Моделирование ходьбы антропоморфного робота

Чистяков Алексей Евгеньевич

Моделирование ходьбы антропоморфного робота

В работе рассматривается задача движения двумерного пятизвенного антропоморфного механизма. Предлагается подход к построению математической модели на основе зависимости изменения углов сочленения от управляющих сил. Также реализован синтез управления, исходя из желаемых траекторий движения ступней, путем расчета необходимых для данных траекторий углов и подстановки их в модель.

Общественные науки в целом

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d364b5f1be77c40d58bc6

UUID: 1d2fab79-546c-44fb-b792-572ff6dbbbde

Язык: Русский

Опубликовано: больше 7 лет назад

Просмотры: 58

Чистяков Алексей Евгеньевич

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 435648 bytes

Поделиться работой

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ ×èñòÿêîâ Àëåêñåé Åâãåíüåâè÷ Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà áàêàëàâðà Ìîäåëèðîâàíèå õîäüáû àíòðîïîìîðôíîãî ðîáîòà Íàïðàâëåíèå 010400 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Ëåïèõèí Ò.À. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2016

Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ãëàâà 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îáçîð ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Îáçîð ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Ìåòîä ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè . . . . . . . . . . 7 Ãëàâà 2. Ðåøåíèå çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 Ïîñòðîåíèå ìîäåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Ïîñòðîåíèå óïðàâëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ãëàâà 3. ×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò è ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ . . . . . 16 3.1. ×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Çàêëþ÷åíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ïðèëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2

Ââåäåíèå Ñ ñàìîãî íà÷àëà ñâîåãî ñóùåñòâîâàíèÿ, ÷åëîâå÷åñòâî ïûòàåòñÿ îáëåã÷èòü ñâîé òðóä, ñäåëàòü åãî áîëåå áåçîïàñíûì. Äëÿ ýòèõ öåëåé ïîñòîÿííî ñîçäàþòñÿ ðàçëè÷íûå èíñòðóìåíòû, ïîìîãàþùèå íàì â íàøåé íåëåãêîé æèçíè. Îäíîé èç êàòåãîðèé äàííûõ èíñòðóìåíòîâ ÿâëÿþòñÿ ìåõàíèçìû ðîáîòû. Ñîãëàñíî [1], ñëîâî ¾ðîáîò¿ ââåë â íàøó ðå÷ü äðàìàòóðã Êàðåë ×àïåê. Â ñâîåé ïüåñå RUR (¾Ðîññóìñêèå Óíèâåðñàëüíûå Ðîáîòû¿), îïóáëèêîâàííîé â 1920 ã., îí îïèñûâàåò ôàáðèêó, ïðîèçâîäÿùóþ ¾èñêóññòâåííûõ ëþäåé¿, êîòîðûõ è íàçûâàåò ðîáîòàìè. Ñ òåõ ïîð, äàííîå ñëîâî ïëîòíî âîøëî â íàøó æèçíü, êàê îáîçíà÷àþùåå íå÷òî àâòîìàòè÷åñêîå, íî íå îáÿçàòåëüíî àíòðîïîìîðôíîå (îò ãðå÷. anthropos ÷åëîâåê è morphe ôîðìà, âèä). Èíòåðåñû äàííîé ðàáîòû ëåæàò â îáëàñòè ìåõàíèêè äâèæåíèÿ ðîáîòåõíè÷åñêèõ ìåõàíèçìîâ ïî ïîâåðõíîñòè (ïëàâàþùèå è ëåòàþùèå ìåõàíèçìû çäåñü íå ðàññìàòðèâàþòñÿ). Ïåðåäâèæíûå (ïîëó)àâòîìàòè÷åñêèå ìåõàíèçìû ïîçâîëÿþò ÷åëîâåêó óäàëåííî, íå ðèñêóÿ æèçíüþ è çäîðîâüåì, âëèÿòü íà îïàñíûå èëè íåïðèãîäíûå äëÿ æèçíè ó÷àñòêè, ëèáî àíàëèçèðîâàòü ñîáðàííóþ ñ íèõ èíôîðìàöèþ. Ïðèìåðàìè ìîãóò ïîñëóæèòü ðàçëè÷íûå ïëàíåòàðíûå ìèññèè, ê ïðèìåðó, íà Ìàðñå, ëèêâèäàöèè òåõíîãåííûõ àâàðèé, ãäå ÷åëîâåêó ïîïðîñòó íåâîçìîæíî íàõîäèòüñÿ áåç òÿæåëûõ ïîñëåäñòâèé, è ìíîãîå äðóãîå. Ìîäåëè áûâàþò ñàìûõ ðàçíûõ òèïîâ - ãóñåíè÷íûå, êîëåñíûå, øàãàþùèå, ïîëçàþùèå. Êàæäàÿ ìîäåëü èìååò ñâîè ïðåèìóùåñòâà è íåäîñòàòêè, îñòàíîâèìñÿ íà íèõ ïîïîäðîáíåå. Êîëåñíûå ìîäåëè äâèæåíèÿ íà äàííûé ìîìåíò ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè. Äëÿ íèõ ñîçäàíà øèðî÷àéøàÿ èíôðàñòðóêòóðà, â ÷àñòíîñòè äîðîãè. Îíè îáåñïå÷èâàþò âûñîêóþ óñòîé÷èâîñòü è ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ïðè îòíîñèòåëüíîé ïðîñòîòå êîíñòðóêöèè. Íåäîñòàòêè çàêëþ÷àþòñÿ â íèçêîé ïðîõîäèìîñòè âíå äîðîã, êîòîðûå ÷àñòè÷íî ðåøåíû â ãóñåíè÷íîé ìîäèôèêàöèè. Ãóñåíèöû ïîçâîëÿþò áîëåå ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëèòü äàâëåíèå íà ïîâåðõíîñòü è ñîçäàþò ïðèåìëåìóþ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âíóòðåííþþ ¾äîðîæêó¿ äëÿ êîëåñ. Íî è ñ òàêîé ìîäèôèêàöèåé âíå3

äîðîæíûå ñïîñîáíîñòè ìåõàíèçìà âåñüìà ñêóäíû ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè âàðèàíòàìè. Ïðîáëåìû ñ âíåäîðîæüåì â ñâîþ î÷åðåäü ïðåêðàñíî ðåøàåò äðóãàÿ ìîäåëü ïåðåäâèæåíèÿ ïîëçàþùàÿ. Ìåõàíèçìû íà åå îñíîâå îáû÷íî èìèòèðóþò õàðàêòåð ïåðåäâèæåíèÿ àíàëîãîâ èç ïðèðîäû: çìåé, óëèòîê, ãóñåíèö. Ïðåèìóùåñòâî, ïî ñðàâíåíèþ ñ îñòàëüíûìè ìîäåëÿìè, çàêëþ÷àåòñÿ â íàèáîëüøåé ïëîùàäè ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ, ÷òî îáåñïå÷èâàåò íàèìåíüøåå äàâëåíèå íà îíóþ. Òàêæå, ïðè äîñòàòî÷íîé ¾ãèáêîñòè¿ ìåõàíèçìà, ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì ïåðåäâèãàòüñÿ ïî ëþáîìó ðåëüåôó. Â íåäîñòàòêè æå ìîæíî çàïèñàòü ñëîæíîñòü ìîäåëè (íóæíî îïèñàòü íåñêîëüêî çâåíüåâ, ó êàæäîãî èç êîòîðûõ áóäåò ñâîÿ äèíàìèêà) è ìåõàíèçìà, ïîñòðîåííîãî íà åå îñíîâå. Òðåòèé âèä êîíñòðóêöèè, íåïîñðåäñòâåííî îïèñàííûé â ðàáîòå øàãàþùèé. Îí ñî÷åòàåò â ñåáå áîëåå âûñîêóþ ïðîõîäèìîñòü ïî ñðàâíåíèþ ñ êîëåñíûì âàðèàíòîì, ïðîèãðûâàÿ â ýòîì ïîëçó÷åìó è ãóñåíè÷íîìó (íà çûáó÷åé ïîâåðõíîñòè). Òàêæå ìîæíî îòìåòèòü íàèáîëåå ïðîñòîé ìåõàíèçì ñðåäè ïðåäîñòàâëåííûõ âàðèàíòîâ. Âåñüìà âàæíàÿ õàðàêòåðèñòèêà øàãàþùåãî ìåõàíèçìà êîëè÷åñòâî îïîð, êîòîðàÿ íåïîñðåäñòâåííî îòâå÷àåò çà óñòîé÷èâîñòü êîíñòðóêöèè. Ïðè êîëè÷åñòâå îïîð áîëüøå ëèáî ðàâíûì ÷åòûðåì, ïîñòðîåíèå óïðàâëåíèÿ ìîæíî ñâåñòè ê ïðîñòîìó ïîäíÿòèþ îäíîé ¾íîãè¿ è ïåðåñòàíîâêîé åå íà íîâîå ìåñòî, òàê êàê â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè êîëè÷åñòâî îïîð áóäåò áîëüøå ëèáî ðàâíî òðåì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ óñòîé÷èâîñòè ïðè ðàñïîëîæåíèè öåíòðà ìàññ ìåæäó íèìè. Â ýòîé æå ðàáîòå êîëè÷åñòâî îïîð áóäåò äâå, ÷òî óìåíüøèò êîíñòðóêöèþ â öåëîì, íî äîáàâèò ñëîæíîñòè â ïîñòðîåíèè ìîäåëè, òàê êàê ïðèäåòñÿ ïîñòîÿííî ó÷èòûâàòü íåóñòîé÷èâîñòü ìåõàíèçìà. Êðàòêî, èòîãîâûå ïîñòàâëåííûå çàäà÷è ìîæíî îïèñàòü òàê: äàí äâóíîãèé ìåõàíèçì ñ èçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè, íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü åãî ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü è äîáèòüñÿ óñòîé÷èâîãî óïðàâëåíèÿ ïðè ïðîèçâîëüíî íàïåðåä çàäàííîé òðàåêòîðèè ñòóïíè. 4

Ãëàâà 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îáçîð ëèòåðàòóðû 1.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Ðàññìîòðèì ïîñòàíîâêó çàäà÷è, ðàíåå êðàòêî îïèñàííóþ âî ââåäåíèè. Â íàøåé ðàáîòå ìû áóäåì îïèðàòüñÿ íà ìîäåëü, èçîáðàæåííóþ íà Ðèñ. 1. Îíà èìååò ïÿòü òîíêèõ çâåíüåâ è ïÿòü ñòåïåíåé ñâîáîäû. Äîïóñòèì, ÷òî öåíòðû ìàññ çâåíüåâ íàõîäÿòñÿ â èõ ãåîìåòðè÷åñêèõ öåíòðàõ (çà èñêëþ÷åíèåì òåëà-¾ïðîòèâîâåñà¿, ó êîòîðîãî öåíòð ìàññ - òî÷êà íà êîíöå ñòåðæíÿ). Óãëû αl , αr , βl , βr , γ óïðàâëÿþòñÿ ïðè ïîìîùè ìîòîðîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìîäåëü íå èìååò ñòóïíåé (point-feet). Ðèñ. 1: Ñõåìàòè÷íîå èçîáðàæåíèå ìîäåëè äâóíîãîãî øàãàþùåãî ìåõàíèçìà Íà âõîä òàêæå ïîäàþòñÿ rl (t), ψl (t), rr (t), ψr (t) ïîëÿðíûå óðàâíå5

íèÿ òðàåêòîðèé ñòóïíåé, êîòîðûå ðîáîò ìîæåò ïîñòðîèòü, èñõîäÿ èç àíàëèçà ëàíäøàôòà ìåñòíîñòè. Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòè óðàâíåíèÿ äåëÿòñÿ íà äâå ôàçû îïîðíàÿ è ìàõîâàÿ, îïèðàÿñü íà êîòîðûå, ìû áóäåì ñòðîèòü óïðàâëåíèå óãëà ¾ïðîòèâîâåñà¿ (â îáùåì ñëó÷àå, â îïîðíóþ ôàçó äîáàâëÿåòñÿ ñèëà ðåàêöèè îïîðû, êîòîðàÿ äîáàâëÿåòñÿ â ðàñ÷åò ìîäåëè, íî â íàøåì, óïðîùåííîì, ìû åå îïóñêàåì). Ñäåëàåì ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ýòèõ ôàç. Î÷åâèäíî, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà îïîðíàÿ ôàçà. Ñóùåñòâóþò òàê æå îòðåçêè âðåìåíè, êîãäà òðàåêòîðèè îáåèõ ñòóïíåé íàõîäÿòñÿ â îïîðíîé ôàçå. Ýòîò îòðåçîê áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ïåðåíîñà öåíòðà ìàññ ñ îäíîé îïîðû íà äðóãóþ. Òî åñòü î÷åðåäíîñòü ôàç áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ëåâàÿ íîãà îïîðíàÿ, öåíòð ìàññ íàä ëåâîé ñòóïíåé, èäåò ìàõ ïðàâîé íîãè îáå íîãè îïîðíûå, èäåò ïåðåíîñ öåíòðà ìàññ íà ïðàâóþ ñòóïíþ ïðàâàÿ íîãà îïîðíàÿ, öåíòð ìàññ íàä ïðàâîé ñòóïíåé, èäåò ìàõ ëåâîé íîãè è òàê äàëåå, â öèêëå. Çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè åäèíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, ñâÿçûâàþùåé èçìåíåíèÿ óãëîâ ñ ñèëàìè-óïðàâëåíèÿìè, è ïîñòðîåíèè â äàëüíåéøåì óïðàâëåíèÿ äëÿ óñòîé÷èâîé õîäüáû ïðè çàäàííûõ òðàåêòîðèÿõ ñòóïíåé. 1.2 Îáçîð ëèòåðàòóðû 1.2.1 Ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè Âåñüìà ðàñïðîñòðàíåííûé ìåòîä, îïèðàþùèéñÿ íà ôóíäàìåíòàëüíûå çàêîíû ôèçèêè äëÿ äîñòèæåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 2-ãî ðîäà: d dt ∂T ∂ q̇i − ∂T = Qi ∂qi (1) ãäå i = 1, 2, ...n (n - êîëè÷åñòâî ñòåïåíåé ñâîáîäû), T (qi , q̇i , t) êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ãîëîìîðôíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, qi îáîáùåííûå êîîðäèíàòû, t âðåìÿ, Qi îáîáùåííûå ñèëû. 6

Îí õîðîøî îïèñàí â [2], [3]. Ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïîñ÷èòàòü êèíåòè÷åñêèå è ïîòåíöèàëüíûå ýíåðãèè, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó, è, íà îñíîâå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, âûâåñòè ìîäåëü. Ïðåèìóùåñòâî åãî çàêëþ÷àåòñÿ â ïðîñòîòå ó÷åòà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó, ÷òî äåëàåò åãî õîðîøèì èíñòðóìåíòîì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ óñòîé÷èâîãî äâèæåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè. Òàêæå ìîæíî îòìåòèòü òî÷íîñòü ïîñòðîåííîé ñ åãî ïîìîùüþ ìîäåëè. Íî, â òî æå âðåìÿ, ìåòîä òåðÿåò ãèáêîñòü, êîãäà ìû õîòèì çàäàòü ïðîèçâîëüíûå òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ, êîòîðûå, òàê èëè èíà÷å, áûëè áû íàì èíòåðåñíû. 1.2.2 Ìåòîä ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè Äàííûé ìåòîä, ðåàëèçîâàííûé â [4], [5], èñïîëüçóåò âûõîäíûå äàííûå èññëåäóåìîãî îáúåêòà, è íà èõ îñíîâå ñòðîèò ìîäåëü è íåîáõîäèìîå äëÿ íåå óïðàâëåíèå. Î÷åâèäíîå ïðåèìóùåñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â àâòîìàòèçàöèè ïðîöåññà ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè ïðè íåêîì èçâåñòíîì åå âèäå. Íî, òàê êàê ìåòîä íå îñíîâàí íà çàêîíàõ ôèçèêè, à ëèøü íà ïîêàçàíèÿõ ïðèáîðîâ, òî íåâîçìîæíî ãàðàíòèðîâàòü òî÷íîñòü ïîñòðîåííîé ìîäåëè, ÷òî âðåìåíàìè áûâàåò êðèòè÷íî. 7

Ãëàâà 2. Ðåøåíèå çàäà÷è 2.1 Ïîñòðîåíèå ìîäåëè Ïîñòðîèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü äëÿ êîíñòðóêöèè, ïðîèëëþñòðèðîâàííîé íà Ðèñ. 1. Îñíîâîé áóäåò ñëóæèòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ïëîñêîãî âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ: mω̈(t)h(t) = f (t), ãäå m ìàññà âðàùàåìîãî îáúåêòà, f (t) ïðèëîæåííàÿ ñèëà, à h(t) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû äî öåíòðà ìàññ. Ïðèìåíèì åãî ê óãëàì â íàøåé ìîäåëè: Ẍ(t) = G(X, t)   αl (t) fαl (X, t) hαl (X, t)−1 m−1 αl     αr (t) fαr (X, t) hαr (X, t)−1 m−1  αr         X(t) =  βl (t)  , G(t) =  fβl (X, t) hβl (X, t)−1 m−1 βl       β (t)  f (X, t) h (X, t)−1 m−1  βr  r   βr βr  −1 −1 γ(t) fγ (X, t) hγ (X, t) mγ  (2)  Äëÿ óäîáñòâà, çàïèøåì ïðàâóþ ÷àñòü (2) â âèäå ïîêîìïîíåíòíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: Ẍ(t) = F (X, t)

H(X, t)    −1 −1 hαl (X, t) mαl fαl (X, t)     fαr (X, t) hαr (X, t)−1 m−1  αr         F (t) =  fβl (X, t)  H(X, t) =  hβl (X, t)−1 m−1  βl     h (X, t)−1 m−1  f (X, t)  βr   βr βr  fγ (X, t) hγ (X, t)−1 m−1 γ  Ïîíèçèì ñòåïåíü ïðîèçâîäíîé â (3): 8 (3)

˙ X̂(t) = F̂ (X, t)

Ĥ(X, t) (4)       α (t) 1 α̂l (t)  l       α̂ (t)   f (X, t)   h (X, t)−1 m−1   l   αl   αl αl        αr (t)     1 α̂ (t) r             −1 −1 α̂r (t) fαr (X, t) hαr (X, t) mαr         β (t)      1 β̂l (t)  l      X̂(t) =   , F̂ (t) =   , Ĥ(X, t) =   −1 −1  β̂l (t)   fβl (X, t)   hβl (X, t) m  βl             ˆ  βr (t)      1 βr (t)        βˆ (t)  f (X, t) h (X, t)−1 m−1   r   βr   βr βr         γ(t)      1 γ̂(t)       −1 −1 γ̂(t) fγ (X, t) hγ (X, t) mγ Âåêòîð F̂ (t) áóäåì ñ÷èòàòü óïðàâëÿþùèì, òàê âîçìîæíî âàðüèðîâàíèå åãî êîìïîíåíò ïî íàøåìó óñìîòðåíèþ. Çàäà÷à ýòîãî ïàðàãðàôà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âåêòîðà Ĥ(X, t), òî åñòü â âûðàæåíèè åãî ÷åðåç èçâåñòíûå âåëè÷èíû (äëèíû è ìàññû çâåíüåâ, ýëåìåíòû âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ X̂ ). Íà÷íåì ñ êîëåííûõ ñóñòàâîâ. Îíè äâèãàþò ëèøü ãîëåíè, òî åñòü, ïðè ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî öåíòð ìàññ íàõîäèòñÿ â öåíòðå çâåíà: hβl (X, t) = hβr (t) = L2 , mβl = mβr = M2 2 (5) ¾Ïðîòèâîâåñíûé¿ ñóñòàâ äâèãàåò ëèøü òåëî ìàññû M3 , ñîåäèíåííîå c ñ ñóñòàâîì ñòåðæíåì äëèíîé L3 : hγ (X, t) = L3 , mγ = M3 (6) Íåìíîãî èíòåðåñíåå äåëà îáñòîÿò ñ òàçîáåäðåííûìè ñóñòàâàìè. Îíè äâèãàþò è áåäðà è ãîëåíè, ïðè÷åì ðàñïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ çàâèñèò îò êîëåííîãî óãëà. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê ABC , èçîáðàæåííûé íà Ðèñ. 2. Çäåñü ñòîðîíà AB ÿâëÿåòñÿ áåäðîì äëèíû L1 , à BC , ñîîòâåòñòâåííî, ãîëå9

íüþ äëèíû L2 . D, E ðàñïîëîæåíèÿ öåíòð ìàññ çâåíüåâ, äåëÿò ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû ïîïîëàì. M òî÷êà èñêîìîãî öåíòðà ìàññ, äåëÿùàÿ ïðÿìóþ DE â ñîîòíîøåíèè DM ME = M2 M1 . Òàêæå èçâåñòåí ∠ABC = 180 − βl (t) (äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñ ëåâîé íîãîé). Çàäà÷à íàéòè äëèíó AM , êîòîðàÿ è áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü hαl (X, t). Òðåóãîëüíèê ADM ìîæíî ðåøèòü, çíàÿ AD, DM, cos(∠ADM ). Ïî óñëîâèþ, DM = M2 M1 +M2 DE = M2 2(M1 +M2 ) AC . cos(∠ADM ) = − cos(∠BDE) = BC 2 −AB 2 −AC 2 2 AB AC ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ. Ïî íåé æå âûðàçèì AM ÷åðåç ðàíåå íàéäåííûå âûðàæåíèÿ: s AM = AD M2 AB 2 + AC 2 − BC 2 AC 2 M22 2 AD + + 2 AB (M1 + M2 ) 4 (M1 + M2 )2 Èçâåñòíî, ÷òî AD = 1 2 L1 , AB = L1 , AC = p (7) L21 + L22 + 2 L1 L2 cos(βl (t)). Ïîäñòàâèâ â (7) ýòè çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì èòîãîâîå âûðàæåíèå äëÿ hl (t): hαl (X, t) = B= C= M2 M22 √ A + B + C, (8) L21 A= , 4 2 L1 + 2 cos(βl (t)) L1 L2 + L22 , 4 (M1 + M2 )2 −L22 + 2 L21 + 2 cos(βl (t)) L1 L2 + L22 4 (M1 + M2 ) Ðèñ. 2: Òðåóãîëüíèê íîãè ñ ðàñïîëîæåíèåì öåíòðà ìàññ Òàêæå, äëÿ äàëüíåéøåé ïîñòðîéêè óïðàâëåíèÿ, áóäåò ïîëåçíûì óçíàòü 10

âåëè÷èíó ∠DAM , êîòîðûé èùåòñÿ ÷åðåç òðè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ADM : 2 hαl (X, t) + cos(∠DAM ) = L21 4 − M22 (L21 +2 cos(βl (t)) L1 L2 +L22 ) 2 2 (M1 +M2 ) hαl (X, t) L1 (9) Àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ hαr (X, t). Ìàññà æå ñ÷èòàåòñÿ êàê ñóììà ìàññ áåäðà è ãîëåíè: mαl = mαr = M1 + M2 (10) Èòîãî, ïîäñòàâëÿÿ (5), (6), (8), (10) â (4), ïîëó÷àåì èòîãîâóþ ìîäåëü äëÿ äâóíîãîãî ìåõàíèçìà. 2.2 Ïîñòðîåíèå óïðàâëåíèÿ Íà âõîä äàíû rl (t), ψl (t), rr (t), ψr (t) ïîëÿðíûå óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèé ñòóïíåé. Íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü óïðàâëåíèå äëÿ (4), ïðè êîòîðîì ýòî óïðàâëåíèå äîñòèãàåòñÿ. Íà äåëå, áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ âèäîì ìîäåëè (3), êàê áîëåå íàãëÿäíîé. Àëãîðèòì âåñüìà ïðîñò íåîáõîäèìî íàéòè ýëåìåíòû âåêòîðà X , äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü è, ñ åãî è ðàíåå íàéäåííûì H(X, t) ïîìîùüþ íàéòè F (X, t): F (X, t) = Ẍ(t) H(X, t) (11) Ãäå ïîêîìïîíåíòíîå äåëåíèå. Åäèíñòâåííûé âîïðîñ âûçûâàåò γ(t). Âîîáùå ãîâîðÿ, åãî èçìåíåíèå íå âëèÿåò íà òðàåêòîðèè ñòóïíåé, íî ìîæåò âîçíèêíóòü ìîìåíò, êîãäà öåíòð ìàññ êîíñòðóêöèè âûéäåò çà ïðåäåëû îïîð (áóäåò íå íàä îïîðîé, åñëè òàêîâàÿ îäíà) è ïîòåðÿåò óñòîé÷èâîñòü. Ïðîòèâîâåñ ìàññû M3 êàê ðàç è íóæåí äëÿ âîçâðàòà èòîãîâîãî öåíòðà ìàññ â íóæíóþ òî÷êó. Âûâåäåì óðàâíåíèÿ óãëîâ ëåâîé íîãè αl (t), βl (t), èñõîäÿ èç èçâåñòíûõ rl (t), ψl (t). Óðàâíåíèÿ äëÿ ïðàâîé íîãè áóäóò âûâîäèòüñÿ àíàëîãè÷íî. Òðåóãîëüíèê íîãè, íà êîòîðûé áóäåì îïèðàòüñÿ, ïîêàçàí íà Ðèñ. 3. Ïî ñó11

Ðèñ. 3: Òðåóãîëüíèê íîãè ñ çàäàííûìè rl (t), ψl (t) òè, âñÿ íåîáõîäèìàÿ èíôîðìàöèÿ ïî åãî ðåøåíèþ íàì óæå äàíà, ýòî òðè ñòîðîíû L1 , L2 , rl (t). Îòñþäà ëåãêî íàõîäèòñÿ óãîë βl (t): rl (t)2 − L21 − L22 cos(βl (t)) = 2 L1 L2 (12) αl (t) èùåòñÿ êàê ñóììà èçâåñòíîãî ψl (t) è ξl (t), êîòîðûé íàõîäèòñÿ â ñèëó ðåøåííîñòè òðåóãîëüíèêà: cos(αl (t)) = cos(ψl (t)) cos(ξl (t)) − sin(ψl (t)) sin(ξl (t)) rl (t)2 + L21 − L22 cos(ξl (t)) = 2 rl (t) L1 q sin(ξl (t)) = 1 − cos(ξl (t))2 12 (13)

Ïîëîæèòåëüíîñòü sin(ξl (t)) îáåñïå÷èâàåòñÿ îãðàíè÷åíèÿìè êîíñòðóêöèè, êîòîðàÿ íå äîïóñêàåò óãîë ξl (t) áîëüøèé π . Â ïîñòàíîâêå çàäà÷è áûëè ñäåëàíû ïðåäïîëîæåíèÿ íàñ÷åò îïîðíîé è ìàõîâîé ôàç òðàåêòîðèé. Îïèðàÿñü íà íèõ, áóäåì ñòðîèòü óðàâíåíèå óãëà γ(t) â òðè ôàçû ëåâàÿ îïîðíàÿ, îáå îïîðíûå, ïðàâàÿ îïîðíàÿ. Äëÿ íà÷àëà, ñäåëàåì ýòî äëÿ ëåâîé è ïðàâîé îïîðíîé ôàç. Äîñòàòî÷íî áóäåò ðàññìîòðåòü îäíó èç äàííûõ ôàç, âòîðàÿ ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, âîçüìåì ëåâóþ. Ðèñ. 4: Âñïîìîãàòåëüíàÿ ñõåìà äëÿ ðàñ÷åòà óãëà γ(t). Áóäåì îïèðàòüñÿ íà Ðèñ. 4. Òî÷êà O òàç ìåõàíèçìà, A ðàñïîëîæåíèå ãðóçà-ïðîòèâîâåñà, B ñòóïíÿ, Ml , Mr åñòü ðàñïîëîæåíèå öåíòðîâ ìàññ ëåâîé è ïðàâîé íîãè. Çàäà÷à çäåñü ðàñïîëîæèòü èòîãîâûé öåíòð ìàññ â òî÷êó C , òî åñòü â ïåðåñå÷åíèå ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé öåíòðû ìàññ íîã è ïðîòèâîâåñà, è âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé, ïðîâåäåííîé èç ñòóïíè ëåâîé (îïîðíîé) íîãè. Çäåñü íàì èçâåñòíû OA = L3 , OB = rl (t), ψl (t). Òàêæå, èç ïðîøëîãî ïàðàãðàôà, èçâåñòíû äëèíû OMl , OMr , ðàâíûå hαl (X, t), hαr (X, t) 13

ñîîòâåòñòâåííî (áåðåòñÿ ôîðìóëà (8)). φl (t) íàì èçâåñòåí êàê ðàçíîñòü αl (t) è ∠DAM èç ôîðìóëû (9), àíàëîãè÷íî íàõîäèòñÿ φr (t). Íàéäåì îòðåçîê OM . Çàìåòèì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíîé òðåóãîëüíèêà OMl Mr , òàê êàê M Mr = M Ml â ñèëó q ðàâåíñòâà ìàññ ëåâîé è ïðàâîé íîã. Ýòî çíà÷èò, ÷òî çíàÿ äëèíó Ml Mr = Ml2 + Mr − 2 Ml Mr cos(|φl (t) − φr (t)|), âîçìîæíî åãî íàõîæäåíèå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Àïîëëîíèÿ: OM = q 2 OMr2 + 2 OMl2 − Ml Mr2 2 Âûñ÷èòûâàÿ óãîë HOM , íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî îí ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì (äî ýòîãî ðàññìàòðèâàëèñü óãëû â ñðåçå òðåóãîëüíèêîâ). Ïîýòîìó, áóäåì ðàññìàòðèâàòü åãî êàê ñóììó íàèìåíüøåãî â êîíêðåòíûé ìîìåíò âðåìåíè èç φl (t), φr (t) óãëà è ñîîòâåòñòâåííîãî ∠M OMl , ∠M OMr :  φl (t) + ∠M OMl ∠HOM = φ (t) + ∠M OM r r åñëè φl (t) < φr (t), åñëè φr (t) < φl (t), MM 2 , OM 2 + OMl − l2 r ) , cos(∠M OMl ) = 2 OM OMl OM 2 + OMr2 − Ml2Mr ) cos(∠M OMr ) = 2 OM OMr Äàëåå, ëåãêî íàõîäèòñÿ HM = OM sin(∠HOM ). Íàéäÿ HG = BI = rl (t) sin(ψl (t)) (ïî ïîñòðîåíèþ), ìîæíî îïðåäåëèòü èòîãîâîå îòêëîíåíèå ïî ãîðèçîíòàëè öåíòðà ìàññ íîã îò îïîðû: GM = HM − HG. Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å. Óñëîâèåì äëÿ ðàñïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ â òî÷êå C ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ AC CM = (ïî òðåì óãëàì) òðåóãîëüíèêîâ GM C è ACD, AD = 2 GM (M1 +M2 ) . M3 2 (M1 +M2 ) . Â ñèëó ïîäîáèÿ M3 AD AC GM = CM . Ñëåäîâàòåëüíî, Äàëåå íàõîäèòñÿ EA = ED − AD = rl (t) sin(ψl (t)) − AD. È, íàêîíåö, íàõîäèì γ(t): sin(γ(t)) = 14 EA L3 (14)

Ñëó÷àé ñ ïðàâîé îïîðíîé ôàçîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî (rl (t) → rr (t), ψl (t) → ψr (t)). Ôàçó ñ äâóìÿ îïîðàìè âîçüìåì óïðîùåííîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åäèíñòâåííîé åå öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïåðåíîñ öåíòðà ìàññ ñ îäíîé íîãè íà äðóãóþ â òå÷åíèå íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè T , è èçìåíÿòüñÿ áóäåò òîëüêî γ(t). Òî åñòü: αl (t) = const, βl (t) = const, αr (t) = const, βr (t) = const rl (t) = const, ψl (t) = const, rr (t) = const, ψr (t) = const Â òàêîì ñëó÷àå, ìîæíî âçÿòü ôèêñèðîâàííûé γl , ïîëó÷àåìûé ïî ôîðìóëå (14) ïðè èñïîëüçîâàíèè â âûâîäå â êà÷åñòâå îïîðíîé íîãè ëåâóþ, àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåìûé äëÿ ïðàâîé îïîðíîé íîãè γr è ñâåñòè èçìåíåíèå óãëà ê ïåðåìåùåíèþ γl → γr (γr → γl ) çà âðåìÿ T . Ïîëîæèì, γlr (t) èçìåíåíèå óãëà ïðè ïåðåíîñå öåíòðà ìàññ ñ ëåâîé íà ïðàâóþ íîãó, γrl (t) ñ ïðàâîé íà ëåâóþ. Òîãäà: γlr (t) = γr − γl T t + γl , γrl (t) = γl − γr T t + γr (15) Èòîãî, áûëè íàéäåíû çíà÷åíèÿ αl (t), αr (t), βl (t), βr (t), γ (êàæäûé äëÿ ñâîåé ôàçû). Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ èç (13), (12), (14), (15) â âåêòîð X â (11), ó÷èòûâàÿ ôàçû, ïîñòðîèì èòîãîâîå óïðàâëåíèå äëÿ ñèñòåìû (3). 15

Ãëàâà 3. ×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò è ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ 3.1. ×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò Îïèðàÿñü íà òåîðåòè÷åñêèå âûêëàäêè ãëàâû 2, ïîñòðîèì ìîäåëü è óïðàâëåíèå ê íåé, îïèðàÿñü íà íåêîòîðûå ÷èñëîâûå äàííûå. Äîïóñòèì, L1 = L2 = 0.5m, L3 = 1m, M1 = M2 = 1kg, M3 = 4kg . Ïîñòðîèì ìîäåëü (4), äëÿ ÷åãî íàéäåì âåêòîð Ĥ(X, t). Èñõîäÿ èç (5), (6): hβl (X, t) = hβr (X, t) = 0.25, mβl = mβr = 1, (16) hγ (X, t) = 1, mγ = 4 Äàëåå íàéäåì êîíêðåòíûå hαl (X, t), hαl (X, t), mαl , mαr ïî ôîðìóëàì (8), (10): r 3 cos(βl (t)) + 5 , 32 r 3 cos(βr (t)) + 5 hαr (X, t) = 32 mαl = mαr = 2 hαl (X, t) = Ïîäñòàâëÿåì (16), (17) â Ĥ(X, t): 16 (17)

 α̂l (t)  1 q  32    2 3 cos(βl (t))+5      α̂ (t)  q r  1  32  2 3 cos(β (t))+5  r       β̂ (t) l Ĥ(X, t) =     4     ˆr (t)   β       4     γ̂(t)   0.25 (18) Èñïîëüçóÿ (18) â (4), ïîëó÷àåì ìîäåëü äëÿ çàäàííûõ ïàðàìåòðîâ. Äàëåå, çàäàäèì æåëàåìóþ òðàåêòîðèþ ïî ôàçàì. Ïóñòü ìàõîâûå è îïîðíûå ôàçû ó îáåèõ íîã ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäàþò. Ðèñ. 5: Ìàõîâàÿ è îïîðíàÿ ôàçû. 17

Â ïîñòðîåíèè òðàåêòîðèé áóäåì îïèðàòüñÿ íà Ðèñ. 5. Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ ìàõîâîé ôàçû (íà ðèñóíêå ñèíèì öâåòîì). Îíà áóäåò âûãëÿäåòü êàê ïàðàáîëà ñ âåðøèíîé â ñòóïíå ñîãíóòîé ïîä ïðÿìûì óãëîì íîãè. Øèðèíà øàãà áóäåò ðàâíà 2 (L1 + L2 ) sin(ψ0 ). Âîçüìåì ψ0 = π6 , òîãäà îíà áóäåò ðàâíà 1. Ïóñòü âðåìÿ ìàõà ðàâíî T = 2s. Òîãäà òðàåêòîðèè äëÿ ìàõîâîé ôàçû ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: π π t− 6 6 v ! u √ √ 2 2 u 2 2 (t − 1) rm (t) = t(t − 1)2 + − 2 2 ψm (t) = (19) Íàéäåì ïî (12), (13) íåîáõîäèìûå αm (t), βm (t): π π √ π √ A − sin t− 1 − A, 6 6 6 6 ! √ √ 2 2 2 2 (t − 1) A = (t − 1)2 + − , 2 2 ! √ √ 2 2 2 2 (t − 1) cos(βm (t)) = 2 (t − 1)2 + 2 − −1 2 2 cos(αm (t)) = cos Ðèñ. 6: π t− cos(αm (t)), âçÿòûé íà ïðîìåæóòêå 18 t = [0, 2]. (20)

Ðèñ. 7: cos(βm (t)), âçÿòûé íà ïðîìåæóòêå t = [0, 2]. Àíàëîãè÷íî ðàñïèøåì óãëû äëÿ îïîðíîé ôàçû. Òðàåêòîðèÿ ñòóïíè áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì (áåðåì òî æå âðåìÿ ôàçû, êàê è â ìàõå 2s): π π ψo (t) = − t + 6 r 6 ro (t) = (t − 1)2 + (21) 3 4 Ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû αo (t), βo (t) ïîëó÷àþòñÿ òàêèìè: s πt π t 1 2 3 + cos(αo (t)) = cos − − 6 6 2 2 4 s 1 t 1 2 πt π − − − + sin , 6 6 4 2 2 t 1 2 1 cos(βo (t)) = 2 − + 2 2 2 (22) Äàëåå, âû÷èñëèì âèä γ(t). Îí, â îáùåì ñëó÷àå, ðàçäåëÿåòñÿ íà òðè ÷àñòè: ïðè ëåâîé îïîðíîé, ïðè ïðàâîé îïîðíîé è ïðè îáåèõ îïîðíûõ. Â äàííîì ñëó÷àå, ïåðâûå äâå ÷àñòè ìîæíî îáúåäèíèòü, òàê êàê òàì, â ñèëó ñèììåòðèè ôàç, ïîëó÷èòñÿ îäèí è òîò æå çàêîí èçìåíåíèÿ óãëà. Äëÿ 19

Ðèñ. 8: cos(αo (t)), âçÿòûé íà ïðîìåæóòêå t = [0, 2]. Ðèñ. 9: cos(βo (t)), âçÿòûé íà ïðîìåæóòêå t = [0, 2]. îïðåäåëåííîñòè, âîçüìåì çà îïîðíóþ íîãó ëåâóþ, òî åñòü: αl (t) = αo (t), βl (t) = βo (t), αr (t) = αm (t), βr (t) = βm (t) Èòîãîâûå ðàñ÷åòû óãëà γ(t) áûëè ïðîèçâåäåíû ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (14) ÷èñëåííûì ìåòîäîì. Ðåçóëüòàòû ïîêàçàíû íà Ðèñ. 10-11. γ(t) äëÿ îïîðíîé ôàçû äâóõ íîã äîâîëüíî ïðîñò. Äîïóñòèì, ýòîé ôàçå ïðåäøåñòâîâàëà ëåâàÿ îïîðíàÿ, â òàêîì ñëó÷àå, èìåÿ â âèäó ïîñòîÿíñòâî 20

Ðèñ. 10: sin(γ(t)) äëÿ ëåâîé îïîðíîé ôàçû, âçÿòûé íà ïðîìåæóòêå t = [0, 2]. óãëîâ: π 6 π αl (t) = ψl (t) = − 6 βl (t) = βr (t) = 0 αr (t) = ψr (t) = rl (t) = rr (t) = L1 + L2 Â òàêîì ñëó÷àå, γ(t) íà ãðàôèêàõ áóäåò âûãëÿäåòü âåñüìà ïðîñòî (Ðèñ. 12-13). Â èòîãå, ïîäñòàâëÿÿ âûøåíàéäåííûå óãëû X(t) (îòäåëüíî äëÿ êàæäîé ôàçû) è ïàðàìåòðû ìîäåëè H(X, t) (18) â (11), ïîëó÷èì íåîáõîäèìîå óïðàâëåíèå äëÿ äàííûõ òðàåêòîðèé. Ìîæíî òàê æå îòìåòèòü, ÷òî ïîñòðîåíèå óïðàâëåíèÿ âîçìîæíî âûïîëíÿòü äèñêðåòíî. Òî åñòü äëÿ êàæäûõ ôèêñèðîâàííûõ rl , ψl , rr , ψr , êîòîðûå ïîäàëèñü íà âõîä, ìîæíî ïîñòðîèòü óãëû è óïðàâëåíèå äëÿ èõ äîñòèæåíèÿ. 21

Ðèñ. 11: cos(γ(t)) äëÿ ëåâîé îïîðíîé ôàçû, âçÿòûé íà ïðîìåæóòêå t = [0, 2]. 3.2. Ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ Äàííûé àëãîðèòì ðåàëèçîâàí â ñðåäå MATLAB è ïîêàçàí â ñåêöèè ¾Ïðèëîæåíèå¿. Ïðèâåäåì îïèñàíèå ôóíêöèé. Çà ïîñòðîåíèå ìîäåëè îòâå÷àåò ôóíêöèÿ buildModel. Â êà÷åñòâå âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ âûñòóïàþò ïàðàìåòðû ìåõàíèçìà: äëèíà ãîëåíè, äëèíà áåäðà, äëèíà ¾ïðîòèâîâåñà¿, ìàññà ãîëåíè, ìàññà áåäðà, ìàññà ¾ïðîòèâîâåñà¿. Ôóíêöèÿ âîçâðàùàåò ìàòðèöó Ĝ(X, t) = F̂ (X, t)

Ĥ(X, t) èç (4). Óïðàâëåíèå ñòðîèòñÿ ôóíêöèåé buildControl. Åå âõîäíûå ïàðàìåòðû: ìàòðèöà H èç (3), òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ñòóïíåé, îïèñàííûå â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ è ïàðàìåòðû ìåõàíèçìà, îïèñûâàííûå âûøå. Íà âûõîä èäåò ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð óïðàâëåíèÿ F (X, t) èç (11). 22

Ðèñ. 12: sin(γ(t)) äëÿ îïîðíîé ôàçû îáåèõ íîã, âçÿòûé íà ïðîìåæóòêå t = [0, 2]. Ðèñ. 13: cos(γ(t)) äëÿ îïîðíîé ôàçû îáåèõ íîã, âçÿòûé íà ïðîìåæóòêå t = [0, 2]. 23

Çàêëþ÷åíèå Â ðàáîòå ïðîâåäåí àíàëèç ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ðîáîòîòåõíè÷åñêèõ ñèñòåì, ïðåäëîæåí ïîäõîä ê ôîðìèðîâàíèþ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äâóíîãîãî àíòðîïîìîðôíîãî ìåõàíèçìà, ïîñòðîåíî óïðàâëåíèå, îáåñïå÷èâàþùåå óñòîé÷èâîå äâèæåíèå ìåõàíèçìà äëÿ íàïåðåä çàäàííûõ òðàåêòîðèé äâèæåíèÿ ñòóïíåé. Êðîìå òîãî, èññëåäîâàíèå äèíàìèêè ïîäîáíûõ ñèñòåì ïîêàçàëî ñóùåñòâîâàíèå îïðåäåëåííûõ òðóäíîñòåé ïðè ôîðìèðîâàíèè äâèæåíèÿ â ñèëó íàëè÷èÿ âíåøíèõ âîçäåéñòâèé íà îáúåêò â ðåàëüíîì ìèðå. Ó÷åò òàêèõ âíåøíèõ âîçìóùåíèé ÿâëÿåòñÿ íåñîìíåííî àêòóàëüíîé çàäà÷åé, íî ïîêà âûõîäèò çà ðàìêè äàííîé ðàáîòû. Â ïåðñïåêòèâå ìîæíî äîáàâèòü ñòóïíÿì ìåõàíèçìà ïîäâèæíîñòü è òåì ñàìûì ó÷åñòü âíåøíèå âîçìóùåíèÿ. 24

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Êòî íà ñàìîì äåëå ïðèäóìàë ñëîâî ¾ðîáîò¿? http://androbots.ru/istoriya_robototehniki/proishozdenie_slova_robot/ slovo_robot.php [2] Òåðòû÷íûé-Äàóðè Â.Þ. Äèíàìèêà ðîáîòîòåõíè÷åñêèõ ñèñòåì. Ó÷åáíîå ïîñîáèå. ÑÏá.: ÍÈÓ ÈÒÌÎ, 2012. 128 ñ [3] Robert D. Gregg, Mark W. Spong (2010). Reduction-based Control of Threedimensional Bipedal Walking Robots. The international journal of robotics research, 680-702 [4] Hae-Won Park, Koushil Sreenath, Jonathan W. Hurst and J.W. Grizzle. Identication and Dynamic Model of a Bipedal Robot With a CableDierential-Based Compliant Drivetrain, 17 [5] P.W.M. van Zutven (2014). Control and Identication of Bipedal Humanoid Robots: Stability Analysis and Experiments. Ph.D. thesis, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, the Netherlands, 156 25

Ïðèëîæåíèå function resMatrix = buildModel ( l1 , syms X F t h b l hbr hal X = sym ( 'X' , [10 , 1]); F = sym ( 'F' , [10 , 1]); for l2 , l 3 , m1 , m2 , m3) h a r hy i = 1:2:10 F( i ) = 1 ; end h b l (X) = l 2 / 2 ; hbr (X) = l 2 / 2 ; mbl = m2 ; mbr = m2 ; h a l (X) = s q r t ( l 1 ^2/4 + . . . m2^2 * ( l 1 ^2 + 2 * c o s (X( 5 ) ) * l 1 * l 2 + l 2 ^ 2 ) / ( 4 * (m1 + m2) ^ 2 ) + . . . m2 * (2 * l 1 ^2 + 2 * c o s (X( 5 ) ) * l 1 * l 2 + l 2 ^ 2 ) / ( 4 * (m1 + m2 ) ) ) ; h a r (X) = s q r t ( l 1 ^2/4 + . . . m2^2 * ( l 1 ^2 + 2 * c o s (X( 7 ) ) * l 1 * l 2 + l 2 ^ 2 ) / ( 4 * (m1 + m2) ^ 2 ) + . . . m2 * (2 * l 1 ^2 + 2 * c o s (X( 7 ) ) * l 1 * l 2 + l 2 ^ 2 ) / ( 4 * (m1 + m2 ) ) ) ; mal = m1 + m2 ; mar = m1 + m2 ; hy (X) = l 3 ; my = m3 ; H(X) = [ X( 2 ) ; ( h a l (X( 1 ) , X( 2 ) , X( 3 ) , X( 4 ) , X( 5 ) , X( 6 ) , X( 7 ) , X( 8 ) , X( 9 ) , X( 1 0 ) ) * mal ) ^ ( - 1 ) ; X( 4 ) ; ( h a r (X( 1 ) , X( 2 ) , X( 3 ) , X( 4 ) , X( 5 ) , X( 6 ) , X( 7 ) , X( 8 ) , X( 9 ) , X( 1 0 ) ) * mar ) ^ ( - 1 ) ; X( 6 ) ; ( h b l (X( 1 ) , X( 2 ) , X( 3 ) , X( 4 ) , X( 5 ) , X( 6 ) , X( 7 ) , X( 8 ) , X( 9 ) , X( 1 0 ) ) * mbl ) ^ ( - 1 ) ; X( 8 ) ; ( hbr (X( 1 ) , X( 2 ) , X( 3 ) , X( 4 ) , X( 5 ) , X( 6 ) , X( 7 ) , X( 8 ) , X( 9 ) , X( 1 0 ) ) * mbr ) ^ ( - 1 ) ; X( 1 0 ) ; ( hy (X( 1 ) , X( 2 ) , X( 3 ) , X( 4 ) , X( 5 ) , X( 6 ) , X( 7 ) , X( 8 ) , X( 9 ) , X( 1 0 ) ) * my ) ^ ( - 1 ) ; ]; r e s M a t r i x = H(X( 1 ) , X( 2 ) , X( 3 ) , X( 4 ) , X( 5 ) , X( 6 ) , X( 7 ) , X( 8 ) , X( 9 ) , X( 1 0 ) ) end 26 . * F;

function l1 , c t r l = b u i l d C o n t r o l (H, l2 , l 3 , m1 , m2 , m3 , b e t a l = a c o s ( r l ^2 - - psir , ... l 2 ^2)/(2* r l * l 1 ) ; - sinksi*sin ( psil ) ); 1/2)/(1/2); k s i r = a c o s ( r r ^2 + l 1 ^2 - l 2 ^2)/(2* r r * l 1 ) ; a l p h a r = a c o s ( c o s ( p s i r )* c o s k s i if psil , isLeftOp ) a l p h a l = a c o s ( c o s ( p s i l )* c o s k s i - rr , 1/2)/(1/2); k s i l = a c o s ( r l ^2 + l 1 ^2 b e t a r = a c o s ( r r ^2 rl , - sinksi*sin ( psir ) ); isLeftOp cosdam = (H( 1 ) ^ 2 + l 1 ^2/4 sindam = s q r t ( 1 - (m2^2 * ( l 1 ^2+2* c o s ( b e t a r ) * l 1 * l 2 ) ) / 4 * ( m1+m2) ^ 2 ) / (H( 1 ) * l 1 ) ; - cosdam ^ 2 ) ; s i n f i = sindam * c o s ( a l p h a l ) + cosdam * s i n ( a l p h a l ) ; hm = H( 1 ) * s i n f i ; gm = hm - rl*sinfi ; ad = 2 *gm * (m1+m2) /m3 ; gamma = a s i n ( ( r l * s i n f i - ad ) / l 3 ) ; else cosdam = (H( 3 ) ^ 2 + l 1 ^2/4 sindam = s q r t ( 1 - (m2^2 * ( l 1 ^2+2* c o s ( b e t a r ) * l 1 * l 2 ) ) / 4 * ( m1+m2) ^ 2 ) / (H( 3 ) * l 1 ) ; - cosdam ^ 2 ) ; s i n f i = sindam * c o s ( a l p h a r ) + cosdam * s i n ( a l p h a r ) ; hm = H( 3 ) * s i n f i ; gm = hm - rr* s i n f i ; ad = 2 *gm * (m1+m2) /m3 ; gamma = a s i n ( ( r r * s i n f i - ad ) / l 3 ) ; end c t r l = d i f f ( [ alphal ; alphar ; betal ; b e t a r ; gamma ] , end 27 2) . / H;

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв