ИССЛЕДОВАНИЕ ТОКА ДЛЯ ПОЛЯ ФЕРМИОНОВ НА ФОНЕ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПУЛЬСА

Андрей Анохин

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОКА ДЛЯ ПОЛЯ ФЕРМИОНОВ НА ФОНЕ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПУЛЬСА

Данная выпускная квалификационная работа (ВКР) на тему: “Исследование тока для поля фермионов на фоне внешнего электрического пульса” содержит во введении вывод Швингера для плотности рождающихся ферми-частиц в единицу времени во внешнем электрическом поле. В основной части работы поставлена задача, приведено решение уравнения Дирака на фоне электрического пульса и произведен выбор мод, удовлетворяющих адамаровому поведению. Далее проведено квантование фермионного поля и произведен вывод выражения для тока в классическом случае в общем виде. После этого для полученных мод были выведены интегральные выражения для тока в случае времени, стремящегося к плюс и минус бесконечности. После проверки полученных интегралов на сходимость проведено их вычисление. В заключении сделано сравнение полученного результата методами Швингера и методом решения уравнения Дирака на фоне внешнего поля и сформулирован вывод о совпадении полученных результатов.

Физика

Дипломы

Вуз: Московский физико-технический институт (государственный университет) (МФТИ)

ID: 5f3d3680cd3d3e00014f82b6

UUID: d8e08210-c455-0138-1cf7-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: около 4 лет назад

Просмотры: 8

14.26

Андрей Анохин

Московский физико-технический институт (государственный университет) (МФТИ)

Комментировать 12

Рецензировать 1

Скачать - 526,6 КБ

Поделиться работой

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)» Физтех-школа физики и исследований им. Ландау Кафедра теоретической астрофизики и квантовой теории поля Направление подготовки / специальность: 03.03.01 Прикладные математика и физика (бакалавриат) Направленность (профиль) подготовки: Фундаментальная и прикладная физика ИССЛЕДОВАНИЕ ТОКА ДЛЯ ПОЛЯ ФЕРМИОНОВ НА ФОНЕ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПУЛЬСА (бакалаврская работа) Студент: Анохин Андрей Владимирович _________________________ (подпись студента) Научный руководитель: Ахмедов Эмиль Тофик Оглы, д-р физ.-мат. наук, доц. _________________________ (подпись научного руководителя) Консультант (при наличии): _________________________ _________________________ (подпись консультанта) Москва 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 3 1.1 Вывод Швингера для матричного элемента ⟨in|out⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Задача 3 7 2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Решение уравнений движения 7 9 3.1 Уравнение на моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 In-моды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Квантование фермионного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Ток 16 4.1 Классический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Ток в нулевом порядке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. Заключение 20 Литература 21 2

1 Введение Основной задачей квантовой теории поля является расчет корреляционных функций. Корреляционные функции интересны тем, что они соответствуют измеримым физическим величинам. Квантовая теория поля позволяет вычислять данные величины как в древесном случае, так и считать петлевые поправки к ним. Петлевые поправки вычисляются по диаграммным техникам с помощью теории возмущений. В стационарном случае для расчёта петлевых поправок можно использовать диаграммную технику Фейнмана. А в более сложных случаях нестационарных полей нужно использовать более общую технику Келдыша-Швингера. В случае, когда в теории имеется температура, можно пользоваться Мацубаровской диаграммной техникой для квазистационарных возмущений. В данной задаче в качестве корреляционной функции мы будем изучать фермионный ток под воздействием внешнего электрического пульса. Мы остановимся на изучении лишь древесного случая, так как и он уже будет нести достаточно много интересной информации. Задачи подобного типа были исследованы и ранее. Например, рассматривались теории, в которых исследовался фермионный ток на фоне поля скалярных бозонов [1], [2] и [3]. Интересно, что такие задачи можно ставить в различных измерениях и получать при этом качественно различные результаты. В главе (2) будет явно выписано действие исследуемой теории, а также будет конкретизирована форма внешнего пульса. В главе (3) мы проведем исследование решений уравнения Дирака, в ходе которого запишем решения уравнения на моды. В данном разделе мы также стандартным образом проквантуем фермионное поле. В главе (4) будет проведено основное вычисление корреляционной функции тока в пределах 𝑡 → ±∞. В заключении (5) мы представим физическое обоснование полученного результата. 1.1 Вывод Швингера для матричного элемента ⟨in|out⟩ В этом разделе мы приведём вывод для матричного элемента ⟨in|out⟩ на фоне внешнего электрического поля. Больше подробностей можно найти в [4]. Будем рассматривать четырехмерную электродинамику(действие аналогично (2.1)) с классическим внешним векторным потенциалом: 𝐴𝑐𝑙 𝜇 = (0, 0, 0, 𝐸𝑡). (1.1) Такой вид внешнего потенциала будет использоваться только в этом разделе. В главе (2) мы рассмотрим пульс (2.1). Отметим, что на протяжении этого раздела мы будем ссылаться на формулы, которые выписаны в главе (2). Это не вызовет никаких противоречий, так как мы будем опираться лишь на те формулы, которые одновременно и независимо верны для любого вида внешнего пульса. Из квантовой механики известно, что пропагатор в терминах 3

функционального интеграла принимает вид: ∫︁ 𝑥2 (𝑡2 ) 𝑇 (𝑥1 , 𝑡1 |𝑥2 , 𝑡2 ) = (︂ ∫︁ 𝐷𝑥(𝑡) exp 𝑖 𝑡2 )︂ 𝑑𝑡 L[𝑥(𝑡)] (1.2) 𝑡1 𝑥1 (𝑡1 ) Если в этом выражении устремить 𝑡1 → −∞, 𝑡2 → +∞ и стандартным образом перейти к полевой теории: ⎧∫︀ ⎨ 𝑑𝑡 L[𝑥(𝑡)] → ∫︀ 𝑑4 𝑥𝐿[𝜓(𝑥)] ⎩∫︀ 𝐷𝑥(𝑡) → 𝐷𝜓(𝑥), то получим выражения для in-out матричного элемента матрицы рассеяния: ∫︁ ⟨in|out⟩ = (︂ ∫︁ )︂ 4 𝐷𝜓(𝑥) exp 𝑖 𝑑 𝑥 L[𝜓(𝑥)] . (1.3) Более подробный вывод этого факта представлен в [5]. В этом выражении мы пренебрегаем влиянием петлевых поправок на ток, поэтому: (︀ 𝜇 )︀ ¯ L[𝜓(𝑥)] = 𝜓(𝑥) 𝑖𝛾 𝜕𝜇 − 𝑒𝛾 𝜇 𝐴𝑐𝑙 𝜇 (𝑡) − 𝑚 𝜓(𝑥). (1.4) То есть мы рассмотрели Гауссово приближение для теории на фоне внешнего поля (1.1). Результатом функционального интегрирования будет: √︂⃒ ⃒ √︂⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⟨in|out⟩ = det Ô = ⃒det Ô det Ô* ⃒ = ⃒det Ô Ô* ⃒. (1.5) Под операторами Ô и Ô* тут понимается: ⎧ ⎨Ô = (︀𝑖𝛾 𝜇 𝜕 − 𝑒𝛾 𝜇 𝐴𝑐𝑙 (𝑡) − 𝑚)︀ , 𝜇 𝜇 ⎩Ô* = (︀𝑖𝛾 𝜇 𝜕 − 𝑒𝛾 𝜇 𝐴𝑐𝑙 (𝑡) + 𝑚)︀ . 𝜇 𝜇 (1.6) Чтобы вычислить полученный детерминант, нам нужно найти собственные функции оператора ÔOˆ* . Это проще всего сделать в Фурье-пространстве трёхмерных импульсов. После взятие Фурье образа (3.2) от оператора Ô, и умножения его на Фурье-образ Ô* , получаем уравнение на собственные значения Ô Oˆ* : 𝑝 (︀ 𝑝 )︀ 𝜕𝑡2 + 𝑚2 + 𝑝2⊥ + (𝑝3 + 𝑒𝐸𝑡)2 + 𝑖𝛾0 𝛾3 𝑒𝐸 Σ(𝑡) = 𝜆𝑝 Σ(𝑡). (1.7) Снова позаимствуем рассуждения из следующей главы, используя свойства (3.7) и (3.8). На основании этих свойств можно ввести функции: Σ(𝑡) = 𝜎 + (𝑡)𝜑1,2 ; Σ(𝑡) = 𝜎 − (𝑡)𝜑3,4 . 4 (1.8)

После этого получаем одномерные уравнения на собственные значения: )︀ (︀ 2 𝜕𝑡 + 𝑀±2 + 𝑝2⊥ + (𝑝3 + 𝑒𝐸𝑡)2 𝜎(𝑡) = 𝜆𝑝 𝜎(𝑡). (1.9) Тут 𝑀±2 = 𝑚2 ± 𝑖𝑒𝐸. Если теперь сделать замену 𝑡 → 𝑡 − 𝑒𝐸 и и формально поменять 𝐸 → 𝑖𝐸, 𝑝3 получим: (︀(︀ )︀ )︀ 𝜕𝑡2 − 𝑒2 𝐸 2 𝑡2 + 𝑚2± + 𝑝2⊥ ± 𝑒𝐸 𝜎(𝑡) = 𝜆𝑝 𝜎(𝑡). (1.10) Полученное уравнение есть уравнение Шредингера для осциллятора. После обратной замены 𝐸 → −𝑖𝐸, получаем: 𝜆𝑛𝑝 = 𝑝2⊥ + 𝑚2 + (2𝑛 + 1)𝑖𝑒𝐸. (1.11) Теперь, используя формулу Фруллани, получаем ответ для детерминанта: (︃ )︃)︃ (︃ (︃ )︃)︃ (︃ √︂⃒ ⃒ ∏︁ ∑︁ ∫︁ +∞ 𝑑𝑠 𝑛 1 1 ⃒ ⃒ ⟨in|out⟩ = ⃒det Ô Ô* ⃒ = exp log 𝜆𝑛𝑝 = exp 𝑒𝜆𝑝 𝑠 = 𝑒−𝛼 . 2 2 𝑠 𝜖 𝑛,𝑝,𝑉 𝑛,𝑝,𝑉 3 3 (1.12) В этой формуле под ∑︀ 𝑛,𝑝,𝑉3 ∏︀ и 𝑛,𝑝,𝑉3 подразумевается суммирование и произведение со- ответственно по всем уровням 𝑛, импульсам 𝑝 и по трёхмерному объёму 𝑉3 . Наша задача посчитать 𝛼: 𝑉3 𝛼=− 2(2𝜋)3 ∫︁ +∞ ∫︁ 𝑑𝑝⊥ 𝑑𝑝3 𝜖 ∞ (︀ )︀ ∑︁ 𝑑𝑠 2 2 exp (−(2𝑛 + 1)𝑖𝑒𝐸𝑠) exp −(𝑝⊥ + 𝑚 )𝑠 𝑠 𝑛=0 Интеграл по 𝑝3 расходится, но его в силу калибровки 𝑡 → 𝑡 − 𝑝3 𝑒𝐸 (1.13) можно свести к интегралу по времени и обрезать на временном объёме: 𝑒𝐸𝑇 . Интеграл по 𝑝⊥ Гауссов. Для вычисления суммы нужно воспользоваться формулой: +∞ ∑︁ 1 = 2𝑖 𝑒−(2𝑛+1)𝑖𝑥 . sin (𝑥) 𝑛=0 (1.14) Используя всё вышесказанное, получаем: 𝑒𝐸𝑇 𝑉3 𝛼= 32𝜋 2 ∫︁ +∞ 𝜖 2 𝑑𝑠 𝑒−𝑚 𝑠 . 𝑠2 sin (𝑒𝐸𝑠) (1.15) Получившийся интеграл по 𝑠 можно взять вычетами, а регуляризация 𝜖 → 0 вырежет лишний полюс в нуле. Таким образом, окончательно получаем: (︂ )︂ +∞ (𝑒𝐸)2 𝑇 𝑉3 ∑︁ 1 𝑚2 𝜋 𝛼= exp − 𝑘 . 16𝜋 3 𝑘=1 𝑘 2 𝑒𝐸 5 (1.16)

Вероятность перехода определятся как: Prob = |⟨in|out⟩|2 = exp (−2 Re(𝛼)) = exp (−2𝛾𝑉3 𝑇 ). В конечном счете имеем: При малых значениях 𝐸 ≪ (1.17) )︂ (︂ +∞ (𝑒𝐸)2 ∑︁ 1 𝑚2 𝜋 𝛾= 𝑘 . exp − 8𝜋 3 𝑘=1 𝑘 2 𝑒𝐸 𝑚2 𝑒 (1.18) сумма по 𝑘 быстро убывает, поэтому можно ограничиться первым членом: )︂ (︂ (𝑒𝐸)2 𝑚2 𝜋 . 𝛾≈ exp − 8𝜋 3 𝑒𝐸 (1.19) Стоит сразу обсудить полученный результат. Полученный ответ (1.19) для 𝛾 сам по себе уже интересен тем, что он показываем нам, что в квантовой теории поля во внешних полях происходят какие-то интересные нетривиальные процессы. Однако, важно отметить, что имеющийся ответ не включает в себя петлевых поправок от электромагнитного поля. К сожалению, таким методом учесть квантовые поправки не представляется возможным. Необходимо использовать теорию возмущения и диаграммную технику Келдыша-Швингера. Петлевые поправки могут оказаться важными в случае сильного поля 𝐸 ≫ очень продолжительного пульса [3]. 6 𝑚2 𝑒 или в случае

2 2.1 Задача Постановка задачи Наша задача состоит в том, чтобы исследовать электронный ток в четырёхмерной квантовой электродинамике на фоне внешнего электрического пульса. Будем изучать действие: ∫︁ 𝑆= )︂ (︂ 1 𝜇𝜈 𝜇 𝜇,𝑐𝑙 ¯ 𝐷𝜇 − 𝑚)𝜓 − 𝑗 𝐴𝜇 . 𝑑 𝑥 − 𝐹𝜇𝜈 𝐹 + 𝜓(𝑖𝛾 4 4 (2.1) Мы здесь стандартным образом ввели: 𝐹𝜇𝜈 = 𝜕𝜇 𝐴𝜈 − 𝜕𝜈 𝐴𝜇 ; 𝐷𝜇 = 𝜕𝜇 + 𝑖𝑒𝐴𝜇 . (2.2) Калибровочное преобразование имеет вид: 𝜓 → exp (−𝑖𝑒𝛼(𝑥))𝜓; 𝐴𝜇 → 𝐴𝜇 + 𝜕𝜇 𝛼(𝑥). (2.3) Мы исследуем теорию в плоском пространстве Минковского: ⎛ 𝜂 𝜇𝜈 1 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 −1 0 0⎟ ⎜ ⎟. =⎜ ⎟ 0 0 −1 0 ⎝ ⎠ 0 0 0 −1 (2.4) Алгебра Гамма-матриц Дирака имеет вид: (︃ {𝛾 𝜇 , 𝛾 𝜈 } = 2𝜂 𝜇𝜈 ; 𝛾 0 = 1 0 )︃ (︃ ; 𝛾𝑖 = 0 −1 𝑜 𝜎𝑖 −𝜎𝑖 0 )︃ (2.5) Здесь мы использовали обозначение для алгебры Сигма-матриц Паули: (︃ [𝜎𝑖 , 𝜎𝑗 ] = 2𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜎𝑘 ; 𝜎1 = 0 1 1 0 )︃ (︃ ; 𝜎2 = 0 −𝑖 𝑖 0 )︃ ; 𝜎3 = (︃ 1 0 )︃ 0 −1 . (2.6) Отделим классическое поле от квантовых поправок: 𝐴𝜇 = 𝑎𝜇 + 𝐴𝑐𝑙 𝜇, (2.7) где 𝐴𝑐𝑙 𝜇 удовлетворяет уравнению Максвелла: 𝜕𝜇 𝐹 𝜇𝜈,𝑐𝑙 = 𝑗 𝜈,𝑐𝑙 . 7 (2.8)

После подстановки (2.7) в действие (2.1), получим: ∫︁ 𝑆= (︂ 1 𝑐𝑙 𝜇𝜈,𝑐𝑙 𝑑 𝑥 − 𝐹𝜇𝜈 𝐹 4 4 )︂ ∫︁ + (︂ )︂ 1 𝜇𝜈 𝜇 𝑐𝑙 𝜇 ¯ ¯ 𝑑 𝑥 − 𝑓𝜇𝜈 𝑓 + 𝜓(𝑖𝛾 𝐷𝜇 − 𝑚)𝜓 − 𝜓(𝑖𝛾 𝑎𝜇 )𝜓 . 4 4 (2.9) Тут были введены новые обозначения: 𝑓𝜇𝜈 = 𝜕𝜇 𝐴𝜈 − 𝜕𝜈 𝐴𝜇 ; 𝐷𝜇𝑐𝑙 = 𝜕𝜇 + 𝑖𝑒𝐴𝑐𝑙 𝜇 (2.10) Внешним полем в данной работе будет электрический пульс: 𝐴𝑐𝑙 𝜇 (︂ (︂ )︂)︂ 𝑡 = 0, 0, 0, 𝐸𝑇 tanh . 𝑇 (2.11) Электрическое поле для такого векторного потенциала имеет вид: (︃ 𝐸𝜇𝑐𝑙 = 0, 0, 0, 𝐸 1 (︀ )︀ cosh2 𝑇𝑡 )︃ . (2.12) t t Ε sech2 ΕT tanh T T 1.0 1.0 0.8 0.5 0.6 -4 t -2 2 4 0.4 -0.5 0.2 -1.0 -3 -2 -1 Рисунок 2.0. 𝐴3 (𝑡) и 𝐸3 (𝑡) 8 t 1 2 3

3 3.1 Решение уравнений движения Уравнение на моды Уравнение движения фермионного поля: )︀ (︀ 𝜇 𝑖𝛾 𝜕𝜇 − 𝑒𝛾 𝜇 𝐴𝑐𝑙 𝜇 − 𝑚 𝜓(𝑡, 𝑥) = 0. (3.1) Чтобы его решить, сделаем трёхмерное преобразование Фурье: ∫︁ 𝜓(𝑡, 𝑥) = 𝑑3 𝑝 𝜓𝑝 (𝑡)𝑒𝑖𝑝𝑥 . (2𝜋)3 (3.2) С этого момента и дальше жирным шрифтом будут выделяться трёхмерные векторы и трёхмерные скалярные произведения в Евклидовой метрике. После подстановки (3.2) в (3.1): (︀ )︀ 𝑖𝛾 0 𝜕𝑡 − (𝛾𝑃 ) − 𝑚 𝜓𝑝 (𝑡) = 0, (3.3) здесь было введено обозначение для импульса: (︂ (︂ )︂)︂ 𝑡 . 𝑃 = 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇 (3.4) Введём новую функцию 𝜑𝑝 (𝑡): (︀ )︀ 𝜓𝑝 (𝑡) = 𝑖𝛾 0 𝜕𝑡 − (𝛾𝑃 ) + 𝑚 𝜑𝑝 (𝑡). (3.5) Подставляя (3.5) в (3.3), имеем: (︃ 𝜕𝑡2 + 𝑝21 + 𝑝22 )︃ (︂ )︂)︂2 𝑒𝐸 𝑡 2 0 3 (︀ )︀ 𝜑𝑝 (𝑡) = 0. + 𝑚 + 𝑖𝛾 𝛾 + 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇 ch2 𝑇𝑡 (︂ (3.6) Дальнейшие выкладки были использованы, например, в [6] и [7]. Рассмотрим четырёхмерные векторы: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ 2 3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝜑1 = ⎜ ⎜1⎟ ; 𝜑 = ⎜ 0 ⎟ ; 𝜑 = ⎜0⎟ ; 𝜑 = ⎜−1⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −1 1 0 0 (3.7) Для этих векторов выполнены соотношения: 𝛾 0 𝛾 3 𝜑1,2 = 𝜑1,2 ; 𝛾 0 𝛾 3 𝜑3,4 = −𝜑3,4 . 9 (3.8)

Вводя ещё одно обозначение: 𝜑𝑝 (𝑡) = 𝐹𝑝+ (𝑡)𝜑1,2 ; 𝜑𝑝 (𝑡) = 𝐹𝑝− (𝑡)𝜑3,4 , (3.9) окончательно получаем уравнение на моды: (︃ )︃ (︂ )︂)︂2 𝑡 𝑒𝐸 𝜕𝑡2 + 𝑝21 + 𝑝22 + 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh + 𝑚2 ± 𝑖 2 (︀ 𝑡 )︀ 𝐹𝑝± (𝑡) = 0. 𝑇 𝑐ℎ 𝑇 (︂ (3.10) Решения этих уравнений можно найти в [8] и [9]. 3.2 In-моды У каждого из полученных уравнений второго порядка (3.10) будет два независимых решения. Эти решения будут определять моды поля Дирака (3.3). Оказывается, что ток, который мы будем вычислять далее, кардинально зависит от выбора решений. Для того, чтобы понять, какой выбор будет “правильным”, нужно конкретизировать задачу. Наша задача состоит в том, чтобы найти ток на плюс бесконечности. Чтобы задача была осмысленной, нужно выбрать такие моды, которые будут давать нулевой ток при 𝑡 → −∞. Как будет показано дальше, такому выбору удовлетворяют так называемые in-моды. Эти моды отвечают асимптотически плоским волнам на минус бесконечности. Вообще говоря, такие моды можно найти не для любого внешнего тока, но в нашем случае 𝐴𝑐𝑙 𝜇 (𝑡) ведет себя как константа на минус бесконечности, поэтому такое решение найти можно. Однако, этих требований недостаточно. От мод нужно требовать условие адамаровости. Условие адамаровости состоит в том, чтобы моды в пределе |𝑝| → ∞ превращались в обычную плоскую волну: 𝜓𝑝 (𝑡) ∼ 𝑒−𝑖|𝑝|𝑡 𝑒𝑖𝑝𝑥 . (3.11) Такое ограничение требуется для корректного поведения пропогаторов в ультрафиолетовом пределе, что необходимо для независимости лидирующего порядка ультрафиолетовых перенормировок от внешнего поля. Имея в виду всё вышесказанное, будем решать уравнение (3.10). 10

2𝑡 В данном уравнение удобно сделать замену 𝑥 = 𝑒 𝑇 и ввести набор обозначений: ⎧ ⎪ 𝑝2⊥ = 𝑝21 + 𝑝22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (︀ )︀ ⎪ ⎪ 𝑃3 (𝑡) = 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇𝑡 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑃3+ = 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑃3− = 𝑝3 − 𝑒𝐸𝑇 ⎪ ⎪ ⎪ √︀ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑤+ = 𝑝21 + 𝑝22 + 𝑚2 + (𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 )2 ⎪ ⎪ ⎪ √︀ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑤 = 𝑝21 + 𝑝22 + 𝑚2 + (𝑝3 − 𝑒𝐸𝑇 )2 − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝜃 = 𝑒𝐸𝑇 2 ; 𝛿 = 1 − 𝑖𝑤− 𝑇 ⎪ ⎨ 𝛽− = 𝑖𝜃 − 𝑖𝑇2 (𝑤− + 𝑤+ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝛾− = 𝑖𝜃 − 𝑖𝑇2 (𝑤− − 𝑤+ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝛽+ = −𝑖𝜃 − 𝑖𝑇2 (𝑤− + 𝑤+ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝛾+ = −𝑖𝜃 − 𝑖𝑇2 (𝑤− − 𝑤+ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝛽¯− = 𝑖𝜃 + 𝑖𝑇2 (𝑤− − 𝑤+ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪𝛾¯− = 𝑖𝜃 + 𝑖𝑇2 (𝑤− + 𝑤+ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝛽¯+ = −𝑖𝜃 + 𝑖𝑇2 (𝑤− − 𝑤+ ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩𝛾¯ = −𝑖𝜃 + 𝑖𝑇 (𝑤 + 𝑤 ) + − 2 (3.12) + Тогда решение данных уравнений можно искать в виде: ⎧ ⎨𝐹 + (𝑡) = 𝑒𝑖𝑤− 𝑡 (1 + 𝑥)−𝑖𝜃 𝑔 + (𝑥) 𝑝 (3.13) ⎩𝐹 − (𝑡) = 𝑒𝑖𝑤− 𝑡 (1 + 𝑥)𝑖𝜃 𝑔 − (𝑥) 𝑝 После подстановки(3.13) в (3.10), получим: {𝑥(1 + 𝑥)𝜕𝑥2 + (𝛿 + (1 + 𝛽± + 𝛾± )𝑥) + 𝛽± 𝛾± }𝑔 ± (𝑥) = 0 (3.14) В качестве решений таких уравнений можно взять следующие гипергеометрические функции: 𝐹𝑝+ (𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑖𝑤− 𝑡 2 𝑇𝑡 −𝑖𝜃 (1 + 𝑒 ) 1 𝐹2 (︁ 𝛽+ , 𝛾+ , 𝛿, −𝑒 2 𝑇𝑡 )︁ + (︁ )︁ 𝑡 𝑡 + 𝐶2 𝑒−𝑖𝑤− 𝑡 (1 + 𝑒2 𝑇 )−𝑖𝜃 1 𝐹2 𝛽¯+ , 𝛾¯+ , 2 − 𝛿, −𝑒2 𝑇 , (︁ )︁ 𝑡 𝑡 𝐹𝑝− (𝑡) = 𝐶¯1 𝑒𝑖𝑤− 𝑡 (1 + 𝑒2 𝑇 )𝑖𝜃 1 𝐹2 𝛽− , 𝛾− , 𝛿, −𝑒2 𝑇 + (︁ )︁ −𝑖𝑤− 𝑡 2 𝑇𝑡 𝑖𝜃 2 𝑇𝑡 ¯ ¯ + 𝐶2 𝑒 (1 + 𝑒 ) 1 𝐹2 𝛽− , 𝛾¯− , 2 − 𝛿, −𝑒 . (3.15) (3.16) Отметим, что при 𝑡 → −∞ последний аргумент гипергеометриких функций из (3.15) и (3.16) стремится к нулю, а в таком пределе гипергеометрическая функция может быть 11

разложена в ряд: 1 𝐹2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥) = 1+ 1 𝑎𝑏 1 𝑎(𝑎 − 1)𝑏(𝑏 − 1) 2 1 𝑎(𝑎 − 1)(𝑎 − 2)𝑏(𝑏 − 1)(𝑏 − 2) 3 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 +... (3.17) 1! 𝑐 2! 𝑐(𝑐 − 1) 3! 𝑐(𝑐 − 1)(𝑐 − 2) Полезно записать еще несколько свойств гипергеометрической функции: 1 𝐹2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥) lim = 1 𝐹2 (𝑏, 𝑎, 𝑐, 𝑥), (3.18) 1 𝐹2 (𝑎, 0, 𝑐, 𝑥) = 1, (3.19) 1 𝐹2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 0) = 1, (3.20) 𝑎→∞, →∞ 1 𝐹2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥) = (1 + 𝑥)𝑏 . (3.21) Также понадобятся очевидные свойства: )︁ )︁ (︁ (︁ 2𝑡 ±𝑖𝜃 2𝑡 ±𝑖𝜃 lim 1 + 𝑒− 𝑇 = lim 1 + 𝑒− 𝑇 = 1. 𝜃→0 𝑡→−∞ (3.22) Теперь нужно убедиться в том, что выбранные моды удовлетворяют описанным выше требованиям. Первым шагом легко проверятся, что при 𝐸 → 0 в силу (3.19) решения (3.15) и (3.16) переходят в линейную комбинацию плоских волн. Следующим шагом нужно положить 𝐶1 = 0 и 𝐶¯2 = 0. Это удовлетворит одно из условий адомаровости, следующее из (3.2), если полагать, что решение 𝐹𝑝+ (𝑡) описывает обычную волну, бегущую вправо, а 𝐹𝑝− (𝑡) обычную волну, бегущую влево. Такой выбор будет согласован с процедурой квантования (3.31). Третьим шагом нужно убедиться, что полученные решения отвечают in-модам. Требуется показать, что моды будут иметь вид плоских волн при 𝑡 → −∞. Это опять же тривиально следует из (3.20) и (3.22). Тот факт, что выбранные моды дают нулевой ток, будет показан позднее. Наконец, последнее, что нужно проверить, это второе условие адамаровости. Рассмотрим |¯ 𝑝| → ∞. Пользуясь тем, что 𝜃 чисто действительная, а 𝛾+ , 𝛽+ , 𝛾− , 𝛽− , 𝛾¯+ , 𝛽¯+ , 𝛾¯− , 𝛽¯− чисто мнимые, а также свойствами (3.19) и (3.21), можно показать, что множитель перед 𝑒±𝑖𝑤− 𝑡 → 𝑒±𝑖|𝑝|𝑡 в каждом из слагаемых (3.15) и (3.16) будет давать лишь несущественную фазу. Таким образом, полученные моды действительно подходят для решения поставленной задачи. После вышеизложенных аргументов получаем следующие моды: ⎧ )︁ (︁ 𝑡 𝑡 + ⎨𝐹𝑝,− (𝑡) = 𝑒−𝑖𝑤− 𝑡 (1 + 𝑒2 𝑇 )−𝑖𝜃 1 𝐹2 𝛽¯+ , 𝛾¯+ , 2 − 𝛿, −𝑒2 𝑇 (︁ )︁ ⎩𝐹 − (𝑡) = 𝑒𝑖𝑤− 𝑡 (1 + 𝑒2 𝑇𝑡 )𝑖𝜃 𝐹 𝛽 , 𝛾 , 𝛿, −𝑒2 𝑇𝑡 . 1 2 − − 𝑝,+ И после обратных подстановок (3.9), (3.7) и (3.5), имеем: 12 (3.23)

⎛ (︀ (︀ )︀ )︀ ⎞ 𝑖𝜕𝑡 − 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇𝑡 − 𝑚 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + −𝑝1 − 𝑖𝑝2 + +⎜ )︀⎟ (︀ (︀ 𝑡 )︀ 𝜓𝑝,1 (𝑡) = 𝐴 ⎜ (3.24) ⎟ 𝐹𝑝,− (𝑡), ⎝−𝑖𝜕𝑡 + 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇 + 𝑚 ⎠ 𝑝1 + 𝑖𝑝2 ⎛ ⎞ 𝑝1 − 𝑖𝑝2 (︀ (︀ 𝑡 )︀ )︀⎟ ⎜ ⎜ ⎟ + + ⎜𝑖𝜕𝑡 − 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇 − 𝑚 ⎟ + 𝜓𝑝,2 (𝑡) = 𝐴 ⎜ (3.25) ⎟ 𝐹𝑝,− (𝑡), 𝑝1 − 𝑖𝑝2 ⎝ ⎠ (︀ (︀ )︀ )︀ 𝑖𝜕𝑡 − 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇𝑡 + 𝑚 ⎞ ⎛ −𝑝1 + 𝑖𝑝2 )︀ ⎟ (︀ (︀ 𝑡 )︀ ⎜ ⎟ − ⎜ + 𝑚 𝑖𝜕 + 𝑝 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑡 3 − 𝑇 ⎟ 𝐹𝑝,+ (𝑡), (3.26) 𝜓𝑝,1 (𝑡) = 𝐴− ⎜ ⎟ ⎜ 𝑝 − 𝑖𝑝 1 2 ⎠ ⎝ (︀ (︀ )︀ )︀ −𝑖𝜕𝑡 − 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇𝑡 − 𝑚 ⎛ (︀ (︀ )︀ )︀⎞ 𝑖𝜕𝑡 + 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇𝑡 + 𝑚 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 𝑝1 + 𝑖𝑝2 − −⎜ (︀ (︀ 𝑡 )︀ )︀⎟ 𝜓𝑝,2 (𝑡) = 𝐴 ⎜ (3.27) ⎟ 𝐹𝑝,+ (𝑡). ⎝𝑖𝜕𝑡 + 𝑝3 + 𝑒𝐸𝑇 tanh 𝑇 − 𝑚 ⎠ 𝑝1 + 𝑖𝑝2 )︀𝑇 ± (︀ ± (𝑡) = 1: (𝑡) 𝜓𝑝,𝑠 Можно также записать условия нормировки полученных решений 𝜓𝑝,𝑠 (︂ (︀ )︀ + + 2 |𝜕𝑡 𝐹𝑝,− (𝑡)|2 + 𝑝2⊥ + 𝑃32 (𝑡) + 𝑚2 |𝐹𝑝,− (𝑡)|2 + (︀ )︀ +* + + +* + 𝑖𝑃3 (𝑡) 𝜕𝑡 𝐹𝑝,− (𝑡)𝐹𝑝,− (𝑡) − 𝜕𝑡 𝐹𝑝,− (𝑡)𝐹𝑝,− (𝑡) )︂ = 1 , |𝐴+ |2 (3.28) (︂ )︀ − (︀ − 2 |𝜕𝑡 𝐹𝑝,+ (𝑡)|2 + 𝑝2⊥ + 𝑃32 (𝑡) + 𝑚2 |𝐹𝑝,+ (𝑡)|2 − (︀ )︀ −* − − −* − 𝑖𝑃3 (𝑡) 𝜕𝑡 𝐹𝑝,+ (𝑡)𝐹𝑝,+ (𝑡) − 𝜕𝑡 𝐹𝑝,+ (𝑡)𝐹𝑝,+ (𝑡) )︂ = 1 . |𝐴− |2 (3.29) С помощью первого уравнения на моды [знак плюс в (3.10)], можно показать, что 𝐴+ не зависит от времени, а с помощью второго уравнения на моды [знак минус в (3.10)], можно показать, что 𝐴− не зависит от времени. На самом деле, тот факт, что нормировка дираковских спиноров не зависит от времени, справедлив для произвольного пульса 𝐴3 (𝑡): ⎧ (︀ )︀ ⎪ ⎪ 𝜕𝑡2 𝑓𝑝 (𝑡) + 𝜔𝑝2 (𝑡) + 𝑖𝑒𝜕𝑡 𝐴3 (𝑡) 𝑓𝑝 (𝑡) = 0 ⎪ ⎨ (︀ )︀ |𝜕𝑡 𝑓𝑝 (𝑡)|2 + 𝜔𝑝2 (𝑡)|𝑓𝑝 (𝑡)|2 + 𝑖𝑃¯3 (𝑡) 𝜕𝑡 𝑓𝑝* (𝑡)𝑓𝑝 (𝑡) − 𝜕𝑡 𝑓𝑝 (𝑡)𝑓𝑝* (𝑡) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩𝜔 2 (𝑡) = 𝑝2 + 𝑚2 + 𝑃¯ (𝑡), 𝑃¯ (𝑡) = 𝑝 + 𝑒𝐴 (𝑡), 𝑝 ⊥ 3 3 3 3 следовательно, 𝐶(𝑡) есть константа, то есть она не зависит от времени. 13 1 𝐶(𝑡) (3.30)

3.3 Квантование фермионного поля Стандартным образом квантуем фермионное поле: ∫︁ Ψ𝑎 (𝑥, 𝑡) = 2 ]︀ 𝑑3 𝑝 ∑︁ [︀ + 𝑖𝑝𝑥 † − −𝑖𝑝𝑥 . 𝑎 𝜓 (𝑡)𝑒 + 𝑏 𝜓 (𝑡)𝑒 𝑝,𝑠 𝑝,𝑠,𝑎 𝑝,𝑠 −𝑝,𝑠,𝑎 (2𝜋)3 𝑠=1 (3.31) Заметим, что данное квантование согласуется с тем, как мы выбрали моды: при больших импульсах мы получим комбинацию двух Адамаровых плоских волн. Требуем: {︁ 𝑎𝑝,𝑠 , 𝑎†𝑘,𝑟 }︁ }︁ {︁ = 𝑏𝑝,𝑠 , 𝑏†𝑘,𝑟 = (2𝜋)3 𝛿(𝑝 − 𝑘)𝛿𝑠,𝑟 , }︁ {︁ {𝑎𝑝,𝑠 , 𝑎𝑘,𝑟 } = {𝑏𝑝,𝑠 , 𝑏𝑘,𝑟 } = {𝑎𝑝,𝑠 , 𝑏𝑘,𝑟 } = 𝑎𝑝,𝑠 , 𝑏†𝑘,𝑟 = 0. (3.32) (3.33) Из этого требования должно следовать, что: {︁ }︁ Ψ𝑎 (𝑥, 𝑡), Ψ†𝑏 (𝑦, 𝑡) = 𝛿(𝑥 − 𝑦)𝛿𝑎,𝑏 . (3.34) Через моды антикоммутатор записывается следующим образом: {︁ }︁ ∫︁ † Ψ𝑎 (𝑥, 𝑡), Ψ𝑏 (𝑦, 𝑡) = 2 ]︀ 𝑑3 𝑝 ∑︁ [︀ + +,* −,* − 𝜓𝑝,𝑠,𝑎 (𝑡)𝜓𝑝,𝑠,𝑏 (𝑡) + 𝜓𝑝,𝑠,𝑎 (𝑡)𝜓𝑝,𝑠,𝑏 (𝑡) 𝑒𝑖𝑝(𝑥−𝑦) . 3 (2𝜋) 𝑠=1 (3.35) При правильном квантовании антикоммутатор (3.35) полей Ψ𝑎 (𝑥, 𝑡) не должен зависеть от времени. Чтобы понять, почему это так, полезно выписать ещё одно соотношение на гипергеометрические функции, которое проверяется путем подстановки 𝛽± , 𝛽¯± , 𝛾± , 𝛾¯± , 𝜃 из (3.12) и использования (3.17): ⎧ (︁ )︁ (︁ )︁ ⎨1 𝐹2* 𝛽− , 𝛾− , 𝛿, −𝑒2 𝑇𝑡 = 1 𝐹2 𝛽¯+ , 𝛾¯+ , 2 − 𝛿, −𝑒2 𝑇𝑡 (︁ )︁ (︁ )︁ ⎩ 𝐹 * 𝛽 , 𝛾 , 𝛿, −𝑒2 𝑇𝑡 = 𝐹 𝛽¯ , 𝛾¯ , 2 − 𝛿, −𝑒2 𝑇𝑡 . 1 2 + + 1 2 − − (3.36) −,* + Отсюда сразу следует, что для решений (3.23) выполняется 𝐹𝑝,+ (𝑡) = 𝐹𝑝,− (𝑡). Теперь из соотношений (3.24), (3.25), (3.26) и (3.27) можно пронаблюдать связь 𝜓𝑝+ (𝑡) и 𝜓𝑝− (𝑡): (︀ + )︀* − 𝜓𝑝,𝑠 (𝑡) = −𝑖𝛾0 𝛾2 𝜓𝑝,𝑠 (𝑡) . (3.37) Полученное соотношение, на самом деле, есть симметрия уравнения Дирака в импульсном представлении (3.3), поэтому оно снова верно для любой формы внешнего пульса. Рассуждения выше подтверждают правльность наших расчётов. Теперь, используя уравнение Дирака (3.3) и полученную связь (3.37), можно в общем в виде, без использования явного вида ре- 14

шений, покомпонентно проверить тождество: 𝑖𝛾 0 𝜕𝑡 (︃ 2 ∑︁ [︀ )︃ ]︀ +,* −,* + − 𝜓𝑝,𝑠,𝑎 (𝑡)𝜓𝑝,𝑠,𝑏 (𝑡) + 𝜓𝑝,𝑠,𝑎 (𝑡)𝜓𝑝,𝑠,𝑏 (𝑡) = 0. (3.38) 𝑠=1 Дополнительная численная проверка подтверждает, что моды действительно удовлетворяют таким коммутационным соотношениям и их антикоммутатор не зависит от времени. Константа нормировки находится очень просто, если подставить 𝑡 = −∞: 1 𝐴 ≡ |𝐴± | = √︁ √︀ √︀ )︀ (︀ )︀ . (3.39) (︀ 2 2 2 2 + 𝑚 − 𝑃3− + 𝑚2 + 𝑝2⊥ + 𝑃3− 2𝑝2⊥ + 𝑚 + 𝑃3− − 𝑚2 + 𝑝2⊥ + 𝑃3− 15

4 Ток Более подробно с тонкостями в выборе мод и вычислениями разного рода токов можно ознакомиться в наборе статей от специалистов в этой области С. П. Гаврилова и Д. М. Гитмана: [10], [11], [12], [13], [14] и [15]. Существует еще альтернативный способ вычисления тока при помощи техники WKB. Пример применения этой техники для вычисления тока можно найти в [16]. 4.1 Классический ток В силу симметрии сразу ясно, что ненулевой может быть только третья компонента тока: ⟨︀ ⟨︀ 3 ⟩︀ ⟩︀ 𝐽 𝑡𝑟𝑒𝑒 ≡ Ψ̄𝛾 3 Ψ 𝑡𝑟𝑒𝑒 = ∫︁ 2 𝑑3 𝑝 ∑︁ −,† − 𝜓𝑝,𝑠 (𝑡)𝛾 0 𝛾 3 𝜓𝑝,𝑠 (𝑡) = 3 (2𝜋) 𝑠=1 )︀ − 𝑑3 𝑝 (︀ (︀ 2 − 2 2 (𝑡)|2 + (𝑡) |𝐹𝑝,+ (𝑡)|2 − |𝜕𝑡 𝐹𝑝,+ − 𝑃 = −2|𝐴| 𝑚 + 𝑝 3 ⊥ 3 (2𝜋) (︀ )︀ )︀ −,* − − − + 𝑖𝑃3 (𝑡) 𝜕𝑡 𝐹𝑝,+ (𝑡)𝐹𝑝,+ (𝑡) − 𝜕𝑡 𝐹𝑝,+ (𝑡)𝐹𝑝,+ (𝑡) . 2 (4.1) ∫︁ (4.2) Используя второе условие нормировки (3.29), получаем: (︀ 2 )︀ − )︀ 𝑑3 𝑝 (︀ 2 2 2 2 1 − 4|𝐴| 𝑚 + 𝑝 + 𝑝 |𝐹 (𝑡)| = 1 2 𝑝,+ 𝑡𝑟𝑒𝑒 (2𝜋)3 (︂ ∫︁ )︁⃒2 )︂ (︁ (︀ 2 )︀ ⃒ 𝑑3 𝑝 2 2 ⃒ 2 𝑇𝑡 ⃒ = 1 − 4|𝐴| 𝑚 + 𝑝⊥ ⃒1 𝐹2 𝛽− , 𝛾− , 𝛿, −𝑒 ⃒ = (2𝜋)3 ⟨︀ 𝐽 3 ⟩︀ ∫︁ = (4.3) −,* + Из первого соотношения (3.36) следует, что 𝐹𝑝,+ (𝑡) = 𝐹𝑝,− (𝑡), откуда: ∫︁ = 4.2 (︁ )︁ (︁ )︁)︁ (︀ 2 )︀ 𝑑3 𝑝 (︁ 2 𝑇𝑡 2 𝑇𝑡 2 2 ¯ 𝛽 , 𝛾 , 𝛿, −𝑒 1 − 4|𝐴| 𝑚 + 𝑝 𝐹 𝛽 , 𝛾 ¯ , 2 − 𝛿, −𝑒 𝐹 . − − + + 1 2 ⊥ 1 2 (2𝜋)3 (4.4) Ток в нулевом порядке Формулы (4.3) и (4.4) дают точные выражения для тока в произвольный момент времени. Теперь можно посмотреть выражение для тока в случае, когда 𝑡 = −∞. Подстановка тривиальна в силу свойства (3.20), и после упрощения получаем: ⟨︀ ⟩︀𝑡=−∞ 𝐽 3 𝑡𝑟𝑒𝑒 ∫︁ = 𝑑3 𝑝 −𝑃3− √︀ = 0. 3 2 2 (2𝜋) 𝑚 + 𝑝2⊥ + 𝑃3− (4.5) Как и ожидалось, полученные моды действительно in-моды. Важно отметить, что сходимость этого интеграла и некоторых других интегралов в дальнейших вычислениях нужно понимать как сходимость в смысле главного значения. 16

Теперь рассмотрим ток в случае, когда 𝑡 = +∞. Разложение исходных гипергеометрических функций (4.3) в таком пределе будет давать бесконечный ряд, который сложно исследовать, поэтому удобно воспользоваться тождеством, которые было взято из [17]: 1 𝐹2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥) (︂ )︂ − 𝑎) 1 + 1 𝐹2 𝑎, 1 + 𝑎 − 𝑐, 1 + 𝑎 − 𝑏, Γ(𝑐 − 𝑎)Γ(𝑏) 𝑥 −𝑎 Γ(𝑐)Γ(𝑏 = (−𝑥) (︂ )︂ − 𝑏) 1 + (−𝑥) , 𝑎−𝑏∈ / Z. 1 𝐹2 𝑏, 1 + 𝑏 − 𝑐, 1 + 𝑏 − 𝑎, Γ(𝑐 − 𝑏)Γ(𝑎) 𝑥 −𝑏 Γ(𝑐)Γ(𝑎 (4.6) После применения данного соотношения, можно явно подставить 𝑥 = −∞ в выражение для гипергеометрической функции: 1 𝐹2 (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 → −∞) = (−𝑥)−𝑎 Γ(𝑐)Γ(𝑏 − 𝑎) Γ(𝑐)Γ(𝑎 − 𝑏) + (−𝑥)−𝑏 . Γ(𝑐 − 𝑎)Γ(𝑏) Γ(𝑐 − 𝑏)Γ(𝑎) (4.7) Следующим шагом вычисляем квадрат модуля от имеющихся слагаемых. Чтобы его расписать, нам понадобятся некоторые соотношения на Гамма-функцию: Γ(1 + 𝑖𝑥)Γ(1 − 𝑖𝑥) = Γ(1 + 𝑖𝑥)Γ* (1 + 𝑖𝑥) = Γ(𝑖𝑥)Γ(−𝑖𝑥) = Γ(𝑖𝑥)Γ* (𝑖𝑥) = 𝜋𝑥 , sinh (𝜋𝑥) 𝜋 , 𝑥 sinh (𝜋𝑥) (4.8) (4.9) 𝜋𝑥(1 + 𝑥2 ) . (4.10) Γ(2 + 𝑖𝑥)Γ(2 − 𝑖𝑥) = Γ(2 + 𝑖𝑥)Γ (2 + 𝑖𝑥) = sinh (𝜋𝑥) ⃒ (︁ )︁⃒2 ⃒ 2 𝑇𝑡 ⃒ Так как ответ для выражения ⃒1 𝐹2 𝛽− , 𝛾− , 𝛿, −𝑒 ⃒ даже в нулевом порядке по 𝑡 = +∞ * достаточно большой, то выпишем по отдельности слагаемые, которые имеют зависимость по времени и не имеют таковой: ⃒ )︁⃒2 (︁ ⃒ 2 𝑇𝑡 ⃒ ⃒ ≈ 𝑗1 + 𝑗2 (𝑡). ⃒1 𝐹2 𝛽− , 𝛾− , 𝛿, −𝑒 2𝑡 𝑗2 (𝑡) = 𝑒− 𝑇 𝑖𝑤+ 𝑡 × 𝜋𝑤− 𝑇 𝜋 1 (︀ )︀ × 𝑖𝑇 sinh (𝜋𝑤− 𝑇 ) sinh (𝜋𝑤+ 𝑇 )(𝑤+ 𝑇 ) Γ 1 + 𝑖𝜃 + 2 (𝑤− − 𝑤+ ) 1 (︀ Γ −𝑖𝜃 + 𝑖𝑇 (𝑤− 2 (4.11) )︀ (︀ − 𝑤+ ) Γ 𝑖𝜃 − 𝑖𝑇 (𝑤− 2 )︀ (︀ + 𝑤+ ) Γ 1 − 𝑖𝜃 − 𝑖𝑇 (𝑤− 2 )︀ + 𝐶.𝐶. + 𝑤+ ) (4.12) C.C. - комплексное сопряжение члена, стоящего слева от этого символа. Полученное выражение является действительной периодической функцией по времени. В силу теоремы Римана об осцилляциях интеграл от этого выражения по импульсам при 𝑡 → +∞ будет равен нулю: ∫︁ lim 𝑡→+∞ 𝑑3 𝑝 2 (𝑝⊥ + 𝑚2 )𝑗2 (𝑡)|𝐴|2 = 0. 3 (2𝜋) 17 (4.13)

Нетривиальны членом будет 𝑗1 : (︀ (︀ )︀)︀ (︀ (︀ )︀)︀ (︂ sinh 𝜋 𝜃 − 𝑇2 (𝑤− + 𝑤+ ) sinh 𝜋 𝜃 + 𝑇2 (𝑤− + 𝑤+ ) 𝜋𝑤− 𝑇 𝜋 (︀ )︀ 𝑗1 = × sinh (𝜋𝑤− 𝑇 ) sinh (𝜋𝑤+ 𝑇 )(𝑤+ 𝑇 ) 𝜋 𝜃 + 𝑇2 (𝑤− + 𝑤+ ) )︀ 𝜃 − 𝑇2 (𝑤− + 𝑤+ ) + × 1 (︀ (︀ )︀)︀ (︀ (︀ )︀)︀ (︀ )︀ )︂ sinh 𝜋 𝜃 − 𝑇2 (𝑤− − 𝑤+ ) sinh 𝜋 𝜃 + 𝑇2 (𝑤− − 𝑤+ ) 𝜃 − 𝑇2 (𝑤− − 𝑤+ ) (︀ )︀ + . 𝜋 𝜃 + 𝑇2 (𝑤− − 𝑤+ ) (︀ (4.14) После использования обозначений (3.12) выражение для 𝑗1 можно упростить до: 𝑗1 = )︁)︁ (︁ (︁ 𝑤− −𝑤+ + 𝑃3+ coth (𝜋𝑇 𝑤− ) coth (𝜋𝑇 𝑤+ ) − cosh (2𝜋𝐸𝑒𝑇 2 ) sinh (𝜋𝑇 𝑤− )1sinh (𝜋𝑇 𝑤+ ) 𝑤+ (𝑃3− − 𝑤− ) . (4.15) Промежуточным шагом полезно сделать проверку правильности вычислений. Для этого можно убедиться, что предел свободной задачи по-прежнему выполнен: lim 𝑗1 = 1. 𝐸→0 (4.16) Теперь можно записать выражение для тока при 𝑡 = +∞: ⟨︀ 3 ⟩︀𝑡=+∞ 𝐽 𝑡𝑟𝑒𝑒 = × ∫︁ (︃ 𝑝⊥ 𝑑𝑝⊥ 𝑑𝑝3 1 − (𝑚2 + 𝑝2⊥ )× 2 (2𝜋) )︁)︁ )︃ (︁ (︁ 𝑤− −𝑤+ + 𝑃3+ coth (𝜋𝑇 𝑤− ) coth (𝜋𝑇 𝑤+ ) − cosh (2𝜋𝐸𝑒𝑇 2 ) sinh (𝜋𝑇 𝑤− )1sinh (𝜋𝑇 𝑤+ ) 𝑤+ (𝑃3− − 𝑤− )(𝑚2 + 𝑝2⊥ + 𝑃3− (𝑃3− − 𝑤− )) . (4.17) Имея явное выражение для тока, нужно исследовать интеграл на сходимость, а также выяснить при каких импульсах набирается интеграл, если он конечен. Будем раскладывать подынтегральное выражение до первого порядка по большим импульсам и смотреть на сходимость. Сразу отметим, что мы выбрасываем все экспоненциально малые члены. Также можно пренебречь всеми порядками старше первого, ибо интегралы ∫︀ +∞ вида # 𝑝12 𝑑𝑝 набираются только при малых импульсах. Учтя это, выпишем разложение для трёх случаев. Случай 𝑝⊥ → +∞, 𝑝3 никак не фиксирован: ∫︁ 𝑑𝑝⊥ 𝑑𝑝3 (2𝜋)2 (︂ (︂ )︂)︂ 𝑒𝐸𝑇 (𝑝3 − 𝑒𝐸𝑇 ) 1 (−𝑝3 + 3𝑒𝐸𝑇 ) + +𝑂 . 𝑝⊥ 𝑝2⊥ (4.18) Полученный интеграл равен нулю в смысле главного значения при интегрировании по 𝑝3 для каждого из порядков разложения. 18

Случай 𝑝3 → +∞, 𝑝⊥ не фиксирован: ∫︁ 𝑝⊥ 𝑑𝑝⊥ 𝑑𝑝3 (2𝜋)2 (︂ (︂ )︂)︂ 1 −1 + 𝑂 . 𝑝33 (4.19) (︂ (︂ )︂)︂ 1 . 1+𝑂 𝑝33 (4.20) Случай 𝑝3 → −∞, 𝑝⊥ не фиксирован: ∫︁ 𝑝⊥ 𝑑𝑝⊥ 𝑑𝑝3 (2𝜋)2 Два последних случая доказывают, что при больших 𝑝3 мы получили интеграл от антисимметричной функции, что является причиной его обнуления. Итак, мы доказали тот факт, что интеграл (4.17) сходится, причём основной его вклад набирается на ограниченных импульсах. Из физических соображений ясно, что интегрирование по 𝑝3 можно лимитировать областью |𝑝3 | < 𝑒𝐸𝑇 , так как именно при таких импульсах поле существенно влияет на физику. Можно рассмотреть предел больших 𝑇 и малых масс 𝑚: 𝑒𝐸𝑇 2 ≫ 1, 𝑒𝐸𝑇 ≫ 𝑚. (4.21) Сделаем замену 𝑝3 → 𝑃3− в интеграле (4.17) и сделаем разложение при 𝑇 → +∞, используя формулу: lim = 𝑥→∞ cosh (𝑥 + 𝑎 + 𝑏) cosh (𝑥 + 𝑎 − 𝑏) − cosh (2𝑥) − 1 = −2𝑒−2𝑎 . sinh (𝑥 + 𝑎 + 𝑏) sinh (𝑥 + 𝑎 − 𝑏) (4.22) В таком пределе, считая 𝑒𝐸𝑇 2 ≫ 1, с точностью до членов старшего порядка по 1 , 𝑇 получаем: ⟨︀ ⟩︀𝑡=+∞ 𝐽 3 𝑡𝑟𝑒𝑒 1 ≈ (2𝜋)2 ∫︁ +∞ ∫︁ 𝑒𝐸𝑇 𝑑𝑝⊥ 0 −𝑒𝐸𝑇 (︂ (︂ )︂ )︂ 2 𝜋𝑝2 𝜋𝑚2 (𝑒𝐸)2 𝑇 ⊥ − − 𝜋𝑚 𝑑𝑝3 𝑒 𝑒𝐸 𝑒 𝑒𝐸 𝑝⊥ ≈ exp − 8𝜋 3 𝑒𝐸 (4.23) Таким образом, выражение (4.23) даёт выражение для тока в случае сильных полей в пределе 𝑡 → +∞. Мы получили, что ток с течением времени меняется от нуля до некоторого фиксированного значения. В силу аналитичности тока как функции времени, при произвольном значении времени ток должен быть конечной величиной. Такое требование идёт из того, что ток есть физическая величина. 19

5 Заключение В заключение сравним результаты, один из которых получен при помощи подхода Швингера (1.19), а второй при вычислении тока (4.23). Первый результат мы получали для внешнего поля (1.1), но при вычислениях мы делали обрезание при интегрировании по импульсу 𝑝3 на область |𝑝3 | < 𝑒𝐸𝑇 , что соответствует обрезанию поля на временах 𝑡 < −𝑇 и 𝑡 > 𝑇 . Такое обрезанное поле эквивалентно пульсу (2.1). Ответ (1.19) для 𝛾 есть плотность рождающихся ферми-частиц в единицу времени. По определению, ток есть произведение скорости на плотность: 𝐽 = 𝑛𝑣. Поэтому, если умножить плотность рождающихся ферми-частиц в единицу времени 𝛾 на время действия пульса и на скорость, которая в планковской системе единиц безразмерная величина, получаем: ⟨︀ 𝐽3 ⟩︀𝑡=−∞ 𝑡𝑟𝑒𝑒 = 𝑇 𝛾. (5.1) Видим, что результат древесного вычисления тока и результат вычисления матричного элемента ⟨in|out⟩ дают согласованные результаты. 20

Литература [1] Akhmedov E.T., Lanina E.N., Trunin D.A. Quantization in background scalar fields // Phys. Rev. D. 2020. Т. 101, № 2. с. 025005. [2] Akhmedov E.T., Astrakhantsev N., Popov F.K. Secularly growing loop corrections in strong electric fields // JHEP. 2014. Т. 09. с. 071. [3] Akhmedov E.T., Popov F.K. A few more comments on secularly growing loop corrections in strong electric fields // JHEP. 2015. Т. 09. с. 085. [4] Mu Ben-Rong, Wang Peng, Yang Hai-Tang. Minimal Length Effects on Schwinger Mechanism // Commun. Theor. Phys. 2015. Т. 63, № 6. С. 715–720. [5] Weinberg S. The Quantum Theory of Fields, Volume 1. Cambridge University Press, 1995. p. 634. [6] Chervyakov A., Kleinert H. On Electron–Positron Pair Production by a Spatially Inhomogeneous Electric Field // Phys. Part. Nucl. 2018. Т. 49, № 3. С. 374–396. [7] Fermion pair production in a strong electric field / Yuval Kluger, J. Eisenberg, B Svetitsky [и др.] // Physical review D: Particles and fields. 1992. 07. Т. 45. С. 4659–4671. [8] Гриб А. А. Мамаев С. Г. Мостепаненко В. М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. Энергоатомиздат, 1988. с. 288. [9] Akhmedov E.T., Musaev E.T. Comments on QED with background electric fields // New J. Phys. 2009. Т. 11. с. 103048. [10] Gavrilov S.P., Gitman D.M. Vacuum instability in external fields // Phys. Rev. D. 1996. Т. 53. С. 7162–7175. [11] Gavrilov S.P., Gitman Dmitry M. One-loop energy-momentum tensor in QED with electriclike background // Phys. Rev. D. 2008. Т. 78. с. 045017. [12] Gavrilov S.P., Gitman D.M. Energy-momentum tensor in thermal strong-field QED with unstable vacuum // J. Phys. A. 2008. Т. 41. с. 164046. [13] Gavrilov S.P., Gitman D.M. Consistency restrictions on maximal electric field strength in QFT // Phys. Rev. Lett. 2008. Т. 101. с. 130403. [14] Gavrilov S.P., Gitman D.M., Yokomizo N. Dirac fermions in strong electric field and quantum transport in graphene // Phys. Rev. D. 2012. Т. 86. с. 125022. [15] Gavrilov S.P. Effective energy-momentum tensor of strong-field QED with unstable vacuum // J. Phys. A. 2006. Т. 39. С. 6407–6413. 21

[16] Krotov Dmitry, Polyakov Alexander M. Infrared Sensitivity of Unstable Vacua // Nucl. Phys. B. 2011. Т. 849. С. 410–432. [17] Akhmedova V., Akhmedov E. T. Selected Special Functions for Fundamental Physics. Springer Briefs in Physics, 2019. p. 122. 22 Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)