Модель аномально быстрой гомогенизации химического состава металлического сплава при интенсивных пластических деформациях

Дмитрий Дудин

Модель аномально быстрой гомогенизации химического состава металлического сплава при интенсивных пластических деформациях

Анализируется модель квазистатических связанных процессов диффузии и вязкоупругого деформирования в многокомпонентной изотропной микроструктурно неоднородной среде с сопутствующими химическими реакциями. Деформации полагаются малыми и принимаются геометрически линейные зависимости. Определяющие соотношения модели строятся, исходя из второго закона термодинамики, в квазилинейном виде. Ставится одномерная модельная задача, допускающая однородное стационарное решение. Выдвинутая формулировка является наиболее простой, допускающей протекание диффузии вместе с сопутствующими процессами. Для анализа нелинейной связанной системы уравнений модельной задачи применяется метод возмущений, т.е. вводятся малые отклонения неизвестных полевых величин относительно однородного стационарного состояния, что приводит к проблеме собственных значений и векторов, решения которой анализируются. Такой подход качественного исследования физики связанных медленно протекающих необратимых процессов показал свою эффективность для квазистатических постановок, допускающих линеаризацию в окрестности равновесного решения. Получены аналитические выражения для коэффициентов взаимной диффузии и времён релаксации, которые позволяют судить о степени взаимовлияния физических процессов при различных характерах возмущения. Обнаружена быстрая и медленная диффузия, возникающая при больших градиентах микроструктурных неоднородностей и напряжений.

Механика

Диссертации

Вуз: Пермский национальный исследовательский политехнический университет (ПНИПУ)

ID: 5f4d2ed1cd3d3e0001cea6b1

UUID: ac5aadc0-cdda-0138-2783-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: около 4 лет назад

Просмотры: 1

10.02

Дмитрий Дудин

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 510,9 КБ

Поделиться работой

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Факультет прикладной математики и механики Кафедра «Динамика и прочность машин» Направление подготовки: 15.04.03 Прикладная механика Направленность (профиль) образовательной программы: Динамика и прочность машин, конструкций и механизмов ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА (магистерская диссертация) На тему Модель аномально быстрой гомогенизации химического состава металлического деформациях сплава Студент при интенсивных пластических Дудин Дмитрий Сергеевич Состав ВКР: Пояснительная записка на 64 стр. Допускается к защите Руководитель Заведующий кафедрой ВКР д-р техн. наук, профессор __________________ В.П. Матвеенко Консультант: «_____»_____________ 2020 г. Регистрационный номер _______ ( Келлер И.Э. ) ( )

Пермь 2020 Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Кафедра «Динамика и прочность машин» УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой ______________ В.П. Матвеенко «___»____________2020 г. ЗАДАНИЕ на выполнение выпускной квалификационной работы Фамилия, И.О. Факульте т Дудин Д.С. прикладной математики и механики Начало выполнения работы Групп а ДПМ-18-1м 17.05.2020 Контрольные сроки просмотра работы кафедрой 18.06.2020 Сроки представления на рецензию Защита работы на заседании ГЭК 1. Наименование темы Модель аномально быстрой гомогенизации химического состава металлического сплава при интенсивных пластических деформациях 2. Исходные данные к работе Конструируется модель изотропной сплошной среды, в

которой протекают диффузионные процессы, химические реакции и изменения микроструктуры с сопутствующими деформациями. Определяются коэффициенты взаимной диффузии, характеризующие быструю гомогенизацию химического состава 3. Содержание пояснительной записки Разработка и исследование модели сплошной а) основная часть (исследовательская) многокомпонентной среды, допускающей аномально быструю гомогенизацию химического состава б) раздел Обзор литературы в) раздел Расширенная модель Брассар, учитывающая микроструктурную неоднородность среды, упругие и химические свойства г) раздел Формулировки задач и метод их анализа д) раздел Спектры времён релаксации и их анализ 4. Дополнительные указания 5. Основная литература 1. Brassart L., Liu Q., Suo Z. Mixing by shear, dilation, swap and diffusion. J. Mech. Phys. Solids, Vol. 112, pp.253-272 (2018), 2. Stephenson G.B. Deformation during interdiffusion. Acta Metallurgica, Vol. 36, pp. 2663-2683 (1988), 3. Mehrer H. Diffusion in Solids. Springer Series in Solid-State Sciences, Vol. 155, 637 p., Springer, Heidelberg (2007), термодинамика. Теория 4. Дьярмати И. Неравновесная поля и вариационные принципы. – М: Мир, 1974, 304 Руководитель выпускной квалификационной работы магистра ______________________________ (доцент кафедры ДПМ, Келлер И.Э. ) (должность, Ф.И.О.) Консультант_________________________(___________________) (должность, Ф.И.О.) Задание получил __________________________ (Дудин Д.С.) (дата и подпись студента)

КАЛЕНДАРНЫЙ ГРАФИК ВЫПОЛНЕНИЯ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ №п. п. 1 2 3 4 5 6 Разработка основных разделов диссертации Оформление диссертации Разработка и оформление иллюстративной материала к защите диссертации Представление диссертации на проверку и отзыв научного руководителя Представление работы заведующему кафедрой Защита на заседании ГЭК Научный руководитель работы «_____» __________________2020 г. Объе м этапа , 28 Сроки выполнения начало конец 17.05 27.05 24 28.05 06.06 21 07.06 14.06 8 15.06 17.06 16 18.06 24.06 3 25.06 25.06 Приме чание (Келлер И.Э.)

РЕФЕРАТ Работа содержит 64 страницу, 8 рисунков, 4 приложения, 43 источника. Ключевые слова: быстрая диффузия, взаимная диффузия, связанные процессы, реология, микроструктура, многокомпонентный континуальная континуум, химические термодинамика, метод процессы, возмущений, изотермические процессы, металлические сплавы. Анализируется модель квазистатических связанных процессов диффузии и вязкоупругого деформирования в многокомпонентной неоднородной изотропной среде с микроструктурно сопутствующими химическими реакциями. Деформации полагаются малыми и принимаются геометрически линейные зависимости. Определяющие соотношения модели строятся, исходя из второго закона термодинамики, в квазилинейном виде. Ставится одномерная модельная задача, допускающая однородное стационарное решение. Выдвинутая формулировка простой, допускающей протекание сопутствующими связанной системы применяется отклонения метод которой полевых стационарного анализа Такой связанных наиболее вместе т.е. и задачи вводятся величин что с нелинейной модельной состояния, значений анализируются. физики Для возмущений, собственных исследования диффузии уравнений неизвестных однородного проблеме процессами. является малые относительно приводит векторов, к решения подход качественного медленно протекающих необратимых процессов показал свою эффективность для квазистатических постановок, допускающих линеаризацию в окрестности равновесного 5 решения. Получены

аналитические выражения для коэффициентов взаимной диффузии и времён релаксации, которые позволяют судить о степени взаимовлияния физических процессов при различных характерах возмущения. Обнаружена быстрая и медленная диффузия, возникающая при больших градиентах микроструктурных неоднородностей и напряжений. 6

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.................................................................................. 8 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ............................................................10 2 РАСШИРЕННАЯ МОДЕЛЬ БРАССАР, УЧИТЫВАЮЩАЯ МИКРОСТРУКТУРНУЮ НЕОДНОРОДНОСТЬ СРЕДЫ, УПРУГИЕ И ХИМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА.................................15 2.1 Тензор деформаций и объёмное расширение...............15 2.2 Свободная энергия Гельмгольца...................................16 2.3 Термодинамическое неравенство.................................17 2.4 Консервативные соотношения......................................19 2.5 Энергии смешения.........................................................20 2.6 Кинетические уравнения...............................................21 2.7 Уравнения баланса.........................................................23 2.8 Система нелинейных разрешающих соотношений модели....................................................................................... 24 3 ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ И МЕТОД ИХ АНАЛИЗА.............26 3.1 Модельная задача..........................................................26 3.2 Постановка задачи хемодиффузии...............................27 3.3 Постановка задачи диффузии с эволюцией микроструктуры двухкомпонентной среды без химии...........29 3.4 Постановка связанной задачи диффузии и вязкоупругого деформирования для двухкомпонентной среды без химии................................................................................... 30 3.5 Постановка задачи механодиффузии с эволюцией микроструктуры для двухкомпонентной среды без химии....31 3.6 Метод возмущений.........................................................33 7

4 СПЕКТРЫ ВРЕМЁН РЕЛАКСАЦИИ И ИХ АНАЛИЗ.............35 4.1 Спектр времён релаксации хемодиффузионной задачи ................................................................................................... 35 4.2 Спектр времён релаксации задачи диффузии с эволюцией микроструктуры для двухкомпонентной среды без химии......................................................................................... 39 4.3 Спектр времён релаксации связанной задачи диффузии и вязкоупругого деформирования для двухкомпонентной среды без химии........................................................................ 42 4.4 Спектр времён релаксации задачи механодиффузии с эволюцией микроструктуры для двухкомпонентной среды без химии......................................................................................... 46 ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................................51 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.......................54 ПРИЛОЖЕНИЕ.........................................................................58 8

ВВЕДЕНИЕ Конструирование прецизионных технических сооружений и агрегатов невозможно без математической оценки характерных физических величин, определяющих состояние конструкции при заданных эксплуатационных условиях. Грамотно построенная математическая модель позволяет решать ряд технических задач без проведения множества дорогостоящих экспериментальных исследований. Современные технологии изготовления деталей используют различные физические принципы и требуют междисциплинарной теоретической оценки. Например, это необходимо для оптимизации процесса лазерной наплавки металла на поверхность детали, сопровождающейся диффузионно-химической стадией, и последующей проковке для наведения благоприятного поля поверхностных остаточных напряжений. При интенсивных пластических деформациях в сплошных и порошковых металлических материалов наблюдается аномально быстрый процесс распада твёрдого раствора, который может моделироваться только с помощью связанных постановок. Задача расчёта ресурса высоконагруженного металлического изделия в агрессивной окружающей среде при больших температурах требует междисциплинарной оценки. В рассматриваемых примерах границы между областями наук размываются, но основные физические принципы остаются едиными и справедливыми для каждой из них. Для связи отраслей фундаментальный знаний базис удобно термодинамики использовать неравновесных процессов. Второе начало термодинамики, постулирующее существование энтропии и характер её поведения в ходе 9

протекания неравновесного процесса в изолированной системе, позволяет записать неравенство, выполняющееся в любой момент времени и точке тела. Частные решения неравенства являются определяющими соотношениями модели и выявляют характер связи между величинами различной физической природы. Такой метод построения модели сплошной среды ведёт к сложной системе связанных дифференциальных уравнений, решается численными только которая нелинейных в общем методами. случае Однако, для понимания наиболее простых связанных физических явлений достаточно поставить модельную задачу, которая решается аналитическими методами. Аналитическое решение обладает известным преимуществом перед численным – оно позволяет полностью условиях проанализировать модельной процессы, задачи. В протекающие настоящей в работе представлены: 1. Модель, описывающая связанные диффузионные и реологические квазистатические процессы с сопутствующей эволюцией микроструктуры и химическими реакциями, протекающие в изотропном материале в условиях изотермии. 2. Метод построения базирующийся на физических фундаментальных соотношений, принципах неравновесной термодинамики необратимых процессов. 3. Способ качественного исследования физики и математики связанных диффузионных, процессов с учётом химических эволюции 10 и реологических микроструктуры для

постановок, допускающих однородное стационарное решение и линеаризацию – метод возмущений. 4. Вязкие времена релаксации и коэффициенты взаимной диффузии, учитывающие влияние рассматриваемых физических процессов на диффузию компонент. 5. Аномально большие и малые коэффициенты взаимной диффузии, описывающие соответственно процессы быстрой и медленной диффузионных релаксации потоков компонент при больших посредством градиентах микроструктурных неоднородностей и напряжений. 11

1 Обзор литературы Вопросы протекания взаимной диффузии при наличии сопутствующих реологических и химических процессов в структурно неоднородной среде возникают при решении многих прикладных деформации в задач. сплошных Интенсивные и порошковых пластические металлических материалах приводят к изменениям их микроструктуры за счет разложения вторых фаз [33]. Введение атомов азота путем ионно-плазменной имплантация в поверхностные слои металлического прочностных сплава свойств растрескивания даёт [11]. материла, значительное Проблема повышение коррозионного находящегося под действием упругопластических деформаций, стоит наиболее остро [9]. Задача предсказания ресурса высокотехнологичных лопаток турбин авиадвигателей, покрытых микрослоем ингибиторного термоизолирующего покрытия, в условиях повышенных температур и экстремальных нагрузок [26]. Объединение нескольких физических процессов в одной модели осуществляется неравновесной при термодинамики. помощи В основе принципов классической неравновесной термодинамики лежит ряд предположений. Первое и основное из них – это гипотеза локального равновесия, позволяющая распространить теорию обратимых процессов на соотношений необратимые в локальной при условии форме. написания Конституативные соотношения записываются в квазилинейной форме и в случае изотропной среды принимается справедливость принципа Кюри, т.е. потоки и силы различного тензорного ранга не могут быть связаны друг с другом. Кроме того, в силу соображений симметрии 12 феноменологические

коэффициенты удовлетворяют соотношениями обратимости Онсагера-Казимира [4]. В качестве альтернативного подхода построения феноменологических соотношений можно назвать метод множителей Лагранжа, позволяющий строить нелинейные связи между термодинамическими потоками и силами при условии выполнения второго закона термодинамики [39]. Для того чтобы обойти жёсткое ограничение локального равновесия, постулирующееся в классической неравновесной термодинамике предлагается новый базис, формирующий основу рациональной основных принципов наследственности. Он термодинамики – [5]. принцип предполагает Один из предыстории влияние на её и поля физических величин не только факторов, происходящий в текущий момент времени, но и во все предыдущие. Ещё один подход, расширяющий границы классического формализма, рассматривается расширенной необратимой термодинамикой [25], в которой пространство независимых базисных величин расширяется – диссипативные потоки ставятся на одно место наряду с классическими переменными и удовлетворяют отдельным эволюционным уравнениям. Такой подход необходим для описания тонких высокочастотных явлений и требует введения быстрых переменных. Ключевую роль в описании данного рода явлений играет выбор понятия диффузионного потока [38]. Одно из основных направлений описания диффузионных потоков связано с понятием центра масс [20], при введении которого можно записать уравнения Навье-Стокса для многокомпонентной среды. В данном подходе диффузионные потоки оказываются 13

зависимыми, что накладывает дополнительные ограничения на его использование при рассмотрении реальных явлений. Другим подходом к описанию диффузии является введение объёмных диффузионных потоков [17], которые пропорциональны векторной разности объёмной скорости и скорости центра масс. Понятие объёмной скорости возникает при написании первого закона термодинамики в мощностях. Также для кристаллического твердого тела в одномерной задаче диффузионный поток можно рассматривать относительно кристаллической плоскости [27]. Другой вид описания введен после обнаружения эффекта Киркендалла, при котором молибденовые инертные стержни, помещенные на границу раздела латуни и меди, под действием не скомпенсированных диффузионных потоков приходили в диффузионные движение [32, потоки 37]. В данном рассматриваются случае относительно инертных маркеров, которые химически не реагируют с материалами основы и не влияют на процессы взаимной диффузии исследуемых компонент [19]. Впервые эффект Киркендалла был математически описан Даркеном [1, 19, 42]. Рассматривая диффузию компонент относительно плоскости Киркендалла он получил коэффициент взаимной диффузии, коэффициентов определяющийся диффузии суммой компонент внутренних взаимодействующих материалов. Существенным минусом описания диффузии относительно центра масс является невозможность введения понятия самодиффузии, протекание которой в некоторых 14

средах ведет к существенным изменениям свойств и поэтому не может игнорироваться [24]. В связи с этим, используется подход описания диффузионных потоков относительно материала [14 – 16, 21, 22, 35, 36]. При таком рассмотрении вязкое течение и диффузия – два неравновесных процесса, которые конкурируют между собой [13]. В бинарных растворах замещения, когда неравновесный поток вакансий, скорость диффузии которого значительно выше, чем скорость диффузии двух других компонент, потоки частиц двух растворов выравниваются, и скорость диффузии определяется одним коэффициентом взаимной диффузии [10, 29]. Аналогичный эффект заметил Стефенсон при феноменологическом описании взаимной диффузии с учетом связанного вязкого течения без введения вакансий [34]. Диффундирующие компоненты многокомпонентной среды необязательно должны быть химически инертны друг к другу. Химическая многокомпонентного производства реакция в континуума вещества в уравнениях возникает в соответствующих виде законах сохранения. В простейшем случае движимой силой такой реакции является скалярная термодинамическая сила – химическое сродство [30]. При рассмотрении равновесия двухфазной твердой среды скалярная природа химического сродства не имеет место и приводит к противоречиям, что ведет к появлению понятия тензора химического химического потенциала [3]. К сродства и тензора современным работам, базирующимся на понятии тензора химического сродства, относятся работы Фрейдина [12, 31], рассматривающего фронт реакции при диффузии газообразной компоненты в 15

деформируемом твердом теле. При этом он определяет условие блокировки фронта реакции возможного за счет действия на него механических напряжений. Как известно, микроструктура материала сильно влияет на скорость протекания диффузии. Князева в своих работах [6 – 8, 23] строит связанную термомеханохемодиффузионную модель структурно неоднородной среды, в которой микроструктурные параметры удовлетворяют классическим уравнениям баланса, так далее являются дополнительными степенями свободы. Эволюционное уравнение для дополнительной степени свободы не может быть строго получено из макро теории. Для этого используют микроструктурный подход, на уровне которого вводят дополнительные физические переменные, описывающие реальную структуру материала, а далее проводят процедуру осреднения. Такой метод использован при получении эволюционного уравнения пористости в работах Вильманского [40, 41]. Классическое понимание микроструктурной переменной состояния предполагает граничных условий, отсутствием отсутствия что влияния математически градиентных членов на неё добивается микроструктурной переменной в разрешающих соотношениях модели, а также отсутствие второй материальной производной по внутренней переменной состояния в эволюционном уравнении, управляющем этой переменной. Тем не менее для описания некоторых эффектов [18] такой концепции не достаточно, что приводит переменных к введению [28] и их градиентов вторых уравнений. 16 микроструктурных производных в систему

Выше указанный широкий спектр разработанных и математически обоснованных общих методов исследования процессов, находящихся на стыке различных отраслей наук, требует локализации к каждой проблеме в отдельности. В идеале необходимо подобрать такой аксиаматический базис и набор неизвестных величин, удовлетворяющих физическим законам в рамках заданных условий, который обеспечивает описание всех аспектов реального явления при минимальной сложности модели. 17

2 Расширенная модель Брассар, учитывающая микроструктурную неоднородность среды, упругие и химические свойства Определяется которая трёх компонентная характеризуется сплошная концентрациями среда, CA , CB реагирующих частиц вида A и B и концентрацией частиц CAB продукта химической реакции. Концентрации определяются на единицу объёма отчётной конфигурации. Уравнение химической реакции  A A   B B   AB AB , где  A ,  B  0 - стехиометрические коэффициенты реагентов;  AB  0 - стехиометрический коэффициент продукта; A, B, AB – химические формулы реагирующих компонент. Свойства структурно неоднородной сплошной среды зависят от скалярной микроструктурной переменной H, определенной на единицу объёма отчётной конфигурации. 2.1 Тензор деформаций и объёмное расширение Предполагается геометрическая линейность деформационных процессов в среде, что ведёт к выражению e для тензора малых деформаций ε через упругую ε и вязкую εv составляющую ε εe  εv . Каждый из них разлагается на шаровую и девиаторную составляющую 1 1 1 ε   mI  e εe   me I  ee εv   mv I  ev 3 3 3 , , . Введем объемное расширение 18

  CA,CB,CAB, me  1  m , которое зависит от концентрации частиц трех видов и объемной упругой деформации материального элемента. Предполагается, что данная величина есть однородная функция первого порядка от концентраций  VA   A, B  CA  VB   A, B  CB  VAB   A, B  CAB   me , где Vk , k  {A, B, AB}  A CA /  CA  CB  CAB  , – парциальные  B CB /  CA  CB  CAB  – (2) объемы; переменные состава. Выражения (1) и (2) определяют геометрически линейную сжимаемую Дифференцируя (1) и среду (2) изменяющегося по времени, состава. получаются равноправные выражения    C   C   C   e  A B AB m CA CB CAB ,  V C  V C  V C  V C  V C  V C   e  A A B B AB AB A A B B AB AB m. Условие равноправности соотношений (3) ведёт к VA     VB  VAB  CA , CB , CAB , VACA  VBCB  VABCAB 0. являющиеся расширением выражений, раннее полученных в [13]. 2.2 Свободная энергия Гельмгольца Тепловые эффекты, возникающие в системе за счёт протекания химической реакции, полагаются пренебрежимо малыми. Поэтому поле температур в начальный момент 19

времени однородно и не изменяется со временем. В этом случае свободная энергия Гельмгольца    СA,CB,CAB, H,εe  где  , – свободная энергия, приходящаяся на единицу материального объема. С другой стороны, свободная энергия представляется суперпозицией энергии  mix , смешения энергии микроструктуры  H и упругой составляющей  e   mix  H  e  Fkmix   A, B  Ck  H  Ci , H   e  Ci , H, εe  k , (6) mix где Fk , k  – характеризуют энергию смешения. Дифференцируя (5) и (6) по времени получаются равноправные выражения   H   e     H  e    e e     FkmixCk  FkmixC k  Ck  Ck      H  e :ε  C  C  H  H  ε  k  k k   ,      e  Ck  H  e :ε  C  H  ε k k ,   Условие равноправности выражений (7) ведёт к Fk    H  e Fkmix   , k  {A, B, AB} Ck Ck Ck , FH  где Fk , k  – (8)   H  e     Fe  ee  e H H H , ε ε , парциальные энергии парциальная энергия микроструктуры, смешения, FH – Fe – парциальная упругая энергия. Соотношения (8) являются расширением выражений, полученных в [13]. 20

2.3 Термодинамическое неравенство Второй закон термодинамики формируется в предположении о том, что свободная энергия Гельмгольца изолированной системы никогда не увеличивается  dV    V где S  k , k  –  dV 0 J A   BJ B   ABJ AB  NdS  σ: ε V , A химические потенциалы видов, (9) J k , k  – диффузионные потоки видов в отчётной конфигурации, σ – тензор напряжений Коши, S и V – поверхность и объем тела в отчётной конфигурации. Законы сохранения массы видов с учётом химической реакции dCk  J k  Pk , k  dt , где Pk , k  – производство компоненты k в отчётной конфигурации. Применяя теорему о дивергенции к (9) с учётом (10), получаем σ: ε       C k k   J k  k  Pk k dV 0 k V , что справедливо для произвольного выделенного объёма среды в отчётной конфигурации. Локализированное неравенство с учётом (7) и (8)   F :ε      k  Fk  C k  J k k  Pkk  FH H  e 0 σ: ε e k .   21 (11)

 , где тензор напряжений Учитывая тождество σ: ε  m m  s: e Коши представлен в виде разложения σ  mI  e, а также соотношения (3), (4), термодинамическое неравенство (11) приобретает вид:     k  Fk  VkC k J k  k Pk  H  m   k   FH  s: e v     Vk     k     e Fe : ε e e    m m   s: e 0.  (12) Вводятся термины актуальной конфигурации, следуя [13]. ˆ Диффузионное слагаемое J k  k jk  k , k  , ̂ – оператор набла в текущей приходящиеся на конфигурации; единицу концентрации объёма в частиц, актуальной конфигурации, сk Ck / , k  ; скорости объемного внедрения ˆ v, k   ik VkC k /  Vkc k  ckVk , v – скорость конвективного  переноса вещества; pH H /  ; вводится химическое сродство A   k k k  и скорость  протекания химической реакции pk Pk /   k , k  . В актуальной конфигурации окончательно записывается (12)   k  Fk   ˆ v    i  j     FH pH  A  s: e    m k k k  Vk k     e F :ε  e   m me  e  s: e 0.  Физические соотношения модели строятся исходя (13) из локальной формы термодинамического неравенства (13) в предположении о существовании связей. 22 феноменологических

2.4 Консервативные соотношения Следуя подходу определяющих конструирования соотношений, консервативных рассмотренному в [2], полагается отсутствие необратимых процессов в (13), что приводит к e Fe : ε 0  .  e   m me  s: e Учитывая малость деформаций, упругую энергию представляем в виде квадратичной формы K  Ci , H   me 2  e G  Ci , H  e : e  , 2 e e где G – модуль сдвига, K – объемный модуль упругости. Выражение (15) подставляется, с учетом (8), в (14) при  1 e e  s 2Ge  : e    m e  K m   me 0 . Скорость изменения девиатора упругих деформаций никак не зависит от скорости изменения шаровой части упругих деформаций, откуда из (16) следует обобщенный закон Гука e s 2Gee ,  m K m. Далее зависимость упругих модулей объемного сжатия и сдвига от переменных состава K  Ci , H  K const , G Ci , H  G const . 23 пренебрегается

2.5 Энергии смешения При построении модели пренебрегаются температурные флуктуации, порождаемые химическими реакциями, поэтому при конструировании выражений для энергий смешения достаточно принять наиболее простую модель смешения – модель идеального смешения частиц различных парциальных объемов. Следуя [14], полагается, что каждая частица веществ может свободно перемещаться внутри всего объема смешения, тогда энтропия смешения smix  C V  CBVB  CABVAB  kln A A  CAVA0  CA  CBVB0  CB CA CB CAB 0  CABVAB  CAB , (18) V  V  ,  , k   VA0 VA  1,0 ,   k k A B где k – постоянная Больцмана; ; 0 VB0 VB  0,1 , VAB VAB  0,0 чистом состоянии. – парциальные объёмы веществ в Cогласно формулы Больцмана, часть свободной энергии, отвечающей за смешение частиц, имеет вид  mix  Tsmix где T – термодинамическая температура. Учитывая определение характерных энергий смешения Fkmix  mix / Ck , с помощью (18) получается mix A F   AB  VAB  VA    B  VB  VA   AVA0  kT   ln  V Vm  m  ,    V  V    A  VA  VB   V0  FBmix kT  AB AB B  ln B B  Vm Vm   , mix AB F (19) 0   B  VB  VAB    A  VA  VAB    ABVAB kT   ln  Vm Vm   , где  AB 1  A   B , Vm   A, B  VA   A, B   A  VB   A, B   B  VAB   A, B   AB – средний парциальный объём. 24

В окрестности равновесного состояния свободная энергия микроструктуры определяется квадратичной формой 2 f  H  H0  H  H  2  f C k k k  Ck0   H  H0  , (20) где знак термодинамических коэффициентов fA , fB , fAB , fH  0 следует из условия существования равновесного состояния для H. С точностью до постоянной определяются производные  H  H  fkh, k   fH h  fAcA  fBcB  fABcAB  C H k , , (21) где учтена малость деформаций, h H /  – микроструктурная переменная в текущей конфигурации. Используя определение (8) с учётом (21) и условий  e / Ck 0, k  ,  e / H 0 Fk Fkmix  fkh, FH  fHh  fAcA  fBcB  fABcAB , k  . Постоянные fA , fB , fAB обеспечивают (22) энергетическую связность модели изменения микроструктуры и состава. 2.6 Кинетические уравнения Взяв во внимание термодинамическое неравенство (13), обозначим J 2S iB , скалярные J 3S iAB , термодинамические J 4S  pH , термодинамические X2S   B  FB  / VB   m, J 5S  и силы X3S   AB  FAB  / VAB   m, 25 потоки J 1S iA , соответствующие X1S   A  FA  / VA   m, X4S  FH , X5S  A,

векторные и тензорные J 1v  jA, J 2v  jB, J 3v  jAB , термодинамические v J t e термодинамические и соответствующие ˆ , X v   ˆ , X1v   A 2 B силы потоки ˆ X3v   AB , X t s. Термодинамическое неравенство (13) с учётом (14) и принятых обозначений переписывается в форме 5 3 J kS XkS   Xkv J kv  X t : J t 0  k1 k1 . Частное решение термодинамического неравенства определяет физические соотношения и строится с учётом принципов Кюри и Онзагера в квазилинейной форме. Уравнение для кинетики сдвигового течения v, s 2 e где   0 – коэффициент сдвиговой вязкости. Выражения (23) и (17) характеризуют реологию Максвелла в отсутствии немеханических процессов. Кинетика диффузии записывается в отсутствии корреляционных эффектов ˆ  , k  jk  ckMk k , где Mk  0, k  коэффициенты мобильности. Для скалярных термодинамических сил и потоков решение неравенства 5 J k1 S k S k X 0 представляется в S i X   ik J kS, i 1,...,5 k1 . форме Поэтому кинетика химической реакции A      H pH   k i k k . Выражение для кинетики микроструктуры 26 5

FH   H pH   H    i kH k k . Последнее термодинамическое соотношение обеспечивает связанность диффузионной кинетики с кинетикой течения, химических реакций и эволюции микроструктуры  k  Fk   m  kik   k    kH pH , k  Vk . Для обеспечения неравенства для выполнения скалярных (27) термодинамического переменных необходимо и достаточно, чтобы матрица коэффициентов  A  0  [ ]  0    A   AH была 0 B 0 0 0  AB  B  BH  AB  ABH положительно  k ,  k ,  H ,  kH , k   A  AH   B  BH   AB  ABH      H   H  H  определена. Коэффициенты называются объёмными вязкостями. 2.7 Уравнения баланса Система определяющих соотношений (17), (19), (22) – (27) многокомпонентной структурно неоднородной среды дополняется уравнением равновесия (28), законами сохранения массы компонент в текущей конфигурации (29) ˆ σ 0,  dck ˆ v   ˆ j   , k   ck k k dt 27

и геометрическим соотношением, следующим из (2) при сk Ck / , k  и условии малости деформаций сAVA  сBVB  сABVAB 1. Система разрешающих соотношений (17), (19), (22) – (30) с учётом граничных и начальных условий представляет собой нелинейную постановку задачи вязкоупругого деформирования диффузионной структурно неоднородной многокомпонентной среды с сопутствующими химическими реакциями. 2.8 Система нелинейных разрешающих соотношений модели Полная система дифференциальных трёхкомпонентной нелинейных связанных описывающих поведение уравнений, изотропной структурно неоднородной среды, в которой протекают медленные процессы диффузии и вязкоупругого деформирования с сопутствующими химическими реакциями в условиях изотермии, имеет вид  Законы сохранения массы компонент dck ˆ v   ˆ j   , k   A, B, AB  ck k k dt . (31)  Уравнение равновесия ˆ σ 0.  (32)  Геометрическое ограничение сAVA  сBVB  сABVAB 1.  Диссипативные определяющие соотношения 28 (33)

A      H pH   i k k k FH   H pH   H    i , kH k k ,  k  Fk   m  kik   k    kH pH , k  Vk , (34) ˆ  , k  jk  ckMk k , v, s 2 e где химическое сродство A   k k k , скорости объёмного ˆ v, k  ik Vkc k  ckVk , внедрения производство  ˆ микроструктуры pH h  hv .  Упругий закон e s 2Gee ,  m K m. (35)  Выражения для парциальных свободных энергий Гельмгольца mix A   AB  VAB  VA    B  VB  VA   AVA0  kT   ln , Vm Vm   mix B   AB  VAB  VB    A  VA  VB   BVB0  kT   ln , Vm Vm   F F mix AB F 0   B  VB  VAB    A  VA  VAB    ABVAB kT   ln , V V m m   Fk Fkmix  fkh, FH  fHh  fAcA  fBcB  fABcAB , k  . 29 (36)

Для полной постановки задачи граничными и начальными условиями. 30 система дополняется

3 Формулировки задач и метод их анализа 3.1 Модельная задача Исследование возмущений, релаксации малых описываемых дифференциальных уравнений пространственных системой среды, ведётся связанных в рамках модельной задачи [13, 34], в которой вводятся следующие предположения:  Диффузия частиц тела может происходить только вдоль единственной координатной оси x ck ck  x,t , k  .  Все компоненты тензора полных деформаций равны нолю за исключением  xx   x,t 0.  Все компоненты тензора напряжений равны нолю за исключением  yy  zz   x,t 0 .  Микроструктурные изменения могут происходить только вдоль оси x h h x,t . Применение гипотез модельной задачи (37) – (40) к системе уравнений модели (31) – (36) даёт одномерную нелинейную постановку задачи, исследование которой ведётся методом возмущений. В рамках предположения (39) уравнения равновесия (32) выполняются тождественно и далее не рассматриваются. 31

Для эффективного применения метода возмущений, одномерная нелинейная постановка, линеаризация которой приводит к уравнениям величин, четырём связанным относительно четырёх упрощается ограничений на путём дифференциальным неизвестных введения протекающие полевых дополнительных процессы. Рассмотренные ниже задачи дают полную картину влияния того или иного процесса на релаксацию системы посредством диффузии. Раннее установлено [13], что объёмные вязкости оказывают несущественное широкого влияние диапазона величин, на процессы градиентов поэтому релаксации неизвестных далее  k 0,  kH 0,  H 0,  k 0, k  для полевых принимается . 3.2 Постановка задачи хемодиффузии Рассматривается трёхкомпонентная среда, в которой протекают диффузионные потоки и возможны химические реакции. Применение системе (31) – (36) гипотез (37), позволяет (38) к записать нелинейной нелинейную одномерную систему разрешающих соотношений  Законы сохранения массы компонент (31) dck v j  ck  k  k , k  dt x x , где v – конвективная скорость переноса частиц вдоль оси x.  Геометрическое ограничение (33) сAVA  сBVB  сABVAB 1.  Диссипативные соотношения (34) A    , jk  ckMk k , k Fk , k  x 32

где химическое сродство A   k k k .  Парциальные энергии Гельмгольца (36)   AB  VAB  VA    B  VB  VA   AVA0  FA kT   ln  Vm Vm   ,    V  V    A  VA  VB   V0  FB kT  AB AB B  ln B B  Vm Vm   , 0   B  VB  VAB    A  VA  VAB    ABVAB FAB kT   ln  Vm Vm   . Вышеуказанная нелинейная одномерная система имеет однородное стационарное решение 0 cA  x,t cA0 , cB  x,t cB0 , cAB  x,t cAB , в окрестности которого записываются линейные уравнения  A 2 A 2 B 2 AB 0 0 0 0 0 0   A  1  A  MA 2   ABMB 2   A ABMAB  t x x x2 VA A  1  A0    VB B  VAB AB   A0   A A  B B  AB AB  0  , B 2 2 2 AB 0  B0  1 B0  MB 2B   A0B0MA 2A  B0 AB MAB  t x x x2 VB B  1 B0    VA A  VAB AB  B0   A A  B B  AB AB  0  33 (41)

 1  A0 VA   1 1  A kT  0     A  kTVA   B  V V V  A AB   AB B ,  1  0 V   1 1  B kT  0 B  B   A  kTVB    B  V V V  B AB   AB A , 0  1  AB    AB  kT 0   A  B   kTVAB  A  B   AB  VA VB  , где объёмные переменные состава  A cAVA , B cBVB . Здесь и далее в силу малости скоростей принималось d dt  t . Система (41) является линеаризованной постановкой задачи хемодиффузии. 3.3 Постановка задачи диффузии с эволюцией микроструктуры двухкомпонентной среды без химии Рассматривается задача диффузии двухкомпонентной среды с эволюцией микроструктуры. Применение гипотез (37), (38), (40) к нелинейной системе (31) – (36) позволяет записать нелинейную одномерную систему разрешающих соотношений  Законы сохранения массы компонент (31) ck v j  ck  k , k 1 {A, B} t x x .  Геометрическое ограничение (33) сAVA  сBVB  сABVAB 1.  Диссипативные соотношения (34) h v F  h  H jk  ckMk  k , k Fk , k 1 t x H , x .  Парциальные энергии Гельмгольца (36) mix A F   B  VB  VA    A  VA  VB   AVA0   BVB0  mix kT   ln  ln  , FB kT  , Vm Vm  Vm Vm    34

FH  fHh  fAcA  fBcB , Fk Fkmix  fkh, k 1 . Вышеуказанная нелинейная система имеет однородное стационарное решение cA  x,t cA0 , cB  x,t cB0 , h x,t h0 , где равновесное значение микроструктурной переменной h0  fAc0A  fBcB0  fH . равновесного Линеаризация решения системы приводит к в окрестности двум связанным дифференциальным уравнениям 2  A 2h 0 0 0 0  A 0 0  kT  MAcB  MBcA   VA A  VBB  2   AB  fAMA  fBMB  2 0 t x x , 2 h f 0 0  h  h0  fAMA A  fBMBB  2  H h  t x  H  kTh0 2 A 1  ffB 0 0  VA A  VBB   MAVA  MBVB  2   A   A 0   VAVB x  H  VB VA  , где объёмные Уравнения переменные (42) соотношений состава являются задачи  A cAVA , системой двухкомпонентной (42) B cBVB . разрешающих диффузии с диффузии и эволюцией микроструктуры. 3.4 Постановка связанной задачи вязкоупругого деформирования для двухкомпонентной среды без химии Рассматривается задача двухкомпонентной диффузии и вязкоупругого деформирования. Реологическое уравнение Максвелла модельной задачи записывается из (17), (23) с учётом гипотез (38), (39). Ненулевые компоненты девиатора тензора напряжений обозначения   e   v и sxx  2syy  2szz  2 / 3 . e v    yy  zze   yy   zzv 35 Вводя ненулевые

компоненты девиатора e e exx  2eeyy  2ezz 2  e     / 3 , тензора а девиатора v v exx  2evyy  2ezz 2  v     / 3 . деформаций определяющие соотношения напряжений для (17)   2   v      2G   e     что тензора Далее, тензора (23), с вязких используя девиатора и , упругих имеем учётом  m 2 / 3 и  v'  e   v даёт окончательно v 3  m 3 m   x 4G t 4 . Записывается система нелинейных разрешающих соотношений с учётом гипотез (37) – (39) в (31) – (36)  Законы сохранения массы компонент (31) ck v j  ck  k , k 1 {A, B} t x x .  Геометрическое ограничение (33) сAVA  сBVB  сABVAB 1.  Диссипативные соотношения (34) и уравнение Максвелла v 3  m 3 m    , jk  ckMk k , k 1 x 4G t 4 x , k Fk   mVk , k 1 .  Парциальные энергии Гельмгольца (36)   B  VB  VA    A  VA  VB   AVA0   BVB0  FA kT   ln  ln  , FB kT   Vm Vm  Vm Vm  .   Вышеуказанная нелинейная система имеет стационарное решение cA  x,t cA0 , cB  x,t cB0 ,  m  x,t 0, 36 однородное

в окрестности которого записываются линейные уравнения 1  A 3   m G m  MA Vm 2 A  2 m    kT 0  MAVA 2 0  A0 t 4G  t    A VB x2 x , 1  A 3   m G m  MB Vm 2 A 2 m    kT   M V 0 B B B0 t 4G  t   B0 VA x2 x2 . где объёмные   VA A0  VBB0  Vm разрешающих переменные  A cAVA , состава (43) B cBVB , Уравнения (43) представляют собой систему соотношений задачи диффузии и вязкоупругого деформирования в двухкомпонентной среде. 3.5 Постановка эволюцией задачи микроструктуры механодиффузии для с двухкомпонентной среды без химии Рассматривается двухкомпонентной задача среды с эволюцией механодиффузии микроструктуры. Применение гипотез (37) – (40) к нелинейной системе (31) – (36) позволяет записать нелинейную одномерную систему разрешающих соотношений  Законы сохранения массы компонент (31) ck v j  ck  k , k 1 {A, B} t x x .  Геометрическое ограничение (33) сAVA  сBVB  сABVAB 1.  Диссипативные соотношения (34) и уравнение Максвелла v 3  m 3 m    jk  ckMk k , k 1 x 4G t 4 , x , h v F  h  H t x  H ,  k Fk   mVk , k 1 .  Парциальные энергии Гельмгольца (36) 37

mix A F   B  VB  VA    A  VA  VB   AVA0   BVB0  mix kT   ln  ln  , FB kT  , V V V V m m  m m    Fk Fkmix  fkh, FH  fHh  fAcA  fBcB, k 1 . Для нелинейной системы можно определить однородное стационарное решение cA  x,t c0A, cB  x,t cB0 , h x,t h0,  m  x,t 0, где равновесное значение микроструктурной переменной h0  fAc0A  fBcB0  fH . равновесного Линеаризация решения системы приводит к в окрестности трём связанным дифференциальным уравнениям 1  A 3   m G m  MA Vm 2 A 2 m 2h    kT 0  MAVA 2  fAMA 2 0,  A0 t 4G  t    A VB x2 x x 1  A 3   m G m  MB Vm 2 A 2 m 2h    kT 0  MBVB  fBMB 2 0, B0 t 4G  t   B VA x2 x2 x  h 3h0   m G m   ffB f     A  A  H h 0   t 4G  t    VB VA   H  H , где объёмные переменные состава  A cAVA , (44) B cBVB ,   VA A0  VBB0  Vm . Уравнения (44) представляют собой систему разрешающих соотношений задачи механодиффузии эволюции микроструктуры в двухкомпонентной среде 38 и

3.6 Метод возмущений Каждая из вышеуказанных дифференциальных систем уравнений нелинейных имеет однородное стационарное решение  m  x,t 0, h x,t h0, cA  x,t cA0 , cB  x,t cB0 , определяющие однородного равновесное состояние. стационарного решения (45) Существование задачи является необходимым для применения анализа методом возмущений. Следствие подстановки равновесную (45) в (36) – (39) микроструктурную h0  fAc0A  fBcB0  fH определяет переменную . Для постановок без микроструктуры h0 0. Согласно процедуре метода возмущений, каждая нелинейная одномерная постановка линеаризуется в окрестности (45). Далее на неизвестные полевые величины накладываются гармонические пространственные возмущения  t   2 x  ˆ exp  t  sin 2 x   A  x,t ˆA exp   sin ,  x , t      B B               , (46)  t   2 x   t   2 x  h x,t hˆexp   sin   m  x,t ˆexp   sin       ,      , где ˆA длина ˆ ˆ h 1   , , , – время релаксации системы,  – ˆB , волны решениями возмущения. линейных Соотношения постановок, (46) если являются выполняются соответствующие характеристические уравнения. Подстановка системы выражений уравнений (41) – (46) (44) в линеаризованные приводит к проблеме собственных значений, решение которой характеризуется ветвями   i    и соответствующими 39 собственными

ui  ˆAi ,ˆBi ,ˆi , hˆi  значениями . Ненулевые составляющие вектора собственных значений при данном  характеризуют наличие влияния соответствующего процесса на ˆ ˆ релаксационное поведение системы. Если  Ai ,Bi 0 на процесс релаксации оказывает влияние кинетика диффузии, при ˆi 0 – напряжённое микроструктуры. состояние, Техника hˆi 0 при метода – кинетика возмущений позволяет изучать физику процессов релаксации в связанных системах в зависимости от различных факторов, не прибегая к численному анализу. Далее Ляпунову полагается, что выполняются. релаксации   i    условия Каждая имеет устойчивости из ветвей асимптотические по времён случаи при ничтожно малых   0 и бесконечно больших    длинах возмущений. На переходных участках ветвей реализуются сложные связанные релаксационные процессы, математический анализ которых затруднителен и здесь не приводится. В силу определённое связности раннее модели Фиком, понятие расширяется диффузии, на случай наличия релаксации напряжений и микроструктуры. Далее условно считается, соответствует что диффузия наклонным в связанной асимптотам ln ln i  ln  ui 2u Di 2i t x , 40 на системе графике

где Di – коэффициенты взаимной диффузии. Математическая структура уравнения Фика имеет место на наклонных асимптотах, тем не менее на них возможна ни только релаксация состава вещества. Вязкость в связанной системе условно определяется по горизонтальным асимптотам на графике ln ln i  ln  ui u  i t i . Количество ветвей времён релаксации определяется степенью полиномиального характеристического уравнения для конкретной линейной постановки. 4 Спектры времён релаксации и их анализ 4.1 Спектр времён релаксации хемодиффузионной задачи Линейные разрешающие хемодиффузии (41) возмущений согласно пространственных соотношения анализируются с пункту возмущений помощью 3.6. приводит к задачи метода Наложение двум ветвям времён релаксации   i    , i 1,2, выражения для которых получены в замкнутой форме и не приводятся здесь в силу своей громоздкости. Квадратичное уравнение, определяющее i    , приведено проводятся устойчивости в в прил. А. Дальнейшие предположении по Ляпунову. представлен на рис. 1. 41 рассуждения выполнения График условия ln ln i  ln  , i 1,2

Рисунок 1 – Ветви времён релаксации задачи хемодиффузии Каждой из ветвей времён релаксации соответствуют асимптотические случаи при и     0, которые анализируются ниже. На переходных участках возникают сложные связанные процессы диффузии и химии, анализ которых затруднителен в виду математических сложностей. При бесконечно релаксация системы малых волнах возмущения характеризуется  0 коэффициентами взаимной диффузии D01,2  1 0 0 0 0 2 D V  c  c  1        i ii j k i  2   2 2  1     Di Vii0  c0j  ck0    1 i0    4 Vmm0  Dj Dkci0 , 2        где Dk kTMk , k  – коэффициент диффузии компоненты (47) трейсера k,   i  A, j B,k  AB; i B, j  AB,k  A; i  AB, j  A,k B , k0 Vkck0 , k  – объёмные доли компонент в равновесном состоянии. 42

Собственный вектор 0 0 ˆ0 u1,2  ˆ1,2 A,1,2B ,0,0  . имеет следующую структуру В случае рассмотрения двухкомпонентной системы, так далее когда cAB 0, VAB 0 и DAB 0 коэффициент взаимной диффузии для второго графика D02 сводится к коэффициенту взаимной диффузии по Даркену DDark kT  MA B0  MB A0  где   VA A0  VBB0  Vm объём в , 0 0 , Vm  AVA   BVB – средний парциальный двухкомпонентной является обобщением DDark среде. Таким образом, D02 на случай трёхкомпонентной среды. При этом если одна из компонент диффундирует значительно быстрее других, например DA DB и DA DAB , 2 0  D02 DA   1  A0   VA A0  cB0  cAB    коэффициент взаимной диффузии , таким образом лимитируется процесс диффузией релаксации самой аналогично диффузии Даркена. 43 быстрой по-прежнему из компонент

Рисунок 2 – Зависимости ln ln i (ln ), i 1,2 при DA DB и DA DAB В случае   0 для первого графика при наличии скоростной DA DB , компоненты контролируется DA DAB химической процесс реакцией релаксации см. рис. 2, диффузионная асимптота заменяется вязкой, а вязкое время релаксации выражается так 0 0   AB 0 2 0  B 1    V       A A A 0  VB VAB  VBVABB0 AB 1  0  2 0 kT VA A0  VBB0  VAB AB  VB BAB0  VAB ABB0  Коэффициент взаимной диффузии при .   соответствует последовательному соединению тел Фика, при котором диффузия лимитируется компонентной 44 самой быстрой

D1 0 i i V   DV  V  V    0 i i  0 i i i j 0 j k  Vk k j0  2     1  0  2 V  V  0  V  0   i i j k k j   V 2    i i    i0  VV j k      i0 0 0  2 j k  VV  V 1    V 1       j k j k k j  Vi    . Соответствующий Несмотря на собственный выполнение u1  ˆ1A,ˆ1B,0,0  вектор закона (48) Фика в . данном асимптотическом случае, на скорость протекания диффузии оказывают значительное влияние химические реакции, что выражается наличием стехиометрических коэффициентов  k , k  в D1 . Время релаксации при   для второй ветви ограничивается диссипативным химическим процессом   2   kT    1  0  2  0  k0  i j   V 2 2   0 0    i i  Vii0 k  j       i0 2 j k  VV  Vj  1 k0   Vk  1  j0    j k Vi    . Собственный вектор имеет аналогичный вид (49) u2  ˆ2A,ˆ2B,0,0  . Несмотря на отсутствие коэффициентов диффузии трейсера в (49), конвективный перенос вещества, протекающий за счёт диффузионных свойств системы, не запрещается. Запрет диффузии Mk 0, k  приводит к нулевой скорости частиц материи и релаксация осуществляется исключительно за счёт обратимых химических реакций. 45

Таким образом, влияние химической реакции на процессы релаксации чётко проявляется при достаточно больших длинах волн, что объясняется структурой дифференциальных уравнений (41), в которых диффузионный 2 член оказывается пропорциональным 1/  , а производство вещества не зависит от характерного размера  . Как показано в следующих главах, релаксационные процессы при малых длинах волн представляют особый интерес, но химические реакции не оказывают никакого влияния на коэффициенты взаимной диффузии в этом пределе, именно поэтому в разделе 4.4 рассматривается задача для двухкомпонентной среды без химических процессов. 4.2 Спектр времён релаксации задачи диффузии с эволюцией микроструктуры для двухкомпонентной среды без химии Линейные разрешающие соотношения задачи диффузии с эволюцией микроструктуры в двухкомпонентной среде (42) анализируются с помощью метода возмущений согласно пункту 3.6. Наложение пространственных возмущений приводит к двум ветвям времён релаксации   i    , i 1,2, выражения для которых не приводятся здесь в силу своей громоздкости. Квадратичное уравнение, определяющее  i    , приведено в прил. Б. Дальнейшие рассуждения проводятся в предположении выполнения условия устойчивости Ляпунову. График ln ln i  ln  , i 1,2 представлен на рис. 3. 46 по

Рисунок 3 – Ветви времён релаксации для связанной задачи диффузии и эволюции микроструктуры Каждой из ветвей времён релаксации соответствуют асимптотические случаи при    и   0. На переходных участках возникают сложные связанные процессы диффузии с сопутствующей эволюцией микроструктуры, анализ которых затруднителен в виду математических сложностей. При    в случае ветви 1 возникает коэффициент взаимной диффузии  ffB  0 0 A  AB D kT  M   M       MA fA  MB fB    VB VA  fH ,  1 0 A B 0 B A (50) соответствующий последовательному соединению тел Фика. Собственный вектор имеет структуру ˆ1  ˆ1A,ˆ1B ,0, hˆ1 u  . Изменение микроструктуры оказывает сильное влияние на релаксационный процесс. В зависимости от соотношения физических постоянных в (50) диффузия Даркена может быть 47

как ускорена, так и замедленна с помощью изменения микроструктуры. При больших длинах волн    второй ветви соответствует вязкое время релаксации  2  с соответствующим Здесь диффузия H fH собственным никаким вектором образом не u2  0,0,0,hˆ2  . влияет на релаксационные процессы и выполняется дифференциальное уравнение релаксационного типа h f  H h t H . В асимптотическом коэффициенты зависящие от взаимной  0 случае диффузии диффузионных возникают сложным и образом микроструктурных физических постоянных 0 D1,2  h0 kT fAMA A0  fBMBB0   MA B0  MB A0     2 2 2 kT h    0  fAMA A0  fBMBB0   MA B0  MB A0    kTMAMBVm fH h02  2 2  . Соответствующие собственные вектора 0 0 u1,2  ˆA01,2,ˆB01,2,0, hˆ1,2   , так далее реализуется связанный процесс релаксации компонент и микроструктуры. диффузионные микроструктуры. материалов На потоки В h0 fk kT , рассматриваемых асимптотах контролируются градиентом случае k 1 , а диффузии 48 наноструктурированных коэффициенты взаимной

D10 h0  fAMA A0  fBMBB0  D20  , kTMAMBVm fHh0 fAMA A0  fBMBB0 , 0 0 для которых D1 D2 , что характеризует (51) как коэффициент быстрой диффузии. Для случая (51) наблюдается эффективное ускорение диффузионного потока, релаксация которого происходит совместно с микроструктурным полем. Коэффициент (51) определяется энергией микроструктуры и не зависит от характерной термической энергии. В случае реализации быстрой диффузии на рис. 3 ветвь 2 оказывается значительно ниже ветви 1 и не пересекает её. Коэффициент (51) определяется диффузионных последовательным структурных элементов, соединением а (52) – параллельным соединением. Предположим в (52), что одна из компонент диффундирует значительно быстрее другой, т.е. MA MB , тогда скорость протекания диффузии лимитируется медленной компонентой B, а не быстрой, как в случае последовательного соединения. Для обратного соотношения 1 энергий h0 fk kT , k  коэффициенты взаимной диффузии при   0 имеют вид fHh02MAMB D  MAсB0  MBс0A , 0 1 D20 kT  MA B0  MB A0  (53) , (54) 0 0 0 для которых D2 D1 , что характеризует D1 как коэффициент медленной диффузии. Выражение (53) соответствует параллельному соединению диффузионных реологических элементов и определяется исключительно 49 характерной

энергией микроструктуры. Нормированные собственные вектора для случаев быстрой (51) и медленной (53) диффузии показаны на рис. 4. Рисунок 4 – Собственные вектора для случаев: 1 - быстрой диффузии, 2 - медленной диффузии Как видно из рис. 4, в случае протекания быстрой диффузии амплитуда микроструктурной переменной ĥ имеет большую величину, что значительно ускоряет диффузию компонент. В случае медленной располагается диффузии вдоль собственный концентрационной вектор компоненты, значение микроструктурной переменной ĥ настолько мало, что градиент h эффективно замедляет диффузионные потоки. 4.3 Спектр времён релаксации связанной задачи диффузии и вязкоупругого деформирования для двухкомпонентной среды без химии Линейные разрешающие соотношения задачи диффузии и вязкоупругого деформирования для двухкомпонентной среды (43) анализируются с помощью метода возмущений согласно пункту 3.6. Наложение 50 пространственных

возмущений приводит к двум ветвям времён релаксации   i    , i 1,2, выражения для которых не приводятся здесь в силу своей громоздкости. Квадратичное уравнение, определяющее  i    , приведено в прил. В. Дальнейшие рассуждения условия проводятся в предположении устойчивости по выполнения Ляпунову. График ln ln i  ln  , i 1,2 представлен на рис. 5. Рисунок 5 – Ветви времён релаксации для задачи диффузии и вязкоупругого деформирования в двухкомпонентной среде Каждой из ветвей времён релаксации соответствуют асимптотические случаи при    и   0. На переходных участках возникают сложные связанные процессы диффузии и вязкоупругого деформирования, анализ которых затруднителен в виду математических сложностей. При    для первой ветви градиент напряжений никак не влияет на диффузионные потоки, а диффузия происходит по механизму Даркена 51

D1 kT  MA B0  MB A0    VA A0  VBB0  Vm где . Диффузия , (55) Даркена определяется последовательным соединением тел Фика. Соответствующий собственный вектор волновом пределе u1  ˆ1A,ˆ1B,0,0    . Вторая ветвь в длинно определяется вязким временем релаксации  2  с собственным вектором  G u2  0,0,ˆ2 ,0 . Так далее здесь возникает лишь релаксация напряжений, подчиняющаяся уравнению релаксационного типа  m G   m t  , описывающему механизм релаксации по типу сдвига.   0 коэффициенты В коротко волновом пределе взаимной диффузии сложным образом зависят от реологических и диффузионных свойств 0 D1,2  2G kT MAVA A0  MBVBB0   MA B0  MB A0     3 2 2 1   4G  MAVA A0  MBVBB0   3kT  MA B0  MB A0    48kTGMAMBVm 6 . Собственные вектора 0 0 ˆ0 ˆ0 u1,2  ˆ1,2 A,1,2B , 1,2,0  . имеют следующую структуру В этих случаях диффузионные потоки модерируется градиентом напряжений. Для случая kT GVm при   0 коэффициент для первой ветви упрощается 52

D10 kT MAMBVm MAVA A0  MBVBB0 . (56) В случае одинаковых объёмов смешения VA VB коэффициент (56) совпадает с коэффициентом Назарова – Гурова [10], описывающим диффузию по вакансионному механизму. Для реализации диффузии вида (56) необходимо наличие сдвигового вязкого течения, а упругие свойства никаким образом не Аналогично влияют для на второй релаксационный ветви при процесс kT GVm и [13].  0 коэффициент взаимной диффузии D20  который 4G MAVA A0  MBVBB0   3 , удовлетворяет соотношению (57) D20 D10 , что характеризует (57) как коэффициент быстрой диффузии. Он соответствует последовательному соединению диффузионных реологических элементов и определяется характерной упругой энергией GVm . В случае обратного соотношения характерных энергий kT GVm для второй ветви коэффициент взаимной диффузии D20 kT  MA B0  MB A0  совпадает с коэффициентом диффузии по Даркену. При этом для первой ветви возникает коэффициент медленной диффузии D10  4G MAMBVAVB 3 MAVAB0  MBVB A0 , удовлетворяющий соотношению (58) D20 D10 . Он определяется параллельным соединением диффузионных тел и также как в 53

случае быстрой диффузии (57) невозможен без упруговязкой релаксации среды. Нормированные собственные вектора для случаев быстрой (57) и медленной (58) диффузии показаны на рис. 6. Рисунок 6 – Собственные вектора для случаев: 1 - быстрой диффузии, 2 - медленной диффузии Как видно из рис. 6, в случае быстрой диффузии амплитудные значения напряжений оказываются настолько велики, что вызывает значительное ускорение диффузии компонент. В случае медленной располагается вдоль диффузии собственный концентрационной вектор компоненты, значение ˆ настолько мало, что градиент  m эффективно замедляет диффузионные потоки. 4.4 Спектр механодиффузии времён с эволюцией релаксации задачи микроструктуры для двухкомпонентной среды без химии Линейные механодиффузии разрешающие с эволюцией 54 соотношения задачи микроструктуры в

двухкомпонентной среде (44) анализируются с помощью метода возмущений пространственных согласно возмущений пункту 3.6. приводит к Наложение трём ветвям времён релаксации   i    , i 1,2,3, выражения для которых не приводятся здесь в силу своей громоздкости. Кубическое уравнение, Дальнейшие определяющее рассуждения i    , приведено проводятся в в прил. Г. предположении выполнения условия устойчивости по Ляпунову. График ln ln i  ln  , i 1,2,3 представлен на рис. 7. Рисунок 7 – Ветви времён релаксации для задачи механодиффузии и вязкоупругого деформирования в двухкомпонентной среде Каждой из ветвей времён релаксации соответствуют асимптотические случаи при    и   0. На переходных участках возникают сложные связанные процессы диффузии, вязкоупругого деформирования и эволюции микроструктуры, анализ которых затруднителен математических соотношений. 55 в виду громоздкости

Для первой   1( ) ветви при   градиент напряжений никак не влияет на диффузионные потоки компонент и возникает коэффициент взаимной диффузии совпадающий с (50)  ffB  0 0 A  AB D kT  M   M       MA fA  MB fB    VB VA  fH , 0 A B  1 0 B A В этом случае собственный вектор u1  ˆ1A,ˆ1B ,0, hˆ1  (59) . Все рассуждения, сделанные для (50), справедливы и для (59). В случае малой выражение энергетической (59) сводится связанности к h0 fk kT, k 1 коэффициенту взаимной диффузии по Даркену. При   0 для ветвей 2, 3, когда характерная тепловая kT и упругая взаимной GVm энергии соизмеримы, коэффициенты диффузии имеют сложную зависимость от микроструктуры, упругих и диффузионных свойств системы 0 D2,3  kT h 2G MA B0  MB A0   0  fAMA A0  fBMBB0   MAVA A0  MBVBB0     2 2 3 2 1  4G     kT  MA B0  MB A0   h0  fAMA A0  fBMBB0   MAVA A0  MBVBB0      2  3   4kTMAMBVm fHh02  Здесь собственный вектор имеет вид 0 0 0 u2,3  ˆA02,3,ˆB02,3,ˆ2,3 , hˆ2,3  1/2  , т.е. происходит связанная релаксация микроструктуры, состава и напряжений. В случае GVm kT диффузии 56 коэффициенты взаимной

D20  D30   4G  kTMAMBVm   fHh02   3  4G MAVA A0  MBVBB0   h0  fAMA A0  fBMBB0   3 , (60) 4G MAVA A0  MBVBB0   h0  fAMA A0  fBMBB0   3 , (61) 0 0 которые находятся в соотношении D3 D2 . В обоих случаях градиент среднего значения напряжений и микроструктурной переменной модерируют диффузионные потоки, причём в случае (61) наблюдается их эффективное ускорение. Коэффициент (61) определяется последовательным соединением диффузионных структурных элементов и является обобщением коэффициентов (52) и (56) в случае совместного действия микроструктурных изменений и напряжений определяется на диффузионные параллельным коэффициенты (51) и (57). потоки, соединением а и (60) – обобщает 1 При h0 fk GVm, k  и VA VB выражение (60) сводится к коэффициенту Назарова-Гурова. В случае наноструктурированных возникает большая металлических энергетическая сплавов связанность h0 fk GVm, k 1 , что в (60) и (61) ведёт к D20  kTMAMBVm fHh0 0 0 0 fAMA A0  fBMBB0 , D3 h0  fAMA A  fBMBB  , совпадающие с (51) и (52). Для больших возмущаемых величин пространственных   0 при градиентов kT GVm коэффициенты взаимной диффузии 0 D2,3  kT h MA B0  MB A0   0  fAMA A0  fBMBB0    2 2 57

2 1   kT  MA B0  MB A0   h0  fAMA A0  fBMBB0    4kTMAMBVm fHh02 2 . 0 Хотя в D2,3 отсутствуют G и  , градиент напряжений влияет на массоперенос. Дополнительно полагая малую 1 энергетическую связанность h0 fk kT, k  , имеем  4G  MAMBVm D20   fHh02  0 0  3  MA B  MB A , D30 kT  MA B0  MB A0  где коэффициенты диффузии , находятся в соотношении D20 D30 , что характеризует (62), как коэффициент медленной взаимной диффузии. Коэффициент (62) соответствует параллельному соединению тел Фика и является обобщением выражений (53) и (58) на случай совместного действия микроструктуры и напряжений на процесс диффузии. При одинаковых объёмах смешения VA VB коэффициент (63) совпадает с коэффициентом взаимной диффузии по Даркену. Асимптоты при    для 2 и 3 ветви характеризуются вязкими временами релаксации  2  с собственными H   , 3  fH G векторами u2  0,0,0,hˆ2  , u3  0,0,ˆ3 ,0 . Аналогичные результаты получены в пунктах 4.2 и 4.3. На второй ветви возможна только релаксация микроструктуры и справедливо релаксационное уравнение (64), на третьей – только релаксация напряжений, определяемая стандартным релаксационным уравнением Максвелла (65) 58

h fH  h 0 t  H ,  m    m 0 t G .   0, для 1 ветви существует вязкое время Если релаксации  4G   H  VA A0  VBB0    fHh02  3kT  3   10  2 4G  3 H 2   ffB 0 0  kTfH  VA A  VBB   1 h0     A   A0B0 4    VB VA  при котором скорость собственный релаксации диффузионных в вектор случае характеристик u10  ˆA01,ˆB01,ˆ10,hˆ10  (66) не системы, (66) . зависит Хотя от концентрации веществ релаксируют к равновестному состоянию через диффузионные потоки. Нормированные собственные вектора для случаев быстрой (57) и медленной (58) диффузии при комплексном влиянии микроструктуры показаны на рис. 6. 59 и напряжений

Рисунок 8 – Собственные вектора для случаев: 1 - быстрой диффузии, 2 - медленной диффузии Как видно из рис. 8, в случае быстрой диффузии амплитудные значения напряжений и микроструктурной переменной при h0 fk GVm, k 1 оказываются настолько велики, что градиенты  m и h значительно ускоряют диффузию компонент. В случае медленной вдоль диффузии собственный концентрационной вектор компоненты, располагается значения ˆ и ĥ настолько малы, что градиенты  m и h сильно замедляют диффузионные потоки. 60

ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основе работы трёхкомпонентной [13] изотропной описывающая связанные вязкоупругого деформирования построена модель сплошной среды, процессы диффузии с и сопутствующими химическими реакциями и изменением микроструктуры в условиях изотеримии. Модель базируется на фундаментальных принципах неравновесной термодинамики, что позволило записать квазилинейные конституативные соотношения и обеспечить связь физических процессов на их уровне. Сконструированные термодинамические потенциалы также обеспечивают связность модели. Уравнения законов сохранения массы записываются относительно материальных элементов среды, диффузионные что позволило потоки и ввести возможность независимые для описания процессов самодиффузии. Дана формулировка наиболее простой одномерной модельной задачи, разрешающей совместное протекание реологических и диффузией эволюцией метода возмущений постановке которые и химических показало приводят совместно микроструктуры. к связанной свою к процессов с Применение квазистатической эффективность для характеристическим проблем, уравнениями второго и третьего порядка, и позволило проанализировать скорость и характер линейной релаксации возмущений к равновесному состоянию. Для простоты анализа влияния рассматриваемых процессов на диффузию компонент поставлены и решены ряд задач, в которых локализуется влияние отдельного физического процесса на диффузию. В случае выполнения условий устойчивости по Ляпунову в 61

замкнутой форме получены зависимости времён релаксации системы от длины коэффициенты релаксации, волны взаимной возмущения диффузии и и определены вязкие времена характеризующие релаксационное поведение среды в асимптотических случаях при бесконечно малых и больших длинах волн возмущений. При анализе хемодиффузионной реакции только спектра задачи незначительно в случае времён показано, ускоряют длинноволновых что релаксации химические диффузионные возмущений, потоки т.е. при достаточно длительных релаксационных процессах. Здесь коэффициент диффузии определяется последовательным соединением тел Фика, при котором скорость диффузии лимитируется самой быстрой из компонент. На малых длинах волн химические реакции никак не сказываются на скорость протекания диффузии. Здесь получен обобщенный коэффициент Даркена на случай трёхкомпонентной среды. Он, в отличии от коэффициента диффузии Даркена для двухкомпонентной среды, не определяется последовательным соединением элементов, но по-прежнему лимитируется самой быстрой компонентой. Изменение микроструктуры оказывает сильное влияние на величины времён релаксации на всём диапазоне длин волн возмущений. В длинно волновом пределе получен коэффициент взаимной диффузии, состоящий из суммы двух частей: первая часть определяет скорость термической диффузии по механизму Даркена, а вторая часть определяет влияние микроструктуры на диффузию и может как ускорять 62

её, так и замедлять в зависимости от соотношения физических параметров. При больших градиентах полевых величин в зависимости от соотношения характерной тепловой и микроструктурной энергии может наблюдаться быстрая, либо медленная диффузия, для которых характерен контроль диффузионных микроструктурной диффузии переменной. определяется диффузионных потоков градиентом Коэффициент последовательным реологических элементов, быстрой соединением коэффициент медленной диффузии – параллельным соединением. Оба коэффициента пропорциональны характерной микроструктурной энергии. Добавление упругих свойств в систему приводит к появлению дополнительной ветви времён релаксации. Влияние свойств упругости на диффузию проявляется в коротко волновом пределе. Как и в случае микроструктурного влияния, здесь может наблюдаться как эффективное ускорение диффузионных потоков, так и их замедление за счёт больших градиентов среднего значения напряжений. Последовательное соединение диффузионных элементов характерно параллельное для соединение – быстрого для коэффициента медленного. и Наличие сдвиговой вязкости не приводит к быстрым, либо медленным коэффициентам, существования коэффициентом но является коэффициента определяющим диффузии Назарова-Гурова, для совпадающего который с описывает вакансионный механизм диффузии. Напряжения по аналогии 63

с вакансиями играют роль внешнего воздействия для частиц компонент, из-за чего и возникает данный коэффициент. Коэффициенты соответствующие задачи упругой спектру диффузии, эволюции быстрой времён вязкоупругого микроструктуры и и медленной диффузии, релаксации связанной деформирования определяются микроструктурной энергией и характерной и являются обобщением коэффициентов, полученных в более простых постановках. Здесь диффузионные потоки модерируются значительными градиентами микроструктурного поля и поля напряжений, что приводит к их значительному ускорению, либо замедлению в зависимости от соотношения физических параметров системы. 64

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Боровский И.Б., Гуров К.П., Мачукова И.Д., Угасте Ю.Э. Процессы взаимной диффузии в сплавах. – М.: Наука, 1973, 360 с. 2. Вакуленко А.А., Марков К.З. Некоторые вопросы континуальной теории дислокаций. Вестник Ленинградского университета, № 7, стр. 74-87 (1970) 3. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. – М.: Наука, 1990, 312 с. 4. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. – М: Мир, 1974, 304 с. 5. Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая «Регулярная термодинамика. и хаотическая – Москва-Ижевск: динамика»; НИЦ Институт компьютерных исследований, 2006, 528 с. 6. Князева А.Г. Перекрестные эффекты в твердых средах с диффузией. Прикладная механика и техническая физика, т. 44, № 3, стр. 373-384 (2003) 7. Князева А.Г. Диффузия по вакансионному механизму в материалах с большим числом внутренних поверхностей. Химия в интересах устойчивого развития, т. 13, № 2, стр. 233242 (2005) 8. Князева А.Г. Нелинейные модели деформируемых сред с диффузией. Физическая мезомеханика, т. 14, № 6, стр. 35-51 (2011) 9. Локощенко А.М., Фомин Л.В. Моделирование поведения материалов и элементов конструкций, находящихся под воздействием агрессивных сред. Проблемы прочности и пластичности, т. 80, № 2, стр. 145-179 (2018) 65

10. Назаров А.В. Метод дырочного газа К.П. Гурова и альтернативная теория взаимной диффузии. Физика и химия обработки материалов, № 2, стр. 48-62 (2018) 11. Спевак Л.Ф., Нефедова О.А., Макаров А.В., Самойлова Г.В. Математическое моделирование плазменного азотирования аустенитной нержавеющей стали. Diagnostics, Resources and Mechanics of materials and structures, Vol. 6, pp. 68-79 (2015) 12. Фрейдин А.Б. О тензоре химического сродства при химических реакциях в деформируемых материалах. Механика твердого тела, № 3, стр. 35-68 (2015) 13. Brassart L., Liu Q., Suo Z. Mixing by shear, dilation, swap and diffusion. J. Mech. Phys. Solids, Vol. 112, pp.253-272 (2018) 14. Brassart L., Liu Q., Suo Z. Shear, dilation and swap: mixing in the limit of fast diffusion. J. Mech. Phys. Solids, Vol. 96, pp. 48-64 (2016) 15. Brassart L., Suo Z. Reactive flow in solids. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 61, pp. 61-77 (2013) 16. Brassart L., Suo Z. Reactive flow in large-deformation electrodes of lithium-ion batteries. International Journal of Applied Mechanics, Vol. 4, No. 3, pp. 1-16 (2012) 17. Brenner H. Bivelocity hydrodynamics. Diffuse mass flux vs. diffuse volume flux. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Vol. 392, pp. 558-566 (2013) 18. Berezovski A., Van P. Microinertia and internal variables. Continuum Mechanics and Thermodynamics, Vol. 28(4), pp. 1027-1037 (2016) 19. Darken L.S. Diffusion, mobility and their interrelation through free energy in binary metallic systems. Trans. Am. Inst. Min. Metall. Eng., Vol. 175, pp. 184-201 (1948) 66

20. De Groot S.R., Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. Dover publications, p. 510 (1984) 21. Gurtin M. E., Fried E., Anand L. The Mechanics and Thermodynamics of Continua. Cambridge University Press, New York, p. 694 (2010) 22. Hu Y., Suo Z. Viscoelasticity and poroelasticity in elastometric gels. Acta Mechanica, Vol. 25, No. 5, pp. 441-458 (2012) 23. Knyazeva A.G. Model of medium with diffusion and internal surfaces and some applied problems. Materials Physics and Mechanics, Vol. 7, No. 1, pp. 29-36 (2004) 24. Li J., Liu Q. Mechanics of Supercooled Liquids. Journal of Applied Mechanics, Vol. 81, pp. 1-31 (2014) 25. Lebon G., Jou D., Casas-Vazquez J., Uderstanding Nonequilibrium Thermodynamics: Foundations, Applications, Frontiers. Springer Science & Business Media, 326 p. Springer, Heidelberg (2008) 26. Loeffel K., Anand L. A chemo-thermo-mechanically theory for elastic-viscoplastic deformation, diffusion, and volumetric swelling due to a chemical reaction. International Journal of Plasticity, Vol. 27, pp. 1409-1431 (2011) 27. Mehrer H. Diffusion in Solids. Springer Series in SolidState Sciences, Vol. 155, 637 p. Springer, Heidelberg (2007) 28. Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermo-mechanics (1893-2013). Mechanics Research Communications, Vol. 69, pp. 79-86 (2015) 29. Nazarov A.V., Gurov K.P. The Kinetic Theory of Interdiffusion in Binary System, Concentration of Vacancies During Mutual Diffusion. The Physics Metallography, Vol. 37, pp. 496-503 (1974) 67 of Metals and

30. Prigogine I., Defay R. Chemical thermodynamics. Longmans, Green and Co, p. 543 (1952) 31. Poluektov M., Freidin A.B., Figiel L. Modelling stressaffected chemical reactions in non-linear viscoelastic solids with application to lithiation reaction in spherical Si particles. International Journal of Engineering Science, Vol. 128, pp. 44-62 (2018) 32. Paul A., Laurila T., Vuorinen V., Divinski S.V., Thermodynamics Diffusion and the Kirkendall Effect in Solids. Springer, p. 543 (2014) 33. Straumal B.B., Baretzky B., Mazilkin A.A., Phillippa F., Kogtenkova O.A., Volkov M.N., Valiev R.Z. Formation of nanograined structure and decomposition of supersaturated solid solution during high pressure torsion of Al-Zn and Al-Mg alloys. Acta Materialia, Vol. 52, No. 15, pp. 4469-4478 (2004) 34. Stephenson G.B. Deformation during interdiffusion. Acta Metallurgica, Vol. 36, pp. 2663-2683 (1988). 35. Suo Z., Kubair D.V., Evans A.G., Clarke D.R., Tolpygo V.K. Stresses induced in alloys by selective oxidation. Acta Materialia, Vol. 51, pp. 959-974 (2003) 36. Suo Z. A continuum Theory that Couples Creep and SelfDiffusion. Journal of Applied Mechanics, Vol. 71, pp. 646-651 (2004) 37. Van Loo F. J. J. Multiphase diffusion in binary and ternary solid-state systems. Prog. Solid St. Chem., Vol. 20, pp. 47-99 (1990) 38. Wierzba B. The Kirkendall effect in single-phase multicomponent systems: dependence on drift and entropy distribution. Philosophical Magazine, Vol. 94, No. 6, pp. 611-623 (2014) 68

39. Wilmanski K. Continuum Thermodynamics. Part I: Foundations. Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, Vol. 77, World Scientific, Singapore, p. 403 (2008) 40. Wilmanski K. Continuum Theories of Mixtures – Lecture Notes. Universita degli Studi di Roma, Rome, p. 124 (2005) 41. Wilmanski K. Thermomechanics of Continua. Classical & Continuum Physics, Springer, p. 274 (1998) 42. Yurek G.J., Schmalzried H. Interdiffusion in (A,B)O-type Solid Solutions and the Validity of Darken’s Equation. Berichte der Bunsengesellschaft/Physical Chemistry Chemical Physics, Vol. 78(12), pp. 1379-1386 (1974) 69

ПРИЛОЖЕНИЕ 70

ПРИЛОЖЕНИЕ А Характеристическое уравнение хемодиффузионной задачи A 2  B  C 0, A= ( 1 2 2 −MbVb ϕb 0 kT q ( Vab νab ϕa 0+ Vaνa (−1+ϕa 0+ ϕb 0 ) ) (Va2 Va VabVb ϕa 0 ϕab0 ϕb 0 βξ , Продолжение приложения A B= ( −1 kT VabVb ϕa02 ϕab 0 ϕb 0 ( Vab2 νab2 / βξ +2 VabVb νabνb/ βξ VaVabVb ϕa0 ϕab0 ϕb 0 , C=1, q= 2π . λ 71

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Характеристическое уравнение задачи диффузии и эволюции микроструктуры A 2  B  C 0, A= 1 2 2 q ( fh VaVb (− fb Va+ fa Vb ) ϕa 0( fa Ma(−1+ ϕa 0)+ fb Mb ϕb 0)+ fh kT VaV 2 fh Va Vb βh 2 , B= −1 ( fh2 VaVb+q2 βh( fa Ma ϕa 0+ fb Mb ϕb 0)( fa Vb ϕa 0+ fb Va ϕb0)+ fh kT q 2 β fhVa Vb βh , C=1, q= 2π . λ 72

ПРИЛОЖЕНИЕ В Характеристическое уравнение задачи диффузии и вязкоупругого деформирования двухкомпонентной среды A 2  B  C 0, −3 ( Mb+ Ma ξ a0−Mb ξ a0 ) q 2 ( Ma Va−MbVb ) Vm (−4 MaVaη +4 MbVbη )(− 1 2 A= kT q Ξ ( + 4 η Va Vbη , B= −1 4 2 2 3(−4 kT q η Ξ ( MbVaVb(1−ξa 0)+ MaVaVb ξa 0)− GVa Vb( 3−4 Ma q V 16 G VaVbη 3 , C= −3 2π , q= . 4G λ 73

ПРИЛОЖЕНИЕ Г Характеристическое уравнение третьего порядка A 3  B 2  C  D 0, A= 1 2 2 2 q (− fh VaVb ( fb Va− fa Vb) ( fb Mb ( 3+ 4 Ma q Vaη ) − fa Ma ( 3+ 4 Mbq V 2 4 fh Va Vb βh η B= −1 2 2 3q βh ( fa Vb ϕa 0+ fb Va ϕb 0 ) ( fb Mb Va ( GVb+kT Ma q η ( Vb ϕb0+V 2 2 4 fh GVa Vb βh η 2 ( Продолжение приложения Г C= 1 2 2 3 fh VaVbη+ 3q βh η ( fa Ma ϕa0+ fb Mb ϕb0 )( faVb ϕa0+ fb Vaϕb 0 ) + 4 fh GVa Vb βh η ( D= −3 , 4G q= 2π . λ 74

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв