Диффузиофорез умеренно крупных высокотеплопроводных нелетучих капель сферической формы

Стародубцева В.М.

Диффузиофорез умеренно крупных высокотеплопроводных нелетучих капель сферической формы

03.03.02 Физика

Физика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b8887917966e1073081b944

UUID: 41cf9280-8ee0-0136-b807-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 6 лет назад

Просмотры: 1

Стародубцева В.М.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 773,1 КБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙНАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ( Н И У « Б е л Г У » ) ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХНАУК КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ДИФФУЗИОФОРЕЗУМЕРЕННО КРУПНЫХ ВЫСОКОТЕПЛОПРОВОДНЫХ НЕЛЕТУЧИХ КАПЕЛЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ Выпускная квалификационная работа обучающегося по направлению подготовки 03.03.02 Физика очной формы обучения, группы07001310 Стародубцевой ВерыМихайловны Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Малай Н.В. БЕЛГОРОД2017 1

Содержание Введение. …………………………………………………………………..… 3 I. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия .......................................... …………………………………………………...…7 II. Решение уравненийтеплопроводности и диффузии.…………….…15 III. Решение уравнений гидродинамики. Нахождение полей скорости и давления…………………………………………………………………..… 20 IV. Вывод выражения для силы и скорости диффузиофореза умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли сферической формы. Анализ полученных результатов....................................…………………27 Заключение. ………………………………………………………………….32 Литература. …………………………………………………………………..33 2

ВВЕДЕНИЕ Актуальность исследования. В дипломной работе исследуется поведение высокотеплопроводных умеренно крупных нелетучих капель сферической формы в вязких неоднородных по концентрации бинарных газообразных средах при малых относительных перепадах температуры в их окрестностях. В современной науке и технике, в областях химических технологий, гидрометеорологии, охраны окружающей среды и т.д. широко применяют многофазные системы. Наибольший интерес представляют аэродисперсные системы, состоящие из двух фаз, одна из которых есть вязкая газообразная среда, а вторая – взвешенные в ней частицы, которые называют аэрозолями[1-2]. Аэрозольные частицы могут оказать значительное влияние на протекание физических и физико – химических процессов различного вида в аэродисперсных системах. В связи с этим изучение закономерностей движения отдельных частиц в газообразных средах является важной актуальной задачей, представляющей значительный теоретический и практический интерес. Для классификации аэрозольных частиц по размерам в бинарных газовых смесях применяют критерий Кнудсена[1]: Kn   R , где   max 1 ,2  ‒средняя длинасвободного пробега молекул газообразной среды; R  радиус частицы. Аэрозольные частицы называют крупными, если Kn  0.01 , умеренно крупными при 0.01  Kn  0.3 и мелкими при Kn  1. Если на поверхности вещества происходит испарение или конденсация частиц вещества, то такие частицы называются летучими. Нелетучими называются частицы, на поверхности которых фазовый переход не происходит. Важным понятием при рассмотрении явления диффузиофореза – относительный перепад температуры в окрестности частицы. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней тем3

пературой поверхности частицы TiS и температурой вдали от нее T к последней. Относительный перепад температуры считается малым, если имеет место следующее неравенство TiS  T  / T 1 , и значительным в противном случае, т.е. TiS  T  / T ~ 01. На входящие в состав аэродисперсных систем аэрозольные частицы могут действовать силы различной природы, вызывающие их упорядоченное движение относительно центра инерции газообразной среды [2]. Так, например, седиментация и электрофорез происходят в поле гравитации и электрической силы. В газообразных средах с неоднородным распределением теплофизических свойств может возникнуть упорядоченного движения частиц обусловлено действием сил молекулярного происхождения. Их появление вызвано передачей некомпенсированного импульса аэрозольным частицам молекулами газообразной среды. В частности, движение частиц относительно центра инерции неоднородной по составу газовой смеси при наличии градиентов относительных концентраций ее компонентов называется диффузиофоретическим. Скорость, которую приобретают частицы, когда сила вязкого сопротивления среды уравновешивает диффузиофоретическую, называется скоростью диффузиофореза. Проблема вынужденного переноса аэрозольных частиц под действием градиентов концентраций в газах имеет большое научное и прикладное значение. Явление диффузиофореза практически всегда сопутствует термодинамическим неравновесным системам. Рассмотрение диффузиофоретического движения аэрозольных частиц является достаточно сложной задачей. Это связано с тем, что в газе движение конкретной частицы определяется как поверхностными явлениями (обусловленные непосредственным взаимодействием молекул газообразной среды с поверхностью частицы), так и с объемными эффектами, возникающими из-за неоднородных распределений гидродинамического и диффузионного полей. 4

Одна из задач, возникающая при практических приложениях вызвана тем, что многие частицы, встречающиеся в промышленных установках и в природе, имеют различную форму, например, сферическую. В связи с этим возникает как теоретический, так и практический интерес рассмотрение диффузиофореза умеренно крупных высокотеплопроводных нелетучих капель сферической формы. В дипломной работе рассматривается влияние нагрева поверхности на диффузиофорезумеренно крупных высокотеплопроводных нелетучих капель сферической формы при малых относительных перепадах температуры. В этом случае коэффициенты молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности и диффузии) можно считать зависящими от средней температуры поверхности капли, а газ рассматривать как несжимаемую среду. Тема исследования –диффузиофорез умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности. Объектом исследования изучение явления диффузиофореза в газообразной среде. Предметом исследования:влияние нагрева поверхности умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли на ее диффузиофорезпри малых относительных перепадах. Цель исследования–получить аналитические выражения для диффузиофоретическойсилы и скорости умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей каплипри малых относительных перепадах температуры в ее окрестности. Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи исследования: - изучить математические методы решения дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных в сферической системе координат; 5

- решить уравнениятеплопроводности,диффузии и систему уравнений Навье-Стокса с соответствующими граничными условиями; - получить аналитические выражения для диффузиофоретической силы и скорости умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности; - провести качественный анализ влияние средней температуры поверхности частицы незначительно отличающейся от температуры окружающей ее бинарной газовой смеси на диффузиофорез умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли. Научная новизна исследования. В дипломной работе изучается влияние средней температуры поверхности частицы незначительно отличающейся от температуры окружающей ее бинарной газовой смеси на диффузиофорез умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли. Практическая значимость исследованиязаключается в том, что его материалы и выводы дополняют и углубляют исследования по данной проблеме и могут быть использованы при разработке общих курсов и факультативов, например, по экологическим вопросам для школ, гимназий и лицеев. Апробация исследования.По теме дипломной работы было сделано выступление на заседании кафедры теоретической и математической физики. Структура работы. Дипломная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. 6

Глава I. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия Рассмотрим задачу о диффузиофорезеумеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли сферической формырадиуса R , взвешенную в неоднородной по концентрации бинарной газовой смеси с температурой Te , плотностью  e , теплопроводностью e и вязкостью  e . Обозначим через TiS среднюю температуру ее поверхности. До средней температуры поверхности частицы TiS незначительно отличающейся от температуры окружающей ее бинарной газовой смеси можно нагреть, например, в поле лазерного излучения. При этом распределение температуры вдоль поверхности частицы близко к однородному, если коэффициент теплопроводности частицы значительно больше коэффициента теплопроводности газа или длина волны излучения много больше радиуса частицы, т.е. частицасчитается высокотеплопроводная. Это означает, что тепловое скольжение вдоль поверхности нелетучей капли отсутствует [1]. С помощью внешних источников в объеме бинарной газовой смеси поддерживается постоянный малый градиент относительных концентраций ее компонентов, которые мы обозначим, соответственно, C1 и C2 . Здесь С1  n1 / ne , С2  n2 / ne , С1  C2  1, ne  n1  n2 – полное количество молекул в единице объема, e  1  2 – плотность бинарной газовой смеси, 1  n1m1 , 2  n2 m2 , n1 , m1 и n2 , m2 – соответственно, концентрация и масса молекул первого и второго компонента бинарной газовой смеси. Поскольку С1  C2  1 , то С1 =  С2 и, следовательно, для описания полей относительных концентраций бинарной газовой смеси достаточно описать одну из компонент смеси, например, первую компоненту С1 (решить уравнение диффузии с соответствующими граничными условиями). 7

Заданный вдали от нелетучей капли (на бесконечности) малый постоянный градиент относительной концентрации C1 вызывает неоднородное распределение концентрации в окрестности капли, что приводит к ее диффузиофоретическому движению. Индексы «e» и «i» здесь и далее будем относить к газу и капле, индексом «s» – обозначены значения физических величин, взятых при средней температуре поверхности капли равной TiS , а индексом « » – обозначены средние значения физических величин, характеризующие бинарную газовую среду в отсутствии внешнего градиента концентрации C1 . Остановимся на некоторых аспектах при описании диффузиофореза высокотеплопроводной нелетучей капли: 1. характерные значения времен установления распределения полей концентраций, температуры и скорости течения в среде малы по сравнению с характерным временем ее нагрева. Будем считать, что в силу малости времен тепловой и диффузионной релаксации процессы теплопереноса и массопереноса в системе капля – газ протекают квазистационарно; 2. предполагается, что примеси в капле отсутствуют, т.е. она образована однородным и изотропным по своим свойством веществом. При теоретическом описании явления диффузиофорезабудем предполагать, что капля в процессе движения сохраняет сферическую форму. Это справедливо, если силы внешнего давления малы по сравнению с давлением, вызванным межфазным (жидкость – газ) поверхностным натяжением. Тогда справедливо условие  / R   eU / R . Здесь   коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела капля – бинарная газовая смесь, U  абсолютная величина скорости газовой смеси относительно капли. Динамика высокотеплопроводной умеренно крупной капли происходит при малых числах Рейнольдса и Пекле (тепловом и диффузионном) и при 8

малых относительных перепадах температуры в ее окрестности, т.е. TiS T  / T  1 . При выполнении этого условия коэффициенты теплопроводности, диффузии, динамической и кинематической вязкости можно считать зависящими от средней температуры поверхности капли - постоянными величинами. Задача решается гидродинамическим методом, т.е. решаются уравнения газовой динамики с соответствующими граничными условиями. Движение капли удобно описывать в сферической системе координат r , ,  , с началом в центре капли; вектор C1 направлен вдоль полярной оси z  r cos . В системе отсчета, связанной с центром масс капли, задача сводится к стационарному обтеканию капли плоскопараллельным потоком, скорость которого равна U  (см. рис.1.). Рис. 1. Определенная в такой системе координат скорость газа на бесконечности равна с обратным знаком скорости диффузиофореза ( U dh =  U  , U dh – скорость диффузиофореза). При введенных выше предположениях состояние газообразной смеси описывается в рамках гидродинамического анализа в квазистационарном приближении – векторное поле скорости U e , распределения давления Pe , от9

носительной концентрации C1e летучего компонента в бинарной газовой смеси, скалярные поля температур Te , Ti вне и внутри частицы считаются как установившиеся в любой момент времени и удовлетворяют осесимметричным уравнениям Стокса, непрерывности и Лапласа [3,4]:  e  U e   Pe ,  i  U i   Pi , div U e = 0, (1) div U i = 0,(2)  Te  0 ,  Ti  0 , C1  0 .(3) ) учиНа поверхности нелетучей аэрозольной крупной частицы ( тываются: – непроницаемость поверхности капли для радиального потока второго компонента бинарной газовой смеси ne2 m1  C1 n 1   T   sin  e   n2U  D12  KnCVT 2 e e  r R Te sin       n D  C1  1    sin    0 , (4)  KnCVD 2 12 R sin        e r – непроницаемость поверхности капли для радиального потока первого компонента бинарной газовой смеси ne2 m2  C1 n 1   T   sin  e   n1U  D12  KnCVT 1 e e  r R Te sin       nD  C1  1    sin    0.  KnCVD 1 12 R sin        e r (5) Здесь в (4) – (5) n2U re , n1U re – радиальные конвективные потоки соответствуn m  C1 n m  C1 ющих компонентов, а D12 e 1 , D12 e 2 – радиальные диффузионe  r e  r ные потоки. – непроницаемость поверхности капли для радиальной компоненты массовой скорости внутри капли 10

U ri  0 , (6) – разность касательных составляющих скоростей внешней и внутренних сред     U e  1  U re     U   U   Cm KnR  r    r  r r       D   C1  2 C1  / Б Б  K DS 12  1  Kn  RC   RC  Kn  RC   RC R  , (7) R    r   e i      – скачок температуры и непрерывность радиального потока тепла с учетом тепла, идущего на излучение Te  Ti  KTT KnR  e  Te  C1 ,  K Tn KnRTe r r (8)  Te T  1   T   sin  e    0 1 Ti 4  T4    i i  KnC qT e r r R sin       PD  C1  1    sin    0 , (9)  KnC qD e 12 R sin        – непрерывность касательных составляющих тензора напряжений на поверхности капли   U e 1  U re U e    U i 1  U ri U i    i   e      r  r  r  r  r  r   . (10)  Граничные условия на поверхности нелетучей капли (4) – (10) записаны с учётом всех эффектов, линейных по числу Кнудсена в случае высокотеплопроводной умеренно крупной нелетучей капли. Входящие в граничные условия газокинетические коэффициенты K DS , Cm - коэффициенты диффу' Б зионного и изотермического скольжений;  RC - поправки на кривиз,  RC ,  RC ну и барнеттовское скольжение, CqT , CVT , CqD , CVD - коэффициенты потоков тепла, концентрации и среднемассового переноса, растекающихся в слое Кнудсена; коэффициент K TT , K Tn - коэффициент скачка температуры и кон11

центрации. Выражения для газокинетических коэффициентов приведены в [1]. Рассмотрим граничные условия вдали от умеренно крупной капли, т.е. при r   : – в качестве граничных условий для радиальной U re и тангенциальной U e составляющих массовой скорости U e можно записать: U re r ,   U  cos  , Ue r ,   U  sin  , (11) – для температуры Te , давления Pe и относительной концентрации C1 справедливы условия: Te T  , Pe P  , C1 C1  | C1 | r cos  , (12) Учтем конечность температуры, скорости и давления в центре капли, при r  0 : Ti  , Pi  , U i   . (13) В приведенных выше уравнениях газовой динамики и граничных условиях для умеренно крупной частицы введены следующие обозначения:  0  постоянная Стефана-Больцмана,  1  интегральная степень черноты; D12  коэффициент взаимной диффузии; e , i  коэффициенты теплопроводности газообразной среды и капли; U   U   величина скорости набегающего потока вдали от частицы ( U  || OZ ). Определяющими параметрами задачи являются коэффициенты e , e , e и сохраняющиеся в процессе движения сферической частицы величины – 12

R , T , C1 . Из этих параметров можно составить три безразмерные комби- нации:   R |  С1 |1 , где |  С1 |  С1 – средний градиент концентраL ции во внешней к капле среде, равный отношению перепада концентрации  С1 на некотором отрезке L к величине этого отрезка. Условие   R |  С1 |1 всегда справедливо с огромным запасом, т.к. градиент относительной концентрации в реальных системах не может превышать 103 м1  10 4 м 1 . В свою очередь, для умеренно крупных капель в атмосферных условиях, 2 10 6 м  R  10 10 6 м , получаем   R |  С1 |~ 10 3 ,числа Рейнольдса Re  e U  R  / e 1 и Пекле – тепловое PeT  c pU  R  e  / e 1 и диффузионное PeD  U  R  / D12 1 , где c p  удельная теплоемкость при постоянном давлении. Обезразмерим уравнения и граничные условия следующим образом: Ve  U e / U  , tk  Tk / T ( k  e, i ), pe  Pe / P . При   1 набегающий поток оказывает лишь возмущающее влияние и поэтому решение уравнений газовой динамики можно использовать метод теории возмущения, т.е. Ve  Ve0    Ve1  ..., pe  pe0    pe1  ..., t  t 0    t 1  ..., C1  C10    C11  ...(14) С учетом этого, при нахождении силы и скорости диффузиофорезаумеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли мы ограничимся первым приближением. При нахождении силы и скорости диффузиофореза мы ограничимся поправками первого порядка малости по  . Общая сила, действующая на частицу в сферической системе координат, определяется по формуле [3]: 13

F   P cos θ  σ e rr cos θ  σ rθ sin   r 2 sin  d θ d  . (15) S Здесь  rr ,  r  компоненты тензора напряжений в сферической системе координат [3],  rr   U e 1  U re U e   U re  . ,  r   e     2 e  r r   r r   14

Глава II. Решение уравнений теплопроводности и диффузии Чтобы найти силу и скорость диффузиофореза необходимо знать поле температуры и распределение концентрации в окрестности аэрозольной частицы. Для этого необходимо решить уравнения (3). В общем случае стационарное уравнение теплопереноса имеет следующий вид [3]:  e c p ( U e   )Te  e  Te . (16) Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Здесь слева – конвективный перенос тепла (за счет движения бинарной газовой смеси), а справа ‒ перенос тепла, обусловленный теплопроводности. Линеаризуем это уравнение следующим образом.Скорость диффузиофореза равна взятой с обратным знаком скорости центра инерции среды на большом расстоянии от частицы, поэтому U e ~ K DS D12  C1 ~ K DS D12 C1 . L (17) Отношение правой части уравнения (16) к его левой части равно c p  e U e  Te  e  Te где  e  e c p e ~ K DS D12 e R |  C1 |, (18) ‒ коэффициент температуропроводности. Для большинства газов величина K DS D12 e всегда меньше единицы. По- этому величина, стоящая в (18), всегда меньше R |  C1 | . Следовательно, в 15

уравнении (16) можно пренебречь правой нелинейной частью, и мы получаем уравнения (3), т.е.  Te  0,  Ti  0 . (19) Чтобы найти распределение концентрации в окрестности аэрозольной частицы необходимо решить уравнение конвективной диффузии: U e  C1  D12  C1 (20) где D12 – коэффициент взаимной диффузии. По аналогии линеаризуем это уравнение и получаем:  C1  0 . (21) Таким образом, рассматривая задачу о диффузиофорезе умеренно крупной нелетучей высокотеплопроводной капли сферической формы радиуса R,температура внутри и вне его и концентрация первого компонента бинарной газовой смесиподчиняются уравнениям Лапласа: Ti  0 Te  0, C1  0 r  R r  R (22) (23) Эта система уравнений решается с граничными условиями (8), (9), (12), (13). Уравнения (23) решаются в сферической системе координат методом разделения переменных. Общее решение уравнения Лапласа в сферической системе координат имеет известный вид (см., например, [5‒7]) и таким образом, мы получаем: 16

    t e  y ,     nn1  An y n Pn cos   , y  r / R , n 0  y   D  ti  y ,     n n1  Bn y n Pn cos   , n 0  y   M  C1  y ,     n n1  N n y n Pn cos   , n 0  y   Здесь Pn cos    полиномы Лежандра, An , Bn , M n , N n , n , Dn - произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий (4) – (13). Вид граничных условий вдали от нелетучей капли  y   показывают, что: A0  1 , An  0 n 1 , N 0  C1 , N1  R C1 , N n  0 n  2. Из граничного условия конечности температуры при y  0 имеем: Dn  0 n  0 . Таким образом, имеем следующие выражения для распределения полей температуры и концентрации первого компонента бинарной газовой смеси в окрестности умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли, удовлетворяющие граничным условия при y   и y  0 : 0  n t e  y ,   1    n 1 Pn cos   , y n 1 y  ti  y ,    Bn y n Pn cos   , n 0  M1   Mn M0 C1  y ,   C1   cos    2  y    n 1 Pn cos   , y y  n2 y 17

и оставшиеся неизвестные постоянные интегрирования определяем из граничных условий на поверхности нелетучей капли, которые имеют следующий вид: M 0  0 , M 1  1 / 2 , M n  0 n  2, n  0 n 1 , Bn  0 n 1 . Из граничным условий на поверхности умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли определяется средняя температура ее поверхности TiS . Средняя относительная температура TeS  TteS связана со средней температурой поверхностиумеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли TiS  TtiS соотношением (24):  t eS  tiS   KnK TT t eS  1  3  e t  1   0 1 R T t 4  1, iS   eS i  i (24) в котором teS  1  0 , tiS  B0 . При нахождении постоянных интегрирования из граничных условий мы воспользовались свойствами полиномов Лежандра: d  2 d Pn  x    dx   nn  1Pn x   0 1  x dx   x  cos   и их ортогональностью: 0, m n   1 Pm x Pn x  dx   2 , m  n   2n  1 1 Таким образом, мы получили следующие выражения для распределения полей температур и относительной концентрации первого компонента в бинарной газовой смеси в окрестности умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли, удовлетворяющие граничным условиям (8), (9), (12) и (13): 18

t e  y ,   1  t eS  1 , ti  y ,   tiS , y  1  C1  y ,   C1  cos    2  y  .  2y  19 (25) (26)

Глава III. Решение уравнений гидродинамики. Нахождение полей скорости и давлений Уравнения гидродинамики, описывающие течение газа в окрестности умеренно крупной нелетучей капли (уравнение Навье-Стокса и непрерывности) имеют вид [3,4]: e U e  Pe   e U e  U e , div (  eU e )  0 при r  R , (27) и i U i  Pi  i U i  U i , div ( iU i )  0 при r  R . (28) Движение частицы происходит при числах Рейнольдса много меньших единицы. Это позволяет линеаризовать уравнения гидродинамики. Градиент скорости возникает в связи с возмущением среды из-за присутствия частицы, поэтому справедливо условие | U e |~ U e / R , по аналогии | U e |~ U e / R 2 . Однако, как мы показывали выше, скорость аэрозольной частицы в поле градиента концентрации по порядку величины равна: U e ~ K DS D12  C1 ~ K DS D12 C1 . L 20

Скорость диффузиофореза равна, взятой с обратным знаком, скорости центра инерции среды на большом расстоянии от частицы, поэтому справедливы следующие условия | U e |~ U e / R ~ K DS D12 K | C1 | , | U e |~ U e / R 2 ~ DS D12 | C1 | .(29) R R2 Найдем отношение конвективного члена к вязкому в уравнении НавьеСтокса и, учитывая (29), имеем:  e ( U e   )U e ~ R | C1 |  1. e U e При выполнении этого условия нелинейный член значительно меньше линейного и его рассмотрением можно пренебречь.Таким образом, в линеаризованном виде уравнение Навье-Стокса запишется так:  e  U e   Pe . (30) Перейдем к рассмотрению уравнения непрерывности. По правилу векторного дифференцирования левую часть этого уравнения можно записать в виде: div eU e   U e   e   e U e . (31) Поскольку мы рассматриваем диффузиофорезпри малых относительных перепадах температуры, то плотность можно считать постоянной величи21

нойне зависящей от температуры окружающей жидкости. Учитывая это, имеем следующей вид уравнения непрерывности: div U e  0 . (32) Поэтому вместо уравнений (27) – (28) мы можем использовать линеаризованное уравнение Навье-Стокса (система уравнений Стокса): e U e  Pe , div U e  0 при r  R , (33) и i U i  Pi , div U i  0 при r  R . (34) Найдем сначала решение уравнения (33). В сферической системе координат уравнение непрерывности и линеаризованного уравнение НавьеСтокса (33) имеют вид[3]:  U re 1 U e 2U re U e    ctg  0 , r r  r r (35а) 1 Pe 1  2 rU re  1  U e ctg  U re 2  U e 2 e 2ctg e   2  2   2 U r  2 U  , (35б)  e r r  r 2  r  r  2 r r r U e 1 Pe 1  2 ( rU e ) 1  2 U e ctg  U e 2  U re   2  2  2  2 2 .  e r  r  r 2 r  2 r  r  r sin  и аналогично запишется система (34). 22 (35в)

Исходя из граничных условий на бесконечности для компонент массовой скорости, решение для радиальной и тангенциальной компонент массовой скорости будем искать в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра и Гегенбауэра [3,4]:  U  y ,    f n ( y ) Pn (cos  ) , e r (36а) n 1  U e  y ,     n ( y )Gn (cos  ) , (36б) n 1 где Pn cos  и Gn cos  – полиномы Лежандра и Гегенбауэра соответственно [5‒7] и y  r / R  обезразмеренная радиальная координата. В разложениях (36а) и (36б) ограничимся только первыми членами, т.к. только они вносят вклад в силу, действующую на частицу, исходя из граничных условий вдали от нелетучей капли. Рассмотрим решение системы уравнений Стокса для случая r  R . Подставляя (36а) и (36б) в уравнение непрерывности, получаем связь между функциями ( y) и f ( y) : y  y df  y   f y . 2 dy (37) С учетом (36а), (36б) и (37)линеаризованное по скорости уравнение Навье-Стокса для случая r  R принимает вид: Pe cos  d 2 f  y  2df ( y ) 4 f ( y )   ( y )   e    , y R  dy 2 ydy y2  23 (38)

Pe sin   d 2  y  2d ( y ) 2 ( y )  f ( y )   e    y .  R  dy 2 dy y  (39) Продифференцировав (38) по углу  , а (39) по yзатем, вычитая из первого второе и учитывая (37), получаем следующее уравнение для функции f(y): 3 d4 f d2 f df 2 d f y  8y  8y 2  8  0 . 4 3 dy dy dy dy 3 (40) Это дифференциальное уравнение четвертого порядка с переменными коэффициентами и его решение имеет вид (41)[3]: f  A1 A2   C  D y2 . 3 y y (41) где C , D , A1 и A2  постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий для компонент массовой скорости. Таким образом, получаем общее решение нашей системы уравненийпри r  R имеет вид  A A  U re  y ,   U  cos   C  D y 2  13  2  y  y  (42)  A A  U e  y ,   U  sin   C  2 D y 2  13  2  2y  2y  (43) 24

Из граничного условия на бесконечности (11), имеем C  1 , D  0 и, следовательно   A A  A A  U re  y ,   U  cos  1  13  2  , U e  y ,   U  sin  1  13  2  y  2y   y  2y (44) Подставляя (44) в (39) получаем следующее выражение и для давления Pe  y ,   P   eU  y2 R A2 cos  . (45) Входящие в (44) - (45) постоянные интегрирования A1 и A2 определяются из граничных условий на поверхности умеренно крупной нелетучей капли. Аналогично решаются уравнения (34). В конечном результате мы должны поставить другие постоянные интегрирования и учесть конечность физических величин в центре нелетучей капли. Таким образом, в приближении Стокса нами получены выражения для компонент массовой скорости и давления вне и внутри умеренно крупной нелетучей высокотеплопроводной капли, и они имеют следующий вид: U re  y ,    d0 A A   U  cos  1  13  2  , y y   y  A A  U e  y ,   U  sin  1  13  2  , 2y   2y Pe  y ,   P   eU  y2 R rR A2 cos  . и 25

U ri  y ,   d1  U  cos  A4  A5 y 2 , y Ui  y ,   U  sin  A4  2 A5 y 2 , Pi  y ,   Pi 0  10  iU  R rR A5 y 2 cos  26

Глава IV.Вывод выражения для силы и скорости диффузиофореза умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли сферической формы. Анализ полученных результатов В главе 3 в приближении Стокса нами были получены выражения для полей скорости и давления в окрестности умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли сферической формы. – вне нелетучей капли r  R  : U re  y ,    d0 A A   U  cos  1  13  2  , y y   y  A A  U e  y ,   U  sin  1  13  2  , (46) 2y   2y Pe  y ,   P   eU  y2 R A2 cos  . и внутри нелетучей капли r  R  : U ri  y ,   d1  U  cos  A4  A5 y 2 , y Ui  y ,   U  sin  A4  2 A5 y 2 , Pi  y ,   Pi 0  10  iU  R (47) A5 y 2 cos  . Общая сила, действующая со стороны газа на умеренно крупную высокотеплопроводную нелетучую каплю, определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности частицы [3]: F   P cos θ  σ   e rr cos θ  σ rθ sin   r 2 sin  d θ d  . S 27 (48)

Здесь  rr ,  r  компоненты тензора напряжений в сферической системе координат [3],  rr  2e   V e 1  Vre Ve   Vre ,  r  e       r r   r  r  Подставляя выражения (46) в (48) и после интегрирования получаем: F  4  R U   e A2 nz , (49) где nz  единичный вектор в направлении оси z. Постоянная интегрирования A2 определяется из граничных условий на поверхности капли и она имеет следующий вид: 2  e S  1 3  i S  gpad C1 3 A2     2  e S     e S  1   S  U  1   S   3Cm Kn  i i       1  2 KnCV* D    '    K DS D12 S  1  Kn  RC   RC      1  KnCV* D 2        nn KnCV*D 1 2 2 2 ne m   S  ne  m1 ' Б    RC  2 RC  3 RC   3 D12  2    S  nn 4  e  n2 n1  1  KnCV*D 1 2 2 ne n1n2 ne2  n1n2   ne2  (50)    e S     1  6Cm Kn  2  S  ,  i   СV*D  СVD / K DS . В формуле (50) индексом "s" – обозначены значения физических величин, взятые при средней температуре поверхности нелетучей умеренно круп- 28

ной высокотеплопроводной капли, равной TiS , которая определяется из решения системы уравнений (24):  t eS  tiS   KnK TT t eS  1  3  e t  1   0 1 R T t 4  1 iS   eS i  i Подставляя A2 в выражение (49), получаем, что общая сила, действующая на умеренно крупную высокотеплопроводную нелетучую каплю аддитивно складывается из силы вязкого сопротивления среды F и диффу- зиофоретической силы Fdh : F = F + Fdh , (51) где F = 6  R eS  U  f  S  nz , Fdh = 6  R eS  f dh grad C1 , f  2  e S  1 3 i S  S   1  e S  i , f dh  2 3 S  1  1  e S   3Cm Kn i      1  2 KnCV* D    '    K DS D12 S  1  Kn  RC   RC      1  KnCV* D 2        '   RC  2 RC (52) n1n2 ne2  n1n2   ne2  n1n2 2 ne2  S  ne  m1 m2  Б  3 RC   3 D12 S    n  n   4  * D n1n2 e  2 1  1  KnCV ne2  KnCV* D 29 (53)

 e S    1  6Cm Kn  2  S  , i    СV* D  СVD / K DS . Приравнивая полную силу F к нулю, получаем выражение для диффузиофоретической скорости U dh ( U dh = – U  ) U dh = – f dh grad C1 . f (54). В дипломной работе получены аналитические выражения, позволяющие оценивать общую силу, действующую на умеренно крупную высокотеплопроводную нелетучую каплю сферической формы во внешнем заданном поле градиента концентрации. В граничном условии на поверхности аэрозольной частицы учтенывсе эффекты, линейные по числу Кнудсена в данной постановке задачи: газокинетические коэффициенты K DS , Cm - ко' Б эффициенты диффузионного и изотермического скольжений;  RC ,  RC ,  RC поправки на кривизну и барнеттовское скольжение, CqT , CVT , CqD , CVD - коэффициенты потоков тепла, концентрации и среднемассового переноса, растекающихся в слое Кнудсена; коэффициент K TT , K Tn - коэффициент скачка температуры и концентрации. Выражения для газокинетических коэффициентов приведены в работе [1]. Полученные аналитические выражения для силы и скорости диффузиофореза позволяют провести качественный и количественный анализ влияния средней температуры поверхности частицы (нагрев поверхности) незначительно отличающейся от температуры окружающей ее бинарной газовой смеси на диффузиофорез умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли. 30

Из приведенных выше формул видно, что в случае малых относительных перепадов температуры имеет место линейная зависимостьвлияния средней температуры поверхности частицы TiS на диффузиофорез умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли. Это вытекает, как видно из формул (52) - (53), коэффициент динамической вязкости и коэффициент диффузии экспоненциально зависит от температуры. В случае малых относительных перепадов температуры в окрестности нелетучей капли будет иметь место линейная зависимость и вклад будет не более 10 %. Если не учитывать влияния средней температуры поверхности частицы на диффузиофорез умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли, полученные выше формулы переходятвизвестные ранее полученные формулы [1]. 31

Заключение В квазистационарном приближении при малых числах Рейнольдса и Пекле (тепловом и диффузионном) получены аналитические выражения, позволяющие оценивать диффузиофоретическуюсилу и скорость умеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли сферической формы, когда средняя температура поверхности капли незначительно отличается от температуры вдали от нее. Проведенныйкачественный анализ показал, что случае малых относительных перепадов температуры имеет место линейная зависимость влияния средней температуры поверхности частицы (нагрев поверхности) на силу и скорость диффузиофорезаумеренно крупной высокотеплопроводной нелетучей капли сферической формы, который дает вклад не более 10 %. 32

Литература: 1. Галоян В.С., Яламов Ю.И. Движение капель в вязкихсредах. Ереван: Луйс. 1985. – 209 с 2. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Шулиманова З.Л. Избранные вопросы физики аэрозолей. Учебное пособие для студентов и аспирантов. М.: МПУ. 1992. 297 с. 3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Москва: Техникотеоретической литературы. 1954. 795 с 4. Дж. Хаппель, Г. Бреннер Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир. 1976. 630 с. 5. Н.М. Матвеев Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа. 1967. 409 с. 6. В.А. Шалдырван, В.С. Герасимчук Методы математической физики. М.: Вузовская книга. 2006. 511 с. 7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972. 735 с. 33

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв