Диффузиофоретическое движение крупных испаряющихся капель с однородным внутренним тепловыделением

Шостак Ю.И.

Диффузиофоретическое движение крупных испаряющихся капель с однородным внутренним тепловыделением

03.03.02 Физика

Физика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b8886ad7966e1073081b8ea

UUID: ba02c150-8edf-0136-b7ad-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 5 лет назад

Просмотры: 1

Шостак Ю.И.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 293,2 КБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (НИУ "БелГУ") ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ДИФФУЗИОФОРЕТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КРУПНЫХ ИСПАРЯЮЩИХСЯ КАПЕЛЬ С ОДНОРОДНЫМ ВНУТРЕННИМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ Выпускная квалификационная работа обучающегося по направлению подготовки 03.03.02 Физика очной формы обучения, группы 07001310 Шостак Юлии Ивановны Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Малай Н.В. Белгород 2017 1

СОДЕРЖАНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия ..............................................................................6 II. Решение уравнений теплопроводности и диффузии . . . . . . . . . . . . 12 III. Решение уравнений гидродинамики. Нахождение полей скорости и давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV. Вывод выражения для силы и скорости диффузиофореза крупной испаряющейся капли сферической формы. Анализ полученных результатов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2

ВВЕДЕНИЕ Актуальность исследования. В многокомпонентных газах с неоднородным распределением температуры и концентраций возникает упорядоченное движение частиц, обусловленное действием сил молекулярной природы. Их появление вызвано передачей не скомпенсированного импульса частицам молекулами газообразной среды. В частности, движение частиц относительно центра инерции неоднородной по составу газовой смеси при наличии градиентов относительных концентраций ее компонентов называется диффузиофоретическим. Скорость, которую приобретают частицы, когда сила вязкого сопротивления среды уравновешивает диффузиофоретическую, называется скоростью диффузиофореза. Диффузиофоретическое движение происходит в каналах тепло- и массообменников, химических реакторов, зонах просветления облаков и туманов, окрестности вымывающих частицы капель, в устройствах, предназначенных для улавливания аэрозольных частиц и нанесения тонких покрытий [1,2]. В связи с этим значительный научный и практический интерес представляет вывод формул, позволяющих оценивать скорость диффузиофоретического переноса частиц. В опубликованных до настоящего времени работах по теории диффузиофореза аэрозольных частиц сферической формы рассматривался диффузиофорез как при малых, так и значительных относительных перепадах температуры [3]. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней температурой поверхности частицы TiS и температурой вдали от нее T∞ к последней. Относительный перепад температуры считается TiS − T∞ 1, и значительмалым, если имеет место следующее неравенство T∞ TiS − T∞ ным в противном случае, т.е. ∼ 0(1). T∞ В физике аэродисперсных систем классификацию частиц по размерам проводят из сравнения характерных размеров частицы (R) со средней длиной свободного пробега молекул газа (λ). Для классификации частиц по размерам λ применяют критерий Кнудсена: Kn = . Частицы называются крупными, R если Kn ≤ 0, 01 и умеренно крупными при 0, 01 ≤ Kn ≤ 0, 3. Если на поверхности частицы происходит испарение (сублимация) или конденсация образующего их вещества, то такие частицы называют летучими. В случае отсутствия фазового перехода на поверхности частиц их называют нелетучими. В дипломной работе рассматривается влияние нагрева поверхности на 3

диффузиофорез крупных испаряющихся капель, за счет внутренних источников тепла, однородно распределенные в их объеме при малых относительных перепадах температуры. В этом случае коэффициенты молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности и диффузии) можно считать зависящими от средней температуры поверхности капли, а газ рассматривать как несжимаемую среду. Тема исследования. Диффузиофоретическое движения крупной испаряющейся капли. Объектом исследования является изучение явления диффузиофореза в газообразной среде. Предметом исследования: влияние нагрева поверхности на диффузиофорез крупных испаряющихся капель, за счет внутренних источников тепла, однородно распределенные в их объеме при малых относительных перепадах температуры. Цель исследования – получить аналитические выражения для диффузиофоретической силы, действующей на крупную испаряющуюся каплю сферической формы и скорости ее диффузиофореза, с учетом внутренних источников тепла, однородно распределенные в ее объеме при малых относительных перепадах температуры. Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи исследования: — изучить математические методы решения дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных в сферической системе координат; — решить уравнения теплопроводности, диффузии и систему уравнений Навье-Стокса с соответствующими граничными условиями; — получить аналитические выражения для диффузиофоретической силы, действующей на крупную испаряющуюся каплю сферической формы и скорости ее диффузиофореза, с учетом внутренних источников тепла, однородно распределенные в ее объеме при малых относительных перепадах температуры; — провести качественный анализ влияния нагрева поверхности на силу и скорость диффузиофореза. Научная новизна исследования. В дипломной работе изучается влияние средней температуры поверхности частицы незначительно отличающейся от 4

температуры окружающей ее бинарной газовой смеси на диффузиофорез крупной летучей капли. Практическая значимость исследования заключается в том, что его материалы и выводы дополняют и углубляют исследования по данной проблеме и могут быть использованы при разработке общих курсов и факультативов по экологическим вопросам для школ, гимназий, лицеев. Апробация исследования. Основные результаты докладывались на Международной научно-практической и научно-методической конференцию профессорского и преподавательского состава и аспирантов «Современные проблемы математики и механики» (г. Белгород, БУКЭП, 3 апреля 2017 г.). Структура работы. Дипломная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. 5

Глава I. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия Рассмотрим сферическую испаряющуюся каплю радиуса R, взвешенную в неоднородной по концентрации бинарной газовой смеси с температурой T e , плотностью ρe , теплопроводностью λe и вязкостью µe при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности. Внутри капли действуют однородно (равномерно) распределенные в ее объеме тепловые источники плотность qi .Наличие источников тепла внутри капли приводит к тому, что средняя температура поверхности испаряющейся капли незначительно отличается от температуры окружающей ее газообразной среды. Нагрев поверхности капли может происходить, например, за счет поглощения электромагнитного излучения. Внутренние источники тепла - это модельное представление, удобное для описания реальных процессов, сопровождающихся выделением тепла в объеме испаряющейся капли. Однородный нагрев поверхности капли вызывает, с одной стороны, усиление испарения, что сказывается на процессе теплообмена и массообмена между каплей и окружающей средой и так называемого реактивного эффекта; с другой стороны, влияет на величину теплового и диффузионного скольжения, а также и на термокапиллярный дрейф, связанный с возникновением касательных напряжений на поверхности капли за счет изменения коэффициента поверхностного натяжения σ с температурой Ti (эффект Марангони). Все это важно как при теоретическом описании движения испаряющейся капли, так и для практических приложений. Таким образом, с помощью внутренних источников тепла мы можем влиять на величину силы и скорости диффузиофореза. С помощью внешних источников в объеме бинарной газовой смеси поддерживается постоянный малый градиент относительных концентраций ее компонентов, которые мы обозначим, соответственно, ∇C1∞ и ∇C2∞ . Здесь n2 n1 C 1 = , C 2 = , C 1 + C 2 = 1, ne = n1 + n2 - полное количество молекул в ne ne единице объема, ρe = ρ1 + ρ2 - плотность бинарной газовой смеси, ρ1 = n1 m1 , ρ2 = n2 m2 , где n1 , m1 и n2 , m2 - соответственно, концентрация и масса молекул первого и второго компонента бинарной газовой смеси. Вещество, из которого состоит капля, испытывает фазовый переход на сферической границе раздела капля - внешняя среда. Предположим (для упрощения рассмотрения), что один из компонентов бинарной внешней смеси по физико-химическому составу совпадает с веществом капли. Таким образом, окружающая испаряющуюся каплю газообразная среда состоит из двух компонентов: основной (несущей) компоненты, ко6

торую мы обозначим через C2 граничная поверхность для ней непроницаема и компоненты C1 , испытывающий фазовый переход на поверхности капли. Поскольку C1 + C2 = 1, то ∇C1 = −∇C2 и, следовательно, для описания полей относительных концентраций бинарной газовой смеси достаточно описать одну из компонент смеси, например, первую компоненту (решить уравнение диффузии с соответствующими граничными условиями). Заданный вдали от испаряющейся капли (на бесконечности) малый постоянный градиент относительной концентрации ∇C1∞ вызывает неоднородное распределение концентрации в окрестности капли, что приводит к диффузиофоретическому движению капли. Индексы ”e” и ”i” здесь и далее будем относить к газу и капле, индексом ”s” - обозначены значения физических величин, взятых при средней температуре поверхности капли равной Ts , а индексом ”∞” - обозначены средние значения физических величин, характеризующие бинарную газовую среду в отсутствии внешнего градиента концентрации ∇C1∞ . Предполагается, что капля при движении сохраняет сферическую форму. Это справедливо, если силы внешнего давления малы по сравнению с давлением от поверхностного натяжения, что можно выразить в виде соотношения |U | σ µe , R R (1) где σ - коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела капля - бинарная газовая смесь; |U | - абсолютное значение скорости газовой смеси относительно капли. Задача решается в сферической системе координат r, θ, ϕ (0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π), начало которой совпадает с центром масс испаряющейся капли. При указанном выборе начала системы координат каплю можно считать покоящейся, а бинарную смесь - движущейся с постоянной скоростью U∞ относительно центра капли.Таким образом, наша задача сводится к анализу обтекания испаряющейся капли бесконечным плоскопараллельным потоком, скорость которого U∞ подлежит определению. Определенная в такой системе координат скорость газа на бесконечности равна с обратным знаком величине скорости диффузиофореза испаряющейся капли. Вектор ∇C1∞ направлен вдоль полярной оси z = rcosθ. Распределения скорости Ue , давления Pe , температур Te , Ti и относительной концентрации первого компонента бинарной газовой смеси C1 должны быть симметричны относительно оси, проходящей через центр, т.е. зависят только от радиальной координаты r и полярного угла θ (см. рис. 1). Остановимся на некоторых аспектах процесса испарения, которые необ7

Рис. 1: Обтекание крупной испаряющейся капли ходимы нам при описании диффузиофореза испаряющейся капли: 1. характерные значения времен установления распределения полей концентраций, температуры и скорости конвективного течения в среде малы по сравнению с характерным временем испарения капли и временем нагрева ее до максимальной температуры; 2. радиус капли будем считать неизменным. Это верно в случае, если время заметного изменения радиуса капли значительно больше времени релаксации диффузионных и тепловых неоднородностей вблизи капли; 3. предполагается, что примеси в капле отсутствуют, т.е. она образована однородным и изотропным по своим свойством веществом. Комплексный показатель преломления капли постоянен. По-поводу последнего отметим, что информация о поведении комплексного показателя преломления капли при высоких температурах в настоящее время очень мало и не представляется возможным дать обоснованную оценку этому допущению; 4. молекулы конденсированной фазы испаряются или конденсируются при числах Маха много меньших единицы , т.е. испарение капли протекает в диффузионном режиме, когда основное влияние на процесс переноса массы в окрестности частицы определяется молекулярной диффузией. При теоретическом описании диффузиофореза будем также предполагать, что в силу малости времен тепловой и диффузионной релаксации процессы теплопереноса и массопереноса в системе капля - газ протекают квазистационарно. 8

С учетом указанных выше допущений, распределения массовой скорости Ue , давления Pe , температур Te , Ti и относительной концентрации первого компонента C1 описываются следующей линеаризованной системой уравнений: µe ∆Ue = ∇P e , µi ∆Ui = ∇P i , ∆T e = 0, ∆T i = − qi , λi div Ue = 0, (2) divUi = 0, (3) ∆C 1 = 0. (4) Система уравнений (2)-(4) решалась со следующими граничными условиями в сферической системе координат. — непроницаемость поверхности капли для радиального потока второго компонента бинарной газовой смеси n2 Ure n2e m1 ∂C1 + D12 = 0, ρe ∂r (5) — непрерывность радиального потока первого компонента бинарной газовой смеси, испытывающего фазовый переход n1 Ure n2e m2 ∂C1 = nli Uri , − D12 ρe ∂r (6) Здесь в (5) - (6) n1 Ure , n2 Ure - радиальные конвективные потоки соответne m2 ∂C1 ne m1 ∂C1 , D12 - радиальные диффуствующих компонентов, а D12 ρe ∂r ρe ∂r зионные потоки, nli - концентрация молекул вещества капли. — разность касательных составляющих скоростей внешней и внутренних сред равна сумме касательного и диффузионного скольжений, пропорциональные коэффициентам KT S и KDS Uθe − Uθi = KT S νe ∂Te D12 ∂C1 + KDS , RTe ∂θ R ∂θ (7) — непрерывность температуры и радиального потока тепла с учетом тепла, идущего на фазовый переход и на излучение 9

∂Te n2e m1 m2 Ti ∂C1 4 Te = Ti , −λ + λi =L D12 − σ0 σ1 (Ti4 − T∞ ), ∂r ∂r ρe ∂r (8) — концентрация компонента, испытывающего фазовый переход на поверхности капли, с учетом зависимости насыщенной концентрации от температуры во внешней к капле газовой среде, удовлетворяет соотношению (H) C1 = C1 ∗ + C1S δTi , (9) где C1H - насыщенная концентрация паров вещества капли первого компонента бинарной газовой смеси,

зависящая от средней температуры поверхности H

dC1

∗ = частицы TiS , C1S - производная от насыщенной концентрации dTi

Ti =TiS первого компонента по температуре Ti , δTi - определяется из решения уравнения теплопроводности внутри частицы. — непрерывность касательных составляющих напряжений e i ∂Uθ 1 ∂Ure Uθe 1 ∂σ ∂Ti ∂Uθ 1 ∂Uri Uθi µe + − + = µi + − , ∂r r ∂θ r r ∂Ti ∂θ ∂r r ∂θ r (10) Здесь поверхностное натяжение σ, входящее в уравнение (10), представлено в линейном приближении по малому параметру и может быть записано в

∂σ

виде σ = σ0 + δTi , σ0 - среднее значение коэффициента поверхност∂Ti

Ti =TiS ного натяжения на границе раздела капля - бинарная газовая смесь. Рассмотрим граничные условия вдали от крупной капли, т.е. при r → ∞: — в качестве граничных условий для радиальной Ure и тангенциальной Uθe составляющих массовой скорости Ue можно записать Ue = U∞ cos θer − U∞ sin θeθ , (11) – для температуры Te , давления Pe , и относительной концентрации C1 справедливы условия Te = T∞ , Pe = P∞ , C1 = C1∞ + |∇C1∞ |r cos θ, (12) Учтем конечность температуры, скорости и давления в центре аэрозольной частицы, при r → 0: Ti 6= ∞, Pi 6= ∞, |Ui | = 6 ∞. 10 (13)

В приведенных выше уравнениях газовой динамики и граничных условиях для крупной частицы введены следующие обозначения: L - теплота фазового перехода; σ0 , - постоянная Стефана-Больцмана, σ1 - интегральная степень черноты; D12 - коэффициент диффузии; U∞ = −|U∞ | - величина скорости набегающего потока; λe , λi - коэффициенты теплопроводности газообразной среды и капли; er и eθ - единичные векторы сферической системы координат. Определяющими параметрами в нашей задаче являются материальные постоянные µe , ρe , λe , cp (удельная теплоемкость при постоянном давлении) и сохраняющиеся в процессе движения испаряющейся сферической капли R, |∇C1∞ |, T∞ и U∞ (U∞ = |U∞ |). Из этих параметров можно составить три безразмерные комбинации: числа Рейнольдса и Пекле и ε = R|∇C1∞ | 1. Малость последнего параметра вытекает из следующих соображений. Величина |∇C1∞ |, как правило, не больше 103 м−1 ÷ 104 м−1 . В свою очередь, для крупных капель 10 · 10−6 ≤ R ≤ 15 · 10−6 м, и тогда ε = R|∇C1∞ | 1. Обезразмерим уравнения и граничные условия следующим образом: Ve = Ue /U∞ , pe = Pe /P∞ , te = te /T∞ . Тогда при ε 1 набегающий поток оказывает лишь возмущающее влияние и поэтому решение уравнений газовой динамики можно использовать метод теории возмущения, т.е. Ve = Ve (0) + (0) (1) (0) (1) (0) (1) εVe (1) + ..., pe = pe + εpe + ..., te = te + εte + ..., C1 = C1 + εC1 + .... С учетом этого, при нахождении силы и скорости диффузиофореза крупной испаряющейся капли мы ограничимся первым приближением. Полная сила, как мы отмечали в главе 1, определяется интегрированием компонент тензора напряжений по поверхности частицы и имеет следующий вид [4,5]: Z π F = 2π −Pe cosθ + σrr cosθ − σrθ sinθ r2 sinθdθ, (14) 0 ∂Urθ где σrr = 2µe , ∂r σrθ = µe ∂Uθe 1 ∂Ure Uθe + − . ∂r r ∂θ r 11

Глава II. Решение уравнения теплопроводности и диффузии Чтобы найти силу и скорость диффузиофореза, необходимо знать поле температуры в окрестности частицы. Для этого необходимо решить уравнения (4). В общем случае уравнение теплопереноса имеет следующий вид: ρe cp (Ue ∇)Te = λe ∆Te (15) Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Здесь слева — конвективный перенос тепла (за счет движения бинарной газовой смеси), а справа — перенос тепла, обусловленный теплопроводностью. Линеаризуем это уравнение следующим образом. Скорость диффузиофореза равна взятой с обратным знаком скорости центра инерции среды на большом расстоянии от частицы, поэтому |Ue | ∼ |KDS |D12 | ∆C1 | ∼ |KDS |D12 |∇C1∞ | L Отношение правой части уравнения (15) к его левой части равно: KDS D12 ρe cp (Ue ∇)Te ∼ R|∇C1∞ | λe ∆Te χe (16) Здесь χe = λe/(cp ρe )− коэффициент температуропроводности. KDS D12 Для большинства газов величина всегда меньше единицы. Поχe этому величина, стоящая в (16) всегда меньше R|∇C1∞ |. Следовательно, в уравнении (15) можно пренебречь правой нелинейной частью, и мы получаем уравнения (4), т.е. ∆T e = 0. (17) Уравнение (17) можно получить и из следующих допущений. Если в уравнении (15) к безразмерным переменным, то оно принимает следующий вид: P e(Ve ∇)te = ∆te где P e = Re P r – число Пекле, Re = число Прандтля. (18) cp µe ρe U∞ R − число Рейнольдса, P r = − µe λe 12

Поскольку мы решаем задачу при Re 1, то уравнение (18) принимает следующий вид: ∆Te = 0. (19) Поступая аналогичным образом, мы получаем уравнение, описывающее распределение температуры внутри крупной летучей капли: ∆T i = − qi . λi (20) Чтобы найти распределение концентрации в окрестности нашей летучей капли, необходимо решить уравнение конвективной диффузии (Ue ∇)C1 = D12 ∆C1 . (21) где D12 − коэффициент взаимной диффузии. По аналогии линеаризуем это уравнение и получаем в конечном итоге: ∆C 1 = 0. (22) Таким образом, рассматривая задача о диффузиофоретическом движении крупной летучей сферической капли радиуса R, уравнения для полей температуры внутри и вне ее и концентрации первого компонента бинарной газовой смеси подчиняются уравнениям Лапласа: ∆T i = − qi r ≤ R, λi ∆T e = 0, ∆C1 = 0 r ≥ R. (23) (24) Эта система уравнений решается с граничными условиями (8), (9), (12), (13). Уравнения (23) —(24) решаются в сферической системе координат методом разделения переменных. Рассмотрим решение уравнения ∆Te = 0. 13

В сферической системе координат оно имеет вид: ∂ 1 ∂ ∂T 1 ∂T e e r2 +. 2 sin θ = 0, 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ перейдем в этом уравнении к новым переменным: y = r/R, x = cos θ и, введем безразмерную температуру te = Te /T∞ . В результате получаем следующее уравнение: 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂te 2 ∂te y + 2 1−x = 0, y 2 ∂y ∂y y ∂x ∂x (25) Будем искать решение полученного уравнения в виде: te (y, x) = ∞ X ten (y) Pn (x), (26) n=0 где ten (y)− произвольная функция, зависящая от координаты y, а Pn (x)− полиномы Лежандра [6,7,8]. Полиномы Лежандра могут быть определены представлением 1 dn Pn (x) = n 2 n! dxn n x2 − 1 , которое называется формулой Родрига [8]. В частности: P0 (x) = 1, P1 (x) = x, 1 P2 (x) = (3x2 − 1),.... В дальнейшем нам потребуется следующие свойства 2 полиномов Лежандра: d dx d P (x) n 1 − x2 + n(n + 1) Pn (x) = 0 (n = 0, 1, 2, ...), dx Z+1 ( Pm (x) Pn (x) dx = −1 0, если m 6= n, 2 , если m = n. 2n + 1 14

Подставляя (26) в (25) и, учитывая свойство полиномов Лежандра, получаем следующее линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождении функции τen (y): y 2 dτen τen + 2y − n(n + 1)τen = 0. dy 2 dy 2d (27) Решение уравнения (27) ищем в виде: τen (y) = y ν . (28) После подстановки (28) в (27), получаем следующее характеристическое уравнение: ν 2 +ν−n(n+1) = 0, корни которого равны соответственно—ν1 = n, ν2 = −(n + 1). Таким образом, получаем следующее общее решение уравнения ∆Te = 0: ∞ X Γn n Te (r, θ) = + An r Pn cosθ. n+1 r n=0 Аналогично решается уравнение ∆C1e = 0: C1 (r, θ) = ∞ X Mn n=0 rn+1 + Nn rn Pn cosθ. Найдем решение уравнения (23). Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Согласно общей теории его решение складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения есть уравнение Лапласа и оно ищется в виде разложения в ряды по полиномам Лежандра, то, следовательно,и правая часть должна разлагается в ряд по полиномам Лежандра. Обезразмерим уравнение (23), имеем: qi R 2 . ∆ti (y, θ) = − λi T∞ 15 (29)

С учетом выше сказанного мы можем записать: ∞ X qi R 2 − = qin (y) Pn (x), λi T∞ n=0 (30) где функция qin (y) определяется, если воспользоваться вторым свойством полиномов Лежандра. Имеем: R2 2n + 1 qin (y) = − λi T∞ 2 Z+1 qi Pn (x) dx, (31) −1 Решение для функции ti (y, θ) ищем в виде: ti (y, x) = ∞ X tin (y) Pn (x), (32) n=0 где tin (y)− произвольная функция, зависящая от координаты y, а Pn (x)− полиномы Лежандра. Подставляя (32), (31) в (29) и, учитывая свойство полиномов Лежандра, получаем следующее обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождении функции τin (y): y2 dτin d2 τin + 2y − n(n + 1)τin = qin . dy 2 dy (33) Таким образом, мы получили линейное обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Согласно общей теории [6] общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка y 00 + f (x)y 0 + g(x)y = h(x), (34) где функции f (x), g(x), h(x) непрерывны на отрезке [a, b] имеет следующий вид: 16

Zx y(x) = C1 φ1 (x) + C2 φ2 (x) + φ2 (x) φ1 (x)h(x) − φ1 (x) W (x) x0 Zx φ2 (x)h(x) . (35) W (x) x0 Здесь Ck − произвольные постоянные, x0 − любая точка из отрезка [a, b], W (x)− определитель Вронского [6], а φ1 (x), φ2 (x)− фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного уравнения, т.е. y 00 + f (x)y 0 + g(x)y = 0. В нашем случае φ1 (y) = y n , φ2 (y) = 1 y n+1 , W (y) = − (36) 2n + 1 и далее по y2 формуле (35) находится поле температуры внутри капли. Таким образом, распределение полей температур вне и внутри летучей капли и первого компонента бинарной газовой смеси ищутся в виде: ∞ X Γn n Te (r, θ) = + An r Pn cosθ, n+1 r n=0 C1 (r, θ) = ∞ X Mn n=0 rn+1 + Nn rn Pn cosθ, ∞ X Dn Ti (r, θ) = + Bn rn Pn cosθ. n+1 r n=0 Здесь Pn (cos θ)− полиномы Лежандра; Γn , An , Mn , Nn , Bn , Dn − произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий (8)–(13). Вид граничных условий вдали от летучей капли (y → ∞) показывают, что: A0 = 1, An = 0 (n ≥ 1), N0 = C1∞ , N1 = R|∇C1∞ |, Nn = 0 (n ≥ 2). Из граничного условия конечности температуры при y → 0 имеем: Dn = 0 (n ≥ 1). Таким образом, имеем следующие выражения для распределения полей температур и концентрации первого компонента бинарной газовой смеси в 17

окрестности крупной летучей капли, удовлетворяющие граничным условия при y → ∞ и y → 0 : ∞ Γo X Γn + P cosθ, te (y, θ) = 1 + n+1 n y y n=1 X ∞ M1 Mn Mo + ε cos θ y + 2 + P cosθ, C1 (y, θ) = C1∞ + n+1 n y y y n=2 ti (y, θ) = ∞ X Bn y n Pn cosθ, n=0 и оставшиеся неизвестные постоянные интегрирования определяем из граничных условий на поверхности летучей капли. Таким образом, имеем следующие выражения для распределения полей температур и концентрации первого компонента бинарной газовой смеси в окрестности крупной летучей капли, удовлетворяющие нашим граничным условия: te (y, θ) = 1 + teS − 1 Γ1 + ε cos θ 2 , y y ∗ C1H − C1∞ C1S Γ1 − 1 C1 (y, θ) = C1∞ + + ε cos θ y + , y y2 ti (y, θ) = ti0 (y) + ε cos θB1 y, ti0 (y) = B0 + (S) Здесь D0 = λe n2e m1 m2 (S) ∗ δ = 1 + 2 (S) +2L D C1S (S) (S) 12 λi T∞ ρe λi 2 R n2e m1 m2 (S) qi , Γ1 = 3L D12 , (S) (S) (S) 3λi T∞ T∞ ρe λi δ +4 D0 . y 3 σ0 σ1 RT∞ (S) λi t3iS , tiS = ti0 (y = 1), B1 = Γ1 . Индексом ”S” обозна- чены физические величины, взятые при средней температуре поверхности TiS = T∞ tiS крупной летучей капли, которая связана со средней относительной температурой TeS = T∞ teS соотношением:  teS = teS ,   (S) 2 2 λe R ne m1 m2 (S) (37) D C1∞ − C1H − Φ,   (S) (teS − 1) = (S) qi + L (S) (S) 12 λi 3λi T∞ T∞ ρe λi 18

в котором teS = 1 + Γ0 , Φ = 3 σ0 σ1 RT∞ (S) λi 4 tiS − 1 . 19

III. Решение уравнений гидродинамики. Нахождение полей скорости и давления Уравнения гидродинамики, описывающие течение газа в окрестности крупной летучей капли (уравнение Навье-Стокса и непрерывности) имеют вид [4,5]: ρe (Ue ∇)Ue = −∇Pe + µe ∆Ue , divUe = 0 при r > R, (38) ρi (Ui ∇)Ui = −∇Pi + µi ∆Ui , divUi = 0 при r < R. (39) В эти уравнения входит нелинейный (конвективный) член (U∇)U. Если число Рейнольдса много меньше единицы, то этот конвективный член квадратичен по скорости и тогда в уравнениях (38) —(39) мы можем им пренебречь. В литературе такой способ решения уравнения Навье-Стокса получил название линеаризованные по скорости уравнения Навье-Стокса, который впервые применил Стокс в 1827 году. С учетом выше сказанного имеем следующую систему гидродинамических уравнений, описывающих поле скорости и давления в окрестности крупной испаряющейся капли: ∇Pe = µe ∆Ue , divUe = 0 при r > R, (40) ∇Pi = µi ∆Ui , divUi = 0 при r < R. (41) Найдем сначала решение уравнения (40). В сферической системе координат уравнение непрерывности и линеаризованного по скорости уравнение Навье-Стокса в сферической системе координат имеют вид [4,5]: ∂σrr 2 1 ∂σrθ ctgθ σθθ + σϕϕ ∂P = + σrr + + σrθ − ∂r ∂r r r ∂θ r r (42) 1 ∂P ∂σrθ 3 1 ∂σθθ ctgθ = + σrθ + + σθθ − σϕϕ r ∂θ ∂r r r ∂θ r (43) 20

∂Ure 2 e 1 ∂Uθe ctgθ e + Ur + + U = 0, ∂r r r ∂θ r θ (44) где e ∂Ure 2 ∂Uθ 2 σrr = 2µe , σθθ = µe + Ure , σϕϕ = µe Ure + ctgθUθe , ∂r r ∂θ r e 1 ∂Ure Uθe ∂Uθ + − . σrθ = µe ∂r r ∂θ r Заметим, что аналогичным образом запишутся уравнения и для (41). Исходя из граничных условий вдали от крупной летучей капли, будем искать решения системы уравнений (42)—(44) в виде: Ure (y, θ) = cosθ G(y), Uθe (y, θ) = −sinθ g(y). (45) Здесь G(y), g(y)− произвольные функции, зависящие от радиальной координаты y = r|R. Связь между функциями G(y), g(y) находим из уравнения непрерывности. Подставляя (45) в (44), получаем: ∂ 1 1 dG ∂ 1 2 2 cosθ y G(y) − g(y) sin θ = 0, g(y) = y + G(y). (46) y2 ∂y ysinθ ∂θ 2 dy Подставляя (45), (46) в уравнения (42)–(43), имеем: 2 d G 4 dG dPe = µe U∞ cosθ + , dy dy 2 y dy (47) 2 3 dPe y dG d2 G dG = −µe U∞ sinθ + 3y 2 + 2 . dθ 2 dy 3 dy dy (48) 21

Уравнение (47) продифференцируем по θ, а уравнение (48) по y и, вычитая, из первого второго получаем обыкновенное дифференциальное четвертого порядка для нахождения функции G(y): 4 3d G y dy 4 + 3 2d G 8y dy 3 d2 G dG + 8y 2 − 8 =0 dy dy (49) Решение этого уравнения ищем в виде постановки Эйлера [3,4] и, в результате, окончательно имеем следующее выражение для функции G(y): G(y) = A2 A1 A0 + S0 y + + 3 , y y 2 (50) и, учитывая связь между функциями G(y) и g(y) находим выражение для функции g(y): g(y) = A2 A1 A0 + 2S0 y + − . 2y 2y 3 2 (51) Таким образом, имеем следующие выражения для компонент массовой скорости Ue : Ure (y, θ) A2 A1 2 = U∞ cosθ A0 + SD0 y + + 3 , y y A A 2 1 Uθe (y, θ) = −U∞ sinθ A0 + 2S0 y 2 + − . 2y 2y 3 (52) (53) Подставляя (50) в (48), после интегрирования получаем следующее выражение для поля давления: Pe = P∞ + µe cosθ 22 U∞ A2 . Ry 2 (54)

Из граничного условия на бесконечности (11), имеем A0 = 1, S0 = 0 и, следовательно, имеем следующие выражения для компонент массовой скорости и давления, которые удовлетворяют граничным условия на бесконечности (11): A A 2 1 Ure (y, θ) = U∞ cosθ 1 + + 3 , y y A A 1 2 − 3 , Uθe (y, θ) = −U∞ sinθ 1 + 2y 2y U∞ Pe = P∞ + µe cosθ 2 A2 . Ry (55) Аналогично решаются уравнения (41). В конечном результате мы должны поставить другие постоянные интегрирования и учесть конечность физических величин в центре летучей капли. Таким образом, в приближении Стокса нами получены выражения для компонент массовой скорости и давления вне и внутри крупной летучей капли, и они имеют следующий вид: A A 2 1 Ure (y, θ) = U∞ cosθ 1 + + 3 , y y A2 A1 Uθe (y, θ) = −U∞ sinθ 1 + − 3 , при r > R, 2y 2y U∞ Pe = P∞ + µe cosθ 2 A2 . Ry (56) и соответственно: Uri (y, θ) = U∞ cosθ A4 + A5 y 2 , (57) Uθi (y, θ) = −U∞ sinθ A4 + 2 A5 y 2 , при r < R, (58) U∞ 2 y A5 . R (59) Pi = Pi0 + µi 10cosθ 23

Входящие в (56) –(59) постоянные интегрирования A1 , A2 , A4 и A5 определяются из граничных условий на поверхности крупной летучей капли. 24

IV. Вывод выражений для диффузиофоретической силы и скорости крупной испаряющейся капли сферической формы. Анализ полученных результатов Во второй главе нами получены выражения для распределения полей температур и концентрации первого компонента бинарной газовой смеси в окрестности крупной летучей капли, удовлетворяющие нашим граничным условия, которые имеют следующий вид: te (y, θ) = 1 + Γ1 teS − 1 + ε cos θ 2 , y y (60) ∗ C1H − C1∞ C1S Γ1 − 1 C1 (y, θ) = C1∞ + + ε cos θ y + , y y2 ti (y, θ) = ti0 (y) + ε cos θB1 y, ti0 (y) = B0 + (S) Здесь D0 = λe n2e m1 m2 (S) ∗ δ = 1 + 2 (S) +2L D C1S (S) (S) 12 λi T∞ ρe λi 2 n2e m1 m2 R (S) qi , Γ1 = 3L D12 , (S) (S) (S) 3λi T∞ T∞ ρe λi δ +4 D0 . y 3 σ0 σ1 RT∞ (S) λi t3iS , tiS = ti0 (y = 1), B1 = Γ1 . Индексом ”S” обозна- чены физические величины, взятые при средней температуре поверхности TiS = T∞ tiS крупной летучей капли, которая связана со средней относительной температурой TeS = T∞ teS соотношением:  teS = teS ,   (S) 2 2 λe R ne m1 m2 (S) (61) H D C − C − Φ,  1∞ 1 12  (S) (teS − 1) = (S) qi + L (S) (S) λi 3λi T∞ T∞ ρe λi 3 σ0 σ1 RT∞ в котором teS = 1+Γ0 , Φ = t4iS − 1 .а в третьей главе в приближе(S) λi нии Стокса нами были получены выражения для полей скорости и давления в ее окрестности. — вне испаряющейся капли (r > R) : 25

A2 A1 = U∞ cosθ 1 + + 3 , y y A2 A1 e Uθ (y, θ) = −U∞ sinθ 1 + − , 2y 2y 3 Ure (y, θ) Pe = P∞ + µe cosθ U∞ A2 . Ry 2 (62) (63) (64) — внутри испаряющейся капли (r < R) : Uri (y, θ) = U∞ cosθ A4 + A5 y 2 , Uθi (y, θ) = −U∞ sinθ A4 + 2 A5 y 2 , (65) Pi = Pi0 + µi 10cosθ U∞ 2 y A5 . R (66) (67) Поскольку выражения для компонент массовой скорости и поля давления нам известны, то мы можем найти общую силу, действующую на крупную летучую каплю сферической формы. Полная сила, как мы отмечали в главе 1, определяется интегрированием компонент тензора напряжений по поверхности частицы и она имеет следующий вид [4,5]: Zπ F = 2π −Pe cosθ + σrr cosθ − σrθ sinθ r2 sinθdθ, 0 ∂U θ где σrr = 2µe r , ∂r σrθ = µe ∂Uθe 1 ∂Ure Uθe + − . ∂r r ∂θ r 26

Подставляя сюда соответствующие выражения и после интегрирования, имеем: F = −4πRµe U∞ A2 nz , (68) где nz − единичный вектор в направлении оси OZ. Из (68) видим, чтобы найти общую силу, необходимо знать коэффициент A2 . Постоянная интегрирования A2 определяется из граничных условий на поверхности нашей летучей капли и она имеет следующий вид: (S) 3 A2 = − 2 1+ 2µe (S) 3µe 1+ (S) µe (S) µi ε + U∞ 1 1+ (S) µe (S) µi (S) 3LD12 n2e m1 m2 (S) (S) λi δρe T∞ × (69) (S) (S) 2 2 D12 ∗ n 1 ∂σ n νe (S) ∗ e × KT S + KDS C1S + (S) + 2D12 C1S ∆1 − 3 e ∆1 , RteS R n2 Rn2 3µi ∂ti где ∆1 = m1 (S) ρe (S) 1 µe + 2 µ(S) i + 1 (S) n1i . Подставляя (69) в выражение (68), получаем, что общая сила, действующая на крупную летучую каплю аддитивно складывается из силы вязкого сопротивления среды Fµ и диффузиофоретической силы Fdf : F = Fµ + Fdf , (S) (70) (S) где Fµ = 6πRµe U∞ fµ nz , Fdf = −6πRµe fdf gradC1∞ . Коэффициенты fµ , fdf определяются по формулам: 1+ fµ = 1+ 2µ(S) (S) 3µi , µ(S) (S) µi 27

fdh 2 = 3 2 (S) ne m1 m2 3LD12 (S) × (S) (S) µe λi T∞ δρe 1 1+ (71) (S) µi (S) 2 R ∂σ n2e νe (S) ∗ (S) ∗ ne × KT S + KDS D12 C1S + (S) + 2D12 C1S ∆1 − 3 ∆1 . teS n2 n2 3µi ∂ti Приравнивая полную силу F к нулю, получаем выражение для диффузиофоретической скорости крупной летучей капли сферической формы Udf (U∞ = −Udf ): Udf = − fdf gradC1∞ . fµ (72) В дипломной работе получены аналитические выражения, позволяющие оценивать общую силу, действующую на крупную летучую каплю сферической формы, движущейся во внешнем заданном поле градиента концентрации, внутри которой действуют однородно распределенные по ее объему тепловые источники плотностью qi . В граничном условии на поверхности частицы учтены все эффекты, линейные по числу Кнудсена в данной постановке задачи: тепловое и диффузионное скольжения; внутренние течения, реактивный эффект, связанный с испарением и зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. Наличие источников тепла внутри капли приводит к тому, что средняя температура поверхности испаряющейся капли незначительно отличается от температуры окружающей ее газообразной среды. Нагрев поверхности капли может происходить, например, за счет поглощения электромагнитного излучения. Внутренние источники тепла - это модельное представление, удобное для описания реальных процессов, сопровождающихся выделением тепла в объеме испаряющейся капли. Однородный нагрев поверхности капли вызывает, с одной стороны, усиление испарения, что сказывается на процессе теплообмена и массообмена между каплей и окружающей средой и так называемого реактивного эффекта; с другой стороны, влияет на величину теплового и диффузионного скольжения, а также и на термокапиллярный дрейф, связанный с возникновением касательных напряжений на поверхности капли за счет изменения коэффициента поверхностного натяжения σ с температурой Ti (эффект Марангони). Все это важно 28

как при теоретическом описании движения испаряющейся капли, так и для практических приложений. Таким образом, с помощью внутренних источников тепла мы можем влиять на величину силы и скорости диффузиофореза. Из приведенных формул для силы и скорости диффузиофореза (71)–(72) видно, что они складываются из следующих составляющих: радиометрической, обусловленной диффузионным и тепловым скольжением скольжением, реактивной и термокапиллярной. Термокапиллярная сила направлена противоположно радиометрической и реактивной силы. Величина термокапиллярной силы линейно возрастает с увеличением радиуса. В связи с этим существует критический радиус, при котором сила диффузиофореза обращается в ноль. Если мы имеем сферически симметричное испарение, то температура поверхности капли будет во всех ее точках одинаковой. Это приводит к тому, что тепловое скольжение и термокапиллярный дрейф (зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры) будут отсутствовать. В этом случае, в полученных выше формулах, будет иметь место только диффузионное скольжение и реактивный эффект. Однако следует отметить, что при движении испаряющейся капли в вязкой бинарной газообразной среде всегда будет иметь место несимметричное испарение и, следовательно, возникает тепловое скольжение и термокапиллярный дрейф. Полученные аналитические выражения для силы и скорости диффузиофореза позволяют провести качественный и количественный анализ влияния средней температуры поверхности частицы (нагрев поверхности) незначительно отличающейся от температуры окружающей ее бинарной газовой смеси на диффузиофорез крупной летучей капли. Из приведенных выше формул (71)–(72) видно, что в случае малых относительных перепадов температуры имеет место линейная зависимость влияния средней температуры поверхности частицы на диффузиофорез крупной летучей капли. Это вытекает, как видно из формул, коэффициент динамической вязкости и коэффициент диффузии экспоненциально зависит от температуры. В случае малых относительных перепадов температуры в окрестности нелетучей капли будет иметь место линейная зависимость и вклад будет не более 10 %. Если не учитывать влияния средней температуры поверхности частицы на диффузиофорез крупной летучей капли, полученные выше формулы переходят в известные ранее полученные формулы [1]. 29

Заключение В квазистационарном приближении при малых числах Рейнольдса и Пекле (тепловом и диффузионном) получены аналитические выражения, позволяющие оценивать диффузиофоретическую силу и скорость крупной испаряющейся капли сферической формы, внутри которой действуют однородно распределенные по ее объему внутренние источника тепла, когда средняя температура поверхности капли незначительно отличается от температуры вдали от нее. Проведенный качественный анализ показал, что случае малых относительных перепадов температуры имеет место линейная зависимость влияния средней температуры поверхности частицы (нагрев поверхности) на силу и скорость диффузиофореза крупной летучей капли сферической формы, который дает вклад не более 10 %. 30

Список литературы: 1. Галоян В.С., Яламов Ю.И. Движение капель в вязких средах. Ереван: Луйс. 1985. - 209 с 2. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Шулиманова З.Л. Избранные вопросы физики аэрозолей. Учебное пособие для студентов и аспирантов. М.: МПУ. 1992. 297 с. 3. Щукин Е.Р., Малай Н.В. Фотофоретическое и термодиффузиофоретическое движение нагретых нелетучих аэрозольных частиц //Инженернофизический журнал. 1988. Т. 54. № 4. С. 628-634 4. Дж. Хаппель, Г. Бреннер Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир. 1976. 630 с. 5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Москва: Технико-теоретической литературы. 1954. 795 с. 6. Н.М. Матвеев Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа. 1967. 409 с. 7. В.А. Шалдырван, В.С. Герасимчук Методы математической физики. М.: Вузовская книга. 2006. 511 с. 8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972. 735 с. 31

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв