Методика изучения тригонометрии в условиях реализации федерального государственного образовательного стандарта в школе

Саломахина Д.С.

Методика изучения тригонометрии в условиях реализации федерального государственного образовательного стандарта в школе

44.03.01 Педагогическое образование, профиль Математика

Народное образование. Педагогика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b8885557966e1073081b853

UUID: ed2a0330-8ede-0136-b716-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: почти 6 лет назад

Просмотры: 165

Саломахина Д.С.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 950,4 КБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ( Н И У « Б е л Г У » ) ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В УСЛОВИЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА В ШКОЛЕ Выпускная квалификационная работа обучающегося по направлению подготовки 44.03.01 Педагогическое образование, профиль Математика очной формы обучения, группы 02041302 Саломахиной Дарьи Сергеевны Научный руководитель к. п. н., доцент Цецорина Т.А. БЕЛГОРОД 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ……………………………………………..………………….3 ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВ ТРИГОНОМЕТРИИ…………………….............................................................6 1.1. Особенности обучения математике в условиях реализации Федерального государственного образовательного стандарта………………...6 1.2. Основные тригонометрические соотношения……………..……..11 1.3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного…………………………………………..….20 ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ…………………………………….27 2.1. Разработка урока на тему: «Применение тригонометрических формул для решения уравнений»………………………………………………27 2.2. Разработка урока по требованиям Федерального государственного образовательного стандарта на тему: «Применение тригонометрических формул для решения уравнений»………………………………………………34 2.3. Отличия традиционного урока от урока по требованиям Федерального государственного образовательного стандарта ………………44 2.4. Система тренировочных упражнений по теме: «Тригонометрия»………………………………………………………………...49 ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….53 ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………...55

ВВЕДЕНИЕ В школьном курсе математики особое внимание уделяется разделу тригонометрии: сначала – в курсе геометрии, затем – в курсе алгебры и начал анализа, поэтому в заданиях ЕГЭ обязательным компонентом являются задания по тригонометрии. Большинство учеников допускает ошибки при решении тригонометрических уравнений, тем самым показывая, свои неумения использовать формулы и возникают проблемы с отбором корней на заданном промежутке. Основная задача преподавателя – научить ребенка решать задания, а не заполнять ячейки памяти формулами. В связи с этим необходимо пересмотреть методику преподавания тригонометрии в школе. В школьном курсе алгебры и начал анализа в учебниках для общеобразовательных уравнения» можно учреждений выделить по несколько теме: «Тригонометрические видов тригонометрических уравнений: 1. Уравнения, в процессе которых используются основные свойства тригонометрических функций. 2. Простейшие тригонометрические уравнения. 3. Однородные уравнения. 4. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям. Из выше изложенного следует проблема исследования, которая заключается в рассмотрении методики преподавания и теоретических основ тригонометрии в условиях реализации Федерального государственного образовательного стандарта в школе (ФГОС). Объект исследования – процесс изучения тригонометрии в школьном курсе математики в условиях ФГОС. 3

Предмет исследования – методика изучения тригонометрии в школьном курсе математики. Цель исследования – на основе анализа учебной, научной и методической литературы связанные изучением с традиционной формой выявить основные теоретические аспекты, тригонометрии; проведения урока установить и разницу проведением между урока по требованиям ФГОС. Для достижения цели были поставлены следующие задачи исследования: 1. Изучить школьные учебники и методическую литературу по данной теме. 2. Разработать урок изучения нового материала по стандартам ФГОС по теме «Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений» (10 класс). 3. Выявить достоинства и недостатки традиционной формы проведения урока и проведением урока по стандартам ФГОС. 4. Разработать систему тренировочных упражнений для 10 – 11 класса при подготовке к ЕГЭ по теме: «Тригонометрия». Методы исследования: 1.Общелогические методы: анализ, синтез, обобщение, сравнение, моделирование, проектирование. 2. Педагогические методы (экспериментальная работы, наблюдение). Практической значимостью работы является то, что она может использоваться учителем при планировании и проведении уроков по тригонометрии. Структура выпускной квалификационной работы. Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и литературы. Во введении обосновывается актуальность проблемы; задачи; методы исследования; практическая значимость исследования. 4

В первой главе раскрывается значимость ФГОС в развитии школьников; рассмотрена методика преподавания тригонометрии в школьном курсе математики. Во второй главе представлены разработки уроков; представлена разница между традиционной формой проведения урока и проведением урока по ФГОС. В заключении даны общие выводы исследования. 5

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВ ТРИГОНОМЕТРИИ Особенности обучения математике в условиях реализации 1.1. Федерального государственного образовательного стандарта С момента введения новых федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) изменился процесс обучения детей и в корне поменялся подход к воспитательному процессу школьников. Учебных процесс по требованиям ФГОС сильно отличается от былых подходов. Сейчас учебный процесс направлен не на достижение результатов в области предметных знаний, а на развитие в ребенке самостоятельности, умение адекватно анализировать и оценивать ситуации, развить в ребенке стремление к самообразованию. Стандарт, разработанный в русле системно – деятельностного подхода, совмещает в себе теоретические и практические знания, но огромное внимание уделяется именно практической части учебного процесса без ущерба для фундаментальных знаний[24]. Способность учиться поддерживается формированием универсальных учебных действий, определение и которое постановка включает целей, в поиск себя создание эффективных мотивации, методов их достижения. Раньше главным действующим лицом учебного процесса был учитель, он доносил всю информацию до учащихся. Но с момента введения новых федеральных государственных общеобразовательных стандартов ученик самостоятельно добивается делаемых результатов посредством поиска, освоения и хранения информации, а в дальнейшем использование полученных знаний. Учитель перестает быть главным действующим лицом в учебном процессе, он становится наблюдателем, старшим помощником, способным в нужный момент поддержать, подсказать, направить. 6

Термин «универсальные учебные действия» означает способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. Формирование УУД в образовательном процессе определяется тремя взаимодополняющими положениями: 1. Определяет содержание и организацию учебного процесса. 2. Формирование УУД происходит в контексте усвоения разных предметных дисциплин. 3. УУД, их свойства и качества определяют эффективность образовательного процесса, в том числе усвоения знаний и умений, формирование образа мира и основных видов компетентности учащегося, в том числе социальной и личностной[24]. Также главным условием реализации ФГОС нового поколения является организация внеурочной деятельности в школе. Внеурочная работа – это хорошая возможность для организации межличностных отношений в классе, между обучающимися и классным руководителем с целью создания ученического коллектива и органов ученического самоуправления. Главной целью внеурочной деятельности является создание условий для развития и проявления своих интересов на основе свободного выбора. Внеурочная деятельность организована по различным направлениям: 1. Спортивно – оздоровительное; 2. Духовно нравственное (патриотическое); 3. Социальное (общественно – полезная деятельность); 4. Общекультурное (художественно - эстетическое). Так, например, в МБОУ СОШ №13 города Белгорода организована внеурочная деятельность по всем направлениям среди 5-6 классов: факультатив «Наглядная геометрия», факультатив «Русская словесность», секция «Мир спортивных игр», факультатив «Белгородоведение», кружок «Мой инструмент - компьютер» и другие. 7

Факультатив «Наглядная геометрия» позволяет познакомить детей с азами геометрии. Цели курса «Наглядная геометрия»: - развитие пространственных представлений, образного мышления, изобразительно графических умений, приемов конструктивной деятельности; развитие - умений преодолевать трудности при решении математических задач; - формирование геометрической интуиции, познавательного интереса учащихся, развитие глазомера, памяти обучение правильной геометрической речи; - формирование логического и абстрактного мышления, формирование качеств личности (ответственность, добросовестность, дисциплинированность, аккуратность, усидчивость) [24]. Задачи курса «Наглядная геометрия»: 1. Вооружить учащихся определенным объемом геометрических знаний и умений, необходимых им для нормального восприятия окружающей деятельности. 2. Познакомить учащихся с геометрическими фигурами и понятиями на уровне представлений. 3. Изучение свойств на уровне практических исследований, применение полученных знаний при решении различных задач. Основными приемами решения задач являются: наблюдение, конструирование, эксперимент. Развитие логического мышления учащихся строения курса, которое, в основном, соответствует логике систематического курса, а во-вторых, при решении соответствующих задач, как правило, “в картинках”. На занятиях наглядной геометрии предусмотрено решение интересных головоломок, занимательных задач, бумажных геометрических игр и т.п. Этот курс поможет развить у ребят смекалку и находчивость при решении задач[17]. 8

Приобретение новых знаний учащимися осуществляется в основном в ходе их самостоятельной деятельности. Среди задачного и теоретического материала акцент делается на упражнения, развивающие “геометрическую зоркость”, интуицию и воображение учащихся. Уровень сложности задач таков, чтобы их решения были доступны большинству учащихся[17]. Факультатив «Белгородоведение» позволяет школьникам изучить историю своего родного города, организовывают экскурсии по знаменитым местам города Белгорода, посещение музеев. В секции «Мир спортивных игр» дети играют в различные подвижные игры, изучают биографию знаменитых спортсменов. Внеурочная деятельность имеет множество плюсов: 1. Внеурочная деятельность является бесплатной; 2. Проводится в свободное время от учебы; 3. Дополнительные курсы выбирает сам ребенок и его родители; 4. Позволяет ребенку раскрыть свои способности и усовершенствовать их. Также внедрение федерального государственного общеобразовательного стандарта имеет свои достоинства и недостатки[24]. Достоинства ФГОСа: 1. Проектная деятельность по каждой дисциплине с 1 класса; 2. Применение деятельностного подхода в процессе обучения; 3. Отсутствует авторитарный метод обучения, направляет учащихся с помощью логических вопросов на новые знания; 4. Внеурочная деятельность; 5. Широкое использование ИКТ. Недостатки ФГОСа: 1. Недостаточная оснащенность кабинетов; 2. Некоторым преподавателям тяжело перестроиться от авторитарного метода обучения к деятельностному подходу. 9

Из выше изложенного можно сделать вывод, что введение федерального государственного общеобразовательного стандарта имеет множество преимуществ. Главная задача состоит в том, чтобы правильно организовать учебный процесс, тогда внедрение ФГОСа сможет стать настоящим прорывом. Эта задача ложится на плечи учителей, они смогут поэтапно внедрить ФГОС и избавиться от недостатков[24]. 10

1.2. Основные тригонометрические соотношения 1.1.1. Основные формулы для sin α и cos α Теорема 1: для любого угла α справедливо равенство sin2α + cos2α = 1. Данное равенство называется основным тригонометрическим уравнением. Доказательство. Известно, что окружность с центром в начале координат и радиусом равному единице имеет уравнение x2 + y2 = 1. Из определения синуса и косинуса угла α следует, что точка A(x;y), которая принадлежит данной окружности и соответствующая углу α, имеет координаты x=cos α, y=sin α, удовлетворяющие уравнению x2 + y2 = 1. Если мы подставим данные значения в уравнение x2 + y2 = 1, то получим равенство sin2α + cos2α = 1. Теорема доказана[12, с.132]. Теорема 2: для любого угла α справедливы равенства cos (-α) = cos α, sin (-α) = - sin α. Доказательство. Точка А, соответствующая углу α, и точка В, соответствующая углу (-α), симметричны относительно оси Ox. Из этого следует, что абсциссы данных точек равны, а ординаты – противоположные числа. Следовательно, справедливы равенства cos (-α) = cos α, sin (-α) = - sin α. Теорема доказана[11, с.175]. Теорема 3: для любого угла α и любого целого числа m справедливы равенства sin ( α + 2πm) = sin α, cos ( α + 2πm) = cos α. 11

В дальнейшем при преобразовании выражений потребуются следующие формулы: sin ( π + α ) = - sin α, cos ( π + α ) = - cos α [7, с.321]. 1.1.2. Формулы для арксинуса и арккосинуса Справедливо равенство arcsin(-а) = - arcsin a для любого угла α (|α| Пусть α = arcsin α, тогда α [ 1). ] и sin α = a. Из свойства синуса угла sin (-α) = -sin α, следует, что sin (-α) = -α. Так как | - a | = | a | ≤ 1 и – α [- ], то по определению арксинуса числа мы имеем, что – α = arcsin ( - a). Из выше изложенного следует, что справедливо равенство arcsin ( - a) = - arcsin α. Справедливо равенство arcos (-a) = π - arccos a. Пусть α = arcos a, тогда α [0; π] и cos α = a. Так как | - а | = | а | ≤ 1 и π - α [0; π], то по определению арккосинуса числа имеем, что arcos (-a) = π - α. Из выше сказанного следует, что справедливо равенство arcos (-a) = π - arccos a. Справедливо равенство arcsin (sin α) = α для любого угла α Также справедливо равенство arccos (cos α) = α для любого угла α [- ]. [0; π] [7, с. 322]. 1.1.3. Основные формулы для tg α и ctg α Основными формулами для tg α являются следующие формулы: tg (-α) = - tg α, tg (α + πn) = tg α, 12

где n- любое целое число. Эти равенства верны не для всех углов, они верны только для тех углов, при которых правая и левая части имеют смысл. Для любых углов α, для которых существует tg α, имеет смысл и tg (-α), и tg (α + πm). Это справедливо для углов отличных от углов α= где l- любое целое число[7, с. 324]. Для доказательства справедливости равенства tg (-α) = - tg α и tg (α + πn) = tg α воспользуемся формулами для cos α и sin α. Имеем, что tg (-α) = = - tg α . Если n является четным = числом, то есть n=2m, где m- целое число, то tg (α + πn) = tg (α + 2πl) = = Если же n – нечетное число, то есть n=2m+1 где m tg (α + πn) = tg (α +π+ 2πl) = = = tg α . Z, то = tg α . = Следовательно, равенство tg (α + πn) = tg α доказано для любого целого числа n. Основными формулами для ctg α являются следующие формулы: ctg (-α) = - ctg α, ctg (α + πn) = ctg α, где n- любое целое число. Эти равенства верны не для всех углов, они верны только для тех углов, при которых правая и левая части имеют смысл[11, с.176]. 1.1.4.Формулы для арктангенса и арккотангенса Справедливо равенство arctg (- a) = - arctg a для любого действительного числа а. Пусть α = arctg a, то α ( - ; ) и tg α = a. Из свойства тангенса следует, что tg (- α) = - tg α, следовательно, tg (-α) = - a. 13

Так как α ( - ; ), то справедливо равенство, что arctg (- a)= - α. Справедливо равенство arcctg (- a) = π - arcctg a для любого действительного числа а. Пусть α = arcctg a, тогда α (0; π) и ctg α = a. Из свойства котангенса следует, что ctg (π - α) = - ctg α, следовательно, ctg (π - α) =а. Так как π - α Для (0; π), то справедливо равенство, что arcctg (- a) = π - α. любого угла α (- ; ) справедливо равенство arctg (tg α) = α. Это равенство следует из определения арктангенса. Для любого угла α (0; π) справедливо равенство arcctg ( ctg α) = α. Это равенство следует из определения арккотангенса[12, с.134]. Формулы сложения. 1.1.5. Косинус разности и косинус суммы двух углов. Теорема 1: справедливо равенство cos (α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ для любых углов α и β. Равенство cos (α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ формулируют так: косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго угла плюс произведение синуса первого угла на синус второго угла[12, с.135]. Теорема 2: справедливо равенство cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ для любых углов α и β. Равенство cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ формулируют так: косинус суммы двух углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго угла минус произведение синуса первого угла на синус второго угла[12, с.135]. 14

Доказательство. Для доказательства воспользуемся формулой косинуса разности двух углов и формулами для sin α и cos α. Получим, что cos (α + β) = cos (α - (- β)) = cos α cos (- β) + sin α sin (- β)= = cos α cos β - sin α sin β. Теорема доказана[7, с. 325]. 1.1.6. Формулы для дополнительных углов. Углы α и β, образующие в сумме угол, равный , называются дополнительными углами. Теорема: справедливы равенства cos ( - α ) = sin α, sin ( - α ) = cos α для любого угла α. Доказательство. Для доказательства воспользуемся формулой косинуса разности двух углов. Получим, что cos ( - α ) = cos cos α + sin = sin α. Таким образом доказали равенство cos ( Дальше докажем формулу sin ( выше формулу cos ( Обозначим β = sin β = cos ( sin α = 0 cos α + 1 sin α - α ) = sin α. - α ) = cos α, используя доказанную - α ) = sin α. - α, тогда по формуле cos ( - α ) = sin α следует, что - β ). Теперь, подставляя в формулу sin β = cos ( - α вместо β, получим формулу sin ( - β ) – α ) = cos α. Теорема доказана[11, с.178]. 15

1.1.7. Синус суммы и синус разности двух углов. Теорема 1: справедливо равенство sin ( α + β) = sin α cos β + cos α sin β для любых углов α и β. Равенство sin ( α + β) = sin α cos β + cos α sin β формулируют так: синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго. Доказательство. Для доказательства воспользуемся формулами для дополнительных углов и формулу косинуса разности двух углов. Получим, что sin (α + β) = cos ( - α - β) = cos (( - α) - β) = cos ( - α) cos β + sin ( - α) sin β = sin α cos β + cos α sin β. Теорема доказана[7, с.180]. Теорема 2: справедливо равенство sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β для любых углов α и β. Равенство sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β можно сформулировать так: синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго. Доказательство. Для доказательства воспользуемся формулой синуса суммы двух углов и формулами для sin α и cos α. Получим, что sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β. Теорема доказана[12, с.136]. 1.1.8. Сумма и разность синусов и косинусов. Теорема 1: справедливо равенство sin α + sin β = 2 sin cos для любых углов α и β. 16

Равенство sin α + sin β = 2 sin формулируют так: сумма cos синусов любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности [12, с.138]. Теорема 2: справедливо равенство sin α - sin β = 2 sin cos для любых углов α и β. Равенство sin α - sin β = 2 sin cos формулируют так: разность ьсинусов любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусумму[7, с.181]. Теорема 3: справедливо равенство cos α + cos β = 2 cos cos для любых углов α и β. Равенство cos α + cos β = 2 cos формулируют так: сумма cos косинусов любых двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности[7, с.181]. Теорема 4: справедливо равенство cos α - cos β = - 2 sin sin для любых углов α и β. Равенство cos α - cos β = - 2 sin формулируют так: sin разность косинусов любых двух углов равна взятому со знаком удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности. Доказательство теорем 1,2,3,4. Пусть x = ,y= , тогда α = x + y, β = x – y. Для доказательства воспользуемся формулами косинуса суммы, косинуса разности, синуса суммы и синуса разности. sin α + sin β = sin (x + y) + sin (x - y) = ( sin x cos y + cos x sin y) + + ( sin x cos y + cos x sin y) = 2 sin x cos y = 2 sin cos ; 17

sin α - sin β = sin (x + y) - sin (x - y) = 2 cos x sin y = 2 cos sin cos α + cos β =cos (x + y) + cos (x - y) = 2 cos x cos y = 2 cos cos ; ; cos α - cos β = cos (x + y) - cos (x - y) = - 2 sin x sin y = = - 2 sin sin . Теоремы доказаны[7, с.182]. 1.1.9. Формулы для двойных и половинных углов. Формулы двойного угла – это формулы, которые выражают тригонометрические функции угла 2 через тригонометрические функции угла Воспользуемся формулой синуса суммы: sin ( + β) = sin cosβ + cosα sinβ. Предположим, что в этой формуле β = α . sin (α + α) = sinα cosα + cosα sinα, следовательно, sin 2α = 2sinα cosα. Таким образом, мы получили формулу синуса двойного угла. Воспользуемся формулой косинуса суммы: cos (α + β) = cosα cosβ + sinα sinβ. Предположим, что в этой формуле β = α . cos (α + α) = cosα cosα + sinα sinα, следовательно, cos 2α = cos2α - sin2α. Таким образом, мы получили формулу косинуса двойного угла. Это одна из формул косинуса двойного угла. Имеется еще несколько формул. Они получаются путем преобразования с помощью основного тригонометрического тождества. Выразим cos2α из основного тригонометрического выражения: cos2α =1 - sin2α. Подставим данное равенство в формулу cos 2α = cos2α - sin2α. 18

Получим, что cos 2α = 1 - sin2α. Также мы можем выразить sin2α из основного тригонометрического выражения: sin2α = 1 - cos2α. Подставим данное равенство в формулу cos 2α = cos2α - sin2α. Получим, что cos 2α = 2cos2α - 1[12, с.140]. 1.1.10. Произведение синусов и косинусов. Теорема 1: для любых углов α и β справедливы равенства: sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α - β)); (1) cos α cos β = (cos (α + β) + cos (α - β)); (2) sin α sin β = (cos (α - β) - cos (α + β)). (3) Доказательство. Для доказательства воспользуемся формулами синусов и косинусов суммы и разности двух углов: sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α; sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α; (4) (5) cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β; (6) cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (7) Сложим почленно равенства (4) и (5), получим: sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β, следовательно, получаем справедливость равенства (1). Сложив почленно равенства (6) и (7), имеем: cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β, следовательно, получаем справедливость равенства (2). Вычитая почленно из равенства (7) равенство (6), имеем: cos (α - β) - cos (α + β) = 2 sin α sin β, следовательно, получаем справедливость равенства (3) [12, с.141] 19

1.3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного Чтобы решить уравнение методом замены неизвестного необходимо проделать несколько действий: Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной 1. из тригонометрических функций. Сделать замену неизвестного и обозначить буквой t (если 2. необходимо, то ввести ограничения на t). 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. 4. Сделать обратную замену. 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение[15, с.36]. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Решите уравнение 9cos2x + 7cosx∙sinx–1=0. Для того чтобы решить уравнение необходимо произвести некоторые преобразования. Для этого используем основное тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1. 9cos2 x + 7cos x ∙ sin x - sin2x - cos2x = 0 8cos2 x + 7cos x∙sin x - sin2x = 0 Разделим правую и левую часть уравнения на cos2x ≠ 0. Получим, 8 + 7tg x - tg2 x = 0 Введем новое неизвестное tg x = t. Получим квадратное уравнение: 8 + 7t - t2 = 0 t2 – 7t - 8 = 0 D = b2 – 4ac D = (-7)2 - 4∙1∙(-8) = 49 + 32 = 81 > 0 = =9 20

t1 = t1 = = -1 t2 = t2 = =8 Сделаем обратную замену. Получим, tg x = 8 tg x = -1 x = arctg 8 + πn, n x = arctg (-1) + πk, k Z x=Ответ: x = arctg 8 + πn, n x=- + πk, k + πk, k Z Z Z Z [1, с.121] Пример 2. Решите уравнение 8 - 4 sin2 x = sin 2x ctg x - 9 cos x ОДЗ: x ≠ 0 + πn , n Z Для того чтобы решить уравнение необходимо проделать некоторые преобразования. Для этого используем основное тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1 и формулой для двойного угла sin 2α = 2sinα∙cosα Получим, 8 - 4 sin2 x = 2 sin x cos x - 9 cos x 8 - 4 sin2 x - 2 cos2 x + 9 cos x = 0 8 - 4(1- cos2 x) - 2 cos2 x + 9 cos x = 0 8 – 4 + 4 cos2 x - 2 cos2 x + 9 cos x = 0 2 cos2 x + 9 cos x + 4 = 0 Введем новое неизвестное cos x = t , -1≤ t ≤ 1. Получим квадратное уравнение: 2t2 + 9t + 4 = 0 D = b2 - 4ac D = 92 - 4 2 4 = 81 - 32 = 49 > 0 = =7 t1 = t1 = = - 4 – не удовлетворяет условию -1≤ t ≤ 1 t2 = t2 = =21

Сделаем обратную замену. Получим, cos x = x = ± ( π - ) + 2πn , n x=± + 2πn , n Ответ: x = ± Z Z + 2πn , n Z [6, с. 357] Пример 3. Решите уравнение 6 cos2 x + 5 sin x - 7 = 0. Для решения уравнения используем основное тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1. 6 (1- sin2 x) + 5 sin x - 7 = 0 6 - 6 sin2 x + 5 sin x - 7 = 0 6 sin2 x - 5 sin x + 1 = 0 Введем замену неизвестного sin x = t. Получим квадратное уравнение: 6t2 - 5t + 1 = 0 D = b2 - 4ac D = (-5)2 - 4 6 1 = 25 - 24 = 1 > 0 = =1 t1 = t2 = t1 = t2 = = = Сделаем обратную замену. Получим, sin x = sin x = x = (-1)n arcsin + πn , n x = (-1)k arcsin + πk , k Z x = (-1)k Ответ: x = (-1)n arcsin + πn , n x = (-1)k + πk , k + πk , k Z Z Z; Z [10, с.186]. 22

Пример 4. Решите уравнение 6 sin2 x + sin x cos x - cos2 x = 2. Для решения уравнения используем основное тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1. 6 sin2 x + sin x cos x - cos2 x = 2 (sin2 x + cos2 x) 6 sin2 x + sin x cos x - cos2 x = 2 sin2 x + 2 cos2 x 6 sin2 x + sin x cos x - cos2 x - 2 sin2 x - 2 cos2 x = 0 4 sin2 x + sin x cos x - 3 cos2 x = 0 Разделим левую и правую части уравнения на cos2 x (cos x ≠ 0) 4 tg2 x + tg x - 3 = 0 Введем замену неизвестного tg x = t. Получим квадратное уравнение: 4t2 + t - 3 = 0 D = b2 - 4ac D = 12 - 4 4 (-3) = 1 + 48 = 49 > 0 = =7 t1 = t2 = t1 = = = -1 t2 = = Сделаем обратную замену. tg x = -1 x= πn , n Ответ: x = tg x = x = arctg + πk , k Z πn , n Z. Z; x = arctg + πk , k Z [6, с. 369]. Пример 5. Решите уравнение tg2 x - = 2,5 Введем замену неизвестного tg2 x = t. Получим квадратное уравнение: t- = 2,5 t(t - 1) - 1 = 2,5(t - 1) t2 - t - 1 = 2,5t - 2,5 23

t2 - t - 1 - 2,5t + 2,5 = 0 t2 - 3,5t + 1,5 = 0 D = b2 - 4ac D = (-3,5)2 - 4 ∙1∙1,5 = 12,25 - 6 = 6,25 > 0 = = 2,5 t1 = t2 = t1 = = t2 = = 3 Сделаем обратную замену. tg2 x = tg2 x = 3 tg x = tg x = x= arctg + πn , n Z x= x= arctg + πn , n Z x= Ответ: x = x= arctg + πn , n arctg + πk , k Z + πk , k Z Z + πk , k Z [14, с. 192]. Пример 6. Решите уравнение 5sin2x + 3sin x ∙ cos x - 4 = 0. Для того чтобы решить уравнение необходимо произвести некоторые преобразования. Для этого используем основное тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1. 5sin2x + 3sin x ∙ cos x - 4 (sin2x + cos2x) = 0 5sin2x + 3sin x ∙ cos x - 4sin2x - 4 cos2x = 0 sin2x + 3sin x ∙ cos x - 4 cos2x = 0 Разделим левую и правую части уравнения на cos2x (cos x ≠ 0). Получим, tg2 x + 3tg x - 4 = 0 Введем замену неизвестного tg x = t. Получим квадратное уравнение: t2 + 3t - 4 = 0 24

D = b2 - 4ac D = 32 - 4∙1∙(-4) = 9 + 16 = 25 > 0 = =5 t1 = t2 = t1 = = =-4 t2 = = 1 Сделаем обратную замену. tg x = - 4 tg x = 1 x = arctg (-4) + πn , n Z x = arctg 1 + πk , k x = – arctg 4 + πn , n Z x= Ответ: x = - arctg 4 + πn , n + πk , k x= + πk , k Z Z Z Z [6, с.401]. Пример 7. Решите уравнение 3tg2 x + = – 0,5 Введем новое неизвестное tg2 x = t. = – 0,5 3t + 3t(t - 1) + 1 = - 0,5(t - 1) 3t2 - 3t + 1 = - 0,5t + 0,5 3t2 - 3t + 1 + 0,5t - 0,5 = 0 3t2 - 2,5t + 0,5 = 0 D = b2 - 4ac D = ( -2,5)2 - 4∙3∙0,5 = 6,25 - 6 = 0,25 > 0 = = 0,5 t1 = t1 = t2 = = = t2 = = Сделаем обратную замену. tg2 x = tg2 x = 25

tg x = x= x= tg x = arctg + πn , n + πn , n Ответ: x = x= Z + πn , n arctg Z x= arctg + πk , k Z x= arctg + πk , k Z Z + πk , k Z [10, с.139]. 26

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ. 2.1. Разработка урока по теме: «Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений» План урока Тема урока: «Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений» Цели урока: Предметные: научить учащихся применять основные тригонометрические формула при решении уравнений. Личностные: формировать независимость суждений. Метапредметные: формировать умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать. Тип урока: урок изучения нового материала. Средства обучения: учебник Никольский С.М. «Алгебра и начала анализа» 10 класс, рабочая тетрадь, доска, мел. Методы обучения: объяснение с элементами рассказа, беседа, диалог с учащимися. Ход урока: 27

Этап 1 2 3 4 Содержание урока Организационный момент: Здравствуйте, дети! Присаживайтесь. Передайте тетради с выполненным домашним заданием на первый стол. Постановка целей и задач урока: 1. Вспомнить основные тригонометрические формул и алгоритм решения уравнений. 2. Научиться пользоваться тригонометрическими формулами для решения уравнений. 3. Развить логическое мышление, внимание и память. 4. Воспитать самостоятельность, точность и аккуратность. Актуализация опорных знаний: Ребята, давайте сначала вспомним, как решаются простейшие уравнения и, используя основные тригонометрические формулы, упростите выражение. Разделимся на 3 группы (1 ряд- 1 группа, 2 ряд-2 группа, 3 ряд- 3 группа). Решим задачи: 1 группа: а) x2 - 8x + 15 = 0 (Ответ: 3; 5); б) (sin a - 1)(sin a + 1) (Ответ: - cos2a). 2 группа: а) 4x2 - 4x + 1 = 0 (Ответ: 0,5); 2 2 б) sin a - 1 + cos a (Ответ: 0). 2 3 группа: а) 3x - 12 = 0 (Ответ: -2; 2); 2 2 б) sin a + tg a∙ ctg a + cos a (Ответ: 1). Объяснение нового материала: 1. Применение основного тригонометрического тождества. Пример 1. Решим уравнение 3sin x = 2 cos2 x. (1) 2 2 Применяя основное тригонометрическое тождество sin x + cos x = 1, перепишем уравнение (1) в виде Методы Средства Формы обучени обучения обучения я слово фронталь учителя ная слово учителя доска, мел, тетради фронталь ная беседа фронталь ная, группова я слово учебник, учителя, тетрадь, беседа доска, мел фронталь ная 28

2 sin2 x + 3 sin x - 2 = 0. (2) Введем новое неизвестное sin x = t, тогда уравнение (2) превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: 2t2 + 3t - 2 = 0. (3) Уравнение (3) имеет два корня t1 = и t2 = - 2. Поэтому множество всех решений уравнения (2), а значит и уравнение (1), есть объединение множеств всех решений уравнение: sin x = и sin x = - 2. Все решения первого из них состоят из двух серий: xm = + 2πm, m  Z; xn = + 2πn, n  Z. Второе уравнение не имеет решений, следовательно, все решения уравнения (1) состоят из двух серий: xm = + 2πm, m  Z; xn = + 2πn, n  Z. 2. Применение формул сложения. Пример 2. Решим уравнение sin 5x cos 3x = sin 3x cos 5x. (4) Перенеся все члены уравнения (4) в левую часть и применив формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение (4) в виде sin 2x = 0. (5) Все решения уравнение (5), а значит и уравнение (4), удовлетворяют условию 2xm = πm, m  Z. Следовательно, уравнение (4) имеет одну серию решений xm = m, m  Z. 3. Понижение кратности углов. В некоторых случаях при решении тригонометрических уравнений бывает удобно синусы и косинусы кратных углов выражать через синусы и косинусы самих углов. 29

Пример 3. Решим уравнение sin 2x cos x + 2 sin3 x = 1 (6) Применив формулу синуса двойного угла, перепишем уравнение (6) в виде 2 sin x (cos2 x + sin2 x) = 1. Применив основное тригонометрическое тождество, перепишем это уравнение в виде sin x = . (7) Уравнение (7), а значит и уравнение (6), имеет две серии решений: xm = + 2πm, m  Z; xn = + 2πn, n  Z. Пример 4. Решим уравнение cos 2x - sin x = 0. (8) Применив формулу косинуса двойного угла, перепишем уравнение (8) в виде 2 sin2 x + sin x - 1 = 0. (9) Введем новое неизвестное sin x = t, тогда уравнение (9) превращается в квадратное уравнение с неизвестным t: 2t2 + t - 1 = 0, имеющее корни t1 = - 1 и t2 = . Следовательно, множество всех решений уравнения (9) есть объединение множеств всех решений двух решений: sin x = - 1 и sin x = . Решая каждое из этих простейших тригонометрических уравнений, находим, что множество всех решений уравнения (9), а значит и уравнение (8), состоит из трех серий решений: xk = - + 2πk, k  Z; xm= + 2πm, m  Z; xn = + 2πn, n Z. 30

5 Закрепление изученного материала: № 11.15 (a, в) а) 2sin2 x = 3 cos x 2(1 - cos2 x) - 3 cos x = 0 2 - 2 cos2 x - 3 cos x = 0 2 cos2 x + 3 cos x - 2 = 0 Пусть cos x = t, -1 ≤ t ≤ 1 2t2 + 3t - 2 = 0 D = b2 – 4ac D = 32 - 4∙2∙(-2) = 9 +16 = 25, D > 0 t1 = t1 = = - 2 – не удовлетворяет условию -1 ≤ t ≤ 1 t2 = t2 = = диалог с учебник, учащим тетрадь, ися доска, мел фронталь ная cos x = x= x= arcos + 2πn, n Z + 2πn, n  Z Ответ: x = + 2πn, n Z. б) 2 cos2 x + 2 cos x + sin2 x = 0 2 cos2 x + 2 cos x + (1 - cos2 x) = 0 2 cos2 x + 2 cos x + 1 - cos2 x = 0 cos2 x + 2 cos x + 1 = 0 Пусть cos x = t, -1 ≤ t ≤ 1 t2 + 2t + 1 = 0 D = b2 – 4ac D = 22 - 4∙1∙(-1) = 4 - 4 = 0, D = 0 t= 31

t= =-1 cos x = - 1 x = π + 2πn, n  Z Ответ: x = π + 2πn, n Z. № 11.16 (а – г) а) sin 2x cos x – sin x cos 2x = 1 sin (2x – x) = 1 sin x = 1 x = + 2πn, n  Z Ответ: x = + 2πn, n Z. б) sin 3x cos x + sin x cos 3x = 0 sin (3x +x) = 0 sin 4x = 0 4x = πn, n  Z x = , n Z Ответ: x = , n  Z в) cos 5x cos 4x + sin 5x sin 4x = 1 cos (5x – 4x) = 1 cos x = 1 x = 2πn, n  Z Ответ: x = 2πn, n  Z г)cos 2x cos x –sin 2x sin x = -1 cos(2x + x) = -1 cos 3x = -1 3x = π + 2πn, n  Z x= , n Z 32

6 7 Ответ: x = , n Z Подведение итогов урока: - Что нового вы узнали на уроке? - Как вы считаете, мы достигли поставленных целей на сегодняшний урок? Сообщение д/ з: Откройте свои дневники и запишите домашнее задание: пересказать п. 11.3., выполнить №11.15(б), 11.16(д). 8 Определение перспектив: Как вы считаете, чем вы будете заниматься на следующем уроке? 9 Рефлексия: Выберите смайлик, который соответствует Вашему настроению в конце урока. Почему? диалог с учащим ися слово доска, учителя мел, дневник диалог с учащим ися диалог с учащим ися фронталь ная фронталь ная фронталь ная фронталь ная 33

2.2 . Разработка урока по стандартам Федерального государственного образовательного стандарта на тему: «Применение тригонометрических формул для решения уравнений» План урока Тема урока: «Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений». Класс: 10 Тип урока: урок изучения нового материала. Дидактическая цель: создать условия для формирования новой учебной информации. Цели по содержанию: Предметные: познакомить учащихся с применением основных тригонометрических формул при решении уравнений. Личностные: формировать умение соотносить полученный результат с поставленной целью, объективно оценивать труд одноклассников. Метапредметные: - регулятивные – умеют определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии; развивают монологическую речь; - познавательные – передают содержание в сжатом, выборочном или развернутом виде; - коммуникативные – умеют отстаивать точку зрения, аргументируя ее, подтверждая фактами. Задачи: - организовать деятельность обучающихся по изучению десятичных дробей; 34

- способствовать усвоению знаний об особенностях записи десятичных дробей; - развивать активную познавательную деятельность через работу с учебником, рабочей тетрадью, применение интерактивных заданий; - формировать интеллектуальные способности (умение анализировать, обобщать, сравнивать, классифицировать, делать выводы); - формировать опыт равноправного сотрудничества учителя и учащихся в процессе обучения; - стимулировать развитие познавательного интереса; - прививать умения коммуникации учащихся, умения провести оценку и самооценку. Планируемые результаты: учащиеся научаться применять основные тригонометрические формулы при решении уравнений. Методы: По источникам знаний: словесные, наглядные; По степени взаимодействия учитель-ученик: эвристическая беседа; Относительно дидактических задач: подготовка к восприятию; Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый. Оборудование: компьютер, доска, карточки, таблицы. 35

План проведения урока: Этапы урока 1. Организационный момент 2. Актуализация знаний и умений 3. Целеполагание и мотивация 4. Усвоение новых знаний и способов усвоения 5. Организация первичного закрепления 6. Физминутка 7. Самостоятельная работа, взаимопроверка самостоятельной работы 8. Подведение итогов урока 9. Информация о домашнем задании 10.Рефлексия Формируемые универсальные учебные действия учащихся Саморегуляция. Сравнение и анализ, наблюдение, проверка и опровержение правильности решения, быстрота реакции, прогнозирование Целеполагание, умение оценивать и прогнозировать Морально-этические стороны личности, эстетическое сознание, эрудиция, потребность познавать, самостоятельность, самоконтроль, самосознание Формирование целостного мировоззрения, развитие научной эстетики, прогнозирование и оценка, развитие математического аппарата, ценностно-смысловой компонент чтения Эстетическое восприятие, здоровьесбережение, саморегуляция Самоконтроль, стрессоустойчивость, саморегуляция, самооценка, прогнозирование, развитие морально-этических качеств личности Самооценка, развитие грамотной математической речи, стрессоустойчивость Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания Эмоциональное общение, рефлексия Ход урока: Этапы урока Задачи этапа Деятельность учителя 1. Организационн Создать благоприятн Проверьте ый психологический уроку. ый момент настрой на работу готовность Деятельность Формируемые учащихся УУД к Проверяют наличие Коммутативные всего необходимого для УУД – уметь работы на уроке, совместно 36

Приветствие. аккуратность Ты пришел сюда учиться, расположения Не лениться, а трудиться! предметов. Только тот, кто много знает, в жизни что-то достигает. 2. Актуализация знаний и умений договариваться о правилах поведения и общения; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли Регулятивные УУД – уметь проговаривать последовательност ь действий на уроке. Актуализация Предлагает отгадать Дети получают слово Познавательные опорных знаний и ключевое слово в теме урока. тригонометрия. УУД – уметь способов действий ориентироваться в своей системе знаний, анализировать с целью выделения Устная работа (фронтальная признаков. работа с классом). Учащиеся записывают Коммуникативн 1) Какие простейшие ответы. ые УУД – уметь тригонометрические оформлять свои уравнения вы знаете? (sin мысли в устной x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a) форме, слушать и 2) Решите уравнение: 37

а) 3x - 5 = 7 (Ответ: 4); б) x2 - 8x + 15 = 0 (Ответ: 3; 5); в) 4x2 - 4x + 1 = 0 (Ответ: 0,5); г) 3x2 - 12 = 0 (Ответ: -2 ; 2). 3) Используя основные тригонометрические формулы, упростите выражение: а) (sin a - 1)(sin a + 1) Ответ: - cos2a; б) sin2a - 1 +cos2a Ответ: 0; в) sin2a + tg a ∙ ctg a + cos2a Ответ: 1 понимать речь других. Регулятивные УУД – умение взаимодействоват ь в учебной деятельности. Осмысление. Обмениваются тетрадями и проверяют свои ответы под диктовку учителя. Оценивают себя - Как вы считаете, чем мы - Научимся применять займемся на сегодняшнем основные уроке? тригонометрические формулы к решению уравнений. 38

3. Целеполагание и мотивация Обеспечение мотивации учения детьми, принятия ими целей урока Тема урока «Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений». Записывают тему урока в тетрадь «Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений». Познавательные УУД - принимают познавательную цель, сохраняют ее при выполнении учебных действий, 1)вспомнить основные Коммуникативн Попробуйте сформулировать тригонометрические ые УУД – уметь задачи, которые помогут формулы; оформлять свои достичь цели урока? Чему 2)научиться решать мысли в устной должны научиться? тригонометрические форме, слушать и уравнения; понимать речь 3) закрепить навыки других решения Регулятивные тригонометрических УУД – уравнений. регулируют весь процесс выполнения учебной цели и четко выполняют требования познавательных задач. 39

Обеспечение 4. Усвоение новых знаний и восприятия, осмысления и способов первичного усвоения запоминания детьми изучаемой темы: десятичная запись дробных чисел. Соотнесите №11.15(а, в) , Работа с учебниками в Познавательные 11.16(а - г) с парах. УУД- сохраняют задачами, которые вы сформу познавательную лировали для себя, а поможет цель при вам в этом таблица. выполнении Распределите номера из учебных действий, учебника в таблице. работать с Ребята, что у вас текстом, находя получилось? нужную информацию. Коммуникативн Обсуждение вопросов. ые УУД – уметь 2 2 1) Какой формулой нужно sin a + cos a = 1. оформлять свои воспользоваться для решения мысли в устной №11.15? форме, слушать и 2) Какими формулами нужно sin (α - β) = sin α cos β - понимать речь воспользоваться, что - cos α sin β – синус других, уметь выполнить №11.16? разности двух углов; работать в sin ( α + β) = sin α cos β+ группах и парами. + cos α sin β – синус Регулятивные суммы двух углов; УУД – cos (α + β) = cosα cosβ + регулируют весь +sinα sinβ – косинус усвоения новых суммы двух углов; знаний и четко cos (α - β) = cosα cosβ + выполняют +sinα sinβ – косинус требования разности двух углов. познавательных задач. Понимают информацию, 40

представленную в виде текста, алгоритма. Оценивать свою работу. 5. Физкультмину тка Физкультурная минутка. 6. Организация первичного закрепления материала Установление правильности и осознанности изучения темы «Применение основные тригонометрических формул к решению уравнений». Выявление пробелов первичного осмысления изученного материал, коррекция выявленных пробелов. Дети выполняют движения. Учитель предлагает выполнить работу по вариантам: 1 вариант 2 cos2х + 5 sin х - 4=0 Ответ: (-1)k + πk, k Z 2 вариант 3 sin x - 2 cos2x =0 Ответ: (-1)k + πk, k  Z По одному представителю от каждого варианта выполняют задание на обратной стороне доски. Познавательные УУД - сохраняют познавательную цель при выполнении учебных действий, Коммуникативн ые УУД – уметь Оценивают работу оформлять свои одноклассников. мысли в устной форме, слушать и понимать речь других, работать в группе. Регулятивные УУД – регулируют весь усвоения новых знаний и четко выполняют требования 41

7. Самостоятельн ая работа, взаимопроверка самостоятельной работы 8. Подведение итогов урока Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков. С какого номера выполнять задания? №11.15(а,в). а) + 2πn, n Z; в) π + 2πn, n Z. №11.16(а - г). а) + 2πn, n Z; познавательных задач; обмениваться знаниями между собой; оценивать свою работу. начнем Познавательные УУД - сохраняют познавательную Выполняют задания в цель при тетрадях. Учащийся выполнении выполняет работу на учебных действий. боковой доске. Коммуникативн ые УУД – уметь оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других. б) , n  Z; в) 2πn, n  Z; г) + , n  Z. Дать качественную - Что изучали сегодня на -Применение основных Регулятивные оценку работы класса уроке? тригонометрических УУД и отдельных формул для решения структурируют обучаемых уравнений. знания. - Что нужно сделать для того, -Привести уравнение к чтобы решить одной переменной. тригонометрическое 42

9.Рефлексия 10. Информация о домашнем задании уравнение? - Научились ли вы решать уравнения? -Да. Инициировать Выберите смайлик, который Дети выбирают Регулятивные рефлексию детей по соответствует вашему смайлик. УУД - умение поводу настроению в конце урока. оценивать психоэмоциональног Почему? правильность о состояния, выполнения мотивации, их действия на уроке. собственной Личностные УУД деятельности и - умение оценить взаимодействия с свои знания и учителем и другими возможности. детьми в классе. Обеспечение Разобрать п. 11.3., выполнить Записывают д/з в понимания детьми на «3» - №11.15(б) дневник. цели, содержания и на «4» - №11.15(б), 11.16(д) способов выполнения на «5» - №11.15(б, г), 11.16(д) домашнего задания. 43

2.1. Главной Отличия традиционного урока от урока по ФГОС особенностью федерального государственного образовательного стандарта является деятельностный подход, который ставит главной задачей развитие личности. Современное образование переходит от традиционной формы проведения урока к уроку по стандартам ФГОС. Через формирование универсальных учебных действий обеспечивается развитие личности школьника. С помощью овладения учащимися универсальных учебных действий ребенок учится самостоятельно осваивать новые знания, умения. Можно сделать вывод, что универсальные учебные действия – это обобщенные действия, которые порождают у обучающихся широкую ориентация на познание и мотивацию к процессу обучения. Для того чтобы знания обучающихся были результатом их собственных поисков, необходимо организовать, помогать, управлять, развивать их познавательную деятельность. Поэтому в школах вводят новую образовательную программу. Цель программы: создать все условия для развития и воспитания ребенка в соответствии с требования ФГОС в общеобразовательных учреждениях. На сегодня по-прежнему в школе основной формой обучения остается традиционный урок, так как человеку, проработавшему много лет в школе, тяжело перестроиться на новые требования к Также изменяются технологии информационно-коммуникационных учебному процессу. обучения, происходит внедрение технологий (ИКТ), позволяет что значительно расширить образовательные рамки в общеобразовательном учреждении. Главное отличие современного подхода – это ориентация стандартов на результаты освоения основных образовательных программ. Результатом являются не только предметные знания, но и умение применять эти знания в 44

практической деятельности. Образованные, высоконравственные, предприимчивые люди сейчас очень нужны обществу, которые могут: 1. анализировать свои действия и поступки; 2. самостоятельно принимать решения; 3. отличаться высокой мобильностью; 4. быть способными к совместной деятельности; Что же появляется нового в современном уроке по стандартам основного федерального государственного стандарта? Стали часто организовываться групповые и индивидуальные формы проведения урока. Постепенно происходит смена стиля общения между учителем и учащимся, преодолевается авторитарный стиль общения. Требования к современному уроку: 1. урок должен быть хорошо организован в укомплектованном кабинете; 2. урок должен иметь хорошее начало и хорошее окончание; 3. учитель должен спланировать урок, развести деятельность учителя и деятельность учащихся, четко сформулировать тему, цели, задачи урока; 4. урок должен быть проблемным и развивающим: происходит совместная деятельность учителя и учащихся; 5. по итогам проделанной работы ученики сами делают выводы; 6. максимальное проявления творчества и сотрудничества; 7. дети всегда находятся в центре внимания; 8. происходит обратная связь. В чем же все-таки отличие между традиционной формой проведения урока и урока, разработанного по стандартам федерального государственного образовательного стандарта? Происходят изменения в самом начале организации урока. Если раньше учитель сам сообщал учащимся тему урока, то сейчас все меняется. 45

Дети должны сами сообщать тему урока, а учитель должен только наталкивать наводящими вопросами или заданиями к осознанию темы урока. Такой же процесс происходит и с формулированием целей и задач на урок. Если раньше учитель сам формулировал цели и задачи урока, то сейчас дети сами формулируют цели и задачи на урок, определив границы знания и незнания, а учитель также является направляющим, помогает и поддерживает детей в течение урока. Также происходят изменения и в планировании урока. Раньше учитель сам сообщал учащимся, какую работу должны выполнить в течение урока, сейчас же учащиеся, отталкиваясь от целей и задач урока, должны сами правильно организовать урок, учитель только советует, помогает. Меняется практическая деятельность учащихся. Под руководством учителя учащиеся выполняют ряд практических задач и чаще всего применяются фронтальный метод организации деятельности учащегося. На современном уроке дети сами осуществляют учебные действия по учебному плану и тут уже применяются другие методы организации урока (групповые, индивидуальные методы обучения). Учитель консультирует. По-другому происходит процесс осуществления контроля и коррекции. В традиционной форме проведения урока учитель осуществлял контроль над процессом выполнения учащимися практической части, сейчас же ученики сами осуществляют контроль (применяют формы самоконтроля и взаимопроверки), учитель консультирует. Также происходит процесс коррекции. Учащиеся сами формулируют затруднения и осуществляют коррекцию самостоятельно, учитель консультирует, советует, помогает. В корне меняется процесс выставления отметок по окончании урока. Стандартно в конце урока учитель самостоятельно оценивал учащихся за работу на уроке. Сейчас же ученики сами оценивают себя по результатам проделанной работы, происходит процесс самооценивания, оценивание результатов деятельности товарищей. 46

Требование к Традиционный урок Урок по ФГОС уроку 1. Объявление темы Учитель сообщает учащимся Формулируют сами урока учащиеся (учитель подводит к осознанию темы) 2. Сообщение целей Учитель формулирует и Формулируют сами и задач сообщает учащиеся (учитель подводит к осознанию) 3. Планирование Учитель сообщает детям, Учащиеся сами какой объем работы должны планируют объем выполнить за урок работы (учитель помогает, советует) 4. Практическая Под руководством учителя Учащиеся деятельность учащиеся выполняют ряд осуществляют учебные учащихся практических заданий (чаще действия по всего на уроке применяется намеченному плану фронтальный метод (стали чаще организации деятельности) применяться групповые, индивидуальные методы организации деятельности), учитель консультирует 5. Осуществление Учитель контролирует Учащиеся сами контроля процесс выполнения задания осуществляют контроль учащимися (применяется взаимоконтроль и самоконтроль), учитель советует 6. Осуществление Учитель в ходе выполнения Учащиеся коррекции и по итогам работы осуществляют учащихся осуществляет коррекцию коррекцию самостоятельно, формулируют затруднения; учитель консультирует, советует, помогает 7. Оценивание По окончанию урока Учащиеся дают оценку учащихся учитель оценивает работу деятельности по ее учащихся на уроке результатам (самооценка, оценка товарищей), учитель консультирует 8. Итог урока Учитель выясняет у Проводится рефлексия 47

9. Домашнее задание учащихся, что они запомнили Учитель объявляет и Учащиеся могут объясняет (чаще всего одно выбирать задание из задание для всех) предположенных учителем с учетом индивидуальных возможностей 48

2.2. Система тренировочных упражнений по теме: «Тригонометрия» Упростите выражения Задания Ответы cos α cos α – cos 3α cos 4α sin 2α sin 5α 2 sin 2α sin α + cos 3α cos α sin (α – β) + sin (α + β) 2 sin α cos β sin (α – β) sin (α + β) sin2 α – sin2 β tg x – ctg x – 2 ctg 2x 1 – sin2 α (1 + ctg2 α) 0 sin β – cos β cos2 α – cos4 α + sin4 α sin2 α tg α tg β 2 sin (α + β) sin (α- β) + cos 2α cos 2β Решите задания, используя различные тригонометрические формулы Задания Ответы cos (- ) sin (45 ) cos ( ) 0 sin 660 sin 240 49

– cos arccos (– ) arcsin ( ) 1 tg 45 ctg arctg (– ) arcctg (– ) cos 105 sin 20 cos 10 + cos 20 sin 10 cos 80 sin 10 + sin 80 cos 10 1 sin 20 + sin 10 2 sin 15 cos 5 cos – cos sin sin cos cos sin cos 2 sin 2– tg tg (60 sin –2– 45 ) sin x = x = + 2πn, n Z cos x = x = + 2πn, n Z x=– + 2πk, k Z 50

2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0 x= x= 3 sin x = 2 cos2 x cos x + sin x = 0 3 sin2 x – 5 sin x cos x + 2cos2 x = 0 Z + 2πk, k x= sin2 x – sin x + 3 = 0 + 2πn, n Z + 2πm, m Z x = + 2πn, n Z + 2πn, n Z x = + 2πk, k Z x= x= + πn, n Z x = + πn, n Z x = arctg + πk, k sin2 x – 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0 x = + πn, n Z Z x = arctg 2 + πk, k sin x = - cos x x=– x= Z + πn, n Z + 2πn, n Z x = π – arctg + 2πk, k sin 2x = 2 sin x – cos x + 1 x = 2πn, n x= ctg x + tg 2x = 0 sin2 x – 2 sin x cos x – 3 cos2 x = 0 3 sin2 x + sin x = 2 Z + 2πk, k Z + 2πn, n Z x = + 2πk, k Z x = + πn, n Z x= x= Z + πn, n Z x = arctg + πn, n Z x = π – arctg + 2πk, k x=– + 2πm, m Z Z 51

2 sin x cos x – cos2 x = 0 x = + 2πn, n Z x = arctg + πk, k = 2 sin x – 2 = Z x= + 2πn, n Z x= +2πn, n Z x= + 2πk, k Z x= + 2πm, nm Z 52

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Тригонометрия является одной из важнейших составных частей школьного курса математики. Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрических уравнения в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, ведь эти знания будут необходимы обучающимся в ходе подготовке к единому государственному экзамену. Развитие навыков и умений решать тригонометрические уравнения требует значительных усилий со стороны учителя математики. Также с момента введения федерального государственного образовательного стандарта поменялся и сам процесс обучения детей. В своей работе мы выявили достоинства и недостатки введения ФГОС. Достоинства ФГОСа: 1. Проектная деятельность по каждой дисциплине с 1 класса; 2. Применение деятельностного подхода в процессе обучения; 3. Отсутствует авторитарный метод обучения, направляет учащихся с помощью логических вопросов на новые знания; 4. Внеурочная деятельность; 5. Широкое использование ИКТ. Недостатки ФГОСа: 1. Недостаточная оснащенность кабинетов; 2. Некоторым преподавателям тяжело перестроиться от авторитарного метода обучения к деятельностному подходу. И все же что появилось нового в современном уроке по стандартам основного федерального государственного стандарта? Стали часто организовываться групповые и индивидуальные формы проведения урока. 53

Постепенно происходит смена стиля общения между учителем и учащимся, преодолевается авторитарный стиль общения. Требования к современному уроку: 1. урок должен быть хорошо организован в укомплектованном кабинете; 2. урок должен иметь хорошее начало и хорошее окончание; 3. учитель должен спланировать урок, развести деятельность учителя и деятельность учащихся, четко сформулировать тему, цели, задачи урока; 4. урок должен быть проблемным и развивающим: происходит совместная деятельность учителя и учащихся; 5. по итогам проделанной работы ученики сами делают выводы; 6. максимальное проявления творчества и сотрудничества; 7. дети всегда находятся в центре внимания; 8. происходит обратная связь. Итак, задачи, которые необходимо было выполнить: изучить школьные учебники и методическую литературу по данной теме, разработать урок изучения нового материала по требованиям ФГОС по теме «Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений» (10 класс), выявить достоинства и недостатки традиционной формы проведения урока и проведением урока по требованиям ФГОС, разработать систему тренировочных упражнений для 10-11 класса по теме: «Тригонометрия» успешно решены. Цель достигнута. 54

ЛИТЕРАТУРА 1. Бочков, Б.Г. 3000 задач вступительных экзаменов по математике. – М.: МГУИЭ, 2006. – 165 с. 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе: IX-X кл. / Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1983. – 351 с. 3. Громов, Ю.Ю. Тригонометрия / Громов Ю.Ю., Земской Н.А., Иванова О.Г. и др. – М.: ТГТУ, 2003. – 69 с. 4. Гусев, В.А. Математика (пособие для поступающих в техникумы) / Гусев В.А., Мордкович А.Г. – М.: Высш. шк., 1984. – 351 с. 5. Дерофеева, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы / Дерофеева Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. – М.: Наука, 2001. – 672 с. 6. Дыбов, П.Т. Задачи по математике (с указаниями и решениями) / Дыбов П.Т., Осколков В.А. – М.: ООО «Издательство Оникс», 2006. – 464 с. 7. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. образоват. Учреждений / Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. – М.: Просвещение, 2004. – 388 с. 8. Лысенко, Ф.Ф. Подготовка к ЕГЭ -2015. Книга 2 / Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. – М.: Легион, 2014. – 256 с. 9. Макарычев, Н.Г. Алгебра (учеб. для 9 кл. сред. шк.) / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. – М.: Просвещение, 2000. 271 с. 10. Мирошин, В.В. Алгебра (экспресс – диагностика) 11 класс / Мирошин В.В. – М.: Просвещение, 2010. – 192 с. 11. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа, часть 2, 10 – 11 класс / Мордкович А.Г. – М.: Мнемозина, 2009. – 239 с. 55

12. Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа / Никольский С.М., Потапов М.К., Шевкин А.В., Решетников Н.Н. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с. 13. Осипов, В.Ф. Конкурсные задачи по математике с решениями и указаниями. Алгебра и тригонометрия / Осипов В.Ф. – СПб., С – Петербургский университет, 1996. – 48 с. 14. Пичурин, Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней / Пичурин Л.Ф. – М.: Просвещение, 1985. – 80 с. 15. Прилепко, А.И. Сборник конкурсных задач по математике / Прилепко А.И. – М: Наука, 1999. – 239 с. 16. Ященко, И.В. ЕГЭ 4000 задач / Ященко И.В.- М.:МЦНМО, 2016. – 640 с. 17. https://www.kazedu.kz/referat/178996 18. http://emirsaba.org/kafedra-teorii-i-tehnologij-prepodavaniyamatematiki-i-informa-v2.html?page=2 19. http://kpfu.ru/portal/docs/F1137683193/Hazieva.pdf https://doc4web.ru/pedagogika/metodika-prepodavaniya-temitrigonometricheskie-funkcii-v-kurse-.html 21. http://www.tstu.ru/book/elib2/pdf/2014/naxman_tr.pdf 22. https://yandex.ru/search/?text=http%3A%2F%2Fwww.cleverstudents.ru %2Ftrigonometry%2Ftables_of_sin_cos_tg_ctg.html&lr=4&clid=195545 3&win=216 23. http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2015/12/05/fakultativ-6klass-fgos-naglyadnaya-geometriya 24. http://fb.ru/article/226194/fgos---chto-takoe-trebovaniyaobrazovatelnogo-standarta 56

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв