Исследование нелинейных вкладов в эффект Зеемана в многозарядных ионах с использованием метода A-DKB

Волчкова Анна Михайловна

Исследование нелинейных вкладов в эффект Зеемана в многозарядных ионах с использованием метода A-DKB

В работе проводится исследование зеемановского расщепления в водородоподобных ионах. Используется метод А-ДКБ, который позволяет получить решения уравнения Дирака в присутствии магнитного поля. Теоритические и экспериментальные исследования эффекта Зеемана для уровней сверхтонкой структуры могут привести к высокоточному определению магнитных моментов ядер. В данной работе получены значения поправки к g-фактору на сверхтон- кое расщепление для состояний 1s, 2s, 2p(1/2) , 2p(3/2) . Результаты для состояний 1s, 2s согласуются с опубликованными результатами.

Физика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36505f1be77c40d58c65

UUID: ce279d45-d254-4084-a129-ee2d8de20451

Язык: Русский

Опубликовано: почти 8 лет назад

Просмотры: 26

Волчкова Анна Михайловна

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 594427 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский Государственный Университет Физический факультет Кафедра квантовой механики Изучение нелинейных вкладов в эффект Зеемана в многозарядных ионах с использованием метода A-DKB Бакалаврская работа студента дневного отделения Волчковой Анны Михайловны Научный руководитель: к.ф.-м.н., без у/з, доцент Д. А. Глазов Рецензент: д.ф.-м.н., доцент, профессор С. В. Ульянов Санкт-Петербург 2016

Содержание 1 Введение 2 2 Эффект Зеемана 2 3 Метод А-ДКБ 4 3.1 Четность состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Линейный и квадратичный вклады в эффект Зеемана 5 7 4.1 Численное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Эффект Зеемана для уровней сверхтонкой структуры 9 13 5.1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Вычисление поправки к g-фактору на сверхтонкое расщепление . . . . . . . 15 5.3 Формула Брейта-Раби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 Заключение 19 7 Приложение 19 1

1 Введение Многозарядные ионы — это относительно простая система для теоретических расчетов, что позволяет получить результаты с высокой точностью. Сравнение теорeтических и экспериментальных значений g-фактора позволяет с высокой точностью получить значения фундаментальных констант. Высокоточные измерения g-фактора были выполнены для водородоподобных ионов углерода [1, 2], кислорода [3] и кремния [4, 5]. Последнее наиболее точное измерение для водородоподобного углерода позволило определить массу электрона с рекордной точностью [6]. Кроме того, были выполнены аналогичные эксперименты для литиеподобных ионов кремния [7] и кальция [8]. Все описанные выше экспериментальные данные находятся в прекрасном согласии с теоретическими значениями. Среди наиболее существенных теоретических достижений по g-фактору водородоподобных ионов можно отметить работы [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]. Наиболее точные расчёты для литиеподобных ионов были выполнены в работах [16, 17, 18, 19, 20]. Более полный обзор по этой тематике можно найти, например, в работе [21]. Как показано в работах [22, 23] исследования g-фактора водородо-, литие- и бороподобных ионов в различных комбинациях позволят независимо определить постоянную тонкой структуры α при достижении необходимой точности как в теории, так и в эксперименте. Первым высокоточным экспериментом для бороподобных ионов должно стать измерение зеемановского расщепления в бороподобном аргоне, которое готовится в настоящее время в GSI. Как показано в работе [24], в этом случае существенную роль играют нелинейные по магнитному полю эффекты. В работах [25, 26] получены наиболее точные на сегодня значения g-фактора, а также квадратичного и кубического вкладов в эффект Зеемана для бороподобного аргона. Изучение эффекта Зеемана для уровней сверхтонкой структуры позволяет также с значительной точностью определить магнитный момент ядра. В работе [27] предложена схема соответствующего эксперимента. Теоретические расчёты различных поправок были выполнены в работах [28, 29, 30] для водородоподобных ионов и в работе [31] для литиеподобных ионов. Высокоточное определение магнитных моментов ядер важно как для атомной спектроскопии, так и для тестирования различных моделей в ядерной физике. Метод А-ДКБ [32] позволяет учесть магнитное поле вместе с полем ядра в нулевом приближении, что дает возможность более точного определения вкладов в g-фактор и упрощения расчетов, по сравнению с теорией возмущений. 2 Эффект Зеемана Эффект Зеемана — расщепление уровней энергии электрона в атоме под действием магнитного поля. Частица, имеющая магнитный момент µJ , приобретает дополнительную 2

энергию ~ . ∆E = −~µJ B Так как магнитный момент частицы сонаправлен с ее угловым моментом µ ~ J ∼ J~ , то сдвиг энергии пропорционален проекции момента MJ на направление магнитного поля (в дальнейшем — ось z) ∆E ∼ MJ . Так как MJ может принимать значения −J, −J + 1, ... J − 1, J , то каждый уровень энергии расщепится на 2J + 1 подуровней. На Рис. 1 показан пример расщепления уровней 2p 1 и 2p 3 . 2 2 Рис. 1: Расщепление уровней 2p 1 и 2p 3 в магнитном поле. 2 3 2

3 Метод А-ДКБ Рассмотрим стационарное уравнение Дирака для электрона в поле ядра в присутствии внешнего магнитного поля Ĥψ(~r) = Eψ(~r) , (1) где Ĥ = (~ α · p~) + mc2 β + V , V = Vnucl (r) + Vext (r, θ) , где Vnucl (r) — потенциал ядра. Для точечного ядра Vnucl (r) = − αZ , r Vext (r, θ) — потенциал внешнего магнитного поля Vext (r, θ) = − e ~ . [~r × α ~] · B 2 Так как при наличии магнитного поля гамильтониан не коммутирует с квадратом полного орбитального момента, а коммутирует только с его проецией на ось z [Ĥ, Jˆ2 ] 6= 0 , [Ĥ, Jˆz ] = 0 , то в выражениях для волновой функции можно выделить только зависимость от угла ϕ. Решением уравнения Дирака (1) являются функции  iϕ(M − 21 )  G (r, θ)e  1   iϕ(M + 21 )  G (r, θ)e 1 2  ψ(~r) =  1  . iϕ(M − )  r iF1 (r, θ)e 2    (2) 1 iF2 (r, θ)eiϕ(M + 2 ) В методе А-ДКБ [32] набор функций   G (r, θ)  1  G (r, θ)  2  Φ(r, θ) =    F1 (r, θ)    F2 (r, θ) и соответствующих им энергий находится численным решением задачи на собственные значения. Функции Φ представляются в виде разложения по конечному набору базисных 4

функций: Φ(r, θ) ∼ = Nθ 4 X Nr X X (u) Ciur iθ Wir iθ (r, θ) (3) u=1 ir =1 iθ =1 (u) Wir iθ (r, θ) = ΛBir (r)Qiθ (θ)eu , где   1   0   e1 =   , 0   0   0   1   e2 =   , 0   0   0   0   e3 =   , 1   0   0   0   e4 =   . 0   1 Матрица   1 − 2mc DM  1 Λ= 1 − 2mc DM 1 накладывает условия на соотношения между верхней и нижней частью биспинора Дирака для обеспечения правильного нерелятивистского предела. DM = (σz cos θ + σx sin θ) ∂ 1 − ∂r r ∂ 1 1 + + (σx cos θ − σz sin θ) r ∂θ r sin θ 1 iM σy + σx 2 , r {Bir (r)}N ir =1 — B-сплайны некоторого порядка k, Qiθ (θ) — полиномы Лежандра: Qiθ (θ) = Piθ −1 2 θ−1 . π Подстановка разложения (3) в уравнение (1) приводит к обобщенной задаче на собственные значения, решение которой дает энергии E и коэффициеты Ciur iθ для конечного набора решений. В качестве примера, на Рис. 2 представлено расщепление уровней энергии в магнитном поле для состояний 2p 1 , 2p 3 в водородоподобном аргоне (Z=18). Для построения графика 2 2 были использованы энергии, полученные в программе А-ДКБ. Далее в работе используется релятивистская система единиц (h̄ = 1, m = 1, c = 1). 3.1 Четность состояния В программе А-ДКБ состояние электрона задается номером уровня энергии. В достаточно сильном магнитном поле уровни могут пересекаться, а их порядок меняться (Рис. 3, 4, 5). Для того, чтобы разделить уровни с близкими энергиями, например 2s и 2p 1 , необходимо 2 производить отбор по четности. 5

Рис. 2: Расщепление уровней энергии электрона в магнитном поле. Зависимость энергии (в релятивиских единицах) от магнитного поля (в единицах λ = µ0 B, λ = 1 × 10−5 соответствует B = 4, 4 × 104 Тл) для Z=18, уровни 2p 1 , 2p 3 . 2 2 Введем оператор пространственной четности P̂ : P̂ : r → r, ϕ → π + ϕ, θ →π−θ . В магнитном поле четность состояния сохраняется. Гамильтониан коммутирует с оператором четности [Ĥ, P̂ ] = 0 , поэтому решения уравнения (1) обладают определенной четностью P̂ ψ = ±ψ , хотя и не обладают квантовыми числами j и l. Для определения четности волновой функции a нужно вычислить матричный элемент ha|P̂ |ai. Для этого интеграл по углу ϕ был взят аналитически: Z∞ ha|P̂ |ai = 2 Zπ r dr 0 −π Z2π sin θ dθ 0 6 dϕ ψa † (r, θ, ϕ)βψa (r, π − θ, π + ϕ) =

Рис. 3: Зависимость энергии (в релятивиских единицах) от величины магнитного поля (в единицах λ = µ0 B, λ = 0.001 соответствует B = 4, 4 × 106 Тл) для Z = 18, уровни 1s, 2s, 2p 1 , 2p 3 , M = 12 . 2 2 =e i(m− 21 )π Z∞ 2 r dr 1 +ei(m− 2 )π r2 dr 0 sin θ dθ G1 (r, θ)G1 (r, π − θ) − G2 (r, θ)G2 (r, π − θ) + −π 0 Z∞ Zπ Zπ sin θ dθ −F1 (r, θ)F1 (r, π − θ) + F2 (r, θ)F2 (r, π − θ) = ±1 . (4) −π По переменным r, θ интеграл взят численно методом Гаусса. Вывод формул для (4), а также для различных матричных элементов на функциях вида (2) приведены в приложении. 4 Линейный и квадратичный вклады в эффект Зеемана Рассмотрим взаимодействие с магнитным полем как возмущение. Гамильтониан электрона представим в виде: Ĥ = Ĥ0 + Ĥmagn , где Ĥ0 = (~ α · p~) + βm + V (~r) , 7

Рис. 4: Зависимость энергии (в релятивиских единицах) от величины магнитного поля (в единицах λ = µ0 B, λ = 1 × 10−5 соответствует B = 4, 4 × 104 Тл) для Z = 18, уровни 2s, 2p 1 , 2p 3 , M = 12 . 2 2 Ĥmagn = λÛ , Û = [~r × α ~ ]z . λ = µ0 B — безразмерный параметр (в релятивиских единицах), который можно считать малым при полях порядка 1 Тл. Например, λ = 2.27 × 10−10 соответствует магнитному полю B = 1 Тл. Тогда, по теории возмущений, E(λ) можно разложить в ряд: E(λ) = E (0) + ∆E (1) + ∆E (2) + ... , (5) где ∆E (1) = µ0 BgM , ∆E (2) = (µ0 B)2 g (2) . Здесь g — g-фактор, а коэффициент g (2) совпадает с введенным в статье [24]. Формулу (5) можно представить в виде E(λ) = E (0) + λg (1) + λ2 g (2) + ... . Видно, что коэффициенты g (1) и g (2) можно вычислить как производные по λ в точке 8

Рис. 5: Зависимость энергии (в релятивиских единицах) от величины магнитного поля (в единицах λ = µ0 B, λ = 1 × 10−7 соответствует B = 440 Тл) для Z = 18, уровни 2s, 2p 1 , 2 M = 12 . λ = 0:

∂E

g (1) = gM = ,

∂λ

λ=0

1 ∂ 2 E

(2) g = .

2 ∂λ2

λ=0 4.1 Численное дифференцирование В данной работе для нахождения коэффициентов g (1) и g (2) используются энергии E(λ), полученные методом А-ДКБ для состояний 1s, 2s, 2p 1 , 2p 3 . Дифференцирование произ2 2 водится численно методом конечных разностей по 3, 5, 7 точкам с различным шагом h. Для примера приведем формулы для первой и второй производных по 5 точкам: f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 1 f (x−2 ) 12 − 23 f (x−1 ) + 32 f (x+1 ) − h 1 f (x+2 ) 12 1 − 12 f (x−2 ) + 43 f (x−1 ) − 25 f (x0 ) + 34 f (x+1 ) − h2 9 + O(h3 ) , 1 f (x+2 ) 12 + O(h4 ) ,

где h = xi+1 − xi — шаг дифференцирования. Погрешность при численном дифференцировании обусловлена двумя причинами: 1. Погрешность формулы численного дифференцирования. В основе любого метода численого дифференцирования лежит аппроксимация функции. Так как аппроксимация функции имеет погрешность, то и вычисленные производные также будут иметь погрешность. Эта погрешность будет возрастать с ростом шага дифференцирования h. 2. Погрешность вычисления, возникающая из-за конечной машинной точности. Этот вид погрешности растет с уменьшением шага дифференцирования. Дли примера, на Pис. 6 показан график зависимости погрешности вычисления от шага дифференцирования для Z = 60, первой производной от энергии, состояние 2s. Рис. 6: Зависимость относительной погрешности от шага дифференцирования в логарифмическом маштабе (в релятивистской системе единиц), для Z = 60, коэффициента g (1) , состояния 2s. Следовательно, для того, чтобы получить наиболее точные значения производных, шаг нужно выбирать в промежутке где сумма этих погрешностей имеет наименьшее значение. 10

Также, в данной работе, оптимальным выбрано дифференцирование по 5 точкам. 4.2 Результаты Полученные результаты можно сравнить с расчетом по теории возмущений. Этот расчет по выполнен с помощью конечного базисного набора, полученного методом ДКБ [33]: ∆E (1) = ha|Hmagn |ai , ∆E (2) = X ha|Hmagn |nihn|Hmagn |ai Ea − En n , где a, n — волновые функции полученые методом ДКБ, суммирование ведется по состояниям n 6= a. В таблице 1 представлены коэффициенты g (1) и g (2) для состояний 1s, 2s, M = 12 , в таблице 2 представленны результаты для состояний 2p 1 , 2p 3 , M = 12 , таблице 3 2 2 результаты для состояния 2p 3 , M = 32 . В целом, можно сказать, что применяемый нами 2 метод работает, его точность зависит от различных факторов и может быть улучшена при необходимости. Таблица 1: Коэффициенты g (1) , g (2) для состояний 1s, 2s, M = 21 . А-ДКБ — результаты, полученные с помощью метода А-ДКБ, ТВ — расчет по теории возмущений. Z 1s метод (1) 6 А-ДКБ ТВ 20 А-ДКБ ТВ 60 А-ДКБ ТВ 100 А-ДКБ ТВ g = gM 0.999361 0.999361 0.992861602 0.992861602 0.932701566 0.932701565 0.78915336 0.78915344 (2) g 520.25 520.30 45.61785 45.61789 3.92075 3.92074 0.657195 0.657194 11 2s g = gM 0.999840 0.999840 0.9982 0.9986 0.982960 0.982958 0.9453 0.9450 (1) g (2) 7294.0 7292.5 647.1 646.8 62.63 62.60 15.8 15.7

Таблица 2: Коэффициенты g (1) , g (2) для состояний 2p 1 , 2p 3 , M = 12 . А-ДКБ — результаты, 2 2 полученные с помощью метода А-ДКБ, ТВ — расчет по теории возмущений. Z 2p 1 2 g = gM g (2) 0.33312 −1.926 · 106 0.33317 −1.927 · 106 0.3317 −14961.3 0.3315 −14960.9 0.316290 −121.103 0.316291 −121.103 0.27840 −3.86 0.27835 −3.84 метод (1) 6 А-ДКБ ТВ 20 А-ДКБ ТВ 60 А-ДКБ ТВ 100 А-ДКБ ТВ 2p 3 2 g = gM g (2) 0.66659 1.936 · 106 0.66654 1.936 · 106 0.665139 15795.7 0.665245 15795.0 0.653729 204.09 0.653729 204.06 0.629897 26.48 0.629898 26.44 (1) Таблица 3: Коэффициенты g (1) , g (2) для состояния 2p 3 , M = 32 . А-ДКБ — результаты, 2 полученные с помощью метода А-ДКБ, ТВ — расчет по теории возмущений. Z метод 2p 3 2 g = gM 1.999615 1.999617 1.995733 1.995734 1.961186 1.961188 1.889693 1.889695 (1) 6 А-ДКБ ТВ 20 А-ДКБ ТВ 60 А-ДКБ ТВ 100 А-ДКБ ТВ 5 5.1 g (2) 6254.3 6254.4 558.3 558.2 57.46 57.45 17.498 17.495 Эффект Зеемана для уровней сверхтонкой структуры Общие сведения Рассмотрим систему электрон-ядро, помещенную в аксиально-симметричное магнитное поле. Эта система имеет гамильтониан Ĥ : (n) (e) (n) (e) Ĥ = Ĥ0 + Ĥ0 + Ĥmagn + Ĥmagn + ĤHFS , (n) где Ĥ0 — гамильтониан ядра: (n) Ĥ0 = P~ 2 . 2M Ядро рассматривается как нерелятивиская частица массы M . В дальнейшем полагаем M → ∞. 12

(e) Ĥ0 — гамильтониан электрона в поле ядра: (e) Ĥ0 = (~ α · p~) + βm + V (r) , (n) Ĥmagn — гамильтониан взаимодействия ядра с магнитным полем: (n) ~ , Ĥmagn = −~µB (e) Ĥmagn — гамильтониан взаимодействия электрона с магнитным полем: (e) = µ0 B[~r × α ~ ]z , Ĥmagn ĤHFS — гамильтониан взаимодействия электрона с магнитным моментом ядра (сверхтонкое взаимодействие): ĤHFS = (n) µ0 µ ~ [~r × α ~] . 3 2π r (e) Будем считать вклады Ĥmagn , Ĥmagn , ĤHFS поправками к невозмущенному гамильтониану (n) (e) Ĥ0 + Ĥ0 . Система описывается волновыми функциями с определенным полным моментом F и его проекцией MF : |IjF MF i = X F MF |IMI i|jMj i , CIM I jMj MI Mj где |IMI i — волновая функция ядра, |jMj i — волновая функция электрона. Тогда, по теории возмущений, поправка к энергии, обусловленная взаимодействием ядра с магнитным полем, равна h i me hI~F~ i µ hI~F~ i (n) (n) ∆E Ĥmagn = hIjF MF |Ĥmagn |IjF MF i = BMF 2 = gI µ0 BMF 2 . I hF i mp hF i А поправка на взаимодействие электрона с магнитным полем i h h~j F~ i (e) (e) |IjF MF i = gj µ0 BMF 2 , ∆E Ĥmagn = hIjF MF |Ĥmagn hF i где введены обозначения: hI~F~ i F (F + 1) + I(I + 1) − j(j + 1) = , 2 hF i 2F (F + 1) h~j F~ i F (F + 1) + j(j + 1) − I(I + 1) = . 2 hF i 2F (F + 1) Общая поправка на взаимодействие ядра и электрона с магнитным полем h i h i (n) (e) ∆E = ∆E Ĥmagn + ∆E Ĥmagn = gF µ0 BMF , 13

где gF — g-фактор системы ядро-электрон. gF = gj h~j F~ i me hI~F~ i − gI hF 2 i mp hF 2 i Сверхтонкое взаимодействие приводит к возникновению поправки (e) h i X hIjF MF |Hmagn |N ihN |HHFS |IjF MF i (e) . ∆E Hmagn , HHFS = 2 a − n N Где состояние |N i отличается от состояния |IjF MF i только волновой функцией электрона. С учетом этой поправки можно записать g-фактор в следующем виде: gF = gj h~j F~ i me hI~F~ i h~j F~ i me hI~F~ i − g + ∆g = g − (1 − σ) gI , I HFS j hF 2 i mp hF 2 i hF 2 i mp hF 2 i где me hI~F~ i σ, gI mp hF 2 i ∆gHFS = σ=α X ha|W |nihn|U |ai a − n n 5.2 , W = [~r × α ~] , r3 U = [~r × α ~ ]z . Вычисление поправки к g-фактору на сверхтонкое расщепление Для нахождения на сверхтонкую структуру ∆gHFS , нужно взять первую произh поправки i водную от ∆E ĤHFS по λ в точке λ = 0 2 X ha|W |nihn|U |ai n a − n

dλ

ha(λ)|W |a(λ)i . λ=0 Формула для этого матричного элемента получена в данной работе и представлена в приложении. По переменным r, θ интеграл был взят численно методом Гаусса. Результат этого расчета можно сравнить с суммой по спектру, посчитанной на волновых функциях, полученных методом ДКБ, а также с результатами, опубликованными в статьях [28, 31, 30]. Для состояния 1s в случае точечного ядра была выведена аналитическая формула [28]: σ=α αZ S(αZ) , 3 где 2 S(αZ) = 3 ! 2+γ 2 γ 97 + 1 − + (αZ)2 = 1 + (αZ)2 + O (αZ)4 , 3(1 + γ) γ(2γ − 1) 2 36 14

j+l+ 21 p γ = k 2 − (αZ)2 , k = (−1) 1 j+ . 2 Кроме того, там же был представлен расчет для конечного размера ядра. Аналогичные результаты были получены для состояния 2s в работе [31]: σ=α αZ S(αZ) , 12 где 8 S(αZ) = 3N 1 N +2 ! 10(N + 1) (αZ)2 2(N + 1) 1 N+ + = +1 − 3N γ(γ + 1) 3 − 4(αZ)2 γ =1+ p γ = k 2 − (αZ)2 , k = (−1) j+l+ 21 1 j+ 2 , N= 229 (αZ)2 + O (αZ)4 , 144 p 2(1 + γ) . В таблице 4 представлены результаты расчетов методом А-ДКБ, а также по теории возмущений для состояний 1s и 2s в терминах функции S(αZ) для конечного ядра. Для сравнения приведены данные из работ Московкина и соавторов [28, 31]. В таблице 5 представлено сравнение с данными из работы Ерохина и соавторов [30] для состояния 1s в терминах функции σ × 106 . В таблице 6 представлены результаты для состояний 1s, 2s, 2p 1 , 2p 2 в терминах функции σ × 106 . 2 3 Таблица 4: Поправка к g-фактору на сверхтонкое взаимодействие для состояний 1s, 2s в терминах функции S(αZ). Сравнение с данными, полученными по теории возмущений и результатами работ [28, 31]. Z 6 метод А-ДКБ ТВ Московкин 16 А-ДКБ ТВ Московкин 32 А-ДКБ ТВ Московкин 92 А-ДКБ ТВ Московкин 1s 1.00493 1.00490 1.00518 1.0373 1.0371 1.0374 1.1597 1.1595 1.1583 3.5791 3.5803 3.583(3) 15 2s 1.0019 1.0028 1.0030 1.0209 1.0219 1.0222 1.0947 1.0961 1.0956 2.9283 2.9368

Таблица 5: Поправка к g-фактору на сверхтонкое взаимодействие для состояния 1s в терминах σ × 106 . Сравнение с данными полученными по теории возмущений и результатами работы [30]. Z 8 метод А-ДКБ ТВ Ерохин 20 А-ДКБ ТВ Ерохин 32 А-ДКБ ТВ Ерохин 83 А-ДКБ ТВ Ерохин 1s 143.34 143.35 143.31 375.98 376.05 375.96 659.05 658.96 657.93 4122 4112 4112 Таблица 6: Поправка к g-фактору на сверхтонкое взаимодействие для состояний 1s, 2s, 2p 1 , 2p 3 в терминах σ × 106 . Сравнение с данными полученными по теории возмущений. 2 2 Z 6 метод А-ДКБ ТВ 16 А-ДКБ ТВ 32 А-ДКБ ТВ 92 А-ДКБ ТВ 5.3 1s 2s 2p 1 2p 3 107.084 107.080 295 292 659.1 659.0 5848 5850 26.70 26.72 72.5 72.6 155.5 155.7 1196 1198 24717 24718 9325 9318 4748 4747 2240.9 2240.8 -24670.0 -24670.6 9197 9189 -4487 -4485 -1176.8 -1176.5 2 2 Формула Брейта-Раби В предыдущем разделе рассматривалась поправка, учитывающая сверхтонкое расщепление и взаимодействие с магнитным полем в первом порядке. Однако, метод А-ДКБ позволяет учесть магнитное поле во всех порядках. Этот результат будет соответствовать формуле Брейта-Раби. Зависимость энергетических уровней от магнитного поля будет примерно такая же, как показано на Рис. 2 для уровней тонкой структуры. При нулевом магнитном поле система описывается волновыми функциями |IjF MF i, где I — полный момент ядра, j — полный момент электрона, F~ = I~ + ~j, MF = MI + Mj ; MI , Mj —проекции момента ядра и электрона соответственно. В присутствии магнитного поля полный момент электрона j, а также и полный момент системы F , не сохраняется. 16

Система описывается волновыми функциями |IMI γMj i = |IMI i|γMj i , |IMI i — волновая функция ядра, |γMj i — волновая функция электрона, γ — совокупность квантовых чисел помимо Mj . В данной работе невозмущенным гамильтонианом будем считать гамильтониан с учетом взаимодействия с электрона с магнитным полем: (n) (e) (e) Ĥ0 = Ĥ0 + Ĥ0 + Ĥmagn . (n) Поправки к невозмущенному гамильтониану Hmagn и HHFS нужно учитывать по теории возмущений. Тогда поправка на взаимодействие ядра с магнитным полем равна: h i me µBMI (n) (n) ∆E Ĥmagn = gI µ0 BMI . = hIMI γMj |Ĥmagn |IMI γMj i = − I mp Поправка на сверхтонкое взаимодействие: i h µ0 µMI hγMj |Ŵ |γMj i . ∆E ĤHFS = hIMI γMj |ĤHFS |IMI γMj i = 2π I Диагональный элемент hγMj |Ŵ |γMj i = hγMj |Wz |γMj i . При движении из области больших магнитных полей в сторону уменьшения, состояния с разными MI и Mj будут смешиваться. Следовательно, оператор HHFS будет иметь недиагональные элементы. ha|HHFS |bi = hIMIa |~µ|IMIb ihγMja |Ŵ |γMjb i = q µµ0 MIa = −δMIa ,MIb +1 I + MIa + 1 I − MIa hγMja |W+ |γMjb i − 2πI q µµ0 MIa I − MIa + 1 I + MIa hγMja |W− |γMjb i + −δMIa ,MIb −1 2πI µµ0 MIa +δMIa ,MIb hγMja |W0 |γMjb i , 2πI (6) где W+,−,0 сферические компоненты векторного оператора ~] ~ = [~r × α W . 3 r Формулы для матричных элементов W+,−,0 выведены в данной работе и приведены в приложении. Вычисление недиагональных элементов (6) и диагонализация матрицы ha|HHFS |bi 17

позволит получить зеемановское расщепление в произвольном магнитном поле, приближенно описываемое формулой Брейта-Раби. 6 Заключение В данной работе были вычислены линейный и квадратичный вклады в эффект Зеемана для состояний 1s, 2s, 2p 1 , 2p 3 , имеется хорошая сходимость с расчетом по теории возму2 2 щений. Получены формулы для матричных элементов на волновых функциях в присутствии магнитного поля для различных одноэлектронных и двуэлектронных операторов. Вычислена поправка к g-фактору водородоподобного иона на сверхтонкое расщепление. Результаты для состояний 1s, 2s согласуются с уже опубликоваными. Результаты для состояний 2p 1 , 2p 3 являются новыми. В дальнейшем, с использованием развитого метода, 2 2 планируется воспроизвести и уточнить формулу Брейта-Раби, описывающую зеемановское расщепление уровней сверхтонкой структуры в произвольном магнитном поле. 7 Приложение При вычислении матричных элементов с решениями уравнения Дирака в магнитном поле интеграл по ϕ вычисляется аналитически, а интегралы по r, θ только численно. Ниже приведены соответсвующие формулы. Z∞ ha|F̂ |bi = r2 dr Zπ Z2π sin θ dθ −π 0 dϕ ψa † (r, θ, ϕ) F̂ ψb (r, θ, ϕ) 0  ψa (~r) = 1 r  1 Ga (r, θ)eiϕ(M − 2 )  1   Ga (r, θ)eiϕ(M + 21 )   2   a  iF1 (r, θ)eiϕ(M − 21 )    iϕ(M + 21 ) a iF2 (r, θ)e Матричный элемент оператора пространственной четности: −i(M + 21 )π Z∞ ha|P̂ |ai = e Zπ dr 0 sin θ dθ· −π · (G1 (r, θ)G1 (r, π − θ) − G2 (r, θ)G2 (r, π − θ) + F1 (r, θ)F1 (r, π − θ) − F2 (r, θ)F2 (r, π − θ)) Матричные элементы одноэлектронных операторов: Z∞ ha|f (r, θ)|bi = δMa ,Mb Zπ dr 0 sin θ dθ f (r, θ) (Ga1 Gb1 + Ga2 Gb2 + F1a F1b + F2a F2b ) −π 18

ha|f (r, θ) (~r · α ~ )|bi = Z∞ Zπ = δMa ,Mb dr sin θ dθ r i f (r, θ) (cos θ (Ga1 F1b − Ga2 F2b − F1a Gb1 + F2a Gb2 )+ −π 0 + sin θ (Ga1 F2b + Ga2 F1b − F1a Gb2 − F2a Gb1 )) ha|f (r, θ) β (~r · α ~ )|bi = Z∞ Zπ = δMa ,Mb dr sin θ dθ r i f (r, θ) (cos θ (Ga1 F1b − Ga2 F2b + F1a Gb1 − F2a Gb2 )+ −π 0 + sin θ (Ga1 F2b + Ga2 F1b + F1a Gb2 + F2a Gb1 )) ha|f (r, θ) [~r × α ~ ]+ |bi = Z∞ Zπ = δMa ,Mb −1 dr sin θ dθ r f (r, θ)(sin θ (Ga1 F1b + Ga2 F2b + F1a Gb1 − F2a Gb2 )+ 0 −π + cos θ (2Ga2 F1b − 2F2a Gb1 )) ha|f (r, θ) [~r × α ~ ]− |bi = Z∞ Zπ = δMa ,Mb +1 dr sin θ dθ r f (r, θ)(sin θ (Ga1 F1b − Ga2 F2b − F1a Gb1 + F2a Gb2 )− 0 −π − cos θ (2Ga1 F2b − 2F1a Gb2 )) ha|f (r, θ) [~r × α ~ ]z |bi = Z∞ = δMa ,Mb Zπ dr 0 sin θ dθ r f (r, θ) sin θ (Ga1 F2b − Ga2 F1b − F1a Gb2 + F2a Gb1 ) −π ha|f (r, θ)β [~r × α ~ ]+ |bi = 19

Z∞ = δMa ,Mb −1 Zπ dr sin θ dθ r f (r, θ) (sin θ (Ga1 F1b + Ga2 F2b − F1a Gb1 + F2a Gb2 )+ −π 0 + cos θ (2Ga2 F1b + 2F2a Gb1 )) ha|f (r, θ)β [~r × α ~ ]− |bi = Z∞ Zπ = δMa ,Mb +1 dr sin θ dθ r f (r, θ) (sin θ (Ga1 F1b − Ga2 F2b + F1a Gb1 − F2a Gb2 )− −π 0 − cos θ (2Ga1 F2b + 2F1a Gb2 )) ha|f (r, θ)β [~r × α ~ ]z |bi = Z∞ = δMa ,Mb Zπ dr 0 sin θ dθ r f (r, θ) sin θ (Ga1 F2b − Ga2 F1b + F1a Gb2 − F2a Gb1 ) −π Матричные элементы двухэлектронных операторов: ∞

+ Z∞ l m Z X

r< 2 (−1) 4π 2 ab

cd = δm,mc −ma δm,md −mb r dr2 × r1 dr1 l+1 2 r12 2l + 1 lm 2π r> * 0 Zπ × 0 sin θ1 Θlm (cos θ1 )(Ga1 Gc1 + Ga2 Gc2 + F1a F1c + F2a F2c )dθ1 × −π Zπ × sin θ2 Θlm (cos θ2 )(Gb1 Gd1 + Gb2 Gd2 + F1b F1d + F2b F2d )dθ2 −π ∞

+ m+µ Z X

α~1 · α~2

4π (−1)

cd = ab

δm,mc +ma δm,md +mb r12 dr1 × r12

2l + 1 lmµ 2π * 0 Z∞ × 0 l r< r2 dr2 l+1 2 r> Zπ Zπ sin θ1 Θlm (cos θ1 )dθ1 −π −π 20 sin θ2 Θlm (cos θ2 )dθ2 ×

     c F1 Gc1   a a a a     × ×  G1 G2 σµ + F1 F2 σµ F2c Gc2      Gd  Fd  ×  Gb1 Gb2 σ−µ  1d  + F1b F2b σ−µ  1d  G2 F2 где s Θlm (cos(θ)) = (−1)m 2l + 1 (l − m)! m P (cos(θ)) 2 (l + m)! l Список литературы [1] N. Hermanspahn, H. Häffner, H.-J. Kluge, W. Quint, S. Stahl, J. Verdú, and G. Werth, Phys. Rev. Lett. 84, 427 (2000). [2] H. Häffner, T. Beier, N. Hermanspahn, H.-J. Kluge, W. Quint, S. Stahl, J. Verdú, and G. Werth, Phys. Rev. Lett. 85, 5308 (2000). [3] J. L. Verdú, S. Djekić, S. Stahl, T. Valenzuela, M. Vogel, G. Werth, T. Beier, H.-J. Kluge, and W. Quint, Phys. Rev. Lett. 92, 093002 (2004). [4] S. Sturm, A. Wagner, B. Schabinger, J. Zatorski, Z. Harman, W. Quint, G. Werth, C. H. Keitel, and K. Blaum, Phys. Rev. Lett. 107, 023002 (2011). [5] S. Sturm, A. Wagner, M. Kretzschmar, W. Quint, G. Werth, and K. Blaum, Phys. Rev. A 87, 030501(R) (2013). [6] S. Sturm, F. Köhler, J. Zatorski, A. Wagner, Z. Harman, G. Werth, W. Quint, C. H. Keitel, and K. Blaum, Nature 506, 467 (2014). [7] A. Wagner, S. Sturm, F. Köhler, D. A. Glazov, A. V. Volotka, G. Plunien, W. Quint, G. Werth, V. M. Shabaev, and K. Blaum, Phys. Rev. Lett. 110, 033003 (2013). [8] F. Koehler, K. Blaum, M. Block, S. Chenmarev, S. Eliseev, D. A. Glazov, M. Goncharov, J. Hou, A. Kracke, D. A. Nesterenko, Yu. N. Novikov, W. Quint, E. Minaya Ramirez, V. M. Shabaev, S. Sturm, A. V. Volotka, and G. Werth, Nature Communications 7, 10246 (2016). [9] V. M. Shabaev and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. Lett. 88, 091801 (2002). [10] A. V. Nefiodov, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. Lett. 89, 081802 (2002). [11] V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. Lett. 89, 143001 (2002); Phys. Rev. A 69, 052503 (2004). 21

[12] K. Pachucki, A. Czarnecki, U. D. Jentschura, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 72, 022108 (2005). [13] K. Pachucki, Phys. Rev. A 78, 012504 (2008). [14] V. A. Yerokhin and U. D. Jentschura, Phys. Rev. A 81, 012502 (2010). [15] V. A. Yerokhin and Z. Harman, Phys. Rev. A 88, 042502 (2013). [16] Z.-C. Yan, Phys. Rev. Lett. 86, 5683 (2001); Phys. Rev. A 66, 022502 (2002); J. Phys. B 35, 1885 (2002). [17] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, M. B. Shabaeva, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. A 65, 062104 (2002). [18] D. A. Glazov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, A. V. Volotka, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. A 70, 062104 (2004). [19] A. V. Volotka, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Rev. Lett. 103, 033005 (2009). [20] A. V. Volotka, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Rev. Lett. 112, 253004 (2014). [21] A. V. Volotka, D. A. Glazov, G. Plunien, and V. M. Shabaev, Ann. Phys. (Berlin) 525, 636 (2013). [22] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, N. S. Oreshkina, A. V. Volotka, G. Plunien, H.-J. Kluge, and W. Quint, Phys. Rev. Lett. 96, 253002 (2006). [23] V. A. Yerokhin, E. Berseneva, Z. Harman, I. I. Tupitsyn, and C. H. Keitel, Phys. Rev. Lett. 116, 100801 (2016). [24] D. von Lindenfels, M. Wiesel, D. A. Glazov, A. V. Volotka, M. M. Sokolov, V. M. Shabaev, G. Plunien, W. Quint, G. Birkl, A. Martin, and M. Vogel, Phys. Rev. A 87, 023412 (2013). [25] D. A. Glazov, A. V. Volotka, A. A. Schepetnov, M. M. Sokolov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Scr. T156, 014014 (2013). [26] A. A. Shchepetnov, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, J. Phys. Conf. Ser. 583, 012001 (2015). [27] W. Quint, D. Moskovkhin, V. M. Shabaev and M. Vogel, Phys. Rev. A 78, 032517 (2008). [28] D. L. Moskovkin, N. S. Oreshkina, V. M. Shabaev, T. Beier„ G. Plunien, W. Quint and G. Soff, Phys. Rev. A 70, 032105 (2004). 22

[29] D. L. Moskovkin and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 73, 052506 (2006). [30] V. A. Yerokhin, K. Pachucki, Z. Harman, and C. H. Keitel, Phys. Rev. Lett. 107, 043004 (2011);Phys. Rev. A 85, 022512 (2012), [31] D. L. Moskovkin, V. M. Shabaev and W. Quint, Phys. Rev. A 77, 063421 (2008). [32] E. B. Rozenbaum, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, K. E. Sosnova, and D. A. Telnov, Phys. Rev. A 89, 012514 (2014). [33] V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. Lett. 93, 130405 (2004). 23

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв