Диффузиофорез крупных нелетучих равномерно нагретых капель сферической формы

Зинькова И.М.

Диффузиофорез крупных нелетучих равномерно нагретых капель сферической формы

03.03.02 Физика

Физика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b888a9e7966e1073081baa0

UUID: 138ca3c0-8ee2-0136-b963-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 6 лет назад

Просмотры: 3

Зинькова И.М.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 257,7 КБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (НИУ "БелГУ") ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ДИФФУЗИОФОРЕЗ КРУПНЫХ НЕЛЕТУЧИХ РАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ КАПЕЛЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ. Выпускная квалификационная работа обучающегося по направлению подготовки 03.03.02 Физика очной формы обучения, группы 07001310 Зиньковой Ирины Михайловны Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Малай Н.В. Белгород 2017 1

СОДЕРЖАНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия ...........................................................................6 II. Решение уравнений теплопроводности и диффузии . . . . . . . . . 11 III. Решение уравнений гидродинамики. Нахождение полей скорости и давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Вывод выражения для силы и скорости диффузиофореза крупной равномерно нагретой нелетучей капли сферической формы. Анализ полученных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2

ВВЕДЕНИЕ Актуальность исследования. В современной науке и технике, в областях химических технологий, гидрометеорологии, охраны окружающей среды и т.д. широко применяют многофазные системы. Наибольший интерес представляют аэродисперсные системы, состоящие из двух фаз, одна из которых есть вязкая газообразная среда, а вторая - взвешенные в ней частицы, которые называют аэрозолями. Аэрозольные частицы могут оказать значительное влияние на протекание физических и физико химических процессов различного вида в аэродисперсных системах. Одной из основных проблем механики аэродисперсных систем, активно разрабатываемой как в нашей стране, так и за рубежом, является проблема теоретического описания поведения взвешенных частиц в вязких неоднородных газообразных средах. Без знания закономерностей этого поведения невозможно моделирование эволюции аэродисперсных систем и решение такого важного вопроса как целенаправленное воздействие на них. Если на поверхности аэрозольной частицы происходит испарение (сублимация) или конденсация образующего их вещества, то такие частицы называют летучими. В случае отсутствия фазового перехода на поверхности частиц их называют нелетучими. В физике аэродисперсных систем встречаются аэрозольные частицы различных размеров. Размер частиц аэродисперсной фазы находится в очень широких пределах: от макроскопических (∼ 500 мкм) до молекулярных (∼ 10 Нм) значений; варьирует соответственно и концентрация частиц – от одной частицы до высококонцентрированных систем (> 1010 см−3 ). В настоящее время, с учетом развития нанотехнологий, большую перспективу представляет применение ультрадисперсных (нано-) частиц, например, в наноэлектронике, наномеханике и т.д. Аэрозольные частицы могут отличаться также и формой поверхности (сферические, цилиндрические, сфероидальные и т.д.). Для классификации аэрозольных частиц по размерам в многокомпонентных системах проводят из сравнения характерных размеров частицы R со средней длиной свободного пробега молекул λ. Для этого применяλ (λ = max(λ1 , λ2 )). Частицы называются ют критерий Кнудсена: Kn = R крупными, если Kn ≤ 0.01 и умеренно крупными при 0.01 ≤ Kn ≤ 0.3, где λk - средняя длина свободного пробега газовых молекул k - сорта. В многокомпонентных газах с неоднородным распределением темпе3

ратуры и концентраций возникает упорядоченное движение частиц, обусловленное действием сил молекулярной природы [1-3]. Их появление вызвано передачей не скомпенсированного импульса частицам молекулами газообразной среды. В частности, движение частиц относительно центра инерции неоднородной по составу газовой смеси при наличии градиентов относительных концентраций ее компонентов называется диффузиофоретическим. Скорость, которую приобретают частицы, когда сила вязкого сопротивления среды уравновешивает диффузиофоретическую, называется скоростью диффузиофореза. Диффузиофорез играет важную роль в промышленности, природе, медицине, сельском хозяйстве и т.д. При теоретическом описании явления диффузиофореза важным понятием в физике аэродисперсных систем является относительный перепад температуры. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней температурой поверхности частицы TiS и температурой вдали от нее T∞ к последней. Относительный перепад температуры считается малым, если имеет место следующее неравенство (TiS − T∞ ) 1. В этом случае коэффициенты молекулярного переноса T∞ (вязкости, теплопроводности и диффузии) считаются слабо зависящими от средней температуры поверхности частицы, а газ рассматривается как несжимаемая среда. В дипломной работе рассматривается диффузиофорез крупной равномерно нагретой нелетучей капли сферической формы в бинарной газовой смеси при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности. Тема исследования. Диффузиофорез крупных равномерно нагретых нелетучих капель сферической формы. Объектом исследования является изучение явления диффузиофореза в газообразной среде. Предметом исследования: влияние равномерного нагрева на силу и скорость диффузиофореза крупной нелетучей капли сферической формы при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности. Цель исследования - получить аналитические выражения для диффузиофоретической силы, действующей на равномерно нагретую нелетучую крупную аэрозольную частицу сферической формы и скорости диффузиофореза. 4

Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи исследования: — изучить математические методы решения дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных в сферической системе координат; — решить уравнения теплопроводности, диффузии и систему уравнений Навье-Стокса с соответствующими граничными условиями; — получить аналитические выражения для диффузиофоретической силы, действующей на крупную равномерно нагретую нелетучую каплю сферической формы и скорости ее диффузиофореза при малых относительных перепадах температуры; — провести качественный анализ влияния равномерного нагрева поверхности на силу и скорость диффузиофореза. Научная новизна исследования. В дипломной работе изучается влияние равномерного нагрева поверхности крупной нелетучей капли сферической формы на диффузиофорез в неоднородной по составу бинарной газовой смеси. Практическая значимость исследования заключается в том, что его материалы и выводы дополняют и углубляют исследования по данной проблеме и могут быть использованы при оценке скорости диффузиофореза равномерно нагретой крупной нелетучей капли в каналах; при проектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение аэрозольных частиц. Апробация исследования. Основные результаты докладывались на Международной научно-практической и научно-методической конференцию профессорского и преподавательского состава и аспирантов «Современные проблемы математики и механики» (г. Белгород, БУКЭП, 3 апреля 2017 г.). Структура работы. Дипломная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. 5

Глава I. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия Рассмотрим равномерно нагретую крупную сферическую нелетучую каплю радиуса R , взвешенную в неоднородной по концентрации бинарной газовой смеси с температурой Te , плотностью ρe , теплопроводностью λe и вязкостью µe . До средней температуры поверхности частицы TiS незначительно отличающейся от температуры окружающей ее бинарной газовой смеси можно нагреть, например, в поле лазерного излучения. В работе считается величина TiS заданной. С помощью внешних источников в объеме бинарной газовой смеси поддерживается постоянный малый градиент относительных концентраций ее компонентов, которые мы обозначим, соответственно, ∇C1∞ и ∇C2∞ . n1 , C1 + C2 = 1, ne = n1 + n2 - полное количество молеЗдесь C1 = ne кул в единице объема, ρe = ρ1 + ρ2 —плотность бинарной газовой смеси, ρ1 = n1 m1 , ρ2 = n2 m2 , n1 , m1 и n2 , m2 — соответственно, концентрация и масса молекул первого и второго компонента бинарной газовой смеси. Поскольку C1 + C2 = 1, то ∇C1 = −∇C2 и, следовательно, для описания полей относительных концентраций бинарной газовой смеси достаточно описать одну из компонент смеси, например, первую компоненту C1 (решить уравнение диффузии с соответствующими граничными условиями). Заданный вдали от нелетучей капли (на бесконечности) малый постоянный градиент относительной концентрации ∇C1∞ вызывает неоднородное распределение концентрации в окрестности капли, что приводит к ее диффузиофоретическому движению. Индексы ”e” и ”i” здесь и далее будем относить к газу и капле, индексом ”s” — обозначены значения физических величин, взятых при средней температуре поверхности капли равной TiS , а индексом ”∞” — обозначены средние значения физических величин, характеризующие бинарную газовую среду в отсутствии внешнего градиента концентрации ∇C1 ∞. Предполагается, что крупная равномерно нагретая нелетучая капля при своем движении сохраняет сферическую форму. Это справедливо, если силы внешнего давления малы по сравнению с давлением от поверхностного натяжения, что можно выразить в виде соотношения σ |U | µe , R R 6

где σ - коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела капля - бинарная газовая смесь; |U |-абсолютное значение скорости газовой смеси относительно капли. Задача решается в сферической системе координат r, θ, ϕ (0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π), начало которой совпадает с центром масс нелетучей капли. При указанном выборе начала системы координат каплю можно считать покоящейся, а бинарную смесь - движущейся с постоянной скоростью U∞ относительно центра капли (см. рис.). Таким образом, наша задача сводится к анализу обтекания нелетучей капли бесконечным плоскопараллельным потоком, скорость которого U∞ подлежит определению. Определенная в такой системе координат скорость газа на бесконечности равна с обратным знаком величине скорости диффузиофореза капли. Вектор ∇C1∞ направлен вдоль полярной оси z = rcosθ. Распределения скорости Ve , давление Pe , температуры Te и относительной концентрации первого компонента бинарной газовой смеси C1 должны быть симметричны относительно оси, проходящей через центр, т.е. зависят только от радиальной координаты r и полярного угла θ. Рис. 1: Обтекание крупной равномерно нагретой нелетучей капли Остановимся на некоторых аспектах при описании диффузиофореза равномерно нагретой нелетучей капли: 1. характерные значения времен установления распределения полей концентраций, температуры и скорости течения в среде малы по сравнению с характерным временем ее нагрева. Будем считать, что в силу малости времен тепловой и диффузионной релаксации процессы теплопереноса и массопереноса в системе капля - газ протекают квазистационарно; 7

2. предполагается, что примеси в капле отсутствуют, т.е. она образована однородным и изотропным по своим свойством веществом. Определяющими параметрами в нашей задаче являются материальные постоянные µe , ρe , λe , cp (удельная теплоемкость при постоянном давлении) и сохраняющиеся в процессе движения нелетучей сферической капли R,|∇C1∞ |,T∞ и U∞ (U∞ = |U∞ |). Из этих параметров можно составить три безразмерные комбинации: числа Рейнольдса и Пекле и ε = R|∇C1∞ | 1. Малость последнего параметра вытекает из следующих соображений. Величина |∇C1∞ |, как правило, не больше 103 м−1 ÷ 104 м−1 . В свою очередь, для крупных капель 10 · 10−6 ≤ R ≤ 15 · 10−6 м, и тогда ε = R|∇C1∞ | 1. С учетом указанных выше допущений, распределения массовой скорости Ve , давления Pe , температуры Te и относительной концентрации первого компонента C1 описываются следующей стационарной системой уравнений [4,5]: µe ∆Ve = ∇Pe , divVe = 0, (1) µi ∆Vi = ∇Pi , divVi = 0, (2) ∆C1 = 0. (3) ∆Te = 0, Система уравнений (1) - (3) решалась со следующими граничными условиями в сферической системе координат. На поверхности нелетучей равномерно нагретой нелетучей капли (r = R) учитываются: — непроницаемость поверхности капли для радиального потока второго компонента бинарной газовой смеси n2 Vre n2e m1 ∂C1 = 0, + D12 ρe ∂r (4) — непроницаемость поверхности капли для радиального потока первого компонента бинарной газовой смеси n1 Vre − D12 n2e m2 ∂C1 = 0. ρe ∂r 8 (5)

Здесь в (4) - (5) n2 Vre , n1 Vre - радиальные конвективные потоки соответствующих компонентов, а D12 диффузионные потоки. ne m1 ∂C1 ne m2 ∂C1 , D12 - радиальные ρe ∂r ρe ∂r — непроницаемость поверхности капли для радиальной компоненты массовой скорости внутри капли Vri = 0, (6) — разность касательных составляющих скоростей внешней и внутренних сред равна сумме диффузионного скольжения, пропорционального коэффициенту KDS [1-3] Vθe − Vθi = KDS D12 ∂C1 , R ∂θ (7) — температура поверхности капли постоянна Te = TiS , (8) — непрерывность касательных составляющих тензора напряжений на поверхности капли µe ∂Vθe 1 ∂Vre Vθe + − ∂r r ∂θ r = µi ∂Vθi 1 ∂Vri Vθi + − . ∂r r ∂θ r (9) Рассмотрим граничные условия вдали от крупной равномерно нагретой нелетучей капли, т.е. при r → ∞ : — в качестве граничных условий для радиальной Vre и тангенциальной Vθe составляющих массовой скорости Ve можно записать: Ve = U∞ cosθ er − sinθ eθ , 9 (10)

— для температуры Te , давления Pe и относительной концентрации C1 справедливы условия : Te = T∞ , Pe = P∞ , C1 = C1∞ + |∇C1∞ |rcosθ, (11) Учтем конечность скорости и давления в центре аэрозольной частицы, при r → 0 : Pi 6= ∞, |Vi | = 6 ∞. (12) В приведенных выше уравнениях газовой динамики и граничных условиях для крупной частицы введены следующие обозначения: D12 - коэффициент взаимной диффузии; λe , λi - коэффициенты теплопроводности газообразной среды и капли; er и eθ - единичные векторы сферической системы координат. Общая сила, действующая на частицу в сферической системе координат, определяется по формуле [4,5]: Z F = (−Pe cosθ + σrr cosθ − σrθ sinθ)r2 sinθdθdϕ. (13) (S) Здесь σrr , σrθ - компоненты тензора напряжений в сферической системе e ∂Vre ∂Vθ 1 ∂Vre Vθe , σrθ = µe + − координат, σrr = 2µe . ∂r ∂r r ∂θ r При нахождении силы и скорости диффузиофореза крупной равномерно нагретой нелетучей капли сферической формы мы ограничимся первой поправкой малости по ε = R|∇C1∞ |. 10

Глава II. Решение уравнений теплопроводности и диффузии. Чтобы найти силу и скорость диффузиофореза необходимо знать поле температуры и распределение концентрации первого компонента бинарной газовой смеси в окрестности равномерно нагретой нелетучей капли. Для этого необходимо решить уравнения (3). В общем случае уравнение теплопереноса имеет следующий вид [5]: ρe cp (Ve · ∇) Te = λe ∆Te . (14) Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Здесь слева — конвективный перенос тепла (за счет движения бинарной газовой смеси), а справа — перенос тепла, обусловленный теплопроводности. Скорость диффузиофореза равна взятой с обратным знаком скорости центра инерции среды на большом расстоянии от частицы, поэтому |Ve | ∼ |KDS | D12 | ∆C1 | ∼ |KDS | D12 |∇C1∞ |. L (15) Отношение правой части уравнения (14) к его левой части равно: cp ρe (Ve ∇Te ) KDS D12 ∼ R |∇C1∞ |. λe ∆Te χe (16) Здесь χe = λe /(cp ρe ) коэффициент температуропроводности. Для большинства газов величина KDS D12 всегда меньше единицы. χe Поэтому величина, стоящая в (16), всегда меньше R |∇C1∞ |. Следовательно, в уравнении (15) можно пренебречь правой нелинейной частью, и мы получаем уравнение (3), т.е. ∆Te = 0. 11 (17)

Перейдем теперь к рассмотрению уравнения диффузии. Чтобы найти распределение концентрации первого компонента бинарной газовой смеси в окрестности нелетучей капли необходимо решить уравнение конвективной диффузии [5]: (Ve · ∇)C1 = D12 ∆C1 , (18) где D12 – коэффициент взаимной диффузии. Линеаризуя это уравнение по аналогии с конвективным уравнением теплопереноса, получаем: ∆C1 = 0. (19) Уравнения (17), (19) решаются в сферической системе координат методом разделения переменных. Рассмотрим решение уравнения ∆Te = 0. В сферической системе координат оно имеет вид: 1 ∂ ∂Te 1 ∂ 2 ∂Te r +. 2 sin θ = 0, r2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ перейдем в этом уравнении к новым переменным: y = r/R, x = cos θ и, введем безразмерную температуру te = Te /T∞ . В результате получаем следующее уравнение: 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂te 2 ∂te y + 2 1−x = 0, y 2 ∂y ∂y y ∂x ∂x (20) Будем искать решение полученного уравнения в виде: te (y, x) = ∞ X ten (y) Pn (x), n=0 12 (21)

где ten (y)− произвольная функция, зависящая от координаты y, а Pn (x)− полиномы Лежандра [6,7,8]. Полиномы Лежандра могут быть определены представлением 1 dn Pn (x) = n 2 n! dxn n x2 − 1 , которое называется формулой Родрига [8]. В частности: P0 (x) = 1, 1 P1 (x) = x, P2 (x) = (3x2 − 1),.... В дальнейшем нам потребуется следую2 щие свойства полиномов Лежандра: d dx d P (x) n 1 − x2 + n(n + 1) Pn (x) = 0 (n = 0, 1, 2, ...), dx Z+1 ( 0, если m 6= n, 2 , если m = n. 2n + 1 −1 Подставляя (21) в (20) и, учитывая свойство полиномов Лежандра, получаем следующее линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождении функции τen (y): Pm (x) Pn (x) dx = y 2d 2 τen dτen + 2y − n(n + 1)τen = 0. dy 2 dy (22) Решение уравнения (22) ищем в виде: τen (y) = y ν . (23) После подстановки (23) в (22), получаем следующее характеристическое уравнение: ν 2 + ν − n(n + 1) = 0, корни которого равны соответственно—ν1 = n, ν2 = −(n + 1). Таким образом, получаем следующее общее решение уравнения ∆Te = 0: ∞ X Γn Te (r, θ) = + An rn Pn cosθ. n+1 r n=0 13

Аналогично решается уравнение ∆C1e = 0. В сферической системе координат оно имеет вид: 1 ∂ ∂C1e 1 ∂ 2 ∂C1e r +. 2 sin θ = 0, r2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ перейдем в этом уравнении к новым переменным: y = r/R, x = cos θ. В результате получаем следующее уравнение: 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂C1e 2 ∂C1e y + 2 1−x = 0, y 2 ∂y ∂y y ∂x ∂x (24) Будем искать решение полученного уравнения в виде: C1e (y, x) = ∞ X Cen (y) Pn (x), (25) n=0 где Cen (y)− произвольная функция, зависящая от координаты y, а Pn (x)− полиномы Лежандра [6,7,8]. Подставляя (25) в (24) и, учитывая свойство полиномов Лежандра, получаем следующее линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождении функции Cen (y): 2 2 d Cen y dy 2 + 2y dCen − n(n + 1)Cen = 0. dy (26) Решение уравнения (26) ищем в виде: Cen (y) = y ν . (27) После подстановки (27) в (26), получаем следующее характеристическое уравнение: ν 2 + ν − n(n + 1) = 0, корни которого равны соответственно—ν1 = n, ν2 = −(n + 1). 14

Таким образом, получаем следующее общее решение уравнения ∆C1e = 0: C1e (r, θ) = ∞ X Mn n=0 rn+1 + Nn rn Pn cosθ. Таким образом, рассматривая задачу о диффузиофорезе крупной равномерно нагретой нелетучей капли сферической формы радиуса R при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности, температура вне и концентрация первого компонента бинарной газовой смеси подчиняются уравнениям Лапласа: ∆Te = 0, ∆C1 = 0 r ≥ R. (28) Эта система уравнений решается с граничными условиями (4), (5), (8), (11), (13). Общее решение этих уравнений в сферической системе координат имеет вид: ∞ X Γn Te = ( n+1 + An y n )Pn (x), y n=0 ∞ X Mn ( n+1 + Nn y n )Pn (x). C1e = y n=0 Здесь Pn (x) —полиномы Лежандра, An , Mn , Nn , Γn — произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий (4), (5), (8), (11), (13). TiS Из граничных условий имеем: A0 = 1, An = 0 (n ≥ 1), Γ0 = − 1, T∞ Γn = 0 (n ≥ 1), N0 = C1∞ , N1 = R |∇C1∞ |, Nn = 0 (n ≥ 2), M0 = 0, M1 = 1/2, (n ≥ 2). Таким образом, имеем следующие выражения для распределения полей температур и концентрации первого компонента бинарной газовой смеси в окрестности крупной нелетучей капли: 15

TiS −1 T∞ , te (y, θ) = 1 + y 1 C1 (y, θ) = C1∞ + ε y + 2 cosθ. 2y 16 (29) (30)

Глава III. Решение уравнений гидродинамики. Нахождение полей скорости и давления Уравнения гидродинамики, описывающие течение газа в окрестности крупной летучей капли (уравнение Навье-Стокса и непрерывности) имеют вид [4,5]: ρe (Ve ∇)Ve = −∇ Pe + µe ∆Ve , div Ve = 0 при r > R, (31) ρi (Vi ∇)Vi = −∇ Pi + µi ∆Vi , div Vi = 0 при r < R. (32) В эти уравнения входит нелинейный (конвективный) член (V∇)V. Если число Рейнольдса много меньше единицы, то этот конвективный член квадратичен по скорости и тогда в уравнениях (31) - (32) мы можем им пренебречь. Это так называемые ламинарные течения. В отличие от случая, когда число Рейнольдса много больше единицы. Такие течения называют турбулентными. В литературе такой способ решения уравнения Навье-Стокса получил название линеаризованные по скорости уравнения Навье-Стокса, который впервые применил Стокс в 1827 году. С учетом выше сказанного имеем следующую систему гидродинамических уравнений, описывающих стационарные поля скорости и давления в окрестности крупной неиспаряющейся капли: ∇Pe = µe ∆Ue , divUe = 0 при r > R, (33) ∇Pi = µi ∆Ui , divUi = 0 при r < R. (34) Найдем сначала решение уравнения (33). В сферической системе координат уравнение непрерывности и линеаризованного по скорости уравнение Навье-Стокса в сферической системе координат имеют вид [4,5]: (e) (e) (e) (e) ∂σrr 2 (e) 1 ∂σrθ ctgθ (e) σθθ + σϕϕ ∂Pe = + σrr + + σ − ∂r ∂r r r ∂θ r rθ r (35) (e) (e) ∂σrθ 1 ∂Pe 3 (e) 1 ∂σθθ ctgθ (e) (e) = + σrθ + + σθθ − σϕϕ r ∂θ ∂r r r ∂θ r (36) 17

∂Vre 2 e 1 ∂Vθe ctgθ e + Vr + + V = 0, ∂r r r ∂θ r θ (37) где (e) σrr e 2 ∂Vre ∂Vθ (e) e = 2µe , σθθ = µe + Vr , ∂r r ∂θ 2 (e) e e σϕϕ = µe Vr + ctgθVθ , r e ∂Vθ 1 ∂Vre Vθe (e) σrθ = µe + − . ∂r r ∂θ r Заметим, что аналогичным образом запишутся уравнения и для уравнений (34). (i) (i) (i) (i) ∂σrr 2 (i) 1 ∂σrθ ctgθ (i) σθθ + σϕϕ ∂Pi = + σrr + σ − + ∂r ∂r r r ∂θ r rθ r (38) (i) (i) ∂σrθ 3 (i) 1 ∂σθθ ctgθ (i) 1 ∂Pi (i) σθθ − σϕϕ = + σrθ + + r ∂θ ∂r r r ∂θ r (39) ∂Vri 2 i 1 ∂Vθi ctgθ i + Vr + + V = 0, ∂r r r ∂θ r θ (40) где (i) σrr i ∂Vri ∂V 2 (i) θ = 2µi , σθθ = µi + Vri , ∂r r ∂θ 2 (i) i i σϕϕ = µi Vr + ctgθVθ , r i ∂Vθ 1 ∂Vri Vθi (i) σrθ = µi + − . ∂r r ∂θ r Исходя из граничных условий вдали от крупной летучей капли, будем искать решения системы уравнений (38)—(40) в виде: Vre (y, θ) = U∞ cosθ G(y), Vθe (y, θ) = −U∞ sinθ g(y). 18 (41)

Здесь G(y), g(y)− произвольные функции, зависящие от радиальной координаты y = r|R. Связь между функциями G(y), g(y) находим из уравнения непрерывности. Подставляя (41) в (40), получаем: ∂ 1 ∂ 1 2 2 cosθ y G(y) − g(y) sin θ = 0, y2 ∂y ysinθ ∂θ 1 dG g(y) = y + G(y). 2 dy (42) Подставляя (41), (42) в уравнения (38)–(39), имеем: 2 dPe d G 4 dG + , = µe U∞ cosθ dy dy 2 y dy (43) 2 3 dPe y dG d2 G dG = −µe U∞ sinθ + 3y 2 + 2 . dθ 2 dy 3 dy dy (44) Уравнение (43) продифференцируем по θ, а уравнение (44) по y и, вычитая, из первого второго получаем обыкновенное дифференциальное четвертого порядка для нахождения функции G(y): 3 d2 G dG G 2d G y + 8y + 8y − 8 =0 dy 4 dy 3 dy 2 dy 3d 4 (45) Решение этого уравнения ищем в виде постановки Эйлера [3,4] и, в результате, окончательно имеем следующее выражение для функции G(y): A2 A3 2 G(y) = A0 + A1 y + + 3 , y y (46) и, учитывая связь между функциями G(y) и g(y) находим выражение для функции g(y): A2 A3 2 g(y) = A0 + 2A1 y + − . 2y 2y 3 19 (47)

Таким образом, имеем следующие выражения для компонент массовой скорости Ve : Ve = Vr er + Vθ eθ A2 A3 = U∞ cosθ A0 + A1 y + + 3 , y y (49) A A 2 3 Vθe (y, θ) = −U∞ sinθ A0 + 2A1 y 2 + − . 2y 2y 3 (50) Vre (y, θ) (48) 2 Подставляя (42) в (40), после интегрирования получаем следующее выражение для поля давления: A2 U∞ Pe = P0 + µe cosθ 2 10yA1 + 2 . Ry y (51) Таким образом, общим решением системы уравнений Стокса в области 0≤y<∞ µ∆V = ∇P , divV = 0 (52) в сферической системе координат являются следующие функции: A A 3 2 Vr (y, θ) = U∞ cosθ A0 + A1 y 2 + + 3 , y y (53) A2 A3 2 Vθ (y, θ) = −U∞ sinθ A0 + 2A1 y + − , 2y 2y 3 (54) U∞ A2 P = P0 + µ cosθ 10yA1 + 2 . R y (55) 20

Как выше мы отмечали, что при плоско-параллельном обтекании крупной равномерно нагретой нелетучей капли сферической формы вся наша область от 0 до ∞ разбивается на две: I. Область внутри капли, т.е. 0 ≤ r ≤ R, где R - радиус нелетучей капли; имеем следующие выражения для компонент массовой скорости и давления: Vr(i) (i) Vθ 2 = U∞ cosθ A0 + A1 y , = −U∞ sinθ A0 + 2A1 y , Pi = P0i + 2 U∞ µi cosθ 10yA1 . R II. Область вне нелетучей капли, т.е. 1 ≤ r < ∞: Vr(e) (e) Vθ B1 B2 = U∞ cosθ 1 + + 3 , y y B2 B1 , = −U∞ sinθ 1 + − 2y 2y 3 Pe = P0e + U∞ µe cosθ B1 . R2 y2 Неизвестные постоянные интегрирования, входящие в эти выражения определяются из граничных условий. 21

Глава IV. Вывод выражения для силы и скорости диффузиофореза крупной нелетучей капли сферической формы. Анализ полученных результатов Во второй главе нами получены выражения для распределения полей температуры и концентрации первого компонента бинарной газовой смеси в окрестности крупной летучей капли, удовлетворяющие нашим граничным условия,которые имеют следующий вид: 1 TiS −1 , te (y, θ) = 1 + y T∞ (56) 1 C1 (y, θ) = C1∞ + ε y + 2 cosθ. 2y (57) и в третьей главе в приближении Стокса нами были получены выражения для полей скорости и давления в ее окрестности. —– вне неиспаряющейся капли (r > R): B1 B2 + 3 , = U∞ cosθ 1 + y y (58) B1 B2 = −U∞ sinθ 1 + − , 2y 2y 3 (59) Vr(e) (e) Vθ Pe = P0e + U∞ µe cosθ B1 . R y2 (60) —– внутри неиспаряющейся капли (r < R): Vr(i) 2 = U∞ cosθ A0 + A1 y , (61) (62) 22

(i) Vθ = −U∞ sinθ A0 + 2A1 y , (63) U∞ µi cosθ 10yA1 R (64) Pi = P0i + 2 Поскольку выражения для компонент массовой скорости и поля давления нам известны, то мы можем найти общую силу, действующую на крупную летучую каплю сферической формы. Полная сила, как мы отмечали в главе 1, определяется интегрированием компонент тензора напряжений по поверхности частицы и она имеет следующий вид [4,5]: Zπ F = 2π −Pe cosθ + σrr cosθ − σrθ sinθ r2 sinθdθ, 0 ∂V θ где σrr = 2µe r , ∂r σrθ = µe ∂Vθe 1 ∂Vre Vθe + − . ∂r r ∂θ r Подставляя сюда соответствующие выражения и после интегрирования, имеем: F = 4πRµe U∞ B1 (65) Из (65) видим, чтобы найти общую силу, необходимо знать коэффициент B1 . Постоянная интегрирования B1 определяется из граничных условий на поверхности нашей нелетучей капли и она имеет следующий вид: (S) 1+ 3 B1 = − 2 2µe (S) 3µi 1+ (S) µe (S) µi 3 ε + KDS 2 U∞ (S) D12 . (S) µe R 1 + (S) µi (66) Здесь индексом ”S” обозначены значения физических величин, взятых при средней температуре поверхности нелетучей капли равной TiS . 23

Подставляя (66) в выражение (65), получаем, что общая сила, действующая на крупную равномерно нелетучую каплю аддитивно складывается из силы вязкого сопротивления среды Fµ и диффузиофоретической силы Fdf : F = Fµ + Fdf , (67) где Fµ = 6πRµ(S) e U∞ fµ nz , (68) Fdf = −6πRµ(S) e fdf gradC1∞ , (69) где nz — единичный вектор в направлении оси OZ. Коэффициенты fµ , fdf определяются по формулам: (S) 1+ 2µe (S) 3µi fµ = , (S) 1+ (70) µe (S) µi |S| D12 fdf = KDS (S) 1+ . (71) µe (S) µi Приравнивая полную силу F к нулю, получаем выражение для диффузиофоретической скорости Udh (Udh = −U∞ ) : Udf = − fdf grad C1∞ . fµ (72) В дипломной работе получены аналитические выражения, позволяющие оценивать общую силу, действующую на крупную равномерно нагретую нелетучую каплю сферической формы, движущейся во внешнем заданном поле градиента концентрации при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности. В граничном условии на поверхности частицы учтено диффузионное скольжение. 24

Полученные аналитические выражения для силы и скорости диффузиофореза позволяют провести качественный и количественный анализ влияния средней температуры поверхности частицы (нагрев поверхности) незначительно отличающейся от температуры окружающей ее бинарной газовой смеси на диффузиофорез крупной нелетучей капли. Из приведенных формул для силы и скорости диффузиофореза видно, что в случае малых относительных перепадов температуры имеет место линейная зависимость влияния средней температуры поверхности частицы на диффузиофорез крупной равномерно нагретой нелетучей капли. Это вытекает, как видно из формул (69), (72), коэффициент динамической вязкости и коэффициент диффузии экспоненциально зависит от температуры. В случае малых относительных перепадов температуры в окрестности нелетучей капли будет иметь место линейная зависимость и вклад будет не более 10 Если не учитывать влияния средней температуры поверхности частицы на диффузиофорез крупной равномерно нелетучей капли, полученные выше формулы переходят в известные ранее полученные формулы [1]. 25

Заключение В квазистационарном приближении при малых числах Рейнольдса и Пекле (тепловом и диффузионном) получены аналитические выражения, позволяющие оценивать диффузиофоретическую силу и скорость крупной равномерно нагретой нелетучей капли сферической формы, когда средняя температура поверхности капли незначительно отличается от температуры вдали от нее. Проведенный качественный анализ показал, что случае малых относительных перепадов температуры имеет место линейная зависимость влияния средней температуры поверхности частицы (нагрев поверхности) на силу и скорость диффузиофореза крупной равномерно нагретой нелетучей капли сферической формы, который дает вклад не более 10 %. 26

Список литературы: 1. Галоян В.С., Яламов Ю.И. Движение капель в вязких средах. Ереван: Луйс. 1985. - 209 с 2. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Шулиманова З.Л. Избранные вопросы физики аэрозолей. Учебное пособие для студентов и аспирантов. М.: МПУ. 1992. 297 с. 3. Щукин Е.Р., Малай Н.В. Фотофоретическое и термодиффузиофоретическое движение нагретых нелетучих аэрозольных частиц //Инженерно-физический журнал. 1988. Т. 54. № 4. С. 628-634 4. Дж. Хаппель, Г. Бреннер Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир. 1976. 630 с. 5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Москва: Технико-теоретической литературы. 1954. 795 с. 6. Н.М. Матвеев Методы интегрирования обыкновенных дифференциаль-ных уравнений. М.: Высшая школа. 1967. 409 с. 7. В.А. Шалдырван, В.С. Герасимчук Методы математической физики. М.: Вузовская книга. 2006. 511 с. 8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972. 735 с. 27

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв