Напряженно-деформированное состояние чувствительного элемента волоконно-оптического датчика давления

Мария Власова

Напряженно-деформированное состояние чувствительного элемента волоконно-оптического датчика давления

В работе исследуется конструкция и принцип работы волоконно-оптического датчика давления. Из экспериментальных данных определяется функция толщины, аппроксимирующая геометрию чувствительного элемента датчика в пакетах MS Excel и MATLAB с использованием метода наименьших квадратов. Осуществляется постановка краевой задачи деформирования чувствительного элемента как круглой пластинки переменной толщины при воздействии давления. Аппроксимация поставленной задачи выполняется методом конечных разностей. Численное решение полученной системы линейных алгебраических уравнений реализуется в прикладном пакете MАTLАB. Создается математическая модель напряженно-деформированного состояния чувствительного элемента датчика при воздействии внешнего давления как инструмента для дальнейшей оценки эффективности принимаемых конструкторских решений на этапе проектирования изделия.

Приборостроение

Дипломы

Вуз: Пермский национальный исследовательский политехнический университет (ПНИПУ)

ID: 5f4d2134cd3d3e0001ce9f6b

UUID: 8ec39cd0-cdd2-0138-2756-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: больше 3 лет назад

Просмотры: 7

10.14

Мария Власова

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 875,2 КБ

Поделиться работой

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет Факультет Выпускающая кафедра: Направление подготовки: Квалификация: Прикладной математики и механики Динамика и прочность машин 15.03.03 «Прикладная механика» бакалавр Допускается к защите Зав.кафедрой ДПМ __________В.П.Матвеенко «20 » июня 2020 г. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ВОЛОКОННООПТИЧЕСКОГО ДАТЧИКА ДАВЛЕНИЯ Выпускная квалификационная работа группы Выполнил студент ДПМ-16-1б Власова Мария Сергеевна ( ) подпись Научный руководитель: к.т.н., начальник лаборатории перспективных исследований НТЦ ПАО «ПНППК» Есипенко Иван Александрович

( Пермь 2020 ) подпись

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра «Динамика и прочность машин» «УТВЕРЖДАЮ» Зав.кафедрой ДПМ Матвеенко В.П. «25» мая 2020г. ЗАДАНИЕ на выполнение выпускной квалификационной работы студента Фамилия И.О. Власова М.С. Факультет ПММ Группа ДПМ-161б Начало выполнения работы 25 мая 2020 Контрольные сроки просмотра работы кафедрой 16 июня 2020 Дата защиты работы на заседании ГЭК22 июня 2020 1. Наименование работы: Напряженно-деформированное состояние чувствительного элемента волоконно-оптического датчика давления; 2. Исходные данные к работе 3. Содержание пояснительной записки: 1) Волоконно-оптический датчик давления; 2) Поиск аппроксимирующей функции для толщины чувствительного элемента; 3) Напряженно-деформированное состояние чувствительного элемента; 4. Дополнительные указания Основная литература

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки: Пер. с англ. – М.: Наука, 1966. 2. Pandey N. K., Yadav B. C. Fibre optic pressure sensor and monitoring of structural defects //Optica applicata. – 2007. – Т. 37. – №. 1/2. – С. 57. Руководитель выпускной квалификационной работы студента к.т.н., начальник лаборатории перспективных исследований НТЦ ПАО «ПНППК» (Есипенко И.А.) (должность, Ф.И.О.) Задание получил (Власова М.С.) 25 мая 2020 (дата и подпись студента)

КАЛЕНДАРНЫЙ ГРАФИК ВЫПОЛНЕНИЯ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ № п. 1 2 4 5 6 Разработка основных разделов выпускной квалификационной работы Оформление Об ъе м эта па, в % 70 25.05.2 020 10.06.2 020 20 10.06.2 020 14.06.2 020 14.06.2 020 16.06.2 020 выпускной квалификационной работы Разработка и оформление 10 иллюстративной части материала к защите диссертации Представление BKP на проверку и отзыв научного руководителя Представление работы заведующему кафедрой Защита на заседании FЭK Сроки выполнения нача коне ло ц 16.06.2 020 16.06.2 020 22.06.2 020 Примеча ние

Научный руководитель работы: к.т.н., начальник лаборатории перспективных исследований НТЦ ПАО « 25 » мая Есипенко И.А. «ПНППК» 2020 г.

РЕФЕРАТ КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: давления, напряженно-деформированное волоконно-оптический датчик состояние, численные методы. Исследуется конструкция и принцип работы волоконнооптического датчика давления. Из экспериментальных данных определяется функция толщины, аппроксимирующая геометрию чувствительного элемента датчика в пакетах MS Excel и MATLAB с использованием метода наименьших квадратов. Осуществляется деформирования постановка чувствительного краевой элемента как задачи круглой пластинки переменной толщины при воздействии давления. Аппроксимация поставленной задачи выполняется методом конечных разностей. Численное решение полученной системы линейных алгебраических уравнений реализуется в прикладном пакете MАTLАB. Целью выпускной квалификационной работы является создание математической деформированного датчика при инструмента принимаемых состояния воздействии для модели чувствительного внешнего дальнейшей конструкторских проектирования изделия. напряженноэлемента давления оценки решений как эффективности на этапе

Оглавлени ВВЕДЕНИЕ.................................................................................. 6 ГЛАВА 1. ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИЙ ДАТЧИК ДАВЛЕНИЯ8 1.1. Принцип работы волоконно-оптического датчика давления 9 1.2. Конструкция чувствительного элемента датчика 11 1.3. Методы расчета напряженно-деформированного состояния чувствительного элемент 14 ГЛАВА 2. ПОИСК АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ТОЛЩИНЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА.......................18 2.1. Обработка экспериментальных данных координат криволинейной поверхности чувствительного элемента 18 2.2. Аппроксимация толщины чувствительного элемента с помощью метода наименьших квадратов 21 ГЛАВА 3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА....................24 3.1. Задача о статическом деформировании чувствительного элемента 24 3.2. Конечно-разностная аппроксимация краевой задачи 26 3.3. Реализация вычислительного алгоритма 27 3.4. Экспериментальное исследование прогиба чувствительного элемента датчика 31 ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................................35 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................36 ПРИЛОЖЕНИЕ 1......................................................................39 ПРИЛОЖЕНИЕ 2......................................................................40

ВВЕДЕНИЕ Датчики давления являются ключевым аспектом безопасной эксплуатации различных технических продуктов и систем, широко используются в большом количестве отраслей от автомобильной промышленности до медицины. Для применения в авиации датчикам выдвигаются повышенные требования: работоспособность при высоких значениях температуры (более 400 °C) и давления (около 10 МПа.), взрыво- и электрических, пожаробезопасность. В отличие волоконно-оптические от датчики удовлетворяют этим требованиям, а также обладают рядом преимуществ в невосприимчивости высокой виде к высокого разрешения, электромагнитному чувствительности и собственной излучению, электрической пассивности. Интерферометрические датчики с широким динамическим диапазоном и высоким разрешением являются одним из основных видов волоконно-оптических датчиков

давления (ВОДД). На сегодняшний день в ПАО «ПНППК» используется ВОДД, выдерживающий давление до 45 МПа. Однако, чувствительность датчика остается на низком уровне. Определение напряженно-деформированного состояния чувствительного элемента ВОДД является актуальной и востребованной задачей. Определение величины прогиба датчика в зависимости от давления позволяет оценить его чувствительность без проведения целью выпускной дорогостоящих экспериментов. Таким работы образом, является создание квалификационной математической модели напряженно-деформированного состояния чувствительного элемента датчика при воздействии внешнего давления как инструмента для оценки эффективности принимаемых конструкторских решений на этапе проектирования изделия. Для этого необходимо выполнить следующие задачи: 1. Определить функцию толщины чувствительного элемента датчика из экспериментальных данных; 2. Построить статическом математическую модель деформировании задачи о чувствительного элемента как круглой пластины переменной толщины; 3. Решить краевую задачу методом конечных разностей в прикладном пакете MATLAB; 4. Проверить адекватность модели путем сравнения с известными решениями и экспериментальными данными. сопоставления с

Объем и структура работы. Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем работы составляет 41 страницу, включая 21 иллюстрацию, таблицы. Список литературы содержит 25 источников. 2

Глава 1. Волоконно-оптический датчик давления Как датчиков известно, давления технических для традиционных существует ограничений, электрических большое которые сужают количество области их применения. Датчики такого типа сделаны из кремниевых диафрагм с, нанесенными на Основным минусом ухудшение полупроводниковых них, датчиков пьезорезисторами. такого свойств типа является материалов при работе в высокотемпературных средах. Для изолирования пьерорезисторов от кремниевой диафрагмы используют материалы с высокой температурой плавления (кремний). Таким образом рабочая температура увеличивается от 150⁰C до 400 ⁰C. В отличие от таких электрических датчиков, волоконнооптические датчики имеют невосприимчивость к электромагнитному излучению, высокую производительность и точность, оптические пожародатчики и взрывобезопасны. давления (ВОДД) Волоконно- были широко исследованы, но немногие из них были разработаны для работы в высокотемпературных средах. Ключевой фактор, ограничивающий использование ВОДД при высоких температурах заключается в том, что в чувствительном элементе датчика используется не только плавленый кварц (или кремний), но и другие материалы: боросиликатное стекло, полимеры, эпоксидные материалы или клеи. Несоответствие коэффициентов температурного расширения между материалами может напряжения. В дополнение тому, вызывать внутренние часто используемые при низких температурах материалы (полимеры, клеи) будут

значительно влиять на точность датчика. Волоконный датчик, сконструированный полностью с использованием плавленого кварца, обладает большим потенциалом для работы при высоких температурах. На сегодняшний день существует три основных метода измерения давления при помощи оптического волокна: 1. Модуляция интенсивности; 2. Модуляция длины волны; 3. Модуляция фазы; Измерение давления по сдвигу фазы интерферометрическими датчиками наиболее перспективно, так у датчиков такого типа получаются лучшие характеристики по сравнению с двумя другими типами датчиков, а также его можно назвать точечным, размеры измерительного элемента могут быть уменьшены до 0,1 мм . Интерферометрические датчики с высоким разрешением и большим динамическим диапазоном являются одним из основных типов ВОДД. Эти датчики представляют собой различные типы интерферометров. Интерферометр ФабриПеро (ИФП) создания является датчика наиболее давления привлекательным из-за его для простоты, чувствительности и компактности [9]. Датчик давления, в основе которого лежит интерферометр Фабри-Перо, чувствителен не только к давлению, но и к температуре, для его использования при высоких температурах нужно отделять вносимый температурный вклад от вклада давления в изменение зазора. Главными недостатками таких датчиков

являются отсутствие температурного контроля и сложность обработки сигнала и мультиплексирования, но несмотря на это датчики давления Фабри-Перо имеют перспективы применения во всех областях промышленности. 1.1. Принцип работы волоконно-оптического датчика давления Конструкция волоконно-оптического датчика давления представлена на рис.1. Выбор конструкции был определен легкодоступными и стандартными компонентами. Датчик состоит из одномодового оптического волокна (3), которое находится в феруле из cпечённой керамики (ZrO2). (2). Чувствительным элементом (ЧЭ) датчика является упругая мембрана (1), которая приклеена к феруле с помощью УФ- клея (4) и cделана такой фoрмы, чтo ee центральная часть находится на отличном уровне от боковой части. Рисунок 1. Фрагмент конструкции ВОДД: 1 – чувствительный элемент; 2– ферула; 3 – оптическое волокно; 4 – УФ-клей. В конструкции датчика между собой взаимодействуют отраженные лучи, где одна отражающая поверхность — торец оптического волокна (ОВ), а вторая — внутренняя часть тонкой мембраны (рис. 2). Благодаря обратным

отражениям от торца оптического волокна и внутренней границы мембраны интерференционная картины зависят на фотоприемнике картина. от образуется Параметры расстояния между полученной отражающими поверхностями. Под действием внешнего давления мембрана изменяет свое положение, вследствие чего изменяется длина зазора и происходит интерферометрического интерференционной смещение длины волны спектра. По сдвигу определяется величина картины давления. Рисунок 2. Отражающие плоскости ВОДД на интерферометре Фабри-Перо Определение давления по разности хода светового луча из-за деформации мембраны является одним из самых перспективных методов измерения давления в настоящее время. 1.2. Конструкция чувствительного элемента датчика Технология изготовления чувствительного элемента основана на методе жидкостного травления. Схема процесса показана на рис. 3.

Рисунок 3. Схема процесса получения ЧЭ Сперва происходит подготовка пластины: очистка в нагретом перекисно-аммиачном растворе с приложением ультразвука. защитного Далее покрытия формирование помощью происходило на пластину двухслойного магнетронного вакуумное с двух металлического распыления и напыление сторон: покрытия с термического испарения. Далее была применена фотолитография с двух сторон пластины. Происходило нанесение фоторезиста по маске, его сушка, экспонирование и проявка с получением рисунка пластины, в фоторезисте при этом на поверхности производилось обеих сторон прецизионное

совмещение таким образом, чтобы рисунки на обеих сторонах были друг напротив друга. После чего происходило травление защитного покрытия через рисунок фоторезиста в растворе HNO3- H3PO4-AcH-H2O для формирования защитной маски с обеих сторон пластины. Затем необходимо было провести измерение толщины пластины с точностью ±1 мкм для расчета времени травления пластины, необходимого для достижения диапазоне заданной 50-70 мкм. толщины мембраны, Далее происходило лежащей в жидкостное травление пластины на протяжении расчетного времени с использованием достижения сложного движения, равномерности и необходимого устранения для затенения пузырьками газов. После этого удаляют защитной маски с помощью растворов. Следующим этапом было измерение толщины изготовленных мембран с точностью ±0,2 мкм. Завершающим элементов с шагом изготовления мембранами от являлось пластины. отделение Характеристики полученной мембраны представлены в таблице 1, а фото на рисунке 4. Таблица 1. Параметры мембраны ВОДД Параметр Материал Толщина мембраны, мкм Воздушный зазор, мкм Радиус чувствительной части, мкм Значение Кварцевое стекло 50 450 300

Рисунок 4. а) общий вид мембраны под микроскопом; б) общий вид внешней стенки мембраны; в) вид чувствительной части мембраны.

1.3. Методы расчета напряженно-деформированного состояния чувствительного элемента В работах [5,8], связанных с расчетом напряженнодеформированного состояния чувствительного элемента, в качестве математической модели используется классическое представление круглой пластины постоянной толщины. В таком случае решение строится на основании общих гипотез Кирхгофа:  Гипотеза прямых нормалей – при изгибе нормали к срединной поверхности не искривляются и остаются перпендикулярными к деформируемой срединной поверхности . Эта гипотеза позволяет установить простые зависимости между деформацией в любой точке пластины и ее срединной поверхностью. В срединной поверхности пластина не испытывает никаких деформаций. При изгибе срединная поверхность остается нейтральной;  Прямой отрезок, нормальный к срединной поверхности, не растягивается и не сжимается. Точки пластины, лежащие до нагружения на нормали к срединной поверхности, всегда остаются на этой нормали;  Нормальными напряжениями в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности, допустимо пренебрегать. Основываясь на этих допущениях все компоненты напряжений можно выразить через прогиб w или угол поворота сечения  от обобщенной координаты – радиуса r. В

нашем случае круглая пластинка радиуса а несет нагрузку интенсивностью q (рис.5), равномерно распределенную по всей поверхности пластинки. Рисунок 5. Схема нагружения. Уравнение равновесия имеет вид: Mr+ (1) d Mr r −M t +Qr =0, dr где M t и M r – изгибающие моменты по окружному и диаметральному сечению соответственно. Соотношения для моментов: d 2 ω ν dω M r=−D + ∙ , d r 2 r dr ( ) (2) M t=−D ( 2 1 dω d ω ∙ +ν ∙ . r dr dr2 ) где ν – коэффициент Пуассона. Подставим выражения моментов (2) в уравнение (1). Тогда уравнение равновесия примет вид:

d3 ω 1 d 2 ω 1 dω Q + − = ; d r 3 r d r 2 r 2 dr D (3 ) Интегрирование уравнения (3) упрощается, если заметить, что его можно представить следующим образом: d 1 d dω Q ∙ r = dr r dr dr D [ ( )] (4) где D – цилиндрическая жесткость. Величина перерезывающей силы Q на расстоянии r от центра пластинки определяется из уравнения: 2 π rQ=π r 2 q ; Откуда Q= qr . 2 Подставив полученное выражение в уравнение (4), получаем: d 1 d dω qr ∙ r = , dr r dr dr 2D [ ( )] (5) При повторном интегрировании уравнения (5), получим : φ= q r 3 C1 r C2 + + , 16 D 2 r (6) Следующее интегрирование дает: 2 q r 4 C1 r r ω= + + C2 ln +C 3 64 D 4 a (7

) Определим константы, учитывая граничные условия: 1. r=0 ;φ=0 ; 2. r=a ; φ=0 ; 3. r=a ; ω=0 ; где а – радиус внешнего контура. Из C 1= первого и второго граничного условия следует −q ∙ a2 , C 2=0. 8D Окончательно уравнение (6) примет вид: φ= qr ( a2 −r 2 ) . 16 D Из уравнения (7) получим С3: ω= q r 4 q a2 r 2 q a4 + +C 3 =0 ;C 3 = . 64 D 32 D 64 D Окончательное уравнение прогибов запишем как: ω= 2 q ( a2−r 2 ) 64 D (8 Радиальные и окружные нормальные напряжения равны: σr= σt= 6 Mr h2 6 Mt h2 ; . )

В соответствии с условием жесткости σ r max = 6 M r max h2 ≤ ¿– 5% будет проводится регулировка толщины сечения. Изменение напряжений σ r и σ t для нижней поверхности пластинки вдоль ее радиуса показано на рис.6. Рисунок 6. Зависимость напряжений от радиуса. Однако данное решение непригодно для чувствительного элемента ввиду того, что его поверхность искривлена. В связи с этим геометрические зависимости необходимо, характеристики от радиуса), во-первых, мембраны во-вторых, определить (толщину в построить математическую модель для круглой пластины переменной толщины. Глава 2. Поиск аппроксимирующей функции для толщины чувствительного элемента 2.1. Обработка экспериментальных данных координат криволинейной поверхности чувствительного элемента

Изготовленный ЧЭ имеет криволинейную чувствительную поверхность, координаты которой измерены с помощью оптического профилометра (Рис.7). Рисунок 7. Измерение геометрии. Для получения координат в метрических единицах их необходимо умножить на масштабные коэффициенты: xi =M k ∙ x 'i y i =M k ∙ y 'i z i =M n ∙ z 'i где M k, M n – масштабные коэффициенты; x', y ' и z ' - координаты оптического профилометра; i – номер измерения. Далее сдвигается геометрический центр ЧЭ в начало координат:

x0i =xi −x ц y 0i =y i −y ц z 0i =z i−z min где z min – минимальное значение координаты z ; xц и y ц - координаты x и y соответствующие z min. После этого осесимметричному осуществляется телу ( z0 – ось переход симметрии) к путем преобразований: z 0i =z 0i r 0i =√ x 0i2 + y 0i2 Получается зависимость z0(r0) (Рис.8). Рисунок 8. Зависимость координаты z0 от радиуса r0.

В предположении о симметричности ЧЭ относительно срединной плоскости толщина есть: H i=H 0 + 2∙ z 0i (r ) где H 0=5 ∙ 10−5 м – толщина центральной части ЧЭ. Результат представлен на рисунке 9. Рисунок 9. Зависимость толщины (H) от радиуса (r). 2.2. Аппроксимация толщины с помощью метода наименьших квадратов Толщина Hi может быть представлена полиномиальной функции: H i=H 0 + α1 r i1 +α2 r i2 +⋯+α j r i j где αn – неизвестные коэффициенты. в виде

Преобразование к матричному виду функции толщины дает переопределенную систему линейных алгебраических уравнений A=BX r 11 ⋯ r 1 j H 1−H 0 α1 A= X = B= ⋮ ⋱ ⋮ , ⋮ ⋮ где , 1 j H i −H 0 αj ri ⋯ ri { } [ ] {} Коэффициенты α j находятся с помощью метода наименьших квадратов, минимизации суммы который квадратов заключается разностей левой в и правой частей уравнений системы, то есть T ( A−BX ) ( A− BX ) →min Равенство нулю первой производной дает выражение для X T T X =( B B) B A −1 Суммарная ошибка аппроксимации ε=∑ | A−BX| В качестве аппроксимирующих рассмотрим 7 функций (все возможные варианты до полинома 3-й степени). Для отыскания неизвестных коэффициентов была написана программа в пакете MATLAB (приложение 1). Найденные

коэффициенты и суммарные ошибки представлены в таблице 2. Таблица 2. Коэффициенты аппроксимирующих функций. № 1 Функция H 0 +α1 r 2 α1 α2 α3 ε 0,02182 0 0 0,2589 0 2 0,1028 0 8 0,0503 1 0 H 0 +α2 r 2 3 H 0 +α1 r +α 2 r 2 4 H 0 +α1 r +α 3 r 3 6 H 0 +α2 r 2 + α3 r 3 7 H 0 +α1 r +α 2 r 2 +α3 r 3 На рисунке 152,97 0,01254 0 6 0 H 0 +α3 r 3 5 99,387 10 0 0,00177 19 0 0 16,823 0,00360 -18,958 410940 0,0410 381070 2 0,0318 342590 1 0,0335 427200 3 0,0317 45 3 представлены аппроксимирующие функции изменения толщины в сравнении с обработанными экспериментальными данными. Из рисунка видно, что добавление слагаемого α3 r 3 позволяет адекватно описать толщину ЧЭ.

Рисунок 10. Сравнение функции толщины с экспериментальными данными. На рисунке функции масштабе. 11 содержащие представлены слагаемые аппроксимирующие α3 r 3 в увеличенном

Рисунок 11. Сравнение функции толщины с экспериментальными данными в увеличенном масштабе. Из рисунка 11 и таблицы 1 видно, что функция H=H 0 + α1 r +α3 r 3 наиболее приближенно к экспериментальным данным описывает толщину. Глава 3. Напряженно-деформированное состояние чувствительного элемента 3.1. Задача о статическом деформировании чувствительного элемента Дана пластина переменной толщины, на которую деформирования круглой действует распределенная нагрузка (рис. 15). Рисунок 12. Схема нагружения. Уравнение статического пластины имеет вид: D ( ∂ 4 w 2 ∂ 3 w 1 ∂2 w 1 ∂w ∂ D ∂3 w 2+v ∂2 w 1 ∂ w ∂2 D ∂2 w v ∂ w + − + + 2 + − + + (9) =q ,r ∈ ∂r r ∂ r2 r2 ∂r ∂r 4 r ∂ r 3 r 2 ∂r 2 r 3 ∂ r ∂r3 ∂r2 ∂ r2 r ∂ r ) ( где w – прогиб; r – координата; ) ( )

q – внешняя нагрузка; D= E H3 – цилиндрическая жесткость; 12 ( 1−ν2 ) E – модуль упругости; ν – коэффициент Пуассона; H=H 0 + α1|r|+α 3|r 3|– функция толщины; H 0 – толщина в центре пластины; α1 ,α 3 – коэффициенты, определенные из экспериментального измерения профиля (п.2.2). При r =± R ставятся граничные условия жесткой заделки: ω=0, (10 ∂ω =0, r ∈± R . ∂r ) Численные данные: E=7,4∙1010 Па, ν=0,2, q=4,5 ∙10 7 Па, H 0=5 ∙ 10−5 м, α1 =0,0017719 м−3 , α3=381070 м−3 . Соотношения изгибающих моментов: M r= EH d2 ω ν dω ∙ + ∙ , 2(1−ϑ 2) d r 2 r dr [ ] EH 1 dω d2 ω M t= ∙ ∙ +ν ∙ . 2(1−ϑ2 ) r dr dr2 [ ] Соответствующие напряжения: σ r= σt= E( H 0+ α1|r|+α 3|r 3|) ∙ 2(1−ϑ2 ) E( H ¿¿ 0+α 1|r |+α3|r 3|) 2 (1−ϑ 2 ) ¿ [ 1 d 2 ω ϑ dω ∙ + ∙ , h2 d r 2 2 rh dr ] ϑ d2 ω 1 dω ∙ 2∙ + ∙ . 2 2rh dr h dr [ ] R=2,9 ∙10−4 м,

3.2. Конечно-разностная аппроксимация краевой задачи Ввиду того, что аналитического решения поставленной краевой задачи в классе элементарных функций не существует, используем метод конечных разностей. Основная идея метода – замена производных в дифференциальном уравнении и граничных условиях конечно-разностными аналогами. Введём равномерную сетку: { ( ẃ= r i = i− N +1 2R h , i=1 ,´N ,h= 2 N−3 ) } где h – шаг; N – количество узловых точек (четное). Заменим производные на конечно-разностные аналоги на данной сетке: ∂w wi+1−w i−1 ∂ 2 w wi+1−2 wi +wi−1 = ; = ; ∂r 2h ∂r2 h2 ∂3 w wi+2−2 wi+1 +2 wi−1−wi−2 = ; ∂r3 2 h3 (11 ) ∂4 w w i+2 −4 wi+1 +6 wi −4 wi−1 +wi−2 = ; ∂r4 h4 Подставим (11) в основное дифференциальное уравнение (9): ar wi−2 +b r wi−1 +cr wi +d r wi+ 1+ er w i+2 =f r , i∈ [ 3 , n−2 ] , где: ∂D ∂D D r +r D r +r ( ) ( ∂r ∂r ) Dr Dr a = − ,e = + r ( 2 3 3 h4 h3 ) ( r 2 3 3 h4 h3 ) (12 )

( ( ( br = c r= br = 3 −4 Dr + h4 3 6Dr − h4 3 ( 2 2 D r +r ∂D ∂r h3 ( 2 −Dr + −4 Dr − h4 3 ) +( −Dr + ∂D ∂2 D ( 2+ v ) r 2 + 2 r 3 ∂r ∂r ) h2 ∂D 2 D r +r ∂r ( h3 3 )+( − h2 ∂D ∂2 D ( 2+v ) r 2+ 2 r 3 ∂r ∂r 2 )( −Dr+ D− 2 ∂D 2∂ D r +v r 2 ∂r ∂r ) ) , ) ) , 2h ) ∂D ∂2 D ( 2+v ) r 2 + 2 r 3 ∂r ∂r )( h2 D− + 2 ∂D 2∂ D r +v r 2 ∂r ∂r 2h f r =q r 3 Дополним (12) граничными условиями: (13 w2 =0,w 1−w3 =0, ) wn+1=0, wn−2 −wn=0. Полученные выражения (12) и (13) образуют полную систему линейных алгебраических уравнений. 3.3. Реализация вычислительного алгоритма Формируем матрицу коэффициентов перед неизвестными и вектор сил: [ w1 0 1 0 −1 0 0 … 0 ¿ w 2 0 0 1 0 0 0 … 0 w f a b c d e … 0 3 ¿ 0 a b c d … 0 ∙ w4 = f … …… …… …… …… …… …... … f 0 … a b c d e wn−2 0 0 … 0 0 0 1 0 wn−1 0 0 … 0 0 1 0 −1 wn ]{ }{ } (14 )

Для решения системы (14) воспользуемся методом обратной матрицы: −1 w1 1 0 −1 0 0 … 0 ¿ w2 0 1 0 0 0 … 0 w3 a b c d e … 0 ¿ w4 = 0 a b c d … 0 ∙ … …… …… …… …… … …... … 0 … a b c d e wn−2 0 … 0 0 0 1 0 wn−1 0 … 0 0 1 0 −1 wn { }[ 0 0 f f … f 0 0 ] {} (15 Результат вычисления прогиба представлен на рисунке 13. Рисунок 13. График зависимости прогиба от радиуса. )

Данное решение сходится при увеличении числа точек разбиения N (рис.14) Рисунок 14. График сходимости максимального прогиба. Также оценить правильность решения можно, сравнив получившиеся результаты с уже известными решениями (п.1.3). Рассмотрены два случая нагружения пластины того же радиуса, но постоянной толщины (Рис.15).

Рисунок 15. Пластина постоянной толщины. В первом случае используется минимальная толщина исходной пластины 50 мкм, во втором – средняя 52,6 мкм. Функция прогиба для этих двух случаев: 3 q ( 1−ϑ 2 ) w ( r )= ¿ 16 E H 3

Результаты расчетов всех трех случаев изображены на рисунке 16. Рисунок 16. График зависимости прогиба от длины: 1 – пластина с толщиной 50 мкм; 2 – пластина переменной толщины; 3 – пластина с толщиной 52,6 мкм. Так как результат решения нашей задачи находится в диапазоне между двумя известными решениями, можно полагать, что наше решение верно. Из полученного решения вектора узловых неизвестных перейдем к напряжениям. В чувствительном элементе возникают радиальные — σ r и окружные напряжения — σ t . Их конечно-разностная аппроксимация:

{ H 0 (1+α|r 3|) 1 ϑ [ 2 ( wi+1−2 wi +wi−1 ) + ( w −w i−1 ) ] 2 2 rh i+1 2(1−ϑ ) h H 0 (1+α|r 3|) ϑ 1 σ t=E [ 2 ( w i+1 −2wi +w i−1 ) + ( w −wi−1 ) ] 2 2rh i+1 2(1−ϑ ) h σ r =E Результат расчета изображен на рисунке 17. Рисунок 17. График зависимости напряжений от длины: 1 – σt; 2 – σr . 3.4. Экспериментальное исследование прогиба чувствительного элемента датчика Проведены испытания чувствительного элемента. Схема эксперимента показана помещался герметическую в на рисунках 18 барокамеру и и 19. с ВОДД помощью

циркулятора был подключен к источнику излучения и спектроанализатору. Производилась закачка газа (воздух) в камеру с помощью насоса. Давление изменялось в пределах от 0 до 50 МПа с шагом в 5 МПа. Рисунок 18. Схема экспериментальной установки. Рисунок 19. Фото барокамеры для исследования ВОДД. Результаты эксперимента представлены на рисунке 20. Из рисунка видно линейное поведение прогиба от воздействующего давления. Также необходимо отметить, что

разрушение чувствительного элемента происходит при давлении свышее 45 МПа. Рисунок 20. График зависимости смещения от прикладываемого давления. На рисунке 21 показаны результаты расчета максимального прогиба в центре пластины в зависимости от давления в сравнении с экспериментальными данными.

Рисунок 21. График зависимости смещения от прикладываемого давления: 1 – экспериментальные данные; 2 – расчетные данные. Из рисунка видно, что математическая модель адекватно описывает деформирование чувствительного элемента, а, следовательно, может быть использована в качестве инструмента для проверки эффективности конструкторских решений, направленных характеристик. на изменение геометрических

Заключение В ходе работы чувствительным мембрана. В исследован элементом основе интерферометр происходит был которого работы давления, является датчика Фабри-Перо. изменения датчик тонкая давления Под действием положения мембраны, лежит давления по этому изменению можно определять давление, оказываемое на датчик. Была проведена обработка экспериментальных измерений геометрии ЧЭ с последующей аппроксимацией толщины на известные функции с использованием метода наименьших квадратов. Построенные графики и рассчитанные ошибки аппроксимации позволили определить конкретный вид функции толщины, которая была использована в уравнении изгиба круглой пластины. Численное интегрирование краевой задачи позволило получить значения прогибов, окружных и радиальных напряжений при заданной распределенной нагрузке. Показана сходимость решения на наборе сгущающихся сеток: при увеличении количества узлов решение стремится к постоянному значению. Полученные давления хорошо значения прогибов согласуются с в зависимости от экспериментальными данными, следовательно, математическая модель адекватно описывает может деформирование быть проверки использована эффективности чувствительного в качестве элемента инструмента конструкторских и для решений, направленных на изменение геометрических характеристик.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки: Пер. с англ. – М.: Наука, 1966. 2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: ФМ, 1964. 3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 4. Pandey N. K., Yadav B. C. Fibre optic pressure sensor and monitoring of structural defects //Optica applicata. – 2007. – Т. 37. – №. 1/2. – С. 57. 5. Wang X. et al. All-fused-silica miniature optical fiber tip pressure sensor //Optics letters. – 2006. – Т. 31. – №. 7. – С. 885-887. 6. Antunes P. F. C. et al. Optical fiber microcavity strain sensors produced by the catastrophic fuse effect //IEEE Photonics Technology Letters. – 2014. – Т. 26. – №. 1. – С. 78-81. 7. Domingues M. F. et al. Cost-effective optical fiber pressure sensor based on intrinsic Fabry-Perot interferometric microcavities //Optical Fiber Technology. – 2018. – Т. 42. – С. 56-62. 8. .Zhu Y., Wang A. Miniature fiber-optic pressure sensor //IEEE Photonics Technology Letters. – 2005. – Т. 17. – №. 2. – С. 447449. 9. Wang Y. et al. An optical fiber MEMS pressure sensor using microwave photonics filtering technique //25th International Conference on Optical Fiber Sensors. – International Society for Optics and Photonics, 2017. – С. 1032368-1032368-4.

10. Ming W. et al. A novel optical fibers MEMS pressure sensor //Journal of Physics: Conference Series. – IOP Publishing, 2006. – Т. 34. – №. 1. – С. 996. 11. Berthold J. et al. Apparatus for continuous readout of fabry-perot fiber optic sensor : заяв. пат. 11/726,273 США. – 2007. 12. Lopushansky R. L., Berthold J. W. Method and apparatus for continuous readout of Fabry-Perot fiber optic sensor : пат. 7492463 США. – 2009. 13. Пустовой В. И. , Лихачев И. Г. Волоконно- оптическое устройство измерения давления : пат. 2509994 РФ. – 2012. 14. Удд Э. Волоконно-оптические датчики. М.: Техносфера, 2008. 520 с 15. Доннелл Л.Г. Балки, пластини и оболочки: Пер. с англ./ Под ред. Э.И. Григолюка. – М.: Наука, 1982. 16. Оптоволоконные сенсоры: принципы и компоненты. Вып. 1: Пер. с англ. /Под ред. Дж. Дейкина, Б. Калшо. - М.: Мир, 1992. 17. Абраменко Т. В., Гориш А. В., Кириллов А. Б., Котов А. Н. Общие принципы конструирования датчиковой аппаратуры для измерения различных физических параметров. Международный симпозиум «Надежность и качество», труды международного симпозиума, 27 мая - 2 июня 2002, с. 202-204, Пензенский государственный университет, Пенза, 2002г.

18. Котов А. Н. Тенденция современного развития ВОД. VHI СанктПетербургская международная конференция «Региональная информатика - 2002 (РИ -2002), материалы конференции, часть 2, с. 17, 26-28 ноября 2002, СанктПетербург. 19. Мурашкина Т. И. Теория, расчет и проектирование волоконно-оптических измерительных приборов и систем. Учебное пособие. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та. -1999. 133 с. 20. Мурашкина Т. И., Новиков В. В., Цибизов П. В. Проектирование волоконно-оптических датчиков давления и перемещения / Методические указания к курсовому проекту. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2000. 21. J. Sirkis, T. A. Berkoff, R. T. Jones, H. Singh, A. D. Kersey, E. J. Friebele, and M. A. Putnam, J. Lightwave Technol. 13, 1256, 1995. 22. X. Wang, J. Xu, Y. Zhu, B. Yu, M. Han, K. Cooper, G. Pickrell, and A. Wang, in Conference on Lasers and ElectroOptics/Quantum Electronics and Laser Science Conference (CLEO/QELS) 2005 (Optical Society of America, 2005; CD ROM) 23. Zhu, T.; Wu, D.; Liu, M.; Duan, D.W. In-Line Fiber Optic Interferometric Sensors in Single-Mode Fibers. Sensors 2012, 12, 10430–10449 24. J. Han, J. Y. Kim, T. S. Kim, and J. S. Kim, “Performance of Fabry-Perot microcavity structures with corrugated diaphragms,” Sens. Actuators A 79, 162-72, 2000.

25. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon Press, Oxford, 1980) Приложение 1 clc clear all close all %% Импорт данных r и H rH = importdata('rH.txt'); %% Формирование столбца A A = rH(:,2)-0.00005; %% Формирование матриц B для 7 функций B1(:,1) = rH(:,1); B2(:,1) = rH(:,1).^2; B3(:,1) = rH(:,1); B3(:,2) = rH(:,1).^2;

B4(:,1) B5(:,1) B5(:,2) B6(:,1) B6(:,2) B7(:,1) B7(:,2) B7(:,3) = = = = = = = = rH(:,1).^3; rH(:,1); rH(:,1).^3; rH(:,1).^2; rH(:,1).^3; rH(:,1); rH(:,1).^2; rH(:,1).^3; %% МНК для 7 функций alpha1 = (B1'*B1)\(B1'*A); alpha2 = (B2'*B2)\(B2'*A); alpha3 = (B3'*B3)\(B3'*A); alpha4 = (B4'*B4)\(B4'*A); alpha5 = (B5'*B5)\(B5'*A); alpha6 = (B6'*B6)\(B6'*A); alpha7 = (B7'*B7)\(B7'*A); %% Расчет ошибок eps(1) = sum(abs(A-B1*alpha1)); eps(2) = sum(abs(A-B2*alpha2)); eps(3) = sum(abs(A-B3*alpha3)); eps(4) = sum(abs(A-B4*alpha4)); eps(5) = sum(abs(A-B5*alpha5)); eps(6) = sum(abs(A-B6*alpha6)); eps(7) = sum(abs(A-B7*alpha7)); Приложение 2 clc close all clear all q =42.5*10.^6; ho = 5*0.00001; alp1 = 0.0017719 ; alp2=381070; E = 74*10.^9; v = 0.2; R = 2.9*0.0001; n = 50; h = 2*R/(n-3); x = -R-h:h:R+h; p = q*12*(1-v*v)/(E*ho*ho*ho);

k = zeros(n,n); V = zeros(n,1); for i = 1:numel(x) r(i) = x(i); H1(i) = ho+alp1*abs(r(i))+alp2*(abs(r(i).^3)); D(i)=E*H1(i).^3/(12*(1-v^2)); end %производные% % dfD(1)=D(1)/(2*h); % dfD(numel(x))=D(numel(x)-1)/(2*h); % df2D(1)=D(1)/(h*h); % df2D(numel(x))=D(numel(x)-1)/(h*h); dfD(1)=alp1+3*alp2*r(1).^2; dfD(numel(x))=alp1+3*alp2*r(numel(x)).^2; df2D(1)=6*alp2*r(1); df2D(numel(x))=6*alp2*r(numel(x)); for i=1:numel(x) dfD(i)=alp1+3*alp2*(r(i).^2); df2D(i)=6*alp2*r(i); end for i = 1:numel(x) a(i) = (D(i)*(r(i).^3))/(h.^4)(D(i)*r(i).^2+r(i).^3*dfD(i))/h.^3; b(i) = (-4*D(i)*(r(i).^3))/h.^4+2*(D(i)*(r(i).^2)+ ((r(i).^3)*dfD(i)))/h^3+(-D(i)*r(i) +dfD(i)*(2+v)*(r(i).^2)+df2D(i)*(r(i).^3))/h.^2-(D(i)dfD(i)*r(i)+df2D(i)*v*(r(i).^2))/(2*h); c(i) = (6*D(i)*(r(i).^3))/h.^4-2*(-D(i)*r(i) +dfD(i)*(2+v)*(r(i).^2)+df2D(i)*(r(i).^3))/h.^2; d(i) = (-4*D(i)*(r(i).^3))/h.^4-2*(D(i)*(r(i).^2)+ ((r(i).^3)*dfD(i)))/h^3+(-D(i)*r(i) +dfD(i)*(2+v)*(r(i).^2)+df2D(i)*(r(i).^3))/h.^2+(D(i)dfD(i)*r(i)+df2D(i)*v*(r(i).^2))/(2*h); e(i) = (D(i)*(r(i).^3))/(h.^4)+ (D(i)*r(i).^2+r(i).^3*dfD(i))/h.^3; end k(1,1) = 1; k(1,3) = -1; k(2,2) = 1; k(n,n) = 1; k(n,n-2) = -1; k(n-1,n-1) = 1; for i = 3:n-2 f(i) = (r(i).^3)*q; k(i,i-2) = a(i); k(i,i-1) = b(i);

k(i,i) = c(i); k(i,i+1) = d(i); k(i,i+2) = e(i); V(i) = f(i); end y = k\V; % y(2) = 0; w = y(2:end-1); x1 = -R:h:R; figure; plot(x1,w); grid on xlabel('Длина'); ylabel('Прогиб'); for i = 2:n-1 Gr(i) = -E*H1(i)*((y(i+1)-2*y(i)+y(i-1))/(h*h)+v*(y(i+1)y(i-1))/(2*r(i)*h))/(2*(1-v*v)); Gt(i) = -E*H1(i)*(v*(y(i+1)-2*y(i)+y(i-1))/(h*h)+(y(i+1)y(i-1))/(2*r(i)*h))/(2*(1-v*v)); G(i) = sqrt(Gr(i).^2+Gt(i).^2-Gr(i)*Gt(i)); end Gr = Gr(2:end); Gt = Gt(2:end); G = G(2:end); figure; hold on grid on; plot(x1,Gr,'m-') plot(x1,Gt,'r-') plot(x1,G,'g-') hold off xlabel('Длина'); ylabel('Gt Gr G');

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв