Методика изучения степени с рациональным показателем

Юсупов О.Ш.

Методика изучения степени с рациональным показателем

44.04.01 Педагогическое образование, профиль Математика

Народное образование. Педагогика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5c1a86da7966e104f6f85c82

UUID: aa1c0d10-e5e5-0136-06ca-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: почти 6 лет назад

Просмотры: 39

Юсупов О.Ш.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,3 МБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕП Ю Я Л В А Т С Д Е Р ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕВ ИОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕС Т С Й Е Д З О АВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ О Р П «БЕЛГОРОДСКИЙп есГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ оц р ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙр иУНИВЕРСИТЕТ» н ел азд ( Н И У « Б е л Г У » ) ПЕДАГОГИЧЕСКИЙоргвтИНСТИТУТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИрен й вутИ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедраельп тматематики звд рои Методика изучениям оеч ун кстепени с рациональнымп ю я л став ед р показателем Выпускная квалификационнаяэтап омработа магистранта очнойп оформы обучения н л став ед р направленияуд мподготовки 44.04.01. Педагогическоер обств иобразование, магистерскаяп н ел азд ю я л став ед р программа «Математическоеп ообразование» н л став ед р 2 года обученияв стигруппы 02041610 ей озд Юсуповаэл тОлега Шухратовича н ем Научныйп лруководитель ы б ри Доцент кафедрыд осиматематики к.ф. – м.н. еятльн Сокольскийрасп мА.Г. и лн ед Рецензент Директор МОУси ы«Октябрьская СОШ тем им.Юрия Чумака» Черендинап иЛ.В. оставлн ред БЕЛГОРОД 2018

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3 1 Степень с рациональным показателем в профильных класса ................................ 6 1.1 Определение степени с рациональным показателем ..................................... 6 1.2 Содержание и анализ материала в различных школьных учебниках ........ 12 1.3 Роль и место степени с рациональным показателем в профильных классах16 1.4 Основные свойства решения степени с рациональным показателем ........ 24 2 Методика изучения степени с рациональным показателем в профильных классах 28 2.1 Методика формирования у учащихся решать задания по теме: «степень с рациональным показателем» в профильных классах ........................................ 28 2.2 Методика формирования умений решать задания по теме: «Степень с рациональным показателем» в профильных классах ........................................ 40 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................................................. 49 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .......................................................... 49 ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................................................................................................ 54 2

ВВЕДЕНИЕ В математикеп енреальные процессывозд ж ви д о р стиописываются нап ей енособом математическомп ж ви род ен ж ви род языке и в видеу слг математических моделей. Выражениеси темax называетсям ятй степенью и ероп (гдеп тельа – основание степени,связан звд рои ыx показатель степени)тольки является формойси темвыражения обширногоен и ловауст класса процессов,то вар называемых процессамиэтоместественного ростап л или ы б ри убыванияторгввеличин. Иначе говоря,си тем данное выражениевн утрей является модельюн утрей в функции, котораятовар называется показательной,у слг занимающей важноеуп и место средиком равлен сая трансцендентных ерч функций. Примерыф впроцессов, происходящихи р акто е в реальной действительности,тф скан зы акрвкоторые о достаточноен овлап стполно и точновн рд ейможно описатьи тр у ес помощью даннойотн скан зы сяфункции: · распад радиоактивныхц мвеществ; ело · изменение атмосферногоп лдавления с изменениемуд ы б и р ствмвысоты надтоваруровнем моря; об · падениеко йтемпературы охлаждаемыхляю ы еч н тп савтел; ред · размножение живыхво юорганизмов (размножениеотли сту ей зд мхолерного вибриона); ы еьн ч · изменением ятйвклада в сберегательнойуход и п о ер екассе, положенногоэтап и ящ омпод определенныйэлем ты н годовой процентп яти др. и ед р Слово «трансцендентный»степ и происходит оти н е латинских словтакж ац орм ф н е transcendens– transcendo, т.е. «выхожуто варза границу». Терминп ставляю«трансцендентный» сталтем ред и ы с впервые применятьком саяЛ. Эйлер (1707–1783)слу ерч гв 1775 г. 2)вн утрейВажную рольр азд ив вычислительной техникеэлем елн тиграют таблицы,розн н йа также шкалыси ч и ы тем значений показательнойц м функции в счетныхязан ело есв приборах (счетныеосб ы ти линейки, ен номограммы). Выделяютэлем тызначимые частныекон н йслучаи показательныхком ы еч сая функций 𝑦 = ерч 10𝑥 , 𝑦 = 𝑒 𝑥 – экспоненциальнаятельн ч и м ы офункция и еёотли мграфик экспоненту. ы еьн ч 3)уход е Классические задачико и ящ сая показательного ростан ч ер м утрей в и убывания приводятакти уюк вн дифференциальным уравнениям,язатьув решением которыхб оле служит показательнаясп роа функция. Итак, показательнаяо сяфункция в школьномуслгкурсе математики: тн ·имеетко у значимую рольто м еч н гв в математическом образовании;ф р акторв в формировании диалектического,п лфункционального стиляразд ы б и р имышления; елн 3

·раскрывает общенаучнуюж еакти общекультурную рольп есматематики; роц ·создает возможностии зы е эстетического, скан экологическогоэтом воспитания и профессиональнойп лориентации учащихся. ы б и р Изэтап омвышесказанного следуетразд и проблема исследования,лен елн и устаов которая состоитэлем тв н рассмотрении теоретическиху е основ степении и ящ д о х е с рациональным показателемсвязан скан зы ыи методики еер и изучения в школьномразд лн ед асп и курсе математики. Проблемаб елн оле исследования определяети осб т тему выпускнойси ен ыквалификационной работы:уд тем ствм «Изучения степенисп об роа с рациональным показателемво юв профильных классах». сту ей зд Объекту еи исследования – процессэтом изучения степениож л в о н ста тсяп аю д рв с рациональным показателемто варв профильных классах. Предметсо тя исследования – методикаси ю а д ж в р п тем изучения степениразд и с рациональным елн показателемр азви сяв профильных классах. ей щ ю Цельр оп тй я и е исследования – наотли м м основе учебной,кон ы еьн ч у научной и методическойтакж м еч е литературы изучитько уосновные теоретическиеп м еч н исведения, связанныеш оставлн ред рокг со степеньюуслг с и рациональным показателем;у ираскрыть общием авлен р п естаметодические положения,увязатьна которыеотн ся нужно обратитьу ствмвнимание приб б о д леизложении темаю о еоб и щ вв профильных классах. ч сп Достижениеко саяцели обусловилоуход ч ер м ящ епостановку следующихи и езадач исследования: скан зы 1. Провестир и анализ учебнойи елн азд е и методической литературыотли скан зы м по проблемерасп ы еьн ч и лн ед исследования. 2. Выявить рольр зн о й степени с рациональнымэлем ч и ты показателем в обучениикон н у м еч математики. 3. Разработать урокп ставк изучения новогостеп о и материала нааровт тему «Степеньустан н овлеи с рациональным показателем. Свойствап тель степени» звд рои и урокп ервой обобщения и систематизацииу слг знаний нап тель тему «Степеньб звд и о р оле с рациональным показателем»си тем для учениковси ы10–11 профильныхсп тем аклассов. о р 4. Разработать системуп тель тренировочных упражненийлен звд и о р оп став для учащихсяи рд е 10– 11си скан зы тем профильных классовко упо подготовкеразви м еч н сяк ЕГЭ. ей щ ю Практическая значимостьр опработы заключаетсяб ставлн ед олев том, чтоп ервойона можетотли мбыть ы еьн ч использованау влеив качестве методическоготолькпособия дляп о стан тельучителей приф звд рои акторвпланировании и проведениирй азвеиуроков позави щ сяю ттеме: «Степеньп о см ис рациональным показателем»,ком оставлн ред саяа также длятовар ерч обучающихся среднейто гвшколы в подготовкем р естак ЕГЭ. 4

Структура работы:р азви ся работа состоитуход ей щ ю е из введения,такж и ящ е двух глав,и е заключения, ац орм ф н спискаэтомиспользованной литературыкап остви трех приложений. В первойэлем т главе рассматриваютсяэлем н тытеоретические сведения,ф н акторв связанные соувязать степенью с рациональнымп ставляюпоказателем. ед р Вторая главаси ыпосвящена методикерасп тем мизучения степенип и лн ед о в школьном курсеувязать ставлн ред математики, гдеп йдаются рекомендациирасп во ер мпо обучениюд и лн ед осиосновных свойстввн еятльн утрейстепени с рациональнымко саяпоказателем. ч ер м В приложении 1 приведенэлем вурок закрепленияц то н еломизученного материалаи етвй создна темуф акторв «Степень с рациональнымэто мпоказателем. Свойства степеней»п ятдля учениковсвязан и ред ы10–го профильногоу екласса. и ящ д о х В приложении 2 представлентоварурок обобщенияд осии систематизации знанийустан еятльн овлеина темуэкон есая«Степень с рациональнымч ч и м м о н аеи яскэ показателем» дляп ставляюучеников 11–этап ред омго профильногорасп м и лн ед класса. В приложении 3 приведенап ес система тренировочныхп роц енупражнений након ж ви род йтему: ы еч «Степеньзакуп йс рациональным показателем. Подготовкап н оч еск ЕГЭ» роц 5

1 Степень с рациональнымв стипоказателем в профильныхп ей озд ескласса оц р 1.1 Определение степенир ис рациональным показателем н ел зд а Простейшиеп л математические выраженияд ы б и р оси стали известныэкон еятльн есая людям ещеп ч и м тель в звд рои глубокой древности. В тото лькже времяуд ствмпостоянно шлоуслгсовершенствование какд об осисамих еятльн операций,сп роа так и ихр мзаписи нао и лн ед асп сятом илиси тн темином носителе. В частности,уп ив Древнем равлен Египте,устан овлеи чьи ученыеко сая внесли заметныйси ч ер м тем вклад какы хторгв в развитие элементарнойвозд сти ей арифметики, тако щ ваю и ч есп б и в создание основязатьувалгебры и геометрии,элем товобратили вниманиеразд н ина то,тольк елн что когдазаклю ипроисходит умножениеп ен ч лкакого–либо числакон ы б ри йна одноф ы еч акторви то жеи отзавчисло многоц см елом раз, тоэкон есаяна этото ч и м льктратится огромноец еломколичество ненужныхляю тп савусилий. Более того,расп ред итакая лн ед операцияп енвела к значительнымгои ж ви род кшфинансовым затратам:п р ес согласно действовавшимзакуп роц й н оч тогда установкамзаклю ина оформлениеэлем ен ч тлюбых записей,отли н мкаждой действиеторгвс числом должном ы еьн ч еста было подробноп иописываться. Если вспомнить,зави ставлн о ед р отчто дажелен см и оставсамый простейшийторгвы рд п хпапирус стоилсоп тявесьма внушительнуюм аю д рвж еста сумму денег,си темто неп ятстоит удивлятьсяляю и ред тп савтем усилиям,уп ред и равлен которые египтянето лькприложили, чтобыязан есвнайти выходэлем ы тиз этойп н ятситуации. и ред Решение нашелу ствмзнаменитый Диофантвн б о д йАлександрийский, которыйразд еш ипридумал елн специальныйэлем т математический знак,такж н е который сталкон у показывать, сколькоторгв раз м еч необходимоу влеиумножить топ о стан лили иноекон ы б и р йчисло нам ы еч естасамо себя. Впоследствиилен оп ставизвестный рд французскийо мматематик Р. Декарти ы еьн ч тли еусовершенствовал написаниеси скан зы ыэтого выражения,элем тем тов н предложив прип ставк обозначении степенип о ес чисел простокон роц у приписывать еем м еч ятй в правом и ероп верхнемп и углу надвн оставлн ред й основным числом. Завершающимвозд еш сти аккордом в письменномп ей тель звд рои оформлении степенико йчисел сталаф ы еч н акторвдеятельность небезызвестногоосб тиН. Шюке, которыйрасп ен и лн ед ввел в научныйо сяоборот сначалаво тн зд юотрицательную, а затемтакж сту ей еи нулевую степень. Чтоэлем тыже н означаетразд ифраза «возвестир елн азд истепень»? Для началатакж елн енеобходимо понять,д осичто самоси еятльн ыпо тем себеакти уювозведение в степеньсвязан вн ыпредставляет собойрасп и одну изразд лн ед и важнейших бинарныхрасп елн и лн ед математических операций,степ исуть которойзакуп н йсостоит в неоднократномразд н оч иумножении числам елн еста на самоэлем тысебя. н Известно, чтоп звд и о р тельмножество рациональныхы хторгвчисел состоитод тельп и рзвиз целыход тельп и рзви дробных чисел,м еста причем каждоеп ят дробное числостеп и ед р и может бытьакти н ую представлено в видеторгвы вн х положительной илиэто мотрицательной обыкновеннойвн утрейдроби. 6

𝑚 Рассмотрим степеньто варс дробным показателемуход евида a . Чтобыэлем и ящ тсохраняло силукон н у м еч 𝑛 свойство степенир ив степени, должнокап елн азд остввыполняться равенстворасп и(𝑎𝑛𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑛𝑚𝑛 = 𝑎𝑚 . лн ед Если учестьо мполученное равенствоц ы еьн ч тли елом(𝑎𝑛𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚 и то, какуд ствммы определилип об ескорень n– роц ой степени, то логичнор и принять лн ед асп 𝑛 𝑎𝑛𝑚 = √𝑎𝑚 приотн ся условии, чтоп ервой при 𝑛 данныхц еломm, n и a выражениестеп и√𝑎𝑚 имеет смысл. н 𝑛 Несложното лькпроверить, чтоу ящ д о х епри 𝑎𝑛𝑚 = √𝑎𝑚 справедливылен и и оставвсе свойстваэкон рд п есаястепени с ч и м целымэлем тыпоказателем (этоэтап н мсделано в разделеэкон о есаясвойства степени с рациональным ч и м показателем). Приведенные рассужденияустан овлеипозволяют сделатьом ствследующий вывод:уход б уд ящ еесли приси и ы тем 𝑛 данных m,п ж ви род енn и a выражение √𝑎𝑚 имеетязан есв смысл, тоуход ы ящ е степенью числаразд и иa с дробным елн показателемэлем вm/n называютзави то н ткорень n–ойсвязан о см естепени изотн ы сяa в степени m. Этоувязатьутверждение вплотнуюси темподводит насотн сяк определению степениб олес дробным показателем. Остаетсяп ставк лишь о 𝑛 выражениеи е√𝑎𝑚 . ац орм ф н В расписать,си ы при тем зависимости отэтом какихкон уm, n и a имеетд м еч п яте смысл ри ограничений, накладываемыхкон й ы еч на m,закуп йn и a существуют двазаклю н оч иосновных подходап ен ч ят[5,c.268]. и ред 1. Проще всегото вар наложить ограничениеэлем ты на a,и н е приняв a≥0п ац орм ф н одля ставлн ред положительныхво стиm и a>0 дляво ей зд ю отрицательных m (такогтрв как сту ей зд приэлем товm≤0 степеньд н оси0m неп еятльн л ы б ри определена). Тогда мыстеп и получаем следующеетольк определение степенид н оси с дробным еятльн показателем. Определение. Степеньюто рположительного числав а в ейa с дробным показателемобесп утр н щ аю в и ч m/n, гдерасп иm – лн ед целое, а n – натуральноеп ставляючисло, называетсяогтрвкорень n–ойн ед р й еш виз числазави отa в степени m,возд см стито ей 𝑛 есть,п ы б ри л𝑎𝑛𝑚 = √𝑎𝑚 . Также определяетсяу влеи дробная степеньб о стан оле нуля с тойотли м лишь оговоркой,торгвы ы еьн ч х что показательсвязан ыдолжен бытьто гвположительным. р Определение. Степень нуляу ес дробным положительнымр и щ я д о х йпоказателем m/n,товаргде m – целоеразд ч и озн и елн 𝑛 𝑚 положительное, а n – натуральноевозд сти число, определяетсяц ей елом как 0𝑚 𝑛 = √0 = 0. 𝑚 Приш рокг < 0 степень 0𝑚 и ставкопределяется, торасп о иесть, степеньвн лн ед утрейчисла нульразд ис дробным елн 𝑛 неп 𝑛 отрицательнымсвязан епоказателем неу ы влеиимеет смысла. о стан 7

Следуетр азд и отметить, чтош елн кг при такомп о р и оставк определении степениси ы с дробным тем показателемр и существует лн ед асп одинразд и нюанс: елн прип ервой некоторых отрицательныхэкон есаяa и ч и м 𝑛 некоторых m и n выражениеп ен√𝑎𝑚 имеет смысл,услга мы отбросилиляю ж ви д о р тп савэти случаи,д ред осивведя еятльн 3 1 4 7 условиеоб щ ваю и ч есп a≥0. Например, имеютсо тясмысл записирасп аю д вж р п и√(−5)2 , √(−1,2)5 или √(− )−8 или, лн ед 2 а данноеп оставк выше определениеп ят заставляет насуд и ед р ствмговорить, чтоой об ерв степени с дробнымзакуп п й н оч 2 5 1 8 показателем видако у(−5)3 , (−1,2)7 , (− )−4 не имеютм м еч н естасмысла, такф акторвкак основаниеэлем тыне н 2 должнокон йбыть отрицательнымб ы еч ле[16]. о 2. Другой подходу влеи к определению степении о стан е с дробным показателемэлем скан зы тm/n н заключаетсяакти ю в раздельном рассмотрениилен у вн и остав четных и нечетныхм рд п ятй показателях и ероп 𝑛 корняп тель√𝑎𝑚 . Этот подходо звд рои ти требует дополнительногорасп ен сб м условия: степеньд и лн ед сп елн ра числа a,разви и ся ей щ ю показателем которойп оявляется сократимая обыкновенная дробь, считаетсяы ставлн ед р хторгвстепенью числаоб щ ваю и ч есп a, показателемо щкоторой являетсяустан ваю и ч есп б овлеи соответствующая несократимаяп ставляюдробь ред (важностьторгвы хэтого условияо мпоясним чутьляю ы еьн ч тли тп савниже). То есть,уп ред иесли m/nм равлен ятй– несократимая и ероп 𝑚𝑘 дробь,п оставкто дляб лелюбого натуральногои о ечисла k степеньосб скан зы ти𝑎 𝑛𝑘 предварительно заменяетсяи ен е ац орм ф н 𝑚 𝑛 на 𝑎 . 𝑛 Прип енчетных n и положительныхси ж ви род ыm выражение √𝑎𝑚 имеетаю тем еоб и щ всмысл приб ч сп олелюбом неотрицательномп оa (корень четнойп ставлн ед р ставляюстепени изразд ред и отрицательного числасп елн роа не имеети е ац орм ф н смысла), приэто мотрицательных m числоп енa должно бытьп ж ви род тельеще отличными звд рои еот нулясоп ац орм ф н тя(иначе аю д рвж будетявлсьделение над синуль). А при нечетныхакти о еятльн уюn и положительных m числоф вн акторвa может бытьэтом любым (кореньб ленечетной степениозд о ствиопределен дляф ей акторвлюбого действительногод п ятечисла), а ри приуход е отрицательных m числозави и ящ тa должно бытьсп о см роа отличным отуслг нуля (чтобым ятй не былосвязан и ероп ы деления науслгнуль) [31]. Приведенныеэко есая рассуждения приводятуход ч и м н е нас к такомувозд и ящ стуюопределению степенивозд ей стис ей дробным показателем. Определение. Пустьб олеm/n – несократимаясо вж р п д тя дробь, m – целое,отли аю ма n – натуральное число. Дляразд ы еьн ч и елн 𝑚𝑘 𝑚𝑘 𝑚 любой сократимойд сиобыкновенной дробиэтом степень 𝑎 𝑛𝑘 заменяетсям о еятльн естана 𝑎 𝑛 . Степеньсвязан ы 𝑛𝑘 𝑛 числа a с несократимымзави тдробным показателемустан о см овлеиm/n – этоэтап ом√𝑎𝑚 для: 8

любого действительногоотли мчисла a,заклю ы еьн ч ицелого положительногоы ен ч хторгвm и нечетного 1. 5 2 3 5 7 19 натуральногоу иn, например,заку авлен р п й23 = √52 , (−5,1)7 = √(−5,1)2 , 019 = √05 ; н ч о п любого 2. отличногоап ствк от о нуляи е действительного скан зы 5 числаи еa, ац орм ф н 2 3 целогооб щ ваю и ч есп отрицательного m и нечетногод сиn, к примеру, 2−3 = √2−5 , (−5,1)−7 = √(−5,1)−2 ; о еятльн любогосвязан е неотрицательного ы 3. 1 числам естаa, целогоп л положительного m и ы б ри 7 3 4 7 18 четногоэкон есаяn, например,то ч и м льк24 = √21 , (5,1)2 = √(5,1)3 , 018 = √07 ; любого положительногоязан ы свa, целогоосб ти отрицательного m и четноговозд ен стиn, к ей 4. 1 3 примеру,п и2−4 = √2−1 , (5,1)−2 = √(5,1)−3 ; оставлн ред 4 в остальных случаяхво зд юстепень с дробнымязан сту ей ы свпоказателем неп иопределяется, оставлн ред 5. 11 1 3 2 какзави отнапример неси см ыопределены степенип тем оставк(2) 6 , (−2 )2 , 0−5 . 2 Поясним, зачему истепень с сократимымразд авлен р п идробным показателемы елн хторгвпредварительно заменяетсян ти вакстепенью с несократимымувязатьпоказателем. Если бып ую есмы простоязатьувопределили роц 𝑚 𝑛 𝑛 степеньрасп м𝑎 . как √𝑎𝑚 , и нец и лн ед моговорились о несократимостиуслг дроби m/n,расп ело ито мывозд лн ед стибы ей столкнулисьп лс ситуациями, подобнымип ы б и р ес следующей: такп роц ес как 6/10=3/5,торгвы роц хто должнотакж е выполняться равенство 6 3 6 10 10 10 (−1)10 = (−1)5, (−1)10 = √(−1)6 = √1 = √110 = 1 но,устан овлеиа 3 5 5 5 5 (−1)5 = √(−1)3 = √−1 = −√1 = −√15 = −1. Заметим, чтоэтап мпервое определениеи о ен ж встепени с дробнымлен род п оп ставпоказателем удобнеец рд еломв применении, чемсвязан ывторое. Поэтому мып ятв дальнейшем будемп и ред ставляюиспользовать именноэтап ред ом его. Итак, степеньр иположительного числатор н л ед сп а гвa с дробным показателемов гm/n мып хтр ы ят и ред 𝑚 𝑛 определяем какэлем в √𝑎𝑚 , для отрицательныхб то н олеa записи 𝑎 𝑛 мызаклю ине придаемод ен ч тельп и рзвникакого смысла,п оставк степень числау е нуль мыляю и ящ д о х тп сав определяем дляи ред е положительных дробныхразви скан зы ся ей щ ю 𝑚 𝑛 показателей m/nси ыкак 0 𝑛 = √0𝑚 = 0, дляуслг отрицательных дробныхтовар показателей тем степеньрасп ичисла нульд лн ед сине определяемком о еятльн сая[16]. ерч 9

В заключение этогор ипункта обратимф лн ед асп акторввнимание насвязан ыто, чтош рокгдробный показательп и ервой степени можетэко есая быть записанр ч и м н мв виде десятичнойзакуп и лн ед асп й дроби иликом н оч саясмешанного числа, ерч 2 3 например, 51,7 , (3 )−27 . 5 Дляэлем тывычисления значенийэлем н твыражений подобногоэкон н есаявида нужноп ч и м ятпоказатель и ред степениси темзаписать в видеу слгобыкновенной дроби,элем товпосле чегоб н олевоспользоваться определениему ствмстепени с дробнымразд б о д ипоказателем. Для указанныхш елн рокгпримеров имеем и 17 10 51,7 = 510 = √57 и 2 −23 (3 ) 7 = 5 2 −17 7 2 (3 ) 7 =√(3 )−17 . 5 5 Степеньр ичисла 0 определенаэлем елн азд товтолько дляэтап н омположительных показателей; позаклю иопределению 0rси ен ч ы= 0 , для любогоп тем иr > 0 [12]. оставлн ред Замечания 1. Из определенияр азд истепени с рациональнымкап елн оствпоказателем следует,кап оствчто дляси ы тем любого положительноготакж еа и любого рациональногоп оставкr число arразд иположительно. елн 2. Любое рациональноем еор каясчисло допускаетц ч еломразличные записизави отего в видеэлем см тов н дроби, посколькуу е и ящ д о х для любогоп еннатурального k. Значениеп ж ви род тельаr такжеп звд рои оне зависитш ставлн ред рокг и от формыэлем товзаписи рациональногоазд н релн ичисла r. 3. Прип ла < 0 рациональная степеньэлем ы б и р товчисла а нен н й еш вопределяется. Для степенейр йс рациональным показателемстеп ч и зн о исохраняются основныетакж н есвойства степеней,уп иверные дляэлем равлен т любых показателейвн н й(при условии,кон еш учто основаниен м еч теп с степени и будетсвязан ыположительным). Из практикиш кг решения всехп о р и ес более сложныхоб роц щ алгебраических задачэтап ваю и ч есп ом и опрерирования соп остепенями возниклакон ставлн ед р унеобходимость обобщенияуп м еч ипонятия степенисвязан равлен е ы и расширения егом естапосредством введенияязан есвв качестве показателялен ы оп ставнуля, отрицательныхком рд сая ерч и дробных чиселто гв[29]. р Равенство a0т р=1 (дляакти ва о юa 0) применяли у вн е в своих трудахп ац орм ф н и в начале XVвн оставлн ред утрей в. самаркандский ученыйр иаль–Каши. Независимо отси елн азд ынего нулевойакти тем уюпоказатель былп вн ес роц введен Н. Шюкето варв XV в. Последнийтакж е ввел и отрицательныеой ервпоказатели степени. п Идеяэлем тыдробных показателейсп н асодержится у французскогосп о р роаматематика Н. Оремаустан овлеи(XIV 10

в.) в егоувязатьтруде «Алгоритмо сяпропорций». Вместо нашегоотн тн сязнака 21/2разд ион писалосб елн ти1/22'. Орем ен словеснокон ы еч йформулирует правилар звп и о тельдействия соязан д ы свстепенями, напримерп ес(в современнойвозд роц сти ей записи): (an)1/m =an/m, a1/nком ерчсая*b1/n =(ab)1/n Позжед сидробные, какп о еятльн ии отрицательные, показателим ставлн о ед р еста встречаются в «Полнойуход е и ящ арифметике» (1544)р мнемецкого математикауход и лн ед асп ящ еМ. Штифеля и у С. Стевина. Последний и пишетустан овлеи о том, чтоэто мкорень степенитакж еn из числаси ыa можно считатьрозн тем й как степеньэтомa с ч и дробным показателем[6] 1/nт овар(a >0). О целесообразностивн ей введения тр у нулевого,язан есв отрицательных ы и дробныхп л ы б ри показателей и современныху вязатьсимволов впервыесвязан еподробно писалож ы тсяп аю д рвв 1665 г. английскийп ен ж ви род математик Джон Валлис. Егорасп м дело и лн ед завершилзакуп йИ. н оч Ньютон, который сталторгвы х систематически применятьр азви сяновые символы,аю ей щ ю еоб и щ впосле чегоозд ч сп ствуюони вошлистеп ей ив общий обиход. н Введениеп енстепени с рациональнымразви ж ви д о р сяпоказателем являетсярасп ей щ ю модним изсвязан и лн ед е многих ы примеровш рокг обобщения понятияэто и мматематического действия. Степеньотн ся с нулевым, отрицательнымр ии дробным показателямиож лн ед асп тсяп аю д рвопределяется такимкон йобразом, чтобыц ы еч еломк ней былизакуп йприменимы тер н оч сяже правилазаклю ей щ ю азви идействий, которыестеп ен ч иимеют местоэтап н омдля степеником саяс ерч натуральным показателем,ко у т. м еч н е. чтобы сохранилисьой ерв основные п свойстваси тем первоначально определенногоп еспонятия степени,аровта именно [17]: ц о р (ab)nуправлени=an *bn, (a/b)nакж ет=an/bn, (am)n =amn, am*еб олan =am+n, am/anениуст аовл=am–n. Новое определениесо тястепени с рациональнымсоп аю д вж р п тяпоказателем неэлем аю д рвж товпротиворечит н старомуси темопределению степениу вязать с натуральным показателем,язан есв т. е. смысл новогоразви ы ся ей щ ю определения степении зы е с рациональным показателемлен скан оп став сохраняется и дляразд рд ичастного елн случаязакуп й степени с натуральнымн н оч ей тр у в показателем. Этот принцип,степ и соблюдаемый приявлсь н обобщении математическихп о понятий, называетсяразд ставлн ед р и принципом перманентностиэлем елн тов н (сохранения, постоянства). В несовершеннойкон у форме егоэкон м еч есая высказал в 1830п ч и м ен г. ж ви род 11

английский математики еДж. Пикок, полностьюотли скан зы ми четко егоц ы еьн ч еломустановил немецкийком сая ерч математик Г. Ганкельр зн о йв 1867 г. Принципосб ч и ти перманентности соблюдаетсяэлем ен тов и при н обобщениип еспонятия числако роц йи расширении егоогтрвдо понятиястеп ы еч н идействительного числа,уход н еа и ящ до этогорозн й– при введенииво ч и стипонятия умножениякап ей зд оствна дробьтакж еи т. п [7]. 1.2 Содержание и анализы н засв яматериала в различныхв йшкольных учебниках еш н Анализп ен материала, посвященногоотли ж ви д о р м решению степенисп ы еьн ч роа с рациональным показателем,п йв учебнике «Алгебраторгвы во ер хи начала анализа»и едля 10–11лен ац орм ф н и устаовклассов, изд. А. Н. Колмогоровзаку йи в учебнике «Алгебрарасп н ч о п ии начала анализа»п лн ед ервойдля 10–11кон йклассов авторовэлем ы еч ты н Ш. Алимов и др. Указывает,у вязать что различныесвязан ытипы выраженийуп ипредставлены в равлен учебникахсвязан е математики длястеп ы и средней школы. Такимой н ерв образом, задачаязатьув учителя – п сформироватьу вязатьумение у обучающихсявн утрейк решению выраженийи сярзлюбого родаож ей щ ваю тсяп аю д рв[14]. Рассмотрите содержаниеб ле материала поэлем о ты теме «Степеньсп н роа с рациональным показателем»,у влеи содержащиеся в различныхотли о стан мучебниках поразви ы еьн ч ся математике в течениеси ей щ ю тем 10–11 классовсо тясредней школы,то аю д вж р п варчтобы сравнить,элем тпроанализировать и сформироватьэкон н есая ч и м наиболее подходящийу вязатьметод реализацииси темэта темауд ствмв школьной математике. об Башмакову влеиМ.И. Алгебра и началорозн о стан йанализа. 10–11 ч и Учебник разделентакж ена 6 глав. Каждаялен и оставглава начинаетсяп рд п лсо спискаторгвы ы б ри хвопросов и заданий. Затемси тембудут обобщеным еста результаты, которыеоб щбудут достигнутыэтап ваю и ч есп омпосле изучениявозд стуюглавы. В главе представленвозд ей стиматериал поэтомтеме «Степеньлен ей оп ставс рациональным рд показателем»б ле[27]. о Четвертая главаэлем т «Иллюстративные и логарифмическиелен н и устаов функции» и пятаяэтом глава «Интегралэлем тыи ее приложения»сп н роане содержатож тсяп аю д рвссылок нап ополе тригонометриид ставлн ред осив еятльн целом, а в шестойп и главе «Уравнениярасп ставлн о ед р и и неравенства», тригонометрическиесп лн ед роа уравнения и неравенстваэлем ттакже происходяттакж н е[10]. Переходя к главер азд иIII в темен елн й еш в«Степень с рациональнымф акторвпоказателем» М.И. Башмаковустан овлеи считает необходимымком сая повторить такиеуд ерч ствмтемы, как:ф об акторв измерения углов;увязать отношения в треугольнике;во стивращательное движение;ляю ей зд тп сав Компьютерная инженерия. ред Следующаям ы еи ст запись: определениеы хторгв и простейшие свойстван й еш в тригонометрических функций;увязатьформулы сокращения;ж етакзначения тригонометрическихтакж ефункций. 12

И здесь мыто хпредставляем основноем гвы р ятйтригонометрическое тождество. и ероп Здесьразд иМ. И. Башмаков исследуеткон елн йрешения простейшихси ы еч ытригонометрических тем уравненийуд ствмв тригонометрическом круге[11]. об В следующихво юразделах наэлем сту ей зд т тему «Степеньуслг с рациональным показателем»элем н тови н «Идентичные преобразования». Толькозакуп й тогда в разделеп н оч ен«Решение уравненийп ж ви род ес и роц неравенств» представленып ставк различные типыустан о овлеи уравнений и некоторыеувязать типы неравенств. И,у влеисоответственно, здесьэкон о стан есаямы говоримторгво путях и методахм ч и м ятйрешения. и ероп Схема изученияд си темы о еятльн «Решением еста тригонометрических уравненийц елом и неравенств» определяетсяко уследующим образомрасп м еч н и[3]. лн ед Мордкович А.Г. Алгебрам естаи начало анализа. 10–11 Учебнику еразделен нап и ящ д о х л8 глав. В конце каждойлен ы б и р и оставглавы четкокон рд п йизложены основныеси ы еч ы тем результаты исследования. Преподаваниеш рокг математики в 10–маровтклассе начинаетсяп и ставляюс ред изучения «Степеньси темс рациональным показателем». Здесьотли мавтор вводитн ы еьн ч еакзы и с понятие тригонометрическойто варокружности наозд ствикоординатной плоскости,толькпонятия синусаэлем ей тыи н косинуса, связанныеэлем вс ними основныеб то н олетригонометрические отношения,м еста решения простыхсоп тя уравнений в тригонометрическихп аю д рвж л кругах. Таким образом,отли ы б ри м формулы ы еьн ч восстановлениято гввводятся послесвязан р е изучения тригонометрическихф ы акторвфункций угловогоэкон есая ч и м аргумента. Далее рассмотримзаклю исвойства и графикиб ен ч олетригонометрических функцийп тель[3]. звд рои Во второйсвязан ыглаве «Степеньразд и с рациональным показателем»лен елн и остав мы детальноотли рд п м ы еьн ч рассмотрим решениятакж екаждого простогоп ятуравнения, основанногоэлем и ред товна ранеесп н роавведенных понятияхрозн йсинуса дуги,связан ч и ыарккосинуса, арктангенса. В тойотн сяже главем естамы рассматриваемторгв такие методыво сти решения, как:то ей зд гв факторинг и введениерасп р и новой переменной;си лн ед ыметод тем решениязаклю и однородных тригонометрическихуход ен ч е уравнений. Другие методыб и ящ оле решения изучаютсяосб ти после третьейи ен зы е главы «Трансформациям скан ятй мощности с рациональнымси и ероп ы тем показателем». Здесь схемар м исследования выглядитзаклю и лн ед асп и так: функцияэлем ен ч ты → уравнения → н преобразования. С точкизаклю и зрения использованияуход ен ч ящ е учебников Мордковичаразд и и он подходитотли елн мдля ы еьн ч самостоятельногор и изучения, посколькуф елн азд акторв он содержитм еста сильную теоретическуюуслг основу. Презентация теоретическогои отзав материала осуществляетсяэлем см товочень подробно. н Учитываяф акторвострую нехваткуб лечасов длятакж о еобучения в классе,ом ствэто увеличиваетотли б уд мважность ы еьн ч 13

самостоятельнойп ятработы студентовп и ед р лс книгой. Основываясь наэлем ы б ри тучебнике, учителяп н о ставлн ред хорошо знают,такж ечто нужном ятйговорить ученикамявлсьв классе и чтон и п о ер утрей вим предлагать,м ятйпросто и ероп чтобыуд ствмчитать дома. об Недостаткамио тиможно объяснитьакти ен сб уюне оченьи вн ебольшое количествоп ац орм ф н енупражнений пооб ж ви род щ ваю и ч есп теме в учебнике. [19] Колмогоровто гвА.Н. Алгебра и началоы р хторгванализа Учебник содержитр й4 главы. Схема изученияп ч и зн о л учебного материалалугс по темеуслг ы б ри «Степень с рациональнымво зд юпоказателем» радикальноотли сту ей мотличается отуслг предыдущих, ы еьн ч посколькуп о тригонометрические функциии ставлн ред сярз сначала рассматриваютаю ей щ ваю еоб и щ в численный ч сп аргументси ыи основные формулысвязан тем ытригонометрии. В первой главе,увязатьно чутьзави от позже, см основныеи зы есвойства тригонометрическихм скан ятйфункций, ихэтомграфики и ихом и ероп ствисследования. б уд Затем введему слг понятие арксинуса,аровт дугового косинусаи е и арккотангенса и скан зы «параллельно»п енс решением тригонометрическихтолькуравнений и неравенств. Авторзаклю ж ви д о р и ен ч упоминает методыу ирешения тригонометрическихм авлен р п естауравнений и описываетразд иалгоритм елн ихм ятйрешения. То жеф и ероп всамое относитсявозд р акто стик решениям тригонометрическихп ей ятнеравенств. и ред Таким образом,ф в схема исследованиякон р акто у выглядит так:и м еч отзав преобразования → см функциип тель→ уравнения [18]. звд рои Стоито щотметить, чтоэтап ваю и ч есп б мучебник содержитразви о сямного дидактическихотли ей щ ю мматериалов, какзаклю ы еьн ч и ен ч простых, такзаклю ии более сложных. Этотн ен ч ую вкурс позволяетком акти саяучителю варьироватьэтап ерч омзадачи дляп ятстудентов. и ред С точки зренияп еспредставления теоретическогоп ц о р есматериала нельзясп роц роасказать, чтозаклю и ен ч учебник идеалену вязатьдля самостоятельногокон уизучения. [14] м еч Анализ содержаниясп а набора задачод о р тельп и рзв по темевн й «Степень с рациональнымсвязан еш е ы показателем» приводитзави тк следующим выводам: о см 1)толькпреобладают простыетакж е тригонометрические уравнения,б олерешение которыхуслг основано нау ствмопределениях соответствующихсвязан б о д е функций с точкиразд ы и зрения понятияп елн л ы б ри арксинуса, арккосинусаш кги арктангенса числа; о р и 2)увязать практически нетп ят тригонометрических и ед р уравнений,сп роа метод решения,сп роа основанный наш кгсвойстве ограниченногоаю о р и еоб и щ всинуса и косинуса; ч сп 3)разд и когда речьр елн ся идет о методахтакж ей щ ю азви е решения тригонометрическихязан есв уравнений с ы помощьюи зы е методов скан единственныхм еста преобразований тригонометрическихторгвы х и 14

алгебраических выражений,то х следует отметить,п гвы р ервой что этиом ств методы представленыф б уд акторв в пособии скуднымзави ти монотонным образомд о см оси[7]. еятльн Будем рассматриватьц мметоды одинаковыхтолькпреобразований: ело а) тригонометрическиеп ставляювыражения: ед р – Принятие использованияр ф н м аои еосновных тригонометрическихрасп ц итождеств; лн ед – принятие использованияао ствкпформул с двойнымрасп ми половинным аргументами; и лн ед – принятиео ти преобразования суммып ен сб ес тригонометрических выраженийразви роц ся в ей щ ю произведение; б) алгебраическиеп ставквыражения: о – Принятие факторизации; – Принятиер ипреобразования тригонометрическихи лн ед асп сярз выражений, являющегосяувязать ей щ ваю однородным многочленомво зд юотносительно синусаси сту ей теми косинуса. Использование этихво зд юметодов приводитлен сту ей и устаовк тригонометрическим уравнениям,акти ую вн которые можном ятйразделить нар и п о ер азд иследующие типы: елн а)такж есводятся к квадратуи епо отношениюторгвы ац м р о ф н хк тригонометрической функции; б)п тель сводится к дробно–рациональнымп звд рои л функциям поф ы б ри акторв тригонометрическим функциям; в)этап омприводимые к однородным; d)элем товприводим к форметакж н е(f_1 (x)н й еш в–α_1) (f_2элем т(x) –α_2)п н ес... (fn (x)п роц л–an) = 0,расп ы б ри мгде fiи и лн ед е(x) – ац орм ф н тригонометрическаяп ифункция αi∈R. [16,кон ставлн о ед р ус / 55]. м еч Из практикизаклю ирешения всетн ен ч сяболее сложныхкап о оствалгебраических задачлясьви работы совн й еш степенями сталоявлсьнеобходимым обобщитьлен и оставпонятие степенивн рд п утрейи расширить его,степ ивведя в н качестверазви сяпоказателя нулевые,сп ей щ ю аотрицательные и дробныезакуп о р йчисла. н оч Равенство а0м ятй = 1 (для) использовалосьэлем и п о ер тыв его работахуход н ящ е в начале 15ц и еломвека. Самаркандский ученыйсвязан ыаль–Каши. Независимо оти е этого, нулевойрасп ац орм ф н миндекс былсп и лн ед роа введен Н. Шюкто гвв 15 веке. Последнийд р осивведен и отрицательныеразви еятльн сяпоказатели. Идея ей щ ю дробныхсвязан ы епоказателей содержитсяп ервойво французскомувязатьматематике Н. Оремеп тель(XIV век)п звд рои ставляюв ред его работевозд сти«Алгоритм пропорций». ей Позжево зд стидробные, а такжеко ей йотрицательные индикаторыэкон ы еч н есая находятся в «Полнаям ч и м ятй и ероп арифметика» (1544)ц мнемецкого математикааровтМ. Штифеля и С. Стевина. Последнийтакж ело е 15

пишет, чтоо и ш грккорень степенир иn в a можно рассматриватьсп елн азд роакак степеньи еa с дробным ац орм ф н показателемп о[24]. ставлн ед р Целесообразность введенияляю тп савнулевого, отрицательногоы ред хторгви дробного показателейп ят и ред и современных символово мбыла впервыеуп ы еьн ч тли иподробно описанап равлен тельв 1665 годувозд звд рои стуюанглийским ей математикомво зд юДжоном Уоллисом. Егоязан сту ей ы свдело былолен и устаовзавершено И. Ньютоном,д п ятекоторый ри началси ысистематически применятьтолькновые символы,п тем еспосле чегоб роц олеони вступилияущ еходв общее и пользование. Введениеу вязатьмощности с рациональнымсп роапоказателем являетсяаю еоб и щ водним израсп ч сп ммногих и лн ед примеровэлем тыобобщения понятияэто н мматематического действия. Степеньси темс нулевым, отрицательнымо щи дробным показателямиы ваю и ч есп б хторгвопределяется такимэкон есаяобразом, чтоп ч и м ик нему оставлн ред применимыам ест те жеи е правила действия,явлсь которые применяютсяд ац м р о ф н оси к мощности с еятльн естественнымр азд ипоказателем. елн Новое определениеп истепени с рациональнымм ставлн о ед р еста показателем неп ервойпротиворечит старомуп оставкопределению степенид сис естественным показателем,осб о еятльн тит. Е. Значение новогорасп ен и лн ед определения степенип йс рациональным показателемп во ер ятсохраняется дляп и ред ервойчастного случаяп ес роц степени с естественнымм ятйпоказатель. Этот принцип,уход и п о ер ящ е наблюдаемый в обобщенииосб и ти ен математических понятий,р и называется лн ед асп принципомп ставляю постоянства ред (сохранения,такж е постоянства). В несовершенной формеуход ящ еон былзаклю и ивыражен в 1830уход ен ч ящ егоду английскимп и о ставлн ред математиком Дж. Пикоком,си ы полностью и четкоп тем тель установленным немецкимп звд рои л ы б ри математиком Г. Ханкелемзаку йв 1867 году. Принципи н ч о п отзавпостоянства такжерасп см мнаблюдается в и лн ед обобщениио и ш гркпонятия числад сии его продолжениилен о еятльн и устаовпонятие реальногоэкон есаячисла, а досвязан ч и м ыэтого – введениеторгвпонятия умноженияу ена дробьоб и ящ д о х щ ваю и ч есп и т. д [16]. 1.3 Роль и местоп ьстепени с рациональнымзак тел д зв и о р йпоказателем в профильныхстеп н оч уп и н классах Программа работыто гв учебного курсаразви р ся по алгебрезаклю ей щ ю и и начала математическогоэлем ен ч ты н анализа дляи е 10 классаси ац м р о ф н тембыла измененаразд и на основеп елн ят приблизительной программып и ред л ы б ри среднего (полного)п ес общего образованияп ц о р ят для математикиэлем и ред тыс учетом требованийсвязан н е ы федерального компонентап й Государственного во ер стандартац елом основного среднегом еста 16

(полного) общегозаку й образования, используяогтрв рекомендации авторскойуслг программы. н ч о п Никольский и другие. Программаэлем т работы определяеткон н у содержание предметаэтом образовательного м еч стандартаторгви дает распределениесо вж р п аю д тяучебных часовм ятйпо разделамрасп и ероп мкурса [16]. и лн ед Программап лработы имеетц ы б и р мдве основныеразд ело ифункции: елн Информационно–методическая функциялясьв позволяет всемн ую в участникам акти образовательногово юпроцесса получитьоб сту ей зд щпредставление о целях,б ваю и ч есп олесодержании, общейд оси еятльн стратегии образования,со тя воспитания и развитиятольк учащихся с помощьюп аю д вж р п ен этого ж ви род предмета. Организационнаяп звд и о р тель и планировочная функцияустан овлеи предусматривает разделениеэкон есая ч и м этапов обучения,у вязать структурирование учебноготовар материала, определениевозд стую его ей количественныхр ии качественных характеристикзакуп елн азд йна каждомм н оч естаэтапе, в томсвязан ычисле дляторгв значимого заполненияр азви сяпромежуточной аттестациитолькстудентов. ей щ ю Учебно–методический наборрасп мвключает: и н едл 1. Алгебра и началосо тяматематического анализа. 10кон аю д вж р п йкласс: Учебноеп ы еч еспособие дляторгвы роц х учебных заведений:то хбазовый и профинансированныйи гвы р сярзуровень С.М. Никольскийтольки ей щ ваю другие – М.: Просвещение,си ы2011. тем 2. Никольский С.М., Потаповком сая М.К., Решетников Н.Н., Шевкинсоп ерч тя А.В. аю д рвж Программы поц малгебре и поп ело лглавам математическогоп ы б и р есанализа. 10–11 классов. М .: роц Образование,о м2010. ы еьн ч тли 3. Никольский С.М., Потаповтакж еМ.К., Решетников Н.Н., Шевкинрозн йА.В. Алгебра и ч и началокон й математического ы еч анализа. 10кон й класс: ы еч учебникрасп и для лн ед студентовтовар общеобразовательных учрежденийосб ти (базовый и профильныйэтом уровни). М .: ен Образование, 2011. 4. Потаповб леМ.К., Шевкин А.В. Алгебрап о ени начало математическогоотли ж ви род ч м ы н еьанализа: книгасп роа для учителей. 10заклю и(базовый и профильныйд ен ч осиуровни). Москва: Образование,отли еятльн м ы еьн ч 2008. 5. Потапов М.К., Шевкинстан влеи о уА.В. Алгебра и началозакуп йматематического анализа:б н оч оле Дидактические материалы. 10о ти(базовый и профильныйп ен сб есуровни). М .: Образование, роц 2011. 17

6. Шепелевап лЮ.В. Алгебра и началон ы б и р утрей вматематического анализа. Тематическиерасп м и лн ед тесты. 10 (базовыйп ставки профильный уровни). М .: Образование,ш о рокг2011. и Эта программам ятй работы полностьютольк отражает уровеньустан и п о ер овлеи профиля обучениясоп тя аю д рвж школьников в разделахм еста программы. Он определяетш рокг содержание и темосб ти ен образовательного стандартаси теми дает приблизительноекон йраспределение часовп ы еч телькласса потакж звд рои е разделам курсап и[11]. ставлн о ед р Цели обучения • Формированиер ипредставлений о математикеэлем елн азд тыкак универсальномб н олеязыке науки,об щ ваю и ч есп инструмент моделированиястеп иявлений и процессов,кон н уидей и методовб м еч олематематики; • развитие логическогор есп мышления, ц о пространственногод оси воображения, еятльн алгоритмическойп икультуры, критическогоси ставлн о ед р ымышления нап тем ервойуровне, необходимомп идля оставлн ред обученияразд и в высшей школеу елн е по соответствующейзаклю и ящ д о х и специальности, в будущейакти ен ч ую вн профессиональной деятельности; • овладениец м математическими знаниямисоп ело тя и навыками, необходимымиб аю д рвж оле в повседневной жизни,ц м а также дляп ело ервой изучения школьныхотли м естественнонаучных ы еьн ч дисциплинп ом аэтна базовомп звд и о р тельуровне, длякап оствполучения образованияязатьувв областях, которыерасп мне и лн ед требуютб олеуглубленной математическойн утрей вподготовки; • образование в средствахэкон есая математики культурыож ч и м тсяп аю д рв личности (отношениеси темк математике какп ес к части всеобщейси ц о р ыкультуры, знакомствоозд тем ствуюс историей развитияосб ей ти ен математики, эволюцияко уматематических идей,увязатьпонимание важностиустан м еч н овлеиматематики дляразд и елн социального прогресса)ц м, ело При изученииу и курса математикиц авлен р п елом на уровнед оси профиля продолжаютсяразд еятльн ии елн развиваются строкио ти содержания ен сб «Алгебра»,торгв «Функции», «Уравнениявн утрей и неравенства», «Элементызаку й комбинаторики, теорииси н ч о п тем вероятностей, статистикип оставк и логики», строкау слг«Начала Математическийстеп ианализ» [3]. н Этаразви ся рабочая программако ей щ ю сая рассчитана насп ч ер м роа 175 часов,н й еш в 5 часов в неделю. Существуету слг 7 тематических тестов:ой ерв «Рациональные уравненияи п ен ж в и неравенства», род п «Степеньп ес корня», «Степеньп роц тель положительного числа»,озд звд и о р стви «Экспоненциальные и ей логарифмическиеп тельуравнения и неравенства»,этом«Тангенциальный и кокасательныйтольк звд и о р угол», «Тригонометрическиеш рокг и функции численногош рокг и аргумента», 18

«Тригонометрическиеу ствм уравнения и неравенства»ф б о д акторв и окончательная работауслг по контролю. Элементызави ттеории вероятностейуслгявляются новымразд о см исодержанием в ходети елн аквн уюсредней школырасп и математики. Для управленияи лн ед ен ж в усвоением материалац род п елом в этом разделеэлем ты н используются заданияво стииз учебника. Привн ей зд йорганизации повторенияразд еш икурса алгебрыф елн акторвдля 10–гоп ен класса вниманиер ж ви род й будет обращеноуход ч и зн о е на самыеэлем и ящ т трудные темы,этом и будут н использоватьсяп ензадачи изп ж ви д о р лраздела «Проблемым ы б и р ятйповторения». и ероп Форма промежуточнойп яти итоговой аттестации: и ед р • контрольнаяп енработа; ж ви д о р • независимая работа; • контрольнаяп оработа. ставлн ед р Окончательное повторениевн ейзавершается контрольнойп тр у лработой [21]. ы б ри Понятието гв мощности с рациональнымп р л показателем, свойствазаклю ы б ри и мощности с ен ч рациональныму вязать показателем. Понятие пределап о последовательности. Теоремы о ставлн ред границахф акторвпоследовательностей. Существование пределаоб щмонотонно и ограничено. ваю и ч есп Строки,отли ы еьн ч мбесконечная геометрическаялен и равпрогрессия и еем уп ятйсумма. Число e. Понятиеявлсь и ероп степени с иррациональнымко саяпоказателем. Преобразование выражений,и ч ер м сярзсодержащих ей щ ваю возведениесп роав степень. Экспоненциальная функция,кон йее свойстваи ы еч еи граф. скан зы Диагностика образовательныхф акторв результатов студентовоб щносит переменныйп ваю и ч есп ли ы б ри многомерный характер. Качествоэтап ом образования анализируетсясвязан ы и оценивается педагогическойси ыкомандой с педагогической,ш тем рокг психологической, концептуальнойзакуп и йи н оч социальной позицией. Наиболееу иважные результатыэкон авлен р п есаяпреподавания математикии ч и м ен ж вв 10–11 классахп род п идля оставлн ред этойси ыСМК включаютп тем енследующее: ж ви д о р в направлении личностногот еразвития ж ак • развитие логическогоп л и критического мышления,и ы б и р ен ж в речевой культуры,связан род п е ы умственного эксперимента; • формированиеу и интеллектуальной честностиб авлен р п оле и объективности средиторгвы х студентов, умениеко сая преодолевать психическиестеп ч ер м и стереотипы, вытекающиеи н е из ац орм ф н повседневногом естаопыта; 19

• воспитание личностныхязан есв качеств, ы обеспечивающихсоп тя социальную аю д рвж мобильность,п ставкспособность приниматьуход о есамостоятельные решения; и ящ • формированието х качеств мышления,разд гвы р и необходимых дляуп елн и адаптации в равлен современномко уинформационном обществе; м еч н • развитиево зд ю интереса к математическомуразд сту ей и творчеству и математическими елн е скан зы способностям; в метапредметном направлении • формированиеэтап м идей о математикед о оси как частиустан еятльн овлеи всеобщей человеческойзави от см культуры, важностир иматематики в развитииэтомцивилизации и современногоэтап лн ед асп омобщества; • развитие идейп ес о математике какп ц о р ставляюформе описанияэкон ред есая и способа познаниястеп ч и м и н реальности, созданиеп и условий ставлн о ед р длярасп м получения и лн ед первоначальногорозн ч и й опыта математическогото гвмоделирования; р • формирование общихэко есаяметодов интеллектуальнойуход ч и м н едеятельности, характерныхкон и ящ у м еч для математики,п ставляюи лежащих в основетакж ед р е когнитивной культуры,язан ы св значимой длям еста различных сферто лькчеловеческой деятельности; в предметномбо енаправлении л • владение математическимиэтомзнаниями и навыками,расп мнеобходимыми дляотли и лн ед м ы еьн ч продолжения образованиявн ей в тр у высших общеобразовательныхи е учреждениях, скан зы учебныхп л заведениях ы б ри изучениерасп м соответствующих и лн ед илисп роа других дисциплин,элем т н применение в повседневнойр азд ижизни; елн • создание основып звд и о р тель для математическоголен и остав развития, формированияторгвы рд п х механизмов мышления,то вархарактерных дляи сярзматематической деятельностиуд ей щ ваю ствм[19]. об В результате изученияк уматематики нак м еч н о упрофильном уровнеувя м еч он ьи старшей зат школып ервойученик должен: знать/понимать: важностьэко есая математической наукиаю ч и м н еоб и щ в для решенияуп ч сп и проблем, возникающихосб равлен ти в ен теории и практике;акти ю широту и в тосвязан у вн ы же времяэлем ты ограниченное применениеакти н ую вн математических методовстеп идля анализаустан н овлеии изучения процессовсвязан еи явлений в природетольки ы обществе; 20

• важность практикип ят и вопросов, возникающихуп и ед р ив самой математике,зави равлен от для см формированияэто ми развития математическойтакж е науки; историяэлем т развития концепциивозд н сти ей числа, созданиеу вязатьматематического анализа,язатьувпоявление и развитиезаклю игеометрии; ен ч • универсальный характерр ж ви д о еп нзаконов логикиб олематематических рассуждений,зави отих см применимостьп ово всехи ставлн ед р еобластях человеческойзакуп скан зы йдеятельности; н оч • вероятностный характерто лькразличных процессовсоп тяокружающего мира. аю д рвж Изучениеп ес этой главып ц о р о начинается с повторенияразви ставлн ед р ся алгебры основнойен ей щ ю олд ставп р школы: систематизированазаклю иинформация о рациональныхтолькчислах, студентыы ен ч хторгвповторяют темуб оле «Геометрическая прогрессия»вн ей и знакомится с бесконечнолен тр у и устаов уменьшающейся геометрическойто варпрогрессией. Этот материалзакуп йносит вспомогательныйш н оч рокгхарактер, такд и оси еятльн как с егоэлем тыпомощью формируетсяогтрвпредставление пределаэтомпоследовательности, чтоэлем н ты н впоследствии позволяетсвязан ыввести определениеразд истепени с реальнымд елн осипоказателем [17]. еятльн Средио тисвойств мощностии ен сб зы ес реальным показателемакти скан уюдля дальнейшегоязан вн есвизучения ы курсауд ствмважны следующие:у об влеитеорема о сопоставленииуд о стан ствмстепеней с одними об е и тем жеси скан зы ы тем базисом, большеп енединицы, и следствиялен ж ви д о р и равэтой теоремы. уп Используяо ти теорему, студентывн ен сб й сначала сравниваюткап еш оств степени и в будущемком сая ерч решают экспоненциальныем ятйнеравенства и уравнения,этомизучают функциистеп и п о ер истепеней с н однимп ои тем жем ставлн ред естабазисом, болеестеп иодного и следствияц н еломэтой теоремы. Изучаяко йглаву в классахво ы еч н стисоциально–экономических и универсальныхси ей зд темпрофилей профиля,м ятймы обращаемп и ероп ставквнимание наозд о ствуюто, чтоп ей омы учимляю ставлн ред тп савдетей применятькон ред еч м усвойства степенирозн йс рациональным показателемкон ч и йв вычислениях и преобразованияхрасп ы еч мвыражений и лн ед [27]. В зависимостико саяот выборам ч ер м ятйучеников классови и п о ер сярзимеет смыслуслграссмотреть простыеп ей щ ваю оставк задачи дляш и о грк применения понятияэтап омпредела последовательностиф акторв и упражнений поп л ы б ри использованию свойствп оарифметического корняш ставлн ед р рокгестественной степени. и Напомним,ф вчто такоеф р акто вмножество рациональныхы р акто хторгвчисел. – рациональные числа. 8 Каждаято хдробь можетр гвы р азви сябыть представленалясьвв десятичном виде,осб ей щ ю тинапример : ен 3 21

7 = 1,4(0) 5 Итак,яакосм ерч рациональное числом еста может бытьп л представлено какляю ы б ри тп сав бесконечная ред десятичнаялем тэдробь с периодом. н Напомнимэлем вопределение: дляэтап то н ом выполняется равенство: Например: 1 8 1253 = √125 = 5; 125 1 3 − =8 1 √125 1 = ; 5 (нужнор мперевести бесконечнуюи и лн ед асп сярзпериодическую дробьаровтв обыкновенную). ей щ ваю Перейдем к решениюу вязатьтиповых задач. Примерко й1 – имеет лим нечы йсмысл выражение: ят и п о ер а) Ответ:м естанет. 1 б) 57 Ответ: даво сти( ей зд ). в) Ответ: да,р азви сят. к. –4 – целоеи ей щ ю ечисло ( ац м р о ф н ). г) Ответ:элем тынет. н 22

Пример 2 – вычислить: Рассмотриму вязатьслагаемые отдельно: . Получаем: . Примери е3 – упростить выражение: ц а м р о нф Упростимп ставкзнаменатель: о . Отметим, чтор иобязательно в данномоб елн азд щ ваю и ч есп случае . Примеруслг4 – упростить выражение: Возводимп тельв квадрат двучлен: звд и о р 1 1 1 1 (1 + с2 )2 = 1 + 2 ∗ с2 + (с2 )2 =1+2(с2 )2 + с. Получилиу влеивыражение: о стан . В данной задачеи емогут бытьторгвы ац м р о ф н хпоставлены дополнительныеп овопросы, например,си ставлн ред тем допустимы лио сяотрицательные значенияэкон тн есаяс. Ответ: нет,п ч и м ставляют. к. с имеет рациональныйэлем ред т н показатель степенип яти по определениюэтомявляется неотрицательным. и ед р Примерза чени5 – упростить выражение: клю 23

Комментарий:у вязать ограничение наотн ся х наложено в связирасп мс тем, чтоуход и лн ед е он имеетуп и ящ и равлен отрицательный рациональныйп ставляюпоказатель степени. ед р Итак,и осб тмы рассмотрелид ен сисвойства степенейкон о еятльн ус рациональным показателем. м еч 1.4 Основныеи есвойства решениясп н а ск зы оастепени с рациональнымуп р ипоказателем ен л ав р Степень с дробным показателем мы определяли,п ят распространяя насвязан и ред е нее ы свойствауп и степени с целымто равлен гв показателем. Иными словами,лен р и устаов степени с дробнымиэлем тов н показателями обладаюттакж етеми жеэто мсвойствами, чтоси теми степени с целымиэтап омпоказателями. А именно: свойство произведенияд осистепеней с одинаковымиуд еятльн ствмоснованиями об 1. 𝑎 𝑚1 𝑛1 𝑎 𝑚2 𝑛2 =𝑎 𝑚1 𝑚2 + 𝑛1 𝑛2 при a>0,ы еч н й коа если 𝑚1 𝑛1 >0и 𝑚2 𝑛2 > 0, тои епри a≥0; скан зы 𝑚1 2. 𝑚1 𝑚2 − 𝑛2 при a>0; 𝑎 𝑛1 𝑚 3. 𝑚1 𝑛1 4. >0и 𝑚2 𝑛2 𝑛2 𝑚 𝑛 свойство частногосо тяв дробной степени (𝑎: 𝑏) = 𝑎 : 𝑏 аю д вж р п 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 > 0, торасп ипри a≥0д лн ед осии b>0; еятльн 𝑚1 𝑚2 𝑚2 𝑚 > 0, то прилен и оставa≥ и (или)лен рд п оп ставb≥0; рд 𝑚 𝑛 прикон еч ы йa>0 и b>0,п йа если во ер 5. 𝑚 свойствоу слгпроизведения в дробнойой ервстепени (𝑎𝑏) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 п при a>0ц ми b>0, а есливо ело ю сту ей зд 0и 𝑚2 свойствоц мчастного степенейп ело ят с одинаковыми основаниямиф и ред акторв 𝑎 𝑛1 : 𝑎 𝑛2 = 𝑚1𝑚2 свойство степениявлсьв степени (𝑎 𝑛1 ) 𝑛2 = 𝑎 𝑛1 𝑛2 𝑚1 притолькa>0, а еслим ятй и ероп 𝑛1 > > 0, то притакж еa≥0; 6. свойство сравненияр азд истепеней с равнымиэлем елн тырациональными показателями:б н оле для любыхолебположительных чиселразд иa и b, a<bи елн еи рациональном p присвязан ац орм ф н еp>0 справедливоэтом ы неравенство ap<bp,такж еа при p<0явлсь– неравенство ap>bp; 7. свойствор азд исравнения степенейуслгс рациональными показателямикон елн йи равными ы еч основаниями:у вязать для рациональныхсоп тя чисел p и q,ож аю д рвж тсяп аю д рв p>q прирасп и 0<a<1 выполняетсяш лн ед рокг и неравенство ap<aq,ко йа при a>0п ы еч н ставляю– неравенство ap>aq. ед р 24

Доказательствоу влеисвойств степенейом о стан ств с дробными показателямитолькбазируется наб б уд оле определении степенико саяс дробным показателем,и ч ер м ена свойствах арифметического корня скан зы n–ой степени и нар азд и свойствах степениразд елн и с целым показателем. Приведемп елн ставляю ред доказательства. 𝑚1 𝑛1 По определениюсвязан естепени с дробнымэтомпоказателем 𝑎 𝑛1 = √𝑎𝑚1 и ы 𝑚2 𝑚1 𝑛2 𝑚2 𝑛2 𝑛1 𝑎 𝑛2 = √𝑎𝑚2 , тогдаш кг𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 = √𝑎𝑚1 √𝑎𝑚2 . о р и Свойства арифметическоготольк корня позволяютп ставляю нам записатьаю ред еоб и щ в следующие ч сп 𝑛1 𝑛2 равенстваоб щ √𝑎 𝑚 1 𝑛2 ваю и ч есп 𝑛2 𝑛1 √𝑎 𝑚 2 𝑛1 = 𝑛1 𝑛2 √𝑎 𝑚 1 𝑛2 𝑎 𝑚 2 𝑛1 . Дальше, используязаку йсвойство степениф н ч о п акторвс целым показателем,ф акторвполучаем 𝑛1 𝑛2 √𝑎 𝑚 1 𝑛2 𝑎 𝑚 2 𝑛 1 = дробным 𝑛2 𝑛2 е определению степеникон й с ы еч √𝑎𝑚1𝑛2+𝑚2𝑛1 , откуда потакж 𝑛2 𝑛2 показателемп ставк имеем о √𝑎𝑚1𝑛2+𝑚2𝑛1 = 𝑎 𝑚1 𝑛2 +𝑚2 𝑛2 𝑛1 𝑛2 , а показательком сая ерч полученной степениво зд юможно преобразоватьуход сту ей ящ етак: и 𝑚1 𝑛2 +𝑚2 𝑛2 𝑛1 𝑛2 = 𝑚 1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 + 𝑚 2 𝑛1 𝑛1 𝑛2 = 𝑚1 𝑛1 + 𝑚2 𝑛2 . На этомсвязан едоказательство завершено. ы Абсолютноп ланалогично доказываетсяи ы б и р ен ж ввторое свойствотакж род п естепеней с дробнымиш рокг и показателями: 𝑚1 𝑚2 𝑛 1 𝑎 : 𝑎 𝑛2 𝑛2 𝑛1 = √𝑎𝑚1 : √𝑎𝑚2 = 𝑛1 𝑛2 √𝑎𝑚1𝑛2 : 𝑛2 𝑛1 √𝑎𝑚2𝑛1 = 𝑛1 𝑛2 √𝑎𝑚2𝑛1−𝑚2𝑛1 = 𝑛1 𝑛2 √𝑎𝑚2𝑛1 : 𝑎𝑚2𝑛1 = 𝑎 𝑚2 𝑛1 −𝑚2 𝑛1 𝑛1 𝑛2 = 𝑚 1 𝑛2 𝑚 2 𝑛1 − 𝑎 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 . По схожимсвязан епринципам доказываютсяд ы осии остальные равенства: еятльн 𝑚 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑚 𝑚 𝑛 (𝑎𝑏) 𝑛 = 𝑛√(𝑎𝑏)𝑚 = √𝑎𝑚 𝑏 𝑚 = √𝑎𝑚 √𝑏 𝑚 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 ; 𝑚 𝑛 𝑚 𝑚 (𝑎: 𝑏) 𝑛 = 𝑛√(𝑎: 𝑏)𝑚 = √𝑎𝑚 𝑏 𝑚 = √𝑎𝑚 : √𝑏 𝑚 = 𝑎 𝑛 : 𝑏 𝑛 ; 25

𝑚2 𝑚1 𝑛 2 (𝑎 𝑛1 ) 𝑛2 = 𝑚1 𝑚2 (𝑎 𝑛1 ) = √ 𝑛2 𝑛2 𝑛2 𝑛2 𝑛2 𝑛2 = √( √𝑎𝑚1 )𝑚2 = √ √(𝑎𝑚1 )𝑚2 = √ √𝑎𝑚1𝑚2 = = 𝑚1𝑚2 𝑎 𝑛2 𝑛1 = 𝑛1 𝑛2 √𝑎𝑚1𝑚2 = 𝑚1 𝑚2 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛1 Переходимр азви сяк доказательству следующегоустан ей щ ю овлеисвойства. Докажем, чтоф акторвдля любыхторгв положительных a и b,м ятйa<b и рациональномакти и п о ер уюp при p>0устан вн овлеисправедливо неравенствоп и оставлн ред ap<bp, а присп аp<0 – неравенствод о р сиap>bp. Запишем рациональноеязан о еятльн есвчисло p какд ы осиm/n, гдеб еятльн олеm – целое число,си ыа – натуральное. Условиям p<0возд тем стуюи p>0 в этомуслг случае будутразд ей и елн эквивалентны условияп ятm<0 и m>0разд и ед р исоответственно. При m>0степ елн ии a<b пон н й еш всвойству степенирасп ис целым положительнымком лн ед сая показателем должноразд ерч ивыполняться неравенствосвязан елн ы 𝑛 𝑛 am<bm. Из этогосо тянеравенства пои аю д вж р п есвойству корнейси ац м р о ф н темимеем √𝑎𝑚 < √𝑏 𝑚 , а такторгвкак a и b – положительныево ючисла, тоу сту ей зд слгна основеразд иопределения степениб елн олес дробным показателемш рокг и 𝑚 𝑚 полученное неравенствоп ставляюможно переписатьш ед р рокгкак 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 , торозн и йесть, ap<bp. ч и Аналогично,р ипри m<0вн лн ед асп йимеем a >b ,закуп еш йоткуда н оч m m 𝑛 √𝑎 𝑚 > 𝑛 √𝑏 𝑚 , 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 товн йесть, 𝑎 < 𝑏 и еш ap>bp. Осталосьр идоказать последнеен елн азд й еш виз перечисленныхзаклю исвойств. Докажем, чтоторгвы ен ч хдля рациональныхд сичисел p и q,во о еятльн стиp>q прикон ей зд й0<a<1 выполняетсяразд ы еч инеравенство ap<aq,си елн ыа при тем a>0элем тов – неравенство ap>aq. Мытн н ся всегда можемлен о оп став привести к общемуэкон рд есая знаменателю ч и м рациональныево зд стичисла p и q,элем ей тыпусть присп н роаэтом мылен и оставполучим обыкновенныезакуп рд п йдроби н оч 𝑚2 𝑛 𝑚1 𝑛 и , гдесвязан ыm1 и m2у влеи– целые числа,ы о стан еч н й коа n – натуральное. При этомси ыусловию p>qсвязан тем ыбудет соответствоватьо тиусловие m1>m2,во ен сб зд ючто следуетозд сту ей ствуюиз правила сравнения обыкновенных ей дробей с одинаковыми знаменателями. Тогдазаклю ипо свойствукон ен ч йсравнения степенейком ы еч саяс ерч одинаковыми основаниямим естаи натуральными показателямиэтап омпри 0<a<1кап оствдолжно бытьп ят и ред справедливо неравенствосо тя am1<am2, а прирасп аю д вж р п и a>1 – неравенстворазд лн ед и am1>am2. Эти елн 𝑛 неравенствавн ейпо свойствамто тр у гвкорней можнои р сярз переписать соответственнорозн ей щ ваю йкак √𝑎𝑚1 < ч и 𝑛 𝑛 𝑛 омстепени с рациональными отзав показателем см √𝑎𝑚1 и √𝑎𝑚1 > √𝑎𝑚1 . А определениеэтап 26

𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚2 позволяетзави отперейти к неравенствамзакуп см й𝑎 𝑛 < 𝑎 𝑛 и 𝑎 𝑛 > 𝑎 𝑛 соответственно. Отсюда н оч делаемразд иокончательный вывод:заклю елн ипри p>qи ен ч отзави 0<a<1 выполняетсяуслгнеравенство ap<aq,п см тельа звд рои при a>0–м ятйнеравенство ap>aq. и ероп 27

2 Методикак уизучения степенип м еч н о ос рациональным показателемп н л став ед р енв ж и в од р профильных классах 2.1 Методикао сяформирования у учащихсяуп тн ирешать заданияц ен л ав р омпо теме:и ел н е ж в од р п «степень с рациональнымф впоказателем» в профильныхтак р то к а еклассах ж Для некоторыхб лезначений α степеннаяэлем о товфункция допускаетэтомпродолжение наотли н м ы еьн ч более широкуюп ят область определения,этап и ед р омчем R 0 . Например,этап омпри  = n  N наб оле R 0 , кроме этогою ч есп об щ ав0n = 0 ; если жер и м = −n , где n  N , топ и лн ед асп тельтолько наязан звд рои ы свR 0 . xa При α>0си ыможно доказать,сп тем роа что lim =0вн й при  → 0+ , поэтому,ф еш акторв чтобы незави от см нарушалась непрерывностьр ифункции y = xa , и в этомслучаеод елн азд тельп и рзвполагают, чтоуд ствм0 = 0 . об При нечетномэлем ты n  N и  = н 1 n a функция y = x допускаетэтап ом естественное продолжениео сяна всюу тн ствмчисловую прямую;элем б о д тыпри четномн н утрей вn – это невозможно. n 1  1n  n Равенствосвязан е  x  = x по сутиэлем ы тзадает функциювозд н еобратную и ящ стиy = x как функцию,уход ей   10 функциисоп тя y = x a , поэтому функциювозд аю д рвж стиy = x 3 , например, можнокон ей усчитать определеннойвозд м еч сти ей для всехп есx  R , а функцию y = x роц 3 10 толькоси ыдля неотрицательныхэтап тем омx . В общем видеу слг на  нето гвнакладывается никакиеи р еусловия, поэтомуелн скан зы ри дфункция асп y = x a считаетсязави топределенной науход о см емножестве (0;+) . и ящ Приосб тиизучении степеннойявлсьфункции в школьномож ен тсяп аю д рвкурсе математикиязан есвподходят ы совсемторгв с других позиций:п о постепенно расширяютсяи ставлн ед р ен ж в значения числатакж род п е  , причем a рассматриваютсяп и не функции,это ставлн о ед р м например, y = x , n  N , а вводитсяей озд понятие ствую степениторгвопределенного вида. Получаемвн ей следующую тр у последовательность:си ы степень тем с натуральнымкон й ы еч показателем (7п ставккласс) – степеньп о йс нулевым и целымп во ер оотрицательным показателемвн ставлн ред утрей(7 класс)элем ты– степень с рациональнымляю н тп сав нецелым показателемш ред рокг (11 класс)п и о– степень с ставлн ред иррациональнымп ставляюпоказателем (11розн ед р йкласс). ч и Основным мотивомко сая введения показателейляю ч ер м тп сав является выполнениеш ред рокг свойств и степеней. 28

 m   n =  m+n  m :  n =  m−n ( ) m n =  nm (b )n =  n  b n      = n , b  0. b b n n Такоеясн отрассмотрение приводитуд ствмк ограничениям наотли об мa и b. Подход достаточном ы еьн ч еста естественный и мотивированный,уход ено толькозаклю и ящ идо моментан ен ч й еш врассмотрения степениуд ствмс об рациональным показателем. Введениюо ся степени с рациональнымп тн ес показателем в школьномустан роц овлеи курсе математикиразд ипредшествует рассмотрениеси елн ыдействий с корнями. Ужеи тем ена этомосб скан зы тиэтапе ен проявляютсяво зд стиразногласия авторомзаклю ей иразличных учебниковой ен ч ерви учебных пособийп п енпо ж ви род математике. Большинствоявлсь из нихувязать определяют кореньп тель n – ой степенип звд рои ставляю из ред положительногоу вязать числа a дляр ся всех n  N (например,и ей щ ю азви е «Математика в понятиях,п скан зы ен ж ви род определениях и терминах»п оиз серииязан ставлн ед р ы св«библиотека учителям ятйматематики», учебникиб и ероп оле по математикер йК.О. Ананченко и др.). Авторыэтомже учебногорасп ч и зн о мпособия поп и лн ед яталгебре длясвязан и ред е ы 11 классатовардают следующееу влеиопределение. о стан Пусть k – целоеш кг число, n – натуральноеэлем о р и т число, неязан н ы св равное 1. Степеньюп ен ж ви род положительного числавн й  еш с рациональным показателемф акторв k n называется k положительныйр йкорень n – ойр ч и зн о истепени изой лн ед асп ервчисла  . п k n k n  =  ,  0;0 = 0, n k k  0. n Такием естаразногласия врядси темли желательны,ой ервпоэтому учителюосб п типриходится объяснять,м ен ятй и ероп что приторгвы хn=1 получаемп ставляюравенство. ед р Некоторые заданиязаку йавторов данногоуход н ч о п е учебного пособияп и ящ ятсформулированы, с и ред нашейрасп иточки зрения,у лн ед вязатьнекорректно. Запишите корнитакж ев виде степенитакж ес рациональным показателем:со тя x 5 , аю д вж р п 5 x4 , 3 b2 , 7 c −3 . 29

Выполнить этоко сая задание можноозд ч ер м ствуютолько дляп ей ен первого примера,аю ж ви род еоб и щ в во всехрасп ч сп и лн ед остальных случаяхво ювыражения имеютуп сту ей зд исмысл приаровт всех значенияхлен равлен и оставпеременных (вотли рд п м ы еьн ч последнем примереп ен c  0 ), переходразд ж ви д о р и от корнейп елн ставляюк степеням с рациональнымп ред ервой показателем сужаетп лобласть значений,расп ы б и р мпри которыхкон и лн ед увыражения имеютэлем м еч тысмысл. н Вычислите 8)у влеи(− 64 ) о стан − 2 3 4   9 −0.5 , так какком саявыражение (− 64 ) ерч − 2 3 неом ствимеет смысла. б уд Возникаето щтакже правомерныйэтап ваю и ч есп б омвопрос: почемулен и рав степень с рациональнымуслг уп нецелым показателемсвязан еопределяется тольколяю ы тп савдля положительногорасп ред ичисла  . Возникаеткон лн ед у м еч p q мысль, чтои еможно былово ац орм ф н зд стибы разделитькон ей урациональные нем м еч ятйцелые показателиэлем и ероп ты на двем н еста группы: p – целоеэтап мчисло, q – натуральноеп о лнечетное числоотли ы б ри ми вторая группаэтом– p – ы еьн ч целое число,м естаq – натуральное нечетноеп тельчисло, и получитьэкон звд рои есаяразличные ограниченияэтап ч и м омна переменнуюэто м , например, почему 1 2 1 3  =  , гдеуправлени  0 , но  = 3  , гдем ятйне понятно,б и ероп оле   0. Учащимсяу слг можно пояснить,п л что безустан ы б ри овлеиограничения  0 невозможноп ервойбы провестиуп ицепочку преобразований,ф равлен акторвнапример, следующих: 3 1 3 2 6  =  =  = 6 2 . Такиеразд и пояснения делаютело елн м ц для учащихсяэкон есая более понятным,и ч и м отзав почему присп см роа рассмотрении степенип ес с рациональным нецелымэтап ц о р омпоказателем основаниен теп с должно и бытьоб щ ваю и ч есп положительным, и прир азд икаком показателеком елн саяоснование можеткон ерч йбыть равнымм ы еч естанулю. Хорошо быо щтакже привестип ваю и ч есп б тельи графическую иллюстрацию,озд звд и о р ствуюпоказать, чтосп ей еобласть роц 3 определениязаклю и функции y = x ен ч – всяэкон есая числовая прямая,этап ч и м ом область определениясвязан е ы 1 3 функции y = x – множеството гвнеотрицательных чисел. р 3 4 Имеетц мли смысло ело сявыражение: (− 27 ) , 0 , 0 тн 2 3 − 4 5 − , (− 64 ) 3 и такэтап омдалее. 4 Полезно использоватьявлсьпри доказательстверозн йсвойств степенирозн ч и йс рациональным ч и показателемси темтаблицу «Степенизасти вм ои корни» авторовп ят М.Г. Шраера, В.С. Дувановойф и ред акторв «Таблицы поо щ ваю и ч есп б алгебре и началамп йанализа, 11ы во ер хторгвклассс». Для удобствавозд стуюссылок в таблицеп ей ервой 30

слева помещеныу есвойства арифметическихязатьувкорней, чтоустан и ящ д о х овлеиделает доказательствовн йдля еш учащихсясвязан ы еболее простым. Заметим,ко учто свойствоп м еч н ставляю6 степеней с рациональнымуд ед р ствмпоказателем (при 0    b ,увязать об  r  b r , при r>0;р м r  br , при r<0)этап и лн ед асп омможно в дальнейшемрозн йтрактовать кактольквозрастание ч и степеннойэлем тыфункции y = x r нато н варпромежутке (0;+) прип лr>0 и еелен ы б ри и устаовубывание наотли ч м ы н еьэтом жеувязать промежутке приявлсьr<0. Таким образом,си темсуммируя, можнозакуп йотметить, чтосп н оч роаизучение степеннойон м кач яи эесфункции являетсяп ставляюодной изво ред стисамых сложныхи ей зд епроблем в дидактикезави скан зы отматематики. см При построениип йметодологии изученияэтап во ер омвопросов, связанныхэлем тс энергетической н функцией,расп и целесообразно направитьп лн ед ят учебную деятельностьторгвы и ред х на освоениеси темобщих методовп идействий. оставлн ред Необходимо выявитьво юпроисхождение введенныхэлем сту ей зд тов понятий с точкиявлсь зрения н теоретическогор изнания основп лн ед асп есматематики. ц о р Изучение учебногор и материала полезно,кон лн ед асп й опираясь нап ы еч тель принцип значимогосвязан звд рои ы обобщения, и в тоакти юже времяц у вн мформировать образовательнуюи ело е деятельность кактакж скан зы е научно–теоретическую с самогор ж ви д о еп нначала. Подготовка к изучениюп енэкспоненциальной функциивн ж ви д о р й содержит достаточноэтом еш большой материал,во зд юкоторый рассматриваетсяогтрвс пятого потолькдесятый класси сту ей отзави проходит см в несколькоэлем тэтапов. Это объясняетсяси н ыследующими причинами. тем 1). Обучениер азд и в определенной степенивн елн утрей повторяет историческийосб ти путь ен человеческихп еноткрытий в целом:лен ж ви д о р и равэто историческийси уп ыподход к обучению. Образцып тем ен ж ви род истории развитияко сая математических знанийэтап ч ер м омвключают егоп оставкпоявление, углубление,п ервой расширение, обобщениеп ставкс течением времени. о 2). С психологическойгош к точки р и зренияотли м понимание ы еьн ч и ассимиляциям ятй и ероп математического материалар ипроходят черезозд лн ед асп ствуюэтапы: ей а) фрагментарноеэлем тпонимание и ассимиляция; н б)кон улогическое пониманиео м еч ми ассимиляция; ы еьн ч тли в) логическип ставляюобобщенное пониманиеком ед р саяи ассимиляция. ерч Поэтому программаакти ютакже включаети у вн ен ж втри этапаш род п рокгконцепции экспоненциальнойрасп и и лн ед функции: 31

1. Пропедевтический курсц елом(5–6 кл.): возведениерасп мв степень с натуральнымотли и лн ед м ы еьн ч показателем. 2. Изучение основногоб лесодержания: определениеэкон о есаястепени с натуральнымм ч и м естаи целым показателем,и есвойства степеней,отн скан зы сядействия сои сярзстепенями (7–9и ей щ ваю сярзкл.). ей щ ваю 3. Углубление, обобщениеи е и систематизация знанийд ац орм ф н осио степени; степеньп еятльн лс ы б ри любым действительныму слг показателем; преобразованиеи е выражений, содержащихустан скан зы овлеи степени; определениеэко есаяпоказательной функции;услгрешение показательныхп ч и м н иуравнений и оставлн ред неравенстви н остльеяд(10–11 кл.). Однарасп ииз основныхто лн ед хцелей последнегоы гвы р хторгвэтапа – привестирасп мв систему и обобщитьсп и лн ед роа имеющиеся у учащихсяу исведения о степенях,элем авлен р п т ввести понятиеси н ыстепени с любымкон тем й ы еч действительным показателем. В зависимостиой ервот реальнойн п й еш вподготовки классаф акторвэти урокирасп мразрабатываются либоо и лн ед щкак урокиы ваю и ч есп б хторгв повторения, либоэкон есая как урокиш ч и м рокг изучения и новогоэлем тыматериала. Целесообразно иметьп н ентаблицу (рисуноквозд ж ви род стую2). ей Рис. 2 – Сведения о степенях 32

Заком саяобозначением axсвязан ерч едля учащихсяуслгскрывается пятьторгвразных определений. Чтоп ы оставк общего в этихэто мопределениях, почемуразд иэти разныеп елн ятопределения даюти и ред еединую картинусвязан скан зы е ы изменения функции? Имеето тиместо следующийко ен сб саяфакт: ч ер м 1. Различные определенияво зд юсочетаются с общимилен сту ей и равобозначениями. уп 2. Оказывается, полученнаяявлсьфункция описываетзаклю имножество процессов. ен ч Прояснениеу и этих фактовто авлен р п х поможет пересмотретьп гвы р и вопрос обзави оставлн ред от определении см степенип ервойс разными показателямирасп ии ввести степеньд лн ед осис любым реальными еятльн епоказателем. скан зы Этот материалп звд и о р тельизучается в 10п йклассе. во ер Все свойствар м степеней и лн ед асп имеютзакуп й место, н оч когдаозд стви выполняются ей условиям еста (ограничения), приэлем вкоторых действуетэлем то н тысоответствующее определениеп н ятстепени. и ред При обобщениио щпонятия степениэлем ваю и ч есп б т необходимо ввестиэтап н омв систему знания,элем тов н накопленные заб ленесколько летко о у(5–9 клеток). м еч н Когдап и ен тс материал повторяется,осб тинеобходимо обратитьрасп ен ивнимание учащихсяп лн ед ес на роц главное,соп тячто важново аю д рвж зд стидля обобщенияуход ей епонятия степени. и ящ 1)уд ствмВосстановить в памятито об хи полностью довестиосб гвы р тидо понимания,си ен ычто 𝑎 𝑥 естьзави тем от см сокращенная запись,заку й и поэтому символязан н ч о п ы св 𝑎𝑛 имеет смыслотн ся при натуральномторгвы х n. Поэтому правиласп а действий могутп о р ес применяться лишьсп роц роа тогда, когдаосб ти не тольковн ен й еш компоненты, ноп ен и результат действиялен ж ви д о р и остав оказывается степеньюотн рд п ся с натуральным показателем,эко есаятак каксо ч и м н тя𝑎 𝑥 : 𝑎𝑛 пока неп аю д вж р п ервойвыполнимо поуслгправилу делениялен и равстепеней. уп 2) Следуетш кг ограничиться повторениемвн о р и й основного свойствакон еш у степени и м еч следствий,уд ствмвытекающих изр об мнего; обратитьтакж и лн ед асп е внимание, прилен и устаовкаких значенияхуп ибукв равлен правилавозд стидействий соп ей звд и о р тельстепенями могутд осиприменяться. еятльн 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 =𝑎𝑚+𝑛 , ∀𝑎, ∀𝑚, 𝑛 − (𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁). 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 =𝑎𝑚−𝑛 , ∀𝑎, ∀𝑚, 𝑛 − (𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁). (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 , ∀𝑎𝑚, 𝑛. 3) Основнойси темвопрос содержаниярасп мэтой темы:уп и лн ед икакой смыслц равлен еломследует придатьп ен ж ви род 0 (вложить) в новыезаку й символы 𝑎 , 𝑎 н ч о п −𝑛 𝑚 𝑛 , 𝑎 , 𝑎𝑎 , т.е каклен и рав определить их,п уп и сохранить оставлн ред неизменнымиво зд стистарые правилар ей идействий, сделаваю лн ед асп еоб и щ вненужными ограничения,яй ч сп ею сщ зрви акоторые 33

вытекалиоб щиз первоначальногото ваю и ч есп гвопределения степении р ес натуральным показателемм ац орм ф н ятйи и ероп обратить вниманиеэлем тна новыеко н йограничения. ы еч н 𝑚 4) Нужно,р зн о й чтобы определениян ч и ую в понятий 𝑎0 , 𝑎−𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑎𝑎 былиторгв даны невн акти й еш формально, неэто мв виде немотивированныхф акторв формулировок, а былм еста бы вскрытп лход ы б ри мысли,п оставккоторый побудилсвязан ыпринять именнош рокгтакие определенияи и сярз(новое определение). ей щ ваю Всеэлем тыопределения степенисвязан н ы(1), (2),б оле(3) (рис. 1)связан еявляются определениямистеп ы и– условными н соглашениями. Задачар азви ся учителя состоитсоп ей щ ю тя в том, чтобыразви аю д рвж ся показать целесообразностьц ей щ ю елом соответствующего соглашения. 3. Примернаяу вязать схема рассуждений,уход ящ е относящихся к методикеэлем и н ты уроков систематизациито хи обобщения сведенийосб гвы р тио степенях ен 3.1. Какой смыслси ыследует придатьрасп тем мвыражению 𝑎0 , какэлем и лн ед топределить его,вн н утрейчтобы правилоп ятумножения степенейп и ред тельосталось в силе? звд и о р Умножимэко есаяпо этомусвязан ч и м н еправилу 𝑎0 наразд ы и𝑎𝑚 , (вопреки запрету:п елн тельпоказатели должнып звд рои и оставлн ред быть натуральными). 𝑎0 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎0+𝑚 = 𝑎𝑚 . Присвязан е 𝑎𝑚 ≠ 0, т.е. 𝑎 ≠ 0 произведение двухрозн ы йсомножителей 𝑎0 и 𝑎𝑚 можетэлем ч и тов н равняться одномуси ыиз нихб тем ле(𝑎𝑚 ) тогда и толькоуп о итогда, когдакон равлен йдругой сомножительп ы еч ес(𝑎0 ) роц равен 1. Значитсвязан е известное правилосвязан ы е умножения степенейстеп ы и сохраняется лишьп н ес в том роц случае,товаресли приво зд стилюбом 𝑎 ≠ 0 выражениестеп ей и𝑎0 будем считатьязан н ы свравным 1. Определение. 𝑎0 = 1, 𝑎 ≠ 0 Теперьп лправило 𝑎𝑚 : 𝑎 𝑥 =𝑎𝑚−𝑥 можетп ы б и р оставкприменяться и длялен и равm=n, такн уп еакзы и с как 𝑎0 имеетуд ствмсмысл. Следует отметить,осб об тичто результатаровт деления 𝑎 𝑥 нам ен ятй𝑎 𝑥 в форме и ероп 𝑎0 полностьюторвасогласуется с результатомразд иарифметики 𝑎𝑚 : 𝑎 𝑥 = 1. елн 1 3.2. Какойо мсмысл придатьо ы еьн ч тли еч н м уквыражениям 2−1 , 3−2 , ( )−5 и т.д. 𝑎−𝑛 , где𝑛 ∈ 𝑁.? 2 Имеютп енли смыслсвязан ж ви род еэти выражения? ы Определяяп ятстепень с целымд и ед р осиотрицательным показателем,розн еятльн йследует учесть: ч и 1. Натуральноеко йчисло – естьд ы еч н осичастный случайэлем еятльн тцелого числа,товара потому степеньц н еломс натуральным показателемф вявляется частнымэтап р акто омслучаем степениси ыс целым показателем. тем 34

2. Нужнор ипозаботиться о том,и елн азд ечтобы новоетоваропределение неэлем ац орм ф н тыпротиворечило н степенивозд стуюс натуральным показателем:м ей ятйдолжно бытьэтомтак, чтобытоварвыражение 2−(−3) и ероп означалоц еломничто иное,р сякак 23 . ей щ ю азви 3. Определитьм ятйстепень с отрицательнымтакж и п о ер епоказателем так,отли мчтобы сохранилосьсвязан ы еьн ч е ы основное свойствоо мстепени и следствияф ы еьн ч тли акторвиз него. Итак,торва остается в силеэлем т 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 , когда m и n какиеелн н зри а угодно д отрицательныер азд и числа. Пусть m=–n,акти елн ую тогда 𝑎−𝑛 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎−𝑛+𝑛 = 𝑎0 = 1, 𝑎 ≠ 0. вн Произведениевн й двух целыхявлсь чисел равнокон еш у единице тогдаязан м еч есв и только тогда,экон ы есая когда ч и м сомножителир ся– взаимно обратныеэтап ей щ ю азви омчисла, т.е. 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 . Значитто хосновное свойствоц гвы р мстепени сохранитсярозн ело йлишь в томи ч и сярзслучае, еслиустан ей щ ваю овлеипри 1 любомрасп и𝑎 ≠ 0 выражение 𝑎−𝑛 будетосб лн ед тисчитаться равными ен отзав 𝑛 . см 𝑎 Определение. 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 ,𝑎≠0 1 1 1 = 5−1 , = 4 5 81 3 Записанные равенстваявлсьпри необходимостиосб тииспользуют справаож ен тсяп аю д рвналево, например, Появляются важныео щ ваю и ч есп б тождества 𝑎 𝑏 1 𝑏 𝑛 𝑎 ( )−𝑛 = ( )𝑛 ; ( )−𝑛 =𝑎𝑛 , 𝑎 ≠ 0. Итак, формулыо ся(1) и (2)р тн ипринимают зарозн елн азд йопределение степенид ч и осис нулевым и еятльн отрицательнымзаку й показателем. При такойп н ч о п ставляюдоговоренности всеаю ред еоб и щ в другие свойствасоп ч сп тя аю д рвж сохраняются, кромеу ислучая 0𝑛 = 0, 𝑛 ∈ 𝑁, новозд авлен р п стидля 𝑎 = 0 и 𝑛 < 0 символб ей оле𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 теряет смысл. Такойэлем ты принцип построениякап н оств в науке называютп тель принципом звд рои перманентностиси ы– (permanere – остаться,п тем ес сохраняться), сохранениеком роц сая основных ерч формальныхр азд изаконов действий). елн В несовершеннойп ятформе этоти и ед р епринцип сформулировалы ац орм ф н хторгвв 1830 г. английскийб оле математик Дж. Пикок. Полностьюэлем тыи четко установиллясьвего немецкийэлем н тматематик Г. Генкельы н хторгвв 1867 г.. 35

Принципф вперманентности соблюдаетсяязатьуви при обобщенииотли р акто мпонятия числа;ком ы еьн ч саяпри ерч определенииц мобщего понятияп ело ставляюравенства фигуросб ед р тии др. (Вспомните реализациюм ен естаэтого принципаком сая из лекцийр ерч и«Изучение числовыхп елн азд ес множеств», «Преобразованиеон роц м кач яи эес фигур в школьномвозд стикурсе геометрии»). ей 23 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8; 2−(−3) = 1 1 = =2 1 2−3 23 Действительно, 3.3. Дальнейшими е этапом систематизацииси ац м р о ф н ы сведений о степеняхуход тем ящ е является и распространениеи епонятия степенитакж ац м р о ф н ена случайф акторврациональных показателей. 3 Какойси темсмысл можнозаклю ипридать символамп ен ч ят25 ? и ред 𝑚 𝑛 Снова предъявимэко есаятребования к определениюуслгстепени 𝑎 , гдеэлем ч и м н т𝑛 ∈ 𝑁, 𝑚 ∈ 𝑁. н 𝑚 1) Попробуемр азд иопределить степеньэкон елн есаяс рациональным показателемп ч и м тель𝑎 𝑛 =𝑎 𝑦 так, звд рои чтобыразд исохранилось основноео елн сясвойство степени. тн 2)расп мЗаметим, чтор и лн ед йчисло 𝑎 𝑦 должнои ч и зн о ебыть положительным. В самомп скан зы ятделе и ред 𝑟 𝑟 𝑎𝑟 = 𝑎2∗2 = (𝑎2 )2 > 0 , т.е. 𝑎𝑟 > 0 3) Должнар мбыть определенаразд и лн ед асп истепень 𝑎−𝑟 , т.к. елн 𝑎−𝑟 = 𝑎𝑟(−1) = (𝑎𝑟 )−1 4)п оставкКаким должноси ыбыть a>0, тем 1 1 𝑎(𝑎𝑟 )𝑟 = 𝑎𝑟𝑟 = 𝑎1 = 𝑎 > 0 Вывод:к уСтепень 𝑎𝑟 определяетсясвязан м еч н о ытолько пристеп иположительном основаниид н оси𝑎 и еятльн сама степеньо щ𝑎𝑟 также являетсялзаю ваю и ч есп б кен ч иположительным числомакти ую𝑟 – любое рациональноеоб вн щ ваю и ч есп число). Итак, мып енполучили теко ж ви д о р йограничения, которыерасп ы еч н мнужно ввестиэкон и лн ед есаяпри определенииуход ч и м е и ящ степени с рациональнымо щ ваю и ч есп б показателем. Но какзаклю иполучить (построить)п ен ч ервойсамо определениеси ыстепени 𝑎𝑟 ? тем Представляетр сяинтерес идеяуход ей щ ю азви ящ ематематика и методистаразви и сяИ.В. Арнольда, которыйоб ей щ ю щ ваю и ч есп предлагает рассматриватьп ятпоказатель степениразд и ед р икак оператор. елн 36

Идеяен и ловауст Арнольда можетто гв быть примененац р еломна практике,элем тыесли рассматриватьш н рокг и параллельно действиято хумножения и возведениятакж гвы р ев степень. тов возведении н При умножении:си ымножитель – оператор,зави тем отПриэлем см в степень:н й еш в показатель отзав– оператор, показывает,ом см ствб удна сколькоуслг показывает, нар исколько слагаемыхрасп елн азд мнадо степении и лн ед множителей надосп роаразбить основаниевозд стистепени ей разбитьразви сямножимое и сколькоо ей щ ю щ ваю и ч есп б их взять. и сколькотакж еих взять. 6*6=6+6 82 = 8 ∗ 8 1 6* = 2; 6 = 2 + 2 + 1 3 1 8* =2;экон есая8=2*2*2 ч и м 2 6* = 2 + 2 = 4; 6 = 2 + 2 + 3 3 2 8* = 2 ∗ 2 = 4; 8 =2*2*2 3 От этихси темрассуждений неп еструдно перейтиосб роц тик общим ен 𝑚 Итак, возвестип енчисло 𝑎 в степеньлен ж ви д о р и устаов с дробным показателем,торгвы хзначит: разбитьвозд сти ей 𝑛 это числосп роа𝑎 на 𝑛 равныхф всомножителей и перемножитьлен р акто и остав𝑚 таких сомножителей. рд п Схематическиу влеиобозначается так: о стан 1 12 𝑎12 = √𝑎 = 𝑏 𝑚 𝑛 𝑎 𝑛 = ( √𝑎)𝑚 = 𝑏 𝑚 𝑚 𝑛 Обобщаяво зд ювышесказанное, приходимуход сту ей ящ ек определению 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 . и Этап и идея – IV. Арнольдп оставлн ред о не были ставлн ед р е разработан в школьныхи ац орм ф н отзав учебниках, норазд см и елн ознакомление с этимто хподходом к определениюсвязан гвы р ыпонятия «степеньп енс рациональным ж ви род показателем»п оможет вызватьо ставлн ед р минтерес учащихся. ы еьн ч тли В существующиху ствмучебниках существуетф б о д акторв еще одинп о подход к получениюсвязан ставлн ред ы схематического определенияп ятстепени с рациональнымозд и ед р ствипоказателем. ей Мы исходимстеп ииз конкретныхси н темпримеров. 1 Пусть 22 = 𝑥. Сохраняяо сяосновное свойствоустан тн овлеистепени, запишем: 1 1 1 1 a) 22 ∗ 22 = 22−2 = 21 = 2 (поэкон есаяранее известномузаклю ч и м иопределению). ен ч 37

С другой стороны: 1 1 1 1 22 > 0, 22 ∗ 22 = (22 )2 = 𝑥 2 . Итак,яю тлвап с 𝑥 2 = 2 → 2 = √2 (по определениюсп ред роа арифметического кв. корня). 1 Получим. 22 = √2 2 2 2 2 2 2 2 6 б)произвд ельПусть 23 = 𝑥; 23 ∗ 23 ∗ 23 = 23+3+3 = 23 = 22 . т 3 С другойэлем тстороны 𝑥 3 = 22 ↔ 𝑥 √22 . н 2 3 3 Получим 2 = √22 . Обобщаяэлем вэти примеры,р то н йможно схематическиод ч и зн о тельп и рзвзаписать: 𝑚 𝑛 𝑚 (*) 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 , − дробь, 𝑚 − целое, 𝑛 − натуральное. 𝑛 Формулу принимаемсп аза определениеком о р саястепени с рациональнымсп ерч роапоказателем. Еще разком сая ерч подчеркнем, чтод сиоснование степенистеп о еятльн и𝑎 > 0. н Замечание 𝑚 0 𝑛 = 0, если 𝑚 𝑚 − дробь, > 0, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑚 ∈ 𝑍. 𝑛 𝑛 3 4 1 5 − (−2) , (−8) , 0 1 2 − – не имеюттоварсмысла. Но принятоеси темопределение имееттовар один недостатокзакуп й – рациональное числоп н оч ервой можно записатьд сиразными способами. о еятльн 1 Возьмемп ес рациональное числокон ц о р й . Это числои ы еч е можно записатьразд ац орм ф н и бесконечным елн 2 множествомсвязан е способов. Однако этотп ы тельнедостаток определенияи звд рои е в действительности ац орм ф н являетсястеп инесущественным. н 1 2 3 4 5 = = = = … 2 4 6 8 10 1 2 2 4 3 6 4 6 Значит 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 = ⋯ = √𝑎 = √𝑎2 = √𝑎3 Итак, определениесвязан ыматематически корректно,и ет.е равенством (*)ы ац орм ф н хторгвзадает одноразд ии елн то жеоб щ ваю и ч есп число, независимоэлем вот того,м то н ер ятйкак записаноэтомрациональное числоразд и п о и𝑟 в виде дроби елн 𝑚 𝑛 . 38

Следовательно,сп а мы принимаемязан о р ы св соотношение (*)услг за определениеб олестепени с рациональнымэто мпоказателем, причемторгвы хоснование 𝑎 всегдазави отсчитается положительным. см Введенноезаклю иопределение оказалосьстеп ен ч иудачным, такотли н мкак в немэлем ы еьн ч тсохранились всестеп н и н привычные свойствап звд и о р тель степеней, которыеэтап ом были доказаныод тельп и рзв для натуральныхэтом показателей. На практикето льк предпочитают заменятьи ен ж в радикалы степенямиэкон род п есая с дробными ч и м показателями. 8 3 12 3 11 11 √𝑥 3 = √𝑥 11 = 𝑥 8 ∗ 𝑥 12 = 𝑥 8+12 = 𝑥 9+22 24 31 24 = 𝑥 24 = √𝑥 31 Вычислить: 1 6 (26 )6 2 2 1) 64 = 1 1 6 2 = 2, 64 = √64 = 2 2 3 3 3 2) 273 = (33 )3 = 32 = 9, 273 = √272 = √(32 )2 = √(32 )3 = 32 = 9 1 3) (−8)3 Этом еста задание некорректно,р ф н и м аоц е так какц елом нет определенияп ес степени с дробнымувязать роц показателем дляш кготрицательного основания. о р и 1) (−8) 1 3 неуход еимеет смысла. и ящ Ещеп есраз проверим,п роц енне даето ж ви д о р ч п й узакли противоречийэлем н тновое определение? н 1 3 4) Возражения (−8)3 = √−8 = −2? Еслии зы скан есогласиться с этим,п енто мыторгвсталкиваемся с противоречиями. ж ви д о р 1 2 6 6 −2 = (−8)3 = (−8)6 = √(−8)2 = √64 = 2, −2 = 2? 2) Пои н остльеядопределению степенин утрей вс рациональным показателемрасп мполучили: и лн ед 4 4 𝑎) 23 = √24 = √16 = 4, 𝑎 22 = 22 = 4; 4 𝑎′ ) 2−2 = √2−4 = √ 4 1 1 1 = ; 𝑎 2−2 = 2−2 = . 16 4 4 39

2.2 Методика формированияр иумений решатьв н ел азд стую ей озд задания пор итеме: «Степеньп н ел азд есс оц р рациональным показателем»в стив профильных классах ей зд о В процессеп и формирования уменийэкон ставлн о ед р есая у обучающихся решатьи ч и м е выражения сом скан зы еста степенью с рациональнымакти юпоказателем в профильныхзакуп у вн йкласса рекомендуетсякон н оч утри м еч этапа: 1. Подготовительный; 2. Формированиео мнавыков длярасп ы еьн ч тли ирешения простыхрасп лн ед ивыражений: лн ед 3. Введение степенир азд ис рациональным показателемой елн ерви создание другихторгвметодов п ихп оставкрешения. Цель подготовительногоу вязатьэтапа состоитзаклю ив том, чтовн ен ч утрейнеобходимо сформироватьзаклю и ен ч способность учащихсязаклю ииспользовать свойстваоб ен ч щ ваю и ч есп степени. Для реализациистеп иэтого шагалясьврекомендуется в процессеторгвы н хсистематизации знанийзаклю и ен ч учащихся о свойствахр сястепени с рациональнымэлем ей щ ю азви товпоказателем. Основной инструментп н и оставлн ред может служитьэлем т задачам, предлагаемымэкон н есая обучаемым, и осуществляетсяп ч и м ес под роц наблюдениемсо тя учителя аю д вж р п илиэлем ты самостоятельно, н а такжеп ен навыки ж ви род в решениии е ац орм ф н тригонометрических уравнений. Дляуслгстепени с рациональнымэтомпоказателем n: 𝑎 > 0, 𝑎𝑛 > 0 𝑛 − чётное, 𝑎𝑛 > 0 𝑎 < 0{ 𝑛 − нечётное, 𝑎𝑛 < 0 𝑎0 = 1 𝑎−𝑛 = 𝑚 1 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 (𝑎𝑏𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 𝑐 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 ( ) = 𝑛 𝑏 𝑏 (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∗𝑛 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 40

𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 Уравнения,о ся содержащие неизвестнуюразд тн и переменную в показателеш елн рокг степени, и называютсяроватпоказательными уравнениями. Приоб щрешении показательныхзакупочнйуравнений используетсясвязаныусловие равенствапред еспчиваю авлнодвух ст степеней:ст епни две степениза травны тогдаэт о см ви оми только тогда,т х когда равныосб оргвы и основания ент степенейприб ы ли их показатели. 𝑎1 = 𝑎2 𝑥 𝑥 𝑎1 1 = 𝑎2 2 ↔ { 𝑥 = 𝑥 1 2 Рассмотримп есрешение несколькихэт ц о р апомпримеров: 1. 35𝑥 −2 = 81𝑥−1 В основе решенияп влниданного уравненияконечм а ст о ед р улежит условиепред авлноравенства 2 степеней. ст Уравняемпред авлниоснования степеней: ост 35𝑥+2 = (34 )𝑥−1 35𝑥 +2 = 34𝑥−4 5𝑥 + 2 = 4𝑥 − 4 𝑥 = −6 Ответ:изы скане– 6 2. 3𝑥+1 + 2 ∗ 3𝑥+2 = 21 Поскольку числовыевн йкоэффициенты дляязатьувx равны, решениевозд еш стиэтого уравненияуп ей и равлен основано нао мразложении левойп ы еьн ч тли очасти наозд ставлн ед р ствимножители. Из скобкиш ей рокгвыводится общийрасп и м и лн ед множитель – степеньц мс наименьшим индексом. Чтобырозн ело йузнать, чторасп ч и иосталось в скобке,уп лн ед и равлен вам нужноуслгразделить каждуюр истепень нам лн ед асп ятйобщий множитель. и ероп 3𝑥−1 (1 + 2 ∗ 3) = 21 3𝑥+1 ∗ 7 = 21 3𝑥+1 = 3 𝑥+1=1 𝑥=0 Ответ:приб л0. ы 3. 32𝑥 + 2 ∗ 3𝑥 − 3 = 0 41

Так какакти ючисловые коэффициентырасп у вн и при х неп лн ед ставляюравны, топ ред и в основе решенияп оставлн ред тель звд рои данного уравненияп илежит введениеэлем ставлн о ед р тыновой переменной,си н темпозволяющей показательноесоп тя аю д рвж уравнение заменитьр иквадратным алгебраическим. елн азд 32𝑥 = (3𝑥 )2 (3𝑥 )2 − 2 ∗ 3𝑥 − 3 = 0 Пусть 3𝑥 = 𝑡 Тогда 𝑡 2 + 2𝑡 − 3 = 0 𝑡1 = −1 𝑡2 = 3 Получили: 3𝑥 = 𝑡1 3𝑥 = −1 – неб леподходит, такст о епникак степеньсвязаны евсегда положительнам а(ах>0) ест 3𝑥 = 𝑡2 3𝑥 = 3 𝑥=1 Ответ: 1. 𝑚 Определение. Еслиуд вмa>0 и x–произвд ст б о ельрациональное число,уст т ановлеипредставленное дробьюосб и , ент 𝑛 𝑚 𝑛 𝑛 где m – целое,т хи n?2 – натуральное число,услгто:𝑎 𝑥 = 𝑎 = √𝑎𝑚 ; еслиескаяэонм гвы р о ича 0 и x>0,эт омто ax 0. 2 5 Например,то х𝑎5 = √𝑎2 при а>0; гвы р 3 3 4 𝑏 −4 = √𝑏 −3 или 𝑏 −4 = √ 4 1 𝑏3 = 1 3 прирасп иb>0. лн ед 𝑏4 Рациональное числор сяпредставляется в видезаклю ей щ ю азви идроби ен ч 𝑚 𝑛 неоднозначно,м ятйтак как и ероп 𝑚∗𝑘 𝑚 = 𝑛∗𝑘 𝑛 прип енлюбом натуральномко ж ви род йk. ы еч н 𝑚∗𝑘 𝑚 Покажем, что: 𝑎 𝑛∗𝑘 = 𝑎 𝑛 42

𝑚∗𝑘 𝑛𝑘 𝑚 𝑛 В самомр азд иделе: 𝑎 𝑛∗𝑘 = √𝑎𝑚𝑘 = √𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 елн (использовано основноесвязан ысвойство арифметическогоэлем товкорня). н Свойства функциит лькс целым показателемэлем о овраспространяются наном нт укечстепень с любымф орврациональным показателемэлем акт ыи положительным основанием,ом нт ствнапример: б уд 𝑎𝑝 ∗ 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞 (𝑎 > 0) Выражение 𝑎𝑛 определенорозн й для всехп ч и ставляюа и n, кромезаклю ред и случая а=0ком ен ч сая при n≤0. ерч Напомнимсп роасвойства такихш кгстепеней (сн о р и утрей вдействительным показателем). Длякон ы еч йлюбых чиселэтап ма, b и любыхож о тсяп аю д рвцелых чиселом ствm и n справедливы равенства: б уд 𝑎𝑚∗𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 (𝑎 ≠ 0); (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 ; (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 ; 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 ( ) = 𝑛 (𝑏 ≠ 0); 𝑏 𝑏 𝑎1 = 𝑎; 𝑎 = 1 (𝑎 ≠ 0). Отметимд оситакже следующееэлем еятльн тысвойство: н Если mn,р ито 𝑎𝑚 𝑎𝑛 приу лн ед асп ствм𝑎1 и 𝑎𝑚𝑛 при 0. В этомп б о д лпункте мыразд ы б ри иобобщим понятиевн елн й еш степени числа,у ствмпридав смыслец б о д мвыражениям типац ело елом20.3, 85/7,кап оств4–1/2 и т. д. Естественнозаклю и ен ч при этомразд идать определениеп елн отак, чтобызакуп ставлн ед р йстепени с рациональнымиш н оч рокг показателями и обладаливозд стуютеми жеэлем ей тысвойствами (илисп н роахотя бын утрей вих частью),элем тчто и степенияй н ею сщ вазрс целым и 𝑚 𝑛 показателем. Тогда,вн ейв частности, n–ятолькстепень числап тр у ервой𝑎′ должна бытьаровт равна am . Действительно,то гвесли свойство р (𝑎𝑝 )𝑞 = 𝑎𝑝𝑞 выполняется,о сятнто 𝑚 (𝑎 𝑛 )𝑛 = 𝑚 𝑎 𝑛 ∗𝑛 = 𝑎𝑚 Последнее равенствоф в означает (пои р акто сярз определению корняаю ей щ ваю еоб и щ в n–й степени),и ч сп е что скан зы 𝑚 числоси тем𝑎′ 𝑛 должно бытьсп акорнем n–йзаклю о р истепени израсп ен ч ичисла am . лн ед 43

Определение: 𝑚 Степеньюв стичисла 𝒂𝟎 с рациональнымзак ей зд о йпоказателем 𝒓 = , гдеотл н оч уп мm — целое ы н еь ч и 𝑛 𝒏 число,п ла n — натуральное (nи бы и р е1), называетсяв ц а м р о ф н стую ей озд число √𝒂𝒎 Итак, под сиопределению: о еятльн 𝑚 𝒏 𝑎 𝑛 = √am (1) Степень числаэлем т 0 определена тольком н ятй для положительныхосб и ероп ти показателей; посвязан ен ы определению 0r = 0 дляу илюбого r 0 . авлен р п Замечаниер елни1. зд а Из определенияявлсьстепени с рациональнымэтап омпоказателем сразуаю еоб и щ вследует, чтоотн ч сп сядля любогосвязан ыположительного a и любогоуход ящ ерационального r числоязан и ы свar положительно. Замечание 2. Любоеэлем трациональное числоустан н овлеидопускает различныеод тельп и рзвзаписи еготолькв виде дроби,уд ствм об поскольку 𝑚 𝑛 = 𝑚𝑘 𝑛𝑘 длято варлюбого натуральногоэлем тk. Значение ar такжелен н оп ставне зависитсвязан рд ыот формыи езаписи рациональногор ац орм ф н азд ичисла r. В самомф елн акторвделе, изаю еоб и щ всвойств корнейси ч сп темследует, что 𝑚𝑘 𝑚 𝑛𝑘 𝑛 𝑎 𝑛𝑘 = √𝑎𝑚𝑘 = √𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛 Замечание3. 3 Приустан овлеиа равнялось быэлем в√−8, т. е. — 2. Но, с другойсп то н роастороны, 1 3 = 2 6 и поэтомум ятй и ероп должно выполнятьсяц мравенство: ело 1 2 6 6 −2 = (−8)3 = (−8)6 = √(−8)2 = √82 = 2 . Рассмотрим свойствау естепени с рациональнымлен и ящ д о х оп ставпоказателем, онизаклю рд ианалогичны ен ч свойствамей сяразви щ ю степени с натуральнымн утрей впоказателем, здесьд осиs и r – рациональные числа: еятльн 1. 𝑎 𝑠 ∗ 𝑎𝑟 = 𝑎 𝑠+𝑟 Дляэлем товтого чтобыу н иумножить степениц авлен р п еломс одинаковым основанием,разд инужно сложитьакти елн ую вн их показатели,ф воснование оставитьб р акто олебез изменений. 2. 𝑎𝑠 𝑎𝑟 = 𝑎 𝑠−𝑟 при ы ≥ 𝑟, 𝑎 ≠ 0 Можноу слгразделить степенир ис одинаковым основанием,си лн ед асп темдля этогом ятйих показателитакж и ероп е нужно вычесть,связан еа основание оставитьси ы ыбез изменений. тем 3. (𝑎 𝑠 )𝑟 = 𝑎 𝑠𝑟 44

Дляп естого чтобыи роц зы естепень возвестиаровтв степень, нужноотн скан сяперемножить показателивозд сти ей степени, основаниеу вязатьоставить безто гвизменений. р 4. (𝑎𝑏)𝑠 = 𝑎 𝑠 𝑏 𝑠 При умножениир истепеней с одинаковымэлем лн ед асп т показателем, нужнои н е перемножить скан зы основаниявн еш йи возвести результатси темв исходную степень. 𝑎 𝑎𝑠 𝑏 𝑏𝑠 5. ( )𝑠 = ,𝑏 ≠ 0 Чтобыво зд сти разделить степеникольт с одинаковыми показателями,акти ей уюнужно разделитькон вн у м еч основания и возвестиу ирезультат в исходнуюп авлен р п оставкстепень. Вышеперечисленные свойстваляю тп сав справедливы дляси ред ы любых рациональныхуход тем е и ящ показателей. Докажем первоеэк ясвойство: еса ч и м н о 6. 𝑎 𝑠 ∗ 𝑎𝑟 = 𝑎 𝑠+𝑟 Доказательство: s и r – рациональные числа, 𝑠 = 𝑚 𝑏 𝑚 𝑛 𝑏 , 𝑟 = , 𝑛 и 𝑞 ∈ 𝑁; 𝑚 и 𝑏 ∈ 𝑍. 𝑞 𝑞 𝑛 7. 𝑎 𝑠 ∗ 𝑎𝑟 = 𝑎 𝑛 𝑎𝑞 = √𝑎𝑚 √𝑎𝑏 Приведемвн утрейкорни к одинаковомуц мпоказателю: ело 𝑞 𝑛 𝑞𝑛 𝑛𝑞 √𝑎𝑚 √𝑎𝑏 = √𝑎𝑚𝑞 √𝑎𝑛𝑏 Преобразуем полученноесвязан ывыражение согласноп ервойсвойствам корня: 𝑛𝑞 𝑞𝑛 𝑛𝑞 𝑛𝑞 √𝑎𝑚𝑞 √𝑎𝑛𝑏 = √𝑎𝑚𝑞 𝑎𝑛𝑏 = √𝑎𝑚𝑞+𝑛𝑏 Поразд иопределению степенивн елн ейс рациональным показателем: тр у 𝑛𝑞 √𝑎𝑚𝑞+𝑛𝑏 = 𝑎 𝑚𝑞+𝑛𝑏 𝑞𝑛 Согласното гвсвойствам степени: р 𝑎 𝑚𝑞+𝑛𝑏 𝑞𝑛 =𝑎 ( 𝑚𝑞 𝑛𝑏 + ) 𝑞𝑛 𝑞𝑛 =𝑎 𝑚 𝑏 ( + ) 𝑛 𝑞 = 𝑎 𝑠+𝑟 Итак,этомполучили: 𝑎 𝑠 ∗ 𝑎𝑟 = 𝑎 𝑠+𝑟 Докажем третьесв ы н за я свойство: 45

(𝑎 𝑠 )𝑟 = 𝑎 𝑠𝑟 Доказательство: s и r – рациональные числа, 𝑠 = 𝑚 𝑛 𝑏 , 𝑟 = , 𝑛 и 𝑞 ∈ 𝑁; 𝑚 и 𝑏 ∈ 𝑍. 𝑞 Схемам естадоказательства стандартная:возд стиот степенейси ей темперейти к корням,п ставляювыполнить ред преобразованиятакж ес корнями и вернутьсятакж ек степеням. 𝑠 𝑟 (𝑎 ) = 𝑏 𝑠 𝑞 (𝑎 ) 𝑞 𝑞 𝑚 𝑚𝑏 𝑞 𝑞 𝑛𝑞 𝑛 𝑛 = √(𝑎 𝑠 )𝑏 = √(𝑎 𝑛 )𝑏 = √( √𝑎𝑚 )𝑏 = √ √𝑎𝑚𝑏 = √𝑎𝑚𝑏 = 𝑎 𝑛𝑞 = 𝑎 𝑠𝑟 Остальные свойствау идоказываются аналогично. авлен р п Решение типовых задач Перейдемп лк решению типовыхосб ы б и р тизадач. ен Пример 1 – имеетп влнили смыслпред а ст о ед р авляювыражение: ст 1 а) (−5)7 Ответ: нет. 1 б) 57 1 7 Ответ:ш кгда 57 = √5 о р и в) (−2)−4 Ответ: да,то варт. к. –4 – целоер азви сячисло (−2)−4 = ей щ ю 1 (−2)4 = 1 16 1 г) 0−2 Ответ: нет. Примерп влно2 – вычислить: а ст ед р 4 3 (63 )2 + (0,25)−1 (−0,5)3 Рассмотрим слагаемыеу ствмотдельно: б о д 4 3 4 3 (63 )2 = 63∗2 = 62 = 36 1 (0,25)−1 = ( )−1 = 4 4 46

1 1 1 (−0,5)3 = (− )3 = = (−2)8 −8 2 Получаем: 36 − 4 ∗ 1 = 35,5 8 Пример 3 – упроститьо мвыражение: чеьны ли т 3 a5 5 2 a3 a−3 Упростим знаменатель: 5 2 5 2 3 2 1 a3 a−3 = a3−3 = a3 = a Получаем: 3 a5 a 3 = a5−1 = a−3 = 2 a5 Отметим,у слгчто обязательноер й во пв данном случаеуслг = 1 5 √a2 . Пример 4 – упроститьш кгвыражение: о р и 1 1 1 с2 1 2 (с2 ) (1 + с2 )2 − 2с2 Возводим в квадрато тидвучлен: ен сб (1 + 1 с2 )2 =1+2∗ + 1 = 1 + 2с2 + с. Получили выражение: 1 1 1 + 2с2 + с − 2с2 = 1 + 𝑐 В даннойэтап мзадаче могуту о ствмбыть поставленырозн б о д йдополнительные вопросы,и ч и отзавнапример, см допустимыен и ловаустли отрицательныето лькзначения с. Ответ:торгвнет, т. к. с имеетм естарациональный показательж етакстепени и поу иопределению являетсяэлем авлен р п товнеотрицательным. н Пример 5 – упроститьр зни о чйвыражение: 47

1 6 (x −2 )2 x 7 2 (x 7 )−4 6 = x ∗ x7 8 x −7 1 = x12 8 x −7 13 = x7 8 x −7 13 8 = x 7 +7 = x 3 , x > 0 Комментарий: ограничениеуд ствмна х наложенорасп об мв связи с тем,п и лн ед ес что онотли роц мимеет ы еьн ч отрицательныйо сярациональный показательразд тн истепени. елн Итак, мыявлсьрассмотрели свойстваэлем тстепеней с рациональнымзаклю н ипоказателем. ен ч 48

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В школьной программео щбольшое вниманиеп ваю и ч есп б тельуделяется теме:б звд рои оле«Степень», а такп оставк же «Степеньп о с рациональным показателем». Этокон ставлн ед р у не секрет,расп м еч и что обучающиесякон лн ед й ы еч хорошо освоилим еста концепцию «степеньляю тп сав с целым показателем»,и ред е свободно и ац орм ф н непринуждённото варработают с ней,элем тывполне увереннод н осиобращается с свойствамиен еятльн таи овлусстепени, уверенноф акторврешают выражение,р йна уменияф ч и зн о акторвприменять свойстваозд ствуюстепеней. ей Опыт показывает,такж е что недостаткин й еш в с этой моделью,степ и слишком поспешнымсвязан н ы введение степениэлем тыс рациональным показателем,закуп н йне позволяюттакж н оч е создать прочнуюустан овлеи основу дляясн отуспешного усвоенияявлсьматериала. В связи с этим,и сярз в нашей работе,услг мы ей щ ваю подробноустан овлеи рассмотрели всеэто м особенности примененияи е степени с рациональнымтовар ац орм ф н показателем. Все свойствап йи примеры заданийрасп во ер иотражены в разработанномуд лн ед ствмнами урокеп об л ы б ри изучения новогор и материала након елн азд у тему «Степеньвн м еч утрей с рациональным показателем. Свойствап енстепени» дляп ж ви род ообучающихся 10–гоязатьувкласса. ставлн ед р В исследовании намиф вбыла рассмотренален р акто и устаовтакже методикап тельизучения степенисоп звд рои тяс аю д рвж рациональным показателем,п тельв курсе математикиторгвы звд и о р хстаршей школысп роа в профильных классах. В результатеэлем т разработаны ещекон н йодин урокд ы еч осиобобщения и систематизациисвязан еятльн е ы знаний науход етему «Степеньво и ящ стис рациональным показателем»кон ей зд уи система тренировочныхтовар м еч упражнений поп ятподготовке к ЕГЭкон и ед р йв профильных классах. ы еч Намион кы еч йбыли поставленыу вязатьзадачи: • провести анализси темучебной и методическойкап оств литературы потольк проблеме исследования; • выявитьу ствм роль степенип б о д о с рациональным показателемразви ставлн ред ся в обучении ей щ ю математики; • разработатьо ся урок изученияуп тн и нового материалаи равлен ен ж в на темурозн род п й «Степень с ч и рациональнымр азд и показателем. елн Свойства степени»этом и урок обобщениям ятй и и ероп систематизации знанийко у на темуком м еч н сая «Степень с рациональнымосб ерч ти показателем» дляф ен акторв учеников 10–11п опрофильных классов. ставлн ед р Такимстеп иобразом, всер н мпоставленные задачиогтрвбыли решены,и и лн ед асп еи тем самым,экон скан зы есаяцель ч и м достигнута. Даннаято х работа можетвозд гвы р стую быть использованазаклю ей и в учебном процессеразви ен ч ся ей щ ю 49

учителями математикип ес общеобразовательных школ,язан ц о р есв а также старшеклассникамитольк ы при подготовкезаку йк ЕГЭ. н ч о п 50

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙэтомЛИТЕРАТУРЫ: 1. Виленкин, Н. Я. Алгебрау влеии математический анализтакж о стан е10 класс. Учебникуд ствмдля об углубленногоп ставляюизучения математикизакуп ед р йв общеобразовательных учреждениях,вн н оч утрей Издательство Мнемозина,во сти13–е изд. стереотипное,и ей зд е2006. – 336с. скан зы 2. Гельфанд, И.М., Львовскийзаклю иС.М., Тоом А.Л. Тригонометрия,элем ен ч тыМ.: МЦНМО, н 2003.–7–16он кы еч йс. 3. Захарова, И. Г. Информационныекап оств технологии в образовании:торгв учебное пособиезави отдля студ. пед. учеб. заведений/п см иИ. Г. Захарова,– М.: Издательскийсоп оставлн ред тяцентр аю д рвж «Академия»,ц м2003. – 192 с. ело 4. Звавич,элем тВ.И., Пигарев Б.П. Степеньуход н ес рациональным показателемэтом(решение и ящ уравненийрасп м+ варианты самостоятельныхстеп и лн ед иработ)//Математика в школе.№3, С.18–27. н 5. Колмагорова,б леА. Н. Алгебра и началап о тельанализа. Учебник дляи звд рои ен ж в10–11 классовэтап род п ом общеобразовательных учреждений,товар17–е изд. – М.: Просвещение,об щ ваю и ч есп 2008. – 384 с. 6. Королев,акти юС.В. Степень с рациональнымуход у вн ящ е показателем након и й экзамене потольк ы еч математике, изд. Экзамен,п л2006. – 254 с. ы б и р 7. Макарычев,р азд и Ю.Н., елн Миндюк Н.Г., Нешкови е К.И., скан зы Суворова С.Б. Тригонометрия. 10р мкласс, М.: Просвещение,п и лн ед асп л2008. – 61 с. ы б ри 8. Мордкович,у ствмА.Г. Алгебра и началазаклю б о д ианализа.10–11 классы. Частьуслг1.Учебник ен ч для учащихсяп йобщеобразовательных учрежденийразд во ер и(базовый уровень). – 10–еп елн лизд., ы б ри стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 399уд ствмс. об 9. Мордкович, А.Г. Алгебраэлем тови начала анализа.10–11расп н мклассы. Часть 2. Задачниквн и лн ед й еш для учащихсяэто мобщеобразовательных учрежденийязатьув(базовый уровень),уход е– 10–е изд., и ящ стер. – М.: Мнемозина,связан ы2009. – 399 с. 10. Мордкович,сп а о р А.Г. Беседа с учителямиц елом математики: Учеб.–метод.пособие.–2–еи е изд.,доп. и перераб.–М.:ООО «Издательский домп скан зы ен ж ви род ОНИКС 21н еакзы и свек»: ОООсп а«Издательство Миркап о р остви Образование» 2005.–336с. 11. Мордкович,этап мА.Г., И.М. Смирнова. Математика–10 (базовыйком о саяуровень). – 8– ерч е изд., стер. – М.: 2013. – 431п ставкс. о 12. Никольский, М.К. Алгебрауд ствми начала анализа:и об е Учеб. Для 10осб скан зы ти класса ен общеобразовательныхто гвучреждений. – 8–е изд. – М.: Просвещение,разд р и2009. – 430 с.8 елн 51

13. Решетников,элем т Н.Н. н Степень с рациональнымкон й показателем: ы еч М. Педагогическийэлем вуниверситет «Первоеуслгсентября», 2006,кон то н йлк 1. ы еч 14. Смоляков,д си А.Н., о еятльн Севрюков П.Ф. Приемыуп и решения равлен степеньб оле с рациональным показателемсп а//Математика в школе. 2004. №1. С.24–26. о р 15. Шабашова,б ле О.В. Степень с рациональнымм о еста покзателем //Математикам еста в школе. 2004. №1. С.20–24. 16. Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия. Изд. «МЦНМО,разд иПетроглиф, Викторияш елн рокг и плюс», 2009. – 752элем вс. то н 17. Просветов, Г.И. Степеньогтрвс рациональным показателем. Задачиразд ии решения, елн Альфа–Пресс,и зы е2010. – 72 с. скан 18. Мордкович,м еста А.Г. Беседы с учителем. М.: ОООрозн й “Издательский домустан ч и овлеи “ОНИКС 21о щ ваю и ч есп б век”:ООО “Издательствовозд стую“Мир и Образование”,акти ей ую2005” вн 19. Мордкович, А.Г . Алгебраш рокг и начала анализа. 10–11озд и ствуюкл.: Учебник дляуслг ей общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина,элем ты2000. – 336с. н 20. Мордкович, А.Г. Методическиеразви ся проблемы ей щ ю изучениярасп м степени и лн ед с рациональнымп ипоказателем в общеобразовательнойзаклю ставлн о ед р ишколе //вн ен ч утрейМатематика в школе. 2002. №6. 21. Немов,п енР.С. Психология: Учеб. дляси ж ви д о р ыстуд. высш. пед. учеб. заведений: В 3 тем кн–4–еуслг изд. М.: Гумакнит. изд. центр ВЛАДОС,н й еш в 2003.–Кн.1:Общие основы психологии.–688с. 22. Немов,элем тыР.С. Психология: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: В 3 кн. н – 4еси ы изд. тем М.:Гумакнит.изд.центр ВЛАДОС, 2003.–Кн.2: Общиеразд елн и основы психологии.–608с. 23. Орлова,ф вТ. Решение уравнений:ф р акто акторвКонкурс “Яразд ииду нап елн лурок” //Математика. ы б ри Приложениеэко есаяк газете «Первоеп ч и м н лсентября» № 48,устан ы б и р овлеи1999г. 24. Пичурин, Л.Ф. О Степеньвозд стуюс рациональным покзателемм ей ятйи не толькоси и ероп темо ней: М. Просвещение,о ти1985г. ен сб 25. Решетников, Н.Н. Степеньявлсь с рациональным покзателемвн й в школе: М. еш Педагогическийи еуниверситет «Первоестеп ац м р о ф н исентября», 2006,сп н роалк 1. 26. Смоляков,заку йА.Н., Севрюков П.Ф. Приемыэлем н ч о п товрешения уравненийэлем н т//Математика н в школе. 2004. № 1. С. 24–26. 52

27. Суворова,заку йМ.В. Повторительно–обобщающие урокиосб н ч о п тив курсе математикиуход ен е и ящ (на примерер иизучения темызави лн ед асп т«Степень с рациональнымсп о см роапокзателем» //Математиказаклю ив ен ч школе. 1995. № 4. С.12–13 28. Токарева, А. Степенько у с рациональным покзателем. //озд м еч н ствуюМатематика. // ей Приложениео щ ваю и ч есп б к газете «Первоезаку йсентября» № 44,такж н ч о п е2002 г. 29. Шабунин,р мМ. Степень с рациональнымрасп и лн ед асп м покзателем. // Математика. и лн ед Приложението хк газете «Первоето гвы р льксентября» № 12,13,этап ом1995г. 30. Филатов, В.Г. О потереувязатькорней присп роа решении степенид осис рациональным еятльн покзателемп ес//Математика в школе. 1991. №2. С.57–59. роц 31. Шабашова,м естаО.В. Приемы отбораторгвкорней в тригонометрическихаровтуравнениях //Математикац мв школе. 2004. №1. С.20–24. ело 32. Якимовская, И.С. Знанияаю еоб и щ в и мышление школьников. М.: Просвещение,п ч сп ят и ред 1976. 53

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Разработкад сиурока математикиц о н ь тл ея омв 10 классе ел Урокь затув я по теме:эта м «Степень с рациональнымсп о п оа показателем. Свойства р степеней». Целии остн ь л ея дурока: 1. Закрепить понятиевн йстепени, развиватьразви еш сяумение выполнятькон ей щ ю йдействия соакти ы еч ую вн степенями. 2. Добиваться четкихо сяответов прилен тн оп ставрешении примеров. рд 3. Воспитыватьто хаккуратности веденияом гвы р ствзаписей в тетради. б уд Ходк йурока ы еч он I. Организационный этап Сообщението хучителем темыслу гвы р ги целей урока. Ответственныед сиученики сообщаютэлем о еятльн то готовности ребятторгвк уроку. н фронтальная работа Проверкап тельналичия домашнегоосб звд и о р тизадания: ен II. Этап проверкип ьдомашней работы тел д зв и о р III. Повторительно–обобщающийтак еэтап ж Устный опросш кгпо изученнойи о р и сярзтеме. ей щ ваю На партаху е– раздаточный материалп и ящ д о х тельдля устногош звд рои рокгсчета и Индивидуально–групповая работараспед лнимв тетради 1. Вычислить: 2. а) 3. б) 7 4. в) 5. г) 6. д)заку й2430,4=9 н ч о п =7*3=21 54

7. е) 8 : 2 8. ж)сп а(( о р 9. Упроститьу евыражения: и ящ д о х 10. а) 11. б) 12. в)п й во ер =1 . гдео ма ы еьн ч тли ; , гдевн йа меньше 0; еш . IV. Закрепление изученногоотл мматериала (4отли ы н еь ч и ммин.) ы еьн ч Устная индивидуальнаяп есработа с раздаточнымсвязаныматериалом: ц о р опрос теории: 1. Какиер азд ичисла называютсяозд елн ствинатуральными? ей 2. Как можетр мбыть представленоаровтлюбое рациональноесп и лн ед асп роачисло? 3. Из какихп омножеств состоитэкон ставлн ед р есаямножество действительныхотн ч и м сячисел? 4. Сформулировать определениеаю еоб и щ впериодической дроби. ч сп 5. Сформулироватьр азд и определение арифметическогоэлем елн т корня натуральнойси н тем степени. 6. Сформулировать определениеэтап омстепени с рациональнымрасп мпоказателем. и лн ед V. Рефлексивный этапэк я – контроль заусл еса ч и м н о г уровнем усвоенияп юизученного я л став ед р материала Проверочнаяво юработа наво сту ей зд ю13 мин. сту ей зд I Вариант 1. Вычислить. 0,3 1. 9,1 2. 2,9 3. 8,9 4. 89,9 2. Вычислить. 0,1 1. : –2 – 2,5 2. 55

3. 2 4. –10 3. Упростить. 1. –(ко сая2а+ ч ер м ),м естаесли а 4асвязан ы+ в2 2. 3. 1+ 4. – 13. Найти значениесвязан ывыражения присп роаа=4, в=5 1. 2. 2 3. 0 4. 2 31. Вычислить 39. Вычислить IIц омВариант. ел 4. Вычислить. 1. 100 2. 91 3. 8,9 4. 4. 5. Вычислить. 1. 0 56

2. 16 3. –10 4. 6. Найти значениесп авыражения о р , прирасп ма=4, в=9. и лн ед 32. Вычислить 40. Вычислить IIIп есВариант. оц р 7. Упростить выражение 1. 2. 3. 4. 8. Вычислить 1. 24 2. 36 3. 6 4. 9)торгвы хВычислить 1. 2. 3. 6 4. –6 57

15. Найти значениец мвыражения ело 1. 1 2. 7 3. –7 4. –1. , еслиод тельп и рзва=9, в=16. 33. Вычислить 41. Вычислить VI. Работар ив классе н ел зд а № 35.23; 37.8 – 37.10; 37.20. VII. Итог урока Домашнееси ызадание: п. 33,35,отн тем ся36, 37. № 37.21; 37.22; 37.23; 37.25. 58

ПРИЛОЖЕНИЕк й2 ы еч он Разработка урокап оматематики в 11тор н л став ед р гвклассе. Учебник: «Алгебрато хи начала анализан гвы р утрей в10–11» А.Н.Колмогоров. Темар иурока: «Степеньсвязан н ел азд ес рациональным показателем». ы Целир иурока: н ел азд Образовательные : - ввестико саяпонятие степеньлен ч ер м оп ставс рациональным показателем; рд - первичноеси ызакрепление полученныхрасп тем изнаний нааровт лн ед простейших заданиях. Воспитательныео м: воспитание нравственныхп ы еьн ч тли ятчерт личности: и ред - целеустремлённости; - настойчивостикон йв достижении поставленнойэлем ы еч тцели; н - самостоятельности, внимательности; воспитанием ятйумения работатькон и п о ер йв коллективе. ы еч Развивающие: развитиео мнавыков ы еьн ч тли - математической речи; - работып ставксамостоятельно и в паре; о - осуществленияэлем твзаимоконтроля и самоконтроля. н Типп есурока: Урокц оц р мизучения новогоуход ело ящ ематериала. и Оборудование: дидактическийвлясь материал (карточкиустан овлеи с определенным цветовымп ен ж ви род сигналом). План урока. 1.Организационный этап. (8мин.) 2. Основнойсвязан еэтап. (30мин.) ы 3. Подведение итогов. (2мин.) I. Организационныйп оэтап н л в ста ед р Цель: Создатьвн ейблагоприятную обстановкуляю тр у тп савдля работыэтомв классе, подготовитьсоп ред тя аю д рвж учащихся к предстоящейп йработе, сообщитьразд во ер итему, цельозд елн ствуюи план работы. ей Метод:сп роасловесный. 59

Деятельность учителя Деятельностьвн йученика еш – Здравствуйте, ребята. Ктосвязан еотсутствует? ы – Вам знакомоси темпонятие «степениторгвчисла с Выражениеком саяа n , где n – целоесоп ерч тя аю д рвж целымп ставляюпоказателем»? ред число. – Для какихко уа и n оно определено? м еч н – Выражение а n определенотакж е для всехси тема и n, кромеразд ислучая елн а=0осб типри n  0 . ен – Перечислитевн ейсвойства степенип тр у оставкс целым показателемэлем ты(учащиеся называютм н естасвойства, учительвозд стуюзаписывает нар ей идоске, еслиэлем лн ед асп тыне н а  0, b  0 n, m − натуральные числа. аm  an = a m n называют,он кы еч йто можноо мзаписать левуюп ы еьн ч тли оставкчасть наэтом а : a = a m+ n ; m−n , где а  0; m n доске, а ученикио мпусть называютэлем ы еьн ч тли тправую, н (а m ) n = a записанныеу есвойства остаютсяэлем и ящ д о х тна доске). н (ab) = a  b n ; n n n n ; a a   = n , где b  0; b b a1 = a ; a 0 = 1, где а  0; если m  n, то при а  1 a m  a n ; при 0  a  1 – Выполнимвн ейустно. тр у Упростить выражения: am  an; Ответы:уход ящ ех2; х7;разд и их12; а2в8 елн 1 2 ;8 : 8 1 6 (возникаетн утрей ввопрос присвязан е ы упрощении последнеголен и остав рд п выражения) – В чемстеп итрудность упрощениязаку н йпоследнего н ч о п – Показатель степенивн й– еш выражения? дробное число. Намп ензнакомо ж ви род толькоуслгпонятие «степеньи отзавс см целым показателем» –Такэлем тывот. Сегодня у насу н слгнесколько необычныйп ставкурок, сегодняко о укаждый израсп м еч н мвас и лн ед – Степеньож тсяп аю д рвс рациональным побываетвозд стив роли учителя. Попробуйтеэтап ей омсами показателемсп роаи ее свойства. сформулироватьф втему урока. р акто – изучениеб олепонятия степенисвязан ы 60

– В чемзаклю изаключается цельо ен ч щ ваю и ч есп б урока? с рациональным показателемм ятйее свойств. и ероп – Научитьсяторгвих применятььясвл – Приступим к изучению! при решенииэлем тзадач н II. Основной этап Цель:п есобъяснение алгоритмау роц ствмработы посвязан б о д ыкарточкам, введениеуход епонятия степеньустан и ящ овлеис рациональным показателем;у ипервичное закреплениеш авлен р п рокгполученных знанийосб и тина ен простейшихко йзаданиях. ы еч н Метод: словесный. Деятельностьляю тп савучителя ред Деятельность ученика Работатьтакж ебудем следующимвн йобразом. еш Учащиеся Сейчас каждыйсп а из вассо о р тя получит карточкуп аю д вж р п ят с определенным знакомятсяэтомс и ред цветовымуд ствмсигналом. В каждой карточкесоп об тясодержится теория,б аю д рвж оле правилом это определениеп л и свойства степениакти ы б и р ую с рациональным работып вн ятв и ред показателем. Также,во ю кроме теоретическойуд сту ей зд ствм части, естьэкон об есая группах. ч и м практическая – заданияп ятдля самостоятельногорасп и ед р ивыполнения, и лн ед обязательнаяд си часть, которуюэко о еятльн есая вы должныляю ч и м н тп сав выполнить. За ред выполнениеэлем тыдополнительных заданийаю н еоб и щ ввы можетеш ч сп рокг получить и дополнительнуюр иоценку. лн ед асп После тогоко у как выто м еч н льк ознакомились с содержаниемкон й своей ы еч карточки,услг а также выполнилиэлем т задание, вамп н л необходимо, ы б ри следуяб оле по маршрутуто вар указанному назакуп й доске, отыскатьотн н оч ся партнёра позаклю ицветовому сигналу. Найдяси ен ч ыего, выторгвы тем хобъясняете другуд ствм другу поп об тель очереди теоретическийявлсь материал своейосб звд и о р ти ен карточки, отвечаетем ятйна вопросы,элем и п о ер тыесли такием н ятйвозникают, затемой и ероп ерв п обмениваетесь карточкамиэто ми выполняете практическуюустан овлеичасть полученнойстеп и карточки. Затем, человек,ц н елом от которогокон й вы ы еч получилип ервой карточку, проверяетогтрв правильность выполненияш рокг и задания, еслир азд иесть ошибки,п елн й исправляет. Если трудностейэтап во ер омне 61

возникает,разд ипродолжаете двигатьсяи елн епо маршруту. скан зы Еслиустан овлеи возникает такаяэлем в ситуация, чтоп то н л вы ужерозн ы б ри й выполнили ч и заданиец еломсвоей карточки,ко й а ваш партнерлясьв ещё нет,тольк то выф ы еч н акторв приступаете к выполнениюу ствмдополнительного задания. Еслисп б о д роа вам неосб тидосталось партнера,си ен ыто работатьогтрвможно в тройках. Заож тем тсяп аю д рв урок вамэкон есаянеобходимо пройтизаклю ч и м ивесь маршрут. ен ч – В течението льк 8 минут выо ся знакомитесь с материаломстеп тн и н полученной карточки,ко увыполняете задание,кон м еч н узатем следуетеш м еч рокгпо и маршруту. В тетрадир м записываете и лн ед асп числоэлем тов и н тему сегодняшнеготакж еурока «Степеньд сис рациональным показателем»,осб о еятльн ти ен записываете теоретическийу слгматериал полученнойож тсяп аю д рвкарточки, и решениеэтом практической части. Чтобыи е не ац орм ф н запутатьсяи отзав см записываете наси тем полях цветовойэлем ты сигнал. Оценка будетразд н и елн выставляться засвязан еправильность выполнениятольк работы поп ы ятвсем Учащиеся и ред получаютси тем карточкам. –Уторгвкого возниклим ятйвопросы поси и п о ер темработе с карточками? набор – Еслизаклю и в ходе работыво ен ч сти будут возникатьн ей зд й еш в вопросы, можноязан ы св карточек обращаться коси теммне. красная  синяя маршрут записансвязан ена доскед ы си о еятльн   ) зелёная  оранжевая III. Этапр осапсамостоятельной работыуход епо карточкамэл и щ я тов(см. приложение) н ем IV. Этап подведенияси ы тем итогов Цель: подвестиво стиитоги урока. ей зд Метод:ц еломсловесный. Деятельность учителя Деятельностьси ыученика тем –Заканчиваем работу. Насколькои ехорошо вызаклю ац орм ф н и ен ч усвоили данныйто лькматериал, проверимэкон есаяна ч и м следующемко йуроке. Сейчас сдайтеуп ы еч н итетради наразви равлен ся ей щ ю Степеньсп роас рациональным проверку. показателем. 62

– С каким новыми епонятием познакомилисьб ац м р о ф н оле сегодня навом стуроке? б уд Одинэтомиз учениковоб щ ваю и ч есп выписывает –Выпишите назаклю идоске рядомп ен ч йсо свойствамип во ер ставляю ред свойствад осина доске. еятльн степени числап ставкс целым показателемязан о есвсвойства ы степенип енс рациональным показателем. ж ви род Нетп лнельзя. ы б ри – Можносвязан ыли представитьво зд юотрицательное числоустан сту ей овлеив виде степенир ис рациональным показателем? елн азд Послеп оставктого какд сисвойства выписаны: о еятльн Они аналогичны,кап оствдобавилось – Чторазд иможно сказатько елн саяоб этиху ч ер м влеисвойствах? о стан лишьрасп мсвойство, когдам и лн ед ятйоснования и ероп (учитель показываето щ ваю и ч есп б на доску) разные. Учащиесякап оствактивно принимаютосб ти ен Рефлексия: участие в беседе –Понравилосьп или Вамр ставлн о ед р ибыть учителем? елн азд – С какимио щ ваю и ч есп б трудностями Высп астолкнулись? о р – Какие приятныеп ставкощущения Выод о тельп и рзвиспытали? – Закончите фразу:то вар«Я быд сихотел похвалитьком о еятльн саясебя ерч заси темто, что…» Домашняяразд иработа: елн –Дома вамко тльнужно выучитьэко есая теоретический ч и м н материалоб щ ваю и ч есп пункта 34. №430,р и431 (а,в),п лн ед асп л437 (а,в),язан ы б ри ы св 444 – Спасибо всему иза работу,элем авлен р п тыурок окончен. н 63

Приложениед оси3 н ь тл ея Цель используемыхсвязан ыкарточек: – введение понятияр ии свойств степениозд елн азд ствис рациональным показателем; ей – первичноеэлем тызакрепление полученныхи н ен ж взнаний. род п Цели заданий. Первогоэтомзадания: формированиеэкон есаяумения представлятьп ч и м ивыражение в видеи оставлн ред ен ж встепени с род п рациональнымтакж е показателем, используяси ы определение степениотн тем ся с рациональным показателем. Второгозакуп йзадания: формированиеэлем н оч тыумения представлятьэкон н есаявыражение в видеш ч и м рокгкорня изи и е ац орм ф н числа, используяр йопределение степениэтомс рациональным показателем. ч и зн о Третьегоэкон есая задания: ч и м формированиеразд и умения елн находитьтольк числовые значения,м ятй и ероп раскладывать наи емножители, а такжеосб ац м р о ф н тисравнивать числа,д ен осииспользуя определениеп еятльн ли ы б ри свойства степениу ес рациональным показателем. и ящ д о х Краснаяотн сякарточка Определение. Степенью числау иа  0 с рациональным показателемкон авлен р п йr = ы еч m , где n m–целоеп оставкчисло, а n–натуральноеслу г( n  1), называетсяи отзавчисло n a m . Итак,б см олепо m n определениюявлсьa = n a m . 5 1 − 7 Пример 1. 7 4 = 4 7 ; 2 6 = 6 2 5 = 6 32 ; a 15 = 15 a −7 . Свойстватся аю д ж в р оп степени с рациональнымэл ты н ем показателем, гделен и устаовr,s–рациональные числа,розн й ч и а  0,b  0. 10.а r  a s = a r + s 2 0.a r : a s = a r − s 1 − 3 1 3 3 1 + 1 3 + Пример 2. 40 40  2 4 : 5 4 = 23  5  2 4  5 4 = 2 4 4  5 4 4 = 21  51 = 10. Заданиер и1. Представьте 13 b −7 в видем н л ед асп ятйстепени с рациональнымп и ероп ипоказателем. оставлн ред 1, 2 Задание 2. Представьтео тив виде корнявн ен сб йиз числастеп еш и3 . н 1 2 1 6 3 2 Задание 3. Найдитезаклю изначение числовогозаклю ен ч ивыражения 8 : (8  9 ) . ен ч Дополнительныер изадания. Найдите значениеп н ел зд а тельвыражения звд рои 8 2 1 3 8 3 5  1 3 : 810,75 ; 3 100  ( 2 )    . 5 64

Синяяп ткарточка я и ед р Определение. Степенью числасп аа  0 с рациональным показателемлен о р и оставr = рд п m , где n m–целоеп ятчисло, а n–натуральноесвязан и ред ы( n  1), называетсяц еломчисло n a m . Итак,отли мпо ы еьн ч m n определениюш кгa = n a m . о р и 5 1 − 7 Пример 1. 7 4 = 4 7 ; 2 6 = 6 2 5 = 6 32 ; a 15 = 15 a −7 . Свойствастеп истепени с рациональнымп н кпоказателем, гдерозн остав йr,s–рациональные числа,возд ч и сти ей а  0,b  0. 10.(а r ) s = a r s 2 0.(a  b) r = a r  b r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Пример 2. (ax) 3 + (ay) 3 = a 3 x 3 + a 3 y 3 = a 3 ( x 3 + y 3 ). Заданиев ей1. Представьте 8 4 5 в видеож утр н тсяп аю д рвстепени с рациональнымп еспоказателем. роц 1, 2 Задание 2. Представьтео тив виде корняразд ен сб ииз числан елн утрей в5 . 1 2 1 2 Задание 3. Разложитеэлем тына множителиэкон н есая(3x) − (5 x) . ч и м 1 2 1 3 1 4 Дополнительные задания. Разложитем естана множителикон уc + c ; 4 − 4 . м еч Зелёная карточка Определение. Степеньюто хчисла а  0 с рациональнымп гвы р лпоказателем r = ы б ри m , гдеп о ставлн ред n m–целое число,о щ ваю и ч есп б а n–натуральное ( n  1),п иназывается числоэлем оставлн ред тыn a m . Итак, позакуп н й н оч m определению a n = n a m . 1 4 5 6 − 7 15 Примерси тем1. 7 = 7 ; 2 = 2 = 32 ; a = 15 a −7 . Свойства степениэта мс рациональным показателем,отл о п мгде r,s–рациональныеой ы н еь ч и ервчисла, п а  0,b  0. r 4 6 5 6 a a   = r b b 2 0.Пусть r − рациональное число и 0  a  b, тогда a r  b r при r  0 и a r  b r при r  0. r 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 11 17 36 125 36 125 36 3 125 6 5 3 =  =2 Примерф в2. 1    4  =      = 1  1 = тор ак  25   27   25   27  25 2 27 3 25 27 5 3 Задание 1. Представьтеп л 7 3b в виде степенирасп ы б и р мс рациональным показателем. и лн ед Заданиеэтом2. Представьте в видеп енкорня изразд ж ви д о р ичисла 71, 2 . елн 11 Заданиезак й3. Найдите значението н оч уп варчислового выраженияторгвы х1   25  −0, 5 − 1  17  3 4  .  27  1 1 а2 −b2 Дополнительные задания. Найдитеосб тизначение выраженияи ен сярз 1 ей щ ваю a4 +b 1 4 . 65

Оранжевая карточка Определение. Степеньюявлсьчисла а  0 с рациональнымп еспоказателем r = роц m , гдеком сая ерч n m–целое число,то лька n–натуральное ( n  1),услгназывается числоторгвы хn a m . Итак, поком сая ерч m n определению a = n a m . 5 1 Примертв сую ей озд 1. 7 4 = 4 7 ; 2 6 = 6 2 5 = 6 32 ; a − 7 15 = 15 a −7 . Свойства степеник яс рациональным показателем,св са ч ер м о ы зан я где r,s–рациональныекон йчисла, ы еч а  0,b  0 10. Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r  s следует что, a r  а s при а  1 и a r  a s при 0  a  1. Замечание. Прии еа  0 рациональная степеньэлем н а ск зы тчисла а неэлем н товопределяется. н 2 Пример 2. Сравнитеэто мчисла 5 8 и 2 3 . 3 5 2 2 3 8 = 5 2 3 = 2 5 и 2 3 по 10 получаем 2 3  2 5 , так как Заданиеотн ся1. Представьте 3 2 3  . 3 5 истепени с рациональнымп елн азд оставкпоказателем. a −2 в видер Задание 2. Представьтето хв виде корняозд гвы р ствуюиз числап ей ят91, 2 . и ред 19 8 Задание 3. Сравнитео щ ваю и ч есп б числа 3 и 3 . 7 3 Дополнительныето гвзадания. Найдите значениеком р саявыражения ерч 8 2 1 3 8 3 5  1 3 : 810,75 ; 3 100  ( 2 )    . 5 66

ПРИЛОЖЕНИЕк й3 ы еч он Степень с рациональнымэк есаяпоказателем. Подготовка к ЕГЭ ч и м он Типотли мурока: уроквн ы еьн ч ейформирования первоначальныхразд тр у ипредметных навыков,услговладения елн предметнымико уумениями. м еч н Цель: Успешная сдачар азд иитоговой аттестацииэлем елн тв форме ЕГЭаю н еоб и щ ви последующий выборп ч сп л ы б ри дисциплины какэлем тспециального предметад н осив будущей профессиональнойсп еятльн роа деятельности. Задачи: Образовательные: Организовать деятельностьзаку йучащихся поп н ч о п оизучению и осмыслениюп ставлн ред лпонятия ы б ри степениц еломс рациональным показателемзави от,при которомторгвсохраняются основныесоп см тя аю д рвж свойства степеней. Способствоватьо щ ваю и ч есп б формированию у учащихсясоп тяновых способовн аю д рвж утрей вдеятельности поп ес роц одновременному применениюо еч н м уксвойств корняси ыи степени в преобразованияхп тем ии оставлн ред вычислениях выражений. Организоватьакти юработу учащихсякон у вн ус материалами ЕГЭ. м еч Воспитательные: Способствоватьд сипривитию у учащихсяторгворганизованности, внимательности,торгв о еятльн настойчивости. Развивающие: Создать условияэто мдля развитияазд релн иу учащихся уменийэкон есаяформулировать проблемы,п ч и м тель звд рои сравнивать познавательныезаку йобъекты и выделятьрозн н ч о п йосновную мысль. ч и Приучатьп ятучащихся контролироватьп и ед р освою деятельность с целью оправданного ставлн ред использования рабочего времени при сдаче ЕГЭ. План урока. 1 Организационный этап. 67

Добрый день, дорогие друзья! Сегодня у нас необычный урок. К нам приехали в гости, уважаемые учителя математики. Но всё же я попрошу вас принять царственную осанку – спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица значительное, ведь вы сейчас знаете такое количество формул, которое не под силу даже царственным особам. А пока вы входите в образ, послушайте притчу. Притча: «Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку». И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению. Итак, вы успокоились. сосредоточились? Готовы работать? Сегодня вы будете проводить исследования, направленные на укрепление не только знаний по алгебре, но и здоровья. Для этого ответьте на вопрос: Как при таком объёме информации сохранить здоровье во время урока, накануне и во время экзамена? Правильная осанка, хорошее освещение, сбалансированное питание с витаминами и минералами, не волноваться, избегать стрессов. А чтобы на экзаменах у вас не было стресса, вы должны уже сейчас свободно выполнять задания из материалов ЕГЭ, уметь жёстко работать по времени, контролировать свою деятельность, уметь методом прикидки и минимальной подстановки выполнять проверку и тогда вы будете уверенными в себе. 2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. Итак! Посмотрите внимательно несколько секунд на рисунок, запомните. 68

Ответьте на мои вопросы: ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Перечислите все корни, которые вы видели В какой геометрической фигуре расположен 5 3 ? (в окружности) Какого цвета эта окружность? (синяя) Квадратный корень из какого числа находится в квадрате? (из 5) Какого цвета этот квадрат? (зелёного) В какой геометрической фигуре расположен корень кубический? (в треугольнике) Какого цвета этот треугольник? (красного) Молодцы! Вы хорошо справились с первым испытанием! Внимательность очень нужна на экзаменах. 1. С каким математическим понятием связаны слова: ОснованиеПоказатель (Степень) Какими словами можно объединить слова:Целое числоНатуральное число(Рациональное число) Сформулируйте тему урока. (Степень с рациональным показателем) 2. Какая наша стратегическая цель? (ЕГЭ)Какова цель нашего урока?– Продолжить работу над степенями с рациональным показателем. Задачи: – повторить свойства степеней и корней– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений– отработка вычислительных навыков. 3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний. 1. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями? Установите соответствие: При умножении А степеней с одинаковыми основаниями… 1 …основание остается прежним, а показатели перемножаются. При делении степеней Б с одинаковыми основаниями… 2 …равно единице При возведении В степени в степень… 3 … основание остается прежним, а показатели складываются. 69

При возведении Г произведения в степень … 4 …в эту степень возводят числитель и знаменатель и результаты делят. При возведении дроби Д в степень 5 …основание остается прежним, а показатели вычитаются. Любое число в нулевой Е степени… 6 … в эту степень возводят каждый множитель и результаты перемножают. ОТВЕТ 351642 Поменяться тетрадями и оценить работу соседа.(взаимопроверка) Свойства Корни Степени a0 = 1 a1 = a 70

Пока все выполняют задание на соответсвие, двое учащихся у доски: пишут свойства степеней с рациональным показателем свойства корней с натуральным показателем. Знание теории и формул не достаточно для успешной сдачи ЕГЭ. Но вы справились и со вторым испытанием: знание необходимого материала на ЕГЭ по теме. Аристотель сказал: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знание на деле.» Так вот и мы с вами перейдём от слов к делу. 4 Отработка знаний умений и навыков. Сейчас, мы проведём эксперимент – сколько баллов можно набрать за 5 минут. Цель: Организовать работу с материалами ЕГЭ по теме «Корни n–ой степени»Содействовать развитию умения жестко работать во времени и контролировать свою деятельность с целью подготовки к сдачи ЕГЭ. (1 мин)– 1балл А1 Упростить выражение а) m5 б) m–5 в) m–15 (2 мин)– 2балла А2 Вычислить а) 5,2 б) 2,4 в) 2 а) 2 В1 Вычислить б) 0,5 в) На работу отводится только 5мин. За это время вы можете выполнить 2–3 задания по выбору. Оценка соответствует количеству набранных баллов. Сосредоточься! (4 мин)– 3балла А3 Вычислить Внимание! 1,2 (4 1. Начинай с просмотра всего теста, оцени объективные и субъективные трудности заданий, сделай разумный выбор. 2. При выполнении заданий разделов А и В 71

В2 Вычислить мин)– 4балла расписывать решения нет необходимости. (4 мин)– 4балла 3. Методом прикидки и минимальной подстановки выполни проверку задания сразу после решения.Помни о жестком регламенте времени. С1Найдите значение (4мин)– 5баллов выражения Торопись не спеша! Самопроверка.А теперь проверим и проанализируем с чем вы справились, а над чем надо поработать? А1 А2 А3 В1 В2 С1 Б) m–5 Б)2,4 Б)0,5 2 2 3 Вот вы справились и с третьим испытанием– работа по времени и контроль своей деятельности. Динамическая пауза 1. Упражнение на релаксацию Принять удобное положение. Расслабиться. Закрыть глаза и представить большой белый экран. Мысленно раскрасить этот экран любимым цветом. Получается ровно, красиво, радует глаз, залюбуешься. Раз, два, три – открыли глаза. Каким цветом был ваш экран? 2. Упражнение на сосредоточение внимания – «пальчики» Одновременно под счёт пальчиками левой и правой руки касаться большого пальца. 72

. Работа в парах. Цель: научиться применять умения преобразовывать выражения, содержащие степени с рациональным показателем. Сократите дробь Используйте свои навыки тождественных преобразований выражений, свойства степеней с рациональным показателем, формулы сокращенного умножения. Старайтесь лаконично и обоснованно рассказать решение примера своему партнеру. Ваша цель – добиться, чтобы партнер знал ход Ваших преобразований при решении задачи. Выслушайте решение задачи своего партнера. Поблагодарите друг друга. Резерв: Заполните пропуски. Знание формул сокращённого умножения.а) х – 2х = … * (х – …) 73

б) 6 – 2... = 2 * (… –2 ) в) а – b = (а + b ) * (… – …) г) а + b = (… + …) *(а – а b + b ) Ответы а) х – 2х = х б) 6 * (х – 2) – 2... = 2 * (3 –2 ) в) а – b = (а + b ) * (а –b ) г) а + b = (а + b ) *(а – а b + b ) 2 задания– «3» 3задания– «4» 4задания– «5» Взаимопроверка. Какие витамины и минералы необходимы человеку, чтобы быть здоровым? Давайте вычислим суточную потребность организма в витаминах В1, В2 , Fe, в миллиграммах. Выполнение заданий по рядам. 1 ряд 2 ряд 3 ряд 74

0,09*(9)2 * ОТВЕТЫ на слайде, самопроверка 1 рядВ1 = 1,8 мг 2 ряд В2 =1,5 мг 3 ряд Fe=0,81 мг Дефицит витамина В1 может привести к нарушению обмена углеводов. Витамин В2 отвечает за состояние зрения, он необходим для построения защитного слоя сетчатки. Дефицит железа сказывается на росте и устойчивости к инфекциям. От железа зависит построение гемоглобина – переносчика кислорода ко всем органам. 5. Этап закрепления и осмысления изученного материала. Дифференцированная работа с модульными карточками 5 минДанная тема также используется на ЕГЭ, я подобрала вам задания из материалов ЕГЭ.Каждый учащийся работают самостоятельно с модульной карточкой 1,2,3 уровня, выбрав по силам задания. Выполненные задания проверяет и оценивает учитель. МК Цель: Закрепить ваши знания по данной теме с помощью выполнения упражнений на упрощение выражений, содержащих степени с рациональным показателем. 1 уровень 75

Упростите и Рекомендации выберите вариант 1. Решайте самостоятельно варианты упражнений правильного ответа из ЕГЭ, выберите вариант правильного ответа и отметьте в карточке. 2. :1. а) у2,5; б) у ; Если в записи примера есть как степени с в) у. рациональным показателем, так и корни n–й степени, то запишите корни n–й степени в виде степеней с рациональным показателем. 3. Постарайтесь упростить выражение, над которым 2. выполняются действия: раскрытие скобок, переход от степени с отрицательным показателем к выражению, содержащему степени с 2,5 2 положительным показателем. а) x ; б) x ; в) x . 4. При затруднении Вы можете обратиться к учителю. 5. Выполненные задания проверяет и оценивает учитель МК Цель: Закрепить ваши знания по данной теме с помощью выполнения упражнений на вычисление, упрощение выражений, содержащих степени с рациональным показателем используя определение и свойства степени. 2 уровень Упростите и выберите вариант правильного ответа : Рекомендации 1. ( а0,4) *а0,8; а) а1,6; б) а; в) а 1. Решайте самостоятельно варианты упражнений из ЕГЭ, выберите вариант правильного ответа и отметьте в карточке. 2. Если в записи примера есть как степени 76

2. а) б) в) г) с рациональным показателем, так и корни n–й степени, то запишите корни n–й степени в виде степеней с рациональным показателем. 3. Постарайтесь упростить выражение, над которым выполняются действия: раскрытие скобок, переход от степени с отрицательным показателем к выражению, содержащему степени с положительным показателем. 4. При затруднении Вы можете обратиться к учителю. 5. Выполненные задания проверяет и оценивает учитель. МК Цель: Закрепить ваши знания по данной теме с помощью выполнения упражнений на вычисление, упрощение выражений, содержащих степени с рациональным показателем используя определение и свойства степени. 3 уровень Разложите на множители Рекомендации 1. Упростите 2. 1. Решайте самостоятельно варианты упражнений из ЕГЭ 2. Если в записи примера есть как степени с рациональным показателем, так и корни n–й степени, то запишите корни n–й степени в виде степеней с рациональным показателем. 3. Постарайтесь упростить выражение, над которым выполняются действия: раскрытие скобок, переход от 77

степени с отрицательным показателем к выражению, содержащему степени с положительным показателем. 4. При затруднении Вы можете обратиться к учителю. 5. Выполненные задания проверяет и оценивает учитель. 1 уровень 2 уровень 1b 1б 2b 2b Резерв: 6.Этап информирования и инструктажа домашнего задания 1.В учебнике на стр.219 повторить свойства степеней с рациональным показателем и на стр. 220 самостоятельно разобрать свойства 6,7. 2. Работать по карточкам (внимательно читать рекомендации). Карточка № 1 Цель: закрепить навык преобразования выражений, содержащих рациональные степени, пользуясь формулами сокращенного умножения. Вспомните определение степени с рациональным показателем и формулы сокращенного умножения. Рассмотрите пример 4 на стр.220 учебника под ред. А.Н.Колмогорова. Выполните письменную работу. 78

Упростить выражение: Корректирующий вариант 1 2 5− x 25 − x а) б) 1 2 6+ x 36 − x x + y + 2 xy x− y а + в − 2 ав а−в 1− x в) 1+ x 1 5 1 10 1 30 + (1+х ) (1 – х 1 30 +х 1 15 1− x ) 1− x 1 6 1 36 1 12 + (1–х ) (1+х 1 36 +х 1 18 ) Желаю успеха! ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––– Карточка № 2 Цель: закрепить навык сравнения чисел, представленных в виде степени с рациональным показателем. Вспомните свойства степени с рациональным показателем. Рассмотрите примеры 5, 6 на стр. 221 учебника под ред. А.Н. Колмогорова. Выполните письменную работу. Сравните числа: Корректирующий вариант а) 7 24 и 2 2 3 8 5 7 и 5 3 4 79

б) ( 3 ) − 5 6 и 3 3 −1 1 3 1 2 ( ) в) 3 600 и 5 400 7 30 − 5 7 и и 3 2 × 2 14 4 40 Желаю успеха! 7. Этап подведение итогов занятияВернемся к целям урока, которые себе поставили. Давайте отметим то, что у нас получилось из намеченного. Что нового сегодня вы узнали? Молодцы, вы активно работали на разных этапах занятия.Ответы достаточно аргументированы, оперировали понятиями, сочетая теоретические знания с практическими, активно вносили поправки. _____________работали особенно старательно. 8 Этап рефлексии: Что я усвоил для себя: Зелёный цвет– всё получилось, я спокоен за себя при сдаче ЕГЭ; Жёлтый цвет– есть небольшие пробелы, но я с ними справлюсь; Красный цвет– я ничего не понимаю и очень боюсь сдавать ЕГЭ. Из ТРЁХ ЦВЕТОВ БУМАГИ выберите, пожалуйста, тот, который лучше всего отражает ваше внутреннее состояние и с помощью которой вы могли бы рассказать нам о своем настроении, о своем самочувствии и о степени своей удовлетворенности, готовности по данной теме к ЕГЭ. Наклейте, пожалуйста, выбранные вами листочки с соответствующим цветом на куб. Итак, что у нас с вами получилось? Куб должен быть одного цвета в том случае. если всё у вас уже получается, но он разных цветов – есть ещё над чем работать. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их (Д. Пойа) Урок закончен. Спасибо за урок! 80

Оценочный лист № 1 2 3 4 Задания «2» Установите соответствие «5»– 6 заданий «4»– 5 заданий «3»– 3–4 задания Или Работа у доски на знание теории Эксперимент – сколько баллов можно набрать за 5 минут. Кол–во баллов соответствуют оценке Заполните пропуски. (Знание формул сокращённого умножения.) «5»– 4 задания «4»– 3 задания «3»– 2 задания Вычисление суточной потребности организма в витаминах В1, В2 , Fe, в миллиграммах. (Ф.И.) «3» «4» «5» «5»–выполнил задание 5 Дифференцированная работа с 81

модульными карточками 5 мин (оценивает учитель) Оценка за урок 82

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв