Оптимальный режим профилактики при немонотонном процессе износа

Буркина Наталья Николаевна

Оптимальный режим профилактики при немонотонном процессе износа

В работе решается задача определения оптимального режима профилактики в случае, когда опасность отказа пропорциональна степени износа наблюдаемой детали. В качестве процесса износа рассматривается кусочно монотонный процесс, а именно процесс регенерации, на интервалах монотонности которого – процесс максимумов винеровского процесса.

Общественные науки в целом

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36515f1be77c40d58c7e

UUID: 196def21-6739-4882-be09-e316c665264a

Язык: Русский

Опубликовано: почти 8 лет назад

Просмотры: 537

Буркина Наталья Николаевна

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 269829 bytes

Поделиться работой

ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÊÀÔÅÄÐÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÒÅÎÐÈÈ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÑÈÑÒÅÌ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Áóðêèíà Íàòàëüÿ Íèêîëàåâíà Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà áàêàëàâðà ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÉ ÐÅÆÈÌ ÏÐÎÔÈËÀÊÒÈÊÈ ÏÐÈ ÍÅÌÎÍÎÒÎÍÍÎÌ ÏÐÎÖÅÑÑÅ ÈÇÍÎÑÀ Íàïðàâëåíèå 010400 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà, ôóíäàìåíòàëüíàÿ èíôîðìàòèêà è îñíîâû ïðîãðàììèðîâàíèÿ . Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Ðàñîâà Ñ. Ñ. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2016

Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå 3 1 Âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ 4 1.1 Îïàñíîñòü îòêàçà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ïðîöåññ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà 6 2 3 . . Ïîñòàíîâêà çàäà÷è 7 2.1 Ïðîöåññ ðåãåíåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Ïðîöåññ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ðåøåíèå çàäà÷è 10 3.1 16 ×èñëåííîå ðåøåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàêëþ÷åíèå 19 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 20 2

Ââåäåíèå Ðàññìàòðèâàåòñÿ òåõíè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Å¼ ðåæèì ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñîñòîèò â ÷åðåäîâàíèè ïåðèîäîâ ðàáîòû è ðåìîíòà. Ïðè ýòîì ðåìîíò ìîæåò áûòü äâóõ òèïîâ: ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò è ðåìîíò ïîñëå âíåçàïíîãî îòêàçà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îïàñíîñòü îòêàçà ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíà ñòåïåíè èçíîñà íåêîòîðîé äåòàëè. Òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âîçìîæíî íàáëþäåíèå çà ïðîöåññîì èçíîñà. Â äàííîé ðàáîòå â êà÷åñòâå ïðîöåññà èçíîñà ðàññìàòðèâàåòñÿ êóñî÷íî-ìîíîòîííûé ïðîöåññ ïðîöåññ ðåãåíåðàöèè (ïðè äîñòèæåíèè íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî óðîâíÿ ïðîèñõîäèò ìãíîâåííàÿ çàìåíà äåòàëè, âñëåäñòâèå ÷åãî óðîâåíü èçíîñà ñòàíîâèòñÿ ðàâåí íóëþ), à íà èíòåðâàëàõ ìîíîòîííîñòè ïðîöåññ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà. Íåîáõîäèìî íàéòè ïðàâèëî, îïðåäåëÿþùåå ìîìåíòû âðåìåíè ïðîôèëàêòè÷åñêèõ îòêëþ÷åíèé. Â ðàáîòå [6] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå ìîíîòîííîãî ïðîöåññà èçíîñà îïòèìàëüíûì ÿâëÿåòñÿ îòêëþ÷åíèå ñèñòåìû íà ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò ñðàçó ïðè äîñòèæåíèè ïðîöåññîì óðîâíÿ b, îïðåäåëÿåìîãî èç íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ. Â ðàáîòå [5] â êà÷åñòâå ïðîöåññà èçíîñà áûë ðàññìîòðåí êóñî÷íî-ìîíîòîííûé ïðîöåññ, íà åãî èíòåðâàëàõ ìîíîòîííîñòè - îáðàù¼ííûé ãàììà ïðîöåññ. Òàì æå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå íåìîíîòîííîãî ïðîöåññà íå âñåãäà îïòèìàëüíî îòêëþ÷àòü ñèñòåìó ïðè äîñòèæåíèè ïðîöåññîì óðîâíÿ b. Âîçìîæíû ñèòóàöèè, êîãäà êàæäîå ïîñëåäóþùåå ïåðåñå÷åíèå ýòîãî óðîâíÿ ïðåäïî÷òèòåëüíåå ïðåäûäóùåãî. Â òàêîì ñëó÷àå ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò îñóùåñòâëÿòü íåöåëåñîîáðàçíî. 3

1 Âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ Ñ òî÷êè çðåíèÿ èñïîëüçóåìîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà äàííàÿ ãëà- âà îïèðàåòñÿ íà êíèãè [1, 3, 4]. 1.1 Îïàñíîñòü îòêàçà Îïðåäåëåíèå 1.1. Îòêàç ÷àñòè÷íàÿ èëè ïîëíàÿ óòðàòà èëè âèäîèçìåíå- íèå ñâîéñòâ èçäåëèé, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ïîëíîé ïîòåðå ðàáîòîñïîñîáíîñòè ñèñòåìû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ìîìåíò t = 0 ñèñòåìà íà÷èíàåò ðàáîòó, â ìîìåíò ζi ïðîèñõîäèò îòêàç. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ζi : Q(t) = P {ζi ≤ t} . Îïðåäåëåíèå 1.2. Ôóíêöèÿ P (t) = 1 − Q(t) = 1 − P {ζi ≤ t} íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé íàä¼æíîñòè. Îíà îçíà÷àåò âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû çà âðåìÿ t. Ñëåäóåò îòìåòèòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ôóíêöèè íàä¼æíîñòè: 1) P (0) = 1, 2) P (t) → 0 ïðè t → ∞, 3) ôóíêöèÿ íàä¼æíîñòè ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé. Äàäèì îïðåäåëåíèå ôóíêöèè îïàñíîñòè îòêàçà. Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýëåìåíò íåêîòîðîé ñèñòåìû ïðîðàáîòàë áåç îòêàçîâ äî ìîìåíòà âðåìåíè t. Ïóñòü ñîáûòèå A îçíà÷àåò áåçîòêàçíóþ ðàáîòó ýëåìåíòà íà (0, t), ñîáûòèå B áåçîòêàçíóþ ðàáîòó ýëåìåíòà íà (t, t1 ). Òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòîò ýëåìåíò íå îòêàæåò íà (t, t1 ): P (t, t1 ) = P {B|A} = P {AB} . P {A} Çàìåòèì, ÷òî ñîáûòèå AB ñîñòîèò â áåçîòêàçíîé ðàáîòå ýëåìåíòà íà (0, t1 ). Ñëåäîâàòåëüíî, P (t, t1 ) = 4 P (t1 ) . P (t)

Òîãäà âåðîÿòíîñòü îòêàçà: P (t1 ) P (t) − P (t1 ) = . P (t) P (t) Âîçüì¼ì òåïåðü t1 = t + ∆t, ãäå ∆t → 0. Èìååì: P (t) − P (t + ∆t) −(P (t + ∆t) − P (t)) = ∆t = Q(t, t1 ) = P (t) P (t)∆t Q(t, t1 ) = 1 − P (t, t1 ) = 1 − =− P 0 (t) ∆t + o(∆t). P (t) . Îïðåäåëåíèå 1.3. Ôóíêöèþ P 0 (t) ψ(t) = − P (t) (1) áóäåì íàçûâàòü îïàñíîñòüþ îòêàçà. Îïàñíîñòü îòêàçà ψ(t) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýëåìåíò, ðàáîòàâøèé áåç îòêàçîâ äî ìîìåíòà t, îòêàæåò â ñëåäóþùóþ åäèíèöó âðåìåíè. 1.2 Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû Â äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ çíàòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû íà îòðåçêå (0, t). Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ýòó âåðîÿòíîñòü, ðàçðåøèì óðàâíåíèå (1) îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè íàä¼æíîñòè P (t): t Z t dP (s) =− ψ(s)ds, 0 P (s) 0 Z t

t ln (P (s))

0 = − ψ(s)ds, 0 Z t P (t) ln =− ψ(s)ds, P (0) 0 Z t P (t) = exp − ψ(s)ds . P (0) 0 Ó÷èòûâàÿ òî ñâîéñòâî ôóíêöèè íàä¼æíîñòè, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò Z âðåìåíè, ýëåìåíò âñåãäà íàõîäèòñÿ â ðàáî÷åì ñîñòîÿíèè, ò.å. P (0) = 1, èìååì âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ýëåìåíòà íà (0, t): P (t) = exp Z − ψ(s)ds . 0 5 t

1.3 Ïðîöåññ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà Îïðåäåëåíèå 1.4. Ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè íàçûâàåòñÿ ïðîöåññ ξ(t), îáëàäàþùèé ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ïðè t1 < ... < tn (n ≥ 3) ðàçíîñòè ξ(t2 ) − ξ(t1 ), ..., ξ(tn ) − ξ(tn−1 ) âçàèìíî íåçàâèñèìû. Îïðåäåëåíèå 1.5. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) áóäåì íàçûâàòü âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) Ïðîöåññ ξ(t) ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè; 2) Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ(t) − ξ(s), s < t èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì 0 è äèñïåðñèåé t − s; 3) Òðàåêòîðèè ïðîöåññà ξ(t) íåïðåðûâíû. Îïðåäåëåíèå 1.6. Äëÿ íåïðåðûâíîãî îäíîìåðíîãî ïðîöåññà ξ(t) ñ íà÷àëü- íîé òî÷êîé ξ(0) = x1 åãî ïðîöåññîì ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé íàçûâàåòñÿ ïðîöåññ Θ(t) = max ξ(s). 0≤s≤t Ïóñòü D0 ìíîæåñòâî êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé ξ : R → X, èìåþùèõ íà êàæäîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà (ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ), íåïðåðûâíûõ ñïðàâà, ÷òî îïðåäåëÿåò èõ â òî÷êàõ ðàçðûâà. Ïóñòü θt : D0 → D0 îïåðàòîð ñäâèãà, f (s) ◦ θt f = (θt f )(s) = f (t + s), s, t ∈ R+ . Ïóñòü Ft íåóáûâàþùåå ñåìåéñòâî σ -àëãåáð â ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, t ∈ T ⊆ R1 : Fs ⊆ Ft ïðè s ≤ t. Âñå ýòè σ -àëãåáðû áóäåì ïðåäïîëàãàòü ïîä-σ -àëãåáðàìè îñíîâíîé σ àëãåáðû F. Îïðåäåëåíèå 1.7. Ïóñòü τ (ω) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ çíà- ÷åíèå èç T èëè çíà÷åíèå +∞. Ìû ãîâîðèì, ÷òî τ ìàðêîâñêèé ìîìåíò, åñëè äëÿ ëþáîãî t ∈ T ñîáûòèå {τ ≤ t} ∈ Ft . 6

2 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Ðàññìàòðèâàåòñÿ òåõíè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Å¼ ðåæèì ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñîñòîèò â ÷åðåäîâàíèè ïåðèîäîâ ðàáîòû è ðåìîíòà. Ïðè ýòîì ðåìîíò ìîæåò áûòü äâóõ òèïîâ: ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò è ðåìîíò ïîñëå âíåçàïíîãî îòêàçà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îïàñíîñòü îòêàçà ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíà ñòåïåíè èçíîñà íåêîòîðîé äåòàëè. Òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âîçìîæíî íàáëþäåíèå çà ïðîöåññîì èçíîñà ξ(t), à çíà÷èò è çà îïàñíîñòüþ îòêàçà ψ(ξ(t)), ãäå ψ - íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Òàê êàê äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî íàìè ïðîöåññà ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ñïðàâåäëèâî ξ(t) ≥ 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, òî äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü ψ(ξ(t)) = ξ(t). 2.1 Ïðîöåññ ðåãåíåðàöèè Â äàííîé ðàáîòå â êà÷åñòâå ïðîöåññà èçíîñà ðàññìàòðèâàåòñÿ êóñî÷íî ìîíîòîííûé ïðîöåññ ïðîöåññ ðåãåíåðàöèè ñ ìîìåíòàìè ïåðâîãî âûõîäà èç èíòåðâàëà (0; c) â êà÷åñòâå ìîìåíòîâ ðåãåíåðàöèè è ñ âîçâðàùåíèÿìè â òî÷êó 0 â ìîìåíò ðåãåíåðàöèè. Òðàåêòîðèÿ òàêîãî ïðîöåññà ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñäâèíóòûõ îòðåçêîâ íåïðåðûâíûõ íåóáûâàþùèõ ïðîöåññîâ ñî çíà÷åíèÿìè èç èíòåðâàëîâ [0; c), c > 0. Ýòîò ïðîöåññ îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ïðîöåññîâ Xk (t), ïðè÷åì Xk (0) = 0. Êàæäûé ïðîöåññ Xk (t) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì íåóáûâàþùèì ïðîöåññîì íà èíòåðâàëå [0; Sk ), ãäå Sk ïåðâûé ìîìåíò äîñòèæåíèÿ óðîâíÿ c ïîñëå k -îãî íóëÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå Sk êîíå÷íû. Òîãäà k -òûé ìîìåíò äîñòèæåíèÿ óðîâíÿ c ïîñëå 1-îãî íóëÿ τck = Pk i=1 Si êîíå÷åí è ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè k → ∞. Òîãäà ïðîöåññ ðåãåíåðàöèè îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî: X(t) = ∞ X Sk + t − τck I[τck ,τck+1 ) (t), k=1 ãäå IA (t) èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà A. τck ìîìåíòû ðåãåíåðàöèè, X(τck ) = 0, X(τck − 0) = c. Òàêîé ïðîöåññ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì îòðåçêà òðàåêòîðèè äî ìîìåíòà ïåðâîãî âîçâðàùåíèÿ íà 7

óðîâåíü íîëü, à äàëüøå èñïîëüçóåòñÿ ìàðêîâñêîå ñâîéñòâî ïðîöåññà îòíîñèòåëüíî ýòîãî ìîìåíòà. Â äàííîé ðàáîòå íà èíòåðâàëàõ ìîíîòîííîñòè â êà÷åñòâå ïðîöåññà èçíîñà ðàññìîòðåí ïðîöåññ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ñî ñäâèãîì ñ ïàðàìåòðàìè ëîêàëüíîé äèñïåðñèè D è ñäâèãà µ. Èçâåñòíî [2], ÷òî âèíåðîâñèé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì, à çíà÷èò è ïîëóìàðêîâñêèì. Ïðîöåññ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî ïîëóìàðêîâîñòè âèíåðîâñîãî ïðîöåññà [6]. Íåîáõîäèìî íàéòè ïðàâèëî, îïðåäåëÿþùåå ìîìåíòû âðåìåíè ïðîôèëàêòè÷åñêèõ îòêëþ÷åíèé. 2.2 Ïðîöåññ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû Â ðàìêàõ äàííîé ìîäåëè ïîä öèêëîì áóäåì ïîíèìàòü âðåìÿ, ïðîøåäøåå îò ìîìåíòà óñòàíîâëåíèÿ îäíîãî èç ñîñòîÿíèé äî ñìåíû ýòîãî ñîñòîÿíèÿ äðóãèì. Ïóñòü Ti ≥ 0 äëèòåëüíîñòü öèêëà, ξi (t) ÷àñòíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, t ≥ 0. Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ ïàð (Ti , ξi ), (i = 1, ∞) îïðåäåëÿåò ïðîöåññ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû ξ(t). Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òðè òèïà ÷àñòíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ: 1) Ïðîöåññ, ïðèíèìàþùèé ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå ξi (t) = S1 íà èíòåðâàëå [0, Ti ), ãäå ïîä ñîñòîÿíèåì S1 ïîíèìàåòñÿ ðåìîíò ïîñëå îòêàçà, ïîä Ti äëèòåëüíîñòü ðåìîíòà ïîñëå îòêàçà. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F1 (t), ãäå t ≥ 0, îäèíàêîâà äëÿ âñåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïåðâîãî òèïà. 2) Ïðîöåññ, ïðèíèìàþùèé ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå ξi (t) = S2 íà èíòåðâàëå [0, Ti ), ãäå ïîä ñîñòîÿíèåì S2 ïîíèìàåòñÿ ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò, ïîä Ti åãî äëèòåëüíîñòü. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F2 (t), ãäå t ≥ 0, îäèíàêîâà äëÿ âñåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ âòîðîãî òèïà. 3) Ïðîöåññ òðåòüåãî òèïà ξi : [0, Ti ) → R+ èìååò òðàåêòîðèè, íåïðåðûâíûå ñïðàâà è èìåþùèå ïðåäåëû ñëåâà. Ïîä Ti â ýòîì ñëó÷àå ïîíèìàåòñÿ ìèíèìóì ìåæäó ìîìåíòîì îòêëþ÷åíèÿ íà ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò τi è ìîìåíòîì îòêàçà ζi â i-îì öèêëå, ò.å. Ti = τi ∧ ζi . Ïóñòü Q(dξ) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, îäèíàêîâàÿ âñåõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ òðåòüåãî òèïà. Ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû ζi çàâèñèò îò ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîãî ïðî8

öåññà ξi . Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îòêàçà ζi îòíîñèòåëüíî i-îãî öèêëà ñ ÷àñòíûì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì òðåòüåãî òèïà èìååò âèä: Z t P (ζi < t | ξi ) = 1 − P (t) = 1 − exp − ξ(s)ds . 0 Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìîìåíò τi îòêëþ÷åíèÿ ñèñòåìû íà ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò, êîòîðûé íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü â êàæäîì öèêëå òðåòüåãî òèïà, çàâèñèò îò ðåàëèçàöèè ξi . Ïåðåõîäû ìåæäó öèêëàìè îñóùåñòâëÿþòñÿ ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì: 1) Ïîñëå öèêëà ïåðâîãî òèïà âñåãäà ñëåäóåò öèêë òðåòüåãî òèïà; 2) Ïîñëå öèêëà âòîðîãî òèïà âñåãäà ñëåäóåò öèêë òðåòüåãî òèïà; 3) Åñëè Ti < τi , òî ïîñëå öèêëà òðåòüåãî òèïà ñëåäóåò öèêë ïåðâîãî òèïà; 4) Åñëè Ti = τi , òî ïîñëå öèêëà òðåòüåãî òèïà ñëåäóåò öèêë âòîðîãî òèïà. 2.3 Êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè Êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè K(t) âåðîÿòíîñòü ðàáî÷åãî ñîñòîÿíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t. Îäíàêî íà ïðàêòèêå ïîä êîýôôèöèåíòîì ãîòîâíîñòè îáû÷íî ïîíèìàþò òî ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ K(t) c ðîñòîì âðåìåíè. Èìåííî òàêîé êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè è áóäåì ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ïîêàçàòåëÿ îïòèìàëüíîñòè âûáîðà ïðàâèëà, ïî êîòîðîìó áóäåì îïðåäåëÿòü ìîìåíò îòêëþ÷åíèÿ íà ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò: 1 − γ = 1 − lim (P (X(t) = S1 ) + P (X(t) = S2 )). t→+∞ Íàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü óðîâåíü èçíîñà, ïðè êîòîðîì áóäåì îòêëþ÷àòü ñèñòåìó íà ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè áûë ìàêñèìàëüíûì. Âìåñòî çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè êîýôôèöèåíòà ãîòîâíîñòè 1 − γ ïåðåéä¼ì ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè êîýôôèöèåíòà íåãîòîâíîñòè γ. Îòìåòèì, ÷òî γ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé îò ìîìåíòà τ îòêëþ÷åíèÿ ñèñòåìû íà ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò: γ = W (τ ). 9

Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âèä ôóíêöèè W (τ ) è ìèíèìèçèðîâàòü å¼. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ: EQ (f ) èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèè f ïî ìåðå Q(dξ), Z ∞ mi = (1 − Fi (t))dt, i = 1, 2, 0 Òåîðåìà 2.1. Åñëè õîòÿ áû äëÿ îäíîãî Ti ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ íåðå- øåò÷àòûì, òî 1) êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè èìååò âèä 1−γ = V , m1 − (m1 − m2 )U + V ãäå Z ! τ (ξ) U = U (τ ) = EQ exp − ξ(s)ds , 0 τ (ξ) Z V = V (τ ) = EQ Z t exp − (ξ(s)ds)dt . 0 0 2) íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà γ = W (τ ) ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî: ξ(τ ) = m1 − (m1 − m2 )U (τ ) . (m1 − m2 )V (τ ) (2) Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåíî â [6]. Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2) ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè ôóíêöèîíàëîâ U (τ ) è V (τ ), â êîòîðûõ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ñòîèò ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. 3 Ðåøåíèå çàäà÷è Ïðîöåññ ðåãåíåðàöèè ïåðåñåêàåò óðîâåíü b ∈ (0, c) áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Îáîçíà÷èì τbn ïåðâûé ïîñëå (n − 1)-îãî ìîìåíòà ðåãåíåðàöèè ìîìåíò äîñòèæåíèÿ óðîâíÿ b. Èçâåñòíî [1], ÷òî ìîìåíò ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ íåêîòîðîãî óðîâíÿ ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì ìîìåíòîì, ïîýòîìó τbn ìàðêîâñêèé ìîìåíò ñî ñâîéñòâîì X(τbn ) = b. Âåëè÷èíû τbn , êàê è τcn , íåçàâèñèìû 10

è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Äî ìîìåíòà τbn óðîâåíü c äîñòèãàëñÿ n − 1 ðàç, ïîýòîìó: τbn = τcn−1 + τb1 ◦ θτcn−1 , τc0 = 0. n ≥ 1, Çàìåòèì, ÷òî Z τbn τcn−1 ξ(t + τcn−1 ) = ξ(t) ◦ θτcn−1 , ! Z τb1 ξ(s)ds = ξ(s)ds ◦ θτcn−1 . 0 Òåïåðü τbn Z ξ(s)ds = n−1Z X τck Z ξ(s)ds + ξ(s)ds = k−1 k=1 τc 0 τbn τcn−1 Z ◦ θτcn−1 . ξ(s)ds 0 exp = n−1 Y Z exp − ! ξ(s)ds ◦ θτcn−1 ! τc1 Z ξ(s)ds ◦θτck−1 exp − 0 k=1 ! τc1 0 k=1 ξ(s)ds ◦ θτcn−1 + 0 k=1 τb1 n−1 Z X ! τc1 ! + Òîãäà n−1 Z X = ! τb1 ξ(s)ds ◦θτcn−1 . 0 Îáîçíà÷èì Z f (b) = EQ exp − !! τb1 ξ(s)ds . 0 Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ðåãåíåðàöèè ïðîöåññà ξ(t) c ìåðîé Q, èìååì: = EQ n−1 Y k=1 Z τn b U (τbn ) = EQ exp − ξ(s)ds = 0 ! ! Z 1 Z 1 τc exp − 0 ! τb ξ(s)ds ◦θτck−1 exp − 0 !! ξ(s)ds ◦θτcn−1 = = f n−1 (c)f (b). Òåïåðü ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë V (τbn ). Z 0 τbn τcn−1 Z t Z exp − ξ(s)ds dt = 0 Z t Z exp − ξ(s)ds dt+ 0 0 11 τbn Z t exp − ξ(s)ds dt. τcn−1 0

Îáîçíà÷èì ïåðâîå ñëàãàåìîå çà Ψ è ïðåîáðàçóåì åãî: Z t n−1 Z X exp − ξ(s)ds dt = τcn−1 Z Ψ= 0 = Z exp − = n−1 X !Z τck−1 !Z = n−1 X τck τck−1 τb1 ! 0 0 ! ! ξ(s − τck−1 )ds ◦ θτck−1 dt1 = t1 Z exp − ξ(s)ds 0 k=1 t−τck−1 0 !Z τck−1 Z exp − ! ξ(s)ds dt = t τck−1 Z exp − ξ(s)ds 0 k=1 Z exp − τck−1 τck−1 Z exp − 0 τck ξ(s)ds 0 k=1 Z t exp − ξ(s)ds dt = k−1 k=1 τc 0 n−1 X τck ! ξ(s1 )ds1 dt1 ◦ θτck−1 , çäåñü èñïîëüçîâàíà çàìåíà t1 = t − τck−1 , s1 = s − τck−1 . Âòîðîå ñëàãàåìîå: τbn Z τcn−1 0 Z exp − ! ξ(s − τcn−1 )ds dt = 0 !Z τcn−1 = exp − t−τcn−1 Z τcn−1 Z τb1 ◦θτ n−1 c ξ(s)ds 0 = exp − 0 ! Z τcn−1 t1 Z exp − 0 Z ξ(s)ds × 0 τbn × ! τcn−1 Z t Z exp − ξ(s)ds dt = exp − τb1 ξ(s)ds 0 t1 Z exp − 0 0 ξ(s1 )ds1 ◦ θτcn−1 dt1 = ! ξ(s1 )ds1 dt1 ◦ θτcn−1 , çäåñü èñïîëüçîâàíà çàìåíà t1 = t − τcn−1 , s1 = s − τcn−1 . Òîãäà ïîëó÷àåì V (τbn ) = EQ (Ψ) + EQ Z exp − ! τcn−1 ξ(s)ds × 0 Z × 0 ãäå τb1 Z exp − 0 t1 ! n−1 X ξ(s)ds dt1 ◦ θτcn−1 = g(c) f k−1 (c) + f n−1 (c)g(b), k=1 Z f (b) = EQ exp − τb ξ(s)ds 0 Z g(b) = EQ τb1 Z t ξ(s)ds exp − 0 0 12 , ! .

Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìîå óñëîâèå (2) ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà γ = W (τ ) ìîæåì çàïèñàòü â âèäå: 1 − ∆f n−1 (c)f (b) b= , ∆ (h(c) + g(b)f n−1 (c)) ãäå (3) m1 − m2 , m1 g(c)(1 − f n−1 (c)) h(c) = . 1 − f (c) Ïðîöåññ ðåãåíåðàöèè ïåðåñåêàåò óðîâåíü b áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Èç ∆= âñåãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3), äîñòàâëÿþùèõ ëîêàëüíûé ìèíèìóì êîýôôèöèåíòó íåãîòîâíîñòè γ, íåîáõîäèìî âûáðàòü åäèíñòâåííûé ìîìåíò τb , ïðè êîòîðîì êîýôôèöèåíò íåãîòîâíîñòè ïðèìåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. Ïóñòü Fn (∆, b, c) ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (3). Îöåíèì ïðèðàùåíèÿ Fn+1 − Fn = Y , Z ãäå ! n−1 g(c) 1 − f (c) g(c) (1 − f (c)) Z =∆ + g(b)f n (c) + g(b)f n−1 (c) , 1 − f (c) 1 − f (c) n−1 g(c) 1 − f (c) Y = (1 − ∆f n (c)f (b)) + g(b)f n−1 (c)− 1 − f (c) g(c) (1 − f n (c)) n−1 + g(b)f n (c) = − 1 − ∆f (c)f (b) 1 − f (c) = n g(c) (1 − f n (c)) g(c)(1 − f n−1 (c))∆f n (c)f (b) + g(b)f n−1 (c) − − 1 − f (c) 1 − f (c) g(c) (1 − f n (c)) 2n−1 −∆g(b)f (c)f (b) − − g(b)f n (c)+ 1 − f (c) ∆f n−1 (c)f (b)g(c) (1 − f n (c)) + + ∆f (b)g(b)f 2n−1 (c) = 1 − f (c) n−1 g(c) 1 − f (c) = f (b)∆g(c)f n−1 (c) + g(b)f n−1 (c) (1 − f (c)) + + 1 − f (c) g(c) (1 − f n (c)) + = f (b)∆g(c)f n−1 (c) + g(b)f n−1 (c) (1 − f (c)) − 1 − f (c) 13

−g(c)f n−1 (c) = g(c)f n−1 g(b) (1 − f (c)) (c) ∆f (b) + −1 . g(c) Îáîçíà÷èì g(c)f n−1 (c) , Z g(b)(1 − f (c)) G(∆, b, c) = ∆f (b) + . g(c) Òàêèì îáðàçîì, èìååì A= Fn+1 − Fn = A(G (∆, b, c) − 1) . Ïîêàæåì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé. Ñíà÷àëà ðàñ- R τc ñìîòðèì f (c). Îáîçíà÷èì c1 = exp 0 ξ(s)ds . ßñíî, ÷òî c1 > 0. Òåïåðü f (c) = EQ1 (c1 ), à òàê êàê Q1 (dx) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, òî f (c) áóäåò ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé(äëÿ f (b) âñ¼ àíàëîãè÷íî). Äàëåå ðàññìîòðèì g(c): òàê êàê Z t exp − ξ(s)ds > 0, 0 òî è Z τc1 Z t exp − ξ(s)ds dt > 0. 0 0 Ñëåäîâàòåëüíî, è g(c) > 0 (äëÿ g(b) âñ¼ àíàëîãè÷íî). Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî Z ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: 1) f (c) ∈ [0, 1] , 2) f (c) > 1. Â ïåðâîì ñëó÷àå 1 − f (c), 1 − f n (c), 1 − f n−1 (c) ïîëîæèòåëüíû, âî âòîðîì - îòðèöàòåëüíû. Ïðè ýòîì â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåòñÿ Z > 0, òîãäà èç âñåãî âûøåñêàçàííîãî èìååì A > 0. Òàêèì îáðàçîì, çíàê ïðèðàùåíèÿ çàâèñèò òîëüêî îò çíàêà âûðàæåíèÿ G(∆, b, c) − 1. Ïðè ýòîì â ïîëó÷åííîé îöåíêå îò n ÿâíî çàâèñèò òîëüêî A, à çíà÷èò, çíàê ïðèðàùåíèÿ íå çàâèñèò îò n. Èçâåñòíî [6], ÷òî ïðîöåññ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïðèðàùåíèÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå Ëåâè-Õèí÷èíà: äëÿ 14

ëþáîãî λ ≥ 0 è b ≥ 0 : Z b EQ1 (exp(−λτb )) = exp − β(λ, s)ds , 0 ãäå Z +∞ 1 − exp(−λu) v(du|x), β(λ, x) = λα(x) + 0+ α(x) èíòåãðèðóåìàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, v(du|x) èíòåãðèðóåìîå ñåìåéñòâî ìåð íà èíòåðâàëå (0, +∞) . Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî β → ∞ ïðè λ → ∞ ðàâíîìåðíî ïî âñåì x > 0 è îòíîøåíèå β(λ,x) λ ðàâíîìåðíî îãðàíè- ÷åíî ïðè âñåõ λ ≥ 0 è x ≥ 0. Ïðèâåä¼ì òåîðåìó, êîòîðàÿ ïîçâîëèò íàì ïðåîáðàçîâàòü f (b) è g(b). Òåîðåìà 3.1. Åñëè ïðè ëþáûõ λ, x ≥ 0 ôóíêöèÿ β(λ, x) íåïðåðûâíà íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, è ñóùåñòâóþò òàêèå íåîòðèöàòåëüíûå , a, ÷òî R +∞ uv(du|x) < α ïðè âñåõ x ≤ , òî Z τb Z b EQ1 exp − ξ(s)ds = exp − β(x, x)dx , âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà α(x) ≤ a è 0 0 0  Zt Zx Zτb Zb β(x, x) dx. EQ1  exp − ξ(s)ds  = exp − β(s, s)ds x  0 0 0 0 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðèâåäåíî â [8]. Èñïîëüçóÿ ýòó òåîðåìó, ïîëó÷àåì f (b) = exp b Z − β(s)ds , 0 b Z g(b) = exp Z − 0 Òåîðåìà 3.2. t β(s)ds 0 β(t) dt. t Åñëè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè g(∞) < ∞, òî äëÿ ëþ- áîãî ∆ ∈ (0, 1) íàéä¼òñÿ îáëàñòü B∆ ⊂ {(b, c) : 0 < b < c}, íà êîòîðîé G(∆, b, c) > 1. Åñëè ïðè ýòîì ïðÿìàÿ {c = const} ïåðåñåêàåò ýòó îáëàñòü, òî äëÿ ëþáîãî n ≥ 0 ìèíèìóì ôóíêöèè Fn (∆, b, c) ïî b íà ýòîé ïðÿìîé ïðèíàäëåæèò ýòîé îáëàñòè, ïðè÷¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîðíåé óðàâíåíèé (3) (bn ) íå óáûâàåò. Åñëè ïðÿìàÿ c = const íå ïåðåñåêàåò ýòó îáëàñòü, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn ) íå âîçðàñòàåò è ïðè n → ∞ ñòðåìèòñÿ ê b∞ = 15 1−f (c) ∆g(c)

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðèâåäåíî â [5]. Â [5] áûë ïîëó÷åí êîýôôèöèåíò íåãîòîâíîñòè γ ÷åðåç ðåøåíèå b óðàâíåíèÿ (3) (m1 − m2 )b . 1 + (m1 − m2 )b Çàìåòèì, ÷òî ÷åì áîëüøå b, òåì áîëüøå êîýôôèöèåíò íåãîòîâíîñòè. Ïîγ= ýòîìó âîçìîæíû äâà âàðèàíòà ðåæèìà ïðîôèëàêòè÷åñêèõ îòêëþ÷åíèé: 1) Â ñëó÷àå, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn ) âîçðàñòàåò, äëÿ òîãî ÷òîáû êîýôôèöèåíò íåãîòîâíîñòè áûë ìèíèìàëüíûì, íóæíî ïðîèçâîäèòü ïðîôèëàêòè÷åñêîå îòêëþ÷åíèå ñèñòåìû ïðè äîñòèæåíèè ïðîöåññîì óðîâíÿ b1 . Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì h(c) = 0, ïîýòîìó ôîðìóëà (3) ïðèíèìàåò âèä b1 = 1 − ∆f (b1 ) . ∆g(b1 ) (4) 2) Â ñëó÷àå, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn ) óáûâàåò, êîýôôèöèåíò íåãîòîâíîñòè óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì n. Çíà÷èò, îòêëþ÷åíèå ñèñòåìû íà ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò ïðåäïî÷òèòåëüíåå ñîâåðøàòü ïðè êàæäîì ïîñëåäóþùåì äîñòèæåíèè ïðîöåññîì èçíîñà óðîâíÿ bn . Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò íå èìååò ñìûñëà. 3.1 ×èñëåííîå ðåøåíèå Èçâåñòíî [7], ÷òî ïðè ïðîöåññå ìàêñèìóìîâ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ñî ñäâèãîì ïàðàìåòð ðàçëîæåíèÿ Ëåâè-Õèí÷èíà ïðèíèìàåò âèä: r x β(x) = 2 + µ2 − µ, D ãäå D ëîêàëüíàÿ äèñïåðñèÿ, µ ïàðàìåòð ñäâèãà. Âû÷èñëèì èíòåãðàë â ñòåïåíè ýêñïîíåíòû â f (b): Z 0 b Z b r s β(s)ds = 2 + µ2 − µ ds, D 0 2 + µ2 , òîãäà x = (y−µ2 )D è Z br Z a2 2 s (y − µ )D √ 2 + µ2 − µ ds = yd − µb = D 2 0 a1 ñäåëàåì çàìåíó: y = 2 Dx 16

D = 2 a2 Z a1 √

a 3/2

D 2 3/2

2 D 2 2

− µb = ydy − µb = y

− µb = x+µ

23 3 D a1 0 ! 3/2 D 2 = b + µ2 − µ3 − µb. 3 D Òîãäà ! ! r 3/2 Z b x D 2 1 2 3 2 + µ2 − µ dx. g(b) = exp − x+µ − µ − µb 3 D x D 0 Ïóñòü g1 (x) - ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â g(b). Òàê êàê ïðè ñòðåìëåíèè x ê íóëþ ñïðàâà ïðåäåë g1 (b) ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè, ïðåäñòàâèì g(b) â âèäå ñóììû èíòåãðàëîâ: ε Z Z g1 (x)dx + g(b) = 0 b g1 (x)dx, ε ãäå ε äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïåðâîãî èíòåãðàëà ðàçëîæèì â ðÿä Ìàêëîðåíà êîðåíü â g1 (b) r p 2x y y2 y3 +1=µ y+1=µ 1+ − + + o y3 = 2 Dµ 2 8 16 x2 x3 x =µ+µ − 4 2 + 6 3 + o y3 , 2 µ D 2µ D 2µ D 2x + µ2 = µ D r ãäå èñïîëüçîâàíà çàìåíà y = 2x Dµ2 . Òàêèì îáðàçîì, Z 0 ε ! ! 3/2 Z b D 2 g1 (x)dx = exp − x + µ2 − µ3 − µb × 3 D 0 1 x x2 2 × − + + o(x ) . µD 2µ3 D2 2µ5 D3 Îáîçíà÷èì Φ(b1 ) := b1 − F1 (b1 ) = 0. Φ(b1 ) íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (0, ∞), ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íàõîæäåíèÿ êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ïîëîâèííîãî 17

äåëåíèÿ, çàäàâàÿ íà÷àëüíûé îòðåçîê [0, C], ãäå ε äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî, à C > c > b. Íèæå ïðèâåäåíà òàáëèöà ñ çàäàííûìè ïàðàìåòðàìè D, µ, m1 , m2 , c è ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû ïðîãðàììû b1 è G. D µ m1 m2 c b1 G 1 1 2 2 1 5 2.25425 0.789856 2 1 2 8 1 5 0.464917 1.05804 3 0.5 0 20 2 5 0.121594 5.26339 4 5 2 2 1 15 4.95434 0.291548 5 1 2 20 17 5 7.83086 0.717503 Òàáëèöà 1: Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ Èç òàáëèöû âèäíî, ÷òî ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò èìååò ñìûñë òîëüêî äëÿ âòîðîãî è òðåòüåãî íàáîðîâ ïàðàìåòðîâ. Äëÿ âòîðîãî íàáîðà îïòèìàëüíûì ìîìåíòîì îòêëþ÷åíèÿ ñèñòåìû íà ïðîôèëàêòè÷åñêèé ðåìîíò ÿâëÿåòñÿ ìîìåíò ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ ïðîöåññîì èçíîñà óðîâíÿ 0.464917, äëÿ òðåòüåãî 0.121594. Äëÿ îñòàëüíûõ íàáîðîâ ïàðàìåòðîâ îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà íå ñóùåñòâóåò. 18

Çàêëþ÷åíèå Îïèðàÿñü íà òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â [6] äëÿ ìîíîòîííîãî ïðîöåññà, è â [5] äëÿ íåìîíîòîííîãî, ðàáîòà ðåøàåò çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ðåæèìà ïðîôèëàêòè÷åñêèõ îòêëþ÷åíèé òåõíè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ êóñî÷íî ìîíîòîííîãî ïðîöåññà èçíîñà, íà èíòåðâàëàõ ìîíîòîííîñòè êîòîðîãî ðàññìîòðåí ïðîöåññ ìàêñèìóìîâ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà. Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü çàäà÷è ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè ôóíêöèîíàëîâ U è V . Îäíàêî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå Ëåâè-Õèí÷èíà, à ïàðàìåòð ðàçëîæåíèÿ β(x) èçâåñòåí, óäà¼òñÿ äîâåñòè ðåøåíèå äî êîíöà. ×èñëåííî áûë íàéäåí ôóíêöèîíàë G, â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ, ñóùåñòâóåò ëè â äàííîì ñëó÷àå îïòèìàëüíîå ðåøåíèå. Òàêæå ÷èñëåííî áûë íàéäåí óðîâåíü b. Óäàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïàðàìåòðîâ äåéñòâèòåëüíî ðåàëèçóþòñÿ äâå àëüòåðíàòèâû, â îäíîé èç êîòîðûõ îïòèìàëüíûì ìîìåíòîì îòêëþ÷åíèÿ ñèñòåìû íà ïðîôèëàêòèêó ÿâëÿåòñÿ ìîìåíò ïåðâîãî äîñòèæåíèÿ ïðîöåññîì óðîâíÿ b, â äðóãîé æå îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà íå ñóùåñòâóåò. 19

ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [1] Âåíòöåëü À. Ä, Êóðñ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. 2-å èçä., äîï. - Ì.: Ôèçìàòëèò, 1996. [2] Âîëêîâ È. Ê, Çóåâ Ñ. Ì, Öâåòêîâà Ã. Ì. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. / Ïîä ðåä. B.C. Çàðóáèíà, À.Ï. Êðèùåíêî. Ì.: Èçä-âî ÌÃÒÓ èì Í.Ý. Áàóìàíà, 1999. [3] Ãíåäåíêî Á. Â, Áåëÿåâ Þ. Ê, Ñîëîâü¼â À. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè íàäåæíîñòè: Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè íàäåæíîñòè è èõ ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç. Èçä.2, èñïð. è äîï. URSS. 2013. [4] Äóá Äæ. Ë, Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû. Ì.: ÈË, 1956. [5] Ðàñîâà Ñ. Ñ, Õàðëàìîâ Á. Ï. Ïîëóìàðêîâñêàÿ ìîäåëü äåãðàäàöèè è çàäà÷è íàä¼æíîñòè. // Â ñá. Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç áåçîïàñíîñòè è ðèñêà â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ. ÑÏá.2006.Ñ.404-414. [6] Õàðëàìîâ Á. Ï. Îïòèìàëüíûé ðåæèì îáñëóæèâàíèÿ ñèñòåìû ñ íàáëþäàåìîé îïàñíîñòüþ îòêàçà. //Àâòîìàòèêà è Òåëåìåõàíèêà, Íàóêà, Ì.1998. Ñ. 117-134. [7] Õàðëàìîâ Á. Ï. Íåïðåðûâíûå ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû. ÑÏá.: Íàóêà, 2001. [8] Õàðëàìîâ Á. Ï. Î âûáîðå ìîìåíòà íà÷àëà ñòðàõîâàíèÿ //Àâòîìàòèêà è Òåëåìåõàíèêà. 2003. Âûï. 7. Ñ.134-142. 20

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв