Аппроксимация оптимальной шкалы средних ставок подоходного налога

Реут Андрей Валерьевич

Аппроксимация оптимальной шкалы средних ставок подоходного налога

В данной работе решена задача аппроксимации оптимальной шкалы средних ставок в равномерной метрике. Проведен анализ нелинейных ограничений. Доказана теорема существования решения задачи. Доказаны вспомогательные леммы, существенно упрощающие решение исходной задачи. Найдено аналитическое решение задачи с ограничениями. Разработан алгоритм решения безусловной задачи аппроксимации. Приведены примеры реализации алгоритмов.

Организация и управление

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 5be56f9d7966e104e4a12400

UUID: a7994350-c640-0136-3cd9-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: около 6 лет назад

Просмотры: 1

Реут Андрей Валерьевич

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,2 МБ

Поделиться работой

ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ Ðåóò Àíäðåé Âàëåðüåâè÷ Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà àñïèðàíòà ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÉ ØÊÀËÛ ÑÐÅÄÍÈÕ ÑÒÀÂÎÊ ÏÎÄÎÕÎÄÍÎÃÎ ÍÀËÎÃÀ Íàïðàâëåíèå 02.06.01 ¾Êîìïüþòåðíûå è èíôîðìàöèîííûå íàóêè¿ Ïðîãðàììà ïîäãîòîâêè ¾Ìàòåìàòè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà¿ Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü, Ïîëÿêîâà Ë.Í. ä.ô.-ì. íàóê, ïðîôåññîð Ðåöåíçåíò, Ïîëîâêî Ñ.À. êàíä. òåõí. íàóê, çàì. ãëàâíîãî êîíñòðóêòîðà Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2018

Ñîäåðæàíèå 1 Ââåäåíèå 3 2 Îïèñàíèå èñïîëüçóåìîé ìîäåëè 5 3 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è 7 4 Ðåøåíèå çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìè 9 5 Ðåøåíèå áåçóñëîâíîé çàäà÷è 6 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 5.4 Àíàëèç íåëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé . . Î ñóùåñòâîâàíèè òî÷íîãî ðåøåíèÿ . Óïðîùåíèå èñõîäíîé çàäà÷è . . . . . ×àñòíîå ðåøåíèå óïðîùåííîé çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . Òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå . . . . . . . . . . Àëãîðèòì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì . . . . . . . . Ìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì íà ïðàêòèêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . 17 . 22 . 29 . . . . ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû. 30 30 31 34 35 38 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 43 Ïðèëîæåíèå 1. ßâíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âûáîð ïðîãðåññèâíîé øêàëû ïðåäåëüíûõ ñòàâîê ïîäîõîäíîãî íàëîãà 46 Ïðèëîæåíèå 2. Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ êîðíÿ óðàâíåíèÿ 2 47

1 Ââåäåíèå Â 1998 ãîäó áûëî âûïóùåíî ó÷åáíîå ïîñîáèå ×èñòÿêîâà Ñ. Â., Èøõàíîâîé Ì. Â. ¾Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè âûáîðà íàëîãîâûõ øêàë¿ [1], â êîòîðîì áûëà âåäåíà ìîäåëü, ïðè- ÿâëÿþùàÿñÿ îïðåäåë¼ííîé ìîäèôèêàöèåé è ðàçâèòèåì âàðè- àöèîííîé ìîäåëè [2], ïîñòðîåíèÿ íåêîòîðîé èäåàëüíîé, ìîäåëüíîé øêàëû ñðåäíèõ ñòàâîê ïîäîõîäíîãî íàëîãà è ïîñòàâëåíà çàäà÷à î å¼ ïðèáëèæåíèè íåïðåðûâíîé êóñî÷íî-ãèïåðáîëè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ íàëè÷èåì íåëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé â ìåòðèêå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà L2 è ðàâíîìåðíîé (÷åáûø¼âñêîé) ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà C . Â äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèè îïòèìàëüíîé øêàëû ñðåäíèõ ñòàâîê èìåííî â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå. Öåëüþ ðàáîòû áûëî ðàçðàáîòàòü àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ àïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèè áåç îãðàíè÷åíèé, íàéòè àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè, äîêàçàòü ñîâìåñòíîñòü îãðàíè÷åíèé. Àêòóàëüíîñòü ðàáîòû ñîñòîèò â òîì, ÷òî: âî-ïåðâûõ, ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå, òî åñòü ìû ìèíèìèçèðóåì îòêëîíåíèå ñàìèõ ñòàâîê àïïðîêñèìàöèè îò íåêîòîðûõ èõ èäåàëüíûõ çíà÷åíèé, à íå ïëîùàäü ðàçíî- ñòè íåêîòîðûõ ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèé; âî-âòîðûõ, ïðèâåä¼í äåòàëüíûé àíàëèç îãðàíè÷åíèé, íàêëàäûâàåìûõ íà àïïðîêñèìàöèþ, ÷òî ïîçâîëèò ïðîñëåäèòü îáùóþ èäåþ è ïîñëåäñòâèÿ èõ äîáàâëåíèÿ. Äàííàÿ çàäà÷à î ïðèáëèæåíèè ñîñòîèò èç äâóõ ïîäçàäà÷: 1) íàéòè îïòèìàëüíîå ðàçáèåíèå; 2) ðåøèòü ìèíèìàêñíóþ çàäà÷ó íà êàæäîì äèàïàçîíå ðàçáèåíèÿ. Îáùèõ àëãîðèòìîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íå ñóùåñòâóåò. Íîâèçíà ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçðàáîòêå àëãîðèòìà íàõîæäåíèÿ íåïðåðûâíîé àïïðîêñèìàöèè ãëàäêîé ñòðîãî âûïóêëîé èëè âîãíóòîé ôóíêöèè è åãî îáîáùåíèå íà ñëó÷àé íàëè÷èÿ èçëîìà ôóíêöèè. Çàñëóæèâàåò âíèìàíèÿ è ñàì ïîäõîä ê ðåøåíèþ, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó óäàëîñü ðåøèòü ýòó ÷àñòíóþ çàäà÷ó íåëèíåéíîé ÷åáûø¼âñêîé àïïðîêñèìàöèè. Âî âòîðîì ïàðàãðàôå ïðèâåäåíà âûäåðæêà èç ñòàòüè [14] î òåîðåòèêîèãðîâîé ìîäåëè ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîé øêàëû. 3

Òðåòèé ïàðàãðàô ïîñòàíîâêà çàäà÷è î ïðèáëèæåíèè. Â ÷åòâ¼ðòîì ïàðàãðàôå ïðîâåä¼í àíàëèç îãðàíè÷åíèé, íàêëàäûâàåìûõ íà àïïðîêñèìàöèþ. Äîêàçàíà òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìè. Äîêàçàíû ëåììû, ñóùåñòâåííî óïðîùàþùèå íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è. Â ïÿòîì ïàðàãðàôå ïðèâåä¼í àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ íåïðåðûâíîé êóñî÷íîñòåïåííîé àïïðîêñèìàöèè ãëàäêîé ñòðîãî âûïóêëîé èëè âîãíóòîé ôóíêöèè, åãî îáîáùåíèå íà ñëó÷àé íàëè÷èÿ èçëîìà àïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèè. È îïèñàíà ñõåìà àëãîðèòìà ïðèìåíèòåëüíî ê áåçóñëîâíîé çàäà÷å ïðèáëèæåíèÿ îïòèìàëüíîé øêàëû. Øåñòîé ïàðàãðàô ïîñâÿù¼í ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè âûøåèçëîæåííûõ àëãîðèòìîâ. 4

2 Îïèñàíèå èñïîëüçóåìîé ìîäåëè1 Ðàññìîòðèì ïðåäëîæåííóþ â [1] òåîðåòèêî-èãðîâóþ ìîäåëü âûáîðà øêàëû ñðåäíèõ ñòàâîê íàëîãà. Äàííàÿ ìîäåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èãðó Γ = hY, F, Si íà ìèíèìàêñ-ìàêñèìèí ôóíêöèîíàëà Zx+ S(y, f ) = y(x)df (x), (1) x− â êîòîðîé ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé ìèíèìèçèðóþùåãî èãðîêà ýòî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî F äîïóñòèìûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äîõîäîâ íàëîãîïëàòåëüùèêîâ (f = f (x)), à ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé ìàêñèìèçèðóþùåãî èãðîêà Y ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé y = y(x), óäîâëåòâîðÿþùèõ òàêèì óñëîâèÿì: 1−y dy =u , dx x u = u(x) ∈ [δ, σ], (2) (3) (0 < δ < σ < 1), y(x− ) = 0, (4) y(x+ ) = y+ , (5) (0 < x− < x+ , 0 < y+ < 1). Â ñîäåðæàòåëüíîì àñïåêòå íà çàäàííîì îòðåçêå [x− , x+ ] äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2) âìåñòå ñ îãðàíè÷åíèÿìè (3) è êðàåâûìè óñëîâèÿìè (4),(5) îïèñûâàåò íåêîòîðûé ïîäêëàññ íîðìàëüíûõ ïðîãðåññèâíûõ øêàë ñðåäíèõ ñòàâîê íàëîãà, êîòîðûå ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿþòñÿ: 1. âîçðàñòàþùèìè ôóíêöèÿìè y = y(x) ∈ (0, 1); 2. òàêèìè, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì äîõîäà x ãàðàíòèðóþò âîçðàñòàíèå ôóíêöèè D(x) = (1 − y(x))x. Âõîäíûå ïàðàìåòðû ìîäåëè: x− íåîáëàãàåìûé ìèíèìóì; 1 äàííûé ïàðàãðàô ïîâòîðÿåò èçëîæåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïóíêòà ñòàòüè [14] 5

y+ ìàêñèìàëüíàÿ ñòàâêà øêàëû; x+ ïîðîãîâûé óðîâåíü äîõîäà, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî íàëîã âçèìàåòñÿ ïî ìàêñèìàëüíîé ñðåäíåé ñòàâêå y+ ; δ è σ íåêîòîðûå ýêçîãåííî çàäàííûå ïàðàìåòðû. Èç ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèÿ èãðû Γ = hY, F, Si [1] ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ åñòåñòâåííûõ ïðåäïîëîæåíèé: 0 < x− < x+ , (6) 0 < y+ < 1, (7) 0 < δ < σ < 1, σ δ x− x− < 1 − y+ < x+ x+ (8) (9) ïîä îïòèìàëüíîé øêàëîé ñðåäíèõ ñòàâîê ïîäîõîäíîãî íàëîãà ñëåäóåò ïîíèìàòü ôóíêöèþ            0, σ x− 1− , x δ y ∗ (x) = x+    1 − (1 − y ) , +   x      y+ , ãäå x0 = (1 − xδ+ y+ ) σ x− åñëè x < x− ; åñëè x− ≤ x < x0 ; (10) åñëè x0 ≤ x ≤ x+ ; åñëè x > x+ ; 1 δ−σ , ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî (ñì. [1]) 0 < x− < x0 < x+ , (11) 0 < y0 := y ∗ (x0 ) < y+ < 1. (12) 6

3 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Çàôèêñèðóåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî m ≥ 2. Ïðîãðåññèâíàÿ øêàëà ïðåäåëüíûõ ñòàâîê íàëîãà ïðåäñòàâëåíà â òàá. 1. Ãðàíèöû äèàïàçî- íîâ Ïðåäåëüíàÿ Ñóììà íàëîãà T (x, H, A) ñòàâêà íàëîãà 0 < x 6 a0 η0 := 0 0 a0 < x 6 a1 η1 η1 (x − a0 ) a1 < x 6 a2 η2 η2 (x − a1 ) + η1 (a1 − a0 ) ··· ··· ak−1 < x 6 ak ηk ··· k−1 P ηk (x − ak−1 ) + ηj (aj − aj−1 ) ··· ··· ··· am−2 < x 6 am−1 ηm−1 j=1 ηm−1 (x − am−2 ) + m−2 P ηj (aj − aj−1 ) j=1 x > am−1 ηm ηm x Òàáëèöà 1: Øêàëà ìàðãèíàëüíûõ ñòàâîê Ââåä¼ì âåêòîðû H = (η1 , η2 , . . . , ηm ), A = (a0 , a1 , . . . , am−1 ). Îáîçíà÷èì çà Hk è Ak−1 âåêòîðû, êîìïîíåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ïåðâûå k ýëåìåíòîâ âåêòîðîâ H è A ñîîòâåòñòâåííî, k ∈ 1 : m − 1. Ôóíêöèÿ ñðåäíèõ ñòàâîê ïîäîõîäíîãî íàëîãà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [1] y(x, H, A) = ãäå T (x, H, A) T (x, H, A) , x (13) ñóììà íàëîãà. Ââåä¼ì ôóíêöèè, îïðåäåë¼ííûå íà èíòåðâàëå (0, +∞), k P yk (x, Hk , Ak−1 ) = ηk − i=1 ai−1 (ηi − ηi−1 ) , x 7 k ∈ 1 : m − 1. (14)

Òîãäà, èñïîëüçóÿ òàáëèöó 1 è ôîðìóëû (13)(14), ïîëó÷àåì y(x, H, A) =                     y1 (x, H1 , A0 ), åñëè a0 < x 6 a1 ; y2 (x, H2 , A1 ), åñëè a1 < x 6 a2 ; ··· yk (x, Hk , Ak−1 ), åñëè ak−1 < x 6 ak ;       ···       ym−1 (x, Hm−1 , Am−2 ), åñëè am−2 < x 6 am−1 ;        ηm , åñëè x > am−1 . (15) Ïðè ôèêñèðîâàííûõ âåêòîðàõ H è A îáîçíà÷èì ôóíêöèþ (15), êàê y(x); àíàëîãè÷íî ôóíêöèè âèäà (14) yk (x). Îáîçíà÷èì ÷åðåç T ñîâîêóïíîñòü ðàçáèåíèé τ îòðåçêà [x− , x+ ] íà m − 1 ÷àñòü, τ = {a0 , a1 , . . . , am−1 }, x− = a0 < a1 < . . . < am−1 = x+ . Òðåáóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó max min sup i∈1:m−1 Hi x∈(a ,a ] i−1 i |y ∗ (x) − yi (x, Hi , Ai−1 )| → inf , (16) τ ∈T ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé a0 = x− , a0 < a1 < . . . < am−1 , (17) am−1 = x+ , η0 := 0, η0 6 η1 6 . . . 6 ηm−1 , ηm = y+ , " # k k X X ai−1 (ηi − ηi−1 ) 6 (1 − ηk )ak−1 + ai−1 (ηi − ηi−1 ) σ, i=1 k X " ai−1 (ηi − ηi−1 ) > (1 − ηk )ak + i=1 i=1 k X (18) (19) # ai−1 (ηi − ηi−1 ) δ, (20) i=1 k ∈ 1 : m − 1, am−1 (ηm − ηm−1 ) + m−1 X i=1 8 ai−1 (ηi − ηi−1 ) = 0. (21)

4 Ðåøåíèå çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìè Â ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î ïðèáëèæåíèè ôóíêöèè y ∗ (x) (10) íåïðåðûâíîé êóñî÷íî-ãèïåðáîëè÷åñêîé ôóíêöèåé y(x) (15) ñ îãðàíè÷åíèÿìè (17)(21). Ïðåæäå âñåãî ïðîâåä¼ì àíàëèç íåëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé, íàêëàäûâàåìûõ íà àïïðîêñèìàöèþ. 4.1 Àíàëèç íåëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé Ïðè ìîäåëèðîâàíèè îïòèìàëüíîé øêàëû [1] ðàññìàòðèâàåì íåêîòîðûé ïîäêëàññ íîðìàëüíûõ ïðîãðåññèâíûõ øêàë. Íàïîìíèì, ÷òî íîðìàëüíûå ïðîãðåññèâíûå øêàëû õàðàêòåðèçóþòñÿ ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì: 0< dy 1−y < . dx x (22) Äàëåå âìåñòî (22) áóäåì ðàññìàòðèâàòü áîëåå ñèëüíîå (â îáëàñòè y ∈ (0, 1), x > 0) óñëîâèå δ dy 1−y 1−y ≤ ≤σ x dx x (0 < δ < σ < 1). (23) Îêàçûâàåòñÿ (ñì. [4]), ÷òî â îáëàñòè y ∈ (0, 1), x > 0, ìíîæåñòâî âñåõ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâ (23) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò âñåâîçìîæíûì èçìåðèìûì ïî Ëåáåãó ôóíêöèÿì u = u(x), óäîâëåòâîðÿþùèì ïðè ïî÷òè âñåõ x óñëîâèþ (3). Èìåííî áëàãîäàðÿ, âî-ïåðâûõ, ñóæåíèþ êëàññà äîïóñòèìûõ íîðìàëüíûõ ïðîãðåññèâíûõ øêàë, òî åñòü ïåðåõîäó îò íåðàâåíñòâ (22) ê (23), âî-âòîðûõ, ïåðåõîäó îò íåðàâåíñòâ (23) ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (2), óäàëîñü ïîëó÷èòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå (9) ñóùåñòâîâàíèÿ äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ â çàäà÷å (1)(5). Ïîëó÷àåòñÿ, ïðè ìîäåëèðîâàíèè îïòèìàëüíîé øêàëû óñëîâèå (23) áûëî óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ. È ïðåäëàãàåòñÿ [1, 3] ýòî æå ñàìîå óñëîâèå íàëîæèòü íà àïïðîêñèìàöèþ. Îãðàíè÷åíèÿ (23) ìîæíî çàïèñàòü [1, 3] êàê äâå ãðóïïû íåðàâåíñòâ (19), (20). 9

Ëåììà 4.1. Åñëè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà 0 < a0 < a1 < . . . < am−1 , òî íåðàâåíñòâà (19) ïðåäñòàâèìû â âèäå (24) η1 6 σ, ηk 6 η k (η1 , . . . , ηk−1 , a0 , . . . , ak−1 ), ãäå " η k = σ + (1 − σ) ηk−1 − k−1 X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ak−1 i=1 Äîêàçàòåëüñòâî. k ∈ 2 : m − 1, (25) # . Äîêàæåì íåðàâåíñòâî (24). Ïðè k = 1 èç (19) èìååì a0 η1 6 [(1 − η1 )a0 + a0 η1 ]σ, a0 η1 6 a0 σ, η1 6 σ. Íåðàâåíñòâî (25) ñëåäóåò èç (19) ïðè k ∈ 2 : m − 1. Äåéñòâèòåëüíî, k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ≤ (1 − ηk )ak−1 + i=1 k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) σ, i=1 ak−1 (ηk − ηk−1 ) + k−1 X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ≤ i=1 k−1 X ≤ (1 − ηk )ak−1 + ak−1 (ηk − ηk−1 ) + ai−1 (ηi − ηi−1 ) σ = i=1

k−1 X

= ak−1 − ak−1 ηk−1 + ai−1 (ηi − ηi−1 ) σ

: ak−1 , i=1 k−1 X # ai−1 (ηi − ηi−1 ) ≤ ηk − ηk−1 − a k−1 i=1 " # k−1 X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ≤ σ − σ ηk−1 − , a k−1 i=1 " # k−1 X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ηk ≤ σ + (1 − σ) ηk−1 − . a k−1 i=1 " 10

Çàìå÷àíèå. Òàê êàê (ñì. (14)) yk−1 (ak−1 ) = ηk−1 − k−1 X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ak−1 i=1 , òî η k = σ + (1 − σ)yk−1 (ak−1 ). Â ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü ηk := η k , òî ηk = ηk (a0 , a1 , ..., ak−1 ), Ëåììà 4.2. k ∈ 2 : m − 1. Åñëè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà 0 =: η0 < η1 6 . . . 6 ηm−1 < 1, òî íåðàâåíñòâà (20) ïðåäñòàâèìû â âèäå ãäå (26) k ∈ 1 : m − 1, ak 6 ak (η1 , . . . , ηk , a0 , . . . , ak−1 ), k ηi − ηi−1 1−δX ak = ai−1 . δ i=1 1 − ηk Äîêàçàòåëüñòâî. k X Äëÿ ëþáîãî k ∈ 1 : m − 1 ñïðàâåäëèâî " ai−1 (ηi − ηi−1 ) > (1 − ηk )ak + i=1 k X # ai−1 (ηi − ηi−1 ) δ, i=1 (1 − δ) k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) > δ(1 − ηk )ak , i=1 k 1−δX ηi − ηi−1 ai−1 . ak 6 δ i=1 1 − ηk Çíà÷åíèå ôóíêöèè y(x) è å¼ ïðîèçâîäíîé y(x) = ηi − x dy(x) , dx dy(x) ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìè dx x ∈ (ai−1 , ai ], i ∈ 1 : m − 1. (27) Èç íåðàâåíñòâ (23) è ðàâåíñòâà (27) ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå 11

îãðàíè÷åíèé ηi − σ 1−σ (1 − ηi ) ≤ y(x) ≤ ηi − x ∈ (ai−1 , ai ], δ 1−δ (1 − ηi ), (28) i ∈ 1 : m − 1. Ïðåèìóùåñòâî äàííîãî âèäà íåðàâåíñòâ â âèçóàëüíîé ïðîñòîòå: ãðàôèê ôóíêöèè y(x) äîëæåí ëåæàòü ìåæäó ¾ñòóïåíüêàìè¿ (ñì. ðèñ. 1). Ðèñ. 1: Íåëèíåéíûå îãðàíè÷åíèÿ-íåðàâåíñòâà Ëåììà 4.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {η k }m−1 k=1 (24)(25) ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñ- òàåò, åñëè 0 < σ < 1, ηj := η j , η0 := 0, 0 < a0 , Äîêàçàòåëüñòâî. Áàçà èíäóêöèè. aj−1 < aj , j ∈ 1 : k. Äîêàæåì ëåììó ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïóñòü k = 2. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî η1 < η2. 12

Ðàñïèøåì ïîäðîáíåå a0 =: η 2 . η 1 := σ < σ + (1 − σ)σ 1 − a1 Òàê êàê 0 < σ < 1 è a0 < a1 , òî íåðàâåíñòâî äåéñòâèòåëüíî ñïðàâåäëèâî. Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü k = n + 1. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî η n+1 > η n . n X ai−1 η n+1 − σ := η n − (η i − η i−1 ) > 1−σ a n i=1 n−1 X ai−1 η −σ > η n−1 − (η i − η i−1 ) =: n a 1−σ i=1 n−1 (29) Ðàçäåëèì ñóììó, ñòîÿùóþ â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (29), ñëåäóþùèì îáðàçîì n−1 n X ai−1 i=1 an−1 X ai−1 (η i − η i−1 ) = (η n − η n−1 ) + (η i − η i−1 ). an an a n i=1 Ïðèáàâèì ê îáåèì ÷àñòÿì íåðàâåíñòâà (29) n−1 P i=1 ïîëó÷èì ai−1 an (η i n−1 − η i−1 ) è âû÷òåì η n−1 , n−1 X ai−1 an−1 X ai−1 η n − η n−1 − (η n − η n−1 ) > (η i − η i−1 ) − (η i − η i−1 ) an a a n n−1 i=1 i=1 Óïðîñòèâ, ïîëó÷àåì an−1 (η n − η n−1 ) 1 − | {z } | a{zn } >0 > n−1 X i=1 −1 ai−1 (η i − η i−1 ) [a−1 n − an−1 ] . | {z }| {z } >0 <1 <0 Ëåììà 4.4. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ak }m−1 k=1 ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, åñëè 0 < δ < σ < 1, η0 = 0, 0 < a0 , Äîêàçàòåëüñòâî. Áàçà èíäóêöèè. ηj < ηj+1 , aj < aj+1 , ηj+1 < 1, j ∈ 0 : k − 1. Äîêàæåì ëåììó ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïóñòü k = 2. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî a1 < a2 . 13

Ðàñïèøåì íåðàâåíñòâî ïîñëå óìíîæåíèÿ íà δ 1−δ η1 η2 − η1 η1 < a1 + a0 . 1 − η1 1 − η2 1 − η2 Â ñèëó òîãî, ÷òî 0 < η1 < η2 < 1 è 0 < a0 < a1 η2 − η1 η1 η2 − η1 η1 η1 < a1 + a0 < a1 + a0 . a0 1 − η1 1 − η1 1 − η1 1 − η2 1 − η2 È òàê êàê η2 − η1 a1 > 0, 1 − η1 òî a1 < a2 . a0 Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü k = n + 1. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî an < an+1 . δ Óìíîæèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íà ïîëó÷èì 1−δ n n+1 X ηi − ηi−1 X ηi − ηi−1 ai−1 < ai−1 . 1 − η 1 − η n n+1 i=1 i=1 Òåïåðü, â ñèëó òîãî, ÷òî 0 < ηn < ηn+1 < 1, èìååì n X i=1 n+1 n+1 ηi − ηi−1 X ηi − ηi−1 X ηi − ηi−1 ai−1 < ai−1 < ai−1 . 1 − ηn 1 − η 1 − η n n+1 i=1 i=1 Èç òîãî, ÷òî an > 0, ñëåäóåò âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà an ηn+1 − ηn 1 − ηn > 0. Ëåììà 4.5. Ïóñòü âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ ëåììû 4.3. Åñëè ïàðàìåòðû ηk = η k , òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà k X i=1 ai−1 η i − η i−1 σ = ak−1 k ∈ 1 : m − 1. 1 − ηk 1−σ Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ëåììó ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Áàçà èíäóêöèè. Ïðåäïîëîæåíèå ëåììû ïðè k = 1, î÷åâèäíî, âûïîëíÿåòñÿ. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè k = 2 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî 2 X i=1 ai−1 η i − η i−1 σ = a1 . 1 − η2 1−σ 14

Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê 2 X ai−1 i=1 η i − η i−1 η − η1 η a1 (η 2 − η 1 ) + a0 η 1 = a1 2 + a0 1 = , 1 − η2 1 − η2 1 − η2 1 − η2 a0 η 2 − η 1 = (1 − σ)σ 1 − , a1 a0 1 − η 2 = (1 − σ) 1 − σ 1 − , a1 a1 (η 2 − η 1 ) + a0 η 1 σ (1 − σ)(a1 − a0 ) + a0 , = a0 1 − η2 1−σ 1−σ 1− a1 a0 (1 − σ)(a1 − a0 ) + a0 = a1 − σ(a1 − a0 ) = a1 1 − σ 1 − . a1 Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî k − 1 ∈ 1 : m − 2 âûïîëíåíî k−1 X ai−1 η i − η i−1 1 − η k−1 i=1 σ = 1−σ ak−2 . Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ k. k X ai−1 i=1 = η i − η i−1 1 − ηk k−1 X ai−1 i=1 = σ 1−σ ak−2 = k−1 X ai−1 η i − η i−1 i=1 1 − ηk + ak−1 η k − η k−1 1 − ηk = η k − η k−1 η i − η i−1 1 − η k−1 + ak−1 = 1 − η k−1 1 − η k 1 − ηk 1 − η k−1 1 − ηk 1 − η k−1 + ak−1 1 − η k−1 1 − ηk −1 = σ 1−σ ak−1 = ak−1 , . 1 − ηk σak−2 + (1 − σ)ak−1 Ðàññìîòðèì ëåâîå âûðàæåíèå ïîäðîáíåé. Ðàñïèøåì ðàçíîñòü 1 − η k 1 − η k−1 . P 1 − η k−1 k−1 η i − η i−1 1 − η k−1 + ai−1 (1 − σ) ak−1 i=1 1 − η k−1 15

Ñîêðàòèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà 1 − η k−1 , ïîëó÷èì ak−1 1 σak−2 (1 − σ) 1+ (1 − σ)ak−1 = σak−2 + (1 − σ)ak−1 . Çàìå÷àíèå. Îáîçíà÷èì σ= σ = σ −1 , 1−σ δ= 1−δ −1 =δ . δ Òîãäà ëåììó 4.7 ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ak = δσak−1 , åñëè ηk = η k , k ∈ 1 : m − 1, è âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ ëåììû 4.3. Åñëè ak = ak−1 , òî áóäåì îáîçíà÷àòü ηk = η k . Ëåììà 4.6. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {η k }m−1 k=1 ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Ëåììà 4.7. Åñëè ïàðàìåòðû ηk = η k , òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà ak−1 = δσak Ëåììà 4.8. k ∈ 1 : m − 1. Óñëîâèÿ (19)(20),(23),(24)(25),(28) ðàâíîçíà÷íû. Òî åñòü (19) (20) k X k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) σ, ai−1 (ηi − ηi−1 ) ≤ (1 − ηk )ak−1 + i=1 k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ≥ (1 − ηk )ak + i=1 i=1 k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) δ, i=1 ýêâèâàëåíòíû (23) δ 1−y dy 1−y ≤ ≤σ x dx x (0 < δ < σ < 1), 16

è (24)(25) η1 ≤ σ, 1 − δ η1 a0 , a1 ≤ δ 1 − η1 " # k−1 X ai−1 ηk ≤ σ + (1 − σ) ηk−1 − (ηi − ηi−1 ) , a k−1 i=1 k 1−δX ηi − ηi−1 ak ≤ ai−1 , δ i=1 1 − ηk k ∈ 2 : m − 1, è (28) ηi − σ 1−σ (1 − ηi ) ≤ y(x) ≤ ηi − x ∈ (ai−1 , ai ], 4.2 δ 1−δ (1 − ηi ), i ∈ 1 : m − 1. Î ñóùåñòâîâàíèè òî÷íîãî ðåøåíèÿ Â äàííîì ïàðàãðàôå îòâåòèì íà âîïðîñ: âîçìîæíî ëè îïòèìàëüíóþ øêàëó ïîäîõîäíîãî íàëîãà y ∗ (x) (10) àïïðîêñèìèðîâàòü íåïðåðûâíîé êóñî÷íî-ãèïåðáîëè÷åñêîé ôóíêöèåé y(x) (15) ñ îãðàíè÷åíèÿìè (17)(21) ñ ëþáîé äîñòàòî÷íî ìàëîé âåëè÷èíîé ïðèáëèæåíèÿ ε > 0, ò. å. inf max min sup τ ∈T i∈1:m−1 Hi x∈(ai−1 ,ai ] |y ∗ (x) − yi (x)| = ε. Îáîçíà÷èì ∆i (x) := y ∗ (x) − yi (x), i ∈ 1 : m − 1. Òîãäà ∆i (x) åñòü ôóíêöèÿ îòêëîíåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà 1 < v < m − 1 òî÷êà x0 ∈ (av−1 , av ]. Îïðåäåëèì ïàðàìåòðû ηi = η i , i ∈ 1 : v, 17 a0 := x− .

Ïðîâåä¼ì àïïðîêñèìàöèþ íà îòðåçêå [x− , x0 ]. Ïîëîæèì ai , i ∈ 1 : v , ðàâíûìè êîðíÿì óðàâíåíèé ∆i (x) = ε, x > ai−1 , i ∈ 1 : v. (30) Áåç óìàëåíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåëè÷èíà ïðèáëèæåíèÿ ε > 0 âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íîìåðà v âûïîëíÿåòñÿ av = x0 . Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ êîðíÿ óðàâíåíèé (30) ïðèâîäèòñÿ â ïðèëîæåíèè 2. σ−δ . Âûáåðåì âåëè÷èíó ïðèáëèæåíèÿ ε èç ïîëóèíòåðâàëà 0, (1 − y+ ) 1−σ Íà îòðåçêå [x0 , x+ ] àïïðîêñèìèðóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: äîïóñòèì, ÷òî íîìåð m > v + 1, äàëåå äâèãàåìñÿ ïî ñõåìå 1. Â ñèëó îãðàíè÷åíèÿ íà íåïðåðûâíîñòü, ∆m−1 (x+ , ηm−1 ) = y+ . Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü ym−1 (x, ηm−1 ) â âèäå ηm−1 + x+ (y+ − ηm−1 ). x 2. Àïïðîêñèìàöèþ áóäåì âûïîëíÿòü ñ òî÷êè am−1 = x+ äî av+1 , ïðè÷¼ì ak , k ∈ m − 2 : v + 1, âûáèðàþòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ y ∗ (ak+1 ) − yk+1 (x, η k+1 ) = ε, ãäå x ∈ [x0 , ak ), (31) ak+1 (yk+1 (ak+1 , η k+1 ) − η k+1 ), x = (1 − δ)yk+1 (ak+1 ) + δ; yk+1 (x, η k+1 ) = η k+1 + η k+1 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè k = m − 2 äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êîðíÿ óðàâíåíèÿ (31) íà ïîëóèíòåðâàëå [ak+1 , ak+1 ), ãäå ak+1 = δσak+1 , òðåáóåòñÿ, ÷òîáû y ∗ (am−1 ) − ym−1 (ak+1 , η k+1 ) > ε. Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó (1 − y+ ) 18 σ−δ > ε. 1−σ (32)

Äëÿ êàæäîãî k ∈ m − 3 : v + 1 ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà y ∗ (ak+1 ) − yk+1 (ak+1 , η k+1 ) > ε. (33) Ðàñïèøåì ïîäðîáíåé ôóíêöèþ yk+1 (x, η k+1 ) â òî÷êå ak+1 . Èìååì yk+1 (ak+1 , η k+1 ) = 1 − (1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 ))+ +δ(1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 )) − δσδ(1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 )) = = 1 − (1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 ))(1 + δ(δσ − 1)) = δ−σ 1−δ + yk+1 (ak+1 , η k+1 ). = 1−σ 1−σ (34) Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè y(x) è óñëîâèþ (31) óðàâíåíèå (34) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå yk+1 (ak+1 , η k+1 ) = δ−σ 1−δ ∗ + (y (ak+2 ) − ε). 1−σ 1−σ Ó÷èòûâàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî, ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî (33) y ∗ (ak+1 ) + σ−δ 1−δ ∗ − (y (ak+2 ) − ε) > ε, 1 − σ |1 {z − σ} σ−δ =1+ 1−σ σ−δ (1 − y ∗ (ak+2 ) + ε) > y ∗ (ak+2 ) − y ∗ (ak+1 ), 1−σ σ−δ σ−δ (1 − y ∗ (ak+2 ) + ε) ≥ (1 − y+ + ε) > ε > 1−σ 1−σ > y ∗ (ak+2 ) − y ∗ (ak+1 ) = y ∗ (ak+2 ) − yk+2 (ak+1 , η k+2 ) + | {z } =ε + yk+2 (ak+1 , η k+2 ) − y ∗ (ak+1 ) . {z } | <0 Ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà σ−δ (1 − y+ + ε) > ε 1−σ ñëåäóåò èç (32). 3. Åñëè yk+1 (x0 , η k+1 ) > y0 − ε, òî k := v è ïîëàãàåì y0 − ε − ηv+1 = 19 av+1 ∗ (y (av+2 ) − ε) x0 . av+1 1− x0

Äàííîå çíà÷åíèå äëÿ ηv+1 áûëî ïîëó÷åíî èç ðàâåíñòâà yk+1 (x0 , ηv+1 ) = y0 − ε. Ïðîâåðèì, âûïîëíåíû ëè îãðàíè÷åíèÿ íà ýëàñòè÷íîñòü (28) ïðè äàííîì âûáîðå ïàðàìåòðà ηv+1 . À èìåííî ïðîâåðèì âûïîëíåíèå ëåâîãî íåðàâåíñòâà (28), òàê êàê ïðàâîå íåðàâåíñòâî (28), î÷åâèäíî, âûïîëíÿåòñÿ. Äîêàæåì íåðàâåíñòâî y0 − ε > ηv+1 (1 + σ) − σ = av+1 y ∗ (av+2 ) − x0 y0 = − ε (1 + σ) − σ, av+1 − x0 y0 > av+1 y ∗ (av+2 ) − x0 y0 av+1 − x0 (1 + σ) − σ(1 + ε). Óñòðåìëÿÿ ε ê íóëþ, ïîëó÷èì y0 > lim ε↓0 av+1 y ∗ (av+2 ) − x0 y0 av+1 − x0 (1 + σ) − σ(1 + ε) = = (xy ∗ )0x (x0 + 0)(1 + σ) − σ = (δ + y0 (1 − δ))∗

∗(1 + σ) − σ

∗ (1 − σ), y0 (1 − σ) > y0 (1 − δ) + δ − σ, y0 < 1. Òàêèì îáðàçîì áûëà äîêàçàíà Òåîðåìà 4.9 (Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ [6]). Çàäà÷ó îá àïïðîê- ñèìàöèè ôóíêöèè y ∗ (x) íåïðåðûâíîé êóñî÷íî-ãèïåðáîëè÷åñêîé ôóíêöèåé y(x) ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé (17), (19)(21), áåç ó÷¼òà îãðàíè÷åíèé íà ðîñò ïðåäåëüíûõ ñòàâîê (18), ìîæíî ðåøèòü ñ ëþáîé äîñòàòî÷íî ìàëîé âåëè÷èíîé ïðèáëèæåíèÿ ε > 0. Çàìå÷àíèå. Òåîðåìà 4.9 ïðè íåêîòîðîì âûáîðå âõîäíûõ äàííûõ ãàðàíòèðóåò ñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû îãðàíè÷åíèé (17)(21). Ñîâìåñòíîñòü äîñòèãàåòñÿ ïóò¼ì óâåëè÷åíèÿ âåëè÷èíû ïðèáëèæåíèÿ ε ê å¼ ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîé 20

âåðõíåé ãðàíè, òàêèì îáðàçîì ìîæíî äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ îãðàíè÷åíèé ïîðÿäêà (18), êîòîðûå íàðóøàþòñÿ èìåííî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîé âåëè÷èíå ε, è ìèíèìèçèðîâàòü êîëè÷åñòâî ïîëó÷àåìûõ äèàïàçîíîâ m − 1. Äàëåå, äàííîå ðåøåíèå ìîæíî ïîëîæèòü â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ. Åñëè êîëè÷åñòâî äèàïàçîíîâ m − 1 ïîëó÷àåòñÿ áîëüøèì äåñÿòè (òî åñòü, êîãäà δ ≈ σ ), òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà îãðàíè÷åíèé íå ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé ïðè ìåíüøåì ÷èñëå äèàïàçîíîâ (ñì. ïðèìåð 6.5 ïàðàãðàôà 6), èíà÷å îãðàíè÷åíèÿ íà ýëàñòè÷íîñòü (19)(20) ñëåäóåò îòáðîñèòü, òàê êàê èìåííî èç-çà íèõ ÷èñëî m > 10, è ðåøàòü çàäà÷ó áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè (ýòîìó ïîñâÿù¼í ïàðàãðàô 5). Êàê áóäåò ïîêàçàíî íà ïðèìåðå 6.6 ïàðàãðàôà 6, ïðè δ ≈ σ îãðàíè÷åíèÿ ïîðÿäêà (18) áóäóò âûïîëíåíû àâòîìàòè÷åñêè. Ïðèìåð. Ïðèáëèçèì ôóíêöèþ y ∗ (x) íà îòðåçêå [x− , x0 ] ñ îãðàíè÷åíèÿ- ìè (17)(21) ñ òî÷íîñòüþ ε = 0.0091969 ìåòîäîì, îïèñàííûì â òåîðåìå 4.9. Î âõîäíûõ ïàðàìåòðàõ ñì. ïàðàãðàô 6. Ðèñ. 3: Ðàçíîñòü y∗ (x) − y(x) Ðèñ. 2: Ðàçíîñòü y∗ (x) − y(x) i ηi ai 0 1 2 ... 28 29 0 0.190827 0.238679 . . . 0.329474 0.332965 131580 190667 195365 . . . 384016 394740 Òàáëèöà 2: Ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè y(x) 21

4.3 Óïðîùåíèå èñõîäíîé çàäà÷è Äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è áóäóò ïîëåçíû ñëåäóþùèå ëåììû [7]. Çàôèêñèðóåì âåêòîðû H , A è íàòóðàëüíîå ÷èñëî m ≥ 2. Ëåììà 4.10. Ôóíêöèÿ ñðåäíèõ ñòàâîê íàëîãà y(x) (15) ïðåäñòàâèìà â âèäå ìàêñèìóìà èç ôóíêöèé yk (x), k ∈ 1 : m − 1, (14) max x∈(x− ,x+ ] (35) y1 (x), y2 (x), . . . , ym−1 (x) , òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ (17) a0 = x − , a0 < a1 < . . . < am−1 , am−1 = x+ η0 = 0, η0 ≤ η1 ≤ . . . ≤ ηm−1 , η m = y+ . è (18) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî yi (ai ) = yi+1 (ai ), i ∈ 1 : m − 2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà m = 3, òî åñòü èìååòñÿ òîëüêî äâà äèàïàçîíà. Âûáåðåì òî÷êó x∗ , íàïðèìåð, èç èíòåðâàëà (a0 , a1 ), òîãäà íóæíî ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà y1 (x∗ ) > y2 (x∗ ). Äåéñòâèòåëüíî, y1 (x∗ ) = η1 − a0 η1 ⇔ η1 − > η2 − x∗ a0 η1 x∗ ⇔ η1 1 − − a1 x∗ a1 (η2 − η1 ) + a0 η1 a1 η1 x∗ x∗ + a0 η 1 x∗ > η2 − = y2 (x∗ ) ⇔ a1 η 2 x∗ ⇔ a1 > η2 1 − ∗ ⇔ η1 < η2 . x Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî y1 (x∗ ) < y2 (x∗ ), êîãäà òî÷êà x∗ ïðèíàäëåæèò ïîëóèíòåðâàëó (a1 , a2 ]. Åñëè x∗ = a1 , òî äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ÷èñëî m áîëüøå òð¼õ. Ïóñòü x∗ ïðèíàäëåæèò âíóòðåííåìó èíòåðâàëó (as−1 , as ), s ∈ 2 : m − 2. Òîãäà íóæíî äîêàçàòü äâå ãðóïïû íåðàâåíñòâ ys (x∗ ) > . . . > y1 (x∗ ) 22 (36)

è ys (x∗ ) > . . . > ym−1 (x∗ ). (37) Ñíà÷àëà äîêàæåì (36). Äëÿ ëþáîãî j ∈ N, j < s, ñïðàâåäëèâî s P ∗ ys (x ) = ηs − j P ai−1 (ηi − ηi−1 ) i=1 > ηj − x∗ s P ai−1 (ηi − ηi−1 ) i=1 x∗ ai−1 (ηi − ηi−1 ) i=j+1 ηs − ηj −  = yj (x∗ ), > 0,  x∗ s ηi − ηi−1 P   a i−1   η − η s j i=j+1   (ηs − ηj ) 1 −  > 0. ∗   x   Òàê êàê ηs > ηj , òî îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî s X ai−1 ηi − ηi−1 ηs − ηj i=j+1 < x∗ . Ýòî ñïðàâåäëèâî â ñèëó òîãî, ÷òî s X ai−1 ηi − ηi−1 i=j+1 ηs − ηj < s X as−1 i=j+1 ηi − ηi−1 ηs − ηj = as−1 < x∗ . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâà (37). Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî j ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò s + 1 äî m − 1, òî ñïðàâåäëèâî s P ∗ ys (x ) = ηs − j P ai−1 (ηi − ηi−1 ) i=1 > ηj − x∗ j P ηs − ηj +  ai−1 (ηi − ηi−1 ) i=1 x∗ ai−1 (ηi − ηi−1 ) i=s+1 x∗ > 0,  j ηi − ηi−1 P   a i−1   η − η s j   i=s+1 (ηs − ηj ) 1 +  > 0.   x∗   23 = yj (x∗ ),

Òàê êàê ηs < ηj , òî íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî j P ai−1 ηi − ηi−1 ηj − ηs i=s+1 x∗ < x∗ Îêàçûâàåòñÿ, ∗ x < as = j X as ηi − ηi−1 i=s+1 ηj − ηs < j X ai−1 i=s+1 ηi − ηi−1 ηj − ηs . Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíû íåðàâåíñòâà (36),(37). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâà, êîãäà òî÷êà x∗ ïðèíàäëåæèò ãðàíè÷íûì ïîëóèíòåðâàëàì. Åñëè x∗ = ai , i ∈ 1 : m − 2, òî x∗ ∈ (ai−1 , ai+1 ), è ïîäîáíûì æå îáðàçîì äîêàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâà yi−1 (x∗ ) = yi (x∗ ) > yj (x∗ ) äëÿ j ∈ N \ {i, i + 1}, j < m − 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî v ∈ 1 : m − 2 òî÷êà x0 ∈ (av−1 , av ). Îïðåäåëèì ïàðàìåòðû ηi := η i , i ∈ 1 : v, Ëåììà 4.11. k X ηi := η i , i ∈ v + 1 : m − 1. (38) Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (38), íåðàâåíñòâà (19)(20) k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ≤ (1 − ηk )ak−1 + ai−1 (ηi − ηi−1 ) σ, i=1 k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) ≥ (1 − ηk )ak + i=1 i=1 k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) δ, i=1 èëè èì ðàâíîçíà÷íûå (ñì. ëåììó 4.8) è (21) am−1 (ηm − ηm−1 ) + m−1 X ai−1 (ηi − ηi−1 ) = 0, i=1 òî y(x) < y ∗ (x) ∀x ∈ (x− , x+ ), äëÿ ëþáûõ äîïóñòèìûõ2 ïàðàìåòðîâ x− , x+ , y+ , δ, σ èëè ðàâíîñèëüíûõ3 èì. 2 Òî åñòü óäîâëåòâîðÿþùèõ ãðóïïå íåðàâåíñòâ (6)(9). 3 Ñì. [13, 14]. 24

Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì yσ∗ (x) = y ∗ (x), êîãäà x ∈ (x− , x0 ), è yδ∗ (x) = y ∗ (x), êîãäà x ∈ [x0 , x+ ]. Íóæíî äîêàçàòü äâà íåðàâåíñòâà y(x, H, A) < yσ∗ (x), (39) y(x, H, A) < yδ∗ (x). (40) Ñíà÷àëà äîêàæåì íåðàâåíñòâî (39). Ïàðàìåòð a1 îïðåäåëèì, êàê êîðåíü óðàâíåíèÿ ∆1 (x, σ) = yσ∗ (x) − y1 (x, σ) = ε, ãäå ε ñêîëü óãîäíî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Òàê êàê ïðàâîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ∆k (x, η k ), k ∈ N \ {1} èìååò îòðèöàòåëüíûé çíàê, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ∆k (x, η k ) îáðàùàåòñÿ â íîëü â òî÷êå x∗k (η k ) > ak−1 , òî îïðåäåëèì ïàðàìåòðû ak ðàâíûìè x∗k (η k ). Òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ îòêëîíåíèÿ ∆k (x, η k ) áóäåò ìîíîòîííî óáûâàòü. Îòìåòèì çàâèñèìîñòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèé y(x) è yσ∗ (x) îò èõ ïðîèçâîäíûõ: dyk (x, ηk ) , êîãäà x ∈ (ak−1 , ak ), dx dyk (ak − 0, ηk ) yk (ak , ηk ) = ηk − ak , dx x dyσ∗ (x) ∗ yσ (x) = 1 − , êîãäà x ∈ (x− , x0 ). σ dx yk (x, ηk ) = ηk − x Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü a2 dyσ∗ (a2 ) yσ∗ (a2 ) dy2 (a2 − 0, η 2 ) − η 2 + a2 = − y2 (a2 , η 2 ) = 1 − σ dx dx   a2 dyσ∗ (a2 ) dy2 (a2 − 0, η 2 )  = 1 − η2− = 1 − η2 −  −σ σ dx dx   a2  dyσ∗ (a2 ) dy2 (a2 − 0, η 2 ) dy2 (a2 − 0, η 2 ) +(1 − σ) −  − = σ | dx dx dx {z } =0 25

a2 dy2 (a2 − 0, η 2 ) = (1 − σ) − (1 − σ)y1 (a1 , σ) − (1 − σ) = σ dx   a2 dy2 (a2 − 0, η 2 )  > 0. (1 − σ) 1 − y1 (a1 , σ) − σ dx Òàê êàê σ ∈ (0, 1), òî âûðàæåíèå â êðóãëûõ ñêîáêàõ áîëüøå íóëÿ. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ. Èìååì a2 dy2 (a2 − 0, η 2 ) 1 − y1 (a1 , σ) − = σ dx a2 a1 (1 − σ)y1 (a1 , σ) + a0 σ = 1 − y1 (a1 , σ) − a22 σ = =σ−y1 (a1 ) a1 (1 − σ)y1 (a1 , σ) + = 1 − y1 (a1 , σ) − = 1 − y1 (a1 , σ) − z}|{ a0 σ a1 a2 σ a1 (1 − y1 (a1 , σ)) a2 = a1 = (1 − y1 (a1 , σ)) 1 − > 0, a2 òàê êàê y(x) ∈ (0, 1) è a2 > a1 . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâà ∆k (x) > 0 ∀k ∈ [3, v]. Íåðàâåíñòâî (40) äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïàðàìåòðû ak äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó δσak+1 ≤ ak , è âûïîëíÿòüñÿ d∆k+1 (ak+1 − 0, η k+1 ) dx < 0, k = m − 2, ..., v + 1. Ïóñòü k = m − 2, òîãäà äëÿ x ∈ (am−2 , x+ ), am−1 = x+ , è d∆(ak+1 − 0, η k+1 ) dx =δ =δ 1 − yδ∗ (x) x 1 − yδ∗ (x) x − + x+ ym−1 (x+ , η m−1 ) − η m−1 x x+ 1 − y+ x x x = < 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî k ∈ v + 1 : m − 3, x ∈ (ak , ak+1 ), ak+1 âûáèðàþòñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì èç èíòåðâàëà (δσak+2 , ak+2 ), è ïóñòü ∆k+1 (ak+1 − 0, η k+1 ) = εk+1 , 26

òîãäà ñïðàâåäëèâî d∆k+1 (ak+1 − 0, η k+1 ) dx =δ 1 − yδ∗ (x) 1 − yδ∗ (x) x + ak+1 yk+1 (ak+1 , η k+1 ) − η k+1 x x = ak+1 1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 ) δ = x x x δ ak+1 ∗ = 1 − yδ (x) − (1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 )) . x x Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå â êðóãëûõ ñêîáêàõ è ïîêàæåì, ÷òî îíî ìåíüøå íóëÿ, =δ + äåéñòâèòåëüíî 1 − yδ∗ (x) − 1 − yδ∗ (x) < ak+1 x ak+1 x (1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 )) < 0

(1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 ))

∗ x x(1 − yδ∗ (x)) < ak+1 (1 − yk+1 (ak+1 , η k+1 )) δ x+ x+ δ x(1 − y+ ) < ak+1 (1 − y+ ) + εk+1 x ak+1 Îáîçíà÷èì p = (1 − y+ )xδ+ è îòáðîñèì εk+1 , òîãäà ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì px1−δ < pa1−δ k+1 . Ýòî ñïðàâåäëèâî, òàê êàê x < ak+1 . Ëåììà 4.12. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû 4.11 è ak > a∗k , k ∈ 2 : v − 1, ãäå a∗k êîðåíü óðàâíåíèÿ ∆k (x, η k ) = ∆k (ak−1 , η k ), x > ak−1 , òîãäà arg max ∆(x) = x0 , x∈[x− ,x+ ] ãäå ∆(x) = y ∗ (x) − y(x). Áëàãîäàðÿ ëåììàì 4.104.12 ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü çàäà÷ó (16) (21). Çàäà÷à (16) inf max min sup τ ∈T i∈1:m−1 Hi x∈(ai−1 ,ai ] |y ∗ (x) − yi (x, Hi , Ai−1 )| 27

ðàâíîñèëüíà ñëåäóþùåé çàäà÷å inf min τ ∈T H sup |y ∗ (x) − y(x, H, A)| . x∈(x− ,x+ ] Â ñèëó ëåììû 4.11, ìîæíî îïóñòèòü ìîäóëü inf min τ ∈T H sup y ∗ (x) − y(x, H, A). x∈(x− ,x+ ] Òàê êàê ñïðàâåäëèâà ëåììà 4.12, òî åñòü ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå x0 , òî çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé inf min y0 − y(x0 , H, A). τ ∈T H È åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî m ≥ 3, x0 ∈ (av−1 , av ), v ∈ 2 : m − 2, è ïîëîæèòü ïàðàìåòðû ηi = η i , i ∈ 1 : v, è ηi = η i , i ∈ v + 1 : m − 1, òî çàäà÷à ïåðåïèøåòñÿ òàê inf y0 − y(x0 , A). τ ∈T Òàê êàê êîíñòàíòó ìîæíî íå ó÷èòûâàòü, òî ïî ñâîéñòâó ôóíêöèè ñóïðåìóìà [8] èìååì − sup y(x0 , A) = inf −y(x0 , A). τ ∈T τ ∈T Îòáðîñèì ìèíóñ ïåðåä ôóíêöèåé ñóïðåìóìà. Â ñèëó ëåììû 4.10 è ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî x0 ∈ (av−1 , av ), sup yv (x0 , Av−1 ). τ ∈T Ïîäûòîæèâ âûøåñêàçàííîå, çàäà÷à (16)(21) ïåðåïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (41) sup yv (x0 , Av−1 ), τ ∈T a0 = x − , a0 < a1 < . . . < am−1 , η0 = 0, ηv ≤ ηv+1 , am−1 = x+ , η m = y+ , (42) (43) k ηi − ηi−1 1−δX ak ≤ ai−1 , δ i=1 1 − ηk (44) k ∈ 1 : m − 1, (45) am−1 (ηm − ηm−1 ) + m−1 X i=1 28 ai−1 (ηi − ηi−1 ) = 0. (46)

4.4 ×àñòíîå ðåøåíèå óïðîùåííîé çàäà÷è Ðåøèì çàäà÷ó (41)(46) ìåòîäîì ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà ïðè m = 4, v = 2. Èç (38) íàõîäèì âûðàæåíèÿ äëÿ ηk , k = 1, 2, 3 : η1 = σ, a0 η2 = σ + σ(1 − σ) 1 − , a1 η3 = (1 − δ)y+ + δ. Âûïèøåì ÿâíûé âèä ôóíêöèè yv (x0 , A) ïðè v = 24 a0 a1 a0 y2 (x0 , A) = (1 − σ)σ 1 − 1− +σ 1− . a1 x0 x0 Ïðèðàâíèâàÿ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ y2 (x0 , a1 ) ïî a1 ê íóëþ, ïîëó÷àåì a1 a0 = σ(1 − 1− − σ(1 − σ) 1 − = ∂a1 x0 a1 a a a a 1 0 0 1 = σ(1 − σ)a−2 1− −1+ = σ(1 − σ)a−2 − = 0 ⇐⇒ 1 1 x0 a1 a1 x 0 √ ⇐⇒ a1 = a0 x0 . ∂y2 (x0 , a1 ) σ)a−2 1 Èç óñëîâèÿ (46) ñëåäóåò q x+ (1 − y+ )δ − a0 x0 (1 − σ)σ 1 − xa00 − a0 σ a2 = q . y+ + δ(1 − y+ ) − σ − (1 − σ)σ 1 − xa00 √ 4 Ïðè v > 2 ñì. ïðèëîæåíèå 1 è ôîðìóëó (50). 29

5 Ðåøåíèå áåçóñëîâíîé çàäà÷è Â äàííîì ïàðàãðàôå ïîéä¼ò ðå÷ü îá àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè y ∗ (x) íåïðåðûâíîé êóñî÷íî-ãèïåðáîëè÷åñêîé ôóíêöèåé y(x), òî åñòü î çàäà÷å (16). Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (16) ñ ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîé âåëè÷èíîé ïðèáëèæåíèÿ ïðèâåäåíî â äèññåðòàöèè [5]. Â ðàáîòå [9] ïðèâåäåíà ïîïûòêà ðåøåíèÿ íåñêîëüêî âèäîèçìåí¼ííîé çàäà÷è (16) ëèíåéíûìè ñïëàéíàìè. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðèâîäÿòñÿ äâà àëãîðèòìà: àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ íàèëó÷øåé íåïðåðûâíîé àïïðîêñèìàöèè ãëàäêîé ñòðîãî âûïóêëîé èëè âîãíóòîé ôóíêöèè ñòåïåííûìè ôóíêöèÿìè, è ìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì, îïèðàþùèéñÿ íà ïðåäûäóùèé, äëÿ íåïðåðûâíîé àïïðîêñèìàöèè êóñî÷íî-ãëàäêîé ñòðîãî âîãíóòîé ôóíêöèè èìåþùåé èçëîì ñòåïåííûìè ôóíêöèÿìè. Çàêëþ÷èòåëüíûé ïóíêò äàííîãî ïàðàãðàôà î ïðèìåíåíèè ìîäèôèöèðîâàííîãî àëãîðèòìà ê äàííîé êîíêðåòíîé çàäà÷å (16). 5.1 Òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå Ñôîðìóëèðóåì íåêîòîðûå èçâåñòíûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ Îïðåäåëåíèå 5.1. Ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåë¼ííàÿ è êîíå÷íàÿ íà îòðåçêå [a, b], íàçûâàåòñÿ âîãíóòîé (âûïóêëîé) íà [a, b], åñëè äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ [a, b] âûïîëíÿåòñÿ f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≥ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ), (f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ), Îïðåäåëåíèå 5.2. α ∈ [0, 1] α ∈ [0, 1]). Ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåë¼ííàÿ è êîíå÷íàÿ íà îòðåçêå [a, b], íàçûâàåòñÿ ñòðîãî âîãíóòîé (ñòðîãî âûïóêëîé) íà [a, b], åñëè äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ [a, b], x1 6= x2 , âûïîëíÿåòñÿ f (αx1 + (1 − α)x2 ) > αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ), (f (αx1 + (1 − α)x2 ) < αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ), Òåîðåìà 5.1 α ∈ (0, 1) α ∈ (0, 1)). (Ëàãðàíæ). Åñëè ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåë¼ííàÿ íà îòðåçêå [a, b], ñòðîãî âûïóêëà èëè âîãíóòà íà èíòåðâàëå (a, b) è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà 30

íà (a, b), òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ξ ∈ (a, b) òàêàÿ, ÷òî f 0 (ξ)(b − a) = f (b) − f (a). Òåîðåìà 5.2 (Êîøè). Åñëè ôóíêöèè f (x), g(x), îïðåäåë¼ííûå íà îòðåçêå [a, b], íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà èíòåðâàëå (a, b), a < b, ïðè÷¼ì g 0 (x) 6= 0 íà (a, b), è ÿâëÿþòñÿ ñòðîãî âûïóêëûìè èëè âîãíóòûìè íà (a, b), òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ξ ∈ (a, b) òàêàÿ, ÷òî f 0 (ξ) f (b) − f (a) = . g 0 (ξ) g(b) − g(a) 5.2 Àëãîðèòì Ïóñòü àïïðîêñèìèðóåìàÿ ôóíêöèÿ y ∗ (x)5 , ñòðîãî îòðåçêå [a, b], 0 < a < b, âîãíóòàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà èëè âûïóêëàÿ íà íà èíòåðâàëå (a, b), à çíà÷åíèå àïïðîêñèìàöèè, íåïðåðûâíîé ñòåïåííîé ôóíêöèè íà [a, b], â òî÷êàõ a è b ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì àïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèè â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ. Ââåä¼ì îïðåäåë¼ííûå íà îòðåçêå [ai−1 , ai ] ôóíêöèè äëÿ íåêîòîðîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà n, íå ðàâíîãî íóëþ, è íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m ≥ 2 yi (x, βi ) := γi−1 + βi (xn − ani−1 ), i ∈ 1 : m − 1. (47) Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆i (x, βi ) = y ∗ (x) − yi (x, βi ) îòêëîíåíèå ôóíêöèè y ∗ (x) îò yi (x, βi ). Îïèøåì ñõåìó àëãîðèòìà. 1. Çàôèêñèðóåì ÷èñëà n ∈ R \ {0}, m ∈ N, m ≥ 2. Âûáåðåì ïîëîæèòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî h0 âåëè÷èíó ïðèáëèæåíèÿ. 2. k -ÿ èòåðàöèÿ (k ≥ 0): (a) Îïðåäåëèì ïàðàìåòðû a0 := a, γ0 := y ∗ (a). (b) Åñëè m ≥ 3, òî äëÿ êàæäîãî i îò 1 äî m − 2 âûïîëíÿåì ïîñëåäîâàòåëüíî ñëåäóþùèå òðè øàãà: 5 Ïîä y ∗ (x) ïîíèìàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. 31

i. Ðàçðåøèì îòíîñèòåëüíî x óðàâíåíèå d∆i (x, βi ) dx = 0. Ïîëó÷èì òî÷êó x = x∗i (βi ). ii. Ðåøèì óðàâíåíèå ∆i (x∗i (βi ), βi ) = −hk . (k) Ïîëó÷èì êîðåíü βi ýòîãî óðàâíåíèÿ. iii. Íàéä¼ì êîðåíü óðàâíåíèÿ (k) ∆i (x, βi ) = hk (k) íà îòðåçêå (ai−1 , b), ïóñòü îí ðàâåí xi . Ïîëîæèì (k) (k) ai := xi , γi := y ∗ (ai ) − hk , βi := βi . (k) (k) (c) Ïàðàìåòð am−1 ïîëîæèì ðàâíûì b, à ïàðàìåòð βm−1 := βm−1 , ãäå βm−1 ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ∆m−1 (b, βm−1 ) = 0. (k) (d) Åñëè |∆m−1 (x, βm−1 )| > hk äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ [am−2 , am−1 ], òî óâåëè÷èâàåì hk , èëè åñëè íà îòðåçêå [am−2 , am−1 ] îäèí àëüòåðíàíñ, òî óìåíüøàåì hk , è ïåðåõîäèì ê ñëåäóþùåé èòåðàöèè k := k + 1. Åñëè íà îòðåçêå [am−2 , am−1 ] äâà àëüòåðíàíñà, òî ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ. Îïðåäåëèì íåïðåðûâíóþ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèþ y(x) :=    y1 (x, β1 ), åñëè x ∈ [a0 , a1 ];       y2 (x, β2 ), åñëè x ∈ [a1 , a2 ];   ···      y (x, β ), åñëè x ∈ [a m m m−2 , am−1 ]. Àëãîðèòì ïðèâåä¼í â ñëó÷àå, êîãäà • n = 1 è ôóíêöèÿ y ∗ (x) âîãíóòàÿ íà îòðåçêå [a, b]; 32 (48)

• n 6= 1 è àïïðîêñèìàöèÿ y(x) íåïðåðûâíî êóñî÷íî-âîãíóòàÿ ôóíêöèÿ íà [a, b]. Åñëè • n = 1 è ôóíêöèÿ y ∗ (x) âûïóêëàÿ íà îòðåçêå [a, b]; • n 6= 1 è àïïðîêñèìàöèÿ y(x) íåïðåðûâíî êóñî÷íî-âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ íà [a, b], òî íóæíî âåçäå (çà èñêëþ÷åíèåì |∆i (x, ηi )| ≶ hk ) ïðè hk ïîìåíÿòü çíàê íà ïðîòèâîïîëîæåííûé. Äîïóñòèì ìû ðåàëèçîâàëè àëãîðèòì (m ≥ 3), òî åñòü íàøëè êîýôôèöèåíòû βi , γi−1 , i ∈ 1 : m − 1, aj , j ∈ 0 : m − 1. Òîãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê (ñì. 2(b)i ïóíêò àëãîðèòìà) ∗ {x∗i (βi )}m−1 i=1 , ãäå xm−1 (βm−1 ) òî÷êà èç èíòåðâàëà (am−2 , am−1 ), â êîòîðîé ïðî- èçâîäíàÿ ôóíêöèè îòêëîíåíèÿ ðàâíà íóëþ d∆m−1 (x, βm−1 ) dx Ñîñòàâèì = 0. öåïü x∗1 (β1 ) < a1 < x∗2 (β2 ) < . . . < am−2 < x∗m−1 (βm−1 ). Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ti }2m−3 i=1 , ýëåìåíòàìè êîòîðîé áóäóò çíà÷åíèÿ öåïè â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà (−1)s h = y ∗ (ts ) − y(ts ), s ∈ 1 : 2m − 3. Òî åñòü ðàçíîñòü y ∗ (ts )−y(ts ) äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå çíà÷åíèÿ ñ ïîñëåäîâàòåëüíîé ïåðåìåíîé çíàêà â 2m − 3 òî÷êàõ ts , s ∈ 1 : 2m− 3. Çàìå÷àíèå. Ïðè n = 1, m ≥ 4 yi (x, βi ), i ∈ 2 : m − 2, åñòü íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ïåðâîé ñòåïåíè îòðåçêå [ai−1 , ai ]. Ðàçáèåíèå ìíîãî÷ëåí äëÿ ôóíêöèè y ∗ (x) íà τ = {a1 , a2 , . . . , am−2 } îòðåçêà [a1 , am−2 ] ÿâëÿåòñÿ ðàçáèåíèåì ñ ðàâíûìè óêëîíåíèÿìè, ñì. [10], [11]. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòà- öèÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ àëãîðèòìà èçëîæåíà â êíèãå [12]. 33

5.3 Ìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì Ìîæíî îáîáùèòü àëãîðèòì ïàðàãðàôà 5.2 äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà y ∗ (x) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî âîãíóòîé êóñî÷íî-ãëàäêîé ôóíêöèåé èìåþùåé èçëîì â òî÷êå x∗ ∈ (a, b). Äëÿ ýòîãî äîáàâèì â ïóíêò 2b âûøåèçëîæåííîãî àëãîðèòìà äëÿ êàæäîãî i ∈ 1 : m − 2 ïðåäâàðèòåëüíûé øàã: ïóñòü ai−1 < x∗ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç βi∗ ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ∆i (x∗ , βi ) = hk . (1) (2) Íàéä¼ì êîðíè (xi , xi ) óðàâíåíèé ∆i (x, βi∗ ) = ±hk (1) (2) íà èíòåðâàëå (ai−1 , b). Åñëè x∗ > max{xi , xi }, òî ïåðåõîäèì ê ïóíêòó 2(b)i, èíà÷å åñëè i 6= m − 26 , òî âûáèðàåì òîò íîìåð j ∗ , ïðè êîòîðîì (j ∗ ) xi = (j) max j∈{1,2} (j) |∆i (x,βi∗ )|≤hk x∈[ai−1 ,xi ] xi ; åñëè i = m − 27 , òîãäà âûáèðàåì òîò íîìåð j ∗ , ïðè êîòîðîì (j ∗ ) xi = (j) min j∈{1,2} (j) x∈[ai−1 ,xi ] xi . |∆i (x,βi∗ )|≤hk Ïîëîæèì (j ∗ ) ∗ βi := βi∗ , ai := xi , γi := y ∗ (ai ) + (−1)j h. Óâåëè÷èâàåì i íà åäèíèöó 8 . Çàìå÷àíèå. Êðàéíå ðåäêî ñëó÷àåòñÿ, ÷òî (j ∗ ) βi∗ = βi . (49) Ïîýòîìó â ìîäèôèöèðîâàííîì àëãîðèòìå íåîáõîäèìî âûïîëíèòü âñå øàãè àëãîðèòìà 5.2 (êîãäà ýòî âîçìîæíî), è åñëè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (49), òî êîëè÷åñòâî òî÷åê àëüòåðíàíñà ìîæíî ñîõðàíèòü ðàâíûì 2m − 3, êîãäà i < m − 2. Êðèòåðèé îñòàíîâêè àëãîðèòìà â äàííîì ñëó÷àå ñëåäóþùèé: 6 ñì. 6 ïðèìåð 6.1 7 ñì. 6 ïðèìåð 6.2 8 ñì. çàìå÷àíèå 34

åñëè íà îòðåçêå [am−2 , am−1 ] îäèí àëüòåðíàíñ è ïðè óìåíüøåíèè hk−1 , k ∈ N, ò.å. âûáðàâ hk = hk−1 − ε, ãäå ε äîñòàòî÷íî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, õîòÿ áû äëÿ îäíîé òî÷êè x ∈ [am−2 , am−1 ] âûïîëíåíî |∆m−1 (x, βm−1 )| > hk , òî ïîëàãàÿ hk−1 âåëè÷èíîé íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ, âûïîëíÿåì àëãîðèòì 5.2 è îñòàíàâëèâàåìñÿ. 5.4 Ìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì íà ïðàêòèêå Çàïèøåì àëãîðèòì ïàðàãðàôà 5.3 ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å (16). Îòðåçîê [a, b] := [x− , x+ ], x∗ = x0 , çàäàäèì ôóíêöèþ y ∗ (x) òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà (6)(9), ôóíêöèè âèäà (47) ïðèâåä¼ì ê âèäó (14), ïîëîæèâ n = −1, βi = − i X aj−1 (ηj − ηj−1 ), γi−1 = yi (ai−1 + 0, H, A). j=1 Îïèøåì ñõåìó àëãîðèòìà. 1. Çàôèêñèðóåì ÷èñëî m ∈ N, m ≥ 2. Âûáåðåì ïîëîæèòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî h0 âåëè÷èíó ïðèáëèæåíèÿ. 2. k -ÿ èòåðàöèÿ (k ≥ 0): (a) Îïðåäåëèì ïàðàìåòð a0 := x− . (b) Åñëè m ≥ 3, òî äëÿ êàæäîãî i îò 1 äî m − 2 âûïîëíÿåì ïîñëåäîâàòåëüíî ñëåäóþùèå ÷åòûðå øàãà: i. Âûïîëíÿåì äàííûé ïóíêò, ïîêà ai−1 < x0 . Åãî îïèñàíèå ñìîòðåòü íèæå. ii. Ðàçðåøèì îòíîñèòåëüíî x óðàâíåíèå d∆i (x, ηi ) dx 35 = 0.

Ïîëó÷èì òî÷êó σ Σ σ , åñëè x− < ai−1 < x0 ; σxσ− ∗ xi (ηi ) =  δ  i  Σ   δ , åñëè x ≤ a ≤ x ;   0 i−1 + δ δ(1 − y+ )x+         ãäå Σi = i P i aj−1 (ηj − ηj−1 ). j=1 iii. Ðåøèì óðàâíåíèå ïî ηi íà èíòåðâàëå (0, 1) ∆i (x∗i (ηi ), ηi ) = −hk , ãäå ∆i (x∗i (ηi ), ηi ) =   ∆σ (x∗ (ηi ), ηi ), åñëè x− < ai−1 < x0 ; i i ∆σi (x∗i (ηi ), ηi ) = 1 − ηi + ∆δi (x∗i (ηi ), ηi ) = 1 − ηi + (1 − (k) Ïîëó÷èì êîðåíü ηi åñëè x0 ≤ ai−1 ≤ x+ ;  ∆δi (x∗i (ηi ), ηi ), σx− σ {σ − 1}, Σi 1 y+ ) 1−δ δx+ Σi δ {δ − 1}. ýòîãî óðàâíåíèÿ. iv. Íàéä¼ì êîðåíü óðàâíåíèÿ (k) ∆i (x, ηi ) = hk (k) (k) íà îòðåçêå (ai−1 , x+ ). Ïóñòü îí ðàâåí xi . Ïîëîæèì ai := xi , ηi := (k) ηi . (k) (c) Ïàðàìåòð am−1 ïîëîæèì ðàâíûì x+ , à ïàðàìåòð ηm−1 := ηm−1 , ãäå (k) ηm−1 ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ∆m−1 (x+ , ηm−1 ) = 0. (k) (d) Åñëè |∆m−1 (x, ηm−1 )| > hk äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ [am−2 , am−1 ], òî óâåëè÷èâàåì hk , èëè åñëè íà îòðåçêå [am−2 , am−1 ] îäèí àëüòåðíàíñ, òî óìåíüøàåì hk , è ïåðåõîäèì ê ñëåäóþùåé èòåðàöèè k := k + 1. 36

Åñëè íà îòðåçêå [am−2 , am−1 ] äâà àëüòåðíàíñà, òî ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ. Îïèñàíèå 2(b)i øàãà: îáîçíà÷èì ÷åðåç ηi∗ ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ y0 − yi (x0 , ηi ) = hk . (1) (2) Íàéä¼ì êîðíè (xi , xi ) óðàâíåíèé ∆i (x, ηi∗ ) = ±hk (1) (2) íà èíòåðâàëå (ai−1 , x0 ). Åñëè x0 > max{xi , xi }, òî ïåðåõîäèì ê ïóíêòó 2(b)ii, èíà÷å åñëè i 6= m − 2, òî âûáèðàåì òîò íîìåð j ∗ , ïðè êîòîðîì (j ∗ ) xi = max j∈{1,2} (j) x∈[ai−1 ,xi ] (j) xi ; |∆i (x,ηi∗ )|≤hk åñëè i = m − 2, òîãäà âûáèðàåì òîò íîìåð j ∗ , ïðè êîòîðîì (j ∗ ) xi = min j∈{1,2} (j) x∈[ai−1 ,xi ] (j) xi . |∆i (x,ηi∗ )|≤hk (j ∗ ) Ïîëîæèì ηi := ηi∗ , ai := xi , óâåëè÷èâàåì íà åäèíèöó i. 37

6 ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû. Ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå, ðåàëèçóþùåå àëãîðèòì ïàðàãðàôà 5.4, áûëî íàïèñàíî â ìàòåìàòè÷åñêîì ïàêåòå Wolfram Mathematica. Ðàñ÷¼òû áûëè ïðîèçâåäåíû ñ òî÷íîñòüþ 10−6 . Ñëåäóþùèå ÷åòûðå ïðèìåðà èëëþñòðèðóþò âñå òîíêîñòè àëãîðèòìà. Çàäàòü ôóíêöèþ y ∗ (x) ìîæíî ïðè ïîìîùè ïàðàìåòðîâ (x− , x+ , y+ , δ, σ) èëè (x− , x0 , x+ , y0 , y+ ) (ñì. [13, 14]). Âõîäíûå äàííûå äëÿ y ∗ (x) áûëè ïðåäëîæåíû Ð.Î. Ñìèðíîâûì â ñòàòüå [13]: x− = 131580, x0 = 3 ∗ x− , x+ = 10 ∗ x− , y+ = 0.3, y0 = 0.23. Ïðèìåð 6.1. Ïóñòü m = 4. Ïîëó÷àåì h = 0.007128 è òàáëèöó 3. Ïðîàíàëèçèðó- åì ðèñ.4. Íà îòðåçêàõ [a0 , a1 ] è [a2 , a3 ] èìååì 3 − 1 = 2 òî÷êè àëüòåðíàíñà (îäèí àëüòåðíàíñ ¾óø¼ë íà îáñëóæèâàíèå¿ îãðàíè÷åíèÿ-ðàâåíñòâà y(a0 ) = y ∗ (a0 ) è y(a3 ) = y ∗ (a3 ) ñîîòâåòñòâåííî). Íà îòðåçêå [a1 , a2 ], êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò óãëîâàÿ òî÷êà x0 , çàïå÷àòë¼í îòðèöàòåëüíûé ìîìåíò ìîäèôèöèðîâàííîãî àëãîðèòìà. Ðàçíîñòü y ∗ (x) − y(x) äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ (íî íå ñ ïåðåìåíîé çíàêà) íà êîíöàõ äàííîãî îòðåçêà. Ïàðàìåòð a2 = x0 , ò.ê. m − 2 = 2. Íà ðèñ. 5 ïðèâåäåíû ãðàôèêè y ∗ (x) è y(x). Ðèñ. 4: Ðàçíîñòü y∗ (x) − y(x) Ïðèìåð 6.2. Ðèñ. 5: Ãðàôèêè y∗ (x), y(x) Ïóñòü m = 6. Ïîëó÷àåì h = 0.002424 è òàáëèöó 4. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåé ðèñ.6. Íà îòðåçêàõ [a0 , a1 ] è [a4 , a5 ] èìååì äâå òî÷êè àëüòåðíàíñà. Íà îòðåçêå [a2 , a3 ], êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò óãëîâàÿ òî÷êà x0 , òðè òî÷êè ìàêñèìàëüíîãî ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå îòêëîíåíèÿ, ïðè÷¼ì ïîòåíöèàëüíàÿ òî÷êà 38

i ηi ai 0 1 2 3 0 0.290826 0.377977 0.333808 131580 271404 394740 1315800 Òàáëèöà 3: Ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè y(x) i ηi ai 0 1 2 3 4 5 0 0.266836 0.346633 0.395114 0.295836 0.342353 131580 198330 327786 413776 644474 1315800 Òàáëèöà 4: Ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè y(x) i ηi ai 0 1 2 3 4 0 0.273023 0.367059 0.299564 0.347456 131580 215071 433312 742092 1315800 Òàáëèöà 5: Ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè y(x) Ðèñ. 6: Ðàçíîñòü y∗ (x) − y(x) àëüòåðíàíñà ñëåäóþùåãî îòðåçêà [a3 , a4 ] ¾ïåðåøëà¿ ê ïðåäûäóùåìó îòðåçêó. Ïàðàìåòð a3 > x0 , ò.ê. 3 6= 6 − 2 = 4. Ïðèìåð 6.3. Ïóñòü m = 5. Ïîëó÷àåì h = 0.003425 è òàáëèöó 5. Èçîáðàæåíèå ðàçíîñòè y ∗ (x) − y(x) ïðèâåäåíî íà ðèñ. 7. Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü êðèòåðèåì îñòàíîâêè, îïèñàííîì â çàìå÷àíèè â ïóíêòå 5.3. Íà îòðåçêå [a3 , a4 ] ìîæíî ïîëó÷èòü äâå òî÷êè àëüòåðíàíñà íåñêîëüêî èñêóññòâåííûì ñïîñîáîì: äëÿ ýòîãî 39

Ðèñ. 7: Ðàçíîñòü y∗ (x) − y(x) Ðèñ. 8: Ðàçíîñòü y∗ (x) − y(x) ïîëîæèì ηi+1 = 0.2781, i íîìåð, ïðè êîòîðîì òî÷êà èçëîìà x0 ∈ [ai−1 , ai ] (çäåñü i = 2). Òîãäà a3 = 565383, η4 = 0.339956. Ãðàôèê ðàçíîñòè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 8. Ïðèìåð 6.4. Ñëåäóþùèé ïðèìåð èëëþñòðèðóåò íåêîòîðûé èäåàëüíûé ñëó÷àé ïðèáëèæåíèÿ. Áûë ïðèìåí¼í àëãîðèòì ïàðàãðàôà 5.2 áåç êàêèõ-ëèáî èçìåíå- 40

Ðèñ. 9: Ðàçíîñòü y∗ (x) − y(x) i ηi ai 0 1 2 3 4 5 0 0.259628 0.322181 0.381979 0.309573 0.345341 131580 180416 264464 394740 754284 1315800 Òàáëèöà 6: Ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè y(x) íèé. Òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé 10−4 , m = 6. Ïîëó÷àåì h = 0.0014588 è òàáëèöó 6. Êàê âèäíî ïî ðèñ. 9 íà ãðàíè÷íûõ îòðåçêàõ ìû èìååì ïî äâà àëüòåðíàíñà, íà âíóòðåííèõ ïî òðè. Ïðèìåð 6.5. Äàííûé ïðèìåð ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì çàäà÷è (16) (21). Ðåøåíèå áûëî ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêè, ïóò¼ì ðåøåíèÿ óïðîùåííîé (ñì. ïóíêò 4.4) çàäà÷è ïðè v = 2 ìåòîäîì íåîïðåäåë¼ííûõ ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà. Õîòü òåîðåìà 4.9 âûäà¼ò, ÷òî ñèñòåìà ñîâìåñòíà ïðè m = 5, ýòî íå çíà÷èò, ÷òî íåëüçÿ íàéòè ðåøåíèå è ïðè ìåíüøåì êîëè÷åñòâå äèàïàçîíîâ, ñì. ðèñ. 10 è òàá. 7. Çäåñü m = 4, Ïðèìåð 6.6. h = 0.03883. Äàííûé ïðèìåð îòíîñèòñÿ ê çàìå÷àíèþ òåîðåìû 4.9. Âõîäíûå 41

Ðèñ. 10: Ãðàôèê ôóíêöèè y∗ (x), íèæå y(x), ãîðèçîíòàëüíûìè ëèíèÿìè îáîçíà÷åíû íåëèíåéíûå îãðàíè÷åíèÿ i 0 1 2 3 ηi 0 0.235829 0.311996 0.35674 ai 131580 227903 587104 1315800 Òàáëèöà 7: Ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè y(x) ïàðàìåòðû âçÿòû èç ñòàòüè [15]: x− = 106620, x0 = 5 ∗ x− , x+ = 20 ∗ x− , y+ = 0.25, y0 = 0.16. Êàê âèäèì íà ðèñ. 11, è ýòî õàðàêòåðíî äëÿ ïîäîáíûõ âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ, òî åñòü ãäå δ ≈ σ , ÷òî óñëîâèÿ ïîðÿäêà (18) (ñì. òàá. 8) âûïîëíÿþòñÿ àâòîìàòè÷åñêè: ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñêîðîñòü ðîñòà àïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèè y ∗ (x) ¾ñóùåñòâåííî¿ íå èçìåíÿåòñÿ â òî÷êå èçëîìà x0 . Â äàííîì ñëó÷àå δ = 0.0817494, σ = 0.108332, 42 h = 0.00498, m = 4.

Ðèñ. 11: Ðàçíîñòü y∗ (x) − y(x) i ηi ai 0 1 2 3 0 0.14258 0.227 0.290792 106620 240494 807000 2132400 Òàáëèöà 8: Ïàðàìåòðû àïïðîêñèìàöèè y(x) ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [1] ×èñòÿêîâ Ñ. Â., Èøõàíîâà Ì. Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè âûáîðà íàëîãîâûõ øêàë: Ó÷åáíîå ïîñîáèå. ÑÏá.: Èçä-âî Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà, 1998. 52 ñ. [2] Ñìèðíîâ Ð. Î., ×èñòÿêîâ Ñ. Â. Î ñòàâêàõ íàëîãîîáëîæåíèÿ êàê èíñòðóìåíòå ãîñóäàðñòâåííîãî ðåãóëèðîâàíèÿ // Ýêîíîìèêà è ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû, 1993. Ò. 29, 2. Ñ. 268-274. [3] Ñìèðíîâ Ð. Î. Ìîäåëèðîâàíèå èíñòðóìåíòîâ áþäæåòíî-íàëîãîâîé ïîëèòèêè ãîñóäàðñòâà. ÑÏá.: Èçä-âî Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà, 2009. 110 ñ. [4] Ôèëèïïîâ À. Ô. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Ì.: Íàóêà, 1985. 224 c. 43

[5] Èøõàíîâà Ì. Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïîñòðîåíèÿ íàëîãîâûõ øêàë. Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ÑÏá., 1999, 110 ñ. [6] Ðåóò À. Â. Î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè îïòèìàëüíîé øêàëû ïîäîõîäíîãî íàëîãà // Ìåæäóíàðîäíûé ýêîíîìè÷åñêèé ñèìïîçèóì2015: Ìàòåðèàëû II ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íî-ïðàêòè÷åñêîé êîíôåðåíöèè, ïîñâÿùåííîé 75-ëåòèþ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà; I I I ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè Ñîêîëîâñêèå ÷òåíèÿ ¾Áóõãàëòåðñêèé ó÷åò: âçãëÿä èç ïðîøëîãî â áóäóùåå; ìåæäóíàðîäíîé âåñåííåé êîíôåðåíöèè ìîëîäûõ ó÷åíûõ-ýêîíîìèñòîâ ¾Íàóêà ìîëîäàÿ¿ 22-25 àïðåëÿ 2015 ã. ÑÏá.: Èçä-âî Ñêèôèÿ-ïðèíò, 2015. Ñ. 193. [7] Ðåóò À. Â. Àïïðîêñèìàöèÿ îïòèìàëüíîé øêàëû ñðåäíèõ ñòàâîê ïîäîõîäíîãî íàëîãà // Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòü. 2017. Ò. 4(20). 1. Ñ. 662666. [8] Äåìüÿíîâ Â. Ô., Ìàëîç¼ìîâ Â. Í. Ââåäåíèå â ìèíèìàêñ. Ãëàâíàÿ ðåäàêöèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû èçä-âà ¾Íàóêà¿, 1972, ñ. 368. [9] Ñóõîðóêîâà Í. Â. Îáîáùåíèå àëãîðèòìà Ðåìåçà íà ñëó÷àé ïîëèíîìèàëüíûõ ñïëàéíîâ. Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ÑÏá., 2005, 125 ñ. [10] Âåðøèê À. Ì., Ìàëîç¼ìîâ Â. Í., Ïåâíûé À. Á. Íàèëó÷øàÿ êóñî÷íîïîëèíîìèàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ // Ñèáèðñêèé ìàòåì. æóðíàë, 1975. Ò. 16. 5. Ñ. 925938. [11] Ìàëîç¼ìîâ Â. Í. Íàèëó÷øàÿ êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ. // Ñåìèíàð ¾CNSA & NDO¿. Èçáðàííûå äîêëàäû. 24 àïðåëÿ 2014 ã. (www.apmath.spbu.ru/cnsa/pdf/BestApprox.pdf) [12] Âåðæáèöêèé Â. Ì. Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Ì.: Âûñø. øê., 2002. Ñ. 396 397. 44

[13] Ñìèðíîâ Ð. Î. Ìîäåëèðîâàíèå âûáîðà ïàðàìåòðîâ øêàëû ïîäîõîäíîãî íàëîãà // Âåñòí. Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà. Ñåð. 5, 2011. Âûï. 4. Ñ. 141148. [14] Àíäåðñåí À. À., ×èñòÿêîâ Ñ. Â. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå îñíîâû ðàçðàáîòêè èíòåðàêòèâíîé ñèñòåìû ïîñòðîåíèé øêàëû ñòàâîê ïîäîõîäíîãî íàëîãà // Âåñòí. Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà. Ñåð. 10, 2013. Âûï. 3. Ñ. 919. [15] Ñìèðíîâ Ð. Î. Èññëåäîâàíèå ìîäåëè øêàëû ïðåäåëüíûõ ñòàâîê ïîäîõîäíîãî íàëîãà // Àíàëèç, ìîäåëèðîâàíèå, óïðàâëåíèå, ðàçâèòèå ñîöèàëüíîýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì: ñáîðíèê íàó÷íûõ òðóäîâ IX Ìåæäóíàðîäíîé øêîëûñèìïîçèóìà ÀÌÓÐ-2015, Ñåâàñòîïîëü, 12-21 ñåíòÿáðÿ 2015 / Ïîä ðåä. äîöåíòà À. Â. Ñèãàëà. Ñèìôåðîïîëü : ÊÔÓ èìåíè Â. È. Âåðíàäñêîãî, 2015. Ñ. 354361. 45

Ïðèëîæåíèå 1. ßâíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âûáîð ïðîãðåññèâíîé øêàëû ïðåäåëüíûõ ñòàâîê ïîäîõîäíîãî íàëîãà Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ηk = k P (ηi − ηi−1 ), òî i=1 ηk = σ + (1 − σ)yk−1 (ak−1 ) = " k−1 # Pk−1 X a (η − η ) i−1 i i−1 i=1 σ + (1 − σ) (ηi − ηi−1 ) − = a k−1 i=1 " k−1 # X ai−1 = σ + (1 − σ) (ηi − ηi−1 ) 1 − . a k−1 i=1 Äàëåå, " k−1 X # k−2 X ai−1 ai−1 (ηi − ηi−1 ) 1 − − (ηi − ηi−1 ) 1 − = ηk − ηk−1 = (1 − σ) a a k−1 k−2 i=1 i=1 " X k−2 ak−2 ai−1 = (1 − σ) (ηk−1 − ηk−2 ) 1 − + (ηi − ηi−1 ) 1 − − ak−1 a k−1 i=1 # " k−2 X ak−2 ai−1 = (1 − σ) (ηk−1 − ηk−2 ) 1 − + − (ηi − ηi−1 ) 1 − a a k−2 k−1 i=1 # k−2 X ai−1 ai−1 + (ηi − ηi−1 ) 1 − −1+ = a a k−1 k−2 i=1 = (1 − σ) k−1 X −1 ai−1 (ηi − ηi−1 ){a−1 k−2 − ak−1 }, k = 2, 3, . . . i=1 Èñïîëüçóÿ âûâåäåííûå ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü ôóíêöèþ yk (x, Ak−1 ), ïðåäñòàâèâ å¼ â âèäå k X ai−1 (ηi − ηi−1 ) 1 − . x i=1 46 (50)

Ïðèëîæåíèå 2. Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ êîðíÿ óðàâíåíèÿ Óòâåðæäåíèå 1. (30) Äëÿ i ∈ 2 : v ñóùåñòâîâàíèå êîðíÿ óðàâíåíèÿ (30) äëÿ ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ε > 0 íà îòðåçêå [x∗i (η i ), āi ] ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè ∆i (x, η i ), ãäå x∗i (η i ) òî÷êà, â êîòîðîé ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè îòêëîíåíèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü d∆i (x∗i (η i ), η i ) = 0, dx ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî (∆i (x∗i (η i ), η i ) − ε)(∆i (āi , η i ) − ε) < 0. Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî âûïîëíåíèþ íåðàâåíñòâà σ + y0 ≤ 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðàâîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî x ôóíêöèè ∆i (x, η i ) â òî÷- êàõ ai−1 , i ∈ 2 : v, èìååò îòðèöàòåëüíûé çíàê. Äåéñòâèòåëüíî, 0

0 (∆i )x (ai−1 + 0) = [y ∗ (x) − yi (x, η i )]x

x=ai−1 +0 =

σ = [yi (x, η i ) − y ∗ (x)]

x=ai−1 +0 = x σ [yi (ai−1 + 0, η i ) − y ∗ (ai−1 )] = = ai−1 σ = [−ε] < 0. ai−1 Òàê êàê ∆i (x∗i (η i ), η i ) < ε, òî ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü ∆k (ak , η k ) > ∆k−1 (ak−1 , η k−1 ) = ε, k∈2:v (51) Ðàñïèøåì íåðàâåíñòâî (51) ïîäðîáíåé yσ∗ (ak ) − yk (ak , η k ) > yσ∗ (ak−1 ) − yk−1 (ak−1 , η k−1 ), ãäå yσ∗ (x) = 1 − x− x σ . Îòñþäà èìååì yσ∗ (ak ) − yσ∗ (ak−1 ) > yk (ak , η k ) − yk−1 (ak−1 , η k−1 ). 47 (52)

Ðàññìîòðèì ïðàâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (52) k P ai−1 (η i − η i−1 ) − yk (ak , η k ) − yk−1 (ak−1 , η k−1 ) = η k − i=1 ak k−1 P ai−1 (η i − η i−1 ) i=1 −η k−1 + = (η k − η k−1 )− ak−1 k−1 k−1 P P ai−1 (η i − η i−1 ) ai−1 (η i − η i−1 ) ak−1 (η k − η k−1 ) + i=1 + i=1 = − δσak−1 ak−1 k−1 P ai−1 (η i − η i−1 ) i=1 = (η k − η k−1 ) − (η k − η k−1 )δσ − + δσak−1 k−1 P ai−1 (η i − η i−1 ) i=1 = (η k − η k−1 )(1 − δσ)+ + ak−1 k−1 P ai−1 (η i − η i−1 ) i=1 (1 − δσ) = + ak−1   k−1 P ai−1 (η i − η i−1 )    i=1 = η k −η k−1 +  (1 − δσ). ak−1   | {z } −yk−1 (ak−1 ,η k−1 ) Òåïåðü, â ñèëó òîãî, ÷òî η k = σ + (1 − σ)yk−1 (ak−1 , η k−1 ), ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (σ + (1 − σ)yk−1 (ak−1 , η k−1 ) − yk−1 (ak−1 , η k−1 )) (1 − δσ) = (53) = σ(1 − δσ)(1 − yk−1 (ak−1 , η k−1 )). Ðàññìîòðèì òåïåðü ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (52) yσ∗ (ak ) − yσ∗ (ak−1 ) = 1 − a0 σ −1+ a0 σ a0 = ak−1 ak−1 σ σ a a 0 0 = 1 − (δσ)σ . −(δσ)σ ak−1 ak−1 ak 48 σ − (54)

Ó÷èòûâàÿ (53),(54), ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî (52) 1 − (δσ)σ σ a0 ak−1 >

a0 σ

> σ(1 − δσ)(1 − yk−1 (ak−1 , η k−1 ))

: σ(1 − δσ) , ak−1 yσ∗ (a1 ) y1 (a1 , η 1 ) 1 − (δσ)σ = σ(1 − δσ) > 1 − yk−1 (ak−1 , η k−1 ) = σ a0 ak−1 = 1 − yk−1 (ak−1 , η k−1 ) 1 − yσ∗ (ak−1 ) = 1 − yk−1 (ak−1 , η k−1 ) − ε + ε 1 − yk−1 (ak−1 , η k−1 ) − ε = ε =1+ yσ∗ (a1 ) , 1 − yσ∗ (ak−1 ) ε

∗ y1 (a1 , η 1 )

− y1 (a1 , η 1 ) >1+

y1 (a1 , η 1 ) 1 − yσ∗ (ak−1 )

yσ∗ (a1 ) − y1 (a1 , η 1 ) = ∆1 (a1 , η 1 ) ≥ ε > εy1 (a1 , η 1 ) , 1 − yσ∗ (ak−1 ) y1 (a1 , η 1 ) + yσ∗ (ak−1 ) < η 1 + yσ∗ (ak−1 ) = σ + yσ∗ (ak−1 ) < 1. (55) Òàê, äëÿ k = v ïîëó÷èì, ÷òî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà (55) σ + yσ∗ (av−1 ) < 1 ðàâíîñèëüíî ñóùåñòâîâàíèþ êîðíÿ óðàâíåíèÿ ∆k (x, η k ) = ε íà îòðåçêå [x∗k , ak ], è òàê êàê ôóíêöèÿ ∆k (x, η k ) íà îòðåçêå [x∗k , ak ] ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé, òî ýòîò êîðåíü åäèíñòâåíåí. Óñòðåìëÿÿ ε ê íóëþ, ïîëó÷èì, ÷òî av−1 → x0 è σ + yσ∗ (av−1 ) → σ + y0 ≤ 1, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 49

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв