Сохрани и опубликуйсвоё исследование
О проекте | Cоглашение | Партнёры
Диссертация на соискание академической степени магистра 03.04.02 Физика программа "Теоретическая и математическая физика"
Источник: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)
Комментировать 0
Рецензировать 0
Скачать - 299,7 КБ
Enter the password to open this PDF file:
-
ÔÅÄÅ ÀËÜÍÎÅ
ÎÑÓÄÀ ÑÒÂÅÍÍÎÅ ÀÂÒÎÍÎÌÍÎÅ ÎÁ ÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó× ÅÆÄÅÍÈÅ ÂÛÑØÅ
Î ÎÁ ÀÇÎÂÀÍÈß ¾ÁÅË
Î ÎÄÑÊÈÉ
ÎÑÓÄÀ ÑÒÂÅÍÍÛÉ ÍÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÉ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅ ÑÈÒÅÒ¿ ( ÍÈÓ ¾ Áåë
Ó ¿ ) ÈÍÑÒÈÒÓÒ ÈÍÆÅÍÅ ÍÛÕ ÒÅÕÍÎËÎ
ÈÉ È ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ Êà åäðà òåîðåòè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ÑÔÅ È×ÅÑÊÈ ÑÈÌÌÅÒ È×ÍÛÅ ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÅ Ó ÀÂÍÅÍÈß ÄÈÂÅ
ÅÍÒÍÎ
Î ÒÈÏÀ ÄËß ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÌÀ
ÍÈÒÍÎ
Î ÌÎÌÅÍÒÀ Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå àêàäåìè÷åñêîé ñòåïåíè ìàãèñòðà Íàïðàâëåíèå ïîäãîòîâêè 03.04.02 Ôèçèêà, ïðîãðàììà ¾Òåîðåòè÷åñêàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ èçèêà¿ ×óðñèí Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷ Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü Ä. èç.-ìàò.í., ïðî . Âèð÷åíêî Þ.Ï. åöåíçåíò Ä. èç.-ìàò.í., ïðî . Êðàñèëüíèêîâ Â.Â. Áåëãîðîä 2016
Àííîòàöèÿ Íàéäåíû âñå âîçìîæíûå ýâîëþöèîííûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïñåâäîâåêòîðíîãî ïîëÿ M(x), x ∈ R3 , èìåþùèå äèâåðãåíòíûé òèï, êîâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé ïðîñòðàíñòâà R3 è òàêèå, ÷òî ¾ãåíåðàòîð¿ ýâîëþöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äè åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ñ ýòîé öåëüþ, ðåøåíà çàäà÷à î ïåðå÷èñëåíèè âñåõ âîçìîæíûõ àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûõ òåíçîðîâ âòîðîãî ïîðÿäêà, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé ìîíîìû òåíçîðíîé àëãåáðû ñ îäíèì ïîðîæäàþùèì ýëåìåíòîì ïñåâäîòåíçîðîì ïåðâîãî ðàíãà Mj , j = 1, 2, 3. Íà îñíîâå ýòèõ ìîíîìîâ íàéäåí îáùèé âèä ïîòîêà ïëîòíîñòè ïîëÿ M(x) êîòîðûé ñîäåðæèò ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå íå áîëåå ÷åì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Èç ïîëó÷åííîãî êëàññà ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé âûäåëåíû òå èç íèõ êîòîðûå îáëàäàþò èíâàðèàíòîì M2 (x, t) = M 2 = onst.  ðåçóëüòàòå, ãåíåðàòîð îáùåãî ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ, èç êîòîðûõ îäíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåíåðàòîð ýâîëþöèè â èçâåñòíîì óðàâíåíèè Ëàíäàó-Ëè øèöà, îïèñûâàþùåì ýâîëþöèþ ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà M(x, t) ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ìàãíåòèêà. Êëþ÷åâûå ñëîâà àëãåáðàè÷åñêàÿ íåçàâèñèìîñòü äè åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð èíâàðèàíò ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ïîòîê ïîëÿ ïëîòíîñòü ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ïñåâäîâåêòîð ïñåâäîñêàëÿð ïñåâäîòåíçîð ñèìâîë Ëåâè-×èâèòà òåíçîð òåíçîðíàÿ àëãåáðà óðàâíåíèå Ëàíäàó-Ëè øèöà ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå
Îãëàâëåíèå Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé 4 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü 5 Ââåäåíèå 6
ëàâà 1. 9 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è 1.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îïèñàíèå ñõåìû ðåøåíèÿ 9 1.2 Óðàâíåíèå Ëàíäàó-Ëè øèöà 12 1.3 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ìåòîä åå ðåøåíèÿ 14
ëàâà 2. Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ 19 ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà 2.1 Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðîâ 2.2 Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ
ëàâà 3. 3.1 Sij Ýâîëþöèîííûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà 19 23 30 Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë 3.2 Tijkl 30 Ýâîëþöèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà Çàêëþ÷åíèå Ëèòåðàòóðà 31 39 41
4 Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé  ðàáîòå ìû ïðèäåðæèâàåìñÿ ñëåäóþùèõ ïðàâèë ïðè óïîòðåáëåíèè øðè òîâ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ è îïåðàöèé íàä íèìè. • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ ( óíêöèîíàëîâ), äëÿ êîòîðûõ â ìàòåìàòèêå èìåþòñÿ óñòîÿâøèåñÿ àááðåâèàòóðû íà îñíîâå áóêâ ëàòèíñêîãî àë àâèòà, ìû óïîòðåáëÿåì øðè ò ¾roman¿ A, B, C, ...; a, b, , ... . Íàïðèìåð, Re è Im ðåàëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Åñëè òàêîâûõ óñòîÿâøèõñÿ àááðåâèàòóð íå èìååòñÿ, òî ìû èñïîëüçóåì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ðàçëè÷íûå øðè òû, â çàâèñèìîñòè îò ïðèðîäû îáúåêòà, ïåðå÷èñëåííûå íèæå. • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñòàíäàðòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòðóêòóð èñïîëüçóåòñÿ àæóðíûé øðè ò A, B, C, ..., íàïðèìåð, R ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, Z ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. • Îïåðàòîðû, îòîáðàæåíèÿ, óíêöèîíàëû îáîçíà÷àþòñÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè øðè òà ¾sanserif¿ A, B, C, .... • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ÷èñëîâûõ âåëè÷èí (ïàðàìåòðîâ, óíêöèé è èõ àðãóìåíòîâ) èñïîëüçóþòñÿ áóêâû ëàòèíñêîãî â øðè òå ¾itali ¿ a, b, c, ... è ãðå÷åñêîãî àë àâèòîâ. Ïðè ýòîì ëàòèíñêèå áóêâû i, j, k, l îáîçíà÷àþò öåëûå ÷èñëà. • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âåêòîðîâ æèðíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àë àâèòà. Èõ êîìïîíåíòû íóìåðóþòñÿ èíäåêñàìè i, j, k, l, m. Ïðè ýòîì ïðèíèìàåòñÿ òåíçîðíîå ñîãëàøåíèå î ñóììèðîâàíèè ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ ïàðíûì èíäåêñàì. • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ èñïîëüçóåòñÿ øðè ò ¾ alligraphi ¿ A, B, C, , ....
5 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü δij ñèìâîë Êðîíåêåðà εijk ñèìâîë Ëåâè-×èâèòà M ïñåâäîâåêòîðíîå ïîëå ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà Mj ïñåâäîâåêòîðíîå ïîëå ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà H âåêòîð âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ Hj âåêòîð âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ x ðàäèóñ-âåêòîð ïðîñòðàíñòâåííîé òî÷êè â R3 t âðåìåííîé ïàðàìåòð F ïîëå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë Fj ïîëå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë Sij ïñåâäîòåíçîðíîå ïîëå ïëîòíîñòè ïîòîêà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà Tijkl òåíçîð êîý èöèåíòîâ ïëîòíîñòè ïîòîêà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà n âîëíîâîé âåêòîð ïëîñêîé âîëíû A àìïëèòóäà ïëîñêîé âîëíû
6 1. Ââåäåíèå Îñíîâîïîëàãàþùåé ïðîáëåìîé íåðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ, êàê èçâåñòíî, îðìóëèðîâêà ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äëÿ ïëîòíîñòåé èíòåíñèâíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, âïîëíå õàðàêòåðèçóþùèõ ëîêàëüíî ñîñòîÿíèå ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííîé òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â ïðåäñòàâëåíèè åå â âèäå ñïëîøíîé ñðåäû. Îñíîâíûì òðåáîâàíèåì, êîòîðîå ïðåäúÿâëÿþòñÿ ê ðåøåíèþ òàêîé çàäà÷è äëÿ êàæäîé èêñèðîâàííîé èçè÷åñêîé ñðåäû, ïðè èêñàöèè ïîëíîãî íàáîðà åå ëîêàëüíûõ èçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, ÿâëÿåòñÿ ñîáëþäåíèå ïðèíöèïà ìèíèìàëüíîñòè: âûâîä ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äîëæåí áûòü îñíîâàí íà äîâîëüíî îáùèõ èçè÷åñêèõ ïðèíöèïàõ, èìåþùèõ óíèâåðñàëüíûõ õàðàêòåð äëÿ âñåõ èçè÷åñêèõ ñðåä. Èìåííî ðåøåíèþ òàêîé çàäà÷è ïðèìåíèòåëüíî ê åððîìàãíèòíîé ñðåäå ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ ðàáîòà. Ïðè ýòîì ìû çäåñü îãðàíè÷èâàåìñÿ òîëüêî ðàññìîòðåíèåì òàê íàçûâàåìûõ ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûõ åððîìàãíåòèêîâ. Êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [1℄), ëîêàëüíîå òåðìîäèíàìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå äèýëåêòðè÷åñêîé åððîìàãíèòíîé ñðåäû â ïðåíåáðåæåíèè åå ìåõàíè÷åñêèìè äå îðìàöèÿìè, èçìåíåíèÿìè ñî âðåìåíåì t êîíöåíòðàöèé âîçìîæíî èìåþùèõñÿ â íåé ïðèìåñíûõ àòîìîâ, à òàêæå ïðè ïðåíåáðåæåíèè â íåé ìàãíèòîýëåêòðè÷åñêèìè ý åêòàìè ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ ëîêàëüíîé òåìïåðàòóðîé T (x, t) è ïëîòíîñòüþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà M(x, t) â êàæäîé ïðîñòðàíñòâåííîé òî÷êå ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì x. Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå ñî âðåìåíåì ëîêàëüíîãî òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ îïèñûâàåòñÿ èçìåíåíèåì èçè÷åñêèõ ïîëåé T (x, t) è M(x, t).  íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ òîëüêî èçó÷åíèåì âîçìîæíûõ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äëÿ ïîëÿ M(x, t).  ðàìêàõ êëàññè÷åñêîãî ïîäõîäà äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà M(x, t), êàê èçâåñòíî [1℄, èñïîëüçóåòñÿ îñíîâíîå óðàâíåíèå åððîäèíàìèêè óðàâíåíèå Ëàíäàó-Ëè øèöà, êîòîðîå â ñëó÷àå ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî åððîìàãíåòèêà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå [1, 2℄ i Ṁ(x, t) = γ[M(x, t), ∆M(x, t) + H(x, t) .
7 Èñïîëüçóÿ òåíçîðíûå îáîçíà÷åíèÿ ýòî óðàâíåíèå ïðåäñòàâèì â âèäå h i Ṁj (x, t) = γεjkl Mk (x, t) ∆Ml (x, t) + Hl (x, t) , j = 1, 2, 3. (1) Çäåñü M(x, t) = hM1 (x, t), M2(x, t), M3(x, t)i âåêòîðíîå ïîëå ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà, H(x, t) = hH1 (x, t), H2(x, t), H3(x, t)i íàïðÿæåííîñòü âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâåííîé òî÷êå ñ ðàäèóñâåêòîðîì x â ìîìåíò âðåìåíè t, γ = onst, εjkl óíèâåðñàëüíûé àíòèñèììåòðè÷íûé ïñåâäîòåíçîð òðåòüåãî ðàíãà. Ïðè çàïèñè ýòîãî óðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàíî ïðàâèëî òåíçîðíîé àëãåáðû î ñóììèðîâàíèè ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì (ñì., íàïðèìåð, [3℄). Êðîìå òîãî, âñþäó äàëåå ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî, âî âñåõ îðìóëàõ, ñâîáîäíûå (¾ãîâîðÿùèå¿) íèæíèå èíäåêñû i, j, k, l, m, n ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ {1, 2, 3}. Òîò àêò, ÷òî îïèñûâàåòñÿ äèíàìèêà èìåííî ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî åððîìàãíåòèêà, îòðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî óðàâíåíèå (1) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðîñòðàíñòâåííûõ âðàùåíèé âåêòîðà M ïðè H(x, t) = 0. Îáû÷íî, ýòîò àêò â òåîðåòè÷åñêîé èçèêå âûðàæàþò óòâåðæäåíèåì î òîì, ÷òî â óðàâíåíèè (3) H(x, t) = 0 íå èñïîëüçóþòñÿ íèêàêèå èíûå òåíçîðíûå èçè÷åñêèå ïîëÿ, êðîìå ñàìîãî ïîëÿ M(x, t). Íåñìîòðÿ íà ïðèçíàííóþ â òåîðèè ìàãíåòèçìà àäåêâàòíîñòü äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1) è åãî îáùåóïîòðåáèòåëüíîñòü ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ åððîäèíàìèêè, îíî, êàê èçâåñòíî, îáëàäàåò ïëîõèì, ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêèì ñâîéñòâîì. Ýòî óðàâíåíèå áåçäèññèïàòèâíî, è ïîýòîìó íå îïèñûâàåò äèíàìèêó ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà â åððîìàãíèòíîé ñðåäå íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ âðåìåíè, êîãäà äèññèïàòèâíûå ïðîöåññû íà÷èíàþò èãðàòü ñóùåñòâåííóþ ðîëü è ïðîèñõîäèò, âñëåäñòâèå íåðàâíîâåñíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà â ñðåäå, ïåðåêà÷êà ÷àñòè ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ðàçëè÷íûì îáðàçîì íàìàãíè÷åííûõ ìàëûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ îáëàñòåé ñðåäû â òåïëîâóþ ýíåðãèþ. Âîçíèêàåò âîïðîñ, êàêèì îáðàçîì íóæíî èçìåíèòü óðàâíåíèå (1) òàê, ÷òîáû óñòðàíèòü ýòîò äå åêò [4℄. Ïðîñòîé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ, â âèäå äîáàâëåíèÿ â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) ñëàãàåìîãî â âèäå äè åðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà âòîðîãî ïîðÿäêà ñ îòðèöàòåëüíûì ñèìâîëîì, êîòîðîå îïèñûâàëî áû íà åíîìåíîëîãè÷åñêîì óðîâíå ïðîöåññû âçàèìíîãî ¾òðåíèÿ ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ¿ ñðåäû, íàõîäÿùèõñÿ â ðàçëè÷íûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ òî÷êàõ ñðåäû, íåâîçìîæåí. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èìååòñÿ âàæíîå ñ èçè÷åñêîì òî÷êè çðåíèÿ òðåáîâàíèå, êîòîðîìó äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ëþáûå ñëàãàåìûå, äîáàâëÿåìûå â ïðàâóþ
8 ÷àñòü óðàâíåíèÿ. åøåíèÿ èçìåíåííîå, òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äîëæíû áûòü òàêèìè, ÷òîáû, â òå÷åíèå ýâîëþöèè ñèñòåìû, ñîõðàíÿëàñü âåëè÷èíà M2(x, t) = M 2 = onst.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ ïîäõîä ê ðåøåíèþ óêàçàííîé ïðîáëåìû íà îñíîâå ñ îðìóëèðîâàííûõ äîâîëüíî îáùèõ èçè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Íà ýòîì ïóòè íàéäåí îáùèé âèä ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ïîëÿ M(x, t), óäîâëåòâîðÿþùåãî ñ îðìóëèðîâàííîìó óñëîâèþ íàëè÷èÿ èíâàðèàíòà M2 (x, t) = M 2 äâèæåíèÿ ñèñòåìû, â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòî óðàâíåíèå ñîäåðæèò ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîêàçàíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âîçìîæíû òîëüêî îáîáùåííûå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå äîïîëíèòåëüíî ê ñëàãàåìîìó ñîäåðæàò ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå ([∇, M], ∇)M.
9
ëàâà 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È 1.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îïèñàíèå ñõåìû ðåøåíèÿ àçâèòèå îñíîâ ìåõàíèêè è ýëåêòðîäèíàìèêè ñïëîøíûõ ñðåä, â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ, áûëî ñîñðåäîòî÷åíî íà ïðîáëåìå êîíñòðóèðîâàíèÿ àäåêâàòíûõ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè ñðåä ñî ñëîæíîé ñòðóêòóðîé. åøåíèå ýòîé ïðîáëåìû ñòàëî î÷åíü âîñòðåáîâàííûì â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ðàçâèòèå èçèêè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ, åñòåñòâåííûì îáðàçîì, ïðèâåëî ê èçó÷åíèþ ñðåä, ïðåòåðïåâàþùèõ ìíîãî÷èñëåííûõ àçîâûå ïðåâðàùåíèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ ñðåäû èçìåíÿëè ñâîè êà÷åñòâåííûå ñâîéñòâà. Ïðè ýòîì äëÿ õàðàêòåðèçàöèè ëîêàëüíîãî òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ êàæäîé òàêîé ñðåäû ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûå èíòåíñèâíûå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà è êîòîðûå ñâÿçàíû, êàê ïðàâèëî, ñî ñïîíòàííûì íàðóøåíèåì êàêîé-ëèáî ñèììåòðèè. Åñòåñòâåííûì ñëåäñòâèåì èçó÷åíèÿ òåðìîäèíàìèêè ñðåä, õàðàêòåðèçóåìûõ, íàðÿäó ñ òðàäèöèîííûìè èíòåíñèâíûìè òåðìîäèíàìè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè òàêèìè êàê ïëîòíîñòü, òåìïåðàòóðà, êîíöåíòðàöèè ðàçëè÷íûõ õèìè÷åñêèõ êîìïîíåíòîâ è ò.ä., ðàçëè÷íûìè äîïîëíèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà ðàçëè÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïðèðîäû ÿâèëîñü òî, ÷òî ïîÿâèëàñü íåîáõîäèìîñòü ïîñòðîåíèÿ íåðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè òàêèõ ñðåä. Íà ïóòè ðåøåíèÿ óêàçàííîé ïðîáëåìû âîçíèê òàê íàçûâàåìûé ãàìèëüòîíîâ ïîäõîä ïîñòðîåíèÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ñðåä ñî ñïîíòàííî íàðóøåííîé ñèììåòðèåé (ñì., íàïðèìåð, [5℄). Ñ îäíîé ñòîðîíû òàêîé ïîäõîä îêàçàëñÿ î÷åíü ïëîäîòâîðíûì ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ èç óêàçàííîãî âûøå êðóãà, à, ñ äðóãîé ñòîðîíû, îêàçàëîñü, ÷òî îí îáëàäàåò ðÿäîì íåäîñòàòêîâ è, ïî âèäèìîìó, åãî îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëèøêîì ñòåñíèòåëüíûìè ïðè ïîñòðîåíèè òàêèõ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïðåäñêàçàíèÿ êîòîðûõ ïîëíîñòüþ ñîãëàñîâûâàëèñü áû ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè.
10 Ïî ýòîé ïðè÷èíå â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàçâèâàåòñÿ àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äëÿ òâåðäîòåëüíûõ ñðåä ñ íàðóøåííîé ñèììåòðèåé. Îí îñíîâàí íà ïðîñòîé èäåîëîãè÷åñêîé ñõåìå, â ðàìêàõ êîòîðîé, â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè (ñì. [6℄). Ýòà ñõåìà âêðàòöå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1. Ôèêñèðóåòñÿ ñïèñîê èíòåíñèâíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ {ξp ; p = 1 ÷ N }, êîòîðûé îäíîçíà÷íî, ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, õàðàêòåðèçóåòñÿ ëîêàëüíîå òåðìîäèíàìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå èçó÷àåìîé ñðåäû. 2. Ïðè ïîñòðîåíèè ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé íåðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìèêè âûáðàííûå èíòåíñèâíûå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê çàâèñÿùèå îò âðåìåíè ïîëÿ {ξp(x, t); p = 1 ÷ N }, x ∈ R3 , çàäàííûå â êàêîé-ëèáî îáëàñòè åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà. 3. Èñêîìûå ýâîëþöèîííûå óðàâíåíèÿ äëÿ çà èêñèðîâàííîãî ñïèñêà ïîëåé ñòðîÿòñÿ â âèäå ξ˙p (x, t) = Lp [ξ](x, t) . (2) Îíè ÿâëÿþòñÿ òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíûìè, ÷òî ïðèâîäèò ê îòñóòñòâèþ ÿâíîé çàâèñèìîñòè îïåðàòîðîâ Lp [ξ] îò ïðîñòðàíñòâåííîé òî÷êè. 4. Ñïèñîê ïîëåé ξp (x, t), p = 1 ÷ N äîïóñêàåò ðàçáèåíèå íà ãðóïïû òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïîëÿ êàæäîé ãðóïïû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû âðàùåíèé O3 åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà. 5. Ñîâîêóïíîñòü ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ξ˙p (x, t) = Lp [ξ], p = 1 ÷ N ÿâëÿåòñÿ êîâàðèàíòíîé ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ âðàùåíèé ãðóïïû O3 . 6. Êàæäîå èç ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ëîêàëüíî, òî åñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëèíåéíûå îïåðàòîðû Lp [ξ] ÿâëÿþòñÿ äè åðåíöèàëüíûìè, êîòîðûå ïðåäñòàâèìû â âèäå Lp [ξ] = ∇k Spk [ξ] + fp(ξ1 , ξ2, ..., ξN ) , (3) ãäå fp óíêöèè îò N ïåðåìåííûõ è êàæäûé äè åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð Spk [ξ], p = 1 ÷ N ïðåäñòàâëÿåò âåêòîð êîìïîíåíòàìè, íóìåðóåìûìè k = 1, 2, 3, ïëîòíîñòè ïîòîêà èçè÷åñêîãî ïîëÿ ξp (x, t) â ïðîñòðàíñòâåííî âðåìåííîé òî÷êå hx, ti. Ïåðå÷èñëåííûå ïîëîæåíèÿ îïðåäåëÿþò òîëüêî ëèøü îáùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé. Ïðè ïîñòðîåíèè äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ êîíêðåòíóþ èçè÷åñêóþ ñèòóàöèþ òðåáóþòñÿ òàêæå åùå ñëåäóþùèå âàæíûå îãðàíè÷åíèÿ.
11 7. Äè åðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû Spk [ξ] èìåþò ïîðÿäîê íå âûøå ïåðâîãî. Ýòî òðåáîâàíèå ñâÿçàíî ñ ïðåäïîëàãàåìîé ìàëîñòüþ ãðàäèåíòîâ èçè÷åñêèõ ïîëåé ξp , p = 1 ÷ N , ÷òî, êàê ïðàâèëî, äîïóñêàåòñÿ â èçè÷åñêèõ òåîðèÿõ. 8. Óðàâíåíèÿ (2) èìåþò äèâåðãåíòíûé òèï, òî åñòü fp ≡ 0, p = 1 ÷ N . 9. Äîáàâëÿåòñÿ ñïèñîê àïðèîðíûõ ëîêàëüíûõ èíâàðèàíòîâ äâèæåíèÿ óíêöèé îò ïîëåé ξp , p = 1 ÷ N , êîòîðûå ñîõðàíÿþò ñâîè çíà÷åíèÿ íà òðàåêòîðèÿõ, îïðåäåëÿåìûõ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû óðàâíåíèé (2). Òîãäà, íà îñíîâå ýòîãî ñïèñêà èíâàðèàíòîâ, èç âñåãî êëàññà ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì 1. - 6., âûäåëÿþòñÿ òîëüêî òå, êîòîðûå îáëàäàþò âñåìè èíâàðèàíòàìè èç óêàçàííîãî ñïèñêà.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû ïðîäåìîíñòðèðóåì ý åêòèâíîñòü îïèñàííîé ñõåìû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î ïîñòðîåíèè ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ìàãíèòîóïîðÿäî÷åííîé ñðåäû â ïðåíåáðåæåíèè èçìåíåíèÿìè åå òåïëîâîãî ñîñòîÿíèÿ.
12 1.2. Óðàâíåíèå Ëàíäàó-Ëè øèöà  íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû îïèøåì êëàññ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ìîãóò, â ïðèíöèïå, ïðåòåíäîâàòü íà òî, ÷òîáû îïèñûâàòü äèíàìèêó ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé åððîìàãíèòíîé ñïëîøíîé ñðåäû. Ïðè ðåøåíèè òàêîé çàäà÷è ìû áóäåì ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ ïåðå÷èñëåííûìè â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ïîëîæåíèÿìè 1-9. Ïîêàæåì, ñíà÷àëà, ÷òî ñ îðìóëèðîâàííûå íàìè ïîëîæåíèÿ íå âõîäÿò â ïðîòèâîðå÷èå ñ èìåþùåéñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèåé åððîìàãíåòèçìà. À èìåííî, ïîêàæåì, ÷òî èñêîìûé êëàññ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé äîëæåí ñîäåðæàòü, êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé, óðàâíåíèå (1) ïðè óñëîâèè Hj (x, t) = 0. Ñ ýòîé öåëüþ, ïðåîáðàçóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì óðàâíåíèå (1), êîòîðîå ïðè óêàçàííîì óñëîâèè èìååò âèä Ṁj (x, t) = γεjkl Mk (x, t)∆Ml (x, t) . (3) Sjk (x, t) = γεjml Mm (x, t)∇k Ml (x, t) , (4) Îïðåäåëèì ïîëå Ýòî ïîëå â êàæäîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êå hx, ti ñ ðàäèóñ âåêòîðîì x ñîñòàâëÿþò ïñåâäîòåíçîð âòîðîãî ðàíãà, ââèäó òîãî, ÷òî àëãåáðàè÷åñêèé îáúåêò òðåòüåãî ðàíãà (ñì. [7℄) ñèìâîë Ëåâè-×èâèòà εjkl ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîòåíçîðîì, à çíà÷åíèÿ ïîëÿ Mj (x, t) â êàæäîé ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííîé òî÷êå ïðåäñòàâëÿþò ïñåâäîâåêòîð. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèìâîë Ëåâè-×èâèòà εjkl ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïîâîðîòà ïðîñòðàíñòâà R3 ïðåîáðàçóåòñÿ êàê òåíçîð (â äàííîì ñëó÷àå, åãî çíà÷åíèÿ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè è ðàâíûìè ±1), à ïðè ïðåîáðàçîâàíèè îòðàæåíèÿ èêñèðîâàííîé îñè ïðîñòðàíñòâà R3 , ñèìâîë Ëåâè-×èâèòà εjkl â îòëè÷èå îò òåíçîðà èçìåíÿåò çíàê. Çíà÷åíèÿ æå ïîëÿ Mj (x, t), íàîáîðîò, â îòëè÷èå îò âåêòîðà, ïðè îòðàæåíèÿõ ïðîñòðàíñòâà R3 îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, à ïðè íåïðåðûâíûõ ïîâîðîòàõ ïðîñòðàíñòâà ïðåîáðàçóþòñÿ êàê âåêòîð. Íàêîíåö, äè åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ∇k ïðåîáðàçóåòñÿ êàê âåêòîð ïðè îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïðîñòðàíñòâà R3 . Çàìåòèì, ÷òî ï åâäîòåíçîðíîå ïîëå Sjk (x, t), êîòîðîå ìîæíî íàçâàòü ïëîòíîñòüþ ïîòîêà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåíçîðíîå
13 ïðîèçâåäåíèå ñ ïîñëåäóþùåé ñâåðòêîé ïî îäíîìó èç èíäåêñîâ òåíçîðà âòîðîãî ðàíãà γεjml Mm (x, t) è ïñåâäîòåíçîðà ∇k Ml (x, t), òî åñòü äëÿ ýòîãî ïñåâäîòåíçîðíîãî ïîëÿ âûïîëíåíî óñëîâèå 7. èç ñïèñêà, ïðåäñòàâëåííîãî â ïóíêòå 1.2. Óðàâíåíèå (3) ïðåäñòàâèìî â äèâåðãåíòíîì âèäå Ṁj (x, t) = ∇k Sjk (x, t) , (5) òàê êàê ÿâíîå âû÷èñëåíèå äèâåðãåíöèè ∇k Sjk (x, t) äàåò ∇k Sjk (x, t) = γεjml [∇k Mm (x, t)][∇k Ml (x, t)] + γεjkl Mk (x, t)∆Ml (x, t) , ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå òîæäåñòâåííî ðàâíî íóëþ, êàê ñâåðòêà ïî èíäåêñàì m, l àíòèñèììåòðè÷íîãî ïñåâäîòåíçîðà εjml è ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà [∇k Mm (x, t)][∇k Ml (x, t)]. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ óðàâíåíèÿ (3) âûïîëíåíî ïîëîæåíèå 8. Íàêîíåö, èç ÿâíîãî âèäà (3), ó÷èòûâàÿ òåíçîðíîå òîæäåñòâî εjkl Ml Mk = 0, íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî Ml2 (x, t) = M 2 ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì äâèæåíèÿ. Ïîëîæåíèÿ 1.-6. äëÿ óðàâíåíèÿ (3) âûïîëíÿþòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì.
14 1.3. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ìåòîä åå ðåøåíèÿ Ñîãëàñíî îïèñàííîé â ï. 1.1. ïðîãðàììå, ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è îá îïèñàíèè êëàññà âñåõ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì 1-9 ìîæíî ðàçáèòü íà äâà ýòàïà Íà ïåðâîì ýòàïå íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü òàêîå îáùåå àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ïñåâäîòåíçîðà Sjk (x, t), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ¾ëîêàëüíûì¿ óíêöèîíàëîì îò Mj (x, t), òî åñòü çàâèñÿùèì òîëüêî îò çíà÷åíèé ìàãíèòíîãî ìîìåíòà Mj (x, t) è çíà÷åíèé åãî ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ â òîé æå òî÷êå x. Ïðè ýòîì óíêöèîíàë Sjk (x, t) äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü, ïî èçè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì, òðåáîâàíèþ ëèíåéíîñòè ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïðîèçâîäíûì ïîëÿ Mj (x, t). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ýâîëþöèîííûìè óðàâíåíèÿìè âèäà (2) íå áîëåå âòîðîãî ïîðÿäêà, ÷òî ñâÿçàíî ñ èçè÷åñêèì ïðåäïîëîæåíèåì î ìàëîñòè ïðîñòðàíñòâåííûõ ¾ãðàäèåíòîâ¿ ó èçó÷àåìîé èçè÷åñêîé âåëè÷èíû. Ñîîáðàæåíèÿ òàêîãî ðîäà îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè åíîìåíîëîãè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ñì., íàïðèìåð, [6℄)  ðåçóëüòàòå, ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è áóäåò îïèñàí âåñü êëàññ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé âèäà (5), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâàíèþ êîâàðèàíòíîñòè ïðè äåéñòâèè ãðóïïû âðàùåíèé O3 , êîãäà îáå ÷àñòè êàæäîãî èç óðàâíåíèé ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè äåéñòâèè ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû êàê ïñåâäîâåêòîðû. Äàëåå, ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è îá îïèñàíèè îáùåãî âèäà ïñåâäîòåíçîðà Sij , íóæíî âûäåëèòü èç íåãî êëàññ òîëüêî òàêèõ óíêöèîíàëîâ Sij (x, t), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò òîæäåñòâó Mj ∇k Sjk = 0. Íàëè÷èå ýòîãî òîæäåñòâà îáåñïå÷èò ñîõðàíåíèå êâàäðàòà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà â êàæäîé ïðîñòðàíñòâåííîé òî÷êå ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì x. Îïèøåì òåïåðü êîíêðåòíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷, êîòîðûå ïîäëåæàò ðåøåíèþ. Ëþáîé ëîêàëüíûé óíêöèîíàë Sij (x, t) îò ïîëÿ Mj (x, t) , êàê ýëåìåíò òåíçîðíîé àëãåáðû, ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ëèíåéíî íåçà(a) âèñèìûõ ìîíîìîâ Sij (x, t), a = 1 ÷ N ýòîé àëãåáðû, êàæäûé èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîòåíçîðîì â êàæäîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êå. Ïðè ýòîì ïîä ìîíîìàìè ìû ïîíèìàåì àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, ñîñòàâëåííûå èç òåíçîðîâ, âûáðàííûõ èç èêñèðîâàííîãî íàáîðà îáðàçóþùèõ òåí-
15 çîðíîé àëãåáðû, ïîñðåäñòâîì îïåðàöèè òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ è îïåðàöèè ñâåðòêè è íå ïðè ýòîì íå èñïîëüçóåòñÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ òåíçîðîâ. Äàëåå, òàê êàê çíà÷åíèÿ óíêöèîíàëîâ âñåõ òåíçîðíûõ âåëè÷èí âû÷èñëÿþòñÿ â èêñèðîâàííîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êå, òî, åñëè ýòî íå âûçûâàåò íåäîðàçóìåíèé, ìû áóäåì îïóñêàòü ïðîñòðàíñòâåííî âðåìåííûå àðãóìåíòû. (a) Êàæäûé èç ìîíîìîâ Sij , a = 1 ÷ N êîíñòðóèðóåòñÿ èç îáðàçóþùèõ àëãåáðû íà îñíîâå îïåðàöèé òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ñâåðòêè. Ìíîæåñòâî òàêèõ ìîíîìîâ, áåç äîïîëíèòåëüíûõ óòî÷íåíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íî. Ïîýòîìó äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ âñåõ âîçíèêàþùèõ âîçìîæíîñòåé ïîñòðîåíèÿ òåíçîðà óêàçàííàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è íóæäàåòñÿ â ñëåäóþùåì óòî÷íåíèè. Âî-ïåðâûõ, òàê êàê ìîíîìû, åñëè îíè ñîäåðæàò ïðîèçâîäíûå ∇k Ml , òî îíè äîëæíû áûòü ëèíåéíû ïî çíà÷åíèÿì ýòèõ ïðîèçâîäíûõ. Ïîýòîìó â êàæäûé òàêîé ìîíîì îïåðàòîð äè åðåíöèðîâàíèÿ âõîäèò îäèí ðàç. Ïðè ýòîì âàæåí ïîðÿäîê , â êîòîðîì ðàññòàâëÿþòñÿ ìåæäó ñîáîé ýëåìåíòû Mj è ∇k â òåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè. Îäíàêî, ââèäó ñïðàâåäëèâîñòè îðìóëû äè åðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîì ∇k , ∇k Mj1 ...Mjs = s Y X Mjm ∇k Mjl l=1 m6=l â ðàçëîæåíèè ïñåâäîòåíçîðà Sij ïî ëèíåéíî íåçàâèñèìûì ìîíîìàì ìîæ(a) íî ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäûé èç ìîíîìîâ Sij , åñëè îí ñîäåðæèò îïåðàòîð ∇k , (a) (a) èìååò âèä Sij = Tijkl ∇k Ml , ãäå â óêàçàííîé ñâåðòêå ∇k Ml ÿâëÿåòñÿ ïñåâäî(a) òåíçîðîì è, ñëåäîâàòåëüíî, Tijkl äîëæíû áûòü ìîíîìàìè ïðèíàäëåæàùèìè òåíçîðíîé àëãåáðå, òî åñòü òåíçîðàìè ÷åòâåðòîãî ðàíãà. Òîãäà êàæäûé óíêöèîíàë Tij (x, t), ñîäåðæàùèé îïåðàòîð ∇k ïðåäñòàâèì â âèäå X (a) Sij (x, t) = fa Tijkl (x, t)∇k Ml (x, t) . (6) a  ýòîì ðàçëîæåíèè êîý èöèåíòû fa ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè îòíîñèòåëü(a) íî ãðóïïû O3 è òåíçîðû ÷åòâåðòîãî ðàíãà Tijkl (x, t) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûå â ðàìêàõ òåíçîðíîé àëãåáðû ìîíîìû îò çíà÷åíèé ïîëÿ Mj (x, t), âû÷èñëåííûå â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé òî÷êå hx, ti. (a) Äëÿ îãðàíè÷åíèÿ âîçìîæíîñòåé âûáîðà ìîíîìîâ Tijkl ïðèìåì ñëåäóþ(a) ùåå ñîãëàøåíèå. Ìîíîìû Tijkl ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ýêâèâàëåíòíûå, åñëè
16 îíè îòëè÷àþòñÿ íà ìíîæèòåëü, âîçìîæíî çàâèñÿùèé îò çíà÷åíèÿ ïîëÿ Mj , íî êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðåîáðàçîâàíèé âðàùåíèÿ ïðîñòðàíñòâà R3 . Ýòî ñîãëàøåíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ëþáîì ýâîëþöèîííîì åíîìåíîëîãè÷åñêîì óðàâíåíèè äëÿ èçè÷åñêîé âåëè÷èíû ïðèñóòñòâóþò íåêîòîðûå íåèçâåñòíûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûìè óíêöèÿìè îò åå çíà÷åíèé â òîé æå ñàìîé ïðîñòðàíñòâåííîé òî÷êå. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî íå ðàçëè÷àòü ëþáûå äâà ìîíîìà, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ìíîæèòåëåì â âèäå ñêàëÿðíîé óíêöèè îò Mj , è ñ÷èòàòü èõ ýêâèâàëåíòíûìè. Ïðèíÿòîå ñîãëàøåíèå îãðàíè÷èâàåò ìíîæåñòâî T âîçìîæíûõ ëèíåéíî (a) íåçàâèñèìûõ ìîíîìîâ Tijkl , ïîñòðîåííûõ íà îñíîâå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà îáðàçóþùèõ òåíçîðíîé àëãåáðû, äåëàÿ åãî êîíå÷íûì. Îáîçíà÷èì ïîñðåäñòâîì N ÷èñëî åãî ýëåìåíòîâ. Âûáîð îáðàçóþùèõ îïðåäåëÿåòñÿ òðåáîâàíèåì, òåì, ÷òî ðåçóëüòèðóþùåå âûðàæåíèå äëÿ óíêöèîíàëà Sij äîëæ(a) íî áûòü ñ åðè÷åñêè êîâàðèàíòíûì. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, ìîíîìû Tijkl òàêæå äîëæíû áûòü ñ åðè÷åñêè êîâàðèàíòíûìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíè äîëæíû áûòü ñêîíñòðóèðîâàíû òîëüêî èç ïñåâäîâåêòîðà Mj ñ èñïîëüçîâàíèåì óíèâåðñàëüíûõ (íåèçìåííûå ïðè íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ èç O3 ) òåíçîðà δjk è ïñåâäîòåíçîðà εjkl (ñèìâîë Ëåâè-×èâèòòà). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå (a) ìîíîìû Tijkl ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîëóãðóïïû ñ îïåðàöèÿìè òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ è ñâåðòêè, ó êîòîðîé ïñåâäîâåêòîð Mj è óíèâåðñàëüíûå òåíçîð δij è ïñåâäîòåíçîð εijk ÿâëÿþòñÿ åå îáðàçóþùèìè. Îïèøåì òåïåðü ñòðàòåãèþ ðåøåíèÿ çàäà÷è. (a) 1). Ñòðîèòñÿ ìíîæåñòâî T ëèíåéíî íåçàâèñèìûå òåíçîðû Tijkl , a = 1÷N ÷åòâåðòîãî ðàíãà â òåíçîðíîé àëãåáðå, ïîðîæäàåìîé òåíçîðîì δij , ïñåâäîòåíçîðîì εijk è ïñåâäîâåêòîðîì Mi . Ïðè ýòîì ïåðåñòàíîâêà ëþáîé ïàðû (a) ñâîáîäíûõ èíäåêñîâ â èêñèðîâàííîì ýëåìåíòå Tijkl ïðèâîäèò ê äðóãîìó åå ýëåìåíòó, åñëè òîëüêî îáà èíäåêñà íå ïðèíàäëåæàò òåíçîðó δ , ëèáî ïñåâäîòåíçîðó ε. 2). Ïîñëå ýòîãî, èç ìíîæåñòâà âñåõ ïñåâäîòåíçîðîâ âòîðîãî ðàíãà Sij = (a) (a) Tijkl ∇k Ml , Tijkl ∈ T, ïîëó÷åííûõ ïîñðåäñòâîì ñâåðòêè ïî ïàðå èíäåêñîâ âûáèðàþòñÿ âñå ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âûðàæåíèÿ. Èìåííî ýòè âûðàæåíèÿ, ïðè ïîäñòàíîâêå èõ â (6), ïðåäñòàâëÿþò îáùóþ îðìó ïîòîêà ïîëÿ Mj . Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ïîòîêîâ ïîñðåäñòâîì S. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîâ â S ðàâíî N . 3) Ê êàæäîìó ïñåâäîòåíçîðó Sij ∈ S ïðèìåíÿåòñÿ îïåðàöèÿ ñâåðòêè ñ
17 âåêòîðîì ∇j . Ïðè ýòîì îïåðàòîð ∇j çàïèñûâàåòñÿ ñëåâà îò Sij .  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ïñåâäîâåêòîðîâ Fi = ∇j Sij . Ýòè ïîëÿ Fi (x, t) áóäåì íàçûâàòü ¾òåðìîäèíàìè÷åñêèìè¿ ñèëàìè. Ïðè÷åì ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî, âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî òåíçîðîâ, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ ïîñðåäñòâîì ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ñâåðòêè ê êàæäîìó ýëåìåíòó ñîâîêóïíîñòè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðîâ ìîæåò ïðèâîäèòü ê ñîâîêóïíîñòè ëèíåéíî çàâèñèìûõ òåíçîðîâ, â ìíîæåñòâå âñåõ âîçìîæíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë äîëæíî áûòü ïðîèçâåäåíî âûäåëåíèå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ. Ýòó ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñîâîêóïíîñòü îáîçíà÷èì ïîñðåäñòâîì F. Íà ýòîì ïåðâûé ýòàï ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà âñåõ âîçìîæíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë, óïðàâëÿþùèõ ýâîëþöèåé ïñåâäîâåêòîðíîãî ïîëÿ Mi (x) çàâåðøàåòñÿ. Äàëåå, ðåøàåòñÿ çàäà÷à î ïîñòðîåíèè òàêîãî ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ïîëÿ Mi (x, t), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò ñïåöèàëüíîìó îãðàíè÷åíèþ, êîòîðîå âûðàæàåòñÿ â âèäå àíàëèòè÷åñêîé ñâÿçè äëÿ åãî êîìïîíåíò. Ýòà ñâÿçü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðàë äâèæåíèÿ ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ Mi (x, t)Mi(x, t) = M 2 . Êðîìå òîãî, ìû ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü óäîâëåòâîðåíèÿ ðåøåíèÿìè ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ óñëîâèþ îòñóòñòâèÿ èñòî÷íèêîâ ïîëÿ Mj (x, t), êîãäà ñâÿçü, êîòîðîé äîëæíû áûòü ïîä÷èíåíû ðåøåíèÿ èìååò âèä (∇, M) ≡ Mi (x)∇i Mi (x) = 0. åøåíèå ïåðâîé çàäà÷è ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. 4). Óñòàíàâëèâàþòñÿ òå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèëû Fi (x) èç ñîâîêóïíîñòè F, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî òîæäåñòâî Mi (x)Fi(x) = 0 ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà Mi2 (x) = onst. Òàê êàê íàëè÷èå Mi2 (x) = onst ìîæåò ïðèâåñòè ê ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè â âûäåëåííîé ñîâîêóïíîñòè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë, òî èç íåå âûäåëÿåòñÿ, äàëåå, ëèíåéíî íåçàâèñèìûé íàáîð. Îáîçíà÷èì ýòîò íàáîð òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë ïîñðåäñòâîì F0 . 5). Íàáîð C ñêàëÿðíûõ óíêöèé Mi (x)Fi (x), F \ F0 ïðè ó÷åòå ðàâåíñòâà 2 Mi (x) = onst ìîæåò ïîÿâèòüñÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü. Ïðè ðåàëèçàöèè òàêîãî ïîëîæåíèÿ â ýòîì ìíîæåñòâå âûäåëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûé íàáîð C0 òàê, ÷òî óíêöèè èç C âûðàæàþòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé óíêöèé (ñ ó÷åòîì Mi2 (x) = onst) èç íàáîðà C0 . Òàêèì îáðàçîì, ïîëóP ÷àþòñÿ âñå ëèíåéíî íåçàâèñèìûå òîæäåñòâà âèäà Mi (x) a α(a) Fia (x) = 0, ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî íàáîðó C. Êàæäîìó òàêîìó òîæäåñòâó
18 ñîîòâåòñòâóåò íàáîð êîý èöèåíòîâ {α(a) }. 6). Íà îñíîâå íàáîðîâ êîý èöèåíòîâ {α(a) } ñòðîèòñÿ íàáîð Fc òåðìîP (c) (a) äèíàìè÷åñêèõ ñèë Fj = a αa Fi (x), íàëè÷èå êîòîðûõ â ýâîëþöèîííîì óðàâíåíèè Ṁj = Fj òàêæå, íàðÿäó ñ ñèëàìè èç íàáîðà F0 ïðèâîäèò ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ Mi2 (x, t) = onst.  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå îáùåãî âèäà, ãàðàíòèðóþùåå íàëè÷èå ó ðåøåíèé Mj (x, t) èíòåãðàëà äâèæåíèÿ M2 (x, t) èìååò âèä X (c) Ṁi = αFi + Fi . (7) F ∈F0 ñ ïðîèçâîëüíûì íàáîðîì êîý èöèåíòîâ α â ïåðâîé ñóììå è ñ ïðîèçâîëü(c) íûìè ñèëàìè Fi . Íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ãðîìîçäêîñòü ðåàëèçàöèè îïèñàííîé ïðîãðàììû, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ïðèìåíåíèè ê ðàññìàòðèâàåìîé íàìè çàäà÷å åå îñóùåñòâëåíèå ñèëüíî óïðîùàåòñÿ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî íå ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê ðåàëèçàöèè åå ïï. 5,6.  ñëåäóþùåé ãëàâå ìû âûäåëèì íàáîð F, òî åñòü áóäóò ðåàëèçîâàíû ïï. 1-3, à â òðåòüåé ãëàâå ìû óñòàíîâèì îêîí÷àòåëüíûé îáùèé âèä ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ.
19
ëàâà 2. ÏÎÑÒ ÎÅÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ËÈÍÅÉÍÎ ÍÅÇÀÂÈÑÈÌÛÕ ÏËÎÒÍÎÑÒÅÉ ÏÎÒÎÊÎÂ ÌÀ
Î ÌÎÌÅÍÒÀ 2.1. Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðîâ Tijkl Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê ïîñòðîåíèþ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ìîíîìîâ ïîëóãðóïïû, ïîðîæäàåìîé îïåðàöèÿìè òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ è ñâåðòêè íà îñíîâå îáðàçóþùèõ Mj , δij , εijk ñäåëàåì ñëåäóþùèå çàìå÷àíèÿ. Ñèìâîë Êðîíåêåðà δ íå äîëæåí èñïîëüçîâàòüñÿ â îïåðàöèè ñâåðòêè, òàê êàê, ïîñëå òàêîé îïåðàöèè ïî îäíîìó èç èíäåêñîâ, îí èñ÷åçàåò èç êîíñòðóèðóåìîãî ìîíîìà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, ìíîæåñòâî âñåõ òåíçîðîâ Tijkl ÷åòâåðòîãî ðàíãà ðàñïàäàåòñÿ íà òðè êëàññà: K0 ñîñòîèò èç ìîíîìîâ Tjkkl , â ñîñòàâå êîòîðûõ ñèìâîë Êðîíåêåðà δ îòñóòñòâóåò, K1 ñîñòîèò èç òåíçîðîâ, èìåþùèõ âèä òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñèìâîëà Êðîíåêåðà íà òåíçîð âòîðîãî ðàíãà T , â ñîñòàâ êîòîðîãî ýòîò ñèìâîë íå âõîäèò è êëàññ K2 , êîòîðûé ñîñòîèò èç òåíçîðîâ ÷åòâåðòîãî ðàíãà, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ñèìâîëîâ Êðîíåêåðà. Âòîðîå çàìå÷àíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñèìâîë Ëåâè-×èâèòà ε ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ìîíîìîâ íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí â ñîñòàâå ìîíîìà Tijkl áîëåå îäíîãî ðàçà è êàê ñîìíîæèòåëü â òåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè è êàê ñîìíîæèòåëü â ñîñòàâå ñâåðòêè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî äëÿ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñèìâîëîâ ε ñïðàâåäëèâà îðìóëà (ñì., íàïðèìåð, [4℄) δil δim δin εijk εlmn = det δjl δjm δjn , δkl δkm δkn êîòîðàÿ ñâîäèò èõ ê ëèíåéíûì êîìáèíàöèÿì èç ñèìâîëîâ δ . Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ èñêîìûõ ìîíîìîâ ðàçáèâàåòñÿ íà äâà êëàññà: L0 ñîñòîèò èç ìîíîìîâ, ïðè ïîñòðîåíèè êîòîðûõ îòñóòñòâóåò ñèìâîë ε è ìîíîìîâ êëàññà L1, êîòîðûå ñîäåðæàò â ñâîåì ñîñòàâå ñèìâîë ε.
20 Òðåòüå çàìå÷àíèå êàñàåòñÿ òîãî, ÷òî ñòåïåíü âõîæäåíèÿ îáðàçóþùåé Mj â ñîñòàâ ìîíîìîâ êëàññà L0 äîëæíà áûòü ÷åòíîé, à â ñîñòàâ ìîíîìîâ êëàññà L1 íå÷åòíîé, òàê êàê Mj ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîâåêòîðîì, à εklm ïñåâäîòåíçîðîì è òîëüêî ïðè ÷åòíîñòè ñóììàðíîé ñòåïåíè èõ âõîæäåíèÿ ðåçóëüòèðóþùèé ìîíîì Tijkl òåíçîðîì. Íàêîíåö, óêàæåì, ÷òî èìååòñÿ òîëüêî îäèí ëèíåéíî íåçàâèñèìûé ñêàëÿð Mj Mj â ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ïîëóãðóïïå, ïñåâäîñêàëÿðû îòñóòñòâóþò. Ïðåæäå ÷åì ñòðîèòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûå òåíçîðû Tijkl ñäåëàåì åùå îäíî çàìå÷àíèå. Ïðè îïèñàíèè ïðîãðàììû ðåøåíèÿ çàäà÷è â ðàçäåëå 1.3. ìû ñîâñåì íå óäåëèëè âíèìàíèÿ äëÿ ðàññìîòðåíèÿ âîçìîæíûõ òèïîâ ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ Sij , êîòîðûå íå ñîäåðæàò ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ îò Mj . Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èìååòñÿ òîëüêî äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòà, ñ òî÷íîñòüþ äî ïðèíÿòîãî íàìè ïîíÿòèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòàìè òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ è ñâåðòêè èç îáðàçóþùèõ Mj è εijk , à èìåííî, Mi Mj è εijk Mk . Íî ýòè ýëåìåíòû òåíçîðíîé àëãåáðû ÿâëÿþòñÿ òåíçîðàìè, à íå ïñåâäîòåíçîðàìè. Ïîýòîìó îíè íå ïîäõîäÿò äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è î ïîñòðîåíèè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ Sij . Ïåðåéäåì ê íåïîñðåäñòâåííîìó ïîñòðîåíèþ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðîâ Tijkl . K2 . Âñå òåíçîðû ýòîãî êëàññà ïðèíàäëåæàò êëàññó L0 êàê êàê ïðè òåíçîðíîì óìíîæåíèè äâóõ ñèìâîëîâ Êðîíåêåðà óæå íå îñòàåòñÿ èíäåêñîâ äëÿ òîãî, ÷òîáû åùå èìåëñÿ ñîìíîæèòåëü ε. Ïðè ýòîì òàêæå íåò âîçìîæíîñòè óìíîæåíèÿ íà ïñåâäîâåêòîð Mj . Ïîýòîìó èìååòñÿ 3 ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðà ýòîãî êëàññà: Ìîíîìû êëàññà δij δkl , δik δjl , δil δjk . (8) K1 ∩ L0. Èìååòñÿ 6 ñëåäóþùèõ òåíçîðîâ ýòîãî êëàññà, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ ïàðà èç ÷åòûðåõ èíäåêñîâ {i, j, k, l} ñâÿçûâàåòñÿ ñ ñèìâîëîì δ , îñòàëüíûå äâà èíäåêñà ñâÿçûâàþòñÿ ñ ïàðîé ìíîæèòåëåé MM : Ìîíîìû êëàññà δij Mk Ml , δik Mj Ml , δil Mk Mj , δjk Mi Ml , δjl Mi Mk , δkl Mi Mj . (9)
21 K1 ∩ L1. Òàê êàê èìååòñÿ òîëüêî äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðà âòîðîãî ðàíãà, ïîñòðîåííûõ íà îñíîâå îáðàçóþùèõ Mj è εijk , à èìåííî, Mi Mj è εijk Mk , òî, ïî ïðè÷èíå, óêàçàííîé â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, èìååòñÿ 6 ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðîâ ýòîãî êëàññà: Ìîíîìû êëàññà δij εklmMm , δik εjlmMm , δil εjkm Mm , δjk εilmMm , δjl εikm Mm , δkl εijm Mm . (10) K0 ∩ L0. Òàê êàê ïðè ïîñòðîåíèè òåíçîðîâ ÷åòâåðòîãî ðàíãà ýòîãî êëàññà íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü íè ñèìâîë δ , íè ñèìâîë ε, òî âñå ÷åòûðå èíäåêñà {i, j, k, l} äîëæíû áûòü ïðèñâîåíû îáðàçóþùåé M . Ñëåäîâàòåëüíî, òàêèå òåíçîðû èìåþò âèä MMMM , è ïîýòîìó â êëàññå èìååòñÿ òîëüêî îäèí ìîíîì: Mi Mj Mk Ml . Ìîíîìû êëàññà K0 ∩ L1 . Ìîíîìû ýòîãî êëàññà ðàñïàäàþòñÿ íà äâå ãðóïïû.  îäíîé èç íèõ âñå èíäåêñû ó ñèìâîëà ε ÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíûìè, è ïîýòîìó èìååòñÿ òîëüêî îäèí èíäåêñ, êîòîðûé ïðèñâàèâàåòñÿ ïñåâäîâåêòîðó M. Òîãäà â ýòîé ãðóïïå èìååòñÿ ñëåäóþùèå 4 ìîíîìà, ñîãëàñíî òîìó, ÷òî èìååòñÿ òîëüêî 4 âîçìîæíîñòè âûáðàòü òîò èíäåêñ, êîòîðûé ïðèñâàèâàåòñÿ ïñåâäîâåêòîðó: Mi εjkl , Mj εikl , Mk εijl , Ml εijk . (11) Ìîíîìû êëàññà Êî âòîðîé ãðóïïå îòíåñåì òå òåíçîðû, ó êîòîðûõ ïî îäíîìó èç èíäåêñîâ ó ñèìâîëà ε â òåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè ïðîèçâîäèòñÿ ñâåðòêà, îáÿçàòåëüíî ñ ïñåâäîâåêòîðîì Mj . (Ïî äâóì èíäåêñàì ñèìâîëà ε íå ìîæåò áûòü ñâîðà÷èâàíèÿ, òàê êàê εijk Mj mk ≡ 0, à äðóãîé îáðàçóþùåé êðîìå M íå èìååòñÿ.) Èìååòñÿ 6 ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðîâ òàêîãî òèïà, ñîãëàñíî òîìó ÷òî èìååòñÿ 6 âîçìîæíîñòåé âûáîðà äâóõ èíäåêñîâ èç ÷åòûðåõ {i, j, k, l} òåõ, êîòîðûå äîëæíû áûòü ïðèñâîåíû ñèìâîëó ε: Mi Mj εklmMm , Mi Mk εjlmMm , Mi Ml εjkm Mm , Mj Mk εilmMm , Mj Ml εikmMm , Mk Ml εijmMm . (12) Ñ îðìóëèðóåì â âèäå îòäåëüíîãî óòâåðæäåíèÿ ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííîãî àíàëèçà.
22 Òåîðåìà. Èìååòñÿ 26 ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ, ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè, òåíçîðîâ M , ε, δ . Tijkl Ìíîæåñòâî ÷åòâåðòîãî ðàíãà â òåíçîðíîé àëãåáðå ñ îáðàçóþùèìè: T ýòèõ òåíçîðîâ ïðåäñòàâëåíî ñïèñêàìè (8)-(12).
23 2.2. Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ Sij  ýòîì ðàçäåëå ìû ðåàëèçóåì ïï. 2 è 3 ïðîãðàììû ðåøåíèÿ çàäà÷è, îïèñàííîé â ãëàâå 1. Èç òåíçîðîâ êëàññà K2 , ñâåðòêîé ñ òåíçîðîì ∇k Ml , ïîëó÷àþòñÿ ïëîòíî(a) ñòè ïîòîêîâ Sij , a = 1, 2, 3 ñëåäóþùåãî âèäà (ñì. (8)): δij (∇, M) , ∇i Mj , ∇j Mi . (13) Àíàëîãè÷íî, èç òåíçîðîâ êëàññà K1 ∩ L0 ïîëó÷àþòñÿ ïëîòíîñòè ïîòîêîâ = 4 ÷ 9 ñëåäóþùåãî âèäà (ñì. (9)): (a) Sij , a δij (M, ∇)M2 , Mj ∇iM2 , Mi ∇j M2 , Mj (M, ∇)Mi , Mi (M, ∇)Mj , Mi Mj (∇, M) , (14) (a) ãäå çäåñü è äàëåå íîìåðà äëÿ âûðàæåíèé ïñåâäîòåíçîðíûõ ïîëåé Sij äàþòñÿ â ïîðÿäêå èõ ïðåäñòàâëåíèÿ â ïðèâåäåííîì ñïèñêå. (a) Èç òåíçîðîâ êëàññà K1 ∩ L1 ïîëó÷àþòñÿ ïëîòíîñòè ïîòîêîâ Sij , a = 10 ÷ 15 ñëåäóþùåãî âèäà (ñì. (10)): δij (M, [∇, M]) , εjkl Mk ∇iMl , [M, ∇]j Mi , εikl Mk ∇j Ml , [M, ∇]iMj , εijm Mm (∇, M) . (15) (16) Èç òåíçîðà êëàññà K0 ∩ L0 ïîëó÷àåì îäíó ïëîòíîñòü ïîòîêà Sij Mi Mj (M, ∇)M2. = Èç òåíçîðîâ êëàññà K0 ∩ L1 èìååì ñëåäóþùèå ïëîòíîñòè ïîòîêîâ = 17 ÷ 26 ñîîòâåòñòâåííî èç ïåðâîé è âòîðîé ãðóïï âûðàæåíèé äëÿ òåíçîðîâ Tijkl (ñì. (11), (12)): (a) Sij , a Mi [∇, M]j , Mi Mj (M, [∇, M]) , Mj [∇, M]i , εijl (M, ∇)Ml , Mi [M, (M, ∇)M]j , εijk ∇k M2 . Mi [M, ∇]j M2 , (16)
24 Mj [M, (M, ∇)M]i , Mj [M, ∇]iM2 , εijmMm (M, ∇)M2 . (17) (a) Ïîêàæåì, ÷òî âñå ïåðå÷èñëåííûå ïñåâäîòåíçîðíûå ïîëÿ Sij (x) ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî 26 X (a) ca Sij = 0 (18) a=1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ èíäåêñîâ i, j = 1, 2, 3 è äëÿ ëþáîé ïðîñòðàíñòâåííîé (a) òî÷êè ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì x îò êîòîðîé çàâèñÿò çíà÷åíèÿ ïîëåé Sij âîçìîæíû òîëüêî ïðè ðàâåíñòâå âñåõ ÷èñëîâûõ êîý èöèåíòîâ ca = 0, a = 1 ÷ 26. (a) Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ÷òî (18) èìååò ìåñòî. Òîãäà, çàìåíèâ âñå ïîëÿ Sij (a) íà λSij ñ ïðîèçâîëüíûì ìíîæèòåëåì λ, ïîëó÷èì èç (18) X X X X (a) (a) (a) λ ca Sij + λ2 ca Sij + λ3 ca Sij + λ4 a=1÷3 a=10÷15,17÷20 a=4÷9 (a) ca Sij = 0 . a=16,21÷26 Ââèäó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè óíêöèé λs ñ ðàçëè÷íûìè ïîêàçàòåëÿìè s ∈ N, îòñþäà ñëåäóþò ÷åòûðå ðàâåíñòâà X (a) ca Sij = 0 , (19) a=1÷3 (a) X ca Sij = 0 , (20) (a) (21) a=10÷15,17÷20 X ca Sij = 0 , a=4÷9 X (a) ca Sij = 0 . (22) a=16,21÷26 Ïðîàíàëèçèðóåì êàæäîå èç ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ. Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè (a) ïîëåé Sjk , ïîäñòàâèì â ðàâåíñòâî (19) èõ âûðàæåíèÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà èõ çíà÷åíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ íà îñíîâå èêñèðîâàííîãî ïñåâäîâåêòîðíîãî ïîëÿ Mj = Aj exp(i(n, x)), ãäå Aj ïðîèçâîëüíûé ïñåâäîâåêòîð, à n ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî c1 δij (n, A) + c2 Aj ni + c3 Ainj = 0 . Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè íàïðàâëåíèé âåêòîðîâ n è A, ýòî ðàâåíñòâî âîçìîæíî ïðè âñåõ èõ íàïðàâëåíèÿõ òîëüêî ïðè c1 = c2 = c3 = 0.
25 àññìîòðèì ðàâåíñòâî (20). Ïîäñòàíîâêà, àíàëîãè÷íàÿ òîé, êîòîðàÿ óêàçàíà âûøå, ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó (c12 − c17 )[A, n]j Ai + (c14 − c18 )[A, n]iAj + + (c15 + c19 )εijmAm(n, A) + c20 εijk nk A2 = 0 . Îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ñ êîý èöèåíòàìè c10 , c11 , c13 ïðè òàêîé ïîäñòàíîâêå òîæäåñòâåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü. Èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà, ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðîâ n è A ñëåäóåò, ÷òî c12 = c17 , c14 = c18 , c15 + c19 = 0 , c20 = 0 . (23) Òàê êàê ðàâåíñòâî íóëþ ñëàãàåìûõ ñ íîìåðàìè 10, 11 è 13 âñåãäà, åñëè Mj = Aj ϕ(x) ñî ñêàëÿðíîé óíêöèåé ϕ(x), òî ïîäñòàíîâêà â (20) ïîëÿ (1) (2) Mj (x) = Aj exp(i(n(1), x)) + Aj exp(i(n(2), x)) , (1) (2) (1) (24) (2) ñ ÷åòûðüìÿ ïðîèçâîëüíûìè âåêòîðàìè Aj , Aj , nj , nj , à òàêæå â ñëàãàåìûå c10 δij (M, [∇, M]) + c11 εjkl Mk ∇i Ml + c13εikl Mk ∇j Ml â ðàâåíñòâå (20), êîòîðûå ðàíåå òîæäåñòâåííî îáðàùàëèñü â íóëü ïðè Mj = Aj exp(i(n, x)), ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (23), ïðèõîäèì ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) Ak A(1) m [c10 δij εklm (nl − nl ) + c11 εjkm (ni − ni ) + c13 εikm (nj − nj )]+ (1) (2) (2) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (1) (1) (2) +c12 εjkl [Ai Ak −Ai Ak ][nl − nl ]+c14εikl [Aj Ak −Aj Ak ][nl − nl ]+ (2) (1) (1) (2) (2) +c15εijm [Al A(1) m − Am Al ][nl − nl ] = 0  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà n(1) − n(2) , îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (2) Ak A(1) m [c10 δij εklm + c11 εjkm δil + c13 εikm δjl ] + (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2) (1) c12εjkl [Ai Ak − Ai Ak ] + c14εikl [Aj Ak − Aj Ak ]+ (2) (1) (2) + c15 εijm[Al A(1) m − Am Al ] = 0 , êîòîðîå èìååò ìåñòî ïðè ëþáîì l = 1, 2, 3. Äè åðåíöèðîâàíèå ýòîãî ðà(2) (1) âåíñòâà ñíà÷àëà ïî âåêòîðó Am , à çàòåì ïî âåêòîðó Ak , ÷òî âîçìîæíî
26 ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ýòèõ âåêòîðîâ, ïðèâîäèò ê òåíçîðíîìó ðàâåíñòâó äëÿ óíèâåðñàëüíûõ ïñåâäîòåíçîðîâ ïÿòîãî ðàíãà c10δij εklm + c11εjkm δil + c13 εikmδjl + + c12 [εjml δik − εjkl δim ] + c14 [εiml δjk − εikl δjm ] + c15 [εijk δlm − εijm δlk ] = 0 , êîòîðîå ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî ïðè cs = 0, s = 10 ÷ 15, â ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âñåõ óíèâåðñàëüíûõ òåíçîðîâ â ýòîì ðàâåíñòâå â âèäå òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé δε, òàê êàê â êàæäîå òàêîå ïðîèçâåäåíèå âõîäèò ñèìâîë δ ñ ïàðîé èíäåêñîâ, îòëè÷àþùåéñÿ îò âñåõ äðóãèõ ïðîèçâåäåíèé. Ïðîàíàëèçèðóåì ðàâåíñòâî (21). Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî ïîëå M(x) = A exp[i(n, x)].  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî 2c4δij A2(A, n) + 2c5A2ni Aj + 2c7 A2nj Ai + (c6 + c8 + c9 )(A, n)AiAj = 0 (25) Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðîâ A è n, ïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî (A, n) = 0. Òîãäà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî c5 ni Aj + c7 nj Ai = 0 , êîòîðîå ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî ïðè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè âåêòîðîâ A è n ïðè íåðàâíûõ íóëþ êîý èöèåíòàõ c5 è c7 . Ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ c5 = c7 = 0. Äàëåå, èç (25) ïðè (A, n) 6= 0 ñëåäóåò ðàâåíñòâî 2c4δij A2 + (c6 + c8 + c9 )AiAj = 0, êîòîðîå âîçìîæíî òîëüêî ïðè c4 = 0 è c6 + c8 + c9 = 0. Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî (21) ïðåâðàùàåòñÿ â ñëåäóþùåå c6 Mj (M, ∇)Mi + c8 Mi (M, ∇)Mj + c9 Mi Mj (∇, M) = 0 . Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî ïîëå M(x) = A(1) exp[i(n(1), x)] + A(2) exp[i(n(2), x)] . Òîãäà èìååì (c6 + c8 + c9 ) X (s) (s) Aj (M, ∇)Ai exp[2i(n(s), x)]+ s=1,2 (1) (2) +c6 Aj (M, n(2))Ai + (2) (1) Aj (M, n(1))Ai exp([i(n(1), x) + i(n(2), x)]+
27 (1) (2) +c8 Ai (M, n(2))Aj (1) (2) −ic9 Ai Aj + + (2) (1) Ai (M, n(1))Aj (1) (2) Ai Aj exp([i(n(1), x) + i(n(2), x)]− (∇, M) exp([i(n(1), x) + i(n(2) , x)] = 0 . Òàê êàê ïåðâîå ñëàãàåìîå â ýòîì ðàâåíñòâå îòñóòñòâóåò, ââèäó íàéäåííîãî íàìè òîæäåñòâà äëÿ êîý èöèåíòîâ c6 , c8 , c9 , òî îíî ïðåîáðàçóåòñÿ â ñëåäóþùåå (1) (2) (2) (1) (2) (1) c6 Aj (M, n )Ai + Aj (M, n )Ai + (1) (2) (2) (1) (2) (1) +c8 Ai (M, n )Aj + Ai (M, n )Aj − (1) (2) (1) (2) − ic9 Ai Aj + Aj Ai (∇, M) = 0 . (1) (2) (2) (1)  ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè òåíçîðîâ Ai Aj è Ai Aj , ïîëó÷àåì äâà ðàâåíñòâà c6 (M, n(2)) + c8 (M, n(1)) − ic9 (∇, M) = 0 , c6 (M, n(1)) + c8 (M, n(2)) − ic9 (∇, M) = 0 . Âû÷èòàÿ îäíî èç äðóãîãî, ïîëó÷èì (c6 − c8 )(M, n(2) − n(1) ) = 0 . Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðîâ n(s) , s = 1, 2, ïîëó÷èì c6 = c8 .  ýòîì ñëó÷àå îáà ïðåäñòàâëåííûõ ðàâåíñòâà ñîâïàäàþò. Òîãäà, ñðàâíèâàÿ êîý èöèåíòû ïðè êàæäîé èç ýêñïîíåíò, íàïðèìåð, â ïåðâîì èç íèõ, ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîý èöèåíòîâ c6 è c9 , c6 (A(1), n(1) + n(2) ) + c9 (A(1) , n(1)) = 0 , c6 (A(2), n(1) + n(2) ) + c9 (A(2) , n(1)) = 0 .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âñåõ ÷åòûðåõ âåêòîðîâ A(s) , n(s) , s = 1, 2, äåòåðìèíàíò ýòîé ñèñòåìû (1) (1) (A , n + n(2) ) (A(1), n(1) ) det = (A(2), n(1) + n(2) ) (A(2), n(1) ) = (A(1), n(2) )(A(2), n(2) ) − (A(1) , n(1))(A(2), n(2)) íå ðàâåí òîæäåñòâåííî íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, c6 = c9 = 0.
28 Äëÿ ïðîâåäåíèÿ àíàëèçà ðàâåíñòâà (22) íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ. Ëåììà 1. Ñóùåñòâóþò âåêòîðíûå (ïñåâäîâåêòîðíûå) ïîëÿ M(x), äëÿ (M, [∇, M]) 6≡ 0. Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå (M, [∇, M]) ïîëå M â âèäå ñóïåðïîçèöèè äâóõ ýêñïîíåíò êîòîðûõ M(x) = A(1) exp[i(n(1), x)] + A(2) exp[i(n(2), x)] (26) ñ ïîñòîÿííûìè âåêòîðàìè A(s) , n(s) , s = 1, 2. Òàê êàê (A(s) exp[i(n(s) , x)], [∇, A(s) exp[i(n(s), x)]]) = = i exp[2i(n(s), x)](A(s), [n(s), A(s)]) ≡ 0 ïðè s = 1, 2, òî, â ýòîì ñëó÷àå, (1) (2) (2) (2) (1) (1) (M, [∇, M]) = i exp[i(n +n , x)] (A , [n , A ])+(A , [n , A ]) = (1) (2) = i exp[i(n(1) + n(2) , x)](n(2) − n(1) , [A(2), A(1)]) . Âñåãäà èìååòñÿ ÷åòâåðêà âåêòîðîâ A(s) , n(s) , s = 1, 2, äëÿ êîòîðûõ ïðåäñòàâëåííîå ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ íå ðàâíî íóëþ. Ëåììà 2. Ñóùåñòâóþò âåêòîðíûå (ïñåâäîâåêòîðíûå) ïîëÿ M(x), äëÿ [M, (M, ∇)M]] 6≡ 0. Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå [M, (M, ∇)M]] ïîëå M â âèäå ñóïåðïîçèöèè (26) äâóõ ýêñïîíåíò è ó÷òåì, ÷òî êîòîðûõ [A(s) exp[i(n(s) , x)], (M, ∇)A(s) exp[i(n(s) , x)]] = i exp[2i(n(1), x)][A(s), (M, n(s))A(s) ] = 0 ïðè s = 1, 2. Òîãäà [M, (M, ∇)M]] = (1) (2) (1) (2) (2) (2) (1) (1) = i exp[i(n + n , x)] [A , (M, n )A ] + [A , (M, n )A ] = = i exp[i(n(1) + n(2) , x)](M, n(2) − n(1))[A(1), A(2) ] . Âñåãäà èìååòñÿ ÷åòâåðêà âåêòîðîâ A(s) , n(s) , s = 1, 2, äëÿ êîòîðûõ, âî ïåðâûõ, [A(1) , A(2)] 6= 0 è, âî-âòîðûõ, (M, n(2) − n(1) ) 6= 0, ââèäó òîãî, ÷òî (A(s) , n(2) − n(1) ) 6= 0, s = 1, 2.
29 àññìîòðèì ðàâåíñòâî (22). Ïîäñòàâèì â íåãî ïîëå M(x) = A exp[i(n, x)]. Ïðè ýòîì ñëàãàåìûå ñ êîý èöèåíòàìè c21, c22 è c24 òîæäåñòâåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü. Òîãäà, â ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî 2c16Ai Aj (A, n) + c23 Ai[A, n]j + c25 Aj [A, n]i + 2c26εijmAm (A, n) = 0 . Ïîëàãàÿ â ýòîì ðàâåíñòâå, ñíà÷àëà (A, n) = 0, à çàòåì [A, n] = 0, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïðîèçâîëüíîñòü âåêòîðîâ A è n, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà c23Ai [A, n]j + c25Aj [A, n]i = 0 , (27) c16Ai Aj (A, n) + c26 εijmAm (A, n) = 0 , (28) ãäå (A, n) 6= 0 Èç (27), ñâåðòêîé ñ Ai ïîëó÷àåì, ÷òî c23 = 0, òàê êàê [A, n]j 6= 0, à ñâåðòêîé ñ Aj c25 = 0, òàê êàê [A, n]i 6= 0. Èç (28) ñëåäóåò ñîâïàäåíèå ñèììåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ c16 Ai Aj = −c26 εijmAm , ÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðè èõ ðàâåíñòâå íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ââèäó Aj 6= 0, ïîëó÷àåì c16 = 0 è c26 = 0. Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî (22) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó c21Mi Mj (M, [∇, M]) + c22Mi [M, (M, ∇)M]j + c24Mj [M, (M, ∇)M]i = 0 . (29) Óìíîæàÿ ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íà Mi , ïîëó÷èì ðàâåíñòâî c21Mj (M, [∇, M]) + c22[M, (M, ∇)M]j = 0 . (30)  ñèëó Ëåììû 1, íàéäåòñÿ ïîëå M, äëÿ êîòîðîãî (M, [∇, M]) 6= 0.  ýòîì ñëó÷àå, ïðè c21 6= 0, ïîëó÷èì, ÷òî ïîëå M ïåðïåíäèêóëÿðíî ñàìîìó ñåáå, ÷òî íåâîçìîæíî ïðè M2 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, c21 = 0. Íî òîãäà c22 , òàê êàê â ñèëó Ëåììû 2 ìîæíî âûáðàòü ïîëå, ó êîòîðîãî [M, (M, ∇)M] 6= 0. Ñ ó÷åòîì ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ, ñíîâà èñïîëüçóÿ Ëåììó 2, ïîëó÷èì èç (29), ÷òî c24 = 0. Èòàê, ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîêàçàë, ÷òî âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. (a) Òåîðåìà 2. Âñå ïñåâäîòåíçîðíûå ïîëÿ Sij , a = 1 ÷ 26, ñîñòàâëÿþùèå ìíîæåñòâî S è ïðåäñòàâëåííûå îðìóëàìè (13 - 17), ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
30
ëàâà 3. ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÅ Ó ÀÂÍÅÍÈß ÄËß ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÌÀ
Î ÌÎÌÅÍÒÀ 3.1. Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë  ýòîé ãëàâå ìû çàâåðøàåì ðåøåíèå òîé çàäà÷è, êîòîðàÿ áûëà ïîñòàâëåíà â
ëàâå 1.  ýòîì ðàçäåëå ìû îòáåðåì ëèíåéíî íåçàâèñèìûå òåðìîäè(a) (a) íàìè÷åñêèå ñèëû Fi = ∂Sij /∂xj ñîîòâåòñòâóþò îòîáðàííûì ïëîòíîñòÿì (a) Sij , a = 1÷26 îïèñàííûì â
ëàâå 2. Òàêàÿ ïðîöåäóðà íåîáõîäèìà â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî âû÷èñëåíèå ñâåðòîê ñ êàæäûì èç ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåíçîðíûõ ïîëåé, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèëû, ìîæåò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî ñïèñîê ïîëó÷åííûõ òàêèì îáðàçîì ïîëåé F (a) (x) îêàæåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûì íàáîðîì. Âû÷èñëåíèå äèâåðãåíöèé âñåõ âîçìîæíûõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïëîò(a) íîñòåé ïîòîêîâ Sij , a = 1 ÷ 26, êîòîðûå ïåðå÷èñëåíû îðìóëàìè (13-17), ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì òåðìîäèíàìè÷åñêèì ñèëàì. Ïðè ýòîì äèâåðãåíöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïñåâäîòåíçîðàì Sij èç îðìóëû (13), ïðèâîäÿò ê äâóì ñîâïàäàþùèì çíà÷åíèÿì.  ñïèñêå ïîòîêîâ (16), äèâåðãåíöèÿ îäíîãî èç äàåò òî÷íûé íóëü, ââèäó εijk ∇j ∇k ≡ 0.  ðåçóëüòàòå, ìû ïîëó÷àåì 24 òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèëû, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùèõ îðìóëàõ. Ïñåâäîòåíçîðàì, ïðåäñòàâëåííûì â (13), ñîîòâåòñòâóþò ñèëû F[x; M] ñëåäóþùåãî âèäà: ∇i (∇, M) , ∆Mi . (31) Ïñåâäîòåíçîðàì, ïðåäñòàâëåííûì îðìóëîé (14), ñîîòâåòñòâóþò ñèëû ∇i(M, ∇M2) , (∇, M∇iM2) , (∇, Mi∇M2) , (∇, M(M, ∇)Mi) , (∇, Mi(M, ∇)M) , (∇, MiM(∇, M)) . (32) Ïñåâäîòåíçîðàì, ïðåäñòàâëåííûì îðìóëîé (15), ñîîòâåòñòâóþò ñèëû ∇i(M, [∇, M]) , ([∇, M], ∇iM) , (∇, [M, ∇]Mi) ,
31 εikl ∇j Mk ∇j Ml , (∇, [M, ∇]iM) , (16) Ïîëå Fi , ñîîòâåòñòâóþùåå ïñåâäîòåíçîðó Sij [∇, M(∇, M)]i . (33) èìååò âèä (∇, MiM(M, ∇)M2) . (34) Ïñåâäîòåíçîðàì, ïðåäñòàâëåííûì îðìóëîé (16), ñîîòâåòñòâóþò ñèëû (∇, Mi[∇, M]) , (∇, M[∇, M]i) , [∇, (M, ∇)M]i . (35) Íàêîíåö, ïñåâäîòåíçîðàì, ïðåäñòàâëåííûì îðìóëîé (17), ñîîòâåòñòâóþò ñèëû (∇, MiM(M, [∇, M])) , (∇, Mi[M, (M, ∇)M]) , (∇, M[M, (M, ∇)M]i) , (∇, M[M, ∇]iM2 ) , (∇, Mi[M, ∇]M2) , [∇, M(M, ∇M2)]i . (36) Òàêèì îáðàçîì â îêîí÷àòåëüíîì ñïèñêå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ òåðìîäè(a) íàìè÷åñêèõ ñèë èìååòñÿ 24 ïîëÿ Fi [x; M], a = 1 ÷ 24, íóìåðàöèÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò òîìó ïîðÿäêó, â êîòîðîì îíè ïåðå÷èñëåíû ïîñëåäîâàòåëüíî â îðìóëàõ (31- 36).  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îáùåå ýâîëþöèîííîå óðàâíåíèå äèâåðãåíòíîãî òèïà äëÿ ïñåâäîâåêòîðíîãî ïîëÿ M(x, t), ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî, è ó êîòîðîãî òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèëû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëîêàëüíûå óíêöèîíàëû îò ïîëÿ M è ñîäåðæàò ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà, èìååò âèä Ṁ = 24 X ca F(a) [x; M] , a=1 ãäå ca ÿâëÿþòñÿ, â îáùåì ñëó÷àå, ñêàëÿðíûìè óíêöèÿìè îò M2 (x). (37)
32 3.2. Ýâîëþöèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà Ìû äîëæíû ñðåäè âñåõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ýâîëþöèîííîãî óðàâíåíèÿ (37) îòîáðàòü òîëüêî òå, êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò ïîñòîÿíñòâî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ M2 (x, t) = M 2 = onst, êîãäà ïîëå åñëè M(x, t) ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì. Ïðîàíàëèçèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíî êàæäîå èç ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (37) è âûäåëèì èç âñåãî èõ ñïèñêà òå, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íóæíîìó òðåáîâàíèþ. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ïîñòàâëåííîìó òðåáîâàíèþ îáåñïå÷åíèþ ñîõðàíåíèÿ êâàäðàòà ïñåâäîâåêòîðíîãî ïîëÿ M2 (x, t) íå îòâå÷àþò ñèëû ñ íîìåðàìè a = 3, 4, 6, 15, 21, 23, 24 èç ñïèñêà ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â âûðàæåíèÿ ýòèõ ñèë ñîäåðæèòñÿ äè åðåíöèðîâàíèå ïîëÿ M2 (x, t) = M 2 . Çàìåòèì, ÷òî òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà ñ íîìåðîì a = 12 â îðìóëå (33) ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþ (3)
ëàâû 1. Îíà, çàâåäîìî îáëàäàåò òðåáóåìûì ñâîéñòâîì, òàê êàê Mi εikl ∇j Mk ∇j Ml ≡ 0. Ïîýòîìó ìû ñðàçó æå óäàëèì èç ïðîâîäèìîãî äàëåå àíàëèçà. Òî÷íî òàêæå óäàëèì èç ñïèñêà òåðìîäèíàìè÷åñêóþ ñèëó ñ íîìåðîì a = 22, òàê êàê îíà òàêæå îáëàäàåò òðåáóåìûì ñâîéñòâîì ïðè óñëîâèè ñîõðàíåíèÿ M2 (x, t) = M 2 .  ñàìîì äåëå, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Mi (∇, M[M, (M, ∇)M]i) = = (∇, M)(M, [M, (M, ∇)M]) + Mi (M, ∇)[M, (M, ∇)M]i = = Mi [(M, ∇)M, (M, ∇)M]i + Mi [M, (M, ∇)2M]i = 0 ñ îáðàùåíèåì â íóëü ïåðâîãî ñëàãàåìîãî âî âòîðîé ñòðîêå è îáîèõ ñëàãàåìûõ â ïåðâîé. Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ñëåäóþùèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèëû F íà ïðåäìåò ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ óíèâåðñàëüíûõ ëèíåéíûõ çàâèñèìîñòåé ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè èì óíêöèÿìè îò ðàäèóñ-âåêòîðà
33 x, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè (M, F): ∇i (∇, M) , ∆Mi , ∇i(M, [∇, M]) , ([∇, M], ∇iM) , (∇, [M, ∇]Mi) , (∇,[M, ∇]iM) , [∇, M(∇, M)]i , (∇, Mi[∇, M]) , (∇, M[∇, M]i) , [∇, (M, ∇)M]i . (∇, M(M, ∇)Mi) , (∇, Mi(M, ∇)M) , (∇, MiM(∇, M)) . (∇, MiM(M, [∇, M])) , (∇, Mi[M, (M, ∇)M]) . (38) Ýòè òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèëû ðàçáèòû íà ÷åòûðå ãðóïïû ñîãëàñíî òîìó, â êàêîé ñòåïåíè â êàæäóþ èç íèõ âõîäèò ïîëå M. Íàëè÷èå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè, òî÷íî òàêæå êàê è â ðàçäåëå 2.2, íóæíî ïðîâåðÿòü âíóòðè êàæäîé èç ãðóïï.  ïîñëåäóþùåì àíàëèçå íàëè÷èÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè íóìåðàöèþ âûðàæåíèé (M, F(a)) è ñîîòâåòñòâóþùèì èç íèõ êîý èöèåíòîâ ca ïðè ïðèíèìàåì ñîãëàñíî ïðåäñòàâëåííîìó çäåñü ñïèñêó. Èòàê, äëÿ êâàäðàòè÷íûõ ïî ïîëþ M âûðàæåíèé ïðîàíàëèçèðóåì ðàâåíñòâî c1 (M, ∇(∇, M)) + c2 (M, ∆M) = 0 . Ïîäñòàíîâêà â íåãî ïîëÿ M(x) = A exp[i(n, x)] äàåò ðàâåíñòâî c1 (A, n)2 + c2 n2A2 = 0 , êîòîðîå âîçìîæíî òîëüêî ïðè c1 = c2 = 0, ÷òî óñìàòðèâàåòñÿ ïîëàãàÿ, ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðîâ A è n, ñíà÷àëà n ⊥ A, à çàòåì n k A. Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü âîçìîæíîñòü ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó âûðàæåíèÿìè òðåòüåãî ïîðÿäêà ïî M, c11 Mi (∇, M(M, ∇)Mi) + c12Mi (∇, Mi(M, ∇)M)+ +c13Mi (∇, MiM(∇, M)) = 0 . (39) Àíàëîãè÷íî, ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëÿ M(x) â âèäå ïëîñêîé âîëíû ñ ïðîèçâîëüíîé àìïëèòóäîé A è âîëíîâûì âåêòîðîì n ïðèâîäèò ê ðàâíåíñòâó c11 + c12 + c13 = 0 . (40) Ïîäñòàâèì òåïåðü â (39) ïîëå = [x, n]. Òîãäà (∇, M) = 0 è (M, ∇)Mi = ni (n, x) − xin2 .
34 Òîãäà, ââèäó (∇, M) = 0, (M, n) = 0 (∇, M(M, ∇)Mi) = (∇, M(ni(n, x) − xi n2)) = = (M, ∇(ni(n, x) − xi n2)) = −Mi n2 . Íàðÿäó ñ ýòèì, ïî òîé æå ïðè÷èíå, (∇, Mi(M, ∇)M) = (∇k Mi ) · (M, ∇)Mk + Mi (∇k M, ∇)Mk = = εikl nl [M, n]k + εikl nl εkmn Mm nn = = −Mi n2 + (δinδlm − δimδln)nl nn Mm = −2Mi n2 . Ïîäñòàíîâêà ýòèõ ñîîòíîøåíèé â (28) äàåò c11 + 2c12 = 0 . (41) Íàêîíåö, ïîäñòàâèì â (39) ïîëå M = x. Òîãäà (∇, M(M, ∇))Mi = (∇, Mi(M, ∇)M) = (∇, MiM) = 4xi è ïîýòîìó èç (39) ñëåäóåò c11 + c12 + 3c13 = 0 . Èç ýòîãî ðàâåíñòâà, âìåñòå ñ (40) è (41) ñëåäóåò c11 = c12 = c13 = 0. Ïðîàíàëèçèðóåì âîçìîæíîñòü ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó äâóìÿ âûðàæåíèÿìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïîðÿäêà ïî M, c14Mi (∇, MiM(M, [∇, M])) + c15Mi (∇, Mi[M, (M, ∇)M]) = 0 . (42) Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî ïîëå Mj (x) = Aj + ReBj exp[i(n, x)] ñ ïðîèçâîëüíûìè âåùåñòâåííûìè âåêòîðàìè A è n, à òàêæå êîìïëåêñíûì âåêòîðîì B, êîòîðîãî (A, B) = 0 è |ReB| = |ImB|, (ReB, ImB) = 0 òàê, ÷òî B2 = 0. Òàêîé âûáîð ïîëÿ Mj (x) îáåñïå÷èâàåò ðàâåíñòâî Mj (x)Mj(x) = onst. Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå Mi (∇, MiM(M, [∇, M])) = εjkl Mi ∇j Mi Mk Mm ∇mMl = = εjkl [M 2 ∇j Mk Mm ∇mMl − (Mk Mm ∇m Ml )Mi∇j Mi ] , ãäå âòîðîå ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íóëü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî M2 = onst, è, êðîìå òîãî, Mi (∇, Mi[M, (M, ∇)M]) = εklmMi ∇j Mi Mj Mk ∇l Mm =
35 = εklm[M 2 ∇j Mj Mk ∇l Mm − (Mj Mk ∇l Mm )Mi∇j Mi ] , ãäå âòîðîå ñëàãàåìîå òàêæå îáðàùàåòñÿ â íóëü â òîì æå ïðåäïîëîæåíèè. Òîãäà ðàâåíñòâî (42) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó c14 εjkl ∇j Mk Mm ∇m Ml + c15εklm∇j Mj Mk ∇l Mm = 0 . (43) Ïîäñòàíîâêà óêàçàííîãî ÿâíîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëÿ â ýòî ðàâåíñòâî äàåò c14 εjkl nj nm [ImBm ei(n,x) ][ImBl ei(n,x) ]Mk + i(n,x) + (Am + [ReBme i(n,x) ])[ReBl e +c15εklmnj nl [ImBm ei(n,x) ][ImBj ei(n,x) ]Mk + i(n,x) + (Aj + [ReBj e i(n,x) ])[ReBm e ]Mk + ]Mk = 0 . Ìåíÿÿ âî âòîðîì ñëàãàåìîì èíäåêñû ñóììèðîâàíèÿ j ⇔ l âî âòîðîì ñëàãàåìîì è, ñðàâíèâàÿ îáà ïîëó÷èâøèõñÿ ñëàãàåìûõ, èìååì (c14 − c15 )εjkl nj nm (Am + [ReBm ei(n,x) ])[ReBl ei(n,x) ]Mk + + (c14εjkl nm − c15 εjkmnl )nj [ImBm ei(n,x) ][ImBl ei(n,x) ]Mk = 0 . (44) Äè åðåíöèðóÿ äâàæäû ïî Ak è ïî Am ïîëó÷èì ðàâåíñòâî (c14 − c15 )(εjkl nj nm + εjml nj nk ) = 0 . Ñâåðòêîé ñ nm íàõîäèì (c14 − c15 )εjkl nj = 0.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà nj ïîëó÷àåì c14 = c15 .  ýòîì ñëó÷àå âòîðîå ñëàãàåìîå â (44) òàêæå îáðàùàåòñÿ â íóëü, â ñèëó ðàâåíñòâà íóëþ ñâåðòêè ñèììåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûì ðàâåíñòâîì êîý èöèåíòîâ â óðàâíåíèè (43) è ïîêàæåì, ÷òî îíè äîëæíû áûòü ðàâíû íóëþ. Äëÿ ýòîãî íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàâåíñòâî εjkl ∇j Mk Mm ∇m Ml + εklm∇j Mj Mk ∇l Mm = 0 . (45) íå ìîæåò èìåòü ìåñòî äëÿ ëþáûõ ãëàäêèõ ïîëåé Mj (x), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Mj Mj = M 2 = onst.
36 Ñîâåðøèì âî âòîðîì ñëàãàåìîì çàìåíû èíäåêñîâ ñóììèðîâàíèÿ: ñíà÷àëà m ⇔ j , à çàòåì l ⇒ j .  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷èì h i εjkl ∇j Mk Mm ∇m Ml − ∇m Mk Mm ∇j Ml = 0 . Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî ïîëå Mj â âèäå Mj = Ajk xk ñ ïðîèçâîëüíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé A, (A)jk = Ajk det A = 0. Òàêîå ïîëå íå óäîâëåòâîðÿåò ïîñòàâëåííîìó óñëîâèþ Mj Mj = onst, îäíàêî â ñëó÷àå, åñëè ïðèâåäåííîå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ, òî îíî îáÿçàíî âûïîëíÿòüñÿ è äëÿ ëèíåéíûõ ïîëåé Mj = Ajk xk , ó êîòîðûõ ìàòðèöà A ÿâëÿåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íîé, òàê êàê â ëþáîé òî÷êå x, íàïðèìåð â íóëåâîé, ãäå îíî âûïîëíÿåòñÿ, îíî òàêæå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ è ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèé îò ýòîé òî÷êè. Ïðè ýòîì â ñèëó ñîõðàíåíèÿ Mj Mj äëÿ ìàòðèöû äîëæíî èìåòü ìåñòî A + AT = 0.  ðåçóëüòàòå óêàçàííîé ïîäñòàíîâêè ïîëó÷àåì h i 2 εjkl Akj (AM)l + Mk (A )lj − (AM)k Alj − Mk Alj SpA = 0 . Ïîëîæèì ìàòðèöà A àíòèñèììåòðè÷íà. Òîãäà A2 ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà è SpA = 0. Ïîýòîìó h i εjkl Akj (AM)l − (AM)k Alj = 0 âñëåäñòâèå ðàâåíñòâà íóëþ ñâåðòêè ñèììåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ. Äàëåå, ââèäó òîãî, ÷òî xj ïðîèçâîëüíûé âåêòîð è det A 6= 0, òî Mj ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Òîãäà, ïî òîé æå ïðè÷èíå, AM ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, è ïîòîìó äè åðåíöèðîâàíèåì ïî ýòîìó âåêòîðó, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî εjknAkj = εjnl Alj = 0, êîòîðîå äîëæíî áûòü âåðíûì äëÿ ëþáîé àíòèñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A. Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî εjkn Akj = 0. Îòêóäà ñâåðòêîé ñ εnlm ïîëó÷àåì Alm = Am l, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò àíòèñèììåòðèè ìàòðèöû A. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàâåíñòâî (45) íåâîçìîæíî äëÿ ëþáûõ ïîëåé Mj , è ïîýòîìó c14 = c15 = 0. Ïåðåéäåì òåïåðü ê àíàëèçó âîçìîæíîñòè íàëè÷èÿ òîæäåñòâ â ñïèñêå (38) âûðàæåíèé (M, F), èìåþùèõ ñòåïåíü äâà ïî ïîëþ Mj . Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî â ñïèñêå òàêèõ âûðàæåíèÿ èìåþòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíûå íóëþ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ M2 = onst. À èìåííî, òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ ñ íîìåðàìè a = 4, 5, 8.  ñàìîì äåëå, äëÿ âûðàæåíèÿ ñ ñèëîé ïîä íîìåðîì a = 4 èìååì Mi ([∇, M], ∇iM) = Mi εjkl ∇k Ml ∇j Mi =
37 = εjkl ∇k Ml Mi ∇j Mi − Ml εjkl (∇k Mi )(∇j Mi ) = 0 , ãäå îáà ñëàãàåìûõ, ïîëó÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì îïåðàòîðà ∇k ðàâíû íóëþ; ïåðâîå âñëåäñòâèå ïðåäïîëîæåíèÿ Mi Mi = onst, Mi ∇j Mi = 0, à âòîðîå âñëåäñòâèå ñâåðòêè ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà ñ àíòèñèììåòðè÷íûì. Äëÿ âûðàæåíèÿ ñ ñèëîé ïîä íîìåðîì a = 5, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð ∇j ê êàæäîìó ñîìíîæèòåëþ, èìååì Mi (∇, [M, ∇]Mi) = Mi ∇j εjkl Mk ∇l Mi = = εjkl (∇j Mk )Mi∇l Mi + Mi εjkl Mk ∇j ∇l Mi = 0 ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ â ñèëó Mi ∇j Mi = 0, à âòîðîå ââèäó ñâåðòêè ñèììåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ. Ïî òåì æå ïðè÷èíàì, ðàâíî íóëþ âûðàæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ñèëå ïîä íîìåðîì a = 8, Mi (∇, Mi[∇, M]) = Mi ∇j Mi εjkl ∇k Ml = = Mi (∇j Mi )εjkl ∇k Ml + Mi Mi εjkl ∇j ∇k Ml = 0 . Òàêèì îáðàçîì ñëåäóþùèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèëû Fi èç ñïèñêà (38) îáåñïå÷èâàþò ñîõðàíåíèå êâàäðàòà ïîëÿ M: ([∇, M], ∇iM) , (∇, [M, ∇]Mi) , (∇, Mi[∇, M]) . (46) Ïðîàíàëèçèðóåì, òåïåðü, âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ñêàëÿðíûìè óíêöèÿìè, ïðåäñòàâëåííûìè îñòàâøèìèñÿ âûðàæåíèÿìè (M, F): Mi ∇i(M, [∇, M]) , Mi (∇, [M, ∇]iM) , Mi[∇, M(∇, M)]i , Mi (∇, M[∇, M]i) , Mi [∇, (M, ∇)M]i . (47) Ïîäñòàâèì â âîçìîæíîå ñîîòíîøåíèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó íèìè α1 Mi ∇iMj εjkl ∇k Ml + α2 Mi ∇j εikl Mk ∇l Mj + α3 Mi εijk ∇j Mk ∇l Ml + +α4 Mi ∇j Mj εikl ∇k Ml + α5 Mi εijk ∇j Ml ∇l Mk = 0 . (48) ëèíåéíîå âûðàæåíèå äëÿ ïîëÿ Mj = Ajk xk ñ ïðîèçâîëüíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé A. Òîãäà èìååì ðàâåíñòâî α1 (A2)jn εjkl Alk + α2 Ainεikl (A2 )kl + α3 Ainεijk Akj SpA+
38 +α4 Ainεikl Alk SpA + α5 Ainεijk (A2)kj = 0 . Òàê êàê ìàòðèöà A àíòèñèììåòðè÷íà, òî SpA = 0 è A2 ñèììåòðè÷íà. Òîãäà ýòî ðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â α1 (A2 )jnεjkl Alk = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî α1 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, òàê êàê ìàòðèöà A íåâûðîæäåíà (âñå åå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ÷èñòî ìíèìûå), òî ó ìàòðèöû A2 òàêæå íåò íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ïîýòîìó εjkl Akl íå ìîæåò áûòü åå ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì ÷èñëîì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî εjkl Alk = 0 è ñâåðòêîé îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà ñ εjmn íàõîäèì, ÷òî Amn = Anm. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî α1 = 0. (1) Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî α1 = 0 ïîäñòàâèì â (48) ïîëå Mj (x) = Aj + Mj , (1) Mj = ReBj exp[i(n, x)] ñ òåìè æå ÷òî è ðàíåå èñïîëüçîâàííûìè ñâîéñòâàìè êîý èöèåíòîâ A è B. Òàêàÿ ïîäñòàíîâêà ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó (2) (2) Mi εikl α2 nl ∇j Mk Mj − α3 nj ∇l Mk Mj + + (1) ãäå ∇k Mj (2) α4 nk ∇j Mj Ml − (2) α5 nj ∇l Mj Mk (2) = 0, = 0 . (49) = nk Mj , è äàëåå, (2) (2) (1) Mi εikl (α2 − α3 )nl nj (Mk Mj − Mk Mj )+ (2) (2) +α4 nk nj (Ml Mj − (1) Mj Ml ) − (2) (2) α5 nj nl (Ml Mk − (1) Mk Ml ) Ïîëîæèì â ïîëó÷åííîì ðàâåíñòâå, ñíà÷àëà, n ⊥ M(1) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ðàäèóñ-âåêòîðà x, îò êîòîðîãî çàâèñèò M(1) è, ñëåäîâàòåëüíî, n ⊥ M(2) . Òîãäà èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî (1) α4 Aiεikl nk Ml nj Aj = 0 . Âûáðàâ âåêòîð n òàê, ÷òîáû (n, A) 6= 0 è ïðè ýòîì n 6 k A, ïîëó÷èì, ÷òî (1) Ai εikl nk Ml 6= 0, òàê êàê A ⊥ M(1) . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî α4 = 0. Ó÷èòûâàÿ ýòî ðàâåíñòâî â (49), ïîäñòàâèì â íåãî âåêòîð n, ïåðïåíäèêóëÿðíûé A. Òîãäà ñëàãàåìîå ñ α5 èñ÷åçàåò, è ïîýòîìó èç ïîëó÷èâøåãîñÿ ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî (2) (2) (1) Mi εikl (α2 − α3 )nl nj (Mk Mj − Mk Mj ) = 0 . (50)
39 Âûáðàâ òåïåðü âåêòîð n, ïîëó÷èì èç ýòîãî ðàâåíñòâà h i (2) (2) (1) (1) (1) (2) (2) (1) (α2 − α3 )εikl nl nj Ai(Mk Mj − Mk Mj ) + Mi (Mk Mj − Ak Mj ) = i h (2) (2) (1) (2) (2) = (α2 − α3 )εikl nl nj Ai (Mk Mj + Mi (Mk Mj = h i (2) (2) (1) (2) = (α2 − α3 )(n, M ) (A, [M , n]) + (M , [M , n]) = 0 . Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ïðè ëþáîì âåêòîðå n, êîòîðûé ìû âûáåðåì òàê, ÷òîáû (n, M(2)) 6= 0, áîëåå òîãî, ìû åãî âûáåðåì òàê, ÷òîáû îí áûë ïåðïåíäèêóëÿðåí íè ReB, íè ImB. Íî òîãäà (M(1), [M(2), n]) 6= 0 è ðàâåíñòâî íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ïðè α2 6= α3 äëÿ ëþáîãî ðàäèóñ-âåêòîðà x, òàê êàê ýòî ñëàãàåìîå â ñêîáêàõ ñîäåðæèò êâàäðàòè÷íóþ êîìáèíàöèþ îòíîñèòåëüíî exp[i(n, x)], à ïåðâîå ñëàãàåìîå èìååò ïåðâóþ ñòåïåíü îòíîñèòåëüíî ýòîé ýêñïîíåíòû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî α2 = α3 . Ïîêàæåì, íàêîíåö, ÷òî Mi εikl ∇j Mk ∇l Mj − ∇l Mk ∇j Mj = 0 (51) äëÿ ïîëåé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Mj Mj = M 2 . Âî ïåðâûõ, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî íóëþ ñâåðòêè εikl Mi Mk , ëåâàÿ ÷àñòü (51) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå Mi εikl (∇j Mk ) · (∇l Mj ) − (∇l Mk ) · (∇j Mj ) . Ââåäåì ìàòðèöó Akl = ∂Mk /∂l . Òîãäà, â òåðìèíàõ ýòîé ìàòðèöû, ïîñëåäíåå âûðàæåíèå èìååò âèä 2 Mi εikl (A )kl − Akl SpA . Äè åðåíöèðóÿ æå ïî xk óñëîâèå Mj Mj = M 2 èìååì äîïîëíèòåëüíóþ ñâÿçü ìàòðèöû A ñ âåêòîðîì Mj , Mj Ajk = 0, k = 1, 2, 3. Çàïèøåì ýòî ðàâåíñòâî â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ãäå Mj = 0, j = 2, 3, M1 6= 0, A1k = 0 , k = 1, 2, 3 . (52) Òîãäà, â ñèëó ýòèõ ðàâåíñòâ, èññëåäóåìîå âûðàæåíèå, äåéñòâèòåëüíî, îáðàùàåòñÿ â íóëü, 2 ε1kl (A )kl − Akl SpA =
40 = (A21A13 − A31A12) + (A22A23 − A32A22) + (A23A33 − A33A32) − − (A23 − A32)(A11 + A22 + A33) = = (A21A13 − A31A12) − (A23 − A32)A11 = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, (51) èìååò ìåñòî â âûáðàííîé íàìè ñèñòåìå êîîðäèíàò, è ïîýòîìó îíî âåðíî, â ñëåäñòâèå åãî èíâàðèàíòíîñòè, â ëþáîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òåîðåìà 3. Âåñü êëàññ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë F, êîòîðûé îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà εikl ∇j Mk ∇j Ml , (M, M) = 0 äàåòñÿ ñëåäóþùèì ñïèñêîì εikl ∇j Mj Mk Mm ∇mMl , ∇j Mi εjkl ∇k Ml , εjkl ∇k Ml ∇i Mj , ∇j εjkl Mk ∇l Mi , εikl ∇j Mk ∇l Mj − ∇l Mk ∇j Mj .
41 8. Çàêëþ÷åíèå  ðàáîòå ðåøåíà çàäà÷à îá îïèñàíèè êëàññà âñåõ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ñ äè åðåíöèàëüíûì ýâîëþöèîííûì îïåðàòîðîì ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïðîèçâîäíûì äèâåðãåíòíîãî òèïà äëÿ ïñåâäîâåêòîðíîãî ïîëÿ M(x). Ïðè ýòîì íà âîçìîæíûé âûáîð ýâîëþöèîííîãî îïåðàòîðà íàëîæåíû äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ: îí äîëæåí ñîäåðæàòü ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà, äîëæåí áûòü êîâàðèàíòíûì ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ãðóïïû O3 (ïîâîðîòû è îòðàæåíèÿ åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà) è ïðè ýòîì äîëæåí áûòü ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûì. Äàëåå, èç ýòîãî êëàññà ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé âûäåëåí êëàññ òàêèõ èç íèõ, êîòîðûå îáëàäàþò èíâàðèàíòîì M2 (x, t) = M 2 .  ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííîãî èññëåäîâàíèÿ îêàçàëîñü, ÷òî âñå óðàâíåíèÿ èññëåäóåìîãî êëàññà èìåþò ñëåäóþùèé âèä Ṁi = γ1 εikl ∇j Mk ∇j Ml + γ2εikl ∇j Mj Mk Mm ∇mMl + +γ3εjkl ∇k Ml ∇iMj + γ4∇j εjkl Mk ∇l Mi + γ5 ∇j Mi εjkl ∇k Ml + +γ6 εikl ∇j Mk ∇l Mj − ∇l Mk ∇j Mj . ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûìè γa è a = 1 ÷ 6.  ÷àñòíîñòè, åñëè âñå ïîñòîÿííûå γa = 0 ïðè a = 2÷6 èç ýòîãî îáùåãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëàíäàó-Ëè øèöà äëÿ ïëîòíîñòè ìàãíèòíîãî ìîìåíòà åððîìàãíåòèêà â îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Çàìåòèì, ÷òî íàéäåííûå ýâîëþöèîííûå óðàâíåíèÿ, â îáùåì ñëó÷àå, íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî çàìåíû t ⇒ −t, M ⇒ −M. À èìåííî, òàêîé òèï èíâàðèàíòíîñòè, êîòîðûì îáëàäàåò óðàâíåíèå Ëàíäàó-Ëè øèöà, íàðóøàåòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà õîòÿ áû îäíà èç ïîñòîÿííûõ γa , a = 3÷6 îòëè÷íà îò íóëÿ. Òîãäà ìîæíî îæèäàòü, ÷òî íàëè÷èå òàêèõ ñëàãàåìûõ ïðèâîäèò ê ýâîëþöèîííûì óðàâíåíèÿì, êîòîðûå íå îáëàäàþò îáðàòèìîñòüþ äâèæåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ îïèñàííîãî êëàññà, â îáùåì ñëó÷àå, íå ÿâëÿþòñÿ ñîëåíîèäàëüíûìè, òî åñòü íå îáëàäàþò èíâàðèàíòîì (∇, M) = 0.
42 Ëèòåðàòóðà 1. Àõèåçåð À.È., Áàðüÿõòàð Â.
., Ïåëåòìèíñêèé Ñ.Â. Ñïèíîâûå âîëíû / Ì.: Íàóêà, 1967. 368 . 2. Ëàíäàó Ë.Ä., Ëè øèö Å.Ì. Ýëåêòðîäèíàìèêà ñïëîøíûõ ñðåä / Òåîðåòè÷åñêàÿ èçèêà ò.8 / Ì.: Íàóêà, 1982. 620 . 3. àøåâñêèé Ï.Ê. èìàíîâà ãåîìåòðèÿ è òåíçîðíûé àíàëèç / Ì.: Íàóêà, 1967. 664 . 4. Àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû Âèêòîð
ðèãîðüåâè÷ Áàðüÿõòàð. Æèçíü â íàóêå / Íàö. àêàä. íàóê Óêðàèíû, Íàö. íàó÷. öåíòð ¾Õàðüê. èç.-òåõí. èí-ò¿. Ê. : Íàóêîâà äóìêà, 2010. 328 ñ. 5. Èñàåâ À.À., Êîâàëåâñêèé Ì.Þ., Ïåëåòìèíñêèé Ñ.Â.
àìèëüòîíîâ ïîäõîä ê òåîðèè àíòè åððîìàãíèòíûõ ñèñòåì // ÒÌÔ. 1993. 95:1. C.5873. Èñàåâ À.À., Êîâàëåâñêèé Ì.Þ., Ïåëåòìèíñêèé Ñ.Â.
àìèëüòîíîâ ïîäõîä â òåîðèè êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä ñî ñïîíòàííî íàðóøåííîé ñèììåòðèåé / Ôèçèêà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö è àòîìíîãî ÿäðà. 1996. 27. 2. C.431-492. 6. Ëàíäàó Ë.Ä., Ëè øèö Å.Ì.
èäðîäèíàìèêà / Ì.: Íàóêà, 1986. 7. Ìàê-Êîííåë À.Äæ. Ââåäåíèå â òåíçîðíûé àíàëèç ñ ïðèëîæåíèÿìè ê ãåîìåòðèè, ìåõàíèêå è èçèêå / Ì.:
îñ. èçä. ÔÌË, 1963. 412 . 8. Âèð÷åíêî Þ.Ï., Ä.À. ×óðñèí Ïëîòíîñòü ïîòîêà ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñ åðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ìàãíåòèêà // Belgorod State University S ienti Bulletin. Mathemati s & Physi s. 2015. 11(208); 39. Ñ.191-196.
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв