ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(Н И У «Б е л Г У»)
ИНСТИТУТ
ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
КАФЕДРА ОБЩЕЙ МАТЕМАТИКИ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ
Магистерская диссертация
обучающегося по направлению подготовки 01.04.01 Математика,
магистерская программа Теория чисел
очной формы обучения, группы 07001535
Мотькиной Натальи Николаевны
Научный руководитель:
кандидат физико–математических наук
Куртова Л. Н.
Рецензент:
кандидат физико–математических наук,
доцент Москаленко Н. И.
БЕЛГОРОД 2017
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Глава 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Глава 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 2—4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о целочисленных решениях уравнений различного вида восходит
к древности. Простейшим уравнением является неопределенное уравнение
первой степени с двумя неизвестными x и y ax + by = c, где a,b и c — целые
числа, причем a и b взаимно просты. Все решения такого уравнения в целых
числах можно найти с помощью алгоритма Евклида. Некоторые неопределенные уравнения первой степени появились в связи с проблемами астрономии,
например, при рассмотрении вопросов периодического повторения небесных
явлений. Их решение начали рассматривать еще индусские математики примерно с V века. Позднее благодаря Гауссу неопределенные уравнения первой степени стали записывать и решать в форме сравнения. Систематизация проблем теории неопределенных уравнений второй степени и методов
их решения проведена Диофантом (III в.). Большая часть дошедших до нас
книг его «Арифметики» посвящена решению этих уравнений в рациональных
положительных числах [1]. Сочинения Диофанта сыграли большую роль в
дальнейшем развитии той части теории чисел, которая занимается решением
уравнений в целых числах, называемых теперь диофантовыми уравнениями.
Неопределенное уравнение Ферма x2 −ny 2 = 1, где n — целое положительное число, не являющееся точным квадратом, имеет большое значение во всей
теории диофантовых уравнений. Это уравнение часто называют уравнением
Пелля. Под таким названием оно фигурирует в трудах Леонарда Эйлера, но
Джон Пелль (XVII в.) этим уравнением не занимался [2]. Частный случай
уравнения Пелля x2 − 2y 2 = 1 изучался еще пифагорейцами в связи с вы√
числением приближения к 2. Доказательством того, что уравнение Пелля
имеет бесконечное множество решений при любом целом положительном n,
отличном от полного квадрата, занимались Ферма, Броункер, Валлис, Эйлер,
3
Лагранж.
В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел (задача Лагранжа). До
него Ферма, Эйлер и другие математики изучали квадратичные формы частного вида, Лагранж заложил основы общей теории [3]. Он установил основную связь между вопросом о представимости чисел квадратичной формой и существованием решений соответствующего сравнения второй степени.
К. Ф. Гаусс, а затем Л. Дирихле, продолжая исследования Эйлера, создали
теорию представления натуральных чисел квадратичными формами. Гаусс
ввел так называемые суммы Гаусса
S(q, a, b) =
∑
e2πi(aj
2
+bj)/q
,
16j6q
которые явились первыми примерами тригонометрических сумм, и показал
их полезность в решении задач теории чисел.
В 1926 г. Х. Клоостерман рассмотрел обобщение задачи Лагранжа. Он нашел асимптотическую формулу для количества представлений целого положительного числа диагональной квадратичной формой с четырьмя целыми
переменными (задача Клоостермана) [4]. Число решений задачи представляется в виде интеграла. Идея Клоостермана состоит в том, что промежуток
интегрирования он разбивал на дуги посредством дробей Фарея. Далее Клоостерман оценивал тригонометрические суммы специального вида
K(q, a, b) =
∑
e2πi(aj+bj)/q ,
16j6q
(j,q)=1
названные позднее суммами Клоостермана.
В настоящей работе рассматриваются асимптотические формулы для числа решений некоторых диофантовых уравнений.
Объектом исследования являются диофантовы уравнения.
4
Предмет исследования — асимптотические формулы числа решений диофантовых уравнений.
Цель работы заключается в изучении асимптотических формул для числа
решений диофантовых уравнений второй степени.
Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи:
1. Получить асимптотическую формулу для числа решений уравнения
Пелля с весами, отвечающими за ограничения на переменные x, y
∑
e−
x2 +y 2
N
.
x2 −ny 2 =1
2. Изучить поведение особого ряда в асимптотической формуле задачи
Клоостермана. Выделить случаи, когда уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 ,
где a, b, c, d, n —положительные целые, не имеет решения.
Актуальность работы следует из того, что решение выше перечисленных
задач с квадратичными формами вносят новый вклад в теорию чисел.
В работе применяются методы исследования элементарной теории чисел
и математического анализа.
Все результаты, изложенные в работе, являются новыми.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть
использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы элементарной теории чисел и математического анализа.
Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики», Нальчик, 2017 г. По материалам работы
5
подготовлены 2 статьи, тезисы доклада.
Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Основные результаты научной работы
сформулированы во 2 и 3 главах.
Во второй главе получена асимптотическая формула для числа решений
уравнения Пелля с весами, отвечающими за ограничения на переменные x, y
I(n, N ) =
∑
e−
x2 +y 2
N
.
x2 −ny 2 =1
Доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть N — натуральное число. Справедлива асимптотическая формула
− N1
I(n, N ) = e
√
2
πN
(√
+ O(e− ln N )).
n+1
В третьей главе изучено поведение особого ряда асимптотической формулы в проблеме Клоостермана.
В работе [4] Х. Д. Клоостерман получил асимптотическую формулу для
числа представлений положительного целого числа линейной комбинацией
четырех квадратов с весами. Клоостерман привел примеры отдельных случаев, когда число представлений равно нулю. Случаи для простого p, равного
двум, рассмотрены Клоостерманом более подробно, чем для нечетного простого p.
Применение точных формул для сумм Гаусса ([5]—[8]) позволило дополнить случаи [4] для нечетного простого p, при которых уравнение n = ax2 +
by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решений.
Результаты исследования приведены в следующих теоремах.
Пусть p — нечетное простое число, a, b, c, d, n —положительные целые.
6
Теорема 2. Уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решения в
случаях:
1. если n и p взаимно просты, коэффициенты a, b, c, d делятся на p;
2. если n и p взаимно просты, три коэффициента квадратичной формы
ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 делятся на p, произведение четвертого коэффициента
и n является квадратичным невычетом по модулю p.
Теорема 3. Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1 , η1 – нечетное число, ( −cd
p ) = −1;
2. если η1 = α1 < β1 , η1 – нечетное число, ( a1pn1 ) = −1, ( −cd
p ) = −1;
3. если α1 < η1 < β1 , α1 , η1 – нечетные числа, ( a1pn1 ) = −1, ( −cd
p ) = −1.
В работе Клоостермана [4] утверждение теоремы 2 доказывается с помощью теории сравнений. Случаи 1 и 2 теоремы 3 приводятся в [4] без доказательства, случай 3 теоремы 3 является новым и не рассматривался ранее.
Теорема 4. Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, c = pγ1 c1 , (c1 , p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 и η1 – нечетное число;
2. если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 , η1 – четное число и ( dnp 1 ) = −1;
3. если η1 = α1 < β1 ≤ γ1 , η1 – нечетное число и ( a1pn1 ) = −1;
7
4. если α1 < η1 < β1 ≤ γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число и
( −ap1 d ) = −1;
5. если α1 < η1 < β1 ≤ γ1 , α1 – нечетное число и ( pη1d+1 )( paη11 )( np1 ) = −1;
6. если α1 < η1 = β1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число и
( −ap1 d ) = −1, ( b1pn1 ) = −1;
7. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – четное число, α1 – нечетное число, β1 –
нечетное число и ( −ap1 b1 ) = −1, ( dnp 1 ) = −1;
8. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – нечетное число, β1 –
четное число и ( −bp1 d ) = −1, ( a1pn1 ) = −1;
9. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число, β1 –
нечетное число и ( −ap1 d ) = −1, ( b1pn1 ) = −1.
Результаты теоремы 4 являются новыми и не исследовались в работе Клоостермана [4].
8
Глава 1
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Здесь формулируются известные леммы, используемые для доказательства утверждений магистерской диссертации.
Лемма 1. (Равенства для одномерной суммы Гаусса) Справедливы следующие утверждения:
1. Если (q1 , q2 ) = 1, то
S(q1 q2 , l, m) = S(q1 , lq2 , m)S(q2 , lq1 , m).
2. Если (q, 2l) = 1, то
(
)
S(q, l, m) = exp −2πi(4l)∗ m2 /q
∗
где 4l(4l) ≡ 1 (mod q),
( )
l
S(q, 1, 0),
q
( )
l
q
— символ Якоби.
3. Если (q, 2) = 1, то
√q, если q ≡ 1
S(q, 1, 0) =
i√q, если q ≡ 3
(mod 4),
=i
(q−1)2
4
√
q.
(mod 4).
4. Если (l, 2) = 1, то
0,
α
S(2 , l, 0) =
( 2 )α
l
если α = 1,
2α/2 (1 + il ), если α > 1.
5. Пусть A, B – целые числа, (A, 2) = 1. Тогда
S(2, A, B) = 2χ(B; 2, 1);
(
)
2πi ∗ B 2
α
S(2 , A, B) = χ(B; 2, 0) exp − α A
S(2α , A, 0),
2
4
9
где α ≥ 2, AA∗ ≡ 1 (mod 2α ).
6. Если (q, l) = n, то
nS(q/n, l/n, m/n), если n | m;
S(q, l, m) =
0,
если n - m.
Лемма 2. (Свойства суммы Клоостермана) Пусть K(q, u, v) — сумма
Клоостермана. Справедлива следующие утверждения:
1. K(q, −u, −v) = K(q, u, v).
2. Если (w, q) = 1, то K(q, uw, v) = K(q, u, vw).
3. При (q1 , q2 ) = 1 имеет место равенство
K(q1 q2 , u, v) = K(q1 , u, v1 )K(q2 , u, v2 ),
где v1 и v2 определены соответственно по модулям q1 и q2 сравнением
v1 q22 + v2 q12 ≡ v
(mod q1 q2 ).
4. Пусть α > 1. Если u ≡ v ≡ 0 (mod p), то
u v
K(pα , u, v) = pK(pα−1 , , ).
p p
Если u ̸ ≡0, v ≡ 0 (mod p) или если u ≡ 0, v ̸ ≡0 (mod p), то
K(pα , u, v) = 0.
5. Пусть (u, p) = 1, α > 1. Тогда
K(p, u, 0) = −1,
K(pα , u, 0) = 0.
6. Пусть u = pα u1 , (u1 , p) = 1, α > 1, s > 1. Тогда
K(pα , u, 0) = pα−1 (p − 1),
K(pα+1 , u, 0) = −pα ,
10
K(pα+s , u, 0) = 0.
Лемма 3. (Равенства для обобщенной суммы Клоостермана) Пусть p
— нечетное простое число и
p
∑
α
Kp (pα , u, v) =
l=1
(l,pα )=1
ul+vl∗
l
( )e2πi pα
p
— обобщенная сумма Клоостермана. Справедлива следующие утверждения:
1. Пусть α > 1. Если u ≡ v ≡ 0 (mod p), то
u v
Kp (pα , u, v) = pKp (pα−1 , , ).
p p
Если u ̸ ≡0, v ≡ 0 (mod p) или если u ≡ 0, v ̸ ≡0 (mod p), то
Kp (pα , u, v) = 0.
2. Пусть (u, p) = 1, α > 1. Тогда
Kp (p, u, 0) = S(p, u, 0),
Kp (pα , u, 0) = 0.
3. Пусть u = pα u1 , (u1 , p) = 1, α > 1, s > 1. Тогда
Kp (pα , u, 0) = 0,
Kp (pα+1 , u, 0) = pα S(p, u1 , 0),
11
Kp (pα+s , u, 0) = 0.
Глава 2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
В этой главе получена асимптотическая формула для числа решений уравнения Пелля с весами, отвечающими за ограничения на переменные x, y
∑
I(n, N ) =
−x
e
2 +y 2
N
.
x2 −ny 2 =1
В этой задаче n — целое положительное число, не являющееся точным квадратом. Основным результатом является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть N — натуральное число. Справедлива асимптотическая формула
− N1
I(n, N ) = e
√
2
πN
(√
+ O(e− ln N )).
n+1
Доказательство. Рассмотрим сумму
∑
I(n, N ) =
−x
e
2 +y 2
N
.
x2 −ny 2 =1
Имеем
I(n, N ) =
∞
∑
− ny
e
2 +1+y 2
N
− N1
=e
y=−∞
∞
∑
− (n+1)y
N
e
2
,
y=−∞
то есть
I(n, N ) = e− N θ(
1
где
θ(t) =
∞
∑
n+1
),
πN
e−y
2
πt
y=−∞
— тета–функция Якоби.
Тета–функция удовлетворяет функциональному уравнению [9]
( )
√
1
θ
= xθ(x) (x > 0).
x
12
Пусть
1
n+1
=
,
x
N
n+16
Тогда
N
.
ln2 N
√
√
∞
n+1
πN
πN
πN ∑ − π2 N y2
θ(
)= √
θ(
)= √
e n+1 =
πN
n+1 n+1
n + 1 y=−∞
√
√
√
∞
∞
∑
π2 N 2
πN
πN
N ∑ −π2 y ln2 N
− n+1 y
=√
(1 + 2
)=√
+ O( √
e
)=
e
n+1
n
+
1
n
+
1
y=1
y=1
√
2
πN
+ O(e− ln N ).
=√
n+1
В результате имеем утверждение теоремы 1.
13
Глава 3
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 2—4
Для числа решений r(n) уравнения n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 Х. Д. Клоостерманом была получена асимптотическая формула [4]:
π2
r(n) = √
nS(n) + O(n17/18+ε ),
abcd
где
S(n) =
∞
∑
q=1
q
−4
q
∑
e−
2πinl
q
S(q, al, 0)S(q, bl, 0)S(q, cl, 0)S(q, dl, 0).
l=1
(l,q)=1
Проведем исследование особого ряда данной задачи.
В результате докажем теоремы.
Теорема 2. Уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решения в
случаях:
1. если n и p взаимно просты, коэффициенты a, b, c, d делятся на p;
2. если n и p взаимно просты, три коэффициента квадратичной формы
ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 делятся на p, произведение четвертого коэффициента
и n является квадратичным невычетом по модулю p.
Теорема 3. Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1 , η1 – нечетное число, ( −cd
p ) = −1;
2. если η1 = α1 < β1 , η1 – нечетное число, ( a1pn1 ) = −1, ( −cd
p ) = −1;
3. если α1 < η1 < β1 , α1 , η1 – нечетные числа, ( a1pn1 ) = −1, ( −cd
p ) = −1.
14
Теорема 4. Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, c = pγ1 c1 , (c1 , p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 и η1 – нечетное число;
2. если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 , η1 – четное число и ( dnp 1 ) = −1;
3. если η1 = α1 < β1 ≤ γ1 , η1 – нечетное число и ( a1pn1 ) = −1;
4. если α1 < η1 < β1 ≤ γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число и
( −ap1 d ) = −1;
5. если α1 < η1 < β1 ≤ γ1 , α1 – нечетное число и ( pη1d+1 )( paη11 )( np1 ) = −1;
6. если α1 < η1 = β1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число и
( −ap1 d ) = −1, ( b1pn1 ) = −1;
7. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – четное число, α1 – нечетное число, β1 –
нечетное число и ( −ap1 b1 ) = −1, ( dnp 1 ) = −1;
8. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – нечетное число, β1 –
четное число и ( −bp1 d ) = −1, ( a1pn1 ) = −1;
9. если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число, β1 –
нечетное число и ( −ap1 d ) = −1, ( b1pn1 ) = −1.
Доказательство. Для особого ряда асимптотической формулы Клоостермана
S(n) =
∞
∑
q −4
q=1
q
∑
e−
2πinl
q
S(q, al, 0)S(q, bl, 0)S(q, cl, 0)S(q, dl, 0)
l=1
(l,q)=1
рассмотрим функцию
Φ(q) = q
−4
q
∑
e−
2πinl
q
S(q, al, 0)S(q, bl, 0)S(q, cl, 0)S(q, dl, 0).
l=1
(l,q)=1
15
Она является мультипликативной.
По свойству мультипликативной функции получим представление ряда
виде произведения
+∞
∑
Φ(q) =
q=1
∏
(1 + Φ(p) + Φ(p2 ) + ...).
p\q
Рассмотрим явные формулы для всех таких возможных произведений при
нечетном простом p.
1, Случай, когда все коэффициенты взаимно просты с p
Пусть (a, p) = 1, (b, p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1, (n, p) = 1. Тогда для
произведения сумм Гаусса (лемма 1 утверждения 2,3) получаем формулу
(
)
abcd
S(pα , al, 0)S(pα , bl, 0)S(pα , cl, 0)S(pα , dl, 0) =
p2α .
α
p
Следовательно,
(
Φ(pα ) =
)
(
)
pα
abcd −2α ∑ − 2πinl
abcd
e pα =
p
p−2α K(pα , −n, 0).
α
α
p
p
l=1
(l,pα )=1
Используя равенство 5 из леммы 2, получаем, что
(
)
abcd −2
Φ(p) = −
p ,
p
Φ(pα ) = 0,
α > 1.
Получаем 1-ый множитель в представлении особого ряда в виде произведений по простым числам:
(
) )
∏ (
abcd 1
1−
.
p
p2
(a,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
(n,p)=1
16
Если abcd — квадратичный вычет по модулю p, то
(
)
abcd 1
1
1−
=
1
−
> 3/4.
p
p2
p2
Если abcd — квадратичный невычет по модулю p, то
(
)
abcd 1
1
1−
=
1
+
> 1.
p
p2
p2
Скобка стремится к 1 с ростом p.
2. Случай, когда все коэффициенты взаимно просты с p, а n
делится на p
Пусть (a, p) = 1, (b, p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1, n = pα n1 , (n1 , p) = 1.
Формулы для произведения сумм Гаусса аналогичны:
(
)
abcd −2α
α
Φ(p ) =
p K(pα , −n, 0).
α
p
Изменятся формулы для суммы Клоостермана. Используя равенство 6 из
леммы 2, получаем, что
(
)
(
)
abcd
abcd
p−1
−2k
k
Φ(pk ) =
p
φ(p
)
=
,
pk
pk
pk+1
(
)
abcd
1
α+1
Φ(p ) = − α+1
.
p
pα+2
Φ(pα+s ) = 0,
k = 1, 2, . . . , α,
s > 1.
Получаем 2-oй множитель в представлении особого ряда в виде произведений по простым числам:
(
(
)
(
(
)
)
∏
abcd p − 1
abcd p − 1
abcd p − 1
1+
+
+ ··· +
−
p
p2
p2
p3
pα
pα+1
(a,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pα n1 ,(n1 ,p)=1
(
abcd
− α+1
p
)
17
1
pα+2
)
.
Если abcd — квадратичный вычет по модулю p, то в данной скобке происходит взаимное уничтожение слагаемых, в результате получаем множитель:
pα+1 − p − 1
1+
> 1.
pα+2
Скобка стремится к 1 с ростом p.
Если abcd — квадратичный невычет по модулю p, то в данной скобке содержится геометрическая прогрессия со знаменателем −1/p:
pα+1 − pα+2 + (−1)α (p2 + 1)
> 5/8.
1+
pα+2 (p + 1)
Скобка стремится к 1 с ростом p.
3. Случай, когда один из коэффициентов делится на p, (n, p) = 1
Пусть a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, (b, p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1, (n, p) = 1.
Найдем Φ(p):
( )
p
∑
2πinl
l
bcd
Φ(p) = p−4 p(
)S 3 (p, 1, 0)
e− p .
p
p
l=1
(l,p)=1
Используя лемму 3 (утверждение 2), получаем, что
Φ(p) = p−4 p(
−bcdn 4
−bcdn
)S (p, 1, 0) = p−1 (
).
p
p
Пусть 1 < α ≤ α1 . Тогда
( )
pα
∑
l
bcd
− 2πinl
3 α
α
−4α α
pα .
Φ(p ) = p p ( α )S (p , 1, 0)
e
α
p
p
l=1
(l,pα )=1
Если α – четное, то
( )
pα
∑
l
− 2πinl
pα
= K(pα , −n, 0) = 0
e
α
p
l=1
(l,pα )=1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 5).
18
Если α – нечетное, то
( )
pα
∑
l
− 2πinl
pα
e
= Kp (pα , −n, 0) = 0
α
p
l=1
(l,pα )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 2).
Тогда Φ(pα ) = 0.
Пусть α > α1 ≥ 1. Тогда
)
(
pα
∑
bcd
a
l
1
− 2πinl
pα .
Φ(pα ) = p−4α pα1 ( α )( α−α )S 3 (pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)
e
2α−α
1
1
p
p
p
l=1
(l,pα )=1
Имеем
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
)
l
p2α−α1
e−
2πinl
pα
=0
для четного α1 в силу леммы 2 (утверждение 5), для нечетного α1 в силу
леммы 2 (утверждение 2). Тогда Φ(pα ) = 0.
Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
(n,p)=1
)
(
−bcdn 1
)
.
1+(
p
p
Данная скобка больше 1, если (−bcdn) — квадратичный вычет по модулю
p; больше 1/2 и стремится к 1 с ростом p, если (−bcdn) — квадратичный
невычет по модулю p.
4. Случай, когда два коэффициента делятся на p, (n, p) = 1
Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1, (n, p) = 1.
19
Имеем
(
)
p
∑
2πinl
−cd
cd
Φ(p) = p−4 p2 ( )S 2 (p, 1, 0)
e− p = −
p−1 .
p
p
l=1
(l,p)=1
Пусть min(α1 , β1 ) = α1 .
4.1) При 1 < α ≤ α1 с учетом утверждения 5 (лемма 2):
p
∑
2πinl
α
−4α 2α cd
2 α
Φ(p ) = p p ( α )S (p , 1, 0)
e− pα = 0.
p
α
l=1
(l,pα )=1
4.2) При α1 < α ≤ β1
α
Φ(p ) = p
cd
a1
p ( α )( α−α )S 2 (pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)
p p 1
−4α α1
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
pα−α1
)
e−
2πinl
pα
.
Cумма Клоостермана
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
pα−α1
)
e−
2πinl
pα
равна нулю. При четном α − α1 это следует из утверждения 5 леммы 2, при
нечетном – из утверждения 2 леммы 3. Поэтому Φ(pα ) = 0.
4.3) При α1 ≤ β1 < α
cd
a1
b1
)(
)(
)·
pα pα−α1 pα−β1
(
)
pα
∑
l
− 2πinl
2 α
α−α1
α−β1
pα .
e
·S (p , 1, 0)S(p
, 1, 0)S(p
, 1, 0)
2α−α
−β
1
1
p
Φ(pα ) = p−4α pα1 +β1 (
l=1
(l,pα )=1
Как и в случае 4.2. имеем Φ(pα ) = 0.
Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
(n,p)=1
(
)
−cd 1
1−(
)
.
p p
20
Данная скобка больше 1/2, если (−cd) — квадратичный вычет по модулю
p; больше 1 и стремится к 1 с ростом p, если (−cd) — квадратичный невычет
по модулю p.
5. Случай, когда три коэффициента делятся на p, (n, p) = 1
Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, c = pγ1 c1 , (c1 , p) = 1,
(d, p) = 1, (n, p) = 1.
Найдем Φ(p).
( )
p
∑
2πinl
d
l
e− p .
Φ(p) = p p ( )S(p, 1, 0)
p
p
−4 3
l=1
(l,p)=1
Используя лемму 3 (утверждение 2), получаем, что
Φ(p) = p−1 (
−dn 2
dn
)S (p, 1, 0) = ( ).
p
p
Пусть α1 ≤ β1 ≤ γ1 . Из утверждения 5 леммы 2 и из утверждения 2 леммы
3 получим, что Φ(pα ) = 0.
Имеем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c,p)=1
(d,p)=1
(n,p)=1
(
)
dn
1+( ) .
p
Данная скобка равна нулю, если dn — квадратичсный невычет по модулю
p; равна двум, если dn — квадратичсный вычет по модулю p
6. Случай, когда все коэффициенты делятся на p, (n, p) = 1
21
В этом случае уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + du2 не имеет решений.
Выводы.
Уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если n и p взаимно просты, коэффициенты a, b, c, d делятся на p;
2. если n и p взаимно просты, три коэффициента квадратичной формы
ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 делятся на p, произведение четвертого коэффициента и
n является квадратичным невычетом по модулю p.
7. Случай, когда один из коэффициентов и n делятся на p
Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, (b, p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1, n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
7.1) Рассмотрим η1 < α1 . Тогда
( )
p
∑
bcd
l
Φ(p) = p−4 p(
)S 3 (p, 1, 0)
= 0.
p
p
l=1
(l,p)=1
Пусть α ≤ η1 . Тогда
( )
pα
∑
l
bcd
− 2πinl
pα .
Φ(pα ) = p−4α pα ( α )S 3 (pα , 1, 0)
e
α
p
p
l=1
(l,pα )=1
Если α — четное, то
( )
pα
∑
l
− 2πinl
pα
e
= K(pα , −n, 0) = pα−1 (p − 1)
α
p
l=1
(l,pα )=1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α — нечетное, то
( )
pα
∑
l
− 2πinl
pα
= Kp (pα , −n, 0) = 0
e
α
p
l=1
(l,pα )=1
22
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Для p ≡ 1 (mod 4): pα ≡ 1 (mod 4) и S 3 (pα , 1, 0) = p3α/2 .
Для p ≡ 3 (mod 4) при четных α: pα ≡ 1 (mod 4) и S 3 (pα , 1, 0) = p3α/2 .
Тогда для четных α: Φ(pα ) = p−α/2−1 (p − 1).
Пусть α = η1 + 1. Тогда
bcd
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pη1 +1 ( η +1 )S 3 (pη1 +1 , 1, 0)
p1
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
(
l
)
pη1 +1
−
e
2πinl
pη1 +1
Если η1 — нечетное, то
(
η1 +1
p∑
l
)
pη1 +1
l=1
(l,pη1 +1 )=1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если η1 — четное, то
(
η1 +1
p∑
)
l
pη1 +1
l=1
−
e
2πinl
pη1 +1
= Kp (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Если p ≡ 3 (mod 4), то pη1 +1 ≡ 1 (mod 4) для нечетного η1 . Тогда
S 3 (pη1 +1 , 1, 0) = p3(η1 +1)/2 .
Если p ≡ 3 (mod 4), то pη1 +1 ≡ 3 (mod 4) для четного η1 и
S 3 (pη1 +1 , 1, 0)S(p, 1, 0) = p3η1 /2+2 .
Тогда
Φ(p
η1 +1
)=
−p−η1 /2−3/2 ,
если η1 – нечетное,
( −bcdn1 )p−η1 /2−1 , если η – четное.
1
p
23
.
Пусть α > η1 + 1. Тогда в функции Φ(pα ) будет входить либо сумма Клоостермана, либо обобщенная сумма Клоостермана, которые будут равны 0 в
силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть η1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 <α1
)
(
−bcdn1
1
1
1
1 + − η /2+1 + (
) η /2+1 .
p p1
p
p1
Пусть η1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 <α1
(
)
1
1
1
1 + − (η +1)/2 − (η +3)/2 .
p p 1
p 1
Если η1 - нечетное, то скобка больше 3/4; η1 — четное и (−n1 bcd) — квадратичный вычет по модулю p, то скобка больше 1; η1 — четное и (−n1 bcd) —
квадратичный невычет по модулю p, то скобка больше 1 и стремится к 1 с
ростом p.
7.2) Пусть η1 = α1 .
Если 1 ≤ α ≤ η1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 7.1, т.е. для четных α: Φ(pα ) = p−α/2−1 (p − 1).
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pη1 (
×
bcd a1 3 η1 +1
)( )S (p
, 1, 0)S(p, 1, 0)×
pη1 +1 p
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
(
l
pη1 +2
24
)
−
e
2πinl
pη1 +1
.
Если η1 — четное, то
η1 +1
(
p∑
)
l
pη1 +2
l=1
(l,pη1 +1 )=1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если η1 — нечетное, то
η1 +1
(
)
p∑
l
−n1
− 2πinl
pη1 +1 = K (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
e
)S(p, 1, 0)
p
pη1 +2
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Если p ≡ 3 (mod 4), то pη1 +1 ≡ 1 (mod 4) для нечетного η1 . Тогда
S 3 (pη1 +1 , 1, 0)S 2 (p, 1, 0) = −p3η1 /2+5/2 .
Если η1 — четное, то pη1 +1 ≡ 3 (mod 4) и
S 3 (pη1 +1 , 1, 0)S(p, 1, 0) = p3η1 /2+2 .
Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
( a1 n1 )p−η1 /2−3/2 ,
p
если η1 — нечетное,
−( a1 bcd )p−η1 /2−2 , если η — четное.
1
p
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть η1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 =α1
(
)
1
1
a1 bcd
1
1 + − η /2+1 − (
)
.
p p1
p pη1 /2+2
Если (a1 bcd) — квадратичный вычет по модулю p, то скобка больше 1;
если (a1 bcd) — квадратичный невычет по модулю p, то скобка больше 1 и
стремится к 1 с ростом p.
25
Пусть η1 - нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 =α1
(
)
1
1
a1 n1
1
1 + − (η +1)/2 + (
)
) .
p p 1
p p(η1 +3)/2
Скобка больше 1.
7.3) Пусть η1 > α1 .
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 7.1, т.е. для четных α: Φ(pα ) = p−α/2−1 (p − 1).
Пусть α1 < α ≤ η1 . Тогда
(
)
pα
∑
l
bcd
a
1
− 2πinl
pα .
Φ(pα ) = p−4α pα1 ( α )( α−α )S 3 (pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)
e
2α−α
1
1
p
p
p
l=1
(l,pα )=1
Если α1 — четное, то
(
)
pα
∑
l
− 2πinl
pα
= K(pα , −n, 0) = pα−1 (p − 1)
e
2α−α
1
p
l=1
(l,pα )=1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α1 — нечетное, то
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
p2α−α1
)
− 2πinl
pα
e
( )
pα
∑
l
=
=0
p
l=1
(l,pα )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда для четного α1 :
Φ(pα ) = (
bcd
a1
)(
)p−α+α1 /2−1 (p − 1).
α
α−α
1
p
p
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pα1 (
bcd
a1
)( η +1−α )S 3 (pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)·
η
+1
1
p1
p1
26
(
η1 +1
p∑
·
p2η1 +2−α1
l=1
(l,pη1 +1 )=1
Если α1 — четное, то
η1 +1
(
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
)
l
p2η1 +2−α1
)
l
−
e
2πinl
pη1 +1
−
e
2πinl
pη1 +1
.
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α1 — нечетное, то
η1 +1
(
)
p∑
l
−n1
− 2πinl
pη1 +1 = K (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
e
)S(p, 1, 0)
p
p2η1 +2−α1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Если α1 — нечетное, то
S 3 (pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(p, 1, 0) = (
−1 2η1 +5/2−α1 /2
)p
.
pη 1
Если α1 — четное, то
S 3 (pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(p, 1, 0) = p2η1 +2−α1 /2 .
Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
−n1 −η1 −3/2+α1 /2
( −aη11 )( ηbcd
, если α1 — нечетное,
p
p 1 +1 )( p )p
−( aη1 bcd
−η1 −2+α1 /2
,
p 1 +1 )p
если α1 — четное.
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть α1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 +
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 >α1
27
1
1
− α /2+1 +
p p 1
+pα1 /2 ((
a1 bcd p − 1
a1 bcd p − 1
a1 bcd 1
) α +2 + . . . + ( η ) η +1 − ( η +1 ) η +2 )).
p p 1
p1 p1
p1
p1
Пусть (a1 bcd) — квадратичный вычет по модулю p. Тогда получим множитель
(1 +
1
1
1
− pα1 /2 ( η +1 + η +2 )) > 1,
p
p1
p1
который стремится к 1 с ростом p.
Пусть (a1 bcd) — квадратичный невычет по модулю p. Тогда получим множитель
(1 +
1
2 1 − (−1/p)η1 −α1
p−1
− α /2+1
+ (−1)η1 +1 η +2−α /2 ) > 1,
1
p p 1
1 + 1/p
p1
который стремится к 1 с ростом p.
Пусть α1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
(b,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 >α1
(
)
1
1
−a1 bcd −n1 p(α1 +1)/2
1 + − (α +1)/2 + ( η )( η +1 )(
) η +2
,
p p 1
p1 p1
p
p1
который стремится к 1 с ростом p.
Выводы:
Если (n, p) > 1 и один из коэффициентов делится на p, то уравнение
ax2 + by 2 + cz 2 + du2 = n всегда имеет решение.
8. Случай, когда два из коэффициентов и n делятся на p
Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
28
Без ограничений можем считать, что α1 ≤ β1 .
8.1) Пусть η1 < α1 ≤ β1 .
Для 1 ≤ α ≤ η1
p
∑
2πinl
−cd p − 1
α
−4α 2α cd
2 α
e− pα = ( α )
Φ(p ) = p p ( α )S (p , 1, 0)
.
p
p
p
α
l=1
(l,pα )=1
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 p2η1 +2 (
cd
pη 1
= −p−4η1 −4 p2η1 +2 (
)S 2 (pη1 +1 , 1, 0)
+1
η1 +1
p∑
−
e
2πinl
pη1 +1
=
l=1
(l,pη1 +1 )=1
−cd η1 +1 η1
−cd 1
)p
p
) .
=
−(
pη1 +1
pη1 +1 p
Пусть α > η1 + 1. Тогда в функции Φ(pα ) будет входить либо сумма Клоостермана, либо обобщенная сумма Клоостермана, которые будут равны 0 в
силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Получаем следующий множитель:
∏
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
1≤η1 <α1 ≤β1
(
(
))
p − 1 −cd
−cd
−cd
1
1+
(
) + ... + ( η ) − ( η +1 )
.
p
p
p1
p1
p−1
Если (−cd) — квадратичный вычет по модулю p, то данная скобка равна
1−
1 η1 (p − 1)
+
,
p
p
и она будет больше 1/2 + η1 /2 и стремиться к η1 + 1 с ростом p.
Если (−cd) — квадратичный невычет по модулю p и η1 — четное, то данная
скобка равна 1 + 1/p, и она будет больше 1, стремиться к 1 с ростом p.
29
Если η1 — нечетное, то данная скобка равна
1+
p−1
1
(−1 −
) = 0.
p
p−1
8.2) Пусть η1 = α1 < β1 .
Если 1 ≤ α ≤ η1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 8.1, т.е.
Φ(pα ) = (
−cd p − 1
.
)
pα
p
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
η1 +1
p∑
cd
a1
= p−4η1 −4 p2η1 +1 ( η +1 )( )S 2 (pη1 +1 , 1, 0)S(p, 1, 0)
p1
p
= p−4η1 −4 p2η1 +1 (
cd
pη1
)(
+1
l=1
(l,pη1 +1 )=1
( )
l
− 2πinl
e pη1 +1 =
p
a1 2 η1 +1
−n1
)S (p
, 1, 0)S(p, 1, 0)pη1 (
)S(p, 1, 0) =
p
p
−cd a1 n1 1
= ( η +1 )(
) .
p1
p p
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Получаем следующий множитель:
∏
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
1≤η1 =α1 ≤β1
(
(
)
)
p − 1 −cd
−cd
−cd a1 n1 1
1+
(
) + ... + ( η ) + ( η +1 )(
)
.
p
p
p1
p1
p p
Если (−cd) — квадратичный вычет по модулю p, то данная скобка равна
1+
a1 n1 1 η1
p−1
η1 + (
) >
p
p p
2
и стремится к 1 + η1 c ростом p.
30
Если (−cd) — квадратичный ytвычет по модулю p и η1 — четное, то данная
скобка равна
a1 n1 1
) ,
p p
и она будет больше 1/2 при ( a1pn1 ) = 1; больше 1 при ( a1pn1 ) = −1 и стремиться
1−(
к 1 с ростом p.
Если η1 — нечетное, то данная скобка равна
1−
p−1
a1 n1 1
+(
) ,
p
p p
и она будет при ( a1pn1 ) = 1 равна 2/p, при ( a1pn1 ) = −1 равна 0.
8.3) Пусть η1 = α1 = β1 .
Если 1 ≤ α ≤ η1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 8.1, т.е.
Φ(pα ) = (
−cd p − 1
)
.
pα
p
Пусть α = η1 + 1. Тогда
a1 b1 2 η1 +1
)S (p
, 1, 0)S 2 (p, 1, 0)
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 p2η1 ( η +1 )(
1
p
p
cd
η1 +1
p∑
−
e
2πinl
pη1 +1
=
l=1
(l,pη1 +1 )=1
cd
a1 b1 2 η1 +1
)S (p
, 1, 0)S 2 (p, 1, 0)pη1 =
η
1
p
p
−cd −a1 b1 1
= −( η +1 )(
) 2.
p1
p
p
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утвер= −p−4η1 −4 p2η1 (
)(
+1
ждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Получаем следующий множитель:
∏
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
1≤η1 =α1 =β1
(
(
)
)
p − 1 −cd
−cd
−cd −a1 b1 1
1+
(
) + ... + ( η ) − ( η +1 )(
) 2 .
p
p
p1
p1
p
p
31
(
Если
−cd
p
)
= 1, то данная скобка равна
1+
p−1
a1 b1 1
η1 − (
) ,
p
p p2
и она будет > 3/4 + η1 /2 и стремиться к η1 + 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1 и η1 — четное, то данная скобка равна
p
1+(
−a1 b1 1
) 2,
p
p
и она будет > 1 при ( a1pb1 ) = 1 и > 3/4 при ( a1pb1 ) = −1 и стремиться к 1 с
ростом p.
Если η1 — нечетное, то данная скобка равна
1−
p−1
−a1 b1 1
−(
) 2,
p
p
p
и она будет равна 1/p−1/p2 > 0 при ( a1pb1 ) = 1 и 1/p+1/p2 > 0 при ( a1pb1 ) = −1
и стремиться к 0 с ростом p.
8.4) Пусть α1 < η1 < β1 .
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 8.1, т.е.
Φ(pα ) = (
−cd p − 1
)
.
pα
p
Пусть α1 < α ≤ η1 . Тогда
(
)
pα
∑
cd
a
l
1
− 2πinl
pα .
Φ(pα ) = p−4α pα1 +α ( α )( α−α )S 2 (pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)
e
α−α
1
1
p p
p
l=1
(l,pα )=1
Если α − α1 — четное, то
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
pα−α1
)
e−
2πinl
pα
= K(pα , −n, 0) = pα−1 (p − 1)
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
32
Если α − α1 — нечетное, то
(
pα
∑
)
l
pα−α1
l=1
(l,pα )=1
e−
2πinl
pα
= Kp (pα , −n, 0) = 0
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда для четного α − α1 , так как
S 2 (pα , 1, 0) = (
−1 α
)p ,
pα
S(pα−α1 , 1, 0) = p(α−α1 )/2 ,
то
Φ(pα ) = (
−cd −(α−α1 )/2−1
)p
(p − 1).
pα
Пусть α = η1 + 1. Имеем
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pα1 +η1 +1 (
cd
pη 1
)(
+1
pη1 +1−α1
(
η1 +1
p∑
·
a1
)
l
pη1 +1−α1
l=1
(l,pη1 +1 )=1
)S 2 (pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)·
−
e
2πinl
pη1 +1
.
Если η1 − α1 — нечетное, то
(
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
)
l
pη1 +1−α1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если η1 − α1 — четное, то
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
(
)
l
pη1 +1−α1
−
e
2πinl
pη1 +1
= Kp (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Так как
S 2 (pη1 +1 , 1, 0) = (
−1 η1 +1
)p
,
pη1 +1
S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(p, 1, 0) = p(η1 +2−α1 )/2 ,
33
тогда
Φ(pη1 +1 ) =
−η1 /2−3/2+α1 /2
−( −cd
,
pη1 +1 )p
если η1 − α1 — нечетное,
( a1 n1 )( −cd
−η1 /2−1+α1 /2
, если η1 − α1 — четное.
p
pη1 +1 )p
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть α1 и η1 — четные. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
1≤α1 <η1 <β1
(
)
p−1 1
1
a1 n1 −cd
1
+
+ ... + (η −α )/2 + (
)( η +1 ) (η −α )/2+1 ).
p
p
p
p1
p 1 1
p 1 1
( )
Если −cd
= 1, то данная скобка равна
p
1+
p−1
1
1
1
a1 n1
α1 + − (η −α )/2+1 + (
) (η −α )/2+1 ,
p
p p 1 1
p p 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1, то данная скобка равна
p
1+
1
1
a1 n1
1
− (η −α )/2+1 − (
) (η −α )/2+1 ,
p p 1 1
p p 1 1
и она будет > 1 при ( a1pn1 ) = 1 и > 1 при ( a1pn1 ) = −1 и стремиться к 1 с
ростом p.
Пусть α1 — четное и η1 — нечетное или наоборот. Получаем следующий
множитель:
∏
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
1≤α1 <η1 <β1
(
)
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
34
)
(
1
p−1
−cd 1
−cd 1
−cd
+
( α +2 ) + ( α +4 ) 2 ... + ( η −1 ) (η −α −1)/2 −
p
p 1
p
p 1
p
p1
p 1 1
−cd
1
−( η +1 ) (η −α +3)/2 ).
p1
p 1 1
( )
Если −cd
= 1, то данная скобка равна
p
1+
1
1
1
p−1
α1 + − (η −α +1)/2 − (η −α +3)/2 ,
p
p p 1 1
p 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1, α1 – четное и η1 - нечетное, то получим скобку
p
1+
1
1
1
− (η −α +1)/2 − (η −α +3)/2 ,
p p 1 1
p 1 1
и она будет > 3/4 и стремиться к 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1, α1 – нечетное и η1 - четное, то получим скобку
p
1
p(η1 −α1 +1)/2
+
1
p(η1 −α1 +3)/2
,
и она будет > 0 и стремиться к 0 с ростом p.
Пусть α1 и η1 — нечетные. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
1≤α1 <η1 <β1
(
)
p−1
−cd 1
−cd 1
−cd
1
+
( α +2 ) + ( α +4 ) 2 + ... + ( η ) (η −α )/2 +
p
p 1
p
p 1
p
p1 p 1 1
a1 n1 −cd
1
+(
)( η +1 ) (η −α )/2+1 ).
p
p1
p 1 1
( )
Если −cd
= 1, то данная скобка равна
p
1+
p−1
1
1
1
a1 n1
α1 + − (η −α )/2+1 + (
) (η −α )/2+1 ,
p
p p 1 1
p p 1 1
35
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1, то данная скобка равна
p
1
p(η1 −α1
(1 + (
)/2+1
a1 n1
)),
p
и она будет > 0 при ( a1pn1 ) = 1 и стремиться к 0 с ростом p; равна 0 при
( a1pn1 ) = −1.
8.5) Пусть α1 < η1 = β1 .
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 8.1, т.е.
Φ(pα ) = (
−cd p − 1
)
.
pα
p
Если α1 < α ≤ η1 , то для четного α − α1 :
Φ(pα ) = (
−cd
p−1
)
.
pα p(α−α1 )/2+1
Пусть α = η1 + 1. Получим
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pα1 +η1 (
cd
pη 1
)(
+1
a1
b1
)(
)·
pη1 +1−α1 p
·S 2 (pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(p, 1, 0)·
η1 +1
(
)
p∑
l
− 2πinl
pη1 +1 .
·
e
η
+2−α
1
1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
Если η1 − α1 — четное, то
(
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
)
l
pη1 +2−α1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если η1 − α1 — нечетное, то
η1 +1
p∑
l=1
(
l
pη1 +2−α1
)
−
e
2πinl
pη1 +1
= Kp (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
(l,pη1 +1 )=1
36
−n1
)S(p, 1, 0)
p
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Так как
S 2 (pη1 +1 , 1, 0) = (
−1 η1 +1
)p
,
pη1 +1
S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S 2 (p, 1, 0) = (
−1 (η1 +2−α1 )/2
)p
,
p
тогда
Φ(pη1 +1 ) =
b1 n1 −η1 /2−3/2+α1 /2
( −cd
,
pη1 +1 )( p )p
если η1 − α1 — нечетное,
−( −a1 b1 )( −cd
−η1 /2−2+α1 /2
, если η1 − α1 — четное.
p
pη1 +1 )p
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть α1 и η1 — четные. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
α1
a=p a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 =β1
(
)
p−1
−cd 1
−cd
1
−a1 b1 −cd
1
+
( α +2 ) + ... + ( η ) (η −α )/2 − (
)( η +1 ) (η −α )/2+2 ).
p
p 1
p
p1 p 1 1
p
p1
p 1 1
( )
Если −cd
= 1, то данная скобка равна
p
1+
p−1
1
1
−a1 b1
1
α1 + − (η −α )/2+1 − (
) (η −α )/2+2 ,
p
p p 1 1
p
p 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1, то данная скобка равна
p
1+
1
1
1
−a1 b1
− (η −α )/2+1 + (
) (η −α )/2+2 ,
p p 1 1
p
p 1 1
и она будет > 11/8 при ( −ap1 b1 ) = 1 и > 1 при ( −ap1 b1 ) = −1 и стремиться к 1 с
ростом p.
37
Пусть α1 — четное и η1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
α1
a=p a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 =β1
(
)
p−1
−cd 1
−cd
1
−cd b1 n1
1
+
( α +2 ) + ... + ( η −1 ) (η −α −1)/2 + ( η +1 )(
) (η −α +3)/2 ).
p
p 1
p
p1
p1
p p 1 1
p 1 1
( )
= 1, то данная скобка равна
Если −cd
p
1+
p−1
1
1
b1 n1
1
α1 + − (η −α +1)/2 + (
) (η −α +3)/2 ,
p
p p 1 1
p p 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1, то данная скобка равна
p
1+
1
1
1
b1 n1
− (η −α +1)/2 + (
) (η −α +3)/2 ,
p p 1 1
p p 1 1
и она будет > 3/4 при ( b1pn1 ) = −1 и > 1 при ( b1pn1 ) = 1 и стремиться к 1 с
ростом p.
Пусть α1 и η1 — нечетные. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
α1
a=p a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 =β1
(
)
−cd 1
−cd
1
−a1 b1 −cd
1
p−1
( α +2 ) + ... + ( η ) (η −α )/2 − (
)( η +1 ) (η −α )/2+2 ).
+
p
p 1
p
p1 p 1 1
p
p1
p 1 1
( )
Если −cd
= 1, то данная скобка равна
p
1+
p−1
1
1
1
−a1 b1
α1 + − (η −α )/2+1 − (
) (η −α )/2+2 ,
p
p p 1 1
p
p 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
38
(
Если
−cd
p
)
= −1, то данная скобка равна
1
p(η1 −α1 )/2+1
−(
−a1 b1
1
) (η −α )/2+2 ,
p
p 1 1
и она будет > 0 и стремиться к 0 с ростом p.
Пусть α1 — нечетное и η1 — четное. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
α1
a=p a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 =β1
(
)
p−1
−cd 1
−cd
−cd b1 n1
1
1
+
( α +2 ) + ... + ( η −1 ) (η −α −1)/2 + ( η +1 )(
) (η −α +3)/2 ).
p
p 1
p
p1
p1
p p 1 1
p 1 1
( )
Если −cd
= 1, то данная скобка равна
p
1+
p−1
1
1
b1 n1
1
α1 + − (η −α +1)/2 + (
) (η −α +3)/2 ,
p
p p 1 1
p p 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1, то данная скобка равна
p
1
p(η1 −α1 +1)/2
−(
1
b1 n1
) (η −α +3)/2 ,
p p 1 1
и она будет > 0 и стремиться к 0 с ростом p.
8.6) Пусть α1 ≤ β1 < η1 .
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 8.1, т.е.
Φ(pα ) = (
−cd p − 1
)
.
pα
p
Если α1 < α ≤ β1 , то для четного α − α1 :
Φ(pα ) = (
−cd
p−1
)
.
pα p(α−α1 )/2+1
39
Пусть β1 < α ≤ η1 . Тогда
Φ(pα ) = p−4α pα1 +β1 (
cd
a1
b1
)(
)(
)S 2 (pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)S(pα−β1 , 1, 0)·
α
α−α
α−β
1
1
p p
p
(
pα
∑
·
l=1
(l,pα )=1
)
l
p2α−α1 −β1
e−
2πinl
pα
.
Если α1 + β1 — четное, то
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
)
l
p2α−α1 −β1
e−
2πinl
pα
= K(pα , −n, 0) = pα−1 (p − 1)
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α1 + β1 — нечетное, то
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
p2α−α1 −β1
)
e−
2πinl
pα
= Kp (pα , −n, 0) = 0
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда для четного α1 + β1 , так как
S 2 (pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)S(pα−β1 , 1, 0) =
=(
=
−1 (pα−α1 −1)2 /4 (pα−β1 −1)2 /4 2α−(α1 +β1 )/2
p
=
)i
i
pα
2α−(α1 +β1 )/2
( −1α )( −1
, если α1 , β1 — нечетные,
p
pα+1 )p
p2α−(α1 +β1 )/2 , если α , β — четные.
1 1
то
Φ(pα ) =
p−1
1 b1
( −aα+1
)( −cd
p
pα ) pα+1−(α1 +β1 )/2 , если α1 , β1 — нечетные,
p−1
( a1 b1 cd )
, если α1 , β1 — четные.
pα
pα+1−(α1 +β1 )/2
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pα1 +β1 (
cd
pη 1
40
)(
+1
a1
)(
b1
pη1 +1−α1 pη1 +1−β1
)·
·S 2 (pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(pη1 +1−β1 , 1, 0)·
η1 +1
(
)
p∑
l
− 2πinl
pη1 +1 .
·
e
2η
+2−α
−β
1
1
1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
Если α1 + β1 — четное, то
η1 +1
)
(
p∑
l
− 2πinl
pη1 +1 = K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
e
2η
+2−α
−β
1
1
1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α1 + β1 — нечетное, то
η1 +1
(
)
p∑
l
−n1
− 2πinl
pη1 +1 = K (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
e
)S(p, 1, 0)
p
p2η1 +2−α1 −β1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Так как
S 2 (pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(pη1 +1−β1 , 1, 0) =
=(
то
Φ(pη1 +1 ) =
−1 (pη1 +1−α1 −1)2 /4 (pη1 +1−β1 −1)2 /4 2(η1 +1)−(α1 +β1 )/2
)i
i
p
,
pη1 +1
(α1 +β1 )/2
b1
n1 p
a1
−cd
)(
)(
)(
)
, если α1 + β1 — нечетное,
(
pη1 +1 pη1 +1−α1 pη1 +1−β1
p
η1 +3/2
p
−( ap1ηb11+1cd )p−η1 −2+(α1 +β1 )/2 , если α1 , β1 — четные,
−η1 −2+(α1 +β1 )/2
−( −apη11b1 )( p−cd
, если α1 , β1 — нечетные.
η1 +1 )p
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть α1 — четное, β1 — четное. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
α1
a=p a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1
41
)
(
p−1
−cd 1
−cd 1
−cd
1
+
( α +2 ) + ( α +4 ) 2 + ... + ( β ) (β −α )/2 +
p
p 1
p
p 1
p
p1 p 1 1
(
)
a1 b1 cd 1
p−1
a1 b1 cd 1
a1 b1 cd 1
+ 1−(α +β )/2 ( β +1 ) β +1 + ( β +2 ) β +2 + ... + ( η ) η −
1
1
p1
p1
p1
p1
p1 p1
p
a1 b1 cd
1
−( η +1 ) η +2−(α +β )/2 ).
1
1
p1
p1
( )
(
)
Если −cd
= 1 и a1 bp1 cd = 1, то данная скобка равна
p
1+
p−1
1
1
1
α1 + − η −(α +β )/2+1 − η −(α +β )/2+2 ,
p
p p1 1 1
p1 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
(
)
a1 b1 cd
−cd
Если p = 1 и
= −1, то
p
(
)
1 η1 −β1
p−1
1
2
1 − (− )
1+
α1 + − (β −α )/2
+
p
p p 1 1 (p + 1)
p
1
1
+(−1)η1 −1 η −(α +β )/2+1 + (−1)η1 η −(α +β )/2+2 ,
p1 1 1
p1 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
(
)
( )
a1 b1 cd
−cd
= 1, то данная скобка равна
Если p = −1 и
p
1+
1
1
1
− η −(α +β )/2+1 − η −(α +β )/2+2 ,
p p1 1 1
p1 1 1
и она будет > 1 и стремиться к 1 с ростом p.
( )
(
)
a1 b1 cd
−cd
Если p = −1 и
= −1, то
p
(
)
1
2
1 η1 −β1
+
1 + − (β −α )/2
1 − (− )
p p 1 1 (p + 1)
p
1
1
+(−1)η1 −1 η −(α +β )/2+1 + (−1)η1 η −(α +β )/2+2 ,
p1 1 1
p1 1 1
и она будет > 1 и стремиться к 1 с ростом p.
Пусть α1 — нечетное, β1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
α1
a=p a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1
42
)
(
p−1
−cd 1
−cd 1
−cd
1
+
( α +2 ) + ( α +4 ) 2 + ... + ( β ) (β −α )/2 +
p
p 1
p
p 1
p
p1 p 1 1
(
)
−cd −a1 b1
p−1
−cd −a1 b1
1
1
+
( β +1 )( β +2 ) β +1−(α +β )/2 + ... + ( η )( η +1 ) η −(α +β )/2 −
1
1
p
p1
p1
p1 p1
p1
p1 1 1
−cd −a1 b1
1
−( η +1 )( η ) η +2−(α +β )/2 ).
1
1
p1
p1 p1
( )
(
)
Если −cd
= 1 и −ap1 b1 = 1, то данная скобка равна
p
1+
p−1
1
1
1
α1 + − η −(α +β )/2+1 − η −(α +β )/2+2 ,
p
p p1 1 1
p1 1 1
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
(
)
−a1 b1
−cd
Если p = 1 и
= −1, то
p
(
)
p−1
1
2
1 η1 −β1
+
1+
α1 + − (β −α )/2
1 − (− )
p
p p 1 1 (p + 1)
p
+(−1)η1
1
pη1 −(α1 +β1 )/2+1
+ (−1)η1 +1
1
pη1 −(α1 +β1 )/2+2
,
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
(
)
−a1 b1
−cd
Если p = −1 и
= 1, то данная скобка равна
p
)
(
2
1
1 η1 −β1
1
+(−1)η1 η −(α +β )/2+1 +(−1)η1 η −(α +β )/2+2 ,
1 − (− )
(β
−α
)/2
p
p 1 1 (p + 1)
p1 1 1
p1 1 1
и она будет > 0 и стремиться к 0 с ростом p.
(
)
( )
−a1 b1
−cd
Если p = −1 и
= −1, то данная скобка равна
p
1
pη1 −(α1 +β1 )/2+1
+
1
pη1 −(α1 +β1 )/2+2
,
и она будет > 0 и стремиться к 0 с ростом p.
Пусть α1 — четное, β1 — нечетное или наоборот α1 – нечетное, β1 – четное.
Получаем следующий множитель:
(
)
∏
p − 1 −cd
−cd
(1 +
(
) + ... + ( α ) +
p
p
p 1
α1
a=p a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
(c,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1
43
)
(
1
p−1
−cd 1
−cd 1
−cd
+
( α +2 ) + ( α +4 ) 2 + ... + ( β −1 ) (β −1−α )/2 +
1
p
p 1
p
p 1
p
p1
p 1
−cd
a1
b1
n1
+( η +1 )( η +1−α )( η +1−β )( )p−η1 −3/2+(α1 +β1 )/2 ).
1
1
p1
p1
p1
p
( )
Если −cd
= 1, то данная скобка равна
p
1+
p−1
1
1
b1
n1
a1
α1 + − (β −α +1)/2 + ( η +1−α )( η +1−β )( )p−η1 −3/2+(α1 +β1 )/2 ,
1
1
p
p p 1 1
p1
p1
p
и она будет > 1 + α1 /2 и стремиться к α1 + 1 с ростом p.
( )
Если −cd
= −1, то данная скобка равна
p
1+
1
1
a1
b1
n1
− (β −α +1)/2 + (−1)η1 +1 ( η +1−α )( η +1−β )( )p−η1 −3/2+(α1 +β1 )/2 ,
1
1
p p 1 1
p1
p1
p
если α1 – четное. Она будет > 1 и стремиться к 1 с ростом p.
Если α1 – нечетное, то
1
p(β1 −α1 +1)/2
+ (−1)η1 +1 (
a1
)(
b1
pη1 +1−α1 pη1 +1−β1
)(
n1 −η1 −3/2+(α1 +β1 )/2
)p
,
p
она будет > 0 и стремиться к 0 с ростом p.
Выводы:
Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, (c, p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
Уравнение n = ax2 + by 2 + cz 2 + dt2 не имеет решения в случаях:
1. если η1 < α1 ≤ β1 и η1 – нечетное число, ( −cd
p ) = −1.
a 1 n1
2. если η1 = α1 < β1 , ( −cd
p ) = −1, ( p ) = −1 и η1 – нечетное число.
3. если α1 < η1 < β1 , т ( a1pn1 ) = −1, ( −cd
p ) = −1 и α1 , η1 – нечетные числа.
9. Случай, когда три коэффициента и n делятся на p
44
Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, c = pγ1 c1 , (c1 , p) = 1,
(d, p) = 1, n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
Без ограничений можем считать, что α1 ≤ β1 ≤ γ1 .
9.1) Пусть η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 . Найдем Φ(p).
p
∑
d
l
Φ(p) = p p ( )S(p, 1, 0)
( ) = 0.
p
p
−4 3
l=1
(l,p)=1
Пусть 1 < α ≤ η1 . Тогда
( )
pα
∑
d
l
− 2πinl
α
−4α 3α
α
pα .
Φ(p ) = p p ( α )S(p , 1, 0)
e
p
pα
l=1
(l,pα )=1
Если α — четное, то
( )
pα
∑
l
− 2πinl
pα
= K(pα , −n, 0) = pα−1 (p − 1)
e
α
p
l=1
(l,pα )=1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α — нечетное, то
( )
pα
∑
l
− 2πinl
pα
e
= Kp (pα , −n, 0) = 0
α
p
l=1
(l,pα )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда для четных α в силу S(pα , 1, 0) = pα/2 :
Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1).
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(p
η1 +1
)=p
−4η1 −4 3η1 +3
p
(
d
pη1
)S(p
+1
η1 +1
, 1, 0)
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
45
(
l
pη1 +1
)
−
e
2πinl
pη1 +1
.
Если η1 — нечетное, то
η1 +1
(
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
l
)
pη1 +1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если η1 — четное, то
η1 +1
(
)
p∑
l
−n1
− 2πinl
pη1 +1 = K (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
e
)S(p, 1, 0)
p
pη1 +1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
−pη1 /2−1/2 , если η1 — нечетное,
( dn1 )pη1 /2 ,
p
если η1 — четное.
Пусть α > η1 + 1. Тогда в функции Φ(pα ) будет входить либо сумма Клоостермана, либо обобщенная сумма Клоостермана, которые будут равны 0 в
силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть η1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 <α1 ≤β1 ≤γ1
(
)
dn1
η1 /2
p (1 + (
)) .
p
Данная скобка равна 2pη1 /2 при ( dnp 1 ) = 1 и 0 при ( dnp 1 ) = −1.
Пусть η1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
α1
a=p a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 <α1 ≤β1 ≤γ1
46
(0) .
9.2) Пусть η1 = α1 < β1 ≤ γ1 .
Если 1 ≤ α ≤ η1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 9.1, т.е. для четных α: Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1).
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
a1
= p−4η1 −4 p3η1 +2 ( η +1 )( )S(pη1 +1 , 1, 0)S(p, 1, 0)
p1
p
d
(
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
l
pη1 +2
)
e
−
2πinl
pη1 +1
.
Если η1 — четное, то
η1 +1
p∑
(
l
)
pη1 +2
l=1
(l,pη1 +1 )=1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если η1 — нечетное, то
(
η1 +1
p∑
l=1
l
)
pη1 +2
−
e
2πinl
pη1 +1
= Kp (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
( a1 n1 )pη1 /2−1/2 ,
p
если η1 — нечетное,
−( −a1 d )pη1 /2−1 , если η — четное.
1
p
Пусть α > η1 + 1. Тогда в функции Φ(pα ) будет входить либо сумма Клоостермана, либо обобщенная сумма Клоостермана, которые будут равны 0 в
силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть η1 — четное. Получаем следующий множитель:
47
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 =α1 <β1 ≤γ1
)
(
−a
d
1
)) .
pη1 /2−1 (p − (
p
Данная скобка равна pη1 /2−1 (p + 1) > 0 при ( −ap1 d ) = −1 и pη1 /2−1 (p − 1) > 0
при ( −ap1 d ) = 1 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть η1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 =α1 <β1 ≤γ1
(
)
a1 n1
η1 /2−1/2
p
(1 + (
)) .
p
Данная скобка равна 2pη1 /2−1/2 при ( a1pn1 ) = 1 и 0 при ( a1pn1 ) = −1.
9.3) Пусть η1 = α1 = β1 < γ1
Если 1 ≤ α ≤ η1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 9.1, т.е. для четных α: Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1).
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
d
a1 b1
= p−4η1 −4 p3η1 +1 ( η +1 )(
)S(pη1 +1 , 1, 0)S 2 (p, 1, 0)
1
p
p
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
(
l
pη1 +1
Если η1 — нечетное, то
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
(
l
pη1 +1
)
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
48
)
−
e
2πinl
pη1 +1
.
Если η1 — четное, то
(
η1 +1
p∑
)
l
pη1 +1
l=1
−
e
2πinl
pη1 +1
= pη1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
−( −a1 b1 )pη1 /2−3/2 , если η1 — нечетное,
p
( −a1 b1 dn1 )pη1 /2−1 ,
p
если η1 — четное.
Пусть α > η1 + 1. Тогда в функции Φ(pα ) будет входить либо сумма Клоостермана, либо обобщенная сумма Клоостермана, которые будут равны 0 в
силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть η1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 =α1 =β1 <γ1
(
)
−a
b
dn
1
1
1
pη1 /2−1 (p + (
)) .
p
Данная скобка равна pη1 /2−1 (p + 1) > 0 при ( −a1 bp1 dn1 ) = 1 и pη1 /2−1 (p − 1) > 0
при ( −a1 bp1 dn1 ) = −1 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть η1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 =α1 =β1 <γ1
(
)
−a1 b1
η1 /2−3/2
p
(p − (
) .
p
Данная скобка равна pη1 /2−3/2 (p−1) > 0 при ( −ap1 b1 ) = 1 и pη1 /2−3/2 (p+1) > 0
при ( −ap1 b1 ) = −1 и стремиться к ∞ с ростом p.
49
9.4) Пусть η1 = α1 = β1 = γ1
Если 1 ≤ α ≤ η1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 9.1, т.е. для четных α: Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1).
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
a1 b1 c1
)S(pη1 +1 , 1, 0)S 3 (p, 1, 0)
= p−4η1 −4 p3η1 ( η +1 )(
1
p
p
d
η1 +1
p∑
(
l=1
(l,pη1 +1 )=1
l
pη1 +4
)
−
e
2πinl
pη1 +1
.
Если η1 — четное, то
η1 +1
p∑
(
l=1
(l,pη1 +1 )=1
)
l
pη1 +4
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если η1 — нечетное, то
(
η1 +1
p∑
l=1
l
pη1 +4
)
−
e
2πinl
pη1 +1
= pη1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
( −a1 b1 c1 n1 )pη1 /2−3/2 , если η1 — нечетное,
p
−( a1 b1 c1 d )pη1 /2−2 ,
p
если η1 — четное.
Пусть α > η1 + 1. Тогда в функции Φ(pα ) будет входить либо сумма Клоостермана, либо обобщенная сумма Клоостермана, которые будут равны 0 в
силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Пусть η1 — четное. Получаем следующий множитель:
50
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 =α1 =β1 =γ1
)
(
a
b
c
d
1
1
1
)) .
pη1 /2−2 (p2 − (
p
Данная скобка равна pη1 /2−2 (p2 + 1) > 0 при ( a1 bp1 c1 d ) = 1 и pη1 /2−2 (p2 − 1) > 0
при ( a1 bp1 c1 d ) = −1 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть η1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
η1 =α1 =β1 =γ1
(
)
−a1 b1 c1 n1
η1 /2−3/2
p
(p + (
)) .
p
Данная скобка равна pη1 /2−3/2 (p + 1) > 0 при ( −a1 bp1 c1 n1 ) = 1 и pη1 /2−3/2 (p −
1) > 0 при ( −a1 bp1 c1 n1 ) = −1 и стремиться к ∞ с ростом p. Если η1 = 1, то
cкобка стремиться к 1 с ростом p.
9.5) Пусть α1 < η1 < β1 ≤ γ1
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 9.1, т.е. для четных α: Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1).
Пусть α1 < α ≤ η1 . Тогда
α
Φ(p ) = p
−4α 2α+α1
p
d
a1
( α )( α−α )S(pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)
p p 1
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
p2α−α1
Если α1 — четное, то
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
p2α−α1
)
e−
2πinl
pα
= K(pα , −n, 0) = pα−1 (p − 1)
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
51
)
e−
2πinl
pα
.
Если α1 — нечетное, то
(
pα
∑
)
l
p2α−α1
l=1
(l,pα )=1
e−
2πinl
pα
= Kp (pα , −n, 0) = 0
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда для четных α1 в силу
S(pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0) = (
−1 α−α1 /2
)p
pα
имеем
−a1 d α1 /2−1
)p
(p − 1),
pα
Φ(pα ) = (
для нечетных α1 : Φ(pα ) = 0.
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 p2η1 +2+α1 (
d
pη 1
)(
+1
pη1 +1−α1
(
η1 +1
p∑
·
a1
)
l
p2η1 +2−α1
l=1
(l,pη1 +1 )=1
)S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)·
−
e
2πinl
pη1 +1
.
Если α1 — четное, то
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
(
l
p2η1 +2−α1
)
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если p ≡ 3 (mod 4), то pη1 +1 ≡ 1 (mod 4) для нечетного η1 , для четного
η1 : pη1 +1 ≡ 3 (mod 4). Тогда для четного α1 :
S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0) = (
−1 η1 +1−α1 /2
)p
,
pη1 +1
в связи с чем имеем
Φ(pη1 +1 ) = −(
−a1 d α1 /2−1
)p
.
pη1 +1
52
Если α1 — нечетное, то
η1 +1
(
p∑
)
l
p2η1 +2−α1
l=1
−
e
2πinl
pη1 +1
= pη 1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3). Кроме
того
S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(p, 1, 0) = (
−1 η1 +3/2−α1 /2
)p
p
для нечетного α1 . В силу чего
Φ(pη1 +1 ) = (
d
pη1
)(
+1
a1 n1 α1 /2−1/2
)( )p
.
pη1 p
Пусть α1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + pα1 /2 − 1+
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 <β1 ≤γ1
(
)
−a
d
−a
d
−a1 d
1
1
+pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( η ) − ( η +1 )pα1 /2−1 )
p 1
p1
p1
Данная скобка равна pα1 /2−1 (p − 1)(η1 − α1 + 1) > 0 при ( −ap1 d ) = 1; равна
pα1 /2−1 (p + 1) > 0 при ( −ap1 d ) = −1 и η1 – четном, равна 0 при ( −ap1 d ) = −1 и
η1 – нечетном.
Пусть α1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + p(α1 −1)/2 − 1 + (
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 <β1 ≤γ1
d
pη 1
)(
+1
a1 n1 (α1 −1)/2
)( )p
)
pη 1 p
Данная скобка равна 2p(α1 −1)/2 > 0 при ( pη1d+1 )( paη11 )( np1 ) = 1 и стремиться к
∞ с ростом p; равна 0 при ( pη1d+1 )( paη11 )( np1 ) = −1 .
53
Если α1 = 1, то получим
∏
(1 + (
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
1=α1 <η1 <β1 ≤γ1
d
pη 1
)(
+1
a1 n1
)( )),
pη 1 p
произведение равно 0 при ( pη1d+1 )( paη11 )( np1 ) = −1 .
9.6) Пусть α1 < η1 = β1 < γ1
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 9.1, т.е. для четных α: Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1), для нечетных α:
Φ(pα ) = 0.
Если α1 < α ≤ η1 , то для четных α1 : Φ(pα ) = ( −apα1 d )pα1 /2−1 (p − 1), для
нечетных α1 : Φ(pα ) = 0.
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
= p−4η1 −4 p2η1 +1+α1 (
d
pη1 +1
)(
a1
b1
)( )S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(p, 1, 0)·
η
+1−α
1
p1
p
(
η1 +1
p∑
·
)
l
p2η1 +3−α1
l=1
(l,pη1 +1 )=1
−
e
2πinl
pη1 +1
.
Если α1 — нечетное, то
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
(
)
l
p2η1 +3−α1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α1 — четное, то
η1 +1
p∑
l=1
(
l
p2η1 +3−α1
)
−
e
2πinl
pη1 +1
= pη 1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
54
Так как
S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S 2 (p, 1, 0) = (
−1 −1 η1 +2−α1 /2
)( )p
pη1 +1 p
для четного α1 и
S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(p, 1, 0) = (
−1 η1 +3/2−α1 /2
)p
p
для нечетного α1 .
Тогда
Φ(p
η1 +1
)=
n1 b1 α1 /2−1
1d
( −a
)p
,
η1 +1 )(
если α1 — четное,
−(
если α1 — нечетное.
p
p
a1
−b1 α1 /2−3/2
d
,
pη1 +1 )( pη1 )( p )p
Пусть α1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + pα1 /2 − 1+
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 =β1 <γ1
(
)
−a
d
−a
d
−a1 d n1 b1 α1 /2−1
1
1
+pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( η ) + ( η +1 )(
)p
)
p 1
p1
p1
p
Пусть ( −ap1 d ) = 1, ( n1pb1 ) = 1, тогда данная скобка равна pα1 /2−1 (p + 1 + (p −
1)(η1 − α1 )) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = 1, ( n1pb1 ) = −1, тогда данная скобка равна pα1 /2−1 (p−1)(η1 −
α1 + 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( n1pb1 ) = 1, η1 – нечетное, тогда данная скобка равна
2pα1 /2−1 > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( n1pb1 ) = 1, η1 — четное, тогда данная скобка равна
pα1 /2−1 (p − 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( n1pb1 ) = −1, η1 — нечетное, тогда данная скобка равна
0.
55
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( n1pb1 ) = −1, η1 — четное, тогда данная скобка равна
pα1 /2−1 (p + 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть α1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + p(α1 −1)/2 − 1 − (
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 =β1 <γ1
d
pη1
)(
+1
a1 −b1 α1 /2−3/2
)(
)p
)
pη 1
p
Данная скобка равна p(α1 −3)/2 (p − 1) > 0 при ( pη1d+1 )( paη11 )( −bp 1 ) = 1 ;
p(α1 −3)/2 (p + 1) > 0 при ( pη1d+1 )( paη11 )( −bp 1 ) = −1 и стремится к ∞ с ростом p.
9.7) Пусть α1 < η1 = β1 = γ1 .
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то получим равенства для Φ(pα ), аналогичные тем, что
для случая 9.1:
pα/2−1 (p − 1), если α — четное,
Φ(pα ) =
0,
если α — нечетное.
Если α1 < α ≤ η1 , то
( −aα1 d )pα1 /2−1 (p − 1), если α1 — четное,
p
α
Φ(p ) =
0,
если α1 — нечетное.
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
= p−4η1 −4 p2η1 +α1 (
d
pη 1
)(
+1
a1
pη1 +1−α1
·
b1 c1
)S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S 2 (p, 1, 0)·
p
(
)
l
− 2πinl
pη1 +1 .
e
2η
+4−α
1
1
p
)(
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
56
Если α1 — четное, то
(
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
)
l
p2η1 +4−α1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α1 — нечетное, то
η1 +1
p∑
l=1
(
)
l
p2η1 +4−α1
−
e
2πinl
pη1 +1
= pη 1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Так как
S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S 2 (p, 1, 0) = (
−1 −1 η1 +2−α1 /2
)( )p
pη1 +1 p
для четного α1 и
S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S 3 (p, 1, 0) = pη1 +5/2−α1 /2
для нечетного α1 .
Тогда
Φ(pη1 +1 ) =
( η1d+1 )( aη11 )( −n1 b1 c1 )pα1 /2−3/2 , если α1 — нечетное,
p
p
p
−b1 c1 α1 /2−2
−( −a
1d
,
pη1 +1 )( p )p
если α1 — четное.
Пусть α1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + pα1 /2 − 1+
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 =β1 =γ1
+p
α1 /2−1
(
)
−a1 d
−a1 d
−a1 d −b1 c1 α1 /2−2
(p − 1) ( α +1 ) + ... + ( η ) − ( η +1 )(
)p
)
p 1
p1
p1
p
57
Пусть ( −ap1 d ) = 1, ( −bp1 c1 ) = 1, тогда данная скобка равна pα1 /2−2 (p2 + p(p −
1)(η1 − α1 ) − 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = 1, ( −bp1 c1 ) = −1, тогда данная скобка равна pα1 /2−2 (p2 +
p(p − 1)(η1 − α1 ) + 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( −bp1 c1 ) = 1, η1 — нечетное, тогда данная скобка равна
pα1 /2−1 (p − 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( −bp1 c1 ) = 1, η1 — четное, тогда данная скобка равна
pα1 /2−2 (p2 + 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( −bp1 c1 ) = −1, η1 — нечетное, тогда данная скобка равна
pα1 /2−2 (p + 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( −bp1 c1 ) = −1, η1 — четное, тогда данная скобка равна
pα1 /2−1 (p2 − 1) > 0 и стремиться к ∞ с ростом p.
Пусть α1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(p(α1 −1)/2 + (
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 <η1 =β1 =γ1
d
pη1
)(
+1
a1 −n1 b1 c1 α1 /2−3/2
)(
)p
)
pη1
p
Данная скобка равна p(α1 −3)/2 (p + 1) > 0 при ( pη1d+1 )( paη11 )( −n1pb1 c1 ) = 1 ;
p(α1 −3)/2 (p − 1) > 0 при ( pη1d+1 )( paη11 )( −n1pb1 c1 ) = −1 и стремиться к ∞ с ростом
p.
9.8) Пусть α1 ≤ β1 < η1 < γ1
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то получим равенства, аналогичные тем, что для случая
9.1, т.е. для четных α: Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1), для нечетных α: Φ(pα ) = 0.
Если α1 < α ≤ β1 , то для четных α1 :
Φ(pα ) = (
−a1 d α1 /2−1
)p
(p − 1),
pα
58
для нечетных α1 : Φ(pα ) = 0.
Пусть β1 < α ≤ η1 . Тогда
Φ(pα ) = p−4α pα1 +β1 +α (
d
b1
a1
)( α−α )( α−β )S(pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)S(pα−β1 , 1, 0)·
α
p p 1 p 1
·
(
pα
∑
)
l
p3α−α1 −β1
l=1
(l,pα )=1
e−
2πinl
pα
.
Если 3α − α1 − β1 — четное, то
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
)
l
p3α−α1 −β1
e−
2πinl
pα
= K(pα , −n, 0) = pα−1 (p − 1)
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если 3α − α1 − β1 — нечетное, то
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
p3α−α1 −β1
)
e−
2πinl
pα
= Kp (pα , −n, 0) = 0
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Рассмотрим случаи, когда 3α − α1 − β1 — четное.
S(pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)S(pα−β1 , 1, 0) = p(3α−α1 −β1 )/2 ,
если α — четное, α1 — четное, β1 — четное. В остальных случаях
S(pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)S(pα−β1 , 1, 0) = (
−1 (3α−α1 −β1 )/2
)p
,
p
если α — четное, α1 — нечетное, β1 — нечетное; если α — нечетное, α1 —
четное, β1 — нечетное; если α — нечетное, α1 — нечетное, β1 — четное.
Тогда
Φ(pα ) =
59
1, если α — четное, α1 — четное, β1 — четное,
( −ap1 b1 ), если α — четное, α1 — нечетное, β1 — нечетное,
p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1) −a d
· ( 1 ), если α — нечетное, α1 — четное, β1 — нечетное,
=
p
pα/2
( −bp1 d ), если α — нечетное, α1 — нечетное, β1 — четное,
0, в остальных случаях.
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pα1 +β1 +η1 +1 (
d
pη1
)(
+1
a1
)(
b1
pη1 +1−α1 pη1 +1−β1
)·
·S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(pη1 +1−β1 , 1, 0)·
η1 +1
)
(
p∑
l
− 2πinl
pη1 +1 .
e
·
3η
+3−α
−β
1
1
1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
Если 3η1 − α1 − β1 — нечетное, то
η1 +1
p∑
(
)
l
p3η1 +3−α1 −β1
l=1
(l,pη1 +1 )=1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если 3η1 − α1 − β1 — четное, то
(
η1 +1
p∑
l
p3η1 +3−α1 −β1
l=1
)
e
−
2πinl
pη1 +1
= Kp (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
−n1
)S(p, 1, 0)
p
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
1. Пусть η1 — нечетное, α1 — нечетное, β1 — нечетное, тогда 3η1 − α1 − β1
– нечетное и
Φ(pη1 +1 ) = −pη1 p−4η1 −4 pα1 +β1 +η1 +1 (
−a1 b1 (3η1 +3−α1 −β1 )/2
)p
=
p
p(α1 +β1 )/2 −a1 b1
= − η /2+3/2 (
).
p
p1
60
2. Пусть η1 — нечетное, α1 — четное, β1 — четное, тогда 3η1 − α1 − β1 —
нечетное и
Φ(pη1 +1 ) = −pη1 p−4η1 −4 pα1 +β1 +η1 +1 p(3η1 +3−α1 −β1 )/2 =
p(α1 +β1 )/2
= − η /2+3/2 .
p1
3. Пусть η1 — четное, α1 — четное, β1 — нечетное, тогда 3η1 − α1 − β1 —
нечетное и
Φ(pη1 +1 ) = −pη1 p−4η1 −4 pα1 +β1 +η1 +1 (
−a1 d (3η1 +3−α1 −β1 )/2
)p
=
p
p(α1 +β1 )/2 −a1 d
= − η /2+3/2 (
).
p
p1
4. Пусть η1 — четное, α1 — нечетное, β1 — четное, тогда 3η1 − α1 − β1 —
нечетное и
Φ(pη1 +1 ) = −pη1 p−4η1 −4 pα1 +β1 +η1 +1 (
−db1 (3η1 +3−α1 −β1 )/2
)p
=
p
p(α1 +β1 )/2 −db1
= − η /2+3/2 (
).
p
p1
5. Пусть η1 — четное, α1 — четное, β1 — четное, тогда 3η1 − α1 − β1 —
четное и
Φ(pη1 +1 ) = (
−n1 η1 −4η1 −4 α1 +β1 +η1 +1 a1 b1 d (3η1 +3−α1 −β1 )/2+1/2
)p p
p
(
)p
=
p
p
=
p(α1 +β1 )/2 −a1 b1 dn1
).
(
p
pη1 /2+1
6. Пусть η1 — четное, α1 — нечетное, β1 — нечетное, тогда 3η1 − α1 − β1 —
четное и
Φ(pη1 +1 ) = (
−n1 η1 −4η1 −4 α1 +β1 +η1 +1 −d (3η1 +3−α1 −β1 )/2+1/2
)p p
p
( )p
=
p
p
p(α1 +β1 )/2 dn1
).
= η /2+1 (
p
p1
61
7. Пусть η1 — нечетное, α1 — нечетное, β1 — четное, тогда 3η1 − α1 − β1 —
четное и
Φ(pη1 +1 ) = (
−n1 η1 −4η1 −4 α1 +β1 +η1 +1 −a1 (3η1 +3−α1 −β1 )/2+1/2
)p p
p
(
)p
=
p
p
=
p(α1 +β1 )/2 a1 n1
(
).
p
pη1 /2+1
8. Пусть η1 — нечетное, α1 — четное, β1 — нечетное, тогда 3η1 − α1 − β1 —
четное и
Φ(pη1 +1 ) = (
−n1 η1 −4η1 −4 α1 +β1 +η1 +1 −b1 (3η1 +3−α1 −β1 )/2+1/2
)p p
p
(
)p
=
p
p
=
p(α1 +β1 )/2 b1 n1
(
).
p
pη1 /2+1
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
1. η1 — нечетное, α1 — нечетное, β1 — нечетное. Получаем следующий
множитель:
∏
(
)
(α1 +β1 )/2
(α1 +β1 )/2
−a
b
p
p
1
1
(p(α1 −1)/2 + (
) p(α1 −1)/2 − (η +1)/2 − (η +3)/2 )
p
p 1
p 1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 <γ1
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1, тогда данная скобка
)
(
1
1
+
>0
2p(α1 −1)/2 − p(α1 +β1 )/2
p(η1 +1)/2 p(η1 +3)/2
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то стремление к 2.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1, тогда данная скобка
)
(
1
1
p(α1 +β1 )/2
+
>0
p(η1 +1)/2 p(η1 +3)/2
и стремится к 0 с ростом p.
62
2. η1 — нечетное, α1 — четное, β1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + pα1 /2 − 1+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 <γ1
(
)
−a1 d
−a1 d
+p
(p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
(
)
1
1
1
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1) (β +2)/2 + (β +4)/2 + ... + (η −1)/2 −
p 1
p 1
p 1
α1 /2−1
p(α1 +β1 )/2
− η /2+3/2 ).
p1
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
(
pα1 /2 (1 + β1 − α1 ) − pα1 /2−1 (−1 + β1 − α1 ) − p(α1 +β1 )/2
1
p(η1 +1)/2
+
1
)
p(η1 +3)/2
>0
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
pα1 /2−1 (p + 1) − p(α1 +β1 )/2
+
>0
p(η1 +1)/2 p(η1 +3)/2
и стремится к ∞ с ростом p.
3. η1 — четное, α1 — четное, β1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + pα1 /2 − 1+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 <γ1
(
)
−a1 d
−a1 d
+p
(p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
(
)
−a1 d
1
1
1
(α1 +β1 )/2−1
+p
(p − 1)(
) (β +2)/2 + (β +4)/2 + ... + (η −1)/2 −
p
p 1
p 1
p 1
α1 /2−1
63
−a1 d p(α1 +β1 )/2
−(
) η /2+3/2 ).
p
p1
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
p
α1 /2
(1 + β1 − α1 ) − p
α1 /2−1
(−1 + β1 − α1 ) − p
(α1 +β1 )/2
(
1
p(η1 +1)/2
+
1
)
p(η1 +3)/2
>0
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
p(α1 +β1 )/2
+
>0
p(η1 +1)/2 p(η1 +3)/2
и стремится к 0 с ростом p.
4. η1 — четное, α1 — нечетное, β1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
(
)
(α1 +β1 )/2
(α1 +β1 )/2
−b
d
p
p
1
(p(α1 −1)/2 + (
) p(α1 −1)/2 − (η +1)/2 − (η +3)/2 ).
p
p 1
p 1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 <γ1
Пусть ( −bp1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
2p(α1 −1)/2 − p(α1 +β1 )/2
+
>0
p(η1 +1)/2 p(η1 +3)/2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −bp1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
(α1 +β1 )/2
p
+
>0
p(η1 +1)/2 p(η1 +3)/2
и стремится к 0 с ростом p.
5. η1 — четное, α1 — четное, β1 — четное. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
−a
d
−a
d
1
1
(pα1 /2 + pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 <γ1
64
(
+p
1
(α1 +β1 )/2
pβ1 /2+1
−
1
pη1 /2+1
)
−a1 b1 dn1
1
+(
) η /2+1 ).
p
p1
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
)
(
1
1
b
n
1
1 1
− η /2+1 + (
>0
pα1 /2 +pα1 /2−1 (p−1)(β1 −α1 )+p(α1 +β1 )/2
)
β
/2+1
1
1
p pη1 /2+1
p
p
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
)
(
1
b
n
1
1
1
)
>0
pα1 /2 + pα1 /2−1 − p(α1 +β1 )/2
+(
p pη1 /2+1
pη1 /2+1
и стремится к ∞ с ростом p.
6. η1 — четное, α1 — нечетное, β1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(p
(α1 −1)/2
+p
(α1 +β1 )/2
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 <γ1
(
1
−a1 b1
) (β +1)/2 −
(
p
p 1
(
))
−a1 b1
dn1
− η /2+1 (
)−(
) ).
p
p
p1
1
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( dnp 1 ) = 1, тогда данная скобка равна
2p(α1 −1)/2 > 2
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то данная скобка равна 2.
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( dnp 1 ) = −1, тогда данная скобка равна
2p(α1 −1)/2 − 2p(α1 +β1 −η1 )/2−1 > 0
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то данная скобка стремиться к 2.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( dnp 1 ) = 1, тогда данная скобка равна
2p(α1 +β1 −η1 )/2−1 > 0
65
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( dnp 1 ) = −1, тогда данная скобка равна 0.
7. η1 — нечетное, α1 — нечетное, β1 — четное. Получаем следующий множитель:
∏
(
1
−b1 d
) (β +1)/2 −
(p(α1 −1)/2 + p(α1 +β1 )/2 (
p p 1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 <γ1
(
))
−b1 d
a1 n1
− η /2+1 (
)−(
) ).
p
p
p1
Пусть ( −bp1 d ) = 1 и ( a1pn1 ) = 1, тогда данная скобка равна
1
2p(α1 −1)/2 > 1
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то данная скобка равна 2.
Пусть ( −bp1 d ) = 1 и ( a1pn1 ) = −1, тогда данная скобка равна
2p(α1 −1)/2 − 2p(α1 +β1 −η1 )/2−1 > 0
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то данная скобка стремиться к 2.
Пусть ( −bp1 d ) = −1 и ( a1pn1 ) = 1, тогда данная скобка равна
2p(α1 +β1 −η1 )/2−1 > 0
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −bp1 d ) = −1 и ( a1pn1 ) = −1, тогда данная скобка равна 0.
8. η1 — нечетное, α1 — четное, β1 — нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
)
(
−a
d
−a
d
1
1
(pα1 /2 + pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 <γ1
66
+p
(α1 +β1 )/2
(
(
))
−a1 d
1
−a1 d
1
b1 n1
(
)
−
(
)−(
) ).
p p(β1 +2)/2 pη1 /2+1
p
p
Пусть ( −ap1 d ) = 1 и ( b1pn1 ) = 1, тогда данная скобка равна
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) > 0
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = 1 и ( b1pn1 ) = −1, тогда данная скобка равна
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − 2p(α1 +β1 −η1 )/2−1 > 0
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1 и ( b1pn1 ) = 1, тогда данная скобка равна
2p(α1 +β1 −η1 )/2−1 > 0
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1 и ( b1pn1 ) = −1, тогда данная скобка равна 0.
9.9) Пусть α1 ≤ β1 < η1 = γ1 .
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то для четных α: Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1).
Если α1 < α ≤ β1 , то для четных α1 : Φ(pα ) = ( −apα1 d )pα1 /2−1 (p − 1).
Если β1 < α ≤ η1 , то
Φ(pα ) =
1, если α – четное, α1 – четное, β1 – четное,
( −ap1 b1 ), если α – четное, α1 – нечетное, β1 – нечетное,
p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1) −a d
=
· ( 1 ), если α – нечетное, α1 – четное, β1 – нечетное,
p
pα/2
( −bp1 d ), если α – нечетное, α1 – нечетное, β1 – четное,
0, в остальных случаях.
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pα1 +β1 +η1 (
b1
c1
d
a1
)( η +1−β )( )( η +1 )·
η
+1−α
1
1
p1
p1
p p1
67
·S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(pη1 +1−β1 , 1, 0)S(p, 1, 0)·
η1 +1
(
)
p∑
l
− 2πinl
pη1 +1 .
·
e
3η
+4−α
−β
1
1
1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
Если 3η1 − α1 − β1 – четное, то
η1 +1
(
)
p∑
l
− 2πinl
pη1 +1 = K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
e
3η
+4−α
−β
1
1
1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если 3η1 − α1 − β1 – нечетное, то
η1 +1
)
(
p∑
−n1
l
− 2πinl
pη1 +1 = K (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
e
)S(p, 1, 0)
p
3η
+4−α
−β
1
1
p 1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
1. Пусть η1 – нечетное, α1 – нечетное, β1 – нечетное, тогда 3η1 − α1 − β1 –
нечетное и
Φ(pη1 +1 ) = pη1 (
−a1 b1 c1 n1 −4η1 −4 α1 +β1 +η1 (3η1 +3−α1 −β1 )/2+1
)p
p
p
=
p
−a1 b1 c1 n1 p(α1 +β1 )/2
=(
) η /2+3/2 .
p
p1
2. Пусть η1 – нечетное, α1 – четное, β1 – четное, тогда 3η1 − α1 − β1 –
нечетное и
Φ(p
η1 +1
c1 n1 p(α1 +β1 )/2
)=(
)
.
p pη1 /2+3/2
3. Пусть η1 – четное, α1 – четное, β1 – нечетное, тогда 3η1 − α1 − β1 –
нечетное и
Φ(p
η1 +1
−a1 c1 dn1 p(α1 +β1 )/2
)=(
) η /2+3/2 .
p
p1
4. Пусть η1 – четное, α1 – нечетное, β1 – четное, тогда 3η1 − α1 − β1 –
нечетное и
Φ(p
η1 +1
−b1 c1 dn1 p(α1 +β1 )/2
) η /2+3/2 .
)=(
p
p1
68
5. Пусть η1 – четное, α1 – четное, β1 – четное, тогда 3η1 − α1 − β1 – четное
и
Φ(pη1 +1 ) = −pη1 p−4η1 −4 pα1 +β1 +η1 (
a1 b1 c1 d (3η1 +3−α1 −β1 )/2+1/2
)p
=
p
a1 b1 c1 d p(α1 +β1 )/2
= −(
) η /2+2 .
p
p1
6. Пусть η1 – четное, α1 – нечетное, β1 – нечетное, тогда 3η1 − α1 − β1 –
четное и
Φ(pη1 +1 ) = −(
−c1 d p(α1 +β1 )/2
) η /2+2 .
p
p1
7. Пусть η1 – нечетное, α1 – нечетное, β1 – четное, тогда 3η1 − α1 − β1 – четное
и
Φ(p
η1 +1
−a1 c1 p(α1 +β1 )/2
) = −(
) η /2+2 .
p
p1
8. Пусть η1 – нечетное, α1 – четное, β1 – нечетное, тогда 3η1 − α1 − β1 –
четное и
Φ(p
η1 +1
−b1 c1 p(α1 +β1 )/2
) = −(
) η /2+2 .
p
p1
Пусть α > η1 + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны 0 в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.
Рассмотрим возможные произведения.
1. η1 – нечетное, α1 – нечетное, β1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 =γ1
(p
(α1 −1)/2
(
)
−a1 b1
p(α1 +β1 )/2
c1 n1 p(α1 +β1 )/2
(α1 −1)/2
+(
) p
− (η +1)/2 + (
)
).
p
p p(η1 +3)/2
p 1
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1, тогда данная скобка равна
)
(
1
c1 n1
1
(α1 −1)/2
(α1 +β1 )/2
)
2p
−p
−(
>0
p p(η1 +3)/2
p(η1 +1)/2
69
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то стремление к 2.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
c
n
1
1
1
p(α1 +β1 )/2
−(
)
>0
p p(η1 +3)/2
p(η1 +1)/2
и стремится к 0 с ростом p.
2. η1 – нечетное, α1 – четное, β1 – четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + pα1 /2 − 1+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 =γ1
(
)
−a
d
−a
d
1
1
+pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
(
)
1
1
1
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1) (β +2)/2 + (β +4)/2 + ... + (η −1)/2 +
p 1
p 1
p 1
+(
c1 n1 p(α1 +β1 )/2
)
).
p pη1 /2+3/2
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
(
pα1 /2 (1+β1 −α1 )−pα1 /2−1 (−1+β1 −α1 )−p(α1 +β1 )/2
1
p(η1 +1)/2
c1 n1
1
−(
) (η +3)/2
p p 1
)
,
она положительна и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
c1 n1
1
α1 /2−1
(α1 +β1 )/2
p
(p + 1) − p
−(
)
>0
p p(η1 +3)/2
p(η1 +1)/2
и стремится к ∞ с ростом p.
3. η1 – четное, α1 – четное, β1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + pα1 /2 − 1+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 =γ1
70
(
)
−a1 d
−a1 d
+p
(p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
)
(
−a
d
1
1
1
1
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1)(
) (β +2)/2 + (β +4)/2 + ... + (η −1)/2 +
p
p 1
p 1
p 1
α1 /2−1
−a1 c1 dn1 p(α1 +β1 )/2
+(
) η /2+3/2 ).
p
p1
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
p
α1 /2
(1+β1 −α1 )−p
α1 /2−1
(−1+β1 −α1 )−p
(
(α1 +β1 )/2
1
p(η1 +1)/2
1
c1 n1
) (η +3)/2
−(
p p 1
)
,
она положительна и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
c
n
1
1
1
p(α1 +β1 )/2
−(
)
>0
p p(η1 +3)/2
p(η1 +1)/2
и стремится к 0 с ростом p.
4. η1 – четное, α1 – нечетное, β1 – четное. Получаем следующий множитель:
(
)
(α1 +β1 )/2
(α1 +β1 )/2
∏
−b
d
p
c
n
p
1
1
1
(p(α1 −1)/2 + (
) p(α1 −1)/2 − (η +1)/2 + (
) (η +3)/2 ).
1
p
p
p
p 1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 =γ1
Пусть ( −bp1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
)
(
1
c
n
1
1
1
)
2p(α1 −1)/2 − p(α1 +β1 )/2
−(
>0
p p(η1 +3)/2
p(η1 +1)/2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −bp1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
)
(
1
c1 n1
1
(α1 +β1 )/2
)
p
−(
>0
p p(η1 +3)/2
p(η1 +1)/2
и стремится к 0 с ростом p.
71
5. η1 – четное, α1 – четное, β1 – четное. Получаем следующий множитель:
(
)
∏
−a
d
−a
d
1
1
(pα1 /2 + pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 =γ1
+p
(α1 +β1 )/2
(
1
pβ1 /2+1
−
1
pη1 /2+1
)
1
a1 b1 c1 d1
) η /2+2 ).
−(
p
p1
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
)
(
1
1
−b
c
1
1
1
pα1 /2 +p(α1 −1)/2 (p−1)(β1 −α1 )+p(α1 +β1 )/2
−
−(
)
,
p pη1 /2+2
pβ1 /2+1 pη1 /2+1
она положительна и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
−b
c
1
1 1
pα1 /2 + pα1 /2−1 − p(α1 +β1 )/2
−(
)
>0
η
/2+1
1
p pη1 /2+2
p
и стремится к ∞ с ростом p.
6. η1 – четное, α1 – нечетное, β1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(
)
(
−a
b
1
1
1
1
(p(α1 −1)/2 + p(α1 +β1 )/2 (
) (β +1)/2 − η /2+1 −
p
p 1
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 =γ1
)
−c1 d
1
−(
)
).
p pη1 /2+2
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( −cp1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
2p(α1 −1)/2 − p(α1 +β1 )/2
+
>2
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то данная скобка стремится 2.
72
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( −cp1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
(α1 −1)/2
(α1 +β1 )/2
2p
−p
−
>2
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то данная скобка стремиться к 2.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( −cp1 d ) = 1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
>0
p(α1 +β1 )/2
−
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( −cp1 d ) = −1, тогда данная скобка равна
)
(
1
1
+
>0
p(α1 +β1 )/2
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к 0 с ростом p.
7. η1 – нечетное, α1 – нечетное, β1 – четное. Получаем следующий множитель:
∏
(
)
(
−b
d
1
1
1
(p(α1 −1)/2 + p(α1 +β1 )/2 (
) (β +1)/2 − η /2+1 −
p
p 1
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 =γ1
)
−a1 c1
1
−(
) η /2+2 ).
p
p1
Пусть ( −bp1 d ) = 1 и ( −ap1 c1 ) = 1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
2p(α1 −1)/2 − p(α1 +β1 )/2
+
>2
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то данная скобка стремится 2.
Пусть ( −bp1 d ) = 1 и ( −ap1 c1 ) = −1, тогда данная скобка равна
)
(
1
1
(α1 −1)/2
(α1 +β1 )/2
2p
−p
−
>2
pη1 /2+1 pη1 /2+2
73
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то данная скобка стремиться к 2.
Пусть ( −bp1 d ) = −1 и ( −ap1 c1 ) = 1, тогда данная скобка равна
)
(
1
1
(α1 +β1 )/2
p
−
>0
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −bp1 d ) = −1 и ( −ap1 c1 ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
(α1 +β1 )/2
p
>0
+
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к 0 с ростом p.
8. η1 – нечетное, α1 – четное, β1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(
)
−a
d
−a
d
1
1
(pα1 /2 + pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
1
p
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 <η1 =γ1
+p
(α1 +β1 )/2
(
(
)
)
1
−a1 d
1
−b1 c1
1
(
) (β +2)/2 − η /2+1 − (
)
).
p
p pη1 /2+2
p 1
p1
Пусть ( −ap1 d ) = 1 и ( −bp1 c1 ) = 1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − p(α1 +β1 )/2
+
>0
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = 1 и ( −bp1 c1 ) = −1, тогда данная скобка равна
)
(
1
1
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − p(α1 +β1 )/2
−
>0
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1 и ( −bp1 c1 ) = 1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
(α1 +β1 )/2
p
−
>0
pη1 /2+1 pη1 /2+2
74
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1 и ( −bp1 c1 ) = −1, тогда данная скобка равна
(
)
1
1
p(α1 +β1 )/2
+
>0
pη1 /2+1 pη1 /2+2
и стремится к 0 с ростом p.
9.10) Пусть α1 ≤ β1 ≤ γ1 < η1
Если 1 ≤ α ≤ α1 , то для четных α: Φ(pα ) = pα/2−1 (p − 1).
Если α1 < α ≤ β1 , то для четных α1 : Φ(pα ) = ( −apα1 d )pα1 /2−1 (p − 1).
Если β1 < α ≤ γ1 , то
Φ(pα ) =
1, если α – четное, α1 – четное, β1 – четное,
( −ap1 b1 ), если α – четное, α1 – нечетное, β1 – нечетное,
p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1) −a d
=
· ( 1 ), если α – нечетное, α1 – четное, β1 – нечетное,
p
pα/2
( −bp1 d ), если α – нечетное, α1 – нечетное, β1 – четное,
0, в остальных случаях,
Пусть γ1 < α ≤ η1 . Тогда
Φ(pα ) = p−4α pα1 +β1 +γ1 (
a1
)(
b1
)(
c1
pα−α1 pα−β1 pα−γ1
)(
d
)·
pα
·S(pα , 1, 0)S(pα−α1 , 1, 0)S(pα−β1 , 1, 0)S(pα−γ1 , 1, 0)·
(
)
pα
∑
l
− 2πinl
pα .
·
e
4α−α
−β
−γ
1
1
1
p
l=1
(l,pα )=1
Если α1 + β1 + γ1 – четное, то
(
pα
∑
l=1
(l,pα )=1
l
p4α−α1 −β1 −γ1
)
e−
2πinl
pα
= K(pα , −n, 0) = pα−1 (p − 1)
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
75
Если α1 + β1 + γ1 – нечетное, то
(
)
pα
∑
l
− 2πinl
pα
e
= Kp (pα , −n, 0) = 0
4α−α
−β
−γ
1
1
1
p
l=1
(l,pα )=1
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда
Φ(pα ) =
p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p − 1)
·
pα+1
( a1 bp1αc1 d ), если α1 – четное, β1 – четное, γ1 – четное,
1 b1
( −cpα1 d )( −a
pα+1 ), если α1 – нечетное, β1 – нечетное, γ1 – четное,
1 c1
( −bpα1 d )( −a
pα+1 ), если α1 – нечетное, β1 – четное, γ1 – нечетное,
1 c1
( −apα1 d )( −b
pα+1 ), если α1 – четное, β1 – нечетное, γ1 – нечетное,
0, в остальных случаях,
Пусть α = η1 + 1. Тогда
Φ(pη1 +1 ) = p−4η1 −4 pα1 +β1 +γ1 (
a1
)(
b1
)(
c1
)(
d
pη1 +1−α1 pη1 +1−β1 pη1 +1−γ1 pη1 +1
)·
·S(pη1 +1 , 1, 0)S(pη1 +1−α1 , 1, 0)S(pη1 +1−β1 , 1, 0)S(pη1 +1−γ1 , 1, 0)·
η1 +1
(
)
p∑
l
− 2πinl
pη1 +1 .
·
e
4η
+4−α
−β
−γ
1
1
1
1
p
l=1
(l,pη1 +1 )=1
Если α1 + β1 + γ1 – четное, то
η1 +1
p∑
l=1
(l,pη1 +1 )=1
(
)
l
p4η1 +4−α1 −β1 −γ1
−
e
2πinl
pη1 +1
= K(pη1 +1 , −n, 0) = −pη1
в силу леммы о сумме Клоостермана (утверждение 6).
Если α1 + β1 + γ1 – нечетное, то
η1 +1
p∑
l=1
(
l
p4η1 +4−α1 −β1 −γ1
)
−
e
2πinl
pη1 +1
= Kp (pη1 +1 , −n, 0) = pη1 (
(l,pη1 +1 )=1
76
−n1
)S(p, 1, 0).
p
в силу леммы об обобщенной сумме Клоостермана (утверждение 3).
Тогда
Φ(p
η1 +1
p(α1 +β1 +γ1 )/2
)=
·
pη1 +2
1 c1 d
), если α1 – четное, β1 – четное, γ1 – четное,
−( a1pbη+1
−a1 b1
1d
−( −c
η+1 )( pη1 ), если α1 – нечетное, β1 – нечетное, γ1 – четное,
p
−a1 c1
1d
−( −b
pη+1 )( pη1 ), если α1 – нечетное, β1 – четное, γ1 – нечетное,
−b1 c1
1d
−( −a
η+1 )( pη1 ), если α1 – четное, β1 – нечетное, γ1 – нечетное,
p
√
( −a1 bp1 c1 n1 ) p, если α1 – нечетное, β1 – нечетное, γ1 – нечетное, η1 – нечетное,
( dn1 )√p, если α1 – нечетное, β1 – нечетное, γ1 – нечетное, η1 – четное,
p
√
( c1pn1 ) p, если α1 – четное, β1 – четное, γ1 – нечетное, η1 – нечетное,
−a1 b1 dn1 √
(
) p, если α1 – четное, β1 – четное, γ1 – нечетное, η1 – четное,
p
b 1 n1 √
(
p ) p, если α1 – четное, β1 – нечетное, γ1 – четное, η1 – нечетное,
√
( −a1 cp1 dn1 ) p, если α1 – четное, β1 – нечетное, γ1 – четное, η1 – четное,
√
( a1pn1 ) p, если α1 – нечетное, β1 – четное, γ1 – четное, η1 – нечетное,
( −b1 c1 dn1 )√p, если α1 – нечетное, β1 – четное, γ1 – четное, η1 – четное.
p
Рассмотрим возможные произведения.
1. α1 – четное, β1 – четное, γ1 – четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + pα1 /2 − 1+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
(
)
−a1 d
−a1 d
+p
(p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
(
)
1
1
1
(α1 +β1 )/2−1
+p
(p − 1) (β +2)/2 + (β +4)/2 + ... + γ /2 +
p 1
p 1
p1
α1 /2−1
77
+p
(α1 +β1 +γ1 )/2−1
(
)
a1 b1 c1 d 1
a1 b1 c1 d 1
a1 b1 c1 d 1
(p−1) ( γ+1 ) γ +1 + ( γ+2 ) γ +2 + ... + ( η ) η −
p
p1
p
p1
p1
p1
a1 b1 c1 d p(α1 +β1 +γ1 )/2
−( η +1 )
).
p1
pη1 +2
Пусть ( −ap1 d ) = 1 и ( −bp1 c1 ) = 1, тогда получаем
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − p(α1 +β1 +γ1 )/2−1−η1 − p(α1 +β1 +γ1 )/2−η1 −2 > 0
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1 и ( −bp1 c1 ) = −1, тогда получаем
pα1 /2−1 (p + 1) − p(α1 +β1 +γ1 )/2−1−η1 − p(α1 +β1 +γ1 )/2−η1 −2 > 0
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( −bp1 c1 ) = 1, η1 — четное, тогда получаем
pα1 /2−1 (p + 1) −
2p(α1 +β1 −γ1 )/2 p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p2 + 1)
+
>0
p+1
pη1 +2 (p + 1)
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, ( −bp1 c1 ) = 1, η1 — нечетное, тогда получаем
pα1 /2−1 (p + 1) −
2p(α1 +β1 −γ1 )/2 p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p2 − 2p − 1)
+
>0
p+1
pη1 +2 (p + 1)
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = 1, ( −bp1 c1 ) = −1, η1 — четное, тогда получаем
p
α1 /2−1
2p(α1 +β1 −γ1 )/2 p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p2 + 1)
(p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) −
+
>0
p+1
pη1 +2 (p + 1)
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = 1, ( −bp1 c1 ) = −1, η1 — четное, тогда получаем
p
α1 /2−1
2p(α1 +β1 −γ1 )/2 p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p2 − 2p − 1)
(p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) −
+
>0
p+1
pη1 +2 (p + 1)
и стремится к ∞ с ростом p.
78
2. α1 – нечетное, β1 – нечетное, γ1 – четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + p(α1 −1)/2 − 1 + 0+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
(
)
−a
b
1
1
1
1
1
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1)(
) (β +1)/2 + (β +3)/2 + ... + γ /2 +
p
p 1
p 1
p1
(
−c1 d −a1 b1 1
−c1 d −a1 b1 1
+p(α1 +β1 +γ1 )/2−1 (p − 1) ( γ +1 )( γ ) γ +1 + ( γ +2 )( γ +1 ) γ +2 + ...+
p1
p1 p1
p1
p1
p1
)
−c1 d −a1 b1 1
−c1 d −a1 b1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+( η )( η +1 ) η − ( η +1 )( η )
).
p1
p1
p1
p1
p1
pη1 +2
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( −cp1 d ) = 1, η1 — четное, тогда получаем
2p(α1 −1)/2 −
p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p + 1)
>0
pη1 +2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( −cp1 d ) = 1, η1 — нечетное, тогда получаем
2p
(α1 −1)/2
p(α1 +β1 +γ1 )/2 (2p2 + p + 1)
>0
−
pη1 +2 (p + 1)
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( −cp1 d ) = −1, η1 — четное, тогда получаем
p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p + 1)
> 0.
pη1 +2
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( −cp1 d ) = −1, η1 — нечетное, тогда получаем
p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p + 3)
> 0.
pη1 (p + 1)
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( −cp1 d ) = 1, η1 — четное, тогда получаем
2p(α1 +β1 −γ1 )/2 p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p2 + 1)
−
>0
p+1
pη1 +2 (p + 1)
79
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( −cp1 d ) = 1, η1 — нечетное, тогда получаем
2p(α1 +β1 −γ1 )/2 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+
>0
p+1
pη1 +2
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( −cp1 d ) = −1, η1 — четное, тогда получаем
2p
(α1 −1)/2
2p(α1 +β1 −γ1 )/2 p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p2 + 1)
−
+
>0
p+1
pη1 +2 (p + 1)
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( −cp1 d ) = −1, η1 — нечетное, тогда получаем
2p
(α1 −1)/2
2p(α1 +β1 −γ1 )/2 p(α1 +β1 +γ1 )/2
−
>0
−
p+1
pη1 +2
и стремится к ∞ с ростом p.
3. α1 – нечетное, β1 – четное, γ1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + p(α1 −1)/2 − 1 + 0+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
)
(
−b1 d
1
1
1
+p
(p − 1)(
) (β +1)/2 + (β +3)/2 + ... + γ /2 +
p
p 1
p 1
p1
(
−b1 d −a1 c1 1
−b1 d −a1 c1 1
+p(α1 +β1 +γ1 )/2−1 (p − 1) ( γ +1 )( γ ) γ +1 + ( γ +2 )( γ +1 ) γ +2 + ...+
p1
p1 p1
p1
p1
p1
)
−b1 d −a1 c1 1
−b1 d −a1 c1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+( η )( η −1 ) η − ( η +1 )( η )
).
p1
p1
p1
p1
p1
pη1 +2
(α1 +β1 )/2−1
Пусть ( −ap1 c1 ) = 1 и ( −bp1 d ) = 1, тогда получаем
2p
(α1 −1)/2
p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p + 1)
−
>0
pη1 +2
80
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 c1 ) = −1 и ( −bp1 d ) = −1, тогда получаем
p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p + 1)
> 0.
pη1 +2
Пусть ( −ap1 c1 ) = −1 и ( −bp1 d ) = 1, тогда получаем
2p
(α1 −1)/2
(α1 +β1 +γ1 )/2 2
(p + 1)
2p(α1 +β1 −γ1 )/2
η1 p
− (−1)
>0
−
p+1
pη1 +2 (p + 1)
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 c1 ) = 1 и ( −bp1 d ) = −1, тогда получаем
(α1 +β1 +γ1 )/2 2
(p + 1)
2p(α1 +β1 −γ1 )/2
η1 p
+ (−1)
> 0.
η
+2
p+1
p 1 (p + 1)
4. α1 – четное, β1 – нечетное, γ1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(p
α1 /2
+p
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
α1 /2−1
(
)
−a1 d
−a1 d
(p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
(
)
1
−a
d
1
1
1
) (β +2)/2 + (β +4)/2 + ... + γ /2 +
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1)(
p
p 1
p 1
p1
(
−a1 d −b1 c1 1
−a1 d −b1 c1 1
(α1 +β1 +γ1 )/2−1
+p
(p − 1) ( γ +1 )( γ ) γ +1 + ( γ +2 )( γ +1 ) γ +2 + ...+
p1
p1 p1
p1
p1
p1
)
−a1 d −b1 c1 1
−a1 d −b1 c1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+( η )( η −1 ) η − ( η +1 )( η )
).
p1
p1
p1
p1
p1
pη1 +2
Пусть ( −ap1 d ) = 1 и ( −bp1 c1 ) = 1, тогда получаем
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − p(α1 +β1 +γ1 )/2−1−η1 − p(α1 +β1 +γ1 )/2−η1 −2 > 0
и стремится к ∞ с ростом p.
81
Пусть ( −ap1 d ) = −1 и ( −bp1 c1 ) = −1, тогда получаем
p(α1 +β1 +γ1 )/2−1−η1 − p(α1 +β1 +γ1 )/2−η1 −2 > 0.
Пусть ( −ap1 d ) = 1 и ( −bp1 c1 ) = −1, тогда получаем
p
α1 /2−1
(α1 +β1 +γ1 )/2 2
(p + 1)
2p(α1 +β1 −γ1 )/2
η1 p
(p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) −
− (−1)
>0
p+1
pη1 +2 (p + 1)
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1 и ( −bp1 c1 ) = 1, тогда получаем
2p(α1 +β1 −γ1 )/2
p(α1 +β1 +γ1 )/2 (p2 + 1)
+ (−1)η1
> 0.
p+1
pη1 +2 (p + 1)
5. α1 – нечетное, β1 – нечетное, γ1 – нечетное, η1 – нечетное. Получаем
следующий множитель:
∏
(1 + p(α1 −1)/2 − 1 + 0+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
(
)
−a
b
1
1
1
1
1
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1)(
) (β +1)/2 + (β +3)/2 + ... + (γ −1)/2 +
p
p 1
p 1
p 1
−a1 b1 c1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
+0 + (
).
p
pη1 +3/2
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( c1pn1 ) = 1, тогда получаем
2p(α1 −1)/2 − p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 + p(α1 +β1 +γ1 −2η1 −3)/2 > 0
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то скобка стремиться к 2.
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1 и ( c1pn1 ) = −1, тогда получаем
2p(α1 −1)/2 − p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 − p(α1 +β1 +γ1 −2η1 −3)/2 > 0
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то скобка стремиться к 2.
82
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( c1pn1 ) = 1, тогда получаем
p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 − p(α1 +β1 +γ1 −2η1 −3)/2 > 0
и стремится к 0 с ростом p.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1 и ( c1pn1 ) = −1, тогда получаем
p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 + p(α1 +β1 +γ1 −2η1 −3)/2 > 0
и стремится к 0 с ростом p.
6. α1 – нечетное, β1 – нечетное, γ1 – нечетное, η1 – четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + p(α1 −1)/2 − 1 + 0+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
(
)
−a
b
1
1
1
1
1
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1)(
) (β +1)/2 + (β +3)/2 + ... + (γ −1)/2 +
p
p 1
p 1
p 1
dn1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+0 + (
)
).
p
pη1 +3/2
Пусть ( −ap1 b1 ) = 1, тогда получаем
2p
(α1 −1)/2
−p
(α1 +β1 −γ1 −1)/2
dn1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+(
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то скобка стремиться к 2.
Пусть ( −ap1 b1 ) = −1, тогда получаем
p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 + (
dn1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к 0 с ростом p.
7. α1 – четное, β1 – четное, γ1 – нечетное, η1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
83
∏
(
)
−a
d
−a
d
1
1
(pα1 /2 + pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
(
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1)
1
p(β1 +2)/2
+0 + (
+
1
p(β1 +4)/2
+ ... +
1
)
+
p(γ1 −1)/2
c1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
).
p
pη1 +3/2
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда получаем
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 + (
c1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда получаем
pα1 /2 + pα1 /2−1 − p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 + (
c1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p.
8. α1 – четное, β1 – четное, γ1 – нечетное, η1 – четное. Получаем следующий
множитель:
∏
(
)
−a
d
−a
d
1
1
(pα1 /2 + pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
+p
(α1 +β1 )/2−1
(
(p − 1)
1
p(β1 +2)/2
+
1
p(β1 +4)/2
+ ... +
−a1 b1 dn1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
+0 + (
).
p
pη1 +3/2
84
1
p(γ1 −1)/2
)
+
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда получаем
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 + (
b1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда получаем
pα1 /2 + pα1 /2−1 − p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 − (
b1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p.
9. α1 – четное, β1 – нечетное, γ1 – четное, η1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(
)
−a
d
−a
d
1
1
(pα1 /2 + pα1 /2−1 (p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
+p
(α1 +β1 )/2−1
(
)
1
−a1 d
1
1
(p − 1)(
) (β +2)/2 + (β +4)/2 + ... + (γ −1)/2 +
p
p 1
p 1
p 1
b1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+0 + (
)
).
p
pη1 +3/2
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда получаем
p
α1 /2−1
(p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − p
(α1 +β1 −γ1 −1)/2
b1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+(
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда получаем
p
(α1 +β1 −γ1 −1)/2
b1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+(
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к 0 с ростом p.
85
10. α1 – четное, β1 – нечетное, γ1 – четное, η1 – четное. Получаем следующий множитель:
∏
(p
α1 /2
+p
α1 /2−1
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
+p
(α1 +β1 )/2−1
)
(
−a1 d
−a1 d
(p − 1) ( α +1 ) + ... + ( β ) +
p 1
p1
(
)
−a1 d
1
1
1
(p − 1)(
) (β +2)/2 + (β +4)/2 + ... + (γ −1)/2 +
p
p 1
p 1
p 1
+0 + (
−a1 c1 dn1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
).
p
pη1 +3/2
Пусть ( −ap1 d ) = 1, тогда получаем
pα1 /2−1 (p + (p − 1)(β1 − α1 ) + 1) − p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 + (
c1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p.
Пусть ( −ap1 d ) = −1, тогда получаем
p(α1 +β1 −γ1 −1)/2 − (
c1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к 0 с ростом p.
11. α1 – нечетное, β1 – четное, γ1 – четное, η1 – нечетное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + p(α1 −1)/2 − 1 + 0+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
(
)
−b
d
1
1
1
1
+p(α1 +β1 )/2−1 (p − 1)(
) (β +1)/2 + (β +3)/2 + ... + (γ −1)/2 +
p
p 1
p 1
p 1
86
a1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+0 + (
)
).
p
pη1 +3/2
Пусть ( −bp1 d ) = 1, тогда получаем
2p
(α1 −1)/2
−p
(α1 +β1 −γ1 −1)/2
a1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
>0
+(
)
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то скобка стремиться к 2.
Пусть ( −bp1 d ) = −1, тогда получаем
p
(α1 +β1 −γ1 −1)/2
a1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+(
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к 0 с ростом p.
12. α1 – нечетное, β1 – четное, γ1 – четное, η1 – четное. Получаем следующий множитель:
∏
(1 + p(α1 −1)/2 − 1 + 0+
p
a=pα1 a1 ,(a1 ,p)=1
b=pβ1 b1 ,(b1 ,p)=1
c=pγ1 c1 ,(c1 ,p)=1
(d,p)=1
n=pη1 n1 ,(n1 ,p)=1
α1 ≤β1 ≤γ1 <η1
+p
(α1 +β1 )/2−1
(
)
−b1 d
1
1
1
(p − 1)(
) (β +1)/2 + (β +3)/2 + ... + (γ −1)/2 +
p
p 1
p 1
p 1
−b1 c1 dn1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+0 + (
)
).
p
pη1 +3/2
Пусть ( −bp1 d ) = 1, тогда получаем
2p
(α1 −1)/2
−p
(α1 +β1 −γ1 −1)/2
c1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
+(
)
>0
p
pη1 +3/2
и стремится к ∞ с ростом p. Если α1 = 1, то скобка стремиться к 2.
Пусть ( −bp1 d ) = −1, тогда получаем
p
(α1 +β1 −γ1 −1)/2
c1 n1 p(α1 +β1 +γ1 )/2
−(
)
>0
p
pη1 +3/2
87
и стремится к 0 с ростом p.
Выводы:
Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, c = pγ1 c1 , (c1 , p) = 1, (d, p) = 1,
n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
Тогда:
1. Если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 и η1 – нечетное число, то уравнение ax2 + by 2 +
cz 2 + du2 = n не имеет решений.
2. Если η1 < α1 ≤ β1 ≤ γ1 , η1 – четное число и ( dnp 1 ) = −1, то уравнение
ax2 + by 2 + cz 2 + du2 = n не имеет решений.
3. Если η1 = α1 < β1 ≤ γ1 , η1 – нечетное число и ( a1pn1 ) = −1, то уравнение
ax2 + by 2 + cz 2 + du2 = n не имеет решений.
4. Если α1 < η1 < β1 ≤ γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число и
( −ap1 d ) = −1, то уравнение ax2 + by 2 + cz 2 + du2 = n не имеет решений.
5. Если α1 < η1 < β1 ≤ γ1 , α1 – нечетное число и ( pη1d+1 )( paη11 )( np1 ) = −1, то
уравнение ax2 + by 2 + cz 2 + du2 = n не имеет решений.
6. Если α1 < η1 = β1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число и
( −ap1 d ) = −1, ( b1pn1 ) = −1, то уравнение ax2 + by 2 + cz 2 + du2 = n не имеет
решений.
7. Если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – четное число, α1 – нечетное число, β1 –
нечетное число и ( −ap1 b1 ) = −1, ( dnp 1 ) = −1, то уравнение ax2 +by 2 +cz 2 +du2 =
n не имеет решений.
8. Если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – нечетное число, β1 –
четное число и ( −bp1 d ) = −1, ( a1pn1 ) = −1, то уравнение ax2 +by 2 +cz 2 +du2 = n
не имеет решений.
88
9. Если α1 ≤ β1 < η1 < γ1 , η1 – нечетное число, α1 – четное число, β1 –
нечетное число и ( −ap1 d ) = −1, ( b1pn1 ) = −1, то уравнение ax2 +by 2 +cz 2 +du2 =
n не имеет решений.
10. Случай, когда все коэффициенты и n делятся на p
Пусть
a = pα1 a1 , (a1 , p) = 1, b = pβ1 b1 , (b1 , p) = 1, c = pγ1 c1 , (c1 , p) = 1,
d = pδ1 d1 , (d1 , p) = 1, n = pη1 n1 , (n1 , p) = 1.
После деления всего уравнения на число, равное pmin(α1 ,β1 ,γ1 ,δ1 ,η1 ) , получаем
один из случаев, описанных ранее.
Доказательство теорем 2–4 завершено.
89
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Бухштаб А. А. Теория чисел. —М.: Просвещение, 1966. —384 c.
2. Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. —М.: МЦНМО, 2001.
3. Айерлэнд К. Классическое введение в современную теорию чисел / К.
Айерлэнд, М. Роузен. —М.: Мир, 1987. —416 с.
4. Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form ax2 +by 2 +
cz 2 + dt2 //Acta mathematica. —1926. —49. —P. 407–464.
5. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР. —1962. —Т. 65. –C. 3–212.
6. Hua Loo–Keng. Introduction to number theory, Springer, 1982. –572 p.
7. Estermann T. A new application of the Hardy–Littlewood–Kloosterman method // Proc. London Math. Soc. —1962. —12. —P. 425–444.
8. Estermann T. On Kloosterman’s sum // Mathematica. —1961. —8. —P. 83–
86.
9. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях. —Новокузнецк: ИО НФМИ. —
1998. —440 c.
90
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв