îñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò
Ôèçè÷åñêèé àêóëüòåò
Êà åäðà àäèî èçèêè
Âûïóñêíàÿ êâàëè èêàöèîííàÿ ðàáîòà íà òåìó:
Ôëóêòóàöèè â òîìñîíîâñêîì ãåíåðàòîðå
íà ïîëåâîì òðàíçèñòîðå
Ïî óðîâíþ îáðàçîâàíèÿ
Áàêàëàâðèàò
Âûïîëíèë
Äîíåöêèé À.
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü
ñò.ïðåï., ê. .-ì.í., äîö.
Ëóò÷åíêî Ë.Í.
åöåíçåíò
ê.ò.í., äîö
Âåòðîâà Þ.Í.
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2016
Îãëàâëåíèå
. . . . . . . . . . . . . . .
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è
5
Èñïîëüçóåìûå óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ:
1
1.1
1.2
Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ . . . . . . . .
1.1.1 Ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ óíêöèé . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ñòàöèîíàðíîñòü ñëó÷àéíûõ óíêöèé . . . . . . . . .
1.1.3 Ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè
Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Óðàâíåíèå Ñìîëóõîâñêîãî . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà-Ôîêêåðà-Ïëàíêà . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
7
7
9
9
9
2
Ôèçè÷åñêîå îïèñàíèå ìîäåëè
11
3
Øóìû.
13
3.1
3.2
3.3
4
Ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû îïèñàíèÿ øóìîâ
Øóìû â ïîëåâîì òðàíçèñòîðå . . . . . .
3.2.1 Òåïëîâûå øóìû . . . . . . . . . .
3.2.2 Äðîáîâûå øóìû . . . . . . . . .
Øóìû â öåïè îáðàòíîé ñâÿçè . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ôëóêòóàöèè òîêà â òîìñîíîâñêîì ãåíåðàòîðå
4.1
Âûâîä óðàâíåíèÿ ÝÔÏ, èñõîäÿ èç äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Âûâîä êîý èöèåíòà B, èñõîäÿ èç øóìîâûõ ïàðàìåòðîâ ñõåìû.
4.2.1 Ïðîöåññû Âèíåðà-Ëåâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Ïîëó÷åíèå êîý èöèåíòà äè óçèè . . . . . . . . . . . .
Çàêëþ÷åíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
13
13
13
14
15
16
16
18
19
19
21
Èñïîëüçóåìûå óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ
k ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà
θ àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà
Ig òîê çàòâîðà
Id òîê ñòîêà
Vd íàïðÿæåíèå ñòîêà
Vb íàïðÿæåíèå, îáñóëîâëåííîå íàëè÷èåì ïåðåõîäà
Vg îáðàòíîå íàïðÿæåíèå íà êëåììå çàòâîðà
Vg0 íàïðÿæåíèå îòñå÷êè
gmsat êðóòèçíà õàðàêòåðèñòèêè ïîëåâîãî òðàíçèñòîðà â îáëàñòè íàñûùåíèÿ
gm êðóòèçíà õàðàêòåðèñòèêè ÏÒ
3
Ââåäåíèå
 íàñòîÿùåå âðåìÿ âûäâèãàþòñÿ ñåðüåçíûå òðåáîâàíèÿ ê ñíèæåíèþ ãàáàðèòîâ è âåñà ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðû ïðè óâåëè÷åíèè å¼ ÷óâñòâèòåëüíîñòè.
×óâñòâèòåëüíîñòü áûâàåò îãðàíè÷åíà âíåøíèìè ïîìåõàìè è âíóòðåííèìè
øóìàìè ïðèáîðà. Îäíèì èç ïóòåé óâåëè÷åíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðè¼ìíèêà ÿâëÿåòñÿ ñíèæåíèå âëèÿíèÿ âíóòðåííèõ øóìîâ. Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîãî,
íåîáõîäèìî óìåòü îïèñûâàòü øóìû. Â äàííîé ðàáîòå áóäóò ðàññìîòðåíû øóìû â ãåíåðàòîðå, îñíîâàííîì íà ïîëåâîì òðàíçèñòîðå. Ïîëåâîé òðàíçèñòîð
áûë âûáðàí, èñõîäÿ èç ñëåäóþùèõ åãî ïðåèìóùåñòâ íàä ëàìïîâûìè óñèëèòåëÿìè: áîëüøàÿ äîëãîâå÷íîñòü ñëóæáû, áîëüøàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ íàäåæíîñòü,
ìãíîâåííàÿ ãîòîâíîñòü â ðàáîòå. Òàêæå îí îáëàäàåò ìåíüøåé ìàññîé è ðàçìåðàìè, ÷òî ïîçâîëÿåò øèðîêî èñïîëüçîâàòü åãî â ñîâðåìåííîé òåõíèêå.
 ðàáîòå îïèñûâàþòñÿ øóìû â ïîëåâîì òðàíçèñòîðå ñ óïðàâëÿþùèì
ïåðåõîäîì, ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåäëîæåííûé ûòîâûì Ñ.Ì. [1℄ ñïîñîá, äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà-Ôîêêåðà-Ïëàíêà(äàëåå ÝÔÏ) è ïîêàçûâàåòñÿ ìåòîä ïîëó÷åíèÿ äè óçèîííîãî êîý èöèåíòà óðàâíåíèÿ ÝÔÏ, èñõîäÿ
èç øóìîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñõåìû.
p-n
4
ëàâà 1
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà
çàäà÷è
Øóì ÿâëÿåòñÿ ëóêòóàöèåé íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà â öåïè. Àäåêâàòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì àïïàðàòîì äëÿ îïèñàíèÿ ëóêòóàöèé ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ óíêöèé. Äëÿ çàäàíèÿ ñëó÷àéíîé óíêöèè òðåáóåòñÿ çàäàòü óíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ ëþáîé êîíå÷íîé ìåðíîñòè. Òàêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà äëÿ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà. Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ïðîöåññ
áåç âåðîÿòíîñòíîãî ïîñëåäñòâèÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñëåäóþùåãî ñîñòîÿíèÿ xn+1, tn+1 íåîáõîäèìî çíàòü òîëüêî òåêóùåå ñîñòîÿíèå xn, tn è
ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà V (xn+1, tn+1|xn , tn ) â ñîñòîÿíèå xn+1 , tn+1 .
1.1
Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ
Ïî Êîëìîãîðîâó À.Í. [2℄ [3℄ ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ îäíîçíà÷íàÿ, äåéñòâèòåëüíàÿ, èçìåðèìàÿ óíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé
è çàâèñÿùàÿ îò ïàðàìåòðà t.
ξ(t) = f (ω, t)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû çàäàòü ñëó÷àéíóþ óíêöèþ, íåîáõîäèìî äëÿ ëþáîé êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè å¼ ïàðàìåòðîâ èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ tn çàäàòü ìíîãîìåðíóþ óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
!
n
\
(ξ(tk ) < xk ) = F (x1, t1, x2, t2, . . . , xn, tn ),
P
k=1
ìîíîòîííî íåóáûâàþùóþ ïî âñåì å¼ àðãóìåíòàì (x1 , x2 , . . . , xn). Êîìïëåêñíîé
ñëó÷àéíîé óíêöèåé áóäåò óíêöèÿ η(t) = ξ(t) + iζ . Ïðè ýòîì å¼ óíêöèÿ
5
ðàñïðåäåëåíèÿ
P
n
\
\
[(ξ(tk ) < xk ) (ζ(tk ) < yk )]
k=1
!
= F (x1, y1, t1, x2, y2, t2, . . . , xn, yn, tn )
Ïðîèçâîäíàÿ îò óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî àðãóìåíòàì äà¼ò íåîòðèöàòåëüíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ n-ìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, íóæíî n − 1-ìåðíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè óìíîæèòü íà ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà
V (xn, tn |x1, t1 , x2, t2 , . . . , xn−1, tn−1)
â ñîñòîÿíèåxn, tn . Òî åñòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîòè
ωn (x1, t1, x2, t2, . . . , xn, tn)
çàâèñèò îò âñåé èñòîðèè ïðîöåññà, ÷òî äîñòàâëÿåò îïðåäåë¼ííûå òðóäíîñòè
ïðè ïîïûòêå ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ òàêèõ ïðîöåññîâ.
 ñëó÷àå ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà, äëÿ ïîëó÷åíèÿ n-ìåðíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, äîñòàòî÷íî çíàòü ëèøü n − 1-ìåðíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
è ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà V (xn, tn |xn−1, tn−1 ) â ñîñòîÿíèå xn , tn . Òî
åñòü ïðåäøåñòâóþùèå ñîñòîÿíèÿ íå îêàçûâàþò êàêîãî-ëèáî âëèÿíèÿ íà ýòîò
ïåðåõîä. Ïîýòîìó âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ñ îðìóëèðîâàòü óðàâíåíèå ÝÔÏ
è ïîëó÷èòü åãî ðåøåíèå.
1.1.1
Ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ óíêöèé
Ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ óíêöèé ñðåäíèå çíà÷åíèÿ âèäà η(t1 ) · . . . · η(tn ), ãäå
Z
η(t) = xω(x, t).dx
Ôóíêöèåé êîãåðåíòíîñòè íàçûâàåòñÿ âòîðîé ìîìåíò
Bη (t1, t2) = η(t1 )η ∗(t2 ),
ãäå η ∗ (t) êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíà.
Ôóíêöèåé êîððåëÿöèè íàçûâàåòñÿ âòîðîé ìîìåíò, èìåþùèé ñëåäóþùèé âèä:
ψ(t1 t2 ) = Bη (t1, t2) − η(t1 ) · η ∗ (t2 ).
Âòîðûå ìîìåíòû îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Ýðìèòîâà ñîïðÿæåííîñòü. Bη (t1 , t2 ) = Bη∗ (t2 , t1 )
2. Îãðàíè÷åííîñòü ïî ìîäóëþ |Bη (t1 , t2 )| < 12 [Bη (t1 , t1 ) + Bη (t2 , t2 )]
3. Åñëè óíêöèÿ êîãåðåíòíîñòè íåïðåðûâíà ïðè t1 = t2 , òî îíà íåïðåðûâíà íà
6
âñåé ïëîñêîñòè (t1 t2 ), è ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ
.
êâàäðàòè÷íîì
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â ñðåäíåì
lim |η(t + h) − η(t|2 = 0
h→0
Ïðîèçâîäíàÿ îò ñëó÷àéíîé óíêöèè, íåïðåðûâíîé â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì
îïðåäåëåíà êàê
η(t + h) − η(t)
dη
= l.i.mh→0
,
dt
h
ãäå l.i.m. ïðåäåë â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì. Îíà ñóùåñòâóåò, åñëè ñóùåñòóåò
âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò óíêöèè êîãåðåíòíîñòè ïî äâóì àðãóìåíòàì
t1 =t2
1.1.2
Ñòàöèîíàðíîñòü ñëó÷àéíûõ óíêöèé
Ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ ñòàöèîíàðíà â óçêîì ñìûñëå, åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ëþáîé êîíå÷íîé ìåðíîñòè èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî
âûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà ïàðàìåòðà t.
ωn (x1, y1, t1 + τ, . . . , xn, yn, tn + τ ) = ωn (x1, y1, t1 , . . . , xn, yn , tn)
Ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ ñòàöèîíàðíà â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè óíêöèÿ êîðåëÿöèè ñóùåñòâóåò è çàâèñèò îò ðàçíîñòè ïàðàìåòðîâ.
1.1.3
Ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè
Ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå T äåéñòâèòåëüíîé îñè, íàçûâàåòñÿ óíêöèåé ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, åñëè ∀tk ∈ T, t1 ≤ t2 ≤ t3
âûïîëíÿåòñÿ
ξ(tn) = ξ(0) +
n
X
∆k ξ, ãäå ∆k ξ = ξ(tk ) − ξ(tk−1).
k
Ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè (äàëåå ÑÔÍÏ) îäèí
èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ. Ïðèìåðîì ÑÔÍÏ ÿâëÿåòñÿ äðîáîâîé øóì. Äðîáîâîé øóì îáóñëîâëåí äèñêðåòíîñòüþ çàðÿäà è åãî ñëó÷àéíûì
ïîÿâëåíèåì.
Äèñïåðñèÿ ÑÔÍÏ èìååò âûðàæåíèå
2
σξ(t
n)
=
2
σξ(0)
+
n
X
k
7
2
σ∆
kξ
è îíà áóäåò ðàñòè ñ ðîñòîì âðåìåíè, òàê êàê ÷èñëî íåîòðèöàòåëüíûõ ÷ëåíîâ
óâåëè÷èâàåòñÿ. Åñëè ñëó÷àéíàÿ óíêöèÿ ξ(t) òàêîâà, ÷òî ïîçâîëÿåò äåëàòü
ñêîëü óãîäíî ìàëûå èíòåðâàëû ∆t = tk − tk−1 ïðè ñîõðàíåíèè íåçàâèñèìîñòè
∆k ξ , òî äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè [0, t] áóäåò ìíîãî íåçàâèñèìûõ ïðèðàùåíèé è ξ(t) ïî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå áóäåò èìåòü
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Åñëè ïðîöåññ îäíîðîäåí âî âðåìåíè, òî ïðèðàùåíèÿ ∆k ξ èìåþò ðàñïðåäåëåíèå, íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè. Òîãäà
2
2
2
σξ(t
= σξ(0)
+ nσ∆ξ
,
n)
òî åñòü èìååì ëèíåéíûé ðîñò äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé óêöèè ñ íåçàâèñèìûìè
ïðèðàùåíèÿìè.
Òàêàÿ óíêöèÿ íå èìååò ïðîèçâîäíîé âî âðåìåíè. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî,
ðàññìîòðèì äèñïåðñèþ
σ(2 ∆ξ ) =
∆T
1
B∆t
2
σ
=
−→ ∞ ïðè t → ∞.
(∆t)2 ∆ξ (∆t)2
(1.1)
Åñëè íå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíîé òàêîé óíêöèè, òî íå ñóùåñòóåò ñèëû òîêà
â äðîáîâîì øóìå, ÷òî ÿâëÿåòñÿ àáñóðäîì äëÿ èçèêîâ. Ïðè ýòîì íàäî èìåòü
ââèäó, ÷òî ïðèðàùåíèÿ áóäóò íåçàâèñèìûìè, åñëè áóäåò ìíîãî ñëó÷àåâ ïîÿâëåíèÿ çàðÿäà (òîë÷êîâ) çà âðåìÿ ∆t.
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè äîëæåí áûòü ìàë
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé, íî âåëèê, ÷òîáû áûëà ÑÔÍÏ çà âðåìÿ ìåæäó
òîë÷êàìè θ .
∆t ≫ θ.
(1.2)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìû ìîãëè îïðåäåëèòü ïðîèçâîäíóþ è âûïîëíÿëîñü (1.2), θ
äîëæíî ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ (òîë÷êè äîëæíû áûòü áåñêîíå÷íî ÷àñòûå).  äåéñòâèòåëüíîñòè θ 6= 0. Òîãäà â ïðîìåæóòêàõ ìåæäó òîë÷êàìè ñóùåñòóåò äðîáîâîé òîê è èìååò âðåìÿ êîððåëÿöèè ïîðÿäêà θ . Ïóñòü óíêöèÿ êîððåëÿöèè
äðîáîâîãî òîêà I(t)
′
′′
B
|t
−
t
|
ψI (t′, t′′ ) =
(1.3)
· exp −
2θ
θ
Ïóñòü ξ(t) = 0 , òîãäà
Z tZ t
Z tZ t
2
′ ′′
2
′
′′
ψI (t′ , t′′)dt′ dt′′ =
σξ(t) = ξ (t) =
I(t )I(t )dt dt =
0
0
0 0
t
= B t − θ(1 − exp(− ))
θ
2
(1.4)
(1.5)
Åñëè t ≪ θ , òî äèñïåðñèÿ σξ2 ≈ Bt
2θ . Óìåíüøåíèå θ âëå÷åò ê òîìó, ÷òî äèñïåðñèÿ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.  ñëó÷àå, êîãäà t ≫ θξ(t) âåäåò ñåáÿ êàê
ÑÔÍÏ è âñòóïàåò â ñèëó äè óçèîííûé çàêîí σξ2 = Bt.
8
Òàêèì îáðàçîì, ÑÔÍÏ ìàòåìàòè÷åñêàÿ èäåàëèçàöèÿ ïðîöåññà ïðè θ = 0.
Ýòà èäåàëèçàöèÿ ïðèâîäèò ê δ -êîððåëèðîâàííîñòè ÑÔÍÏ.
1.2
1.2.1
Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû
Óðàâíåíèå Ñìîëóõîâñêîãî
àññìîòðèì ìàðêîâñêèé ïîöåññ è íåïðåðûâíûå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé óíêöèè η(t). Ïóñòü â ìîìåíò t0 ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè xo , à
ïåðåõàîä â ñîñòîÿíèå (x, t) ðåàëèçóåòñÿ ÷åðåç íåêîòîðîå ïðîìåæóòî÷íîå ñîñòîÿíèå (y, t′). Òîãäà ýòîò ïåðåõîä ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåõîäîâ (x0 , t0 ) −→ (y, t′) −→ (x, t). Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
îñóùåñòâëåíèÿ ýòîãî ïåðåõîäà ðàâíà V (x, t|y, t′)∗V (y, t′ |x0 , t0 ). Òàêîé äâîéíîé
ïåðåõîä îäèí èç ñïîñîáîâ ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ (x0, t0 ) â ñîñòîÿíèå (x, t),
ïðè÷åì íåâîçìîæíî îäíîâðåìåííîå ñóùåñòâîâàíèå äâóõ ïåðåõîäîâ(ñîáûòèÿ
íåñîâìåñòèìû)
(x0, t0 ) −→ (y, t′ ) −→ (x, t) è (x0, t0 ) −→ (y1 , t′1) −→ (x, t).
Ýòî ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò íàì íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà
(x0, t0 ) −→ (x, t) êàê ñóììó ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé òàêèõ ïåðåõîäîâ
Z
V (x, t|x0, t0) = V (x, t|y, t′) ∗ V (y, t′|x0 , t0)dy.
Äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ ýòîãî íåîáõîäèìî íàëîæèòü ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ:
1. Èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé äîëæíî äàâàòü òó
æå óíêöèþ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè
2. åçóëüòàò íå äîëæåí çàâèñåòü îò âûáîðà ïðîìåæóòî÷íîé òî÷êè
1.2.2
Óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà-Ôîêêåðà-Ïëàíêà
Óðàâíåíèå ÝÔÏ áûëî âûâåäåíî Áîãîëþáîâûì Í.Í. è Êðûëîâûì Í.Ì â 1939
ãîäó èç óðàâíåíèÿ Ñìîëóõîâñêîãî. Èìè áûëî ðàññìîòðåíî ñîñòîÿíèå (y, t−τ ),
áëèçêîå ê (x, t).
Áûëî äîïóùåíî ñóùåñòâîâàíèå ñëåäóþùèõ ïðåäåëîâ:
1.
Z
x−y
1
lim
= lim
(x − y)V (x, t|y, t − τ )dx = A(y, t)
τ →0
τ →0 τ
τ
Ýòîò ïðåäåë èìååò ñìûñë ñðåäíåé ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â
òî÷êå y â ìîìåíò t.
2.
Z
1
(x − y)2
(x − y)2 · V (x, t|y, t − τ )dx = B(y, t)
= lim
lim
(1.6)
τ →0 τ
τ →0
τ
9
(x − y)2 äèñïåðñèÿ êîíå÷íûõ òî÷åê x îòíîñèòåëüíî èêñèðîâàííûõ íà÷àëüíûõ òî÷åê y . Ýòîò ïðåäåë ìîæíî òðàêòîâàòü êàê òîò àêò, ÷òî ýòà äèñïåðñèÿ
ïðè óäàëåíèè îò ìîìåíòà âðåìåíè t íà τ , áóäåò ðàñòè ïðîïîðöèîíàëüíî τ (ïî
äè óçèîííîìó çàêîíó). B2 (y, t) íàçûâàåòñÿ êîý èöèåíòîì äè óçèè.
3.
|x − y|3
= 0.
lim
τ →0
τ
àâåíñòâî ýòîãî ïðåäåëà íóëþ ãîâîðèò î òîì, ÷òî ðåçêèå èçìåíåíèÿ |x−y| ìàëîâåðîÿòíû è ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü x êàê íåïðåðûâíóþ ñëó÷àéíóþ óíêöèþ, òî åñòü êàê ñðåäíåå çà âðåìÿ, ãîðàçäî áîëüøåå ïðîìåæóòêà ìåæäó ñëó÷àéíûìè òîë÷êàìè.
Òàêèì îáðàçîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ìàðêîâñêèå ïðîöåññû, ó êîòîðûõ íåïðåðûâåí ñïåêòð ñîñòîÿíèé è êîòîðûå ïðîòåêàþò íåïðåðûâíî âî âðåìåíè. Òàêèå
ìàðêîâñêèå ïðîöåññû íàçûâàþòñÿ äè óçèîííûìè. Äëÿ íèõ áûëî ïîëó÷åíî
óðàâíåíèå
∂A(x, t)V (x, t|x0, t0 ) 1 ∂ 2B(x, t)V (x, t|x0, t0 )
∂V (x, t|x0, t0 )
=−
+
.
∂t
∂x
2
∂x2
Åãî ðåøåíèå äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì, íîðìèðîâàíî ê åäèíèöå è óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó V (x, t0|x0 , t0 ) = δ(x − x0 ).
10
ëàâà 2
Ôèçè÷åñêîå îïèñàíèå
ìîäåëè
Ïîëåâîé òðàíçèñòîð (äàëåå ÏÒ) áûë îïèñàí Øîêëè â 1952 ãîäó. Â äàííîé ðàáîòå îí áûë èñïîëüçîâàí, ïîñêîëüêó â íåì ïðîèñõîäèò ïåðåíîñ òîëüêî
îñíîâíûõ íîñèòåëåé çàðÿäà, ÷òî îáëåã÷àåò îïèñàíèå. ×àùå âñåãî ÏÒ èñïîëüçóåòñÿ ïî ñõåìå ñ îáùèì èñòîêîì.  ýòîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò áîëüøîå óñèëåíèå
òîêà. ÏÒ áûâàþò äâóõ òèïîâ: ñ óïðàâëÿþùèì
ïåðåõîäîì è ñ èçîëèðîâàííûì çàòâîðîì. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñõåìó
òðàíçèñòîðîì ñ óïðàâëÿþùèì
ïåðåõîäîì. Îáùàÿ ñõåìà òàêîãî ÏÒ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 2.1.
pn
pn
èñ. 2.1: Îáùåå óñòðîéñòâî ïîëåâîãî
òðàíçèñòîðà
èñ. 2.2: Îáùèé âèä ãåíåðàòîðîâ íà
ÏÒ
Áóêâàìè S è D îáîçíà÷åíû êîíòàêòû èñòîêà è ñòîêà ñîîòâåòñòâåííî. Áóêâîé G îáîçíà÷åíû êîíòàêòû çàòâîðà. Òîê ñòîêà ðàâåí
"
#
3/2
2 Vg − (Vg + Vd )3/2
1
ρL
Vd +
,
Id =
(2.1)
,
R
=
k0
3/2
Rk0
3
aZ
V
g0
ãäå ρ - óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî ñäåëàí òðàíçèñòîð, Z
- øèðèíà òðàíçèñòîðà.
11
Îáùàÿ ñõåìà ãåíåðàòîðîâ íà ÏÒ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 2.2. Çäåñü ïîä
áëîêîì ÎÑ ïîäðàçóìåâàåòñÿ íåêîòîðàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü. Îïèøåì øóìû òàêîãî
ãåíåðàòîðà.
12
ëàâà 3
Øóìû.
3.1
Ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû îïèñàíèÿ øóìîâ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ â ëèòåðàòóðå îñíîâíûì ìåòîäîì îïèñàíèÿ øóìîâ ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíûé ìåòîä. Ýëåêòðîííàÿ ñõåìà ñ ñîáñòâåííûì øóìîì ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê áåñøóìîâàÿ ñõåìà ñ âíåøíèìè ãåíåðàòîðàìè øóìîâîãî òîêà, ïîäêëþ÷åííûìè ïàðàëëåëüíî. Øóìû îïèñûâàþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè
ïëîòíîñòÿìè, îïðåäåëåííûìè ÷åðåç ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò óíêöèè êîððåëÿöèè, ò.ê. ñëó÷àéíûå óíêöèè, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðàññìîòðåíèÿ
øóìîâ, íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Äèðèõëå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
Z ∞
Sξ (ω) =
ξ(t + τ )ξ(t)eiωtdt
(3.1)
−∞
Èíòåãðàë ïî âñåì ÷àñòîòàì îò ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èìååò èçè÷åñêèé
ñìûñë ìîùíîñòè.
3.2
Øóìû â ïîëåâîì òðàíçèñòîðå
Ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå è íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ, íàèáîëåå âàæíû òåïëîâîé øóì ñòîêà, òåïëîâîé øóì íà çàòâîðå è äðîáîâîé øóì óòå÷êè íà çàòâîðå.
3.2.1
Òåïëîâûå øóìû
ßâëåíèå òåïëîâîãî øóìà àíàëîãè÷íî áðîóíîâñêîìó äâèæåíèþ, ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà êîòîðîãî áûëè îïèñàíû Ýéíøòåéíîì [4℄. Àíàëèç Ýéíøòåéíà
îñíîâàí íà ìîäåëè ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ è ïîêàçûâàåò, ÷òî ñðåäíèé êâàäðàò
ïåðåìåùåíèÿ áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû ïðîïîðöèîíàëåí âðåìåíè íàáëþäåíèÿ. [5℄
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òåïëîâîãî øóìà ñòîêà áûëà îïèñàí Àëüáåðòîì
13
Âàí-Äåð-Çèëîì [6℄ â 1962 ãîäó, è îíà èìååò âûðàæåíèå
h
i
3/2
4 3/2
1 2
2
(zd − zs ) − 3 (zd − zs ) + 2 (zd − zs )
i
h
Std = 4kθg0 ·
,
3/2
2 3/2
(zd − zs ) − 3 (zd − zs )
V +V −V
V +V
ãäå zd = b Vg0g d , zs = bVg0 g , g0 = 2σaω/L ïðîâîäèìîñòü îäíîðîäíîãî ïîëåâîãî òðàíçèñòîðà øèðèíîé 2a â îòñóòñòâèå îáúåìíîãî çàðÿäà. îáèíñîí [7℄
ïîêàçàë, ÷òî õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì ñëóæèò îðìóëà
2gmsat
Std (ω) ≃ 4kθ
.
3
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òåïëîâîãî øóìà íà çàòâîðå ÏÒ, ðàâíà
#
"
1/2
2 2
ω C
(1 + 7zs )
Stg =
.
4kθ
1/2
gmsat
10(1 + 2zs )
Äîñòàòî÷íî õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì [7℄ ýòîé îðìóëû áóäåò
ω2C 2
4kθ.
Std ≃
4gmsat
3.2.2
Äðîáîâûå øóìû
Øóì òîêà óòå÷êè çàòâîðà èìååò äðîáîâîé õàðàêòåð è åãî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èìååò ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
Sdg (ω) = 2q · Ig .
Òàê êàê äàííûé øóì íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû, à òåïëîâîé øóì çàòâîðà çàâèñèò
îò ÷àñòîòû êàê ω 2 , ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ ÷àñòîòà, íèæå êîòîðîé äàííûé øóì
áóäåò ïðåîáëàäàòü. Îíà ðàâíà [5℄
fcrit = fcut
2q · Ig
kθgmsat
1/2
.
gm
Çäåñü fcut = 2πC
ïðåäåëüíàÿ ÷àñòîòà ñðåçà,ãäå C çíà÷åíèå âõîäíîé ¼ìêîñòè
òðàíçèñòîðà.
Òàêèì îáðàçîì øóìû â ïîëåâîì òðàíçèñòîðå ìîæíî ïðåäñòàâèòü äâóìÿ
èñòî÷íèêàìè è ÷àñòü ãåíåðàòîðà ñ ïîëåâûì òðàíçèñòîðîì áóäåò ïðåîáðàçîâàíà ê ñëåäóþùåé ñõåìå:
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñõåìó ðèñ. (3.2). Çäåñü vn ãåíåðàòîð øóìîâîãî íàïðÿæåíèÿ, ðàñïîëîæåííûé íà çàòâîðå. Îí ìåíÿåò øèðèíó êàíàëà, ÷òî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ êðóòèçíû è, êàê ñëåäñòâèå, âûõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè.
14
èñ. 3.2: Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà, â êîòîðîé ãåíåðàòîð òîêà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ãåíåðàòîð íàïðÿæåíèÿ
èñ. 3.1: Ýêâèâàëåíòíîå ïðåäñòàâëåíèå øóìîâ â ÏÒ êàê èñòî÷íèêîâ òîêà
Ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè äàííûõ èñòî÷íèêîâ áóäóò èìåòü âèä
ω2C 2
Sin (ω) ≃
kθ + 2q · Ig
gmsat
2 4kθ
.
Svn (ω) ≃
3 gmsat
Òîãäà òîê ñòîêà áóäåò èìåòü ñëåäóùèé âèä:
"
#
2 (Vg + Vn )3/2 − (Vg + Vn + Vd )3/2
1
Vd +
Id =
.
3/2
Rk0
3
V
(3.2)
g0
3.3
Øóìû â öåïè îáðàòíîé ñâÿçè
Îáðàòíàÿ ñâÿçü â îáùåì âèäå ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ÷åòûð¼õïîëþñíèê è îíà
ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì òåïëîâîãî øóìà. Äàííûé øóì íå îêàçûâàåò ñòîëü áîëüøîãî âëèÿíèÿ íà ïàðàìåòðû ãåíåðàòîðà, êàê îêàçûâàþò øóìû â ïîëåâîì
òðàíçèñòîðå, ïîýòîìó èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
15
ëàâà 4
Ôëóêòóàöèè òîêà â
òîìñîíîâñêîì ãåíåðàòîðå
4.1
Âûâîä óðàâíåíèÿ ÝÔÏ, èñõîäÿ èç äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû
Äàííûé ñïîñîá îïèñàí ûòîâûì Ñ.Ì. â êíèãå [1℄. Áûë ðàññìîòðåí ãåíåðàòîð
ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû.
îâîðÿ, ÷òî ãåíåðàòîð Òîìñîíîâñêèé, ïîäðàçóìåâàåòñÿ ìàëîñòü íåëèíåéíûõ è äèññèïàòèâíûõ ïàðàìåòðîâ.
Äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ äëÿ êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè ãåíåðàòîðà, èñõîäÿ èç îáùèõ èçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, è èìååò îáùèé âèä
I¨d + Id = µf (Id, I˙d ) + µF (t).
(4.1)
Çäåñü F (t) ëóêòóàöèîííàÿ ñèëà, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ, èñõîäÿ èç êîíêðåòíîé ñõåìû ãåíåðàòîðà. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå äàííîé òåîðèè íå îïåðèðóåò äàííîé ñèëîé. Òàêæå, èñõîäÿ èç ïàðàìåòðîâ ãåíåðàòîðà, îïðåäåëÿåòñÿ
f (Id, I˙d).
åøåíèåì òàêîãî óðàâíåíèÿ ïðè µ = 0 áóäåò èìåòü âèä
Id = r · cos(t′ + φ),
(4.2)
ãäå r àìïëèòóäà òîêà ñòîêà, φ àçà, t′ = ω0 t. Ê òîìñîíîâñêèì ñèñòåìàì
ïðèìåíèì ìåòîä ìàëûõ âîçìóùåíèé Âàí-Äåð-Ïîëÿ. Îí ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî
àìïëèòóäà è àçà áóäóò óíêöèÿìè ìåäëåííîãî âðåìåíè θ = µt′ , è óðàâíåíèå
(4.2) ïðåîáðàçóåòñÿ â
Id = r(θ) · cos(t′ + φ(θ)),
(4.3)
Ýòî ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü, ÷òî ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû r(θ) è àçû φ(θ)
ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè îòíîñèòåëüíî µ.
ṙ = µr′ , φ̇ = µφ′ ,
16
(4.4)
ãäå øòðèõîì îáîçíà÷åíî äè åðåíöèðîâàíèå ïî ìåäëåííîìó âðåìåíè θ . Äè åðåíöèðóÿ (4.2) ïî âðåìåíè è ó÷èòûâàÿ òîëüêî ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî µ, ïîëó÷àåì:
I¨d + Id = −2µ[r′sin(t + φ) + rφ′ cos(t + φ)].
(4.5)
Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (4.1) è (4.5), ïîëó÷àåì
f [rcos(t + φ), −rsin(t + φ)] + F (t) = −2[r′sin(t + φ) + rφ′ cos(t + φ)]. (4.6)
Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî óíêöèÿ f 2π -ïåðèîäè÷íà è å¼ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä
Ôóðüå ïî àðãóìåíòó u = t + φ.
∞
a0 X
+
(an cos(nu) + bn sin(nu)).
f (rcosu, −rsinu) =
2
n=1
(4.7)
Èç-çà âûñîêîé ñåëåêòèâíîñòè ñèñòåìû èç âñåãî ðÿäà Ôóðüå ñóùåñòâåííû òîëüêî ÷ëåíû ñ n = 1. ×òî ïðèâîäèò óðàâíåíèå (4.6) ê âèäó
−2[r′sinu + rφ′ cosu] = a1 cosu + b1 sinu.
(4.8)
àññìîòðèì òåïåðü ëóêòóàöèîííóþ ñèëó F (t). Ïî òîé æå ïðè÷èíå, ÷òî ìû
îñòàâèëè òîëüêî ïåðâûå ÷ëåíû f ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü Fg
(t), îïðåäåëåííóþ â îêðåñòíîñòè òîé æå áåçðàçìåðíîé ÷àñòîòû 1.
Òàêàÿ ñèëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
Fg
(t) = F|| (θ)cosu + F⊥(θ)sinu.
(4.9)
Íà îñíîâàíèè (4.6), (4.8) è (4.9) ïîëó÷àåì
r′ = −
a1 F|| (θ)
b1 F⊥(θ)
−
, rφ′ = − −
.
2
2
2
2
(4.10)
Êîãäà ñèñòåìà àâòîíîìíà (F (t) = 0), èç (4.10) ïîëó÷àåòñÿ
r′ = −
b1
a1
= R(r), rφ′ = − = Φ(r)
2
2
(4.11)
Èíòåãðèðóÿ ýòè âûðàæåíèÿ, ïðè íàëè÷èè íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ïîëó÷àþòñÿ
êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ äëÿ ìîäóëÿ Id è åãî àçû.  óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå
àìïëèòóäà Id = r = const ⇒ r′ = 0. Ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ òîêà ñòîêà îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ R(r) = 0. Ïóñòü r0 ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà
èç óðàâíåíèÿ (4.11) ìîæíî îïðåäåëèòü óðàâíåíèå äëÿ àçû
φ(θ) = φ(0) +
Φ(r0)
Φ(r0)
θ = φ(0) +
µt.
r0
r0
17
(4.12)
Òàêèì îáðàçîì ïðè óñëîâèè
Φ(r0 )
r0
6= 0, àâòîêîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñ ÷àñòîòîé
Φ(r0)
(4.13)
,
r0
êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà, ðàâíîé
1.
Êàê óæå áûëî ñêàçàíî â (1.2.2), äëÿ òîãî, ÷òîáû ñ÷èòàòü ñëó÷àéíóþ óíêöèþ íåïðåðûâíîé, íàì íóæíî, ÷òîáû çà ðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðîèñõîäèëî ìíîãî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ òîë÷êîâ. Ñëó÷àéíûå âîçäåéñòâèÿ, ñ êîòîðûìè ñâÿçàíû óõîäû ÷àñòîòû ãîðàçäî áîëåå ìåäëåííû, è
ñëåäîâàòåëüíî íå ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû êàê ïðîöåññû áåç âåðîÿòíîñòíîãî ïîñëåäñòâèÿ. Ïîýòîìó â äàííîé ìîäåëè ó÷èòûâàþòñÿ òîëüêî äðîáîâûå è
òåïëîâûå ëóêòóàöèè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ ÝÔÏ íåîáõîäèìî êîíêðåòèçèðîâàòü êîý èöèåíòû B(x, t) è A(x, t). Ââåä¼ì
1+µ
(∆r)2
(∆r∆φ)
(∆φ)2
Brr = lim
, Brφ = lim
, Bφφ = lim
∆t→0 ∆t
∆t→0
∆t→0 ∆t
∆t
Áûëî äîïóùåíî, ÷òî ñëó÷àéíå òîë÷êè èçîòðîïíû, òî åñòü
(4.14)
Brr = r2 Bφφ = B, Brφ = 0.
Êðîìå òîãî áûëî ïðèíÿòî, ÷òî òîë÷êè îäíîðîäíû, òî åñòü B âåëè÷èíà, íå
çàâèñÿùàÿ îò ñîñòîÿíèÿ ãåíåðàòîðà (r, φ).
Òàêæå ûòîâûì Ñ.Ì. [1℄ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êîý èöèåíò A(x, t) ñîâïàäàåò ñ ïðàâîé ÷àñòüþ äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé
ñëó÷àéíîé óíêöèè, ñðåäíåå çíà÷åíèå êîòîðîé ðàâíî íóëþ.
dx
(4.15)
= A(x, t) + F (x, t), ïðè÷åì F (x, t) = 0.
dt
Èçíà÷àëüíî ïðè ðàññìîòðåíèè äèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (4.1) ïðåíåáðåãëè
ëóêòóàöèîííîé ñèëîé, ó êîòîðîé ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàâíî íóëþ. Ó÷èòûâàÿ
(4.2), ïîëàãàåì A(r, φ) = R(r), Φ = 0 è óðàâíåíèå ÝÔÏ äëÿ âåðîÿòíîñòè
ïåðåõîäà V (r, φ, θ|r0, φ0 , θ0 ) èìååò âèä
∂v
∂Rv B ∂
1 ∂ 2v
∂ v
(4.16)
=−
+
+ 2 2.
r
∂t
∂r
2 ∂r
∂r r
r ∂φ
Ïîëó÷èì êîý èöèåíò B .
4.2
Âûâîä êîý èöèåíòà B, èñõîäÿ èç øóìîâûõ ïàðàìåòðîâ ñõåìû.
Êàê áûëî ñêàçàíî â ïóíêòå (3.3), òåïëîâîé øóì îáðàòíîé ñâÿçè ñðàâíèòåëüíî ìàë, ïîòîìó ïðè ïîëó÷åíèè êîý èöèåíòà B(x, t), ìû áóäåì ó÷èòûâàòü
øóìîâîé âêëàä òîëüêî îò ïîëåâîãî òðàíçèñòîðà.
18
4.2.1
Ïðîöåññû Âèíåðà-Ëåâè
 ïðåäåëå (1.6) ïîä ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû x(t) áóäåì ïîíèìàòü êîëè÷åñòâî ïåðåíåñ¼ííîãî çàðÿäà q íà çàòâîð â ìîìåíò t, à y â ìîìåíò t − τ .
Ôëóêòóàöèè çàðÿäà q(t) ìîæíî âûðàçèòü â âèäå èíòåãðàëà ïî êîíå÷íîìó èíòåðâàëó [0, τ ] òîêà òåïëîâûõ øóìîâ.
Z τ
q(t) =
(4.17)
i(t′ )dt′ .
0
Ýòà îðìóëà äà¼ò îïðåäåëåíèå ïðîöåññà Âèíåðà-Ëåâè: ýòî èíòåãðàë ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà i(t), èìåþùåãî ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü Si (ω). q(t) ÿâëÿåòñÿ
íåñòàöèîíàðíûì ïðîöåññîì.
Çíà÷åíèå ñðåäíåãî êâàäðàòà ëóêòóàöèé çàðÿäà ïîëó÷àþò íà îñíîâå ïðîñòîé îïåðàöèè. Íà÷àëüíàÿ ñòàäèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç ïåðåìåùåíèÿ ýëåêòðîíà ïî
ïóòè ñâîáîäíîãî ïðîëåòà lf ìåæäó ñòîëêíîâåíèÿìè, âûçûâàåò âî âíåøíåì
êîíòóðå ïåðåíîñ çàðÿäà, ðàâíîãî q(lf /L). Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè τ èìååòñÿ
m íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé, òî çíà÷åíèå ñðåäíåãî êâàäðàòà ëóêòóàöèé çàðÿäà
èìååò âèä
q 2 (t) = mq 2lf 2 /L2 = vtq 2 lf 2/L2,
(4.18)
ãäå v ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ñîáûòèé è ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî m = vt (ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå ÷èñëà ñîáûòèé ïåðåíîñà çàðÿäà) è ïîýòîìó äðîáîâîé øóì ìîæíî
ñ÷èòàòü äè óçèîííûì ïðîöåññîì.
4.2.2
Ïîëó÷åíèå êîý èöèåíòà äè óçèè
Êàê âèäíãî èç ñõåìû íà ðèñóíêå (3.1), ó íàñ èìååòñÿ äâà èñòî÷íèêà øóìîâîãî
òîêà i1 (t) è i2 (t) ñî ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè
ω2C 2
2gmsat
Si1 (ω) ≃
(4.19)
kθ + 2q · Ig è Si2 (ω) ≃ 4kθ
.
gmsat
3
Òîê i1 ïîäà¼òñÿ íà èñòîê ïîëåâîãî òðàíçèñòîðà. Äàëüøå ïðîèñõîäèò åãî óñèëåíèå ïîëåâûì òðàíçèñòîðîì, ïîñëå êîòîðîãî îí ñêëàäûâàåòñÿ ñ òîêîì i2 (t). Â
èòîãå íà âûõîäå ãåíåðàòîðà îáðàçóåòñÿ øóìîâîé òîê Inoise(t) ñî ñïåêòðàëüíîé
ïëîòíîñòüþ
SInoise (ω) = Si2 (ω) + P 2 · Si1 (ω),
(4.20)
ãäå P êîý èöèåíò óñèëåíèÿ òðàíçèñòîðà. Ïîëíûé òîê íà âûõîäå òîãäà
áóäåò ðàâåí
Iout(t) = Itheor (t) + Inoise(t),
ãäå Itheor (t) òîê êîòîðûé áû íàáëþäàëñÿ íà âûõîäå ãåíåðàòîðà ïðè îòñóòñòâèè øóìîâ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîý èöèåíòà B(x, t), íàäî â ïðåäåë (1.6) âìåñòî (x − y)2 ïîäñòàâèòü (Inoise(t))2 , ðàâíûé ïî òåîðåìå Âèíåðà-Õèí÷èíà
Z ∞
1
(Inoise(t))2 =
SInoise (ω)cos(ωt)dω.
(4.21)
2π 0
19
Äàííûé ïðåäåë áóäåò ñóùåñòâîâàòü, ïîñêîëüêó â ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü Si1
âõîäèò ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü äðîáîâîãî òîêà
Sdg (ω) = 2q · Ig ,
à â ïóíêòå (4.2.1) áûëî ïîêàçàíî, ÷òî äàííàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíè. Îñòàâøèåñÿ êîìïîíåíòû SInoise (ω) ÿâëÿþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè òåïëîâîãî øóìà è, êàê ñêàçàíî â ï.(3.2.1), ñïåêòðàëüíûå
ïëîòíîñòè òåïëîâûõ øóìîâ áóäóò ïðîïîðöèîíàëüíû âðåìåíè τ .
Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì, ÷òî
R∞
1
SInoise (ω)cos(ωt)dω
B(I, t) = lim 2π 0
(4.22)
t→0
t
è ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò.
20
Çàêëþ÷åíèå
 ðàáîòå èçó÷åíû ëóêòóàöèè âûõîäíîãî òîêà ãåíåðàòîðà òîìñîíîâñêîãî òèïà, îáóñëîâëåííûå òåïëîâûì è äðîáîâûì øóìàìè. Ôàêòè÷åñêè ðàçðàáîòàíà
ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè äëÿ ñëó÷àéíîé
óíêöèè òîêà ñòîêà ëþáîé êîíå÷íîé ìåðíîñòè â ïðèáëèæåíèè ìàðêîâñêîãî
ïðîöåññà. Äàííàÿ ìåòîäèêà ïðåäïîëàãàåò, ÷òî èçâåñòíî äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ òîêà ñòîêà ãåíåðàòîðà. ×òîáû ïîñòðîèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà òîêà ñòîêà, èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå ÝÔÏ, ïðè÷¼ì äåòàëüíî ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ ïîëó÷åíèÿ êîý èöèåíòà äè óçèè. ×òîáû
ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë, îïðåäåëÿþùèé êîý èöèåíò äè óçèè,
èñïîëüçîâàíî îïèñàííîå Ýéíøòåéíîì ñðàâíåíèå òåïëîâîãî øóìà ñ áðîóíîâñêèì äâèæåíèì ÷àñòèöû, à äëÿ äðîáîâîãî øóìà áûëî èñïîëüçîâàíî ïîíÿòèå
ïðîöåññà Âèíåðà-Ëåâè, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðàë îò ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà. Óäàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî äèñïåðñèÿ, âõîäÿùàÿ â îïðåäåëåíèå
êîý èöèåíòà B(x, t) ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè.
Èçó÷åíà ëèòåðàòóðà, ïîñâÿùåííàÿ êîëè÷åñòâåííîìó îïèñàíèþ øóìîâ. Ê
ñîæàëåíèþ, â äàííîé ëèòåðàòóðå ÷àñòî íåêîððåêòíî èñïîëüçóåòñÿ òåðìèíîëîãèÿ ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ óíêöèé, ÷òî ïðèâîäèëî ê îïðåäåë¼ííûì òðóäíîñòÿì â íàïèñàíèè ðàáîòû.
21
Ëèòåðàòóðà
Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ ðàäèî èçèêó. ×àñòü 1. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Íàóêà, 1976.
À.Í. Êîëìîãîðîâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. ÎÍÒÈ, 1936.
Ëóò÷åíêî Ë.Í. Ýëåìåíòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíûõ óíêöèé è
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè äëÿ ðàäèî èçèêîâ. Èçäàòåëüñòâî ÑÎËÎ.,
1. Ñ.Ì. ûòîâ.
2.
3.
2015.
Ann. d. Phys, pages 371379, 1906.
Øóìû â ýëåêòðîííûõ ïðèáîðàõ è ñèñòåìàõ. Ìèð, 1986.
4. A. Einstein. Theory of brownian motion.
5. Ì. Áóêèíãåì.
Ïåðåâîä ñ àíãëèéñêîãî À.Á. Ìåùåðÿêîâà, Â.Ï. Ìèòðî àíîâà,
.À Ñèäîðîâà.
Pro
eedings of the
6. A. Van Der Ziel. Thermal noise in eld-ee
t transistors.
, pages 1808 1812, Aug. 1962.
IRE (Volume:50 , Issue: 8 )
7. F.N.H. Robinson.
frequen
ies.
Noise in eld ee
t transistors at moderately high
, pages 353355, 1969.
Ele
t. Eng.
22
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв