Моделирование диодной системы с тонким полевым эмиттером в цилиндрической системе координат

Калатурская Элла Владимировна

Моделирование диодной системы с тонким полевым эмиттером в цилиндрической системе координат

Работа посвящена математическому моделированию диодной системы с тонким полевым эмиттером в цилиндрической системе координат. Ставится задача нахождения распределения электростатического потенциала во всей области системы. Решается уравнение Лапласа с граничными условиями. Распределение потенциала найдено во всей области системы. Распределение электростатического потенциала найдено в аналитическом виде методом разделения переменных в виде ряда по функциям Бесселя. В соответствии с найденным решением представлены графики распределения потенциала для конкретных значений параметров рассматриваемой системы.

Общественные науки в целом

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36595f1be77c40d58d49

UUID: 03061192-d0ac-4252-b40b-e1208b5367ad

Язык: Русский

Опубликовано: почти 8 лет назад

Просмотры: 3

Калатурская Элла Владимировна

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1245962 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский государственный университет Факультет Прикладной математики – процессов управления Кафедра МЭКС Калатурская Элла Владимировна Выпускная квалификационная работа бакалавра Моделирование диодной системы с тонким полевым эмиттером в цилиндрической системе координат Направление 010900 «Прикладные математика и физика» Научный руководитель, доктор физ.-мат. наук, , профессор Виноградова Е. М.. Санкт-Петербург 2016

Оглавление Введение 3 1 Расчет диодной системы с тремя граничными условиями в цилиндрической системе координат 5 1.1 Метод разделения переменных в цилиндрической системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Моделирование диодной системы . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Физическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Решение граничной задачи . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Результаты численных расчетов . . . . . . . . . . . . 14 1.2.5 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Расчет диодной системы с четырьмя граничными условиями 17 2.1 Физическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Решение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Результаты численных расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1

3 Моделирование диодной системы с конечным полевым острием 24 3.1 Физическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Математическая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Решение граничной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Заключение 30 2

Введение Принципом работы эмиттера является одно из фундаментальных физических явлений – испускание электронов в вакуум (автоэмиссия). Благодаря холодным катодам вакуумная электроника переросла в вакуумную микроэлектронику и сегодня развивается как эмиссионная наноэлектроника. Использование автокатодов представляется привлекательным во многих областях наноэлектронных приборов — электронно-оптических преобразователях, рентгеновских трубках, СВЧ- приборах, дисплеях и др. Более того, автоэмиссия, стимулированная корпускулярным излучением, может быть использована для визуализации этих излучений[1]. Рис. 1. Участок поверхности многоострийного полевого кремниевого эмиттера [2]. К основным преимуществам полевых эмиттеров можно отнести прежде всего их компактность, в связи с отсутствием дополнительных узлов для получения эмиссии, и экономичность, так как отсутствует расход на дополнительный нагрев и необходимы небольшие напряжения для обеспечения процесса эмиссии[3].Кроме того, следует также отметить, что непрерывно возрастающие требования к качеству проектируемых наноэлектронных приборов приводят к необходимости учета все более сложных элементов моделируемых систем. К настоящему времени в литературе представлено достаточно много методов расчета и моделирования подобных диодных систем на основе полевых эмиттеров [4]-[7]. 3

Целью данной работы является построение математической модели тонкого полевого острия и нахождение распределения потенциала во всей области диодной системы. 4

Глава 1 Расчет диодной системы в цилиндрической системе координат 1.1 Метод разделения переменных в цилиндрической системе координат Метод разделения переменных является одним из самых наиболее удобных и распространенных методов решения уравнений в частных производных математической физики. Использование этого метода зачастую приводит к построению систем ортогональных функций. Как известно, уравнения, содержащие трехмерный оператор Лапласа, разделяются в одиннадцати различных системах координатах.[9] Рассмотрим уравнение Лапласа в цилиндрических координатах для функции U = U (z, r, ϕ): 1 ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2 U 1 ∂U + + 2 2 + = 0. ∂r2 r ∂r r ∂ϕ ∂z 2 (1.1) Пункт 1. Разделение переменных. Требуется решить уравнение Лапласа 4U (r, ϕ, z) = 0, 0 ≤ r ≤ R1 , 5

−π < ϕ ≤ π, 0 ≤ z ≤ z0 . Представим решение в виде: U (r, ϕ, z) = R(r)Φ(ϕ)Z(z). (1.2) При этом не рассматривается случай тривиального решения: U (r, ϕ, z) 6= 0. Подставляя (1.2) в (1.1) и разделив на U (r, z, ϕ), получим: ∂ 2R 1 1 ∂R 1 1 1 ∂Φ2 ∂ 2 Z 1 + + + 2 = 0. ∂r2 R(r) r ∂r R(r) r2 Φ(ϕ) ∂ϕ2 ∂z Z(z) (1.3) Рассмотрим осесимметричный случай, когда уравнение не зависит от ϕ. 4U (r, z) = 0, (1.4) U (r, 0) = U (r, z0 ) = 0. (1.5) 1 ∂U 1 ∂ 2U 1 ∂ 2U 1 + + = 0. ∂r2 R(r) r ∂r R(r) ∂z 2 Z(z) (1.6) Получим: Поскольку (1.6) представляет собой равенство двух функций, зависящих от разных переменных, то знак тождества в (1.6) возможен тогда и только тогда, когда левая и правая часть будут равны постоянной величине. Рассмотрим два случая константы разделения. Отрицательная константа разделения. Рассмотрим случай, когда константа разделения меньше нуля. Обозначим эту величину как −λ2 : ∂ 2U 1 1 ∂U 1 ∂ 2U 1 − 2 − = = −λ2 . 2 ∂r R(r) r ∂r R(r) ∂z Z(z) (1.7) Таким образом, из уравнения (1.7) получаем,что функции R(r) и Z(z) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям: 6

1 R00 + R0 − λ2 R = 0. r Первое уравнение – это обыкновенное дифференциальное уравнение, втоZ 00 + λ2 Z = 0, рое – это модифицированное уравнение Бесселя нулевого порядка. В обоих уравнениях содержится параметр λ. Для его определения, учтем, что уравнение для Z(z) является однородным по z и поставлены однородные граничные условия (1.5)– поэтому задача об определении Z(z) и λ может быть поставлена как задача Штурма-Лиувилля. Пункт 2. Задача Штурма-Лиувилля. Имеем следующую граничную задачу Штурма–Лиувиля: Z 00 + λ2 Z = 0, Z(0) = Z(z0 ) = 0. (1.8) Решение (1.8) имеет вид: Z(z) = C1 cos(λz) + C2 sin(λz). Собственными значениями этой задачи являются: 2 πn , λn = z0 а собственные функции имеют следующий вид: πn Zn (z) = sin z . z0 7 (1.9)

Пункт 3. Получение общего решения. После того, как определены значения λ, можно находить решения уравнения для R(r): 2 1 0 πn R + R − R = 0. r z0 00 Решения этого уравнения имеют вид: Rn (r) = An I0 πn πn r + Bn K0 r . z0 z0 I0 , K0 - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Общее решение уравнения (1.4) имеет вид: U (r, z) = n X n=0 An I0 πn πn πn r + Bn K0 r sin z . z0 z0 z0 (1.10) Пункт 4. Определение постоянных. Можно заметить, что соотношение (1.10) удовлетворяет граничным условиям (1.5) и зависит от неизвестных постоянных, определяя которые получим решение удовлетворяющее начальным условиям. Положительная константа разделения. Аналогичные рассуждения справедливы и для второго случая: 4U (r, z) = 0, U (0, z) = U (R1 , z) = 0, ∂ 2U 1 1 ∂U 1 ∂ 2U 1 + = − = −λ2 . 2 2 ∂r R(r) r ∂r R(r) ∂z Z(z) Получаем следующие дифференциальные уравнения: 8

1 R00 + R0 + λ2 R = 0. r Z 00 − λ2 Z = 0, (1.11) Первое уравнение – это обыкновенное дифференциальное уравнение, второе это уравнение Бесселя нулевого порядка. Решение первого дифференциального уравнения (1.11) имеет вид: Z(z) = C1 ch(λz) + C2 sh(λz). (1.12) Решение второго дифференциального уравнения (1.11) имеет вид: R(r) = B1 J0 (λr) + B2 Y0 (λr). (1.13) J0 , Y0 - функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Собственными значениями этой задачи являются: γn R1 λn = 2 , а собственные функции имеют следующий вид: Rn (r) = J0 γn r . R1 Запишем общее решение, учитывая что коэффициенты при функциях Бесселя второго рода равны нулю, в силу ограниченности распределения потенциала. Общее решение: U (r, z) = n X n=0 γn Dn sh z R1 γn + Cn ch z R1 где γn – это нули J0 (r). 9 J0 γn r , R1

1.2 Моделирование диодной системы 1.2.1 Физическая модель В качестве физической модели рассматривается цилиндрическая ячейка. На торцах цилиндра и боковой поверхности заданы граничные условия первого рода. Схематическое изображение диодной системы представлено на рисунке (1.1). Рис. 1.1. Диодная система. 1.2.2 Математическая модель В качестве математической модели, описывающей данную систему, рассматривается функция распределения электростатического потенциала U (r, z) удовлетворяющая уравнению Лапласа: 4U (r, z) = 0, (1.14) c граничными условиями:   U (r, z0 ) = f1 (r),   U (r, z1 ) = f3 (r),    0 ≤ r ≤ R1 , 0 ≤ r ≤ R1 , (1.15) U (R1 , z) = f2 (z), 0 ≤ z ≤ Z1 . Связь между цилиндрическими координатами и декартовыми коор10

динатами определяется формулами: x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ), (1.16) z = z, где −π < ϕ ≤ π, 0 ≤ r ≤ R1 , z0 ≤ z ≤ z1 . 1.2.3 Решение граничной задачи Используя метод разделения переменных, описанный в предыдущем параграфе (1.1), можно сразу выписать в общем виде решение граничной задачи (1.14)-(1.15), представляя решение уравнения Лапласа в виде суммы двух функций и учитывая что коэффициенты при функциях Бесселя второго рода равны нулю, в силу ограниченности распределения потенциала. U (r, z) = U1 (r, z) + U2 (r, z). Граничные условия (1.15) принимают следующий вид: U1 (r, z0 ) = f1 (r), U2 (r, z0 ) = 0, U1 (r, z1 ) = f3 (r), U2 (r, z1 ) = 0, U1 (R1 , z) = 0, U2 (R1 , z) = f2 (z). (1.17) Функция U1 (r, z): U1 (r, z) = ∞ X (B1,n sh(µ0,n z) + B2,n ch(µ0,n z))J0 (µ0,n r). n=0 11 (1.18)

Функция U2 (r, z): ∞ X U2 (r, z) = (A1,m sin(ξm z) + A2,m cos(ξm z))I0 (ξm r), (1.19) m=0 где собственные значения ξm и µ0,n определяются из граничных условий (1.17): ξm = πm , z1 − z0 µ0,n = γ0,n . R1 где γ0,n – нули функции Бесселя J0 (γ0,n ). Для определения постоянных B1,n , B2,n и A1,m , A2,m , входящих в разложения (1.18) и (1.19), воспользуемся граничными условиями (1.17). Подставим в (1.19) граничные условия U2 (r, z0 ) = 0 и U2 (r, z1 ) = 0 и установим связь между константами A1,m и A2,m : A1,m cos(ξm z0 ) + A2,m sin(ξm z0 ) = 0. (1.20) Перепишем общее решение (1.19) подставив в него (1.20) и после некоторых преобразований получим следующее: U2 (r, z) = ∞ X A2,m sin(ξm (z − z1 ))I0 (ξm r). (1.21) m=0 Разложим f2 (z) в ряд Фурье по собственным функциям sin(ξm (z − z1 )), получим: f2 (z) = ∞ X pm sin(ξm (z − z1 )), (1.22) m=0 где pm = 2 z1 −z0 Rz1 f2 (z) sin(ξm (z − z1 )) dz. z0 Далее определим постоянные A2,m – вычислим (1.21) при r = R1 , получим: 12

U2 (R1 , z) = ∞ X A2,m sin(ξm (z − z1 ))I0 (ξm R1 ), (1.23) m=0 приравнивая (1.23) и (1.22), получим: ∞ X A2,m sin(ξm (z − z1 ))I0 (ξm R1 ) = m=0 ∞ X pm sin(ξm (z − z1 )), m=0 следовательно: pm . I0 (ξm R1 ) A2,m = Далее определим B1,n и B2,n . Для этого разложим f1 (r) и f3 (r) в ряды γ Фурье по функциям Бесселя J0 ( R0,n1 r), получим: f1 (r) = ∞ X dn J0 ( n=0 dn = ZR1 2 J02 (γ1,n )R12 f3 (r) = f1 (r)rJ0 ( ∞ X 2 J02 (γ1,0,n )R12 γ0,n r) dr. R1 (1.24) (1.25) 0 ln J0 ( n=0 ln = γ0,n r), R1 γ0,n r), R1 ZR1 f3 (r)rJ0 ( γ0,n r) dr. R1 (1.26) (1.27) 0 Вычислим (1.18) при z = z0 и при z = z1 : U1 (r, z0 ) = ∞ X n=0 U1 (r, z1 ) = ∞ X n=0 γ0,n γ0,n γ0,n B1,n sh( z0 ) + B2,n ch( z0 ) J0 ( r), R1 R1 R1 (1.28) γ0,n γ0,n γ0,n B1,n sh( z1 ) + B2,n ch( z1 ) J0 ( r). R1 R1 R1 (1.29) Приравнивая (1.28) и (1.24), (1.29) и (1.26), получим СЛАУ относительно γ J0 ( R0,n1 r): 13

∞ X n=0 ∞ X γ0,n γ0,n γ0,n γ0,n z0 ) + B2,n ch( z0 ) J0 ( r) = dn J0 ( r), B1,n sh( R1 R1 R1 R 1 n=0 ∞ ∞ X X γ0,n γ0,n γ0,n γ0,n B1,n sh( z1 ) + B2,n ch( z1 ) J0 ( r) = ln J0 ( r). R R R R 1 1 1 1 n=0 n=0 Пользуясь методом Крамера, определяем B1,n и B2,n : γ B1,n = γ ln ch( R0,n1 z0 ) − dn ch( R0,n1 z0 ) γ sh( R0,n1 (z1 − z0 )) γ B2,n = , γ dn sh( R0,n1 z1 ) − ln sh( R0,n1 z0 ) γ sh( R0,n1 (z1 − z0 )) . Итак, пользуясь общим методом разделения переменных и определив значения постоянных B1,n , B2,n и A2,m можно выписать общее решение краевой задачи (1.14)-(1.15) в виде следующих рядов: ∞ X sh(µ0,n (z − z0 )) sh(µ0,n (z1 − z)) + ln J0 (µ0,n r)+ U (r, z) = dn sh(µ (z − z ) sh(µ (z − z ) 0,n 1 0 0,n 1 0 n=0 ∞ X I0 (ξm r) + pm sin(ξm (z − z0 )), I (ξ R ) 0 m 1 m=0 (1.30) где коэффициенты pm , dn , ln определяются формулами(1.22), (1.25), (1.27). 1.2.4 Результаты численных расчетов Решения задачи (2.1) − (2.2) было получено численно . И на основе формулы, определяющей связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля E = −gradU была рассчитана напряженность поля E(r, z). Область значений z и r, в 14

которой производился расчет: z ∈ [z1 , z2 ], r ∈ [0, R1 ]. Используемые параметры: u0 = 100 — постоянное напряжение, z1 = 0, z2 = 1, R1 = 1, f1 (r) = 0, 1 . f2 (z) = u0 zz−z 2 −z1 f3 (r) = u0 . Входные параметры: n — количество разбиений отрезков z ∈ [z1 , z2 ] ,r ∈ [0, R1 ]; N, M — количество членов ряда в первой сумме U1 (r, z) и во второй U2 (r, z). При расчете потенциала было взято (n = 100, N = 100, M = 100), при расчете напряженности (n = 50, N = 100, M = 100). Рис. 1.2. U (r, z). Рис. 1.3. E(r, z). 15 . .

1.2.5 Результаты Таким образом, построена модель диодной системы рис.(1.1) и найдено решение краевой задачи (1.14) − (1.15) в аналитическом виде (1.30). В соответствии с найденным решением, построены графики распределения электрического потенциала и напряженности поля рисунки (1.2) и (1.3), которые совпадают с качественно ожидаемым распределением потенциала и напряженности. 16

Глава 2 Расчет диодной системы с четырьмя граничными условиями 2.1 Физическая модель В качестве физической модели рассматривается подобная предыду- щему случаю осесимметричная диодная система. Рис. 2.1. Диодная система. 2.2 Математическая модель В качестве математической модели рассматривается уравнение Ла- пласа со следующими граничными условиями: 17

4U (r, z) = 0,   U (r, 0) = f3 (r) = 0, 0 ≤ r ≤ R1 ,      U (R1 , z) = f1 (z), 0 ≤ z ≤ z0 ,  U (r, z0 ) = f2 (r), 0 ≤ r ≤ R1 ,      U (0, z) = f4 (z) = 0, 0 ≤ z ≤ z0 . 2.3 (2.1) (2.2) Решение задачи Для решения граничной задачи (2.1)−(2.2) будем использовать метод разделения переменных. Применив тот же подход, который был рассмотрен ранее, получим следующее. Распределение потенциала U (r, z) представимо в виде: U (r, z) = U1 (r, z) + U2 (r, z). (2.3) Граничные условия (2.2) принимают следующий вид: U1 (r, 0) = 0, U2 (r, 0) = 0, U1 (r, z0 ) = f2 (r), U2 (r, z0 ) = 0, U1 (R1 , z) = 0, U2 (R1 , z) = f1 (z), U1 (0, z) = 0, U2 (0, z) = 0. (2.4) Функция U1 (r, z): U1 (r, z) = ∞ X (B1,m sh(µ1,m z) + B2,m ch(µ1,m z))J1 (µ1,m r). m=0 18 (2.5)

Функция U2 (r, z): U2 (r, z) = ∞ X (A1,n sin(νn z) + A2,n cos(νn z))I1 (νn r), (2.6) n=0 где собственные значения νn и µm определяются из граничных условий U2 (r, z0 ) = 0, U1 (R1 , z) = 0: νn = πn , z0 µ1,m = γ1,m . R1 Соотношения (2.5) − (2.6) удовлетворяют граничным условиям (2.4) и зависят от неизвестных постоянных, определяя которые получим итоговое общее решение. Для определения постоянных B2,m и A2,n воспользуемся граничными условиями (2.4). Подставим в (2.6) нулевые граничные условия U2 (r, 0) = 0, а в (2.5) нулевые граничные условия U1 (0, z) = 0. Откуда получаем, что A2,n = 0 и B2,m = 0 : А для определения оставшихся коэффициентов B1,m и A1,n воспользуемся свойством ортогональности функций Бесселя и синусов. Свойство ортогональности функций Бесселя: Z R1 rJ1 (µ1,m r)J1 (µ1,k r)dr = 0  0, k 6= m,  R1 2 J 2 (µ ), k = m. 1,m 2 0 Свойство ортогональности синусов:  0, k 6= m, z0 sin(mz) sin(kz)dz =  z0 , k = m. 0 2 Z Разложим функции f1 (z) и f2 (r), задающие граничные условия, в ряды Фурье по собственным функциям sin(νn z) и J1 (µ0,k r): 19

f1 (z) = ∞ X an sin(νn z), (2.7) bm J1 (µ1,m z), (2.8) n=0 2 z0 где an = RR1 f2 (z) sin(νn z) dz. 0 ∞ X f2 (r) = m=0 где bm = 2 J02 (µ1,m )R12 RR1 f2 (z)J1 (µ1,m r) dr. 0 Далее определим постоянные A1,n – вычислим (2.6) при r = R1 , получим: U2 (R1 , z) = ∞ X A1,n sin(νn z)I1 (νn R1 ), (2.9) n=0 приравнивая (2.9) и (2.7) получим: ∞ X A1,n sin(νn z)I1 (νn R1 ) = ∞ X n=0 an sin(νn z) n=0 следовательно: an . I1 (νn R1 ) A1,n = Далее определим постоянные B1,m – вычислим (2.5) при z = z0 , получим: U1 (r, z0 ) = ∞ X B1,m sh(µ1,m z0 )J1 (µ1,m r), (2.10) m=0 приравнивая (2.10) и (2.8) получим: ∞ X B1,m sh(µ1,m z0 )J1 (µ1,m r) = m=0 ∞ X bm J1 (µ1,m z), m=0 следовательно: B1,m = bm . sh(µ1,m z0 ) Таким образом, определив постоянные, получим решение в виде ряда 20

(2.11): ∞ X ∞ X I1 (νn r) sh(µ1,m z) U (r, z) = an sin(νn z) + bm J1 (µ1,m r), I (ν R ) sh(µ z ) 1 n 1 1,m 0 n=0 m=0 (2.11) где 2 an = z0 Z z0 πn , f1 (z) sin(νn z)dz, νn = z0 0 Z R1 2 γ1,m bm = 2 f (r)rJ (µ r)dr, µ = . 2 1 1,m 1,m J0 (µ1,m )R12 0 R1 (2.12) I1 (r)– модифицированная функция Бесселя первого рода,первого порядка. J1 (r)– функция Бесселя первого рода, первого порядка, γ1,m –нули J1 (r). 2.4 Результаты численных расчетов Решение задачи (2.1) − (2.2) было получено численно. И на осно- ве формулы, определяющей связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля E = −gradU была рассчитана напряженность поля E(r, z). Область значений z и r, в которой производился расчет: z ∈ [0, z0 ], r ∈ [0, R1 ]. Используемые параметры: u0 = 100 — постоянное напряжение, z0 = 1, R1 = 1, f1 (z) = u0 zz0 . f2 (r) = u0 Rr1 . Входные параметры: n — количество разбиений отрезков z ∈ [0, z0 ],r ∈ [0, R1 ]; N, M — количество членов ряда в первой сумме U1 (r, z) и во второй U2 (r, z). При расчете потенциала было взято (n = 100, N = 100, M = 100), при 21

расчете напряженности (n = 50, N = 100, M = 100). Рис. 2.2. U (r, z).. Рис. 2.3. E(r, z) .. 22

2.5 Результаты Таким образом, в ходе проделанной работы найдено распределение электрического потенциала (2.11),(2.12) в виде разложения по функциям Бесселя и тригонометрическим функциям для модели диодной системы (2.1) с граничными условиями (2.2). В соответствии с найденным решением, построены графики распределения электрического потенциала и напряженности поля рисунки (2.2) и (2.3), которые совпадают с качественно ожидаемым распределением потенциала и напряженности. 23

Глава 3 Моделирование диодной системы с конечным полевым острием 3.1 Физическая модель В качестве физической модели рассматривается осесимметричная ди- одная система с тонким полевым острием. Схематичное изображение этой системы представлено на рисунке (3.1). Рис. 3.1. Диодная система. 24

3.2 Математическая модель В качестве математической модели, описывающей данную систему, рассматривается уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. ∂ 2 U 1 ∂U ∂ 2 U + + = 0. ∂r2 r ∂r ∂z 2 (3.1) С граничными условиями вида:   U (r, 0) = 0,       U (0, z) = 0,   U (R1 , z) = f1 (z),     U (R1 , z) = f3 (z),      U (r, z ) = f (r), 1 3.3 4 0 ≤ r ≤ R1 , 0 ≤ z ≤ Z0 , 0 ≤ z ≤ Z0 , (3.2) Z0 ≤ Z ≤ Z1 , 0 ≤ r ≤ R1 . Решение граничной задачи Для решения граничной задачи (3.1) − (3.2) разобьем всю область диодной системы на две подобласти: 1. 0 ≤ r ≤ R1 , 0 ≤ z ≤ z0 , и 2. 0 ≤ r ≤ R1 , z0 ≤ z ≤ z1 . Тогда решение можно представить в виде суммы двух функций U1 (r, z),U2 (r, z): U (r, z) = U1 (r, z) + U2 (r, z). Так как подробное изложение решения данной граничной задачи было показано в главе 1 и 2, можно сразу выписать общее решение для каждой из областей. Решение для области 1: ∞ ∞ X X I1 (νn r) sh(µ1,m z) U1 (r, z) = an sin(νn z) + J1 (µ1,m r). bm I (ν R ) sh(µ z ) 1 n 1 1,m 0 n=0 m=0 25 (3.3)

Решение для области 2: U2 (r, z) = ∞ X n=0 sh(µ0,n (z − z0 )) sh(µ0,n (z1 − z)) + ln J0 (µ0,n r)+ dn sh(µ0,n (z1 − z0 ) sh(µ0,n (z1 − z0 ) ∞ X I0 (ξm r) + pm sin(ξm (z − z0 )), I (ξ R ) 0 m 1 m=0 Ji (µi,n r)–функции Бесселя первого рода,µi,n = γi R1 ,γi –нули (3.4) функций Бессе- ля: Ji (γi ) = 0,(i = 0, 1). I1 (νm r),I0 (ξm r)– модифицированные функции Бесселя первого рода, νm = πm Z0 ,ξ = πm Z1 −Z0 . Где известные коэффициенты an , lm , и pn , входящие в разложения (3.3) и (3.4) вычисляются из условий (3.2): 2 an = z0 Zz0 f1 (z) sin(νn z) dz, (3.5) 0 2 pm = z1 − z0 Zz1 f3 (z) sin(ξm (z − z0 )) dz, (3.6) z0 ln = 2 J12 (γ0,n )R1 2 ZR1 f4 (r)rJ0 ( γ0,n r) dr. R1 (3.7) 0 Для определения неизвестных коэффициентов bm и dn воспользуемся условиями на границе раздела двух областей. Первое условие - это условие непрерывности самого потенциала, второе условие- это непрерывность нормальной составляющей напряженности поля: ∂U1 (r, z0 ) ∂U2 (r, z0 ) = , (3.8) ∂z ∂z Сначала рассмотрим первое – условие непрерывности самого потенциала. U1 (r, z0 ) = U2 (r, z0 ), При подстановке получаем: ∞ X bm J1 (µ1,m r) = m=0 ∞ X n=0 26 dn J0 (µ0,n r). (3.9)

Домножим полученное выражение (3.9) на R R1 0 rJ(µ0,k r)dr, воспользовав- шись свойством ортогональности функций Бесселя: Z  0, k 6= m, rJ0 (µ0,m )J0 (µ0,k )dr =  R1 2 J 2 (µ ), k = m. m 2 1 R1 0  0, R1 k 6= m, rJ1 (µ0,m )J1 (µ0,k )dr =  R1 2 J 2 (µ ), k = m. 0 m 2 0 Z Получаем: ∞ Z X m=0 R1 0 R12 2 bm rJ1 (µ1,m r)J0 (µ0,m r)dr = dn J1 (µ0,n r). 2 (3.10) Используя второе условие из (3.8) приходим к выражению: ∞ X ∞ X ch(µ1,m z0 ) I1 (νn r) an νn (−1) + bm I1 (µ1,m z0 )µ1,m = I (ν R ) sh(µ z ) 1 n 1 1,m 0 n=0 m=0 = ∞ X n J0 (µ0,n r) cth(µ0,n (z1 − z0 ))ln µ0,n − dn n=0 × cth(µ0,n (z1 − z0 )) + ∞ X J0 (µ0,n r)× (3.11) n=0 ∞ X m=0 pm ξm I0 (ξm r) . I0 (ξm R1 ) Затем, производя умножение формулы (3.11) на rJ0 (µ0,k r) и интегрируя по аргументу r в пределах r ∈ [0, R1 ] получаем следующее суммы ин- 27

тегралов: ∞ Z X ∞ Z R1 X I1 (νn r) ch(µ1,m z0 ) an νn (−1) r J0 (µ0,k r)dr + bm × I (ν R ) sh(µ z ) 1 n 1 1,n 0 0 0 n=0 m=0 Z ∞ R 1 X J0 (µ0,n r) × µ1,n rJ1 (µ1,m z0 )J0 (µ0,k r)dr = ln rµ0,n × sh(µ (z − z )) 0,n 1 0 0 n=0 (3.12) Z ∞ X R1 × J0 (µ0,k r)dr − dn rJ0 (µ0,n r) cth(µ0,n (z1 − z0 ))J0 (µ0,k r)dr+ R1 n n=0 + ∞ Z R1 X 0 m=0 pm 0 I0 (ξm r) ξm rJ0 (µ0,k r)dr. I0 (ξm R1 ) Используя свойства для модифицированных функций Бесселя преобразуем (3.12): I1 (r) = −iJ1 (ir). I0 (r) = J0 (ir), Получаем: ∞ Z X n=0 R1 0 ∞ Z R1 X I1 (νn r) an (−i)J1 (νn ir)νn (−1) r bm × J0 (µ0,k r)dr + I1 (iνn R1 ) 0 m=0 n µ0,n R1 2 J1 2 (µ0,n ) × cth(µ1,m z0 )rJ1 (µ1,k z0 )µ1,m J0 (µ0,k r)dr = ln − 2 sh(µ0,n (z1 − z0 )) ∞ Z R1 X R1 2 2 J0 (iξm r) −dn J1 (µ0,n ) cth(µ0,n (z1 − z0 )) + × pm r 2 I (ξ R ) 0 m 1 0 m=0 ×ξm J0 (µ0,m r)dr. Отдельно выпишем вычисление интеграла: Z R1 rJ0 (iξn r)J0 (µ0,k )dr = 0 = 1 ξn (I1 (ξn R1 )J0 (µ0,n R1 ) + µ0,k I0 (ξ0 R1 )J1 (µ0,kR1 )). ξn2 + µ20,m 28

Таким образом, приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных наборов коэффициентов bm , dn : ∞ X R1 2 2 dn J1 (µ0,n ) − bm × F = 0. 2 m=0 ∞ X R1 2 2 J1 (µ0,n ) cth(µ0,n (z1 − z0 )) − bm cth(µ1,m r)µ1,m × F = dn µ0,n 2 m=0 (3.13) Z ∞ n R 1 X νn (−1) I1 (ξn r)J0 (µ0,n r)dr µ0,n R12 J12 (µ0,n ) = an + ln + I (ξ R ) 2 sh(µ (z − z )) 1 n 1 0,n 1 0 n=0 0 + ∞ X n=0 pm 1 × M, 2 + µ2 I0 (ξm R1 ) ξm 0,m ξ где M = (ξn I1 (ξn )R1 J0 (µ0,n R1 ) + µ0,m I0 (ξn R1 )J1 (µ0,m )), Z R1 F = rJ1 (µ1,n r)J0 (µ0,m r)dr. 0 3.4 Результаты В данной главе построена математическая модель тонкого острия на плоской подложке. Для решения поставленной задачи использовался метод разделения переменных в цилиндрических координатах. Найдено распределение электрического потенциала в аналитическом виде (3.3) − (3.4), а коэффициенты, входящие в эти разложения, определяются формулами (3.5), (3.6)(3.7) и (3.13). 29

Заключение 1. Создана модель диодной системы рис. (1.1) и определено решение краевой задачи (1.14) − (1.15) в аналитическом виде. 2. Получено распределение электрического потенциала для модели диодной системы (2.1) с граничными условиями (2.2). 3. Построена физическая и математическая модели тонкого острия на плоской подложке. Найдено распределение электрического потенциала в аналитическом виде (3.3) − (3.4). В ходе решения всех поставленных граничных задач был использован метод разделения переменных для уравнения Лапласа. Полученные численные значения соответствуют граничным условиям и совпадают с ожидаемым распределением потенциала. 30

Литература [1] Жуков Н. Д., Мосияш Д. С., Хазанов А. А., Абаньшин Н. П. Оптимизация структуры и материала автокатода // Прикладная физика. 2015. №3. C. 93. [2] Соминский Г. Г., Тумарева Т. А., Тарадаев Е. П., Мишин М. В., Степанова А. Н. .Многоострийные полупроводниковые полевые эмиттеры с двухслойными защитными покрытиями нового типа //Журнал технической физики. 2015. Т. 85. Вып. 1. C. 138–141. Жуков Н. Д., Мосияш Д. С., Хазанов А. А., Абаньшин Н. П. Оптимизация структуры и материала автокатода // Прикладная физика. 2015. №3. C. 93. [3] Виноградова Е. М., Егоров Н. В. Математическое моделирование диодной системы на основе полевого эмиттера // Журнал технической физики. 2011. Т. 81. Вып. 9. C. 1–5. [4] Виноградова Е. М., Егоров Н. В., Мутул М. Г., Чэ-Чоу Шень. Расчёт электростатического потенциала диодной системы на основе полевого катода с острой кромкой // Журнал технической физики. 2010. Т. 80. Вып. 5. C. 1–4. [5] Климаков А. А., Виноградова Е. М. Оптимизация фокусирующей системы полевой пушки с острийным катодом // Процессы управления и устойчивость. 2015. № 1. С. 184–189. [6] Телевный Д. С., Виноградова Е. М. Расчёт диодной системы на основе полевого эмиттера с диэлектрической подложкой // Процессы управления и устойчивость. 2014. Т. 1 (17). С. 224–229. 31

[7] Виноградова Е. М., Егоров Н. В., Климаков А. А. Математическое моделирование диодной системы с полевым остриём цилиндической формы // Журнал технической физики. 2015. Т. 85. Вып. 2. C. 20–23. [8] М. Абрамовиц "Справочник по специальным функциям "М., 1997 – 832 с. [9] Н.С.Кошляков, Э.Б. Глинер М.М. Смирнов. "Уравнения в частных производных математической физики"Учебное пособие для мех.-мат. фак. ун-тов. исп. –М.: Изд-во "Высшая школа 1970 г. – 713 c. [10] А. Н. Тихонов, А. А. Самарский "Уравнения математической физики". Учебное пособие для университетов. 4 изд., исп. –М.: Изд-во "Наука 1972 г. –736 c. [11] Градштейн И.С., Рыжик И. М. "Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений 4 изд., исп. –М.:Физмат. , 1963г. –1100 c. [12] Г. Н. Ватсон, "Теория бесселевых функций". Ч. 1, изд-во иностр. л., 1949. – 799c. 32

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв