Соотношение Коши между модулями упругости третьего порядка при учёте трёхатомного взаимодействия

Диана Степаненко

Соотношение Коши между модулями упругости третьего порядка при учёте трёхатомного взаимодействия

Хорошо известно, что учёта потенциалов парных взаимодействий недостаточно для построения даже линейной теории упругости кристаллов. Поэтому целью данной дипломной работы явилось выявление линейного соотношения общего вида, которое должно возникать, если в теории учитываются не только парные, но и трёхатомные взаимодействия. Более того, приведено доказательство того, что это соотношение также справедливо для кристаллов произвольной симметрии.

Физика

Дипломы

Вуз: Южный федеральный университет (ЮФУ)

ID: 57d7f5ae5f1be768bb6676b7

UUID: 55b91ce0-5bde-0134-861b-525400003e20

Язык: Русский

Опубликовано: около 8 лет назад

Просмотры: 60

11.2

Диана Степаненко

Южный федеральный университет (ЮФУ)

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 0 байт

Поделиться работой

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Физический факультет Кафедра теоретической и вычислительной физики Степаненко Диана Игоревна ___________ СООТНОШЕНИЕ КОШИ МЕЖДУ МОДУЛЯМИ УПРУГОСТИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ПРИ УЧЁТЕ ТРЁХАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДИПЛОМНАЯ РАБОТА по специальности 010701 –Физика Научный руководитель – проф., д. ф.-м. н. Гуфан Юрий Михайлович ___________ К защите допускаю: Заведующий кафедрой теоретической и вычислительной физики проф., д. ф.-м. н. Бугаев ЛусегенАрменакович ___________ Ростов-на-Дону – 2014

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3 Глава 1. Связь макроскопических эластических характеристик кристаллов с симметрией взаимодействий между атомами ...................................................... 6 Глава 2. Соотношения Коши при учёте парных и трёхатомных взаимодействий ....................................................................................................... 8 РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ ........................................................................................... 12 1. Выводы частных случаев потенциала межатомного взаимодействия ... 12 1.1. Двухчастичное взаимодействие ........................................................... 13 1.2. Трёхчастичное взаимодействие ........................................................... 14 2. Вывод общего случая потенциала тройного взаимодействия ................ 17 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 27 ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ..................................................................... 28 ПРИЛОЖЕНИЕ ..................................................................................................... 29 Часть 1 ................................................................................................................. 29 Часть 2 ................................................................................................................. 35 2

ВВЕДЕНИЕ Важнейшими характеристиками кристаллов, с точки зрения возможного их использования, являются модули упругости, как второго, так и более высоких порядков. Измерение модулей упругости высокого порядка процесс достаточно трудоёмкий. Поэтому разработка моделей, позволяющих адекватно описывать и предсказывать нелинейные механические свойства металлов, приобретает всё большее значение. Наиболее проблематичным при построении микроскопической теории эластических характеристик кристаллов является выбор модели потенциала межатомных взаимодействий [1]. Существует уверенность, что потенциалы взаимодействий между атомами, в принципе могут быть вычислены в рамках квантовомеханических моделей. Однако, известно, что даже в кластерах с малым числом атомов, кроме случая двух атомов водорода [2], потенциалы взаимодействия не поддаются точному вычислению даже в адиабатическом приближении [3]. Поэтому на практике используются десятки разных эффективных потенциалов взаимодействия между атомами, которые подбираются на основе правдоподобных полуэмпирических соображений [4]. В большинстве работ по микроскопической теории модулей упругости используются потенциалы, учитывающие, только парные (центральные) взаимодействия [1,4]. Хорошо известно, что учёта потенциалов парных взаимодействия недостаточно для построения даже линейной теории упругости кристаллов [5]. Так, учёт в теории только парных взаимодействий с необходимостью приводит к ряду ошибочных утверждений, относительно макроскопических характеристик кристаллов, таких как поверхностная энергия, энергия вакансий, энергия когезии и так далее. Причиной непригодности парных потенциалов для описания свойств конденсированного состояния является тот факт, что взаимодействия между атомами формируются за счёт перекрытия волновых функций электронов и кулоновских взаимодействий 3

электронов и атомных остовов. Плотность вероятности распределения электронов вокруг данного узла кристаллической решётки определяется не только атомом, расположенным на данном узле, но и всеми атомами, составляющими окружение этого узла, то есть расположенных в нескольких ближайших к этому атому координационных сферах. Количественные расчеты показывают, что в металлах существенное влияние на состояние электронного облака атомов оказывают соседи, расположенные даже на расстоянии равном семи расстояниям между ближайшими соседями [5]. Имеется доказательство, что для непротиворечивого описания изменения симметрии при некоторых фазовых переходах типа упорядочения, необходимо учитывать взаимодействия между атомами, как минимум, в 11 координационных сферах [6]. Следовательно, взаимодействия между атомами в конденсированных средах по своей природе зависят от координат большого числа частиц. Поэтому, полная энергия взаимодействия между атомами обычно записывается, в виде суммы энергий взаимодействия мысленно выделенных кластеров, состоящих из пар, троек, четвёрок и/или даже большего количества атомов [5]. При этом предполагается, что в энергию взаимодействия троек атомов включается только слагаемые полной энергии, которые не сводятся к сумме энергий пар атомов, входящих в эту тройку. В энергию взаимодействия четвёрок включается слагаемые, которые не сводятся к взаимодействию пар и троек и т.д. Однако аналитическая зависимость энергии от координат атомов в таком подходе, как и в случае учёта, только парных взаимодействий, по-прежнему остаётся неизвестной. Для аналитической записи энергии взаимодействия, зависящей от координат более чем пары атомов, в теорию, с эмпирически подобранным парным потенциалом, добавляют ещё несколько достаточно произвольно подобранных функций координат трёх и/или большего количества атомов со своими феноменологическими параметрами [7]. Параметры потенциалов определяются путём сопоставления вычисляемых в теории значений модулей упругости с их значениями, установленными экспериментально. Полученные 4

феноменологические параметры потенциала используются для предсказания остальных модулей упругости. При этом оказывается, что параметры потенциалов, описывающих парные взаимодействия, зависят от предполагаемого вида взаимодействия между тройками атомов, а также существенно изменяются при дальнейших попытках уточнения теории учётом дополнительных слагаемых энергии парных взаимодействий [4]. Положение не изменяется при использовании для расчёта модулей упругости квантово-механических структуру спектра энергий моделей, электронов. позволяющих Основываясь вычислять на знании энергетического спектра (по крайней мере, в принципе) можно рассчитывать механические и термодинамические характеристики, в частности, модули упругости [7]. Однако, во всех моделях, применяемых для расчёта электронных спектров, остаётся та же проблема выбора аналитического вида потенциальной энергии взаимодействия между атомами, что и в классических моделях. Таким образом, целью данной дипломной работы является выявление линейного соотношения общего вида, которое должно возникать между компонентами тензора модулей упругости третьего порядка, если в теории учитываются только парные и трёхатомные взаимодействия и доказательство того, что это соотношение справедливо для кристаллов произвольной симметрии. 5

Глава 1. Связь макроскопических эластических характеристик кристаллов с симметрией взаимодействий между атомами Заметим, что в гамильтонианы всех квантово-механических моделей, используемых для вычисления модулей упругости (в том числе моделей погруженного атома (EAM), моделей молекулярной динамики, теории функционала электронной плотности (DFT)) с необходимостью входят потенциалы парных взаимодействий между атомами. Эти потенциалы, по определению, являются методом приближённого учёта кулоновских и обменных взаимодействий между электронами атомов. Явный аналитический вид потенциалов парных взаимодействий никогда не известен. Его подбирают, исходя из возможного вида взаимодействия между двумя атомами, образующими изолированную пару [2,3]. Уже это указывает на возникающую в подобных моделях неопределённость значения энергии когезии. Эта неопределённость усиливается из-за того, что кроме парных взаимодействий в энергию когезии вносят аддитивный вклад взаимодействия троек, четвёрок и больших групп атомов, которые нельзя свести к взаимодействиям пар. Аналитический вид ни одного из этих типов взаимодействий нельзя установить корректно, основываясь на более глубокой микроскопической теории. Известна только симметрия зависимости этих взаимодействий от координат атомов. Об эффективно парном взаимодействии двух одинаковых точечных частиц, расположенных на определенных узлах кристаллической решётки или просто в пространстве, априори известно только то, что оно обладает осевой симметрией, то есть зависит только от одной переменной: суммы квадратов разностей координат этих частиц. Уже этого достаточно, чтобы сделать ряд точных утверждений о свойствах веществ, между атомами которых существуют только эффективно парные взаимодействия. Во-первых, парные взаимодействия в принимаемом смысле всегда центральные. Вовторых, энергия когезии атомов в этих кристаллах равна по величине энергии образования точечного дефекта типа вакансии, но имеет противоположный 6

знак. В этом утверждении не явно присутствует дополнительная гипотеза о малости энергии релаксации кристаллической решётки вблизи дефекта. Втретьих, у кристаллов, между атомами которых действуют только парные центральные силы, симметрийно независимые модули упругости всех порядков не являются независимыми величинами. Подчеркнём, что при включении аппарата теории симметрии в теорию свойств кристаллов, состоящих из одинаковых атомов, необходимо учитывать вклад в полную энергию, энергий взаимодействия не менее, чем четвёрок атомов [3]. Как хорошо известно, теория, не учитывающая взаимодействия четвёрок атомов, с необходимостью приводит к выводу, противоречащему термодинамике: не все симметрийно независимые модули упругости третьего и более высоких порядков являются независимыми величинами. Однако в реальных экспериментах измерение модулей упругости 4-го порядка очень затруднено. При малых деформациях, то есть деформациях, при которых «почти» справедлив закон Гука, основной вклад в нелинейные характеристики распространения акустических волн вносят модули упругости третьего порядка, конечно, если нет специальных симметрийных запретов на существование модулей упругости третьего порядка. В той области внешних условий, при которых пропорциональность между действующими напряжениями и деформациями нарушается «сильно», и при расчётах необходимо учитывать модули упругости четвёртого порядка, при распространении ультразвука начинают проявляться эффекты затухания, и задача получения значений модулей упругости становится чрезвычайно сложной. Поэтому во многих случаях модули упругости третьего порядка измерены с погрешностью, превышающей 5÷10%, а при измерении модулей упругости четвёртого порядка погрешность измерений превышает 30÷50%. Поэтому во многих практически важных расчётах, в которых существенно учитывать нелинейные деформации, при построении теории учитываются только модули упругости третьего порядка. Таким образом, в целом ряде работ исследовался вопрос к каким погрешностям в расчётах нелинейных 7

характеристик кристаллов может привести теория, учитывающая модули упругости только третьего порядка. Глава 2. Соотношения Коши при учёте парных и трёхатомных взаимодействий Известно, что при учёте только парных взаимодействий теория предсказывает не реализующиеся в природе соотношения Коши между модулями упругости второго порядка [8]: 𝐶𝑖𝑗,𝑘𝑙 = 𝐶𝑖𝑘,𝑗𝑙 (1) А также, аналогичные соотношения между модулями упругости третьего порядка: 𝐶𝑖𝑗,𝑘𝑙,𝑚𝑛 = 𝐶𝑖𝑘,𝑗𝑙,𝑚𝑛 = 𝐶𝑖𝑗,𝑘𝑚,𝑙𝑛 = . . . Подобные соотношения в теории, учитывающей (2) только парные взаимодействия, возникают в модулях упругости всех порядков. Для устранения из теории «не физических» соотношений Коши (1-2), в потенциальную энергию включают эмпирические потенциалы взаимодействия кластеров, содержащих n атомов (n>2), не сводимые к потенциалам взаимодействия пар. Первое приближение в разложении полной энергии по энергиям кластеров учитывает только парные взаимодействия атомов. Следующее приближение учитывает энергии взаимодействия троек атомов, и так далее. Учёт в полной потенциальной энергии кристалла энергий взаимодействия троек и/или большего числа атомов, позволяет установить зависимость энергии взаимодействия между атомами любой пары от расположения пары в кристаллической решётке. При этом симметрия эффективной энергии взаимодействия пары атомов оказывается ниже, чем осевая, что и приводит к нарушению соотношений (1-2). По целому ряду, в основном «технических», причин, при построении микроскопической теории нелинейных эластических характеристик кристаллов обычно ограничиваются учётом кластеров, содержащих не более трёх атомов. Однако взаимодействия троек атомов, не сводимые к 8

взаимодействию пар, также обладают дополнительной симметрией, не характерной для кристаллических решеток: при любом расположении тройки точечных атомов в кристалле, эти взаимодействия инвариантны относительно отражения в плоскости, проходящей через взаимодействующие атомы. Поэтому трехатомные взаимодействия, нарушая соотношения Коши для модулей упругости второго порядка (1), оставляют определенное соотношение между константами упругости третьего порядка, которое не следует ни из внутренней симметрии модулей упругости, ни из кристаллической симметрии. Для кубических кристаллов оставшееся соотношение между модулями упругости третьего порядка имеет вид1: 𝐶123 − 3𝐶144 + 2𝐶456 ≡ 0 (3) Это соотношение было доказано в [9] аналитически, основываясь на явном виде зависимости неприводимой энергии от конкретного вида функции инвариантов [5]. Затем в [10] этот же результат был получен методом суммирования решёточных сумм, представляющих собой полную неприводимую потенциальную энергию и её производные по компонентам тензора деформаций. В обоих случаях результат был получен для кубических кристаллов. Наша же задача - получить точное выражение, заменяющее (3) для общего вида неприводимой потенциальной энергии и для кристаллов произвольной симметрии. Резюмируя, скажем, что целью данной дипломной работы явилось вычисление модулей упругости третьего порядка в рамках предположения о том, что неприводимыми взаимодействиями более чем трёх атомов в конденсированном 1 (кристаллическом, аморфном, жидком) состоянии Соотношение (3) было получено ранее в [11] для частного вида потенциала трёхчастичных взаимодействий, не учитывающего инвариантность относительно перестановки частиц. Кроме этого в [11] предполагается, что потенциал зависит только от модулей 𝑟𝑖𝑘 . Соотношение (3) для кристаллов произвольной симметрии без дополнительных ограничений на вид потенциала можно получить, воспользовавшись целым рациональным базисом инвариантов (ЦРБИ(IRBI)) группы 𝐺 ≡ 𝑂(3) ∗ 𝑃𝑁 , построенным на векторах (𝑟⃗𝑖𝑘 ) соединяющих атомы в тройках [5,10]. 9

вещества можно пренебречь. Модули упругости N-го порядка, о которых идёт речь, определяются в виде производных N-того порядка, потенциальной энергии 𝐸, зависящей от компонент тензора деформаций 𝜀𝛼 : 6 6 𝛽=1 𝛽,𝛾=1 𝜕𝐸({𝜀𝛼 }) 1 𝜕 2 𝐸({𝜀𝛼 }) ∆𝐸({𝜀𝛼 }) ≡ ∑ 𝑑𝜀𝛽 + 𝑑𝜀𝛽 𝑑𝜀𝛾 ∑ 𝜕𝜀𝛽 2! 𝜕𝜀𝛽 𝜕𝜀𝛾 6 (4) 1 𝜕 3 𝐸({𝜀𝛼 }) + 𝑑𝜀 𝑑𝜀 𝑑𝜀 ∑ 3! 𝜕𝜀𝛽 𝜕𝜀𝛾 𝜕𝜀𝛿 𝛽 𝛾 𝛿 𝛽,𝛾,𝛿=1 Суммарная энергия неприводимых взаимодействий троек атомов (последнее слагаемое в (4)) может быть представлена в виде: 3 3 𝛼=1 𝛼,𝛽=1 𝛼≠𝛽 1 1 ∆𝐸3 ({𝜀𝛼 }) = ∑ 𝐶𝛼𝛼𝛼 𝜀𝛼3 + ∑ 𝑃𝛼𝛽 𝐶𝛼𝛽𝛽 𝜀𝛼 𝜀𝛽2 3! 3! 3 1 + ∑ 𝑃𝛼𝛽𝛾 𝐶𝛼𝛽𝛾 𝜀𝛼 𝜀𝛽 𝜀𝛾 3! (5) 𝛼,𝛽,𝛾=1 𝛼≠𝛽≠𝛾 В (5) 𝑃𝛼𝛽 , 𝑃𝛼𝛽𝛾 – операторы перестановки нижних индексов. Основой для такого сокращения числа переменных, от которых зависит энергия, послужила симметрия неприводимых потенциальных энергий кластеров относительно перестановки номеров атомов и свободного вращения Nатомного кластера в трехмерном пространстве. Ранее, был предложен метод уточнения зависимости потенциальной энергии N-атомных взаимодействий одинаковых атомов от их координат [10]. Метод сводил вычисление потенциальной энергии взаимодействия атомов к вычислению зависимости энергии от набора базисных инвариантов относительно группы пространственных преобразований 𝐺 ≡ 𝑂(3) ∗ 𝑃𝑁 , составленных из проекций векторов, соединяющих центры атомов. Здесь 𝑂(3)– группа произвольных вращений трёхмерного пространства, а 𝑃𝑁 – группа перестановок номеров N одинаковых атомов. В частности, полная 10

неприводимая потенциальная энергия трёхатомного кластера зависит от трёх инвариантов, записанных в виде полиномов координат векторов, соединяющих центры атомов 𝑖, 𝑗, 𝑘 [10], которые могут быть записаны в виде (6), и позволят нам получить общий вид потенциала энергии трёхатомного взаимодействия: 2 2 𝐼1 = 𝑟⃗𝑖𝑗2 +𝑟⃗𝑗𝑘 + 𝑟⃗𝑘𝑖 2 2 2 2 2 𝐼2 = 𝑟⃗𝑖𝑗2 𝑟⃗𝑗𝑘 +𝑟⃗𝑗𝑘 𝑟⃗𝑘𝑖 + 𝑟⃗𝑘𝑖 𝑟⃗𝑖𝑗 2 2 𝐼3 = 𝑟⃗𝑖𝑗2 𝑟⃗𝑗𝑘 𝑟⃗𝑘𝑖 11 (6)

РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ 1. Выводы частных случаев потенциала межатомного взаимодействия Введём обозначения: (1) (1) (1) 𝑅̃𝑖 = 𝑅𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑅𝑗 , (1) (2) (2) (2) 𝑅̃𝑖 = 𝑅𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑅𝑗 , (1,2) где 𝑅𝑖 – компоненты радиус-вектора положения 1-го и 2-го атомов (1,2) недеформированного кристалла, соответственно 𝑅̃𝑖 - компоненты радиус- вектора положения 1-го и 2-го атомов кристалла после наложения деформации, 𝜀𝑖𝑗 - линейный тензор деформации. Тогда (2) (1) (2) (2) (1) (1) 𝑅̃𝑖 − 𝑅̃𝑖 = [𝑅𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑅𝑗 ] − [𝑅𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑅𝑗 ] = (2) = 𝑅𝑖 (1) − 𝑅𝑖 (2) + 𝜀𝑖𝑗 (𝑅𝑗 (1) − 𝑅𝑗 ) Введём вектор 𝑟12 𝑖 : (2) 𝑟12 𝑖 = 𝑅𝑖 (1) − 𝑅𝑖 (2) Тогда 2 𝑅̃12 = (𝑟12𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑟12𝑗 )(𝑟12𝑖 + 𝜀𝑖𝑘 𝑟12𝑘 ) = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑖 + 𝑟12𝑖 𝑟12𝑘 𝜀𝑖𝑘 + 𝜀𝑖𝑗 𝑟12𝑗 𝑟12𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑘 𝑟12𝑘 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑖 + 2𝑟12𝑖 𝑟12 𝜀𝑖𝑗 + 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑘 𝜀𝑘𝑗 Стандартно определённый тензор деформации имеет вид: 1 ′ ′ 2 2 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑘 𝜀𝑘𝑗 , тогда 𝑅̃12 = 𝑅12 + 2𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑗 2 Полная потенциальная энергия взаимодействия атомов в кристалле выражается через тензоры упругости следующим образом: 𝐸 = 𝐸0 + 1 1 ′ ′ ′ ′ ′ 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 + 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 2! 3! 12 (3)

1.1. Двухчастичное взаимодействие 2 2 Инвариант имеет вид 𝐼 = 𝑅12 , 𝑉(𝑅̃12 ). Используем разложение в ряд Тейлора: ′ 𝑉(𝐼0 + 2𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) = 𝑉(𝐼0 ) + 𝑑𝑉(𝐼) ′ | (2𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 𝑑𝐼 𝐼=𝐼 0 1 𝑑 2 𝑉(𝐼) ′ 2 + 𝑟 𝜀 | (2𝑟 ) 12𝑖 12𝑗 𝑖𝑗 2! 𝑑𝐼 2 𝐼=𝐼 0 1 𝑑 3 𝑉(𝐼) ′ 3 + | (2𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 3 3! 𝑑𝐼 𝐼=𝐼 0 = 𝑉(𝐼0 ) + 𝑑𝑉(𝐼) ′ | (2𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 𝑑𝐼 𝐼=𝐼 0 1 𝑑 2 𝑉(𝐼) ′ ′ + 𝜀𝑘𝑙 ) | (4𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟12𝑘 𝑟12𝑙 𝜀𝑖𝑗 2 2! 𝑑𝐼 𝐼=𝐼 0 1 𝑑 3 𝑉(𝐼) ′ ′ ′ + 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 ) | (8𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟12𝑘 𝑟12𝑙 𝑟12𝑚 𝑟12𝑛 𝜀𝑖𝑗 3 3! 𝑑𝐼 𝐼=𝐼 0 Отсюда имеем тензоры деформации 2-го и 3-го ранга: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑑 2 𝑉(𝐼) =4 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 | 𝑑𝐼 2 𝐼=𝐼 12𝑖 12𝑗 12𝑘 12𝑙 (4) 0 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝑑 3 𝑉 (𝐼 ) =8 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 | 𝑑𝐼 3 𝐼=𝐼 12𝑖 12𝑗 12𝑘 12𝑙 12𝑚 12𝑛 0 ′ Если использовать разложение по 𝜀𝑖𝑗 , то выражение для 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 не содержит вторых производных потенциала парного межатомного взаимодействия. 13 (5)

1.2. Трёхчастичное взаимодействие 2 2 2 1.2.1. Инвариант вида 𝐼1 = 𝑅12 + 𝑅13 + 𝑅23 В наших обозначениях инвариант 𝐼1 после наложения деформации имеет вид: ′ 2 2 2 2 2 2 𝐼̃1 = 𝑅̃12 + 𝑅̃13 + 𝑅̃23 = 𝑅12 + 𝑅13 + 𝑅23 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 , где 𝐴𝑖𝑗 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 + 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 Тогда, используя разложение в ряд Тейлора, получаем: ′ 𝑉(𝐼̃1 ) = 𝑉(𝐼1 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) = 𝑉(𝐼1 )|𝐼1 =𝐼1(0) + 𝑑𝑉(𝐼1 ) | 𝑑𝐼1 𝐼 ′ (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 1 =𝐼1(0) 1 𝑑 2 𝑉(𝐼1 ) + | 2! 𝑑𝐼12 𝐼 ′ (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 2 1 𝑑 3 𝑉(𝐼1 ) + | 3! 𝑑𝐼13 𝐼 ′ (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 3 1 =𝐼1(0) 1 =𝐼1(0) = 𝑉(𝐼1 )|𝐼1 =𝐼1(0) + 𝑑𝑉(𝐼1 ) | 𝑑𝐼1 𝐼 ′ (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 1 =𝐼1(0) 1 𝑑 2 𝑉(𝐼1 ) + | 2! 𝑑𝐼12 𝐼 ′ ′ 𝐴𝑘𝑙 𝜀𝑘𝑙 (4𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 1 𝑑 3 𝑉(𝐼1 ) + | 3! 𝑑𝐼13 𝐼 ′ ′ ′ 𝐴𝑘𝑙 𝜀𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 𝜀𝑚𝑛 (8𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 ) 1 =𝐼1(0) 1 =𝐼1(0) Тогда имеем: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑑 2 𝑉(𝐼1 ) =4 | 𝑑𝐼12 𝐼 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 (6) 1 =𝐼1(0) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝑑 3 𝑉(𝐼1 ) =8 | 𝑑𝐼13 𝐼 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 1 =𝐼1(0) 14 (7)

2 2 2 2 2 2 1.2.2. Инвариант вида 𝐼2 = 𝑅12 𝑅13 + 𝑅12 𝑅23 + 𝑅13 𝑅23 Аналогично 1.2.1. имеем: ′ ′ ′ 2 ̃2 2 ̃2 2 ̃2 𝐼̃2 = 𝑅̃12 𝑅13 + 𝑅̃12 𝑅23 + 𝑅̃13 𝑅23 = 𝐼2 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 , где 2 2 𝐴𝑖𝑗 = 𝑅12 (𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 + 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 ) + 𝑅13 (𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 + 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 ) + 2 +𝑅23 (𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 ) 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟13𝑘 𝑟13𝑙 + 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟23𝑘 𝑟23𝑙 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 𝑟23𝑘 𝑟23𝑙 Используем разложение в ряд Тейлора: ′ ′ ′ 𝑉(𝐼̃2 ) = 𝑉(𝐼2 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 ) = 𝑉(𝐼2 )|𝐼2=𝐼2(0) + 𝑑𝑉(𝐼2 ) | 𝑑𝐼2 𝐼 ′ ′ ′ + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 ) (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 2 =𝐼2(0) 1 𝑑 2 𝑉(𝐼2 ) + | 2! 𝑑𝐼22 𝐼 ′ ′ ′ + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 ) (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 2 1 𝑑 3 𝑉(𝐼2 ) + | 3! 𝑑𝐼23 𝐼 ′ ′ ′ + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 ) (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 3 2 =𝐼2(0) 2 =𝐼2(0) Тогда имеем: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑑 2 𝑉(𝐼2 ) =4 | 𝑑𝐼22 𝐼 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 + 4 2 =𝐼2(0) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝑑𝑉(𝐼2 ) | 𝑑𝐼2 𝐼 (𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) (8) (𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑖𝑗𝑚𝑛 (9) 2 =𝐼2(0) 𝑑 3 𝑉(𝐼2 ) =8 | 𝑑𝐼23 𝐼 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 2 =𝐼2(0) 𝑑 2 𝑉(𝐼2 ) +8 | 𝑑𝐼22 𝐼 2 =𝐼2(0) + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑚𝑛𝑖𝑗 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) 15

2 2 2 1.2.3. Инвариант вида:𝐼3 = 𝑅12 𝑅13 𝑅23 Аналогично: ′ ′ ′ ′ ′ ′ 2 ̃2 ̃2 𝐼̃3 = 𝑅̃12 𝑅13 𝑅23 = 𝐼3 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 + 8𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 , где 2 2 2 2 2 2 𝐴𝑖𝑗 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑅13 𝑅23 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 𝑅12 𝑅23 + 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 𝑅12 𝑅13 2 2 2 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟13𝑘 𝑟13𝑙 𝑅23 + 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟23𝑘 𝑟23𝑙 𝑅13 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 𝑟23𝑘 𝑟23𝑙 𝑅12 𝐷𝑖𝑗 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟13𝑘 𝑟13𝑙 𝑟23𝑚 𝑟23𝑛 Используем разложение в ряд Тейлора: ′ ′ ′ ′ ′ ′ 𝑉(𝐼̃3 ) = 𝑉(𝐼3 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 + 8𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 ) = 𝑉(𝐼3 )|𝐼3 =𝐼3(0) + 𝑑𝑉(𝐼3 ) | 𝑑𝐼3 𝐼 ′ ′ ′ ′ ′ ′ + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 + 8𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 ) (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 3 =𝐼3(0) 1 𝑑 2 𝑉(𝐼3 ) + | 2! 𝑑𝐼32 𝐼 ′ ′ ′ + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 3 =𝐼3(0) ′ ′ ′ + 8𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 ) 1 𝑑 3 𝑉(𝐼3 ) + | 3! 𝑑𝐼33 𝐼 2 ′ ′ ′ + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 (2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 3 =𝐼3(0) ′ ′ ′ + 8𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 ) 3 Тогда имеем: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑑 2 𝑉(𝐼3 ) =4 | 𝑑𝐼32 𝐼 3 =𝐼3(0) 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 + 4 𝑑𝑉(𝐼3 ) | 𝑑𝐼3 𝐼 3 =𝐼3(0) 16 (𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) (10)

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝑑 3 𝑉(𝐼3 ) =8 | 𝑑𝐼33 𝐼 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 3 =𝐼3(0) 𝑑 2 𝑉(𝐼3 ) +8 | 𝑑𝐼32 𝐼 (𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑖𝑗𝑚𝑛 3 =𝐼3(0) (11) + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑚𝑛𝑖𝑗 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) +8 𝑑𝑉(𝐼3 ) | 𝑑𝐼3 𝐼 (𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐷𝑖𝑗𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐷𝑘𝑙𝑖𝑗𝑚𝑛 + 𝐷𝑘𝑙𝑚𝑛𝑖𝑗 3 =𝐼3(0) + 𝐷𝑚𝑛𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐷𝑚𝑛𝑘𝑙𝑖𝑗 ) 2. Вывод общего случая потенциала тройного взаимодействия Докажем, что тождество: 𝐶123 − (𝐶144 + 𝐶255 + 𝐶366 ) + 2𝐶456 ≡ 0 (1) выполняется для любых кристаллов, а не только для кубических. Считаем, что потенциал тройных взаимодействий имеет общий вид: 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ), где (2) 2 2 2 𝐼1 = 𝑅12 + 𝑅13 + 𝑅23 2 2 2 2 2 2 𝐼2 = 𝑅12 𝑅13 + 𝑅12 𝑅23 + 𝑅13 𝑅23 (3) 2 2 2 𝐼3 = 𝑅12 𝑅13 𝑅23 Мы рассмотрим вклад в потенциал только одной конкретной (1) (2) (3) произвольной тройки атомов с координатами общего вида 𝑅𝑖 , 𝑅𝑖 , 𝑅𝑖 . Так же, как и выше, введём обозначение (2) − 𝑅𝑖 (3) − 𝑅𝑖 𝑟12𝑖 = 𝑅𝑖 𝑟13𝑖 = 𝑅𝑖 (3) 𝑟23𝑖 = 𝑅𝑖 (1) (1) (2) − 𝑅𝑖 Аналогично, после наложения деформации: 17 (4)

2 𝑅̃12 = (𝑟12𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑟12𝑗 )(𝑟12𝑖 + 𝜀𝑖𝑘 𝑟12𝑘 ) = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑖 + 2𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑘 𝜀𝑘𝑗 2 𝑅̃13 = (𝑟13𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑟13𝑗 )(𝑟13𝑖 + 𝜀𝑖𝑘 𝑟13𝑘 ) = 𝑟13𝑖 𝑟13𝑖 + 2𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 𝜀𝑖𝑘 𝜀𝑘𝑗 2 𝑅̃23 = (𝑟23𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑟23𝑗 )(𝑟23𝑖 + 𝜀𝑖𝑘 𝑟23𝑘 ) = 𝑟23𝑖 𝑟23𝑖 + 2𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 𝜀𝑖𝑘 𝜀𝑘𝑗 Стандартно определённый тензор деформации имеет вид: 1 ′ 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑘 𝜀𝑘𝑗 , следовательно 2 ′ 2 2 𝑅̃12 = 𝑅12 + 2𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝜀𝑖𝑗 ′ 2 2 𝑅̃13 = 𝑅13 + 2𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 𝜀𝑖𝑗 ′ 2 2 𝑅̃23 = 𝑅23 + 2𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 𝜀𝑖𝑗 Соответственно получаем, что: (1) ′ 2 2 2 𝐼̃1 = 𝑅̃12 + 𝑅̃13 + 𝑅̃23 = 𝐼1 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 (2) ′ 2 2 ̃2 2 ̃2 2 ̃2 𝐼̃2 = 𝑅̃12 𝑅13 + 𝑅̃12 𝑅23 + 𝑅̃13 𝑅23 = 𝐼2 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 𝑂(𝜀 ′ ) (5) (3) ′ 2 2 ̃2 ̃2 𝐼̃3 = 𝑅̃12 𝑅13 𝑅23 = 𝐼3 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 𝑂(𝜀 ′ ) , где (1) 𝐴𝑖𝑗 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 + 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 (2) 2 2 𝐴𝑖𝑗 = 𝑅12 (𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 + 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 ) + 𝑅13 (𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 + 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 ) 2 + 𝑅23 (𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 ) = = 2 (𝑅13 + 2 )𝑟 𝑅23 12𝑖 𝑟12𝑗 + 2 (𝑅12 + 2 )𝑟 𝑅23 13𝑖 𝑟13𝑗 + 2 (𝑅12 + 2 )𝑟 𝑅13 23𝑖 𝑟23𝑗 (6) (3) 2 2 2 2 2 2 𝐴𝑖𝑗 = 𝑅13 𝑅23 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 +𝑅12 𝑅23 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 + 𝑅12 𝑅13 𝑟23𝑖 𝑟23𝑗 2 Слагаемыми с 𝑂(𝜀 ′ ) я пренебрегаю. Итоговое выражение для тензоров упругости третьего порядка будет содержать только третьи производные потенциала 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) по инвариантам. 18

Определим тензор модуля упругости, как разложение потенциала 𝟑 взаимодействия общего вида по степеням 𝜀 ′ (нас интересует 𝜺′ ): 𝑉(𝐼̃1 , 𝐼̃2 , 𝐼̃3 ) = 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) + 1 𝐶 𝜀′ 𝜀′ 𝜀′ 3! 𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝑖𝑗 𝑘𝑙 𝑚𝑛 (7) Имеем: 𝑉(𝐼1 + ∆𝐼1 , 𝐼2 + ∆𝐼2 , 𝐼3 + ∆𝐼3 ) 2 = 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) + (члены ~ 𝜀 ′ , 𝜀 ′ пока не рассматриваем) 3 1 𝜕 𝜕 𝜕 + ( ∆𝐼1 + ∆𝐼 + ∆𝐼 ) 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) , где 3! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 2 𝜕𝐼3 3 (1) (2) (3) ′ ′ ′ ∆𝐼1 = 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 , ∆𝐼2 = 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 , ∆𝐼3 = 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 Таким образом имеем 10 вариантов третьих производных: 𝜕3𝑉 𝜕3𝑉 𝜕3𝑉 , , , 𝜕𝐼1 3 𝜕𝐼2 3 𝜕𝐼3 3 𝜕3𝑉 , 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 𝜕3𝑉 𝜕3𝑉 𝜕3𝑉 𝜕3𝑉 𝜕3𝑉 𝜕3𝑉 , , 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 2 𝜕𝐼1 2 𝜕𝐼2 , , 𝜕𝐼1 𝜕𝐼3 2 𝜕𝐼1 2 𝜕𝐼3 , . 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 2 𝜕𝐼2 2 𝜕𝐼3 Рассмотрим отдельный вклад каждого множителя при производных в доказываемое тождество: …+ 1 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 ∆𝐼2 + ∆𝐼3 ) ( ∆𝐼1 + ∆𝐼2 + ∆𝐼3 ) ( ∆𝐼1 ( ∆𝐼1 + 3! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 𝜕𝐼1 + 𝜕 𝜕 ∆𝐼2 + ∆𝐼 ) 𝑉 = (1) + (2) + ⋯ + (10) 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 3 19 этих

Соберём все слагаемые при: (𝟏) 𝜕3𝑉 𝜕𝐼1 3 ∶ 1 𝜕3𝑉 1 𝜕 3 𝑉 (1) ′ (1) ′ (1) ′ ∆𝐼1 ∆𝐼1 ∆𝐼1 = 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 2𝐴𝑘𝑙 𝜀𝑘𝑙 2𝐴𝑚𝑛 𝜀𝑚𝑛 3 3 3! 𝜕𝐼1 3! 𝜕𝐼1 или (1) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 (𝟐) 𝜕3𝑉 𝜕𝐼2 3 =8 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 𝜕𝐼1 3 (1) (1) (1) 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ∶ 1 𝜕3𝑉 1 𝜕 3 𝑉 (2) (2) (2) ′ ′ ′ ∆𝐼 ∆𝐼 ∆𝐼 = 8𝐴 𝐴 𝐴 𝜀 𝜀 𝜀 3! 𝜕𝐼2 3 2 2 2 3! 𝜕𝐼2 3 𝑖𝑗 𝑘𝑙 𝑚𝑛 𝑖𝑗 𝑘𝑙 𝑚𝑛 или (2) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 (𝟑) 𝜕3𝑉 𝜕𝐼3 3 =8 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 𝜕𝐼2 3 (2) (2) (2) 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ∶ 1 𝜕3𝑉 1 𝜕 3 𝑉 (3) (3) (3) ′ ′ ′ ∆𝐼 ∆𝐼 ∆𝐼 = 8𝐴 𝐴 𝐴 𝜀 𝜀 𝜀 3! 𝜕𝐼3 3 3 3 3 3! 𝜕𝐼3 3 𝑖𝑗 𝑘𝑙 𝑚𝑛 𝑖𝑗 𝑘𝑙 𝑚𝑛 или (3) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 =8 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 𝜕𝐼3 3 (3) (3) (3) 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 𝜕3𝑉 (𝟒) ∶ 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 1 𝜕3𝑉 (∆𝐼1 ∆𝐼2 ∆𝐼3 + ∆𝐼1 ∆𝐼3 ∆𝐼2 + ∆𝐼2 ∆𝐼1 ∆𝐼3 3! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 + ∆𝐼2 ∆𝐼3 ∆𝐼1 + ∆𝐼3 ∆𝐼1 ∆𝐼2 + ∆𝐼3 ∆𝐼2 ∆𝐼1 ) Или 20

(4) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) (1) (2) (3) (1) (3) (2) (2) (1) (3) =8 (𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 (2) (3) (1) (3) (1) (2) (3) (2) (1) + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ) (𝟓) 𝜕3𝑉 ∶ 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 2 1 𝜕3𝑉 (∆𝐼1 ∆𝐼2 ∆𝐼2 + ∆𝐼2 ∆𝐼1 ∆𝐼2 + ∆𝐼2 ∆𝐼2 ∆𝐼1 ) 3! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 2 или (5) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 (𝟔) =8 𝜕3𝑉 𝜕𝐼1 2 𝜕𝐼2 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 2 (1) (2) (2) (2) (1) (2) (2) (2) (1) (𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ) : 1 𝜕3𝑉 (∆𝐼2 ∆𝐼1 ∆𝐼1 + ∆𝐼1 ∆𝐼2 ∆𝐼1 + ∆𝐼1 ∆𝐼1 ∆𝐼2 ) 3! 𝜕𝐼1 2 𝜕𝐼2 или (6) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 (𝟕) =8 𝜕3𝑉 𝜕𝐼1 𝜕𝐼3 2 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 2 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 (2) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ) : 1 𝜕3𝑉 (∆𝐼1 ∆𝐼3 ∆𝐼3 + ∆𝐼3 ∆𝐼1 ∆𝐼3 + ∆𝐼3 ∆𝐼3 ∆𝐼1 ) 3! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼3 2 или (7) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 (𝟖) =8 𝜕3𝑉 𝜕𝐼1 2 𝜕𝐼3 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 𝜕𝐼1 𝜕𝐼3 2 (1) (3) (3) (3) (1) (3) (3) (3) (1) (𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ) : 21

1 𝜕3𝑉 (∆𝐼3 ∆𝐼1 ∆𝐼1 + ∆𝐼1 ∆𝐼3 ∆𝐼1 + ∆𝐼1 ∆𝐼1 ∆𝐼3 ) 3! 𝜕𝐼1 2 𝜕𝐼3 или (8) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 (𝟗) =8 𝜕3𝑉 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 2 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 2 𝜕𝐼1 𝜕𝐼3 (3) (1) (1) (1) (3) (1) (1) (1) (3) (𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ) : 1 𝜕3𝑉 (∆𝐼2 ∆𝐼3 ∆𝐼3 + ∆𝐼3 ∆𝐼2 ∆𝐼3 + ∆𝐼3 ∆𝐼3 ∆𝐼2 ) 3! 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 2 или (9) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 (𝟏𝟎) =8 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 𝜕3𝑉 𝜕𝐼2 2 𝜕𝐼3 2 (2) (3) (3) (3) (2) (3) (3) (3) (2) (𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ) : 1 𝜕3𝑉 (∆𝐼3 ∆𝐼2 ∆𝐼2 + ∆𝐼2 ∆𝐼3 ∆𝐼2 + ∆𝐼2 ∆𝐼2 ∆𝐼3 ) 3! 𝜕𝐼2 2 𝜕𝐼3 или (10) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 =8 𝜕 3 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 2 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 (3) (2) (2) (2) (3) (2) (2) (2) (3) (𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑙 𝐴𝑚𝑛 ) 22

Таким образом, тензор модуля упругости представляется в виде: 10 (𝛼) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 = ∑ 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 (8) 𝛼=1 Используем обозначения : 2 𝐶123 = 𝐶112233 , 𝐶144 = 𝐶112323 𝐶255 = 𝐶221313 , 𝐶366 = 𝐶331212 𝐶456 = 𝐶231312 В силу аддитивности вклада каждого слагаемого в 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 нами было проверено тождество (1) для каждого слагаемого 𝛼 = 1, 2 … 10: (𝛼) (𝛼) (𝛼) (𝛼) (𝛼) 𝐶123 − (𝐶144 + 𝐶255 + 𝐶366 ) + 2𝐶456 ≡ 0. Использованы координаты тройки атомов в виде: 𝑅⃗⃗(1) = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) , 𝑅⃗⃗(2) = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) , 𝑅⃗⃗(3) = (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ). Аналогичным образом следует рассмотреть вклады смешанных производных 2-го порядка. Поэтому имеем: (2) ′ (2) ′ ′ 𝐼̃2 = 𝐼2 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 = 𝐼2 + ∆𝐼2 + ∆(2) 𝐼2 (3) ′ (3) ′ ′ 3 𝐼̃3 = 𝐼3 + 2𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 + 4𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗 𝜀𝑘𝑙 + 𝑂(𝜀 ′ ) = 𝐼3 + ∆𝐼3 + ∆(3) 𝐼3 , где (2) 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟13𝑘 𝑟13𝑙 + 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟23𝑘 𝑟23𝑙 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 𝑟23𝑘 𝑟23𝑙 (3) 2 2 2 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟13𝑘 𝑟13𝑙 𝑅23 + 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟23𝑘 𝑟23𝑙 𝑅13 + 𝑟13𝑖 𝑟13𝑗 𝑟23𝑘 𝑟23𝑙 𝑅12 И аналогично: Индексы у тензоров соответствуют обозначениям Фойгта: (xx)=11=1, (yy)=22=2, (zz)=33=3, (yz=zy)=23=32=4, (xz=zx)=13=31=5, (xy=yx)=12=21=6. 23 2

𝑉(𝐼1 + ∆𝐼1 , 𝐼2 + ∆𝐼2 + ∆(2) 𝐼2 , 𝐼3 + ∆𝐼3 + ∆(3) 𝐼3 ) = 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) + 1 𝜕 𝜕 ∆𝐼1 + ( (∆𝐼2 + ∆(2) 𝐼2 ) 2! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 + 𝜕 𝜕 𝜕 (∆𝐼3 + ∆(3) 𝐼3 )) ( ∆𝐼1 + (∆𝐼2 + ∆(2) 𝐼2 ) 𝜕𝐼3 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 + 𝜕 (∆𝐼3 + ∆(3) 𝐼3 )) 𝑉 = (11) + ⋯ (15) 𝜕𝐼3 Следует заметить, что слагаемые при второй производной по 𝐼1 не 2 содержат 𝜀 ′ , т.е. не вносят вклад в 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 . Аналогичным образом соберём все слагаемые при: (𝟏𝟏) 𝜕2𝑉 𝜕𝐼2 2 : 1 𝜕2𝑉 1 𝜕2𝑉 (2) (2) ∆𝐼2 ∆(2) 𝐼2 (∆𝐼2 ∆ 𝐼2 + ∆ 𝐼2 ∆𝐼2 ) = 6 2 2 2! 𝜕𝐼2 3! 𝜕𝐼2 1 𝜕2𝑉 (2) ′ (2) ′ ′ = 6 ∗ 8𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 2 3! 𝜕𝐼2 Коэффициент «6» используем для симметризации по перестановкам пар индексов, тогда: (11) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 =8 𝜕 2 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) (2) 𝜕𝐼2 (2) 2 (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑚𝑛𝑖𝑗 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) (𝟏𝟐) (2) (2) (2) (𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑖𝑗𝑚𝑛 𝜕2𝑉 𝜕𝐼3 2 Полностью аналогично получаем: 24

(12) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 =8 𝜕 2 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) 𝜕𝐼3 (3) 2 (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑖𝑗𝑚𝑛 (3) (3) (3) + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑚𝑛𝑖𝑗 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) 𝜕2𝑉 (𝟏𝟑) : 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 1 𝜕2𝑉 1 𝜕2𝑉 (2) (2) ∆𝐼1 ∆(2) 𝐼2 (∆𝐼1 ∆ 𝐼2 + ∆ 𝐼2 ∆𝐼1 ) = 6 2! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 3! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 1 𝜕2𝑉 (1) ′ (2) ′ ′ = 6 ∗ 8𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 3! 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 Коэффициент «6» используем для симметризации по перестановкам пар индексов, тогда: (13) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜕 2 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) (1) (2) (1) (2) (1) (2) =8 (𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑖𝑗𝑚𝑛 𝜕𝐼1 𝜕𝐼2 (1) (2) (1) (2) (1) (2) + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑚𝑛𝑖𝑗 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) 𝜕2𝑉 (𝟏𝟒) 𝜕𝐼1 𝜕𝐼3 Полностью аналогично получаем: (14) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜕 2 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) (1) (3) (1) (3) (1) (3) =8 (𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑖𝑗𝑚𝑛 𝜕𝐼1 𝜕𝐼3 (1) (3) (1) (3) (1) (3) + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑚𝑛𝑖𝑗 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) 𝜕2𝑉 (𝟏𝟓) : 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 25

1 𝜕2𝑉 (∆𝐼2 ∆(3) 𝐼3 + ∆(2) 𝐼2 ∆𝐼3 + ∆𝐼3 ∆(2) 𝐼2 + ∆(3) 𝐼3 ∆𝐼2 ) 2! 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 1 𝜕2𝑉 = 6 (∆𝐼2 ∆(3) 𝐼2 + ∆𝐼3 ∆(2) 𝐼2 ) 3! 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 1 𝜕2𝑉 (2) ′ (3) (3) ′ (2) ′ ′ ′ ′ = 6 8 (𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜀𝑘𝑙 𝜀𝑚𝑛 ) 3! 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 Коэффициент «6» используем для симметризации по перестановкам пар индексов, тогда: (15) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 𝜕 2 𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) (2) (3) (2) (3) (2) (3) =8 (𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑖𝑗𝑚𝑛 𝜕𝐼2 𝜕𝐼3 (2) (3) (2) (3) (3) (2) (3) (2) (2) (3) (2) (3) (3) (2) + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑚𝑛𝑖𝑗 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐴𝑖𝑗 𝐵𝑚𝑛𝑘𝑙 (3) (2) (3) (2) + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑖𝑗𝑚𝑛 + 𝐴𝑘𝑙 𝐵𝑚𝑛𝑖𝑗 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐴𝑚𝑛 𝐵𝑘𝑙𝑖𝑗 ) В дополнение учитываем: (𝟏𝟔) 𝜕𝑉 𝜕𝐼3 Полностью аналогично получаем: (16) 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 = 8 𝜕𝑉(𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) (𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 + 𝐷𝑖𝑗𝑚𝑛𝑘𝑙 + 𝐷𝑘𝑙𝑖𝑗𝑚𝑛 + 𝐷𝑘𝑙𝑚𝑛𝑖𝑗 𝜕𝐼3 + 𝐷𝑚𝑛𝑖𝑗𝑘𝑙 + 𝐷𝑚𝑛𝑘𝑙𝑖𝑗 ) , где 𝐷𝑖𝑗 = 𝑟12𝑖 𝑟12𝑗 𝑟13𝑘 𝑟13𝑙 𝑟23𝑚 𝑟23𝑛 Так же в силу аддитивности вклада каждого слагаемого в 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑚𝑛 было проверено тождество (1) для всех 𝛼 = 11, … 16. Все расчёты выполнены с помощью программы математического пакета «Maple 16». Программный код которой прилагаю. 26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, нами проведены прямые вычисления компонент тензора модулей упругости третьего порядка в рамках теории учитывающей самый общий вид энергии парных и трёхатомных взаимодействий. Для установления общего вида энергии трёхатомных взаимодействий, как функции межатомных расстояний в кластерах, содержащих тройки атомов, был использован целый рациональный базис инвариантов группы внутренней симметрии этих кластеров. Используя установленный общий вид неприводимой потенциальной энергии взаимодействия троек атомов, путём прямых вычислений, нам удалось доказать, что теория, учитывающая только парные и трёхатомные взаимодействия, приводит к линейным соотношениям между компонентами тензоров модулей упругости третьего порядка: 𝐶123 − (𝐶144 + 𝐶255 + 𝐶366 ) + 2𝐶456 ≡ 0 Показано, что установленное нами соотношение, (1) необходимо возникает в теории, пренебрегающей четырёхатомными взаимодействиями, и не зависит от класса симметрии кристалла. Поскольку это соотношение не удовлетворяет ограничениям, налагаемым внутренней симметрией на компоненты модулей упругости третьего порядка, оно может выполняться только случайно при фиксированных внешних условиях для конкретного вещества. В общем случае проявление соотношения (1) отражает неполноту теории. 27

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Изд. «ИЛ», 1961, 929 с. [2] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Гос. Издат. Физ. Мат. Лит., 1963, 702 с. [3] Каплан И.Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. М.: Наука, 1986, 256 с. [4] Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М.: Наука, 1968, 308 c. [5] Гуфан Ю.М. Структурные фазовые переходы. М.: Наука, 1982, 304 с. [6] Гуфан А.Ю. // ФТТ, 2005. Т. 47(3). С. 445. [7] Erkoc S. Annual reviews of computational physics IX. – 2001. ISBN: 978- 981-02-4537-5. 981-02-4537-8. 332 p. [8] Борн М., Хуань-Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: ИЛ., 1958, 450 c. [9] Гуфан А.Ю. // ФТТ, 2011. Т. 53(11). С. 2226. [10] Гуфан А.Ю., Кукин О.В., Гуфан Ю.М. // Известия РАН. Серия физическая, 2011. Т. 75(5). С. 699. [11] Puri D.S. Verma M.P. // Phys. Rev. B, 1977. V. 15(4). P. 2337. 28

ПРИЛОЖЕНИЕ Часть 1 Проверка тождества C123+2*C456-(C144+C255+C366)≡0 произвольной группы симметрии) > restart; > R1:=vector([x1,y1,z1]); R2:=vector([x2,y2,z2]); R3:=vector([x3, y3, z3]); > r12:=evalm(R1-R2); r13:=evalm(R1-R3); r23:=evalm(R2-R3); > RR12:=linalg[dotprod](R1-R2,R1-R2,'orthogonal'); > RR13:=linalg[dotprod](R1-R3,R1-R3,'orthogonal'); > RR23:=linalg[dotprod](R2-R3,R2-R3,'orthogonal'); > A1:=proc(i,j) > r12[i]*r12[j]+r13[i]*r13[j]+r23[i]*r23[j] > end proc; > A2:=proc(i,j) 29 (для

> RR12*(r13[i]*r13[j]+r23[i]*r23[j])+ > RR13*(r12[i]*r12[j]+r23[i]*r23[j])+ > RR23*(r12[i]*r12[j]+r13[i]*r13[j]) > end proc; > A3:=proc(i,j) > RR13*RR23*r12[i]*r12[j]+ > RR12*RR23*r13[i]*r13[j]+ > RR12*RR13*r23[i]*r23[j] > end proc; > Test:=proc(C::procedure) > C(1,1,2,2,3,3)+2*C(2,3,1,3,1,2)> C(1,1,2,3,2,3)-C(2,2,1,3,1,3)-C(3,3,1,2,1,2) > end proc; > # Множитель перед diff(U,I1$3) > C1:=proc(i,j,k,l,m,n) > A1(i,j)*A1(k,l)*A1(m,n) 30

> end proc; > Test(C1); > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I2$3) > C2:=proc(i,j,k,l,m,n) > A2(i,j)*A2(k,l)*A2(m,n) > end proc; > Test(C2): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I3$3) > C3:=proc(i,j,k,l,m,n) > A3(i,j)*A3(k,l)*A3(m,n) 31

> end proc; > Test(C3): > simplify(%); > # Множительпередdiff(U,I1,I2,I3) > C4:=proc(i,j,k,l,m,n) > A1(i,j)*A2(k,l)*A3(m,n)+A2(i,j)*A1(k,l)*A3(m,n)+A3(i,j)*A1(k,l)*A2(m,n)+ > A1(i,j)*A3(k,l)*A2(m,n)+A2(i,j)*A3(k,l)*A1(m,n)+A3(i,j)*A2(k,l)*A1(m,n) > end proc; > Test(C4): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I1,I2$2) > C5:=proc(i,j,k,l,m,n) > A1(i,j)*A2(k,l)*A2(m,n)+A2(i,j)*A1(k,l)*A2(m,n)+A2(i,j)*A2(k,l)*A1(m,n) > end proc; > Test(C5): > simplify(%); 32

> # Множитель перед diff(U,I1,I3$2) > C6:=proc(i,j,k,l,m,n) > A1(i,j)*A3(k,l)*A3(m,n)+A3(i,j)*A1(k,l)*A3(m,n)+A3(i,j)*A3(k,l)*A1(m,n) > end proc; > Test(C6): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I2,I1$2) > C7:=proc(i,j,k,l,m,n) > A2(i,j)*A1(k,l)*A1(m,n)+A1(i,j)*A2(k,l)*A1(m,n)+A1(i,j)*A1(k,l)*A2(m,n) > end proc; > Test(C7): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I2,I3$2) > C8:=proc(i,j,k,l,m,n) > A2(i,j)*A3(k,l)*A3(m,n)+A3(i,j)*A2(k,l)*A3(m,n)+A3(i,j)*A3(k,l)*A2(m,n) > end proc; 33

> Test(C8): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I3,I1$2) > C9:=proc(i,j,k,l,m,n) > A3(i,j)*A1(k,l)*A1(m,n)+A1(i,j)*A3(k,l)*A1(m,n)+A1(i,j)*A1(k,l)*A3(m,n) > end proc; > Test(C9): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I3,I2$2) > C10:=proc(i,j,k,l,m,n) > A3(i,j)*A2(k,l)*A2(m,n)+A2(i,j)*A3(k,l)*A2(m,n)+A2(i,j)*A2(k,l)*A3(m,n) > end proc; > Test(C10): > simplify(%); 34

Часть 2 Проверка тождества C123+2*C456-(C144+C255+C366) ≡0 (для произвольной группы симметрии) > restart; > R1:=vector([x1,y1,z1]); R2:=vector([x2,y2,z2]); R3:=vector([x3, y3, z3]); > r12:=evalm(R1-R2); r13:=evalm(R1-R3); r23:=evalm(R2-R3); > RR12:=linalg[dotprod](R1-R2,R1-R2,'orthogonal'); > RR13:=linalg[dotprod](R1-R3,R1-R3,'orthogonal'); > RR23:=linalg[dotprod](R2-R3,R2-R3,'orthogonal'); > A1:=proc(i,j) > r12[i]*r12[j]+r13[i]*r13[j]+r23[i]*r23[j] > end proc; > A2:=proc(i,j) > RR12*(r13[i]*r13[j]+r23[i]*r23[j])+ > RR13*(r12[i]*r12[j]+r23[i]*r23[j])+ 35

> RR23*(r12[i]*r12[j]+r13[i]*r13[j]) > end proc; > A3:=proc(i,j) > RR13*RR23*r12[i]*r12[j]+ > RR12*RR23*r13[i]*r13[j]+ > RR12*RR13*r23[i]*r23[j] > end proc; > B2:=proc(i,j,k,l) > r12[i]*r12[j]*r13[k]*r13[l]+ > r12[i]*r12[j]*r23[k]*r23[l]+ > r13[i]*r13[j]*r23[k]*r23[l] > end proc; > B3:=proc(i,j,k,l) > r12[i]*r12[j]*r13[k]*r13[l]*RR23+ > r12[i]*r12[j]*r23[k]*r23[l]*RR13+ > r13[i]*r13[j]*r23[k]*r23[l]*RR12 36

> end proc; > Test:=proc(C::procedure) > C(1,1,2,2,3,3)+2*C(2,3,1,3,1,2)> C(1,1,2,3,2,3)-C(2,2,1,3,1,3)-C(3,3,1,2,1,2) > end proc; > # Множитель перед diff(U,I2$2) > C11:=proc(i,j,k,l,m,n) > A2(i,j)*B2(k,l,m,n)+A2(i,j)*B2(m,n,k,l)+ > A2(k,l)*B2(i,j,m,n)+A2(k,l)*B2(m,n,i,j)+ > A2(m,n)*B2(i,j,k,l)+A2(m,n)*B2(k,l,i,j) > end proc; > Test(C11): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I3$2) > C12:=proc(i,j,k,l,m,n) 37

> A3(i,j)*B3(k,l,m,n)+A3(i,j)*B3(m,n,k,l)+ > A3(k,l)*B3(i,j,m,n)+A3(k,l)*B3(m,n,i,j)+ > A3(m,n)*B3(i,j,k,l)+A3(m,n)*B3(k,l,i,j) > end proc; > Test(C12): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I1,I2) > C13:=proc(i,j,k,l,m,n) > A1(i,j)*B2(k,l,m,n)+A1(i,j)*B2(m,n,k,l)+ > A1(k,l)*B2(i,j,m,n)+A1(k,l)*B2(m,n,i,j)+ > A1(m,n)*B2(i,j,k,l)+A1(m,n)*B2(k,l,i,j) > end proc; > Test(C13): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I1,I3) > C14:=proc(i,j,k,l,m,n) > A1(i,j)*B3(k,l,m,n)+A1(i,j)*B3(m,n,k,l)+ 38

> A1(k,l)*B3(i,j,m,n)+A1(k,l)*B3(m,n,i,j)+ > A1(m,n)*B3(i,j,k,l)+A1(m,n)*B3(k,l,i,j) > end proc; > Test(C14): > simplify(%); > # Множитель перед diff(U,I2,I3) > C15:=proc(i,j,k,l,m,n) > A2(i,j)*B3(k,l,m,n)+A2(i,j)*B3(m,n,k,l)+ > A2(k,l)*B3(i,j,m,n)+A2(k,l)*B3(m,n,i,j)+ > A2(m,n)*B3(i,j,k,l)+A2(m,n)*B3(k,l,i,j)+ > A3(i,j)*B2(k,l,m,n)+A3(i,j)*B2(m,n,k,l)+ > A3(k,l)*B2(i,j,m,n)+A3(k,l)*B2(m,n,i,j)+ > A3(m,n)*B2(i,j,k,l)+A3(m,n)*B2(k,l,i,j) > end proc; > Test(C15): > simplify(%); 39

> # Множитель перед diff(U,I3) > C16:=proc(i,j,k,l,m,n) > r12[i]*r12[j]*r13[k]*r13[l]*r23[m]*r23[n]+ > r12[i]*r12[j]*r13[m]*r13[n]*r23[k]*r23[l]+ > r12[k]*r12[l]*r13[i]*r13[j]*r23[m]*r23[n]+ > r12[k]*r12[l]*r13[m]*r13[n]*r23[i]*r23[j]+ > r12[m]*r12[n]*r13[i]*r13[j]*r23[k]*r23[l]+ > r12[m]*r12[n]*r13[k]*r13[l]*r23[i]*r23[j] > end proc; > Test(C16): > simplify(%); 40

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв