Электростатический подвес: конечно-элементное моделирование и исследование сферического ротора в электростатическом подвесе

Роман Фасахов

Электростатический подвес: конечно-элементное моделирование и исследование сферического ротора в электростатическом подвесе

Электростатический подвес – это устройство, удерживающее тело во взвешенном состоянии посредством электрических сил. Целью данной работы является применение конечно элементного метода к решению задачи о сферическом роторе в электростатическом подвесе. Начиная с простейшей одномерной модели пассивного резонансного электростатического подвеса, провести сравнение различных постановок решения связной задачи электромеханики. Применяя методы матфизики, асимптотические методы нелинейной механики, динамики твердого тела в ходе работы аналитически оценивается поведение решения. Стоит задача получить численное решение задачи электростатического подвеса методом конечных элементов (МКЭ), сравнить с аналитическими оценками. Интерес к изучению движения твердого тела в электрических полях стимулируется многочисленными прикладными задачами в различных областях современной техники. Подобные задачи встают при исследовании бесконтактных опор различных движущихся систем, разработке космических аппаратов и др. Ключевые слова: МКЭ, электростатический подвес, ANSYS APDL, FEM, electrostatic suspension DOI: 10.25970/nauchkor.mfkp-e431

Механика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (ФГБОУ ВПО «СПбГПУ»)

ID: 59c24bf55f1be704a800a9fd

UUID: d34f8d80-8021-0135-c1e1-525400003e20

Язык: Русский

Опубликовано: около 7 лет назад

Просмотры: 258

19.66

Роман Фасахов

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (ФГБОУ ВПО «СПбГПУ»)

Комментировать 0

Рецензировать 1

Скачать - 0 байт

Поделиться работой

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» Институт прикладной математики и механики Кафедра «Механика и процессы управления» Работа допущена к защите Зав. кафедрой д.ф.-м.н., проф. Д. А. Индейцев » 2017 г. « БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА по направлению 15.03.03 — «Прикладная механика» КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО РОТОРА В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОДВЕСЕ Выполнил: студент гр. 43602/2 Р. Р. Фасахов « » 2017 г. Научный руководитель: асс. И. А. Попов 2017 г. « » Санкт-Петербург 2017

2 Оглавление Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 1. Электростатический подвес . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Принципы построения электростатических подвесов . . . . . . . . 1.2 Обзор технических элементов, в которых находит свое применение электростатический подвес. Электростатический гироскоп ЭСГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 Глава 2. Анализ одноосной модели пассивного электростатического подвеса . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Исследование одноосного пассивного электрического подвеса с постоянным напряжением, анализ его устойчивости. Теорема Ирншоу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Обоснованность применения теории электростатики . . . . . . . . 2.3 Исследование одноосного пассивного электростатического подвеса с переменным напряжением . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Методы стабилизации тела в электростатическом подвесе. Простейшие системы управления, доставляющие асимптотическую устойчивость положению равновесия . . 2.3.2 Аналитическое исследование одноосного пассивного электростатического подвеса . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Обзор возможностей программной системы ANSYS для решения задач электромеханики. Методы определения пондеромоторных усилий в подвесах с применением численных решений ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Конечно-элементное моделирование и анализ одноосного пассивного электростатического подвеса с переменным напряжением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Сравнение результатов в задаче динамики одноосного электрического подвеса с явным моделированием связной задачи в ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 9 11 11 11 13 17 19 25

3 Глава 3. Сферический трехосный пассивный электростатический подвес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Краткое описание объекта исследования – трехосного пассивного электростатического подвеса, некоторые аналитические оценки . 3.2 Результаты конечно-элементного моделирования трехосного пассивного электростатического подвеса . . . . . . . . . . . . . . 29 29 31 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Список литературы 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Введение Интерес к изучению движения твердого тела в электрических полях сти мулируется многочисленными прикладными задачами в различных областях со временной техники. Подобные задачи встают при исследовании бесконтактных опор различных движущихся систем, разработке космических аппаратов и др. Одной из областей, в которой неконтактные подвесы особенно актуаль ны, является гироскопия, а именно создание неконтактого электростатического подвеса ротора в сферическом гироскопе. Современные гироскопы с неконтакт ными подвесами - это сложнейшие приборы, которые вобрали в себя новейшие достижения техники. Неконтактные подвесы позволяют существенно увеличить срок службы, уменьшить трение и шум, повысить точность, увеличить рабочие скорости вращения ротора [1]. Большой интерес к разработке неконтактных подвесов проявляется как в России, так и за рубежом. Что примечательно, только три страны в мире в настоящее время способны производить электростатические гироскопы. Кроме США и Франции в их число входит и Россия [1]. С теоретической точки зрения для решения задачи движения твердого те ла в электрических полях необходимо исследование совместной системы уравне ний движения твердого тела около неподвижной точки и уравнений электроди намики. Масштабная работа в этом направлении проведена Ю. Г. Мартыненко в его монографии о движении твердых тел в электрических и магнитных полях [2]. Целью данной работы является применение конечно элементного метода к решению задачи о сферическом роторе в электростатическом подвесе. Начи ная с простейшей одномерной модели пассивного резонансного электростати ческого подвеса, провести сравнение различных постановок решения связной задачи электромеханики. Применяя методы матфизики, асимптотические методы нелинейной ме ханики, динамики твердого тела в ходе работы аналитически оценивается по ведение решения. Стоит задача получить численное решение задачи методом конечных элементов (МКЭ), сравнить с аналитическими оценками. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

5 1. Исследовать простейшие одноосные некотактные подвесы, провести анализ их устойчивости 2. Исследовать и сравнить между собой способы моделирования задач электромеханики в системе конечно-элементного анализа ANSYS 3. Разработать и исследовать, применяя метод конечных элементов, мо дель пассивного одноосного подвеса 4. Применяя методы матфизики, асимптотические методы нелинейной ме ханики, динамики твердого тела аналитически оценить поведение реше ния конечно-элементной модели 5. Разработать и исследовать, применяя метод конечных элементов, мо дель сферического ротора в трехосном электростатическом подвесе Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XIX конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (XIX КМУ 2017) 14-17 марта 2017 г., Санкт-Петербург, Россия. Объем и структура работы. Дипломная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения. Полный объём дипломной работы со ставляет 35 страниц, включая 24 рисунка. Список литературы содержит 9 на именований.

6 Глава 1. Электростатический подвес 1.1 Принципы построения электростатических подвесов Электростатический подвес представляет собой устройство, удерживаю щее твердое тело во взвешенном состоянии за счет действия электрических сил, создаваемых системой из конечного количества электродов. Как правило, твердое тело является проводником, а в межэлектродном пространстве поддер живается вакуум. Как известно [3], заряд в проводящем теле, находящемся в электрическом поле, распределен таким образом, чтобы внутри тела электрическое поле от сутствовало. Таким образом, на проводник в электрическом поле действуют только поверхностные силы, которые направлены по внешней нормали к по верхности проводника. Величина этих сил невелика, поэтому для увеличения удерживающей силы необходимо увеличивать напряженность. При этом макси мальная напряженность поля ограничена электрическим пробоем вакуумного промежутка между поверхностями тела и электродов, значение которого за висит от чистоты проводника, материала проводника, величины достигнутого вакуума и пр. Электростатические подвесы выполняются как на постоянном, так и на переменном токе. В подвесе на постоянном токе автоматическое изменение на пряженности в зазоре между телом и электродами осуществляется по сигна лам, пропорциональным изменению емкости между ротором и электродом. В подвесе на переменном токе используется электрический резонанс схемы пита ния подвеса. Подвесы на резонансных схемах без следящих систем управления напряжением называют пассивными. Активными называются подвесы с следя щими системами управления напряжением.

7 1.2 Обзор технических элементов, в которых находит свое применение электростатический подвес. Электростатический гироскоп ЭСГ Отсутствие трения является главным достоинством неконтактных подве сов, что позволяет создавать практически «вечные» подшипники, не имеющие проблем износа, шума и ограничений по скорости вращения. Отсюда вытекает множество прикладных решений, построенных на основе таких подвесов. Наи более распространены неконтактные подвесы в навигации (на рисунке 1.1 – гироскоп с электростатическим подвесом), космической и транспортной отрас лях. Рисунок 1.1 — Сферический гироскоп с электростатическим подвесом. Фотография ротора и корпуса Основным объектов исследования в работе является электростатический подвес сферического ротора – основного структурного компонента отечествен ного электростатического гироскопа ЭСГ, спроектированного в Санкт-Петер бургском ЦНИИ «Электроприбор» под руководством главного конструктора А.С. Анфиногенова. ЭСГ – сложнейший гироскопический прибор, работы по которому начались в СССР во второй половине 60-х годов, по сей день яв ляется наиболее точным датчиком первичной информации для инерциальных навигационных систем. Гироскоп ЭСГ состоит из стеклянной вакуумной камеры, на внутреннюю поверхность которой напылены шесть пар ортогонально расположенных элек

8 тродов электрического подвеса. Внутри оболочки помещен полый тонкостенный сферической ротор, изготовленный из бериллия. Наружный диаметр ротора со ставляет 50 мм, вес ротора порядка 20 г, зазор между наружной поверхностью ротора и оболочкой 100 мкм, скорость вращения ротора достигает нескольких тысяч оборотов в минуту. Списывание углового положения ротора осуществля ется фотооптическими датчиками [4]. К числу наиболее сложных задач, решаемых электростатическими гиро скопами, относится навигационное обеспечение атомных подводных лодок, во оруженных баллистическими ракетами большого радиуса действия. Для обес печения высокой точности ракет необходимо знать навигационные данные под водной лодки на момент старта с точностью на один-два порядка более высокой, чем та, которую обеспечивает навигационное счисление даже на коротких от резках времени. Появление электростатических подвесов дало мощный толчок развитию гироскопической техники, неожиданно открылись совершенно новые интересные задачи [1].

9 Глава 2. Анализ одноосной модели пассивного электростатического подвеса 2.1 Исследование одноосного пассивного электрического подвеса с постоянным напряжением, анализ его устойчивости. Теорема Ирншоу Рассмотрим конфигурацию электростатического подвеса состоящего из проводящей незаряженной пластинки, помещенной между обкладками плоско го конденсатора (рис. 2.1а). Окажется, что тело в такой системе не имеет устой чивых положений равновесия, электрические силы не зависят от положения тела, а результирующая электрических сил обращается в ноль. Действительно, запишем выражение для энергии электрического поля: 𝑒2 𝑒2 + 𝑊𝑒 = 2𝐶1 2𝐶2 (2.1) ε0 𝑆 где 𝑒 – заряд на конденсаторе, 𝐶1 = ℎ−𝑦 – емкость между верхним электродом ε0 𝑆 – емкость между пластиной и нижним электродом, и пластиной, 𝐶2 = ℎ+𝑦 ℎ – половина расстояния между электродами, 𝑦 – смещение пластины вдоль вертикальной оси из среднего положения. Таким образом, энергия 𝑊𝑒 (2.1) не зависит от положения пластины, и результирующая сила, действующая на пластину со стороны электрического поля обращается в нуль. а) Двухэлектродный б) Четырехэлектродный электростатический подвес электростатический подвес Рисунок 2.1 — Простейшие случаи электростатического подвеса

10 Поэтому для создания одноосного электростатического подвеса незаря женного тела поместим его в электрическое поле созданное двумя парами элек тродов (рис. 2.1б). Повторим процедуру и запишем уравнение энергии электри ческого поля для эквивалентной электрической схемы, изображенной на рис. 2.2. Обозначим через 𝑒1 , 𝑒2 заряды на конденсаторах 𝐶1 , 𝐶2 . Дифференцируя выражение энергии электрического поля, взятого с противоположным знаком, получим выражение для силы, действующей на твердое тело [2]: 𝐹 (𝑦) = ε0 𝑆 4 [︃(︂ 𝑢1 ℎ−𝑦 )︂2 (︂ − 𝑢2 ℎ+𝑦 )︂2 ]︃ , (2.2) где 𝑢1 , 𝑢2 – напряжения на электродах, связанные с зарядами на конденсаторах +𝑒2 +𝑒2 и 𝑢2 = 𝐶𝑒22 + 𝐶𝑒31 +𝐶 . 𝑒1 и 𝑒2 соотношениями 𝑢1 = 𝐶𝑒11 + 𝐶𝑒31 +𝐶 4 4 Рисунок 2.2 — Эквивалентная электрическая схема четырехэлектродного электростатического подвеса Функция 𝐹 (𝑦) монотонно возрастает от −∞ до +∞ при −ℎ < 𝑦 < ℎ. Положения равновесия тела в подвесе определяются из условия равенства веса тела 𝑚𝑔 пондеромоторной силе 𝐹 . На интервале (−ℎ, ℎ) уравнение 𝐹 (𝑦) = 𝑚𝑔 имеет единственное решение, потенциальная энергия при этом будет иметь максимум, а положение равновесия будет неустойчивым. Данная ситуация является следствием теоремы Ирншоу о неустойчиво сти электрических систем [3, с. 92], которая говорит о том, что нахождение проводящего тела в состоянии устойчивого равновесия в электрическом поле под действием только электрических сил невозможно.

11 2.2 Обоснованность применения теории электростатики Твердое тело в электростатическом подвесе находится в вакуумированной полости, ограниченной конечным числом проводящих электродов. Строго гово ря, электрическое поле, потенциалы на электродах которого являются функци ями от фазовых координат и времени, не является электростатическим. Тем не менее, можно показать, что выполняются условия квазистационарности, кото рые сводятся к требованию [3]: 𝑇 * ≫ τ, где 𝑇 * – характерное время в движении твердого тела, τ = 𝐿* /𝑐 – время запаз дывания, 𝐿* – характерный размер системы, 𝑐 – скорость света. При 𝑇 * ∼ 10−3 с, 𝐿* ∼ 10−3 см время τ ∼ 0.3 · 10−9 с, τ/𝑇 * ∼ 10−6 . Поэтому, пренебрегая запаз дыванием системы, можем с приемлемой для практики точностью считать поле стационарным и в каждый момент времени решать задачу электростатики [2]. 2.3 Исследование одноосного пассивного электростатического подвеса с переменным напряжением 2.3.1 Методы стабилизации тела в электростатическом подвесе. Простейшие системы управления, доставляющие асимптотическую устойчивость положению равновесия Рисунок 2.3 — Рисунки на роторе сферического гироскопа для фиксации положения оптическими датчиками

12 Для создания устойчивого положения равновесия твердого тела в электро статическом подвесе необходимо управление потенциалами электродов. Обычно положение твердого тела в электростатическом подвесе измеряется специальны ми датчикам (емкостными или оптическими, рис. 2.3) [1]. Электростатические подвесы с системами слежения, то есть такие, напряжения на электродах ко торых изменяются в зависимости от положения тела, называют активными. Простейшую функцию пондеромоторных сил в активной системе можно пред ставить в виде нелинейного закона управления: ⎧ 𝑉 ⎪ ⎪ , 𝐹 (𝑦), eсли − ℎ > 𝑦 > − 1 ⎪ ⎪ 𝑘 ⎪ ⎨ 𝑉 𝑉 (2.3) 𝐹 (𝑦) = 𝐹2 (𝑦), eсли − > 𝑦 > , ⎪ 𝑘 𝑘 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩𝐹3 (𝑦), eсли 𝑉 > 𝑦 > −ℎ, 𝑘 где 𝑉 – некоторое постоянное «опорное» напряжение, 𝑘 – коэффициент усиле ния следящей системы, причем предполагается, что 𝑘 > 𝑉 /ℎ. При 𝑘 > 𝑉 /ℎ график функции 𝐹 (𝑦) построен на рис. 2.4. Напряжения на электродах в та ких системах могут быть не только функциями координаты смещения твердого тела, но и зависеть от его скорости, что позволяет исключить негативное вли яние наличия запаздывания в следящей системе. Так как в действительности в соотношения 𝐹 (𝑦) войдет значение координаты 𝑦, зависящей от некоторого предыдущего момента времени, что приведет к нарастанию амплитуды колеба ний тела. Рисунок 2.4 — Зависимость силы 𝐹 от смещения 𝑦 в активном электростатическом подвесе

13 2.3.2 Аналитическое исследование одноосного пассивного электростатического подвеса Справится с естественной неустойчивостью электростатических подвесов без использования активных следящих систем позволяют, например, пассивные или резонансные подвесы. Простейшая схема одноосного пассивного электро статического подвеса представлена на рисунке 2.5. Верхняя пластина плоского конденсатора является неподвижной, а нижняя пластина должна удерживаться на некотором расстоянии от верхней пластины в положении, когда вес пластины уравновешивается силой притяжения, действующей на проводник в электриче ском поле, созданном между обкладками конденсатора. Электрическая цепь рассматриваемой электромеханической системы об разована индуктивностью 𝐿, конденсатором 𝐶, омическим сопротивлением 𝑅. ЭДС внешнего источника, подключенного к цепи, изменяется по синусоидаль ному закону 𝑢 = 𝑢0 sin ω𝑡, 𝑢0 – амплитуда, ω – частота. Рисунок 2.5 — Схема одноосного пассивного электростатического подвеса Запишем уравнения движения данной схемы, для этого обозначим через 𝑚 массу подвижной пластины и введем вертикальную ось 𝑦. Выберем начало отсчета в точке 𝑂, принадлежащей верхнему фиксированному электроду, тогда в реальной системе координата нижней пластины 𝑦 < 0. В качестве обобщенных координат выберем координату 𝑦 подвижной пластины и заряд на конденсаторе 𝐶(𝑦) = ε0 𝑆/𝑦. Кинетическая энергия пластины 𝑇 = 𝑚𝑦˙ 2 /2, потенциальная энергия силы тяжести Π = 𝑚𝑔𝑦. Магнитная энергия электрической цепи 𝑊𝑚 = 𝐿𝑒˙ 2 /2, где 𝑒˙ ≡ 𝑖 – ток в цепи. Энергия электрического поля, локализованного

14 между обкладками конденсатора, без учета краевых эффектов 𝑒2 𝑒2 𝑦 𝑊𝑒 = =− . 2𝐶(𝑦) 2ε0 𝑆 Функция Лагранжа для рассматриваемой электромеханической системы принимает вид 1 2 1 𝑒2 𝑦 2 𝐿 = 𝑇 − Π + 𝑊𝑚 − 𝑊𝑒 = 𝑚𝑦˙ − 𝑚𝑔𝑦 + 𝐿1 𝑒˙ + . 2 2 2ε0 𝑆 Пластина подвешена в вакууме, силой трения при движении пластины пре небрегаем. Тогда диссипативная функция Рэлея будет определятся только поте рями в электрической цепи Ψ = 21 𝑅𝑒˙ 2 . Учитывая, что обобщенные неконсерва тивные силы механической природы отсутствуют, запишем уравнения Лагран жа–Максвелла [5] (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕Ψ 𝜕𝐿 𝜕Ψ 𝑑 𝜕𝐿 + = 𝑢, + = 0. − − 𝑑𝑡 𝜕 𝑒˙ 𝜕𝑒 𝜕 𝑒˙ 𝑑𝑡 𝜕 𝑦˙ 𝜕𝑦 𝜕 𝑦˙ Выполняя операции дифференцирования, получаем уравнения движения 𝑒𝑦 𝐿¨ 𝑒 + 𝑅𝑒˙ − = 𝑢0 sin ω𝑡, ε0 𝑆 (2.4) 𝑒2 𝑚¨ 𝑦 + 𝑚𝑔 − = 0. 2ε0 𝑆 Система уравнений (2.4) представляет систему нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений 4-го порядка относительно переменных 𝑦, 𝑒, на хождение аналитического решения этой системы не представляется возмож ным. Построим приближенное решение системы (2.4), приняв 𝑦 в первом уравне нии за постоянный параметр. Такое предположение возможно в силу того, что в реальных системах частота задающего напряжение ω велика по сравнению с механическими колебаниями 𝑦. В таком случае, первое уравнение системы (2.4) принимает вид линейного дифференциального уравнения с постоянными коэф фициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму общего и частного решений [2] 𝑒 = √︂(︁ 𝑢0 sin(ω𝑡 + ϕ) + 𝑒общ , )︁2 2 𝐿ω2 + ε0𝑦𝑆 + (𝑅ω) (2.5) где ϕ – сдвиг по фазе между вынужденным колебанием и внешней силой, 𝑒общ – общее решение однородного уравнения, т.е. решение первого уравнения (2.4)

15 при 𝑢0 = 0. Вне малого начального интервала времени общее решение 𝑒общ в силу того, что оно является экспоненциально убывающей функцией времени, можно считать равным нулю. Подставим (2.5) во второе уравнение (2.4) и за меним функцию sin ω𝑡 + ϕ2 его средним значением, тогда получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной 𝑦 𝑚¨ 𝑦 + 𝑚𝑔 − 𝑓 (𝑦) = 0, 𝑓 (𝑦) = 1 (︁ 2ε0 𝑆 𝐿ω2 + 𝑢20 . )︁2 2 1 + (𝑅ω) ε0 𝑆 𝑦 (2.6) Построим график функции 𝑓 (𝑦) (рис. 2.6). Функция 𝑓 (𝑦) на интервале −∞ < 𝑦 < −𝐿ε0 𝑆ω2 возрастает от нуля до некоторого положительного зна чения, а затем при −𝐿ε0 𝑆ω2 < 𝑦 < 0 функция монотонно убывает. Для опре деления положений равновесия положим 𝑦¨ = 0, тогда 𝑚𝑔 = 𝑓 (𝑦) – уравнение для определения равновесных положений твердого тела в электростатическом подвесе. Рисунок 2.6 — График функции 𝑓 (𝑦) 2 𝑢0 Максимальное значение функции 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 4ε0 𝑆(𝑅ω) 2 отвечает за максималь ный вес твердого тела, который способен удержать электростатический подвес. Будем считать, что 𝑚𝑔 < 𝑓𝑚𝑎𝑥 . Тогда прямая 𝑚𝑔 на рис. 2.6 пересекает 𝑓 (𝑦) в

16 двух точках 𝑦 = 𝑦1 , 𝑦 = 𝑦2 . В этом случае электростатический подвес имеет два положения равновесия. Потенциальная энергия имеет вид (2.7), ее график представлен на рис. 2.7. По теореме Лагранжа–Дирихле устойчивым оказывается положение равно весия 𝑦 = 𝑦2 , положение равновесия 𝑦 = 𝑦1 неустойчиво. 𝜕Π = 0, 𝑦¨ + 𝜕𝑦 𝐿ω2 + ε0𝑦𝑆 𝑢20 Π(𝑦) = 𝑔𝑦 − arctan 4𝑅𝑚ω 𝑅ω (2.7) Рисунок 2.7 — График функции Π(𝑦) Физический смысл работы пассивного подвеса заключается в том, что при удалении тела от фиксированного электрода пондеромоторная электрическая сила возрастает, возвращая тело в положение 𝑦 = 𝑦2 . И наоборот, при прибли жении тела к электроду пондеромоторная электрическая сила уменьшается, становясь меньше, чем сила тяжести, и тело возвращается обратно в положе ние равновесия.

17 2.3.3 Обзор возможностей программной системы ANSYS для решения задач электромеханики. Методы определения пондеромоторных усилий в подвесах с применением численных решений ANSYS Программная система конечно-элементного анализа ANSYS предоставля ет возможность моделирования электромеханических задач несколькими спосо бами [6]: 1. Прямое решение связанной задачи (Direct coupled-field analysis) 2. Использование электромеханических элементов-преобразователей TRANS126 (Transducer elements) 3. Параллельное решение двух связанных задач (Multi-field analysis) 4. Прямое разложение по собственным формам (Reduced order modelling) Прямое решение связной задачи (Direct coupled-field analysis) реали зуется благодаря совмещению в одном конечном элементе как трансляционных, так и электрических степеней свободы. Метод позволяет решать задачу в один шаг по времени, не разделяя электрическую и механическую задачи, более то го, сочетание трансляционной и электрической степеней свободы позволяет учи тывать неоднородности моделируемого электрического поля за счет геометрии конечных элементов. Недостатками данного способа решения являются необходимость в случае сложной геометрии межэлектродного пространства использовать большое коли чество конечных элементов, несимметричность общей матрицы, приводящая к увеличению времени счета. Метод предполагает использование специальных конечных элементов, на пример, двумерных квадратичных 8-ми узловых элементов PLANE223 или трехмерных квадратичных 12-ти узловых SOLID226. Каждый узел элемен та данных типов может содержать до 5 степеней свободы. Для решения свя занной электромеханической задачи выберем электроупругую опцию элемента KEYOPT(1)=1001, тогда каждый узел будет иметь 3 трансляционных и одну электрическую степени свободы: UX, UY, UZ, VOLT. Элементы преобразователи TRANS126 представляют собой одно мерные двух-узловые элементы с двумя степенями свободы в каждом узле: трансляционной (на выбор: UX, UY или UZ) и электрической (VOLT), Элемен

18 ты данного типа предназначены для преобразования электрической энергии в механическую и наоборот, таким образом, позволяют связать электрические и механические степени свободы. Принцип работы заключается в наличии в элементе зависимости электри ческой емкости 𝐶 от зазора δ между его узлами 𝐶 = 𝐶(δ), δ = δ0 + 𝑢1 − 𝑢2 , где δ0 – начальный зазор, 𝑢1 , 𝑢2 – координаты 1-го и 2-го узлов элемента соот ветственно. Существует возможность задания зависимости 𝐶(δ) как в форме поли нома 4-ой степени, так и парами чисел «емкость–зазор». Расчет зависимости 𝐶(δ) производится предварительно отдельным расчетом, например, с помощью макроса CMATRIX [7, с. 275]. Таким образом, в элементах–преобразователях рассчитывается зависимость электрической силы от положения тела. Появля ется возможность схематизировать сложное электрическое поле совокупностью конечного числа элементов–преобразователей (рис. 2.8). Рисунок 2.8 — Пример схематизации электрического поля множеством элементов–преобразователей TRANS126 Преимуществами данного метода являются простота построения конечно элементной модели, малое расчетное время, а также возможность учета механи ческого контакта пластин конденсатора. Вынужденная схематизация электри ческого поля является одним из недостатков метода, не позволяющая учиты вать неоднородности электрического поля. В данной работе не уделено внимание подробному рассмотрению методов параллельного решения связанных задач (Multi-Field analysis) и прямо го разложения по собственным формам (Reduced order modelling). От метим лишь, что принцип работы первого строится на итерационном решении механической и электрической задач, значения усилий и перемещений в данном

19 методе интерполируются между несвязанными моделями. Основным недостат ком такого подхода является необходимость перестраивания сетки на каждом итерационном шаге, что негативно отражается на времени счета. Метод прямо го разложения, как следует из названия, основывается на разложении электро механической задачи по собственным формам. Отличительной чертой метода является его эффективность при решении динамических задач на больших про межутках времени. Оба метода подробно описаны в [6]. 2.3.4 Конечно-элементное моделирование и анализ одноосного пассивного электростатического подвеса с переменным напряжением Аналитическое исследование одноосного пассивного электростатического подвеса проведено ранее в разделе 2.3.1. Для получения численных оценок по ведения подвеса обратимся к возможностям конечно-элементной программной системы ANSYS Mechanical, которые были разобраны в предыдущем разделе 2.3.2. Рисунок 2.9 — Расчетная схема конечно-элементной постановки методом прямого решения связанной задачи Построим расчетную конечно-элементную модель для прямого решения связанной задачи. Элементами SOLID226 моделируем пространство между электродом и твердым телом электростатического пассивного подвеса (рис. 2.5). На узлы, принадлежащие верхнему электроду, задаем связь равенства между собой электрических VOLT и трансляционных UX, UY, UZ степеней свободы

20 (Coupling–связь), ту же связь задаем и на узлы соответствующие твердому телу. Помимо этого, на узлы, принадлежащие поверхности твердого тела, применя ем граничное условие первого рода VOLT = 0. Массу твердого тела модели руем 𝑀 𝐴𝑆𝑆21 элементом. Разность потенциалов на противоположных гранях получившегося объема, т.е. разность потенциалов между электродом и телом, порождают в узлах силы, эквивалентные пондеромоторным электрическим си лам, связывая тем самым механическую и электрическую задачи. Электриче скую цепь моделируем одномерными элементами CIRCU94, содержащими од ну электрическую степень свободы VOLT. Схема расчетной модели для мето да прямого решения связанной задачи с использованием SOLID226 элементов представлена на рис. 2.9. Выбор параметров системы проводим на основе аналитических оценок раз дела 2.3.1. Для моделирования одноосного пассивного подвеса методом конеч ных элементов с использованием метода прямого решения связанной задачи приняты следующие параметры: – Амплитуда источника напряжения 𝑢0 = 10 В – Частота источника напряжения ω = 40 кГЦ – Сопротивление резистора 𝑅 = 300 Ом – Индуктивность 𝐿 = 2 мГн – Номинальный зазор δ0 = 3 мкм – Масса удерживаемого твердого тела 𝑚 = 6.25 г – Площадь фиксированного электрода 𝑆 = 50 см2 В силу большого времени счета ограничимся решением динамической за дачи данным методом с фиксированным твердым телом, т. е. при 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = δ0 . Решение производим путем динамического конечно-элементного анализа (ANTYPE,TRANS) методом Ньютона-Рафсона (модифицированный метод ка сательных) [8], шаг интегрирования задаем вручную, для этого проанализируем сходимость численного конечно-элементного решения, построив график зависи мости значения напряжения на верхнем электроде от величины шага интегри рования (рис. 2.10). Зададимся точностью ε = 0.0001, т. е. будем считать решение сошедшим ся, если угловой коэффициент касательной к графику 2.10 не превышает ε. Таким образом, минимальное количество шагов интегрирования на один пери од источника ЭДС необходимое для получения удовлетворяющего принимаем

21 Рисунок 2.10 — График сходимости метода прямого решения 𝑦(𝑁 ), где 𝑁 – количество шагов интегрирования на один период 𝑇 = 1/ω. 1 равным 64, т. е. 𝑑𝑡𝑚𝑎𝑥 = 64 · 𝑇 , где 𝑇 = ω1 – период, ω – частота источника напряжения. Результатом расчета имеем зависимости от времени напряжения на элек троде 𝑈 и электрической силы 𝐹𝑒 , представленные на рис. 2.11. Отклонение решения методом конечных элементов в модели с 50-ю элементами от прямого численного интегрирования уравнений (2.4) не превышает 14%, а с 500 элемен тами – 2.3%, т. е. при увеличении плотности разбиения демонстрируется тенден ция приближения конечно-элементного решения к некоторому решению, близ кому к численно интегрированному уравнению (2.4). Более подробный анализ сходимости решения от количества разбиений в работе не приведен по причине высокой ресурсоемкости метода. Метод прямого решения связанной задачи требует большого времени сче та, что не позволяет выгодно применить его к расчету электромеханической задачи пассивного подвеса со сложной, с точки зрения геометрии, конечно-эле ментной сетки межэлектродной полостью: зазором δ0 = 3 мкм при площади 𝑆 = 50 см2 . Однако, это не исключает возможности его применения к более простым случаям, более того, метод, как упоминалось ранее, позволяет учиты вать неоднородности электрического поля и при этом прост в реализации, что выгодно выделяет его на фоне других подходов.

22 Рисунок 2.11 — Результат конечно-элементного расчета методом прямого решения связанной задачи с фиксированным твердом телом в сравнении с численным решением ОДУ (2.4) По этой причине реализуем конечно-элементное решение задачи одноос ного пассивного электростатического подвеса с помощью элементов-преобразо вателей, описанных ранее в разделе 2.3.2. Расчетную модель построим путем замыкания в контур 3-х элементов электрической цепи CIRCU124 и одного электромеханического TRANS126 элемента. Массу твердого тела, находящего ся в пассивном электростатическом подвесе, моделируем MASS21 элементом. На верхний узел TRANS126, соответствующий верхнему фиксированному элек троду, накладываем запрет на перемещение UY = 0. На нижний узел наклады ваем граничное условие первого рода VOLT = 0. Как упоминалось ранее, для функционирования электромеханических эле ментов TRANS126 необходимо задание в них зависимости электрической емко

23 Рисунок 2.12 — Расчетная схема конечно-элементной постановки с использованием электромеханических элементов-преобразователей TRANS126 сти от зазора 𝐶(δ), где δ = δ0 + 𝑦1 − 𝑦2 , δ0 – номинальный зазор, 𝑦1 , 𝑦2 – координаты первого и второго узлов элемента. Для расчета электрической ем кости используем макрос CMATRIX, позволяющий вычислить емкость между двумя фиксированными электродами. Для этого построим конечно-элементную модель эквивалентную конденсатору с площадью обкладок каждого электро да 𝑆 = 50 см2 . Для построения модели используем двумерные 8-ми узловые электростатические элементы PLANE121 с одной степенью свободы VOLT в каждом узле. Рисунок 2.13 — График зависимости емкости от зазора 𝐶(δ), полученной методом конечных элементов, в сравнении с формулой емкости для плоского конденсатора

24 Итерационно в 20 шагов (именно столько точек на зависимости «за зор–емкость» способен хранить элемент TRANS126 ) перестраиваем расчетную модель, изменяя на каждом шаге зазор между обкладками, исследуем зависи мость электрической емкости от зазора на промежутке 1 мкм < δ < 10 мкм, напомним, что номинальный зазор δ0 = 3 мкм. Прежде чем производить динамический анализ убедимся в работоспособ ности пассивного подвеса с текущими параметрами, т. е. в том, что в положе нии 𝑦 = δ0 = 3 мкм с учетом допущений, сделанных в разделе 2.3.1, пассивный подвес способен удерживать тело. Это условие выполнится, если зависимость пондеромоторной силы, действующей на тело в подвесе, от зазора будет иметь резонансный характер, т. е. возрастать при отдалении тела от фиксированно го электрода и убывать при его приближении к электроду. Построим график зависимости пондеромоторной электрической силы от зазора между фиксиро ванным электродом и твердым телом (рис. 2.14). Рисунок 2.14 — График зависимости емкости от зазора 𝐶(δ), полученной методом конечных элементов, в сравнении с формулой емкости для плоского конденсатора Нетрудно видеть, что, как и на рис. 2.4, зависимость электрической силы от зазора на рис. 2.14 имеет резонансный характер. Точка пересечения графика силы с прямой силы тяжести 𝑚𝑔 = 6.25 г · 9.8 см2 имеет абсциссу 3 мкм, а значит выбор параметров подвеса был осуществлен верно.

25 Результаты динамического анализа конечно-элементной расчетной моде ли подвеса методом Ньютона-Рафсона представлены далее в разделе 2.4. Преж де, убедимся в сходимости численного конечно-элементного решения, построив график зависимости вертикальной координаты твердого тела 𝑦 от количества шагов интегрирования на один период источника напряжения 𝑇 = 1/ω. Гра фик сходимости представлен на рис. 2.15. Исходя из результата, выберем шаг 1 · 𝑇. интегрирования 𝑑𝑡𝑚𝑎𝑥 = 400 Рисунок 2.15 — График сходимости численного конечно-элементного решения в модели с электромеханическим элементом TRANS126 2.4 Сравнение результатов в задаче динамики одноосного электрического подвеса с явным моделированием связной задачи в ANSYS Динамический расчет конечно-элементной модели (рис. 2.12) производим со следующими параметрами запуска: – Время расчета 𝑡расч = 13 мс, 1 – Шаг интегрирования по времени 𝑑𝑡𝑚𝑎𝑥 = 400 · 𝑇 = 6.25 · 108 c, – Метод численного интегрирования Ньютона-Рафсона.

26 Напомним, что уравнения движения имеют вид 𝑒𝑦 = 𝑢0 sin ω𝑡, ε0 𝑆 𝑒2 𝑚¨ 𝑦 + 𝑚𝑔 − = 0. 2ε0 𝑆 𝐿¨ 𝑒 + 𝑅𝑒˙ − Результаты конечно-элементного моделирования сравним с результатом прямого численного интегрирования уравнений движения с помощью решате ля ODEINT [9]. На рис. 2.16 представлен сравнительный график перемеще ния твердого тела 𝑦. Ниже, на рис. 2.17, представлен график напряжения на фиксированном электроде с частотой ω источника напряжения. На рис. 2.18 представлены графики пондеромоторной силы и напряжения на электроде на небольшом отрезке времени. Рисунок 2.16 — Результат конечно-элементного моделирования в сравнении с прямым численным интегрированием уравнений движения (2.4): перемещение 𝑦 Сплошной «закраске» графика 2.17 соответствуют быстрые колебания за ряда на электроде, при этом очевидна реакция напряжения на механические колебания 𝑦 на рис. 2.16. По графикам на рис. 2.18 можем убедиться в том, что частота колебаний электрической пондеромоторной силы действительно в два раза выше частоты источника напряжения.

27 Рисунок 2.17 — Результат конечно-элементного моделирования в сравнении с прямым численным интегрированием уравнений движения (2.4): напряжение на электроде 𝑈 Построив график функции ε = (𝑦𝑖МКЭ − 𝑦𝑖ОДУ )/𝑦 ОДУ𝑖 · 100, где 𝑦𝑖МКЭ , 𝑦𝑖ОДУ – значения соответствующих решений в момент времени 𝑡𝑖 , оценим в процент ном соотношении отклонение результата конечно-элементного моделирования от прямого численного интегрирования уравнений движения. График отклоне ния представлен на рис. 2.19. Отклонение значений перемещения в конечно-эле ментной модели на рассматриваемом отрезке времени не превышает 0.08%. Таким образом, в этой главе продемонстрированы базовые возможно сти программной системы ANSYS для конечно-элементного моделирования за дач электромеханики, включая моделирования электрических цепей. Продемон стрированы возможности динамического конечно-элементного анализа электро механических задач методом Ньютона-Рафсона, произведен анализ сходимости метода.

28 а) Электрическая пондеромоторная б) Напряжение на фиксированном сила электроде Рисунок 2.18 — Результат конечно-элементного моделирования на промежутке 0.6 < 𝑡 < 0.7мс: напряжение и сила Рисунок 2.19 — Отклонение результата конечно-элементного моделирования от прямого численного интегрирования уравнений движения в процентах

29 Глава 3. Сферический трехосный пассивный электростатический подвес 3.1 Краткое описание объекта исследования – трехосного пассивного электростатического подвеса, некоторые аналитические оценки Объектом исследования является упрощенная схема трехосного электро статического подвеса, приведенная на рис. 3.1а. Построим конечно-элементную модель в программной системе ANSYS, принимая следующие допущения: 1. Центр тяжести сферического ротора совпадает с его геометрическим центром 2. Каналы X, Y, Z подвеса строго ортогональны друг другу 3. Результирующая пондеромоторных сил каждого из каналов X, Y, Z в любой момент времени действует вдоль оси своего канала 4. Результирующий вектор момента сил равен нулю а) Упрощенная схема трехосного б) Эквивалентная электрическая подвеса схема подвеса Рисунок 3.1 — Сферический трехосный пассивный электростатический подвес: схемы С учетом введенных допущений конечно-элементную модель построим следующим образом: электрические цепи моделируем CIRCU124 элементами, сферический ротор представим точечным элементом массы MASS21, емкости,

30 образованные ротором и фиксированными обкладками каждого из каналов, мо делируем электромеханическими элементами-преобразователями TRANS126. Для задания в электромеханических элементах TRANS126 зависимости электрической емкости от величины зазора 𝐶(δ) построим вспомогательную модель и произведем расчет емкости с помощью макроса CMATRIX. Вспомога тельная модель представляет собой полость между фиксированными электрода ми цепи и ротором, заполненную электростатическими SOLID122 элементами. Как и в предыдущей главе, итерационно находим зависимость электрической емкости от величины зазора 𝐶(δ) и передаем значения в определение электро механических элементов. Динамика подвеса в специализированной литературе [1] оценивается сле дующими приближенными уравнениями движения: 𝑑∆𝑖 1 𝑑2 ∆𝑖 + ∆𝑖 = 𝐵∆𝑥˙ cos ω𝑡 − ϕ − 𝐵ω∆𝑥 sin ω𝑡 − ϕ, 𝐿 2 +𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶0 𝑚∆¨ 𝑥 + 𝐹𝑥 = 𝑚𝑔. где 𝐵 = δ0 𝐶0 ω √ 𝑢0 2 𝑅 +(𝐿ω−1/𝐶 2 0 ω) (3.1) , ∆𝑖, ∆𝑥 – отклонение соответствующих парамет ров от начальных значений, 𝑖(𝑡) = 𝑑𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 – связь тока с зарядом. Подбор параметров системы производится таким образом, чтобы величина η = 1 [1]: 1 𝐿ω − 𝐶ω η= =1 𝑅 Тогда параметрами подвеса выберем: – Амплитуда источника напряжения 𝑢0 = 30 кВ – Частота источника напряжения ω = 500 кГЦ – Сопротивление резистора 𝑅 = 3636 Ом – Индуктивность 𝐿 = 80 мГн – Номинальный зазор δ0 = 40 мкм – Масса удерживаемого твердого тела 𝑚 = 1.0 мкг – Площадь фиксированного электрода 𝑆 = 3 см2

31 3.2 Результаты конечно-элементного моделирования трехосного пассивного электростатического подвеса Динамический анализ производим методом Ньютона-Рафсона, время рас 1 · 𝑇, 𝑇 = 1/ω. Зададим ротору чета 30 мс, шаг интегрирования 𝑑𝑡𝑚𝑎𝑥 = 64 ускорение вдоль оси Z 𝑎𝑧 = 𝑔 = 9.8м/с2 , моделируя силу тяжести. Для провер ки корректности работы подвеса вдоль всех осей добавим ускорение вдоль оси X, 𝑎𝑥 = 4м/с2 . На рис. 3.2 приведены перемещения ротора по трем осям X,Y и Z. Как и в случае с одноосным подвесом, собственное движение трехосного подвеса неустойчиво и для обеспечения устойчивости необходимо в схему управления вводить коррекционные цепи, обеспечивающие демпфирование механических колебаний ротора. Без демпфирующих слагаемых в подвесе происходит посто янная «накачка» энергии, амплитуда механических колебаний растет, до мо мента столкновения ротора с одним из электродов. Рисунок 3.2 — Результат конечно-элементного моделирования: перемещения ротора Плотной «закраске» на рис. 3.3 и 3.4 соответствуют быстрые колебания заряда с частотой источника ω и 2ω соответственно.

32 Рисунок 3.3 — Результат конечно-элементного моделирования: напряжения на конденсаторах На рис. 3.4 особенно ярко выражено затухание общего решения электри ческой части уравнения движения цепи или, иначе, затухания переходных про цессов электрического контура. Рисунок 3.4 — Результат конечно-элементного моделирования: электрические силы Таким образом, для упрощенной модели трехосного электростатического подвеса получено конечно-элементное решение динамической задачи методом

33 Ньютона-Рафсона. Продемонстрированы возможности программной системы ANSYS для решения трехмерных электромеханических задач. Подготовлена конечно-элементная модель трехосного пассивного подвеса по упрощенной схе ме.

34 Заключение Основные результаты работы заключаются в следующем. 1. На основе анализа уравнений энергии одноосного подвеса была показа на невозможность нахождения тела в положении устойчивого равнове сия без управления напряжением. 2. Исследована модель одноосного пассивного электростатического подве са с переменным напряжением 3. Описаны основные подходы при моделировании задач электромехани ки в программной системе конечно-элементного анализа 4. Произведено конечно-элементное моделирование задачи одноосного пассивного электростатического подвеса 5. Произведен анализ и конечно-элементное моделирование задачи одно осного пассивного электростатического подвеса 6. Произведено конечно-элементное моделирование задачи сферического трехосного пассивного электростатического подвеса В заключение автор выражает благодарность и большую признательность научному руководителю Попову И.А. за поддержку, помощь, обсуждение ре зультатов и научное руководство.

35 Список литературы 1. Лукьянов Д. П., Распопов В. Я., Филатов Ю. В. Прикладная теория ги роскопов. — СПб. : ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2015. — 316 с. 2. Мартыненко Ю. Г. Движение твёрдого тела в электрических и магнитных полях. — М. : Наука, 1988. — 357 с. 3. Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М. : Физматлит, 2003. — 616 с. 4. История создания электростатического гироскопа. Памяти главного кон структора А.С. Анфиногенова / О. И. Парфенов [и др.]. — СПб. : ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2011. — 204 с. 5. Мартыненко Ю. Г. Аналитическая динамика электромеханических си стем. — М. : МЭИ, 1984. — 64 с. 6. ANSYS Mechanical APDL Coupled-Field Analysis Guide. — Release 15.0. — U.S. : SAS IP, Inc., 2013. — 274 p. 7. ANSYS Mechanical APDL Command Reference. — Release 15.0. — U.S. : SAS IP, Inc., 2013. — 274 p. 8. ANSYS Mechanical APDL Theory Reference. — Release 15.0. — U.S. : SAS IP, Inc., 2013. — 952 p. 9. Ahnert K., Mulansky M. Odeint - Solving Ordinary Differential Equations in C++ // AIP Conf. Proc. — 2011. — No. 1389.

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

Рецензия от Роман Фасахов

Отзыв научного руководителя на бакалаврскую работу студента Фасахова Р.Р.

около 7 лет назад

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв