Сохрани и опубликуйсвоё исследование
О проекте | Cоглашение | Партнёры
магистерская диссертация по направлению подготовки : 15.04.03 - Прикладная механика
Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Дальневосточный федеральный университет»
Комментировать 0
Рецензировать 0
Скачать - 3,2 МБ
Enter the password to open this PDF file:
-
Введение ...................................................................................................................................................... 2 Термины и параметры задачи ................................................................................................................ 3 Теоретическая модель .............................................................................................................................. 5 Обезразмеривание задачи ........................................................................................................................ 7 Решение без учета граничного условия 𝑺𝑹. Метод малого параметра ............................................10 Решение с учетом граничного условия 𝑺𝑹. Метод малого параметра .............................................15 Заключение...............................................................................................................................................24 Литература ...............................................................................................................................................25 Приложение 1 ...........................................................................................................................................26 Приложение 2 ...........................................................................................................................................31 Приложение 3 ...........................................................................................................................................36
Введение В процессе работы твердотельных лазеров происходит нагрев активных элементов вследствие преобразования части поглощенной энергии накачки в тепло. Термические искажения вызывают появление тепловой линзы и наведенного двулучепреломления. Кроме того, в области накачки возникают термические деформации поверхности элемента. Сам метод термической линзы основан на измерении повышение температуры, которое создается в освещенном образце как результат безызлучательной релаксации энергии, поглощаемой из лазера. Поскольку метод основан на прямом измерении поглощенной оптической энергии, его чувствительность выше, чем у обычных абсорбционных методов. Однако преимущества тепловой линзы не ограничивается только ее ультрачувствительностью, но также включают в себя другие индивидуальные характеристики, объем выборки образцов и зависимость от термооптических свойств растворителей. В дополнение к его сверхчувствительным и малым объемам возможности, технология термической линзы имеет другие функции, которые не могут быть сопоставлены с другими методами, а именно сигнал тепловой линзы зависит не только от образца концентрации и мощности возбуждения, но также и от положения и теплофизических свойств образца. Эти отличительные функции могут быть использованы либо для повышения его чувствительности или для точного определение теплофизических свойств различных вещества, включая твердые вещества, жидкости и газы. В данной работе представлены результаты теоретических (аналитических) расчетов при направленном пучке лазера на тонкую двояковыпуклую линзу. 2
Термины и параметры задачи Вт 𝜆 = 1 [м∗К] − коэффициент теплопроводности; кг 𝜌 = 1 [м3 ] − плотность; Дж 𝐶𝑝 = 1 [кг∗К] − теплоемкость (молярная) в изобарном процессе; 𝑢 = 1[м] − скорость пучка лазера; м2 𝜆 𝑎 = 𝜌𝐶 = 1 [ с ] − коэффициент температуропроводности; 𝑝 𝑄(𝑟, 𝑡) = 2𝛾𝐸0 𝜋𝐴2 𝑡0 𝑒 −2(𝑧2 +𝑟2 ) 𝐴2 − функция нагрева; 𝐸0 − энергия импульса; 𝑡0 − ширина импульса; 𝐴 − радиус лазерного луча накачки; 𝛾 − показатель преломления; 𝐵𝑖 = 𝛼𝐻 𝜆 − число Био; 𝛼 − коэффициент теплоотдачи. Вт 𝜆 = 1.114 [м∗К]; г 𝜌 = 2.510 [см3 ]; Дж 𝐶𝑝 = 0.858 [г∗К]; 𝑢 = 1[м]; 𝐸0 = 0.028[Дж]; 𝑡0 = 1.7988[м]; 𝐴 = 1.5 ∗ 10−3 [м]; 𝑎1 = 6.78 ∗ 10−3 [м]; 𝛾 = 1.5063; 3
𝑅 = 12.7 ∗ 10−3 [м]; 𝐻 = 5.7 ∗ 10−3 [м]; 𝑇𝑚 = 10℃; 𝛼1 = 1; 𝛼2 = 2. 4
Теоретическая модель Рассмотрим нахождение приближенного установившегося распределения температуры 𝑇(𝑟, 𝑧) в тонкой оптической линзе. Неоднородное температурное поле, возникающее при воздействии на линзу различных энергетических факторов, вызывает термоупругие напряжения, которые влияют на качество изображения в оптической системе в связи с появлением термооптических аббераций. Пусть объем W, занимаемый осесимметричной линзой толщиной H, ограничен участком 𝑆𝑅 круговой цилиндрической поверхности радиуса R и двумя гладкими преломляющими поверхностями 𝑆1 и 𝑆2 , образованными вращением вокруг оси линзы кривых, заданных зависимостями 𝑧 = 𝑓1 (𝑟) и 𝑧 = 𝑓1 (𝑟) соответственно, рис.1. Рис. 1 Температура в линзе удовлетворяет уравнению теплопроводности: 𝜕𝑇 𝜌С𝑝 𝑢𝑧 𝜕𝑧 − 𝜆∆𝑇 = 𝑄(𝑟, 𝑡), 𝑇 = 𝑇(𝑟, 𝑧), 𝑟 ∈ [0; 𝑅], 𝑧 ∈ [0; 𝑍], где 5 (1)
1𝜕 𝜕𝑇 𝜕 2𝑇 ∆𝑇(𝑟, 𝑧) = (𝑟 ) + 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 оператор Лапласа, записанный в цилиндрической системе координат, 𝑄(𝑟, 𝑡) - функция нагрева, 𝑢 – скорость пучка лазера. – На поверхности задана температура 𝑇𝑅 : 𝑇(𝑅, 𝑧) = 𝑇𝑅 . На преломляющих поверхностях 𝑆1 , 𝑆2 происходит обмен с окружающей средой, имеющий постоянную температуру 𝑇𝑚 : 𝜕𝑇 𝜆 𝜕𝑛 | 1 𝑆1 𝜕𝑇 = 𝛼1 (𝑇𝑚 − 𝑇)|𝑆1 , 𝜆 𝜕𝑛 | 2 𝑆2 = 𝛼2 (𝑇𝑚 − 𝑇)|𝑆2 , (2) где 𝑆1 = {(𝑟, 𝑧), 𝑧 = 𝑓1 (𝑟), 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑍}, 𝑆2 = {(𝑟, 𝑧), 𝑧 = 𝑓2 (𝑟), 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑍}. Используя направляющие косинусов: cos(𝑛1 , 𝑟) = 𝑓1′ (𝑟) √1 + 𝑓1′2 (𝑟) cos(𝑛2 , 𝑟) = − 𝑓2′ (𝑟) √1+𝑓2′2 (𝑟) , cos(𝑛1 , 𝑧) = − cos(𝑛2 , 𝑧) = , 1 √1 + 𝑓1′2 (𝑟) 1 √1+𝑓2′2 (𝑟) , . (3) выразим производные функции 𝑇(𝑟, 𝑧) по нормалям: 𝜕𝑇 𝜕𝑛 𝜕𝑇 𝜕𝑇 = 𝜕𝑟 cos(𝑛, 𝑟) + 𝜕𝑧 cos(𝑛, 𝑧). Учитывая (3), (4) перепишем граничные условия (2) в виде: на поверхности 𝑆1 : 𝜆( 𝜕𝑇 𝑓1′ (𝑟) 𝜕𝑇 1 − )| 𝜕𝑟 √1 + 𝑓1′2 (𝑟) 𝜕𝑧 √1 + 𝑓1′2 (𝑟) = 𝛼1 (𝑇𝑚 − 𝑇)|𝑆1 , 𝑆1 на поверхности 𝑆2 : 𝜆 (− 𝜕𝑇 𝑓2′ (𝑟) 𝜕𝑇 1 + )| 𝜕𝑟 √1 + 𝑓2′2 (𝑟) 𝜕𝑧 √1 + 𝑓2′2 (𝑟) 6 = 𝛼2 (𝑇𝑚 − 𝑇)|𝑆2 . 𝑆2 (4)
Обезразмеривание задачи Введем безразмерные координаты: 𝜉= 𝑟 , 𝑅 𝜁= 𝑧 . 𝐻 Обозначим через: 𝜀= 𝐻 𝜆 ≪1, 𝑎 = . 𝑅 𝜌𝑐𝑝 Подставим 𝜉, 𝜁 в уравнение (1), предварительно вычислив производные: 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑟 𝜕𝑇 = = 𝑅, 𝜕𝜉 𝜕𝑟 𝜕𝜉 𝜕𝑟 𝜕𝑇 1 𝜕𝑇 = , 𝜕𝑟 𝑅 𝜕𝜉 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑧 𝜕𝑇 = = 𝐻, 𝜕𝜁 𝜕𝑧 𝜕𝜁 𝜕𝑧 𝜕𝑇 1 𝜕𝑇 = , 𝜕𝑧 𝐻 𝜕𝜁 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑟 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕 2 𝑇 𝜕 2 𝑇 2 𝜕 2 𝑇 1 𝜕 2𝑇 = ( )= 2 = = 𝑅 , = , 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝑟 𝜕𝜉 𝜕𝑟 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜉 2 𝜕𝑟 2 𝜕𝑟 2 𝑅 2 𝜕𝜉 2 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑧 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕 2 𝑇 𝜕 2 𝑇 2 𝜕 2 𝑇 1 𝜕 2𝑇 = ( )= 2 = 2 = 2𝐻 , = , 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝜕𝑧 𝜕𝜁 𝜕𝑧 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝜕𝑧 𝜕𝑧 2 𝐻 2 𝜕𝜁 2 − 1 𝜕 2 𝑇 𝑢 1 𝜕𝑇 1 𝜕 2 𝑇 1 𝜕𝑇 𝑄 + − 2 2− 2 = 2 2 𝐻 𝜕𝜁 𝑎 𝐻 𝜕𝜁 𝑅 𝜕𝜉 𝜉𝑅 𝜕𝜉 𝜆 − |∗ 𝐻 2 , 𝜕 2 𝑇 𝜌𝑐𝑝 𝑢𝐻 𝜕𝑇 𝜕 2 𝑇 𝜀 2 𝜕𝑇 𝐻 2 𝑄 2 + − 𝜀 − = . 𝜕𝜁 2 𝜆 𝜕𝜁 𝜕𝜉 2 𝜉 𝜕𝜉 𝜆 В результате получим: − 𝜕2 𝑇 𝜕𝜁 2 𝐻 𝜕𝑇 𝑎 𝜕𝜁 + 𝑢 + 𝜀 2 (− 1 𝜕 𝜉 𝜕𝜉 (𝜉 𝜕𝑇 𝜕𝜉 )) = 𝜀2 𝑅2 𝜆 𝑄(𝜉, 𝜁 ), 𝜀 ≪ 1. Рассмотрим границу 𝑆1 : 𝜕𝑇 𝐻 𝜕𝑇 𝛼1 ( 𝑓1′ (𝜉) − 2 ) = (𝑇𝑚 − 𝑇)𝑅√𝑅 2 + 𝑓1′2 (𝜉), (𝜉, 𝜁) ∈ 𝑆1 , 𝜕𝜉 𝜀 𝜕𝜁 𝜆 умножим это уравнение на 𝜀 2 : (𝜀 2 𝜕𝑇 ′ 𝜕𝑇 𝛼1 𝑓1 (𝜉) − 𝐻 ) = 𝜀𝑅√𝜀 2 𝑅 2 + 𝜀 2 𝑓1′2 (𝜉) ⋅ (𝑇𝑚 − 𝑇), 𝜕𝜉 𝜕𝜁 𝜆 7 (𝜉, 𝜁) ∈ 𝑆1 , (5)
(𝜀 2 𝜕𝑇 ′ 𝜕𝑇 𝛼1 𝐻 𝜀 2 𝑓1′2 (𝜉) √𝐻 2 (1 + 𝑓1 (𝜉) − 𝐻 ) = ) ⋅ (𝑇𝑚 − 𝑇) , 𝜕𝜉 𝜕𝜁 𝜆 𝐻2 (𝜀 2 𝜕𝑇 𝜕𝜉 𝑓1′ (𝜉 ) − 𝐻 𝜕𝑇 𝜕𝜁 ) = 𝐵𝑖1 𝐻 (𝑇𝑚 − 𝑇)√1 + 𝜀2 𝑓1′2 (𝜉) 𝐻2 (𝜉, 𝜁) ∈ 𝑆1 , , (𝜉, 𝜁 ) ∈ 𝑆1 . (6) На 𝑆2 уравнение будет то же самое, только с поправкой на противоположную сторону: − (𝜀 2 𝜕𝑇 𝜕𝜉 𝑓1′ (𝜉 ) − 𝐻 𝜕𝑇 𝜕𝜁 ) = 𝐵𝑖2 𝐻 (𝑇𝑚 − 𝑇)√1 + 𝜀2 𝑓1′2 (𝜉) 𝐻2 , (𝜉, 𝜁 ) ∈ 𝑆2 , (7) где 𝐵𝑖𝑖 = 𝛼𝑖 𝐻 − числа Био, 𝑖 = 1,2. 𝜆 Число Био – один из критериев подобия стационарного теплообмена между нагретым или охлажденным твердым телом и окружающей средой. Назван по имени Жана-Батиста Био. Число Био характеризует соотношения между перепадом температуры 𝛿𝑇 = 𝑇2 − 𝑇1 , где 𝑇1 , 𝑇2 - температуры в двух точках тела, находящихся на характерном расстояние L друг от друга, и температурным напором ∆𝑇 = 𝑇𝜔 − 𝑇𝑎 (𝑇𝜔 – температура поверхности тела, 𝑇𝑎 – температура окружающей среды). Число Био представляет собой отношение термического сопротивления стенки 1⁄𝜆 к термическому сопротивлению передачи тепла на поверхности 1⁄𝛼 . Для геометрически подобных тел равенство чисел Био определяет подобие распределений температуры (температурных полей). Используя формулу Бинома Ньютона для произвольного показателя степени (1 + 𝑥)𝑟 = 1 + 𝑟𝑥 + 𝑟(𝑟 − 1) 2 𝑥 +. .. , 2 при |𝑥| < 1, перепишем правые части в краевых условиях (6), (7), также учитывая, что 𝐻 2 для тонкой линзы параметр 𝜀 2 = ( ) ≪ 1, т.е. является малым: 𝑅 √1 + 𝜀 2 𝑓 ′2 (𝜉) 𝑖 𝐻2 =1+ 𝜀2 𝑓1′2 (𝜉) 2𝐻 2 − 𝜀4 𝑓𝑖′4 (𝜉) 8𝐻 4 +. . ., 𝑖 = 1,2. (8) На первом этапе представим искомую функцию 𝑇(𝜉, 𝜁) в виде суммы двух функций: 8
𝑇(𝜉, 𝜁) = 𝜃(𝜉, 𝜁) + 𝑆(𝜉, 𝜁) , где 𝜃(𝜉, 𝜁) определяется из уравнения (5), условий (6), (7) и не учитывает граничные условия на поверхности 𝑆𝑅 . Функция 𝑆(𝜉, 𝜁) удовлетворяет однородной задаче (5), (6), (7) и условию 𝑆(1, 𝜁) = 𝑇𝑅 − 𝜃(1, 𝜁). 9
Решение без учета граничного условия 𝑺𝑹 . Метод малого параметра Решим сначала задачу (5)-(7), не принимая во внимание граничное условие на поверхности 𝑆𝑅 . Для решения дифференциальной задачи применяется метод малого параметра. Распределение температуры с учетом вида функций 𝐵(𝜀) и 𝑓(𝜀) будем искать в виде: 𝜃(𝜉, 𝜁) = 𝜀 2 𝜃0 (𝜉, 𝜁) + 𝜀 4 𝜃1 (𝜉, 𝜁)+. .. . (9) В данном случае (5) соответствует операторному уравнению 𝐵(𝜀)𝑇 = 𝑓(𝜀), где 𝑓(𝜀) = 𝜀 2𝑅2 𝑄(𝜉, 𝜁), 𝜆 𝜕2 𝐵0 = 𝜕𝜁 2 + 𝐻𝑢𝜁 𝜕 𝑎 𝜕𝜁 𝐵 = (𝐵0 + 𝜀 2 𝐵2 ), 1 𝜕 , 𝜕 𝐵2 = − 𝜉 𝜕𝜉 (𝜉 𝜕𝜉 ) . (10) Подставляя (9) в (5) и учитывая приближенные равенства (8) в уравнениях (6) и (7), а также выражения (10) получим: 𝑅2 −𝜀 𝐵0 𝜃0 + 𝜀 𝐵2 𝜃0 − 𝜀 𝐵0 𝜃1 + 𝜀 𝐵2 𝜃1 +. . . = 𝜀 𝑄(𝜉, 𝜁) , 𝜆 2 𝜀 2 𝑓1′ (𝜉) (𝜀 2 4 4 6 2 (𝜉, 𝜁) ∈ 𝑊, 𝜕𝜃0 𝜕𝜃1 𝜕𝜃0 𝜕𝜃1 + 𝜀4 ) − 𝐻 (𝜀 2 + 𝜀4 ) 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝜀2 𝜀 2 𝑓1′2 (𝜉) 𝜀 4 𝑓1′4 (𝜉) 2 4 = 𝐵𝑖1 𝐻 (𝑇𝑚 2 − 𝜀 𝜃0 − 𝜀 𝜃1 ) ⋅ (1 + − ), 𝜀 2𝐻 2 8𝐻 4 −𝜀 2 𝑓2′ (𝜉) (𝜀 2 𝜕𝜃0 𝜕𝜃1 𝜕𝜃0 𝜕𝜃1 + 𝜀4 ) + 𝐻 (𝜀 2 + 𝜀4 ) 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝜀2 𝜀 2 𝑓2′2 (𝜉) 𝜀 4 𝑓2′4 (𝜉) = 𝐵𝑖2 𝐻 (𝑇𝑚 2 − 𝜀 2 𝜃0 − 𝜀 4 𝜃1 ) ⋅ (1 + − ), 𝜀 2𝐻 2 8𝐻 4 (𝜉, 𝜁) ∈ 𝑆1 (𝜉, 𝜁) ∈ 𝑆2 . После приравнивания нулю выражений при каждой степени параметра 𝜀 получим последовательно решаемую совокупность краевых задач относительно функций 𝜃0 (𝜉, 𝜁), 𝜃1 (𝜉, 𝜁) и т.д. Так, для нахождения 𝜃0 получаем уравнение: − 𝜕2 𝜃0 𝜕𝜁 2 + 𝑘3 𝜕𝜃0 𝜕𝜁 = 𝑅2 𝜆 10 𝑄(𝜉, 𝜁) , 𝑘3 = 𝐻𝑢 𝑎 , (11)
с граничными условиями: − 𝜕𝜃0 𝜕𝜁 𝜕𝜃0 𝑇𝑚 = 𝐵𝑖1 ( 2 − 𝜃0 ) , 𝜕𝜁 𝜀 = 𝐵𝑖2 ( 𝑇𝑚 𝜀2 при 𝜁 = √1 − 𝜉 2 − 𝜃0 ) , при 𝜁 = −√1 − 𝜉 2 𝑅2 𝑎12 𝑅2 , 𝑎12 . (12) Решим задачу (11), (12) методом вариации произвольных констант. Составим характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению (11): −𝑙 2 + 𝑘3 𝑙 = 0 . 𝑙1 = 0 и 𝑙2 = 𝑘3 . Варьируем const заменяя их неизвестными функциями 𝑍1 (𝜁) и 𝑍2 (𝜁) , получаем 𝜃0 = 𝑍1 (𝜁) + 𝑍2 (𝜁)𝑒𝑘3 𝜁 . (13) Далее нам нужно решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 𝑍1′ (𝜁)𝑦1 + 𝑍2′ (𝜁)𝑦2 = 0, { ′ 𝑍1 (𝜁)𝑦1′ + 𝑍2′ (𝜁)𝑦2′ = −𝑓(𝜁). (14) Неизвестные здесь функции 𝑍1 (𝜁) и 𝑍2 (𝜁), а остальные равны следующим значениям: 𝑦1 = 1, 𝑦1′ = 0, 𝑦2 = 𝑒 𝑘3 𝜁 , 𝑦2′ = 𝑘3 𝑒 𝑘3 𝜁 , 𝑅 2 𝑄 (𝜉, 𝜁) 2𝐻 2 2𝑅 2 2𝛾𝐸0 𝑅 2 −𝑘1 𝜁 2 −𝑘2 𝜉 2 𝑓(𝜁) = = 𝑃𝑒 , 𝑘1 = 2 , 𝑘2 = 2 , 𝑃 = . 𝜆 𝐴 𝐴 𝜋𝐴2 𝑡0 𝜆 Решая систему (14), найдем неизвестные 𝑍1 (𝜁) и 𝑍2 (𝜁): 𝑍1 (𝜁) = − 𝑍2 (𝜁) = 𝑃 −𝑘 𝜉2 𝑒 2 ⋅ 𝐸1 (𝜁) + 𝐶1 (𝜉) , 𝑘3 𝑃 −𝑘 𝜉2 𝑒 2 ⋅ 𝐸2 (𝜁) + 𝐶2 (𝜉) . 𝑘3 где 2 𝐸1 (𝜁) = ∫ 𝑒 −𝑘1 𝜁 𝑑𝜁, 𝐸2 (𝜁) = ∫ 𝑒 −𝑘1 𝜁 11 2 −𝑘 3𝜁 𝑑𝜁.
Подставляя, найденные 𝑍1 (𝜁) и 𝑍2 (𝜁) в (13), получим 2 𝜃0 (𝜉, 𝜁) = −𝑃𝑒 −𝑘2 𝜉 (𝐸1 (𝜁) − 𝑒 𝑘3 𝜁 𝐸2 (𝜁)) + 𝐶1 (𝜉) + 𝑒 𝑘3 𝜁 𝐶2 (𝜉). (15) Функции 𝐶1 (𝜉), 𝐶2 (𝜉) определим, учитывая граничные условия 𝑘3 𝑘3 𝑇𝑚 2 2 − 1) 𝑒 𝑘3 𝜁1 𝐶2 = 𝑃𝑒 −𝑘2 𝜉 +𝑘3𝜁1 ( − 1) 𝐸2 (𝜁1 ) + 𝑃𝑒 −𝑘2 𝜉 ⋅ 𝐸1 (𝜁1 ) + 2 , 𝐵𝑖1 𝐵𝑖1 𝜀 𝑘3 𝑘3 𝑇𝑚 2 2 𝐶1 + ( + 1) 𝑒 𝑘3 𝜁2 𝐶2 = −𝑃𝑒 −𝑘2 𝜉 +𝑘3 𝜁2 ( + 1) 𝐸2 (𝜁2 ) + 𝑃𝑒 −𝑘2 𝜉 ⋅ 𝐸1 (𝜁2 ) + 2 . { 𝐵𝑖2 𝐵𝑖2 𝜀 𝐶1 − ( Здесь 𝜁1 = √1 − 𝜉 2 𝑑2 , 𝑑2 = 𝜁2 = −√1 − 𝜉 2 𝑑 2 , 𝑅2 , 𝑎12 0 ≤ 𝜉 ≤ 1. Решая систему, найдем 𝐶1 (𝜉), 𝐶2 (𝜉): 𝐶1 (𝜉) = 𝑃𝑒 −𝑘2 𝑘 𝑘 (𝐵𝑖3 − 1) (𝐵𝑖3 + 1) (𝐸2 (𝜁1 ) − 𝐸2 (𝜁2 )) 𝜉2 1 𝑘 𝑘 𝑒 𝑘3 𝜁1 (𝐵𝑖3 − 1) + 𝑒 𝑘3 𝜁2 (𝐵𝑖3 + 1) 1 ( 𝐶2 (𝜉) = −𝑃𝑒 −𝑘2 2 𝜉2 ( + 𝐸1 (𝜁1 ) + 2 𝑇𝑚 , 𝜀2 ) 𝑘 𝑘 𝑒 𝑘3 𝜁1 𝐸2 (𝜁1 ) (𝐵𝑖3 − 1) + 𝑒 𝑘3 𝜁2 𝐸2 (𝜁2 ) (𝐵𝑖3 + 1) 1 2 𝑘 𝑘 𝑒 𝑘3 𝜁1 (𝐵𝑖3 − 1) + 𝑒 𝑘3 𝜁2 (𝐵𝑖3 + 1) 1 2 ). Заметим, что в правую часть (15) входят функции 𝐸1 (𝜁) и 𝐸2 (𝜁), интегралы которых вычислить затруднительно, поэтому для упрощения разложим подынтегральные функции в ряд Тейлора. 2 𝑒 −𝑘1 𝜁 = 1 + (−𝑘1 𝜁 2 ) + (−𝑘1 𝜁 2 )2 +. .. , 2! |𝜁| < 1. Рассмотрим так же и второе выражение: 𝑒 −𝑘1 𝜁 2 −𝑘3 𝜁 (−𝑘1 𝜁 2 − 𝑘3 𝜁)2 = 1 + (−𝑘1 𝜁 − 𝑘3 𝜁) + +. .. . 2 2 Интегрируя последние два выражения, найдем 𝐸1 (𝜁), 𝐸2 (𝜁): √𝜋 2 𝐸1 (𝜁) = ∫ 𝑒 −𝑘1 𝜁 𝑑𝜁 = 𝐸2 (𝜁) = ∫ 𝑒 −𝑘1 𝜁 2 −𝑘3 𝜁 2√𝑘1 2 ⁄4𝑘 𝑑𝜁 = 𝑒 (𝑘3 ) 1 2√𝑘1 12 𝐸𝑟𝑓(√𝑘1 𝜁), √𝜋 𝑘3 + 2𝑘1 𝜁 𝐸𝑟𝑓 ( ), 2√𝑘1
где 𝐸𝑟𝑓(𝑥) = 2𝑥 √𝜋 − 2𝑥 3 3 √𝜋 + 𝑥5 5√𝜋 − 𝑥7 21√𝜋 + 𝑥9 108√𝜋 + 𝑂[𝑥]11 - функция ошибок. Функция 𝜃0 , определенная в (15), рассчитана при помощи пакета Maple и представлена в приложении 1. Рис. 2 13
Для нахождения второй функции имеем: − 𝜕 2 𝜃1 𝜕𝜃1 1 𝜕 𝜕𝜃0 + 𝑘3 = (𝜉 ). 2 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜉 С граничными условиями: 𝜕𝜃0 ′ 𝜕𝜃1 𝑓1′2 (𝜉) 𝑇𝑚 𝑓1 (𝜉) − 𝐻 = 𝐵𝑖1 𝐻 ( ( − 𝜃0 )) − 𝐵𝑖1 𝐻𝜃1 , 𝜕𝜉 𝜕𝜁 2𝐻 2 𝜀 2 𝜕𝜃0 ′ 𝜕𝜃1 𝑓2′2 (𝜉) 𝑇𝑚 − 𝑓 (𝜉) + 𝐻 = 𝐵𝑖2 𝐻 ( ( − 𝜃0 )) − 𝐵𝑖2 𝐻𝜃1 . 𝜕𝜉 2 𝜕𝜁 2𝐻 2 𝜀 2 Так как 𝜃0 известна, то правая часть это обычное число, тогда решим уравнение методом вариации произвольных констант: −𝜆2 + 𝑘3 𝜆 = 0 . Корни равны: 𝜆1 = 0 и 𝜆2 = 𝑘3 . Тогда общее однородное решение будет следующим: ̃1 + 𝐶 ̃2 𝑒 𝑘3 𝜁 . 𝜃1 = 𝐶 Варьируем const заменяя их неизвестными функциями 𝑍3 (𝜁) и 𝑍4 (𝜁): 𝜃1 = 𝑍3 (𝜁) + 𝑍4 (𝜁)𝑒 𝑘3𝜁 . Далее нам нужно решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 𝑍 ′ (𝜁)𝑦 + 𝑍 ′ (𝜁)𝑦 = 0 { ′ 3 ′ 1 ′ 4 ′ 2 𝑍3 (𝜁)𝑦1 + 𝑍4 (𝜁)𝑦2 = −𝑓(𝜁) Неизвестные здесь функции 𝑍1 (𝜁) и 𝑍2 (𝜁), а остальные равны следующим значениям: 𝑦1 = 1, 𝑦1′ = 0, 𝑦2 = 𝑒 𝑘3 𝜁 , 𝑦2′ = 𝑘3 𝑒 𝑘3 𝜁 , 𝑓(𝑥) = − 1 𝜕 𝜕𝑇0 (𝜉 ). 𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜉 Тогда система приобретет следующий вид: 𝑍3′ (𝜁) + 𝑍4′ (𝜁)𝑒 𝑘3 𝜁 = 0 1 𝜕 𝜕𝑇0 { ′ 𝑍4 (𝜁)𝑘3 𝑒 𝑘3 𝜁 = − (𝜉 ) 𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜉 14
Решение с учетом граничного условия 𝑺𝑹 . Метод малого параметра Далее найдем решение краевой задачи для однородного уравнения, соответствующего (5), и однородным граничным условиям (6), (7). Функция S удовлетворяет дифференциальному уравнению: 𝜀2 𝜕 𝜕𝑆 𝜕 2𝑆 𝜕𝑆 (𝜉 ) + 2 − 𝑘3 = 0, 𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝑓1 (𝜉) ≤ 𝜁 ≤ 𝑓2 (𝜉), 0 ≤ 𝜉 ≤ 1, и граничным условиям: 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝜀2 + = −𝐵𝑖1 𝑆 (1 + 𝑓1′2 (𝜉)) , 𝜕𝜉 𝜕𝜁 2 ζ = 𝑓1 (𝜉), 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝜀 2 ′2 − = −𝐵𝑖2 𝑆 (1 + 𝑓2 (𝜉)) , 𝜕𝜉 𝜕𝜁 2 ζ = 𝑓2 (𝜉), −𝜀 2 𝑓1′2 𝜀 2 𝑓2′2 𝑓(1, 𝜁) = 𝑇𝑅 − 𝑇(1, 𝜁), 𝑓1 (𝜉) ≤ 𝜁 ≤ 𝑓2 (𝜉). Проведем замены: 𝑠= 1−𝜉 , 𝜀 𝜉 = 1 − 𝑠𝜀, 𝑑𝜉 = −𝜀𝑑𝑠, 𝑆(𝜉, 𝜁) = 𝑉(𝑠, 𝜁), 𝜀2 𝜕 𝜕𝑉 𝜕 2𝑉 𝜕𝑉 ((1 − 𝑆𝜀) ) + 2 − 𝑘3 = 0. (1 − 𝑆𝜀) (−𝜀)𝜕𝑆 (−𝜀)𝜕𝑆 𝜕𝜁 𝜕𝜁 После преобразований получим дифференциальное уравнение 𝜕2 𝑉 𝜕𝑠 2 𝜀 − (1−𝑠𝜀) 𝜕𝑉 𝜕𝑠 + 𝜕2 𝑉 𝜕𝜁 2 − 𝑘3 𝜕𝑉 𝜕𝜁 =0 (16) и граничные условия: 𝑓̃1′2 (𝑠) 𝜕𝑉 𝜕𝑉 1 + = −𝐵𝑖1 𝑉 (1 + 𝑓̃1′2 (𝑠)) , 𝜀𝜕𝑠 𝜕𝜁 2 −𝑓̃2′2 (𝑠) 𝜕𝑉 𝜕𝑉 1 − = −𝐵𝑖2 𝑉 (1 + 𝑓̃2′2 (𝑠)) , 𝜀𝜕𝑠 𝜕𝜁 2 𝑠 ≥ 0, 𝑠 ≥ 0, 𝑉(0, 𝜁) = 𝑇𝑅 − 𝑇(1, 𝜁) , 𝑉 → 0, 𝑆 → ∞, где 𝑓̃1 (𝑠) = 𝑓1 (1 − 𝜀𝑠), 𝑓̃2 (𝑠) = 𝑓2 (1 − 𝜀𝑠). 15 𝜁 = 𝑓̃1 (𝑠), 𝜁 = 𝑓̃2 (𝑠), (17)
Введение безразмерной координаты s привело к растяжению области, прилегающей к поверхности 𝑆𝑅 , в направление изменения этой координаты. Потому эту область можно приближенно представить полубесконечной полосой, заданной неравенствами 0 ≤ 𝑠 < ∞, −1 ≤ 𝜁 ≤ 1. В этом случае можно положить 𝑓̃1′ (𝑠) = 𝑓̃2′ (𝑠) = 0. Решение 𝑉(𝑠, 𝜁) будем опять искать в виде 𝑉 = 𝜀 2 𝑉0 + 𝜀 4 𝑉1 +. .. (18) Подставляя (18) в (16), (17), приравнивая при равных степенях эпсилон, получим задачу для определения функции 𝑉0 : 𝜕 2 𝑉0 𝜕 2 𝑉0 𝜕𝑉0 + − 𝑘3 = 0, −1 ≤ 𝜁 ≤ 1, 𝑠 ≥ 0, 2 2 𝜕𝑠 𝜕𝜁 𝜕𝜁 𝜕𝑉0 − + 𝐵𝑖1 𝑉0 = 0, 𝜁 = −1, 𝑠 ≥ 0, 𝜕𝜁 𝜕𝑉0 + 𝐵𝑖2 𝑉0 = 0, 𝜁 = −1, 𝑠 ≥ 0 𝜕𝜁 𝑉(0, 𝜁) = 𝑇𝑅 − 𝑇(1, 𝜁), −1 ≤ 𝜁 ≤ 1, { 𝑉 → 0, 𝑆 → ∞. Полученную краевую задачу решаем методом Фурье. Представим 𝑉(𝑠, 𝜁) = 𝑋(𝑠)𝑌(𝜁) , 𝑋 ′′ 𝑌 + 𝑌 ′′ 𝑋 − 𝑘3 𝑌 ′ 𝑋 =0, 𝑋𝑌 𝑋 ′′ 𝑌 ′′ − 𝑘3 𝑌 ′ = −( ), 𝑋 𝑌 𝑌 ′′ − 𝑘3 𝑌 ′ = −𝜆 . 𝑌 В результате получаем задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями 3 рода: 𝑌 ′′ − 𝑘3 𝑌 ′ = −𝜆𝑌, 𝜁 ∈ [−1; 1], { −𝑌 ′ (1) + 𝐵𝑖1 𝑌(1) = 0, 𝑌 ′ (−1) + 𝐵𝑖2 𝑌(−1) = 0, 16
Делаем замену переменных: 𝜁 = 2𝑥 − 1 ⟹ 𝑥 = 𝜁+1 , 2 При 𝜁 = −1 ⟹ 𝑥 = 0 , При 𝜁 = 1 ⟹ 𝑥 = 1 , 𝑑𝜁 = 2𝑑𝑥, 1 1 𝑌(𝜁)′′ = 𝑌(𝑥)′′ , 𝑌 ′ (𝜁) = 𝑌(𝑥)′ , 4 2 1 ′′ 1 𝑌 − 𝑘3 𝑌 ′ = −𝜆𝑌 , 4 2 1 1 2 2 − 𝑌(1)′ + 𝐵𝑖1 𝑌(1) = 0, 𝑌(−1)′ + 𝐵𝑖2 𝑌(−1) = 0 . 𝑌(𝑥)′′ − 2𝑘3 𝑌(𝑥)′ = −𝜇𝑌(𝑥) , 𝜇 = 4𝜆, (19) −𝑌(1)′ + 2𝐵𝑖1 𝑌(1) = 0, 𝑌(0)′ + 2𝐵𝑖2 𝑌(0) = 0. (20) Для определения собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля (19), (20), использован метод предложенный в работе В.А.Кудинова[4]. Данный метод основан на использовании метода взвешенных невязок (ортогонального метода Бубнова-Галеркина). Решение задачи в первом приближении находим в виде следующего ряда: 𝑘 𝑌(𝑥) = ∑𝑀 𝑘=0 𝐶𝑘 𝑥 , (21) ̅̅̅̅̅̅ где 𝐶𝑘 , (𝑖 = 0, 𝑀 ) неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий (20). В данной работе решается задача определения четырех собственных чисел. Так как неизвестных (𝑀 + 1), а граничных условий два, то следует добавить дополнительные граничные условия, которые найдем из уравнения (19) путем выполнения самого этого уравнения, а также производных от него в точках 𝑥 = 0 . Эти дополнительные граничные условия будут иметь вид: 𝑌(0) = 1, 𝑌(0)′ = −2𝐵𝑖2 𝑌(0) = −2𝐵𝑖2 , 𝑌(0)′′ = 2𝑘3 𝑌(0)′ − 𝜇𝑌(0), 𝑌(0)′′′ = 2𝑘3 𝑌(0)′′ − 𝜇𝑌(0)′ , 𝑌(0)′′′′ = 2𝑘3 𝑌(0)′′′ − 𝜇𝑌(0)′′ , … … (𝑀−1) 𝑌(0) = 2𝑘3 𝑌(0)(𝑀−1) − 𝜇𝑌(0)(𝑀−3) , { −𝑌(1)′ + 2𝐵𝑖1 𝑌(1) = 0. 17
Подставляя полученные граничные условия в (21), получим систему, из ̅̅̅̅̅̅ которой найдем постоянные 𝐶𝑘 , (𝑖 = 0, 𝑀). После подстановки коэффициентов 𝐶𝑘 в (21), составляется невязка уравнения (19) и требуется ортогональность невязки к функции (21). Для определения собственных чисел найдем интеграл взвешенной невязки уравнения (19): 1 ∫ (𝑌(𝑥)′′ − 2𝑘3 𝑌(𝑥)′ + 𝜇𝑌(𝑥))𝑌(𝑥) = 0 . 0 Решив его, получаем полином степени M относительно 𝜆. Ввиду того, что уравнение Штурма-Лиувилля удовлетворяется лишь при некоторых дискретных значениях 𝜆 (собственных значениях), то остальные корни полинома отбрасываются, как не удовлетворяющие уравнению, тогда получаем: 𝜆1 = 0.83, 𝜆2 = 2.45, 𝜆3 = 6.84, 𝜆4 = 9.68. 18
Соответствующие собственным числам собственные функции, найденные по формуле (21), представлены на рисунке (3). Рис. 3 На рисунке соответственно собственные функции при соответствующих собственных значениях: 𝜆1 𝜆2 𝜆3 𝜆4 19
Для нахождения неизвестных функций 𝑋𝑖 составим систему: 𝑋𝑖′′ = 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1,2,3,4, { 𝑋𝑖 𝑋𝑖 → 0 , 𝑠 → ∞. Отсюда 𝑘𝑖2 = 𝜆𝑖 ⟹ 𝑘𝑖 = ±√𝜆𝑖 . Решив систему, получим следующие равенства: 𝑋𝑖 (𝑠) = 𝐴𝑖 𝑒 √𝜆𝑖 𝑠 + 𝐵𝑖 𝑒 −√𝜆𝑖 𝑠 , 𝑖 = 1,2,3,4. Упростив его 𝑋𝑖 (𝑠) = lim (𝐴𝑖 𝑒 √𝜆𝑖 𝑠 + 𝐵𝑖 𝑒 −√𝜆𝑖 𝑠 ) = 𝐴𝑖 ∞ ⇒ 𝐴𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2,3,4, 𝑠→∞ получим 𝑋𝑖 (𝑠) = 𝐵𝑖 𝑒 −√𝜆𝑖 𝑠 , 𝑖 = 1,2,3,4. Для каждого собственного числа будем иметь частное решение вида: 𝜁+1 𝑉(𝑠, 𝜁) = ∑4𝑖=4 𝐵𝑖 𝑒 −√𝜆𝑖 𝑠 𝑌𝑖 ( 2 ) (𝑇𝑅 − 𝜃0 (1, −1)). (22) Для выполнения начального условия составим его невязку и потребуем ортогональность невязки к каждой собственной функции: 1 ∫ (𝑉(𝑠, 𝜁) − (𝑇𝑅 − 𝜃0 (1, 𝜁)))𝑑𝜁 = 0. −1 Определяя интегралы для нахождения коэффициентов 𝐵𝑖 получим систему из четырех алгебраических линейных уравнений. Её решение дает: 𝐵1 = 2.2, 𝐵2 = −1.65, 𝐵3 = 0.78, 𝐵4 = −0.34. Приведённые здесь коэффициенты 𝐵𝑖 найдены из уточненных значений собственных чисел. Результат расчета функции (22) представлен на рисунке (4). 20
Рис. 4 21
В итоге, согласно принципу суперпозиции решений, функция 1−𝜉 𝑇(𝜉, 𝜁) = 𝜀 2 𝜃0 (𝜉, 𝜁) + 𝜀 2 𝑉0 ( , 𝜁) 𝜀 будет решением исходной краевой задачи. Учитывая (15), (22) запишем решение в следующем виде: 2 𝑇(𝜉, 𝜁) = 𝜀 2 (−𝑃𝑒 −𝑘2 𝜉 (𝐸1 (𝜁) − 𝑒 𝑘3 𝜁 𝐸2 (𝜁)) + 𝐶1 (𝜉) + 𝑒 𝑘3 𝜁 𝐶2 (𝜉)) 4 𝜁+1 + 𝜀 (∑ 𝐵𝑖 𝑒 −√𝜆𝑖 𝑠 𝑌𝑖 ( ) (𝑇𝑅 − 𝜃0 (1, −1))), 2 2 𝑖=4 где 𝐶1 (𝜉) = 𝑃𝑒 −𝑘2 𝑘 𝑘 (𝐵𝑖3 − 1) (𝐵𝑖3 + 1) (𝐸2 (𝜁1 ) − 𝐸2 (𝜁2 )) 𝜉2 1 𝑘 𝑘 𝑒 𝑘3 𝜁1 (𝐵𝑖3 − 1) + 𝑒 𝑘3 𝜁2 (𝐵𝑖3 + 1) 1 ( 𝐶2 (𝜉) = −𝑃𝑒 −𝑘2 2 𝜉2 2 𝑇𝑚 , 𝜀2 ) 𝑘 𝑘 𝑒 𝑘3 𝜁1 𝐸2 (𝜁1 ) (𝐵𝑖3 − 1) + 𝑒 𝑘3 𝜁2 𝐸2 (𝜁2 ) (𝐵𝑖3 + 1) 1 2 ( ), 𝑘 𝑘 3 3 𝑘 𝜁 𝑘 𝜁 3 1 3 2 𝑒 (𝐵𝑖 − 1) + 𝑒 (𝐵𝑖 + 1) 1 𝐵1 = 2.2, + 𝐸1 (𝜁1 ) + 2 𝐵2 = −1.65, 𝐵3 = 0.78, 𝐵4 = −0.34. Результат представлен на рисунке (5). 22
Рис. 5 Ход итогового решения представлен в приложении 3. 23
Заключение Найдено числено-аналитическое решение распределение температурного поля в тонкой оптической линзе, при воздействии на нее лазерной установкой. Итоговый график показывает, что под воздействием лазера, идет нагрев линзы, причем к краям нагрев сильнее, чем в центре. Это приводит к расширению линзы и изменению ее фокусировки. 24
Литература 1. Thermal Lens Spectroscopy Mladen Franko Laboratory of Environmental Research, Universityof Nova Gorica, Nova Gorica, Slovenia Chieu D. Tran Department of Chemistry, Marquett University, Milwaukee, WI, USA Encyclopedia of Analytical Chemistry R.A. Meyers (Ed.) Copyright ! 2010 John Wiley & Sons Ltd 2. Thermal Lens Spectrometry and Microscopy Analytical Chemist’s Approach Mladen Franko University of Nova Gorica 3. Исследование термооптических искажений активного элемента (Nd: YVO4 ) при различных способах его крепления. В.В.Кийко, Е.Н.Офицеров. Институт общей физики имени А.М.Прохорова РАН, Россия, 119991 Москва, ул.Вавилова 38. 4. Определение собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля. Кудинов В.А., Дикоп В.В., Габдушев Р.Ж., Назаренко С.А. Вестник Самарского государственного университета. Серия Физико-математические науки. 2002г. 5. Приближенные методы математической физики. Е.А. Власова, В.С. Зарубин, Г.Н.Кувыркин. Москва. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001г. 6. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. А.Н. Канатников, А.П. Крищенко, В.Н. Четвериков. Москва. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2000г. 7. Дифференциальные уравнения. С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова. Москва. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2004г. 8. Дифференциальные уравнения математической физики. 2-е издание. Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов. Москва. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2002г. 9. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. А.Н. Канатников, А.П. Крищенко, В.Н. Четвериков. Москва. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2000г. 25
Приложение 1 > restart; > c[p]:=0.858;lambda:=1.114;rho:=2.51;v:=lambda/(rho*c[p]);H:=5.7* 10^(-3);R:=12.7*10^(-3);u:=1;a:=1.5*10^(3);k[1]:=(2*H^2)/(a^2);k[2]:=(2*R^2)/(a^2); k[3]:=(H*u)/v;epsilon:=H/R;alpha[1]:=1;alpha[2]:=2;Bi[1]:=(alpha [1]*H)/lambda;Bi[2]:=(alpha[2]*H)/lambda;E[0]:=28*10^(3);t:=1.7988; ror:=1.5063; P:=evalf((2*ror*E[0]*R^2)/(Pi*a^2*t*lambda));T[m]:=10;A:=6.78*10 ^(-3);l[1]:=sqrt(1-xi^2*(((R/2)/A))^2); l[2]:=-sqrt(1-xi^2*(((R/2)/A))^2); cp := 0.858 := 1.114 := 2.51 v := 0.5172782065 H := 0.005700000000 R := 0.01270000000 u := 1 a := 0.001500000000 k1 := 28.88000000 k2 := 143.3688889 k3 := 0.01101921544 := 0.4488188976 1 := 1 2 := 2 Bi1 := 0.005116696589 Bi2 := 0.01023339318 E0 := 7 250 t := 1.7988 ror := 1.5063 P := 0.9605201597 Tm := 10 A := 0.006780000000 26
l1 := 10.8771786705 2 l2 := 10.8771786705 2 > E[1]:=(-P/k[3])*exp(-k[2]*xi^2)*(1-k[1]*zeta^2+((k[1]*zeta^2)^2/2)); E1 := 87.16774483 e ( 143.3688889 2 ) ( 128.88000000 2417.0272000 4 ) > Z[1]:=int(E[1],zeta)+C[1]; Z1 := 87.16774483 e ( 143.3688889 2 ) ( 9.626666667 383.40544000 5 )C1 > E[2]:=(P/k[3])*exp(-k[2]*xi^2)*simplify(1+(-k[1]*zeta^2k[3]*zeta^2)+((-k[1]*zeta^2-k[3]*zeta)^2)/2); E2 := 87.16774483 e ( 143.3688889 2 ) ( 1.28.89095851 2417.0272000 40.3182349419 3 ) > Z[2]:=int(E[2],zeta)+C[2]; Z2 := 87.16774483 e ( 143.3688889 2 ) ( 9.630319503 383.40544000 50.07955873548 4 )C2 > T[0]:=simplify(Z[1]+Z[2]*(exp(k[3]*zeta))); T0 := 87.16774483 e 7270.264111 e 87.16774483 e 839.4532331 e 7270.264111 e 6.934955553 e ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 839.1348236 e ( 143.3688889 2 ) 3 5C1 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 3 5 4e ( 0.01101921544 ) C2 > M[1]:=simplify(-diff(T[0],zeta)=Bi[1]*(((T[m])/(epsilon^2))T[0])); M1 := 87.16774483 e ( 143.3688889 2 ) 36351.32056 e 87.16774483 e 18.48970618 e 2518.359699 e 80.11260654 e 2517.404471 e ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 40.9605201597 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 27 3 2 5 2 ( 0.01101921544 143.3688889 2 )
36351.39698 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.25400800040.4460109026 e 4.293598290 e ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 37.19973558 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 ) C2 5 3 5 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.005116696589 e ( 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.03548406342 e ( 0.01101921544 ) 337.19973558 e 0.005116696589 C10.4460109026 e 4.295227494 e 40.01101921544 e 4 C2 > M[2]:=simplify(diff(T[0],zeta)=Bi[2]*(((T[m])/(epsilon^2))T[0])); M2 := 87.16774483 e 36351.32056 e 87.16774483 e 18.48970618 e 2518.359699 e 80.11260654 e 36351.39698 e ( 143.3688889 2 ) 2517.404471 e ( 143.3688889 2 ) 40.9605201597 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 74.39947117 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 5 40.01101921544 e ( 0.01101921544 ) ( 143.3688889 2 ) 3 5 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 4 C2 > simplify(solve({M[1],M[2]},{C[1],C[2]})); 28 ( 0.01101921544 ) 5 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.01023339318 e 2 374.39947117 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.07096812686 e 3 ( 143.3688889 2 ) 0.01023339318 C10.8920218055 e 8.590454991 e 2 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.50801600090.8920218055 e 8.587196581 e ( 143.3688889 2 ) C2
{ C149.642967097910.521879 e 839.1348236 e ( 143.3688889 2 ) 0.3852709636 10 -8 e 2517.404470 e 0.3298902790 107 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 4 0.4194878092 1023 e 0.1817566028 1024 e 0.8247274310 1026 e 0.1977630470 1024 e 0.5711396798 1025 e ( 143.3688889 2 ) 2 2, C20.4000000000 10 -19 ( ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.2179193620 1022 e ( 0.01101921544 ) 5 4 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.5129446005 1012 e 5 3 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.1977630470 1024 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 228455.8719 e 0.5713563985 1025 e e 37270.264111 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.3298902790 107 e 228542.5594 e 87.16774483 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.6917590320 10-6 e 7910.521879 e ( 143.3688889 2 ) 20.540015617 109 ( 143.3688889 2 ) 0.9503437505 1011 e ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 30.3433795755 1013 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 5 3 5 4 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 20.8247256975 1026 e ( 143.3688889 2 ) 4 ) } > T[0]:=simplify(subs(%,T[0])); T0 := 49.642967090.1 10 -5 e 0.2 10-5 e 0.1 10-5 e ( 143.3688889 2 ) 0.3 10-7 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 50.001 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.2051778402 10-7 e ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.3801375002 10-8 e ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 30.1373518302 10-6 e > T[xi,zeta]:=simplify(epsilon^2*T[0]); 29 4 ( 143.3688889 2 ) plot3d(T[0],xi=0..1,zeta=l[1]..l[2],axes=normal); 5
T, := 10.000000000.2014384028 10 -6 e 0.6043152084 10 -8 e 0.4028768056 10 -6 e 0.0002014384028 e ( 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 0.2014384028 10-6 e 0.7657429088 10-9 e 0.2766793330 10-7 e 5 4 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) 0.4133069642 10-8 e ( 143.3688889 2 ) 3 5 > plot3d(T[xi,zeta],xi=0..1,zeta=l[1]..l[2],axes=normal); 30
Приложение 2 > lambda:='lambda';M:=10;mu:=4*lambda;T[r]:=100; := M := 10 := 4 Tr := 100 > x:='x': y:=sum(C[k]*x^k,k=0..M); y := C0C1 xC2 x2C3 x3C4 x4C5 x5C6 x6C7 x7C8 x8C9 x9C10 x10 > eq[1]:=eval(y,x=0)=1; eq[2]:=eval(diff(y,x),x=0)=-Bi[2]*2; Y:=diff(y,x$2): for i from 2 to M-1 do eq[i+1]:=simplify(eval(Y,x=0)=2*k[3]*rhs(eq[i])-mu*rhs(eq[i1])); Y:=simplify(diff(Y,x)): end do; eq1 := C01 eq2 := C1-0.02046678636 eq3 := 2 C20.00045105585664. Y := 6 C324 C4 x60 C5 x2120 C6 x3210 C7 x4336 C8 x5504 C9 x6 720 C10 x7 eq4 := 6 C30.9940563318 10-50.006286578080 Y := 24 C4120 C5 x360 C6 x2840 C7 x31680 C8 x43024 C9 x55040 C10 x6 eq5 := 24 C40.2190744176 10-60.001665677110 16. 2 Y := 120 C5720 C6 x2520 C7 x26720 C8 x315120 C9 x430240 C10 x5 eq6 := 120 C50.4828056410 10-80.00007647116313 0.3777612063 2 Y := 720 C65040 C7 x20160 C8 x260480 C9 x3151200 C10 x4 eq7 := 720 C6 0.1064027875 10-90.2561602113 10-5 0.001662555794 264. 3 Y := 5040 C740320 C8 x181440 C9 x2604800 C10 x3 eq8 := 5040 C70.2344950478 10-110.7576591674 10-7 0.0002692445316 2 2.921504401 3 Y := 40320 C8362880 C9 x1814400 C10 x2 31
eq9 := 40320 C80.5167902902 10-130.2095373069 10-8 0.00001618013545 20.07103559598 3256. 4 Y := 362880 C93628800 C10 x eq10 := 362880 C90.1138924709 10-140.5555853645 10-10 0.6596484638 10-6 20.0004885349456 317.32785591 4 Y := 3628800 C10 > eq[M+1]:=-eval(diff(y,x),x=1)+2*Bi[1]*eval(y,x=1)=0; eq11 := 0.9897666068 C11.989766607 C22.989766607 C33.989766607 C4 4.989766607 C55.989766607 C66.989766607 C77.989766607 C8 8.989766607 C99.989766607 C100.01023339318 C00 > solve({seq(eq[k],k=1..M+1)},{seq(C[k-1],k=1..M+1)}); { C01., C1-0.02046678636, C20.00022552792832. , C30.1656760553 10-50.001047763013 , C40.9128100733 10-80.00006940321292 0.6666666667 2, C50.4023380342 10 -100.6372596928 10 -6 0.003148010052 2, C6 0.08888888889 30.1477816493 10 -120.3557780712 10 -8 0.2309105269 10 -5 2, C70.0005796635716 30.4652679520 10 -15 0.1503291999 10 -10 0.5342153405 10 -7 2, C80.1761795535 10 -5 3 0.1281721950 10 -170.5196857810 10 -13 0.4012930419 10 -9 2 0.006349206349 4, C90.1346271345 10 -8 30.3138571178 10 -20 0.1531044325 10-15 0.1817814329 10-11 20.00004775092568 4, C10 0.0030976171890.005121035211 40.3986465184 0.2678306511 2 0.05370390731 3 } > y:=subs(%,y); y := 1.0.02046678636 x( 0.00022552792832. ) x2 ( 0.1656760553 10 -50.001047763013 ) x3 ( 0.9128100733 10 -80.00006940321292 0.6666666667 2 ) x4 ( 0.4023380342 10 -100.6372596928 10 -6 0.003148010052 2 ) x5( 0.08888888889 30.1477816493 10 -120.3557780712 10 -8 0.2309105269 10 -5 2 ) x6( 0.0005796635716 30.4652679520 10 -15 0.1503291999 10 -10 0.5342153405 10 -7 2 ) x7( 0.1761795535 10 -5 3 0.1281721950 10 -170.5196857810 10 -13 0.4012930419 10 -9 2 0.006349206349 4 ) x8( 0.1346271345 10 -8 30.3138571178 10 -20 0.1531044325 10 -15 0.1817814329 10 -11 20.00004775092568 4 ) x9( 0.0030976171890.005121035211 40.3986465184 0.2678306511 2 0.05370390731 3 ) x10 32
> G:=simplify(int(((diff(y,x$2)2*k[3]*diff(y,x)+mu*y)*y),x=0..1)=0); G := 0.001579502305 70.2671503899 50.02634629529 6 0.00005392061358 80.8276075454 10-6 90.03037819481 3.865854074 8.235992777 25.424771257 31.623664865 40 > solve(G,lambda); 0.8262748171, 2.452055650, 6.836699705, 9.679709833, 13.112771208.114096172 I, 9.5699212917.573289234 I, -0.007730126914, 9.5699212917.573289234 I, 13.112771208.114096172 I > lambda[1]:=.8262748174;lambda[2]:=2.452055650;lambda[3]:=6.83669 9687;lambda[4]:=9.679709740; 1 := 0.8262748174 2 := 2.452055650 3 := 6.836699687 4 := 9.679709740 > s:='s';L:=4;X:=sum(B[n]*exp(-sqrt(lambda[n])*s),n=1..L); s := s L := 4 X := B1 e ( 0.9089965992s ) B2 e ( 1.565904100s ) B3 e ( 2.614708337s ) B4 e ( 3.111223190s ) > V:=simplify(sum(B[k]*eval(y,{lambda=lambda[k],x=(zeta+1)/2})*(T[ r]-subs({xi=1,zeta=-1},T[0])),k=1..L)); V := 65.02235070 B4 614.18487185 B4 727.35568010 B4 8 8.556757016 B4 90.8597987653 B4 10254.2683260 B4 2 167.6812238 B4 429.35647676 B4 318.04459581 B4 5 2.000383867 B4 30.43484339 B10.2607801202 B243.91113235 B3 50.37788131 B41.809620184 B1 61.052317686 B1 7 0.3934936133 B1 80.08731151210 B1 90.008730932305 B1 10 12.37885671 B1 22.727806653 B1 46.046044014 B1 3 1.997019452 B1 536.54408751 B1 0.01506435965 B2 6 0.2274974460 B2 70.004482051157 B2 80.01119806250 B2 9 33
0.001136784318 B2 100.1140876850 B2 20.1233059061 B2 4 32.41210230 B2 33.964553064 B2 579.29312663 B2 14.98232091 B3 60.3992977365 B3 75.625379330 B3 8 1.866655551 B3 90.1876915760 B3 10150.0235327 B3 2 85.69520583 B3 476.15263314 B3 328.61018830 B3 5 66.04707993 B3 > for i from 1 to L do eq[i]:=int(((V-(T[r]subs({xi=1},T[0])))*eval(y,{x=(zeta+1)/2,lambda=lambda[i]})),zet a=-1..1)=0; end do; eq1 := 54.3143031142.92849192 B125.73063154 B21.398685346 B3 3.411182873 B40 eq2 := 0.553803136825.73063153 B150.75480785 B228.25007079 B3 12.67326637 B40 eq3 := 19.088205491.398685348 B128.25007080 B245.96172688 B3 34.64383560 B40 eq4 := 14.026412613.411182872 B112.67326637 B234.64383560 B3 78.60698112 B40 > kol:=solve({seq(eq[k],k=1..L)},{seq(B[k],k=1..L)}); kol := { B12.199506413, B2-1.645933063, B30.7831588874, B4-0.3366322467 } > V:=simplify(sum(B[k]*exp(sqrt(lambda[k])*s)*eval(y,{lambda=lambda[k],x=(zeta+1)/2})*(T[r] -subs({xi=1,zeta=-1},T[0])),k=1..4)); ( 0.9089965992s ) 6 ( 0.9089965992s ) 7 V := 1.809620184 B1 e 1.052317686 B1 e 0.3934936133 B1 e ( 0.9089965992s ) 0.008730932303 B1 e 80.08731151210 B1 e ( 0.9089965992s ) ( 0.9089965992s ) 1012.37885671 B1 e ( 0.9089965992s ) 2.727806653 B1 e ( 0.9089965992s ) 46.046044013 B1 e ( 0.9089965992s ) 3 1.997019452 B1 e ( 0.9089965992s ) 536.54408751 B1 e ( 0.9089965992s ) 0.01506435965 B2 e ( 1.565904100s ) 60.2274974460 B2 e ( 1.565904100s ) 0.004482051156 B2 e ( 1.565904100s ) 80.01119806251 B2 e 0.001136784318 B2 e ( 1.565904100s ) 100.1140876850 B2 e 0.1233059061 B2 e ( 1.565904100s ) 432.41210231 B2 e 34 9 2 7 ( 1.565904100s ) 9 ( 1.565904100s ) 2 ( 1.565904100s ) 3
3.964553063 B2 e ( 1.565904100s ) 579.29312660 B2 e 14.98232092 B3 e ( 2.614708337s ) 60.3992977365 B3 e 5.625379327 B3 e ( 2.614708337s ) 81.866655551 B3 e 0.1876915759 B3 e ( 2.614708337s ) ( 1.565904100s ) ( 2.614708337s ) ( 2.614708337s ) 10150.0235327 B3 e 7 9 ( 2.614708337s ) 2 85.69520584 B3 e ( 2.614708337s ) 476.15263316 B3 e ( 2.614708337s ) 3 28.61018830 B3 e ( 2.614708337s ) 566.04707993 B3 e ( 2.614708337s ) 614.18487185 B4 e ( 3.111223190s ) 7 88.556757015 B4 e ( 3.111223190s ) 9 65.02235071 B4 e ( 3.111223190s ) 27.35568010 B4 e ( 3.111223190s ) 0.8597987652 B4 e ( 3.111223190s ) 10254.2683260 B4 e ( 3.111223190s ) 2 167.6812238 B4 e ( 3.111223190s ) 429.35647676 B4 e ( 3.111223190s ) 3 18.04459580 B4 e ( 3.111223190s ) 52.000383867 B4 e ( 3.111223190s ) 30.43484339 B1 e ( 0.9089965992s ) 43.91113235 B3 e 0.2607801202 B2 e ( 2.614708337s ) 50.37788133 B4 e ( 1.565904100s ) ( 3.111223190s ) > s:='s':v:='v': v:=subs(kol,V); ( 0.9089965992s ) 6 ( 0.9089965992s ) 7 v := 3.980271200 e 2.314579499 e 0.8654917259 e ( 0.9089965992s ) 0.01920374159 e 80.1920422308 e ( 0.9089965992s ) ( 0.9089965992s ) 1027.22737472 e 9 ( 0.9089965992s ) 5.999828227 e ( 0.9089965992s ) 413.29831258 e ( 0.9089965992s ) 3 4.392457092 e ( 0.9089965992s ) 580.37895484 e ( 0.9089965992s ) 0.02479492762 e ( 1.565904100s ) 60.3744455681 e ( 1.565904100s ) 0.007377156188 e ( 1.565904100s ) 80.01843126133 e 0.001871070894 e ( 1.565904100s ) 100.1877806928 e 0.2029532677 e ( 1.565904100s ) 453.34815083 e 6.525388966 e ( 1.565904100s ) 5130.5111787 e 11.73353778 e ( 2.614708337s ) 60.3127135711 e 4.405565815 e ( 2.614708337s ) 81.461887884 e 0.1469923258 e ( 2.614708337s ) 9 ( 1.565904100s ) 2 ( 1.565904100s ) ( 2.614708337s ) ( 2.614708337s ) 3 7 9 ( 2.614708337s ) 2 67.11296206 e ( 2.614708337s ) 459.63961146 e ( 2.614708337s ) 3 22.40632324 e ( 2.614708337s ) 551.72535763 e ( 2.614708337s ) 21.88862001 e ( 3.111223190s ) 64.775085280 e ( 3.111223190s ) 7 35 7 ( 1.565904100s ) ( 1.565904100s ) 10117.4922630 e 2
9.208804052 e ( 3.111223190s ) 0.2894359900 e 82.880480338 e ( 3.111223190s ) ( 3.111223190s ) 1085.59491785 e 56.44690710 e ( 3.111223190s ) 49.882336727 e 6.074392825 e ( 3.111223190s ) 50.6733937154 e 66.94163321 e ( 0.9089965992s ) 34.38939356 e ( 2.614708337s ) 0.4292266220 e 16.95881938 e 9 ( 3.111223190s ) ( 3.111223190s ) 2 3 ( 3.111223190s ) ( 1.565904100s ) ( 3.111223190s ) > plot3d(v,s=0..10,zeta=-1..1,axes=normal); Приложение 3 > v:=subs(kol,epsilon^2*V); ( 0.9089965992s ) 6 ( 0.9089965992s ) 7 v := 0.8017794731 e 0.4662451974 e 0.1743432709 e ( 0.9089965992s ) 0.003868371034 e 1.208595815 e ( 0.9089965992s ) ( 0.9089965992s ) 0.8848095410 e 80.03868468023 e 105.484638876 e 42.678790846 e ( 0.9089965992s ) ( 0.9089965992s ) ( 0.9089965992s ) ( 0.9089965992s ) 516.19140828 e ( 1.565904100s ) 60.07542771717 e 0.001486042560 e ( 1.565904100s ) 80.003712763842 e 0.04088258209 e ( 1.565904100s ) ( 1.565904100s ) 1.314463931 e ( 1.565904100s ) 526.28996340 e 2.363585110 e ( 2.614708337s ) 60.06299252229 e 0.8874501414 e ( 2.614708337s ) 0.02960989933 e ( 2.614708337s ) ( 2.614708337s ) 7 ( 2.614708337s ) 9 ( 2.614708337s ) ( 2.614708337s ) 412.01370807 e ( 2.614708337s ) 3 4.513493966 e ( 2.614708337s ) 510.41947343 e ( 2.614708337s ) 4.409208652 e ( 3.111223190s ) 36 3 13.51912788 e 60.9618855519 e 9 ( 1.565904100s ) ( 1.565904100s ) 1023.66745379 e 7 ( 1.565904100s ) ( 1.565904100s ) 80.2944803605 e ( 1.565904100s ) 100.03782624285 e 410.74636630 e 2 3 ( 0.9089965992s ) 0.004994650617 e 0.0003769055324 e 9 ( 3.111223190s ) 2 7 2
1.855006780 e ( 3.111223190s ) 0.05830352355 e 80.5802393586 e ( 3.111223190s ) ( 3.111223190s ) 1017.24210354 e 11.37057481 e ( 3.111223190s ) 41.990682126 e 1.223615989 e ( 3.111223190s ) 50.1356473545 e 13.48461568 e ( 0.9089965992s ) 6.927344511 e ( 2.614708337s ) 3.416157488 e ( 3.111223190s ) ( 3.111223190s ) 0.08646272519 e ( 2.0253082132.025308213 ) ( 1.565904100s ) ( 3.111223190s ) 6 0.4662451974 e ( 2.0253082132.025308213 ) 7 0.1743432709 e ( 2.0253082132.025308213 ) 8 0.03868468023 e ( 2.0253082132.025308213 ) 0.003868371034 e ( 2.0253082132.025308213 ) 5.484638876 e ( 2.0253082132.025308213 ) 2 1.208595815 e ( 2.0253082132.025308213 ) 4 2.678790846 e ( 2.0253082132.025308213 ) 3 0.8848095410 e 16.19140828 e ( 2.0253082132.025308213 ) ( 2.0253082132.025308213 ) 0.004994650617 e 0.07542771717 e 9 10 5 ( 3.4889442243.488944224 ) ( 3.4889442243.488944224 ) 6 7 0.001486042560 e ( 3.4889442243.488944224 ) 8 0.003712763842 e ( 3.4889442243.488944224 ) 9 0.0003769055324 e ( 3.4889442243.488944224 ) 0.03782624285 e ( 3.4889442243.488944224 ) 2 0.04088258209 e ( 3.4889442243.488944224 ) 4 10.74636630 e ( 3.4889442243.488944224 ) 3 1.314463931 e ( 3.4889442243.488944224 ) 5 26.28996340 e ( 3.4889442243.488944224 ) 2.363585110 e ( 5.8257536655.825753665 ) 6 0.06299252229 e ( 5.8257536655.825753665 ) 7 0.8874501414 e ( 5.8257536655.825753665 ) 8 0.2944803605 e ( 5.8257536655.825753665 ) 9 37 10 3 ( 3.111223190s ) > s:=(1-xi)/epsilon;Tk:=simplify(T[xi,zeta]+v); s := 2.2280701762.228070176 Tk := 0.8017794731 e 9 2
0.02960989933 e ( 5.8257536655.825753665 ) 23.66745379 e ( 5.8257536655.825753665 ) 2 13.51912788 e ( 5.8257536655.825753665 ) 4 12.01370807 e ( 5.8257536655.825753665 ) 3 4.513493966 e ( 5.8257536655.825753665 ) 5 10.41947343 e ( 5.8257536655.825753665 ) 4.409208652 e ( 6.9320236016.932023601 ) 6 0.9618855519 e 1.855006780 e ( 6.9320236016.932023601 ) ( 6.9320236016.932023601 ) 0.5802393586 e 7 8 ( 6.9320236016.932023601 ) 0.05830352355 e 9 ( 6.9320236016.932023601 ) 17.24210354 e ( 6.9320236016.932023601 ) 2 11.37057481 e ( 6.9320236016.932023601 ) 4 1.990682126 e ( 6.9320236016.932023601 ) 3 1.223615989 e ( 6.9320236016.932023601 ) 5 0.1356473545 e 13.48461568 e ( 6.9320236016.932023601 ) 10 ( 2.0253082132.025308213 ) 0.08646272519 e 6.927344511 e 10 ( 3.4889442243.488944224 ) ( 5.8257536655.825753665 ) 3.416157488 e 10.000000000.2014384028 10-6 e 0.7657429088 10-9 e 0.2766793330 10-7 e 0.6043152084 10-8 e 0.2014384028 10-6 e 0.4028768056 10-6 e 0.0002014384028 e ( 143.3688889 2 ) ( 143.3688889 2 ) ( 6.9320236016.932023601 ) ( 143.3688889 2 ) 0.4133069642 10-8 e ( 143.3688889 2 ) 5 ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) ( 0.01101921544 143.3688889 2 ) 5 4 > plot3d(Tk,xi=0..1,zeta=l[1]..l[2],axes=normal); 38 3
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв