Никитина М.Д.,
УрГЭУ
Дискретные случайные величины
Понятие случайной величины – одно из важнейших в теории вероятностей. Под
случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта со случайным
исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое
именно.
Если множество возможных значений случайной величины Х конечно или
счетно, т.е. дискретно, то случайную величину Х называют дискретной (д.с.в. Х).
Примеры дискретной случайной величины – число попаданий в мишень при n
выстрелах, число прибывших кораблей на борт.
Рассмотрим пару задач на данную тему.
Задача 1.В партии из 13 деталей – 9 стандартных. Наудачу отбирают 4 детали.
Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, числа
стандартных
деталей,
среди
отобранных.
Найти
математическое
ожидание,
дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение.
Xi
Pi
0
1
2
3
4
1
715
36
715
216
715
336
715
126
715
1. Все детали нестандартные:
P(0)=
4
13
×
3
12
×
2
11
×
1
10
=
1
715
2.Из 4 деталей 1 стандартная:
13!
4
С13
= 4!9! = 715- всего способов извлечь 4 детали из 13.
С19 = 9- всего способов извлечь одну из 9 стандартных деталей.
С34 =
4!
3!1!
P (1) =
= 4 - всего способов извлечь 3 нестандартных детали из 4.
9×4
715
=
36
715
3.Из 4 деталей 2 стандартные:
С29 =
9!
2!7!
= 36
С24 =
4!
2!2!
36×6
= 6 P (2) =
715
=
216
715
-
4)Из 4 деталей 3 стандартные:
С39 =
9!
3!6!
= 84 С14 = 4 P (3) =
84×4
715
=
336
715
5. Все 4 детали стандартные:
9
P (4) =
13
×
8
12
×
7
11
×
6
10
=
126
715
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
Задача 2.Вероятность попадания в мишень для данного стрелка равна 0,7.
Стрелком производятся 3 выстрела. Составить закон распределения д.с.в. Х – числа
попаданий в мишень, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение.
Xi
0
1
2
3
Pi
0.027
0.189
0.441
0.343
Используем формулу Бернулли.
𝑃𝑛 (𝑚) = 𝐶𝑛𝑚 𝑝𝑚 𝑞 𝑛−𝑚
р= 0,7
q= 0,3
P3 (0) =
3!
0!3!
P3 (1) =
3!
1!2!
P3 (2) =
3!
2!1!
P3 (3) =
3!
3!0!
0,70 0,33 = 0,027
0,71 0,32 = 0,189
0,72 0,31 = 0,441
0,73 0,30 = 0,343
Математическое ожидание М[х] = ∑ xipi
М[х] = 0,027 × 0 + 0,189 × 1 + 0,441 × 2 + 0,343 × 3 = 2,1
Дисперсия D[x] = M[x]2 − (𝑀[х])2
D[x] = 0,027 × 02 + 0,189 × 12 + 0,441 × 22 + 0,343 × 32 − 2,12 = 0,63
Cреднееквадратическое отклонение 𝜎[𝑥] = √𝐷, 𝜎[𝑥] = √0,63 ≈ 0,79
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
Список использованной литературы:
1. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / под ред. С.Н. Федина. – М.:
Айрис-пресс, 2006.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие /
под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001.
Научный руководитель –
Кныш А.А.
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв