Санкт-Петербургский государственный университет
Кафедра математической теории игр и статистических
решений
Викулова Алла Андреевна
Выпускная квалификационная работа бакалавра
О нестандартном задании характеристической
функции в кооперативных играх
Направление 010400
Прикладная математика и информатика
Научный руководитель,
кандидат ф.-м. наук
доцент
Громова Е.В.
Санкт-Петербург
2016
Содержание
Введение
4
Постановка задачи
7
Обзор литературы
9
1
2
3
Стандартное построение характеристической функции
ративных играх
1.1. Понятие характеристической функции . . . . . . . .
1.2. α - характеристическая функция . . . . . . . . . . . .
1.3. Пример построения α - характеристической функции
в коопе. . . . .
. . . . .
. . . . .
Нестандартное построение характеристической функции
2.1. δ - характеристическая функция . . . . . . . . . . . . .
2.2. Игра с отрицательными связями . . . . . . . . . . . . .
2.3. Пример построения δ – характеристической функции .
2.4. Пример с квадратичной функцией полезности . . . . .
2.5. Пример с логарифмической функцией полезности . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ζ – характеристическая функция
3.1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Супераддитивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Пример с квадратичной функцией полезности . . . . . . . . .
3.4. Пример с логарифмической функцией полезности . . . . . . .
3.5. Кооперативная игра управления вредными выбросами на примере предприятий Иркутской области . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
11
13
13
13
14
20
21
22
22
23
23
24
26
Выводы
32
Заключение
33
Приложения
3.6. Приложение 1. Доказательство супераддитивности α – характеристической функции для Примера 1 . . . . . . . . . . . . .
36
2
36
3.7. Приложение 2. Доказательство супераддитивности δ – характеристической функции для примеров . . . . . . . . . . . . .
3.7..1 Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7..2 Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Приложение 3. Доказательство супераддитивности ζ – характеристической функции для примеров . . . . . . . . . . . . .
3.8..1 Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8..2 Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Приложение 4. Вычисления и программный код для практической задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9..1 Вычисление штрафов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9..2 Программный код . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
38
38
40
44
44
46
48
48
50
Введение
Теория игр представляет собой набор математических инструментов,
с помощью которых можно выяснить природу конфликта и его управление.
Первоначально теория игр находила свое применение в рамках экономической науки, но позднее также получила широкое признание и в других
социальных науках. Сегодня теория игр применима к широкому диапазону
поведенческих отношений, и в настоящее время является общим термином
для науки логического принятия решений. Теория игр актуальна и находит
свое применение в экономике (рынок игр, торги, аукционы, совместное распределение затрат), политике (голосование), окружающей среде (природе)
(рыболовство, борьба с загрязнением), промышленности (телекоммуникации, проблемы местоположения, заключение контрактов и т.д.) и других
областях.
Существует большое количество классов игр [1, 2], однако выделяют
две основные ветви теории игр: некооперативные и кооперативные, которые значительно отличаются друг от друга областью решаемых задач. В
некооперативной теории игр рассматривается в основном то, как интеллектуальные индивиды взаимодействуют между собой для достижения собственных целей. У каждого игрока имеется задача выбора стратегии, максимизирующей выигрыш этого игрока, который, в свою очередь, зависит от
стратегий, выбранных другими игроками. Игра называется кооперативной
(коалиционной), если игроки могут объединяться в группы и действовать
в соответствие с некоторым заранее определенным принципом оптимальности, который включает в себя соглашения о множестве кооперативных
стратегий и механизм распределения общего выигрыша между игроками.
Кооперация является одной из основных форм человеческого поведения.
4
Большинство кооперативных игр описываются с помощью характеристической функции, а вопрос построения данной функции является одним
из основных в теории указанных игр. Как известно, существуют различные способы задания характеристической функции, наиболее известными
и часто используемыми являются так называемые α, β, γ и δ – характеристические функции [3, 4]. Однако в данной работе также предлагается
рассмотреть новый способ для построения характеристических функций в
кооперативных играх — ζ–характеристическую функцию. Согласно новому
подходу характеристическая функция вычисляется в два этапа с использованием выражений для оптимальных управлений, что существенно упрощает процесс вычислений по сравнению с построением характеристической
функции Неймана-Моргенштерна.
Очень важными с точки зрения практического применения являются теоретико-игровые задачи в области природоохранного менеджмента, а
особенно, кооперативные игры управления вредными выбросами. Загрязняющие вещества, поступающие в атмосферный воздух, являются фактором, воздействующим на самые разные процессы и объекты, в том числе,
на климат. В Париже на 21-й сессии Конференции Сторон Рамочной конвенции ООН об изменении климата, которая состоялась 12 декабря 2 года,
был подписан документ, в котором, в частности, указывается, что в период
до 2020 года развивающиеся страны получат 100 млрд долларов в год для
решения проблем климата [5]. Во избежание данных проблем необходима
заинтересованность правительства в сфере охраны окружающей среды.
Работа имеет следующую структуру. Глава 1 содержит общие сведения о кооперативных играх, также вводится определение α–характеристической
функции (классический способ построения характеристической функции) и
рассматривается пример с конкретным видом функции полезности.
5
В Главе 2 описана δ–характеристическая функция, которая впервые
была предложена в работе [6]. При построении данной функции, в отличие от подхода [4] учитываются ограничения на управления и проверяется
выполнение условия супераддитивности характеристической функции для
примеров. Выяснилось, что при заданных ограничениях δ–характеристическая
функция не супераддитивна в общем случае, приведен контрпример.
В Главе 3 новая характеристическая функция, построенная нестандартным образом в работе [7], адаптирована на случай игры, описанной
в Главе 1. Доказана супераддитивность рассмотренной функции в общем
случае. Теоретический результат продемонстрирован на примерах. В конце
работы приводится пример построения характеристической функции всеми
тремя изученными способами, основанный на реальных данных об очистке
и загрязнении окружающей среды тремя предприятиями Иркутской области. Данная проблема сформулирована как кооперативная игра трех лиц. В
качестве кооперативного решения вычислен вектор Шепли для всех трех
способов построения характеристической функции.
6
Постановка задачи
Будем рассматривать теоретико-игровую модель загрязнения окружающей среды с множеством неидентичных игроков N (стран, предприятий),
каждый из которых способствует образованию вредных выбросов, повреждающих общий экологический ресурс. Рассматривается кооперативный
вариант игры управления вредными выбросами. В данной задаче используется статическая постановка, т. е. игроки принимают решения, не зная
поведения других игроков, в этом случае говорят, что участники действуют
одновременно. Пусть ei — это объем вредных выбросов, производимый i-ым
игроком. Мы рассматриваем задачу с ограничением, а именно, ei ∈ [0; k], в
отличие от работы [4], что является общим подходом (см., например, [8, 9]).
Считается заданной производственная функция fi (ei ), которая является возрастающей, дифференцируемой, выпуклой по ei , и соответствует доходам
игрока i. Здесь предполагается, что объемы производства прямо пропорциональны уровню загрязнения, так что fi (ei ) > 0. Функция di (ê) - положительная, возрастающая, дифференцируемая, характеризующая расходы на
n
P
ei . Каждый из
устранение ущерба от суммарного загрязнения ê, где eb =
i=1
игроков i = 1, . . . , N максимизирует свою целевую функцию ui , которая
зависит от его собственного производства ei и от общих выбросов, производимыми всеми игроками,
max ui (e) = fi (ei ) − di (ê),
ei ,i∈N
где eb =
P
ei , e = {ei }i∈N [4, 8, 9].
i∈N
В качестве функции полезности fi (ei ), где i = 1, . . . , n, можно использовать, например, логарифмическую, квадратичную функции, а также
функцию квадратного корня, которые являются возрастающими, дифференцируемыми и выпуклыми вверх по ei (см. рис. 1).
7
Рис. 1: Графики разных функций полезности, при k = 5
kei − e2i /2
k ln(ei + 1)
p
k (ei )
10
5
0
0
1
2
3
4
5
Для построения кооперативного решения в задаче управления вредными
выбросами необходимо определить характеристическую функцию этой игры.
Цель работы:
• рассмотреть различные способы построения характеристической функции в кооперативной игре с отрицательными связями, выявить достоинства и недостатки рассмотренных подходов;
• адаптировать новое определение характеристической функции, предложенное Петросяном, Громовой [7], для данного класса игр и доказать ее супераддитивность;
• рассмотреть пример кооперативной игры в области природоохранного
менеджмента для реальных данных.
8
Обзор литературы
Необходимые сведения из теории игр широко представлены в книге
(Петросян, Зенкевич, Шевкопляс, «Теория игр», 2012), там же рассмотрены
некоторые модели управления загрязнением окружающей среды несколькими игроками. Кроме того, теоретико-игровая задача сокращения вредных выбросов была также изучена в работах (Петросян, Захаров, «Введение в математическую экологию», 1986; Petrosjan, Zaccour, «Time–consistent
Shapley value allocation of pollution cost reduction», 2003) и др.
В статье (Petrosjan, Zaccour, 2003) был предложен еще один подход
для построения характеристической функции, как альтернатива стандартному заданию функции, представленного в книге (von Neumann, Morgenstern,
«Theory of Games and Economic Behavior», 1953). Еще один новый способ
построения характеристической функции был сформулирован и рассмотрен в статье (Петросян, Громова, «Двухуровневая кооперация в коалиционных дифференциальных играх», 2014). Постановка задачи данной квалификационной работы содержит модель игры с отрицательными связями,
описанную, например, в работах (Reddy, Zaccour, «A friendly computable
characteristic function», 2016; Chander, Tulkens, «The core of an economy with
multilateral environmental externalities», 1997; Eyckmans, Finus, «An almost
ideal sharing scheme for coalition games with externalities», 2004).
Для работы также потребовалось изучение материала и поиск данных
по борьбе с загрязнением окружающей среды, которые были найдены в
открытых Интернет-источниках (ресурсы: rbk.ru, priroda.ru).
9
1
1.1.
Стандартное построение характеристической
функции в кооперативных играх
Понятие характеристической функции
Кооперативной игрой в форме характеристической функции будем на-
зывать пару < N, V >, где N = 1, . . . , n — множество игроков, V (S) —
характеристическая функция, под которой понимается отображение из множества всех возможных коалиций V : 2N → R1 , V (∅) = 0, ставящее в
соответствие каждой коалиции S величину суммарного выигрыша, который
игроки из данной коалиции могут себе обеспечить, действуя самостоятельно.
Важно отметить свойство супераддитивности:
V (S1 ∪ S2 ) > V (S1 ) + V (S2 ),
∀S1 , S2 ⊆ N, S1 ∩ S2 = ∅.
Данное свойство стимулирует игроков к объединению в большую коалицию
N и придает смысл вектору Шепли. Выполнение свойства супераддитивности для характеристической функции ранее являлось обязательным [10],
однако в настоящее время это условие не является обязательным [11].
1.2.
α - характеристическая функция
При построении α–характеристической функции используется клас-
сический подход Неймана–Моргенштерна [12], который долгое время представлялся единственно возможным способом построения характеристической функции в кооперативной игре. Согласно данному подходу под V (S)
понимается наибольший гарантированный выигрыш коалиции S. Сама V (S)
может быть вычислена следующим образом: игроки из коалиции S максимизируют свой суммарный выигрыш, в то время как игроки из N \S дей10
ствуют противоположно интересам коалиции, т. е. минимизируют общий
выигрыш коалиции S.
V α (S) =
0,
S = {∅},
P
sup inf
ui (e1 , . . . , en ), S ⊂ N ,
e
j
ei
i∈S
i∈S j∈N \S
n
P
sup
ui (e1 , . . . , en ),
(1)
S = N.
e1 ,...,en i=1
Построенная по (1) характеристическая функция является супераддитивной в общем случае [13]. Однако, стоит выделить ряд проблем, возникающих при построении данной функции:
• вычислительные сложности (необходимо решить 2n − 1 задач оптимизации и др.);
• с точки зрения экономической интерпретации предположение о том,
что игроки из коалиции N \S буду играть против коалиции S является
маловероятным.
1.3.
Пример построения α - характеристической функции
Пример 1. Рассмотрим кооперативную игру с квадратичной функцией
полезности при n = 3, fi (ei ) = kei − 21 e2i , ei ∈ [0; k], di = di eb, где
eb = e1 + e2 + e3 . Характеристическая функция для данной игры имеет вид:
0,
S = {∅},
P
1
2
min
kei − 2 ei − di eb , S ⊂ N ,
max
ei ,
ej ,
V α (S) = i∈S j∈N \S i∈S
(2)
3
P
1 2
max
S = N.
ei , i=1 kei − 2 ei − di eb ,
i∈S
Для того, чтобы управления находились в области допустимых значений, введем дополнительное требование на параметры модели:
k>
3
X
3
X
di ,
i=1
i=1
11
di > 0.
Согласно (2), найдем значения характеристической функции для всех возможных коалиций (см. приложение 1).
Характеристическая функция гранд-коалиции N = {1, 2, 3} имеет вид
α
V ({1, 2, 3}) = max
ei,i=1,3
3
X
i=1
3
ui =
2
k−
3
X
!2
di
,
ēi = k −
i=1
3
X
di
i = 1, 3.
i=1
Для одноэлементных коалиций имеем
1
V α ({i}) = k(k − di ) − (k − di )2 − di (3k − di ),
2
i = 1, 3
Характеристические функции для двухэлементных коалиций:
V α ({2, 3}) = 2k(k − (d2 + d3 )) − (k − (d2 + d3 ))2 − (d2 + d3 )(3k − (d2 + d3 )),
V α ({1, 3}) = 2k(k − (d1 + d3 )) − (k − (d1 + d3 ))2 − (d1 + d3 )(3k − (d1 + d3 )),
V α ({1, 2}) = 2k(k − (d1 + d2 )) − (k − (d1 + d2 ))2 − (d1 + d2 )(3k − (d1 + d2 )).
Для рассмотренного примера доказана супераддитивность характеристической функции (см. приложение 1).
12
2
Нестандартное построение характеристической
функции
2.1.
δ - характеристическая функция
δ–характеристическая функция строится в два этапа. На первом этапе
E
необходимо найти равновесие по Нэшу eN E = {eN
i }i∈N , а затем использо-
вать данные стратегии для игроков, входящих в коалицию N \ S.
V δ (S) =
0,
sup
P
ei , i∈S
i∈S
E
, j∈N \S
ej =eN
j
n
P
sup
E
ui (eS , uN
N \S ),
ui (e1 , . . . , en ),
S = {∅},
S ⊂ N,
S = N.
e1 ,...,en i=1
Преимущества:
• проще вычислительный процесс;
• имеет понятную экономическую интерпретацию.
Недостатки:
• не супераддитивна в общем случае;
• проблемы существования и единственности равновесия по Нэшу.
2.2.
Игра с отрицательными связями
В работе [4] доказывается, что характеристическая функция (2.1.) яв-
ляется супераддитивной функцией для некоторого достаточно широкого
класса игр, в которые, в частности, могут быть включены игры, описанные
в постановке задачи. В англоязычной литературе игры,
в которых
функция
n
P
полезности i-го игрока имеет вид ui (e) = fi (ei ) − di
ei , получили
i=1
13
название игр с отрицательными связями, т. к. увеличение управляемых параметров ej других игроков приводит к уменьшению функции полезности
i-го игрока.
В работе [4] представлено доказательство супераддитивности δ – характеристической функции для игр с отрицательными связями, в котором не
рассматривается ограничение на параметр ei . Как правило, в задачах такого
типа управляемый параметр (объем вредных выбросов) выбирается на отрезке [0, k]. Следовательно, экстремальные значения функции полезности ui
достигаются на границах интервала, что не учитывается при доказательстве
в [4]. Т. е. доказательство [4] можно считать справедливым только для того
случая, когда управления попадают в интервал [0, k]. Для подтверждения
сказанного рассмотрим представленную модель для примеров с конкретными видами функции полезности.
2.3.
Пример построения δ – характеристической функции
Пример 2. Рассмотрим игру при n = 3, ui = fi (ei ) − di (ê),
√
fi (ei ) = k ei , di (ê) = di ê, где ê = e1 + e2 + e3 . Тогда
0,
S = {∅},
P √
max
(k ei − di ê) , S ⊂ N ,
δ
i∈S
V (S) = e =eNeiE,i∈S
, j∈N \S
j
j
P √
(k ei − di ê),
S = N.
emax
,i∈N
i
i∈N
Из условий допустимости были введены дополнительные требования
на параметры модели:
k>
3
X
3
X
di ,
i=1
i=1
14
di > 0.
Для гранд-коалиции имеем
3
X
δ
V ({1, 2, 3}) = max
e1 ,e2 ,e3
= max
e1 ,e2 ,e3
k
3
X
√
ui (e1 , e2 , e3 ) =
i=1
ei −
i=1
3
X
di
i=1
3
X
!
ei .
(3)
i=1
Чтобы найти максимум функции, считаем частные производные
∂ui (e1 ,e2 ,e3 )
,
∂ei
i = 1, 3:
3
X
∂ui (e1 , e2 , e3 )
k
di = 0.
= √ −
∂ei
2 ei i=1
Следовательно, максимизирующие управления имеют вид:
2
k
ei = 3 ,
P
2 di
i = 1, 3.
i=1
Подставляя найденные управления в (3), получаем
2
3
k
X
3k 2
3k 2
V ({1, 2, 3}) = 3
−3
di 3 = 3 .
P
P
P
i=1
2 di
2 di
4 di
δ
i=1
i=1
i=1
Для одноэлементрых коалиций находим стратегии из равновесия по Нэшу:
max u1 (e1 , e2 , e3 )
e1
max u2 (e1 , e2 , e3 )
e2
max u3 (e1 , e2 , e3 ).
e3
Аналогично, считаем частные производные по ei и приравниваем их к нулю:
∂ui (e1 , e2 , e3 )
= 0,
∂ei
i = 1, 3,
т. е.
∂ui (e1 , e2 , e3 )
k
= √ − di = 0,
∂ei
2 ei
15
отсюда
ei =
k
2di
2
.
Характеристическая функция для двухэлементной коалиции {2, 3}:
E
NE
V δ ({2, 3}) = max
(u2 (eN
1 , e2 , e3 ) + u3 (e1 , e2 , e3 )),
e ,e
2
3
E
e1 =eN
1
E
eN
=
1
k
2d1
2
,
тогда
√
√
E
+ e2 + e3 ).
V δ ({2, 3}) = k( e2 + e3 )) − (d2 + d3 )(eN
1
(4)
Находим e2 и e3 из условий:
NE
E
∂(u2 (eN
1 , e2 , e3 ) + u3 (e1 , e2 , e3 ))
= 0,
∂e2
E
NE
∂(u2 (eN
1 , e2 , e3 ) + u3 (e1 , e2 , e3 ))
= 0.
∂e3
Тогда имеем
NE
E
k
∂(u2 (eN
1 , e2 , e3 ) + u3 (e1 , e2 , e3 ))
= √ − (d2 + d3 ) = 0,
∂e2
2 e2
E
NE
∂(u2 (eN
k
1 , e2 , e3 ) + u3 (e1 , e2 , e3 ))
= √ − (d2 + d3 ) = 0.
∂e3
2 e3
Следовательно,
e2 = e3 =
k
2(d2 + d3 )
2
.
Для того, чтобы управления находились в области допустимых значений, введем дополнительное требование на параметры модели. Ограничение на управление для коалиции {1, 2, 3}:
2
k
0 6 3 6 k,
P
2 di
i=1
16
2
следовательно
2
k
3
P
> 0, т. к. k > 0 и di > 0, и
di
2
2
i=1
k
3
P
di
6 k, при
i=1
3 2
P
k 6 2 di .
i=1
Соответственно для одноэлементной коалиции, например {1}, имеем:
06
откуда следует, что
k
2d1
2
k
2d1
2
6 k,
> 0, т. к. k > 0,
d1 > 0, и
k
2d1
2
6 k, при
k 6 (2d1 )2 .
Аналогично, для коалиции из двух игроков, например {2, 3}, получаем:
06
k
2(d2 + d3 )
следовательно
k
2(d2 + d3 )
2
k
2(d2 + d3 )
2
и
2
6 k,
> 0,
6 k,
при k 6 (2(d2 + d3 ))2 .
Однако для коалиций {2, 3} и {1}, при ограничениях k > 4(d2 + d3 )2 ,
k > 4d21 соответственно, ei выходят за пределы компакта. Следовательно,
оптимальные управления стоит искать на границах. Выразим di из полученных неравенств
√
k
d1 <
,
2
√
d2 + d3 <
k
2
(5)
Очевидно, для одноэлементной коалиции максимум достигается при ei = 0,
а для двухэлементной при ei = k, т. к. при подстановке управления в (4),
√
√
получаем 2k( k − (d2 + d3 )) > 0, при d2 + d3 6 k, что удовлетворяет
17
неравенству из (5).
Найдем значения характеристической функции для коалиций {1}, {2, 3},
{1, 2, 3} с учетом полученных ограничений и управлений, и проверим выполнения супераддитивности:
V ({1}) = 0,
e1 = 0,
√
V ({2, 3} = 2k( k − (d2 + d3 )),
3k 2
V ({1, 2, 3}) = 3 ,
P
4 di
e2 = e3 = k,
2
k
ei = 3 ,
P
2 di
i=1
i = 1, 3
i=1
Проверим выполнение неравенства V δ ({1})+V ζ ({2, 3}) 6 V δ ({1, 2, 3})
(для других коалиций проверка выполняется аналогично циклической перестановкой индексов).
√
3k 2
−
2k(
k − (d2 + d3 )) > 0,
3
P
4 di
i=1
получаем
3
3
X
X
√
3k − 8
di k + 8
di (d2 + d3 ) > 0.
Пусть t =
√
i=1
(6)
i=1
k, тогда
2
3t − 8
3
X
i=1
Дискриминант D = 32
3
P
di t + 8
3
X
di (d2 + d3 ) > 0.
i=1
di (2d1 − d2 − d3 ), тогда при D 6 0 неравенство вы-
i=1
полняется, следовательно δ – характеристическая функция супераддитивна.
18
3
Рассмотрим случай, когда D > 0, т. е. d1 > d2 +d
2 . Получили два корня
v
2
u 3
3
u
X
X
4
di + t2
di (2d1 − d2 − d3 ) ,
k1 = 2
9
i=1
i=1
k2 =
4
2
9
3
X
v
2
u 3
u X
di − t2
di (2d1 − d2 − d3 ) .
i=1
i=1
Пусть k2 < k3 < k1 , допустим
!2
3
3
3
X
X
4 X
8
k3 =
2
di + 2
di (4d1 + d2 + d3 ),
di (2d1 − d2 − d3 ) =
9
9
i=1
i=1
i=1
при ограничениях k3 6 4
3
P
2
di
√
, d1 <
i=1
k
2 ,
√
d2 + d3 <
k
2 ,
d1 >
d2 +d3
2 .
Нетрудно убедиться в том, что k3 удовлетворяет данным ограничениям. Тогда подставим k3 в неравенство (6) и проверим выполнение условия супераддитивности:
24
9
3
X
di (4d1 +d2 +d3 )−
i=1
8
3
3
X
i=1
v
u 3
3
u X
X
di t8
di (4d1 + d2 + d3 )+8
di (d2 +d3 ) > 0.
i=1
i=1
В ходе преобразований приходим к неравенству:
−2d1 + d2 + d3 > 0,
следовательно
d1 6
d2 + d3
.
2
По условию задачи данное неравенство не удовлетворяет ограничению
d1 >
d2 +d3
2 .
В таком случае, неравенство (6) не выполняется, следовательно,
δ – характеристическая функция не супераддитивна для данного пример.
Полученные выводы можно легко проверить при наборе параметров,
удовлетворяющих ограничениям, например, пусть d2 = 2, d3 = 4, d1 = 4,
k=
1760
9 .
19
2.4.
Пример с квадратичной функцией полезности
Рассмотрим Пример 1 из раздела 1.3., тогда δ–характеристическая
функция имеет вид:
0,
S = {∅},
P
max
kei − 21 e2i − di ê , S ⊂ N ,
δ
ei ,i∈S
V (S) = e =eN E , j∈N \S i∈S
j
j
P
kei − 12 e2i − di ê ,
S = N.
emax
,i∈N
i
(7)
i∈N
Для того, чтобы управления из (7) находились в области допустимых
значений, необходимо было ввести дополнительные требования на параметры модели:
k>
3
X
3
X
di ,
i=1
di > 0.
i=1
Найдены значения характеристической функции для всех возможных
коалиций (см. приложение 3):
3
V (N ) = V (N ) =
2
δ
α
k−
3
X
!2
di
,
ēi = k −
3
X
di ,
i = 1, 3.
i=1
i=1
1
V δ ({1}) = k 2 − 3kd1 +
2
1
V δ ({2}) = k 2 − 3kd2 +
2
1
V δ ({3}) = k 2 − 3kd3 +
2
1 2
d + d1 (d2 + d3 ),
2 1
1 2
d + d2 (d1 + d3 ),
2 2
1 2
d + d2 (d1 + d2 ),
2 3
V δ ({2, 3}) = k 2 − (d2 + d3 )(3k − d1 ),
V δ ({1, 3}) = k 2 − (d1 + d3 )(3k − d2 ),
V δ ({1, 2}) = k 2 − (d1 + d2 )(3k − d3 ).
В приложении 2 доказано свойство супераддитивности δ–характеристической
функции для данного примера.
20
2.5.
Пример с логарифмической функцией полезности
Рассмотрим Пример 3. Пусть при n = 3, ui = fi (ei ) − di (ê),
fi (ei ) = k ln(ei + 1), di (ê) = di ê, где ê = e1 + e2 + e3 . Тогда
0,
S = {∅},
P
max
(k ln(ei + 1) − di ê), S ⊂ N ,
δ
ei ,i∈S
i∈S
V (S) = e =eN E , j∈N \S
j
j
P
(k ln(ei + 1) − di ê),
S = N.
emax
,i∈N
i
i∈N
Для того, чтобы управления находились в области допустимых значений, введем дополнительное требование на параметры модели:
3
X
di >
i=1
k
,
k+1
при k > 0.
Гранд-коалиция имеет вид
3
k
X
k
− 1 ,
di 3
V ({1, 2, 3}) = 3k ln 3 −3
P
P
i=1
di
di
δ
i=1
i=1
ēi =
k
−1,
3
P
di
i = 1, 3.
i=1
Характеристическая функция для одноэлементных коалиций
3
X
k
k
δ
V ({i}) = k ln
− di
−1 .
di
d
j
j=1
Соответственно для различных коалиций из двух игроков имеем
k
k
2k
δ
V ({2, 3}) = 2k ln
− (d2 + d3 )
+
−3 ,
d2 + d3
d1 d2 + d3
k
k
2k
V δ ({1, 3}) = 2k ln
− (d1 + d3 )
+
−3 ,
d1 + d3
d2 d1 + d3
k
k
2k
V δ ({1, 2}) = 2k ln
− (d1 + d2 )
+
−3 .
d1 + d2
d3 d1 + d2
Было проверено выполнение условия супераддитивности (см. приложение 2).
21
ζ – характеристическая функция
3
3.1.
Определение
Рассмотрим задачу максимизации суммы выигрышей игроков. Пусть
n
P
ē — управления, доставляющие максимум
ui (e1 , . . . , en ). Характеристичеi=1
ζ
ская функция V (S) как сила коалиции S, S ⊂ N, может быть вычислена
следующим образом: игроки из S используют стратегии ēS = {ēi }i∈S из оптимального n – набора ē, в то время как оставшиеся игроки из множества
P
N \S минимизируют выигрыш
ui коалиции S.
i∈S
V ζ (S) =
0,
S = {∅},
P
ui (ēS , eN \S ), S ⊂ N ,
inf
e ,j∈N
\S
j
i∈S
ei =ēi , i∈S
n
P
ui (e1 , . . . , en ),
,...,en ,
e1max
i=1
S = N.
ei ,i∈S
Преимущества:
• удовлетворяет свойству супераддитивности в общем случае, в отличие
от δ–характеристической функции;
• процесс вычисления значительно проще, чем у стандартной характеристической функции Неймана – Моргенштерна;
• оптимальные управления всегда существуют и могут быть вычислены
для широкого класса игр, не требуя значительных ограничений, таких
как, например, существование и единственность равновесия по Нэшу.
22
3.2.
Супераддитивность
Утверждение: V ζ (S), построенная согласно (1), является суперадди-
тивной характеристической функцией, т.е.:
V (S1 ∪ S2 ) ≥ V (S1 ) + V (S2 ),
∀S1 , S2 ⊆ N, S1 ∩ S2 = ∅.
Док-во:
V (S1 ∪ S2 ) =
min
X
ej , j∈N \(S1 ∪S2 )
ei =ei , i∈(S1 ∪S2 ) i∈(S1 ∪S2 )
ui (e) =
!
=
X
min
ej , j∈N \(S1 ∪S2 )
ei =ei , i∈(S1 ∪S2 )
ui (e) +
X
i∈S1
ui (e) .
i∈S2
Так как сумма минимумов не превосходит минимум суммы, имеем
!
!
X
X
ui (e) +
min
ui (e) .
V (S1 ∪ S2 ) ≥
min
ej , j∈N \(S1 ∪S2 )
ei =ei , i∈(S1 ∪S2 )
ej , j∈N \(S1 ∪S2 )
ei =ei , i∈(S1 ∪S2 )
i∈S1
i∈S2
Поскольку минимум сначала берется по меньшему множеству, получаем
!
!
X
X
V (S1 ∪ S2 ) ≥ min
ui (e) + min
ui (e) =
ej , j∈N \S1
ei =ei , i∈S1
ej , j∈N \S2
ei =ei , i∈S2
i∈S1
i∈S2
= V (S1 ) + V (S2 ),
что и требовалось доказать.
3.3.
Пример с квадратичной функцией полезности
Рассмотрим Пример 1 из раздела (1.3.), тогда ζ – характеристическая
функция может быть вычислена следующим образом:
0,
S = {∅},
P
1
min
kei − 2 − di ê , S ⊂ N ,
ζ
i ,i∈N \S
i∈S
V (S) = ee=ē
j
j , j∈S
P
1
max
ke
−
−
d
ê
,
S = N.
i
i
e ,i∈N
2
i
i∈N
23
(8)
Из условий допустимости были введены дополнительные требования
на параметры модели:
k>
3
X
3
X
di ,
i=1
di > 0.
i=1
Аналогично характеристическим функциям δ и α получаем:
!2
3
3
X
X
3
ζ
δ
α
V (N ) = V (N ) = V (N ) =
k−
di , ēi = k −
di ,
2
i=1
i=1
i = 1, 3.
Также найдены характеристические функций для одноэлементных и двухэлементных коалиций, согласно (8):
!
!2
!
3
3
3
X
X
X
1
V ζ ({i}) = k k −
di −
k−
di − di 3k −
di ,
2
i=1
i=1
i=1
V ζ ({2, 3}) = 2k k −
3
X
!
−
di
k−
V ζ ({1, 3}) = 2k k −
!
−
di
k−
V ζ ({1, 2}) = 2k k −
− (d2 + d3 ) 3k −
di
3
X
!
di
−
k−
3
X
− (d1 + d3 ) 3k −
di
!
di ,
3
X
!
di ,
i=1
!2
di
− (d1 + d2 ) 3k −
3
X
!
di .
i=1
i=1
i=1
3
X
i=1
!2
i=1
i=1
3
X
!2
i=1
i=1
3
X
3
X
i = 1, 3,
Проверено выполнение свойства супераддитивности построенной характеристической функции (см. приложение 3).
3.4.
Пример с логарифмической функцией полезности
Рассмотрим Пример 2 из раздела (2.5.), тогда характеристическая функ-
ция имеет вид:
V ζ (S) =
0,
min
P
ei ,i∈N \S i∈S
e
j =ēj , j∈S
emax
,i∈N
i
P
S = {∅},
(k ln(ei + 1) − di ê), S ⊂ N ,
(9)
(k ln(ei + 1) − di ê),
i∈N
24
S = N.
Для того, чтобы управления находились в области допустимых значений, введем дополнительное требование на параметры модели:
3
X
di >
i=1
k
,
k+1
при k > 0.
Значение характеристической функции для гранд-коалиции получаем аналогично как в примере с δ–характеристической функцией:
3
k
X
k
di 3
− 1 ,
V ({1, 2, 3}) = 3k ln 3 −3
P
P
i=1
di
di
ζ
i=1
ēi =
i=1
k
V ({i}) = k ln 3
P
di
k
− di 3
P
i=1
di
− 1 + 2k .
i=1
Для коалиций, состоящих из двух игроков, имеем
k
V ({2, 3}) = 2k ln 3
P
ζ
i=1
k
V ({1, 3}) = 2k ln 3
P
ζ
i=1
k
V ({1, 2}) = 2k ln 3
P
ζ
2k
− (d1 + d3 ) k − 2 + 3 ,
P
di
di
i=1
2k
− (d2 + d3 ) k − 2 + 3 ,
P
di
di
i=1
i = 1, 3.
i=1
Согласно (9) для одноэлементных коалиций получаем
ζ
k
−1,
3
P
di
2k
− (d1 + d2 ) k − 2 + 3 .
P
di
di
i=1
i=1
ζ–характеристическая функция удовлетворяет свойству супераддитивности, доказательство (см. приложение 3).
25
3.5.
Кооперативная игра управления вредными выбросами на примере предприятий Иркутской области
Загрязнение атмосферы в городах и поселках области является след-
ствием выбросов веществ от предприятий теплоэнергетики, нефтехимической, угольной, деревообрабатывающей промышленности, автотранспорта
и т. д.. Изучив различные рейтинги городов России и крупных компаний по
объему выбросов в воздух загрязняющих веществ, наибольший интерес вызвало экологическое положение в Иркутской области [14]. Принцип данного выбора основан на сведениях, полученных из государственного доклада
Министерства природы РФ, в котором отмечается, что ОАО "Иркутскэнерго" , ОАО "Братский алюминиевый завод" и ОАО "Ангарский нефтехимический комбинат" суммарно выбрасывают в атмосферный воздух около 73,8%
всего объема загрязняющих веществ от стационарных источников в области [15].
Причиной увеличения выбросов загрязняющих веществ энергетической компании ОАО "Иркутскэнерго"явилось применение топлива худшего
качества. На увеличение выбросов компании ОАО "АНХК"повлиял рост
объемов переработки нефти и расхода топлива на технологические нужды.
Однако в результате выполнения природоохранных мероприятий и повышения технологической дисциплины валовые выбросы загрязняющих веществ
в атмосферный воздух снизились на предприятии цветной металлургии —
ОАО "Братский алюминиевый завод" [16].
Данные по чистой прибыли каждой из компаний и загрязнению атмосферы соответствуют положению на 2004 год (см. таблицу 1). Для полной
картины понимания проблемы загрязнения рассмотренной области приведем данные за 2012 год, согласно которым, Ангарск входит в десятку самых загрязненных городов России. Зафиксировано 278,5 тысяч тонн вы26
бросов, причем доля автомобилей составляет всего 4,6%. ОАО "Иркутскэнерго" принадлежат ТЭЦ, оказывающие огромное влияние на загрязнение
окружающей среды в Ангарске. Братск находится на 18 месте в рейтинге
по объему выбросов в атмосферу загрязняющих веществ среди 100 городов России. Всего зафиксировано выбросов в 134,9 тысячи тонны с долей
автомобильных выбросов в 11,2%.
Рассмотрим практический пример решения кооперативной игры управления вредными выбросами в Иркутской области при n = 3, где в качетсве
игроков выступают данные компании, которые являются основными источниками загрязнения области. Пусть функция полезности имеет рассмотренный ранее вид ui = fi (ei ) − di (b
e),
fi (ei ) = ki ei − 21 e2i ,
di (b
e) = di eb, где
eb = e1 + e2 + e3 , где ki > 0 — коэффициент, равный отношению общего дохода от производства i-ой компанией (Pi ) к объему общего загрязнения соответствующей компании (Vi ), di > 0 — величина налога (штраф), который
зависит от суммарного загрязнения eb. По данным о компаниях (см. таблицу
1) были найдены коэффициенты ki . Для вычисления штрафов понадобились следующие сведения: какие вредные вещества производят компании
и в каком количестве, а также величина налога за ущерб от загрязнения
окружающей среды.
Основные выбросы от ТЭЦ — это твердые частицы, оксиды азота,
серы и углерода. Известно, что оксид углерода (угарный газ) является чрезвычайно сильным отравляющим газом. Для нефтехимических заводов характерны выбросы в виде продуктов сгорания углеводородов, содержащие
также оксид углерода, диоксид серы и оксиды азота. Для алюминиевых заводов помимо различных фтористых соединений, существенным является
огромные выбросы твердых отходов и углеводородов.
В таблице 2 приведены данные по общему воздействию загрязняю27
щих веществ от стационарных источников. Пусть в данной задаче рассматриваемые три компании будут нести штраф за все суммарные загрязнения,
т. к. известно, что они являются основными источниками загрязнения области. На основе полученных сведений о воздействии на окружающую среду
различных вредных веществ и рассмотрения нормативов платы за выбросы
в атмосферный воздух загрязняющих веществ стационарными источниками
от 12 июня 2003 года (см. таблицу 2) и неизменные в 2005 году [17], были
получены коэффициенты, определяющие штраф для каждой компании (см.
приложение 4).
Таблица 1: Данные о компаниях
Компания
Иркутскэнерго
Братский алюм. завод
Ангарский нефтехим.
комб.
Pi (млн. руб)
900
872,4
1290,7
Vi (тыс. т)
182,5
54,3
33,6
Таблица 2: Воздействие на окружающую среду в 2004 г.
Объемы выбросов (тыс. Плата за выбросы (руб)
т)
Жид. и газообр. вещ-ва 357,68
5
Тв. вещ-ва
130,04
13,7
Диоксид серы
133,26
21
Оксид углерода
114,37
0,6
Оксид азота
66,39
35
Углеводороды
1,14
5
Прочее
4,81
10
Показатель
28
Таблица 3: Значения коэффициентов
Компания
Иркутскэнерго
Братский алюм. завод
Ангарский нефтехим.
комб.
ki
4931,5068
16066,2983
380675
di
20,69
7,84
3,82
На основании данных таблицы 1 и таблицы 2 были получены следующие результаты, представленные в таблице 3. Программный код вычисления рассмотренного примера представлен в приложении 4.
Таблица 4: Значения характеристических функций для различных коалиций
Коалиция
{1}
{2}
{3}
{1, 2}
{1, 3}
{2, 3}
{1, 2, 3}
Vα
10930727,55
128597393,55
737579079,13
139528690,23
748510185,99
866176570,49
877108517,52
Vδ
10930968,68
128597585,63
737579188,01
139528799,11
748510378,06
866176811,63
877108517,52
Vζ
10930659,65
128597093,21
737578672,17
139528675,66
748510124,57
866176142,32
877108517,52
Исход игры описывается так называемым дележом — это 3–мерный вектор,
удовлетворяющий свойствам индивидуальной и коллективной рациональности [10]. В качестве принципа оптимальности распределения выигрыша
между игроками используем вектор Шепли, вычисляемый по следующим
формулам:
1
1
1
Sh(V )1 = V ({1}) + (V ({1, 2} − V ({2})) + (V ({1, 3} − V ({3}))+
3
6
6
1
(V ({1, 2, 3} − V ({2, 3})),
3
29
1
1
1
Sh(V )2 = V ({2}) + (V ({1, 2} − V ({1})) + (V ({2, 3} − V ({3}))+
3
6
6
1
(V ({1, 2, 3} − V ({1, 3})),
3
1
1
1
Sh(V )3 = V ({3}) + (V ({1, 3} − V ({1})) + (V ({2, 3} − V ({2}))+
3
6
6
1
(V ({1, 2, 3} − V ({1, 2})).
3
Сравним значение его компонент с выигрышами игроков, полученными в
равновесии по Нэшу:
Таблица 5: Значения α – характеристической функции и вектора Шепли
Игрок
{1}
{2}
{3}
Vα
10930727,55
128597393,55
737579079,13
Sh
10931292,12
128597817,37
737579408,04
Таблица 6: Значения δ – характеристической функции и вектора Шепли
Игрок
{1}
{2}
{3}
Vδ
10930968,68
128597585,63
737579188,01
Sh
10931378,09
128597817,37
737579408,04
Таблица 7: Значения ζ – характеристической функции и вектора Шепли
Игрок
{1}
{2}
{3}
Vζ
10930659,65
128597093,21
737578672,17
Sh
10931517,43
128597743,08
737579257,01
Очевидно, что должно выполняться свойство индивидуальной рациональности, а именно Sh(V )i > V (i), что непосредственно подтверждается
30
данными из таблиц 5–7. Выполнение данного свойства побуждает игроков
кооперироваться с целью уменьшения затрат на устранение ущерба от суммарного загрязнения, т. е. для максимизации прибыли.
31
Выводы
В данной работе исследована модель игры с отрицательными связями
с использованием α, δ, ζ – характеристических функций. Изученные подходы были применены для нахождения оптимального кооперативного решения в одной игре управления вредными выбросами на основе реальных
данных для предприятий Иркутской области.
В ВКР были выявлены недостатки подхода, описанного в построении
δ–характеристической функции, а именно, при доказательстве супераддитивности данной функции не учитывались ограничения на управления игроков. Было получено, что для некоторых конкретных примеров с ограничениями на управление, δ–характеристическая функция оказалась супераддитивной, однако для функции полезности, в качестве которой была использована функция квадратного корня от управления, свойство супераддитивности не выполняется. Последнее дает право утверждать, что предположение
о супераддитивности δ–характеристической функции для так называемых
игр с отрицательными связями [4] не доказано в общем случае.
Также в работе описана и исследована новая характеристическая функция, для которой было адаптировано доказательство супераддитивности в
статической постановке игры.
32
Заключение
Как известно, теория игр осуществляет решение многих экономических задач, связанных с экологическими проблемами. Исследованная в данной работе модель игры с отрицательными связями [4] может быть использована для решения задач управления вредными выбросами. Важно рассмотреть кооперативный вариант игры, что соответствует совместным действиям игроков (стран-участниц), с целью уменьшения суммарного объема
загрязнения.
Была решена задача (управления вредными выбросами) для различных видов функций полезности: квадратичной, логарифмической и функции квадратного корня. Найдены оптимальные управления (стратегии) игроков, и проверено выполнение свойства супераддитивности рассмотренных характеристических функций. В качестве наглядного примера изучены
данные по загрязнению окружающей среды Иркутской области. Теоретическим вкладом данной работы являются следующие результаты. Найдены недостатки в доказательстве супераддитивности δ–характеристической
функции в работе [4]. В разделе 2.3. приведен контрпример. Адаптировано определение ζ–характеристической функции для игр с отрицательными
связями и доказана ее супераддитивность в общем случае.
Актуальность данной работы объясняется значительным интересом к
кооперативным моделям поведения игроков, особенно в области природоохранного менеджмента.
33
Список литературы
[1] Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр СПб.:
БХВ-Петербург, 2012, 426 с.
[2] Мазалов В. В.Математическая теория игр и ее приложения. СПб.:
«Лань», 2010.
[3] Chander P. The gamma–cor and coalition formation // International Journal
of Game Theory. 2007. V. 35. P. 539–556.
[4] Reddy P. V., Zaccour G. A friendly computable characteristic function.
Mathematical Social Sciences. 2016
[5] РБК
Парижское
соглашение
об
изменении
климата
//
URL:
http://www.rbc.ru/rbcfreenews/571701529a794758f55d3d90 (дата обращения: 20.04.2016).
[6] Petrosjan L., Zaccour G. Time–consistent Shapley value allocation of
pollution cost reduction // J. of Economic Dynamics and Control. 2003.
V. 27, no. 3. P. 381–398.
[7] Петросян Л. А., Громова Е. В. Двухуровневая кооперация в коалиционных дифференциальных играх // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20,
вып. 3 С. 193–203.
[8] Chander P., Tulkens H. The core of an economy with multilateral
environmental externalities. International Journal of Game Theory 26. 1997.
P. 379–401.
[9] Eyckmans J., Finus M. An almost ideal sharing scheme for coalition games
34
with externalities. Working Paper Series 2004–14. Center for Economic
Studies, K.U. Leuven.
[10] Воробьев Н. Н.Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: «Наука», 1985.
[11] Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы. СПб.: Изд-во Европ. универс., 2004.
[12] von Neumann J., Morgenstern O. Theory of Games and Economic
Behavior. Princeton University Press, 1953.
[13] Петросян Л. А., Данилов Н. А. Устойчивые решения неантагонистических дифференциальных игр с транзитивными выигрышами // Вестник
ЛГУ. 1979. №1. С. 46–54.
[14] РБК Рейтинг компаний по степени загрязнения окружающей среды //
URL: http://rating.rbc.ru/article.shtml?2006/01/25/4627399 (дата обращения: 26.02.2016).
[15] Ангарск попал в ТОП-10 самых загрязненных городов России // URL:http://irkutskmedia.ru/news/oblast/13.08.2013/295648/angarskpopal-v-top-10-samih-zagryaznennih-gorodov-rossii.html (дата обращения
18.03.2016)
[16] Национальный портал Природа России: URL:http:// www.priroda.ru (дата обращения: 2.03.2016).
[17] Нормативы
грязняющих
платы
за
веществ
выбросы
в
стационарными
атмосферный
источниками
воздух
//
заURL:
http://base.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=LAW;n=172885
(дата обращения: 20.03.2016).
35
Приложения
3.6.
Приложение 1. Доказательство супераддитивности α
– характеристической функции для Примера 1
Найдем значение характеристической функции для всех возможных
коалиций.
3
X
α
V ({1, 2, 3}) = max
e1 ,e2 ,e3
= max
k
e1 ,e2 ,e3
3
X
1
2
ei −
i=1
3
X
i=1
e2i −
i=1
ui (e1 , e2 , e3 ) =
3
X
di
3
X
i=1
!
ei .
(10)
i=1
Для нахождения максимума функции, считаем частные производные
∂ui (e1 ,e2 ,e3 )
,
∂ei
i = 1, 3 и приравниваем их к нулю:
∂ui (e1 , e2 , e3 )
= k − ei − (d1 + d2 + d3 ) = 0.
∂ei
Следовательно, максимизирующие управления имеют вид:
3
X
ēi = k −
di ,
i = 1, 3.
i=1
Подставляя ēi в (10), получаем
V α ({1, 2, 3}) = max
ei ,i=1,3
3
X
i=1
3
ui (e1 , e2 , e3 ) =
2
k−
3
X
!2
di
.
i=1
Характеристическая функция для одноэлементной коалиции, например {1} :
!
3
X
1
V α ({1}) = max min u1 (e1 , e2 , e3 ) = max min ke1 − e21 − d1
ei .
e1 e2 ,e3
e1 e2 ,e3
2
i=1
Очевидно, что минимум достигается при e2 = e3 = k.
Находим e1 из условия
∂u1 (e1 ,e2 ,e3 )
∂e1
=0:
∂u1 (e1 , e2 , e3 )
= k − e1 − d1 = 0.
∂e1
36
Следовательно, e1 = k − d1 .
Получаем
1
V α ({1}) = k(k − d1 ) − (k − d1 )2 − d1 (3k − d1 ).
2
Аналогично,
1
V α ({2}) = k(k − d2 ) − (k − d2 )2 − d2 (3k − d2 ),
2
1
V α ({3}) = k(k − d3 ) − (k − d3 )2 − d3 (3k − d3 ).
2
Характеристическая функция для двухэлементной коалиции:
V α ({2, 3}) = max min(u2 (e1 , e2 , e3 ) + u3 (e1 , e2 , e3 )) =
e2 ,e3
e1
1
= max min k(e2 + e3 ) − (e22 + e23 ) − (d2 + d3 )
e2 ,e3 e1
2
3
X
!
ei .
i=1
Ясно, что функция достигает минимума при e1 = k. Вычисляем производные
∂u2 (e1 ,e2 ,e3 )
,
∂e2
∂u3 (e1 ,e2 ,e3 )
∂e3
и находим e2 и e3 , доставляющие максимум
функции:
∂u2 (e1 , e2 , e3 )
= k − e2 − (d2 + d3 ) = 0,
∂e2
∂u3 (e1 , e2 , e3 )
= k − e3 − (d2 + d3 ) = 0.
∂e3
Следовательно, e2 = e3 = k − (d2 + d3 ).
V α ({2, 3}) = 2k(k − (d2 + d3 )) − (k − (d2 + d3 ))2 − (d2 + d3 )(3k − (d2 + d3 )),
V α ({1, 3}) = 2k(k − (d1 + d3 )) − (k − (d1 + d3 ))2 − (d1 + d3 )(3k − (d1 + d3 )),
V α ({1, 2}) = 2k(k − (d1 + d2 )) − (k − (d1 + d2 ))2 − (d1 + d2 )(3k − (d1 + d2 )).
Проверим условие супераддитивности. Покажем выполнение неравенства V δ ({1}) + V ζ ({2, 3}) ≤ V δ ({1, 2, 3}) (для других коалиций проверка
выполняется аналогично циклической перестановкой индексов):
1
k(k − d1 ) − (k − d1 )2 − d1 (3k − d1 ) + 2k(k − (d2 + d3 ))−
2
37
3
−(k − (d2 + d3 ))2 − (d2 + d3 )(3k − (d2 + d3 )) 6
2
k−
3
X
!2
di
i=1
Преобразуем данное неравенство:
3
1
(k − d1 )(k + d1 ) − 3kd1 + d21 + k 2 − 3k(d2 + d3 ) 6
2
2
k−
3
X
!2
di
.
i=1
Отсюда
3 2 1 2
k + d1 − 3k
2
2
3
X
i=1
3
X
3
3
di 6 k 2 +
2
2
Очевидно, что
1 2 3
d −
2 1 2
3
X
!2
di
− 3k
i=1
3
X
di
i=1
!2
di
6 0,
i=1
при di > 0. Следовательно, α–характеристическая функция супераддитивна.
3.7.
Приложение 2. Доказательство супераддитивности δ –
характеристической функции для примеров
3.7..1 Пример 1
Известно, что
3
V ({1, 2, 3}) = V ({1, 2, 3}) =
2
δ
α
k−
3
X
!2
di
,
ēi = k −
3
X
di ,
i = 1, 3.
i=1
i=1
Далее из системы
max u1 (e1 , e2 , e3 )
e1
max u2 (e1 , e2 , e3 )
e2
max u3 (e1 , e2 , e3 )
e3
находим равновесные по Нэшу стратегии.
Для этого считаем частные производные
∂ui (e1 ,e2 ,e3 )
,
∂ei
ваем их к нулю:
∂ui (e1 , e2 , e3 )
= k − ei − di = 0,
∂ei
38
i = 1, 3 и приравни-
отсюда получаем, что
E
eN
= k − di ,
i
i = 1, 3.
1
E
uN
= k(k − di ) − (k − di )2 − di 3k −
i
2
3
X
!
di
i=1
ash
и V δ ({i}) = uN
, следовательно
i
1
1
V δ ({1}) = k 2 − 3kd1 + d21 + d1 (d2 + d3 ).
2
2
Аналогично,
1
1
V δ ({2}) = k 2 − 3kd2 + d22 + d2 (d1 + d3 ),
2
2
1
1
V δ ({3}) = k 2 − 3kd3 + d23 + d2 (d1 + d2 ).
2
2
Вычисляем характеристическую функцию для двухэлементных коалиций,
возьмем, например для {2, 3}, тогда:
E
NE
V δ ({2, 3}) = max
(u2 (eN
1 , e2 , e3 ) + u3 (e1 , e2 , e3 )),
e ,e
2
3
E
e1 =eN
1
E
eN
= k − d1 .
1
Соответственно,
1
E
V δ ({2, 3}) = k(e2 + e3 ) − (e22 + e23 ) − (d2 + d3 )(eN
+ e2 + e3 ).
1
2
Далее находим e2 и e3 из условий:
E
NE
∂((u2 (eN
1 , e2 , e3 ) + (u3 (e1 , e2 , e3 ))
= k − e2 − (d2 + d3 ) = 0,
∂e2
E
NE
∂((u2 (eN
1 , e2 , e3 ) + (u3 (e1 , e2 , e3 ))
= k − e3 − (d2 + d3 ) = 0.
∂e3
Получаем, что e2 = e3 = k − (d2 + d3 ).
Подставляем полученные управления в функцию:
V δ ({2, 3}) = k 2 − (d2 + d3 )(3k − d1 ).
39
Аналогично,
V δ ({1, 3}) = k 2 − (d1 + d3 )(3k − d2 ),
V δ ({1, 2}) = k 2 − (d1 + d2 )(3k − d3 ).
Проверим условие супераддитивности. Покажем выполнение неравенства V δ ({1}) + V ζ ({2, 3}) ≤ V δ ({1, 2, 3}) (для других коалиций проверка
выполняется аналогично циклической перестановкой индексов).
1 2
1
3
k − 3kd1 + d21 + d1 (d2 + d3 ) + k 2 − (d2 + d3 )(3k − d1 ) 6
2
2
2
k−
3
X
!2
di
.
i=1
Тогда
3 2
k − 3k
2
3
X
i=1
1
3
di + d21 + 2d1 (d2 + d3 ) 6 k 2 − 3k
2
2
3
X
di +
i=1
3
2
3
X
!2
di
i=1
Следовательно получаем
1 2
3
d1 + 2d1 d2 + 2d1 d3 6
2
2
3
X
!2
di
,
i=1
очевидно,
−2d21 − 3d22 − 3d23 − 2d1 d2 − 2d1 d3 − 6d2 d3 < 0.
Следовательно V δ — супераддитивная характеристическая функция.
3.7..2 Пример 3
δ
V (S) =
0,
max
P
ei ,i∈S
i∈S
NE
e
=e
j
j , j∈N \S
(k ln(ei + 1) − di ê),
P
(k ln(ei + 1) − di ê),
emax
,i∈N
i
i∈N
40
S = {∅},
S ⊂ N,
S = N.
.
Получаем:
3
X
δ
V ({1, 2, 3}) = max
e1 ,e2 ,e3
= max
e1 ,e2 ,e3
k
3
X
ui (e1 , e2 , e3 ) =
i=1
ln(ei + 1) −
3
X
i=1
di
3
X
i=1
!
ei .
i=1
Для нахождения максимума функции, считаем частные производные
∂ui (e1 ,e2 ,e3 )
,
∂ei
i = 1, 3 и приравниваем их к нулю:
3
X
∂ui (e1 , e2 , e3 )
k
−
di = 0.
=
∂ei
ei + 1 i=1
Следовательно, максимизирующие управления имеют вид:
ei =
k
3
P
− 1,
i = 1, 3.
di
i=1
Получаем
k
V ({1, 2, 3}) = 3k ln 3
P
δ
−3
di
3
X
i=1
i=1
k
di 3
P
di
− 1 .
i=1
Для одноэлементрых коалиций находим равновесные по Нэшу стратегии:
max u1 (e1 , e2 , e3 )
e1
max u2 (e1 , e2 , e3 )
e2
max u3 (e1 , e2 , e3 ).
e3
Считаем частные производные по
∂ui (e1 ,e2 ,e3 )
,
∂ei
i = 1, 3 и приравниваем их к
нулю:
∂ui (e1 , e2 , e3 )
k
=
− di = 0
∂ei
ei + 1
Отсюда
ei =
k
− 1.
di
41
Следовательно,
E
uN
i
3
X
k
k
= k ln
− di
−1 .
di
d
i
i=1
E
Известно, что V δ ({i}) = uN
i , получаем
k
V δ ({1}) = k ln
d1
k
V δ ({2}) = k ln
d2
k
V δ ({3}) = k ln
d3
− d1
3
X
k
i=1
− d2
3
X
k
i=1
− d3
di
di
3
X
k
i=1
di
NE
E
V δ ({2, 3}) = max
(u2 (eN
1 , e2 , e3 ) + u3 (e1 , e2 , e3 )),
e ,e
2
тогда
3
E
e1 =eN
1
−1 ,
−1 ,
−1 .
E
=
eN
1
k
d1
− 1,
E
V δ ({2, 3}) = k(ln(e2 + 1) + ln(e3 + 1)) − (d2 + d3 )(eN
+ e2 + e3 ).
1
Для нахождения максимума используем равенство нулю частных производных:
E
+ e2 + e3 )
∂u2 (eN
1
= 0,
∂e2
E
+ e2 + e3 )
∂u3 (eN
1
= 0,
∂e3
т. е.
E
∂u2 (eN
+ e2 + e3 )
k
1
=
− (d2 + d3 ) = 0,
∂e2
e2 + 1
E
∂u3 (eN
+ e2 + e3 )
k
1
=
− (d2 + d3 ) = 0.
∂e3
e3 + 1
Следовательно,
e2 = e3 =
k
− 1.
d2 + d3
42
Получаем,
2k
k
k
V δ ({2, 3}) = 2k ln
− (d2 + d3 )
+
−3 ,
d2 + d3
d1 d2 + d3
2k
k
k
− (d1 + d3 )
+
−3 ,
V δ ({1, 3}) = 2k ln
d1 + d3
d2 d1 + d3
k
k
2k
V δ ({1, 2}) = 2k ln
− (d1 + d2 )
+
−3 .
d1 + d2
d3 d1 + d2
Проверим выполнения условия супераддитивности, т. е.
V (S1 ∪ S2 ) > V (S1 ) + V (S2 ),
(11)
например, для неравенства V δ ({1, 2, 3}) > V δ ({1}) + V ζ ({2, 3}) (для других коалиций проверка выполняется аналогично циклической перестановкой индексов).
Имеем
3
X
2k
k
k
k
k
k ln
−d1
− 1 +2k ln
−(d2 +d3 )
+
−3 6
d1
d
d
+
d
d
d
+
d
i
2
3
1
2
3
i=1
k
6 3k ln 3
P
di
3
k
X
di 3
−3
P
i=1
i=1
di
− 1 .
i=1
В ходе преобразований приходим к неравенству
3
3
P
di
d +d
d3 d3
i=1
1
2
ln
+
+ .
6
d3
d1 d2
(d1 + d2 )d3
Сделаем замену. Пусть
d1 = d,
d2 = αd,
43
(12)
d3 = βd.
Тогда получаем
(d + αd + βd)3
ln
(d + αd)βd
6
d + αd
β
+β+ ,
βd
α
6
1+α
β
+β+ .
β
α
следовательно,
(1 + α + β)3
ln
βd(1 + α)
Отсюда
e
β
1+α
β +β+ α
>
(1 + α + β)3
,
βd(1 + α)
тогда
d = d1 >
(1 + α + β)3
β(1 + α)e
β
1+α
β +β+ α
,
соотвественно
d2 >
α(1 + α + β)3
β(1 + α)e
β
1+α
β +β+ α
,
(1 + α + β)3
β .
1+α
(1 + α)e β +β+ α
Т. е. при полученных значениях неравенство (12) выполняется, следо-
d3 >
вательно характеристическая функция удовлетворяет свойству супераддитивности.
3.8.
Приложение 3. Доказательство супераддитивности ζ –
характеристической функции для примеров
3.8..1 Пример 1
Значение гранд-коалиции:
V ζ ({1, 2, 3}) = V δ ({1, 2, 3}) = V α ({1, 2, 3}) =
где ēi = k −
3
P
di ,
i = 1, 3.
i=1
44
3
2
k−
3
X
i=1
!2
di
,
Характеристическая функция для игрока {1}, для других одноэлементных коалиций все аналогично:
1
V ζ ({1}) = min u1 (ē1 , e2 , e3 ) = min(kē1 − (ē1 )2 − d1 (ē1 + e2 + e3 )),
e1 =ē1
e2 ,e3
2
e ,e
2
3
ē1 = k −
3
X
di .
i=1
Отсюда находим e2 , e3 .
Очевидно, что e2 = e3 = k, тогда,
!
3
X
1
V ζ ({1}) = k k −
di −
2
i=1
k−
3
X
!2
− d1 3k −
di
i=1
3
X
!
di .
i=1
Аналогично,
V ζ ({2}) = k k −
3
X
!
−
di
i=1
V ζ ({3}) = k k −
3
X
!
di
−
i=1
1
2
1
2
k−
3
X
!2
− d2 3k −
di
k−
!
di ,
i=1
i=1
3
X
3
X
!2
di
− d3 3k −
3
X
!
di .
i=1
i=1
Для двухэдементной коалиции имеем:
V ζ ({2, 3}) = min (u2 (e1 , ē2 , ē3 ) + u3 (e1 , ē2 , ē3 )) =
e2 =e3 =ē
e1
= min(2kē − ē2 − (d2 + d3 )(e1 + 2ē).
e1
Посчитаем частную производную
∂(u2 (e1 ,ē2 ,ē3 )+u3 (e1 ,ē2 ,ē3 ))
∂e1
:
∂(u2 (e1 , ē2 , ē3 ) + u3 (e1 , ē2 , ē3 ))
= −(d2 + d3 ) < 0.
∂e1
Так как производная отрицательная, то делаем вывод, что минимум достигается при e1 = k. Следовательно,
!
!2
!
3
3
3
X
X
X
V ζ ({2, 3}) = 2k k −
di − k −
di − (d2 + d3 ) 3k −
di .
i=1
i=1
45
i=1
Аналогично,
V ζ ({1, 3}) = 2k k −
3
X
!
−
di
k−
3
X
i=1
V ζ ({1, 2}) = 2k k −
3
X
!2
− (d1 + d3 ) 3k −
di
i=1
!
−
di
k−
3
X
i=1
3
X
!
di ,
i=1
!2
− (d1 + d2 ) 3k −
di
i=1
3
X
!
di .
i=1
Проверим на супераддитивность. Выполняется ли неравенство
V ζ ({1}) + V ζ ({2, 3}) 6 V ζ ({1, 2, 3}).
Подставляя значения соответствующих характеристических функций, имеем
3k k −
3
X
!
−
di
i=1
6 3k k −
3
X
3
2
!
di
−
i=1
k−
3
X
!2
−
di
3
X
i=1
3
2
k−
3
X
di 3k −
i=1
!2
di
−3
!
di
6
3
X
!
i=1
3
X
di k −
di .
i=1
i=1
i=1
3
X
Очевидно, что
−
3
X
di 3k −
3
X
!
di
≤−
di 3k − 3
3
X
!
di .
i=1
i=1
i=1
i=1
3
X
Следовательно, V ζ — супераддитивная функция.
3.8..2 Пример 3
Значение характеристической функции для гранд-коалиции получаем
аналогично как в примере с δ–характеристической функцией
k
V ({1, 2, 3}) = V ({1, 2, 3}) = 3k ln 3
P
ζ
δ
i=1
−3
di
3
X
i=1
k
di 3
P
di
− 1 .
i=1
Далее
V ζ ({1}) = min u1 (ē1 , e2 , e3 ) = min(k ln(ē1 + 1) − d1 (ē1 + e2 + e3 )),
e1 =ē1
e2 ,e3
e2 ,e3
46
где ē1 =
k
3
P
− 1.
di
i=1
{1}
Очевидно, что e2
{1}
= e3
= k, тогда,
k
V ({1}) = k ln 3
P
ζ
di
k
− d1 3
P
i=1
di
− 1 + 2k .
i=1
Аналогично,
k
V ({2}) = k ln 3
P
ζ
di
k
− d2 3
P
i=1
di
− 1 + 2k ,
i=1
k
V ({3}) = k ln 3
P
ζ
di
k
− d3 3
P
i=1
di
− 1 + 2k .
i=1
Найдем значение
V ζ ({2, 3}) = min (u2 (e1 , ē2 , ē3 ) + u3 (e1 , ē2 , ē3 )) =
e2 =e3 =ē
e1
1
= min(k(ē2 + ē3 ) − ((ē2 )2 + (ē3 )2 ) − (d2 + d3 )(e1 + ē2 + ē3 )).
e1
2
{2,3}
Минимум достигается при e1
k
V ({2, 3}) = 2k ln 3
P
ζ
= k. Следовательно,
2k
− (d2 + d3 ) k − 2 + 3 .
P
di
di
i=1
i=1
Аналогично,
k
V ({1, 3}) = 2k ln 3
P
ζ
2k
− (d1 + d3 ) k − 2 + 3 ,
P
di
di
i=1
i=1
47
k
V ({1, 2}) = 2k ln 3
P
ζ
2k
− (d1 + d2 ) k − 2 + 3 .
P
di
di
i=1
i=1
Проверим условие супераддитивности. Покажем выполнение неравенства V ζ ({1}) + V ζ ({2, 3}) 6 V ζ ({1, 2, 3}) (для других коалиций проверка
выполняется аналогично циклической перестановкой индексов).
Имеем
k
k ln 3
P
di
k
− d1 3
P
i=1
di
k
− 1 + 2k + 2k ln 3
P
i=1
di
−
i=1
3
k
k
X
2k
−(d2 + d3 ) k − 2 + 3 6 3k ln 3 − 3
di 3
− 3 .
P
P
P
i=1
di
di
di
i=1
i=1
i=1
После преобразований, перенеся все в правую сторону неравенства, имеем,
!
3
X
(2d1 + d2 + d3 )
di (k + 1) − k > 0,
i=1
что, очевидно, выполнено. Следовательно, V ζ супераддитивна.
3.9.
Приложение 4. Вычисления и программный код для
практической задачи
3.9..1
Вычисление штрафов
Для вычисления коэффициентов di по данным загрязнения рассчи-
таем, какая часть (объем) выбросов приходится на i–ую компанию. К вредным веществам, которые выбрасывают все три компании относятся: жидкие
и газообразные вещества, углеводород и прочее. Объем выбросов каждой
48
компании рассчитывается из соотношения суммарного объема выбросов, а
именно, для Иркутскэнерго это 182,5 т, для Братского алюмин. завода —
54,3 т и для Ангарского нефтехим. комбината — 33,6 т. Жидкие и газообразные вещества выбрасывают все три компании, следовательно штраф
рассчитывается как произведение объема выбросов данного вещества i–ой
компанией и платы за загрязнение этим веществом. Т. е. штрафы компании
Иркутскэнерго, Братского алюминиевого завода и Ангарского нефтехимического комбината будут равны соответственно:
241423 · 5 = 1207170;
71893, 7 · 5 = 359468, 5;
44352, 3 · 5 = 221761, 5.
Аналогично рассчитываются штрафы за загрязнение углеводородом:
769, 5 · 5 = 3847, 5;
229, 14 · 5 = 1145, 7;
141, 36 · 5 = 706, 8;
и прочими веществами:
3246, 75 · 10 = 32467, 5;
966, 81 · 10 = 9668, 1;
596, 44 · 10 = 5964, 4.
Что касается загрязняющих веществ: диоксид серы, оксид углерода и оксид
азота, то их образованию соответствуют выбросы компании Иркутскэнерго
49
и Ангарского нефтехимического завода. С учетом вышесказанного, штрафы соответствующим компаниям за выбросы диоксида серы в атмосферу
равны:
112538, 07 · 21 = 2363299, 47;
20721, 93 · 21 = 435160, 53;
за выбросы оксида углерода:
96585 · 0, 6 = 57951;
17784, 5 · 0, 6 = 10670, 7;
и оксида азота:
56066 · 35 = 1962310;
10323, 6 · 35 = 361326.
Помимо загрязняющих веществ, перечисленных выше, Братский алюминиевый завод также выбрасывает различные твердые вещества. Плата за загрязнение будет составлять:
130040 · 13, 7 = 1781548.
Суммируя получившиеся значения, общие штрафы рассмотренных компаний буду равны: для Иркутскэнерго — 5595225,47 руб., для Братского алюминиевого завода — 2119126,6 руб. и для Ангарского нефтехимического
комбината — 1031945,93 руб., с учетом погрешностей. Тогда di , рассчитываемые как отношение штрафа и суммарного загрязнения, равны соответственно: d1 = 20, 69, d2 = 7, 84, d3 = 3, 82.
3.9..2
Программный код
di = [5595225/270400 2119127/270400 1031946/270400];
50
Ki = [900000000/182500 872400000/54300 1290700000/33600];
Vz=zeros(1,7);
Vd=zeros(1,7);
syms e1 e2 e3;
Vz123 = (Ki(1)*e1+Ki(2)*e2+Ki(3)*e3)-1/2*(e1^2+e2^2+e3^2)-(di(1)+di(2)+di(3))*(e1+e2+e3);
dVz123 = [diff(Vz123,e1) diff(Vz123,e2) diff(Vz123,e3)];
C1 = inline(dVz123(1));
C2 = inline(dVz123(2));
C3 = inline(dVz123(3));
E123 = [C1(0) C2(0) C3(0)]
C=inline(Vz123);
Vz(7)=C(E123(1), E123(2),E123(3));
Vz(1) = Ki(1)*E123(1)-1/2*(E123(1)^2)-(di(1))*(E123(1)+Ki(2)+
+Ki(3));
Vz(2) = Ki(2)*E123(2)-1/2*(E123(2)^2)-(di(2))*(E123(2)+Ki(1)+
+Ki(3));
Vz(3) = Ki(3)*E123(3)-1/2*(E123(3)^2)-(di(3))*(E123(3)+Ki(1)+
+Ki(2));
Vz(6) = Ki(2)*E123(2)+Ki(3)*E123(3)-1/2*(E123(2)^2+E123(3)^2)-(di(2)+di(3))*(Ki(1)+E123(2)+E123(3));
Vz(5) = Ki(1)*E123(1)+Ki(3)*E123(3)-1/2*(E123(1)^2+E123(3)^2)-(di(1)+di(3))*(Ki(2)+E123(1)+E123(3));
Vz(4) = Ki(1)*E123(1)+Ki(2)*E123(2)-1/2*(E123(1)^2+E123(2)^2)-(di(1)+di(2))*(Ki(3)+E123(1)+E123(2));
Shz =[Vz(1)/3+(Vz(4)-Vz(2))/6+(Vz(5)-Vz(3))/6+(Vz(7)-Vz(6))/3,
Vz(2)/3+(Vz(4)-Vz(1))/6+(Vz(6)-Vz(3))/6+(Vz(7)-Vz(5))/3,
Vz(3)/3+(Vz(5)-Vz(1))/6+(Vz(6)-Vz(2))/6+(Vz(7)-Vz(4))/3];
Vd(7) = Vz(7);
51
E123d=zeros(1,3);
U1 = Ki(1)*e1-1/2*e1^2-di(1)*(e1+e2+e3);
C1 = inline(diff(U1,e1));
E123d(1) = C1(0);
U2 = Ki(2)*e2-1/2*e2^2-di(2)*(e1+e2+e3);
C2 = inline(diff(U2,e2));
E123d(2) = C2(0);
U3 = Ki(3)*e3-1/2*e3^2-di(3)*(e1+e2+e3);
C3 = inline(diff(U3,e3));
E123d(3) = C3(0)
Vd1F=inline(U1);
Vd(1)=Vd1F(E123d(1),E123d(2),E123d(3));
Vd2F=inline(U2);
Vd(2)=Vd2F(E123d(1),E123d(2),E123d(3));
Vd3F=inline(U3);
Vd(3)=Vd3F(E123d(1),E123d(2),E123d(3));
Vd23 = Ki(2)*e2+Ki(3)*e3-1/2*(e2^2+e3^2)-(di(2)+di(3))*
*(E123d(1)+e2+e3);
C2 = inline(diff(Vd23,e2));
C3 = inline(diff(Vd23,e3));
Vd23 = inline(Vd23);
Vd(6) = Vd23(C2(0),C3(0));
Vd12 = Ki(1)*e1+Ki(2)*e2-1/2*(e1^2+e2^2)-(di(1)+di(2))*
*(E123d(3)+e1+e2);
C1 = inline(diff(Vd12,e1));
52
C2 = inline(diff(Vd12,e2));
Vd12 = inline(Vd12);
Vd(4) = Vd12(C1(0),C2(0));
Vd13 = Ki(1)*e1+Ki(3)*e3-1/2*(e1^2+e3^2)-(di(1)+di(3))*
*(E123d(2)+e1+e3);
C1 = inline(diff(Vd13,e1));
C3 = inline(diff(Vd13,e3));
Vd13 = inline(Vd13);
Vd(5) = Vd13(C1(0),C3(0));
Shd =[Vd(1)/3+(Vd(4)-Vd(2))/6+(Vd(5)-Vz(3))/6+(Vd(7)-Vd(6))/3,
Vd(2)/3+(Vd(4)-Vd(1))/6+(Vd(6)-Vd(3))/6+(Vd(7)-Vd(5))/3,
Vd(3)/3+(Vd(5)-Vd(1))/6+(Vd(6)-Vd(2))/6+(Vd(7)-Vd(4))/3];
Va(7) = Vz(7);
E123a=zeros(1,3);
U1 = Ki(1)*e1-1/2*e1^2-di(1)*(e1+Ki(2)+Ki(3));
C1 = inline(diff(U1,e1));
E123a(1) = C1(0);
U2 = Ki(2)*e2-1/2*e2^2-di(2)*(Ki(1)+e2+Ki(3));
C2 = inline(diff(U2,e2));
E123a(2) = C2(0);
U3 = Ki(3)*e3-1/2*e3^2-di(3)*(Ki(1)+Ki(2)+e3);
C3 = inline(diff(U3,e3));
E123a(3) = C3(0)
Va23 = Ki(2)*e2+Ki(3)*e3-1/2*(e2^2+e3^2)-(di(2)+di(3))*
*(Ki(1)+e2+e3);
C2 = inline(diff(Va23,e2));
C3 = inline(diff(Va23,e3));
53
Va23 = inline(Va23);
Va(6) = Va23(C2(0),C3(0));
Va12 = Ki(1)*e1+Ki(2)*e2-1/2*(e1^2+e2^2)-(di(1)+di(2))*
*(e1+e2+Ki(3));
C1 = inline(diff(Va12,e1));
C2 = inline(diff(Va12,e2));
Va12 = inline(Va12);
Va(4) = Va12(C1(0),C2(0));
Va13 = Ki(1)*e1+Ki(3)*e3-1/2*(e1^2+e3^2)-(di(1)+di(3))*
*(e1+Ki(2)+e3);
C1 = inline(diff(Va13,e1));
C3 = inline(diff(Va13,e3));
Va13 = inline(Va13);
Va(5) = Va13(C1(0),C3(0));
Sha =[Va(1)/3+(Va(4)-Va(2))/6+(Va(5)-Va(3))/6+(Va(7)-Va(6))/3,
Va(2)/3+(Va(4)-Va(1))/6+(Va(6)-Va(3))/6+(Va(7)-Va(5))/3,
Va(3)/3+(Va(5)-Va(1))/6+(Va(6)-Va(2))/6+(Va(7)-Va(4))/3];
format long
LastName={’Coalition’;’alphaFuction’;’zetaFunction’;
’deltaFunction’;’Sha’;’Shz’;’Shd’};
T = table(categorical([1,2,3,12,13,23,123]’),Va’,Vz’,Vd’,
Sha’,Shz’,Shd’,’VariableNames’,LastName)
54
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв