Исследование вероятностной модели конкуренции

Касаткин Евгений Георгиевич

Исследование вероятностной модели конкуренции

Работа посвящена рассмотрению поведения двух продавцов в условиях конкуренции на рынке товаров одного вида с вероятностью покупки зависящей от характеристик, которыми для покупателя являются цена, а также транспортные расходы. Рассматриваются два случая: с учетом и без учета затрат на перемещение. Для каждого из случаев построены подели монополии и дуополии. Найдены равновесные цены, от которых каждому из продавцов невыгодно отклоняться. Вычисления были произведены в среде Wolfram Mathematica, что позволило искать численные решения поставленной задачи при разном подборе параметров.

Общественные науки в целом

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36645f1be77c40d58e56

UUID: 70df33db-ee10-458d-93fd-4f803907b58e

Язык: Русский

Опубликовано: почти 8 лет назад

Просмотры: 11

Касаткин Евгений Георгиевич

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 566284 bytes

Поделиться работой

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Касаткин Евгений Георгиевич Выпускная квалификационная работа бакалавра Исследование вероятностной модели конкуренции Направление 010400 Прикладная математика, фундаментальная информатика и программирование Научный руководитель, кандидат физ.-мат. наук, доцент Ковшов A.М. Санкт-Петербург 2016

Содержание Введение ………………………………………………………………………….. Постановка задачи ……………………………………………………………….. Глава 1. Решение задачи в случае монополии ………………………………… 1.1. Формулы для вычисления выручки без учета затрат на перемещение 1.2. Формулы для вычисления выручки с учетом затрат на перемещение Глава 2. Решение задачи в случае дуополии ........................................................ 2.1. Случай с двумя продавцами и одним покупателем без учета затрат на перемещение от покупателя до продавца …………………………………… 2.2. Случай с двумя продавцами и одним покупателем с учетом затрат на перемещение от покупателя до продавца ........................................................ 2.3. Случай с двумя продавцами и n покупателями без учета затрат на перемещение от покупателя до продавца ………………………………………. 2.4. Случай с двумя продавцами и n покупателями с учетом затрат на перемещение от покупателя до продавца ………………………………………. Заключение ……………………………………………………………………….. Список литературы ………………………………………………………………. Приложения …………………………………………………………………… 2

Введение В 1929 году была опубликована статья американского эконoмиста и статистика Гарольд Хотеллинг «Stability in competition»[3], с описанием модели, с помощью котoрой была исследована конкуренция на рынке одного товара с пространственной дифференциацией продукции. Итогом данной рабoты стало oбнаружение взаимосвязи между идеей неценовой конкуренции и географическим размещением конкурирующих фирм. Тем самым было показано, что принцип максимизации прибыли автоматически вынуждает конкурентов располагаться близко друг к другу. Основным свойством данной модели Хотеллинга является расположение прoдавцов в линейном городе, на прямой улице, с равномерным распределением покупателей. Главной дифференциацией продукции является разное расположение продавцoв относительно покупателей, т.е. разное расстояние от них. На данный момент Дуополия Хотеллинга занимает главное место в математических моделях ценoобразования. В отличие от модели Жозефа Бертрана[1] в модели Хотеллинга принимается вo внимание расстояние от покупателя до потребителя, у которого надо купить товар. Стоит заметить, что модель Хотеллинга является идейным продолжением работы Бертрана, в которой рассматривалась только цена. Но поскольку модель относится к линейному рынку, это накладывает ограничение на её прикладное применение. Именно поэтому работа Хотеллинга дала импульс для целого ряда исследований, которые посвящены анализу конкурентного поведения фирм в условиях, когда на величину покупательского спрoса влияет цена продукта, транспортные затраты и количество денег у потребителей, что в свою очередь предоставило возможность применять данные модели на практике. 3

Через пол века американский экономист Стивен Салоп ввёл понятие «циркулярной модели»[6], рассмотрев при этом модель Хотеллинга, т.е. ввёл «циркулярную модель», в которой продавцы с одинаковым товаром находятся вдоль окружности на одинаковом расстоянии друг от друга. Салоп [7] рассмотрел задачу о размещении фирм на плоскости, на которой расположены два продавца, которые объявляют цены на товар, а потребители покупают товар у тогo продавца, до которого дешевле доехать. То есть покупатели сравнивают расходы на преодоление расстояния до продавцов. Затраты представляются в виде суммы цены на товар и затраты на преодоление расстояния от пoкупателя до продавца. Также в данной работе находится равновесие по Нэшу для моделей, в которых расстояние между продавцом и покупателем вычисляется в евклидовой и манхэттенской метрике. Город в даннoй работе представлен в виде круга, на котором равномерно распределены покупатели. Благодаря работам [8] и [9] были рассмотрены задачи наилучшего, или оптимального расположения прoдавцов в условиях конкуренции на плоскoсти и на графе. В работе [10] рассматривается задача o размещении на плоскости. На единичном квадрате, который выступает в рoли города, располагаются два продавца, которые назначают цену на свой товар. Данный квадрат разбивается равномерной сеткoй и движение покупателей происходит по ней. Решается задача о ценoобразовании и размещении на произвольной сетке и исследуется асимптотика решения. Основной же проблемой в модели Хотеллинга является проблема поиска равновесных цен, при которых будет иметь место максимальная прибыль для всех продавцов. Данная работа посвящена исследованию непрерывного случая модели дуополии с вероятностью покупки товара покупателем с учетом транспортных расходов до продавца. На первый взгляд работа может показаться такой же, как и работа Хотеллинга. Однако сходство данной работы с оригинальной рабoтой 1929 года лишь в том, что учитываются транспортные расходы, но 4

покупатель тратит везде всю сумму, которой располагает. Расчеты, приведённые в данной работе, выполнены в среде Wolfram Mathematica. 5

Постановка задачи Рассмотрим прямую на которой расположены покупатели. Данная прямая будет являться линейным городом. Покупатели всегда имеют достаточное количество средств для преодоления расстояния до продавца и покупки товара, но эта покупка совершается с вероятностью, которая зависит от расстояния до продавца и транспортных расходов. На прямой расположены два продавца, которые продают один и тот же товар по цене C1 и С2 соответственно. Покупатели с вероятностью P1 и P2 покупают товар у первого и второго продавца. Имеют место в данной модели транспортные расходы покупателя на преодоления единицы длины, которые равны a. Требуется найти такие равновесные цены продавцов, чтобы их прибыли были максимальными. 6

Глава 1. Решение задачи в случае монополии Для решения поставленной задачи целесообразно рассмотреть модель монополии, когда на линейном городе задан только один продавец и вероятность покупки товара покупателем. Данный подход даст более детальное понимание модели дуополии, когда на линейном городе будут заданы два продавца. Обозначения: a > 0 – затраты на преодоление единицы расстояния до продавца С > 0 – цена на товар у продавца 1.1.Формулы для вычисления выручки без учета затрат на перемещение Рассмотрим вероятность P покупки покупателем товара. Сmax – максимально разумная или допустимая цена на товар; Cmax ≥ max(𝑐𝑖 + 𝑠𝑖 ) 𝑖 Cmin ≥ 0 - минимальная цена на товар Вероятность вычисляется по формуле: P=1 - 𝐶−𝐶𝑚𝑖𝑛 𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛 7

Для вывода данной формулы мы использовали линейную обратную пропорциональную зависимость от цены на товар, т.е. при увеличении цены уменьшается вероятность покупки товара покупателем. Прибыль продавца от продажи товара вычисляется по формуле: 𝐻 = С∗𝑃 Найдем производную для формулы по цене 𝐶 : 𝜕𝐻 𝜕𝑃 = 𝐶+𝑃 =0 𝜕С 𝜕С 𝜕𝑃 1 = − 𝜕С 𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛 Приравнивая полученную производную к нулю, решаем уравнение относительно цены С. Получим оптимальную цену для максимальной прибыли: С= 𝐶𝑚𝑎𝑥 2 1.2.Формулы для вычисления выручки с учетом затрат на перемещение Теперь рассмотрим монопольный случай с учетом затрат на перемещение: 𝐶 =𝑐+𝑠 Тогда вероятность вычисляется по формуле: P=1 - с+𝑠−𝐶𝑚𝑖𝑛 𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛 𝑠 = 𝑟𝑎 8

Где s – затраты на перемещение, r – расстояние между продавцом и покупателем. Прибыль продавца от продажи товара вычисляется по формуле: 𝐻 = С∗𝑃 Найдем производную для формулы по цене C: 𝜕𝐻 𝜕𝑃 = 𝐶+𝑃 =0 𝜕С 𝜕С 𝜕𝑃 1 = − 𝜕С 𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛 Приравнивая полученную производную к нулю, решаем систему относительно цены C. Получим равновесную цену для максимальной прибыли: 𝑐=− 𝑎𝑟 𝐶𝑚𝑎𝑥 + 2 2 Глава 2. Решение задачи в случае дуополии Рассмотрев монопольный случай модели конкуренции, перейдем к модели дуополии. Необходимые обозначения: a > 0 – затраты на преодоление единицы расстояния до продавца 𝐶1 > 0 – цена товара у первого продавца. 𝐶2 > 0 – цена товара у второго продавца. 9

2.1. Случай с двумя продавцами и одним покупателем без учета затрат на перемещение от покупателя до продавца Рассмотрим вероятность покупки товара у первого продавца, которая вычисляется по формуле: 𝑃1 = (½)(1 + 𝐶2 −𝐶1 𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛 )(1 - 𝐶1 −𝐶𝑚𝑖𝑛 𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛 ) Вероятность покупки товара у второго продавца, которая вычисляется по формуле: 𝑃2 = (½)(1 + 𝐶1 −𝐶2 𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛 )(1 - 𝐶2 −𝐶𝑚𝑖𝑛 𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛 ) C – цена на товар Сmax – максимально разумная или допустимая цена на товар; Cmax ≥ max(𝑐𝑖 + 𝑠𝑖 ) 𝑖 Cmin ≥ 0 - минимальная цена на товар Для простоты вычислений сделаем замену: 𝐶1 = 𝑥 𝐶2 = y Cmax = k Cmin = l Прибыль первого продавца вычисляется по формуле: 𝐻1 = 𝑃1 (𝐶1 , 𝐶2 ) 𝐶1 Прибыль второго продавца вычисляется по формуле: 10

𝐻2 = 𝑃2 (𝐶1 , 𝐶2 ) 𝐶2 Равновесие по совершенным покупкам: 𝑑𝑃1 =0 𝑑𝐶1 𝑑𝑃2 =0 {𝑑𝐶2 𝑑𝑃1 𝑑𝐶1 𝑑𝑃2 𝑑𝐶2 =− =− −𝑙+𝑥 𝑘−𝑙 1− 2(𝑘−𝑙) 𝑥−𝑦 𝑘−𝑙 1+ 2(𝑘−𝑙) − − −𝑥+𝑦 𝑘−𝑙 1+ = 2(𝑘−𝑙) −𝑙+𝑦 𝑘−𝑙 1− 2(𝑘−𝑙) = 3𝐶𝑚𝑖𝑛−2𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶2 2(𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛)2 𝐶𝑚𝑖𝑛−2𝐶𝑚𝑎𝑥+2𝐶2 −𝐶1 2(𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛)2 𝐶 = 𝐶𝑚𝑖𝑛 − 2𝐶𝑚𝑎𝑥 + 2𝐶2 { 1 𝐶2 = 𝐶𝑚𝑖𝑛 − 2𝐶𝑚𝑎𝑥 + 2𝐶1 { 𝐶1 = −𝐶𝑚𝑖𝑛 + 2𝐶𝑚𝑎𝑥 𝐶2 = −𝐶𝑚𝑖𝑛 + 2𝐶𝑚𝑎𝑥 Найдем производные каждой из формул по цене 𝐶1 и 𝐶2 соответственно: 𝑑𝐻1 𝑑𝑃1 = 𝐶 + 𝑃1 = 0 𝑑𝐶1 𝑑𝐶1 1 𝑑𝐻2 𝑑𝑃2 = 𝐶 + 𝑃2 = 0 { 𝑑𝐶2 𝑑𝐶2 2 11

Приравнивая полученные производные к нулю, решаем систему относительно цен 𝐶1 и 𝐶2 . Получим равновесные цены для максимальной прибыли: −𝐶𝑚𝑎𝑥 2 + 𝐶𝑚𝑎𝑥𝐶𝑚𝑖𝑛 + 4𝐶𝑚𝑎𝑥𝐶1 − 2𝐶𝑚𝑖𝑛𝐶1 − 3𝐶1 2 𝐶2 = , 𝐶𝑚𝑎𝑥 − 2𝐶1 −𝐶𝑚𝑎𝑥 2 + 𝐶𝑚𝑎𝑥𝐶𝑚𝑖𝑛 + 4𝐶𝑚𝑎𝑥𝐶2 − 2𝐶𝑚𝑖𝑛𝐶2 − 3𝐶2 2 𝐶1 = , 𝐶𝑚𝑎𝑥 − 2𝐶2 Далее нужно выразить 𝑐1 и 𝑐2 соответственно. Ввиду того, что формулы получатся довольно громоздкими, целесообразно рассмотреть гипотетический пример и взять численные значения для Cmin, Cmax. Пусть Cmax = 10, Cmin = 0 тогда получим 𝑐1 = 3,819660112501052 , 𝑐2 = 3,819660112501052 𝑐1 = 26,18033988749895 , 𝑐2 = 26,18033988749895 𝑐1 = 4,319468473735902 , 𝑐2 = 12,34719819293077 𝑐1 = 12,34719819293077 , 𝑐2 = 4,319468473735902 2.2. Случай с двумя продавцами и одним покупателем с учетом затрат на перемещение от покупателя до продавца Необходимые обозначения: a > 0 – затраты на преодоление единицы расстояния 12

𝐶1 > 0 – сумма, потраченная первым покупателем на покупку товара и перемещение 𝐶2 > 0 – сумма, потраченная вторым покупателем на покупку товара и перемещение 𝑐1 > 0 – цена на товара у первого продавца. 𝑐2 > 0 – цена на товара у второго продавца. 𝑟1 > 0 – расстояние между первым продавцом и покупателем. 𝑟2 > 0 – расстояние между вторым продавцом и покупателем. Теперь усложним задачу и добавим в неё расстояние от покупателя до продавца и затраты на его преодоление: 𝐶1 = 𝑐1 + 𝑠1 𝐶2 = 𝑐2 + 𝑠2 , Где с1 и с2 это цена на товар у первого и второго продавца соответственно, a 𝑠1 и 𝑠2 это затраты на перемещение покупателя 𝑠1 = 𝑟1 𝑎 𝑠2 = 𝑟2 𝑎 Сmax – максимально разумная или допустимая цена на товар; Cmax ≥ max(𝑐𝑖 + 𝑠𝑖 ) 𝑖 Cmin ≥ 0 - минимальная цена на товар 13

Рассмотрим вероятность покупки товара у первого продавца с учетом затрат на перемещение, которая вычисляется по формуле: 𝑃1 = (½)(1 + (𝑐2 + 𝑟2 𝑎 − 𝑐1 − 𝑟1 𝑎)/(𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛))(1 − (𝑐1 + 𝑐1 𝑎 − 𝐶𝑚𝑖𝑛)/(𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛)) Вероятность покупки товара у первого продавца, которая вычисляется по формуле: 𝑃1 = (½)(1 + (𝑐1 + 𝑟1 𝑎 − 𝑐2 − 𝑟2 𝑎)/(𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛))(1 − (𝑐2 + 𝑟2 𝑎 − 𝐶𝑚𝑖𝑛)/(𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛)) Для простоты вычислений сделаем замену: 𝐶1 = 𝑥 𝐶2 = y Cmax = k Cmin = l Прибыль первого продавца вычисляется по формуле: 𝐻1 = 𝑃1 (𝐶1 , 𝐶2 ) 𝑐1 Прибыль второго продавца вычисляется по формуле: 𝐻2 = 𝑃2 (𝐶1 , 𝐶2 ) 𝑐2 Равновесие по совершенным покупкам: 𝑑𝑃1 =0 𝑑𝑐1 𝑑𝑃2 =0 { 𝑑𝑐2 14

𝑑𝑃1 𝑑𝑐1 𝑑𝑃1 𝑑𝑐1 = = −2𝐶𝑚𝑎𝑥+𝐶𝑚𝑖𝑛+2𝑐1 −𝑐2 +2𝑎𝑟1 −𝑎𝑟2 2(𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛)2 −2𝐶𝑚𝑎𝑥+𝐶𝑚𝑖𝑛−𝑐1 +2𝑐2 +2𝑎𝑟2 −𝑎𝑟1 2(𝐶𝑚𝑎𝑥−𝐶𝑚𝑖𝑛)2 𝑐 = 2𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛 + 2𝑐2 + 2𝑎𝑟2 − 𝑎𝑟1 { 1 𝑐2 = 2𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛 + 2𝑐1 + 2𝑎𝑟1 − 𝑎𝑟2 𝑐 = −2𝐶𝑚𝑎𝑥 + 𝐶𝑚𝑖𝑛 − 𝑎𝑟1 { 1 𝑐2 = −2𝐶𝑚𝑎𝑥 + 𝐶𝑚𝑖𝑛 − 𝑎𝑟2 Найдем производные каждой из формул по цене 𝑐1 и 𝑐2 соответственно: 𝑑𝐻1 𝑑𝑃1 = 𝑐 + 𝑃1 = 0 𝑑𝑐1 𝑑𝑐1 1 𝑑𝐻2 𝑑𝑃2 = 𝑐 + 𝑃2 = 0 { 𝑑𝑐2 𝑑𝑐2 2 Приравнивая полученные производные к нулю, решаем систему относительно цен 𝑐1 и 𝑐2 . Получим равновесные цены для максимальной прибыли: 𝐶𝑚𝑎𝑥 2 + 2𝑐1 𝐶𝑚𝑖𝑛 + 3𝑐1 2 + 𝑎𝑟1 𝐶𝑚𝑖𝑛 + 4𝑎𝑐1 𝑟1 + 𝑎2 𝑟1 2 − 2𝑎𝑐1 𝑟2 − 𝑎2 𝑟1 𝑟2 − Cmax(𝐶𝑚𝑖𝑛 + 4𝑐1 + 2𝑎𝑟1 − 𝑎𝑟2 ) 𝑐2 = , −𝐶𝑚𝑎𝑥 + 2𝑐1 + 𝑎𝑟1 15

𝐶𝑚𝑎𝑥 2 + 2𝑐2 𝐶𝑚𝑖𝑛 + 3𝑐2 2 − 2𝑎𝑐2 𝑟1 + 𝑎𝑟2 𝐶𝑚𝑖𝑛 + 4𝑎𝑐2 𝑟2 − 𝑎2 𝑟1 𝑟2 + 𝑎2 𝑟2 2 − 𝐶𝑚𝑎𝑥(𝐶𝑚𝑖𝑛 + 4𝑐2 − 𝑎𝑟1 + 2𝑎𝑟2 ) 𝑐1 = , −Cmax + 2𝑐2 + 𝑎𝑟2 2.3. Случай с двумя продавцами и n покупателями без учета затрат на перемещение от покупателя до продавца Рассмотрим вероятность покупки товара у первого продавца, которая вычисляется по формуле: P1 = (½)(1 + C2−C1 Cmax−Cmin )(1 - C1−Cmin Cmax−Cmin ) Вероятность покупки товара у второго продавца, которая вычисляется по формуле: P2 = (½)(1 + C1−C2 Cmax−Cmin )(1 - C2−Cmin Cmax−Cmin ) Прибыль первого продавца вычисляется по формуле: 𝐻1 = n 𝑃1 (𝐶1 , 𝐶2 ) 𝐶1 Прибыль второго продавца вычисляется по формуле: 𝐻2 = n 𝑃2 (𝐶1 , 𝐶2 ) 𝐶2 Найдем производные каждой из формул по цене 𝐶1 и 𝐶2 соответственно: 𝑑𝐻1 𝑑𝑃1 = 𝐶 + 𝑃1 = 0 𝑑𝐶1 𝑑𝐶1 1 𝑑𝐻2 𝑑𝑃2 = 𝐶 + 𝑃2 = 0 { 𝑑𝐶2 𝑑𝐶2 2 16

Приравнивая полученные производные к нулю, решаем систему относительно цен 𝐶1 и 𝐶2 . Получим равновесные цены для максимальной прибыли: −𝐶𝑚𝑎𝑥 2 + 𝐶𝑚𝑎𝑥𝐶𝑚𝑖𝑛 + 4𝐶𝑚𝑎𝑥𝐶1 − 2𝐶𝑚𝑖𝑛𝐶1 − 3𝐶1 2 𝐶2 = , 𝐶𝑚𝑎𝑥 − 2𝐶1 −𝐶𝑚𝑎𝑥 2 + 𝐶𝑚𝑎𝑥𝐶𝑚𝑖𝑛 + 4𝐶𝑚𝑎𝑥𝐶2 − 2𝐶𝑚𝑖𝑛𝐶2 − 3𝐶2 2 𝐶1 = , 𝐶𝑚𝑎𝑥 − 2𝐶2 Равновесие цены не зависит от количества покупателей n. 2.4. Случай с двумя продавцами и n покупателями с учетом затрат на перемещение от покупателя до продавца Необходимые обозначения: a > 0 – затраты на преодоление единицы расстояния 𝐶1 > 0 – сумма, потраченная первым покупателем на покупку товара и перемещение 𝐶2 > 0 – сумма, потраченная вторым покупателем на покупку товара и перемещение 𝑐1 > 0 – цена на товара у первого продавца. 𝑐2 > 0 – цена на товара у второго продавца. 𝑟1 > 0 – расстояние между первым продавцом и покупателем. 𝑟2 > 0 – расстояние между вторым продавцом и покупателем. 17

Теперь усложним задачу и добавим в неё расстояние от покупателя до продавца и затраты на его преодоление: 𝐶1 = 𝑐1 + 𝑠1 𝐶2 = 𝑐2 + 𝑠2 , Где с1 и с2 это цена на товар у первого и второго продавца соответственно, a 𝑠1 и 𝑠2 это затраты на перемещение покупателя 𝑠1 = 𝑟1 𝑎 𝑠2 = 𝑟2 𝑎 Сmax – максимально разумная или допустимая цена на товар; Cmax ≥ max(𝑐𝑖 + 𝑠𝑖 ) 𝑖 Cmin ≥ 0 - минимальная цена на товар Рассмотрим вероятность покупки товара у первого продавца с учетом затрат на перемещение, которая вычисляется по формуле: 𝑃1 = (½)(1 + (𝑐2 + 𝑟2 𝑎 − 𝑐1 − 𝑟1 𝑎)/(𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛))(1 − (𝑐1 + 𝑐1 𝑎 − 𝐶𝑚𝑖𝑛)/(𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛)) Вероятность покупки товара у первого продавца, которая вычисляется по формуле: 𝑃1 = (½)(1 + (𝑐1 + 𝑟1 𝑎 − 𝑐2 − 𝑟2 𝑎)/(𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛))(1 − (𝑐2 + 𝑟2 𝑎 − 𝐶𝑚𝑖𝑛)/(𝐶𝑚𝑎𝑥 − 𝐶𝑚𝑖𝑛)) 18

Прибыль первого продавца вычисляется по формуле: 𝐻1 = 𝑐1 ∑𝑛𝑖=1 𝑃𝑖 Прибыль второго продавца вычисляется по формуле: 𝐻2 = 𝑐2 ∑𝑛𝑖=1 𝑃𝑖 Далее нужно найти производные от каждой формулы по 𝑐1 и 𝑐2 соответственно. Полученные производные приравниваем к нулю и, решая систему относительно 𝑐1 и 𝑐2 , получим равновесные цены для максимальной прибыли продавцов. Ввиду того, что формулы получатся очень громоздкими, целесообразно рассмотреть гипотетический пример и взять численные значения для a,n, Cmin, Cmax, 𝑟1 и 𝑟2 . 1. Пусть a=1, n=4, Cmin = 0, Cmax = 10, 𝑟1,1 = 1, 𝑟1,2 = 2, 𝑟2,1 = 3, 𝑟2,2 = 4, 𝑟3,1 = 4, 𝑟3,2 = 3, 𝑟4,1 = 2, 𝑟4,2 = 1 тогда получим 4 ∑ 𝑃𝑖 = 𝑖=1 1 (a𝑟1,1 2 + a𝑟2,1 2 + a𝑟3,1 2 − a𝑟3,1 a𝑟3,2 + a𝑟4,1 2 − a𝑟4,1 a𝑟4,2 2 2(𝑘 − 𝑙) + a𝑟1,2 𝑘 + a𝑟2,2 𝑘 − 2a𝑟3,1 𝑘 + a𝑟3,2 𝑘 − 2a𝑟4,1 𝑘 + a𝑟4,2 𝑘 + 4𝑘 2 + a𝑟3,1 𝑙 + a𝑟4,1 𝑙 − 4𝑘𝑙 − a𝑟1,2 𝑐1 − a𝑟2,2 𝑐1 + 2a𝑟3,1 𝑐1 − a𝑟3,2 𝑐1 + 2a𝑟4,1 𝑐1 − a𝑟4,2 𝑐1 − 8𝑘𝑐1 + 4𝑙𝑐1 + 4𝑐1 2 − a𝑟3,1 𝑐2 − a𝑟4,1 𝑐2 + 4𝑘𝑐2 − 4𝑐1 𝑦 − a𝑟1,1 (a𝑟1,2 + 2𝑘 − 𝑙 − 2𝑐1 + 𝑐2 ) − a𝑟2,1 (a𝑟2,2 + 2𝑘 − 𝑙 − 2𝑐1 + 𝑐2 )) Где k = Cmax, l = Cmin Найдем производные каждой из формул по цене 𝐶1 и 𝐶2 соответственно: 19

𝑑𝐻1 =0 𝑑𝑐1 𝑑𝐻2 =0 { 𝑑𝑐2 Приравнивая полученные производные к нулю, решаем систему относительно цен 𝑐1 и 𝑐2 . Получим равновесные цены для максимальной прибыли: 𝑑𝐻1 1 = (151 + 6𝑐1 2 + 15𝑐2 − 𝑐1 (35 + 2𝑐2 )) 𝑑𝑐1 100 𝑑𝐻2 1 = (151 + 𝑐1 (15 − 4𝑐2 ) − 70𝑐2 + 6𝑐2 2 ) 𝑑𝑐2 100 151 − 70𝑐1 + 6𝑐1 2 𝑐2 = −15 + 4𝑐1 𝑐1 = 151 − 70𝑐2 + 6𝑐2 2 −15 + 4𝑐2 𝑐1 = 3,093429257026442 , 𝑐2 = 3,093429257026442 𝑐1 = 24,40657074297356 , 𝑐2 = 24,40657074297356 𝑐1 = 3,365321618570843 , 𝑐2 = 10,80134504809582 𝑐1 = 10,80134504809582 , 𝑐2 = 3,365321618570843 2. Пусть a=2, n=4, Cmin = 0, Cmax = 10, 𝑟1,1 = 1, 𝑟1,2 = 2, 𝑟2,1 = 3, 𝑟2,2 = 4, 𝑟3,1 = 4, 𝑟3,2 = 3, 𝑟4,1 = 2, 𝑟4,2 = 1 тогда получим 20

4 ∑ 𝑃𝑖 = 𝑖=1 1 (a𝑟 2 + a𝑟2,1 2 + a𝑟3,1 2 − a𝑟3,1 a𝑟3,2 + a𝑟4,1 2 − a𝑟4,1 a𝑟4,2 2(𝑘 − 𝑙)2 1,1 + a𝑟1,2 𝑘 + a𝑟2,2 𝑘 − 2a𝑟3,1 𝑘 + a𝑟3,2 𝑘 − 2a𝑟4,1 𝑘 + a𝑟4,2 𝑘 + 4𝑘 2 + a𝑟3,1 𝑙 + a𝑟4,1 𝑙 − 4𝑘𝑙 − a𝑟1,2 𝑐1 − a𝑟2,2 𝑐1 + 2a𝑟3,1 𝑐1 − a𝑟3,2 𝑐1 + 2a𝑟4,1 𝑐1 − a𝑟4,2 𝑐1 − 8𝑘𝑐1 + 4𝑙𝑐1 + 4𝑐1 2 − a𝑟3,1 𝑐2 − a𝑟4,1 𝑐2 + 4𝑘𝑐2 − 4𝑐1 𝑦 − a𝑟1,1 (a𝑟1,2 + 2𝑘 − 𝑙 − 2𝑐1 + 𝑐2 ) − a𝑟2,1 (a𝑟2,2 + 2𝑘 − 𝑙 − 2𝑐1 + 𝑐2 )) Где k = Cmax, l = Cmin Найдем производные каждой из формул по цене 𝐶1 и 𝐶2 соответственно: 𝑑𝐻1 =0 𝑑𝑐1 𝑑𝐻2 =0 { 𝑑𝑐2 Приравнивая полученные производные к нулю, решаем систему относительно цен 𝑐1 и 𝑐2 . Получим равновесные цены для максимальной прибыли: 52 − 30 𝑐1 + 3𝑐1 2 𝑐2 = −5 + 2𝑐1 52 − 30𝑐2 + 3𝑐2 2 𝑐1 = −5 + 2𝑐2 𝑐1 = 2,289711071668931 , 𝑐2 = 2,289711071668931 𝑐1 = 22,71028892833107 , 𝑐2 = 22,71028892833107 𝑐1 = 2,374849400869412 , 𝑐2 = 9,291817265797255 𝑐1 = 9,291817265797255, 𝑐2 = 2,374849400869412 21

3. Пусть a=1, n=4, Cmin = 0, Cmax = 10, 𝑟1,1 = 2, 𝑟1,2 = 4, 𝑟2,1 = 6, 𝑟2,2 = 8, 𝑟3,1 = 8, 𝑟3,2 = 6, 𝑟4,1 = 4, 𝑟4,2 = 2, тогда получим 4 ∑ 𝑃𝑖 = 𝑖=1 1 (a𝑟1,1 2 + a𝑟2,1 2 + a𝑟3,1 2 − a𝑟3,1 a𝑟3,2 + a𝑟4,1 2 − a𝑟4,1 a𝑟4,2 2 2(𝑘 − 𝑙) + a𝑟1,2 𝑘 + a𝑟2,2 𝑘 − 2a𝑟3,1 𝑘 + a𝑟3,2 𝑘 − 2a𝑟4,1 𝑘 + a𝑟4,2 𝑘 + 4𝑘 2 + a𝑟3,1 𝑙 + a𝑟4,1 𝑙 − 4𝑘𝑙 − a𝑟1,2 𝑐1 − a𝑟2,2 𝑐1 + 2a𝑟3,1 𝑐1 − a𝑟3,2 𝑐1 + 2a𝑟4,1 𝑐1 − a𝑟4,2 𝑐1 − 8𝑘𝑐1 + 4𝑙𝑐1 + 4𝑐1 2 − a𝑟3,1 𝑐2 − a𝑟4,1 𝑐2 + 4𝑘𝑐2 − 4𝑐1 𝑦 − a𝑟1,1 (a𝑟1,2 + 2𝑘 − 𝑙 − 2𝑐1 + 𝑐2 ) − a𝑟2,1 (a𝑟2,2 + 2𝑘 − 𝑙 − 2𝑐1 + 𝑐2 )) Где k = Cmax, l = Cmin Найдем производные каждой из формул по цене 𝐶1 и 𝐶2 соответственно: 𝑑𝐻1 =0 𝑑𝑐1 𝑑𝐻2 =0 { 𝑑𝑐2 Приравнивая полученные производные к нулю, решаем систему относительно цен 𝑐1 и 𝑐2 . Получим равновесные цены для максимальной прибыли: 52 − 30𝑥 + 3𝑐1 2 𝑐2 = −5 + 2𝑐1 52 − 30𝑐2 + 3𝑐2 2 𝑐1 = −5 + 2𝑐2 𝑐1 = 2,289711071668931 , 𝑐2 = 2,289711071668931 𝑐1 = 22,71028892833107 , 𝑐2 = 22,71028892833107 𝑐1 = 2,374849400869412 , 𝑐2 = 9,291817265797255 𝑐1 = 9,291817265797255, 𝑐2 = 2,374849400869412 22

При повышении стоимости проезда за единицу длины, продавцы понижают цены на свой товар. Такое явление можно объяснить тем, что за счёт увеличения расстояния до покупателя или увеличения цены на проезд уменьшается вероятность покупки товара покупателем. Глава 3. Вычисления Для простоты вычислений была использована программа Wolfram Mathematica. Wolfram Mathematica — это программное обеспечение от компании Wolfram Research, которое нашло широкое применение не только в математических вычислениях, но и в моделировании, симуляции, визуализации, документации, а также в создании веб-сайтов. Wolfram Mathematica обладает возможностью осуществлять вызовы функций и принимать вызовы с C, .NET, Java и других языков, генерировать C код. Также средствами Mathematica можно компилировать автономные библиотеки и исполняемые файлы. В работе были задействованы вычислительные возможности данного программного пакета, что позволило вычислить громоздкие формулы как в общем в так и в частном случаях. 23

Заключение В данной работе рассмотрено поведение двух продавцов в условиях конкуренции на рынке товаров одного вида с вероятностью покупки зависящей от характеристик, которыми для покупателя являются цена, а также транспортные расходы. Найдены равновесные цены, от которых каждому из продавцов невыгодно отклоняться. Вычисления были произведены в среде Wolfram Mathematica, что позволило искать численные решения поставленной задачи при разном подборе параметров. Из результатов данной работы видно, что цена на преодоление единицы расстояния до продавца сильно влияет на образование цен у продавцов. 24

Список литературы 1. Bertrand, J. (1883) "Book review of theorie mathematique de la richesse sociale and of recherches sur les principles mathematiques de la theorie des richesses", Journal de Savants 67: 499–508 2. Dresner, Z. Competitive location strategies for two facilities// Regional Science and Urban Economics, Vol. 12, 1982, 485-493. 5. Hakimi, S.L. On locating new facilities in a competitive environment // European Juornal of Operational Research, Vol. 12, 1983, 29-35. 3. Hotelling H. Stability in Competition // Economic Journal . 1929. Vol . 39. 4. Mazalov V. V., Sakaguchi M. Location Game On The Plane // International Game Theory Review. 2003. Vol. 5, N 1. P. 1–13. 5. Nickel S., Puerto J. Location Theory: A Unified Approach, Springer, Berlin, 2005. 6. Salop S. Monopolistic competition with outside goods // Bell journal of Economi cs. 1979. Vol . 1 0. P. 141–156. 7. Мазалов В. В., Щипцова А. В., Токарева Ю. С. Дуополия Хотеллинга и задача о размещении на плоскости // Экономика и математические методы. 2010. т. 46, Вып. 4. 8. Nickel S., Puerto J. Location Theory: A Unified App roach, Springer, Berlin, 2005. 9. Dresner, Z. Competitive location strategies for two facilities// Regional Science 25

and Urban Economics, Vol. 12, 1982, 485-493. 5. Hakimi, S.L. On locating new facilities in a competitive environment // European Juornal of Operational Research, Vol. 12, 1983, 29-35. 10. Мазалова А. В. Дуополия Хотеллинга на плоскости в метрике Манхеттена // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Т. 2. С. 33–43. 9. Рускоязычная поддержка Wolfram Mathematica. http://wolframmathematica.ru 26

Приложение обозначения Сmax=k Cmin=l 𝑐1 = x 𝑐2 = y 𝑟 - расстояние от покупателя до продавца, где первый индекс это номер покупателя, а второй номер продавца Монопольный случай без учета затрат на перемещение p= 1 - (x-l)/(k-l) sol=D[p,x] solution=Solve[sol*x+p==0] Монопольный случай с учетом затрат на перемещение p= 1 - (x + ar-l)/(k-l) sol=D[p,x] solution=Solve[sol*x+p==0] Случай с двумя продавцами и одним покупателем без учета затрат на перемещение от покупателя до продавца pde = (1/2 )(1+ (y-x)/(k-l))(1 - (x-l)/(k-l)) soln=D [pde,x] solu=Solve[soln==0] profit=Solve[soln*x+pde==0] pde1 = (1/2 )(1+ (x-y)/(k-l))(1 - (y-l)/(k-l)) soln1=D [pde1,y] solu1=Solve[soln1==0] profit1=Solve[soln1*y+pde1==0] 27

Случай с двумя продавцами и одним покупателем с учетом затрат на перемещение от покупателя до продавца x= o +r1*a y= p +r2*a pde = (1/2 )(1+ (x-y)/(k-l))(1 - (y-l)/(k-l)) soln=D [pde,p] solu=Solve[soln==0] profit=Solve[soln*p+pde==0] Simplify[profit] x= o +r1*a y= p +r2*a pde = (1/2 )(1+ (y-x)/(k-l))(1 - (x-l)/(k-l)) soln=D [pde,o] solu=Solve[soln==0] profit=Solve[soln*p+pde==0] Simplify[profit] Случай с двумя продавцами и 4 покупателями с учетом затрат на перемещение от покупателя до продавца ar11=1 ar12=2 ar21=3 ar22=4 ar31=4 ar32=3 ar41=2 ar42=1 k=10 l=0 pde1 = (1/2 )(1+ (y+ar12-x-ar11)/(k-l))(1 - (x+ar11-l)/(k-l)) pde2 = (1/2 )(1+ (y+ar22-x-ar21)/(k-l))(1 - (x+ar21-l)/(k-l)) pde3 = (1/2 )(1+ (y+ar32-x-ar31)/(k-l))(1 - (x+ar31-l)/(k-l)) 28

pde4 = (1/2 )(1+ (y+ar42-x-ar41)/(k-l))(1 - (x+ar41-l)/(k-l)) 𝐬𝐨𝐥 = 𝐩𝐝𝐞𝟏 + 𝐩𝐝𝐞𝟐 + 𝐩𝐝𝐞𝟑 + 𝐩𝐝𝐞𝟒 𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲[𝐬𝐨𝐥] 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 = 𝐬𝐨𝐥 ∗ 𝒙 𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲[𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧] soln=D [solution,x] profit=Solve[soln==0] ar11=1 ar12=2 ar21=3 ar22=4 ar31=4 ar32=3 ar41=2 ar42=1 k=10 l=0 pde1 = (1/2 )(1+ (-y-ar12+x+ar11)/(k-l))(1 - (y+ar12-l)/(k-l)) pde2 = (1/2 )(1+ (-y-ar22+x+ar21)/(k-l))(1 - (y+ar22-l)/(k-l)) pde3 = (1/2 )(1+ (-y-ar32+x+ar31)/(k-l))(1 - (y+ar32-l)/(k-l)) pde4 = (1/2 )(1+ (-y-ar42+x+ar41)/(k-l))(1 - (y+ar42-l)/(k-l)) sol= pde1+pde2+pde3+pde4 Simplify[sol] solution= sol*y Simplify[solution] soln=D [solution,y] profit=Solve[soln==0] Simplify[soln] 𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞[{𝒙 == (𝟏𝟓𝟏 − 𝟕𝟎𝒚 + 𝟔𝒚 ∗ 𝒚)⁄(−𝟏𝟓 + 𝟒𝒚) , 𝒚 = = (𝟏𝟓𝟏 − 𝟕𝟎𝒙 + 𝟔𝒙 ∗ 𝒙)⁄(−𝟏𝟓 + 𝟒𝒙)}, {𝒙, 𝒚}] 29

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв