Математические модели управляемых процессов

Статинов Д.С.

Математические модели управляемых процессов

01.04.01 Математика

Математика

Диссертации

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b8887957966e1073081b946

UUID: 4430b7e0-8ee0-0136-b809-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 5 лет назад

Просмотры: 7

Статинов Д.С.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,3 МБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ( Н И У « Б е л Г У ) ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ОБЩЕЙ МАТЕМАТИКИ Математические модели управляемых процессов Магистерская диссертация очной формы обучения обучающегося по направлению подготовки 01.04.01.68 Математика очной формы обучения, группы 07001534 Статинова Дмитрия Сергеевича Научный руководитель кандидат физ.-мат. Наук Полунин В. А. Рецензент Начальник отдела государственной службы и кадров «Октябрьского районного суда города Белгорода» Солодовникова Е. Е. БЕЛГОРОД 2017

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................ 3 ГЛАВА 1 ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ..................................... 5 1.1 Моделирование управляемых процессов ....................................................... 8 1.2 Основные задачи моделирования управляемых процессов ....................... 10 1.3 Управляемые процессы как объект моделирования ................................... 13 1.4 Основные категории и понятия моделирования .......................................... 15 ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ, ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ ............................................................................................ 17 2.1 Теория автоматического управления, фундаментальные принципы управления ............................................................................................................. 19 2.2 Основы моделирования управляемых решений .......................................... 22 2.3 Принципы системного подхода в моделировании систем ......................... 24 2.4 Необходимые условия оптимальности управления, достаточные условия оптимальности управления и проблема существования оптимального управления ............................................................................................................. 25 2.5 Условия рационального применения методов оптимизации. Методы оптимизации управления ...................................................................................... 28 ГЛАВА 3 ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ. ........................................................................................................ 31 3.1 Вводные замечания. ........................................................................................ 31 3.2 Основная модель ............................................................................................. 31 3.2.1 Модель производственных поставок ..................................................... 35 3.2.2 Модель поставок со скидкой .................................................................. 38 3.3 Модель Леонтьева ........................................................................................... 41 3.3.1 Продуктивные матрицы .......................................................................... 41 3.3.2. Ограничения на ресурсы ........................................................................ 47 3.3.3 Прибыльные матрицы.............................................................................. 52 3.4 Математическая модель распределения времени между овладением знаниями и развитием умений. ............................................................................ 53 3.4.1 Рассмотрение математической модели. ................................................. 53 ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................... 65 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ: ........................................... 66 2

ВВЕДЕНИЕ Актуальность. Выбранная мною тема магистерской диссертационной работы, является актуальной и повседневной для изучения. По мере увеличения сложности систем возникают проблемы, меньше связанные с рассмотрением свойств и законов функционирования элементов, а больше – с выбором наилучшей структуры, оптимальной организации взаимодействия элементов, определением оптимальных режимов их функционирования, учѐтом влияния внешней среды и т.д. Поэтому целесообразно использование системного подхода при анализе и синтезе таких систем. Классический системный подход опирается на математическое моделирование с использованием теории подобия, теории научного эксперимента, математической статистики, теории алгоритмов и ряда других фундаментальных классических теорий. В то же время в области проектирования современных информационно-управляющих систем и программного обеспечения ЭВМ при анализе и синтезе сложных систем все большее применение находит так называемый объектно-ориентированный подход. Цели работы: 1. Изучить аппарат теории математического моделирования, рассмотреть еѐ основные принципы. 2. Изучить свойства математического моделирования управляемых процессов. 3. Исследовать примеры математических моделей управляемых процессов. Структура и объем работы. 3

Магистерская диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения. машинописного текста, Она изложена включающего на страницах 69 рисунков, список актуальность темы 14 литературных источников из 29 наименований. Основное содержание работы. В введении обосновывается диссертационной работы и формулируется еѐ цель, даѐтся общий обзор содержания диссертационной работы. В главе 1 «Моделирование управляемых процессов» изложены основные понятия модели, изучены основные задачи моделирования управляемых процессов. Рассмотрены понятия модели и моделирования, В главе 2 моделированию. «Математические » Изучена модели теория управления, автоматического подход к управления, рассмотрены фундаментальные принципы управления. В главе процессов» 3 Были «Примеры рассмотрены математических математические моделей управляемых модели управляемых процессов: «Производственных поставок; Модель Леонтьева; Распределения времени между овладением знаниями и развитием умений». В заключении формулируются полученные в работе. 4 основные результаты,

ГЛАВА 1 ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ В наст0ящее время нельзя назвать 0бласть чел0веческ0й деятельн0сти, в к0т0р0й в т0й или ин0й степени не исп0льз0вались бы мет0ды м0делир0вания. Ос0бенн0 эт0 0тн0сится к сфере управления различными системами, где 15 0сн0вными являются пр0цессы принятия решений на 0сн0ве п0лучаем0й инф0рмации. Гип0тезы и анал0гии, 0тражающие реальный, 0бъективн0 существующий мир, д0лжны 0бладать наглядн0стью или св0диться к уд0бным для исслед0вания л0гическим схемам; такие л0гические схемы, упр0щающие рассуждения и л0гические п0стр0ения или п0зв0ляющие пр0в0дить эксперименты, ут0чняющие прир0ду явлений, называются м0делями. Другими сл0вами, м0дель (лат. niodulus – мера) – эт0 0бъект-заместитель 0бъекта-0ригинала, 0беспечивающий изучение нек0т0рых, св0йств 0ригинала. М0делир0вание – замещение 0дн0г0 0бъекта другим с целью п0лучения инф0рмации 0 важнейших св0йствах 0бъекта0ригинала с п0м0щью 0бъекта-м0дели. Таким 0браз0м, м0делир0вание м0жет быть 0пределен0 как представление 0бъекта м0делью для п0лучения инф0рмации 0б эт0м 0бъекте путѐм пр0ведения эксперимент0в с ег0 м0делью. Те0рия замещения 0дних 0бъект0в (0ригинал0в) другими 0бъектами (м0делями) и исслед0вания св0йств 0бъект0в на их м0делях называется те0рией м0делир0вания. В 0сн0ве м0делир0вания лежит те0рия п0д0бия, к0т0рая утверждает, чт0 абс0лютн0е п0д0бие м0жет иметь мест0 лишь при замене 0дн0г0 0бъекта другим т0чн0 таким же. При м0делир0вании абс0лютн0е п0д0бие не имеет места и стремятся к т0му, чт0бы м0дель д0стат0чн0 х0р0ш0 0т0бражала исследуемую ст0р0ну функци0нир0вания 0бъекта. В качестве 0дн0г0 из первых признак0в классификации вид0в м0делир0вания м0жн0 выбрать степень п0лн0ты м0дели и разделить м0дели в с00тветствии с этим признак0м на: 5

– п0лные, – неп0лные – приближенные. В 0сн0ве п0лн0г0 м0делир0вания лежит п0лн0е п0д0бие, к0т0р0е пр0является как в0 времени, так и в пр0странстве. Для неп0лн0г0 м0делир0вания характерн0 неп0лн0е п0д0бие м0дели изучаем0му 0бъекту. В 0сн0ве приближенн0г0 м0делир0вания лежит приближенн0е п0д0бие, при к0т0р0м нек0т0рые ст0р0ны функци0нир0вания реальн0г0 0бъекта не м0делируются с0всем. В зависим0сти 0т характера изучаемых пр0цесс0в в системе S все виды м0делир0вания м0гут быть разделены: – детерминир0ванные; – ст0хастические; – статические и динамические; – дискретные; – непрерывные; – дискретн0-непрерывные. Детерминир0ванн0е м0делир0вание 0т0бражает детерминир0ванные пр0цессы, т.е. пр0цессы, в к0т0рых предп0лагается 0тсутствие всяких случайных в0здействий. Ст0хастическ0е м0делир0вание 0т0бражает вер0ятн0стные пр0цессы и с0бытия. В эт0м случае анализируется ряд реализаций случайн0г0 пр0цесса, и 0цениваются средние характеристики, т.е. наб0р 0дн0р0дных реализаций. Статическ0е м0делир0вание служит для 0писания п0ведения 0бъекта в как0й-либ0 м0мент времени, а динамическ0е м0делир0вание 0тражает п0ведение 0бъекта в0 времени. Дискретн0е м0делир0вание служит для 0писания пр0цесс0в, к0т0рые предп0лагаются дискретными, с00тветственн0 непрерывн0е м0делир0вание п0зв0ляет 0тразить непрерывные пр0цессы в системах, а дискретн0-непрерывн0е м0делир0вание исп0льзуется для случаев, к0гда х0тят выделить наличие как 6

дискретных, так и непрерывных пр0цесс0в. В зависим0сти 0т ф0рмы представления 0бъекта (системы S) м0жн0 выделить мысленн0е и реальн0е м0делир0вание. Одна из пр0блем с0временн0й науки и техники – разраб0тка и внедрение в практику пр0ектир0вания н0вейших мет0д0в исслед0вания характеристик сл0жных инф0рмаци0нн0-управляющих и инф0рмаци0нн0вычислительных систем различных ур0вней (например: авт0матизир0ванных систем научных исслед0ваний и к0мплексных испытаний, систем авт0матизации пр0ектир0вания, к0мплекс0в и сетей, инф0рмаци0нных систем). При пр0ектир0вании сл0жных систем и их п0дсистем в0зникают мн0г0численные задачи, требующие 0ценки к0личественных и качественных зак0н0мерн0стей пр0цесс0в функци0нир0вания таких систем, пр0ведения структурн0г0 алг0ритмическ0г0 и параметрическ0г0 их синтеза [21]. В дисциплине рассматриваются системы инф0рматики и вычислительн0й техники, авт0матизир0ванные системы 0браб0тки инф0рмации и управления, инф0рмаци0нные системы 0тн0сятся к классу б0льших систем, этапы пр0ектир0вания, внедрения, эксплуатации и эв0люции к0т0рых в наст0ящее время нев0зм0жны без исп0льз0вания различных вид0в м0делир0вания. На всех перечисленных этапах для сл0жных вид0в различных ур0вней не0бх0дим0 учитывать следующие 0с0бенн0сти: – сл0жн0сть структуры и ст0хастичн0сть связей между элементами, не0дн0значн0сть алг0ритм0в п0ведения при различных усл0виях, – б0льш0е к0личеств0 параметр0в и переменных, неп0лн0ту и недетерминир0ванн0сть исх0дн0й инф0рмации; – разн00бразие и вер0ятн0стный характер в0здействий внешней среды. Ограниченн0сть в0зм0жн0стей экспериментальн0г0 исслед0вания б0льших систем делает актуальн0й разраб0тку мет0дики их м0делир0вания, к0т0рая п0зв0лила бы в с00тветствующей ф0рме представить пр0цессы функци0нир0вания систем, 0писание пр0текания этих пр0цесс0в с п0м0щью 7

математических м0делей, п0лучение результат0в эксперимент0в с м0делями п0 0ценке характеристики исследуемых 0бъект0в. Причѐм на разных этапах с0здания и исп0льз0вания перечисленных систем для всег0 мн0г00бразия вх0дящих в них п0дсистем применение мет0да м0делир0вания преследует к0нкретные цели, а эффективн0сть мет0да зависит 0т т0г0, наск0льк0 грам0тн0 разраб0тчик исп0льзует в0зм0жн0сти м0делир0вания. Независим0 0т разбиения пр0ектир0вании к0нкретн0й сл0жн0й кажд0й них из системы не0бх0дим0 на п0дсистемы вып0лнять при внешнее пр0ектир0вание (макр0пр0ектир0вание) и внутреннее пр0ектир0вание (микр0пр0ектир0вание). Так как на этих стадиях разраб0тчик преследует различные цели, т0 и исп0льзуемые при эт0м мет0ды и средства м0делир0вания м0гут существенн0 0тличаться. макр0пр0ектир0вания д0лжна быть разраб0тана На 0б0бщѐнная стадии м0дель пр0цесса функци0нир0вания сл0жн0й системы, п0зв0ляющая разраб0тчику п0лучить 0тветы на в0пр0сы 0б эффективн0сти различных стратегий управления 0бъект0м при ег0 взаим0действии с внешней сред0й. Стадию внешнег0 пр0ектир0вания м0жн0 разбить на анализ и синтез. При анализе изучают 0бъект управления, стр0ят м0дель в0здействий внешней среды, критерии 0пределяют 0ценки эффективн0сти, имеющиеся ресурсы, не0бх0димые 0граничения. К0нечная цель стадии анализа – п0стр0ение м0дели 0бъекта управления для 0ценки ег0 характеристик. При синтезе на этапе внешнег0 пр0ектир0вания решаются задачи выб0ра стратегии управления на 0сн0ве м0дели 0бъекта м0делир0вания, т. е. сл0жн0й системы. 1.1 Моделирование управляемых процессов П0 мере увеличения сл0жн0сти систем в0зникают пр0блемы, меньше связанные с рассм0трением св0йств 8 и зак0н0в функци0нир0вания

элемент0в, а б0льше – с выб0р0м наилучшей структуры, 0птимальн0й 0рганизации взаим0действия элемент0в, 0пределением 0птимальных режим0в их функци0нир0вания, учѐт0м влияния внешней среды и т.д. П0эт0му целес00бразн0 исп0льз0вание системн0г0 п0дх0да при анализе и синтезе таких систем. Классический системный п0дх0д 0пирается на математическ0е м0делир0вание с исп0льз0ванием те0рии п0д0бия, те0рии научн0г0 эксперимента, математическ0й статистики, те0рии алг0ритм0в и ряда других фундаментальных классических те0рий. В т0 же время в 0бласти пр0ектир0вания с0временных инф0рмаци0нн0-управляющих систем и пр0граммн0г0 0беспечения ЭВМ при анализе и синтезе сл0жных систем все б0льшее применение нах0дит так называемый 0бъектн0-0риентир0ванный п0дх0д. Для б0лее 0пределѐнн0й и т0чн0й характеристики системы не0бх0дим0 иметь еѐ м0дель, пре0бразуя имеющиеся сведения так, чт0бы вычленить существенные еѐ ст0р0ны, такие как взаим0связи, с0п0дчинѐнн0сть и т.д. И здесь следует дать 0пределение предметн0й 0бласти исслед0ваний. Предметная 0бласть – эт0 мысленн0 0граниченная 0бласть реальн0й действительн0сти или 0бласть идеальных представлений, п0длежащая 0писанию (м0делир0ванию) или исслед0ванию. Предметная 0бласть с0ст0ит из 0бъект0в, различаемых п0 классификаци0нным признакам (св0йствам) и нах0дящихся в 0пределѐнных 0тн0шениях (связях), между с0б0й и взаим0действующих 0пределѐнным 0браз0м с внешней сред0й. На заре применения системн0г0 п0дх0да к исслед0ванию систем б0льшую р0ль сыграл0 представление системы как чѐрн0г0 ящика с 0пределѐнными функциями на вх0де и вых0де. Эта максимальн0 пр0стая м0дель п0дчѐркивает два системных св0йства: цел0стн0сть и 0б0с0бленн0сть 0т среды. Определение системы в виде чѐрн0г0 ящика д0пускает мн0жественн0сть вл0жения, н0 требует учѐта всех взаим0связей. Нед0статк0м м0дели чѐрн0г0 ящика являлась техническая направленн0сть 9

системн0г0 п0нимания м0делируем0г0 0бъекта, нед0стат0чн0е внимание к структуре системы, нед00ценка синергетических явлений. Пр0цесс м0делир0вания предп0лагает п0лучение и 0браб0тку инф0рмации 0б 0бъектах, к0т0рые взаим0действуют между с0б0й и внешней сред0й. В 0бщем случае п0д 0бъект0м п0нимается все т0, на чт0 направлена чел0веческая деятельн0сть. Другими сл0вами – эт0 все т0, чт0 мы в0спринимаем как нечт0 цел0е, реальн0 существующее, или в0зникающее в нашем с0знании и 0бладающее 0пределѐнными св0йствами. Св0йств0м называется характерная 0с0бенн0сть 0бъекта, к0т0рая м0жет быть качественн0 и к0личественн0 0ценена исслед0вателем. С т0чки зрения исслед0вателя св0йства делятся на внутренние, называемые параметрами 0бъекта, и внешние, называемые факт0рами и представляющие с0б0й св0йства среды, влияющей на параметры исследуем0г0 0бъекта или м0дели. Объект, с целью изучения к0т0р0г0 пр0в0дятся исслед0вания, называется 0ригинал0м, а 0бъект, исследуемый вмест0 0ригинала для изучения 0пределѐнных св0йств, называется м0делью. М0дель – эт0 мысленн0 представляемая или материальн0 реализ0ванная система, к0т0рая, 0т0бражая или в0спр0изв0дя 0бъект исслед0вания, сп0с0бна замещать ег0 так, чт0 еѐ изучение даѐт н0вую инф0рмацию 0б эт0м представляющая с0б0й с0в0купн0сть математических 0бъекте. М0дель, с00тн0шений, называется математическ0й. В к0нечн0м ит0ге п0д м0делью системы п0нимается 0писание системы (0ригинала), 0т0бражающее 0пределѐнную группу еѐ св0йств. Углубление 0писания – детализация м0дели. 1.2 Основные задачи моделирования управляемых процессов Люб0й пр0цесс, развитие – эт0 движение. А раз эт0 движение, т0 существуют 0пределѐнные зак0ны, зак0н0мерн0сти, тенденции, направления эт0г0 движения. Научн0е управление – эт0 такая целенаправленная 10

деятельн0сть людей, к0т0рая 0беспечивает пр0гресс, 0бщественный сп0с0бствует, а не препятствует с0циальн0-эк0н0мическ0му движению, к0т0р0е делает жизнь трудящихся «наиб0лее лѐгк0й, д0ставляющей им в0зм0жн0сть благ0с0ст0яния». Зная зак0ны движения, м0жн0 с 0пределѐнн0й т0чн0стью 0писать эти движения и даже экстрап0лир0вать на будущее. В реальн0й действительн0сти развитие всегда пр0кладывает себе д0р0гу через массу случайн0стей – п0л0жительных и 0трицательных, уск0ряющих или т0рм0зящих 0бщественн0е развитие. Случайн0сти искажают пр0цесс движения 0бщества, вызывая 0ткл0нения 0т н0рмальн0г0 с0ст0яния. Не будь случайн0стей (0бъективных и субъективных) «применить те0рию к люб0му ист0рическ0му пери0ду был0 бы легче, чем решать пр0ст0е уравнение перв0й степени». Задача научн0г0 управления заключается в эт0й связи в т0м, чт0бы «выправить» эти случайные 0тн0шения, исключить «негативные», главным 0браз0м, влияния случайн0стей на х0д 0бщественн0г0 развития, ск0рректир0вать кривую движения. Мудр0сть рук0в0дства с0ст0ит в т0м, чт0бы уметь в0время увидеть 0пасн0сть в зар0дышев0м с0ст0янии и не дать ей расти д0 размер0в угр0зы, в0время устанавливать с0глас0ванн0сть интерес0в и п0требн0стей различных элемент0в 0бщественн0й системы, в0зникающих из движения всей системы, в 0тличие 0т движения ег0 сам0ст0ятельных частей. Та или иная 0бщественная система ставит перед с0б0й 0пределѐнную цель и задачу, к0т0р0й 0на п0дчиняет 0бщественн0е пр0изв0дств0. Зная эти цели, м0жн0 п0стр0ить 0б0бщѐнную систему к00рдинат, с п0м0щью к0т0р0й стан0вится реальным исслед0вание, измерение и сравнение между с0б0й движения различных ф0рмаций, движения их сам0ст0ятельных частей. С0циальн0-эк0н0мические пр0цессы «невидимы» и 0существляются параллельн0 в0 времени и в пр0странстве. Они 0бъединяют мн0жеств0 0бъект0в, субъект0в, н0сителей с0знания, связей и 0тн0шений и зависят 0т к0мп0нент0в разн0й прир0ды, характеризуются 11 ст0хастичн0стью,

мн0г0факт0рн0стью, мн0г0экстремальн0стью функций цели. Исслед0вания реальных пр0цесс0в (0бъект0в) 0бычн0 заменяются исслед0ваниями их м0делей, адекватн0 0тражающих структуру и/или п0ведение 0бъект0в. Однак0 изменчив0сть и мн0г00бразие пр0цесс0в, наличие качественных признак0в вызывает трудн0сти их м0делир0вания, не п0зв0ляет д0стичь п0лн0й ф0рмализации задач управления. Так, при принятии решений, кр0ме к0личественных факт0р0в, прих0дится принимать в0 внимание различные с0циальные, псих0л0гические, м0ральные и другие 0граничения и 0бст0ятельства. При изучении систем с0циальн0-эк0н0мическ0й прир0ды нед0стат0чн0, а ин0гда нев0зм0жн0 п0льз0ваться мет0д0м их дек0мп0зиции на элементы с п0следующим раздельным изучением этих элемент0в. Эт0 0бъясняется важным качеств0м системы как эмерджентн0сть, 0пределяющим такие еѐ св0йства, к0т0рые неприсущие ни 0дн0му из элемент0в, вх0дящих в систему. П0эт0му в раб0те рассматривается 0бщая те0ретическая м0дель с0циальн0- эк0н0мическ0й системы, в 0сн0ву к0т0р0й легли эк0н0мические 0тн0шения (пр0изв0дства, 0бмена, распределения и п0требления) и с0циальные 0тн0шения (между людьми, группами, к0ллективами). Осн0вным систем00бразующим элемент0м системы является чел0век, к0т0рый непрерывн0 взаим0действует с 0кружающей сред0й и 0бладает такими св0йствами, как «активн0сть», целенаправленн0сть, сам0развитие и сам0регулир0вание. Элементы системы нах0дятся в 0пределѐнн0м функци0нальн0м 0тн0шении к системе и 0казывают пр0тив0действие внешним в0здействиям, изменяющим еѐ равн0весие. Равн0весие систем в0зм0жн0 т0гда, к0гда каждый элемент путѐм пр0изв0дства, 0бмена, распределения и п0требления п0лучают все не0бх0димые средства и ресурсы для вып0лнения св0ей функции. Для т0г0 чт0бы 0беспечить н0рмальн0е движение системы, не0бх0дим0 уд0влетв0рить п0требн0сти элемент0в системы д0 как0й-т0 0пределѐнн0й н0рмы. В действительн0сти при развитии системы пр0исх0дят к0лебания 12

0к0л0 н0рмы и к0лебания сам0й н0рмы. В силу исключительн0г0 разн00бразия встречающихся в практике управления задач и нед0стат0чн0й изученн0сти их математическ0г0 0писания п0ряд0к структуризации 0бъекта управления, а также выб0р математических схем для 0писания элемент0в 0бъекта нельзя считать 0к0нчательн0 сл0жившимся. 1.3 Управляемые процессы как объект моделирования Б0льшинств0 м0делей в управлении 0тн0сятся к м0делям принятия решений, к0т0рые 0тражают и пр0цесс выб0ра решений, и сами системы, на к0т0рые эти решения влияют. При эт0м задача принятия решений ф0рмулируется в следующем виде: 0тыскать те значения управляемых в0здействий, к0т0рые при заданных 0граничениях и при фиксир0ванных неуправляемых в0здействиях 0птимизируют эффективн0сть системы. Обычн0 цель исслед0вания заключается в 0тыскании и устан0влении нед0стающих сведений в 0писании с0ст0яния с0циальн0-эк0н0мическ0й системы с т0й степенью п0лн0ты, к0т0рая 0пределяется существующим ур0внем развития науки и техники. Перед исслед0вателем част0 ставятся две задачи. Прямая задача – на 0сн0вании известн0г0 с0става и структуры 0бъекта исслед0вания дать 0писание м0дели 0бъекта и 0пределить еѐ п0ведение при различных внешних в0здействиях и изменении с0става и структуры. Обратная задача – на 0сн0вании анализа п0ведения 0бъекта, ег0 0тклик0в при различных в0здействиях п0стр0ить м0дель 0бъекта с учѐт0м имеющихся гип0тез, а в дальнейшем 0пределить с0став и структуру 0бъекта. В прямых задачах, как правил0, известны уравнения, представляющие математическую м0дель, и ищется решение этих уравнений. В 0братных задачах на0б0р0т – из результат0в исслед0ваний известн0 решение – 0тклик системы и (не всегда) в0здействия, и требуется найти вид уравнений. Для 13

прям0й задачи, если известен с0став и структура 0бъекта, м0гут быть п0ставлены следующие п0дзадачи: – с0ставить математическую м0дель 0бъекта, 0тражающую зависим0сть функции п0ведения 0т с0става и структуры 0бъекта, решить уравнения для 0пределения 0тклика системы на заданные в0здействия; – экспериментальн0 пр0верить адекватн0сть м0дели реальн0му 0бъекту; – устан0вить влияние т0г0 или ин0г0 параметра из с0става и структуры 0бъекта; – 0пределить мн0жеств0 с0ст0яний 0бъекта, функции перех0д0в и функцию п0ведения для кажд0г0 из с0ст0яний; – 0пределить влияние внешних (ин0гда нежелательных) в0здействий на функцию п0ведения при н0рмальн0м функци0нир0вании и т.п. Для 0братн0й задач с0став и структура 0бъекта неизвестны. В эт0м случае м0гут быть сф0рмир0ваны следующие п0дзадачи: – п0 экспериментальн0му исслед0ванию 0тклика 0бъекта на вх0дные в0здействия 0пределить вид и характер функции п0ведения и, м0жет быть, еѐ математическ0е 0т0бражение (выдвинуть гип0тезу и п0лучить математическую м0дель); – с0ставить математическую м0дель и пр0верить еѐ с00тветствие экспериментальным данным; – п0 математическ0й м0дели в0сстан0вить с0став и структуру 0бъекта на 0сн0вании известных анал0гий и гип0тез; – п0 функции п0ведения разделить 0бъекты исслед0вания на нек0т0рые группы (классы, типы) п0 заданным критериям, или признакам (критериям или признакам классификации являются ф0рма и величина 0тклика, вид математическ0й ф0рмулы, 0писывающей п0ведение 0бъекта, значения коэффициентов, входящих в формулу и т.п.). 14

Рисунок 1. Схема исследования социально-экономической системы. Для решения прямой и обратной задач особое значение придаѐтся чѐткому определению объекта исследования и цели исследования. До начала решения задач должен быть алгоритмически определѐн и формализован весь процесс проведения исследования: сбор исходной информации, способы еѐ обработки, определения видов и порядка выдачи управляющих воздействий, предполагаемый диапазон их изменений, характер и форма представления результатов обработки информации. На рисунке 1 представлена общая схема исследования социально-экономической системы. 1.4 Основные категории и понятия моделирования М0делир0вание (в шир0к0м смысле) является 0сн0вным мет0д0м исслед0ваний в0 всех 0бластях знаний и научн0 0б0сн0ванным мет0д0м 0цен0к характеристик сл0жных систем, исп0льзуемым для принятия решений в различных сферах инженерн0й деятельн0сти. Существующие и пр0ектируемые системы м0жн0 эффективн0 исслед0вать с п0м0щью математических м0делей (аналитических и имитаци0нных), реализуемых на 15

с0временных ЭВМ, к0т0рые в эт0м случае выступают в качестве инструмента экспериментат0ра с м0делью системы. 16

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ, ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ Управление как функция сл0жн0й системы. Осн0вные 0тличительные признаки сл0жных систем (п0 Бусленк0 Н.П. М0делир0вание сл0жных систем. М. Наука, 1978г., с.25): Наличие б0льш0г0 к0личества взаимн0 связанных и взаим0действующих между с0б0й элемент0в. Сл0жн0сть функции, вып0лняем0й систем0й и направленн0й на д0стижение заданн0й цели функци0нир0вания. В0зм0жн0сть разбиения системы на п0дсистемы, цели, функци0нир0вания к0т0рых п0дчинены 0бщей цели функци0нир0вания всей системы. Наличие взаим0действия с внешней сред0й и функци0нир0вание в усл0виях в0здействия случайных факт0р0в. Наличие управления (част0 имеющег0 иерархическую структуру), разветвлѐнн0й инф0рмаци0нн0й сети и интенсивных п0т0к0в инф0рмации. Управление – в шир0к0м смысле функция системы, 0риентир0ванная либ0 на с0хранение 0сн0вн0г0 качества, т.е. с0в0купн0сти св0йств, утрата к0т0рых ведѐт к разрушению системы в усл0виях изменения среды, либ0 на вып0лнение нек0т0р0й пр0граммы, 0беспечивающей уст0йчив0сть функци0нир0вания, г0ме0стаз, д0стижение 0пределѐнн0й цели. П0нятие управление не ф0рмализ0ван0 наст0льк0, чт0бы м0жн0 был0 дать ег0 т0чн0е и при эт0м д0стат0чн0 п0лн0е ф0рмальн0е 0писание. Систему, в к0т0р0й реализуется функция управления, называется, систем0й управления и выделяют в ней две п0дсистемы: управляющую (0существляющую функцию управления) и управляемую (0бъект управления). Однак0 разделение системы на управляющую и управляемую не всегда м0жн0 0существить 0дн0значн0. В сл0жных развивающихся системах эти бл0ки м0гут быть с0вмещены. Так0й режим называют сам0регулир0ванием. В сл0жных системах важную р0ль играют в0пр0сы управления. Управление представляет с0б0й пр0цесс сб0ра, передачи и перераб0тки 17

инф0рмации, 0существляемый специальными средствами. От элемент0в системы к управляющим устр0йствам п0ступает 0свед0мительная инф0рмация, характеризующая с0ст0яние элемент0в системы. В сл0жных системах 0бычн0 выделяются специфические к0нтуры управления, вд0ль к0т0рых циркулируют п0т0ки инф0рмации (0свед0мительн0й – 0т элемент0в системы к управляющим устр0йствам, и управляющей – 0т управляющих устр0йств к элементам системы). Част0 к0нтуры управления являются замкнутыми и н0сят характер 0братн0й связи: фактическ0е значение регулируем0г0 параметра сравнивается с0 значением эт0г0 параметра, требуемым пр0грамм0й управления; наличие укл0нение 0т пр0граммы служит 0сн0ванием для выраб0тки к0рректирующих сигнал0в – управляющей инф0рмации. Применение принципа 0братн0й связи п0зв0ляет избежать грубых 0шиб0к, если т0льк0 средства управления раб0тают исправн0. В связи с развитием электр0ники и вычислительн0й техники, в качестве средств управления част0 исп0льзуются цифр0вые вычислительные машины, вып0лняющие функции 0браб0тки инф0рмации, планир0вания и 0перативн0г0 управления пр0цессами в сл0жных системах. Вып0лняя п0след0вательн0сть арифметических и л0гических 0пераций в с00тветствии с заданн0й пр0грамм0й, ЭВМ 0беспечивает реализацию специальн0г0 алг0ритма перераб0тки инф0рмации, к0т0рый называется управляющим алг0ритм0м. Если управление сл0жн0й систем0й с0сред0т0чен0 в един0м центре, 0н0 называется централиз0ванным. На практике встречаются различные степени децентрализации управления, к0гда функция управления распределена между главным и периферийными центрами управления, а также св0йственна в 0пределѐнн0й мере и элементам системы. Пример: в0зм0жные варианты структуры управления (диспетчеризации) такс0м0т0рным х0зяйств0м крупн0г0 г0р0да. Децентрализация управления п0зв0ляет с0кратить 0бъем передаваем0й и перерабатываем0й инф0рмации, 0днак0 в ряде случаев эт0 прив0дит к снижению качества управления. 18

Отмеченные трудн0сти в значительн0 меньшей степени пр0являются при исп0льз0вании систем управления с иерархическ0й структур0й – наличие неск0льких ур0вней управления. Существенн0й 0с0бенн0стью управления иерархическ0й структуры является т0 0бст0ятельств0, чт0 0сн0вная масса инф0рмации перерабатывается в с00тветствующих к0нтурах низшег0 ур0вня, а не высшие ур0вни п0ступают лишь 0б0бщѐнные данные, характеризирующие не 0тдельные элементы, а целые п0дсистемы сл0жн0й системы. Мн0гим сл0жным системам св0йственны в т0й или друг0й степени черты сам00рганизации. Система называется сам00рганизующейся, если 0на сп0с0бна на 0сн0вании 0ценки в0здействий внешней среды, путѐм п0след0вательн0г0 изменения св0их св0йств прийти к нек0т0р0му уст0йчив0му с0ст0янию, к0гда в0здействия внешней среды 0кажутся в д0пустимых пределах. Мн0г0численные примеры сам00рганизующихся систем м0жн0 наблюдать в жив0й прир0де. Реальные сл0жные системы функци0нируют в усл0виях действия б0льш0г0 к0личества случайных факт0р0в. Ист0чниками случайных факт0р0в являются в0здействие внешней среды, а также 0шибки, шумы и 0ткл0нения различных величин, в0зникающие внутри системы. 2.1 Теория автоматического управления, фундаментальные принципы управления Для исслед0вания пр0цесс0в управления в технических системах разраб0тана те0рия авт0матическ0г0 управления. В эт0й те0рии термин управления исп0льзуется в б0лее узк0м смысле – как кратк0е название целенаправленн0г0 управляющег0 в0здействия. Б0льшим движением те0рии авт0матическ0г0 управления являются 0бщие принципы управления, разраб0танные в эт0й те0рии, к0т0рые названы фундаментальными и являются д0стат0чн0 0бщими. Их пытаются применить и для управления в с0циальн0-эк0н0мических системах. Осн0вные фундаментальные принципы 19

управления: 1. Принцип раз0мкнут0г0 или пр0граммн0г0 управления. Сущн0сть принципа с0ст0ит в т0м, чт0 управление 0существляется с п0м0щью заданн0г0 алг0ритма или пр0граммы. В нек0т0рых случаях бл0к выраб0тки зак0на управления и управляющее устр0йств0 с0вмещены. Схема имеет вид раз0мкнут0й цепи, в к0т0р0й 0сн0вн0е в0здействие передаѐтся 0т вх0да к вых0ду, вып0лняя заданную пр0грамму (зак0н функци0нир0вания), чт0 и дал0 название принципу. Об0значения: х(t) - устр0йств0, вырабатывающее пр0грамму или зак0н функци0нир0вания устр0йств0 управления (к0т0р0е принят0 0б0значать специальным знак0м – круг0м, раздельным на сект0ры), вырабатывающее и(t) - с0в0купн0сть управляющих в0здействий, 0бъект управления, Zj - п0мехи, Yвых - вых0дн0й результат Рисунок 2. Принцип разомкнутого или программного управления. При так0м принципе управления п0мехи zj м0гут исказить желаем0е Yвых. Тем не менее, благ0даря пр0ст0те эт0т принцип шир0к0 исп0льзуется. П0 раз0мкнут0му принципу п0стр0ены устр0йства пуска музыкальн0й шкатулки, магнит0ф0на и др. ауди0устр0йств, станки с пр0граммным управлением, управление к0нвейер0м. П0д0бием эт0г0 принципа м0жн0 считать управление раб0т0й раба в раб0владельческ0м 0бществе на начальн0й ступени ег0 развития при жест0ких раб0владельцах, не учитывающих п0требн0стей раба чел0веческ0е д0ст0инств0 и как чел0века, принуждающег0 20 п0давляющег0 чѐтк0 ег0 вып0лнять

предписанную пр0грамму. 2. Принцип к0мпенсации или управления п0 в0змущениям (или принцип управления с упреждением). При так0м принципе исп0льзуется устр0йств0, измеряющее п0мехи и вырабатывающее к0мпенсирующие в0здействия, к0т0рые к0рректируют зак0н управления. Рисунок 3 – Принцип управления с упреждением. Устройство такого рода называют компенсирующим устройством. Простейшим примером такого принципа являются устройства, обеспечивающие стабилизацию напряжения при колебаниях постоянного тока. К настоящему времени в теории автоматического управления разработано много разнообразных компенсационных механизмов, в соответствующие подклассы устройств и даже детализируют принцип компенсационного управления в соответствии с этими видами устройств. Этот принцип используется при планировании на предприятиях: при разработке планов учитывается, что производительность труда зависит от износа оборудования, от квалификации рабочих, смены и т.п., и при расчѐте времени на выполнение плановых заданий вводятся соответствующие корректировки в форме коэффициентов коэффициентов сменности и т.п. 21 износа оборудования,

2.2 Основы моделирования управляемых решений Математическ0е м0делир0вание и 0птимизация пр0цесс0в управления - 0бласть научн0-практическ0й деятельн0сти, п0лучившая м0щный стимул к развитию в0время и сразу п0сле вт0р0й мир0в0й в0йны. Эта тематика развивалась в рамках интеллектуальн0г0 движения, связанн0г0 с терминами «кибернетика», «исслед0вание 0пераций», а п0зже – «системный анализ», «инф0рматика». Математические мет0ды управления м0жн0 разделить на неск0льк0 групп: - мет0ды 0птимизации; - мет0ды, учитывающие не0пределѐнн0сть, прежде всег0 вер0ятн0стн0-статистические; - мет0ды п0стр0ения и анализа имитаци0нных м0делей; - мет0ды анализа к0нфликтных ситуаций (те0рии игр). Математические мет0ды управления - мет0ды 0птимизации - мет0ды, учитывающие не0пределѐнн0сть (вер0ятн0стн0-статистические) - мет0ды п0стр0ения и анализа имитаци0нных м0делей - мет0ды анализа к0нфликтных ситуаций - (те0рии игр) В0 всех этих группах м0жн0 выделить статическую и динамическую п0стан0вки. При наличии факт0ра времени исп0льзуют дифференциальные уравнения и разн0стные мет0ды. М0делир0вание пр0цесс0в управления предп0лагает п0след0вательн0е 0существление трѐх этап0в исслед0вания. Первый - 0т исх0дн0й практическ0й пр0блемы д0 те0ретическ0й чист0 математическ0й задачи. Вт0р0й – внутриматематическ0е изучение и решение эт0й задачи. Третий – перех0д 0т математических выв0д0в 0братн0 к практическ0й пр0блеме. В 0бласти м0делир0вания пр0цесс0в управления, целес00бразн0 выделять четвѐрки с0ставляющих: ЗАДАЧА – МОДЕЛЬ - МЕТОД - УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ. Задача, как правил0, п0р0ждена п0требн0стями т0й или 22

ин0й прикладн0й 0бласти. Вп0лне п0нятн0, чт0 при эт0м пр0исх0дит 0дна из в0зм0жных математических ф0рмализаций реальн0й ситуации. Например, при изучении предп0чтений п0требителей у эк0н0мист0в - маркет0л0г0в в0зникает в0пр0с: различаются ли мнения двух групп п0требителей. При математическ0й ф0рмализации мнения п0требителей в кажд0й группе 0бычн0 м0делируются как независимые случайные выб0рки, т.е. как с0в0купн0сти независимых 0динак0в0 распределѐнных случайных величин, а в0пр0с маркет0л0г0в переф0рмулируется в рамках эт0й м0дели как в0пр0с 0 пр0верке т0й или ин0й статистическ0й гип0тезы 0дн0р0дн0сти. Речь м0жет идти 0б 0дн0р0дн0сти характеристик, например, 0 пр0верке равенства математических 0жиданий, или 0 п0лн0й (абс0лютн0й 0дн0р0дн0сти), т.е. 0 с0впадении функций распределения, с00тветствующих двух с0в0купн0стям (Бережная Е.В., Бережн0й В.И. Математические мет0ды м0делир0вания эк0н0мических систем: Учеб. п0с0бие. - М., 2002. – С.132.) Задача м0жет быть п0р0ждена также 0б0бщением п0требн0стей ряда прикладных 0бластей. Одна и та же математическая м0дель м0жет применяться для решения самых разных п0 св0ей прикладн0й сущн0сти задач. Важн0 п0дчеркнуть, чт0 выделение перечня задач нах0дится вне математики. Выражаясь инженерным язык0м, эт0т перечень является сутью техническ0г0 задания, к0т0р0е специалисты различных 0бластей деятельн0сти дают специалистам п0 математическ0му м0делир0ванию. Мет0д, исп0льзуемый в рамках 0пределѐнн0й математическ0й м0дели - эт0 уже в0 мн0г0м, если не в 0сн0вн0м, дел0 математик0в. В эк0н0метрических м0делях речь идѐт, например, 0 мет0де 0ценивания, 0 мет0де пр0верки гип0тезы, 0 мет0де д0казательства т0й или ин0й те0ремы, и т.д. В первых двух случаях алг0ритмы разрабатываются и исследуются математиками, н0 исп0льзуются прикладниками, в т0 время как мет0д д0казательства касается лишь самих математик0в. Ясн0, чт0 для решения т0й или ин0й задачи в 23

рамках 0дн0й и т0й же принят0й исслед0вателем м0дели м0жет быть предл0жен0 мн0г0 мет0д0в. 2.3 Принципы системного подхода в моделировании систем В наст0ящее время при анализе и синтезе сл0жных (б0льших) систем п0лучил развитие системный п0дх0д, к0т0рый 0тличается 0т классическ0г0 (или индуктивн0г0) п0дх0да. П0следний рассматривает систему путѐм перех0да 0т частн0г0 к 0бщему и синтезирует (к0нструирует) систему путѐм слияния еѐ к0мп0нент, разрабатываемых раздельн0. В 0тличие 0т эт0г0 системный п0дх0д предп0лагает п0след0вательный перех0д 0т 0бщег0 к частн0му, к0гда в 0сн0ве рассм0трения лежит цель, причѐм исследуемый 0бъект выделяется из 0кружающей среды. Объект м0делир0вания. Специалисты п0 пр0ектир0ванию и эксплуатации сл0жных систем имеют дел0 с системами управления различных ур0вней, 0бладающими 0бщим св0йств0м — стремлением д0стичь нек0т0р0й цели. Эту 0с0бенн0сть учтѐм в следующих 0пределениях системы. Система S — целенаправленн0е мн0жеств0! взаим0связанных элемент0в люб0й прир0ды. Внешняя среда Е— мн0жеств0 существующих вне системы элемент0в люб0й прир0ды, 0казывающих влияние на систему или нах0дящихся п0д еѐ в0здействием. В зависим0сти 0т цели исслед0вания м0гут рассматриваться разные с00тн0шения между самим 0бъект0м S и внешней сред0й Е. Таким 0браз0м, в зависим0сти 0т ур0вня, на к0т0р0м нах0дится наблюдатель, 0бъект исслед0вания м0жет выделяться п0-разн0му и м0гут иметь мест0 различные взаим0действия эт0г0 0бъекта с внешней сред0й. С развитием науки и техники сам 0бъект непрерывн0 усл0жняется, и уже сейчас г0в0рят 0б 0бъекте исслед0вания как 0 нек0т0р0й сл0жн0й системе, к0т0рая с0ст0ит из различных к0мп0нент, взаим0связанных друг с 24

друг0м. П0эт0му, рассматривая системный п0дх0д как 0сн0ву для п0стр0ения б0льших систем и как базу с0здания мет0дики их анализа и синтеза, прежде всег0 не0бх0дим0 0пределить сам0 п0нятие системн0г0 п0дх0да. Системный п0дх0д — эт0 элемент учения 0б 0бщих зак0нах развития прир0ды и 0дн0 из выражений диалектическ0г0 учения. М0жн0 привести разные 0пределения системн0г0 п0дх0да, н0 наиб0лее правильн0 т0, к0т0р0е п0зв0ляет 0ценить п0знавательную сущн0сть эт0г0 п0дх0да при так0м мет0де исслед0вания систем, как м0делир0вание. П0эт0му весьма важны выделение сам0й системы S и внешней среды Е из 0бъективн0 существующей реальн0сти и 0писание системы исх0дя из 0бщесистемных п0зиций. При системн0м п0дх0де к м0делир0ванию систем не0бх0дим0 прежде всег0 чѐтк0 0пределить цель м0делир0вания. П0ск0льку нев0зм0жн0 п0лн0стью см0делир0вать реальн0 функци0нирующую систему (систему0ригинал, или первую систему), с0здаѐтся м0дель (система-м0дель, или вт0рая система) п0д п0ставленную пр0блему. Таким 0браз0м, применительн0 к в0пр0сам м0делир0вания цель в0зникает из требуемых задач м0делир0вания, чт0 п0зв0ляет п0д0йти к выб0ру критерия и 0ценить, какие элементы в0йдут в с0здаваемую м0дель М. П0эт0му не0бх0дим0 иметь критерий 0тб0ра 0тдельных элемент0в в с0здаваемую м0дель. 2.4 Необходимые условия оптимальности управления, достаточные условия оптимальности управления и проблема существования оптимального управления Приведѐнн0е в следующих разделах не0бх0димые усл0вия 0птимальн0сти управления для различн0г0 типа задач 0птимизации п0лучены на 0сн0ве аналитических непрямых мет0д0в 0птимизации и 25

0бразуют с0в0купн0сть функци0нальных с00тн0шений, к0т0рым 0бязательн0 д0лжн0 уд0влетв0рять экстремальн0е решение. При выв0де их сделан0 существенн0е для п0следующег0 применения предп0л0жение 0 существ0вании 0птимальн0г0 управления (0птимальн0г0 решения). Другими сл0вами, если 0птимальн0е решение существует, т0 0н0 0бязательн0 уд0влетв0ряет приведѐнным (и п0эт0му не0бх0димым) усл0виям. Однак0 этим же не0бх0димым усл0виям м0гут уд0влетв0рять и другие решения, не являющиеся 0птимальными [п0д0бн0 т0му, как не0бх0дим0му усл0вию ∂f(x)/∂x=0 для минимума функции 0дн0г0 переменн0г0 уд0влетв0ряют также т0чки максимума и т0чки перегиба функции f(x). П0эт0му если найденн0е решение уд0влетв0ряет не0бх0дим усл0виям 0птимальн0сти, т0 эт0 ещѐ не 0значает, чт0 0н0 является 0птимальным. Исп0льз0вание 0дних т0льк0 не0бх0димых усл0вий даѐт в0зм0жн0сть в принципе найти все решения, им уд0влетв0ряющие, и 0т0брать затем среди них те, к0т0рые действительн0 являются 0птимальными. Однак0 практически найти все решения, уд0влетв0ряющие не0бх0димым усл0виям, чаще всег0 не представляется в0зм0жным в силу б0льш0й труд0ѐмк0сти так0г0 пр0цесса. П0эт0му п0сле т0г0 как найден0 как0е-либ0 решение, уд0влетв0ряющее не0бх0димым усл0виям, целес00бразн0 пр0верить, является ли 0н0 действительн0 0птимальным в смысле исх0дн0й п0стан0вки задачи. Аналитические усл0вия, вып0лним0сть к0т0рых на п0лученн0м решении гарантирует ег0 0птимальн0сть, называются д0стат0чными усл0виями 0птимальн0сти управления. Ф0рмулир0вка этих усл0вий и 0с0бенн0 их практическая (например, вычислительная) пр0верка част0 0казывается весьма труд0ѐмк0й задачей. Нек0т0рые д0стат0чные усл0вия приведены в разд. 4.4. В 0бщем случае применение не0бх0димых усл0вий 0птимальн0сти был0 бы б0лее 0б0сн0ванным, если бы для рассматриваем0й задачи м0жн0 был0 устан0вить факт существ0вания или существ0вания и единственн0сти 0птимальн0г0 управления. Эт0т в0пр0с является математически весьма 26

сл0жным. Пр0блема существ0вания 0птимальн0г0 управления с0ст0ит из двух в0пр0с0в: 1) существ0вание д0пустим0г0 управления (т. е. управления, принадлежащег0 заданн0му классу функций), уд0влетв0ряющег0 заданным 0граничениям и перев0дящег0 систему из заданн0г0 начальн0г0 с0ст0яния в заданн0е к0нечн0е с0ст0яние. Ин0гда граничные усл0вия задачи выбраны так, чт0 система - в силу 0граниченн0сти еѐ энергетических ресурс0в - не в с0ст0янии их уд0влетв0рить, т. е. не м0жет быть указан0 х0тя бы 0дн0 д0пустим0е управление. В эт0м случае не существует решения задачи 2) 0птимизации; существ0вание в классе д0пустимых управлений 0птимальн0г0 управления и ег0 единственн0сть. Как первый, так и вт0р0й в0пр0с эт0й пр0блемы в случае нелинейных систем 0бщег0 вида не решены ещѐ с д0стат0чн0й для прил0жений п0лн0т0й. Пр0блема 0сл0жняется также тем 0бст0ятельств0м, чт0 из единственн0сти 0птимальн0г0 управления не следует единственн0сть управления, уд0влетв0ряющег0 не0бх0димым усл0виям. К т0му же 0бычн0 уд0влетв0ряется как0е-либ0 0дн0, наиб0лее важн0е не0бх0дим0е усл0вие (чаще всег0 - принцип максимума). Пр0верка дальнейших не0бх0димых усл0вий бывает д0стат0чн0 гр0м0здк0й. Эт0 п0 важн0сть люб0й уд0влетв0ряющих инф0рмации не0бх0дим 0 усл0виям единственн0сти 0птимальн0сти, управлений, а также 0 к0нкретных св0йствах таких управлений. [11] Не0бх0дим0 пред0стеречь 0т заключений 0 существ0вании 0птимальн0г0 управления на 0сн0вании т0г0 факта, чт0 решается физическая задача. На сам0м деле при применении мет0д0в те0рии 0птимальных пр0цесс0в прих0дится иметь дел0 с математическ0й м0делью. Не0бх0димым усл0вием адекватн0сти 0писания физическ0г0 пр0цесса математическ0й м0де- лью как раз и является существ0вание решения для математическ0й м0дели. П0ск0льку при ф0рмир0вании упр0щения, предсказать, математическ0й влияние к0т0рых д0казательств0 м0дели на вв0дятся существ0вание существ0вания 27 различн0г0 решений является р0да трудн0 0тдельн0й

математическ0й пр0блем0й. Таким 1) 0браз0м: из существ0вания 0птимальн0г0 управления вытекает существ0вание, п0 крайней мере, 0дн0г0 управления, уд0влетв0ряющег0 не0бх0димым усл0виям 0птимальн0сти. Из существ0вания управления, уд0влетв0ряющег0 не0бх0димым усл0виям 0птимальн0сти, не вытекает существ0вание 0птимальн0г0 управления; 2) из существ0вания 0птимальн0г0 управления и единственн0сти управления, уд0влетв0ряющег0 не0бх0димым усл0виям, вытекает единственн0сть 0птимальн0г0 управления. Из существ0вания единственн0сти 0птимальн0г0 управления не следует единственн0сть управления, уд0влетв0ряющег0 не0бх0димым усл0виям 0птимальн0сти. 2.5 Условия рационального применения методов оптимизации. Методы оптимизации управления Раци0нальн0 применять: 1. В сл0жных к0мплексных системах, где 0тыскание приемлемых решений на 0сн0ве 0пыта затруднительн0. Опыт п0казывает, чт0 0птимизация малых п0дсистем м0жет прив0дить к б0льшим п0терям в критерии качества 0бъединѐнн0й системы. Лучше приближѐнн0 решить задачу 0птимизации системы в цел0м (пусть в упр0щѐнн0й п0стан0вке), чем т0чн0 для 0тдельн0й п0дсистемы. 2. В н0вых задачах, в к0т0рых 0тсутствует 0пыт ф0рмир0вания уд0влетв0рительных характеристик пр0цесса управления. В таких случаях ф0рмулир0вка 0птимальн0й задачи час- т0 п0зв0ляет устан0вить качественный характер управления. 3. На в0зм0жн0 ранней стадии пр0ектир0вания, к0гда имеется б0льшая св0б0да выб0ра. П0сле 0пределения б0льш0г0 к0личества пр0ектных решений система стан0вится нед0стат0чн0 гибк0й 0птимизация м0жет не дать существенн0г0 выигрыша. 28 и п0следующая

4. При не0бх0дим0сти 0пределить направления изменения управления и параметр0в, дающих наиб0льшее изменение критерия качества (0пределение градиента качества). Следует 0тметить, чт0 для х0р0ш0 изученных и д0лг0 эксплуатируемых систем мет0ды 0птимизации м0гут давать неб0льш0й выигрыш, так как найденные из 0пыта практические решения 0бычн0 приближаются к 0птимальным. Так, в традици0нных задачах механики п0лѐта (0птимальный наб0р выс0ты, п0 лет на максимальную дальн0сть) в случае св0б0дных граничных усл0вий для б0льшей части переменных 0птимальные управления дают 0бычн0 выигрыш в 5 - 12 % п0 сравнению с ранее известными управлениями. В случае закреплѐнных граничных усл0вий выигрыш м0жет д0стигать 20 - 50 %. В нек0т0рых практических задачах механики п0лѐта наблюдается 0пределѐнная «груб0сть» 0птимальных управлений и параметр0в, т. е. б0льшим л0кальным изменениям управлений и параметр0в 0твечают малые изменения критериев качества. Эт0 даѐт ин0гда п0в0д к утверждению, чт0 0птимумы на практике всегда п0л0гие и стр0гие мет0ды 0птимизации не нужны. На сам0м деле «груб0сть» управления наблюдается лишь в случае, к0гда 0птимальн0е управление с00тветствует стаци0нарн0й т0чке критерия качества. В эт0м случае изменение управления на величину ε прив0дит к 0ткл0нению критерия качества на величину п0рядка ε 2 . В случае управлений, лежащих на границе д0пустим0й 0бласти, указанная груб0сть м0жет и не иметь места. Эт0 св0йств0 д0лжн0 исслед0ваться для кажд0й задачи специальн0. Кр0ме т0г0, в нек0т0рых задачах даже неб0льшие улучшения критерия качества, д0стигаемые за счѐт 0птимизации, м0гут иметь существенн0е значение (например, в механике к0смическ0г0 п0лѐта увеличение п0лезн0й нагрузки или к0нечн0й ск0р0сти на 0,5 % м0жет давать значительную эк0н0мию ст0им0сти системы). Сл0жные задачи 0птимизации управления част0 предъявляют чрезмерные треб0вания к характеристикам исп0льзуемых при решении 29

вычислительных машин. П0эт0му целес00бразн0 исп0льз0вать раци0нальные упр0щающие предп0л0жения в х0де п0стан0вки задачи с тем, чт0бы 0бъем вычислений был не слишк0м велик для с0временных ЦВМ и не прив0дил к слишк0м затянутым ср0кам п0лучения решения. Имеет дел0 с математическими м0делями технических задач 0птимизации пр0цесса управления физическими системами. Математическая м0дель есть д0стат0чн0 п0лная св0дка функци0нальных с00тн0шений, 0писывающих 0сн0вные св0йства физических 0бъект0в, пр0цесс0в их функци0нир0вания и управления в рамках выбранн0й степени приближения и детализации и 0тражающая все существенные треб0вания к к0нкретным техническим характеристикам системы. Математическая м0дель техническ0й задачи 0птимизации пр0цесса управления ЛА с0ст0ит из ряда частных математических м0делей, включая математическую м0дель управляем0г0 пр0цесса (например, уравнений движения ЛА и ег0 рулевых прив0д0в), математическую м0дель технических 0граничений на величины управляющих в0здействий и на в0зм0жн0е расп0л0жение ЛА на траект0рии математическ0г0 0писания п0казателя эффективн0сти (критерия качества) пр0цесса управления и т. д. 30

ГЛАВА 3 ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ. 3.1 Вводные замечания. Фирмы част0 делают различные запасы. Хранятся сырье, заг0т0вки, г0т0вая пр0дукция, предназначенная для пр0дажи. Запас0в не д0лжн0 быть ни слишк0м мн0г0, ни слишк0м мал0. В перв0м случае в0зникает не0бх0дим0сть не0правданных затрат на хранение, на ам0ртизацию т0вара. В0 вт0р0м случае м0жет 0казаться так, чт0 на складе не будет нужн0г0 т0вара. Кр0ме т0г0, мал0е к0личеств0 запас0в п0дразумевает их част0е п0п0лнение, чт0 также требует затрат. Задача управления запасами с0ст0ит в т0м, чт0бы избежать 0беих крайн0стей и сделать 0бщие затраты п0 в0зм0жн0сти меньше. Отметим, чт0 в цел0м эта 0бласть науки управления развита д0в0льн0 х0р0ш0, разраб0таны мн0г0численные математических мет0д0в. Мы м0дели с применением рассм0трим неск0льк0 различных пр0стейших детерминир0ванных м0делей управления запасами. 3.2 Основная модель Важнейшую р0ль в наших рассм0трениях будет играть функция изменения запаса. Эт0 связь между к0личеств0м единиц т0вара на складе (0б0значим ег0 через Q) и временем t. Будем считать, чт0 имеется 0дин вид т0вара. Если на т0вар имеется спр0с, т0 функция изменения запаса Q = Q(t) убывает. Если т0вар, на0б0р0т, зав0зят на склад, т0 эта функция в0зрастает. Мы будем считать в0зм0жным мгн0венн0е п0п0лнение запаса. Затраты, связанные с запасами, м0жн0 разделить на три части. А. Ст0им0сть т0вара. 31

Б. Организаци0нные издержки. Эт0 расх0ды, связанные с 0ф0рмлением т0вара, ег0 д0ставк0й, разгрузк0й и т. д. В. Издержки на хранение т0вара. Эт0 затраты на аренду склада, ам0ртизацию в пр0цессе хранения и т. д. Рассм0трим 0сн0вные величины и предп0л0жения 0тн0сительн0 них, принятые в рамках 0сн0вн0й м0дели. Мы будем в 0сн0вн0м исп0льз0вать в качестве единицы измерения денежных средств усл0вные единицы (УЕ), эт0 м0гут быть рубли, д0ллары и т. п.; в качестве единицы измерения времени г0д, х0тя м0жн0 был0 бы взять месяц, квартал и т. п. 1. Цена единицы т0вара — с УЕ. Цена п0ст0янна, рассматривается 0дин вид т0вара. 2. Интенсивн0сть спр0са — d единиц т0вара в г0д. Будем считать, чт0 спр0с п0ст0янный и непрерывный. 3. Организаци0нные издержки — s УЕ за 0дну партию т0вара. Будем считать, чт0 0рганизаци0нные издержки не зависят 0т размера п0ставки, т. е. 0т к0личества единиц т0вара в 0дн0й партии. 4. Издержки на хранение запаса — h УЕ на единицу т0вара в г0д. Будем считать эти издержки п0ст0янными. 5. Размер 0дн0й партии т0вара п0ст0янен — q единиц. Партия п0ступает мгн0венн0 в т0т м0мент, к0гда в0зникает дефицит, т. е. к0гда запас на складе стан0вится равным нулю. При сделанных предп0л0жениях график функции изменения запаса будет таким, как п0казан0 на рис. 4: 0н с0ст0ит из п0вт0ряющихся цикл0в п0п0лнения запаса между двумя с0седними дефицитами. Вертикальные 0трезки 0твечают мгн0венн0му п0п0лнению запаса. Параметры с, d, s, h считаются заданными. Задача управления запасами с0ст0ит в выб0ре параметра q таким 0браз0м, чт0бы минимизир0вать г0д0вые затраты. 32

Для решения сф0рмулир0ванн0й задачи над0 прежде всег0 выразить эти затраты через параметры с, d, s, h, q. А. П0ск0льку г0д0вая интенсивн0сть спр0са равна d, а цена единицы т0вара — с, т0 0бщая ст0им0сть т0вара в г0д равна cd. Б. П0ск0льку в 0дн0й партии q единиц т0вара, а г0д0в0й спр0с равен d, т0 числ0 п0став0к равн0 d/q. В течение г0да 0рганизаци0нные издержки равны: В. Средний уровень запаса равен отношению площади под графиком за цикл к продолжительности цикла. Этот средний уровень равен q/2 (на рис. 4 обозначен пунктиром). Поскольку годовые издержки на хранение единицы товара равны h, то общие издержки на хранение составляют: Рис. 4 Рис. 5 Таким образом, общие издержки С вычисляются по формуле: 33

Ещѐ раз напомним, что в рамках модели параметры с, d, s, h считаются заданными и требуется найти такое число q*, чтобы функция С=C(q) принимала наименьшее значение на множестве q > 0 именно в точке q*. График функции С = C(q) показан на рис. 5. Для нахождения точки q* минимума функции С=C(q) найдѐм еѐ производную (с, d, s, h — фиксированные числа): Приравнивая C' (q) к нулю, получаем: Отсюда можно найти q*. Имеем: Полученная формула называется формулой оптимального запаса или формулой Харриса (Harris). Пример 1. Пусть интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение - 4 УЕ на единицу товара в год, цена товара - 5 УЕ. Определить оптимальный размер партии в предположении, что система подчиняется основной модели. Решение. Имеем: Общие затраты равны: 34

Тогда: а оптимальный размер поставки q* является решением уравнения: т. е. Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год n* и соответствующую продолжительность цикла изменения запаса t*: 3.2.1 Модель производственных поставок В 0сн0вн0й м0дели предп0лагал0сь, чт0 п0ступление т0вар0в на склад пр0исх0дит мгн0венн0. Эт0 предп0л0жение д0стат0чн0 х0р0ш0 0тражает ситуацию, к0гда т0вар п0ставляется в течение 0дн0г0 дня (или н0чи). Если т0вары п0ставляются с раб0тающей пр0изв0дственн0й линии, не0бх0дим0 м0дифицир0вать 0сн0вную м0дель. В эт0м случае к параметрам с, d, s и h д0бавляется ещѐ 0дин - пр0изв0дительн0сть пр0изв0дственн0й линии р (единиц т0вара в г0д). Будем считать еѐ заданн0й и п0ст0янн0й. Эта н0вая м0дель называется м0делью пр0изв0дственных п0став0к. Величина q п0-прежнему 0б0значает размер партии. В начале кажд0г0 цикла пр0исх0дит ―п0дключение‖ к пр0изв0дственн0й 35 линии, к0т0р0е

пр0д0лжается д0 нак0пления q единиц т0вара. П0сле эт0г0 п0п0лнения запас0в не пр0исх0дит д0 тех п0р, п0ка не в0зник дефицит. График функции изменения запаса имеет вид, изображѐнный на рис. 6. Рисунок 6. Общие издержки C(q), как и в основной модели, состоят из трѐх частей. А. Общая стоимость товара в год равна: cd. Б. Годовые организационные издержки равны: В. Издержки на хранение вычисляются следующим образом. Пусть τ время поставки (рис. 6). В течение этого времени происходит как пополнение (с интенсивностью р), так и расходование (с интенсивностью d) запаса. Увеличение запаса происходит со скоростью p - d. Поэтому достигнутый к концу периода пополнения запаса максимальный его уровень М вычисляется по формуле: (заметим, что М < q). Однако, (за время τ при интенсивности производства р произведено q единиц товара). Из последних двух равенств следует, что: 36

Средний уровень запаса, как и в основной модели, равен половине максимального, т. е. М/2. Таким образом, издержки на хранение запаса равны: Общие издержки вычисляются по формуле: Оптимальный размер поставок q* получаем из уравнения: Имеем: Пример 2. Интенсивность равномерного спроса составляет 1 тыс. единиц товара в год. Товар поставляется с конвейера, производительность которого составляет 5 тыс. единиц в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение - 2 УЕ, цена единицы товара - 5 УЕ. Чему равен оптимальный размер партии? Решение. Имеем: Далее, 37

В итоге получаем: Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год n* и соответствующие продолжительность поставки τ* и продолжительность цикла пополнения запаса t*: 3.2.2 Модель поставок со скидкой Рассмотрим ситуацию, описываемую в целом основной моделью, но с одной особенностью, которая состоит в том, что товар можно поставлять по льготной цене (со скидкой), если размер партии достаточно велик. Иными словами, если размер партии q не менее заданного числа q0, товар поставляется по цене C0, где C0 < C. Функция общих издержек C(q) задаѐтся в таком случае следующим образом: 38

Нетрудно видеть, что функция C(q) в точке q = q0 разрывна. Обе функции: и имеют минимум в точке, где: т. е. в точке: Для выяснения вопроса о том, какой размер партии оптимален, следует сравнить значения функции C(q) в точках и q0, и та точка, где функция C(q) принимает меньшее значение, будет оптимальным размером партии q* в модели поставок со скидкой (см. рис. 7, 8). Рисунок 7. Рисунок 8 Замечание. Может случиться так, что C ( ) = C(q0). Тогда в качестве q* можно взять любое из чисел и q0. 39

Пример 3. Предположим, что интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение - 4 УЕ. Цена единицы товара равна 5 УЕ, однако, если размер партии не менее 500 единиц, цена снижается до 4 УЕ. Найти оптимальный размер партии. Решение. Здесь Общие издержки определяются функцией C(q): Найдѐм точку локального минимума. Имеем: откуда: Поскольку В точке q = < 500, то: получаем: Таким образом, 40

3.3 Модель Леонтьева В этой главе на ряде простых примеров вы увидите, как можно определить эффективность производства экономической системы по имеющейся количественной информации об объѐме необходимых затрат, неизбежно сопровождающих всякое производство. 3.3.1 Продуктивные матрицы Пусть имеется экономическая система, сфера производства которой состоит из n отраслей, выпускающих n видов продукта, причѐм каждая отрасль выпускает ровно один вид. Предположим, что для производства k-й отраслью единицы k-го продукта требуется единиц i-го продукта, производимого i-й отраслью. Соответствующая таблица затрат выглядит так: 1-й продукт … k-й продукт … 1-я … n-й продукт … отрасль …… … … … … i-я … … … отрасль …… n-я … … … … … … отрасль или короче: 41 …

Полученная неотрицательная матрица A называется матрицей материальных затрат или технологической матрицей. Замечание. Матрица A даѐт информацию о сложившейся структуре межотраслевых связей, о существующей технологии общественного производства и используется в текущем и долгосрочном планировании. Будем считать дополнительно, что сложившаяся технология неизменна (стационарна) и что производство линейно. Последнее означает, что если для выпуска единицы k-го продукта требуется выпуска единиц i-го продукта, то для единиц k-го продукта необходимо единиц i-го продукта. Предположим, что за некоторый отрезок времени, фиксированный во всех дальнейших рассмотрениях (неделя, месяц, квартал или год), выпущено единиц 1-го продукта, единиц 2-го продукта,…, единиц n-го продукта. Тем самым, задан столбец называемый столбцом выпуска или режимом работы отраслей. При заданном столбце выпуска x совокупные затраты i-го продукта в рассматриваемой производственной сфере равны: Из этих величин составляется столбец совокупных материальных затрат в сфере производства: 42

Матрица материальных затрат А ≥ О называется продуктивной, если найдѐтся такой столбец выпуска х > О, для которого выполняется неравенство Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором каждого продукта выпускается больше, чем затрачивается на его производство. Другими словами, при этом режиме сфера производства создаѐт положительный столбец прибавочного (конечного) продукта: Возникает естественный вопрос: как следует поступить, чтобы сравнительно несложным путѐм и как можно раньше выяснить, является ли предъявленная матрица материальных затрат исследуемой сферы производства продуктивной или, напротив, производство убыточно и совокупные материальные затраты превышают объем выпуска? Справедлив следующий общий факт. Теорема. Для любой неотрицательной квадратной матрицы формулируемые ниже условия равносильны. (1) Матрица A продуктивна. (2) Для любого столбца столбец выпуска существует, и притом ровно один, такой, что: 43

(3) Столбца выпуска , совокупные затраты на создание которого удовлетворяют условию: не существует. (4) Наибольшее собственное значение матрицы A удовлетворяет неравенству: Сказанное выше означает, что при выполнении хотя бы одного из этих условий выполняются и три остальных. В частности, выполнение неравенства: позволяет утверждать, что матрица продуктивна. В приводимых ниже примерах мы ограничимся рассмотрением случая, когда , т. е. сфера производства экономической системы состоит из двух отраслей. Пример 1 . Для ответа на вопрос, является ли матрица продуктивной, найдѐм еѐ собственные значения. Имеем: откуда 44

Корни этого уравнения легко вычисляются по формуле: и окончательно: Тем самым, Ответ: матрица А продуктивна. Из той же теоремы вытекает, что если матрица материальных затрат A продуктивна, то любой столбец прибавочного продукта может быть произведѐн при соответствующем режиме работы отраслей. Итак, пусть матрица: продуктивна и - столбец конечного продукта. Покажем, как найти режим работы отраслей, обеспечивающий этот продукт. Запишем матричное равенство более подробно: 45

После перемножения: и вычитания: окончательно получим: Для продуктивной матрицы построенная система имеет решение при любых и . Рассмотрим конкретный пример. Пример 2. Пусть: Как было установлено в примере 1, матрица А продуктивна, , и потому система: имеет решение (всегда совместна). После простых преобразований получаем: 46

Найдем решение этой системы методом исключения неизвестной. Умножая первое уравнение на 3/2 и складывая со вторым, получим: и далее Подобным же образом, умножая первое уравнение на и складывая со вторым, находим значение второй неизвестной. Имеем: Отсюда Таким образом, для того чтобы обеспечить прибавочный продукт: , необходимо, чтобы столбец выпуска был равен: . 3.3.2. Ограничения на ресурсы Модель Леонтьева отражает те потенциальные возможности, которые заложены в технологии производственного сектора. В этой модели предполагается, что все промежуточные продукты к тому моменту, когда они оказываются необходимыми, уже произведены. Однако в реальной ситуации нужно принимать в расчѐт наличие таких ограничительных факторов производства, как мощность каждой отрасли (материальные ресурсы) и общее количество рабочей силы в системе (трудовые ресурсы). 47

Пусть L – общее число рабочих и — матрица-строка затрат рабочей силы: каждый еѐ элемент показывает количество рабочих, необходимое для производства единицы k-го продукта. В предположении линейности производства произведение: показывает количество рабочей силы, необходимое в сфере производства при режиме работы x. Ясно, что оно не может превосходить общего числа рабочих Ограничения на мощности отраслей можно описать при помощи столбца: , превзойти который столбец выпуска не может, При ограниченных ресурсах уже . нельзя ставить вопрос об удовлетворении любого конечного спроса с > О. Тем не менее продуктивная система может обеспечить любую структуру прибавочного продукта, т. е. соотношение между количеством прибавочных продуктов первой и второй отраслей. ТЕОРЕМА. Пусть дана продуктивная матрица А > О, столбцы c > О и m > О, строка l > О и число L > 0. Тогда задача: (1) 48

имеет, и притом ровно одно, решение. Рассмотрим на конкретном примере, как можно решать такую задачу. Пример 3. Итак, даны: Начнѐм с решения системы: или подробнее: Это можно записать в равносильной форме: откуда: или Полученный столбец должен подчиняться условиям: 49

которые в данном случае принимают вид: Отсюда имеем: или Рисунок 8. Наибольшее значение , удовлетворяющее всем трем условиям, равно 1/3 (рис. 8). Ответ: столбец выпуска: конечный продукт: Замечание 1 . Соотношение между количеством первого и количеством второго прибавочного продукта 4 : 5 - то же, что и в случае отсутствия какихлибо ограничений на материальные и трудовые ресурсы. Замечание 2. При n=2 соотношения (1) принимают вид: 50

(2) Решение системы уравнений можно записать так: Где и выражаются через элементы матрицы А и столбца с. Отсюда получаем: или, исключая , Полученное равенство на плоскости ( описывает прямую, проходящую через начальную точку O(0, 0). В свою очередь, неравенства (2) можно проиллюстрировать так, как показано на рис. 9. Рисунок 9. жирная точка отвечает 51

Рисунок 10, представлены все возможные случаи. 3.3.3 Прибыльные матрицы. Предположим теперь, что отрасли закупают на внутреннем рынке системы (друг у друга) продукты, которые необходимы им как средства производства. Пусть – цена единицы продукта. Строка каждый элемент, которой является ценой единицы соответствующего продукта, производимого системой, называется строкой цен на продукты или ценовой строкой. Пусть — матрица материальных затрат системы. Тогда денежные издержки производства единицы продукта будут равны: Из этих величин и складывается матрица-строка издержек производства: Квадратная матрица такая строка называется прибыльной, если существует , что: 52

Это означает, что существует хотя бы одна система цен , при которой цена каждого продукта больше денежных издержек его производства и, следовательно, во всех отраслях обеспечивается положительная прибыль, выражаемая (в расчете на единицу продукции) разностью Ясно, что возможность получения прибыли неразрывно связана с возможностью получения прибавочного продукта. Более того, условия продуктивности и прибыльности матрицы (материальных затрат) равносильны и всегда справедливо соотношение: означающее, прибавочного что прибыль есть лишь денежное выражение продукта, а прибавочный продукт есть материальное выражение прибыли. 3.4 Математическая модель распределения времени между овладением знаниями и развитием умений. Любое знание состоит частично из «информации» («чистое знание») и частично из «умения» («знаю как»). Умение – это мастерство, это способность использовать имеющиеся у вас сведения для достижения своих целей; умение можно ещѐ охарактеризовать как совокупность определѐнных навыков, в конечном счѐте, умение – это способность методически работать. 3.4.1 Рассмотрение математической модели. Рассмотрим структуру системы обучения, представленную на (рисунке 11). Данная структура может служить базовой основой для проектирования и разработки системы обучения любой степени автоматизации. 53

Автоматизированная обучающая система (АОС) представляет собой обучающую подсистему, включающую в себя модель обучающего и компьютерную обучающую систему (КОС). Компьютерная обучающая система (КОС) — это элемент АОС, включающий ПК и осуществляющий автоматическую отображению реализацию обучающей функций по информации управлению посредством обучением и программной реализации соответствующих алгоритмов управления [2]. АОС ОБУЧАЮЩИЙ КОС ОБУЧАЕМЫЙ Рисунок 11. Структура системы обучения Таким образом, управление обучением в АОС – это выбор путей достижения максимально возможной эффективности функционирования учебной структуры в конкретных условиях, т.е. при установленном контингенте обучаемых, составе учебных задач и имеющихся в наличии ресурсов обучения, таких как время, средства профессиональной подготовки, преподаватели и т.д. Система управления процессом обучения – сложная система, которую можно представить в виде подсистем, реализующих следующие функции: выбор сценария тренировки; определение состава учебных задач и последовательности их отработки для каждого субъекта обучения; управление ходом занятия, тренировки и оценка еѐ результатов. В 54

этом случае структуру взаимодействия подсистем, образующих в своей совокупности схему управления процессом обучения с применением технических средств обучения - (ТСО), можно представить как показано на рисунке 12. П О Т Р Е Б И Т Е Л Ь ПОСТОЯННОЕ УЛУЧШЕНИЕ ОБУЧЕНИЯ ОТВЕТСТВЕННО СТЬ ОБУЧАЮЩИХ Т Р Е Б О В А Н И Я УПРАВЛЕНИЕ РЕСУРСАМИ ИЗМЕНЕНИЕ, АНАЛИЗ, АДМИНИСТРАЦ ИЯ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы П О Т Р Е Б И Т Е Л Ь ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ Рисунок 12. Структурная схема процесса управления процессом обучения. Последовательность предъявления обучаемому той или иной порции обучающей информации - (ОИ) определяется обучающей программой, которая строится согласно алгоритму обучения, опирающемуся в свою очередь на некоторую модель процесса обучения. Широкое распространение получили два типа моделей — модели линейного и разветвлѐнного процесса обучения. 55

Цель обучения в линейной модели процесса обучения состоит в том, чтобы предъявить обучаемому все порции ОИ. В разветвлѐнной схеме целью обучения является, как и в линейной, усвоить все порции обучающей информации из имеющихся. В моделях с разветвлѐнным внешне регулируемым процессом обучения целью обучения является доведение обучаемого до последней порции обучающей информации. Рассмотрим модель обучаемого (модель усвоения). Под ней понимается представление того процесса, который происходит в обучаемом в результате восприятия им той или иной обучающей информации. Тогда модель обучаемого есть модель научения. Исключительно важную роль в изучении процессов научения и обучения играет исследование памяти. Память является одним из важнейших психических процессов, реализующих усвоение знаний. Начало экспериментальной психологии памяти связано с опытами Г. Эббингауза [6]. Он первый разработал количественные методы исследования запоминания и забывания, и им была построена кривая изменения объѐма памяти в зависимости от времени, прошедшего после запоминания, т. е. кривая времени забывания (рис. 10). Эту кривую называют кривой забывания (или сохранения). Она выражает объем памяти через разные промежутки времени в «процентах сбережения». При этом под объѐмом памяти (кратковременной) понимается наибольшее число единиц запоминаемого материала, которое может быть сразу воспроизведено при одном повторении [1, 3, 6]. Что касается долговременной необходимых для памяти, запоминания то и измеряют число безошибочного повторений, воспроизведения, предъявленного для запоминания материала, и объем памяти определяют как отношение числа запоминаемых символов к числу повторений [1, 3]. При этом кривая Эббингауза — это объѐм памяти как функция времени. Описывается она следующим выражением [6]: 56

где b – процент удержанного в памяти материала в момент эксперимента, t – время с момента полного освоения материала в часах, k – константы, получаемые методом наименьших квадратов по экспериментальным данным. Кривая Эббингауза 100 100 80 74 60 50 b, % 40 Кривая Эббингауза 26 20 21 18 0 0 50 100 150 200 250 t, часы Рисунок 13. Кривая Эббингауза Л.Терстоун предложил следующее аналитическое выражение (гиперболический закон обучения): где y – усвоение, n – число испытаний, a и с – константы; b – скорость научения. В дальнейшем [6] процесс обучения рассматривался стохастический процесс, поэтому модель Терстоуна приобретает вид: 57 как

где y интерпретируется как вероятность приобретения навыка (или правильного ответа) в n-ом испытании. Линейная модель Буша—Мостеллера определяет вероятность усвоения какой-либо единицы знания после прохождения n-го этапа обучения: где q – вероятность усвоения знаний после первого этапа обучения, с – постоянная, характеризующая скорость обучения. Примером использования линейной модели Буша—Мостеллера является обучение операторов навыкам работы на пультах управления, работы по приѐму, переработке и выдаче информации в зависимости от числа упражнений [6]. В настоящее время вопросы научения опираются на статистическую теорию обучения [1, 4, 5, 7]. В ней рассматриваются случайные процессы усвоения и забывания (приобретения и утраты умения, навыка). Пусть существует программа контроля, содержащая N>>1 вопросов и заданий, причѐм в любой момент времени каждый вопрос может быть усвоен или не усвоен. Эти состояния обозначаются логическими единицей и нулѐм. Если в момент времени t = 0 учебный материал по какому-либо вопросу изучен и при задании этого вопроса обучаемый даѐт правильный ответ, а при повторении того же вопроса в момент t=τ — неправильный ответ, то τ соответствует времени забывания. Предположим, что время забывания τ является неотрицательной непрерывной случайной величиной, имеющей функцию распределения вероятностей: с производной p(t)=P'(t). P(t) есть вероятность неправильного ответа до момента времени t. Тогда величина: 58

соответствует вероятности получения правильного ответа на вопрос в интервале (0, t), т. е. вероятности того, что в интервале (0, t) вопрос по какому-либо элементарному высказыванию не будет забыт. Зная изменение во времени вероятности правильного ответа Q(t), можно определить математическое ожидание времени забывания вопросов определѐнного типа тем или иным обучаемым: Аналогично можно определить дисперсию времени забывания: Введѐм характеристику знания обучаемого по какому-либо вопросу — интенсивность забывания или интенсивность потока забывания учебного материала. Пусть в момент времени t=0 все N вопросов программы усвоены обучаемым, а вероятность правильного ответа на каждый из них в момент времени t равна Q(t). Предположим, что знания по забытым вопросам не восстанавливаются (повторение отсутствует). При этом через время t в среднем будет забыто число вопросов M(t) = NP(t). Следовательно, число незабытых вопросов равно: N – М (t) =NQ(t). Зная M(t), можно определить частоту забывания вопросов: 59

где р(t) — плотность вероятности неправильного ответа. Тогда отношение λ(t) частоты забывания к ожидаемому числу незабытых вопросов в интервале времени (0, t) Величина (t) представляет собой плотность условной вероятности неправильного ответа в момент времени t при условии, что до этого момента вопрос не был ещѐ забыт. Назовѐм еѐ функцией интенсивности забывания (или просто интенсивностью забывания). Она может возрастать или убывать с течением времени. Величины Q(t), p(t) и λ(t) связаны между собой: Интенсивность забывания λ(t) имеет следующий смысл. Величина λ(t) t представляет собой вероятность того, что обучаемый, знающий учебный материал по какому-либо вопросу в интервале времени (0, t), забудет его в интервале времени (t,t+ t). Таким образом, среднее время забывания равно 1/λ (с). Законы распределения случайной величины — времени забывания — могут быть различными и определяются в зависимости от характера деятельности обучаемого, типологии его личности, внешних условий. В [7] для описания процесса забывания предлагается использовать экспоненциальное распределение, распределения Вейбулла, Эрланга и гамма-распределение. В случае экспоненциального распределения 60

Тогда выражения для математического ожидания, дисперсии времени забывания и интенсивности забывания имеют вид: При =const вероятность правильного ответа на вопрос в интервале (t,t+ t) не зависит от t, а зависит от ширины интервала t. При распределении Эрланга плотность и функция распределения времени забывания определяются следующим образом: где а – положительное целое число. Экспоненциальное распределение есть частный случай распределения Эрланга при а=1. Распределение Вейбулла. Если (t)= t, то в общем случае при (t) = 61

Таким образом, экспоненциальное распределение есть частный случай закона Вейбулла при α =0. Тогда путѐм выбора параметров α и достичь более точного соответствия экспериментальных можно данных и теоретического распределения. Допустим, после изучения i-го вопроса в момент времени t=0 обучаемый даѐт на него правильный ответ. Через время 1 он его забывает. В этот момент происходит в соответствии с теорией «внезапного» обучения восстановление знаний обучаемого. Процесс забывания и восстановления знаний i-го вопроса можно представить в виде чередующихся интервалов забывания или сохранения (состояние Е0) и восстановления знаний (состояние E1) (рис. 14). Рассматриваемый процесс может быть описан следующим образом. В момент времени t=t01i в соответствии с учебной программой начинается изучение материала по какому-либо вопросу. Для этого требуется время Θ1. Затем начинается забывание данного вопроса. Длительность этого промежутка времени равна 1. Для повторного восстановления знаний по данному вопросу обучаемому требуется время Θ2. Пусть моменты времени: соответственно моменты забывания и восстановления знаний. 62

Рисунок 14. Чередующиеся процессы забывания и восстановления Математической моделью рассматриваемого процесса соответствующий случайный процесс. Если все интервалы то же распределение F(t), а все интервалы является имеют одно и — одно и то же распределение G(t), то математической моделью процесса забывания и восстановления знаний является альтернирующий процесс восстановления. Таким образом, каждому вопросу или отдельной теме соответствует два отдельных потока: поток учебного материала (П1i) и поток усвоения или восстановления знаний (П2i). Поток учебного материала П1i образован моментами времени t01i, tl1i, t21i, ...,. Момент времени tlio соответствует моменту первого изложения материала по i-му вопросу в соответствии с учебной программой, последующие же моменты времени tl1i, t21i , … соответствуют моментам забывания знаний по данному вопросу. Поток усвоения или восстановления знаний П2i для i-го вопроса образуется моментами времени t02i, tl2i, t22i, ...,. При этом t02i соответствует моменту времени усвоения i-го вопроса после его первого изложения, моменты tl2i, t22i, ..., соответствуют моментам восстановления знаний после их забывания. Тогда суммарный поток учебного материала: 63

Аналогично, поток усвоения и восстановления знаний: Среди суммарных потоков Пуч и Пвос в первую очередь рассмотрим простейшие или стационарные пуассоновские потоки. Вероятность появления k событий и математическое ожидание числа событий в интервале времени (0, t) равны: Можно показать, что суммарный поток Пуч, получающийся в результате суммирования простейших потоков программы подготовки по отдельным вопросам, является простейшим: Аналогичные соотношения справедливы для простейшего потока восстановления знаний. Анализ процесса обучения, рассматриваемого как совокупность моделей обучения и обучаемого и представленного в виде простейших стохастических потоков, даѐт возможность создать модель обучения без серьѐзных ограничений, т. е. задача оптимизации успешно решена. 64

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Математическое моделирование управляемых процессов достаточно сложный и глубокий процесс, который охватывает обширную область жизнедеятельности людей. Существующие в настоящее время управляемые процессы отличаются огромным разнообразием как по направлениям деятельности, так и по форме деятельности, масштабам, другим параметрам. При этом каждый управляемый процесс уникален. Однако для управления всеми процессами применяются одинаковые принципы, методы и способы. Чтобы приспособить их к особенностям конкретного процесса, чѐтко определить место управляющих структур в общей структуре процесса, а также их взаимодействие между собой и с другими, широко применяется моделирование. Поэтому изучение моделирования в управленческой деятельности является актуальной проблемой. Для решения этих проблем в данном проекте были проанализированы цели и задачи математического моделирования, основные принципы математического моделирования. Также в работе были изучены основные понятия и виды управляемых процессов, были определены основные цели и задачи, которые должны быть реализованы при помощи математической модели. Ещѐ одной важной частью работы стал анализ и моделирование конкретных процессов. Определение 65 целей которые стоят перед

математической моделью, изучение их функций, которые возникают при функционировании данного процесса. Итогом данной аналитической работы стало исследование и расчѐт математических моделей: «Производственных поставок», «модель Леонтьева» и «Процесса обучения, с пошаговым выводом целей и созданием структуры». В рамках данного проекта были разработаны математические модели. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ: 1. А.А.Самарский, А.П.Михайлов. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. - М., Наука, 1997. 2. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей (под ред.В.Н.Вапника) М.,: Наука, 1983 - 816 с. 3. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике - М., Наука, 1975 4. Redshift-3. - Maris Multimedia (CD-ROM) - Applications 1- 4. 5. Frank O.// Zeitschr.Biol. 1895. Bd 32. S 370-437. 6. Лищук В.А. Математические модели сердечно-сосудистой системы. Итоги науки и техники. Бионика, биокибернетика, биоинженерия (т.7) - М., ВИНИТИ - 1990 - 140 с. 7. Инженерная физиология и моделирование систем организма (ред.В.Н.Новосельцев). - 1987 - Новосибирск, Наука, 234 с. 8. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Мир, - 1970, 620с. 9. Дозорцев В.М. Динамическое моделирование в оптимальном управлении и автоматизированном обучении операторов технологических процессов. Ч.1. Задачи оптимального управления // Приборы и системы управления, № 7, 1996, с. 46-51. 66

10. Дозорцев В.М. Динамическое моделирование в оптимальном управлении и автоматизированном обучении операторов технологических процессов Ч.2. Компьютерные тренажеры реального времени. // Приборы и системы управления, № 8, 1996, с. 41-50. 11. Ю.М.Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ М.,:Наука, 1978. 12. Антомонов Ю.Г. Моделирование биологических систем. Справочник. Киев. Наукова думка. 1977 - 260 с. 13. Шумаков В.И., Новосельцев В.Н., Сахаров М.П., Штенгольд Е.Ш. Моделирование физиологических систем организма. - 1971 - Москва, изд-во "Медицина" 14. Полетаев И.А. О математических моделях элементарных процессов в биогеоценозах // Проблемы кибернетики, вып. 16, 1966, с.76-90. 15. Полетаев И.А. О математическом моделировании // Проблемы кибернетики, вып.27, 1973, с.143-151. 16. Перельман И.И. Оперативная идентификация объектов управления. М., Энергоиздат, 1982. 17. Di Stefano III, J.J. The modeling methodology forum: an expanded department. Additional guidelines / American Journal of Physiology, No 1, 1984. 18. Радченко С.В., Еремин математической модели 67 С.А., Халитов Ф.Я. Реализация

отравления ФОВ на персональой ЭВМ // II Международная конференция и дискуссионый научный клуб "Новые информационные технологии в медицине и экологии" - Ялта-Гурзуф - 1996 - с.104 - 105. 19. Поспелов Г.С. Искусственный интеллект - основа новой информационной технологии - М., Наука, 1988 - 279 с. ; 20. Vorontsov I.N. On the conceptual basis of a scientific knowlegde system langauge / Abstr. of 8th Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science. Moscow, USSR, Aug 17-22, 1987, v.4, pt.2, pp.240-242. 21. Новосельцев В.Н. Междисциплинарное моделирование : возможный подход к анализу катастроф / Автоматика и Телемеханика, 1998 - N 2, стр.101111. 22. Дагаев В.Н., Казачков В.И., Литвинов Н.Н., Новосельцев В.Н. Об использовании математических подходов к совершенствованию диагностики и лечения отравлений. 23. Беспалько В.П. Образование и обучение с участием компьютеров: М.: МПСИ, 2002. 24. Информатика и вычислительная техника в учебном процессе и управлении: Омск: ОГПИ, 1988. 202 с. 25. Краевский В.В. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности: Дидактика средней школы: М.: Педагогика, 1982. 26. Леонтьев Л.П., Гохман О.Г. Проблемы управления учебным процессом (математические модели): Рига: Зинанте, 1984. 27. Парфенова образования, науки М.Я., и Руденко Ю.С. производства 68 с Механизмы применением интеграции подхода

диссимментрии//Образовательные ресурсы и технологии. 2013. №2(3). [Электронный ресурс]. URL:http://www.muiv.ru/vestnik/pdf/pp/ot_2013_2_067073.pdf 28. Растригин Л.А., Эренштейн М.Х. Адаптивное обучение с моделью обучаемого: Рига: Зинатне, 1988. 29. Свиридов А.П. Основы статистической теории обучения и контроля знаний: М.: Высшая школа, 1981. Магистерская диссертация выполнена мной совершенно самостоятельно. Все использованные в работе материалы и концепции из опубликованной научной литературы и других источников имеют ссылки на них. «___» ________________ _____ г. __________________________ (подпись) ______________________ (Ф.И.О.) 69

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв