условий
2.2. Более общие граничные условия
Для алгоритма 1 требуется корректное начальное состояние, соответствующее правилу льда. Для более широкого, чем DWBC, класса граничных условий, задача построения таких состояний становится
17
нетривиальной. Была рассмотрена задача построения состояний для
граничных условий с сохранением числа путей на смежных границах.
На условия из данного класса налагается требование, чтобы количество
путей выходящих из левой грани равнялось количеству, приходящему в
нижнюю, а число путей, выходящих из верхней грани равнялось числу
заканчивающихся на правой.
Рис. 11: Пример граничных условий с сохранением числа путей
18
Приведем алгоритм построения таких состояний.
Алгоритм 3.
1. Для каждого из путей на левой грани, начиная с нижнего:
(a) Если находимся на предпоследнем ряду, то продолжаем путь
вправо до тех пор, пока не окажемся на нужной Х координате
и заканчиваем путь. Если нет, то переходим к следующему
шагу
(b) Если нижняя вершина B2, то идем вправо и возвращаемся на
шаг (a)
(c) Иначе, если нижняя вершина A1, то идем вниз и вправо, возвращаемся на шаг (a)
(d) Иначе идем вниз и возвращаемся на шаг (a)
2. Записываем получившуюся нижнетреугольную конфигурацию в
итоговую матрицу
3. Транспонируем граничные условия и повторяем шаг 1
4. Транспонируем состояние и записываем получившуюся верхнетреугольную конфигурацию в итоговую матрицу
19
Рис. 12: Пример работы алгоритма
20
Рис. 13: Предельная форма для граничных условий на Рис. 12
21
Заключение
Была рассмотрена реализация алгоритма Метрополиса-Гастингса,
использующая случайное блуждание на взвешенном графе состояний
для моделирования равновесных состояний шестивершинной модели.
Для точки свободных фермионов было проведено сравнение концентрации вершин типа ’с’ для аналитического выражения и для значения,
полученного с помощью симуляции. Наблюдается сходимость численного значения к аналитическому при увеличении размера решетки, что
и ожидалось для термодинамического предела.
Также, для класса граничных условий с сохранением числа путей
на смежных парах границ был разработан алгоритм для построения
начальных состояний, требующихся для старта алгоритма семплирования.
С помощью модифицированного исходного Марковского процесса
была получена возможность получать равновесные состояния для односвязных неквадратных областей. Для семплирования на неодносвязных областях требуется другой подход, в связи с приводимостью на
них соответствующей цепи Маркова. Данная проблема интересна возможностью получения численных результатов на решетках со сложной
топологией, и оставлена на дальнейшее изучение.
Благодарность
Хочу выразить благодарность Дэвиду Аллисону за предоставленный алгоритм и Анансу Шридхару за консультации на протяжении работы над дипломным проектом.
22
Список литературы
[1] Allison D., Reshetikhin N. Numerical study of the 6-vertex model with
domain wall boundary conditions. –– 2008.
[2] F. Colomo. Arctic Curves of the six-vertex model, Inhomogeneous
Random Systems, Institut Henri Poincaré, 28.01.2015.
[3] J. Baxter R. Exactly Solved Models in Statistical Mechanics. –– New
York Academic, 1982.
[4] Jockusch W., Propp J., Shor P. Random Domino Tilings and the Arctic
Circle Theorem. –– 1995. –– URL: http://arXiv:math/9801068.
[5] Korepin V., Zinn-Justin P. Thermodynamic limit of the Six-Vertex
Model with Domain Wall Boundary Conditions. –– J. Phys. A 33 No.
40, 2000.
[6] Reshetikhin N., Sridhar A. Integrability of Limit Shapes of the Six
Vertex Model. –– 2015. –– URL: https://arxiv.org/abs/1510.01053.
23
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв