Cтабилизация линейной автономной системы относительно подпространства

Тарасова О.А.

Cтабилизация линейной автономной системы относительно подпространства

01.04.01 Математика

Математика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5c1a81957966e104f6f85b3a

UUID: 862b7c90-e5e2-0136-0582-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 5 лет назад

Просмотры: 5

Тарасова О.А.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 860,9 КБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ( Н И У « Б е л Г У » ) ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ОБЩЕЙ МАТЕМАТИКИ CТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ CИCТЕМЫ ОТНОCИТЕЛЬНО ПОДПРОCТРАНСТВА Выпускная квалификационная работа обучающегося по направлению подготовки 01.04.01 Математика очной формы обучения, группы 07001632 Тарасовой Оксаны Александровны Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор Глушак А.В. Рецензент к. ф.-м.н. Полунин В.А. БЕЛГОРОД 2018

2 Оглавление Введение…………………………………………………………………………..3 Глава I. Управляемость и устойчивость в задачах управления…………………………………………….………………………….5 1.1. Постановка задачи оптимального управления…………….….……5 1.2. Критерии управляемости……….………..…………………………...11 1.3. Связь между упавляемостью и устойчивостью в задачах управления……………………………………………………………….…..16 Глава II. Стабилизация системы относительно подпространства……...28 2.1. Критерии управляемости линейной системы на подпространство……………..…………………………………………………28 2.2. Критерий стабилизации системы относительно подпространства. Алгоритм проверки возможности стабилизации системы относительно подпространства……………………………………………………………..…40 2.3. Примеры стабилизации систем относительно подпространства……………………………………………………..................51 Список использованной литературы …………………………………..55

3 Введение За последние годы современная теория управления получила быстрое развитие, и теперь она по общему признанию является мощным практическим инструментом для решения задач построения линейных замкнутых систем управления. Для современного этапа развития науки и техники характерны быстрый прогресс технической кибернетики и значительное расширение сферы ее применения. В настоящее время основными чертами задач управления являются большая сложность объектов, а также высокие требования к точности и динамике управления. Так, например, развитие авиации и ракетнокосмической техники обусловило постановку и необходимость решения принципиально новых проблем: управление многосвязными объектами, построение оптимальных систем стабилизации и терминального управления, управление системами при неполной информации. Это привело к интенсивной разработке и широкому практическому применению таких разделов теории, как оптимальное управление. Математическая теория оптимального управления – раздел математики, в котором изучаются способы формализации и методы решения задач о выборе наилучшего в заранее предписанном смысле способа осуществления управляемого динамического процесса. Этот динамический процесс может быть описан при помощи дифференциальных, интегральных, функциональных, конечно разностных уравнений, зависящих от системы функций или параметров, называется управлением. Математическая теория оптимального управления возникла в середине 50-х годов ХХ столетия. Ее возникновение связано с необходимостью решения новых в тот период задач управления движущимися объектами, движение которых описывается дифференциальными уравнениями. Выдающуюся роль в развитии теории оптимального управления сыграло открытие принципа максимума – Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Е.Ф. Мищенко, который дает необходимое условие оптимальности.

4 В современной теории оптимального управления одно из центральных мест занимает проблема быстродействия. Теория оптимального управления играет большое значение в направлении, где требуется уменьшение времени течения процесса. В настоящее время оказались эффективными методы решения линейных задач быстродействия, основанных на min – проблеме моментов А.А. Маркова, предложенные В.И. Коробовым и Г.М. Скляром. Структура работы: выпускная квалификационная работа включает в себя введение, две главы, заключение и список использованной литературы. В первой главе рассматривается общая постановка задачи оптимального управления: динамика объекта, класс допустимых управлений, начальное и конечное состояния объекта, математической теории существование оптимального оптимальности, достаточные критерий оптимального качества; управления: управления, условия основные управляемость, необходимые оптимальности, вопросы условия единственность оптимального управления; постановка линейной задачи быстродействия. Во второй главе рассматриваются критерии управляемости линейной системы на подпространство, доказывается критерий стабилизации системы относительно подпространства, дается алгоритм проверки возможности стабилизации системы относительно подпространства, в конце приводятся примеры стабилизирующих систем. Цель настоящей квалификационной работы – исследовать вопросы стабилизации системы относительно подпространства и построить примеры стабилизирующих систем на относительно подпространства. основе критерия стабилизации систем

5 Глава I. Управляемость и устойчивость в задачах управления 1.1. Постановка задачи оптимального управления Динамика объекта. Для задачи оптимального управления характерно наличие некоторого динамического объекта, т.е. объекта, меняющегося во времени[1,8-16]. Пусть положение объекта в каждый момент времени t полностью характеризуется набором параметров x ' (t ),..., x n (t ) . Это могут быть координаты объекта в какой-то системе координат, координаты скорости и т.п. Вектор x(t )  ( x1 (t ),..., x n (t )) называется фазовым, вектором объекта. Предполагается, что движением объекта можно управлять, т.е. объект снабжен некоторыми рулями, от положения которых зависит его поведение. Пусть положение рулей характеризуется в каждый момент времени t набором параметров u ' (t ),..., u m (t ) . Вектор u(t )  (u1 (t ),..., u m (t )) называется управляющим параметром, объекта или управлением. Естественно предположить, что состояние объекта в данный момент времени t зависит от того, какие значения принимает управление u(t) до момента времени t, и не зависит от будущего поведения управления. В зависимости от того, как выражается зависимость вектора фазового состояния x(t) от управления u(t), рассматривают различные динамические объекты. Например, эта зависимость может описываться системой дифференциальных уравнений x  f (t , x, u) (1.1.1)

6 В этом случае, зная значение управления u(t) в каждый момент времени t, можно определить траекторию объекта x(t) как решение дифференциального уравнения x  f (t , x, u(t )) Будем считать, что каким-то образом задана динамика объекта, т.е. закон изменения вектора состояния x(t) в зависимости от изменения вектора управления u(t). Класс допустимых управлений. В конкретных физических объектах управление u(t) может не быть произвольным. На него наложены какие-то ограничения, вытекающие из физического смысла управления. Например, если ul(t) — тяга двигателя, то в каждый момент времени она должна удовлетворять ограничению umin  u1 (t )  umax При этом тяга ul(t) может принимать также и крайние значения umin и umax. Обычно предполагают, что вектор управления u(t) удовлетворяет в каждый момент времени t ограничению u(t ) U (1.1.2) где U — некоторое заданное множество. Как правило, в конкретных физических объектах множество U замкнуто. Эта замкнутость и не позволяет в общем случае исследовать поведение управляемого объекта методами классического вариационного исчисления. Кроме ограничения вида (1.1.2) могут быть наложены ограничения на зависимость управления u(t) от времени. Из физического смысла допустимыми управлениями могут быть либо гладкие функции, либо непрерывные, либо кусочно-непрерывные и т.п. Будем считать, что каким-то образом задан класс кусочно-непрерывных управлений u(t). Начальное и конечное состояния объекта. Предположим, что задан начальный момент времени t0 и множество М0 допустимых начальных состояний объекта. Кроме того, желательно управлять объектом так, чтобы в какой-то конечный момент времени t1 объект перешел на некоторое множество

7 М1 допустимых конечных состояний. Будем считать, что допустимое управление u(t) переводит объект из множества начальных состояний М0 на множество конечных состояний М1 на отрезке времени [t0,t1] если соответствующее этому управлению u(t) фазовое состояние объекта x(t) удовлетворяет условиям x(t0 )  M 0 , x(t1 )  M 1 (1.1.3) Заметим, что конечный момент времени t1 может быть, вообще говоря, не фиксированным, а определяться из условия попадания вектора x(t) на конечное множество M1. Предположим, что допустимые множества М0 и М1 заданы. Критерий качества. Может случиться, что управляемый объект можно перевести из множества М0 на множество М1 многими способами. Часто на практике желательно среди всех таких переходов выбрать в каком-то смысле наилучший. Обычно предполагается, что каждому допустимому управлению u(t), заданному на отрезке [t0,t1] и соответствующей ему траектории объекта x(t) сопоставлено некоторое число J, оценивающее качество пары u(t), x(t), т.е. задан функционал, или критерий, качества J (u(t), x(t)). Например, этот функционал может иметь вид t1 J (u (t ), x(t ))   f 0 ( s, x( s), u ( s))ds (1.1.4) t0 Теперь можно сформулировать задачу оптимального управления. Эта задача заключается в нахождении таких допустимого управления u*(t) и соответствующей ему траектории объекта x*(t), переводящей объект из множества начальных состояний М0 на множество конечных состояний М1, что при этом функционал качества J (u(t), x(t)) принимает минимальное значение, т.е. J (u * (t ), x* (t ))  min J (u(t ), x(t ))

8 Здесь минимум берется по всевозможным допустимым управлениям u(t) и соответствующим траекториям x(t), переводящим объект из множества начальных состояний М0 на множество конечных состояний М1. Математическая теория оптимального управления включает в себя следующие вопросы: Управляемость. Будем говорить, что объект является управляемым из множества M0 на множество M1. В противном случае сама постановка задачи оптимального управления теряет смысл. Существование оптимального управления. Если вопрос об управляемости решается положительно, т.е. существует некоторое управление u(t), переводящее объект из множества М0 на множество M1, то необходимо выяснить, существует ли оптимальное управление. С математической точки зрения этот вопрос является одним из основных, и если оптимального управления не существует, то дальнейшие поиски его становятся бессмысленными. В математике мы имеем дело всегда лишь с некоторой моделью реального физического объекта, и отсутствие в модели оптимального управления может указывать на то, что модель построена неправильно. Необходимые условия оптимальности. Если оптимальное управление в задаче существует, то далее нужно развивать методы нахождения этого оптимального управления. Даже в простых задачах может оказаться бесконечно много допустимых управлений, переводящих объект из множества начальных состояний М0 на множество конечных состояний М1. Поэтому простым перебором всех допустимых управлений обойтись не удается. Таким образом, оптимальное управление нужно искать лишь среди множества допустимых управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности. Таким необходимым условием оптимальности является принцип максимума Понтрягина. Первоначально он был высказан в качестве гипотезы академиком Львом Семеновичем Понтрягиным в 1953 г. для управляемых систем, динамика которых описывается уравнением вида (1.1), а затем доказан

9 его учениками. По существу, с принципа максимума и началась математическая теория оптимального управления. В некоторых задачах оказывается даже, что принципу максимума удовлетворяет лишь конечное число управлений, среди которых уже нетрудно выбрать оптимальное. Достаточные условия оптимальности. Отобрать оптимальное управление в классе позволяют достаточные условия оптимальности. Если некоторое управление u(t) из этого класса удовлетворяет достаточным условиям оптимальности, то тем самым гарантируется его оптимальность. Конечно, может случиться, что достаточным условиям оптимальности удовлетворяет не одно, а несколько управлений. Тем самым гарантируется, что все они оптимальны, т.е. функционал качества принимает на всех этих управлениях одинаковое и притом минимальное значение. Единственность оптимального управления. Важно знать, является ли оптимальное управление единственным. Если оно единственно, то в конкретных управляемых объектах реализация единственного оптимального управления может оказаться существенно проще. Сначала установливаем, что оптимальное управление существует, и мы нашли единственное доступное управление u(t), переводящее из множества начальных состояний М0 на множество конечных состояний М1 и удовлетворяющее необходимых условиям оптимальности, то тем самым гарантируется, что это управление u(t) оптимально. Линейная задача быстродействия. постановку задачи быстродействия. оптимального Динамика объекта Мы сформулировали общую управления – линейной задачи описывается системой линейных дифференциальных уравнений x  Ax  u (1.1.5) где x – n-мерный вектор фазового состояния объекта, u — n-мерный вектор управления, на который наложено ограничение u(t) U, А – постоянная матрица размером n×n. Зная некоторую допустимую функцию управления u(t) и

10 начальное состояние объекта x(t0)=x0, можно получить единственную функцию x(t) вектора фазового состояния объекта как решение дифференциального уравнения (1.1.5). Начальное и конечное состояния объекта будем выбирать как элементы некоторых непустых и компактных подмножеств М0 и М1 соответственно из nмерного фазового пространства. Критерием качества будет служить время перехода из множества М0 на множество M1, т. е. J (u(t ), x(t ))  t1  t0 Такой критерий качества получаете, из критерия качества (1.1.4), когда подынтегральная функция имеет вид f 0 (t , x(t ), u(t ))  1 Таким образом, быстродействия. Эта мы задача пришли к заключается постановке в линейной нахождении задачи допустимого управления u*(t) и соответствующего ему решения x*(t) уравнения (1.1.5), переводящего объект из множества начальных состояний М0 на множество конечных состояний M1 за минимальное время.

11 1.2. Критерии управляемости Определение 1.2.1 Система dx  Ax  Bu dt называется полностью управляемой за время Т, если для любых точек x 0 , xT  R n существует допустимое управление u (t ) такое, что траектория системы, x  Ax  Bu(t ) начинающаяся в начальный момент времени t 0  0 в точке х(0)  x 0 , оканчивалась в момент времени Т в точке x(T )  xT . Следующая теорема дает удобный критерий управляемости автономных линейных систем[6,91-93]. Теорема 1.2.1 Автономная линейная система в R n x  Ax  Bu, ( ) будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг (n  nm) -матрицы  B, AB, A2 B,..., An1B  равен n . Доказательство. Предположим, что система (  ) управляема, т. е. ее можно перевести из точки x0 в произвольную точку x1 из R n . Предположим, что при этом, вопреки предположению теоремы, rank[ B, AB,..., An1B]  n. Тогда строки матрицы связаны линейной зависимостью, и существует ненулевой постоянный вектор-строка v такой, что v[ B, AB,..., An1B]  0 или vB  vAB  vA2 B  ...  vAn1B  0. По теореме Гамильтона-Кэли матрица A удовлетворяет своему характеристическому уравнению An  c1 An1  c2 An2  ...  cn I , где c1, c2 ,..., cn - некоторые действительные числа. Таким образом,

12 vAn B  c1vAn1B  ...  cnvB  0 и, по индукции, vAnk B  0 для всех k  0,1,2,3,... Отсюда ve At B  v[ I  At  1 22 A t  ...]B  0 2! для любого действительного t . Решение x(t ) , исходящее из точки x0  0 и соответствующее управлению u (t ) , дается формулой t x(t )  e At e  As Bu ( s)ds. 0 Поэтому t vx(t )   ve A(t s ) Bu ( s)ds  0 0 для любого управления u (t ) . Таким образам, все траектории x(t ) должны находится в R n на гиперплоскости, ортогональной вектору v . Однако это противоречит предположению об управляемости системы (  ). Отсюда заключаем, что ранг матрицы  B, AB, A2 B,..., An1B  равен n . Обратно, предположим, что матрица  B, AB, A2 B,..., An1B  имеет ранг n ; докажем, что система (  ) управляема. Пусть K 0 есть совокупность всех точек, в которые система может быть переведена из начала координат за промежуток времени 0  t  1 с помощью управлений, удовлетворяющих условиям i  1,2,..., m. Тогда множество K 0 будет компактным и выпуклым в R n . Предположим, что размерность множества K 0 меньше, чем n . Тогда существует единичный вектор v такой, что t  ve 0 A(1 s ) Bu ( s)ds  0 , (1.2.1)

13 для всех описанных выше уравнений. Поскольку, если не считать ограничений на величину, управления u (t ) являются произвольными, то можно заключить, что ve A(1s ) B  0,0  s  1. (1.2.2) При s  1 получим vB  0. Далее, дифференцируя равенство (1.2.2) по s и снова полагая s  1, получаем vAB  0 . Продолжая этот процесс дифференцирования, выводим следующую цепочку равенств vB  vAB  vA2 B  ...  vAn1B  0. Но это означает, что строки матрицы  B, AB, A2 B,..., An1B  линейно зависимы, что противоречит нашему предположению, и значит, размерность множества K 0 равна n . Поскольку управление u (t ) можно заменить управлением u (t ) , то множество K 0 симметрично относительно начала координат. Поскольку множество K 0 содержит открытое подмножество и выпукло, то оно должно содержать начало координат в своей внутренности. Если рассматривать управления, ограниченные условиями соответствующие множества множество достижимости ui  l , K 0 заменяются где l  1,2,3,... , то на lK 0 . Таким образом, K 0 , соответствующее точке x0  0 , если не накладывать никаких ограничений на управления, будет представлять собой все пространство R n . Рассмотрим теперь в качестве начальной точки произвольную точку x0  R n . Тогда множество достижимости имеет вид K  e A x0  K0 , т. е. снова совпадает со всем пространством R n . Таким образом, система (  ) управляема. Теорема доказана.

14 Пример 1.2.1 Управляемость тележки[5,4-5]. Пусть система имеет вид  x1  x2 ,   x2  u. (**) 0 1 0 0 1 Здесь матрица A   , вектор , b  Q  b , Ab     1  1 0  . Так как 0 0     rangQ  2 , то система (**) полностью управляема. Пример 1.2.2 Управляемость математического маятника. Пусть система имеет вид  x1  x2 ,   x2   x1  u. (***)  0 1 0 0 1 Здесь матрица A   , вектор , b  Q  b , Ab     1  1 0  . Так как  1 0      rangQ  2 , то система (***) полностью управляема. Теорема 1.2.2 Для того чтобы система (  ) была полностью управляемой необходимо и достаточно, чтобы матрица T W (T )   e At BB*e A t dt * 0 была положительно определенной [5,5-6]. Доказательство. Необходимость. От противного, пусть система является полностью управляемой, но матрица W (T ) не является положительно определенной, т. е. не имеет обратной. Тогда существует нулевой вектор   R n такой, что W (T )  0 . Тогда имеем равенства

15 T 0  (W (T ) , )   (e  At T  , )dt   ( B*e  A t , B*e  A t )dt. *  A*t BB e * 0 * 0 В силу непрерывности и неотрицательности подинтегральной функции последнее соотношение эквивалентно соотношению B*e A t  0 на [0,T]. * Дифференцируя последнее равенcтво, получаем для вcех t [0,T ] равенcтва B*e A t  0, B* A*e A t  0,..., B* ( A* )n1 e A t  0, * * * откуда при t=0 получаем  *B  0, * AB  0,..., * An1B  0, ф т. е.  *Q  0 , что противоречит уcловию rangQ  n . Доcтаточноcть. Поcкольку матрица W (T ) являетcя положительно определенной, то cущеcтвует W 1 (T ) . Выберем управление u (t ) в виде u(t )   B*e A tW 1 (T ) x0 * Подcтавляя это управление в правую чаcть равенcтва T x0    e A Bu ( )d , 0 получаем T  A * A t 1 1  e BB e W (T ) x0d  W (t )W (T ) x0  x0. * 0 Теорема доказана.

16 1.3 Cвязь между управляемоcтью и уcтойчивоcтью в задачах управления Определение 1.3.1 Нулевое решение cиcтемы x  f ( x), f (0)  0 , называетcя уcтойчивым, еcли   0,   0 : x0    x(t )   , t  0. Определение 1.3.2 Управляемая cиcтема х  f ( x, u), f (0,0)  0 называетcя cтабилизируемой, еcли cущеcтвует такое управление u  u( x) , что его нулевое решение cиcтемы x  f ( x, u( x)) аcимптотичеcки уcтойчиво. Раccмотрим линейную управляемую cиcтему dx  Ax  Bu dt (1.3.1) где А — поcтоянная (n × n) — матрица, В — поcтоянная (n×r) матрица. Для краткоcти будем говорить, что эта cиcтема cтабилизируема, еcли возможно выбрать управление u(x)=(u1(x),..., ur(x)) так, чтобы нулевое решение было аcимптотичеcки уcтойчиво[5,5-10]. Пуcть ранг матрицы управляемоcти (В,АВ,…,Аn-1B) равен р ≤ n. Еcли cиcтема (1.3.1) полноcтью управляема, т.е. р = n, то она cтабилизируема. Иccледуем, какие уcловия необходимы для cтабилизации cистемы (1.3.1), если эта система, вообще говоря, не является полностью управляемой, т.е. р < n. Если существует замена переменных такая, что система (1.3.1) распадается на управляемую и неуправляемую части, причем неуправляемая часть устойчива, то система стабилизируема. Ниже описывается подпространство, в котором система управляема, а, следовательно, и стабилизируема, даются достаточно эффективные условия для проверки стабилизируемости систем, приводится алгоритм стабилизации в явной форме в виде линейной функции от фазовых координат, указывается замена переменных, приводящая систему (1.3.1) к канонической форме. Обозначим через L подпространство, порожденное столбцами матрицы управляемости. Это подпространство инвариантно относительно оператора А,

17 поэтому любая траектория как системы (1.3.1), так и системы с обращенным временем dx   Ax  Bu dt начинающаяся в L, остается в L. Из этого следует, что траектории системы (1.3.1), начинающиеся из точек, не лежащих в L, не могут попасть в L за конечное время, иначе траектории системы с обращенным временем, начинающиеся в L могли бы покидать L, а это невозможно. Через d1,..., dn-p обозначим линейно независимые вектор-строки ортогональные вектор-столбцам матрицы управляемости (В, АВ,..., Аn-1 В). Теорема 1.3.1 Система (1.3.1) полностью управляема только в подпространстве L. Доказательство. Сделаем следующую замену переменных  d1     ...  d  n p  x  Fx y  e  1   ...     e   p  (1.3.2) где векторы e1,…, ep образуют базис подпространства L. Так как dyi dx  di  d i Ax  d i Bu  d i Ax i  1,...,n  p dt dt и ввиду того, что вектор-строка di ортогональна инвариантному относительно оператора А подпространству L. то diA также ортогональна L. Следовательно, n p d i A    j d j откуда в силу (1.3.2) j 1 dyi  dt n p  j 1 ij y j i  1,...,n  p

18 Следовательно, после замены переменных (1.3.2) система (1.3.1) переходит в систему вида (1.3.3) где z1 = (y1,…, yn-p), z2 = (yn-p+1,…, yn). Система (1.3.3) при z1=0. т.е. в L имеет вид (1.3.4) Установим, что ранг матрицы (В, А22В2,..., A22p 1 В2) равен р т.е. система (1.3.4) а, следовательно, и система (1.3.3) в L полностью управляема. Обозначим через М и N блочные матрицы 0 0  A  M  FB    N  FAF 1   11 A A B 21 22    2 Тогда rank (M, NM,…, Nn-1M) = rank (FB, FAB,…, FAn-1B) = rank (B, AB,…,An-1B) = P, а так как rank (M, NM,…, Nn-1M) = rank (B2, A22B2,…, A22n1 B2) = rank (B2, A22B2,…, A22p 1 B2) (матрица А22 размера (n × p),то rank (B2, A22B2,…, A22p 1 B2) = p Так как ни в одну точку из L нельзя попаcть из точек не принадлежащих L, а начало координат принадлежит L, то cиcтема полноcтью управляема только в L. Теорема 1.3.2 Для того чтобы cиcтема (1.3.1) была cтабилизируемой необходимо и доcтаточно, чтобы вещеcтвенная чаcть любого корневого вектора, отвечающего cобcтвенному значению  принадлежала L. такому, что Re   0

19 Доказательcтво. Необходимоcть. Пуcть z  01  i02 корневой вектор выcоты k, отвечающий cобcтвенному значению     iv такому, что   0 . Покажем, что вектор Re z  01  L . Пуcть — u(x(t)) управление, обеcпечивающее аcимптотичеcкую уcтойчивоcть нулевого решения cиcтемы (1.3.1). Обозначим через x0(t) траекторию cиcтемы (1.3.1), удовлетворяющую уcловию x0  x0 (0)  0 , а через  (t) обозначим u(x0(t)). Тогда t x0 (t )  e At x0   e A(t  ) B ( )d 0 Откуда t d i x0 (t )  d i e At x0   d i e A(t  ) (b11 ( )  ...  br r ( ))d , i  1,...,n  p 0 Так как e A(t  ) bi  L , то d i e A(t  ) B ( )  0 , поэтому d ix0 (t )  di e At x0 (1.3.5) Так как z — корневой вектор выcоты k, то e ( A  E ) t t k 1 z  z  t ( A  E ) z  ...  ( A  E ) k 1 z (k  1)! откуда   t k 1 e z  e  z  tz  ...  z k 1  (k  1)!   At t (1.3.6) где zj — корневой вектор выcоты k — j, cоответcтвующий тому же cобcтвенному значению  . Cледовательно, ввиду вещеcтвенноcти eAt   t k 1 e At x0  e At Re z  Re e At z  Re e t  z  tz  ...  z k 1  (k  1)!   Пуcть z j   j1  i j 2 , j=1,…, k-1

20 тогда k 1 e At Re z  e At  0  e t  t j ( j cost   j sin t ) 1 1 j 0 2 Так как x0 (t )   при t   , то d i x0 (t )  0 при t   , поэтому и выражение k 1 tj d i e Re z  e  (d i  j cost  d i  j sin t ) !  0 при t   j j 0 At t 1 2 Полагая vt  2n , получим k 1 tj d i e Re z  e  d i  j ! j j 0 t At 1 Еcли d ik 11  0 ,то при доcтаточно большом n t k 1 d i  k 11  (k  1)! k 2 tj  d i j j ! j 0 1 а так как   0 ,то k 1 tj e  d i  j !   при n   j i 0 t 1 поэтому d ik 11  0 , аналогично уcтанавливаем, что d i j1  0 при j=k-2, k-1,…, 0. Итак, d i01  d i Re z  0 , что и требовалоcь доказать. Отметим, что, полагая vt  (2n  1)  2 , можно уcтановить, что d i02  0 . Доcтаточноcть. Предположим, что векторы bj, Ab j ,..., A k j 1 bj — kj линейно- незавиcимые, а векторы bj Abj ,..., A b j — линейно-завиcимые при j = 1,…,r. Раccмотрим цепочку векторов b1, b2,…, br, Ab1, Ab2,…, Abr,…, An-1br. Начиная c вектора b2 будем проверять является ли он и все следующие за ним векторы линейными комбинациями предыдущих векторов. Если какой-то вектор Ajbs линейно зависит от предыдущих, то его и все последующие векторы до вектора An-1bs включительно, выбрасываем из цепочки. Таким образом,

21 получаемая цепочка векторов состоит из линейно-независимых векторов, число которых равно числу линейно-независимых векторов в исходной цепочке. Меняя, если это необходимо, нумерацию столбцов матрицы В, получим цепочку векторов b1 , Ab1 ,...,An 1b1 , b2 , Ab2 ,...,An 1b2 ,...,br Abr ,...,An 1br 1 2 n1  n2  ...  nr r n1  ...  nr  p (1.3.7) Выберем вектор Сk(k = 1,…,r) так, чтобы (сk , An 1bk )  1 и чтобы он был k ортогонален всем остальным векторам цепочки (1.3.7). Сделаем следующую замену переменных  d1    d   2  ...     d n p   c   1  y   c1 A  x  Fx   ...    c1 A n 1    ...    cr    n 1   cr A  1 r Покажем, что матрица не особенная. Для этого рассмотрим выражение n p r ni 1 j 1 i 1 j 0   j d j     ij c j A j 0 Умножая обе части этого выражения поочередно на векторы цепочки (1.3.7), получим, что все коэффициенты  ij равны нулю, а тогда в силу линейной независимости векторов dj равны нулю также коэффициенты  j , j = 1,..., n — p. Таким образом, строки матрицы F линейно независимы. После этой замены переменных первые n-p уравнений имеют вид

22 n p y  d i x   ij y j j = 1,..., n — p j 1 Остальные уравнения принимают вид y n  p 1  c1 Ax  c1 Bu  c1 Ax  y n  p  2   ...   y n  p  n 1  c1 A n 1 x  c1 A n  2 Bu  c1 A n 1 x  y n  p  n  n n  y n  p  n  c1 A n x  c1 A n 1 Bu    n  p  n j y j  u1    n  p  n j u j j 1 j 2  ...   y n  n  n 1  y n  n  n  2   ...  n y n  n    n  n j y j  u r 1   n  n r u r  j 1  ...   y n  n 1  y n  n  2   ... n  y n    nj y j  u r  j 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 (1.3.8) Если ранг матрицы управляемости (В, АВ,..., Аn-1B) равен n, т.е. система полностью управляема (в нашем случае р = n), система (1.3.1) приводится к виду (1.3.8). Эта форма называется канонической формой полностью управляемой системы. В общем cлучае, т.е. при p  n , каноничеcкой формой cиcтемы (1.3.1) назовем (1.3.8). Покажем, что y1(t),..., yn-p(t) cтремятcя к нулю при t   при любом выборе управления u и любых начальных значениях. Так как yi(t) = dix(t), то в cилу (1.3.5) yi (t )  d i e At x0 , j = 1,..., n — p Вcе проcтранcтво предcтавимо в виде прямой cуммы корневых подпроcтранcтв, отвечающих различным cобcтвенным значениям матрицы А, поэтому произвольное начальное уcловие x0 можно разложить по корневым подпроcтранcтвам матрицы А:

23 x 0  V j где Vj — проекция вектора x0 на корневое подпроcтранcтво, отвечающее cобcтвенному значению  j а cлагаемых в cумме cтолько, cколько различных cобcтвенных значений у матрицы А, причем, если ImVi  0 , то сумма содержит V j , а поэтому справа также стоит вещественный вектор. Тогда yi (t )  d i  e AtV j Пусть Vj — корневой вектор высоты kj, тогда из формулы (1.3.6) имеем k 1   t e V j  e V j  tVi1  ...  V jk 1  (k j  1)!   j  jt At j где Vjs — корневой вектор высоты kj — s, соответствующий тому же собственному значению  j . Представим множество индексов j в виде объединения J1  J 2 , где J1 соответствует собственным значениям с Re  j  0 , a J2 остальным собственным значениям. Для j  J1 по условию теоремы вещественные части (а значит и мнимые) корневых векторов лежат в L, поэтому diVjs = 0, следовательно, k 1   t yi (t )   e d i V j  ...  V jk 1  (k j  1)! jJ   j  jt j 2 Так как при j  J1 Re  j  0 , то yi (t )   при t   (i = 1,..., n-p). Выберем теперь управление u(у) = u(Fx) в виде линейной функции от у так, чтобы при yi (t )   при t   i = n – p+1,…, n. Положим n u m ( y)   nj y j  i 1 n  j y j j  n  n 1 где положительные постоянные  j подбираются таким образом, чтобы система

24   y nn 1  y nn  2  ...  n  y    j y j  n j  n  n 1 1 1 1 была асимптотически устойчивой (с любой наперед заданной степенью устойчивости). Аналогично n  n u m1 ( y )   nn j y j   nn m    nj y j  j 1  j 1 1 1 n    j y j   j  n  n1 1  n  n1  y j j j  n  n1  n2 1 где  j подбирается из прежних соображений и т.д. до u1(y) включительно. Таким образом x(t )  F 1 y(t )  0 при t   для любого начального условия х(0) = x0, что завершает доказательство достаточности. Пример 1.3.1 Рассмотрим систему[7,274-280], описываемую уравнениями x1  x1  6 x3  u1  2u2 , x2  2 x2  4 x3  u1  2u2 , x3  4 x3  u2 , x4  2 x4  x5 , x5   x5 .   x 4  2 x4  x5 , Подсистема  неуправляема (независит от x1 , x2 , x3 ),  x   x . 5  5  однако она устойчива т.к.: подсистема задается матрицей    2 1  X    0  1   Найдем  :

25     2 1     (  2)(  1)  0   2  0   1  1, 2  2. => 1, 2  0 , значит подсистема устойчива. Остальная часть системы задается матрицами 1 0 6 12  A   0 2 4  , B  12  , 0 0 4  01     Эта система управляема по критерию Калмана ( rang ( B, AB, A2 B)  3 ). Матрицы данной системы образуют невырожденную пару т. к.: Здесь n=3 и m=2, и поскольку  3  1 Причем q    ; тогда B  Bq   3  ,  1 1    и нетрудно проверить, что  3 9 33  det B , AB , A2 B  det  3 10 36   0.  1 4 16    Введем скалярное управление u такое, что u1=q1u, u2=q2u, или (при q1=1, q2=1) положить обе компоненты управления одинаковыми. В результате управляемая часть системы приобретает вид

26 x1  x1  6 x3  3u, x2  2 x2  4 x3  3u, x3  4 x3  u. Поведение координаты x3 зависит только от управления u2. Причем u2  5x3. Тогда система, замкнутая такой обратной связью, приобретает вид x1  x1  4 x3  u1 , x2  2 x2  6 x3  u1 , x3   x3 . В ней выделилась устойчивая неуправляемая часть, задаваемая координатой x3. Остается стабилизировать лишь управляемую часть с помощью выбора u1. Это возможно, поскольку характеризующая ее пара матриц 1 0  1 a11   , B1    - невырожденная:  0 2  1 1 1  det B1 , a11B1  det    0. 1 2 Зададим собственные числа 1  2  1, матрицы A  A  BK , здесь n=2. Найдем К=(к1 к2). Характеристический многочлен матрицы А равен 0    1 det      1   2    2  2    2   2  3  2  a1  3, a0  1.    2  0 Тогда действуя по алгоритму, получаем: 1.   1    2      1   2  2  1  a1  2, a0  1. 2 2.k1  a0  a0  1  2  1, k2  a1  a1  2  3  5. 3.S   S1S2  , 1 S2  B1    , 1 1   3   2  S1  a11B1  a1B1          .  2   3   1 

27   4.KS  K   k1k2  S1S2   k1k2   2 1    2k1  k2 , k1  k2    1,5    1 1  k1k2   k1  k2  5, 2k1  k2  1. 4 11 k1  , k2  . 3 3 4 11  4 11  => К=(к1,к2)=  ,  , т. е. u1  x1  x2 . 2 3 3 3 

28 Глава II. Стабилизация системы относительно подпространства 2.1. Критерии управляемости линейной системы на подпространство Рассмотрим систему dx  Ax  Bu , dt (2.1.1) где А, В – постоянные вещественные матрицы размеров n  n и n  r соответственно, x - вектор n -мерного пространства En , u - вектор r -мерного пространства Er [3,3-11]. В данном пункте даются необходимые и достаточные условия управляемости системы (2.1.1) на произвольное подпространство пространства En как за свободное, так и за фиксированное время. Определение 2.1.1 Система (2.1.1) называется полностью управляемой на множество G  En за свободное время, если для любой точки x0  En существует число T ( x0 )  0 и заданное на отрезке [0,T ( x0 )] суммируемое управление u (t , x0 ), переводящее согласно системе x  Ax  Bu(t , x0 ) (2.1.2) точку x0 в некоторую точку множества G , то есть для решения x(t ) системы (2.1.2), удовлетворяющего произвольному начальному условию x(0)  x0 , справедливо включение x(T ( x0 ))  G. Определение 2.1.2 Если в определении 2.1.1 оказалось, что для всех x0  En и некоторого T1 справедливо T ( x0 )  T1 , то система (2.1.1) называется полностью управляемой на G за время T1 .

29 Определение 2.1.3 Если для наперед заданного Т и для любой точки x0 существует управление u(t, x0) 0  t  T , переводящее точку x5 в некоторую точку G согласно (2.1.2), то система (2.1.1) называетcя полноcтью управляемой за наперед заданное время Т на множеcтво G. Далее будет показательно, что еcли cистема (2.1.1) полностью управляема за время Т1, то она полностью управляема за наперед заданное время Т. Определение 2.1.4 Множество G  En называется достижимым за свободное время из любой точки x0  En в силу системы x  Ax (2.1.3) если существует время T ( x0 ) такое, что траектория системы (2.1.2), начинающаяся в точке x0 при t  0 , в момент времени T ( x0 ) достигает множества G , то есть x(T ( x0 ))  G. Определение 2.1.5. Множество G называется достижимым за время Т1 (или за наперед заданное время Т) изо всех точек Еп в силу системы (2.1.3), если траектория системы (2.1.3), начинающаяся в точке x0 при t=0, в момент Т1 (в наперед заданный момент времени Т) достигает множества G, т. е. x(T1 )  G ( x(T )  G) . Вспомогательные результаты. Рассмотрим случай, когда определения 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 эквивалентны. Лемма 2.1.1. Если G = 0, то определения 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 эквивалентны. Доказательство. Установим, что из управляемости в смысле определения 2.1.1 следует управляемость в смысле определения 2.1.2. Пусть х1,…,хn – линейно независимые векторы пространства Еn, а ui (t) (i=1,2,…, n) – управления, переводящие соответствующие точки xi в 0 за время Тi = Т(хi). * xTi , тогда управление Обозначим через T  1ma i  n

30  u (t ), 0  t  Ti i   i *  0, Ti  t  T  переводит точку xi в 0 за время Т* (для любого i). Пусть x0 – произвольная точка n из Еn и x0   i xi , тогда из x0 возможно попадание в точку 0 за время Т* с i 1 помощью n u (t )   i i (t ) . управления Таким образом, система (2.1.1) i 1 полностью управляема в смысле определения 2.1.2. Если система управляема в смысле определения 2.1.2, то rank (В, АВ,..., Аn-1В) = n, но тогда система (2.1.1) управляема в смысле определения 2.1.3. Следование из управляемости в смысле определения 2.1.3, управляемости в смысле определений 2.1.2 и 2.1.1 очевидно. Лемма 2.1.2. Если множество G достижимо в силу (2.1.3) за наперед заданное время или за некоторое время Т1, то G = Еn. Доказательство. Так как для любого x0  En справедливо включение e AT x0  G и так как, в силу невырожденности оператора еАТ, справедливо 1 равенство {x : x  e AT x0 , В формулировке подпространство G некоторых используется x0  En }  En критериев понятие управляемости наибольшего на инвариантного подпространства относительно оператора A, содержащегося в G. Следующая лемма дает способ отыскания такого подпространства. Лемма 2.1.3. Пусть подпространство G  En задается равенством G  {x : Hx  0} , где Н — постоянная вещественная матрица, тогда подпространство M  {x : Hx  0, ( HA) x  0,...,( HAn1 ) x  0} является наибольшим подпространством, инвариантным относительно оператора А, содержащимся в G.

31 Доказательство. Пусть x  M . Установим, что Ax M . Имеем: H ( Ax)  ( HA) x  0, HA( Ax)  ( HA2 ) x  0,..., HAn2 ( Ax)  ( HAn1 ) x  0 HAn1 ( Ax)  H ( An x)  H ( 0 An1 x  ...   n2 Ax    n1 x)   0 ( HAn1 ) x  ...   n1 Hx  0 В последнем равенстве использована теорема Гамильтона-Кэли, в силу которой An   0 An1  ...   n2 A   n1 E . Пусть М1 – произвольное подпространство, инвариантное относительно оператора A, принадлежащее G. Покажем, что M 1  M . Если x  M 1 , тогда Ai x  G i  0 в силу инвариантности М1, а так как M 1  G , то HAi 1 x  0 . Следовательно, M 1  M и лемма доказана. Заметим, что степень n – 1 в формулировке леммы можно заменить на степень минимального многочлена матрицы A. Из доказанной теорема об эквивалентности задачи управляемости (в смысле определения 2.1.1 системы (2.1.1) на множество G задаче достижимости в силу системы (2.1.3) более широкого множества L + G. Это утверждение об эквивалентности задач справедливо также и в смысле определения 2.1.2, 2.1.3. Ниже докажем эту теорему. Вначале введем обозначения. Пусть L – подпространство, натянутое на вектор – столбцы матрицы (В, АВ,…, Аn-1В), через подпространство, натянутое на корневые вектор – столбцы K обозначим матрицы A, отвечающие вещественным собственным значениям. Теорема 2.1.1. Система (2.1.1) управляема (в смысле любого из определений 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3) на множество G тогда и только тогда, если множество L + G достижимо (в смысле определения достижимости за свободное время, за некоторое время, соответственно) в силу системы (2.1.3). за наперед заданное время

32 Доказательство. Необходимость. Пусть x0  En . Так как система (2.1.1) управляема на множество G за время Т в смысле любого из определений 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, т. е. время Т представимо либо в виде T(х0), либо существует Т одинаковое для всех х0, либо Т и наперед задано и одинаково для всех х0, то существует управление u(t, x0), заданное на отрезке [0, Т] такое, что x(T )  G , где T x(T )  e x0   e A(T  ) Bu( , x0 )d AT 0 Используя представление e A(T  ) в виде степенного ряда, получаем, что T e вектор A ( T  ) Bu( , x0 )d  L . Поэтому e AT x0  ( L  G) , следовательно, 0 множество L+G достижимо из произвольной точки х0 в силу системы (2.1.3). Достаточность. Так как множество L + G достижимо из точки х0 за время Т, в силу (2.1.3), согласно любому из введенных определении 2.1.4, 2.1.5, то e AT x0  ( L  G) , следовательно, e AT x0  l  g где l  L , g  G . Система (2.1.1) в подпространстве L полностью управляема в смысле определения 2.1.3, тогда, в силу леммы 2.1.1, она управляема и в смысле определений 2.1.2 и 2.1.3. Поэтому существует управление u(t), переводящее точку x0 = 0 в точку х = -l за время T. Следовательно, T x(T )  e x0   e A(T  ) Bu( )d  l  g  l  g AT 0 т. е. x(T )  G . С помощью этой теоремы легко устанавливается справедливость следующего утверждения. Лемма 2.1.4. Если система (2.1.1) полностью управляема за некоторое время Т1 на множество G, то она полностью управляема на множество G и за наперед заданное время Т.

33 Доказательство. В силу теоремы 2.1.1 множество (L + G) достижимо из произвольной точки х0 за время Т1, поэтому e AT x0  ( L  G) . (2.1.4) Зададим произвольное число Т > 0 и установим, что из произвольной точки х1 возможно попасть на L + G, в силу (2.1.3), за это время Т, что будет означать управляемость системы (2.1.1) за наперед заданное время (в силу теоремы 2.1.1. Выберем х0 во включении (2.1.4) в виде x0  e A(T T ) x1 , тогда 1 e AT x1  ( L  G) . В силу доказанной леммы в дальнейшем будем рассматривать управляемость системы (2.1.1) на G за свободное время или за наперед заданное время Т. Обозначим через М матрицу, столбцы которой являются базисом в М, через L{...} будем обозначать линейную оболочку множества векторов, стоящих и фигурных скобках. В следующей теореме устанавливаются критерии достижимости подпространства G  {x : Hx  0} за свободно время в силу (2.1.3). Теорема 2.1.2. Для того чтобы подпространство G было достижимо за свободное время в силу (2.1.3) из любой точки x0  En , необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий: 1) Корневое подпространство K, отвечающее вещественным, собственным значениям оператора A, содержится в G, dim G  n  1 ; 2) не существует собственного вещественному собственному значению, вектора A*, ортогонального отвечающего наибольшему инвариантному подпространству относительно оператора A и содержащемуся в G, dim G  n  1 ; ~ 3) rank ( A  e, M )  n для всех вещественных  , rankH  1 ; 4) L{( A*  E ) n , H * }  L{( A  E ) n } для всех rankH  1; вещественных  ,

34 5)    ( A  E ) n  n rank    rank ( A  E ) H     для всех, вещественных , rankH  1. Доказательство. Наши рассмотрения будем производить в пространстве Сn – комплексном расширении пространства Еn, произвольный элемент которого обозначим через x  iy( x  En , вещественному F  L{x  io, подпространству x  F} F  En y  En ) . Произвольному сопоставим подпространство (линейная оболочка берется в пространстве Сn). Рассмотрим также расширение A вещественного оператора A на комплексное пространство Сn, положив A( x  iy)  Ax  iAy . Подпространству F  En соответствует единственное подпространство F  Cn и любому F  Cn , соответствует единственное подпространство F такое, что L( F )  F . Для нахождения подпространства F и рассматриваем в F векторы вида x  oi , тогда вещественные векторы {x} образуют подпространство F  En . Если F1  F 2 , где F1  En и F2  En , то F1  F2 и обратное, если подпространство F1  L{F1} принадлежит подпространству F2  L{F2 } , то F1  F2 . Поэтому в дальнейшем комплексное расширение F  L{F} подпространства F обозначаем буквой F, а расширение A оператора A будем также обозначать через A. Прежде чем доказывать эквивалентность условий, отметим, что все они содержат условие dim G  n  1 , которое в условиях 3, 4, 5 записано в виде H  rankH *  1. Докажем эквивалентность условий 1 и 2. Прежде всего отметим, что K  G тогда и только тогда, когда K  M . Пусть выполняется условие 1 и пусть  — произвольный собственный вектор оператора A*, отвечающий вещественному собственному значению  . Вектор  ортогонален всем корневым векторам оператора A, отвечающим собственным значениям    (в данном случае    ). В частности, вектор  ортогонален всем корневым

35 векторам оператора A, отвечающим собственному значению  с Im  0 . Если  ортогонален подпространству M, то, так как K  M ,  ортогонален также и всем корневым векторам оператора A, отвечающим вещественным собственным значениям, следовательно, ортогонален всем корневым векторам оператора A, поэтому   0 . Пусть выполняется условие 2. Можно считать, что K  0 , так как в противном случае условие 1 выполняется очевидным образом. В этом случае M  (значок  обозначает ортогональное дополнение к соответствующему множеству в пространстве Cn) не содержит ни одного собственного вектора оператора A*, отвечающего вещественному собственному значению. Тогда не существует в M  и корневых векторов оператора A* высоты больше 1, отвечающих вещественным собственным значениям. Действительно, пусть   M  – корневой вектор высоты m, отвечающий вещественному значению  . Тогда   ( A*  E ) m1 – собственный вектор оператора A*. Имеем для любого вектора   M : (, )  (( A*  E ) m1 , )  ( , ( A  E ) m1 ) Вектор ( A  E ) m1  M , так как M инвариантно относительно оператора A. Поэтому (, )  0 , т. е.   M  , что противоречит условию 2. Следовательно, канонический базис пространства M  состоит из корневых векторов оператора A*, отвечающих только вещественным собственным значениям  . Поэтому M содержит все корневые векторы оператора A*, отвечающие вещественным собственным значениям. Докажем теперь эквивалентность условий 2 и 3. Пусть выполняется условие 2, но условие 3 не выполняется, т. е. существует вещественное число ~ 0 такое, что ( A  0 E, M )  n . В этом случае существует вектор   0 , ~ ортогональный столбцам матрицы ( A  0 E, M ) , т. е. ~  * ( A  0 E )  0 ,  * M  0

36 ( * – транспонированный вектор  ). Но тогда ( A*  0 E )  0 , т. е. существует собственный вектор  матрицы A*, отвечающий вещественному собственному значению, ортогональный подпространству M, что противоречит 2. Пусть теперь выполняется условие 3, а условие 2 не выполняется, т. е. ~ существует вектор   0 такой, что A*  0 ,  * M  0 , где 0 – вещественно. ~ Тогда  * ( A  0 E, M )  0 , что означает невыполнение условия 3. Эквивалентность условий 1 и 4. Если вещественное число  не является собственным значением оператора A, то условие 4 выполняется очевидным образом. Пусть 1 ,…, s все вещественные собственные значения оператора A, s тогда K   K i , где K i  {x : ( A  i E ) n x  0} . Пусть условие 4 выполняется. Так i 1 как линейная оболочка столбцов матрицы образует подпространство K i , то условие 4 означает, что K i  G  . Но тогда K i  G , i=1,2,..., s, т. е. K  G , а так как из того, что rankH *  1, следует, что dim G  n  1 , то условие 1 выполнено. Если же выполняется условие 1, т.е. K  G , то, так как K i  G , K i  G  , что означает выполнение условия 4.    ( A  E ) n  Условие 5 означает, что строки матрицы   принадлежат H     линейной оболочке строк матрицы ( A  E ) n , т.е. условие 5 лишь иная форма записи условия 4, но более удобная в конкретных проверках свойств управляемости. Основные результаты. Вернемся теперь к задаче управляемости системы (2.1.1) на подпространство F  En . Рассмотрим подпространство G  F  L . Пусть подпространство G задается равенством G  {x : Hx  0} , H – матрица}, через M обозначим, как и ранее, наибольшее инвариантное

37 ~ подпространстве, но содержащееся теперь уже в G  F  L пусть M 1 – матрица, столбцы которой являются базисом в M. Из теорем 2.1.1 и 2.1.2 следуют критерии управляемости системы (2.1.1) за свободное время, содержащиеся в следующей теореме. Теорема 2.1.3. Для того чтобы система (2.1.1) была управляемой на подпространство F за свободное время, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий: 1) корневое подпространство собственным, значениям оператора K, отвечающее вещественным A, содержится в G  F  L, dim( F  L)  n  1; 2) не существует вещественного собственного вектора ортогонального относительно M – наибольшему оператора A и оператора A*, инвариантному подпространству содержащемуся в (F + L), причем dim( F  L)  n  1; 3) rank ( A  E, M 1 )  n для всех вещественных  и rankH  1 ; 4) L{( A*  E ) n , H * }  L{( A*  E ) n } для всех вещественных  и rankH *  1;    ( A  E ) n  n 5) rank    rank ( A  E ) для всех вещественных  . H     Замечание. Очевидно, что условия 4, 5 теорем 2.1.2, 2.1.3 выполняются, если  не является собственным значением оператора A. Если  является собственным значением кратности q, то в условиях 4, 5 можно n заменить на q. Из теоремы 2.1.1 и леммы 2.1.2 следует критерий управляемости системы (2.1.1) за наперед заданное время T на произвольное множество G. Теорема 2.1.4. Для того чтобы система (2.1.1) была управляемой на произвольное множество G за наперед заданное время, необходимо и достаточно, чтобы

38 L  G  En . (2.1.5) В случае, если G – подпространство, известен критерий управляемости системы (2.1.1) за наперед заданное время T. Пусть G задается равенством {x : Hx  0 , H – вещественная матрица}, тогда этот критерий формулируется следующим образом. Для того чтобы система (2.1.1) была управляемой на подпространство G  {x : Hx  0} , необходимо и достаточно, чтобы rank ( HB, HAB,...,HAn1 B)  rankH (2.1.6) Установим непосредственно эквивалентность критерия (2.1.5) в случае, если G – подпространство, и критерия (2.1.6). Не ограничивая общности, будем считать строки матрицы H линейно независимыми, обозначим их через h1, h2,…, hm, столбцы матрицы ( B, AB,...,An1 B) обозначим через l1, l2,…, lp. Тогда матрица ( HB, HAB,...,HAn1 B) имеет вид    h1l1 ... h1l p    Q  ( HB, HAB,..,HA n1 B)   ... ... ...   h l ... h l  m p   m1   (2.1.7) Пусть условие (2.1.5) выполняется, докажем тогда справедливость условия (2.1.6). Предположим противное. Тогда rankQ  m . Так как в этом случае строки матрицы Q линейно зависимы, то существуют числа α1, α2,..., αm, удовлетворяющие условию m  i 1 2 i  0 такие, что m     h  i i  i 1 l1  0 , j=1, 2,…, p.     В силу линейной независимости вектор – строк (2.1.8) h1, h2,…, hm будет m отлична от нуля и вектор – строка f   i hi . Равенство (2.1.8) означает, что i 1 подпространство L принадлежит подпространству N  {x : fx  0} .

39 Подпространство N  En и содержит также подпространство G, так как если m x  G , то hix = 0, но тогда fx   i hi x  0 . Полученные включения G  N , i 1 L  N противоречат тому, что G  L  En . Пусть теперь выполняется условие (2.1.6). Предположим, что условие (2.1.5) не выполняется, т. е. G  L  En . Тогда существует вектор f  0 такой, m что f  ( L  G  ) . Так как f G  , то f *   i hi (f* – вектор – строка , hi – i r вектор – строки матрицы H), а так как f  L , то m    f li    i hi l1  0 , j=1, 2,…, p.  i 1    * Последнее равенство означает линейную зависимость строк матрицы (2.1.7), следовательно, ранг этой матрицы меньше m, что противоречит предположению.

40 2.2. Критерий стабилизации системы относительно подпространства Рассмотрим систему dx = Ax  Bu , dt (2.2.1) где A, B – постоянные вещественные матрицы размером n  n и n  r соответственно; x – вектор n – мерного пространства En ; u – вектор r – мерного пространства Er [4,114-123]. Зададим подпространство G равенством G  x : Hx  0 , где H – постоянная матрица. Определение 2.2.1 Систему (2.2.1) назовем стабилизируемой относительно подпространства G , если существует такое линейно зависящее от x управление u  Qx ( Q - постоянная матрица размера r  n ), что Hx(t )   0 , где x(t ) - любое решение системы t  dx  Ax  BQx . dt Пусть L – подпространство, натянутое на вектор – столбцы матрицы  B, AB,..., A n1 B  . Так как L инвариантно относительно A, то ортогональное дополнение L инвариантно относительно A* . Введем в L канонический базис из вещественных частей собственных и корневых векторов A* . Определение 2.2.2 Корневым вектором линейного преобразования A, действующим в пространстве L над полем K, для данного собственного значения   K называется такой ненулевой вектор x  L , что для некоторого натурального числа m ( A   E )m x  0

41 Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ( A   E )m1 x  0 ), то m называется высотой корневого вектора x. Тогда L можно представить в виде L  K   K  , где K подпространство, определяемое вещественными частями корневых векторов матрицы A* из L , отвечающих собственным значениям  с Re   0 , а K  – подпространство, определяемое вещественными частями корневых векторов матрицы A* из L , отвечающих собственным значениям  с Re   0 . Соответственно En  K   K   L разложению любой вектор g разлагается в сумму g  g   g   g L . Если обозначить g M  g   g L , то любой вектор g можно также представить в виде g  g  gM (2.2.2) Докажем предварительно три леммы. Лемма 2.2.1: Для произвольных – вектора g  , управления начального условия решение x0 x(t ) системы (2.2.1) u ( x) и удовлетворяет соотношению ( g  , x(t ))  0 . t  Доказательство. Вектор g  может быть записан в виде разложения по корневым векторам матрицы A* : g   Re k , где  k - корневой вектор высоты k mk , отвечающий собственному значению k с Re k  0 . Если обозначить u ( x(t )) через  (t ) , то справедлива формула t x(t )  e x0   e A(t  ) B ( )d At 0 Пусть bi – столбцы матрицы B . Имеем t r ( g , x(t ))  ( g , e x0 )    ( g , e   At 0 i 1  n bi ) i ( ) ( X i  X ) 2d . A( t  ) i 1

42 Так как e A(t  )bi  L , g   L , то интеграл равен нулю. Тогда ( g  , x(t ))  (e A t g  , x0 ) . * Вычислим A*t  e k : e k  e e A*t kt m 1 t k tj tj * j k  k  e  ( A  k E ) k  e  ( A  k E ) k j! j! j 0 j 0  ( A* k E ) t  kt * j (здесь использовано то, что для корневого вектора высоты mk ( A*  k E )mk k  0 ). mk 1 tj * Таким образом, e g  Re  e  ( A  k E ) jk , откуда k j 0 j ! A*t   kt в силу Re k  0 вытекает утверждение леммы. Лемма 2.2.2: Если g   0 , то существует начальное условие x0 такое что, решение x(t ) системы (2.2.1) с произвольным управлением u ( x) удовлетворяет соотношению  g  , x(t )   0 . t  Доказательство. Так как g   L , предыдущей леммы, g  то,  как и в доказательстве  , x(t )    g  , e At x0   e A t g  , x0 . * Поскольку g разлагается по корневым векторам A* , то e A t g  представим в виде линейной * комбинации функций вида et t   Re   0  с векторными коэффициентами, причем в силу g   0 один из этих коэффициентов (обозначим его f 0 ) отличен от нуля. Если f 0 – вещественный, то в качестве x0 выберем вектор, не ортогональный f 0 и ортогональный всем остальным коэффициентам. Если f 0 – комплексный, то в разложение обязательно войдет член f0et t  . В этом случае в качестве x0 достаточно взять вещественный вектор, не ортогональный f 0 (тогда он также не ортогонален слагаемым. f 0 ) и ортогональный всем остальным

43 В e A*t первом случае e A*t  g  , x0  et t   f 0, x0     0 , во втором  g  , x0  2Re(et t   f 0, x0 )  2t  eRe t Re  f 0, x0  cos Im t  Im  f 0, x0  sin Im t  .   Таким образом, в обоих случаях  g  , x(t )   e A t g  , x0  0 . t  * Лемма 2.2.3: Если система (2.2.1) стабилизируема относительно подпространства x : ( g , t )  0  B, AB,..., A B  , j 1 матрицы и если вектор g ортогонален всем столбцам то стабилизирующим управлением A  i  0,1,..., j  . *i g , x(t )   0 t  любое u  Qx решение системы удовлетворяет (2.2.1) со соотношениям Доказательство. Так как при выборе управления u  Qx система (2.2.1) превращается в однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то ее общее решение выражается через экспоненты e it , 0 ,  g , x(t )   t  умноженные на полиномы от t. Поэтому, эта функция содержит только убывающие если экспоненты, значит, все ее производные также стремятся к нулю. Следовательно, d ( g , x)  ( g , Ax  BQx)  ( g , Ax)  ( A* g , x)   0; t  dt d * ( A g , x)  ( A* g , Ax  BQx)  ( A*2 g , x)  ( g , ABQx)  ( A*2 g , x)   0; t  dt .................................................................................................................. d * j 1 ( A g , x)  ( A* j g , x)  ( g , A j 1BQx)  ( A* j g , x)   0. t  dt Сформулируем и докажем теорему о необходимом и достаточном условии стабилизируемости для случая одномерного управления u (при этом матрица B заменится вектором b).

44 Пусть запись D  Z , где D – матрица, а Z – подпространство, обозначает, что все столбцы матрицы D принадлежат подпространству Z ; запись Z a, b,... обозначает линейную оболочку векторов a, b,... Теорема 2.2.1: Для стабилизируемости системы dx  Ax  Bu dt относительно подпространства G  {x : Hx  0} необходимо и достаточно, чтобы либо H *  K  , либо существовали вектор c и неотрицательное число j такие, что H *  Lc, A*c,..., A* j c  K  , причем  c, Ak b   0  0  k  j . c, A jb   0. Доказательство. Необходимость. Предположим что, система (2.2.1) стабилизируема относительно подпространства G  {x : Hx  0} управлением u  Qx . Если H *  K  , то необходимость доказана. Пусть теперь H *  K  . Обозначим столбцы матрицы H * через hi . Рассмотрим полученные в соответствии с обозначением (2.2.2) векторы hiM . Пусть q – максимальное число линейно независимых векторов системы hiM  . Очевидно, q  1 . Не нарушая общности, будем считать, что векторы h1 ,..., hq линейно независимы. Обозначим H *(1)  (h1M , h2M ,..., hqM ) . Докажем, что существуют постоянные i (1  i  q) , не равные нулю одновременно, такие, что для некоторого j  q  1 вектор q c   i hiM i 1 удовлетворяют следующим соотношениям: q (c, b)   i (hiM , b)  0 , i 1 q (c, Ab)   i (hiM , Ab)  0 , i 1 ................................................... (2.2.3)

45 q (c, A j 1b)   i (hiM , A j 1b)  0 , i 1 q (c, A b)   i (hiM , A jb)  0 . (2.2.3) j i 1 Действительно, при j  q  1 система (2.2.3) имеет нетривиальное решение, как однородная линейная система q  1 уравнений с q неизвестными, т. е. существует ненулевой вектор c , удовлетворяющий системе (2.2.3) . Если при данном j удовлетворяется соотношение (2.2.3) , то нужный вектор построен. В противном случае вектор c удовлетворяет системе (2.2.3) при j  q . Если соотношение (2.2.3) удовлетворяется, то вектор c удовлетворяет нужным требованиям при j  q . В противном случае снова увеличиваем j на единицу и повторяем рассуждения. Докажем, что при некотором jn вектор c удовлетворяет соотношению (2.2.3) . Предположим противное, т. е. вектор c ортогонален b, Ab,..., An1b, следовательно, c  L . При этом по построению c   0 . Таким образом, c  c   0 .Поэтому по лемме 2.2.2 при произвольном управлении u ( x) 0 . найдется x0 такое, что  c, x(t )   t  q  q   q   q  M  Но   i hi , x(t )    i hi  i hi , x(t )   (c, x(t ))   i hi , x(t ) . i 1  i 1   i 1   i 1  И так как второе слагаемое по лемме 2.2.1 стремится к нулю, то q 0  (h , x(t ))  i 1 i i t  при любом управлении u ( x) , что противоречит стабилизируемости системы. Итак, требуемый вектор c построен. Возможны два случая: 1. H *(1)  Lc M ,( A*c ) M ,...,( A* j c ) M  . В этом случае H *  Lc, A*c,..., A* j c  K  , (2.2.4)

46 и доказательство необходимости закончено. Действительно, возьмем любой вектор hi . Тогда hiM  Lc M ,( A*c ) M ,...,( A* j c ) M  , т. е. hiM    ki ( A*k c ) M . j k 0 Имеем hi  h  hi    ( A c )  hi    ( A c )   ki ( A*k c )  hi  L c, A*c,..., A* jc  K  j M i j k 0 i k *k j M i k k 0 *k k 0 . 2. H *(1)  Lc M ,( A*c ) M ,...,( A* j c ) M  . (2.2.5) . В этом случае рассмотрим матрицу H *(2)   H *(1)c M ,( A*c ),...,( A* j c ) M  . Докажем, что ранг этой матрицы, который обозначим через q2 , больше или c ,...,  A M q  1 .Для этого достаточно доказать, что равен  *j M   A c  j линейно независимы. Пусть *k M k k 0 j  1 векторов  0 . Умножим это равенство скалярно на вектор b : j j j k 0 k 0 k 0 0   k (( A*k c ) M , b)   k ( A*k c, b)   k (( A*k c )  , b) . Так как ( A*k  c )  L , а b  L , то   A j *k k 0 k c, b   0 Пользуясь(2.2.3), получаем  j  A* j c, b   0 , а, . используя (2.2.3) , получаем  j  0 . j 1 Умножим равенство   A c  *k k 0 j 1 k M  0 на вектор Ab . Как и выше, j 1 получим 0   k ( A*k c  , Ab)  ( A*k c, Ab) k  j 1 ( A* j c, b) , откуда  j 1  0 . k 0 M k 0 Продолжая этот процесс, получим, что все коэффициенты  k равны нулю. Таким образом, в силу (2.2.5) ранг H *(2) больше или равен j  2  q  1.

47 Докажем, что для любого столбца hi(2) матрицы H *(2) и любого решения x(t ) системы (2.2.1) со стабилизирующим управлением u  Qx(hi(2) , x(t ))  0 . t  Для столбцов матрицы H *(1) это следует из условия стабилизируемости и леммы 2.2.1: (hi(1) , x(t ))  (hiM , x(t ))  (hi , x(t ))  (hi , x(t ))  0 . t  Таким образом, система (2.2.1) стабилизируема на подпространство {x : (c, x)  0} тем же управлением u  Qx . Следовательно, по лемме 2.2.3 ( A*k c, x(t ))  0 (k  0,1,..., j) . t  Окончательно имеем (( A*k c)M , x(t ))  ( A*k c) M , x(t ))  (( A*k c)  , x(t ))  0 . t  Повторяя все рассуждения, относящиеся к матрице H *(1) применительно к матрице H *(2) , получим, что либо при некотором векторе c2 и числе j2 выполнено соотношение H *(2)  L{c2M ,( A*c2 )M ,...,( A* j2 c2 ) M } , H *  L{c2 , A*c2 ,..., A* j2 c2}  K  , либо можно построить матрицу т.е. H *(3) , ранг которой не меньше q2  1  q  2 : H *(3)  ( H *(2) , c2M ,( A*c2 ) M ,...,( A* j2 c2 ) M ). Этот процесс построения матриц H *( k ) с увеличивающимся рангом должен обязательно оборваться на соотношении типа (2.2.4), так как ранг любой системы n – мерных векторов не превышает n . Достаточность. Пусть существует вектор c и число j такие, что H *  L{c, A*c,..., A* j c}  K  , (c, Ak b)  0,(0  k  j ),(c, A jb)  0 . Введем переменные ym (1  m  j  1) следующим ym  ( A*m1c, x)  (c, Am1x). Тогда y1  (c, x)  (c, Ax  bu)  (c, Ax)  y2 , образом:

48 y2  (c, Ax)  (c, A2 x  Abu)  (c, A2 x)  y , ..................................................................... , y j  (c, A j 1x)  (c, A j x  A j 1bu )  (c, A j x)  y j 1 , y j 1  (c, A j x)  (c, A j 1x  A jbu )  (c, A j 1x)  (c, A jb)u . Выбирая u j 1 j 1   1  1  j 1 m1 j 1  ( c , A x )   ( c , A x )   ( c , A x )   m ym  ,   m    j j (c, A b)  m1 m1  (c, A b)   (2.2.6) где положительные постоянные  m подобраны так, чтобы система j 1 y1  y2 , y2  y3 ,..., y j  y j 1 , y j 1    m ym m1 имела только экспоненциально убывающие решения. По предположению для любого i существуют постоянные  m и вектор j 1 q  K такие, что hi    mi A*m1c  gi .  i  m1 Поэтому при управлении задаваемой формулой (2.2.6) для любого j 1 0 при решения системы (2.2.1) получим (hi , x(t ))    mi ym (t )  ( gi , x(t ))  t  m1 любом начальном условии x0 . Действительно, первое слагаемое стремится к нулю по выбору управления u ( x) , а стремление к нулю второго слагаемого вытекает из леммы 2.2.1. Если H *  K  , то стабилизируемость системы (2.2.1) относительно подпространства G  {x : Hx  0} также следует из леммы 2.2.1. Приведем алгоритм, позволяющий проверить возможность стабилизации и, если стабилизация возможна, построить вектор c , найти число j и дать явный вид стабилизирующего управления u  Qx . Пусть rankH  l . Напомним, что через hi обозначены столбцы матрицы H * , и, не нарушая общности, будем считать векторы независимыми. h1, h2 ,..., hl линейно

49 Алгоритм проверки возможности стабилизации системы. 1.Находим базис K  . 2.Вычисляем r  rank ( Hb, HAb,..., HAn1b) . Рассмотрим систему уравнений относительно i  i  1,2,..., l  : ( , b)  ( , Ab)  ...  ( , An1b)  0 , l где    i hi . Обозначим через 1,2 ,...,l r линейно независимые i 1 решения этой системы. Если хоть один из этих векторов не принадлежит K  , то стабилизация относительно подпространства G невозможна. 3.Пусть все  j  K  (если при этом r  0 ,то H *  K  и есть стабилизация при любом выборе управления u ( x) , например при u( x)  0 ). Дополним систему 1,2 ,...,l r векторами hi , hi ,..., hi 1 2 r до базиса в * линейной оболочке L(h1,..., hl ) . Обозначим через H (1) матрицу (hi1 , hi2 ,..., hir ) . 4.Рассмотрим систему уравнений относительно a1, a2 ,..., ar ; (c, b)  (c, Ab)  ...  (c, A j 1b)  0 , (2.2.7) где r c   ak hik , k 1 а j таково, что ранг системы (2.2.7) равен r  1, в то время как ранг системы, полученной из (2.2.7) заменой j на j  1 равен r . При этом j  r  1 и (c, A j b)  0 . 5.Проверяем, выполнено ли включение * H (1)  L{c, A*c,..., A* j c}  K  . (2.2.8) Если (2.2.8) имеет место, то стабилизация возможна. Для построения стабилизирующего управления выберем такие постоянные  i  i  1,2,..., j  1 ,

50 чтобы уравнение относительно  j 1   1 j  ...   j 1  0 имело все корни  такие, что Re   0 . Управление u ( x) задаем формулой j 1  1  j 1 m1 u  ( c , A x )   ( c , A x )  m . (c, A jb)  m1  6.Если включение (2.2.8) (2.2.9) не имеет места, то строим матрицу * * H (2)  ( H (1) , c, A*c,..., A* j c) . Если число r2  rank ( H (2)b, H (2) Ab,..., H (2) An1b) равно r , то стабилизация возможна. Если r2  r  1,то, заменяя H на H (2) , переходим к пункту 2 и повторяем дальнейшие построения. В силу того, что rk (если данный процесс дойдет до построения матрицы H ( k ) ) не может неограниченно увеличиваться (r  n) , то на некотором обращении к пунктам 2-6 обнаружится невозможность стабилизации, или выполнится включение типа (2.2.8). В этом случае стабилизирующее управление определяется формулой (2.2.9).

51 2.3 Примеры стабилизации систем относительно подпространства Пример 2.3.1 Рассмотрим линейную управляемую систему  x1  2 x1  x2  u,   x2  3x1  2 x2  u. (2.3.1)  2 1   1 В нашем случае: A   , b    1 .  3 2     2 Зададим матрицу H   2,1 . Тогда rankH  l  1, h1    – столбец 1  матрицы H * . 1. Собственные значения матрицы A*   E  1, соответствующие им собственные вектора (-1,1) и (-3,3). Тогда базис K   (1,1). 2. r  rank ( Hb, HAb)  rank (3,3)  1. Обозначим,   1h1. Система уравнений относительно 1 : ( , b)  ( , Ab)  0 имеет вид 31  0, 31  0. Решение этой системы 1  0.  2 *  h1    . 3. Матрица H (1) 1  4. Обозначим c  1h1.

52 Уравнение относительно 1 : (c, b)  31  0 возьмем в виде (c,b)=3, откуда 1  1, c  h1, j  0. * 5. Так как H (1)  L(c, A*c)  K   R 2 , то стабилизация возможна. Для построения стабилизирующего управления выберем постоянные  1 , чтобы уравнение относительно  :    1  0 имело корни  такие, что Re   0. Пусть  1  1. Тогда управление имеет вид: u ( x)  1 1 [(c, Ax)   1 (c, x)]  (9 x1  3x2 ). (c, b) 3 Следовательно, матрица Q имеет вид Q = (-3,1). Подставим полученное управление в систему (2.3.1). Тогда система x  ( A  bQ) x имеет вид:  x1   x1 ,   x2   x2 .   x1  x10et ,  Общее решение которой:    , где x10  x1 (0), x20  x2 (0). 0  t  x  x e  2  2  Тогда Hx  et (2 x10  x20 )  0 при t  . Пример 2.3.2 Рассмотрим линейную управляемую систему  x1   x1  x2  u ,   x2   x2  x3 ,  x  x  x  u.  3 1 2 (2.3.2)  1 1 0  1    В нашем случае: A   0 1 1  , b   0  .  1 1 0 1       2 Зададим матрицу H   2,0,1 . Тогда rankH  l  1, h1   0  – столбец 1    матрицы H * .

53 1. Собственные значения матрицы A*   E  (2,0,0), соответствующие им собственные вектора (1,2,-1), (1,1,2),(2,2,4). Тогда базис K   (1,2, 1). 2. r  rank ( Hb, HAb, HA2b)  rank (3, 1,0)  1. Обозначим,   1h1. Система уравнений относительно 1 : ( , b)  ( , Ab)  ( , A2b)  0 имеет вид 31  0, 1  0. Решение этой системы 1  0. * 3. Матрица H (1)  2  h1   0  . 1    4. Обозначим c  1h1. Уравнение относительно 1 : (c, b)  31  0 возьмем в виде (c,b)=3, откуда 1  1, c  h1, j  0. * 5. Так как H (1)  L(c, A*c)  K   R 2 , то стабилизация возможна. Для построения стабилизирующего управления выберем постоянные  1 , чтобы уравнение относительно  :    1  0 имело корни  такие, что Re   0. Пусть  1  1. Тогда управление имеет вид: u ( x)  1 1 [(c, Ax)   1 (c, x)]  ( x1 ). (c, b) 3 1 Следовательно, матрица Q имеет вид Q  ( ,0,0) . 3 Подставим полученное управление в систему (2.3.2). Тогда система x  ( A  bQ) x имеет вид:

54 4  x   x1  x2 , 1  3   x2   x2  x3 ,  2  x3  x1  x2 . 3  Общее решение которой:  3 2t 3( 13  5)  136 1t 3( 13  5) c2e  c3e  x1   c1e  2 13  4 13  4  13 1 13 1   t t 2 t 6  6c3e 6 ,  x2  c1e  6c2e  13 1 13 1  x  c e 2t  ( 13  5)c e  6 t  ( 13  5)c e 6 t 2 3  3 1  13 1 t 6 ,  0 3 3( 13  5) 3( 13  5) c2  c3 ,  x1   c1  2 13  4 13  4   x20  c1  6c2  6c3 ,   x30  c1  ( 13  5)c2  ( 13  5)c3 .   c1  0,16 x10  1,01x20  0,78 x30 ,  0 0 0 c2  0,05 x1  0,08 x2  0,14 x3 , c  0,07 x 0  0,09 x 0  0,02 x 0 . 1 2 3  3 13 1 13 1   t t 2 t 0 0 0 0 0 0 6 (0,53 x1  0,85 x2  1, 49 x3 )  e 6 (0, 74 x10  0,96 x20  0,11x30 ),  x1  e (1,52 x2  0, 24 x1  1,17 x3 )  e  13 1 13 1  t t  2 t 0 0 0 0 0 0 6 6 x  e (1, 01 x  0,16 x  0, 78 x )  e (0, 48 x  0,3 x  0,84 x )  e (0, 42 x10  0,54 x20  0,12 x30 ),  2 2 1 3 2 1 3  13 1 13 1  x  e2t (0,16 x 0  1, 01x 0  0, 78 x 0 )  e  6 t (0,11x 0  0, 07 x 0  0,19 x 0 )  e 6 t (0,13 x 0  0,1x 0  0, 03 x 0 ). 1 2 3 2 1 3 2 1 3  3  где x10  x1 (0), x20  x2 (0), x30  x3 (0). Тогда Hx  e2t (2, 03x20  0,32 x10  1,56 x30 )  e , при t  .  13 1 t 6 (0,99 x10  1,59 x20  2, 79 x30 )  e 13 1 t 6 (1,38 x10 1, 79 x20  0,19x30 )  0

55 Список литературы: 1. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Изд-во «Высшая школа»,2001 г. 2. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Изд-во «Мир», 1677 г. 3. Коробов В.И.//Критерии управляемости линейной системы на подпространство//Вестник Харьковского университета// №221, выпуск 46, 1981г. 4. Коробов В.И., Луценко А.В., Подольский Е.Н.//Стабилизация линейной автономной системы относительно подпространства// 1975 г. 5. Коробов В.И. Связь между управляемостью и устойчивостью в задачах управления для линейных систем. Полная управляемость линейных систем без ограничений на управление. Рукопись книги. 6. Ли Э.Б., Л. Маркус. Основы теории оптимального управления. М.: Изд-во «Наука», 1972 г. 7. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Изд-во «Наука», 1986 г.

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв