Экспоненциальные сигналы в Анализе Сингулярного Спектра

Пимахов Кирилл Юрьевич

Экспоненциальные сигналы в Анализе Сингулярного Спектра

Пимахов Кирилл Юрьевич. Экспоненциальные сигналы в Анализе Сингулярного Спектра. Научный руководитель: Кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Некруткин. Прикладная математика и информатика. Вычислительная стохастика и статистические модели. Работа содержит некоторые теоретические результаты, относящиеся к асимптотической точности Анализа Сингулярного Спектра (далее, SSA). Исследовался случай экспоненциального сигнала (сумма двух экспонент) и константной помехи. Доказаны несколько утверждений, связанных с нормой соответствующих операторов проектирования. Было доказано также, что, вообще говоря, ошибка восстановления SSA не стремится к нулю. Количество использованных источников: 6. Пимахов К.Ю. Экспоненциальные сигналы в Анализе Сингулярного Спектра: бакалаврская работа / Пимахов Кирилл Юрьевич. -СПб.,2016. -47 с. -Библиогр.: с.35.

Математика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d363c5f1be77c40d58a24

UUID: 7962b35e-befc-4f1c-bdb1-87b50f411454

Язык: Русский

Опубликовано: почти 8 лет назад

Просмотры: 15

Пимахов Кирилл Юрьевич

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 720302 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский государственный университет Прикладная математика и информатика Вычислительная стохастика и статистические модели Пимахов Кирилл Юрьевич Экспоненциальные сигналы в Анализе Сингулярного Спектра Бакалаврская работа Научный руководитель: к. ф.-м. н., доцент В. В. Некруткин Рецензент: к. ф.-м. н., доцент Н. Э. Голяндина Санкт-Петербург 2016

Saint Petersburg State University Applied Mathematics and Computer Science Computational Stochastics and Statistical Models Pimakhov Kirill Yuryevich Exponential signals in singular spectrum analysis Bachelor’s Thesis Scientific Supervisor: Associate Professor V. V. Nekrutkin Reviewer: Associate Professor N. E. Golyandina Saint Petersburg 2016

3 Оглавление Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Общее описание задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Результаты работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Глава 2. Достаточное условие разложения Като . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Асимптотика 𝜇min и 𝜇max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Асимптотика B(𝛿)/𝜇min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ⃦ ⃦ (1) ⃦ ⃦ ⊥⃦ и асимптотике ⃦V0 ⃦ . . О скорости сходимости ⃦P⊥ 0 (𝛿) − P0 16 3.1. Оценка теоремы 1.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Асимптотика нормы матрицы V0 Глава 3. (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ошибки восстановления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1. Общие описание задачи и метода решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2. Ошибка восстановления последнего элемента сигнала . . . . . . . . . . . 29 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Приложение А. Численная иллюстрация полученных результатов . . 36 А.1. Асимптотики собственных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 А.2. Асимптотики 𝛼𝑖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 А.3. Асимптотика ‖S0 B(𝛿)P0 ‖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Глава 4. (1) А.4. Асимптотика ‖V0 ‖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 А.5. Ошибки восстановления последнего элемента . . . . . . . . . . . . . . . . 41 А.6. Значения 𝑟∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 А.7. Поведение нормы разности проекторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 А.8. Главный член разности проекторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Глава 1 Введение 1.1. Общее описание задачи. Существует семейство методов анализа временных рядов, основанных на Signal Subspace подходе. Для них, в частности, точность оценки незашумленного временного ряда зависит от близости некоторых пространств. Следуя [1], рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется исходный ряд («сигнал») F𝑁 = (𝑓0 , 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑁 −1 ), «помеха» E𝑁 = (𝑒0 , 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑁 −1 ), и наблюдается ряд F𝑁 (𝛿) = F𝑁 + 𝛿E𝑁 . Задача состоит в том, чтобы ̃︀ 𝑁 (𝛿) к сигналу F𝑁 . получить приемлемое приближение F Прежде чем формально описать рассматриваемый способ решения этой задачи, введем нужные обозначения. Будем считать, что ряд F𝑁 можно задать с помощью рекуррентной формулы 𝑓𝑛 = 𝑑 ∑︁ 𝑏𝑘 𝑓𝑛−𝑘 , 𝑛 ≥ 𝑑. (1.1.1) 𝑘=1 с минимально возможным для данного ряда 𝑑. Преобразуем временной ряд F𝑁 , удовле творяющий формуле (1.1.1), в матрицу H размерности 𝐿 × 𝐾, где 𝐿 + 𝐾 = 𝑁 − 1 и min (𝐿, 𝐾) ≥ 𝑑: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ H=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑓0 𝑓1 .. . 𝑓1 · · · .. . .. . 𝑓𝐾−1 𝑓𝐾 .. . 𝑓𝐿−1 𝑓𝐿 · · · 𝑓𝐿+𝐾−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ Такая матрица называется траекторной. Она содержит много важной информации о ряде. Например, rank H = 𝑑 где 𝑑 — количество начальных элементов, задающих рекуррентную последовательность (1.1.1). Аналогичную матрицу для ряда E𝑁 будем обозначать E. Траекторную матрицу для F𝑁 (𝛿) будем обозначать H(𝛿) = H + 𝛿E. Но нам больше интересна симметричная матрица A размера 𝐿 × 𝐿, задаваемая равенством A = HHT . Заметим, что её собственные числа вещественные и неотрицательные. Пусть U0 — под пространство, порожденное собственными векторами матрицы A с собственным числом

5 ⊥ 0, а U⊥ 0 — его ортогональное дополнение. Тогда P0 и P0 — соответственно операторы ортогонального проектирования на эти подпространства. Обозначим U⊥ 0 (𝛿) подпространство, образованное 𝑑 собственными векторами мат рицы A(𝛿) = H(𝛿)HT (𝛿), соответствующими её наибольшим собственным числам, а ⊥ ⊥ P⊥ 0 (𝛿) — оператор ортогонального проектирования на это подпространство. U0 и U0 (𝛿) и есть интересующие нас пространства. Их близость будем оценивать как близость их ⊥ операторов проектирования ‖P⊥ 0 (𝛿) − P0 ‖, причем рассматриваться будет асимптоти ческий случай 𝑁 → ∞. ⊥ Один из главных результатов, с помощью которого делаются оценки ‖P⊥ 0 (𝛿)−P0 ‖, основан на классическом разложении Т. Като [2] и имеет (см. [1, th.2.1]) следующий вид. Теорема 1.1.1 (Разложение Като). Если существует такое 𝛿0 , что при любом 𝛿 ∈ (−𝛿0 , 𝛿0 ) выполнено неравенство ‖B(𝛿)‖ < 𝜇min /2, то P⊥ 0 (𝛿) = P⊥ 0 + ∞ ∑︁ W𝑝 (𝛿), (1.1.2) 𝑝=1 где ∑︁ W𝑝 (𝛿) = (−1)𝑝 W𝑝 (𝑙1 , . . . , 𝑙𝑝+1 ) 𝑙1 +···+𝑙𝑝−1 =𝑝, 𝑙𝑗 >0 и 𝑙 𝑙 W𝑝 (𝑙1 , . . . , 𝑙𝑝+1 ) = S𝑙01 B(𝛿)S𝑙02 . . . S0𝑝 B(𝛿)S0𝑝+1 . Также имеет место ещё одно разложение: P⊥ 0 (𝛿) = P⊥ 0 + ∞ ∑︁ (𝑛) 𝛿 𝑛 V0 , (1.1.3) 𝑛=1 где (𝑛) V0 = 𝑛 ∑︁ (−1)𝑛 ∑︁ (𝑛) V0 (s, l), 𝑠1 +···+𝑠𝑝 =𝑛, 𝑠𝑖 =1,2 𝑙1 +···+𝑙𝑝+1 =𝑝, 𝑙𝑗 >0 𝑝=⌈𝑛/2⌉ 𝑙 𝑙 (𝑛) s = (𝑠1 , . . . , 𝑠𝑝 ), l = (𝑙1 , . . . , 𝑙𝑝+1 ) и V0 (s, l) = S𝑙01 A(𝑠1 ) S𝑙02 . . . S0𝑝 A(𝑠𝑝 ) S0𝑝+1 . (0) Пусть S0 — псевдообратная матрица к A, S0 (𝑘) = −P0 и S0 = S𝑘0 для 𝑘 > 1. Обозначим A(1) = HET + EHT , A(2) = EET , B(𝛿) = 𝛿A(1) + 𝛿 2 A(2) , а также 𝜇min и 𝜇max — минимальное и максимальное положительные собственные числа A. Далее используется несколько результатов о близости проекторов P⊥ 0 (𝛿) и P0 (имен ⊥ но на близости пространств U⊥ 0 и U0 (𝛿) основаны многие Signal Subspace методы).

6 Теорема 1.1.2. [1, th.2.3]. Если существует такое 𝛿0 > 0, что при любом 𝛿 ∈ (−𝛿0 , 𝛿0 ) выполнено неравенство ‖B(𝛿)‖ < 𝜇min /4, то ‖P⊥ 0 (𝛿) − P0 ‖ 6 4𝐶 ‖S0 B(𝛿)P0 ‖ , 1 − 4‖B(𝛿)‖/𝜇min (1.1.4) где 𝐶 — некоторая абсолютная константа. Теорема 1.1.3. [1, prop.3.1]. √︀ Пусть Θ = Θ1 Θ2 , Θ1 = 𝜈max /𝜇max , Θ2 = 𝜇max /𝜇min , где 𝜇min , 𝜇max — минимальное и максимальное положительные собственные числа матрицы A, а 𝜈max — максималь ное собственное число A(2) . Если Θ → 0 при 𝑁 → ∞, то ⃦ ⃦ ⃦ ⊥ (1) ⃦ ⊥ ⃦P0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 ⃦ = 𝛿 2 𝑂(Θ2 ), где (1) V0 = P0 EHT S0 + S0 HET P0 . (1.1.5) В настоящей работе рассматривается один из Signal Subspace методов, называемый SSA (Singular Spectrum Аnalysis). Он используется для разделения исходного ряда на несколько различных интерпретируемых аддитивных компонент. Подробное описание метода можно найти в [3] или в [4]. В статье [1] рассматривается вариант SSA, посвященный уже описанной задаче отделения сигнала F𝑁 = (𝑓0 , . . . , 𝑓𝑁 −1 ) от аддитивной помехи E𝑁 = (𝑒0 , . . . , 𝑒𝑁 −1 ) при больших 𝑁 . В рассматриваемой ситуации процедуру SSA можно описать следующим образом. 1. производится сингулярное разложение матрицы H(𝛿); 2. элементарные матрицы этого разложения, соответствующие 𝑑 наибольшим сингу ̃︀ лярным числам, суммируются. В результате получается матрица H; ̃︀ то есть строится ганкелева матрица, наи 3. производится ганкелизация матрицы H, ̃︀ по норме Фробениуса; более близкая к H 4. наконец, эта матрица взаимно-однозначным образом преобразуется во временной ̃︀ 𝑁 (𝛿), который объявляется приближением к F𝑁 . В дальнейшем оператор ряд F перехода от произвольной матрицы G к порождаемому ею временному ряду G обозначается 𝒮, так что G = 𝒮(G).

7 ̃︀ 𝑁 (𝛿) − F𝑁 (то есть ряд из погрешностей полученной ап В [1] показано, что ряд F проксимации сигнала F𝑁 ) имеет следующий вид; (︀(︀ )︀ )︀ ̃︀ 𝑁 (𝛿) − F𝑁 = 𝒮 P⊥ (𝛿) − P⊥ H(𝛿) + 𝛿 P⊥ E . F 0 0 0 (1.1.6) ⊥ Формула (1.1.6) подчеркивает роль близости пространств U⊥ 0 и U0 (𝛿) в методе SSA. Представление (1.1.6), в частности, было применено в [1] для растущего экспонен циального сигнала 𝑓𝑛 = 𝑎𝑛 с 𝑎 > 1 и постоянной помехи 𝑒𝑛 = 1. При этом оказалось, что максимальная по модулю погрешность аппроксимации элементов сигнала F𝑁 не будет стремиться к нулю, если 𝐿 ∼ 𝛼𝑁 с 𝛼 ∈ (0, 1) при 𝑁 → ∞. Такой же результат имеет место для “пилообразной” помехи 𝑒𝑛 = (−1)𝑛 (см. [5]). Основной целью настоящей работы является исследование точности метода SSA для сигнала 𝑓𝑛 = 𝑎𝑛1 + 𝑐𝑎𝑛2 с простейшей постоянной помехой при условии 𝑎1 > 𝑎2 > 1 и 𝑁 → ∞. Для этого понадобятся точные выражения (и их асимптотики) собственных чисел 𝜇max и 𝜇min матрицы HHT . При отыскании этих собственных чисел будут использоваться следующие общие утверждения, доказательство которых можно найти в [6]. Пусть матрица G размера 𝐿 × 𝐾 ранга 𝑑 < min 𝐿, 𝐾 представлена в виде G= 𝑑 ∑︁ 𝑃𝑘 𝑄T 𝑘, 𝑃𝑘 ∈ R𝐿 , 𝑄𝑘 ∈ R𝐾 , 𝑘=1 где 𝑃1 , . . . , 𝑃𝑑 (и 𝑄1 , . . . , 𝑄𝑑 ) — линейно независимые вектора. Введем следующие обо значения. ∙ 𝜎𝑖 = ‖𝑃𝑖 ‖‖𝑄𝑖 ‖. Не умаляя общности, будем считать, что 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ . . . ≥ 𝜎𝑑 . ∙ 𝑋𝑖 = 𝑃𝑖 /‖𝑃𝑖 ‖, 𝑌𝑖 = 𝑄𝑖 /‖𝑄𝑖 ‖. ∙ X = [𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑑 ], Y = [𝑌1 , 𝑌2 , . . . , 𝑌𝑑 ]. ∙ 𝜆max — максимальное собственное число GGT . ∙ U = [𝑃1 : . . . : 𝑃𝑑 ], V = [𝑄1 : . . . : 𝑄𝑑 ]. ∙ ⎛ ΠPQ ⎞⎛ ⎞ ‖𝑃1 ‖ · · · 0 ‖𝑄1 ‖ · · · 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ .. ⎟ ⎜ .. .. ⎟ ⎜ . .. .. = ⎜ .. . . ⎟ ⎜ . . . ⎟. ⎝ ⎠⎝ ⎠ 0 · · · ‖𝑃𝑑 ‖ 0 · · · ‖𝑄𝑑 ‖

8 ∙ C = XT XΠPQ YT YΠPQ , ∙ C′ = UT UVT V. Лемма 1.1.1. [6, lem. 2.1] Если 𝜆 — положительное собственное число GGT с собственным вектором 𝑍, то 1. 𝜆 — собственное число C с собственным вектором XT 𝑍. 2. 𝜆 является собственным числом C′ с собственным вектором UT 𝑍. Теорема 1.1.4. [6, prop. 2.1] Пусть вектора 𝑃𝑘 , 𝑄𝑘 меняются так, что XT X → B1 , YT Y → B2 , где матрицы B1 , B2 обратимы. 1. Пусть 𝜎1 → ∞ и 𝜎𝑗 /𝜎1 → 𝑐𝑗 . Обозначим ⎛ 1 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 𝑐2 Λmax = ⎜ ⎜ .. .. ⎜. . ⎝ 0 0 ··· 0 ⎞ ⎟ ⎟ ··· 0⎟ ⎟ . ⎟. .. . .. ⎟ ⎠ · · · 𝑐𝑑 Если матрица M1 = B1 Λmax B2 Λmax не нильпотентная, то 𝜆max /𝜎12 → 𝜃 > 0, где 𝜃1 — максимальное собственное число M1 . 2. Пусть 𝜎𝑑 → ∞ и 𝜎𝑑 /𝜎𝑗 → 𝑑𝑗 . Обозначим ⎛ 𝑑 0 ⎜ 1 ⎜ ⎜ 0 𝑑2 Λmin = ⎜ ⎜ .. .. ⎜. . ⎝ 0 0 ··· ··· ... ··· ⎞ 0 ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ .. ⎟ . .⎟ ⎠ 1 −1 2 Если матрица M2 = Λmin B−1 2 Λmin B1 не нильпотенная, то 𝜆min /𝜎𝑑 → 𝜃2 > 0, где 1/𝜃2 — максимальное собственное число M2 . 1.2. Результаты работы Как уже говорилось, в работе проводилось изучение метода SSA для частного слу чая сигнала 𝑓𝑛 = 𝑎𝑛1 + 𝑐𝑎𝑛2 и постоянной помехи 𝑒𝑛 = 1. Приведем описание полученных результатов по разделам.

9 В главе 2 изучается асимптотика нормы ‖B(𝛿)‖. Условие ‖B(𝛿)‖ < 𝜇min /2 при грубой оценке порождает неестественное ограничение 𝑎1 < 𝑎22 на исследуемый сигнал, как, например, в предложении [1, prop.3.3]. Первой це лью работы является попытка ослабления этого условия с помощью нахождения точной асимптотики ‖B(𝛿)‖/𝜇min . В теореме 2.2.1 раздела 2.2 показано, что таким образом осла бить условие не удается. Для получения этого результата понадобился анализ асимп тотического поведения собственных чисел матрицы HHT , что составляет содержание раздела 2.1. Эти асимптотики неоднократно используются и в дальнейших разделах. Существует оценка нормы разности проекторов [1, prop.3.3], полученная с помо щью (1.1.4), которая при условиях 𝑎1 /𝑎22 < 1 и 𝐿, 𝐾 → ∞, в рассматриваемом случае имеет вид ⃦ (︀ )︀−𝑁 ⃦ ⊥ ⃦P0 (𝛿) − P⊥ ⃦ ≤ 𝐶|𝛿|, lim sup (𝐿𝐾)−1/2 𝑎1 /𝑎22 0 (1.2.1) 𝑁 где 𝐶 — некоторая константа. В теореме 3.1.1 раздела 3.1 доказана (в тех же услови ях, что и (1.2.1)) более точная оценка сверху нормы разности проекторов, она имеет √ порядок 𝐿𝑎−𝑁 2 . Эта теорема является одним из двух основных результатов главы 3. (1) Второй основной результат главы связан с асимптотикой нормы оператора V0 , который определяет линейный (по параметру возмущения 𝛿) член разложения (1.1.3). В разделе 3.2 (см. теорему 3.2.1) найден вид этой асимптотики, и, кроме того, показано, (1) ⊥ что V0 является главным членом разности P⊥ 0 (𝛿) − P0 при дополнительном условии 3/2 𝑎1 < 𝑎2 . Последняя глава 4 работы посвящена ошибкам восстановления в методе Анализа Сингулярного Спектра. В разделе 4.1 описывается (следуя [1, Ch. 5. 3]) общая схема на хождения таких ошибок, а в разделе 4.2 исследуется ошибка восстановления последнего элемента сигнала. Оказывается (теорема 4.2.1), что эта ошибка, при дополнительном 4/3 условии 𝑎1 < 𝑎2 , имеет конечный предел 𝑟∞ , который, вообще говоря, не совпадает с нулем. В этом случае, конечно, максимальная по модулю ошибка метода Анализа Син гулярного Спектра тоже не будет стремиться к нулю при длине ряда, стремящемся к бесконечности. В Приложении помещены графические иллюстрации к доказанным результатам. Кроме того, графики, помещенные в разделы А.7 и А.8 (см. рисунки А.12, А.14 и А.15) позволяют высказать предположение, что условие 𝑎1 /𝑎22 < 1, при котором доказывались многие перечисленные результаты работы, является излишне сильным.

10 Наконец, из рис. А.9, А.10 в разделе А.6 следует, что предельная ошибка 𝑟∞ вос становления последнего элемента сигнала действительно, вообще говоря, не является нулевой.

11 Глава 2 Достаточное условие разложения Като Как уже упоминалось, достаточным условием справедливости разложения Като (теорема 1.1.1) является выполнение неравенства ‖B(𝛿)‖/𝜇min < 1/2. Поскольку нас такое неравенство интересует для любых 𝛿 при больших 𝑁 , то возникает вопрос об асимптотическом поведении ‖B(𝛿)‖/𝜇min при 𝑁 → ∞. Использование грубого неравенства ‖B(𝛿)‖/𝜇min ≤ |𝛿|‖A(1) ‖ + 𝛿 2 ‖A(2) ‖ приводит (см. [1, prop 3.3]) к условию 𝑎1 /𝑎22 < 1, при невыполнении которого, малость отношения ‖B(𝛿)‖/𝜇min не может быть гарантирована при больших 𝑁 . Здесь будет представлено точное асимптотическое выражение ‖B(𝛿)‖/𝜇min и будет показано, что условие 𝑎1 /𝑎22 < 1 при больших 𝑁 ослабить нельзя. 2.1. Асимптотика 𝜇min и 𝜇max Пусть 𝜇min и 𝜇max — минимальное и максимальное положительные собственные числа матрицы HHT . Найдем их явные выражения, а также асимптотики при 𝑁 → ∞. Обозначим при 𝑗 = 1, 2 и 𝑖 ≥ 1 (︀ )︀T 𝐴𝑖𝑗 = 1, 𝑎𝑗 , 𝑎2𝑗 , . . . , 𝑎𝑗𝑖−1 . Лемма 2.1.1. Пусть U = [𝐴𝐿1 : 𝐴𝐿2 ], V = [𝐴𝐾1 : 𝑐𝐴𝐾2 ], C′ = UT UVT V, где ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑢11 𝑢12 𝑣 𝑣 ⎠ , VT V = ⎝ 11 12 ⎠ , UT U = ⎝ 𝑢12 𝑢22 𝑣12 𝑣22 с 𝑢11 = 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿1 , 𝑢12 = 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿2 , 𝑣11 = 𝐴T 𝐾1 𝐴𝐾1 , 𝑣12 = 𝑐 𝐴T 𝐾1 𝐴𝐾2 , 𝑢22 = 𝐴T 𝐿2 𝐴𝐿2 , 𝑣22 = 𝑐2 𝐴T 𝐾2 𝐴𝐾2 . Кроме того, положим 𝑐11 = 𝑢11 𝑣11 + 𝑢12 𝑣12 , 𝑐12 = 𝑢11 𝑣12 + 𝑢12 𝑣22 , (2.1.1)

12 𝑐21 = 𝑢12 𝑣11 + 𝑢22 𝑣12 , 𝑐22 = 𝑢12 𝑣12 + 𝑢22 𝑣22 . Тогда 𝜇max 1 = 2 )︂ (︂ √︁ 2 2 𝑐11 + 𝑐22 + 𝑐11 − 2𝑐11 𝑐22 + 4𝑐12 𝑐21 + 𝑐22 . 𝜇min 1 = 2 )︂ (︂ √︁ 𝑐11 + 𝑐22 − 𝑐211 − 2𝑐11 𝑐22 + 4𝑐12 𝑐21 + 𝑐222 . (2.1.2) и Доказательство. Пусть ⎛ C′ = ⎝ 𝑐11 𝑐12 𝑐21 𝑐22 ⎞ ⎠. Согласно лемме 1.1.1, положительные собственные числа матриц C′ и HHT совпадают. Явный вид собственных чисел получается непосредственно решением характеристиче ского уравнения с матрицей C′ . Замечание 2.1.1. Заметим, что, так как 1 < 𝑎2 < 𝑎1 , то при 𝐿, 𝐾 → ∞, +2 (𝑎1 𝑎2 )2𝑁 +2 𝑎21 𝑎2𝑁 1 + 𝑐 ∼ 𝑎2𝑁 , (𝑎21 − 1)2 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 (𝑎21 − 1)2 1 𝑐 𝑎2𝐿+𝐾 𝑎𝐾 𝑐2 𝑎𝐿1 𝑎2𝐿+𝐾 𝑐 𝑎1 2 2 𝑐12 ∼ 2 1 + ∼ 2 𝑎𝑁 +𝐿 𝑎𝐾 2 , 2 (𝑎1 −1)(𝑎1 𝑎2 −1) (𝑎1 𝑎2 −1)(𝑎2 − 1) (𝑎1 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) 1 2𝐿+𝐾 𝑎𝐿+2𝐾 𝑐𝑎𝐾 𝑎1 𝑎𝐿2 1 1 𝑎2 +𝐾 𝐿 𝑐21 ∼ + 2 ∼ 𝑎𝑁 𝑎2 , 1 2 2 (𝑎1 𝑎2 − 1)(𝑎1 − 1) (𝑎2 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) (𝑎1 𝑎2 − 1)(𝑎1 − 1) +2 𝑐(𝑎1 𝑎2 )𝑁 +2 𝑐2 𝑎2𝑁 𝑐(𝑎1 𝑎2 )2 2 𝑐22 ∼ + ∼ (𝑎1 𝑎2 )𝑁 . (𝑎1 𝑎2 − 1)2 (𝑎22 − 1)2 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 𝑐11 ∼ Теперь перейдем к асимптотикам собственных чисел. Положим √︃ 𝑀 (𝑎1 𝑎2 ) − 1 (𝑎21 − 1)(𝑎22 − 1) 𝑥𝑀 = cos(𝐴𝑀 1 , 𝐴𝑀 2 ) = 𝑎1 𝑎2 − 1 (𝑎2𝑀 − 1)(𝑎2𝑀 − 1) 1 2 √︀ (𝑎21 − 1)(𝑎22 − 1) 𝑥 = lim 𝑥𝑀 = . 𝑀 →∞ 𝑎1 𝑎2 − 1 и (2.1.3) Предложение 2.1.1. Если 𝐿, 𝐾 → ∞, то 𝜇max ∼ 𝑎21 𝑎2𝑁 (𝑎21 − 1)2 1 и 𝜇min ∼ 𝑐2 𝑎22 (1 − 𝑥2 )2 2𝑁 𝑎 . (𝑎22 − 1)2 2 (2.1.4) Доказательство. Воспользуемся теоремой 1.1.4. В обозначениях этой теоремы 𝜎1 = √︁ X = [𝐴𝐿1 /‖𝐴𝐿1 ‖ : 𝐴𝐿2 /‖𝐴𝐿2 ‖], Y = [𝐴𝐾1 /‖𝐴𝐾1 ‖ : 𝐴𝐾2 /‖𝐴𝐾2 ‖], √︁ 2 2 2𝐿 2𝐾 2𝐾 (𝑎1 − 1)(𝑎1 − 1)/(𝑎1 − 1), 𝜎2 = 𝑐 (𝑎2𝐿 2 − 1)(𝑎2 − 1)/(𝑎2 − 1) . (2.1.5)

13 Нетрудно видеть, что ⎛ XT X = ⎝ 1 𝑥𝐿 𝑥𝐿 1 ⎞ ⎛ ⎠ → B1 = ⎝ 1 𝑥 𝑥 1 ⎞ ⎠. Аналогично ⎛ YT Y = ⎝ 1 𝑥𝐾 𝑥𝐾 1 ⎞ ⎠ → B2 = B1 . Сначала найдем асимптотику 𝜇max . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 0 ⎠ , поэтому M1 = B1 Λmax B2 Λmax = ⎝ ⎠. Λmax = ⎝ 0 0 𝑥 0 Матрица M1 не нильпотентна, так как M21 = M1 , а её максимальное собственное число 𝜃1 = 1, таким образом 𝜇max ∼ 𝜎12 (𝜎1 и 𝜎2 определены в (2.1.5)). Теперь найдем 𝜇min . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 1 ⎝ 1 −𝑥⎠ ⎠ , B−1 Λmin = ⎝ , 1 = 1 − 𝑥2 −𝑥 1 0 1 ⎛ B−1 2 = ⎞ 1 ⎝ 1 −𝑥⎠ , 1 − 𝑥2 −𝑥 1 поэтому ⎛ −1 M2 = Λmin B−1 2 Λmin B1 ⎞ 0 0 1 ⎝ ⎠. = 2 2 (1 − 𝑥 )(1 − 𝑥 ) −𝑥 1 Матрица M2 также не нильпотентна, а её максимальное собственное число имеет вид 𝜃2 = 1/(1 − 𝑥2 )2 . Поэтому 𝜇min ∼ 𝜎22 (1 − 𝑥2 )2 . Замечание 2.1.2. Аналогичным образом можно показать, что ⎧ 2𝐿0 (𝑎 − 1) 2𝐾 ⎪ ⎪ 𝑎 при 𝐿 = 𝐿0 , 𝐾 → ∞, ⎨ 12 (𝑎1 − 1)2 1 𝜇max ∼ (𝑎2𝐾0 − 1) 2𝐿 ⎪ ⎪ ⎩ 12 при 𝐾 = 𝐾0 , 𝐿 → ∞ 𝑎 (𝑎1 − 1)2 1 и 𝜇min ⎧ 2𝐿0 − 1)(1 − 𝑥2𝐿0 )(1 − 𝑥2 ) 2𝐾 ⎪ 2 (𝑎2 ⎪ 𝑎2 ⎨𝑐 (𝑎22 − 1)2 ∼ (𝑎2𝐾0 − 1)(1 − 𝑥2 )(1 − 𝑥2𝐾0 ) 2𝐿 ⎪ ⎪ ⎩𝑐 2 2 𝑎2 (𝑎22 − 1)2 при 𝐿 = 𝐿0 , 𝐾 → ∞, при 𝐾 = 𝐾0 , 𝐿 → ∞.

14 2.2. Асимптотика B(𝛿)/𝜇min Лемма 2.2.1. Матрица (︀ )︀ B(𝛿) = 𝛿 HET + EHT + 𝛿 2 EET (2.2.1) T представима в виде B(𝛿) = 𝑃1 𝑄T 1 + 𝑃2 𝑄2 , где вектора 𝑃1 , 𝑃2 и 𝑄1 , 𝑄2 линейно незави симы. T T Доказательство. Заметим, что E = 𝐸𝐿 𝐸𝐾 и H = 𝐴𝐿1 𝐴T 𝐾1 +𝑐𝐴𝐿2 𝐴𝐾2 , где 𝐴𝑖𝑗 определено (︀ )︀T в (2.1.1). Отметим также, что EET = 𝐾𝐸𝐿 𝐸𝐿T , где 𝐸𝑖 = 1, . . . , 1 ∈ R𝑖 . Далее, T T T T HET = 𝐴𝐿1 𝐴T 𝐾1 𝐸𝐾 𝐸𝐿 + 𝑐 𝐴𝐿2 𝐴𝐾2 𝐸𝐾 𝐸𝐿 = (𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐 𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 )𝐸𝐿 , (2.2.2) где 𝑠𝐾𝑖 = 𝐴T 𝐾𝑖 𝐸𝐾 = 𝐾−1 ∑︁ 𝑎𝑗𝑖 = (𝑎𝐾 𝑖 − 1)/(𝑎𝑖 − 1) . (2.2.3) 𝑗=0 Аналогично T EHT = 𝐸𝐿 (𝑠𝐾1 𝐴T 𝐿1 + 𝑐 𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 ). (2.2.4) Подставляя получившиеся выражения в правую часть (2.2.1), получаем, что (︀ )︀ (︀ )︀ T B(𝛿) = 𝛿 𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐 𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 + 𝛿 𝐾𝐸𝐿 𝐸𝐿T + 𝛿𝐸𝐿 𝑠𝐾1 𝐴T 𝐿1 + 𝑐 𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 = T = 𝑃1 𝑄 T 1 + 𝑃2 𝑄 2 , (2.2.5) где 𝑄1 = 𝑃2 = 𝐸𝐿 , 𝑃1 = 𝛿(𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 + 𝛿𝐾𝐸𝐿 ), 𝑄2 = 𝛿(𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 ). (2.2.6) Векторы 𝑃1 , 𝑃2 и 𝑄1 , 𝑄2 линейно независимы, так как они не коллинеарны. √ Ясно, что ‖𝑄1 ‖ = ‖𝑃2 ‖ = 𝐿. Кроме того, так как 𝑎1 > 𝑎2 , то при 𝐿, 𝐾 → ∞ ⎯ √︃ ⎸𝐿−1 𝐾 ⎸∑︁ (︀ )︀ 𝑎1 𝑎 − 1 𝑎2𝐿 2 1 −1 √︀ ‖𝑄2 ‖ = |𝛿|⎷ 𝑠𝐾1 𝑎𝑖1 +𝑐𝑠𝐾2 𝑎𝑖2 ∼ |𝛿| 1 ∼ |𝛿| 𝑎𝑁 1 ; (2.2.7) 2 2 𝑎1 − 1 𝑎1 − 1 (𝑎1 − 1) 𝑎1 − 1 𝑖=0 ⎯ ⎸𝐿−1 ⎸∑︁ (︀ )︀2 ‖𝑃1 ‖ = |𝛿|⎷ 𝑠𝐾1 𝑎𝑖1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝑎𝑖2 + 𝐾𝛿 ∼ ‖𝑄2 ‖ ∼ |𝛿| 𝑖=0 𝑄T 1 𝑄2 𝑎1 √︀ 𝑎𝑁 1 , (𝑎1 − 1) 𝑎21 − 1 (︂ )︂ 𝑎𝐿1 − 1 𝑎𝐿2 − 1 𝛿 𝑎1 = 𝛿 𝑠𝐾1 + 𝑠𝐾2 ∼ 𝑎𝑁 𝑎1 − 1 𝑎2 − 1 (𝑎1 − 1)2 1 и 2 T 𝑃1T 𝑃2 = 𝑄T 1 𝑄2 + 𝛿 𝐾𝐿 ∼ 𝑄1 𝑄2 . (2.2.8)

15 Теорема 2.2.1. При 𝐿, 𝐾 → ∞ верна асимптотика √ ‖B(𝛿)‖/𝜇min ∼ |𝛿| 𝛽1 (𝑎1 /𝑎22 )𝑁 𝐿, (2.2.9) где 𝛽1 = 𝑎1 (𝑎22 − 1)2 √︀ , 𝑎22 𝑐2 (1 − 𝑥2 )2 (𝑎1 − 1) 𝑎21 − 1 (2.2.10) а 𝑥 определено в (2.1.3). Доказательство. Учитывая разложение (2.2.5), (2.2.6), применим теорему 1.1.4 с B(𝛿) = G. Для этого рассмотрим матрицу YT Y = {𝑏𝑖𝑗 }2𝑖,𝑗=1 , где 𝑏𝑖𝑖 = 1, а в нашем случае (см. (2.2.7) и (2.2.8)) 𝑏12 = 𝑏21 1 sign(𝛿) √ = 𝑄T 1 𝑄2 ∼ ‖𝑄1 ‖‖𝑄2 ‖ 𝐿 √︂ 𝑎1 + 1 . 𝑎1 − 1 В результате получаем, что последовательность матриц YT Y сходится к единичной матрице. Такой же предел имеет последовательность матриц XT X, поскольку T ‖𝑃1 ‖ ∼ ‖𝑄2 ‖, ‖𝑃2 ‖ = ‖𝑄1 ‖ и 𝑄T 1 𝑄2 ∼ 𝑃1 𝑃2 . (2.2.11) Далее, из (2.2.11) видим, что √ 𝜎1 = ‖𝑃1 𝑄1 ‖ ∼ 𝜎2 = ‖𝑃2 𝑄2 ‖ ∼ |𝛿| 𝐿 𝑎1 √︀ 𝑎𝑁 1 , 2 (𝑎1 − 1) 𝑎1 − 1 (2.2.12) поэтому матрица Λmax единичная. Значит, матрица M1 тоже единичная. Следовательно, согласно утверждению теоремы 1.1.4, максимальное собственное число 𝜆max матрицы B(𝛿)B(𝛿)T эквивалентно 𝜎12 . Отсюда, учитывая (2.1.4) и (2.2.12), получаем требуемое. Замечание 2.2.1. Если 𝐿 = 𝐿0 или 𝐾 = 𝐾0 , то (2.2.9) также имеет место, но коэффи циент 𝛽1 вместо (2.2.10) принимает другие значения. Замечание 2.2.2. Результат теоремы 2.2.1 показывает, что в рамках теоремы 1.1.1 для рассматриваемой задачи условие 𝑎1 /𝑎22 < 1 при 𝐿, 𝐾 → ∞ ослабить нельзя.

16 Глава 3 ⃦ ⊥ ⃦ ⊥⃦ ⃦ О скорости сходимости P0 (𝛿) − P0 и асимптотике ⃦ (1)⃦ ⃦V ⃦ 0 Из результата [1, prop.3.3], в частности, следует, что для рассматриваемых сигнала и помехи, при 𝑎1 < 𝑎2 и 𝐿, 𝐾 → ∞, ⃦ )︀−𝑁 ⃦ ⊥ (︀ ⃦ ≤ 𝐶|𝛿|, ⃦P0 (𝛿) − P⊥ lim sup (𝐿𝐾)−1/2 𝑎1 /𝑎22 0 (3.0.1) 𝑁 где 𝐶 — некоторая абсолютная постоянная. В этом разделе оценка скорости сходимости ⃦ ⃦ ⊥⃦ к нулю нормы ⃦P⊥ будет уточнена. 0 (𝛿) − P0 (1) Кроме того, будет найдено асимптотическое поведение нормы оператора V0 . 3.1. Оценка теоремы 1.1.2 Если 𝑎1 /𝑎22 < 1, то в правой части неравенства (1.1.4) за скорость сходимости нормы разности проекторов при 𝐿, 𝐾 → ∞ отвечает числитель ‖S0 B(𝛿)P0 ‖. Найдем его асимптотику. (Заметим, что неравенство (3.0.1) получено в [1, prop.3.3] путем грубой оценки этой нормы). Сначала нам понадобятся операторы проектирования на подпространства ненуле ∑︀ вых собственных векторов HHT , поскольку S0 = 𝜇>0 P𝜇 /𝜇, где P𝜇 — оператор проек тирования на собственное подпространство собственного числа 𝜇, а суммирование идет по всем положительным собственным числам HHT . В нашем случае S0 = P𝜇max /𝜇max + P𝜇min /𝜇min , (3.1.1) так как, во-первых, rank HHT = 2, во-вторых, согласно предложению 2.1.1 при доста точно больших 𝑁 два положительных собственных числа различны. Известно, что если 𝜇 — собственное число кратности 1, то P𝜇 = 𝑈 𝑈 T где 𝑈 — нормированный на 1 собственный вектор с собственным числом 𝜇. Чтобы найти 𝑈 , соответствующий какому-нибудь положительному собственному числу, представим HHT в виде HHT = 𝑋1 𝑌1T + 𝑋2 𝑌2T : T T T T HHT = (𝐴𝐿1 𝐴T 𝐾1 + 𝑐𝐴𝐿2 𝐴𝐾2 )(𝐴𝐿1 𝐴𝐾1 + 𝑐𝐴𝐿2 𝐴𝐾2 ) =

17 T T T T T 2 T T = 𝐴𝐿1 (𝐴T 𝐾1 𝐴𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐𝐴𝐾1 𝐴𝐾2 𝐴𝐿2 ) + 𝐴𝐿2 (𝑐𝐴𝐾2 𝐴𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐 𝐴𝐾2 𝐴𝐾2 𝐴𝐿2 ) = = 𝑋1 𝑌1T + 𝑋2 𝑌2T , (3.1.2) где 𝑋1 = 𝐴𝐿1 , 𝑋2 = 𝐴𝐿2 (вектора 𝐴𝑖𝑗 определены в (2.1.1)) T T 2 T 𝑌1 = 𝐴 T 𝐾1 𝐴𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐𝐴𝐾1 𝐴𝐾2 𝐴𝐿2 и 𝑌2 = 𝑐𝐴𝐾2 𝐴𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐 𝐴𝐾2 𝐴𝐾2 𝐴𝐿2 . При 𝐿, 𝐾 → ∞ √︃ ‖𝑋1 ‖ = ‖𝑌1 ‖ 𝑎2𝐿 𝑎𝐿1 1 −1 √︀ ∼ 𝑎21 − 1 𝑎21 − 𝑎2𝐾+𝐿 ∼ 21 и (𝑎1 − 1)3/2 √︃ 𝑎2𝐿 𝑎𝐿2 2 −1 √︀ ∼ , 𝑎22 − 1 1 𝑎22 − 1 𝑎𝐾+𝐿 𝑎𝐿 1 √︀2 ‖𝑌2 ‖ ∼ |𝑐| . (𝑎1 𝑎2 − 1) 𝑎21 − 1 , ‖𝑋2 ‖ = Пусть 𝑈1 — собственный вектор с собственным числом 𝜇1 = 𝜇min , а 𝑈2 — собствен ный вектор с собственным числом 𝜇2 = 𝜇max . Так как вектора 𝑋1 , 𝑋2 (как и 𝑌1 , 𝑌2 ) линейно независимы, то собственные вектора 𝑈𝑖 являются линейной комбинацией 𝑋1 , 𝑋2 . Поскольку 𝑋1 не является собственным вектором матрицы HHT , то нормирован ные собственные вектора этой матрицы имеют вид 𝑈𝑖 = (𝛼𝑖 𝑋1 + 𝑋2 )/‖𝛼𝑖 𝑋1 + 𝑋2 ‖, 𝑖 = 1, 2. (3.1.3) Теперь найдем числа 𝛼𝑖 . Лемма 3.1.1. При 𝑖 = 1, 2 имеют место равенства 𝛼𝑖 = 𝜇𝑖 − 𝑏12 − 𝑏22 , 𝑏11 + 𝑏21 − 𝜇𝑖 (3.1.4) где 𝜇1 = 𝜇min , 𝜇2 = 𝜇max , 𝑏11 = 𝑌1T 𝑋1 , 𝑏12 = 𝑌1T 𝑋2 , 𝑏21 = 𝑌2T 𝑋1 и 𝑏22 = 𝑌2T 𝑋2 . Доказательство. Поскольку HHT (𝛼𝑖 𝑋1 + 𝑋2 ) = (𝑋1 𝑌1T + 𝑋2 𝑌2T )(𝛼𝑖 𝑋1 + 𝑋2 ), то 𝛼𝑖 удовлетворяет системе (𝑋1 𝑌1T + 𝑋2 𝑌2T )(𝛼𝑖 𝑋1 + 𝑋2 ) = 𝜇𝑖 (𝛼𝑖 𝑋1 + 𝑋2 ), что переписывается в виде 𝛼𝑖 (𝑏11 𝑋1 + 𝑏21 𝑋2 − 𝜇𝑖 𝑋1 ) = 𝜇𝑖 𝑋2 − 𝑏12 𝑋1 − 𝑏22 𝑋2 . (3.1.5)

18 Чтобы найти 𝛼𝑖 , достаточно рассмотреть первые компоненты векторов в обеих частях (3.1.5). Поскольку первые компоненты 𝑋𝑖 равны 1, то 𝛼𝑖 (𝑏11 + 𝑏21 − 𝜇𝑖 ) = 𝜇𝑖 − 𝑏12 − 𝑏22 . Отсюда получаем (3.1.4). Замечание 3.1.1. При доказательстве леммы 3.1.1 пропущена проверка того, что зна менатель выражения (3.1.4) отличен от нуля. При достаточно больших 𝐿, 𝐾 это будет следовать из последующих утверждений отдельно для 𝜇min и 𝜇max . Найдем теперь асимптотические выражения для 𝛼1 и 𝛼2 при 𝐿, 𝐾 → ∞. Прежде всего отметим, что при этом условии 𝑎1 𝑎21 𝑎𝑁 +𝐾 𝑎𝐿2 , 𝑎2𝑁 𝑏12 ∼ 2 1 , 2 2 (𝑎1 − 1) (𝑎1 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) 1 𝑎1 𝑎1 𝑎2 +𝐿 𝐾 ∼𝑐 2 𝑎𝑁 𝑎2 , 𝑏22 ∼ 𝑐 (𝑎1 𝑎2 )𝑁 . 1 2 (𝑎1 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) (𝑎1 𝑎2 − 1) 𝑏11 ∼ 𝑏21 (3.1.6) Предложение 3.1.1. При 𝐿, 𝐾 → ∞, для 𝛼1 и 𝛼2 имеют место асимптотики (︂ )︂𝐿 𝑎2 𝑎21 − 1 𝛼1 ∼ − и (3.1.7) 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎1 𝑎1 𝑎2 − 1 𝛼2 ∼ 𝑐(𝑎21 − 1) (︂ 𝑎1 𝑎2 )︂𝐾 . (3.1.8) Доказательство. Асимптотика в правой части (3.1.7) имеет место, так как числитель в (3.1.4) эквивалентен −𝑏12 , а знаменатель — 𝑏11 . Доказательство (3.1.8) проходит немного сложнее, так как (учитывая результаты предложения 2.1.1) в знаменателе формулы (3.1.4) при 𝑖 = 2 слагаемые 𝑏11 и 𝜇max эквивалентны, а 𝑏21 имеет меньший порядок. Заметим, что 𝑏11 = 𝑐11 , поэтому (см. формулу (2.1.2)) (︂ )︂ √︁ 1 𝑏11 − 𝜇max = 𝑐11 − 𝑐211 − 2𝑐11 𝑐22 + 4𝑐12 𝑐21 + 𝑐222 − 𝑐22 . 2 Нетрудно проверить (см. замечание 2.1.1), что −2𝑐11 𝑐22 + 4𝑐12 𝑐21 + 𝑐222 = 𝑜(𝑐211 ) при 𝐿, 𝐾 → ∞. Воспользуемся тем, что для любых последовательностей 𝑓 (𝑛), 𝑔(𝑛) удовлетворяю щих условиям 𝑓 (𝑛) → ∞ и 𝑔(𝑛) = 𝑜(𝑓 2 (𝑛)) имеет место соотношение 𝑓 (𝑛) − √︀ 𝑓 2 (𝑛) + 𝑔(𝑛) ∼ −0.5 𝑔(𝑛)/𝑓 (𝑛).

19 В нашем случае 𝑓 (𝑛) = 𝑐11 − 𝑐22 , а 𝑔(𝑛) = 4𝑐12 𝑐21 . Значит 𝑏11 − 𝜇max ∼ − 𝑎1 𝑎2 4𝑐12 𝑐21 ∼ −𝑐12 𝑐21 /𝑐11 ∼ −𝑐 (𝑎1 𝑎2 )𝑁 . 2 4(𝑐11 − 𝑐22 ) (𝑎1 𝑎2 − 1) Ввиду уже полученной асимптотики (3.1.6) для 𝑏21 , при 𝐿, 𝐾 → ∞, 𝑏11 + 𝑏21 − 𝜇max ∼ 𝑏21 ∼ 𝑐 (𝑎21 𝑎1 +𝐿 𝐾 𝑎2 . 𝑎𝑁 1 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) Теперь найдем асимптотику числителя (3.1.4): 𝜇max − 𝑏12 − 𝑏22 ∼ 𝜇max ∼ 𝑎21 𝑎2𝑁 . (𝑎21 − 1)2 1 Итого, учитывая асимптотики числителя и знаменателя (3.1.4), получаем точную асимп тотику (3.1.8) величины 𝛼2 . Замечание 3.1.2. 1. На самом деле асимптотика (3.1.7) справедлива при 𝐿 → ∞ и любом поведении 𝐾. При 𝐿 = 𝐿0 = const, (𝑎𝐿1 0 𝑎𝐿2 0 − 1)(𝑎21 − 1) . 𝛼1 → − 2𝐿0 (𝑎1 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) 2. При 𝐾 → ∞ и 𝐿 = 𝐿0 , если 𝐿0 достаточно велико, то (︂ )︂𝐾 (︂ )︂𝐾 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎1 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎1 𝛼2 ∼ = . 𝑐(𝑎21 − 1) 𝑎2 𝑐(𝑎21 − 1) 𝑎2 3. При 𝐿 → ∞, 𝐾 = 𝐾0 , 𝛼2 ∼ 0 (𝑎2𝐾 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) 1 0 = 𝑐𝐾 𝛼2 . 2 0 𝐾0 𝑐(𝑎1 − 1)(𝑎𝐾 𝑎 − 1) 1 2 Таким образом, поведение коэффициентов 𝛼1 и 𝛼2 при 𝐿, 𝐾 → ∞ описано. Опишем теперь асимптотическое поведение норм ⎯ ⎸𝐿−1 ⎸∑︁ (︀ )︀2 def 𝑚𝑖 = ‖𝛼𝑖 𝑋1 + 𝑋2 ‖ = ⎷ 𝛼𝑖 𝑎𝑘1 + 𝑎𝑘2 , 𝑖 = 1, 2. (3.1.9) 𝑘=0 Лемма 3.1.2. Для величин 𝑚𝑖 , определенных в (3.1.9), при 𝐿, 𝐾 → ∞ верны асимпто тики: 𝑚1 ∼ 𝑐𝑚1 𝑎𝐿2 , 𝑚2 ∼ 𝑐𝑚2 𝑎𝐿+𝐾 1 , 𝑎𝐾 2 (3.1.10) где √︃ 𝑐𝑚1 = 1 𝑎21 − 1 − 𝑎22 − 1 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 и 𝑐𝑚 2 = 𝑎1 𝑎2 − 1 . |𝑐|(𝑎21 − 1)3/2 (3.1.11)

20 Доказательство. Асимптотики проверяются непосредственно с помощью результатов предложения 3.1.1. Замечание 3.1.3. В случаях 𝐿 = 𝐿0 или 𝐾 = 𝐾0 величины 𝑚𝑖 имеют тот же порядок, что и в лемме 3.1.2, только с другими коэффициентами 𝑐𝑚𝑖 . В дальнейших доказательствах нам понадобятся следующие асимптотики. Лемма 3.1.3. При 𝑎1 > 𝑎2 > 1 и 𝑐 ̸= 0, 𝛼1 𝐴 T 𝐿1 𝐴𝐿1 + 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿2 (𝑎1 − 𝑎2 )2 (𝑎21 − 1)𝑎2𝐿+𝐾 2 ∼ −𝑐 . 2 3 (𝑎1 𝑎2 − 1) (𝑎2 − 1)𝑎𝐾 1 (3.1.12) Доказательство. Учитывая (3.1.7), нетрудно видеть, что 𝑎𝐿1 𝑎𝐿2 . 𝑎1 𝑎2 − 1 T 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿2 ∼ −𝛼1 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 ∼ То есть возникает необходимость рассматривать меньшие по порядку слагаемые. По этому вернемся к общему виду 𝛼1 (3.1.4): T 𝛼1 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 = 𝑎𝐿1 𝑎𝐿2 − 1 𝑎2𝐿 − 1 𝜇min − 𝑏12 − 𝑏22 + 12 . 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎1 − 1 𝑏11 + 𝑏21 − 𝜇min (3.1.13) (𝑘) 𝑘 𝑘 Обозначим 𝑧𝑖𝑗 = 𝐴T 𝑘𝑖 𝐴𝑘𝑗 ∼ (𝑎𝑖 𝑎𝑗 − 1)/(𝑎𝑖 𝑎𝑗 − 1), тогда (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) 𝑏12 = 𝑌1T 𝑋2 = 𝑧11 𝑧12 + 𝑐𝑧12 𝑧22 (𝐾) (𝐿) 𝑏22 = 𝑌2T 𝑋2 = 𝑐𝑧12 𝑧12 + 𝑐2 𝑧22 𝑧22 . 𝑏11 = 𝑌1T 𝑋1 = 𝑧11 𝑧11 + 𝑐𝑧12 𝑧12 , 𝑏21 = 𝑌2T 𝑋1 = 𝑐𝑧12 𝑧11 + 𝑐2 𝑧22 𝑧12 , (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) Учитывая асимптотику (2.1.4) для 𝜇min и (3.1.13), получаем T 𝛼1 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 = 𝑆1 + 𝑆2 , 𝑇 (3.1.14) где (︀ (𝐾) (𝐿) )︀ (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) 𝑇 = (𝑎21 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) 𝑧11 𝑧11 + 𝑐𝑧12 𝑧12 + 𝑐𝑧12 𝑧11 + 𝑐2 𝑧22 𝑧12 − 𝑂(𝑎2𝑁 ) , 2 (︀ )︀ (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) 2𝑁 2 (𝐾) (𝐿) 𝑆1 = (𝑎1 𝑎2 − 1)(𝑎2𝐿 1 − 1) 𝑂(𝑎2 ) − 𝑧11 𝑧12 − 𝑐𝑧12 𝑧22 − 𝑐𝑧12 𝑧12 − 𝑐 𝑧22 𝑧22 , (︀ (𝐾) (𝐿) )︀ (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) 𝑆2 = (𝑎21 − 1)(𝑎𝐿1 𝑎𝐿2 − 1) 𝑧11 𝑧11 + 𝑐𝑧12 𝑧12 + 𝑐𝑧12 𝑧11 + 𝑐2 𝑧22 𝑧12 − 𝑂(𝑎2𝑁 2 ) . Как нетрудно видеть, (𝐾) (𝐿) 𝑇 ∼ (𝑎21 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1)𝑧11 𝑧11 ∼ 𝑎1 𝑎2 − 1 2𝐿+2𝐾 𝑎 . 𝑎21 − 1 1

21 Сгруппируем слагаемые в сумме 𝑆1 + 𝑆2 : (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) 2𝐿 2 𝐿 𝐿 −(𝑎2𝐿 1 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1)𝑧11 𝑧12 + (𝑎1 𝑎2 − 1)(𝑎1 − 1)𝑧11 𝑧11 = 𝑂(𝑎1 ); (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) 𝐿 𝐿 2 2𝐿 −(𝑎2𝐿 1 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1)𝑐𝑧12 𝑧12 + (𝑎1 𝑎2 − 1)(𝑎1 − 1)𝑐𝑧12 𝑧11 = 𝑂(𝑎1 ); (𝐾) (𝐿) (𝐾) (𝐿) 2 𝐿 𝐿 −(𝑎2𝐿 1 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1)𝑐𝑧12 𝑧22 + (𝑎1 𝑎2 − 1)(𝑎1 − 1)𝑐𝑧12 𝑧12 = (𝑎1 − 𝑎2 )2 𝑎2𝐿+𝐾 𝑎2𝐿+𝐾 + 𝑂(𝑎2𝐿 2 1 ); (𝑎1 𝑎2 − 1)2 (𝑎22 − 1) 1 )︀ (︀ 2 (𝐾) (𝐿) )︀ (︀ 2𝑁 2 2 (𝐾) (𝐿) 𝐿 𝐿 2𝑁 ) = − 1) 𝑐 𝑧 𝑧 − 𝑂(𝑎 − 1)(𝑎 𝑎 ) − 𝑐 𝑧 𝑧 + (𝑎 (𝑎2𝐿 − 1)(𝑎 𝑎 − 1) 𝑂(𝑎 1 2 22 12 22 22 2 1 1 2 2 1 = −𝑐 2𝑁 = 𝑂(𝑎2𝐿 1 𝑎2 ). Выделяя главные части в числителе и знаменателе (3.1.14), получаем требуемое. Следствие 3.1.1. Пусть 𝑠𝐾𝑖 = (𝑎𝐾 𝑖 − 1)/(𝑎𝑖 − 1), тогда при 𝑎1 > 𝑎2 > 1 и 𝑐 ̸= 0, T T T 𝑠𝐾1 (𝛼1 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 ) + 𝑐𝑠𝐾2 (𝛼1 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 + 𝐴𝐿2 𝐴𝐿2 ) ∼ (︂ )︂ (𝑎1 − 𝑎2 )3 2𝐿+𝐾 ∼ 𝑐 𝑎2 . (𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎22 − 1)(𝑎2 − 1) (3.1.15) T Доказательство. Найдем асимптотику 𝛼1 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿2 + 𝐴𝐿2 𝐴𝐿2 : (︂ )︂𝐿 𝑎21 − 1 𝑎2 𝑎2𝐿 𝑎𝐿1 𝑎𝐿2 + ∼− + 22 = 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎1 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎2 − 1 (︂ )︂ 1 𝑎21 − 1 (𝑎1 − 𝑎2 )2 2𝐿 2𝐿 = 𝑎2 − . = 𝑎 2 𝑎22 − 1 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 (𝑎22 − 1) 𝛼1 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿2 𝐴T 𝐿2 𝐴𝐿2 (3.1.16) Учитывая (3.1.12) и (3.1.16), получаем требуемое. Теорема 3.1.1. При 𝐿, 𝐾 → ∞ для любого 𝛿 ̸= 0 , √ ‖S0 B(𝛿)P0 ‖ ∼ |𝛿|𝑑 𝐿 𝑎−𝑁 2 , 𝑑= (𝑎1 − 𝑎2 )3 (𝑎22 − 1) , |𝑐|𝑎2 (𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎2 − 1)(1 − 𝑥2 )2 𝑐𝑚1 где 𝑥 = (𝑎1 − 1)(𝑎2 − 1)/(𝑎1 𝑎2 − 1), (3.1.17) (3.1.18) а (см. лемму 3.1.2) √︃ 𝑐𝑚1 = 1 𝑎21 − 1 − . 𝑎22 − 1 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 Доказательство. Подставляя выражение для S0 (3.1.1) в левую часть (3.1.17), при ходим к равенству ‖S0 B(𝛿)P0 ‖ = ‖P𝜇1 B(𝛿)P0 /𝜇1 + P𝜇2 B(𝛿)P0 /𝜇2 ‖. Сначала найдем асимптотику нормы P𝜇1 B(𝛿)P0 /𝜇1 . Обозначим 𝑉𝑖 = 𝛼𝑖 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 (собственный вектор с

22 собственным числом 𝜇𝑖 ). Учитывая, что P0 = I − P𝜇1 − P𝜇2 , где P𝜇𝑖 = 𝑉𝑖 𝑉𝑖T /𝑚2𝑖 , и подставляя разложение B(𝛿) (2.2.5), получаем ‖P𝜇1 B(𝛿)P0 /𝜇1 ‖ = ⃦ ⃦ 1 ⃦ T T T T 2 T 2 ⃦ T T T = ⃦𝑉1 𝑉1 (𝑃1 𝑄1 + 𝑃2 𝑄2 ) − 𝑉1 𝑉1 (𝑃1 𝑄1 + 𝑃2 𝑄2 )(𝑉1 𝑉1 /𝑚1 + 𝑉2 𝑉2 /𝑚2 )⃦ = 𝜇1 𝑚21 1 = ‖J1 − J2 ‖ 𝜇1 𝑚21 с T T T J1 = (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼1 𝐴T 𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝑃1 𝑄1 + 𝑃2 𝑄2 ) = (︀ )︀ T T T T ̃︀ = 𝛼1 𝐴𝐿1 (𝑑1 𝑄T 1 + 𝑑2 𝑄2 ) + 𝐴𝐿2 (𝑑1 𝑄1 + 𝑑2 𝑄2 ) = 𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 𝑄 , ̃︀ = 𝑑1 𝑄1 + 𝑑2 𝑄2 , где 𝑄 T T T 𝐿 𝑑1 = (𝛼1 𝐴T 𝐿1 + 𝐴𝐿2 )𝑃1 = 𝛼1 𝑠𝐾1 𝛿 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 + 𝛿 𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 + 𝑂(𝑎2 ) ∼ ∼ 𝛿𝑐𝑎2𝐿+𝐾 2 (𝑎1 − 𝑎2 )3 (𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎22 − 1)(𝑎2 − 1) (3.1.19) (см. следствие 3.1.1) и 𝑑2 = (𝛼1 𝐴T 𝐿1 + 𝐴T 𝐿2 )𝑃2 𝑎𝐿1 − 1 𝑎𝐿2 − 1 𝑎1 − 𝑎2 = 𝛼1 + ∼ 𝑎𝐿2 . 𝑎1 − 1 𝑎2 − 1 (𝑎2 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1) (3.1.20) Кроме того, (︁ )︁ T T 2 T T 2 J2 = J1 (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )/𝑚1 + (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )/𝑚2 . Cгруппируем сомножитель в скобках: T 2 T T 2 (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼1 𝐴T 𝐿1 + 𝐴𝐿2 )/𝑚1 + (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )/𝑚2 = (︁ )︁ 2 T T 2 2 T T 2 = 𝐴𝐿1 (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝛼1 𝐴𝐿2 )/𝑚1 + (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝛼2 𝐴𝐿2 )/𝑚2 + (︁ )︁ ̃︀ T + 𝐴𝐿2 𝑋 ̃︀ T , +𝐴𝐿2 (𝛼1 𝐴T + 𝐴T )/𝑚2 + (𝛼2 𝐴T + 𝐴T )/𝑚2 = 𝐴𝐿1 𝑋 𝐿1 𝐿2 1 𝐿1 𝐿2 2 1 2 где ̃︀1 = (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝛼1 𝐴𝐿2 )/𝑚2 + (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝛼2 𝐴𝐿2 )/𝑚2 = 𝛼1 𝑉1 /𝑚2 + 𝛼2 𝑉2 /𝑚2 и 𝑋 1 1 2 2 1 2 ̃︀2 = (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )/𝑚21 + (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )/𝑚22 = 𝑉1 /𝑚21 + 𝑉2 /𝑚22 . 𝑋 В этих обозначениях )︀ (︀ T ̃︀ T ) = (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 ) 𝑄 ̃︀ 𝐴𝐿1 𝑋 ̃︀ T + 𝑄 ̃︀T 𝐴𝐿2 𝑋 ̃︀ T . ̃︀T + 𝐴𝐿2 𝑄 ̃︀T )(𝐴𝐿1 𝑋 ̃︀ T + 𝐴𝐿2 𝑋 J2 = (𝛼1 𝐴𝐿1 𝑄 2 1 2 1

23 и ̃︀T 𝐴𝐿2 𝑋 ̃︀2T ), ̃︀T − 𝑄 ̃︀T 𝐴𝐿1 𝑋 ̃︀1T − 𝑄 J1 − J2 = (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝑄 значит ⃦ ⃦ ̃︀ − 𝑄 ̃︀T 𝐴𝐿1 𝑋 ̃︀1 − 𝑄 ̃︀T 𝐴𝐿2 𝑋 ̃︀2 ⃦. ‖J1 − J2 ‖ = ‖𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 ‖⃦𝑄 (3.1.21) Распишем подробнее второй множитель в правой части (3.1.21): ̃︀ − 𝑄 ̃︀T 𝐴𝐿1 𝑋 ̃︀1 − 𝑄 ̃︀T 𝐴𝐿2 𝑋 ̃︀2 = 𝑑1 𝐸𝐿 + 𝑑2 (𝛿𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝛿𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 )− 𝑄 )︂ (︂ )︀ 𝛼1 (︀ 𝛼2 T T T 𝑉1 + 2 𝑉2 − − 𝑑1 𝐸𝐿 𝐴𝐿1 + 𝑑2 (𝛿𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 + 𝛿𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 𝐴𝐿1 ) 𝑚21 𝑚2 (︂ )︂ (︀ )︀ 1 1 T T T − 𝑑1 𝐸𝐿 𝐴𝐿2 + 𝑑2 (𝛿𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 + 𝛿𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 𝐴𝐿2 ) 𝑉1 + 2 𝑉2 . 𝑚21 𝑚2 (3.1.22) Рассмотрим отдельно сумму слагаемых (3.1.22), имеющих наибольший порядок нормы: )︂ (︂ 𝛼22 T 1 T 𝛼1 T 𝑑2 𝛿𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 − 2 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 ) − 2 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 − 2 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 ) = 𝑚1 𝑚2 𝑚1 )︂ (︂ 2 2 𝛼1 T 𝛼1 T 𝛼2 T = 𝑑2 𝛿𝑠𝐾1 1 − 2 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 − 2 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 − 2 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 𝐴𝐿1 − 𝑚2 𝑚1 𝑚 (︂ )︂ 1 1 𝛼1 T 𝐴 𝐴 + 2 𝐴T −𝑑2 𝛿𝑠𝐾1 𝐴𝐿2 𝐴𝐿2 =: 𝑀. (3.1.23) 2 𝐿1 𝐿1 𝑚1 𝑚1 𝐿1 2𝐿+𝐾 T Ввиду (3.1.12), 𝛼1 𝐴T /𝑎𝐾 1 ). Также имеет место следующая 𝐿1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 = 𝑂(𝑎2 цепочка равенств: 1− 𝛼22 T 𝐴 𝐴𝐿1 𝑚22 𝐿1 (︃ 𝐿−1 ∑︁ 𝐿−1 ∑︁ 𝐿−1 ∑︁ 1 2 T 𝛼22 𝑎2𝑖 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 + 𝑎2𝑖 1 + 2𝛼2 2 − 𝛼2 𝐴𝐿1 𝐴𝐿1 2 𝑚2 𝑖=0 𝑖=0 𝑖=0 (︃ )︃ (︂ 𝑁 )︂ 𝐿−1 ∑︁ 1 𝑎2 𝑖 𝑖 2𝐿 = 2 2𝛼2 𝑎1 𝑎2 + 𝑂(𝑎2 ) = 𝑂 . 𝑚2 𝑎𝑁 1 𝑖=0 = )︃ = Продолжим (3.1.23): (︂ 2𝐿+𝐾 )︂)︂ (︂ 2𝐿+𝐾 )︂ (︂ (︂ 𝑁 )︂ 𝑎2 𝛼1 𝑎2 1 𝑎2 𝑀 = 𝑑2 𝛿𝑠𝐾1 𝑂 − 2𝑂 𝐴𝐿1 − 2 𝑑2 𝛿𝑠𝐾1 𝑂 𝐴𝐿2 . 𝑁 𝐾 𝑚1 𝑚1 𝑎1 𝑎1 𝑎𝐾 1 Исходя из асимптотик (3.1.20), (3.1.10), (3.1.7) и (3.1.8), нетрудно видеть, что ‖𝑀 ‖ = 𝑂(𝑎2𝐿+𝐾 ). Далее, принимая во внимание (3.1.19), получаем, что ‖𝑑1 𝐸𝐿 ‖ = 2 √ 2𝐿+𝐾 𝑂( 𝐿𝑎2 ). Прямыми вычислениями получаем, что порядок нормы нерассмотренных слагаемых (3.1.22) не превосходит 𝑎2𝐿+𝐾 . Тогда 2 √ ‖J1 − J2 ‖ ∼ ‖𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 ‖‖𝑑1 𝐸𝐿 ‖ = 𝑑1 𝑚1 𝐿

24 и ‖P𝜇1 B(𝛿)P0 /𝜇1 ‖ ∼ √ 𝑑1 ∼ |𝛿|𝑑 𝐿 𝑎−𝑁 2 , 𝑚1 𝜇1 где 𝑑 определено в (3.1.18). Осталось доказать, что ‖P𝜇2 B(𝛿)P0 /𝜇2 ‖ = 𝑜 (‖P𝜇1 B(𝛿)P0 /𝜇1 ‖). Пользуясь асимп тотиками теоремы 2.2.1 и (2.1.4), имеем √ ‖P𝜇2 B(𝛿)P0 /𝜇2 ‖ ≤ ‖B(𝛿)‖/𝜇2 = 𝑂( 𝐿𝑎−𝑁 1 ). Отсюда сразу же следует требуемое. Замечание 3.1.4. При 1 < 𝑎2 < 𝑎1 < 𝑎22 , согласно теореме 2.2.1, знаменатель (1.1.4) стремится к 1, и из результата теоремы 3.1.1 следует, что для некоторой постоянной 𝐶 при 𝐿, 𝐾 → ∞, ⃦ √ ⃦ ⊥ ⊥⃦ ⃦ lim sup 𝑎𝑁 2 P0 (𝛿) − P0 / 𝐿 ≤ 𝐶|𝛿|. 𝑁 (1) 3.2. Асимптотика нормы матрицы V0 (1) Как и раньше, мы предполагаем, что матрица V0 определяется равенством (1.1.5). Имеет место следующее утверждение. Теорема 3.2.1. При 𝐿, 𝐾 → ∞, ⃦ ⃦ √ ⃦ (1) ⃦ ⃦V0 ⃦ ∼ 𝑑 𝐿 𝑎−𝑁 2 , (3.2.1) где 𝑑= (𝑎1 − 𝑎2 )3 (𝑎22 − 1) , |𝑐|𝑎2 (𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎2 − 1)(1 − 𝑥2 )2 𝑐𝑚1 𝑥 = (𝑎1 − 1)(𝑎2 − 1)/(𝑎1 𝑎2 − 1), а (см. лемму 3.1.2) √︃ 𝑐𝑚1 = 1 𝑎21 − 1 − . 𝑎22 − 1 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 Доказательство. Воспользуемся тем, что S0 = P𝜇1 /𝜇1 +P𝜇2 /𝜇2 , где 𝜇1 = 𝜇min , 𝜇2 = 𝜇max : ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ (1) ⃦ ⃦ ⃦ ⃦V0 ⃦ = ⃦P0 EHT (P𝜇1 /𝜇1 + P𝜇2 /𝜇2 ) + (P𝜇1 /𝜇1 + P𝜇2 /𝜇2 )HET P0 ⃦ = ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ T T T T = ⃦P0 EH P𝜇1 /𝜇1 + P𝜇1 HE P0 /𝜇1 + P0 EH P𝜇2 /𝜇2 + P𝜇2 HE P0 /𝜇2 ⃦. (3.2.2)

25 Обозначим V′ = P0 EHT P𝜇1 /𝜇1 + P𝜇1 HET P0 /𝜇1 (3.2.3) и найдем асимптотику нормы V′ . Подставляя P0 = I − P𝜇1 − P𝜇2 и выражения (2.2.2) и (2.2.4) для HET и EHT в (3.2.3), получаем ⃦ ⃦ ′ T ‖V ‖ = ⃦(I − P𝜇1 − P𝜇2 )(𝑠𝐾1 𝐸𝐿 𝐴T 𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐸𝐿 𝐴𝐿2 )P𝜇1 /𝜇1 + ⃦ ⃦ +P𝜇1 (𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 𝐸𝐿T + 𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 𝐸𝐿T )(I − P𝜇1 − P𝜇2 )/𝜇1 ⃦. (3.2.4) Разобьём подмодульное выражение в правой части (3.2.4) на следующие слагаемые: 𝐽1 = Z P𝜇1 /𝜇1 , 𝐽2 = −P𝜇1 Z P𝜇1 /𝜇1 , 𝐽3 = −P𝜇2 Z P𝜇1 /𝜇1 , 𝐽4 = P𝜇1 ZT /𝜇1 , 𝐽5 = −P𝜇1 ZT P𝜇1 /𝜇1 , 𝐽6 = −P𝜇1 ZT P𝜇2 /𝜇1 , (3.2.5) T где Z = 𝑠𝐾1 𝐸𝐿 𝐴T 𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐸𝐿 𝐴𝐿2 . Заметим, что нормы слагаемых 𝐽1 – 𝐽3 равны нормам 𝐽4 – 𝐽6 соответственно, как нормы транспонированных матриц. Покажем, что нормы 𝐽2 и 𝐽3 имеют меньший порядок, чем норма 𝐽1 . Найдем асимптотику нормы 𝐽1 . Константы 𝑠𝐾𝑖 определены в (2.2.3), асимптотики 𝑚𝑖 указаны в лемме 3.1.2, асимптотики 𝜇𝑖 в предложении 2.1.1 и, согласно (3.1.2), 𝐴𝐿𝑖 = 𝑋𝑖 . ⃦ )︂⃦ (︂ ⃦ ⃦1 1 T T T T ⃦ ‖𝐽1 ‖ = ⃦ (𝑠𝐾1 𝐸𝐿 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐸𝐿 𝐴𝐿2 ) (𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 )(𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 ) ⃦ 2 ⃦= 𝜇1 𝑚1 ⃦ (︀ )︀ 1 ⃦ T T T T T ⃦ ⃦ 𝑠𝐾1 𝐸𝐿 (𝛼1 𝐴T = 𝐴 + 𝐴 𝐴 ) + 𝑐𝑠 𝐸 (𝛼 𝐴 𝐴 + 𝐴 𝐴 ) (𝛼 𝑋 + 𝑋 ) ∼ 𝐿1 𝐿2 𝐾2 𝐿 1 𝐿2 𝐿2 1 𝐿1 𝐿1 𝐿1 𝐿2 1 2 𝜇1 𝑚21 T T T ⃦ ⃦ 𝑠𝐾1 (𝛼1 𝐴T 𝐿1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 ) + 𝑐𝑠𝐾2 (𝛼1 𝐴𝐿1 𝐴𝐿2 + 𝐴𝐿2 𝐴𝐿2 ) ⃦ ∼ 𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )⃦. (3.2.6) 2 𝜇1 𝑚1 Учитывая (3.1.15), получаем (︂ )︂ ⃦ (𝑎1 − 𝑎2 )3 1 ⃦ 2𝐿+𝐾 ⃦𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )⃦ ∼ ‖𝐽1 ‖ ∼ |𝑐| 𝑎2 (𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎22 − 1)(𝑎2 − 1) 𝜇1 𝑚21 ⃦ ⃦ (𝑎22 − 1)2 ⃦𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )⃦ |𝑐|(𝑎1 − 𝑎2 )3 𝑎2𝐿+𝐾 2 ∼ 2 2𝐿 ∼ 2𝐾 2 )2 (𝑐 (𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎22 − 1)(𝑎2 − 1) 𝑐2 (𝑎2𝐿 − 1)(𝑎 − 1)(1 − 𝑥 ) 𝑎2 𝑚 1 2 2 √ ⃦ 𝐿 1 ⃦ ∼ 𝑐1 2𝐿+𝐾 ⃦𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )⃦ ∼ 𝑐2 𝑁 , (3.2.7) 𝑎2 𝑎2 где 𝑐1 = (𝑎1 − 𝑎2 )3 (𝑎22 − 1) , |𝑐|(𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎2 − 1)(1 − 𝑥2 )(1 − 𝑦 2 ) (𝑐𝑚1 )2

26 𝑐2 = 𝑐2 𝑐𝑚1 /𝑎2 . Слагаемое 𝐽2 получается домножением 𝐽1 слева на −P𝜇1 , поэтому ⃦ (︂ )︂⃦ ⃦ ⃦1 1 T T T T ⃦ ‖𝐽2 ‖ = ⃦ P𝜇1 (𝑠𝐾1 𝐸𝐿 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐸𝐿 𝐴𝐿2 ) (𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 )(𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 ) ⃦ 2 ⃦∼ 𝜇1 𝑚1 ⃦ 1 1 ⃦ ∼ 𝑐1 2𝐿+𝐾 2 ⃦(𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 )(𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )⃦ = 𝑚1 𝑎2 T (𝛼1 𝑋1 + 𝑋2T )𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )𝐸𝐿 2 ‖(𝛼 𝑋 + 𝑋 )‖ = 𝑐 = 𝑂(𝑎−𝑁 = 𝑐1 1 1 2 1 2 ) 2𝐿+𝐾 2 2𝐿+𝐾 𝑎2 𝑚1 𝑎2 Что касается слагаемого 𝐽3 , то ⃦ (︂ )︂⃦ ⃦ ⃦1 1 T T T T ⃦∼ ⃦ (𝛼 𝑋 + 𝑋 )(𝛼 𝑋 + 𝑋 ) ‖𝐽3 ‖ = ⃦ P𝜇2 (𝑠𝐾1 𝐸𝐿 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐸𝐿 𝐴𝐿2 ) 1 1 2 1 1 2 ⃦ 𝜇1 𝑚21 ⃦ 1 1 ⃦ ∼ 𝑐1 2𝐿+𝐾 2 ⃦(𝛼2 𝑋1 + 𝑋2 )(𝛼2 𝑋1T + 𝑋2T )𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )⃦ = 𝑂(𝑎−𝑁 2 ), 𝑚2 𝑎2 поскольку в силу асимптотики 𝛼2 (см. предложение 3.1.1), (𝛼2 𝑋1T + 𝑋2T )𝐸𝐿 имеет поря 𝐾 док роста 𝑎𝑁 1 /𝑎2 , и, согласно асимптотике 𝑚2 (лемма 3.1.2), ⃦ ⃦⃦ ⃦ )︀ 1 ⃦ ⃦(𝛼2 𝑋1 + 𝑋2 )(𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T )⃦ = 1 ⃦(𝛼2 𝑋1 + 𝑋2 )⃦ ⃦(𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T ‖ = 2 2 𝑚2 𝑚2 (︂ 𝑁 )︂ ⃦ 1 ⃦ T T ⃦(𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 )⃦ = 𝑂 𝑎2 . = 𝑚2 𝑎𝑁 1 Таким образом, слагаемые 𝐽1 и 𝐽4 являются главными членами (3.2.4), то есть ‖V′ ‖ ∼ 𝑐1 1 𝑎2𝐿+𝐾 2 ⃦ ⃦ ⃦𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T ) + 𝐸𝐿T (𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 )⃦. Обозначим 𝑍1 = 𝐸𝐿 /‖𝐸𝐿 ‖, 𝑍2 = (𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 )/‖𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 ‖, X = [𝑍1 , 𝑍2 ], Y = [𝑍2 , 𝑍1 ], а также G = 𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T +𝑋2T ) + 𝐸𝐿T (𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 ). Согласно первому утверждению леммы 1.1.1, максимальные собственные числа матриц GGT и C = ‖𝐸𝐿 ‖2 ‖𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 ‖2 XT XYT Y совпадают. Поскольку 𝐸𝐿T (𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 ) имеет порядок роста 𝑎𝐿2 , а ‖𝐸𝐿 ‖ ‖(𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 )‖ — √ порядок 𝐿 𝑎𝐿2 , то XT X → I, YT Y → I. Значит, ‖V′ ‖ ∼ 𝑐1 где 𝑑 = 𝑐1 𝑐𝑚1 /𝑎2 . 1 𝑎2𝐿+𝐾 2 √︀ ⃦ ⃦ ⃦𝐸𝐿 (𝛼1 𝑋1T + 𝑋2T ) + 𝐸𝐿T (𝛼1 𝑋1 + 𝑋2 )⃦ ∼ 𝑐1 1 ‖𝐶‖ ∼ 𝑎2𝐿+𝐾 2 √ √ 1 𝐿 𝐿 ∼ 𝑐1 𝐿𝑐𝑚1 𝑎2 2𝐿+𝐾 ∼ 𝑑 𝑁 , (3.2.8) 𝑎2 𝑎2

27 (1) Докажем, наконец, что ‖V0 ‖ ∼ ‖V′ ‖. Ввиду (3.2.2), для этого достаточно, чтобы (︁√ )︁ ⃦ ⃦ ⃦P0 EHT P𝜇2 /𝜇2 + P𝜇2 HET P0 /𝜇2 ⃦ = 𝑜 𝐿/𝑎𝑁 2 . Заметим сначала, что ‖P0 EHT P𝜇2 /𝜇2 ‖ = ‖P𝜇2 HET P0 /𝜇2 ‖. Далее, ‖P0 EHT P𝜇2 /𝜇2 ‖ ≤ ‖EHT ‖/𝜇2 ≤ ‖E‖‖H‖/𝜇2 = √ √ −𝑁 −2𝑁 𝐾𝐿 𝑂(𝑎𝑁 ) · 𝑂(𝑎 ) = 𝑜( 𝐿𝑎2 ), 1 1 что и требовалось доказать. Замечание 3.2.1. Согласно теореме 1.1.3, при 𝐿, 𝐾 → ∞, (︃(︂√︂ )︂2 )︃ ⃦ ⃦ 𝜈 𝜇 ⃦ ⊥ max max (1) ⃦ 2 2 2 = ⃦P0 (𝛿) − P⊥ 0 − 𝛿V0 ⃦ = 𝛿 𝑂(Θ ) = 𝛿 𝑂 𝜇max 𝜇min ⎛(︃√︃ )︃2 ⎞ (︂ )︂ 2𝑁 2𝑁 𝐾𝐿𝑎 𝐾𝐿 𝑎1 1 2 2 ⎝ ⎠=𝛿 𝑂 . =𝛿 𝑂 2𝑁 𝑎2𝑁 𝑎4𝑁 1 𝑎2 2 (3.2.9) Так как при любом фиксированном 𝛿 при 𝐿, 𝐾 → ∞ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⊥ ⃦ (︀√ )︀ (︀ )︀ ⃦ (1) ⃦ ⃦ ⊥ (1) ⃦ ⊥ −4𝑁 ⃦P0 (𝛿) − P⊥ ⃦ ≤ |𝛿| ⃦V0 ⃦ + ⃦P0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 ⃦ = 𝑂 𝐿𝑎−𝑁 + 𝑂 𝐿𝐾𝑎2𝑁 , 0 2 1 𝑎2 4/3 то отсюда сразу же получается, что при 1 < 𝑎2 < 𝑎1 < 𝑎22 ≤ 𝑎1 , ⃦ ⊥ ⃦ (︀ )︀ −4𝑁 ⃦P0 (𝛿) − P⊥ ⃦ = 𝑂 𝐿𝐾𝑎2𝑁 , 0 1 𝑎2 3/2 (1) ⊥ а при 1 < 𝑎2 < 𝑎1 < 𝑎2 , 𝛿V0 является главным членом P⊥ 0 (𝛿) − P0 и ⃦ ⊥ ⃦ ⃦P0 (𝛿) − P⊥ ⃦ ∼ 𝛿‖V0(1) ‖. 0

28 Глава 4 Ошибки восстановления 4.1. Общие описание задачи и метода решения Как уже было упомянуто в разделе 1.1, ошибка восстановления исходного ряда зависит от разности проекторов. Основываясь на рассуждениях, приведенных в [1, Ch. 5. 3], будем оценивать ошибки восстановления в равномерной норме ‖𝐹̃︀𝑁 (𝛿) − 𝐹𝑁 ‖max = max |𝑓̃︀𝑖 − 𝑓𝑖 |, 0≤𝑖<𝑁 где 𝑓̃︀𝑖 — элементы восстановленного сигнала (см. описание в разделе (1.1)). Из формулы (1.1.6) получаем, что ̃︀ 𝑁 (𝛿)−F𝑁 ‖max ≤ ‖F ⃦ (︁(︁ ⃦ (︁ )︁⃦ )︁ )︁⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ (1) (1) ⊥ ⊥ 𝒮 𝛿V H(𝛿) + 𝛿 P E ≤ ⃦𝒮 P⊥ (𝛿) − P H(𝛿) + − 𝛿V ⃦ ⃦ ⃦ 0 0 0 0 0 , (4.1.1) max max (1) где матрица V0 определена в (1.1.5), а H(𝛿) = H + 𝛿E. Известно, что равномерная норма ограничивается сверху спектральной. Поэтому, если при 𝑁 → ∞ ⃦ ⃦(︁ )︁ ⃦ ⃦ ⊥ (1) ⊥ ⃦ P0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 H(𝛿)⃦ → 0, (4.1.2) то ⃦(︁ ⃦ )︁ ⃦ ⊥ ⃦ (1) ⊥ ⃦ P0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 H(𝛿)⃦ → 0. (4.1.3) max Заметим, что ближайшая по норме Фробениуса ганкелева матрица получается заменой элементов на побочных диагоналях средними вдоль этих диагоналей, а равномерная норма временного ряда равна равномерной норме соответствующей траекторной мат рицы. Поэтому линейный оператор 𝒮 ограничен, как оператор из пространства матриц с равномерной нормой в пространство временных рядов с равномерной нормой. То есть из (4.1.3) (а значит и из (4.1.2)) следует ⃦ (︁(︁ )︁ )︁⃦ ⃦ ⃦ (1) ⊥ ⊥ 𝒮 P (𝛿) − P − 𝛿V H(𝛿) ⃦ ⃦ 0 0 0 max → 0, (4.1.4)

29 и (4.1.1) можно переписать в виде ⃦ (︁ )︁⃦ ⃦ ⃦ (1) ⊥ ̃︀ ‖F𝑁 (𝛿) − F𝑁 ‖max = |𝛿| ⃦𝒮 V0 H(𝛿) + P0 E ⃦ + 𝑜(1). max Учитывая (3.2.9) и то, что норма H(𝛿) имеет порядок 𝑎𝑁 1 , получаем, что выполнения 3/2 неравенства 𝑎1 /𝑎22 < 1 достаточно для сходимости (4.1.4). Действительно, в этом слу чае ⃦ ⃦ ⃦(︁ ⃦ )︁ ⃦ ⃦ ⊥ ⃦ ⊥ (1) (1) ⃦ ⊥ ⊥ ⃦ P0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 H(𝛿)⃦ ≤ ⃦P0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 ⃦ ‖H(𝛿)‖ = )︂ (︂ )︂ (︂ 𝑎3𝑁 𝑎2𝑁 1 1 𝑁 2 2 = 𝛿 𝑂 𝐾𝐿 4𝑁 · 𝑂(𝑎1 ) = 𝛿 𝑂 𝐾𝐿 4𝑁 → 0. 𝑎2 𝑎2 Тем самым анализ ошибок восстановления при 𝑁 → ∞ сводится к анализу рядов, получаемых диагональным усреднением матриц вида (1) V0 H(𝛿) + P⊥ 0 E, (4.1.5) что существенно облегчает задачу. Известно, что максимальная по модулю ошибка восстановления отделена от нуля при 𝑁 → ∞ в случае сигнала 𝑓𝑛 = 𝑎𝑛 , 𝑎 > 1 при постоянной помехе 𝑒𝑛 = 1 [1, Prop. 5.4] и «пилообразной» помехе 𝑒𝑛 = (−1)𝑛 [5, Предл. 3.2.1]. Ниже будет доказано, что этот же результат имеет место для сигнала 𝑓𝑛 = 𝑎𝑛1 + 𝑐𝑎𝑛2 3/2 и постоянной помехи, если 𝑎1 > 𝑎2 > 1 и 𝑎1 /𝑎22 < 1. На самом деле доказательство све дется к анализу ошибки 𝑓̃︀𝑁 −1 − 𝑓𝑁 −1 восстановления сигнала в последней точке, то есть к исследованию асимптотики нижнего правого элемента матриц (4.1.5) при 𝑁 → ∞. 4.2. Ошибка восстановления последнего элемента сигнала Обозначим 𝑟𝐿𝐾 нижний правый элемент матрицы (4.1.5). Теорема 4.2.1. При 𝐿, 𝐾 → ∞, def 𝑟𝐿𝐾 → 𝑟∞ = 𝑟1𝑎𝑠 + 𝑟2𝑎𝑠 + 𝑣1𝑎𝑠 (1 − 𝑟1𝑎𝑠 − 𝑟2𝑎𝑠 ) + 𝑤2𝑎𝑠 (1 − 𝑟1𝑎𝑠 − 𝑟2𝑎𝑠 ), где (𝑎1 − 𝑎2 )2 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 𝑎𝑠 , 𝑟 = , 2 𝑎1 𝑎2 (𝑎2 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1)2 𝑐2𝑚1 𝑐2 𝑎1 (𝑎1 − 1)(𝑎21 − 1)2 𝑐2𝑚2 𝑐(𝑎1 − 𝑎2 )3 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 𝑎𝑠 = −𝑐1 , 𝑤 = 1 𝑎1 𝑎2 (𝑎1 𝑎2 − 1)(𝑎22 − 1) 𝑐2 (𝑎1 − 1)(𝑎21 − 1)2 𝑐2𝑚2 𝑎1 𝑟1𝑎𝑠 = − 𝑣1𝑎𝑠 (4.2.1)

30 и 𝑐1 = (𝑎1 − 𝑎2 )3 (𝑎22 − 1) . 𝑐(𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎2 − 1)(1 − 𝑥2 )2 𝑐2𝑚1 Кроме того, постоянные 𝑐𝑚𝑖 определены в (3.1.11), а константа 𝑥 — в (2.1.3). Доказательство. Рассмотрим сначала второе слагаемое в сумме (4.1.5). Проектор на подпространство собственного вектора с собственным числом 𝜇 кратности 1 имеет вид P𝜇 = 𝑈𝜇 𝑈𝜇T , где 𝑈𝜇 — соответствующий нормированный собственный вектор. В нашем случае 2 отличных от нуля собственных числа и они имеют кратность 1, а соответству ющие собственные векторы указаны в (3.1.3), поэтому P⊥ 0 E = P𝜇1 E + P𝜇2 E = = 1 1 T T (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T 𝐸𝐿 𝐸𝐾 + 2 (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T 𝐸𝐿 𝐸𝐾 , 2 𝑚1 𝑚2 где 𝑚𝑖 = ‖𝛼𝑖 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 ‖, а 𝛼𝑖 определены в (3.1.4). Обозначим нижние правые элементы матриц P𝜇1 E, P𝜇2 E как 𝑟1 , 𝑟2 . Прямыми вычислениями, используя (3.1.7), (3.1.8) и (3.1.10), получаем, что при 𝑁 →∞ 𝑎1 − 𝑎2 1 (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T 𝐸𝐿 → и 𝑚1 (𝑎2 − 1)(𝑎1 𝑎2 − 1)𝑐𝑚1 𝑎1 𝑎2 − 1 1 (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T 𝐸𝐿 → . 𝑚2 𝑐(𝑎1 − 1)(𝑎21 − 1)𝑐𝑚2 (4.2.2) (4.2.3) Правыми нижними элементами матриц 1 T (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )𝐸𝐾 𝑚1 и 1 T (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )𝐸𝐾 𝑚2 будут соответственно 𝛼1 𝑎𝐿−1 + 𝑎𝐿−1 1 2 𝜌1 = 𝑚1 def 𝛼2 𝑎𝐿−1 + 𝑎𝐿−1 1 2 и 𝜌2 = , 𝑚2 def причем при 𝑁 → ∞ 𝜌1 → − 𝑎1 − 𝑎2 𝑎1 𝑎2 (𝑎1 𝑎2 − 1)𝑐𝑚1 и 𝜌2 → 𝑎1 𝑎2 − 1 . 𝑎1 𝑐(𝑎21 − 1)𝑐𝑚2 Таким образом, 𝑟1 → 𝑟1𝑎𝑠 и 𝑟2 → 𝑟2𝑎𝑠 . (1) Теперь найдем асимптотику нижнего правого элемента 𝑟𝑉 матрицы V0 H(𝛿). Учи тывая (1.1.5) и то, что S0 = P𝜇1 /𝜇1 + P𝜇2 /𝜇2 , получаем равенство (︀ )︀ (1) V0 H(𝛿) = P0 EHT P𝜇1 /𝜇1 + P𝜇1 HET P0 /𝜇1 H(𝛿)+

31 (︀ )︀ + P0 EHT P𝜇2 /𝜇2 + P𝜇2 HET P0 /𝜇2 H(𝛿). (4.2.4) Сначала рассмотрим первое слагаемое в правой части (4.2.4). Как и в теореме 3.2.1, ∑︀ представим его в виде 6𝑖=1 𝐽𝑖 H(𝛿), где 𝐽𝑖 определены в (3.2.5). Заметим, что (𝐽4 + 𝐽5 + 𝐽6 )H(𝛿) = P𝜇1 HET P0 (H + 𝛿E)/𝜇1 = 𝛿 (𝐽4 + 𝐽5 + 𝐽6 )E. Обозначим теперь при 𝑖 = 1, 2, 3 нижние правые элементы матриц 𝐽𝑖 H(𝛿) через 𝑣𝑖 . При 𝑖 = 4, 5, 6, 𝑣𝑖 будут обозначать нижние правые элементы матриц 𝛿𝐽𝑖 E. С помощью аналогичных (3.2.7) преобразований получим, что 𝐽1 H(𝛿) = 𝑐1 = 𝑐1 𝐸 2𝐿+𝐾 𝐿 𝑎2 1 𝑎2𝐿+𝐾 2 T T T T 𝐸𝐿 (𝛼1 𝐴T 𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝐴𝐿1 𝐴𝐾1 + 𝑐𝐴𝐿2 𝐴𝐾2 + 𝛿𝐸𝐿 𝐸𝐾 ) = )︀ (︀ T T T T T T T T (𝛼1 𝐴T 𝐿1 + 𝐴𝐿2 )𝐴𝐿1 𝐴𝐾1 + (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )𝐴𝐿2 𝐴𝐾2 + 𝛿(𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )𝐸𝐿 𝐸𝐾 , где 𝑐1 = (𝑎1 − 𝑎2 )3 (𝑎22 − 1) . 𝑐(𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎2 − 1)(1 − 𝑥2 )2 (𝑐𝑚1 )2 Подставляя в выражение для 𝐽1 H(𝛿) асимптотики (3.1.12) и (3.1.16) для (𝛼1 𝐴T 𝐿1 + T T 𝐴T 𝐿2 )𝐴𝐿1 и (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )𝐴𝐿2 , получаем: (︂ )︂ 𝑐1 𝑎2𝐿+𝐾 2 𝐾−1 2𝐿 𝐾−1 𝑣1 ∼ 2𝐿+𝐾 𝑑1 𝐾 𝑎1 + 𝑑2 𝑎2 𝑎2 , 𝑎1 𝑎2 где 𝑑1 = −𝑐 (𝑎1 − 𝑎2 )2 (𝑎21 − 1) , (𝑎1 𝑎2 − 1)3 (𝑎2 − 1) 𝑑2 = 𝑐(𝑎1 − 𝑎2 )2 . (𝑎1 𝑎2 − 1)2 (𝑎22 − 1) Таким образом, 𝑣1 → 𝑣1𝑎𝑠 = −𝑐1 𝑐(𝑎1 − 𝑎2 )3 . 𝑎1 𝑎2 (𝑎1 𝑎2 − 1)(𝑎22 − 1) Сходимости 𝑣2 → −𝑣1𝑎𝑠 𝑟1𝑎𝑠 и 𝑣3 → −𝑣1𝑎𝑠 𝑟2𝑎𝑠 проверяются прямыми вычислениями. Нако нец, 𝑣4 = 1 (𝛼1 𝑎𝐿−1 + 𝑎𝐿−1 )(𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T (𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 )𝐸𝐿T 𝐸𝐿 ∼ 1 2 2 𝜇1 𝑚1 𝑐1 𝐿 𝑐1 𝐿 ∼ 2𝐿+𝐾 (𝛼1 𝑎𝐿−1 + 𝑎𝐿−1 ) = 2𝐿+𝐾 𝑂(𝑎𝐿2 ) = 𝑜(1). 1 2 𝑎2 𝑎2 Учитывая (4.2.2) и (4.2.3), видим, что 𝑣5 ∼ 𝑐1 𝐿 2𝐿+𝐾 𝑎2 (𝛼1 𝑎1𝐿−1 + 𝑎𝐿−1 )𝐸𝐿T 2 1 (𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼1 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T 𝐸𝐿 = 𝑚21

32 = 𝑣6 ∼ 𝑐1 𝐿 2𝐿+𝐾 𝑎2 ∑︀6 𝑖=1 (𝛼1 𝑎𝐿−1 + 𝑎𝐿−1 ) 𝑂(1) = 𝑜(1), 1 2 )𝐸𝐿T (𝛼1 𝑎1𝐿−1 + 𝑎𝐿−1 2 = Таким образом, 𝑐1 𝐿 2𝐿+𝐾 𝑎2 𝑐1 𝐿 2𝐿+𝐾 𝑎2 1 (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T 𝐸𝐿 = 𝑚22 (𝛼1 𝑎𝐿−1 + 𝑎𝐿−1 ) 𝑂(1) = 𝑜(1). 1 2 𝑣𝑖 → 𝑣1𝑎𝑠 (1 − 𝑟1𝑎𝑠 − 𝑟2𝑎𝑠 ). Теперь займемся вторым слагаемым в правой части (4.2.4). Легко видеть, что (︀ T T )︀ P0 EH P𝜇2 /𝜇2 + P𝜇2 HE P0 /𝜇2 H(𝛿) = 6 ∑︁ 𝐼𝑗 H(𝛿), 𝑖=1 где 𝐼1 = ZP𝜇2 /𝜇2 , 𝐼2 = −P𝜇1 ZP𝜇2 /𝜇2 , 𝐼3 = −P𝜇2 ZP𝜇2 /𝜇2 , 𝐼4 = P𝜇2 ZT /𝜇2 , 𝐼5 = −P𝜇2 ZT P𝜇1 /𝜇2 , 𝐼6 = −P𝜇2 ZT P𝜇2 /𝜇2 . T с Z = 𝑠𝐾1 𝐸𝐿 𝐴T 𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐸𝐿 𝐴𝐿2 . Как и раньше, 𝐼𝑖 H(𝛿) = 𝛿𝐼𝑖 E при 𝑖 = 4, 5, 6. Будем обозначать 𝑤𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3 нижние правые элементы матриц 𝐼𝑖 H(𝛿), а при 𝑖 = 4, 5, 6 — нижние правые элементы матриц 𝛿𝐼𝑖 E. Далее, 𝐼1 H(𝛿) = T T 𝐸𝐿 (𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 )T (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )(𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T (𝐴𝐿1 𝐴T 𝐾1 + 𝑐𝐴𝐿2 𝐴𝐾2 + 𝛿𝐸𝐿 𝐸𝐾 ) = . 𝜇2 𝑚22 Пользуясь асимптотиками (2.1.4), (3.1.8) и леммой 3.1.2, получаем ∼ (𝑎21 − 1)2 2 𝑎12𝐿+2𝐾 𝑎2𝐿 1 𝑐𝑚 2 1 (𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 )T (𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 ) ∼ 𝜇2 𝑚22 (︂ )︂𝐾 (︂ )︂2𝐾 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎1 𝑎𝐾 𝑎2𝐿 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎𝐾 𝑎2 1 1 2 ∼ . (4.2.5) 2 2 2𝐿+2𝐾 2 𝑎1 𝑐(𝑎1 − 1) 𝑎2 𝑎1 − 1 𝑎1 − 1 𝑐(𝑎1 − 1)𝑐𝑚2 𝑎1 Тогда 𝑎𝐾 𝑎𝐾 𝑎1 𝑎2 − 1 2 1 T (𝛼 𝐴 + 𝐴 ) 𝐴 ∼ 2 𝐿1 𝐿2 𝐿1 2𝐿+2𝐾 2 𝑐(𝑎1 − 1)𝑐𝑚2 𝑎1 𝑎1 (︂ )︂𝐾 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎𝐾 𝑎1 𝑎1 𝑎2 − 1 𝑎2𝐿 𝑎𝐾 (𝑎1 𝑎2 − 1)2 2 1 1 ∼ = . 𝑐(𝑎1 − 1)𝑐2𝑚2 𝑎2𝐿+2𝐾 𝑎2 𝑐(𝑎21 − 1) 𝑎21 − 1 𝑎1 𝑐2 (𝑎1 − 1)(𝑎21 − 1)2 𝑐2𝑚2 𝑎1 1 𝑤1 ∼ Нетрудно видеть, что 𝑤2 → −𝑟1𝑎𝑠 𝑤1𝑎𝑠 и 𝑤3 → −𝑟2𝑎𝑠 𝑤1𝑎𝑠 . Подставляя асимптотику (4.2.5) в 𝛿𝐼𝑖 E при 𝑖 = 4, 5, 6, видим, что 𝑤4 = 𝛿 𝐿 + 𝑎𝐿−1 )(𝛼2 𝐴𝐿1 + 𝐴𝐿2 )T (𝑠𝐾1 𝐴𝐿1 + 𝑐𝑠𝐾2 𝐴𝐿2 ) = (𝛼2 𝑎𝐿−1 1 2 𝜇2 𝑚22 (︂ 𝐾 )︂ )︀ (︀ 𝑎2 𝐿−1 𝐿−1 𝑂 = 𝛿𝐿 𝛼2 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑜(1). 2𝐿+2𝐾 𝑎1 Аналогично, 𝑤5 = 𝑜(1) и 𝑤6 = 𝑜(1). Таким образом, утверждение доказано.

33 Замечание 4.2.1. Нетрудно проверить, что 𝑟∞ не зависит от 𝑐. Но ввиду сложной зависимости 𝑟∞ от 𝑎1 и 𝑎2 не удается непосредственно доказать, что при всех значе ниях этих параметров предельное значение 𝑟𝐿𝐾 отлично от нуля. Ясно, однако, что такая ситуация является скорее исключением, чем правилом, что продемонстрировано в разделе А.6.

34 Заключение В работе рассматривалась задача исследования асимптотического поведения нор мы разности проекторов в случае, когда исходный сигнал является суммой двух экспо нент 𝑓𝑛 = 𝑎𝑛1 +𝑐𝑎𝑛2 , 1 < 𝑎2 < 𝑎1 , 𝑐 ̸= 0, а помеха — константой 𝑒𝑛 = 1. Также проводилось исследование ошибок восстановления в методе SSA в этом случае. В рамках этих задач получены следующие результаты. 1. Найдены точные условия, при которых ‖B(𝛿)‖/𝜇min стремится к нулю. Эти усло вия оказались не слабее тех, что получены при грубых оценках. 2. Уточнена оценка сверху нормы разности возмущенного и невозмущенного проек ⃦ ⃦ ⊥⃦ торов ⃦P⊥ 0 (𝛿) − P0 ; 3/2 3. В случае 𝑎1 < 𝑎2 доказано, что полученная оценка точна. 4. Доказано и численно проверено, что ошибка восстановления в последней точке ряда, вообще говоря, не стремится к нулю при 𝑁 → ∞, а значит и максимальная по модулю ошибка восстановления не стремится к нулю. 5. Основные результаты проиллюстрированы с помощью вычислительных экспери ментов, причем некоторые из этих экспериментов приводят к предположению, что условия нескольких доказанных утверждений могут быть ослаблены.

35 Список литературы 1. Nekrutkin V. Perturbation expansions of signal subspaces for long signals // Statistics and Its Interface. — 2010. — P. 297–319. 2. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. — М. : Мир, 1972. — С. 740. 3. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure: SSA and related techniques. — Chapman and Hall/CRC, 2001. — Vol. 90 of Monographs on Statistics and Applied Probability. — P. 320. 4. Golyandina N., Zhigljavsky A. Singular Spectrum Analysis for Time Series. — Berlin Heidelberg : Springer Briefs in Statistics, Springer, 2013. 5. Иванова Е. Об одном примере, относящемуся к анализу сингулярного спектра вре менных рядов. Бакалаврская работа. — СПб : СПбГУ, 2015. 6. Nekrutkin V., Vasilinetz I. Asymptotic extraction of common signal subspaces from perturbed signals (in press) // Statistics and Its Interface.

36 Приложение А Численная иллюстрация полученных результатов Проверка и иллюстрация результатов, связанных с асимптотиками, будет прово диться следующим образом: исследуемая величина, например норма матрицы, вычисля ется явно (если не сказано иное), затем считается отношение к теоретической асимпто тике. На графике ожидается наблюдать сходимость этого отношения к 1 при достаточно больших 𝑁 .

37 А.1. Асимптотики собственных чисел В обозначениях предложения 2.1.1 обозначим Θ1 (𝑁 ) = 𝜇min 𝜇𝑎𝑠 min и Θ2 (𝑁 ) = 𝜇max , 𝜇𝑎𝑠 max 𝑎𝑠 где 𝜇𝑎𝑠 max и 𝜇min — асимптотики максимального и минимального собственных чисел мат рицы HHT , приведенные в правых частях соотношений (2.1.4). Вычисление собствен ных чисел HHT свелось с помощью пункта 2 леммы 1.1.1 к вычислению собственных чисел 2 × 2 матрицы C′ , которое производилось с помощью встроенной функции языка R — "eigen". 3.0 q1 2.5 2.0 1.5 1.0 5000 10000 15000 N Рис. А.1: Поведение Θ1 (𝑁 ) при 𝑎1 = 1.01, 𝑎2 = 1.0095 , 𝑐 = 2 и 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋. 1.0 q2 0.8 0.6 0.4 5000 10000 15000 20000 N Рис. А.2: Поведение Θ2 (𝑁 ) при 𝑎1 = 1.01, 𝑎2 = 1.0095 , 𝑐 = 2 и 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋.

38 А.2. Асимптотики 𝛼𝑖 Аналогично асимптотикам собственных чисел проверяются асимптотики 𝛼𝑖 (пред ложение 3.1.1). Обозначим Ξ1 (𝑁 ) = 𝛼1 /𝛼1𝑎𝑠 и Ξ2 (𝑁 ) = 𝛼2 /𝛼2𝑎𝑠 , где 𝛼𝑖𝑎𝑠 — асимптотики в правых частях (3.1.7) и (3.1.8). Вычисление 𝛼𝑖 производилось по формуле (3.1.4), а 𝜇𝑖 для этой формулы вычислялись так же, как в разделе А.1. 1.0003 X1 1.0002 1.0001 1.0000 5000 10000 15000 N Рис. А.3: Поведение Ξ1 (𝑁 ) при 𝑎1 = 1.01, 𝑎2 = 1.0095 , 𝑐 = 2 и 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋. 1.0000 X2 0.9999 0.9998 0.9997 5000 10000 15000 N Рис. А.4: Поведение Ξ2 (𝑁 ) при 𝑎1 = 1.01, 𝑎2 = 1.0095 , 𝑐 = 2 и 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋.

39 А.3. Асимптотика ‖S0 B(𝛿)P0 ‖ Следующий график иллюстрирует утверждение теоремы 3.1.1. Изображено асимп тотическое поведение 𝐷𝑆 = ‖S0 B(𝛿)P0 ‖ √ , |𝛿|𝑑 𝐿 𝑎−𝑁 2 где константа 𝑑 определена в (3.1.18). Норма вычислялась с помощью встроенной функ ции языка R — "norm", а матрица S0 B(𝛿)P0 строилась явно для каждого 𝑁 . За подроб ным описанием построения можно обратиться к доказательству теоремы 3.1.1. 1.0 DS 0.8 0.6 0.4 500 1000 1500 N Рис. А.5: Отношение ‖S0 B(𝛿)P0 ‖ к своей теоретической асимптотике. Параметры: 𝑎1 = 1.2, 𝑎2 = 1.195, 𝑐 = −1, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋, 𝛿 = 1.

40 (1) А.4. Асимптотика ‖V0 ‖ График А.6 иллюстрирует утверждение теоремы 3.2.1, то есть асимптотическое поведение (1) ‖V ‖ 𝐷𝑉 = √ 0 −𝑁 , 𝑑 𝐿 𝑎2 где константа 𝑑 определена в (3.1.18). Как и в разделе А.3, норма вычислялась с по (1) мощью встроенной функции языка R — "norm", а матрица V0 строилась явно, как в доказательстве теоремы 3.2.1. 1.0 DV 0.8 0.6 0.4 500 1000 1500 N (1) Рис. А.6: Отношение ‖V0 ‖ к своей теоретической асимптотике. Параметры: 𝑎1 = 1.2, 𝑎2 = 1.195, 𝑐 = −1, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋.

41 А.5. Ошибки восстановления последнего элемента Сначала проверим асимптотику нижнего правого элемента матрицы (4.1.5). Гра фик А.7 иллюстрирует утверждение теоремы 4.2.1, то есть асимптотическое поведение 𝐷𝑟 = 𝑟𝐿𝐾 /𝑟∞ , где 𝑟∞ определено в (4.2.1), а 𝑟𝐿𝐾 — нижний правый элемент матри (1) цы V0 H(𝛿) + P⊥ 0 E. При вычислении 𝐷𝑟 , 𝑟𝐿𝐾 строилось и вычислялось явно, следуя доказательству теоремы 4.2.1. Dr 1.006 1.004 1.002 1.000 160 180 200 220 240 260 N Рис. А.7: Отношение 𝑟𝐿𝐾 к своей теоретической асимптотике. Параметры: 𝑎1 = 1.15, 𝑎2 = 1.13, 𝑐 = −2, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋ , 𝛿 = 1.

42 Далее, проверим асимптотику реальной ошибки восстановления последнего эле мента, посчитанной с использованием пакета "Rssa". Будем обозначать 𝐷𝑠𝑠𝑎 отношение реальной ошибки восстановления последнего элемента ряда к 𝑟∞ . Dssa 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 50 100 150 N Рис. А.8: Отношение реальной ошибки восстановления последнего элемента ряда к сво ей теоретической асимптотике. Параметры: 𝑎1 = 1.15, 𝑎2 = 1.13, 𝑐 = −2, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋ , 𝛿 = 1.

43 А.6. Значения 𝑟∞ Поскольку не доказано, что 𝑟∞ ̸= 0 (см. замечание 4.2.1), покажем это численно при некоторых 𝑎1 , 𝑎2 , удовлетворяющих условию 1 < 𝑎2 < 𝑎1 < 𝑎22 . Вычислять 𝑟∞ (на графиках — 𝑟𝑖𝑛𝑓 ) будем непосредственно, как определено в условии теоремы 4.2.1. a1 = 1.1 a1 = 1.05 a1 = 1.12 0.35 rinf 0.30 0.25 0.20 0.15 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 a2 Рис. А.9: Значение 𝑟∞ в зависимости от 𝑎2 при некоторых фиксированных 𝑎1 . a2 = 1.08 a2 = 1.05 a2 = 1.1 rinf 0.35 0.30 0.25 1.05 1.10 1.15 1.20 a1 Рис. А.10: Значение 𝑟∞ в зависимости от 𝑎1 при некоторых фиксированных 𝑎2 .

44 А.7. Поведение нормы разности проекторов Следующие графики обосновывают предположение о том что условие 𝑎1 /𝑎22 < 1 не является необходимым для сходимости нормы разности проекторов к нулю. Будем ⊥ обозначать 𝐷 = ‖P⊥ 0 (𝛿) − P0 ‖. P⊥ 0 вычислялось следующим образом: сначала строились нормированные собствен ные вектора HHT , которые согласно (3.1.3), имеют вид 𝑈𝑖 = (𝛼𝑖 𝐴𝐿1 +𝐴𝐿2 )/‖𝛼𝑖 𝐴𝐿1 +𝐴𝐿2 ‖ T T (𝛼𝑖 вычислялись как в разделе А.2). Далее, P⊥ 0 = 𝑈1 𝑈1 + 𝑈2 𝑈2 . Что касается нормиро ванных собственных векторов для P⊥ 0 (𝛿), то они вычислялись с помощью пакета "Rssa". 0.3 D 0.2 0.1 0.0 100 200 300 400 500 N ⊥ Рис. А.11: Поведение ‖P⊥ 0 (𝛿) − P0 ‖ зависимости от 𝑁 . Параметры: 𝑎1 = 1.05, 𝑎2 = 1.03, 𝑐 = 0.1, 𝛿 = 1, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋. Условие 𝑎1 /𝑎22 < 1 выполнено.

45 0.15 D 0.10 0.05 0.00 100 200 300 400 500 N ⊥ Рис. А.12: Поведение ‖P⊥ 0 (𝛿)−P0 ‖ зависимости от 𝑁 . Параметры: 𝑎1 = 1.05, 𝑎2 = 1.022, 𝑐 = 0.1, 𝛿 = 0.3, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋. Условие 𝑎1 /𝑎22 < 1 не выполнено.

46 А.8. Главный член разности проекторов (1) Следующие графики обосновывают предположение о том, что V0 является глав 3/2 ⊥ ным членом P⊥ 0 (𝛿) − P0 независимо от выполнения условий 𝑎1 < 𝑎2 и даже 𝑎1 < 𝑎22 . Обозначим (1) 𝐷𝑚 = ⊥ ‖P⊥ 0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 ‖ (1) |𝛿| ‖V0 ‖ . (1) ⊥ Вычисление матриц P⊥ 0 (𝛿) и P0 проводилось так же, как в разделе А.7, а V0 — как в А.4. 1.0 Dm 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 200 400 600 800 1000 N (1) (1) ⊥ Рис. А.13: Отношение ‖P⊥ 0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 ‖ к ‖V0 ‖. Параметры: 𝑎1 = 1.02, 𝑎2 = 1.015, 3/2 𝑐 = 0.1, 𝛿 = 1, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋. Условие 𝑎1 < 𝑎2 выполнено.

47 1.0 Dm 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 200 400 600 800 1000 1200 N (1) (1) ⊥ Рис. А.14: Отношение ‖P⊥ 0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 ‖ к ‖V0 ‖. Параметры: 𝑎1 = 1.017, 𝑎2 = 1.011, 3/2 𝑐 = 0.1, 𝛿 = 1, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋. Условие 𝑎1 < 𝑎22 выполнено, но не выполнено 𝑎1 < 𝑎2 . 0.20 Dm 0.15 0.10 0.05 0.00 200 250 300 350 400 N (1) (1) ⊥ Рис. А.15: Отношение ‖P⊥ 0 (𝛿) − P0 − 𝛿V0 ‖ к ‖V0 ‖. Параметры: 𝑎1 = 1.05, 𝑎2 = 1.022, 𝑐 = −1, 𝛿 = 1, 𝐿 = ⌊(𝑁 + 1)/2⌋. Условие 𝑎1 < 𝑎22 не выполнено.

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв