ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Êàôåäðà òåîðåòè÷åñêîé è ïðèêëàäíîé ìåõàíèêè
Òàðàñîâ Àíäðåé Âèêòîðîâè÷
Îäíîîñíîå ðàñòÿæåíèå áåñêîíå÷íûõ ïëàñòèí ñ ýëëèïòè÷åñêèìè âñòàâêàìè
Äèïëîìíàÿ ðàáîòà
Äîïóùåíà ê çàùèòå.
Çàâ. êàôåäðîé:
ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð Òîâñòèê Ï.Å.
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð Áàóýð Ñ.Ì.
Ðåöåíçåíò:
ê.ô.-ì.í., ñ.í.ñ., Çèìèí Á.À.
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2016
SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY
Faculty of Mathematics and Mechanics
Department of Theoretical and Applied Mechanics
Tarasov Andrey Viktorovich
In nite plates with elliptic inclusions under uniaxial pressure
Graduate work
Allowed to a presentation.
A Head of department:
Doctor of Mathematics and Physics, professor Tovstik P.E.
Scienti c advisor:
Doctor of Mathematics and Physics, professor Bauer S.M.
Reviewer:
Candidate of Mathematics and Physics Sciences, Senior Researcher, Zimin B.A.
St.Petersburg
2016
Îãëàâëåíèå
1
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
2
2
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
3
3
ÐÅØÅÍÈÅ, ÏÎËÓ×ÅÍÍÎÅ Â ÐÀÁÎÒÅ ÕÀÐÄÈÌÀÍÀ
5
4
ÐÅØÅÍÈÅ, ÏÎËÓ×ÅÍÍÎÅ Â ÐÀÁÎÒÅ ÌÀËÜÊÎÂÛÕ
8
5
ÑÐÀÂÍÅÍÈÅ
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
6
10
Ñðàâíåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðÿæåíèé . . . . . . . . . . .
Ñðàâíåíèå ñ àíàëèòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ
Ñîáëþäåíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè . . . . . . . . . . . . .
Ñðàâíåíèå ñ äàííûìè, ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ ANSYS . . .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
13
16
18
19
20
1
Ãëàâà 1
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ àêòèâíî èçó÷àþòñÿ íîâûå ìàòåðèàëû äëÿ íóæä ïðîìûøëåííîñòè âî
ìíîãèõ îòðàñëÿõ: ìàøèíîñòðîèòåëüíîé, àâòîìîáèëåñòðîèòåëüíîé, êîñìè÷åñêîé è ò.ï. Â
ñâÿçè ñ ýòèì íà ïåðâûé ïëàí âñå ÷àùå è ÷àùå âûõîäÿò êîìïîçèòíûå ìàòåðèàëû. Ñ èõ
ïîìîùüþ ìîæíî ñîçäàòü ìàòåðèàë ïî çàäàííûì êðèòåðèÿì. Òàêèì îáðàçîì, òåìà
èññëåäîâàíèÿ íàïðÿæåííî-äåôîðìèðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ êîíñòðóêöèé ñ âêëþ÷åíèÿìè
èç äðóãèõ ìàòåðèàëîâ ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé.
Çàäà÷à î äåôîðìàöèè áûëà ðåøåíà Hardiman N.J. åù¼ â 1954 ãîäó â ðàáîòå [1]. Íî â 2015
ãîäó ïîÿâèëàñü ñòàòüÿ Ìàëüêîâà Â.Ì., Ìàëüêîâîé Þ.Â. [2], â êîòîðîé àâòîðû óòâåðæäàþò,
÷òî ïîëó÷èëè òî÷íîå ðåøåíèå, îòëè÷íîå îò ðåøåíèÿ Õàðäèìàíà. Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü,
îòëè÷àþòñÿ ëè ýòè ðåøåíèÿ äðóã îò äðóãà. Åñëè îòëè÷àþòñÿ, òî êàêîå èç íèõ ÿâëÿåòñÿ
âåðíûì.
Öåëü äàííîé ðàáîòû ñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé ïðè ðàññìîòðåíèè ðàñòÿæåíèÿ
ïëàñòèí ñ ýëëèïòè÷åñêîé âñòàâêîé.
Äëÿ äîñòèæåíèÿ ïîñòàâëåííîé öåëè íåîáõîäèìî ðåøèòü ñëåäóþùèå çàäà÷è:
• ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ íàïðÿæåíèé ïî äâóì èññëåäîâàíèÿì
• ïðîâåñòè ñðàâíåíèå äëÿ ïîëó÷åííûõ íàïðÿæåíèé
• îïðåäåëèòü ïëîñêîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè
Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ ïëîñêî-íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå â ïëàñòèíàõ.
Ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ ðàñòÿæåíèå ïëàñòèí ñ óïðóãîé âñòàâêîé.
 ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ âûâîäû èç ðàáîò Hardiman N.J. [1]; Ìàëüêîâ Â.Ì., Ìàëüêîâà
Þ.Â. [2]; Ìóñõåëèøâèëè Í.È. [3]; Êà÷àíîâ Ì.Ë. [4]. Ïî ýòîé è ñìåæíûì òåìàì òàêæå
ïîñâÿùåíû ðàáîòû Eshelby J.D. [5]; Sendeckyj G.P. [6]; Theocaris P.M., Iokamidis N.I. [7];
Bercia R. [8].
Ñîäåðæàíèå äèïëîìíîé ðàáîòû.
Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îáîçíà÷åíèÿ, èñïîëüçóåìûå â
äàëüíåéøåì.
Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ðåøåíèÿ Õàðäèìàíà (Hardiman) [1].
×åòâ¼ðòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ðåøåíèÿ Ìàëüêîâûõ [2].
 ïÿòîé ãëàâå ïðåäñòàâëåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåøåíèé.
2
Ãëàâà 2
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Èìååòñÿ áåñêîíå÷íàÿ ïëàñòèíà ñ ýëëèïòè÷åñêîé âñòàâêîé ñ ïîëóîñÿìè a è b. Ïëàñòèíà
ðàñòÿãèâàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû P âäîëü îñè Ox. Ïàðàìåòðû âñòàâêè: ìîäóëü Þíãà E0 ,
êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ν0 . Ïàðàìåòðû ïëàñòèíû: ìîäóëü Þíãà E1 , êîýôôèöèåíò
Ïóàññîíà ν1 . Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ïëîòíîãî ñîåäèíåíèÿ, òî åñòü äîëæíû òîæäåñòâåííî
âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
(σnn + iσnt )0 = (σnn + iσnt )1
(ux + iuy )0 = (ux + iuy )1
ãäå
ïàðàìåòðû ñ èíäåêñîì 0 îòíîñÿòñÿ êî âñòàâêå, à ñ èíäåêñîì 1 ê ïëàñòèíå
σnn , σnt íîðìàëüíûå è êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî
ux , uy ïåðåìåùåíèÿ ïî îñÿì Ox è Oy ñîîòâåòñòâåííî
 äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ:
µi =
Ei
ïàðàìåòð Ëàìå
2(1 + νi )
κi =
3 − νi
ò.ê. â äàííîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïëîñêîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå
1 + νi
m=
a−b
ïàðàìåòð ýëëèïòè÷íîñòè
a+b
θ - óãîë ìåæäó åäèíè÷íûìè îðòàìè â ýëëèïòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
ζ = ρeiϕ ïðåäñòàâëåíèå òî÷êè ïëîñêîñòè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
ω(ζ) = R(ζ +
R=
m
)
ζ
êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè
a+b
ïðèâåä¼ííûé ðàäèóñ
2
3
(2.1)
r=
ρ
áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà ìîäóëÿ ðàäèóñ-âåêòîðà òî÷êè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè
R
e−2iθ =
ζω 0 (ζ)
çàâèñèìîñòü óãëà θ â ýëëèïòè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îò ïîëÿðíûõ
ζω 0 (ζ)
êîîðäèíàò r è ϕ
4
Ãëàâà 3
ÐÅØÅÍÈÅ, ÏÎËÓ×ÅÍÍÎÅ Â ÐÀÁÎÒÅ
ÕÀÐÄÈÌÀÍÀ
Êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû
Êîëîñîâà-Ìóñõåëèøâèëè ñëåäóþùèì îáðàçîì [1]:
(*)
σxx + σyy = <(Ω(z))
−2 · (σyy − σxx + 2iσxy ) = zΩ00 (z) − ω 00 (z)
(**)
Êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
äëÿ âñòàâêè
Ω0 = Az,
ω0 = Bz 2
äëÿ ïëàñòèíû
Ω1 = Cz +
FR
,
ζ
ω1 = Gz 2 + HR2 ln(ζ) +
JR2
ζ2
ãäå
A, B, C, F, G, J êîìïëåêñíûå ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿþùèå êîýôôèöèåíòû â ïîòåíöèàëàõ.
Îíè èìåþò âèä X = X1 + iX2
H âåùåñòâåííàÿ ïîñòîÿííàÿ
Ââèäó òîãî, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé îäíîîñíîãî ðàñòÿæåíèÿ âäîëü îñè Ox ïðè
íàãðóçêå, çàäàííîé íà áåñêîíå÷íûõ êðàÿõ, òî ñëåäóþùèå ïåðåìåííûå áóäóò èìåòü ñòðîãî
îïðåäåë¼ííûå çíà÷åíèÿ:
C1 = P
C2 = 0
G1 = −P
G2 = 0
Îñòàëüíûå ïîñòîÿííûå âûâîäÿòñÿ èç ñîîòíîøåíèé:
1
A1 = [C1 (α(a + b)2 − 2γ(a2 + b2 )) − 2γ(a2 − b2 )G1 ]
δ
1
B1 = [C1 (a2 − b2 )(1 + 2γ − α) + (1 + 2γ)(a + b)2 G1 ]
δ
5
A2 =
α=
1
(C2 αδ 0 + 2G2 γ(a2 − b2 ))
0
δ
E1
E0
γ=
E1 1
1
( − )
8 µ0 µ1
δ = (a + b)2 −
4abγ(1 + 2γ − 2α)
α
δ 0 = (a + b)2 −
4abγ
α
F1 = 2m(A1 − C1 ) + 2(B1 − G1 )
J1 = −(1 − m2 )(B1 − G1 )
F2 = −2(B2 − G2 )
J2 = (1 + m2 )(B2 − G2 )
H = 2(1 + m2 )(A1 − C1 ) + 4m(B1 − G1 )
Îïðåäåëèì Φ è Ψ êàê ïðàâûå ÷àñòè ñîîòíîøåíèé (*) è (**) ïðè ðàññìîòðåíèè ïëàñòèíû.
Òîãäà âåðíî ñëåäóþùåå:
Φ=C−
F
ζ2 − m
2
2
2
1 2F Rζ(ζ 2 + m)
Hζ (ζ + m) 2J(m − 3ζ )
Ψ=− [
+ 2G −
−
]
2
2
2
2 ζ(ζ − m)2
(ζ − m)3
(ζ − m)3
Íàïðÿæåíèÿ âî âñòàâêå ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñîîòíîøåíèé:
1
σxx = (A + B)
2
(3.1)
1
σyy = (A − B)
2
σxy = 0
(3.2)
(3.3)
Íàïðÿæåíèÿ â ïëàñòèíå ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñîîòíîøåíèé:
1
σxx = (Φ − <(Ψ))
2
1
σyy = (Φ + <(Ψ))
2
1
σxy = =(Ψ)
2
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íàïðÿæåíèé â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âîñïîëüçóåìñÿ ìàòðèöåé
ïåðåõîäà:
sin2 θ
cos2 θ
sin 2θ
σxx
σrr
2
2
cos
θ
sin
θ
−
sin
2θ
σϕϕ =
σyy
1
1
σrϕ
σxy
− sin 2θ
sin 2θ cos 2θ
2
2
6
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè è ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó
òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè è ãèïåðáîëè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíûå ôîðìóëû
äëÿ íàïðÿæåíèé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
1 − <(e−2iθ )
2 −2iθ
σrr
)
σϕϕ = 1 + <(e
2
σrϕ
1
− =(e−2iθ )
2
1 + <(e−2iθ )
−2iθ
=(e
)
2 −2iθ
σxx
1 − <(e
)
−2iθ σyy
−=(e
)
2
σxy
1
−2iθ
−2iθ
=(e
)
<(e
)
2
7
Ãëàâà 4
ÐÅØÅÍÈÅ, ÏÎËÓ×ÅÍÍÎÅ Â ÐÀÁÎÒÅ
ÌÀËÜÊÎÂÛÕ
Êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû
Êîëîñîâà-Ìóñõåëèøâèëè ñëåäóþùèì îáðàçîì [2]:
σrr + iσrϕ = Φ(z) + Φ(z) − G(z)
σϕϕ − iσrϕ = Φ(z) + Φ(z) + G(z)
ãäå
Φ(z) = Φ(ζ) =
ϕ0 (ζ)
ω 0 (ζ)
(4.1)
Ψ(z) = Ψ(ζ) =
ψ(ζ)
ω 0 (ζ)
(4.2)
G(z) = [zΦ0 (z) + Ψ(z)]e−2iθ
ϕ(ζ) è ψ(ζ) êîìïëåêñíûå ïîòåíöèàëû
Âî âñòàâêå
ϕ1 (z) = A1 z
ψ1 (z) = B1 z
 ïëàñòèíå
ϕ0 (ζ) = ARζ − DR
1
ζ
1 (1 + m2 )ζ
1 − mζ 2
ψ0 (ζ) = BRζ − (A − 2A1 − mB1 )R − 2
AR −
DR
ζ
ζ −m
ζ(ζ 2 − m)
Ââèäó òîãî, ÷òî â íàøåé çàäà÷å çàäàíû óñèëèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè, ìîæíî îïðåäåëèòü
ïîñòîÿííûå À è Â.
A=
P
,
4
B=−
P
2
8
(4.3)
Îñòàëüíûå êîìïëåêñíûå ïîñòîÿííûå ìîæíî íàéòè èç ñîîòíîøåíèé:
A1 =
C
F +G
C = (1 + κ0 )[1 − m(m − 2)
F = (1 − m2 )
G=
B1 =
µ1 − µ0 P
]
µ0 + µ1 κ0 4
µ1 − µ0
µ1
µ1 − µ0 µ1 κ0 − µ0 κ1
µ1 + µ0 κ1
− m2
µ1
µ1
µ0 + µ1 κ0
µ1 (1 + κ0 )
P
µ0 (1 − κ1 ) + 2µ1 κ0
(m − 2) − m
A1
µ0 + µ1 κ0
4
µ0 + µ1 κ0
Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå êîíñòàíòû â 4.1,4.2,4.3, ïîëó÷èì:
G(ζ) = [
ω(ζ)
ω 0 (ζ)
Φ02 (ζ) + Ψ2 (ζ)]e−2iθ
Φ0 (ζ) = A +
Ψ0 (ζ) = B +
1
(2mA + B − 2mA1 − B1 )
ζ2 − m
(4.4)
1
ζ 2 (ζ 2 + m)
2
(A
+
mB
−
2A
−
mB
)
+
(1
+
m
)A
+
1
1
ζ2 − m
(ζ 2 − m)3
+[
1 + mζ 2
2(1 + m2 )ζ 2
+
](mA + B − 2mA1 − B1 )
(ζ 2 − m)2
(ζ 2 − m)3
(4.5)
Òîãäà íàïðÿæåíèÿ âî âñòàâêå ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñîîòíîøåíèé [2]:
σrr = 2A1 − B1 <(e−2iθ )
(4.6)
σϕϕ = 2A1 + B1 <(e−2iθ )
(4.7)
σrϕ = −B1 =(e−2iθ )
(4.8)
Íàïðÿæåíèÿ â ïëàñòèíå ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñîîòíîøåíèé [2]:
σrr = 2<[Φ0 (ζ)] − <[G(ζ)]
(4.9)
σϕϕ = 2<[Φ0 (ζ)] + <[G(ζ)]
(4.10)
σrϕ = −=[G(ζ)]
(4.11)
9
Ãëàâà 5
ÑÐÀÂÍÅÍÈÅ
Ñðàâíèì îáà ðåøåíèÿ ïî ñëåäóþùèì êðèòåðèÿì:
• ñîâïàäåíèå ñîîòâåòñòâåííûõ íàïðÿæåíèé
• ñîâïàäåíèå ñ ðåøåíèÿìè äëÿ áîëåå ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ
• ñîáëþäåíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
• âûïîëíåíèå óñëîâèÿ äëÿ íàïðÿæåíèé â ïëàñòèíå ïðè ρ → ∞
• ñðàâíåíèå ñ äàííûìè, ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ ANSYS
Ïðèìåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
σij,h íàïðÿæåíèÿ, ïîëó÷åííûå â ðàáîòå Õàðäèìàíà
σij,m íàïðÿæåíèÿ, ïîëó÷åííûå â ðàáîòå Ìàëüêîâûõ
Ïðè ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ èñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå äàííûå:
Ìåäü:
E0 = 1.25 · 109 ,
Ñòàëü: E1 = 2.1 · 109 ,
a = 3,
ν0 = 0.348
ν1 = 0.3
b=1
10
5.1
Ñðàâíåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðÿæåíèé
Íèæå ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ðàçíîñòè íàïðÿæåíèé â ðåøåíèÿõ, ñîîòíåñ¼ííûå ê íàãðóçêå P .
Ðèñ. 5.1:
i
i
σrr,h
− σrr,m
P
i
i
σϕϕ,h
− σϕϕ,m
Ðèñ. 5.2:
P
i
i
σrϕ,h
− σrϕ,m
Ðèñ. 5.3:
P
11
e
e
σrr,h
− σrr,m
Ðèñ. 5.4:
P
Ðèñ. 5.5:
e
e
σϕϕ,h
− σϕϕ,m
P
e
e
σrϕ,h
− σrϕ,m
Ðèñ. 5.6:
P
Âûâîä: íàïðÿæåíèÿ âî âñòàâêå ñîâïàäàþò c òî÷íîñòüþ äî 10−16 , íàïðÿæåíèÿ â ïëàñòèíå íå
ñîâïàäàþò, ðàçíèöà äîñòèãàåò 0.2 äëÿ σrr , 0.2 äëÿ σϕϕ è 0.08 äëÿ σrϕ
12
5.2
Ñðàâíåíèå ñ àíàëèòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè â ÷àñòíûõ
ñëó÷àÿõ
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà m = 0, ò.å. ýëëèïñ ïåðåõîäèò â êðóã. Äëÿ ýòîãî âàðèàíòà
èçâåñòíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå. [3]
Ïóñòü
β=−
2(µ1 − µ0 )
µ0 + µ1 κ0
γ=
µ0 (κ1 − 1) − µ1 (κ0 − 1)
2µ1 + µ0 (κ1 − 1)
δ=
µ1 − µ0
µ0 + µ1 κ0
β1 =
µ1 (κ0 + 1)
2µ1 + µ0 (κ1 − 1)
δ1 =
µ1 (κ0 + 1)
µ0 + µ1 κ0
Íàïðÿæåíèÿ âî âñòàâêå:
σrr =
P
(β1 + δ1 cos2ϕ)
2
(5.1)
σϕϕ =
P
(β1 − δ1 cos2ϕ)
2
(5.2)
P
σrϕ = − δ1 sin2ϕ
2
(5.3)
Íàïðÿæåíèÿ â ïëàñòèíå:
σrr =
P
R2
R2
R4
[1 − γ 2 + (1 − 2β 2 − 3δ 4 )cos2ϕ]
2
ρ
ρ
ρ
(5.4)
P
R2
R4
[1 + γ 2 − (1 − 3δ 4 )cos2ϕ]
2
ρ
ρ
(5.5)
σϕϕ =
P
R2
R4
σrϕ = − (1 + β 2 + 3δ 4 )sin2ϕ
2
ρ
ρ
13
(5.6)
Ïðèìåì îáîçíà÷åíèå:
σij,c íàïðÿæåíèÿ, ïîëó÷åííûå Ìóñõåëèøâèëè
Ðèñ. 5.7:
e
e
σrr,h
− σrr,c
P
Ðèñ. 5.8:
e
e
σϕϕ,h
− σϕϕ,c
P
Ðèñ. 5.9:
e
e
σrϕ,m
− σrϕ,c
P
14
e
e
− σrr,c
σrr,m
Ðèñ. 5.10:
P
Ðèñ. 5.11:
e
e
σϕϕ,m
− σϕϕ,c
P
Ðèñ. 5.12:
e
e
σrϕ,m
− σrϕ,c
P
Âûâîä: îáà ðåøåíèÿ â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ïðèâîäÿò ê àíàëèòè÷åñêîìó ðåøåíèþ
Ìóñõåëèøâèëè.
15
5.3
Ñîáëþäåíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
Ïðè ïîñòàíîâêå çàäà÷è áûëè óêàçàíû óñëîâèÿ íà íàïðÿæåíèÿ íà ãðàíèöå ýëëèïñà 2.1.
e
e
e
e
ïðè r = 1
, σrϕ,m
, σrr,m
, σxy,h
Íèæå ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè σxx,h
Ðèñ. 5.13:
i
e
σxx,h
− σxx,h
P
i
e
σxy,h
− σxy,h
Ðèñ. 5.14:
P
16
Ðèñ. 5.15:
i
e
σrr,m
− σrr,m
P
Ðèñ. 5.16:
e
i
− σrϕ,m
σrϕ,m
P
Âûâîä: îáà ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò òðåáóåìûì óñëîâèÿì.
17
5.4
Ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè
Ïîñêîëüêó èçíà÷àëüíî çàäàíî íàïðÿæåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè, òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ:
lim σxx = P,
|ζ|→∞
lim σyy = P,
|ζ|→∞
lim σxy = 0,
|ζ|→∞
lim σrr =
P
(1 + <(e−2iθ )) = P
2
lim σϕϕ =
P
(1 − <(e−2iθ )) = 0
2
|ζ|→∞
|ζ|→∞
lim σrϕ = 0
|ζ|→∞
Èç ôîðìóë 3.4, 3.5, 3.6 ïîëó÷èì ïðåäåëüíûå íàïðÿæåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè äëÿ ðåøåíèÿ
Õàðäèìàíà:
1
lim σxx = (C1 − G1 ) = P
|ζ|→∞
2
1
lim σyy = (C1 + G1 ) = 0
|ζ|→∞
2
lim σxy = 0
|ζ|→∞
Èç ôîðìóë 4.9, 4.10, 4.11 ïîëó÷èì ïðåäåëüíûå íàïðÿæåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè äëÿ ðåøåíèÿ
Ìàëüêîâûõ:
lim σrr = 2A − B<(e−2iθ ) = P
|ζ|→∞
lim σϕϕ = 2A + B<(e−2iθ ) = 0
|ζ|→∞
lim σrϕ = 0
|ζ|→∞
Âûâîä: îáà ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò òðåáóåìûì óñëîâèÿì.
18
5.5
Ñðàâíåíèå ñ äàííûìè, ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ
ANSYS
Ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû ANSYS áûëè ïîëó÷åíû ãðàôèêè íàïðÿæåíèé.
Ðèñ. 5.17: Ãðàôèêè íàïðÿæåíèé σxx , σyy , σxy
 ñòàòüå [2] ïðèâåä¼í ãðàôèê äëÿ σϕϕ ïðè |ζ| = 1 äëÿ îäíîîñíîãî ðàñòÿæåíèÿ âäîëü îñè Ox.
Ðèñ. 5.18: Ãðàôèê σϕϕ íà ãðàíèöå ðàçäåëà
π
Ñðàâíèì ñêà÷êè çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðÿæåíèé ïðè ϕ = 0 è ϕ = íà ãðàôèêàõ.
2
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñêà÷êè ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò.
19
Ãëàâà 6
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 äèïëîìíîé ðàáîòå áûëè èññëåäîâàíû íåêîòîðûå àñïåêòû èç òåîðèè óïðóãèõ ïëàñòèí ñ
óïðóãèìè âêëþ÷åíèÿìè.
Äëÿ îáîçíà÷åííîé çàäà÷è áûëè ðàññìîòðåíû ðåøåíèÿ Õàðäèìàíà è Ìàëüêîâûõ.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ è ñðàâíåíèÿ ðåøåíèé áûëè ïîñòðîåíû ãðàôèêè, èç êîòîðûõ âèäíî, ÷òî
îíè íå ñîâïàäàþò àáñîëþòíî, íî âåñüìà áëèçêè äðóã ê äðóãó.
Äàëåå ðàññìàòðèâàëñÿ ðÿä óñëîâèé, êîòîðûå íåïðåìåííî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ. Îáà
ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò ïîñòàâëåííûì òðåáîâàíèÿì.
Òàêæå ìîæíî âèäåòü, ÷òî âûðàæåíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðÿæåíèé èìåþò
îäèíàêîâóþ ñòðóêòóðó.
Èç âûøåñêàçàííîãî ìîæíî ñäåëàòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ðåøåíèÿ ñîâïàäàþò. Íåñîâïàäåíèÿ
ìîæíî îáúÿñíèòü âû÷èñëèòåëüíûìè îøèáêàìè, ïîñêîëüêó ñðàâíåíèå ïðîèçâîäèëîñü ñ
ïîìîùüþ ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ïàêåòîâ äëÿ ÝÂÌ.
20
Ëèòåðàòóðà
1. Hardiman N.J. Elliptic elastic inclusion in an in nite elastic plate. Q. J. Mech. Appl. Math.,
7(2):226230, 1954.
2. Ìàëüêîâà Þ.Â. Ìàëüêîâ Â.Ì. Äåôîðìàöèÿ ïëàñòèíû ñ óïðóãèì ýëëèïòè÷åñêèì âêëþ÷åíèåì. Âåñòíèê ÑÏáÃÓ, 2014.
3. Ìóñõåëèøâèëè Í.È. Íåêîòîðûå îñíîâíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè,
volume 708 ñòð. ñ èëë. Èçäàòåëüñòâî Íàóêà, 1966.
4. Tsurkov I. Kachanov M., Sha ro B. Handbook of Elasticity Solutions. Kluwer Academic
Publishers, 2003.
5. Eshelby J.D. Elastic eld outside an ellipsoidal inclusion. Proceedings of the Royal Society A:
Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 252(1271):561569, 1959.
6. Sendeckyj G.P. Elastic inclusion problems in plane elestostatics. International Journal of Solids
and Structures, 6(12):15351543, 1970.
7. Iokamidis N.I. Theocaris P.S. The inclusion problem in plane elasticity. Quarterly Journal of
Mechanics and Applied Mathematics, 30(4):437448, 1970.
8. Bercia R. Exact solution for an elliptical inclusion in plane elasticity. UPB Scienti c Bulletin,
Series A: Applied Mathematics and Physics, 73(1):1318, 2011.
21
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв