Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Ôàêóëüòåò Ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ
Êàôåäðà ÌÝÊÑ
Íîâèêîâà Âàëåðèÿ Ñåðãååâíà
Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà áàêàëàâðà
Ðàñ÷åò äèîäíîé ñèñòåìû ñ ïîëåâûì êàòîäîì â
ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
Íàïðàâëåíèå 010900
¾Ïðèêëàäíûå ìàòåìàòèêà è ôèçèêà¿
Ðóêîâîäèòåëü îáðàçîâàòåëüíîé ïðîãðàììû,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê,
ïðîôåññîð
Åãîðîâ Í. Â.
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê,
ïðîôåññîð
Âèíîãðàäîâà Å. Ì.
Ðåöåíçåíò,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê,
äîöåíò
Âëàäèìèðîâà Ë. Â.
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2016
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå
1
2
2
Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
4
1.1
1.2
1.3
4
5
6
Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Óðàâíåíèå Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò . . . . .
Ïîñòðîåíèå îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà . . . . . . . .
Ìîäåëèðîâàíèå ïîëåâîãî êàòîäà â âèäå ñôåðû íà êîíóñå
2.1
2.2
2.3
2.4
Ôèçè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ ïîëåâîãî êàòîäà
Ðåøåíèå çàäà÷è 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è 1 . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà çàäà÷è 1 . . . . . . . . . . . .
Ðåøåíèå çàäà÷è 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è 2 . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà çàäà÷è 2 . . . . . . . . . . . .
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
10
10
11
12
12
13
14
Çàêëþ÷åíèå
16
Ïðèëîæåíèå
17
1
Ââåäåíèå
 ñîâðåìåííûõ íàó÷íûõ èçûñêàíèÿõ è ïîâñåäíåâíîé æèçíè øèðîêîå ïðèìåíåíèå íàõîäÿò, òàê íàçûâàåìûå, âàêóóìíûå ýëåêòðîííûå óñòðîéñòâà: ýëåêòðîííûå ìèêðîñêîïû, ñâåòîâûå èíäèêàòîðû, ïëîñêèå äèñïëåè.  îñíîâå ýòèõ
ïðèáîðîâ ëåæèò ÿâëåíèå àâòîýëåêòðîííîé ýìèññèè ïîëåâîãî êàòîäà[1]. Ìîäåëèðîâàíèþ è âñåñòîðîííåìó èçó÷åíèþ ýòîãî ÿâëåíèÿ è ïîñâÿùåíà äàííàÿ
ðàáîòà.
Àâòîýëåêòðîííîé ýìèññèåé íàçûâàåòñÿ ÿâëåíèå èñïóñêàíèÿ ýëåêòðîíîâ
ïðîâîäÿùèìè òåëàìè ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàïðÿæåííîñòüþ
F = 107 − 108 Â/ñì. Äëÿ ñîçäàíèÿ òàêîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ê îáû÷íûì
ìàêðîñêîïè÷åñêèì ýëåêòðîäàì íåîáõîäèìî áûëî áû ïðèêëàäûâàòü íàïðÿæåíèÿ â äåñÿòêè ìèëëèîíîâ âîëüò. Íà ïðàêòèêå àâòîýëåêòðîííóþ ýìèññèþ
ìîæíî âîçáóäèòü ïðè ìåíüøèõ íàïðÿæåíèÿõ, åñëè ïðèäàòü êàòîäó ôîðìó
òîíêîãî îñòðèÿ ñ ðàäèóñîì âåðøèíû â äåñÿòûå èëè ñîòûå äîëè ìèêðîíà.
Ðèñ. 1: Îäèíî÷íîå ïîëåâîå îñòðèå
Îòêðûòèå àâòîýëåêòðîííîé ýìèññèè ïðèíàäëåæèò âåëèêîìó ýêñïåðèìåíòàòîðó Ðîáåðòó Âóäó. Â 1897 ãîäó, ïðè èññëåäîâàíèè âàêóóìíîãî ðàçðÿäà
â ñèëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, áûëî çàìå÷åíî èñïóñêàíèå ýëåêòðîíîâ, âûçâàâøåå ñâå÷åíèå ñòåêëà.
Ïîñëå ïîÿâëåíèÿ òàêîãî ïîíÿòèÿ êàê àâòîýëåêòðîííàÿ ýìèññèÿ, âîçíèêëà ñîâåðøåííî íîâàÿ îáëàñòü ìèêðî- è íàíîýëåêòðîíèêè âàêóóìíàÿ ìèêðîýëåêòðîíèêà, ÷òî ïîçâîëèëî ñîçäàòü íîâûå ôóíäàìåíòàëüíûå ìåòîäû èñ-
2
ñëåäîâàíèÿ òîïîëîãèè ïîâåðõíîñòè ñ àòîìíûì ðàçðåøåíèåì (ñêàíèðóþùàÿ è
ïðîñâå÷èâàþùàÿ ýëåêòðîííàÿ ìèêðîñêîïèÿ ñâåðõâûñîêîãî ðàçðåøåíèÿ, òóííåëüíàÿ ìèêðîñêîïèÿ, ýëåêòðîííàÿ ãîëîãðàôèÿ è äð.)[2].
Ðèñ. 2: Ðîáåðò Âóä
3
Ãëàâà 1
Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â
ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
1.1
Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû
Ñôåðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè íàçûâàþò ñèñòåìó êîîðäèíàò äëÿ îòîáðàæåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ôèãóðû â òð¸õ èçìåðåíèÿõ ïîñðåäñòâîì çàäàíèÿ òð¸õ êîîðäèíàò (r, θ, ϕ), ãäå r êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå äî íà÷àëà
êîîðäèíàò, à θ è φ çåíèòíûé è àçèìóòàëüíûé óãëû ñîîòâåòñòâåííî.
Åñëè çàäàíû ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷êè, òî ïåðåõîä ê äåêàðòîâûì
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì:
x = r cos(θ) sin(ϕ),
(1.1)
y = r sin(θ) sin(ϕ),
z = r cos(θ).
Îáðàòíî, îò äåêàðòîâûõ ê ñôåðè÷åñêèì:
p
r = x2 + y 2 + z 2 ,
!
z
θ = arccos p
,
2 + y2 + z2
x
ϕ = arctg y .
x
4
(1.2)
1.2
Óðàâíåíèå Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò
Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà áóäåò ðåøàòüñÿ â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò(r, ϕ, θ). Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Ëàïëàñà â ÄÏÑÊ:
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+ 2 = 0.
∂x2 ∂y 2
∂z
 ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå Ëàïëàñà ïðèíèìàåò âèä:
1
∂
∂φ
1
∂ 2φ
1 ∂
2 ∂φ
r
+ 2
sin(θ)
+ 2 2
= 0.
r ∂r
∂r
r sin(θ) ∂θ
∂θ
r sin (θ) ∂ϕ2
Íàéäåì ìåòðè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû, èëè êîýôôèöèåíòû Ëàìå äëÿ äàííîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé:
s
2
2
2
∂x
∂y
∂z
+
+
,
hi =
∂xi
∂yi
∂zi
ãäå i = (1,2,3). Ïîëó÷èëè:
h1 = 1, h2 = r, h3 = r sin(θ).
Ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ êîýôôèöèåíòîâ ìû ìîæåò íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ
grad, div è rot â äàííîé ñ.ê.:
gradφ
=
∂φ
1 ∂φ
1
∂φ
i1 +
i2 +
i1 ,
∂r
r ∂θ
r sin(θ) ∂ϕ
1 ∂ 2
1
∂
1 ∂A3
r A1 +
(sin(θ)A2 ) +
,
2
r ∂r
r sin(θ) ∂θ
r sin(θ) ∂ϕ
1
∂
∂A2
1
1 ∂A1
∂
(sin(θ)A3 ) −
− (rA3 ) i2 +
rotA =
i1 +
r sin(θ) ∂θ
∂ϕ
r sin(θ) ∂ϕ
∂r
1 ∂
∂A1
+
(rA2 ) −
i3 .
r ∂r
∂θ
divA =
5
1.3
Ïîñòðîåíèå îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (1.1,
1.2). Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ îñåñèììåòðè÷íîé è èñêëþ÷àåòñÿ çàâèñèìîñòü îò ϕ, òî óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:
1
∂
∂φ
1 ∂
2 ∂φ
r
+ 2
sin(θ)
= 0.
(1.3)
r ∂r
∂r
r sin(θ) ∂θ
∂θ
Äëÿ ðàçðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ(ÌÐÏ). Ôóíêöèÿ φ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå äâóõ ôóíêöèé:
φ = R(r)T (θ), òîãäà (2) ïðèìåò âèä:
∂T
2 ∂R
1 ∂(sin(θ) ∂θ )
1 ∂(r ∂r )
+
=0
R
∂r
sin(θ)
∂θ
(1.4)
Èäåÿ ìåòîäà ñîîòâåòñòâóåò åãî íàçâàíèþ: ïóòåì ñïåöèàëüíûõ çàìåí èñõîäíîå óðàâíåíèå n ïåðåìåííûõ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ îòäåëüíûõ óðàâíåíèé ïî
ìåíüøåìó ÷èñëó ïåðåìåííûõ, â òîì ÷èñëå ê ðåøåíèþ n ðàçëè÷íûõ óðàâíåíèé äëÿ êàæäîé ïåðåìåííîé.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ (1.4) ðàññìàòðèâàåòñÿ 2 ñëó÷àÿ, â êàæäîì èç êîòîðûõ ïî 2 äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ.
I ñëó÷àé:
2 ∂R
∂(r
)
1
(1.5)
∂r = λ2
R
∂r
∂T
1 ∂(sin(θ) ∂θ )
(1.6)
= −λ2
sin(θ)
∂θ
II ñëó÷àé:
2 ∂R
1 ∂(r ∂r )
= −λ2
R
∂r
∂T
1 ∂(sin(θ) ∂θ )
= λ2 ;
sin(θ)
∂θ
(1.7)
(1.8)
Áîëåå ïîäðîáíî îñòàíîâèìñÿ íà ñëó÷àå I. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.5) èùåòñÿ
â âèäå: R = rn . Ïîëó÷àåì:
R = An rn + Bn rn ,
ãäå An è Bn - const, λ = n, λ = −n − 1.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.6) íåîáõîäèìî ñäåëàòü çàìåíó:
x = cos(θ)
6
Ïåðåïèøåì (1.6):
1
T
2 ∂T
(1 − x )
=0
∂x
Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå Ëåæàíäðà. Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâèìî â
âèäe:
T = Cn Pn (x) + Dn Qn (x),
ãäå Pn è Qn - ïîëèíîìû Ëåæàíäðà 1 - ãî è 2 - ãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî.
Pn (x) =
1 ∂ n (x2 − 1)n
,
2n n!
∂xn
1
x+1
Qn (x) = Pn (x) ln
.
2
x−1
Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèåì I, áóäåò ÿâëÿòüñÿ ôóíêöèÿ:
U1 (r, θ) =
∞
X
(An rn + Bn rn )(Cn Pn (x) + Dn Qn (x));
n=0
Ðåøåíèå äëÿ (1.7) è (1.8) ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî.
7
Ãëàâà 2
Ìîäåëèðîâàíèå ïîëåâîãî êàòîäà â
âèäå ñôåðû íà êîíóñå
2.1
Ôèçè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ ïîëåâîãî êàòîäà
 äàííîé ðàáîòå ìîäåëèðóåòñÿ äèîäíàÿ ýìèññèîííàÿ ñèñòåìà íà îñíîâå ïîëåâîãî êàòîäà [3, 4]. Äëÿ âîçáóæäåíèÿ ïîëåâîé ýìèññèè ñ êàòîäà ðàäèóñ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè íà âåðøèíå ïîëåâîãî îñòðèÿ äîëæåí áûòü íà
íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ìåíüøå, ÷åì îñòàëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû ñèñòåìû [5, 6, 7, 8]. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, â êîòîðîé âåðøèíà êàòîäà èìååò ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó ðàäèóñà R1 , ¾òåëî¿ êàòîäà êîíóñîâèäíóþ ïîâåðõíîñòü ñ
óãëîì ðàñòâîðà θ1 , àíîä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
ðàäèóñà R2 .
Ïîâåðõíîñòü êàòîäà çàäàåòñÿ r = R1 ïðè θ ∈ (0, θ0 ) - ñôåðà íà âåðøèíå
îñòðèÿ, è θ = θ0 ïðè r ∈ (R1 , R2 ) - òåëî îñòðèÿ. Ïîâåðõíîñòü àíîäà çàäàåòñÿ
r = R2 ïðè θ ∈ (0, θ0 ).
Ðèñ. 2.1: Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ýìèññèîííîé ñèñòåìû 1
8
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà ðàññìîòðèì 2 ðàçëè÷íûå çàäà÷è:
Çàäà÷à 1. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. (2.1);
Çàäà÷à 2. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. (2.2).
Ðèñ. 2.2: Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ýìèññèîííîé ñèñòåìû 2
9
2.2
2.2.1
Ðåøåíèå çàäà÷è 1
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è 1
Íà âåðøèíå êàòîäà çàäàåòñÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå 1 ðîäà - ôóíêöèÿ f1 (θ).
Íà òåëå îñòðèÿ çàäàåòñÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå 1 ðîäà - ôóíêöèÿ f3 (r). Íà àíîäå
çàäàåòñÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå 1 ðîäà - ôóíêöèÿ f2 (θ).
Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ U (r, θ, ϕ) ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà( 2.1) è çàäàííûì ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì( 2.2). Ðàññìàòðèâàåòñÿ îñåñèììåòðè÷íàÿ çàäà÷à, ÷òî îçíà÷àåò îòñóòñòâèå çàâèñèìîñòè îò ϕ.
Ãðàíè÷íàÿ çàäà÷à:
1
∂
∂U
1 ∂
2 ∂U
r
+ 2
sin θ
= 0,
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
(2.1)
U (R1 , θ) = f1 (θ),
U (R0 , θ) = f2 (θ),
U (r, θ0 ) = f3 (r).
10
(2.2)
2.2.2
Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà çàäà÷è 1
Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà U1 (r, θ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà.
Çàäàäèì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â âèäå f1 (θ) = 0, f2 (θ) = V (θ) è f3 (θ) = 0:
U1 (R1 , θ) = 0,
U1 (R2 , θ) = V (θ),
(2.3)
U1 (r, θ0 ) = 0.
 ñèëó òîãî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìóþ îáëàñòü ñèñòåìû âõîäèò θ = 0, òî
êîýôôèöèåíòû Dn = 0, ò.ê. ôóíêöèè(ïîëèíîìû) Ëåæàíäðà 2 ðîäà íå îãðàíè÷åíû ïðè θ = 0 è θ = π (Qn (1) → ∞). Òîãäà:
U1 (r, θ) = (An rνn + Bn r−νn −1 )Pνn (cos(θ));
(2.4)
Ïîäñòàâèâ (2.4) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.3) ïîëó÷àåì:
U1 (R1 , θ) =
U1 (r, θ0 ) =
P∞
νn
n=1 (An R1
P∞
U1 (R2 , θ) =
n=1 (An r
P∞
νn
+ Bn R1−νn −1 )Pνn (cos(θ))) = 0,
+ Bn r−νn −1 )Pνn (cos(θ0 ))) = V (θ),
νn
n=1 (An R2
+ Bn R2−νn −1 )Pνn (cos(θ))) = 0.
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Äëÿ ðàçðåøåíèÿ óðàâíåíèé (2.5), (2.6), (2.7) ïðîèíòåãðèðóåì èõ îò 0 äî
θ0 , à òàê æå äîìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâ íà sin(θ) è Pn (cos(θ)).
Îòäåëüíî ðàññìîòðèì ïîëó÷èâøèéñÿ èíòåãðàë, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì îðòîãîíàëüíîñòè ôóíêöèé Ëåæàíäðà:
(
Z θ0
0,
åñëè n 6= m;
sin(θ)Pνn (cos(θ))Pνm (cos(θ))dθ =
Nm , åñëè n = m.
0
Rθ
R1
Ãäå Nm = 0 0 sin(θ)Pν2n (cos(θ))dθ = cos(θ0 ) Pν2n (x)dx. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì:
(An R2νn + Bn R2−νn −1 )Nm = 0
(2.8)
R θ0
V (θ)Pn (cos(θ))dθ = an Nn è
Òîãäà äëÿ óðàâíåíèÿ
(2.6)
ïîëó÷àåì,
÷òî
0
P
U1 (R2 , θ) = V (θ) = an Pn (cos(θ))
an = An R2νn + Bn R2−νn −1
(2.9)
Èç âûðàæåíèé (2.8) è (2.9) îïðåäåëÿåì êîýôôèöèåíòû An è Bn è ïîäñòàâëÿåì èõ â âûðàæåíèå (2.4). Ïîñëå óïðîùåíèÿ ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ
ïîëó÷àåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ
ïîñòàâëåííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:
νn −νn −1
r
r
−
P
R1
R1
U1 (r, θ) = ∞
(2.10)
νn −νn−1 Pνn (cos (θ))
n=1 an
R2
R2
−
R1
R1
11
2.3
2.3.1
Ðåøåíèå çàäà÷è 2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è 2
Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îñåñèììåòðè÷íîãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà áóäåò ðåøàòüñÿ â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (r, ϕ, θ). Â
äàííîé ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåòñÿ îñåñèììåòðè÷íàÿ çàäà÷à, ÷òî îçíà÷àåò îòñóòñòâèå çàâèñèìîñòè îò ϕ. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåðõíîñòè îñòðèÿ íà ñôåðàõ r = R1 è r = R2 çàäàäèì êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå ôóíêöèè f1 (θ), f2 (θ)
òàê, ÷òîáû íóëåâàÿ ýêâèïîòåíöèàëü ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé ¾âèðòóàëüíûé¿ êàòîä ñ âåðøèíîé ñôåðè÷åñêîé ôîðìû íà êîíóñîâèäíîì ¾òåëå¿ îñòðèÿ. Äëÿ
íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ U (r, θ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ
Ëàïëàñà (2.11) è çàäàííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.12):
1
∂
∂U
1 ∂
2 ∂U
r
+ 2
sin θ
= 0,
(2.11)
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
U (R1 , θ) = f1 (θ),
U (R0 , θ) = f2 (θ),
ãäå
0,
0 ≤ θ ≤ θ1 ,
−U1 , θ1 ≤ θ ≤ π;
U0 ,
0 ≤ θ ≤ θ1 ,
−U2 , 0 ≤ θ ≤ π;
f1 (θ) =
f2 (θ) =
12
(2.12)
(2.13)
2.3.2
Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà çàäà÷è 2
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è (2.12) äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (2.11) ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà â âèäå:[9, 10, 11]
n −n−1
r
r
−
∞
P
R1
R1
U1 (r, θ) =
an n −n−1 +
R2
R2
n=1
−
R1
R1
(2.14)
n −n−1
r
r
−
R2
R2
+bn n −n−1 Pn (cos θ) ,
R1
R1
−
R2
R2
ãäå an è bn ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèé ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé
f1 (θ), f2 (θ) (2) ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà [12, 13, 14]:
cos
Z1
Z θ1
2n + 1
an =
U0
Pn (x) dx − U2
Pn (x) dx ,
(2.15)
2
−1
cos θ1
2n + 1
(−U1 )
bn =
2
cos
Z θ1
Pn (x) dx.
−1
13
(2.16)
2.4
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ
Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà U1 (r, θ) èìååò âèä(ñì. ãëàâà 2, ôîðìóëû 2.14,
2.15, 2.16):
n n−1
n n−1
r
r
r
r
−
−
∞
X
R1
R1
R2
R2
+
b
U1 (r, θ) =
a
n n n−1
n n−1 ×
n
R2
R1
R2
R1
n=1
−
−
R1
R1
R2
R2
×Pn (cos (θ)).
(2.17)
Òðåáóåòñÿ íàéòè ÷èñëåííîå çíà÷åíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè: r ∈ [R1 , R2 ], θ ∈ (0, π).
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è áûëà ðåàëèçîâàíà ïðîãðàììà íà ÿçûêå
C++ â ñðåäå ïðîãðàììèðîâàíèÿ Microsoft Visual Studio.
Ïàðàìåòðû ñèñòåìû èìåþò çíà÷åíèÿ:
R1 = 1;
R2 = 2;
U 0 = 100;
U 1 = 0;
U 2 = 100
Îïèñàíèå êëàññîâ è ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ â ïðîãðàììå:
1) Êëàññ Ledendre:
- build( int n) - ñòðîèò èç äàííîãî ýêçåìïëÿðà êëàññà ïîëèíîì Ëåæàíäðà
ïîðÿäêà n;
- value( double point) - âîçâðàùàåò çíà÷åíèå ïîëèíîìà â òî÷êå point;
- integral( double A, double B) - âîçâðàùàåò çíà÷åíèå èíòåãðàëà äàííîãî ïîëèíîìà íà ïðîìåæóòêå [from, to];
- multiplyByX( ) - âîçâðàùàåò ïîëèíîì, ïî÷ëåííî äîìíîæåííûé íà x;
- order() - âîçâðàùàåò ïîðÿäîê ïîëèíîìà.
2) Êëàññ PotentialDistribution:
- A( double n) - âîçâðàùàåò çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà A;
- B( double n) - âîçâðàùàåò çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà B;
- calculate( double r, double theta) - âîçâðàùàåò çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà;
Ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé Pn [14]:
(2n + 1)xPn (x) = (n + 1)Pn+1 (x) + nPn−1 (x),
(2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x)
,
òîãäà Pn+1 (x) =
n+1
P0 (x) = 1, P1 (x) = x.
14
(2.18)
Ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ an è bn :
cos(θ
Z1
Z 1)
2n + 1
an =
Pn (x) dx − U2
Pn (x) dx ,
U0
2
(2.19)
−1
cos(θ1 )
2n + 1
(−U1 )
bn =
2
cos(θ
Z 1)
(2.20)
Pn (x) dx.
−1
'potentials.txt'
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
120
100
80
U(x,y) 60
40
20
0
-2 -1.5
-1 -0.5
x
0 0.5
1 1.5
2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
120
100
80
60
40
20
0
1
1.5
y
Ðèñ. 2.3: Ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà áåç ó÷åòà ¾òåëà¿
îñòðèÿ â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
15
2
Çàêëþ÷åíèå
 äàííîé ðàáîòå áûëè ïîñòðîåíû ìîäåëè äâóõ äèîäíûõ ýìèññèîííûõ ñèñòåì â âèäå ñôåðû íà êîíóñîâèäíîé ïîâåðõíîñòè (Ðèñ. 2.1, 2.2).
Ïåðâàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó, â êîòîðîé âåðøèíà êàòîäà èìååò ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó, ¾òåëî¿ êàòîäà êîíóñîâèäíóþ ïîâåðõíîñòü ñ íåêîòîðûì
óãëîì ðàñòâîðà, àíîä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
Äëÿ ðàñ÷åòà ïîòåíöèàëà èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè 1 ðîäà (2.1). Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà íàéäåíî â àíàëèòè÷åñêîì âî âñåé
îáëàñòè äèîäíîé ñèñòåìû (2.9).
Âòîðàÿ îñåñèììåòðè÷íàÿ ñèñòåìà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé îñòðèå íà ñôåðàõ. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäàíû êàê êóñî÷íî ïîñòîÿíûå ôóíêöèè òàê, ÷òîáû
íóëåâàÿ ýêâèïîòåíöèàëü ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé ¾âèðòóàëüíûé¿ êàòîä ñ âåðøèíîé ñôåðè÷åñêîé ôîðìû íà êîíóñîâèäíîì ¾òåëå¿ îñòðèÿ (2.10, 2.11). Äëÿ
íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà òàê æå èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà íàéäåíî â àíàëèòè÷åñêîì âî
âñåé îáëàñòè äèîäíîé ñèñòåìû (2.12, 2.13, 2.14), à òàê æå ïðåäñòàâëåí ÷èñëåííûé ðàñ÷åò äàííîé ñèñòåìû.
16
Ïðèëîæåíèå
Ëèñòèíã ïðîãðàììû.
#include "Legendre.h"
#include "stdafx.h"
/*
* Ïîëèíîì Ëåæàíäðà, ïðåäñòàâëåííûé â âèäå ìàññèâà êîýôôèöèåíòîâ coeffitient
* (ãäå coeffitient[n] - êîýôôèöèåíò, ñòîÿùèé ïðè n-é ñòåïåíè). Óìååò:
*
* Ñòðîèòü ñåáÿ - build(int n)
* Ñ÷èòàòü ñâîå çíà÷åíèå â òî÷êå - value(double X)
* Èíòåãðèðîâàòü ñåáÿ íà ïðîìåæóòêå - integral(double from, double to)
*/
Legendre::Legendre()
{
}
/*
* Ñòðîèò èç äàííîãî ýêçåìïëÿðà êëàññà ïîëèíîì Ëåæàíäðà ïîðÿäêà n
* (ïî ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå)
*/
void Legendre::build(int n)
{
Legendre result;
if (n == 0)
{
coefficient.push_front(1.0);
return;
}
if (n == 1)
{
coefficient.push_front(1.0);
coefficient.push_front(0.0);
return;
}
17
Legendre _A;
_A.build(n - 1);
Legendre _B;
_B.build(n - 2);
Legendre yada;
yada = _B * (-(n - 1) / (double)n);
result = _A.multiplyByX();
result = result * ((2.0 * n - 1) / (double)n);
result = result + yada;
coefficient = result.coefficient;
return;
}
/*
* Âîçâðàùàåò çíà÷åíèå ïîëèíîìà â òî÷êå point
*/
double Legendre::value(double point)
{
double result = 0;
for (int i = 0; i <= this->order() ; i++)
{
result += pow(point, i) * coefficient[i];
}
return result;
}
/*
* Âîçâðàùàåò çíà÷åíèå èíòåãðàëà äàííîãî ïîëèíîìà íà ïðîìåæóòêå [from, to]
* (âû÷èñëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêè ïî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà)
*/
double Legendre::integral(double A, double B)
{
double result = 0;
for (int i = 0; i <= this->order(); i++)
{
result += pow(B, i + 1) * coefficient[i] / (double)(i + 1);
result -= pow(A, i + 1) * coefficient[i] / (double)(i + 1);
}
return result;
}
/*
* Âîçâðàùàåò ïîëèíîì, ïî÷ëåííî äîìíîæåííûé íà x
* (íóæíî äëÿ ðåàëèçàöèè ðåêóððåíòíîé ôîðìóëû)
18
*/
Legendre Legendre::multiplyByX()
{
Legendre result;
result.coefficient = coefficient;
result.coefficient.push_front(0.0);
return result;
}
/*
* Âîçâðàùàåò ïîðÿäîê ïîëèíîìà
*/
int Legendre::order()
{
return coefficient.size() - 1;
}
/*
* Ïåðåãðóçêà îïåðàòîðà + äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ ïîëèíîìîâ
*/
Legendre Legendre::operator+(const Legendre& value)
{
/*
* Cìîòðèì, êàêîå èç äâóõ ñëàãàåìûõ èìååò áîëüøèé ïîðÿäîê
*/
if (value.coefficient.size() - 1 <= this->order()) //åñëè áîëüøå òî, ÷òî ñïðàâà
{
Legendre sum;
sum.coefficient = coefficient;
for (int i = 0; i < value.coefficient.size(); i++)
{
sum.coefficient[i] += value.coefficient[i];
}
return sum;
}
//åñëè áîëüøå òî, ÷òî ñëåâà
Legendre sum;
sum.coefficient = value.coefficient;
for (int i = 0; i <= this->order(); i++)
{
sum.coefficient[i] += coefficient[i];
}
19
return sum;
}
/*
* Ïåðåãðóçêà îïåðàòîðà * äëÿ äîìíîæåíèÿ ïîëèíîìà íà âåùåñòâåííîå ÷èñëî value ÑÏÐÀ
* (íóæíî äëÿ ðåàëèçàöèè ðåêóððåíòíîé ôîðìóëû)
*/
Legendre Legendre::operator*(const double value)
{
Legendre result;
result.coefficient = coefficient;
for (int i = 0; i <= this->order(); i++)
{
result.coefficient[i] *= value;
}
return result;
}
Legendre::~Legendre()
{
}
20
#include "PotentialDistribution.h"$
#include "stdafx.h"
/*
* Èùåì òóò ðàñïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëà
* Êîíñòðóêòîð ïðèíèìàåò çíà÷åíèå n - äëèíó ÷àñòè÷íîé ñóììû èç ôîðìóëû
* Âñëåä çà ýòèì â êîíñòðóêòîðå æå âû÷èñëÿþòñÿ ïîëèíîìû Ëåæàíäðà ïîðÿäêîâ 0 - n âê
* à òàêæå âñå êîýôôèöèåíòû A è B îò 0 äî n
*/
PotentialDistribution::PotentialDistribution(int _order)
{
order = _order;
THETA_1 = 5.0*PI / 6.0;
R1 = 1.0;
R2 = 2.0;
for (int i = 0; i <= _order; i++)
{
Legendre pol;
pol.build(i);
legendre.push_back(pol);
}
_A = new double [_order];
_B = new double [_order];
for (int i = 0; i <= _order; i++)
{
_A[i] = this->A(i);
_B[i] = this->B(i);
}
}
double PotentialDistribution::A(double n)
{
return (n + 0.5) * ((-1*U2-1*U0) * legendre[n].integral(-1, cos(THETA_1)));
}
double PotentialDistribution::B(double n)
{
return (n + 0.5) * (U1 * legendre[n].integral(-1, cos(THETA_1)));
}
/*
* Âîçâðàùàåò çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà
*/
double PotentialDistribution::calculate(double r, double theta)
{
21
double sum = 0;
double sum2 = 0;
for (int i = 0; i <= this->order; i++)
{
double frac1 = (pow(r / R1, i) - pow(r / R1, -1 * i - 1));
frac1 /= (pow(R2 / R1, i) - pow(R2 / R1, -1 * i - 1));
double frac2 = (pow(r / R2, i) - pow(r / R2, -1 * i - 1));
frac2 /= (pow(R1 / R2, i) - pow(R1 / R2, -1 * i - 1));
sum += (_A[i] * frac1 + _B[i] * frac2) * cos(theta);
}
sum2 = U0*R2/(R2 - R1) * ( -1.0 * R1/r + 1.0);
return sum + sum2;
}
PotentialDistribution::~PotentialDistribution()
{
}
22
// potential.cpp : Defines the entry point for the console application.
#include "stdafx.h"
#include "Legendre.h"
#include "PotentialDistribution.h"
#include <fstream>
using namespace std;
int main()
{
ofstream fout("legendres.txt");
vector<Legendre> legendres;
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
Legendre pol;
pol.build(i);
legendres.push_back(pol);
}
vector<double> integrals;
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
integrals.push_back(legendres[i].integral(0, 1));
}
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
for (double X = -1; X < 1; X += 0.01)
{
fout << X << "\t" << legendres[i].value(X) << "\r\n";
}
}
ofstream log("potentials.txt");
PotentialDistribution p(24);
for (double r = p.R1; r < p.R2 + 0.001; r += 0.1)
{
for (double theta = -PI; theta < PI + 0.1; theta += 0.1)
{
log << r*cos(theta) << "\t" << r*sin(theta) << "\t";
log << p.calculate(r, theta) << "\n"; //ñ÷èòàåì ïîòåíöèàë äëÿ äàííûõ r è theta è
}
log <<"\n";
}
return 0;}
23
Ëèòåðàòóðà
[1] Âèíîãðàäîâà Å.Ì., Åãîðîâ Í.Â., Êëèìàêîâ À.À. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèîäíîé ñèñòåìû ñ ïîëåâûì îñòðèåì öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû
// Æóðíàë òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. 2015. T. 85. ¹ 2. Ñ. 20 24.
[2] Ôóðñåé Ã.Í. Àâòîýëåêòðîííàÿ ýìèññèÿ // Ôèçèêà. 2000. T. 6. ¹ 11. Ñ.
9697.
[3] Êëèìàêîâ À.À., Âèíîãðàäîâà Å.Ì. Îïòèìèçàöèÿ ôîêóñèðóþùåé ñèñòåìû
ïîëåâîé ïóøêè ñ îñòðèéíûì êàòîäîì // Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü. 2015. T. 2. ¹ 1. Ñ. 184189.
[4] Ëèñòðóêîâà À.Â., Âèíîãðàäîâà Å.Ì. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
ýìèññèîííîé ñèñòåìû // Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü. 2014. T. 1.
¹ 1. Ñ. 185190.
[5] Amir Ahmad V. K. Tripathi Model calculation of the scanned eld
enhancement factor of CNTs // Nanotechnology 17. 2006.
P. 37983801.
[6] Ñîìèíñêèé Ã. Ã., Òàðàäàåâ Å. Ï., Òóìàðåâà Ò. À., Ìèøèí Ì. Â., Êîðíèøèí Ñ. Þ. Ïðîñòîé â èçãîòîâëåíèè ìíîãîîñòðèéíûé ïîëåâîé ýìèòòåð //
Æóðíàë òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. 2015. Ò. 85. Âûï. 7. C. 3.
[7] Vinogradova E. M., Egorov E. N., Televnyy D. S. Mathematical modeling of
eld emitter array // Vacuum. 2016. Vol. 127.
P. 4550.
[8] Vinogradova E. M., Egorov N. V. The Diode Emission System with the
Spherical Field Emitter Mathematical Modeling // IEEE 10th International
Vacuum Electron Sources Conference, IVESC 2014, 2014. No 6892096. P.
262263.
[9] Vinogradova E. M., Egorov N.V. Mathematical modeling of electron beam
formatting systems on basis of eld emission cathodes with various shapes //
Vacuum. 2004. Vol. 72. P. 103111.
24
[10] Òèõîíîâ À. Í., Ñàìàðñêèé À. À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.
Ì.: Íàóêà, 1977. 736 ñ.
[11] Êóðó÷ Î.Ñ., Âèíîãðàäîâà Å.Ì. Ìîäåëèðîâàíèå ïîëåâîãî êàòîäà â âèäå
ñôåðû íà êîíóñå // Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü. 2012. Ñ. 148
153.
[12] Àáðàìîâèö Ì., Ñòèãàí È. Ñïðàâî÷íèê ïî ñïåöèàëüíûì ôóíêöèÿì ñ
ôîìóëàìè, ãðàôèêàìè è ìàòåìàòè÷åñêèìè òàáëèöàìè. Ì.: Íàóêà, 1979.
832 ñ.
[13] Ãîáñîí Å. Â. Òåîðèÿ ñôåðè÷åñêèõ è ýëëèïñîèäàëüíûõ ôóíêöèé. Ì.: ÈË,
1952. 476 ñ.
[14] Ãðàäøòåéí È. Ñ., Ðûæèê È. Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è ïðîèçâåäåíèé. Ì.: Ìîñêâà, 1963. 1108 ñ.
25
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв