Определение оптимальных параметров ребра минимальной массы при переменном коэффициенте теплоотдачи

Раздайбедин Родион Олегович

Определение оптимальных параметров ребра минимальной массы при переменном коэффициенте теплоотдачи

выпускная бакалаврская работа по направлению подготовки : 15.03.03 - Прикладная механика

Механика

Дипломы

Вуз: Дальневосточный федеральный университет (ДВФУ)

ID: 5b8ed41b7966e1073081bcfd

UUID: 67c8b100-92a1-0136-bbcc-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 6 лет назад

Просмотры: 10

Раздайбедин Родион Олегович

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Дальневосточный федеральный университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 13,7 МБ

Поделиться работой

Оглавление. Введение. ...................................................................................................................... 1 Обзор литературы........................................................................................................ 3 Используемые термины, определения и сокращения ............................................. 7 ГЛАВА 1: Постановка модели ................................................................................... 8 1. Геометрические условия ................................................................................ 8 2. Физические условия ..................................................................................... 11 3. Математическое описание модели ............................................................. 13 4. Коэффициент теплоотдачи .......................................................................... 16 ГЛАВА 2: Решение поставленной задачи .............................................................. 21 1. Обезразмеривание задачи ............................................................................ 21 2. Метод коллокаций подобласти для решения начального приближения 23 3. Линеаризация задачи методом Ньютона.................................................... 26 4. Применение метода Ритца. .......................................................................... 28 5. Проверка найденного решения ................................................................... 33 6. Варьирование начальных данных и анализ результатов .......................... 34 Заключение ................................................................................................................ 42 Используемая литература ......................................................................................... 43 Приложение 1 ............................................................................................................ 44 Приложение 2 ............................................................................................................ 47 Приложение 3 ............................................................................................................ 56

Введение. Теплообменные аппараты широко применяются в энергетике, химической, нефтеперерабатывающей, авиационной и космической технике, пищевой промышленности, в холодильной и криогенной технике, в системах отопления и горячего водоснабжения, кондиционирования, в различных тепловых двигателях. С ростом энергетических мощностей и объема производства все более увеличивается их масса и габариты, что приводит к расходу большого количества легированных и цветных металлов. В связи с этим уменьшение массогабаритных показателей теплообменных аппаратов является актуальной проблемой. Значительный вклад в решение этой проблемы может внести внедрение научно обоснованных и экспериментально проверенных методов интенсификации теплообмена и расчета интенсифицированных поверхностей, в частности оребренных. Увеличение поверхности плоской стенки путём её оребрения приводит к снижению термического сопротивления между стенкой и теплоносителем. Опыт создания и эксплуатации различных тепломассообменных устройств показал, что разработанные к настоящему времени методы интенсификации теплообмена обеспечивают снижение габаритов и этих устройств в несколько раз по сравнению с аналогичными устройствами при тепломассообменных одинаковой аппаратов тепловой с мощности. развитыми Создание теплопередающими поверхностями представляет собой одно из перспективных направлений организации процесса теплообмена. Решение задач оптимизации геометрических размеров оребрённых систем целесообразно проводить на основе совместного анализа процессов теплоотдачи на поверхности рёбер и теплопроводности в рёбрах. Размеры и оптимальные параметры теплопередающих поверхностей ряда теплообменных аппаратов, применяемых промышленности, могут в быть энергоустановках определены с различных учётом отраслей неравномерности теплообмена на поверхности ребра. 1

Создание более эффективных и компактных теплообменных аппаратов является актуальной и приоритетной научно-технической задачей, решение которой обеспечит существенную экономию энергетических, материальных и трудовых ресурсов. Отметим, что точные аналитические решения в настоящее время получены лишь для задач в упрощённой математической постановке, когда не учитываются многие важные характеристики процессов (нелинейность, переменность свойств и т.д.) Точные решения выражаются сложными бесконечными функциональными рядами. Такие решения малопригодны для инженерных приложений, и особенно в случаях, когда решений задачи теплопроводности является промежуточным этапом решения каких-либо других задач. В связи с этим интерес представляют приближенные аналитические методы решения задач математической физики, позволяющие получать хоть и приближенные решения, но в аналитической форме с достаточной для инженерных приближений точностью. Эти методы позволяют значительно расширить круг решаемых задач. 2

Обзор литературы Основным вопросом исследования данной работы является вопрос повышения эффективности теплообменного оборудования в следствии точного проектирования оребренных поверхностей. Однако во многих случаях тепловые установки высоких мощностей работают с низкой степенью использования тепла топлива вследствие ошибок сделанных при проектировании ребер, а именно вследствие использования коэффициента теплоотдачи изменение как по постоянной высоте ребра величины. при Который больших имеет скоростях значительное охлаждающего теплоносителя, что в свою очередь оказывает большое влияние на результат. Рёберные поверхности, как объект изучения данной работы, широко применяются в ядерной энергетике, при конструировании твэлов - тепловыделяющих элементов атомных реакторов. Глубоко изучен этот вопрос в книге Б. С. Петухова, Л.Г. Генина, С.А. Ковалев «Теплообмен в ядерных установках» [3]. В которой изложены основы теории и методы расчета процессов теплообмена в ядерных энергетических установках. Рассмотрены процессы теплопроводности с внутренними источниками тепла; освещены вопросы конвективного теплообмена и гидродинамики при движении в трубах теплоносителей с постоянными и переменными физическими свойствами. Объем и характер данной книги не позволили рассмотреть все вопросы теплообмена, возникающие при расчете ядерных реакторов. Из широкого круга задач теплообмена выбраны лишь основные, чаще всего возникающие при разработке современных либо перспективных реакторов. В задаче изучения теплопроводности через ребра и оребренную стенку авторы книги, используя допущение об одномерности, рассмотрели задачу о температурных полях в прямых и кольцевых ребрах. Было получено распределение температуры и тепловой мощности по высоте ребра, однако полученные выражения оказались неудобны для расчетов даже при условии того, что был использован постоянный коэффициент теплоотдачи. На практике обычно пользуются более 3

простыми уравнениями, которые можно получить, если пренебречь теплоотдачей с торца ребра. Если ребра имеют большую относительную высоту, то пренебрежение теплоотдачей с торца ребра не приводит к значительным ошибкам. Однако в реакторостроении ребра, как правило имеют небольшую относительную высоту, и теплоотдачей с торца пренебрегать нельзя. Особый вклад в изучение вопроса оребрения внесли Л. И. Ройзен и И. Н. Дулькин «Тепловой расчет оребренных поверхностей» [1]. В книге дается анализ проблем теплопроводности ребер и оребренных поверхностей. Рассмотрен и систематизирован теоретический материал по расчету температурных полей в ребрах различной конфигурации при отводе тепла конвекцией, кипящими жидкостями и излучением. В ходе работы был рассмотрен переменный коэффициент теплоотдачи, заданный функциональной зависимостью, однако решение было получено лишь для заданного прямого ребра прямоугольного профиля. А задачи эффективности и получения оптимальных размеров прямых ребер различного профиля были решены при среднем коэффициенте теплоотдачи, полученном из критериальных уравнений, преобразованием дифференциальных уравнений гидродинамики и конвективного теплообмена методами теории подобия. Вопросы повышения эффективности работы установок промышленной теплотехники также были изучены А.С. Горшениным в учебном пособии «Методы интенсификации теплообмена» [2]. В данном пособии были хорошо изложены как физические, так и математические основы теплообмена в оребренных поверхностях. Отдельно были решены задачи теплообмена для каждого вида оребрения (рис.1). Однако были использованы лишь заданные профили сечения ребер и постоянный коэффициент теплоотдачи, найденный с помошью закона Ньютона-Рихмана. 4

Рисунок 1 Примеры оребренных поверхностей. а) продольное ребро прямоугольного профиля, б) продольное ребро треугольного профиля, в) продольное ребро параболического профиля, г) круглая труба с радиальным ребром прямоугольного профиля, д) круглая труба с радиальным ребром параболического профиля, е) цилиндрический шип, ж) параболический шип Касаясь зарубежной литературы, вопрос оребрения был рассмотрен в статье Tito Dwi Nugroho и P. K. Purwadi «Fins effectiveness and efficiency with position function of rhombus sectional area in unsteady condition» [4]. В которой была рассмотрена нестационарная задача теплопередачи в ребре ромбовидной формы. Целью работы было исследование влияния коэффициента конвективной теплоотдачи от размера ребра на эффективность теплообмена в заданном ребре. А также исследование изменения физических свойств материала и свойств теплопередачи при нестационарном тепловом потоке. Был получен результат, что в данном виде ребер при увеличении коэффициента теплоотдачи уменьшается эффективность и экономичность рассматриваемой модели. И было доказано, что при нестационарном случае большое влияние на эффективность оказывают физикомеханические свойства материала ребра (плотность, коэффициент теплопроводности и теплоемкость). Большой вклад в изучение термодинамических процессов внес Yungus A. Cengel – турецкий физик, ученый, почетный профессор университета штата Невада. Он составил ряд учебной литературы, используемой повсеместно, в которой доступно и подробно описал все виды термодинамических процессов. В книге «Introduction to Thermodynamics and Heat Transfer» [5] он также описал термодинамические процессы во многих типах оребренных поверхностей, 5

предложил формулы для нахождения среднего коэффициента теплообмена и, рассчитал эффективности каждого вида оребрения при различной мощности теплового потока. Глубокие экспериментальные исследования в области изучения оребренных трубок проводятся в Австрийском Институте Термодинамики и преобразования энергии (Institute for Thermodynamics and Energy Conversion Vienna University of Technology Vienna, Austria). Результаты исследований были изложены доктором технических наук Dr. Karl Ponweiser в труде «Principles of Finned-Tube Heat Exchanger Design for Enhanced Heat Transfer» [6]. Цель исследования состоит в том, чтобы минимизировать требования к размеру или массе при проектировании рекуператоров. Была создана экспериментальная установка для изучения теплообменников с оребренными трубами. Было изучено влияние реального коэффициента локальной теплопередачи на поверхности ребер, как функция радиуса профиля и угла направления потока теплоносителя, при различных конструкционных решениях в оребренных трубках. Некоторая работа по изучению локального распределения коэффициента теплоотдачи была произведена при изучении тепломасообмена в сублимированном нафталине. Так же было впервые проведено исследование волнообразного оребрения поверхностей. В данный момент проводятся испытания для определения эффективности оребрения при высоких длинах поверхности теплообменных установок. 6

Используемые обозначения и размерность величин x, y - координаты, м ; L – длина ребра, м ; h – высота ребра, м ; S – площадь поверхности теплообмена, м2 ; A – площадь сечения ребра, м2 ;  - половина полной ширины ребра, м ; r0 - ширина стенки между основанием ребра и теплоносителем, м ; Q0 - заданный тепловой поток, Вт ; Q0L - тепловой поток на единицу длины ребра, Вт / м ; q - плотность (мощность) теплового потока Вт / м2 ;  - безразмерная разность температур стенки и теплоносителя; T – разность температуры стенки ребра и теплоносителя, oС ; Tж - температура омывающего ребро теплоносителя, oС ; Tc - температура основания ребра, oС ; T0 - температура теплоносителя генерирующего тепловой поток, oС ;  - переменный коэффициент теплоотдачи, Вт / м2 oС ; h ,0 - коэффициенты теплоотдачи у основания и вершины ребра, Вт / м2 oС ;  - средний по высоте коэффициент теплоотдачи, Вт / м2 oС ;  - коэф. теплопроводности материала ребра, Вт / м oС ; ж - коэф. теплопроводности омывающего ребро теплоносителя, Вт / м oС ; 𝜔0 - скорость потока теплоносителя, м / с ; 𝜈ж - кинематическая вязкость среды, м2 / с ; 𝑁𝑢 - число Нуссельта; 𝑅𝑒 - число Рейнольдса; 𝑃𝑟 - число Прандля; 7

ГЛАВА 1: Постановка модели 1. Геометрические условия Поставим задачу необходимости расчета оребрения, а именно определения наиболее рациональной формы и размеров ребра. Будем рассматривать продольное ребро произвольного профиля, единичной длины, показанное на рис.2, и предположим что оно отдает тепло в окружающую среду. Рисунок 2 Сечение ребра произвольного профиля Для решения задачи пренебрежем формой основания ребра, и будем считать, что тепловой поток Q задан равномерно по основанию ребра. Так как профиль ребра ограничен двумя симметричными кривыми f ( y) , будет достаточным вести тепловой расчет лишь для половины ребра. Таким образом переходим к решению одномерной задачи с неизвестной функцией профиля ребра. Будем использовать двухмерную декартову систему координат в которой по оси абсцисс будем откладывать продольную координату y по высоте ребра, а по оси ординат функцию профиля ребра f ( y) . Расположим сечение ребра 8

таким образом, чтобы вершина ребра соответствовала началу координат (рис.3). Рисунок 3 Профиль ребра в декартовой системе координат Высоту ребра h будем считать неизвестной переменной, а ширину основания ребра   2  f (h) примем как варьируемую известную величину. Рассчитаем площадь поперечного сечения ребра A( y)  2  L  f ( y)  2  f ( y) , где L длина ребра равная 1 м. Для рассматриваемой модели профиля ребра h площадь сечения определим как: A   f ( y)dy . 0 9

2. Физические условия Теплообмен в рассматриваемой теплообменной установке во многих случаях происходит за счет следующих явлений: 1. Теплопроводность – способности материальных тел проводить энергию (теплоту) от более нагретых частей тела к менее нагретым частям тела, осуществляемому хаотически движущимися частицами тела (атомами, молекулами, электронами и т. п.). Такой теплообмен происходит в пределах материала ребра вследствие неоднородного распределения температур внутри ребра. Количественно данный вид теплообмена характеризуется коэффициентом теплопроводности  T  , зависящих от свойств материала, и распределения температуры тела. Однако в данной работе будем пренебрегать данной зависимостью, и будем считать коэффициент теплопроводности постоянной заданной величиной   const для каждого рассматриваемого материала ребра. 2. Конвекция – перенос теплоты вследствие перемещения больших масс охлаждающего вещества (газ, жидкость) отводящего тепло полученное от поверхности ребра. Существует так называемая естественная конвекция, которая возникает в веществе самопроизвольно при его неравномерном нагревании в поле тяготения. При такой конвекции нижние слои вещества нагреваются, становятся легче и всплывают, а верхние слои, наоборот, остывают, становятся тяжелее и опускаются вниз, после чего процесс повторяется снова и снова. Однако теплообменные аппараты, основанные на принципе естественной конвекции, имеют малый КПД. Поэтому, из-за высоких температур и высоких мощностей тепловыделения в изучаемом оборудовании, будем рассматривать вынужденную (принудительную) конвекцию, при которой перемещение охлаждающего вещества обусловлено действием внешних сил (насос, лопасти вентилятора и т. п.). Поэтому из-за неравномерности обтекания охлаждающим веществом поверхности рёбер высокое влияние на 11

решение задачи оказывает изменение коэффициента теплоотдачи   y  по высоте ребра. 3. Тепловое излучение – электромагнитное волновое излучение, возникающее за счёт внутренней энергии тела. В дальнейшем будем пренебрегать данным видом теплообмена, так как он имеет небольшой вклад в решение поставленной задачи. 12

3. Математическое описание модели Дифференциальное уравнение, описывающее тепломассообмен в рассматриваемой модели, составим исходя из закона сохранения энергии, закона Фурье и закона Ньютона-Рихмана. Закон сохранения энергии говорит о том, что количество тепла r dQ введенное в элементарный объем извне за время dt вследствие теплопроводности r dQ1 , а так r же от внутренних источников тепла dQ2 , равно изменению внутренней энергии содержащемся в заданном объеме. r r r dQ  dQ1  dQ2 r dQ При отсутствии внутренних источников тепла в ребре примем 2  0. В 1807 году французский ученый Фурье доказал экспериментально, что во всякой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности присуща однозначная взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры: uur Q1    grad (T )  S , grad (T )  T T  ,  n y где S – площадь поверхности теплообмена; grad T  – градиент температурного поля (совокупности числовых значений температуры в разнообразных местах системы в выбранный момент времени); r n - вектор нормали к изотермической поверхности, направленный в сторону увеличения температур. 13

Закон Фурье для поверхностной плотности теплового потока принимает вид: q   T , y где q - плотность теплового потока, отнесенная к единице поверхности, в общем случае, вектор совпадающий с направлением распространения тепла и ортогональный изотермам. Преобразуем закон Фурье описывающий изменение теплового потока dQ за единицу времени к следующему виду: dQ1   d  dT  f ( y)  dy,  dy  dy  где f ( y) - площадь сечения, перпендикулярного направлению распространения тепла. Используя закон Ньютона-Рихмана, гласящий, что количество теплоты, отданное через площадку на границе раздела тел площадью S за единицу времени, пропорционально разности температур этих тел: dQ  P    T Тепловой поток полученный телом от теплоносителя должен равняться тепловому потоку, отводимому с боковой поверхности элемента ребра. Следовательно получаем дифференциальное уравнение, описывающее теплообмен в рассматриваемой модели: d dT ( f ( y) )  2 ( y)T , y  (0, h), dy dy Здесь  (1.1) - коэффициент теплопроводности, T ( y)  t ( y)  tж - разность температур ребра и окружающей среды, f ( y) - профиль теплового ребра. 14

На границе задан закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой в процессе охлаждения. На правом конце ( y  h) известны тепловой поток отнесенный к длине ребра Q0L :  dT  f ( y )     Q0 L , dy   y h (1.2) На левом конце ( y  0) считаем нулевой плотностью теплового потока:  dT dy  0. (1.3) y 0 Потребуем, чтобы площадь профильного сечения ребра была минимальной: h  f ( y)dy  min (1.4) 0 Математическая постановка задачи заключается в определении высоты h и функций 𝑇(𝑦), 𝑓(𝑦) при y𝜖[0, ℎ], удовлетворяющих условиям (1.1)-(1.4), ширину ребра δ примем как варьируемую переменную. Рисунок 4 Профиль ребра произвольного профиля 15

4. Коэффициент теплоотдачи Функция коэффициента теплоотдачи  ( y) характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Коэффициент α показывает, какое количество тепла передается от единицы поверхности стенки к жидкости в единицу времени при разности температур между стенкой и жидкостью в 1 градус.    Вт  Q    м2oC   T )   c ж      S (T  Было установлено, что коэффициент теплоотдачи не зависит от теплофизических свойств материала тела, а зависит от вида и режима движения жидкости, ее физических свойств, размеров и формы стенки, шероховатости стенки. Определение α является основной задачей расчета теплообменных аппаратов. Обычно коэффициент теплоотдачи определяют из критериальных уравнений, полученных преобразованием дифференциальных уравнений гидродинамики и конвективного теплообмена методами теории подобия. Для определения коэффициента теплоотдачи у вершины ребра 𝛼0 воспользуемся зависимостью для случая продольного обтекания плоской поверхности. Примем в качестве охладителя воздух при атмосферном давлении и Tж  100 oС . Скорость потока воздуха вдоль ребра примем равной  0  5 м / с , длину ребра L  0.2 м . Зададим следующие физические свойства:  ж  2,3 105 м2 / с; ж  3,11102 Вт / ( м oС); Prж  0,7; Рассчитаем число Рейнгольца: Reж   0L 5  0,2   0,4348 105 5  ж 2,3 10 16

т.к. число Re  10000 будем считать гидродинамический режим потока воздуха турбулентным, поэтому для определения числа Нуссельта будем использовать выражение: 0,43 5 0,8 Nuж  0,037Re0,8  0,70,43  163 ж Prж  0,037  (0,4348 10 ) Рассчитаем коэффициент теплоотдачи у вершины ребра Nuжж 163  3,11102 Вт 0    25 2o L 0,2 м С Для определения коэффициента теплоотдачи у основания ребра 𝛼ℎ воспользуемся законом Ньютона-Рихмана, который гласит, что количество теплоты, передаваемое конвективным теплообменом пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды: 𝑞 = 𝛼ℎ (𝑇𝑐 − 𝑇ж ) 𝛼ℎ = 𝑞𝑐 (𝑇𝑐 − 𝑇ж ) Тепловой поток через основание прямого ребра длиной равным Q0  72Вт, в качестве материала ребра L  0,2 м примем выберем титан с коэффициентом теплопроводности равным   19,7 Вт / мoС . Зная тепловой поток, можем определить мощность теплового потока, проходящего через площадь F, выделенную на изотермической поверхности: F  L  2  0.2  2  2 103  0.8 103 м2 q0  Q0 72 Вт   9 104 2 3 F 0.8 10 м Q0 L  Q0 72 Вт   360 L 0.2 м 17

Найдем температуру основания ребра Tc . Зная температуру теплоносителя T0  400oС , и высоту поверхности между ребром и теплоносителем r0  103 м , используя закон теплопроводности в материале, составим выражение для определения температуры основания ребра: q0r0 9 104 103 Tc  T0   400   395oС  19,7 h  9 104 Вт  305 2o 395  100 м С Закон распределения теплоотдачи по высоте ребра примем в виде: m 1 1    y m m  ( y)   h 1        ,  h   где 𝜀 = 𝛼0 𝛼ℎ - коэффициент неравномерности, 𝛼ℎ , 𝛼0 - коэффициенты теплоотдачи у основания и вершины ребра, 𝑚 – варьируемый коэффициент 𝑚𝜖[−1,1]. Будем рассматривать решение задачи при m  {1;  0.5; 0.5; 1} закон распределения теплоотдачи примет вид: 18

Средний по высоте коэффициент теплоотдачи обозначим через h 1    ( y)dy, h0 (1.5) Теплоотдача с боковой поверхности ребра на единицу длины прямого ребра определяется уравнением dQ0 L  2 ( y)T ( y)dy. Проинтегрируем это равенство по y от 0 до h , учитывая, что Q(h)  Q0L , Q0 L (0)  0, получим h Q0 L  2 ( y)T ( y)dy. (1.6) 0 19

Найдем оценку снизу и сверху правой части равенства (1.6): h 2Tжh  2 ( y)T ( y)dy  2Tсh, 0 где  определена в (1.5). Отсюда получим Q0 L Q  h  0L . 2Tс 2Tж Минимальная площадь профильного сечения ребра возможна при наименьшей длине ребра, следовательно, h Q0 L . 2Tс (1.7)  Вт     Вт  м2 o С  м [h]      [ м]. o Вт м  Вт  С o    2  С o  м С  Заметим, что  не зависит от h, действительно m1   m  1    h h 1    204 Вт (m  0.5)     ( y)dy  1 h0 м2oС   m  m  1 1      h Q0 L 360   2.2 103 м. 2T0 2  204  395 Используя выше найденные величины, перейдем к решению краевой задачи приближенными методами для нахождения функций 𝑇(𝑦), 𝑓(𝑦). 20

ГЛАВА 2: Решение поставленной задачи 1. Обезразмеривание задачи Введем безразмерные величины. Считаем, что f (h)  0. За масштаб температуры примем величину Qq  Q0 L  h ,   f (h) (1.8) имеющую размерность температуры. Обозначим через x y - безразмерную координату; h f ( x) ° - безразмерную функцию профиля теплового ребра; f ( x)  f (1) 1  T ( x) - безразмерную температуру. Qq Сделаем замену переменных x2 1    2 (1.9) и перепишем задачу (1.1)-(1.4) в новых переменных. 21

Требуется определить функции  ( x), ° f ( x), удовлетворяющих условиям: 1  °f ( x)dx  min, (1.10) 0 d ° d  d ° x2  2  ( x)  f ( x )   f ( x )  x  N      , x  (0,1), dx  dx  dx 2    d dx   0, x0 d dx 0 (1.12) x1 m где 1 1    m m  ( x)  0 1     x    ,    (1.11) 1     ( x)dx, N  h 0 2  f (h) - характеристический параметр ребра, представляющий собой отношение термических сопротивлений теплопроводности вдоль ребра и теплоотдачи с его поверхности. Задача (1.10)-(1.12) является вариационной задачей определения экстремума функционала (1.10) при выполнении условий (1.11),(1.12), представляющих собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами и однородными краевыми условиями второго рода. Для определения приближенного решения экстремальной задачи (1.10)-(1.12) предложен итерационный процесс, сходимость которого следует из условий разрешимости краевой задачи (1.11),(1.12). 22

2. Метод коллокаций подобласти для решения начального приближения Пусть начальное приближение функции профиля ребра имеет вид:  f ( x)  (   )  x   , x [0,1],   105 м. 2 Для нахождения начальной функции распределения температур поверхности ребра, решим  ( x) на краевую задачу (1.11)-(1.12) проекционным методом коллокаций подобласти. Для этого разобьем область значений x[0;1] на M равных подобластей v j , ограниченными точками коллокации x j и x j 1 . xj  1  j; j [0, M ] M (1.13) Выберем базисные функции 1 x   x j 1  x j  vj   , j [0, M ], x   0,1 ;   0 x   x j 1  x j  (1.14) Подберем проекционные функции удовлетворяющие граничным условиям (1.12)  ( x)  cos(i x), i [0, M  1]; (1.15) Решение находим в виде конечной суммы M 1  ( x)   Cm   ( x); (1.16) m 0 23

Подставляя (1.14),(1.15),(1.16) в дифференциальное уравнение (1.11) и выполняя некоторые преобразования получаем (1.17), СЛАУ состоящую из M уравнений с M неизвестными Cm , которую решаем используя математический пакет Maple [Приложение 1]. x j 1  xj  d  ° d   2  ( x)  dx  f ( x) dx   N   ( x)dx      x j 1  xj  d ° 2  ( x) 2   f ( x ) x  N x dx  dx 2      Таким образом было получено начальное приближение функций (1.17)  ( x ) и f ( x) : 24

3. Линеаризация задачи методом Ньютона Опишем схему нахождения приближенного решения задачи (1.10) - (1.12). На первом этапе проводится линеаризация нелинейного уравнения (1.11) по методу Ньютона. Далее, применяя теорему о квадратичном функционале дифференциальную задачу сводим к задаче на нахождение точки минимума квадратичного функционала. Рассмотрим предложенный алгоритм подробно. Пусть Q  H 1 (0,1), h  H 1 (0,1), где H 1 (0,1) -пространство функций суммируемых с квадратом на (0,1) и имеющие первую производную, суммируемую с квадратом на (0,1) . Рассмотрим вариационную задачу. Найти ° f  H1(0,1),  H1(0,1) удовлетворяющие равенству 1 1 1 d dG N2 d° f ° f dx   Gdx  x Gdx  0 dx dx 0  0 dx 0 °f Gdx  1 1 N2 2    x Gdx 2  0 (1.18) G  H 1 (0,1) и условию (1.10). Здесь  С[0,1],   const  0 Обозначим через 1  ° d dG N 2 d° f N2 2  ° ° F ( , f )    f   G  x G  fG   x G  dx dx dx  dx 2 0  (1.19) для любой функции G  H 1 (0,1). Запишем итерации следуя методу Ньютона. Который основан на последовательном уточнении найденного решения, до достижения заданной точности 𝜀. 26

Выберем m1  m  1, ° f m1  ° f m  2 . Пусть 0 , ° f 0 - начальное приближение. Найдем 1  H 1 (0,1), 2  H 1 (0,1), 2 (0)  2 (1)  0, такие, что DF (m , ± fm )(1,2 )  F (m , ± fm ), (1.20) 1   dx  min, (1.21) 2 0 где F (m , ± fm ) определен в (1.19), а дифференциал Гато функционала F (m , ± fm ) на элементах m , ± fm имеет вид: d dG N DF (m , ± f m )(1,2 )   ± fm 1 dx   1Gdx  dx dx 0 0  1 1   2 0 1 2 dm dG d dx  x 2 Gdx   2Gdx, G  H 1 (0,1) dx dx dx 0 0 1 1 (1.22) Критерием остановки итерационного процесса является условие: 1 H1  2 H1  . 27

4. Применение метода Ритца. Пусть p  H 1 (0,1), q  C[0,1], p  p0  0. Рассмотрим краевую задачу Au   d  du  p   qu, u  H 1 (0,1)  dx  dx  (1.23) du du  0,  0. dx x0 dx x1 (1.24) Дифференциальный оператор А является симметричным положительно определенным оператором. В силу теоремы о квадратичном функционале элемент u0  H 1 (0,1) и такой, что du0 dx  0, x 0 du0 dx  0 является решением уравнения Au  g такой, что x1 g  L2 (0,1), где А определен в (1.23), тогда и только тогда, когда квадратичный функционал (1.25) принимает на элементе u0 минимальное значение . J [u]  ( Au, u)  2( g , u) (1.25) Пусть d  dm  d d  dm  d N 2  x 2  (1.26) g   2  2 x    f m   fm x     . dx  dx  dx dx  dx  dx   m 2  Выберем p  ° f m,q  N 2  G  1 в (1.19),(1.22). Учитывая (1.25) в (1.23) и вместо дифференциальной задачи (1.20) запишем экстремальную задачу:  °  d1 2 N 2 2 J [1 ]  ( A1,1 )  2( g ,1 )    f m       1 dx   dx      0 1 d d d   2 2 m 1  x 2 1  21 dx  2F m , f m   min dx dx dx  0 1 (1.27) 28

Таким образом, задача определения функции 1( x), 2 ( x) удовлетворяющих дифференциальному уравнению (1.20) и условию (1.21) сведена к следующей экстремальной задаче 1 F[1,2 ]  J [1 ]   2dx  min, (1.28) 2  H 1 (0,1), 2 (0)  2 (1)  0, (1.29) 0 1  H 1 (0,1), d1 dx  0, x0 d1 dx  0. (1.30) x1 Для нахождения решения задачи (1.28)-(1.30) применим метод Ритца. Выберем функции базиса i и  i , i  1, M удовлетворяющие краевым условиям (1.29)-(1.30): i  cos(i x),  i  sin(i x). Приближенные решения будем искать в виде конечных сумм: M M i 1 i 1 1 ( x)   ai  i , 2 ( x)   bi  i . (1.31) Коэффициенты ai и bi найдем из условия минимизации функционала (1.28) по параметрам ai и bi , которые приводят к СЛАУ F[1,2 ] F[1, 2 ]  0,  0, i  1, M ai bi (1.32) Составим итерационный цикл по методу Ньютона, в котором будем находить решение задачи (1.28)-(1.30) методом Ритца, используя математический пакет Maple [Приложение 2]. Решение задачи было найдено используя начальных условий, представленные выше, для 20 итерации метода Ньютона при 10 итерациях в методе Ритца. 29

Рассматривая последнюю итерацию в методе Ньютона, и переходя к размерным величинам мы получаем приближенное решение поставленной задачи: f ( x)  f 0( x  h)   ,  ( x  h)2  0 L  h T ( x)   0( x  h)  ,  2   f ( h )   31

Из-за сложности итерационного процесса, а, следовательно, высокой продолжительности решения на ЭВМ, расчет производился лишь для 10 итераций в методе Ритца, поэтому полученные результаты функции профиля ребра имеют заметный осциллирующий характер. Для проектирования реальных оребренных поверхностей требуется произвести расчет для большего числа итераций, либо аппроксимировать полученную функцию. Полученные мною результаты, опровергают утверждение Ройзена Л.И. [1], что минимальная площадь сечения ребра, при заданном тепловом потоке, достигается при использовании функции профиля ребра в виде квадратичной функции f ( x)  x 2 . Мною было доказано, что существует функция профиля ребра, удовлетворяющая заданному тепловому потоку, ограничивающая меньшую площадь сечения ребра. 32

5. Проверка найденного решения Проверим сходимость решения используя критерий остановки итерационного процесса: 1 H1  2 H1  . Для этого в каждой итерации метода Ньютона найдем нормы функций 1, 2 : 1 1   (1 ( x)) dx, 2 1 2 H1 H1 0   (2 ( x))2 dx 0 Полученные значения сумм норм функций, для наглядности изобразим графически: где z – это номер итерации,  ( z) - сумма норм функций на данном шаге.  20  0.00098 Следовательно, решение полученное итерационным методом представленным выше, сходится, достигая заданной точности   0.001. 33

6. Варьирование начальных данных и анализ результатов Найдем решение поставленной задачи для различных функций распределения коэффициента теплоотдачи по высоте ребра. Напомним, что ранее были найдены значения коэффициента теплоотдачи у основания ребра  h  305 , и у вершины ребра  0  25 Вт м2oС Вт . А закон распределения теплоотдачи принят м2oС в виде: m 1 1    y m m  ( y)   h 1        ,  h   𝑚 – варьируемый коэффициент 𝑚𝜖[−1,1]. Выше представленное решение было получено при m  0.5 Найдем решение поставленной задачи при m  {  1;  0.5; 0.5; 1} и графически сравним результаты: 1) m  1 : 34

2) m  0.5 : 35

3) m  0.5 : 36

4) m  1 37

Анализируя полученные результаты, можно прийти к выводу: вид функции распределения коэффициента оказывает большое влияние, как на форму и высоту оребренной поверхности, так и на распределение температур у поверхности ребра. Однако, распределение температур, наиболее близкое к начальным данным, а именной – рассчитанной ранее температуре основания o ребра Tc  395 С , является результат полученный при коэффициенте m  0.5 . Исходя из вышесказанного можно предположить, что функция распределения коэффициента теплоотдачи по высоте ребра достоверна при m  0.5 и имеет вид: 2 y    ( y)   h 1   2     2  , h   где 𝜀 = 𝛼0 𝛼ℎ - коэффициент неравномерности, 𝛼ℎ , 𝛼0 - коэффициенты теплоотдачи у основания и вершины ребра. Дальнейшее решение будем рассматривать для данного закона распределения теплоотдачи по высоте ребра. 38

Найдем решение поставленной задачи для различных материалов ребра и графически сравним полученные результаты: № на Материал Коэффициент теплопроводности графике ребра  [ Вт / мoС ] при T  300oC 1 титан 19 2 железо 55 3 цинк 103 4 алюминий 230 5 медь 379 Представленный выше график показывает, что коэффициент теплопроводности, а именно материал из которого изготовлено ребро, вносит небольшой вклад в решение поставленной задачи при определении профиля ребра. Рассмотрим данный график в увеличенном масштабе, при x [0.001; 0.0011] м 39

Можно сделать вывод, что площадь поперечного сечения ребра уменьшается при использовании материалов с меньшим коэффициентом теплопроводности, однако незначительно. 40

Рассмотрим графики распределения температур на поверхности ребра для данных материалов: Коэффициент теплопроводности значительно влияет на распределение температур у поверхности ребра. Разность между максимальной температурой поверхности ребра у основания и минимальной температурой у вершины ребра, уменьшается при увеличении коэффициента теплопроводности. Следовательно, можно сделать вывод, что эффективнее использовать ребра из материалов, с высоким коэффициентом теплопроводности, таких, как медь или алюминий. 41

Заключение В данной работе было исследовано оребрение поверхности теплообмена при переменном коэффициенте теплоотдачи по высоте ребра. Была построена математическая модель для нахождения распределения температуры на поверхности ребра, и формы профиля ребра, ограничивающего минимальную площадь профильного сечения. Был составлен метод нахождения приближенного решения задачи, используя итерационные методы коллокаций подобласти, Ньютона и Ритца. В результате выполнения работы была получена функция профиля ребра, ограничивающая меньшую площадь сечения ребра, чем квадратичная функция, используемая при решении подобных задач, что в свою очередь дополняет ранее рассчитанные результаты. Представленное мной метод нахождения решения, может использоваться при достаточной мощности вычислительного оборудования для проектирования оребрения в тепловых установках высоких мощностей тепловыделения, где требуется минимальная площадь сечения ребер. В процессе выполнения работы была теоретически получена оптимальная функция распределения коэффициента теплоотдачи по высоте ребра, зависящая от значений теплоотдачи у основания и вершины ребра, численные значения которых могут быть найдены. Однако полученный закон распределения теплоотдачи по высоте ребра требует экспериментального подтверждения. Также были рассмотрены решения поставленной задачи для различных материалов ребра, анализ которых подтверждает правильность представленного метода решения с физической точки зрения. 42

Используемая литература 1. Ройзен Л.И., Дулькин И.Н. «Тепловой расчет оребренных поверхностей» М., Энергия, 1977. 2. А.С. ГОРШЕНИН «МЕТОДЫ ИНТЕНСИФИКАЦИИ ТЕПЛООБМЕНА» - Самарский гос.техн.ун-т, 2009 3. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А. «ТЕПЛООБМЕН В ЯДЕРНЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ» Учебное пособие для вузов. М., Атомиздат, 1974 4. Tito Dwi Nugroho, and P. K. Purwadi «Fins effectiveness and efficiency with position function of rhombus sectional area in unsteady condition» Article published by the American Institute of Physics, 2017 5. Yunus A. Cengel «Introduction to Thermodynamics and Heat Transfer» McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1996 6. Dipl.-Ing. Dr. Friedrich Frass «Principles of Finned-Tube Heat Exchanger Design for Enhanced Heat Transfer» Institute for Thermodynamics and Energy Conversion Vienna University of Technology Vienna, Austria, 2015 7. В. В. Беляев, В. П. Шапеев «МЕТОД КОЛЛОКАЦИЙ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ В ОБЛАСТИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ» Институт теоретической и прикладной механики СО РАН Новосибирск, Россия 2000 8. В. Ф. Демьянов, Г.Ш. Тамасян «О ПРЯМЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ» - Том 16, Труды института математики и механики УрО РАН, 2010 9. Савотченко С.Е., Кузьмичева Т.Г. «Методы решения математических задач в Maple» - Учебное пособие – Белгород: Изд. Белаудит, 2001 10.BORIS P. BELINSKIY, JAMES W. HIESTAND, JOHN V. MATTHEWS «PIECEWISE UNIFORM OPTIMAL DESIGN OF A BAR WITH AN ATTACHED MASS» Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2015 No. 206 11.Piotr Wais «FIN-TUBE HEAT EXCHANGER OPTIMIZATION» Cracow University of Technology, Department of Thermal Power Engineering Poland 43

Приложение 1 Использование математического пакета Maple, для нахождения начальных параметров и начального приближения методом коллокаций подобласти. > > > > > > > > > > > > > > > > > 44

> > > > > > > > > > > 45

> > > > > 46

Приложение 2 Итерационный цикл метода Ньютона при использовании метода Ритца для минимизации функционала. > > > > > > > > > > > > > > > > > 47

> > > 48

….. 52

> > 53

> > > > 54

> > 55

Приложение 3 Результаты решения задачи для различных материалов ребра. (индекс функции соответствует коэффициенту теплопроводности данного материала) > > > > > > > > > 56

> > > > [график представлен на стр.38] > [график представлен на стр.39] > [график представлен на стр.40] 57

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв