Санкт-Петербургский государственный университет
Механика и математическое моделирование
Механика жидкости, газа, плазмы
Киселев Николай Андреевич
Экспериментальное изучение вращательных колебаний цилиндров малого
удлинения
Магистерская диссертация
Научный руководитель:
глав. науч. сотр., д.ф.-м.н. Рябинин А.Н.
Рецензент:
доцент кафедры физики и химии, к. т. н. Ежов Олег Николаевич
Санкт-Петербург
2016г.
SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY
Mechanics and Mathematical Modelling
Mechanics of liquid, gas, plasma
Nikolai Kiselev
Experimental study of rotational oscillations of cylinders of small aspect ratio
Master’s Thesis
Scientific supervisor:
PhD, Chief researcher Anatoly Ryabinin
Reviewer:
Associate professor of the department of Physics and Chemistry, PhD Oleg Ezhov
Saint-Petersburg
2016
Аннотация
Киселев Николай Андреевич
Экспериментальное изучение вращательных колебаний цилиндров малого
удлинения
Научный руководитель: Рябинин Анатолий Николаевич
Механика жидкости, газа, плазмы
Кафедра гидроаэромеханики
Цель работы – исследование вращательных колебаний цилиндров
малого удлинения различной формы и пропорций под действием воздушного
потока. Метод исследования – эксперимент. Цилиндры закреплены на упругой
подвеске в рабочей части дозвуковой аэродинамической трубы АТ-12.
Подвеска позволяет совершать вращательные движения вокруг оси,
перпендикулярной скорости набегающего потока. Получены зависимости
амплитуды колебаний цилиндров от скорости набегающего потока,
положения оси вращения и пропорций цилиндрических тел. Определены
параметры математической модели, описывающей колебания цилиндров.
Полученные
результаты
являются
новыми.
Список
использованных
источников содержит 10 наименований.
Киселев Н. А. Экспериментальное изучение вращательных колебаний
цилиндров малого удлинения: магистерская дис.: защищена 07.06.2016 /
Киселев Николай Андреевич. – СПб, 2016. – 23 с. – Библиогр.: с. 23.
Оглавление
Введение ................................................................................................................................................... 5
Математическая модель............................................................................................................................. 5
Постановка эксперимента .......................................................................................................................... 7
Ход исследования........................................................................................................................................ 8
Полученные результаты............................................................................................................................12
Заключение ................................................................................................................................................22
Список литературы ....................................................................................................................................23
4
Введение
Одной из основных форм движения грузов, подвешенных при
транспортировке в воздушном потоке, являются вращательные колебания. С
такой формой движения можно столкнуться, например, при подъеме и
переносе каких-либо грузов при помощи башенного крана или при
транспортировке грузов, подвешенных под летательными аппаратами. Таким
образом, возникает задача об исследовании и моделировании вращательных
колебаний плохо обтекаемых тел [2, 3, 4]. В данной ситуации расчет течения
сложен, так как аэродинамические нагрузки зависят от многих факторов,
поэтому
исследование
возникновения
колебаний
производится
экспериментально.
В работах [5-8] производится экспериментальное исследование
математической модели, которая описывает вращательные колебания
некоторых тел. Параметры данной модели определяются непосредственно из
эксперимента. В данной работе проводились экспериментальные
исследования цилиндров малого удлинения в зависимости от положения оси
вращения, удлинения и геометрической формы исследуемого плохо
обтекаемого тела. В экспериментах изменялось положение оси вращения,
удлинение и форма поперечного сечения цилиндров. Благодаря упругой
подвеске цилиндры могли совершать вращательные колебания.
Часть результатов данной работы докладывалась на конференции
«Седьмые Поляховские чтения» и публиковалась в соавторстве с А. Н.
Рябининым в журнале «Естественные и математические науки в современном
мире» и в сборнике тезисов конференции «Седьмые Поляховские чтения».
Кроме того, летом 2016 года в соавторстве с А. Н. Рябининым будет
опубликована статья «Влияние положения оси вращения цилиндра на его
вращательные колебания в воздушном потоке» в Вестнике СанктПетербургского государственного университета на основе результатов
данной работы.
Математическая модель
Уравнение движения цилиндра потоке выглядит следующим образом:
I La Ls ,
(1)
где β – угол наклона цилиндра, I – момент инерции цилиндра относительно
оси вращения, La – момент аэродинамических сил, Ls – момент сил,
действующих со стороны подвески, при этом равновесным положением будем
считать значение β= β0. Составляющие момента сил запишем в виде
5
L
LS m
m ,
2
v
2
Ls kl 0 k1 ,
La
v2
(2)
где ρ – плотность воздуха, v – скорость набегающего потока, L – длина
цилиндра, S – характерная площадь цилиндра, равная площади основания
цилиндра, m – коэффициент аэродинамического момента сил, m –
коэффициент аэродинамической производной [9], k – жесткость упругой
подвески, l – расстояние от оси вращения до места крепления подвески, k1 –
коэффициент, соответствующий вязкому сопротивлению подвески. Будем
считать, что коэффициент момента сил пропорционален β, а коэффициент
вращательной производной описывается формулой [3]:
m C ,
(3)
m C 1 2 .
После подстановки (3) в (1), получим
2 0
v
1 2 k2 ,
L
где
2
kl 2
,
I
v2
2I
LSC ,
L3 S
2I
C ,
k2
k1
.
I
Так как момент упругих сил подвески намного больше составляющей
аэродинамических сил, пропорциональной углу β, уравнение перепишется
следующим образом:
v
1 2 k2 .
L
2 0
(4)
В [11] описано решение системы (4) методом Крылова-Боголюбова в
первом приближении для случая, когда µ – малый параметр.
В результате получим уравнения для медленно изменяющихся
амплитуды А и фазы вращательных колебаний φ.
A
A v
v 2 v 2
k2 0 A ,
2 L
L
4
L
(5)
0.
Если в первом из уравнений (5) приравнять нулю производную
амплитуды, получим соответствие колебаниям постоянной амплитудой:
6
A2
1 k L
02 2 .
4
v
(6)
Постановка эксперимента
Исследования
проводились
на
аэродинамической
трубе
АТ-12,
описанной в работе [1]. В открытой рабочей части установки скорость
воздушного потока может регулироваться в пределах от 0 до 40 м/с. Начальная
степень турбулентности равна 0,4%. Длина рабочей части 2,25 м, диаметр
среза сопла круглого сечения 1,5 м.
Рис. 1. Аэродинамическая труба АТ-12
Исследовались вращательные колебания цилиндров удлинения 1.5
(диаметр 14 мм), 2 (диаметр 14 мм), 3 (диаметр 10 мм), прямоугольной призмы
удлинения 3 (длина 300 мм) и модели вагона канатной дороги (высота 120 мм,
ширина 105 мм, длина 220 мм), которую также можно отнести к категории
цилиндров малого удлинения.
Рис. 2. Сечение модели вагона канатной дороги
7
Исследуемые тела были закреплены в потоке воздуха так, чтобы могли
совершаться вращательные колебания вокруг горизонтальной оси,
перпендикулярной вектору скорости набегающего потока и проходящей через
центр масс модели. К державке, расположенной на задней кромке тела, были
прикреплены две стальные пружины (рис. 3). Верхняя пружина была
присоединена к механизму изменения угла атаки.
Нижняя пружина
прикреплена к полупроводниковому тензопреобразователю С-50. Пружины
находились вне воздушного потока. Сигнал от тензопреобразователя
подавался на осциллограф Velleman PCS500A, который, в свою очередь, был
связан с компьютером.
Рис. 3. Схема эксперимента: 1 – цилиндр, 2 – пружины, 3 –
полупроводниковый тензопреобразователь С-50, 4 – хвостовая державка.
Ход исследования
Во время эксперимента при фиксированной скорости записывались
данные, поступающие с осциллографа на компьютер. Каждый раз
продолжительность записи составляла 17 секунд. За это время в файл
записывались результаты 1700 измерений (100 измерений в секунду). Пример
полученных данных представлен на рис. 4. По оси абсцисс откладывается
номер измерения, по оси ординат – данные об амплитуде в данный момент
времени в делениях.
8
120
Деления
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
250
№ считывания
300
350
400
450
Рис. 4 Фрагмент результатов, записанных с осциллографа
Количество проведенных измерений для различных моделей при
различных скоростях и углах равновесного положения цилиндра:
Модель
Смещение оси
вращения
Количество
измерений
Цилиндр удлинения 2
0
18
Цилиндр удлинения 2
-D/7
31
Цилиндр удлинения 2
D/7
40
Цилиндр удлинения 2
2D/7
31
Цилиндр удлинения 3
0
6
Цилиндр удлинения 1.5
D
24
Прямоугольная призма удлинения 3
0
27
Модель вагона канатной дороги
0
41
Для каждой модели частота колебаний не зависела от скорости
набегающего потока. Так как частота колебаний была одинакова как в случае
воздействия набегающего потока на тело, так и при отсутствии набегающего
потока (рассматривались затухающие колебания), можно сделать вывод, что
что аэродинамические силы были малы по сравнению с упругими силами,
которые действовали со стороны подвески.
9
Показания осциллографа отражали силу натяжения нижней пружины
при колебании модели. Поэтому для того, чтобы связать амплитуду колебаний
с максимальной или минимальной силой натяжения пружины, было сделано
предположение, что натяжение пружин в экстремумах зависимости сигнала от
времени равно натяжению пружин при действии постоянной нагрузки,
вызывающей отклонение, являющееся амплитудой колебаний.
Для того, чтобы связать показания осциллографа с амплитудой
колебаний, было произведено два градуировочных эксперимента. В первом
эксперименте в момент ведения записи показаний тензопреобразователя с
модели, находящейся в состоянии покоя, к хвостовой державке крепился груз
известной массы, тем самым вызывая отклонение цилиндра и изменение
показаний тензопреобразователя, так как такое действие сопровождалось
сжатием нижней пружины. Показания осциллографа в этот момент
представлены на рисунке 5:
140
120
Деления
100
80
60
40
20
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
№ считывания
Рис. 5 Показания осциллографа, первый тарировочный эксперимент
Как видно, график делится на три части: первая часть – до того, как к
телу подвесили груз, вторая – момент, когда груз был подвешен и происходило
вращение, третья – когда вращение тела относительно горизонтальной оси
прекратилось. В идеале первая и третья части должны быть константами, но
этого не произошло из-за возникновения шумов. Поэтому была написана
программа, вычисляющая среднее арифметическое показаний на первом
участке и на третьем. После чего из второго было вычтено первое и, таким
образом, был получено значение скачка.
Второй эксперимент заключался в том, чтобы понять, на сколько
миллиметров отклоняется державка от начального положения при
10
закреплении на ней груза той же массы, что и в первом эксперименте. В
зависимости от модели и расположения оси вращения отклонение составляло
70-80 мм. Из полученных результатов можно понять, какому количеству
делений соответствует отклонение державки в миллиметрах.
В результате градуировки определялся коэффициент, связывающий
амплитуду колебаний натяжения нижней пружины с амплитудой
вращательных колебаний цилиндра. После этого на С++ была написана
программа, которая для каждого измерения вычисляет период колебаний.
Модель
Смещение оси вращения
Период
колебаний, с
Цилиндр удлинения 2
0
0,29
Цилиндр удлинения 2
-D/7
0,31
Цилиндр удлинения 2
D/7
0,28
Цилиндр удлинения 2
2D/7
0,31
Цилиндр удлинения 3
0
0,31
Цилиндр удлинения 1.5
D
0,27
Прямоугольная
удлинения 3
призма
0
0,29
Модель вагона канатной
дороги
0
0,24
На основе полученных данных было замечено, что колебания имеют
гармонический характер. Таким образом, было необходимо описать колебания
в виде f(t)=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+C+ξ, где ξ – случайная величина. Для того,
чтобы найти коэффициенты А и В, f(t) была умножена поочередно на sin(ωti)
и cos(ωti), а полученные равенства просуммированы по периоду. Опираясь на
следующие соотношения:
1
𝛼 = ∑𝑛𝑖=1 cos 2 (ω𝑡𝑖 ) 0,5,
𝑛
1
𝛽 = ∑𝑛𝑖=1 sin2 (ω𝑡𝑖 ) 0,5,
𝑛
1
𝛿 = ∑𝑛𝑖=1 cos(ω𝑡𝑖 )sin(ω𝑡𝑖 ) 0,
𝑛
1
𝜈 = ∑𝑛𝑖=1 cos(ω𝑡𝑖 ) 0,
𝑛
11
1
𝜇 = ∑𝑛𝑖=1 sin(ω𝑡𝑖 ) 0,
𝑛
1
𝜑 = ∑𝑛𝑖=1 𝜉𝑖 sin(ω𝑡𝑖 ) 0,
𝑛
1
𝜓 = ∑𝑛𝑖=1 𝜉𝑖 cos(ω𝑡𝑖 ) 0,
𝑛
где n – количество измерений, проведенных за период, из полученных
равенств
1
Aβ+Bδ+Cμ+ φ= ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 ) sin(𝜔𝑡𝑖 ),
𝑛
1
Aδ+Bα+Cν+ ψ= ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 )cos(𝜔𝑡𝑖 ),
𝑛
2
2
𝑛
𝑛
можно вывести, что A= ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 )𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡𝑖 ), а B= ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 )𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡𝑖 ).
Таким образом, были вычислены коэффициенты A и B для каждого
периода из каждого измерения. После чего были определены амплитуды как
√А2 + 𝐵2 и для каждой скорости было взято среднее арифметическое
получившихся амплитуд.
Полученные результаты
Опираясь на связь между показаниями осциллографа (в делениях) и
углом поворота, амплитуды вращательных колебаний были вычислены в
радианах. 𝛽0 – равновесный угол наклона тела.
Цилиндр удлинения 2, смещение оси вращения от центра масс 0
𝛽0 (градусы)
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
Скорость
(м/с)
5,08
6,22
8,04
9,34
10,93
12,45
13,8
5,39
6,48
8,8
10,93
Амплитуда
(рад.)
0,1
0,14
0,16
0,19
0,19
0,2
0,2
0,1
0,14
0,17
0,19
12
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
12,05
13,92
5,08
6,72
8,04
9,84
12,05
14,03
5,39
8,43
10,48
12,19
13,92
0,2
0,2
0,1
0,13
0,15
0,17
0,18
0,2
0,08
0,14
0,16
0,16
0,17
Цилиндр удлинения 2, смещение оси вращения от центра масс –D/7
𝛽0 (градусы)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Скорость
(м/с)
6,04
7,05
8,54
10,92
12,87
14,90
16,88
18,21
19,94
6,31
9,46
11,80
13,87
15,87
17,46
19,01
19,94
Амплитуда
(рад.)
0,13
0,17
0,21
0,22
0,25
0,27
0,29
0,30
0,29
0,12
0,19
0,23
0,24
0,27
0,27
0,27
0,29
13
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
6,04
9,28
12,08
14,90
16,49
17,75
19,27
5,76
9,46
12,21
14,79
16,28
18,30
20,03
0,09
0,11
0,10
0,10
0,09
0,08
0,08
0,09
0,11
0,10
0,10
0,09
0,08
0,08
Цилиндр удлинения 2, смещение оси вращения от центра масс D/7
𝛽0 (градусы)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
Скорость
(м/с)
5,15
7,51
10,46
12,08
14,22
15,77
17,84
19,18
20,19
6,81
8,73
10,77
12,48
14,10
16,49
18,30
Амплитуда
(рад.)
0,07
0,10
0,12
0,13
0,14
0,15
0,15
0,15
0,16
0,16
0,20
0,24
0,26
0,28
0,28
0,30
14
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
19,78
6,56
9,46
12,21
14,57
17,18
18,83
19,94
6,56
9,10
11,66
14,34
16,18
18,21
19,94
0,29
0,14
0,17
0,20
0,23
0,27
0,28
0,28
0,06
0,06
0,07
0,06
0,07
0,06
0,06
Цилиндр удлинения 2, смещение оси вращения от центра масс 2D/7
Скорость
Амплитуда
𝛽0 (градусы)
(м/с)
(рад.)
0
4,82
0,10
0
7,72
0,18
0
10,30
0,25
0
13,25
0,29
0
15,77
0,31
0
18,02
0,34
0
19,44
0,33
1
7,05
0,22
1
9,63
0,28
1
12,08
0,31
1
13,87
0,32
1
15,98
0,33
1
17,65
0,34
1
18,75
0,34
1
19,61
0,34
2
7,72
0,12
15
2
2
2
2
2
2
9,97
12,08
14,10
16,18
17,93
19,94
0,14
0,15
0,16
0,16
0,17
0,17
Прямоугольная призма удлинения 3
𝛽0 (град.)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
1
1
1
1
1
Скорость
потока (м/с)
7,10
8,46
8,46
10,68
10,68
12,72
14,57
16,04
17,31
18,21
9,50
11,28
13,13
14,75
15,79
17,31
18,21
9,50
11,28
11,28
13,43
14,38
15,79
17,23
Амплитуда
(рад.)
0,06
0,08
0,09
0,10
0,10
0,12
0,16
0,17
0,17
0,18
0,07
0,11
0,14
0,15
0,16
0,17
0,17
0,08
0,10
0,09
0,13
0,15
0,16
0,17
16
1
2
2
2
2
2
18,28
12,93
14,47
15,87
17,08
18,35
0,17
0,11
0,13
0,14
0,15
0,15
Модель вагона канатной дороги
𝛽0 (град.)
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Скорость
потока (м/с)
5,40
8,46
10,43
12,51
13,72
14,93
4,89
7,81
9,50
11,52
13,13
14,47
4,89
7,10
8,92
10,17
11,63
12,82
5,15
7,81
9,21
10,55
11,63
12,93
Амплитуда
(рад.)
0,08
0,15
0,17
0,19
0,23
0,23
0,20
0,36
0,43
0,48
0,50
0,51
0,14
0,18
0,21
0,23
0,24
0,25
0,25
0,37
0,43
0,46
0,47
0,48
17
1
2
2
2
2
2
2
13,82
5,87
8,14
9,35
11,28
11,97
13,33
0,48
0,13
0,17
0,20
0,20
0,21
0,23
На основе полученных данных, с учетом принятой математической
модели, для каждого исследуемого тела можно построить зависимости,
𝐴2
1
соответствующие формуле (6): ( + 20 ) = 𝑓 ( ), где А – амплитуда в
4
𝑉
радианах, 𝛽0 – равновесный угол наклона тела в радианах, v – скорость
воздушного потока в м/с. На рисунке 6 показаны линейные зависимости для
цилиндра удлинения 2.
(A2/4+β02)(1/V)
0,014
Смещение оси вращения 0
0,012
Смещение оси вращения
2D/7
Смещение оси вращения
D/7
Смещение оси вращения D/7
Линейная (Смещение оси
вращения 0)
Линейная (Смещение оси
вращения 2D/7)
Линейная (Смещение оси
вращения D/7)
A2/4+β02
0,010
0,008
0,006
0,004
0,002
0,000
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
1/V
Рис.6. Зависимости
𝐴2
4
+ 20 от 1/v для цилиндра с удлинением 2.
На основе полученных данных был сделан вывод, что наименьшие
колебания достигаются в случае, если ось вращения удалена от передней или
задней кромки цилиндра на расстояние, равное его диаметру. Эта гипотеза
была проверена для цилиндров с удлинениями 1,5 и 3.
Для цилиндра с удлинением 3 рассматривалось 2 случая: ось вращения
смещена от центра тяжести на D/2 вверх и вниз по потоку. В обоих случаях,
независимо от скорости набегающего потока и угла 𝛽0, вращательных
18
колебаний не возникало. После воздействия на цилиндр искусственно
вызванные колебания быстро затухали.
Для цилиндра с удлинением 1,5 так же были проведены аналогичные
исследования. Рассмотрено два случая: ось вращения смещена от центра
тяжести на D/4 вверх и вниз по потоку. Для случая, когда ось вращения
смещена от центра тяжести на D/4 вниз по потоку, полученные результаты
аналогичны результатам для цилиндра с удлинением 3.
В случае, когда ось вращения смещена от центра тяжести на D/4 вверх
по потоку, вращательные колебания в воздушном потоке самостоятельно не
возникали. Но при попытке вызвать их искусственным образом колебания
принимали установившийся вид и затухали только на маленьких скоростях.
Это позволило провести исследования, аналогичные исследованиям для
𝐴2
1
цилиндра с удлинением 2. Была построена зависимость ( + 20 ) = 𝑓 ( ) ,
4
𝑉
приведенная на рис. 7.
(A 2 /4+Β 0 2 )(1/V)
0,030000
0,025000
A2/4+Β02
0,020000
0,015000
0,010000
0,005000
0,000000
0,00
0,02
-0,005000
Рис.7. Зависимость
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
1/V
𝐴2
4
+ 20 от 1/v для цилиндра с удлинением 1,5. Ось
вращения смещена от центра масс на D/4 вверх по потоку.
Для прямоугольной призмы удлинения 3 при углах 𝛽0 равных 0.5, 1 и 2
𝐴2
1
градуса так же была построена зависимость ( + 𝛽0 2 ) = 𝑓 ( ) (рис. 8).
4
𝑉
19
(A 2 /4+Β 0 2 )(1/V)
0,0090
0,0080
0,0070
A2/4+Β02
0,0060
0,0050
0,0040
0,0030
0,0020
0,0010
0,0000
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
1/V
Рис. 8. Зависимость (
𝐴2
4
1
+ 𝛽0 2 ) = 𝑓 ( ) для прямоугольной призмы
𝑉
удлинения 3 при углах 𝛽0 равных 0.5, 1 и 2 градуса.
𝐴2
1
Кроме того, была построена зависимость ( + 20 ) = 𝑓 ( ) для угла
4
𝑉
𝛽0=0 градусов (рис. 9).
(A 2 /4+Β 0 2 )(1/V)
0,0080
0,0070
A2/4+Β02
0,0060
0,0050
0,0040
0,0030
0,0020
0,0010
0,0000
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
1/V
𝐴2
Рис. 9. Зависимость (
4
1
+ 20 ) = 𝑓 ( ) для прямоугольной призмы при угле
𝑉
𝛽0=0 градусов.
20
На графике видно, что точки не лежат на одной прямой. Это связано с
тем, что амплитуды колебаний малы и данная ситуация не описывается
используемой моделью.
𝐴2
Зависимость (
4
1
+ 20 ) = 𝑓 ( ) для модели вагона канатной дороги при
𝑉
углах 𝛽0 равных -1, 0, 1 изображена на рис. 10.
(A 2 /4+Β 0 2 )(1/V)
0,0180
0,0160
0,0140
A2/4+Β02
0,0120
0,0100
0,0080
0,0060
0,0040
0,0020
0,0000
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1/V
𝐴2
Рис. 10. Зависимость (
4
1
+ 20 ) = 𝑓 ( ) для модели вагона канатной дороги
𝑉
при углах 𝛽0 равных -1, 0, 1
Видно, что при таких углах 𝛽0 колебания модели вагона канатной дороги
удовлетворяют принятой математической модели, но для угла 𝛽0=-2 линейной
зависимости уже не было и модель в данном случае не работала (рис. 11).
( A 2 /4+Β 0 2 )(1/V)
0,0160
0,0140
A2/4+Β02
0,0120
0,0100
0,0080
0,0060
0,0040
0,0020
0,0000
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
1/V
𝐴2
Рис. 11. Зависимость (
4
1
+ 20 ) = 𝑓 ( ) для модели вагона канатной дороги
𝑉
при угле 𝛽0=-2.
21
Были посчитаны параметры δ принятой математической модели для
𝐴2
случаев, когда зависимость (
4
Модель
1
+ 20 ) = 𝑓 ( ) была линейной:
𝑉
Смещение оси вращения
δ
k2
Цилиндр удлинения 2
0
67
14
Цилиндр удлинения 2
-D/7
82
17
Цилиндр удлинения 2
D/7
103
22
Цилиндр удлинения 2
2D/7
122
26
Цилиндр удлинения 1.5
D
22
5
Прямоугольная
удлинения 3
призма
0
70
14
Модель вагона канатной
дороги
0
45
12
Заключение
Таким
образом,
в
данной
работе
проведено
исследование
установившихся вращательных колебаний, которые возникают при обтекании
тела потоком воздуха.
Рассмотрены колебания нескольких моделей:
цилиндров удлинения 1.5, 2, 3, прямоугольной призмы удлинения 3 и модели
вагона канатной дороги. Колебания цилиндров удлинения 2 и 1,5
исследовались для нескольких различных положений оси вращения. Для всех
рассмотренных случаев получены амплитуды колебаний и их период. Кроме
того, для исследуемых колебаний в различных случаях была построена
𝐴2
зависимость (
4
1
+ 20 ) = 𝑓 ( ), описывающая модель колебаний, принятую в
𝑉
данной работе. Были показаны ситуации, когда данная модель работает и не
работает. Методом наименьших квадратов найдены коэффициенты этой
зависимости, из которых непосредственно найдены параметры модели δ,
описывающий влияние аэродинамических сил и k2, описывающий вязкое
сопротивление подвески. Чем больше параметр δ, тем больше амплитуда
колебаний цилиндра, соответствующего данному параметру.
22
Список литературы
1. Ковалев М. А. О расчете и исследовании аэродинамических труб //Уч.
зап. Ленингр. ун-та. – 1939. – Вып. 7. – С. 61–86.
2. Рябинин А.Н., Тюрин Б.Ф. Поведение груза, подвешенного под
вертолетом // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1993. Вып. 1. С. 87-91.
3. Рябинин А. Н., Колебания маятника со стабилизатором в воздушном
потоке. // Вестн. С-Петербург. ун-та. Сер. 1, 1997. Вып. 2. С.71-77.
4. Рябинин А. Н. Некоторые задачи аэродинамики плохообтекаемых тел.
Изд. СПбГУ, 1997.
5. Лущенко И. В., Рябинин А. Н. Экспериментальные исследования
колебаний цилиндра в воздушном потоке // Вестник С.-Петербург. унта. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 120-123.
6. Киселев Н. А. Рябинин А. Н. Вращательные колебания цилиндров //
Седьмые Поляховские чтения. Тезисы докладов Международной
научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 2-6 февраля 2015
г. М., 2015. С. 231-232.
7. Киселев Н. А., Рябинин А. Н. Исследование вращательных колебаний
цилиндра в воздушном потоке // Естественные и математические науки
в современном мире, 2014. №2(15). С. 83-87.
8. Рябинин А. Н., Киселев Н. А., Влияние положения оси вращения
цилиндра на его вращательные колебания в воздушном потоке //
Вестник С.-Петербург. ун-та. Сер. 1, 2016, Вып.2 (в печати)
9. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в
нестационарном потоке газа, М., 1971. 768 с.
10. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний, 4-е изд. М.: Наука, 1974. 504 с.
23
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв