Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Êàôåäðà ìîäåëèðîâàíèÿ ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèõ è êîìïüþòåðíûõ
ñèñòåì
Ïàí÷åíêî Ìàðãàðèòà Ñòàíèñëàâîâíà
Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà áàêàëàâðà
Èññëåäîâàíèå ÿâíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå Êóòòû
ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè
Íàïðàâëåíèå 010900
¾Ïðèêëàäíûå ìàòåìàòèêà è ôèçèêà¿
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê,
äîöåíò
Êðèâîâè÷åâ Ã. Â.
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2016
Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Ãëàâà 1. Îáçîð ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Çàäà÷à Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Ìåòîä ðÿäîâ Òåéëîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. ßâíûå ìåòîäû Ðóíãå Êóòòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Îáëàñòü ñòîé÷èâîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. ßâíûå ìåòîäû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ãëàâà 2. Òðåõýòàïíûå ìåòîäû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Ñëó÷àé íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.2. Ñëó÷àé àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Ôóíêöèÿ óñòîé÷èâîñòè è âûáîð îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ . . . . . . . . . 15
Ãëàâà 3. Ðåøåíèå òåñòîâûõ çàäà÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Çàêëþ÷åíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
Ââåäåíèå
Çàäà÷åé Êîøè äëÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
îïèñûâàþòñÿ ðàçíûå ïðîöåññû â íàóêå è òåõíèêå. Ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêîå
ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è ìîæíî òîëüêî â ìàëîì ÷èñëå âîçìîæíûõ ñëó÷àåâ. Â
ñâÿçè ñ ýòèì çàäà÷à ðàçðàáîòêè è èññëåäîâàíèÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ
çàäà÷è Êîøè ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå ãëàâíûõ â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå.
Ñëîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ âîçíèêàåò è ïðè äèñêðåòèçàöèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìåòîäîì ïðÿìûõ.  ýòîì ñëó÷àå
îñîáåííî àêòóàëüíîé ñòàíîâèòñÿ ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà. Êàê ïðàâèëî,
÷èñëî íåèçâåñòíûõ â òàêèõ ñèñòåìàõ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì óçëîâ ñåòêè, òàê ÷òî
îíè èìåþò áîëüøóþ ðàçìåðíîñòü. Â ñâÿçè ñ ýòèì, äëÿ ïîäîáíûõ ñèñòåì ïðåäïî÷òèòåëüíî èñïîëüçîâàòü ÿâíûå ìåòîäû, áîëåå ïðîñòûå è ìåíåå çàòðàòíûå â
ðåàëèçàöèè, íî, êàê ïðàâèëî, óñëîâíî óñòîé÷èâûå.
 Ãëàâå 1 ðàññìàòðèâàþòñÿ íåêîòîðûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è
Êîøè, à èìåííî: ìåòîä ðÿäîâ Òåéëîðà, ÿâíûå ìåòîäû Ðóíãå Êóòòû. Ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêèå ïîíÿòèÿ, êàê ïîðÿäîê òî÷íîñòè è ÷èñëî ýòàïîâ ìåòîäà
è èõ çàâèñèìîñòü îò íàáîðà ïàðàìåòðîâ ìåòîäà. Ðàññìîòðåíà ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ ìåòîäîâ. Ïðèâîäÿòñÿ îïðåäåëåíèå ôóíêöèè óñòîé÷èâîñòè è îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè. Ïðèâîäÿòñÿ ôîðìóëû äëÿ ìåòîäîâ ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.
 Ãëàâå 2 ðàññìàòðèâàþòñÿ ÿâíûå ìåòîäû Ðóíãå Êóòòû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè. Âûâîäÿòñÿ ñèñòåìû óñëîâèé ïîðÿäêà ìåòîäà òðåõ ýòàïîâ
äëÿ ñëó÷àåâ íåàâòîíîìíîãî è àâòîíîìíîãî óðàâíåíèé. Îïðåäåëÿþòñÿ âõîäíûå ïàðàìåòðû. Ïðîèçâîäèòñÿ íàãëÿäíîå ñðàâíåíèå ôóíêöèé óñòîé÷èâîñòè
3
îáû÷íîãî ìåòîäà è ìåòîäà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè. Ïðåäëàãàåòñÿ îñóùåñòâëÿòü âûáîð âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïëîùàäü îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè îêàçàëàñü íàèáîëüøåé.
 Ãëàâå 3 ïðè ðåøåíèè òåñòîâûõ çàäà÷ ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäëîæåííûé ïîäõîä ê ìàêñèìèçàöèè ïëîùàäè îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè äåéñòâèòåëüíî ïîçâîëÿåò
óëó÷øàòü ïðàêòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ìåòîäîâ.
4
Ãëàâà 1. Îáçîð ëèòåðàòóðû
1.1. Çàäà÷à Êîøè
Çàäà÷à Êîøè äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èìååò
âèä:
ẏ(t) = f (t, y(t)),
t ∈ (0; T ],
y(0) = y0 ,
ãäå y : [0; T ] → R,
f : (0; T ] × R → R,
(1)
(2)
y0 ∈ R.
Çàìåòèì, ÷òî ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè ïîñòðîåíèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ
äëÿ çàäà÷è (1)(2), åñòåñòâåííî ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé ñèñòåìû
óðàâíåíèé.
1.2. Ìåòîä ðÿäîâ Òåéëîðà
Ðåøèòü çàäà÷ó (1)(2) àíàëèòè÷åñêè óäàåòñÿ ëèøü â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ,
íàïðèìåð, äëÿ ñïåöèàëüíûõ òèïîâ óðàâíåíèé. Ïîýòîìó ñóùåñòâóþò ïðèáëèæåííûå ñïîñîáû ðåøåíèÿ. Îäèí èç òàêèõ ìåòîäîâ ìåòîä ñòåïåííûõ ðÿäîâ,
ðåàëèçàöèåé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå èñêîìîé ôóíêöèè y(t) â âèäå
îòðåçêà ðÿäà Òåéëîðà.
Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå îòðåçêà t ∈ (0; T ] òî÷êàìè:
0 < t1 < t2 < . . . < tN = T.
Ïîëó÷åííûé íàáîð òî÷åê íàçûâàåòñÿ ñåòêîé, à òî÷êè ti óçëàìè ñåòêè.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü f (t, y(t)) óðàâíåíèÿ (1) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äî íåêîòîðîãî ïîðÿäêà k .  ñëåäñòâèå ýòîãî èñêîìîå
ðåøåíèå y(t) èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà k+1 âêëþ÷èòåëüíî.
5
Òîãäà ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ðåøåíèå â óçëå t1 ïðåäñòàâëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì:
y(t1 ) ≈ y0 +
(i)
ãäå y0 = y (i) (0),
hy0′
h2 ′′
hk (k)
+ y0 + . . . + y0 ,
2
k!
(3)
h = t1 − t0 .
Ïðîèçâîäíûå â ïðàâîé ÷àñòè (3) ìîãóò áûòü íàéäåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
y0′ = f (0, y0 ),
{
}
y0′′ = ft′ + f fy′ ,
{
(
) }
′′
y0′′′ = ftt′′ + 2f fty′′ + f 2 fyy
+ ft′ + f fy′ fy′ .
·········
Âåñîìûì íåäîñòàòêîì äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè
ïîðÿäêà k âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ ñòàíîâÿòñÿ áîëåå ãðîìîçäêèìè.
1.3. ßâíûå ìåòîäû Ðóíãå Êóòòû
Êàðëîì Ðóíãå áûë ïðåäëîæåí ñëåäóþùèé ïîäõîä, êîòîðûé îñíîâàí íà íàéäåííîì ïðèáëèæåííîì çíà÷åíèè yj ≈ y(tj ) ðåøåíèÿ y = y(t) çàäà÷è (1) (2)
è âû÷èñëåíèè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ yj+1 â ñëåäóþùåì óçëå tj+1 = tj + h.
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå:
yj+1 ≈ yj +
m
∑
pi Ki (h).
i=1
Ôóíêöèè Ki (h) çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
K1 (h) = hf (tj , y(tj )),
K2 (h) = hf (tj + α2 h, y(tj ) + β21 K1 (h)),
K3 (h) = hf (tj + α3 h, y(tj ) + β31 K1 (h) + β32 K2 (h)),
.........
6
(4)
(
Km (h) = hf
tj + αm h, y(tj ) +
m−1
∑
)
βml Kl (h) ,
l=1
ãäå m ÷èñëî ýòàïîâ ìåòîäà.
Êîíêðåòíûé ìåòîä îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì ïàðàìåòðîâ pi , αk , βkl , i = 1, m, k =
2, m, l = 1, k − 1, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû (4) ñîâïàäàëî ñ
ðàçëîæåíèåì (3) äî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîãî k ïðè ôèêñèðîâàííîì m (ñì.
[1]). Ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ìåòîäà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ρqm (h) = y(tj + h) − yj −
m
∑
pq Kq ,
(5)
q=1
ãäå y(tj + h) òî÷íîå ðåøåíèå. Åñëè äëÿ (5) ñïðàâåäëèâî, ÷òî ïðè h → 0 :
ρm (h) =
ρs+1 (θ) s+1
h ,
(s + 1) !
ãäå ρm (0) = 0, ρ′m (0) = 0, . . . , ρm (0) = 0, òî ìåòîä èìååò ïîðÿäîê òî÷íîñòè s.
(s)
 òàáëèöå 1 [2] ìîæíî óâèäåòü, êàê îòíîñèòñÿ ÷èñëî ýòàïîâ ìåòîäà ê ïîðÿäêó åãî òî÷íîñòè.
m 1 2 3 4 5 6 7
s
1 2 3 4 6 7 9
Òàáëèöà 1.Çàâèñèìîñòü ïîðÿäêà òî÷íîñòè îáû÷íîãî ìåòîäà Ðóíãå Êóòòû îò ÷èñëà åãî
ýòàïîâ.
Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðû ôóíêöèé Ki (h) (4) çàäàþòñÿ òàê, ÷òîáû îáåñïå÷èâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïðè ôèêñèðîâàííîì ÷èñëå ýòàïîâ
m, òî åñòü ïðè ôèêñèðîâàííîì ÷èñëå âû÷èñëåíèé ôóíêöèè f .
Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå îäíîýòàïíîãî ìåòîäà:
y(tj + h) ≈ yj + p1 K1 (tj , yj ) = yi + p1 hf (tj , yj ).
ρ1 (h) = y(tj + h) − yj − p1 hf (tj , yj ),
7
ïðè h = 0:
ρ1 (0) = y(tj ) − yj − p1 · 0 = 0.
ρ′1 (h) = y ′ (tj + h) − p1 f (tj , yj ) = f (tj + h, y(tj + h)) − p1 f (tj , yj ).
Ïðè h = 0:
ρ′1 (0) = f (tj , yj ) − p1 f (tj , yj ) = (1 − p1 )f (tj , yj ).
ρ′1 (0) = 0, ñëåäîâàòåëüíî, 1 − p1 = 0, òîãäà p1 = 1. Âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì,
áóäåò ëè äîñòèãàòüñÿ âòîðîé ïîðÿäîê òî÷íîñòè.
ρ′′1
(
=
)
∂f (tj + h, y(tj + h)) ∂f (tj + h, y(tj + h)) ′
+
y (tj + h) .
∂t
∂y
Ïðè h = 0:
ρ′′1 (0) =
(
)
∂f (tj , yj ) ∂f (tj , yj )
+
f (tj , yj ) .
∂t
∂y
Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå ρ′′1 (0) ̸= 0, ñëåäîâàòåëüíî ïðè m = 1 ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ðàâåí 1.
Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå äâóõýòàïíîãî ìåòîäà:
y(tj + h) ≈ yj + p1 hf (tj , yj ) + p2 hf (tj + α2 h, yj + β21 hf (tj , yj )),
ρ2 (h) = y(tj + h) − yj − p1 hf (tj , yj ) − p2 hf (ti + α2 h, yj + β21 hf (tj , yj )).
Çäåñü ó ìåòîäà óæå 4 ïàðàìåòðà: p1 , p2 , α2 , β21 .
Îáîçíà÷èì tj (h) = tj + α2 h, yj (h) = yj + β21 hf (tj , yj ). Òîãäà
ρ2 (0) = y(tj ) − yj = 0.
ρ′2 (h) = y ′ (tj + h) − p1 f (tj , yj ) − p2 f (tj (h), yj (h))−
)
(
∂f (tj (h), y(tj (h))) dy(tj (h))
∂f (tj (h), y(tj (h)))
α2 +
β21 ,
−p2 h
∂t
∂y
dt
8
ïðè h = 0: ρ′2 (0) = (1 − p1 − p2 )f (tj , yj ), ñëåäîâàòåëüíî, 1 − p1 − p2 = 0.
∂f (tj + h, y(tj + h))
∂f (tj + h, y(tj + h))
+ f (tj + h, y(tj + h))
−
∂t
∂y
)
(
∂f (tj (h), yj (h))
∂f (tj (h), yj (h))
−2p2
α2 + β21
f (tj (h), yj (h)) −
∂t
∂y
(
)
∂f (tj (h), yj (h))
∂f (tj (h), yj (h))
−p2 h
α2 + β21
f (tj + h, y(tj + h)) .
∂t
∂y
ρ′′2 (h) =
Òîãäà
ρ′′2 (h) = (1 − 2p2 α2 )ft′ (tj + h, y(tj + h))+
(
+hp2
+(1 − 2p2 β21 )fy′ (tj + h, y(tj + h))f (tj + h, y(tj + h))+
)
∂f (tj + h, y(tj + h))
∂f (tj + h, y(tj + h))
α2 + β21
f (ti j + h, y(tj + h)) .
∂t
∂y
Ñëåäîâàòåëüíî, ρ′′2 (0) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 1 − 2p2 α2 = 0 è 1 −
2p2 β21 = 0. Èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ (óñëîâèÿ
ïîðÿäêà):
p1 + p2 = 1,
2p2 α2 = 1,
2p2 β21 = 1.
Èç íåå ñëåäóåò, ÷òî p2 ̸= 0, α2 ̸= 0 è β21 ̸= 0. Èìååì ñèñòåìó èç òðåõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ÷åòûðåõ íåèçâåñòíûõ. Ïóñòü α2 âõîäíîé ïàðàìåòð. Òîãäà
ïîëó÷àåì:
p2 =
1
,
2α2
p1 = 1 −
1
,
2α2
β21 = α2 .
Èçâåñòíî [2], ÷òî çà ñ÷åò âûáîðà ïàðàìåòðîâ íåëüçÿ äîáèòüñÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà
òî÷íîñòè ïðè m = 2.
9
1.4. Îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè
Óñòîé÷èâîñòü ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èññëåäóåòñÿ íà ïðèìåðå çàäà÷è Êîøè âèäà [4]
ẏ = λy,
y(0) = 1.
(6)
Îäíîøàãîâûé ÷èñëåííûé ìåòîä, ïðèìåíÿåìûé ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (6), ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå
yn+1 = R(z)yn ,
z = λh,
ãäå R(z) ôóíêöèÿ óñòîé÷èâîñòè [3]. Äàííàÿ çàäà÷à èçâåñòíà êàê òåñòîâàÿ
çàäà÷à Äàëêâèñòà [4]. Òîãäà ìíîæåñòâî
D = {z ∈ C, |R(z)| ≤ 1}
íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè äàííîãî ìåòîäà.
Ôóíêöèÿ óñòîé÷èâîñòè îáû÷íîãî ìåòîäà Ðóíãå Êóòòû èç äâóõ ýòàïîâ áóäåò èìåòü âèä:
R(z) = 1 + z +
z2
,
2
à äëÿ ìåòîäà èç òðåõ ýòàïîâ:
z2 z3
R(z) = 1 + z + + .
2
6
Êàê ìîæíî çàìåòèòü, äëÿ ìåòîäîâ âèäà (4) çà ñ÷åò âûáîðà ïàðàìåòðîâ íèêàê
íåëüçÿ âëèÿòü íà îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè.
1.5. ßâíûå ìåòîäû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè
 ðàáîòå Ãåêåíà è Äæîíñîíà â 2000 ãîäó [3] áûë ïðåäëîæåí ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ ìåòîäà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè, îñíîâàííîãî íà èñïîëüçîâàíèè
10
ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â ñëó÷àå ñêàëÿðíîãî óðàâíåíèÿ è ìàòðèöû
ßêîáè â ñëó÷àå ñèñòåìû óðàâíåíèé.
 äàííîì ìåòîäå â ïðåäñòàâëåíèè ïî ôîðìóëå (4) ôóíêöèè Ki (h) çàäàþòñÿ
óæå èíûì ñïîñîáîì, îòëè÷íûì îò îáû÷íîãî äîïîëíèòåëüíûìè ñëàãàåìûìè:
K1 (h) = hf (tj , y(tj )),
K2 (h) = hf (tj + α21 h + α22 h2 fy′ , y(tj ) + β21 K1 (h) + β22 hK1 (h)fy′ ),
K3 (h) = hf (tj + α31 h + α32 h2 fy′ , y(tj ) + β31 K1 (h) + β32 K2 (h)+
+β33 hK1 (h)fy′ + β34 hK2 (h)fy′ ),
.........
(
)
m−1
∑
2 ′
′
Km (h) = hf tj + αm1 h + αm2 h fy , y(tj ) +
(βml + hfy βm(l+m−1) )Kl (h) .
l=1
Äîñòîèíñòâî ìåòîäîâ ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èõ ïîðÿäîê òî÷íîñòè êàê ìèíèìóì
íà åäèíèöó áîëüøå, ÷åì ÷èñëî ýòàïîâ, â îòëè÷èå îò îáû÷íûõ ìåòîäîâ [3].
Ïî àíàëîãèè ñ îáû÷íûì äâóõýòàïíûì ìåòîäîì Ðóíãå Êóòòû ñòðîèòñÿ è
äâóõýòàïíûé ìåòîä ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè (ðàññìîòðèì äëÿ ñëó÷àÿ
ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ y ′ = f (y)):
yn+1 = yn + p1 K1 (h) + p2 K2 (h),
K1 (h) = hf (yn ),
K2 (h) = hf (yn + β21 K1 (h) + hβ22 fy′ (yn )K1 ).
 îòëè÷èå îò îáû÷íîãî ìåòîäà òàêîé ìåòîä èìååò òðåòèé ïîðÿäîê. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ ìåòîäà p1 , p2 , β21 , β22 èìååì ñèñòåìó èç ÷åòûðåõ
óðàâíåíèé:
11
p1 + p2 = 1,
p2 β21 = 1 ,
2
p2 β22 = 16 ,
2
p2 β21
= 13 .
Êàê ìîæíî âèäåòü p2 ̸= 0, β21 ̸= 0, β22 ̸= 0. Ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû p1 = 14 ,
p2 = 34 , β21 = 32 , β22 =
2
9
åäèíñòâåííîå.
Çàìåòèì, ÷òî ïðåäëîæåííûå â [3] ìåòîäû ïîêà íåäîñòàòî÷íî èññëåäîâàíû.
 ñâÿçè ñ ýòèì öåëü ðàáîòû ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè ìåòîäîâ ÐóíãåÊóòòû
ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè. Äëÿ äîñòèæåíèÿ ïîñòàâëåííîé öåëè íåîáõîäèìî ðåøèòü ñëåäóþùèå çàäà÷è:
1) Èçó÷èòü ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ ìåòîäîâ ÐóíãåÊóòòû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.
2) Ïîñòàâèòü è ðåøèòü çàäà÷ó î íàõîæäåíèè îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ìåòîäîâ.
3) Ðåøèòü òåñòîâûå çàäà÷è äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
12
Ãëàâà 2. Òðåõýòàïíûå ìåòîäû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà
òî÷íîñòè.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ òðåõýòàïíûì ìåòîäàì. Â
ñëó÷àå íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ ìåòîä çàâèñèò îò îäíîãî ïàðàìåòðà, â ñëó÷àå
àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ îò äâóõ.
2.1. Ñëó÷àé íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ.
Ñèñòåìà óñëîâèé ïîðÿäêà äëÿ òðåõýòàïíîãî ìåòîäà â ñëó÷àå íåàâòîíîìíîãî
óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó 12 àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî 13 íåèçâåñòíûõ:
p1 + p2 + p3 = 1,
(7)
p2 α21 + p3 α31 = 1/2,
(8)
2
2
p2 α21
+ p3 α31
= 1/3,
(9)
3
3
p2 α21
+ p3 α31
= 1/4,
(10)
p2 α22 + p3 (α21 β32 + α32 ) = 1/6,
(11)
p3 α21 α31 β32 = 1/8,
(12)
2
2p2 α21 α22 + p3 (α21
β32 + 2α31 α32 ) = 1/12,
(13)
p3 (α22 β32 + α21 β34 ) = 1/24,
(14)
β31 + β32 = α31 ,
(15)
β33 + β34 = α32 ,
(16)
β21 = α21 ,
(17)
β22 = α22 .
(18)
13
Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåäîîïðåäåëåííîé è îäèí ïàðàìåòð íóæíî
ïîëîæèòü âõîäíûì.  êà÷åñòâå òàêîãî ïàðàìåòðà áûë âûáðàí ïàðàìåòð α21 ,
òàê êàê ïðè òàêîì âûáîðå ïîëó÷àåòñÿ ïîäñèñòåìà, ÷åðåç ðåøåíèå êîòîðîé
âûðàæàþòñÿ îñòàëüíûå ïàðàìåòðû.
Èç óðàâíåíèÿ (12) âèäíî, ÷òî α21 ̸= 0, α31 ̸= 0, p3 ̸= 0, β32 ̸= 0. Òàê
êàê ïàðàìåòð α21 âõîäíîé, òî èç ïîäñèñòåìû óðàâíåíèé (8)-(10) ÷åðåç α21
âûðàæàþòñÿ ïàðàìåòðû p2 , p3 , α31 . Çàòåì øàã çà øàãîì íàõîäÿòñÿ îñòàëüíûå
ïàðàìåòðû: èç óðàâíåíèÿ (7) âûðàæàåòñÿ p1 , èç (12) β32 , èç (15) β31 , èç
ïîäñèñòåìû (11), (13) α22 , α32 , èç (14) β34 , èç (16) β33 , èç (17) β21 ,
à èç (18) β22 . Ðåøåíèå óðàâíåíèé ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñîâðåìåííûõ ïàêåòîâ êîìïüþòåðíîé àëãåáðû, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ Symbolic
Toolbox ïàêåòà MATLAB. Âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò ðåøåíèÿ íå ïðèâîäÿòñÿ
â ñèëó èõ ãðîìîçäêîñòè.
2.2. Ñëó÷àé àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ.
ẏ(t) = f (y(t)),
y(0) = y0 .
Ñèñòåìà äëÿ óñëîâèé ïîðÿäêà â ñëó÷àå àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:
p1 + p2 + p3 = 1,
p2 β21 + p3 (β31 + β32 ) = 1/2,
2
p2 β21
+ p3 (β31 + β32 )2 = 1/3,
3
p2 β21
+ p3 (β31 + β32 )3 = 1/4,
p2 β22 + p3 (β21 β32 + β33 + β34 ) = 1/6,
p3 (β21 β34 + β22 β32 ) = 1/24,
p2 β21 β22 + p3 (β21 β32 ((1/2)β21 + β31 + β32 ) + (β31 + β32 )(β33 + β34 )) = 1/6.
Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ âûáèðàþòñÿ âõîäíûå ïàðàìåòðû β31 , β32 è âûðàæàþòñÿ îñòàëüíûå ïàðàìåòðû ñèñòåìû.
14
2.3. Ôóíêöèÿ óñòîé÷èâîñòè è âûáîð îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ ïîäõîä, ïðè êîòîðîì ïàðàìåòðû áóäóò
âûáèðàòüñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïëîùàäü îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà îêàçàëàñü íàèáîëüøåé. Çàäà÷à î ïîèñêå îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì ïóñòü èçâåñòíî ìíîæåñòâî, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðîâ, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì.
Ïðåäåëû èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ ìåòîäà an è an ìîæíî îïðåäåëèòü â õîäå âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Îïòèìàëüíûì íàáîðîì ïàðàìåòðîâ áóäåò ñ÷èòàòüñÿ òîò, ïðè êîòîðîì ïëîùàäü îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøåé.
Ïðè ýòîì èìååòñÿ îïðåäåëåííàÿ ñëîæíîñòü íåèçâåñòåí âèä àíàëèòè÷åñêîé
çàâèñèìîñòè ïëîùàäè S îò ïàðàìåòðîâ. Ìîæíî âû÷èñëÿòü òîëüêî åå çíà÷åíèÿ
ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ. Ïîýòîìó äëÿ ïîèñêà íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ìîæíî
ïðèìåíÿòü òîëüêî ìåòîäû íå èñïîëüçóþùèå ïðîèçâîäíûå.
Ïðè ðàñ÷åòàõ èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä ïðîñòåéøåãî ñëó÷àéíîãî ïîèñêà. Åãî
ñóòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ [an ; an ] çàäàåòñÿ
ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê
ξn = (an − an )γn + an ,
(19)
ãäå γn ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íà îòðåçêå [0; 1]. Â
êàæäîé èç ýòèõ òî÷åê âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè S(an ) è íàõîäèòñÿ òî÷êà an0 , â êîòîðîé S(an0 ) = max S(an ) [5]. Äëÿ ïîèñêà íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ
íàïèñàíà ïðîãðàìà â ñðåäå MATLAB, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà γn â (19) çàäàåòñÿ
ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè rand(). Äàííûé ìåòîä áûë âûáðàí, òàê êàê îí ïðîñòîé â
ðåàëèçàöèè, ïðèìåíÿåì â ïðîñòðàíñòâàõ ëþáîé ðàçìåðíîñòè, è ïîòîìó ÷òî îáëàñòü, êîòîðîé ïðèíàäëåæàò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (ïàðàëëåëåïèïåä), õîðîøî
ïîäõîäèò äëÿ åãî ïðèìåíåíèÿ.
15
Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î íàõîæäåíèè îïòèìàëüíîãî ïàðàìåòðà òðåõýòàïíîãî ìåòîäà. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè óñòîé÷èâîñòè îáû÷íîãî ìåòîäà è ìåòîäà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.
1. Ôóíöêèÿ óñòîé÷èâîñòè îáû÷íîãî ìåòîäà:
1
1
R = 1 + z + z3.
2
6
2. Ôóíêöèÿ óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè:
1
1
1
R = 1 + z + z 3 + z 4 + p3 β34 β22 z 5 .
2
6
24
(20)
Êàê ìîæíî âèäåòü, ó ôóíêöèè óñòîé÷èâîñòè (20) åñòü ñëàãàåìîå, êîòîðîå çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ, òî åñòü çà ñ÷åò âûáîðà ïàðàìåòðîâ ìîæíî âëèÿòü íà
ïëîùàäü îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ìåòîäîâ ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.
Ðèñ. 1. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïëîùàäè îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà α21
Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïëîùàäè îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè
îò ïàðàìåòðà. Äëÿ ñëó÷àÿ íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ ïëîùàäü áóäåò èìåòü
íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè α21 = 0, 582543. Äëÿ ñëó÷àÿ àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ
îïòèìàëüíûå ïàðàìåòðû ðàâíû: β31 = 0, 655354, β32 = 0, 472121.
16
Ðèñ. 2. Ãðàíèöû îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè ìåòîäîâ 4 ïîðÿäêà. Êðàñíàÿ êðèâàÿ
òðåõýòàïíûé ìåòîä ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè ïðè îïòèìàëüíîì çíà÷åíèè α21 , ñèíÿÿ
êðèâàÿ ÷åòûðåõýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå Êóòòû
Íà ðèñ. 2 äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëåíû ãðàíèöû îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè
òðåõýòàïíîãî ìåòîäà 4 ïîðÿäêà è îáû÷íîãî ìåòîäà Ðóíãå Êóòòû 4 ïîðÿäêà
ñ 4 ýòàïàìè. Êàê ìîæíî âèäåòü, ïëîùàäü îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè òðåõýòàïíîãî ìåòîäà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà áîëüøå, ÷åì ïëîùàäü îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè
îáû÷íîãî ÷åòûðåõýòàïíîãî ìåòîäà.
Íà ðèñ. 3 äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëåíû ãðàíèöû îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè
òðåõýòàïíîãî ìåòîäà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà äëÿ ñëó÷àÿ íåàâòîíîìíîãî è àâòîíîìíîãî óðàâíåíèé. Ïëîùàäè îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè îêàçûâàþòñÿ ïðàêòè÷åñêè ðàâíûìè, ïîýòîìó ïîñêîëüêó ìåòîä äëÿ íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ
îïðåäåëÿåòñÿ âñåãî îäíèì ïàðàìåòðîì, à ìåòîä äëÿ àâòîíîìíîãî äâóìÿ, òî
íåò ñìûñëà îòäåëüíî ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ, êàê ýòî
îáû÷íî äåëàþò â ëèòåðàòóðå.
17
Ðèñ. 3. Ãðàíèöû îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè òðåõýòàïíûõ ìåòîäîâ ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà ïðè
îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðàõ. Êðàñíàÿ êðèâàÿ ìåòîä äëÿ íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ, ñèíÿÿ
êðèâàÿ ìåòîä äëÿ àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ
18
Ãëàâà 3. Ðåøåíèå òåñòîâûõ çàäà÷.
Ñðàâíåíèå òðåõýòàïíûõ ìåòîäîâ ñ îïòèìàëüíûìè ïàðàìåòðàìè ñ îáû÷íûì ìåòîäîì Ðóíãå Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è òðåõýòàïíûìè ìåòîäàìè
ñ íåîïòèìàëüíûìè ïàðàìåòðàìè ïðîâîäèëîñü ïðè ðåøåíèè äâóõ çàäà÷ Êîøè,
àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ êîòîðûõ èçâåñòíû [3].
Çàäà÷à 1.
ẏ = −y,
y(t) = e−t .
y(0) = 1,
Çàäà÷à 2.
y y2
ẏ = − ,
4 80
y(0) = 1,
y(t) =
20
t .
1 + 19e− 4
-6
1,5x10
-6
1,4x10
-6
1,3x10
-6
1
-6
2
1,2x10
1,1x10
3
-6
1,0x10
-7
9,0x10
-7
8,0x10
-7
7,0x10
-7
6,0x10
-7
5,0x10
-7
4,0x10
-7
3,0x10
-7
2,0x10
-7
1,0x10
0,0
-7
-1,0x10
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
h
Ðèñ. 4. Ãðàôèêè îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè: 1 ìåòîä ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà äëÿ
íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ; 2 ìåòîä ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà äëÿ àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ; 3
îáû÷íûé ìåòîä Ðóíãå Êóòòû 4 ïîðÿäêà.
19
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé òðåõýòàïíûõ ìåòîäîâ 4 ïîðÿäêà è îáû÷íîãî ìåòîäà Ðóíãå Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
Êàê ìîæíî âèäåòü, òðåõýòàïíûå ìåòîäû ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 1 ïîçâîëèëè ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íûé ðåçóëüòàò.
-10
9,0x10
-10
8,0x10
-10
7,0x10
1
2
-10
6,0x10
3
-10
5,0x10
-10
4,0x10
-10
3,0x10
-10
2,0x10
-10
1,0x10
0,0
-10
-1,0x10
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
h
Ðèñ. 5. Ãðàôèêè îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè: 1 ìåòîä ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà äëÿ
íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ; 2 ìåòîä ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà äëÿ àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ; 3
îáû÷íûé ìåòîä Ðóíãå Êóòòû 4 ïîðÿäêà.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 2 (ðèñ. 5) îêàçàëîñü, ÷òî òðåõýòàïíûå ìåòîäû ïðè
îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ âíîâü ÿâëÿþòñÿ áîëåå òî÷íûìè.
Ìåòîäû òåñòèðîâàëèñü è ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà ïðÿìûõ ê ðåøåíèþ çàäà÷
äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ [6]. Ìåòîä îñíîâàí íà òîì, ÷òî óðàâíåíèå äèñêðåòèçóåòñÿ òîëüêî ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ. Äëÿ ðàññìîòðåííûõ
çàäà÷ ýòî ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ñ íóëåâûì ãðà20
íè÷íûì óñëîâèåì è êóñî÷íî-ïîñòîÿííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì:
∂u
∂u
+a
= 0,
∂t
∂x
u(t, 0) = 0,
t ∈ (0; 10],
u(0, x) =
x ∈ (0; 10],
a > 0,
1, x ∈ (1; 2]
0, else
Äëÿ äèñêðåòèçàöèè ïðîèçâîäíîé ïî x íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå èñïîëüçóåòñÿ ëåâàÿ ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ
ê çàäà÷å Êîøè äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû. Ñåòêà ïî ïðîñòðàíñòâó èìååò âèä:
xi = ih,
i = 0, N ,
h=
10
N.
ui (t) ≈ u(t, xi ),
∂u
ui (t) − ui−1 (t)
(t, xi ) ≈
,
∂x
h
du1
a
dui
a
= − u1 ,
= (ui−1 − ui ), i = 2, N ,
dt
h
dt
h
ui (0) = f (xi ).
 õîäå ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ íà ðàçëè÷íûõ ñåòêàõ ïîäáèðàëîñü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Êóðàíòà, îïðåäåëÿþùåå ãðàíèöó ïëîùàäè îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè. Ðàññìàòðèâàëñÿ ñëó÷àé îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà è
çíà÷åíèé, ïðåäñòàâëåííûõ â ñòàòüå.
α21 = 1/3 α21 = 1/2 α21 = 1 α21 = α21opt
N=100
0.7645
1.048
0.4794
1.179
N=250
0.7994
1.031
0.3315
1.318
N=500
0.7965
1.026
0.5300
1.308
Òàáëèöà 2. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Êóðàíòà γ = aτ /h ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà
ìåòîäà
21
Êàê ìîæíî âèäåòü èç òàáë. 2, íà âñåõ ñåòêàõ íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà
Êóðàíòà õàðàêòåðíî äëÿ ìåòîäà ñ îïòèìàëüíûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà. ×òî
ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðè òàêîì ïàðàìåòðå ìîæíî èñïîëüçîâàòü áîëüøèé øàã
ïî âðåìåíè è ìåòîä ÿâëÿåòñÿ áîëåå ýêîíîìè÷íûì.
Ðàññìàòðèâàëàñü è çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ íóëåâûìè
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè è çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì:
2
∂u
2∂ u
=a
,
∂t
∂x2
u(t, 0) = u(t, π) = 0,
x ∈ (0; π],
u(0, x) = 2 sin(x).
Äëÿ äèñêðåòèçàöèè ïðîèçâîäíîé ïî x íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå èñïîëüçóåòñÿ âòîðàÿ ðàçíîñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Ñåòêà ïî ïðîñòðàíñòâó çàäàåòñÿ òàêèì îáðàçîì:
xi = ih,
i = 0, N ,
h=
π
N.
∂ 2u
ui+1 − 2ui + ui−1 (t)
(t,
x
)
≈
,
i
∂x2
h2
du1
a2
= 2 (u2 − 2u1 ),
dt
h
a2
dui
= 2 (ui+1 − 2ui + ui−1 ), i = 2, N − 2,
dt
h
duN −1
a2
= 2 (−2uN −1 + uN −2 ).
dt
h
α21 = 1/3 α21 = 1/2 α21 = 1 α21 = α21opt
N=100
0.4122
0.5429
0.2759
1.130
N=250
0.4066
0.5393
0.2743
1.132
N=500
0.4102
0.5311
0.2735
1.134
Òàáëèöà 3. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Êóðàíòà γ = a2 τ /h2 ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà
ìåòîäà
22
Íà âñåõ ñåòêàõ òàêæå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Êóðàíòà õàðàêòåðíî
äëÿ ìåòîäà ñ îïòèìàëüíûì çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà (òàáë. 3).
Åùå îäíîé ðàññìîòðåííîé çàäà÷åé áûëà çàäà÷à áûëà çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ
Áþðãåðñà ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè è çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì:
∂u
∂u
∂ 2u
+a
= µ 2,
∂t
∂x
∂x
u(t, 0) = u,
(t, 11) = 0,
x ∈ (0; 11],
1, x ∈ (5; 6],
u(0, x) =
0, else
Äëÿ äèñêðåòèçàöèè ïðîèçâîäíîé ïî x íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå èñïîëüçóþòñÿ ëåâàÿ è âòîðàÿ ðàçíîñòíûå ïðîèçâîäíûå. Ñåòêà ïî ïðîñòðàíñòâó çàäàåòñÿ òàêèì
îáðàçîì: xi = ih, i = 0, N , h =
11
N.
du2
a
µ
= − u2 + 2 (u3 − 2u2 ),
dt
h
h
dui
a
µ
= − (ui − ui−1 ) + 2 (ui+1 − 2ui + ui−1 ), i = 3, N − 2,
dt
h
h
duN −1
a
a
µ
= − uN −1 + uN −2 + 2 (−2uN −1 + uN −2 ).
dt
h
h
h
α21 = 1/3 α21 = 1/2 α21 = 1 α21 = α21opt
N=100
0.3904
0.5127
0.2609
1.073
N=250
0.4020
0.5258
0.2690
1.103
N=500
0.4073
0.5318
0.2726
1.113
N=1000
0.4004
0.5373
0.2718
1.122
Òàáëèöà 4. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Êóðàíòà γ = µτ /h2 ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà
ìåòîäà
Êàê ìîæíî âèäåòü èç òàáëèöû 4, íà âñåõ ñåòêàõ òàêæå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Êóðàíòà õàðàêòåðíî äëÿ ìåòîäà ñ îïòèìàëüíûì çíà÷åíèåì
ïàðàìåòðà.
23
Çàêëþ÷åíèå
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííîé ðàáîòû:
1. Ïîñòðîåíû ÿâíûå ìåòîäû Ðóíãå Êóòòû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè
äëÿ ñëó÷àåâ 2 è 3 ýòàïîâ.
2. Îïðåäåëåíû îïòèìàëüíûå ïàðàìåòðû òðåõýòàïíîãî ìåòîäà äëÿ àâòîíîìíîãî è íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèé.
3. Ïðè ðåøåíèè òåñòîâûõ çàäà÷ ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ìåòîäîâ ïîâûøåííîãî
ïîðÿäêà òî÷íîñòè è îáû÷íûõ ìåòîäîâ Ðóíãå Êóòòû.
Ïî ïîëó÷åííûì ðåçóëüòàòàì ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
1. Ïðè ïîñòðîåíèè ìåòîäîâ íåò ñìûñëà ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé àâòîíîìíîãî
óðàâíåíèÿ.
2. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäëîæåííûé ïîäõîä äåéñòâèòåëüíî
ïîçâîëÿåò óëó÷øàòü óñòîé÷èâîñòü ìåòîäîâ.
24
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. Àðóøàíÿí Î. Á., Çàëåòêèí Ñ. Ô. ×èñëåííîå ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà Ôîðòðàíå. Ì.: ÌÃÓ, 1990. 336 ñ.
2. Õàéðåð Ý., Íåðñåòò Ñ., Âàííåð Ã. Ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íåæåñòêèå çàäà÷è. Ì.: Ìèð, 1990. 512 ñ.
3. Goeken D., Johnson O. Runge Kutta with higher order derivative approximations // Applied Numerical Mathematics. 2000. 34. P. 207 208.
4. Ïåòðîâ È. Á., Ëîáàíîâ À. È. Ëåêöèè ïî âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå:
Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì.: Èíòåðíåò-Óíèâåðñèòåò Èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé;
ÁÈÍÎÌ. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2010. 523 ñ.
4. Õàéðåð Ý., Âàííåð Ã. Ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèå è æåñòêèå çàäà÷è. Ì.: Ìèð, 1999.
688 ñ.
5. Ñîáîëü È. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû Ìîíòå Êàðëî. Ì.: Íàóêà, 1973. 312 ñ.
6. Âåðæáèöêèé Â. Ì. Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Ì.: Âûñø. øê., 2002.
840 ñ.
25
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв