Санкт-Петербургский государственный университет
Кафедра математической теории экономических решений
Попова Алёна Александровна
Выпускная квалификационная работа бакалавра
Оптимизация стохастической динамики
результатов финансово-экономической
деятельности компании (на примере
ПАО«ГМК«Норильский никель»)
Направление 010400
Прикладная математика и информатика
Научный руководитель,
доктор физ.-мат. наук,
профессор
Колбин В. В.
Санкт-Петербург
2016
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Обзор литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Принятие решений в условиях неопределенности . . . . . .
1.1. Построение производственных функций . . . . . . . . . . . .
1.2. Критерии принятия решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 2. Показатели эффективности и нечетко – множественный анализ
2.1. Рентабельность реализации продукции . . . . . . . . . . . . .
2.2. Фондоотдача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Совокупный критерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Выводы и результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 1. Данные о выручке компании . . . . . . . . . . . .
Приложение 2. Возможные решения в условиях неопределенности
Приложение 3. Совокупный критерий показателей эффективности
Приложение 4. Совокупный критерий риска неэффективности . .
2
3
5
6
6
9
13
13
19
23
24
25
27
27
28
29
31
Введение
В настоящее время необходимо оценивать будущие результаты финансово – экономической деятельности. Это позволяет вовремя изменить
политику компании и не потерять слишком много или наоборот — приобрести еще больше. Поэтому крупные компании создают специальные аналитические отделы, по результатам работы которых руководители принимают важные решения. Потенциальным инвесторам необходимо оценивать
эффективность работы компании, поэтому для них рассчитываются показатели эффективности.
На российском рынке компания «Норильский никель» занимает лидирующие позиции по производству металлов. Его доля на отечественном
рынке по производству никеля составляет 96%, меди — 55%, металлов платиновой группы — более 90%. На долю на мировом рынке по производству никеля приходится 22%, меди — 3%, палладия — 38%, платины —
9%. Акции данной компании представлены на Московской, Лондонской,
Франкфуртской и Берлинской биржах, уровень капитализации составляет
1 447,95 млрд. рублей (на 14.04.2016, Московская биржа).
Целью данной работы является прогнозирование оптимального результата финансово – экономической деятельности компании.
В данной работе проводится анализ результатов деятельности компании в период с 2009 года по первую половину 2015 года. Ставятся такие
задачи:
• выявление зависимости общей выручки компании от выручки по основным металлам, таким как никель, медь, палладий и платина;
• прогнозирование возможных значений величины выручки для следующего периода деятельности компании;
• оптимизация решений относительно показателей эффективности компании.
В первой главе рассматривается решение первых двух вопросов. С
помощью теории производственных функций выявляется необходимая зависимость, на основе которой с применением критериев принятия решений
в условиях неопределенности определяются оптимальные решения.
3
Во второй главе рассматривается общая эффективность компании по
таким показателям, как рентабельность реализации продукции и фондоотдача. С привлечением теории нечетких множеств между собой сравниваются решения, полученные в соответствии с различными критериями, по
величине показателя эффективности и степени риска, связанной с отклонением от ожидаемого значения. Проводятся свертки критериев оптимальности.
4
Обзор литературы
В попытках работать конструктивно многие компании все больше и
больше внимания уделяют бизнес-планированию и финансовому анализу.
Финансовый анализ может быть произведен с привлечением нечетких множеств и производственных функций [1–3].
Понятие классической вероятности возникло при анализе ситуаций в
азартных играх. Предполагалось, что все исходы равновозможны, а вероятность есть отношение благоприятного исхода ко всевозможным исходам.
Позже появилась частотная интерпретация вероятности, одним из основателей которой был Дж. Венн. Согласно этой интерпретации вероятность
определяется как предел относительной частоты появления случайного события при большом числе испытаний. В 1926 году Ф. Рамсей сформулировал понятие субъективной интерпретации вероятности. За основу субъективной вероятности было взято множество степеней веры, присущих реальным людям.
При принятии решения важно знать, к какому результату оно приведет. Если этот результат неизвестен, то такую ситуацию называют условиями неопределенности. Наиболее известные критерии для разрешения
проблем в условиях неопределенности являются критерии Лапласа, Гурвица, Вальда и Сэвиджа. Их описания встречаются во многих книгах по
риску и принятию решений при неопределенности (например, [4–6]).
Нечеткая логика является одним из наилучших способов моделирования и прогнозирования экономических процессов. В 1965 году термин «нечеткое множество» ввел профессор Калифорнийского университета
Лотфи Заде. Причиной появления новой теории стала необходимость в приближенных, нечетких рассуждениях при описании различных процессов и
объектов. Ученые современности находят множество областей применения
нечетко-множественного анализа (например, [7] и [8]).
5
Глава 1. Принятие решений в условиях
неопределенности
1.1. Построение производственных функций
Определение 1. Производственная функция q — это зависимость между размером производства и факторами производства x1 , x2 , . . . , xn :
q = f (x1 , x2 , . . . , xn ).
Факторами производства являются переменные во времени величины, т.е.
x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), x3 = x3 (t), x4 = x4 (t). Будем подразумевать данную
зависимость при дальнейших рассуждениях.
Ниже приведены основные виды производственных функций:
• Линейная — q = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 .
1
• CES–функция — q = (a1 xp1 + a2 xp2 + a3 xp3 + a4 xp4 ) p .
• Экспоненциальная — q = e(a1 x1 +a2 x2 +a3 x3 +a4 x4 ) .
• Функция Кобба - Дугласа — q = xa11 xa22 xa33 xa44 .
Выбирать наилучшую функцию будем из расчета минимизации стандартной ошибки регрессии (Std.Error) и суммы квадратов остатков (θ).
Определение 2. Стандартную ошибку регрессии можно записать следующим образом:
sP
n
2
i=1 (qi − q)
,
Std.Error =
(n − k − 1)
где n — число наблюдений, qi — наблюдаемая величина в момент времени i, q — средняя величина, n — количество испытаний, k — количество
объясняющих переменных.
Определение 3. Сумма квадратов остатков — это величина
n
X
θ=
(qi − q)2 ,
i=1
где qi и q те же, что и выше.
Будем рассматривать зависимость общей выручки компании от выручки от реализации никеля, меди, палладия и платины. Обозначим данные переменные за x1 , x2 , x3 и x4 соответственно. Общую выручку компании обозначим за q.
6
В приложении 1 представлены данные о выручке от реализации металлов ГМК «Норильский никель» в период с 2009 по первую половину
2015 года. Все приведенные данные измеряются в миллионах долларов
США (приведены с учетом индекса USDX) за тонну (в случае никеля и
меди) и за унцию (в случае палладия и платины). Данные получены с официального сайта компании [9]. Для построения производственных функций
был использован пакет "Eviews".
1. Линейная :
q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0, 8829x1 + 1, 1565x2 + 1, 2435x3 + 1, 04x4 .
Std.Error = 0, 510933, θ = 2, 343538.
2. CES-функция :
1
2
q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0, 6022x1 +
1
2
+0, 3181x4
1
0, 5921x22
1
2
1
+ 0, 4916x32 +
.
Std.Error = 4, 614006, θ = 191, 6015.
3. Экспоненциальная :
q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = e10
−5
(−0,647x1 +5,76x2 +1,97x3 +15,8x4 )
.
Std.Error = 1, 501573, θ = 20, 29248.
4. Функция Кобба - Дугласа :
q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = x10,402 x0,3569
x30,195 x0,1664
.
2
4
Std.Error = 0, 026007, θ = 0, 006087.
Функцией с наименьшими значениями Std.Error и θ является функция Кобба - Дугласа, поэтому ее и назовем наилучшей. Аппарат производственных функций широко используется при анализе деятельности компании, так как имеет большое количество прикладных характеристик [10]:
• Предельные эффективности ресурсов.
Данные показатели характеризуют, как изменится выручка компании в
целом при изменении выручки от реализации какого-либо конкретного
металла.
7
qx1
qx2
qx3
qx4
= 0, 402x−0,698
x0,3569
x30,195 x0,1664
;
1
2
4
= 0, 3569x0,402
x2−0,6431 x0,195
x0,1664
;
1
3
4
= 0, 195x0,402
x0,3569
x−0,805
x0,1664
;
1
2
3
4
= 0, 1664x0,402
x0,3569
x0,195
x−0,8336
.
1
2
3
4
• Эластичность выпуска по ресурсам.
По этому показателю можно сказать, на сколько процентов вырастет
общая выручка, если выручка по определенному ресурсу увеличится
на 1%.
ε(q, x1 ) = 0, 402;
ε(q, x2 ) = 0, 3569;
ε(q, x3 ) = 0, 195;
ε(q, x4 ) = 0, 1664.
• Предельная норма замещения.
Этот показатель определяет на сколько можно уменьшить/увеличить
один фактор производства при увеличении/уменьшении другого на
единицу при постоянном выпуске.
M RS12 = −1, 1264 xx12 ;
M RS13 = −2, 0615 xx31 ;
M RS14 = −2, 4159 xx41 ;
M RS23 = −1, 8303 xx32 ;
M RS24 = −2, 1448 xx42 ;
M RS34 = −1, 1719 xx43 .
• Эластичность замены равна единице. Следовательно, если соотношение факторов изменится на 1% , то при постоянном выпуске предельная норма замещения ресурсов также изменится на 1% .
• Показатель отдачи от масштаба γ = 1, 1203, следовательно, имеет место возрастающая отдача от масштаба, т.е. пропорциональное увеличение всех факторов производства приводит ко все большему увеличению
объема выпуска.
Рассмотрим выбранную нами функцию как функцию полезности.
Введем в рассмотрение векторы x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) и x = (x1 , x2 , x3 , x4 ),
где x и x — векторы значений величин выручки от реализации отдельных
металлов.
8
Определение 4. q — функция полезности, если ∀x, x ∈ X :
x x ⇔ q(x) ≥ q(x).
Для условия строгой монотонности необходимо выполнение условия
> 0, ∀i = 1, 4. Оно выполнено, функция возрастает по каждому из
аргументов, а это значит, что увеличение количества каждого из ресурсов
увеличивает полезность всего набора. Из условия отрицательности второй
2
производной ∂∂2 xqi < 0, ∀i = 1, 4 следует, что функция вогнута и обладает
свойством убывающей предельной полезности.
При наличии вероятностного распределения можно перейти от полезности к ожидаемой полезности. В этом случае можно прогнозировать
результаты деятельности компании на небольшие промежутки времени.
∂q
∂xi
1.2. Критерии принятия решений
Рассмотрим выручки от реализации отдельных металлов как случайные величины ξ i . По данным о выручке и используя критерий согласия Пирсона получено, что случайные величины распределены нормально
(ξ i ∼ N (ai , (σ i )2 )). Построим доверительные интервалы для математического ожидания для случайных величин ξ i :
• никель — [183895; 234237];
• медь — [99773; 120776];
• палладий — [59519; 84492];
• платина — [36794; 44473].
Из этих интервалов найдем k равноотстоящих друг от друга точек, эти
точки назовем возможными решениями — {xj }kj=1 (приложение 2), где
xj = (x1j , x2j , x3j , x4j ). Подставляя данные значения в производственную функцию, можем получить и множество «ситуаций» S1 , ..., Sk , где
Si = q(x1i , x2i , x3i , x4i ).
Для применения критерия, основанного на частотной интерпретации
вероятности, рассмотрим область изменения величины выручки от реализации i-того металла и поделим ее на 9 равных отрезков — [bik , cik ]. Частоту
9
попадания xi в интервал j назовем pji . Таким образом, получим матрицу
p11 . . . p1i . . . p14
...
,
P =
p
.
.
.
p
.
.
.
p
j1
ji
j4
...
p91 . . . p9i . . . p94
составленную из частот попадания разных последовательностей переменных в разные интервалы. Выбрав в качеcтве меры риска функцию µ = p1ji ,
зависящую от частоты pji , выбираем тот интервал, которому соответствует
минимальное значение риска. Из возможных решений, попадающих в этот
интервал, находим среднее — это будет окончательное решение. Результат
представлен в таблице 1.
Таблица 1: Выручка компании в результате применения критерия с использованием
частотной интерпретации вероятности (в млн. долл. США с учетом индексации)
Общая Никель
Медь
Палладий
Платина
487320
116108
79123
42767
228643
Рассмотрим следующие критерии [4], [5]:
• Критерий оптимизма Лапласа. Лаплас полагал, что в условиях неопределенности можно принять все события равновероятными. Поэтому
критерий выбора выглядит следующим образом:
1X
WL = max {
wij }.
i
n j
Выбор делается из ожидаемого выигрыша с условием равновероятных
исходов.
• Критерий максимина Вальда. Данный критерий иногда также называют критерием крайнего пессимизма. Он подходит для рискофоба, то
есть для того лица принимающего решение (ЛПР), который не хочет
рисковать. Выбранный результат является перестраховочным, выбирается лучший вариант из худших. Математически это можно записать
так:
WV = max min wij .
i
10
j
• Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица. Данный критерий можно
также назвать компромиссом между двумя предыдущими критериями.
WGr = max{α max wij + (1 − α) min wij }, 0 < α < 1.
i
j
j
Другими словами, наилучшее событие наступает с вероятностью α, а
наихудшее – с вероятностью 1 − α. Критерий Гурвица очень гибкий
за счет произвольного изменения параметра α. Этот выбор полностью
зависит от ЛПР.
• Критерий сожалений Сэвиджа. Сожалениями принято считать упущенные возможности. В данном критерии из исходной матрицы строится матрица сожалений D, к которой применяется критерий минимакса.
D = max wij − wij , WS = min max dij .
j
i
j
Для применения критериев Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа
введем функционал, который будет зависеть от параметров {xj }kj=1 и ситуаций S1 , . . . , Sk . На основе данного функционала F (xi , Sj ) будет формироваться матрица W по следующему правилу:
F (x1 , S1 ) ... F (x1 , Sl ) ... F (x1 , Sk )
...
W =
F
(x
,
S
)
...
F
(x
,
S
)
...
F
(x
,
S
)
l
1
l
l
l
k .
...
F (xk , S1 ) ... F (xk , Sl ) ... F (xk , Sk )
Поясним выбор функционала F (xi , Sj ). На каждом уровне i аргумент
j может принимать значения xji и aj , где aj — точечная оценка математического ожидания случайной величины ξ j , где j = 1, 4. Множество всех
размещений g аргументов для уровня i, исключая случаи (a1 , a2 , a3 , a4 ) и
(x1i , x2i , x3i , x4i ), обозначим за Gi . Во множество Gi , например, входят размещения g1 = (a1 , x2i , x3i , x4i ) и g2 = (x1i , a2 , a3 , x4i ). Введем обозначение
M = q(a1 , a2 , a3 , a4 ), что соответствует случаю, когда аргументы производственной функции принимают значения точечной оценки своего математического ожидания. S1 , . . . , Sk соответствуют случаям, когда аргументы
равны (x11 , x21 , x31 , x41 ),. . . ,(x1k , x2k , x3k , x4k ). Введем функционал таким образом:
F (xi , Sj ) = min {||M − q(g)|| + ||Sj − q(g)||}
Gi
11
(под нормой || · || понимается евклидова норма).
В таблице 2 представлены результаты применения описанных выше
критериев. Все расчеты проведены в среде "Matlab".
Таблица 2: Выручка компании в результате применения критериев Лапласа, Вальда,
Гурвица и Сэвиджа (в млн. долл. США с учетом индексации)
Критерий
Общая Никель
Медь
Палладий
Платина
Лаплас
433520
209066
99773
72006
40633
Вальд
470290
234237
110274
72006
40633
Гурвиц
426700
183895
110274
72006
40633
Сэвидж
450970
209066
111441
72006
40633
12
Глава 2. Показатели эффективности и нечетко –
множественный анализ
Введем некоторые определения [11].
Определение 5. Нечеткое множество — это множество, для которого
функция принадлежности µ элемента множества самому множеству принимает значения в промежутке [0, 1].
Определение 6. Треугольное нечеткое число a — это такая тройка
чисел a = (a1 , a2 , a3 ), для которой верно µ(a1 ) = µ(a3 ) = 0, µ(a2 ) = 1
(рис. 1).
Рис 1. Треугольное число.
2.1. Рентабельность реализации продукции
Рентабельность реализации продукции (Rprod ) характеризует долю
прибыли на единицу реализованной продукции, выраженную в процентах,
и определяется путем деления суммы прибыли от продаж (EAT ) на чистую
выручку от реализации продукции (S) по формуле: Rprod = EATS·100% .
Рассмотрим подробнее используемые величины:
• EAT – прибыль от продаж. Применяя аппарат нечетко – множественного анализа данную величину представим в виде нечеткого треугольного числа следующим образом: EAT = (17075;121859;182003). Единицей измерения является млн.долл. США с учетом индексации (индексация аналогична описанной выше).
13
• S – выручка от реализации продукции, в нашем случае металлов. В
предыдущей главе с помощью критериев принятия решений в условиях неопределенности были получены возможные значения этой величины (выражены в млн.долл. США с учетом индексации): по итогам
применения критерия с использованием частотной интерпретации вероятности — SCl = 487320, критерия Лапласа — SL = 433520, критерия
Вальда — SV = 470290, критерия Гурвица — SGr = 426700, критерия
Сэвиджа — SS = 450970.
Посчитаем соответствующие значения показателей рентабельности с
учетом нечеткого числа EAT :
• RprodCl = (3, 5%; 25%; 37, 35%)
• RprodL = (3, 94%; 28, 11%; 41, 98%)
• RprodV = (3, 63%; 25, 91%; 38, 7%)
• RprodGr = (4%; 28, 56%; 42, 65%)
• RprodS = (3, 79%; 27, 02%; 40, 36%)
Исследуем на сколько отклоняются полученные значения от ожидаемых. Для этого представим ожидаемое значение рентабельности в виде
треугольного числа — Rprod = (4, 1%; 27, 68%; 42, 93%) (рис. 2).
Рис 2. Показатель рентабельности.
14
Точки пересечения функции принадлежности Rprod с функциями принадлежности RprodCl , RprodL , RprodV , RprodGr , RprodS будем классифицировать
по линии уровня — µ = µi . Рассмотрим линию µ < µi . Будем проводить попарное сравнение ожидаемого значения показателя рентабельности
с полученными значениями. Рассмотрим RprodCl и Rprod (рис. 3). На срезе µ = µ∗ показатель RprodCl принимает значения r1 и r2 , а Rprod — R1 и
R2 . В этом случае можем найти зону нерентабельной реализации продукции путем нахождения площади многоугольника, ограниченного прямыми
y = R1 , y = R2 , x = r1 , x = r2 и y = x. Степенью риска нерентабельности
назовем вероятностью попадания в зону неэффективности — на рисунке 4
она показана серым цветом.
Рисунок 3. RprodCl и Rprod .
Рисунок 4. Зона неэффективности для r1 < R1 < r2 < R2 .
15
Рисунок 5. Зона неэффективности для R1 < r1 < r2 < R2 .
Рисунок 6. Зона неэффективности для R1 < r1 < R2 < r2 .
Далее зададим зону нерентабельности и найдем геометрическую вероятность через отношение площадей. Аналогичную процедуру проведем
с остальными показателями рентабельности.
Для любого значения µ < µi верно r1 < R1 < r2 < R2 , за исключением критериев Гурвица и Лапласа, и площадь зоны нерентабельности
S = (r2 − r1 )(R2 − R1 ) − 21 (r2 − R1 )2 . Площадь всего прямоугольника
SB = (r2 − r1 )(R2 − R1 ). В случае критериев Гурвица и Лапласа надо
отдельно рассматривать три промежутка:
• при 0 < µ < µ1 r1 < R1 < r2 < R2 . S = (r2 − r1 )(R2 − R1 ) − 12 (r2 − R1 )2
(рис. 4);
• при µ1 < µ < µ2 R1 < r1 < r2 < R2 . S = (r2 − r1 )(R2 − r2 ) + 21 (r2 − r1 )2
(рис. 5);
16
• при µ2 < µ < µ3 R1 < r1 < R2 < r2 . S = 12 (R2 − r1 )2 (рис. 6).
Степень риска определяется по следующей формуле p = SSB для каждого
среза µ = µ∗ . В качестве итоговой степени риска нужно взять совокупный
Rµ
риск при всех возможных значениях параметра µ, то есть 0 i p(µ)dµ.
Найдем значения µi . Для этого найдем функции предпочтения.
(
0, 042x − 0, 174, x ∈ [4, 1; 27, 68]
µR =
−0, 066x + 2, 81, x ∈ (27, 68; 42, 93]
(
0, 046x − 0, 163, x ∈ [3, 5; 25]
µRCl =
−0, 081x + 3, 026, x ∈ (25; 37, 35]
(
0, 041x − 0, 163, x ∈ [3, 63; 25, 91]
µRL =
−0, 072x + 3, 026, x ∈ (25, 91; 38, 7]
(
0, 045x − 0, 163, x ∈ [3, 63; 25, 91]
µRV =
−0, 078x + 3, 026, x ∈ (25, 91; 38, 7]
(
0, 041x − 0, 163, x ∈ [4; 28, 56]
µRGr =
−0, 071x + 3, 026, x ∈ (28, 56; 42, 65]
(
0, 043x − 0, 163, x ∈ [3, 77; 27, 02]
µRS =
−0, 075x + 3, 026, x ∈ (27, 02; 40, 36]
Точки пересечения функций принадлежности:
• µR и µRCl — (25, 92; 0, 92);
• µR и µRL — (10, 54; 0, 27), (27, 85; 0, 99) и (32, 43; 0, 69);
• µR и µRV — (26, 53; 0, 95);
• µR и µRS — (27, 25; 0, 98);
• µR и µRGr — (6,47;0,1), (28,02;0,98) и (39,28;0,24).
Функция p(µ) не зависит от µ в явном виде, но функции принадлежности
показывают зависимости µ = µ(r1 ), µ = µ(r2 ), µ = µ(R1 ), µ = µ(R2 ).
Можем найти обратные функции и зависимости r1 = r1 (µ) и т.д. Таким
образом, для функции p получим зависимость от µ в явном виде.
1. Случай сравнения µR и µRCl .
r1 = 21, 5µ + 3, 5
17
r2 = −12, 34µ + 37, 35
R1 = 23, 58µ + 4, 1
R2 = −15, 25µ + 42, 93
В результате подстановки получили функцию:
668, 97µ2 − 1434µ + 761, 45
.
pCl (a) =
1314, 2µ2 − 2628, 3µ + 1314, 2
R 0,92
Следовательно, итоговый риск — 0 pCl (µ)dµ = 0, 621004.
2. Случай сравнения µR и µRL .
r1 = 24, 17µ + 3, 94
r2 = −13, 87µ + 41, 98
R1 = 23, 58µ + 4, 1
R2 = −15, 25µ + 42, 93
• при 0 < µ < 0, 27
775, 87µ2 − 1535, 7µ + 759.7
.
p(µ) =
1477, 2µ2 − 2954, 5µ + 1477, 2
R 0,27
0
p(µ)dµ = 0, 138364;
• при 0, 27 < µ < 0, 69
p(µ) =
R 0,69
0,27
−20, 4µ + 19, 97
.
−38, 83µ + 38, 83
p(µ)dµ = 0, 211159;
• при 0, 69 < µ < 0, 99
p(µ) =
776, 99µ2 − 1537, 1µ + 760, 16
.
1477, 2µ2 − 2954, 5µ + 1477, 2
R 0,99
p(µ)dµ = 0, 121674.
R 0,27
R 0,69
R 0,99
Итоговый риск получается 0 p(µ)dµ+ 0,27 p(µ)dµ+ 0,69 = 0, 471197
0,69
3. Случай сравнения µR и µRV .
r1 = 22, 28µ + 3, 63
r2 = −12, 79µ + 38, 7
R1 = 23, 58µ + 4, 1
R2 = −15, 25µ + 42, 93
В результате подстановки получили функцию:
700, 4µ2 − 1465, 1µ + 763, 16
pV (µ) =
.
1361, 7µ2 − 2723, 5µ + 1361, 7
18
Следовательно, итоговый риск —
R 0,95
0
pV (µ)dµ = 0, 609649.
4. Случай сравнения µR и µRGr .
r1 = 24, 56µ + 4
r2 = −14, 09µ + 42, 65
R1 = 23, 58µ + 4, 1
R2 = −15, 25µ + 42, 93
• при 0 < µ < 0, 1
791, 15µ2 − 1549, 2µ + 757, 67
p(µ) =
.
1500, 9µ2 − 3001, 7µ + 1500, 9
R 0,1
0
p(µ)dµ = 0, 0503598;
• при 0, 1 < µ < 0, 24
p(µ) =
R 0,24
0,1
−20, 481µ + 19, 602
.
−38, 83µ + 38, 83
p(µ)dµ = 0, 070016;
• при 0, 24 < µ < 0, 98
792, 29µ2 − 1549, 6µ + 757, 71
p(µ) =
.
1500, 9µ2 − 3001, 7µ + 1500, 9
R 0,98
p(µ)dµ = 0, 318396.
R 0,1
R 0,24
R 0,98
Итоговый риск получается 0 p(µ)dµ+ 0,1 p(µ)dµ+ 0,24 = 0, 4387718
0,24
5. Случай сравнения µR и µRS .
r1 = 23, 23µ + 3, 79
r2 = −13, 34µ + 40, 36
R1 = 23, 58µ + 4, 1
R2 = −15, 25µ + 42, 93
В этом случае функция выглядит следующим образом:
pS (µ) =
Итоговый риск —
R 0,98
0
738, 67µ2 − 1501, 6µ + 762, 76
.
1420, 1µ2 − 2840, 2µ + 1420, 1
pS (µ)dµ = 0, 570715.
2.2. Фондоотдача
Рассмотрим такой показатель как фондоотдача. Он определяется отношением выручки от реализации продукции к средней стоимости основ19
ных средств за период:
S
.
OC
число
FO =
Построим треугольное нечеткое
для основных средств —
OC = (566498; 837311; 909199).
Проведем анализ эффективности по показателю фондоотдачи аналогично рентабельности реализации продукции. Показатели фондоотдачи,
посчитанные для тех же случаев выручки, равны:
• F OCl = (0, 54; 0, 58; 0, 86),
• F OL = (0, 48; 0, 52; 0, 76),
• F OV = (0, 52; 0, 56; 0, 83),
• F OG = (0, 47; 0, 51; 0, 75),
• F OS = (0, 5; 0, 54; 0, 8).
Ожидаемая фондоотдача – F O = (0, 31; 0, 5; 0, 71) (рис. 7).
Рисунок 7. Показатели фондоотдачи.
Найдем функции принадлежности:
(
5, 26x − 1, 63, x ∈ [0, 31; 0, 5]
µF O =
−4, 76x + 3, 38, x ∈ (0, 5; 0, 71]
20
(
µF OCl =
−3, 59x + 3, 09, x ∈ (0, 58; 0, 86]
(
µF OL =
24, 43x − 11, 65, x ∈ [0, 55; 0, 6]
−4, 04x + 3, 09, x ∈ (0, 6; 0, 88]
(
µF OV =
22, 52x − 11, 65, x ∈ [0, 55; 0, 6]
−3, 72x + 3, 09, x ∈ (0, 6; 0, 88]
(
µF OG =
24, 82x − 11, 65, x ∈ [0, 55; 0, 6]
−4, 1x + 3, 09, x ∈ (0, 6; 0, 88]
(
µF OS =
21, 73x − 11, 65, x ∈ [0, 53; 0, 58]
23, 48x − 11, 65, x ∈ [0, 5; 0, 54]
−3, 88x + 3, 09, x ∈ (0, 54; 0, 8]
Точки пересечений функций принадлежности:
• µF OCl и µF O — (0, 57; 0, 68);
• µF OL и µF O — (0, 51; 0, 93);
• µF OV и µF O — (0, 55; 0, 76);
• µF OG и µF O — (0, 51; 0, 96);
• µF OS и µF O — (0, 53; 0, 85).
Рассмотрим горизонтальный срез µ = µ∗ и обозначим за R1 и R2
точки пересечения ожидаемого значения фондоотдачи с прямой µ = µ∗ , а
за r1 и r2 — значения точек пересечения прямой µ = µ∗ с фондоотдачей
F OCl , F OL , F OV , F OG или F OS .
Аналогично с показателем рентабельности реализации продукции находим степень риска попадания в неэффективную зону по показателю фонтоодачи (на рисунке 6 показана серым цветом) для среза µ = µ∗ :
1
2 (R2
− r1 )2
p=
.
(R2 − R1 )(r2 − r1 )
Посчитаем совокупную степень риска для каждого случая в отдельности:
1. Случай сравнения µF O и µF OCl .
r1 = 0, 05µ + 0, 54
r2 = −0, 28µ + 0, 86
21
R1 = 0, 19µ + 0, 31
R2 = −0, 21µ + 0, 71
В результате подстановки получили функцию:
0, 033µ2 − 0, 044µ + 0, 015
.
0, 13µ2 − 0, 259µ + 0, 13
R 0,68
Следовательно, итоговый риск — 0 pCl (µ)dµ = 0, 0424707.
pCl (µ) =
2. Случай сравнения µF O и µF OL .
r1 = 0, 04µ + 0, 48
r2 = −0, 25µ + 0, 76
R1 = 0, 19µ + 0, 31
R2 = −0, 21µ + 0, 71
В результате подстановки получили функцию:
0, 031µ2 − 0, 058µ + 0, 027
.
pL (µ) =
0, 115µ2 − 0, 231µ + 0, 115
R 0,93
Следовательно, итоговый риск — 0 pL (µ)dµ = 0, 169294.
3. Случай сравнения µF O и µF OV .
r1 = 0, 04µ + 0, 52
r2 = −0, 27µ + 0, 83
R1 = 0, 19µ + 0, 31
R2 = −0, 21µ + 0, 71
В результате подстановки получили функцию:
0, 032µ2 − 0, 049µ + 0, 018
pV (µ) =
.
0, 125µ2 − 0, 252µ + 0, 125
R 0,76
Следовательно, итоговый риск — 0 pV (µ)dµ = 0, 0657168.
4. Случай сравнения µF O и µF OG .
r1 = 0, 04µ + 0, 47
r2 = −0, 24µ + 0, 75
R1 = 0, 19µ + 0, 31
R2 = −0, 21µ + 0, 71
В результате подстановки получили функцию:
0, 031µ2 − 0, 06µ + 0, 03
pG (µ) =
.
0, 113µ2 + 0, 227µ + 0, 113
R 0,96
Следовательно, итоговый риск — 0 pG (µ)dµ = 0, 206518.
22
5. Случай сравнения µF O и µF OS .
r1 = 0, 04µ + 0, 5
r2 = −0, 26µ + 0, 8
R1 = 0, 19µ + 0, 31
R2 = −0, 21µ + 0, 71
В этом случае функция выглядит следующим образом:
0, 032µ2 − 0, 054µ + 0, 023
.
pS (µ) =
0, 12µ2 − 0, 24µ + 0, 12
R 0,85
Итоговый риск — 0 pS (µ)dµ = 0, 10701.
2.3. Совокупный критерий
В данной работе выбор наилучшего решения является оптимизацией
работы компании по финансовой деятельности. Приведенные в этой главе
показатели эффективности сведем в один совокупный критерий, а степени
риска — в другой [12].
P
Будем рассматривать линейную свертку критериев — K = i αi fi .
Критериями fi в данной задаче являются показатели эффективности — R
(рентабельность), F (фондоотдача) и степени риска неэффективности — rR
и rF . При этом показатели эффективности и степени риска будем рассматривать в разных критериях, то есть K1 = α1 R + α2 F и K2 = α1 rR + α2 rF .
Для каждого ЛПР векторы предпочтений α = (α1 , α2 ) и α = (α1 , α2 ) являются своими. Коэффициенты αi , αi ∈ [0, 1], i = 1, 2 должны удовлетворять
условиям α1 + α2 = 1 и α1 + α2 = 1.
В приложении приведен результат работы программы, которая рассчитывает значение совокупных критериев для пяти случаев выручки при
разных значениях вектора α.
23
Выводы и результаты
• Построены зависимости общей выручки компании от выручки по отдельным видам металлов, таких как никель, медь, палладий и платина. По показателям стандартной ошибки регрессии и суммы квадратов
остатков выявлена наилучшая функция. Исследованы ее характеристики и обоснован переход к функции полезности.
• Построено множество возможных решений, рассмотрены критерии принятия решений в условиях неопределенности. Разработан функционал
для применения критериев Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа. Приведены результаты применения всех критериев для исходных данных.
• Рассмотрены показатели эффективности компании — рентабельность
реализации продукции и фондоотдача. В силу того, что многие показатели компании не известны заранее, был применен аппарат нечетко –
множественного анализа. Рассчитаны степени риска неэффективности
по каждому показателю относительно их ожидаемого значения.
• Рассмотрены свертки критериев выбора оптимального решения. Приведены результаты применений совокупных критериев при различных
значениях параметра свертки — вектора предпочтений.
Оптимальные решения найдены для величины выручки от реализации металлов. При наличии сведений о возможных значениях цен на металлы через найденные оптимальные значения выручки могут быть найдены
оптимальные значения объемов реализации металлов, которые могут быть
учтены при планировании будущих объемов добычи. В данной работе не
ставилась задача о прогнозировании возможного значения рыночной цены
в силу невозможности получения достаточного количества данных.
24
Список литературы
1. Леонтьев В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика. М.: Политиздат, 1990. 415 с.
2. Пелих А. С. Терехов Л. Л., Терехова Л. А. Экономико – математические методы и модели в управлении производством. Ростов Н/Д: Феникс,2005. 248 с.
3. Баркалов Н. Б. Производственные функции в моделях экономического
роста. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1981. 126 с.
4. Уткин Л. В. Анализ риска и принятие решений при неполной информации. СПб.: Наука, 2007. 404 с.
5. Колбин В. В. Теория риска. Часть 2. Спб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та,2012.
237 с.
6. Шоломинский А. Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ,2005. 399 с.
7. Недосекин А. О. Нечетко – множественный анализ фондовых инвестиций. СПб: Сезам, 2002. 181 с.
8. Дилигенский Н. В., Дымова Л. Г., Севастьянов П. В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология.
М.: Машиностроение – 1, 2004. 212 с.
9. Официальный сайт компании ПАО «ГМК«Норильский никель».
http://www.nornik.ru/.
10. Колбин В. В. Производственная функция и ее свойства.
Часть 1. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. 97 с.
11. Абдукаримов И. Т., Тен Н. В. Эффективность и финансовые результаты хозяйственной деятельности предприятия: критерии и показатели их характеризующие, методика оценки и анализа.//Социальноэкономические явления и процессы. Выпуск №5-6/2011, с. 11-21.
12. Моор Д. А., Мухлисуллина Д. Т. Анализ эффективности различных
сверток критериев оптимальности в задаче многокритериальной опти25
мизации//Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. Выпуск № 04 / 2010, с. 9 - 21.
26
27
1пол2014
Никель
175571,8
Медь
99859
Палладий 92001,3
Платина
38388,4
Итог
425792,4
1пол2012
214913,7
104810,5
69045
42261
439690,9
1пол2015
176167,9
104989,9
102108,2
37366
440996,1
2пол2011
236008,2
133540,1
69931,2
41557,8
488901,7
2пол2014
217847,4
113270,3
100445,6
37269
490092,1
1пол2009 2пол2009 1пол2010 2пол2010 1пол2011
Никель
138658,2 198000,9 252957,8
273140
276059,7
Медь
66761,3 107993,5 104392,6 134843,3 115289,3
Палладий 34938,1
38365,1
64025,3
56619,7
81442,9
Платина
31402,2
47010,7
55918,7
32927,8
45783,3
Итог
276895,4
397700
484077,4 503875,4 525525,8
2пол2012
205126,8
126157,4
69451,1
40412,3
449940,1
Приложение 1. Данные о выручке компании
Приложение
1пол2013
182570,6
104020,9
78385,4
40178,7
413125,6
2пол2013
170839,6
117639,2
79315,5
37757,7
434901,1
28
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Никель 183895 189489 195082 200676 206270 211863 217457 223050 228644 234237
Медь
99773 102106 104440 106774 109107 111441 113775 116109 118442 120776
Палладий 59519 62294 65069 67843 70618 73393 76168 78943 81718 84492
Платина 36794 37647 38500 39353 40207 41060 41913 42766 43620 44473
Приложение 2. Возможные решения в условиях неопределенности
29
Вектор α
Случай 1
( 0.474, 0.526) ( 1.94, 12.1, 18.1)
( 0.122, 0.878) (0.898, 3.56, 5.31)
( 0.866, 0.134) ( 3.11, 21.7, 32.5)
( 0.337, 0.663) ( 1.54, 8.82, 13.2)
( 0.498, 0.502) ( 2.01, 12.7, 19.0)
( 0.14, 0.86)
( 0.951, 3.99, 5.96)
( 0.664, 0.336) ( 2.51, 16.8, 25.1)
( 0.849, 0.151) ( 3.06, 21.3, 31.9)
( 0.315, 0.685) ( 1.47, 8.28, 12.4)
( 0.452, 0.548) ( 1.88, 11.6, 17.4)
( 0.948, 0.0516) ( 3.35, 23.7, 35.5)
( 0.476, 0.524) ( 1.95, 12.2, 18.2)
( 0.473, 0.527) ( 1.94, 12.1, 18.1)
( 0.655, 0.345) ( 2.48, 16.6, 24.7)
Случай 2
Случай 3
Случай 4
Случай 5
( 2.12, 13.6, 20.3) ( 1.99, 12.6, 18.8) ( 2.14, 13.8, 20.6) ( 2.05, 13.1, 19.5)
( 0.899, 3.89, 5.8) ( 0.897, 3.66, 5.45) ( 0.9, 3.93, 5.87) ( 0.898, 3.77, 5.63)
( 3.48, 24.4, 36.5) ( 3.21, 22.5, 33.6) ( 3.53, 24.8, 37.1) ( 3.35, 23.5, 35.1)
( 1.64, 9.83, 14.7) ( 1.57, 9.12, 13.6) ( 1.66, 9.97, 14.9) ( 1.61, 9.47, 14.1)
( 2.2, 14.3, 21.3) ( 2.07, 13.2, 19.7) ( 2.23, 14.5, 21.6) ( 2.13, 13.7, 20.5)
( 0.96, 4.37, 6.52) ( 0.952, 4.1, 6.12) ( 0.963, 4.43, 6.61) ( 0.956, 4.24, 6.32)
( 2.77, 18.8, 28.1) ( 2.58, 17.4, 26.0) ( 2.81, 19.1, 28.6) ( 2.68, 18.1, 27.0)
( 3.42, 24.0, 35.8) ( 3.16, 22.1, 33.0) ( 3.47, 24.3, 36.3) ( 3.29, 23.0, 34.4)
( 1.57, 9.22, 13.8) ( 1.5, 8.56, 12.8)
( 1.58, 9.35, 14.0) ( 1.53, 8.89, 13.3)
( 2.04, 13.0, 19.4) ( 1.93, 12.0, 18.0) ( 2.07, 13.2, 19.7) ( 1.98, 12.5, 18.7)
( 3.76, 26.7, 39.9) ( 3.47, 24.6, 36.7) ( 3.82, 27.1, 40.5) ( 3.62, 25.7, 38.3)
( 2.13, 13.7, 20.4) ( 2.0, 12.6, 18.9)
( 2.15, 13.9, 20.7) ( 2.06, 13.1, 19.6)
( 2.11, 13.6, 20.2) ( 1.99, 12.5, 18.7) ( 2.14, 13.8, 20.6) ( 2.05, 13.1, 19.5)
( 2.74, 18.6, 27.7) ( 2.56, 17.2, 25.6) ( 2.78, 18.9, 28.2) ( 2.65, 17.9, 26.7)
Приложение 3. Совокупный критерий показателей эффективности
30
Вектор α
Случай 1
Случай 2
Случай 3
Случай 4
Случай 5
( 0.793, 0.207) ( 2.89, 19.9, 29.8) ( 3.22, 22.4, 33.4) ( 2.99, 20.7, 30.9) ( 3.27, 22.8, 34.0)
( 3.1, 21.5, 32.2)
( 0.957, 0.0431) ( 3.38, 24.0, 35.8) ( 3.79, 26.9, 40.2)
( 3.5, 24.8, 37.1)
( 3.85, 27.3, 40.8) ( 3.64, 25.9, 38.7)
( 0.857, 0.143) ( 3.08, 21.5, 32.1) ( 3.44, 24.2, 36.1) ( 3.19, 22.3, 33.3)
( 3.5, 24.6, 36.7)
( 3.32, 23.2, 34.7)
( 0.106, 0.894) ( 0.849, 3.16, 4.71) ( 0.842, 3.43, 5.11) ( 0.846, 3.24, 4.83) ( 0.842, 3.47, 5.17) ( 0.843, 3.33, 4.97)
( 0.687, 0.313) ( 2.57, 17.4, 25.9) ( 2.85, 19.5, 29.1) ( 2.66, 18.0, 26.8) ( 2.89, 19.8, 29.5) ( 2.76, 18.7, 28.0)
( 0.965, 0.035)
( 3.4, 24.2, 36.1)
( 3.82, 27.1, 40.5) ( 3.52, 25.0, 37.4) ( 3.88, 27.6, 41.2) ( 3.67, 26.1, 39.0)
( 0.535, 0.465) ( 2.12, 13.6, 20.4) ( 2.33, 15.3, 22.8) ( 2.18, 14.1, 21.1) ( 2.36, 15.5, 23.2) ( 2.26, 14.7, 22.0)
( 0.49, 0.51)
( 1.99, 12.6, 18.8) ( 2.17, 14.1, 21.0) ( 2.04, 13.0, 19.4)
( 2.2, 14.3, 21.3)
( 2.11, 13.5, 20.2)
( 0.276, 0.724) ( 1.36, 7.33, 10.9) ( 1.43, 8.14, 12.1) ( 1.38, 7.56, 11.3) ( 1.44, 8.26, 12.3)
( 1.4, 7.85, 11.7)
( 0.408, 0.592) ( 1.75, 10.5, 15.8) ( 1.89, 11.8, 17.6) ( 1.79, 10.9, 16.3) ( 1.91, 12.0, 17.9) ( 1.84, 11.3, 16.9)
( 0.485, 0.515) ( 1.97, 12.4, 18.5) ( 2.15, 13.9, 20.7) ( 2.03, 12.8, 19.2) ( 2.18, 14.1, 21.1) ( 2.09, 13.4, 20.0)
( 0.289, 0.711) ( 1.39, 7.64, 11.4) ( 1.48, 8.49, 12.7) ( 1.42, 7.88, 11.8) ( 1.49, 8.61, 12.9) ( 1.45, 8.19, 12.2)
( 0.801, 0.199) ( 2.91, 20.1, 30.1) ( 3.25, 22.6, 33.8) ( 3.01, 20.9, 31.2)
( 3.3, 23.0, 34.3)
( 3.13, 21.8, 32.5)
( 0.193, 0.807) ( 1.11, 5.29, 7.89) ( 1.14, 5.84, 8.71) ( 1.12, 5.45, 8.13) ( 1.15, 5.92, 8.83) ( 1.13, 5.64, 8.42)
( 0.738, 0.262) ( 2.73, 18.6, 27.8) ( 3.03, 20.9, 31.2) ( 2.82, 19.3, 28.8) ( 3.08, 21.2, 31.7) ( 2.92, 20.1, 30.0)
( 0.723, 0.277) ( 2.68, 18.2, 27.3) ( 2.98, 20.5, 30.6) ( 2.77, 18.9, 28.2) ( 3.02, 20.8, 31.1) ( 2.88, 19.7, 29.4)
Приложение 4. Совокупный критерий риска
неэффективности
Вектор α
Случай 1 Случай 2 Случай 3 Случай 4 Случай 5
( 0.335, 0.665)
0.236
0.169
0.248
0.284
0.263
( 0.44, 0.56)
0.297
0.217
0.305
0.308
0.311
( 0.637, 0.363)
0.411
0.306
0.412
0.354
0.402
( 0.481, 0.519)
0.321
0.236
0.328
0.318
0.33
( 0.234, 0.766)
0.178
0.123
0.194
0.261
0.216
( 0.238, 0.762)
0.18
0.125
0.195
0.261
0.217
( 0.208, 0.792)
0.162
0.111
0.179
0.254
0.203
( 0.64, 0.36)
0.413
0.308
0.414
0.355
0.404
( 0.29, 0.71)
0.21
0.148
0.224
0.273
0.241
( 0.574, 0.426)
0.374
0.277
0.378
0.34
0.373
( 0.587, 0.413)
0.382
0.283
0.385
0.343
0.379
( 0.375, 0.625)
0.259
0.187
0.27
0.293
0.281
( 0.274, 0.726)
0.201
0.141
0.215
0.27
0.234
( 0.665, 0.335)
0.427
0.319
0.428
0.361
0.415
( 0.882, 0.118)
0.553
0.417
0.546
0.412
0.516
( 0.0923, 0.908)
0.0954
0.0589
0.116
0.227
0.15
( 0.455, 0.545)
0.305
0.223
0.313
0.312
0.318
( 0.186, 0.814)
0.15
0.101
0.167
0.249
0.193
( 0.975, 0.0247)
0.607
0.46
0.597
0.433
0.56
( 0.675, 0.325)
0.433
0.324
0.433
0.363
0.42
( 0.718, 0.282)
0.458
0.343
0.457
0.373
0.44
( 0.761, 0.239)
0.483
0.363
0.48
0.383
0.46
( 0.696, 0.304)
0.445
0.333
0.445
0.368
0.43
( 0.487, 0.513)
0.324
0.238
0.331
0.319
0.333
( 0.624, 0.376)
0.403
0.3
0.406
0.351
0.397
31
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв